kerangka buku daras matematika teknik ii

Matematika Teknik IIEdisi Jurusan Teknik Elektro – UIN SGD Bandung

Rina Mardiati, S.Pd., M.T.

Jurusan Teknik Elektro

Fakultas Sain dan Teknologi

Universitas Islam Negeri Sunan Gunung Djati

Bandung – 2013

|Matematika Teknik II 1

Kata Pengantar

Modul ini dibuat dalam rangka membantu mahasiswa jurusan teknik elektro untuk dapat memahami dan mempelajari mata kuliah Matematika Teknik II pada fakultas Sain dan Teknologi, Universitas Islam Negeri (UIN) Sunan Gunung Djati Bandung.

Mata kuliah matematika teknik II ini merupakan mata kuliah pilihan yang memiliki bobot 3 sks. Mata kuliah ini mempunyai tujuan agar mahasiswa mampu mengetahui cara menyelesaikan permasalah matematis dalam bidang teknik yang dipakai sebagai landasan ilmu untuk mempelajari mata kuliah keelektroan pada semester berikutnya. Pada mata kuliah ini, mahasiswa diharapkan mampu mengetahui bagaimana cara mengimplementasikan materi yang didapat ke dalam mata kuliah keelektroan.

Pada modul matematika teknik II ini akan dibahas mengenai pengantar matematika teknik II, bilangan kompleks, bentuk polar/kutub, kurva dan daerah dalam bidang kompleks, fungsi kompleks, limit, turunan kompleks, fungsi analitik, fungsi harmonik dan sekawan, fungsi eksponensial, fungsi logaritma dan fungsi trigonometri.

Menyadari akan ketidaksempurnaan modul ini, baik isi maupun redaksinya, penulis sangat berharap akan kritik dan saran yang membangun demi perbaikan modul ini pada masa yang akan datang. Tak lupa pula penulis ucapkan syukur alhamdulillah kepada Allah SWT yang telah memberikan kekuatan kepada penulis dalam menyelesaikan modul ini, sehingga modul ini akhirnya berada di tangan Anda.

Terakhir, penulis berdoa, mudah-mudahan buku ini dapat memberikan banyak manfaat bagi yang membacanya. Amien.

Bandung, Juli 2013

Penulis


Daftar Isi

Halaman

Cover………………………………………………………………………………………………………………………………

Kata Pengantar……………………………………………………………………………………………………………….

Daftar Tabel……………………………………………………………………………………………………………………

Daftar Gambar……………………………………………………………………………………………………………….

Pendahuluan Kuliah………………………………………………………………………………………………………..

Bab 1 Pengantar Matematika Teknik II.…………………………………………………………………......

Bab 2 Bilangan Kompleks………………….…………………………………………………………………………

Bab 3 Bentuk Polar dan Kutub……..…………………………..…………………………………………………

Bab 4 Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks……………..…..……………………………………

Bab 5 Fungsi Kompleks.…………..………………………..………………………………………………………..

Bab 6 Limit…………………..……………………………………….…………………………………………………….

Bab 7 Turunan Kompleks………………………………………………………………..…………………………..

Bab 8 Fungsi Analitik………………………………………………………………………….……………………….

Bab 9 Fungsi Harmonik Sekawan…………………………………………………………….………………….

Bab 10 Fungsi Eksponensial……………………………………………………………………………………..……

Bab 11 Fungsi Logaritma……………………………………………………………………………………………….

Bab 12 Fungsi Trigonometri…………………………………………………………………………………………

Bab 13 Keterkaitan dengan penelitian……………………………………………………………………….

Daftar Pustaka……………………………………………………………………………………………………………….


Pendahuluan Kuliah

Gambaran Umum

Mata kuliah Matematika Teknik II ini merupakan mata kuliah yang diberikan kepada mahasiswa jurusan Teknik Elektro, Fakultas Sain dan Teknologi, UIN Bandung.

Mata kuliah ini mempunyai bobot 3 sks, dengan alokasi waktu 50 menit per sks. Jadi, dalam satu kali pertemuan mempunyai durasi waktu 3 x 50 menit = 150 menit (2 jam 30 menit).

Tujuan

Memberikan pengetahuan dasar tentang matematika teknik meliputi bilangan kompleks, fungsi bilangan kompleks serta pemetaan konformal yang berkaitan dengan keilmuan teknik elektro.

