Θεωρητική Φυσική

Κεφάλαιο 6: Θεωρίες Βαθμίδας

Νικόλαος ΤράκαςΚαθηγητής

Σχολή Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και Φυσικών Επιστημών

Τομέας Φυσικής

Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο

΄Αδεια Χρήσης

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης

Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που

υπόκειται σε άδεια χρήσης άλλου τύπου, αυτή πρέπει να

αναφέρεται ρητώς.

Jewr�e Bajm�da Oi summetr�e pa�zoun prwtarqikì rìlo sth Fusik . Giapar�deigma, h analloi¸thta se genikoÔ metasqhmatismoÔ suntetagmènwn od ghse ton Einstein sthn diatÔpwsh th Jewr�a th Genik  Sqetikìthta . PisteÔoume ìti oiallhlepidr�sei sth fÔsh perigr�fontai apì Jewr�e Bajm�da .H diat rhsh megej¸n (ìpw fort�o, qr¸ma k.lp.) topik� (local)sundèontai �rrhkta me autè .H sqèsh summetr�a ↔nìmo diat rhsh èqei suzhthje� sthnLagkranzian  je¸rhsh. Oi exis¸sei Lagrange e�nai

d

dt

(∂L

∂q̇i

)

− ∂L

∂qi= 0

ìpou qi oi genikeumène suntetagmène kai q̇i = dqi/dt kai h260

sun�rthsh Lagrange L = T − V (= Kinht. En. − Dunam. En.).Phga�nonta apì ta qi sti φ(x, t), pa�rnoume

L(q, q̇, t)→ L(φ, ∂µφ, xµ)kai oi exis¸sei Lagrange g�nontai∂µ

(∂L

∂(∂µφ)

)

− ∂L∂φ

= 0

ìpou L h Lagkranzian  puknìthta kai L =∫L d3x. Ant� nagr�foume ti exis¸sei pou dièpoun ta ped�a ma , gr�foume thn

L. 'Etsi, gia par�deigma h

L =1

2(∂µφ)(∂µφ)− 1

2m2φ2

261

d�nei thn ex�swsh Klein-Gordon

∂µ∂µφ+m2φ = 0,   (�2 +m2)φ = 0'Askhsh 48 De�xte ìti h Lagkrantzian 

L =1

2(∂µφ)(∂µφ)− 1

2m2φ2 = 0odhge� sthn ex�swsh tou Klein-Gordon

∂µ∂µφ+m2φ = 0,   (�2 +m2)φ = 0Den up�rqei t�pota to magikì ed¸! H Lagkrantzian  epilèqthkeme autìn ton trìpo ¸ste na d�nei thn ex�swsh Klein-Gordon.H Lagkrantzian 

L = iψ̄γµ∂µψ −mψ̄ψ262

d�nei thn ex�swsh Dirac

(i∂µγµ −m)ψ = 0'Askhsh 49 De�xte ìti h Lagkrantzian 

L = iψ̄γµ∂µψ −mψ̄ψd�nei thn ex�swsh Dirac

(i∂µγµ −m)ψ = 0Ep�sh , h Lagkrantzian 

L = −1

4F µνFµν − jµAµ, F µν = ∂µAν − ∂νAµ

d�nei ti exis¸sei tou Maxwell

∂µFµν = jν263

An gr�youme thn Lagkrantzian 

L = −1

4F µνFµν − jµAµ +

1

2m2AµA

µ

ja p�roume thn ex�swsh tou fwton�ou ��me m�za��

(�2 +m2)Aµ = jµPoia e�nai h sqèsh an�mesa sthn Lagkrantzian  prosèggish kaith diataraktik  mejìdou me ta diagr�mmata Feynman? Se k�jeLagkrantzian  antistoiqoÔn orismènoi kanìne Feynman. Aut h antistoiq�a g�netai w ex  :1. Se k�je ìro th Lagkrantzian  antistoiqoÔme diadìte kaisuntelestè koruf  .2. Oi diadìte proèrqontai apì tou tetragwnikoÔ ìrou th Lagkrantzian  (p.q. φ2, ψ̄ψ, (1/2)(∂µφ)2, ψ̄(iγµ∂µψ).264

