kef6 synartiseis

Άλγεβρα α΄ λυκείου

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

87

Γιάννης Τάτσης – Μαθηματικός

ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΓΙΑ ΝΑ ΒΡΙΣΚΟΥΜΕ

ΤΟ ΠΕΔΙΟ ΟΡΙΣΜΟΥ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

Για να ορισθεί μια συνάρτηση πρέπει να δοθούν δύο στοιχεία:

Το πεδίο ορισμού της Α και

Η τιμή της f(x) για κάθε x Α .

Ορισμένες φορές μας δίνουν μόνο τον τύπο με τον οποίο εκφράζεται το f(x).

Σε μια τέτοια περίπτωση θα θεωρούμε ότι το πεδίο ορισμού είναι το «ευρύτερο»

υποσύνολο του R στο οποίο το f(x) έχει νόημα αριθμού.

Θα προσπαθήσουμε εδώ να κατατάξουμε τις συναρτήσεις σε κατηγορίες και να

δούμε τον τρόπο με τον οποίο μπορούμε να βρίσκουμε το πεδίο ορισμού.

1. Αν η συνάρτηση είναι ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΗ τότε το πεδίο ορισμού είναι το R

διότι για κάθε x R η f(x) δίνει πραγματικό αριθμό.

Οι συναρτήσεις 3 2 5 33 6f x 3x 8x 6x 2, g x x 8x x 2

2 5 έχουν

πεδίο ορισμού το R.

2. Αν η συνάρτηση είναι ΡΗΤΗ τότε το πεδίο ορισμού είναι το R με εξαίρεση

εκείνες τις τιμές που μηδενίζουν τον παρονομαστή.

Για την 2

3xf x

x 4

πρέπει το 2 2x 4 0 x 4 x 2 , άρα το πεδίο

ορισμού της είναι: R 2, 2 .

3. Αν η συνάρτηση έχει τύπο vf x g x ( v N , g(x) ακέραιο πολυώνυμο

του x). Τότε το πεδίο ορισμού είναι το διάστημα ή τα διαστήματα για κάθε

στοιχείο των οποίων g x 0 .

Για την 2 2f x x 4x 3 2 x 6x 8 πρέπει

(α) 12

1, 2

2

x 34 2x 4x 3 0, Δ 4, x , , x , 1 3,

x 12

,

(β) 12

1, 2

2

x 46 2x 6x 8 0, Δ 4, x , , x 2, 4

x 22

από (α) και (β)

Άρα το πεδίο ορισμού της είναι: 3, 4 .

4. Μπορεί ο τύπος μιας συνάρτησης να περιέχει δύο ή περισσότερες από τις

προηγούμενες μορφές. Στην περίπτωση αυτή εργαζόμαστε χωριστά για

κάθε μορφή και βρίσκουμε την τομή των διαστημάτων.

88 ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ


Ασκήσεις

«Σωστό – Λάθος»

1. Μια συνάρτηση f : Α Β, Α R και Β R λέγεται

πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής. Σ Λ

2. Το σχήμα παριστάνει

συνάρτηση.

Σ Λ

3. Ο τύπος 2f x 1 4x ορίζει συνάρτηση. Σ Λ

4. Το πεδίο ορισμού της 2

xf x

x x

είναι το R. Σ Λ

5. Αν 2f x x 4x 7 τότε 2f 3x 9x 12x 7 . Σ Λ

6. Το σύνολο τιμών της x 3

f x , x 3x 3

είναι { – 1, 1} Σ Λ

Ανάπτυξης

1. Αν

x 2, x 0

f x x 1 , 0 x 4

3 , x 4

, να βρεθούν οι τιμές: f(3), f(0), f( – 1), f(5),

f( – 2), f(1/2), f(1).

2. Αν f x 2x 1, x R να συμπληρώσετε της ισότητες:

α) f (– 3) = ..... β) f (α) = ..... , αR γ) f (3x) = ..... δ) f (x2)= .....

3. Αν

2x , x 2

f x 4 , 2 x 1

3 x , x 1

, να συμπληρώσετε της ισότητες:

α) f(– 3) = ….. , β) f( – 2) = ….. , γ) f(0) = ….. , δ) f(1) = ….. .