Topik yang Dibahas

1. Pengantar Matematika Teknik II 2. Bilangan Kompleks 3. Bentuk Polar/Kutub4. Kurva dan Daerah dalam Bidang Kompleks 5. Fungsi Kompleks6. Limit 7. Turunan kompleks8. Fungsi Analitik9. Fungsi Harmonik dan Sekawan 10. Fungsi Eksponensial11. Fungsi Logaritma 12. Fungsi trigonometri13. Pemetaan Konformal

Prasyarat

Prasyarat untuk mengikuti mata kuliah ini adalah:

1. Kalkulus I;2. Kalkulus II;


Bab 1. Pengantar Matematika Teknik II

1.1 Deskripsi Singkat

Mata kuliah ini merupakan pengantar membahas tentang : Sistem Bilangan

Kompleks, Fungsi dengan Peubah Kompleks sebagai pemetaan dari suatu

bidang kompleks ke bidang kompleks lainnya, Pemetaan Konform yang

sederhana, Pendiferensialan dan Pengintegralan Kompleks.

1.2 Kegunaan Mata Kuliah

Bagi mahasiswa mata kuliah ini dapat berguna untuk mengembangkan konsep-

konsep matematika secara mendalam serta mampu menjelaskan konsep yang

tidak dapat dijelaskan oleh mata kuliah lain, misalnya menjelaskan bilangan

negatif di bawah tanda akar. Juga berguna untuk menambah wawasan terhadap

konsep matematika secara konprehensif. Selain dari itu, mata kuliah ini berguna

sebagai fondasi ilmu untuk mengikuti mata kuliah kelektroan yang lainnya.

1.3 Tujuan Instruksional Umum

Pada akhir perkuliahan mahasiswa dapat menjelaskan dan menyelesaikan soal-

soal tentang konsep yang terkait dengan bilangan kompleks. Mahasiswa pun

ditugaskan untuk dapat mengambil intisari dari perkuliahan ini serta dapat

mengimplementasikan pada matakuliah keelektroan.


1.4 Susunan Bahan Ajar

Bab 1 : Pengantar Matematika Teknik II

Bab 2 : Bilangan Kompleks

Bab 3 : Bentuk Polar/Kutub

Bab 4 : Kurva dan daerah dalam Bidang Kompleks

Bab 5 : Fungsi Kompleks

Bab 6 : Limit

Bab 7 : Turunan Kompleks

Bab 8 : Fungsi Analitik

Bab 9 : Fungsi Harmonik dan Sekawan

Bab 10 : Fungsi Eksponensial

Bab 11 : Fungsi Logaritma

Bab 12 : Fungsi Trigonometri

Bab 13 : Keterkaitan dengan Penelitian

1.5 Petunjuk Bagi Mahasiswa

1) Sebelum mempelajari konsep Sistem Bilangan Kompleks, mahasiswa sudah

memahami konsep bilangan, terutama konsep sistem bilangan real.

2) Sebelum mengikuti perkuliahan, mahasiswa diharuskan membaca dan

mempelajari konsep yang akan dikuliahkan.

3) Ikuti penjelasan dan contoh yang diberikan dosen.

4) Setiap tugas atau latihan soal yang diberikan diusahakan kerja sendiri, dan

jika ada masalah atau hal yang belum dimengerti dapat ditanyakan melalui

teman atau dosen.


Bab 2. Bilangan Kompleks

2.1 Aljabar Bilangan Kompleks

Definisi 2.1

Bilangan Kompleks adalah suatu pasangan terurut dari dua bilangan real x dan y

yang dinyatakan oleh (x,y). Pernyataan ini merupakan definisi formal dari

bilangan kompleks. Lambang bilangan kompleks kita gunakan huruf z yang

berarti z = (x,y) dimana x bagian real dari z (ditulis Re(z)) dan y bagian imaginer

dari z (ditulis Im(z)).

Khusus pasangan terurut (x,0) diidentifikasikan dengan bilangan real x, yaitu

(x,0) = x dan pasangan terurut (0,y) dinamakan bilangan imaginer sejati.

Selanjutnya diambil lambang I untuk pasangan terurut (0,1), yaitu = (0,1) yang

dinamakan satuan imaginer.

Definisi 2.2

Dua bilangan kompleks z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2) dikatakan sama, ditulis z1 = z2

jika x1=x2 dan y1= y2. Khususnya z = (x,y) = (0,0) jika dan hanya jika x=0 dan

y=0.