3. Oi �lloi ìroi th Lagkrantzian  antistoiq�zontai sti korufè allhlep�drash . O suntelest  th koruf  e�nai osuntelest  tou ant�stoiqou ìrou th Lagkrantzian  .AkoloujoÔme ton klasikì trìpo prosèggish . H klasik Lagkrantzian  kbant�zetai. Ta ped�a g�nontai telestè dhmiourg�a kai katastrof  . Oi allhlepidr�sei upolog�zontaimèsw th jewr�a diataraq¸n. To apotèlesma aut  th diadikas�a metafr�zetai se èna sÔnolo kanìnwn Feynman.Mèsw aut¸n mporoÔme na elègqoume ti fusikè diergas�e pouperigr�fei mia Lagkrantzian . Ed¸ den ja akolouj soume ton��kanonikì formalismì��. Ja akolouj soume thn pepo�jhsh ìtita ��diagr�mmata Feynman perigr�foun poll� perissìtera apìì,ti èna aplì formalismì �� (t’Hooft kai Veltman).265

Je¸rhma Noether. Summetr�e kai nìmoi diat rhsh Gnwr�zoume ìti h analloi¸thta se qwrik  met�jesh odhge� sthdiat rhsh orm  , h analloi¸thta se strofè odhge� sthdiat rhsh th stroform  kai h analloi¸thta se met�jesh stoqrìno odhge� sth diat rhsh th enèrgeia . Ed¸, jaendiaferjoÔme gia eswterikè summetr�e . Metasqhmatismo� poumetat�jentai me thn qwroqronik  ex�rthsh th kumatosun�rthsh . Gia par�deigma, h Lagkrantzian  pouperigr�fei to hlektrìnioL = iψ̄γµ∂µψ −mψ̄ψparamènei anallo�wth ston metasqhmatismìψ(x)→ eiαψ(x)266

Pr�gmati, polÔ eÔkola fa�netai ìti

ψ̄(x)→ e−iαψ̄(x), ∂µψ → eiα∂µψ(x)Oi oikogèneia twn metasqhmatism¸n f�sh U(a) = eiα apotele�thn monoparametrik  abelian  om�da pou sumbol�zetai me U(1).O ìro Abelian  anafèretai sthn antimetajetikìthta

U(α1)U(α2) = U(α2)U(α1)En¸ autì o metasqhmatismì fant�zei aploðkì , èqei ter�stiashmas�a. H analloi¸thta k�tw apì metasqhmatismoÔ U(1),odhge� sthn diat rhsh tou reÔmato . A p�roume apeirostìmetasqhmatismì

U(α) = 1 + iα, ψ → (1 + iα)ψ267

Analloi¸thta shma�nei δL = 0. Opìte

δL =∂L∂ψ

δψ +∂L

∂(∂µψ)δ(∂µψ) + δψ̄

∂L∂ψ̄

+ δ(∂µψ̄)∂L

∂(∂µψ̄)=

=∂L∂ψ

(iαψ) +∂L

∂(∂µψ)(iα∂µψ) + (−iα)ψ̄

∂L∂ψ̄

+ (−iα∂µψ̄)∂L

∂(∂µψ̄)=

=∂L∂ψ

(iαψ)−[

∂µ

(∂L

∂(∂µψ)

)]

iαψ + ∂µ

[∂L

∂(∂µψ)ψ

]

iα−

− iαψ̄ ∂L∂ψ̄

+ iαψ̄

[

∂µ

(∂L

∂(∂µψ̄)

)]

− iα∂µ

[

ψ̄∂L

∂(∂µψ̄)

]

=

= iα

[∂L∂ψ− ∂µ

∂L∂(∂µψ)

]

ψ + ∂µ

[∂L

∂(∂µψ)ψ

]

iα−

− iαψ̄[∂L∂ψ̄− ∂µ

∂L∂(∂µψ̄)

]

− iα∂µ

[

ψ̄∂L

∂(∂µψ̄)

]

=

268

= (iα)∂µ

[∂L

∂(∂µψ)ψ − ψ̄ ∂L

∂(∂µψ̄)