4. Δίνεται η συνάρτηση: 2

3

α x 1 , 2 x 0f x

α x β , 0 x 1

.

i. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της.

ii. Να βρείτε τα α και β ώστε f(– 1) = 2 και f(1) = 3.

5. Δίνεται η συνάρτηση: α x β , x 1

f x 2α β, x 1

x 1

. Να βρείτε τα α και β ώστε

f(0) = f(2) = 4.



89


6. Δίνεται η συνάρτηση: x 5 , x 2

f x 1, x 2

x

. Να λυθεί η εξίσωση:

λ x f 4 λf 0 .

7. Να βρεθεί το πεδίο ορισμού των παρακάτω συναρτήσεων:

α) 2

2x 1f x

x 1

β)

1f x

x x 1

γ) 3f x x x

δ) x 1

f xx x 1

ε)

xf x

1 x

ς)

1f x

ημx 1

ζ) 2 2f x 5 x 4x 3 2 x 6x 8 .


α) g x x 2 β) h x 2 x γ) 2

3x 1t x

x 2

δ)

2x 2x 5k x

1 x 2x 3

ε) 2

2s x

5x x 4

ς) 2

x 1φ x

x x 1

ζ) 2

1ρ x

x x 2

.


α) 2

2x 1 1g x

x x x 2

β) 2 1

h x 2 xx 1

γ) 3x 1

t xx 2x 1

δ) 1

k xx 1 3

ε) 1 1

p xx 1 2 x

.

10. Δίνεται η συνάρτηση f(x)=x3 – 2x . Να λύσετε :

α) Την εξίσωση f(x) = 0.

β) Την εξίσωση f(x – 1) – f(x) = 1

γ) Την ανίσωση f(2x) – 8f(x) < x2.

11. Δίνεται η συνάρτηση f(x) = x2 – 2x + 5.

α) Να εξετάσετε αν το – 1 ανήκει στο σύνολο τιμών της f.

β) Να βρείτε το σύνολο τιμών της f.

12. Έστω f :R R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x + y) = f(x) + f(y), για

κάθε x, y R . Να αποδείξετε ότι: α) f(0) = 0

β) f(x) + f(– x) = 0, για κάθε x R .



13. Έστω f :R R μια συνάρτηση για την οποία ισχύει f(x y) = f(x) + f(y), για

κάθε x, y R . Να αποδείξετε ότι: α) f(1) = 0

β) 1

f f xx

, για κάθε x 0.

14. Δίνεται η συνάρτηση f :R R για την οποία ισχύει:

f x 2 3f 2 2 x 3 για κάθε x R . Να βρείτε:

α) Την τιμή f(2) β) Τον τύπο f(x) της συνάρτησης.



91


ΚΑΡΤΕΣΙΑΝΕΣ ΣΥΝΤΕΤΑΓΜΕΝΕΣ

Ένα ζεύγος δυο κάθετων αξόνων x΄x και y΄y, με κοινή αρχή Ο, το ονομάζουμε

καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων και το συμβολίζουμε Oxy, ενώ το

επίπεδο στο οποίο ορίστηκε αυτό το σύστημα το ονομάζουμε καρτεσιανό

επίπεδο.

Στην περίπτωση που οι μονάδες των αξόνων x΄x και y΄y έχουν το ίδιο μήκος

το σύστημα λέγεται ορθοκανονικό.

Με την βοήθεια ενός συστήματος

συντεταγμένων μπορούμε να αντιστοιχίσουμε

ένα διατεταγμένο ζεύγος (α, β) πραγματικών

αριθμών σε ένα σημείο Μ του επιπέδου και

αντιστρόφως. Το Μ συμβολίζεται με Μ(α, β).

Οι αριθμοί α, β λέγονται συντεταγμένες του

Μ. Ειδικότερα το α ονομάζεται τετμημένη και

το β τεταγμένη.

Ένα σημείο Μ(α, 0) δηλαδή με τεταγμένη μηδέν βρίσκεται στον άξονα x΄x .

Ένα σημείο Μ(0, β) δηλαδή με τετμημένη μηδέν βρίσκεται στον άξονα y΄y .