Definisi 2.3

Jika z1 = (x1, y1) dan z2 = (x2, y2) adalah bilangan kompleks, maka jumlah dan

hasil kali dari z1 dan z2 masing-masing adalah bilangan kompleks z1 + z2 dan z1

z2 yang diperoleh dari aturan berikut.


z1 + z2 = (x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + x2 , y1 + y2)

z1 z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1 x2 - y1y2, x1y2 + x2y1)

Teorema 2.1

Himpunan bilangan kompleks C memenuhi sifat-sifat lapangan, yakni :

1) z1 + z2 C dan z1 z2 C, z1, z2 C

2) z1 + z2 = z2 + z1 dan z1 z2 = z2 z1, z1, z2 C

3) (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) dan (z1 z2) z3 = z1 (z2 z3), z1, z2, z3 C

4) z1 (z2 + z3) = z1 z2 + z1 z3, z1, z2, z3 C

5) Ada 0 = (0,0) C, sehingga z + 0 = z, z C

6) Ada 1 = (1,0) 0, 1C, sehingga z . 1 = z, z C

7) z = (x,y) C, -z = (-x, -y) C, z + (-z) = 0

8) z = (x,y) C, z-1 = (

x

x2+ y2,

− y

x2+ y2) C, z z-1 = 1

Bukti Teorema 2.1 dapat dilakukan sendiri dengan berpedoman pada definisi 2.2 dan 2.3

Pada bagian berikut anda akan diperkenalkan pada penulisan lain dari bilangan

kompleks z = (x,y). Dengan identifikasi x = (x,0) dan I = (0,1) dapat diuraikan sebagai

berikut :

(0,y) = (0,1)(y,0) = iy ………………………………………..(1)

z = (x,y) = (x,0) + (0,y) = x + (0,y) ………………………….(2)

Dari (1) dan (2) dapat diperoleh : z = x + iy

Demikian pula i2 = i x i = (0,1)(0,1) = (-1,0) = -1, karena itu bilangan kompleks x = (x,y)

dapat ditulis dalam bentuk z = x + iy, dimana x dan y bilangan real dan i satuan imaginer

dengan i2 = -1


Contoh 1 :

Jika z = (x,y) dan 1 =(1,0), maka z x 1 = (x,y) x (1,0) = (x, iy)(1 + i0) = x + iy = z

Jika z = (x,y) dan z-1 = (

x

x2+ y2,

− y

x2+ y2), maka

zz-1 = (x + iy) (

x

x2+ y2,

− y

x2+ y2i)

=

x2+ y2

x2+ y2 +

yx−xy

x2+ y2i = 1 + 0i = 1

Contoh 2 :

Diberikan z1 = 2 – 3i dan z2 = -5 + i, tentukan bilangan kompleks :

(a) z1 + z2; (b) z1 - z2; (c) z1 z2; dan (d)

z1

z2

Jawab :

(a) z1 + z2 = (2 – 3i) + (-5 + i) = (2 – 5) + (-3 + 1)i = -3 – 2i

(b) z1 - z2 = (2 – 3i) - (-5 + i) = (2 + 5) + (-3 - 1)i = 7 – 4i

(c) z1 z2 = (2 – 3i) (-5 + i) = – 10 + 2i + 15i –3i2 = -7 + 17i

(d)

z1

z2 =

2−3 i−5+i = (

2−3 i−5+i )(

−5−i−5−i ) =

−10−2 i+15i+3 i2

25−i =

−13+13 i26 =

−12 +

12 i

Definisi 2.4

Jika z = (x,y) = x + iy bilangan kompleks, maka bilangan kompleks sekawan dari z (ditulis z

= ( x, -y) = x – iy

Contoh 3 :

Jika z1 = 3 + 4i dan z2 = -2 – 5i, maka kompleks sekawan dari z1 dan z2 adalah z1 =

3 – 4i dan z2 = -2 + 5i


Teorema 2.2

1. Jika z bilangan kompleks, maka :

(a) z = z

(b) z + z = 2 Re(z)

(c) z – z = 2i Im(z)

(d) zz = (Re(z))2 + (Im(z))2

2. Jika z1 dan z2 bilangan kompleks, maka :

(a) z1+z2 = z1 + z2

(b) z1−z2 = z1 – z2

(c) z1 z2 = z1 z2

(d) (z1

z2

)=

z1

z2 ; z2¿0

Bukti

Misalkan z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + y2, maka

z1+z2 = ( x1+iy1)+(x2+iy2 )= ( x1+x2 )+( y1+ y2 ) i= (x1 + x2) – i(y1 + y2)