]Epomènw , h apa�thsh δL = 0 odhge� sth sqèsh

∂µjµ = 0ìpou to reÔma

jµ =ie

2

(∂L

∂(∂µψ)ψ − ψ̄ ∂L

∂(∂µψ̄)

)

H stajer� eklègetai kat�llhla ¸ste to reÔma na sump�ptei methn hlektromagnhtik  puknìthta reÔmato gia to hlektrìnio mefort�o −e. 'Amesa èpetai ìti to fort�oQ =

∫

d3x j0

269

e�nai mia diathr simh posìthta lìgw th analloi¸thta f�sh

U(1)

dQ

dt=

∫

d3x ∂0j0 =

∫

d3x (∂µjµ −∇j) = −

∫

d3x∇j = 0ìpou h diat rhsh tou reÔmato d�nei ∂µjµ = 0, en¸ to teleuta�oolokl rwma mhden�zetai, metatrèponta to se epifaneiakìolokl rwma tou reÔmato kai jewr¸nta ìti to reÔmamhden�zetai phga�nonta thn epif�neia sto �peiro.Gia thn Lagkrantzian  enì migadikoÔ bajmwtoÔ ped�ou

L = (∂µφ∗)(∂µφ)−m2φφ∗

me mia diadikas�a tele�w an�logh me aut  pou k�name gia to270

ped�o Dirac, to diathrhsimo reÔma, lìgw th analloi¸thta se

U(1), e�naijµ = (iα)

[∂L

∂(∂µφ)φ− ∂L

∂(∂µφ∗)φ∗]

pou d�neijµ = −ie (φ∗∂µφ− φ∂µφ∗)Prosèxte ìti h Lagkrantzian  gia to migadikì bajmwtì ped�o

φ = (φ1 + iφ2)/√

2, gr�fetaiL(φ) = L(φ1) + L(φ2)me L(φi) h Lagkrantzian  tou pragmatikoÔ bajmwtoÔ ped�ou.O metasqhmatismì ψ → eiαψ shma�nei ìti to α DEN e�naimetr simo, DEN èqei fusik  shmas�a kai h tim  tou mpore� nadialeqte� auja�reta, fusik� thn �dia gia ìla ta shme�a tou271

qwroqrìnou. Mil�me gia mia ��olik  bajm�da�� (global gauge).Topik  U(1) summetr�a bajm�da kai KHDAnag�goume thn f�sh α se sun�rthsh tou x. Opìte èqoume tonlegìmeno ��topikì metasqhmatismì bajm�da ��

ψ(x)→ eiα(x)ψ kai ψ̄(x)→ e−iα(x)ψ̄Autì o metasqhmatismì DEN af nei anallo�wth thnLagkrantzian L = iψ̄γµ∂µψ −mψ̄ψPr�gmati, o deÔtero ìro paramènei anallo�wto all� o pr¸to ìqi, mia kai

∂µψ → eiα(x)∂µψ + ieiα(x)ψ∂µα(x)An epimènoume na zht�me thn analloi¸thta th Lagkrantzian  272

k�tw apì topikoÔ metasqhmatismoÔ bajm�da , ja prèpei nabroÔme mia ��kat�llhlh�� (sunallo�wth) par�gwgo pou nametasqhmat�zetaiDµψ → eiα(x)DµψGia na to epitÔqoume autì eis�goume èna nèo ped�o Aµ kaior�zoume

Dµ = ∂µ − ieAµapait¸nta to nèo ped�o na metasqhmat�zetai w Aµ → Aµ +

1

e∂µα(x)

273

Tìte blèpoume ìtiDµψ = (∂µ − ieAµ)ψ →eiα(x)∂µψ + ieiα(x)ψ∂µα(x)