Οι άξονες χωρίζουν το επίπεδο σε

τέσσερα τεταρτημόρια, όπως φαίνεται

στο διπλανό σχήμα.

Αν το Μ(α, β) είναι σημείο του:

1ου

Τεταρτημορίου α > 0 και β > 0

2ου

Τεταρτημορίου α < 0 και β > 0

3ου

Τεταρτημορίου α < 0 και β < 0

4ου

Τεταρτημορίου α > 0 και β < 0.

Σημεία συμμετρικά ως προς τους άξονες.

Τα σημεία Μ(α, β) και Μ΄(α, – β) είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα x΄x.

Τα σημεία Μ(α, β) και Μ΄΄( – α, β) είναι

συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y.

Δύο σημεία συμμετρικά ως προς

τον άξονα x΄x έχουν ίδια τετμημένη

και αντίθετες τεταγμένες.

Δύο σημεία συμμετρικά ως προς τον άξονα y΄y έχουν αντίθετες

τετμημένες και ίδια τεταγμένη.



Σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή

των αξόνων.

Τα σημεία Μ(α, β) και Μ΄(-α, -β) είναι

συμμετρικά ως προς την αρχή Ο(0,0) των

αξόνων.

Δύο σημεία συμμετρικά ως προς την αρχή

των αξόνων, έχουν αντίθετες τετμημένες

και τεταγμένες.

Σημεία συμμετρικά ως προς την διχοτόμο

της 1ης

και 3ης

γωνίας των αξόνων.

Τα σημεία Μ(α, β) και Μ΄(β, α) είναι

συμμετρικά ως προς την διχοτόμο της 1ης

και 3ης


Δύο σημεία είναι συμμετρικά ως προς την

διχοτόμο της 1ης και 3ης γωνίας των

αξόνων όταν η τετμημένη του ενός είναι

ίση με την τεταγμένη του άλλου.

Απόσταση σημείων.

2 2

2 1 2 1AB x x y y

Εξίσωση κύκλου κέντρου Ο(0,0) και

ακτίνας ρ.

Η εξίσωση x2 + y

2 = ρ

2 λέγεται εξίσωση

κύκλου με κέντρο Ο και ακτίνα ρ.

Ο κύκλος με κέντρο Ο και ακτίνα ρ = 1 έχει

εξίσωση x2 + y

2 = 1 και λέγεται μοναδιαίος

κύκλος.



93


Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. Το σημείο Α(α – 7, 3α – 9) ανήκει στον άξονα x΄x και το σημείο

Β(2β + 4, 4 – β) ανήκει στον άξονα y΄y , όπου α, β R .

α) Να βρείτε τις συντεταγμένες των σημείων Α και Β.

β) Αν το σημείο Γ(γ, γ – 5) ισαπέχει από τα Α και Β, να βρείτε την τιμή

του γ R .

2. Για ποιες τιμές των κ, λ το τρίγωνο με κορυφές τα σημεία Α( – 1, 2), Β(2, – 1 )

και Γ(κ, λ) είναι ισόπλευρο.

3. Δίνεται το σημείο Α(1,7). Το σημείο Β είναι συμμετρικό του Α ως προς τον

άξονα y΄y και το σημείο Γ είναι το συμμετρικό του Α ως προς την διχοτόμο

της 1ης

και 3ης


α) Να βρείτε την απόσταση (ΒΓ).

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές,

όπου Ο η αρχή των αξόνων.

4. Τα σημεία Α(α2 + 2α, 2 – 2α) και Β(α + 6, α

2 – α) είναι συμμετρικά ως προς

τον άξονα x΄x. α) Να βρείτε τον αριθμό α R .

β) Να βρείτε το συμμετρικό του α ως προς :

i. Τον άξονα y΄y.

ii. Την αρχή των αξόνων.

iii. Την διχοτόμο της 1ης

και 3ης


5. Τα σημεία Α(– 3,3) και Β(2, λ) απέχουν απόσταση (ΑΒ) = 5. Να βρείτε:

α) Τον αριθμό λ.

β) Σημείο Γ του αρνητικό ημιάξονα Οx΄, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να είναι

ισοσκελές με βάση ΑΓ.