= (x1 - iy1) + (x2 - iy2) = z1 + z2

Latihan 1

1. Ubahlah bilangan kompleks berikut menjadi bentuk x + iy

a. (5 – 2i) + (2 + 3i) b. (2 - i) – (6 – 3i) c. (2 + 3i)(-2 – 3i)

d. 6i/(6 – 5i) e. i2, i3, i4, i5, …, i10 f. (1 + i) / (1 – i)

g. {i/(1-i)} + {(1-i)/i}


2. Jika z = -1 – I, buktikan z2 + 2z + 2 = 0

3. Cari bilangan kompleks z = x + iy yang memenuhi :

a. z-1 = z b. z = -z

4. Buktikan untuk setiap bilangan kompleks z berlaku :

a. Re(z) =

12 (z + z ) b. Im(z) =

12 i(z - z )

5. Buktikan z1 z2 + z1 z2 = 2 Re(z1 z2)


Bab 3. Bentuk Polar/Kutub

Bilangan kompleks juga bisa dinyatakan dalam bentuk polar yaitu dalam parameter r

dan θ dengan hubungan sebagai berikut.

x=r cosθ

y=rsinθ

r : disebut modulus z, r juga dinotasikan |z|

θ : disebut argumen z, biasa disingkat dengan arg z

Jadi z bisa dituliskan dalam bentuk:

z=r cosθ+ i¿

Dari hubungan x,y terhadap r dan θ maka r dan θ dapat dinyatakan dalam bentuk :

r=√x2+ y2 θ=arc tanyx

Secara geometrik, r merupakan jarak titik z terhadap titik asalnya (0,0) sedangkan θ

merupakan sudut z yang diukur dari sumbu x positif dan θ tidak terdefinisi pada z=0.

Nilai prinsipil didefinisikan pada −π<θ<π

Karena sifat dari θ yang berulang, seringkali kita hanya menggunakan nilai θ pada

selang tersebut.

Operasi Perkalian dan Pembagian

Untuk mempermudah dapat digunakan sifat operasi sebelumnya untuk

mendapatkan hasil operasi dalam bentuk polar. Diketahui

z1=r1 cosθ1+i r1sin θ1 dan z2=r2 cosθ2+i r2sin θ2

Perkalian z1. z2=r1 r2¿

Pembagianz1

z2

=r1

r2

¿

Hasil operasi diatas menggunakan sifat

sin(θ1±¿θ2)=sinθ1cosθ2± icos θ1sinθ2¿

cos (θ1±θ2 )=cosθ1 cosθ2∓sin θ1 sinθ2


Bab 4. Kurva dan Daerah pada Bidang Kompleks

Definisi

|z-a| : Jarak antara z dan a

Lingkaran C dengan jari-jari r dan pusat a dapat disajikan dalam bentuk |z-a\=r

|z-a|<r : Interior dari C

Daerah ini disebut: cakram buka dengan pusat a atau lingkungan a

|z-a|≤r : sebuah cakram tertutup dengan pusat a

r1 < |z-a| ≤ r2 : annulus terbuka atau cincin buka yaitu daerah diantara dua lingkaran dengan jari-jari r1 dan r2.

Definisi

Himpunan S disebut terbuka jika setiap titik di S memiliki cakram buka yang keseluruhan titiknya masuk didalam S.

Himpunan terbuka S disebut tersambung jika untuk sembarang 2 titik di S dapat dihubungkan oleh sejumlah ruas garis yang terletak si S juga.

Himpunan terbuka dan tersambung disebut domain (fungsi kompleks).


Bab 5. Fungsi Kompleks

5.1 Fungsi

Fungsi kompleks definisinya identik dengan fungsi real satu peubah y = f(x).

Namun ada penggantian lambang peubah bebas x oleh z dan peubah tak bebas

y oleh w. Dengan demikian, maka fungsi kompleks tersebut dapat ditulis sebagai

w = f(z), dimana z pada himpunan di bidang kompleks.

Definisi 5.1.1

Misalkan D himpunan titik pada bidang z. Fungsi kompleks f adalah suatu aturan

yang memasangkan titik z anggota D dengan satu dan hanya satu titik w pada

bidang w, yaitu (z,w) fungsi tersebut ditulis w = f(z).