− (ie)eiα(x)Aµψ − ie1

eeiα(x)ψ∂µα(x) =

= eiα(x) (∂µ − ieAµ)ψ = eiα(x)DµψOpìte, h nèa anallo�wth Lagkrantzian  gr�fetai

L = iψ̄Dµγµψ −mψ̄ψ = iψ̄∂µγ

µψ −mψ̄ψ + eψ̄γµAµψUpoqrewj kame loipìn sthn eisagwg  tou ped�ou bajm�da

Aµ, pou allhlepidr� me to ψ ìpw akrib¸ to fwtìnio. An to

Aµ e�nai fusikì ped�o, qrei�zetai kai kinhtikì ìro. O ìro autì e�nai (1/4)F µνFµν , pou e�nai anallo�wto k�tw apì tonmetasqhmatismì tou Aµ. 'Etsi, katal goume sthn Lagkrantzian 274

th Kbantik  Hlektrodunamik  (KHD)

L = iψ̄∂µγµψ −mψ̄ψ + eψ̄γµAµψ −

1

4F µνFµνParous�a m�za gia to Aµ antistoiqe� ston ìro M 2AµAµ pouìmw den paramènei anallo�wto ston metasqhmatismì tou Aµ.To fwtìnio den mpore� na èqei m�za.Perimèname thn emf�nish enì nèou ped�ou. An all�xoume thf�sh (α(x)) topik�, ja dhmiourgoÔse mia metr simh diafor�f�sh , an den mporoÔse na antistajmiste�. To endiafèron e�naiìti autì to antist�jmisma g�netai apì to Aµ. Perimènoume ep�sh to ped�o autì na èqei �peirh akt�na dr�sh (to fwtìnio �mazo),mia kai to antist�jmisma prèpei na g�nei se ìla ta shme�a touqwroqrìnou. 275

Sumperasmatik�, apait¸nta analloi¸thta se topik  allag f�sh th eleÔjerh Lagkrantzian  , odhgoÔmaste se miajewr�a me allhlepidr�sei , thn KHD. Autì pou f�ntaze san miaparaxeni� th jewr�a tou Maxwell, g�netai t¸ra shmantikìstoiqe�o.Mh abelianè jewr�e bajm�da kai Kbantik  Qrwmodunamik H Kbantik  Qrwmodunamik  bas�zetai sthn om�da SU(3). HeleÔjerh Lagkrantzian  e�naiL = q̄j (iγµ∂µ −m) qj = 0, ìpou j = 1, 2, 3, ta tr�a qr¸mataJa sugkentrwjoÔme pro stgm  se mia ��geÔsh�� kouark.

276

O metasqhmatismì tou ped�ou q(x) e�nai t¸ra

q(x)→ Uq(x) = eiαj(x)Tjq(x)ìpou U e�nai èna monadiakì (unitary) 3× 3 p�naka . Oi p�nake

Tj e�nai oi 8 gen tore th SU(3) (j = 1, 2, ..., 8) kai αj oipar�metroi tou metasqhmatismoÔ.'Askhsh 50 Gia monadiakì metasqhmatismì (U †U = 1), isqÔeiìti detU = eiφ me φ ∈ R. An perioristoÔme stou monadiakoÔ p�nake me detU = +1 (eidikoÔ monadiakoÔ , special unitary),tìte Tr(Tj) = 0, kai αiTj = α∗jT

†j .H om�da SU(3) den e�nai abelian 

[Ti, Tj] = ifijkTk277

ìpou fijk e�nai oi stajerè dom  (structure constants) th om�da . Oi stajerè autè e�nai pragmatikè kai pl rw antisummetrikè stou de�kte i, j, k.'Askhsh 51 De�xte ìti oi stajerè autè e�nai pl rw antisummetrikè stou de�kte i, j, k.Jewr¸nta apeirostoÔ metasqhmatismoÔ , pa�rnoume

q(x)→ (1 + iαj(x)Tj) q(x)

∂µq(x)→ (1 + iαj(x)Tj) ∂µq(x) + iTjq(x)∂µαjAkolouj¸nta thn �dia diadikas�a ìpw sthn KHD, jaeis�goume 8 nèa ped�a Gµj pou metasqhmat�zontaiGµ

j → Gµj −

1

g∂µαj

278

kai ja eis�goume thn sunallo�wth par�gwgo

Dµ = ∂µ + igTjGµjOpìte, h Lagkrantzian  g�netai

L = q̄(iγµ∂µ −m)q − g(q̄γµTjq)GµjA doÔme p¸ metasqhmat�zetai k�je ìro

mq̄q → mq̄ (1− iαj(x)Tj) (1 + iαi(x)Ti) q = mq̄q +O(α2)

iq̄γµ∂µq → iq̄ (1− iαi(x)Ti) γµ∂µ (1 + iαj(x)Tj) q =

= −iq̄γµ∂µq + q̄γµTjq∂µαj(x) +O(α2)