γ) Την περίμετρο του τριγώνου ΑΒΓ.

6. Τα σημεία Α(λ2 – 5, |μ + 1| ) και Β(14 – 6λ, – |5 – μ| ) είναι συμμετρικά ως

προς την αρχή των αξόνων. Να βρείτε:

α) τους αριθμούς λ και μ.

β) την απόσταση (ΑΒ).

γ) σημείο Γ του αρνητικού ημιάξονα Οy΄, ώστε το τρίγωνο ΑΒΓ να

είναι ορθογώνιο με υποτείνουσα την ΑΒ.

7. Δίνονται τα σημεία Α(5, 4), Β(α, 4 – 2α) και Γ(4, 6), με α , για τα οποία ισχύει

(ΑΒ)=2(ΑΓ).

α) Να βρείτε τον αριθμό α.

β) Να βρείτε το εμβαδόν του τριγώνου ΑΒΓ.

γ) Έστω Δ σημείο του άξονα y΄y το οποίο ισαπέχει από τα Α και Β.

i. Να βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Δ.

ii. Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΒΓΔ είναι ορθογώνιο και

ισοσκελές.

8. Δίνεται ένας κύκλος C που έχει κέντρο την αρχή των αξόνων Ο και διέρχεται

από τα σημεία Α(α – 2, α) και Β(α – 8, 6 – α) , όπου α R .

α) Να βρείτε τον πραγματικό αριθμό α και να γράψετε την εξίσωση του



κύκλου C.

β) Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ορθογώνιο.



95


ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗΣ

ΠΑΡΑΣΗΡΗΣΕΙΣ

1. Γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με πεδίο ορισμού το σύνολο Α, λέμε

το σύνολο των σημείων Μ(x, f(x)), για όλα τα xΑ.

2. Την εξίσωση y = f(x) τη λέμε εξίσωση της γραφικής παράστασης της f.

3. Ένα σημείο Μ(x, y) ανήκει στη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης αν οι

συντεταγμένες του επαληθεύουν την εξίσωση y = f(x).

4. Για να βρούμε που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα

x΄x βάζουμε στον τύπο της συνάρτησης όπου y = 0.

5. Για να βρούμε που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τον άξονα

y΄y βάζουμε στον τύπο της συνάρτησης όπου x = 0.

6. Για να είναι μια καμπύλη γραφική παράσταση συνάρτησης κα πρέπει κάθε

ευθεία παράλληλη στον άξονα y΄y να την τέμνει σε ένα μόνο σημείο.

7. Το πλήθος των ριζών της f(x) = 0 είναι όσα τα κοινά σημεία της Cf με τον

άξονα x΄x.

8. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x

στα διαστήματα του x που είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) > 0.

9. Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x

στα διαστήματα του x που είναι λύσεις της ανίσωσης f(x) < 0.

10. Έστω οι συναρτήσεις f, g με πεδίο ορισμού το Α.

Τα κοινά σημεία των Cf και Cg έχουν τετμημένες τις ρίζες της εξίσωσης

f(x) = g(x).

H Cf βρίσκεται πάνω από την Cg στα διαστήματα του x που είναι λύσεις

της ανίσωσης f(x) > g(x).

H Cf βρίσκεται κάτω από την Cg στα διαστήματα του x που είναι λύσεις

της ανίσωσης f(x) < g(x).

11. Εύρεση πεδίου ορισμού και συνόλου τιμών από την Cf.

Το πεδίο ορισμού της f είναι το σύνολο το

οποίο έχει στοιχεία τις τετμημένες των

σημείων της Cf. Δηλαδή η προβολή της Cf

πάνω στον άξονα x΄x.

Το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο το

οποίο έχει στοιχεία τις τεταγμένες των

σημείων της Cf. Δηλαδή η προβολή της Cf

πάνω στον άξονα y΄y.



Όταν δίνεται η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f

μπορούμε, επίσης, να σχεδιάσουμε και τη γραφική

παράσταση της συνάρτησης – f , παίρνοντας τη

συμμετρική της γραφικής παράστασης της f ως προς

τον άξονα x΄x και τούτο διότι η γραφική παράσταση

της συνάρτησης της – f αποτελείται από τα σημεία

Μ΄(x, – f(x)) που είναι συμμετρικά των σημείων Μ(x,

f(x)) της γραφικής παράστασης της f ως προς τον

άξονα x΄x.