Himpunan D disebut domain dari f, dinyatakan oleh Df dan f(z) disebut range dari

f dinyatakan oleh Rf, yaitu himpunan f(z) untuk setiap z anggota D.

Contoh 1:

a. w = z2 + 10z c. w = z + iz - z-2

b. w = z-1 d. w = 1/(z2+1) ; z = x + iy

Contoh 1a yaitu fungsi dengan domain seluruhnya di bidang z

Contoh 1b dan 1c yaitu fungsi dengan semua titik pada bidang z, kecuali di z = 0


Contoh 1d yaitu fungsi dengan domain semua tiitk pada bidang z, kecuali di z =

i

Fungsi komposisi didefinisikan : Misalkan diketahui fungsi f dengan domain Df dan

fungsi g dengan domain Dg, jika Rf Dg , maka ada fungsi komposisi g(f(z)) dengan

domain suatu himpunan bagian dari Df.

Contoh 2 :

f(z) = z + i dan g(z) = z2 – z + 1 + i

Jika Rf Dg , maka g(f(z)) = g(2z + i)

= (2z + i)2 – (2z + i) + 1 + i

= (4z2 + (-2 + 4i)z

Jika Rg Df , maka f(g(z)) = f(z2 – z + 1 + i)

= 2(z2 – z + 1 + i) + i

= 2z2 – 22z + 22 + 3i


Bab 6. Limit

Diketahui daerah D pada bidang z dan titik zo terletak di dalam D atau pada

batas D. Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada D, kecuali mungkin di z0. Apabila

titik z bergerak mendekati z0 melalui setiap lingkungan sebarang K dan nilai f(z)

bergerak mendekati suatu nilai tertentu yaitu w0, maka dikatakan limit f(z) adalah

untuk z menuju z0 ditulis : l i m z zo f(z) = w0

Definisi 2.2.1

Misalkan fungsi w = f(z) terdefinisi pada daerah D kecuali mungkin di z0. (titik

z0 di dalam D dan pada batas D) limit dari f(z) adalah w0 untuk z menuju z0, jika

untuk setiap 0, terdapat 0, sedemikian hingga f(z) – w0 , apabila 0z –

z0 , ditulis ; l i m z zo f(z) = w0

Secara simbolik

l i m z zo f(z) = w0 0, 0 0 z – z0 f(z) – w0

Catatan perlu diperhatikan :

1) Titik z0 tidak perlu termasuk domain fungsi f

2) Peubah z menuju z0 melalui sebarang lingkungan K, artinya z menuju z0 dari

segala arah.


3) Apabila z menuju z0 melalui dua lingkungan yang berbeda saja, mengakibatkan

f(z) menuju dua nilai yang berbeda, maka limit fungsi f tidak ada untuk z menuju

z0.

Contoh 3 :

Buktikan l i m z zo f(z) = z0 , jika f(z) = z

Bukti :

Akan ditunjukkan 0, 0 z – z0 z – z0

Jelas ada = , apabila z – z0 , maka z – z0 , berarti l i m z zo f(z) = z0

Teorema 5.1

Jika fungsi f mempunyai limit untuk z menuju z0, maka nilai limitnya tunggal.

Bukti :

Andaikan f mempunyai dua nilai limit yakti w1 dan w2 dengan w1 w2.

Berarti l i m z zo f(z) = w1 dan l i m z zo f(z) = w2

Ambil bilangan positif = ½ w1 – w2

Menurut definisi 0, 0, sehingga :

f(z) – w1 dan f(z) – w2

Jika 0 z – z0

Dengan menggunakan ketaksamaan segitiga, diperoleh ;

w1 – w2 = w1 – f(z) + f(z) – w2


w1 – f(z) + f(z) – w2

+ = ½ w1 – w2 + ½ w1 – w2

w1 – w2

Terakhir diperoleh w1 – w2 w1 – w2 . Hal ini tidak mungkin, berarti

pengandaian salah. Jadi limit f harus tunggal.

Teorema 5.2

Misalkan z = (x,y) = x + iy dan f(z) = u(x,y) + iv(x,y) dengan domain D.