279

−gq̄γµTjqGµj → −gq̄ (1− iαi(x)Ti) γµTj (1 + iαm(x)Tm) q·

· (Gµj −

1

g∂µαj) =

= −gq̄γµTjqGµj − igαmq̄γµ[Tj, Tm]qGµ

j−

− g 1

gq̄γµTjq∂

µαj(x) +O(α2) =

= −gq̄γµTjqGµj + gαmq̄γµfjmrTrqG

µj−

− q̄γµTjq∂µαj(x) +O(α2)Blèpoume ìti ma mènei o ìro gαmq̄γµfjmrTrqGµj pou qal�ei thnanalloi¸thta. All�, an anabajm�soume to metasqhmatismì touped�ou bajm�da

Gµj → Gµ

j −1

g∂µαj − fjmsαmG

µs280

ston metasqhmatismì tou ìrou −gq̄γµTjqGµj ja emfaniste� oepiplèon ìro

gαmq̄γµfjmsTjqGµsK�nonta thn allag  stou ��tufloÔ �� de�kte j → r kai s→ j,pa�rnoume

gαmq̄γµfrmjTrqGµj = −gαmq̄γµfjmrTrqG

µjìpou qrhsimopoi same ìti frmj = −fjmr. Opìte, blèpoume ìti oìro pou qaloÔse thn analloi¸thta exale�fetai. Bèbaia, sthnLagkrantzian 

L = q̄(iγµ∂µ −m)q − g(q̄γµTjq)Gµjja prèpei na prosjèsoume ton kinhtikì ìro tou ped�ou bajm�da ,281

ton ant�stoiqo tou −(1/4)F µνFµν . 'Etsi èqoume

L = q̄(iγµ∂µ −m)q − g(q̄γµTjq)Gµj −

1

4Gµν

j Gµνjìpou ìmw , o anabajmismèno metasqhmatismì tou ped�oubajm�da ma upoqre¸nei na or�soume

Gµνj = ∂µGν

j − ∂νGµj − gfjrsG

µrG

νsH parap�nw Lagkrantzian  perigr�gei ��ègqrwma�� kou�rk kaigklouìnia kai e�nai anallo�wth se metasqhmatismoÔ th om�da

SU(3). Ta gklouìnia e�nai kai p�li �maza. Qrhsimopoi¸nta thnsunallo�wth par�gwgo mporoÔme na gr�youmeL = q̄(iγµDµ −m)q − 1

4Gµν

j Gµνj282

Poio e�nai to kainoÔrgio stoiqe�o me ta gklouìnia? O kinhtikì ìro perièqei ìro auto-allhlep�drash metaxÔ twn gklouon�wn:

gGGG kai g2GGGG.283

Mh abelianè jewr�e - Yang-Mills jewr�e H mikr  akt�na dr�sh twn asjen¸n allhlepidr�sewn ma odhge�sto sumpèrasma ìti ta swmat�dia upeÔjuna gia aut n thnallhlep�drash (ta ant�stoiqa swmat�dia bajm�da ) prèpei naèqoun m�za, pr�gma pou den epitrèpetai sti jewr�e bajm�da (J.B.). Opìte, h eisagwg  twn J.B.  tan apì omorfi� mìno?MporoÔme na agno soume ti J.B. kai na b�loume ìro m�za , giap.q. M 2W µWµ, sthn Lagkrantzian ? An to efarmìsoume, jasunant soume apeir�e stou upologismoÔ ma pou denmporoÔme oÔte na ��di¸xoume�� oÔte na ��krÔyoume��.Sto parak�tw di�gramma ��enì brìqou��, an ta swmat�dia me thnkumatist  gramm  e�nai fwtìnia, k�je diadìth tou fwton�ousuneisfèrei ìro ∼ 1/q2 en¸ k�je diadìth tou hlektron�ousuneisfèrei ìro ∼ 1/q, ìpou q e�nai h orm  sto brìqo pou e�nai284

eleÔjerh (met� thn diat rhsh th orm  se k�je koruf ), opìtekai ja prèpei na oloklhr¸soume thn orm  aut : ∫ d4q∫

d4q1

q2

1

q2

1

q/+m

1

q/+m

Gia meg�la q to olokl rwma den parousi�zei kanèna prìblhma.An ìmw ant� fwtìnia èqoume swmat�dia me m�za, o diadìth e�nai