97


Γραφική επίλυση εξισώσεων

Εξίσωση Ρίζες εξίσωσης Γραφικά Ρίζες

f(x) = κ

Οι τετμημένες των

σημείων της Cf που

έχουν τεταγμένη ίση με

κ.

1 2x , x

f(x) = 0


κοινών σημείων της Cf

με τον άξονα x΄x.

1 2 3x , x , x

f(x) = g(x)


κοινών σημείων της Cf

και Cg .

1 2x , x

Γραφική επίλυση ανισώσεων

Ανίσωση Ρίζες ανίσωσης Γραφικά Λύσεις

f(x) > κ


σημείων της Cf

που έχουν

τεταγμένη

μεγαλύτερη από το

κ.

1 2x x , x

f(x) > 0



που είναι πάνω

από τον άξονα x΄x.

1 2 3x x , x x , β

f(x) > g(x)



που βρίσκονται

κάτω από τα

σημεία της Cg .

1 2 3x 0, x x , x



Ερωτήσεις ανάπτυξης

1. Έστω η συνάρτηση 3 2f x αx α 1 x βx 2 . Αν η Cf διέρχεται από τα

σημεία Α(1, – 2) και Β(– 1, 3), να βρείτε τα α, β και την f.

2. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x x 3x 1 και g x 2x 7 . Να βρείτε :

i. Τα κοινά σημεία των Cf και Cg.

ii. Τα διαστήματα του x που η Cf βρίσκεται:

α. Πάνω από την Cg.

β. Κάτω από την Cg.

3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων

f(x) = x3 – x και g(x) = x

2 – 1.

4. Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f. Να βρείτε τα

3

f 2 , f 0 , f , f 32

.

5. Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική παράσταση

της συνάρτησης f. Να βρείτε το πεδίο ορισμού

και το σύνολο τιμών της f.

6. Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική

παράσταση της συνάρτησης f. Να βρείτε:

i . τα f(0), f(-2), f(1)

ii. το πεδίο ορισμού της f

iii. το σύνολο τιμών της f

iv. τις ρίζες της εξίσωσης f(x) = 0

v. τα διαστήματα του x που η Cf είναι :

α. πάνω από τον άξονα x΄x

β. κάτω από τον άξονα x΄x.

7. Στο διπλανό σχήμα είναι η γραφική

παράσταση της συνάρτησης f. Να λύσετε

την: i. εξίσωση f(x) = 0

ii. ανίσωση f(x) > 0

iii. ανίσωση f(x) < 0.

8. Έστω η συνάρτηση 2f x x αx 2α . Να βρείτε το α ώστε η γραφική

παράσταση της f να διέρχεται από το σημείο Α(– 1, 5).

9. Να βρεθούν τα σημεία που η γραφική παράσταση της συνάρτησης

2f x x 5x 6 τέμνει τους άξονες x΄x και y΄y.



99


10. Δίνονται οι συναρτήσεις 2f x x 3x λ και g x 2x 5 μ . Το σημείο

Κ(–1, 6) ανήκει στη γραφική παράσταση της f.

α) Να βρείτε τον αριθμό λ.

β) Αν οι γραφικές παραστάσεις των f και g τέμνουν τον άξονα y΄y στο

ίδιο σημείο, να βρείτε τον αριθμό μ.

γ) Για τις παραπάνω τιμές των λ και μ , να βρείτε τα διαστήματα στα

οποία: i. η Cf βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x.

ii. η Cg βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x.

11. Δίνεται η συνάρτηση 2

2

x 3x 4f x

x 1

.

α) Να βρεθεί το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f.

β) Να βρεθεί το σημείο στο οποίο η Cf τέμνει τον y΄y.

γ) Να βρεθούν τα σημεία που η Cf τέμνει τον x΄x.

δ) Να εξετάσετε αν η Cf διέρχεται από τα σημεία Σ(2, -2) και Λ(-2, 3).

ε) Να απλοποιηθεί ο τύπος της f.

kef6 synartiseis

Documents