Titik z0 = (x0, y0) = x0 + iy0 di dalam D atau pada batas D

Maka l i m z zo f(z) = x0 + iy0 jika dan hanya jika berlaku

l i m u(x,y) = x0 dan l i m v(x,y) = y0

(x,y) (x0,y0) (x,y) (x0,y0)

Buktinya akan dibahas dalam bentuk diskusi dan pemecahannya.

Teorema 5.3

Misalkan fungsi f dan F limitnya ada di z0

l i m f(z) = w0 dan l i m F(z) = t0

z z0 z z0

Maka :

1). l i m {f(z) + F(z)} = w0 + t0

z z0

2). l i m {f(z) F(z)} = w0 t0

z z0


3). l i m f(z) / F(z) = w0 / t0, t0 0

z z0

2.2 Kekontinuan

Misalkan fungsi f(z) terdefinisi di D pada bidang z dan titik z0 terletak pada

interior D. Fungsi f(z) dikatakan kontinu di z0 apabila

l i m f(z) = f(z0)

z z0

Teorema 5.6

Jika 1. f(z) = u(x,y) + iv(x,y)

2. f(z) = terdefinisi disetiap titik pada daerah R

3. z0 = x0 + iy0 titik di dalam R

maka fungsi f(z) kontinu jika dan hanya jika u(x,y) dan v(x,y) masing-masing kontinu

di (x0, y0).

Latihan 5

1. Tentukan nilai fungsi dari :

a. f(z) = z2 – 2z + 1 ; di z = 1 + 2i

b. f(z) = (z+1)/(z-1) ; di z = -i

c. f(z) = z 2 – (Re(z))2 ; di z =3 + i

2. Jika z = x + iy, nyatakan fungsi berikut dalam bentuk u(x,y) + iv(x,y) dan u(r,) +

iv(r,).

a. f(z) = z2 + 3z

b. f(z) = iz + Im(1/z)


c. f(z) = 2 + i

3. Pada masing-masing soal berikut ada dua titik z dari suatu fungsi w = f(z).

a. z1 = -2i; z2 = 1 + i; w = z – 2i

b. z1 = 2 + 2i; z2 = 3i; w = iz

c. z1 = 1 + i; z2 = -4i; w = iz


Bab 7. Turunan

7.1 Turunan

Definisi 7.1

Jika f(z) bernilai tunggal dalam suatu daerah R di bidang z, maka turunan

fungsi f(z) didefinisikan sebagai

f’(z) =

Limith→0

f ( z+h )−f ( z )h (1)

nilai limitnya ada dan tunggal serta kontinu di h →0


Bab 8. Fungsi Analitik

8.1 Fungsi Analitik

Definisi 8.1

Jika turunan f’(z) ada di semua titik z dari suatu daerah R, maka f(z) dikatakan analitik

dalam R. Fungsi f(z) dikatakan analitik di suatu titik z0 jika terdapat suatu lingkungan

|z−z0|≺¿ ¿ sehingga f’(z) ada di setiap titik pada lingkungan tersebut

Contoh 1 :

f(z) analitik di z0 maka f(z) kontinu di z0 , dan berikan contoh kebalikannya tidak

selalu berlaku benar.

Jawab :

f(z) analitik di z0 maka berlaku :

f(z0 + h) – f(z0) =

f ( z0+h)−f ( z0 )h . h dimana h = x 0

Limith→0 f(z0 + h) – f(z0) =

Limith→0

f ( z0+h)−f ( z0 )h .

Limith→0 h = f’(z0).0 = 0

karena f’(z0) ada, maka berlaku :

Limith→0 f(z0 + h) – f(z0) = 0 atau

Limith→0 f(z0 + h) = f(z0).atau

f(z) kontinu di z0.


Sebaliknya :

f(z) = z kontinu di z0 berarti ;

ddz (f(z)) =

LimitΔz→0

z+Δz−zΔz =

lim itΔx , Δy→0

x+iy+Δx+Δiy−x+iyΔx+Δiy

=

lim itΔx , Δy→0

x−iy+Δx−Δiy−(x−iy)Δx+Δiy

=

lim itΔx , Δy→0

Δx−ΔiyΔx+Δiy

Jika Δy=0⇒ lim itΔx→0

ΔxΔx = 1

Jika Δx=0⇒lim itΔy→0

iΔyiΔy = -1

Akibatnya f(z) = z tidak analitik dimana-mana dan hal ini menunjukkan bahwa

fungsi yang kontinu tidak perlu memiliki turunan atau tidak perlu analitik.