−gµν + qµqν

M2

q2 −M 2

q→∞−→ qµqνM 2q2285

opìte, to di�gramma ja d�nei

∫

d4q1

q/+m

1

q/+m

qµqνM 2q2

qρqσM 2q2To olokl rwma ìmw t¸ra apokl�nei gia meg�la q. Bèbaia, jamporoÔsame na b�loume èna p�nw ìrio sto olokl rwma, w miapar�metro pou ja ma d¸sei to pe�rama. All�, phga�nonta sediagr�mmata me perissìterou brìqou , oi apeir�e qeirotereÔounkai qreiazìmaste ìlo kai kainoÔrgie paramètrou . Mia tètoiajewr�a onom�zetai mh ��anakanonikopoi simh�� kai den mpore� naèqei probleyimìthta.

286

Krummènh summetr�a - Aujìrmhth parab�ash th summetr�a A jewr soume thn Lagkrantzian 

L = T − V =1

2(∂µφ)(∂µφ)−

(1

2µ2φ2 +

1

4λφ4

)

h opo�a èqei mia summetr�a φ→ −φ. To λ ja prèpei na e�naijetikì gia na mporoÔme ne èqoume el�qisto. Gia µ2 > 0, hLagkrantzian  perigr�fei èna bajmwtì swmat�dio me m�za µ kaiautoallhlepidr�sei . H kat�stash qamhl¸terh enèrgeia (ground state) e�nai φ = 0 kai h kat�stash aut  upakoÔei thsummetr�a φ→ −φ. Gia µ2 < 0, ìmw , blèpoume ìti φ = 0 dene�nai olikì el�qisto.287

Pr�gmati∂V

∂φ= φ(µ2 + λφ2) = 0→ φ = ±

√

−µ2

λ≡ ±v

Efarmìzoume jewr�a diataraq¸n gÔrw apì èna apì ta el�qista,epilègonta to φ = +v

φ(x) = v + η(x)ìpou η(x) perigr�fei ti kbantikè diataraqè gÔrw apì to288

el�qisto. H Lagkrantzian  g�netai

L′ =1

2(∂µη)(∂

µη)− λv2η2 − λvη3 − 1

4λη4 + stajer�O deÔtero ìro ma de�qnei ìti to η èqei m�za

mη =√

2λv2 =√

−2µ2

All�, h L kai h L′ e�nai isodÔname . 'Ena metasqhmatismì denmpore� na all�xei th fusik  pou perigr�fei h Lagkrantzian . AnmporoÔsame na ��lÔsoume�� pl rw thn L kai h L′ ja br�skame ta�dia apotelèsmata. All�, sth jewr�a diataraq¸n upolog�zoumediataraqè gÔrw apì èna el�qisto. Me thn L, h seir� th jewr�a diataraq¸n den ja sunèkline giat� ja anaptÔsame gÔrwapì èna astajè el�qisto, φ = 0.289

Aujìrmhth parab�ash olik  jewr�a bajm�da H Lagkrantzian  gia migadikì ped�o φ = (φ1 + iφ2)/√

2 e�nai

L =1

2(∂µφ

∗)(∂µφ)−(µ2φ∗φ+ λ(φ∗φ)2

)=

= (∂φ1)2 + (∂φ2)

2 − 1

2µ2(φ2

1 + φ22)−

1

4λ(φ2

1 + φ22)

2

Gia λ > 0 kai µ2 < 0, sto q¸ro twn (φ1, φ2) up�rqei miaperifèreia φ21 + φ2

2 = −µ2/λ ≡ v2 pou h dunamik  enèrgeia e�naiel�qisth. S' aut n thn perifèreia, epilègoume èna shme�o