8.2 Persamaan Cauchy Riemann

Syarat perlu agar w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu daerah R adalah

u dan v memenuhi persamaan Cauchy Riemann

∂u∂ x

=∂ v∂ y ;

∂u∂ y

=∂ v∂ x (2)

jika turunan parsial (2) kontinu dalam R, maka persamaan Cauchy Riemann

adalah syarat cukup agar f(z) analitik dalam R.


Fungsi u(x,y) dan v(x,y) seringkali dinamakan fungsi sekawan. Jika salah satu

dari f(u) atau f(v) diberikan maka kita dapat menentukan yang lainnya dalam

bentuk penjumlahan sebarang, sehingga bentuk u + iv = f(z) analitik.

Contoh 2

Diketahui w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y) analitik dalam suatu daerah R dan

persamaan Cauchy Riemann

∂u∂ x

=∂ v∂ y ;

∂u∂ y

=∂ v∂ x .. Tunjukan :

(a) syarat perlu, dan

(b) syarat cukup agar w analitik.

Jawaban :

(a) Syarat perlu agar f(z) analitik, maka limit

LimitΔz→0

f ( z+Δz )−f ( z )Δz

= f’(z) =

lim itΔx , Δy→0

[u( x+Δx , y+Δy )+iv( x+Δx , y+Δy )]− [u ( x , y )+iv (x , y )]Δx+Δy

harus ada dan tidak bergantung pada caranya Δz (atau Δx dan Δy )

mendekati nol. Kita memandang dua kemungkinan pendekatan

Kasus 1 : Δ y = 0, Δ x →0

lim itΔx→0

⟨[u( x+Δx , y )−u (x , y )]

Δx+ i [ v ( x+Δx , y )−v ( x , y )

Δx ]⟩ =

∂u∂ x

+i ∂ v∂ x

asalkan turunan parsialnya ada.


Kasus 2 : Δ x = 0, Δ y →0

lim itΔy→0

⟨[u( x , y+Δy)−u( x , y )]

iΔy+[ v ( x , y+Δy )−v ( x , y )

Δy ]⟩ =

1i∂u∂ y

+∂ v∂ y

= −i

∂udy

+ ∂ v∂ y

sekarang f(z) tidak mungkin analitik, kecuali dua limit ini sama. Jadi suatu

syarat perlu agar f(z) analitik adalah :

∂u∂ x

+i ∂ v∂ x =

−i∂udy

+ ∂ v∂ y atau

∂u∂ x

=∂ v∂ y ,

∂ vdx

=−∂ u∂ y

(b) Syarat cukup. Karena

∂u∂ x dan

∂u∂ y diandaikan kontinu, maka kita mempunyai

:

Δu = u(x +Δ x, y +Δ y) – u(x,y)

= {u(x +Δ x, y +Δ y) – u(x, y +Δ y) – u(x,y)}

= (∂ u∂ x

+ε1)Δ x + ( ∂u∂ y

+η1)Δ y

=

∂u∂ x Δ x +

∂u∂ y Δ y + ε 1Δ x + η1 Δ y

dimana ε 1→0 dan η1→0 untuk Δ x →0 dan Δ y →0

Dengan cara yang sama, karena

∂ v∂ x dan

∂v∂ y diandaikan kontinu, maka kita mempunyai :

Δv = (∂ v∂ x

+ε2)Δ x + ( ∂ v∂ y

+η2)Δ y


=

∂ v∂ x Δ x +

∂v∂ y Δ y + ε 2Δ x + η2 Δ y

dimana ε 2→0 dan η2→0 untuk Δ x →0 dan Δ y →0 maka :

Δw = Δu+Δv = ⟨ ∂u∂ x

+i ∂ v∂ x

⟩ Δx +

⟨ ∂ u∂ y

+i ∂ v∂ y

⟩Δy+ ε 2Δ x + η2 Δ y

dimana ε =ε 1+iε2→0 dan η=η1+iη2→0 untuk Δ x→0 dan Δ y→0

menurut persamaan Chauchy Riemann maka dapat ditulis sebagai :

Δw = ⟨ ∂u∂ x

+i ∂ v∂ x

⟩ Δx +

⟨−∂u∂ x

+i ∂ v∂ x

⟩ Δy+ ε Δ x + η Δ y

= ⟨ ∂u∂ x

+i ∂ v∂ x

⟩ (Δx + iΔy ) + ε Δ x + η Δ y

kemudian bagilah dengan Δ z = Δ x + iΔ y dan ambil limitnya untuk

Δx→0 , maka kita melihat bahwa :

∂w∂ z = f’(z) =

lim itΔx→0

ΔwΔx =

∂u∂ z

+i ∂ v∂ z sehingga turunannya ada dan tunggal,

yaitu f(z) analitik dalam R

Latihan 8

1. Tentukan turunan setiap fungsi berikut di titik yang diberikan dengan

menggunakan definisi :

a. f(z) = 3z2 + 4iz – 5 + i ; di z = 2


b. f(z) =

2 z−iz+2i ; z = -i

c. f(z) = 3z -2 ; z =1 + i

2. Untuk setiap fungsi berikut ini, tentukan titik singularnya yaitu titik dimana

fungsinya tidak analitik. Tentukan pula turunan di semua titik lainnya.

a.

zz+i b.

3 z−2

z2+2 z+5

3. Buktikan bahwa jika w = f(z) = u + iv analitik dalam suatu daerah R, maka

dwdz =

∂w∂ x = −i

∂w∂ y

4. Tunjukkan bahwa fungsi x2 + iy2 tidak analitik dimana-mana. Bandingkan hal ini

dengan kenyataan bahwa persamaan Chauchy Riemann dipenuhi di x=0, y = 0


Bab 9. Fungsi Harmonik dan Sekawan

Definisi

Jika f ( z )=U ( x , y )+ iV (x , y) sebuah fungsi analitik pada domain D, maka u(x , y) dan v (x , y ) akan memenuhi persamaan Laplace

∇u2=U xx+U yy=0∇v

2=V xx+V yy=0(∇ :∇)

Suatu fungsi 2 peubah (riil) yang memenuhi persamaan Laplace disebut fungsi Harmonik (→u,v : harmonic function)

u : fungsi sekawan harmonis v

v : fungsi sekawan harmonis u


Bab 10. Fungsi Eksponensial

Fungsi ini memiliki bentuk ez.

Untuk mengubah ezke dalam bentuk x+iy maka dapat dilakukan dengan cara memecah z dalam x+iy kemudian menggunakan rumus Euler untuk menyederhanakan bentuk e iy.

ez=ex+ iy=ex (cos y+i sin y )=e xcos y+i ex sin y

Bila dijumpai persamaan berbentuk ez 1=z2, untuk menentukan nilai z1 maka z2 dapat

diubah terlebih dahulu menjadi z1=r2 eiθ.

Dengan meng-ln-kan edua ruas didapatkan persamaan

z1=ln r2+iθ

Bentuk ini sudah sesuai dengan bentuk standarnya

Perioditas ez adalah 2πi, ini berarti

ez=ez+2πik untuk k=0,1,2,..

Daerah pokok adalah −π< y ≤π dan −∞<x<∞


Bab 11. Fungsi Logaritma

Logaritma asli dari z dinotasikan dengan lln z.

Nilai ln z yang terkait dengan nilai prinsipil argumen z dinotasikan dengan ln z.

Misal W=ln z dengan W=u+iv dengan z dituliskan sebagai r e iθ maka kita akan dapatkan

eW=z

eu+iv=r e iθ

Sehingga eu=r→u=lnr , v=θ

Jadi, W=ln z=ln r+i ¿¿


Bab 12. Fungsi Trigonometri

Fungsi Trigonometri dapat dinyatakan dalam bentuk:

cos z=12(e iz+e−iz)

sin z= 12i

(e iz−e−iz)

Dengan mengubah fungsi trigonometri dalam bentuk seperti diatas dan dengan

memanfaatkan fungsi-fungsi eksponen maka penyederhanaan dalam bentuk standar

bilangan kompleks dapat dilakukan.


DAFTAR PUSTAKA

1. Churchill, R. V. and Brown, J. W, 1995, Complex Variables and Aplikations, Sixth Edition,

McGraw-Hill, Inc, New York

2. John D Paliouras, 1987, Peubah Kompleks untuk Ilmuwan dan Insinyur, (alih bahasa

Wibisono Gunawan), Erlangga,Jakarta

3. Krevszig, Erwin, 2011, Advanced Engineering Mathematics, Tenth Edition, Willey, New

York

4. Spiegel, Murray R, 1994, Peubah kompleks (terjemahan), Erlangga, Jakarta.


kerangka buku daras matematika teknik ii

Documents