φ1 = v, kai φ2 = 0kai gr�foume to φ(x)

φ(x) =

√

1

2[v + η(x) + iξ(x)]290

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

-0.2

0.0

0.2

ìpou η e�nai h ��aktinik �' diataraq  kai ξ h diataraq  sthnkateÔjunsh th perifèreia tou el�qistou, gÔrw apì toel�qisto pou dialèxame. H Lagkrantzian  gr�fetai

L′ =1

2(∂µξ)

2+1

2(∂µη)

2+µ2η2+stajerè +(kubiko� ìroi se η kai ξ)

blèpoume p�li to ped�o η na èqei m�za mη =√

−2µ2, all� to291

ped�o ξ e�nai �mazo. E�nai to legìmeno ��mpozìnio�� Goldstone.Epomènw , prospaj¸nta na parabi�soume th summetr�a,epilègonta to sugkekrimèno el�qisto, d¸same m�za se ènaswmat�dio all� ma mènei kai èna �mazo. To teleuta�o toperimèname. To ξ e�nai sthn dieÔjunsh th perifèreia touel�qistou. S' aut  th dieÔjunsh den up�rqei el�qisto.To par�deigm� ma e�nai mia efarmog  tou Jewr mato

Goldstone, pou anafèrei ìti ìpote parabi�zoume aujìrmhta miaolik  summetr�a, emfan�zontai �maza bajmwt� ped�a.Epomènw , ti mpore� na g�nei me thn asjen  allhlep�drash, pouta swmat�dia bajm�da W kai Z èqoun m�za qwr� thn emf�nish�mazwn swmatid�wn?Mhqanismì HiggsPhga�noume t¸ra se mia Lagkrantzian  pou upakoÔei mia topik 292

summetr�a bajm�da , φ(x)→ exp[iα(x)]φ(x), kai fusik�qreiazìmaste thn sunallo�wto par�gwgo Dµ = ∂µ − ieAµ me

Aµ → Aµ + (1/e)∂µα(x). H Lagkrantzian  g�netai

L = (∂µ + ieAµ)φ∗(∂µ − ieAµ)φ− µ2φ∗φ− λ(φ∗φ)2 − 1

4FµνF

µν

Gia µ2 > 0, an exairèsoume to ìro (φ∗φ)2, èqoume thn legìmenh��bajmwt �� Kbantik  Hlektrodunamik . Gia µ2 < 0 ja èqoumeaujìrmhth parab�ash th summetr�a . K�nonta ta �dia ìpw kaisthn per�ptwsh th olik  summetr�a , ja p�roume

L′ =1

2(∂µη)

2 +1

2(∂µξ)

2 − λv2η2 +1

2e2v2AµA

µ − evAµ∂µξ−

− 1

4FµνF

µν + (ìroi allhlepidr�sewn)293

Blèpoume, loipìn, ìti

mξ = 0, mη =√

2λv2, mA = evall� up�rqei kai èna ��par�xeno �� ìro , mh diag¸nio :

−evAµ∂µξ. O lìgo e�nai ìti to Aµ, afoÔ p re m�za, apèkthse(apì 2) 3 bajmoÔ eleujer�a . H L′ den e�nai ��kal��� grammènhkai mperdeÔei ti anex�rthte katast�sei twn ped�wn. Kat'arq , autì den e�nai kakì, arke� na mporoÔme na diakr�noume poie e�nai oi fusikè katast�sei .MporoÔme na broÔme k�poio sugkekrimènh bajm�da, pou na ma de�qnei ekpefrasmèna autè ti fusikè katast�sei ?Parathr ste ìti

φ =

√

1

2(v + η + iξ) ≃

√

1

2(v + η)eiξ/v

294

Epomènw , sthn arqik  Lagkrantzian  epilègoume na k�noumeton metasqhmatismì bajm�da

φ(x)→√

1

2(v + h(x))eiθ(x)/v

Aµ → Aµ +1

ev∂µθ(x)Epilègonta aut n thn bajm�da, perimènoume thn anexarths�a apìto θ, mia kai e�nai h f�sh. Pr�gmati, h nèa Lagkrantzian gr�fetai

L′′ =1

2(∂µh)

2 − λv2h2 +1

2e2v2AµA

µ − λvh3 − 1

4λh4+

+1

2e2h2AµA

µ + ve2hAµAµ − 1

4FµνF

µν

To mpozìnio Goldstone den emfan�zetai pia. O bajmì eleujer�a 295

tou e�nai ��plastì �� giat� antistoiqe� sthn eleujer�a toumetasqhmatistoÔ bajm�da . Autì o bajmì eleujer�a dìjhkesto Aµ pou t¸ra èqei m�za kai èqei 3 bajmoÔ eleujer�a . Autì e�nai ��o mhqanismì Higgs��.Aujìrmhth parab�ash th summetr�a SU(2)A p�roume thn Lagkrantzian L = (∂µφ)†(∂µφ)− µ2φ†φ− λ(φ†φ)2

me

φ =

φα

φβ

=1√2

φ1 + iφ2

φ3 + iφ4

Apait¸nta analloi¸thta se metasqhmatismoÔ bajm�da th 296

SU(2)

φ→ φ′ = eiαj(x)τj/2φ, ìpou τj oi p�nake tou Paulija eis�goume thn sunallo�wth par�gwgo

Dµ = ∂µ + igτj2W µ

jGia apeirostoÔ metasqhmatismoÔ φ→ (1 + iα(x) · τ/2)φ

W µ →W µ −1

g∂µα−α×W µ(jumhje�te ìti gia thn SU(2) oi stajerè dom  th om�da

297

fijk = ǫijk). Opìte, h Lagkrantzian  g�netai

L =(

∂µφ+ igτ

2W µφ

)† (∂µφ+ ig

τ

2W µφ

)

−V (φ)− 1

4W µνW µνme

W µν = ∂µW ν − ∂νW µ − gW µ ×W ν

V = µ2φ†φ+ λ(φ†φ)2

Gia λ > 0 kai µ2 < 0, to el�qisto tou dunamikoÔ epitugq�netaiìtan

φ†φ = (φ21 + φ2

2 + φ23 + φ2

4) = −µ2

λEpilègoume

φ21 = φ2

2 = φ24 = 0, φ2

3 = −µ2

λ≡ v2

298

AnaptÔssonta gÔrw apì to el�qisto

φ0 =1√2

0

v

kai epilègonta th bajm�daφ(x) = eiτ·θ(x)/2

0

v+h(x)√2

299

gia apeirostoÔ metasqhmatismoÔ pèrnoume

φ(x) =1√2

1 + iθ3/v i(θ1 − iθ2)/v

i(θ1 + iθ2)/v 1− iθ3/v

0

v + h

=

=1√2

θ1 + iθ2

v − h− iθ3

ant�stoiqa me autì pou k�name sthn prhgoÔmenh per�ptwsh.

Sthn L′, ta θ1, θ2 kai θ3 ��exafan�zontai�� kai mènei mìno to h. Tatr�a θ èdwsan to bajmì eleujer�a tou sta W1, W2 kai W3, pouapèkthsan m�za.Poia e�nai h m�za twn W ? Autì ja to broÔme apì to300

tetragwnikì ìro w pro ta W∣∣∣∣ig

1

2τ ·W µφ

∣∣∣∣

2

=g2

4

∣∣∣∣∣∣

W µ

3 W µ1 − iW µ

2

W µ1 + iW µ

2 −W µ3

φ0

∣∣∣∣∣∣

2

=

=g2v2

8

[(W µ

1 )2 + (W µ2 )2 + (W µ

3 )2]

kai h m�za e�nai

M =1

2gvkatal goume, loipìn, me 3 W me m�za M kai èna bajmwtì h mem�za √−2µ2 =

√2λv2.

301

Χρηματοδότηση

Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του

εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά

Μαθήματα» του ΕΜΠ έχει χρηματοδοτήσει μόνο την αναδιαμόρφωση του

υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού

Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και

συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή ΄Ενωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό

Ταμείο) και από εθνικούς πόρους.