kDhUNIVERSIDAD AUTONOMA METROPOLITANA Casa abieria al iiempo UNIDAD IZTAPAIAPA División de Ciencias Básicas e Ingeiiiería

TEORIA DE COLISIONES P A M OPERADORES DE SCHRODINGER SINGULARES.

JUAN BECTC'R ARREDONDO RUIZ

REPORTE DE INVESTIGACION

TEORIA DE COLISIONES PARA OPERADORES DE SCHRODINGER SINGULARES

JUAN HECTOR ARREDONDO RUIZ

MATEMATICAS ANAL1 S I S

O40402101 014.90

TEORIA DE COLISIONES PARA OPERADORES DE SCHRODINGER SINGULARES

J. H. Arredondo R. Universidad Autónoma Metropolitana-Iztapalapa

Departamento de Matemáticas

Av. Rlichoacán y la Purísima.

Col. Vicentina, Iztapalapa. C.P. 09340 Apdo. Postal 55-534, México, D.F.

RESUMEN

En este manuscrito se discute la teoría matemática de colisiones en Mecánica Cuántica desarrollada por

Amrein para operadores de Schrodinger y se da una generalización a operadores de esta clase cuya parte

correspondiendo a la energía cinética es singular. En particular, damos una aplicación a la ecuación de

Klein-Gordon.

INTRODUCCION

En un anterior trabajo['] hemos discutido la teoría matemática de colisiones para operadores actuando en el espacio de Hilbert E = L2( R", d m z ) de la forma

(1.1) 1

H --A + V, 2

donde A es el operador de Laplace:

(1.2)

con derivadas en sentido de distribuciones. Este operador es unitariamente equivalente al operador por

multiplicación con la función

P ( i ) _= li12

via la transformada de Fourier. Es decir, para todo 4 en el dominio del operador de Laplace se tiene la

igualdad 4 - "

( A4 )(.I = [P(k)7bI(.), ( 1 . 3 )

donde-y'denotan la transformada de Fourier y su inversa:

Aquí limhf++m significa el límite en la norma de L2. Más aún, el dominio de A está dado por el subespacio denso de Z :

D( 4 ) = { E z I P( . ) i ( . ) E E }. (1.5)

V es una función medible sobre R" a valores en R, con V E ~5f'~,(R", 2 5 p 5 $00. En este

caso el operador H está bien definido en principio sobre Cr(Rm) y además el operador tiene extensiones

aiitoadjuntas en L2(Rm, P z ) . Bajo condiciones adicionales sobre V -básicamente sobre su decaimiemto

en el infinito y su comportamiento local- se demuestra la llamada completitud asintótica de los operadores

de onda. Cualquier estado que no sea un estado ligado (eigenvector) del operador H lia evolucionado en

el pasado ( t -+ -00 ), y en el futuro ( t -, +00) evolucionará como un estado "libre". En símbolos esto se

escribe como:

['I Arredondo R., J.H. "Teoría de Operadores con Aplicaciones a la Física". Comunicaciones Técnicas.

['I Lf,,(R", d"z) es el conjunto de funciones f medibles sobre R"' a valores en C tales que Serie Verde. 85 páginas.

para todo Ir' c R"' compacto.

2

Aquí U ( t ) , t E R corresponde a la dinámica generada por el operador autoadjunto H . Este conjunto

de operadores forma un grupo de operadores unitarios a un parámetro fuertemente continuo. 3Iediante el

teorema espectral este grupo unitario queda unívocamente determinado por la igualdad:

- zPP(H) es la cerradura del subespacio generado por los eigenvectores de H. Similarmente, L’,(t) corresponde a la dinámica generada por el operador autoadjunto En este caso, el coiijunto de

vectores que cumple (1.6) está completamente caracterizado como el subespacio de continuidad absoluta del

operador H , E,,(H). Los estados E Spp(H)* son precisamente los estados que no se encontraron n i se

encontrarán en subconjuntos acotados del espacio. Es decir,

-$A.

donde F,. es la función característica de la bola de radio r < +m. El espacio de Hilbert E está entonces

compuesto solamente de estados ligados (eigenvectores de H ) y de estados que se “dispersan”. Esto es,

s = EPP(H) f4 Z,,(H).

Supongamos ahora que el potencial V tiene singularidades fuertes localmente. El operador

F, (N - z ) - l , 7. < +m, z E c, (1.10)

no necesariamente es compacto[3]. Aquí, (H - z)-’ denota la resolvente del operador H en z E C ,

definida mediante cálculo funcional. En este caso, una de las hipótesis para la demostración de la coinpletit.ud

asintótica ya no es válida. Ver nota al pie de página [l]. Esto corresponde al hecho de que ahora los estados

pueden, además de “dispersarse”, quedar atrapados en las singularidades del potencial V. Una descripción

de estos estados en términos de la descomposición espectral para el operador H, ya no es posible. Sin

embargo, usando las técnicas del análisis funciona1 es posible todavía caracterizar el comportamiento de los

estados en evolución en base a sus propiedades geométricas.

En la primera sección presentaremos la teoría desarrollada por Amrein[‘], en donde se aplica la teoría

En la sección I1 de este trabajo damos los cambios necesarios para para operadores de la forma (1.2).

considerar operadores de la forma (1.2-3) con P una función más general.

~

[31 Sean X y Y espacios de Banach. Un operador (lineal) T continuo de X en Y es llamado conipacto si

[‘I Amrein, W.O., “Non-Relativistic Quantum Mechanics” D. Reidel Publishing Company, 1981. T lleva conjuntos acotados de X en conjuntos precompactos en Y

3

SECCION I

Sean H y H, dos operadores autoadjuntos actuando en el espacio de Hilbert E. Denotemos por

ü( t ) y U o ( t ) los grupos unitarios asociados. La condición (1.6) es equivalente a la existencia de los límites:

s - lim U ( - t ) üo(t) t-*m

Aquí s - lim significa convergencia del límite en la toplogía fuerte en L(Z)L5]. La existencia de estos límites

no existe en general sobre todo el espacio de Hilbert. Por ejemplo, si E E Z es un eigenvector para H ,

con eigenvaior x [ ~ ] entonces

ü(-t) Uo(t) ( converge en norma

si y solo si E es un eigenvector para H con el mismo eigenvalor A. En general sólo puede uno esperar la

existencia de estos límites si restringimos el dominio de aplicación a un subespacio ortogonal ai subespacio

generado por los eigenvectores de H,, EPP(HO). Restringiéndose a tal subespacio, uno puede esperar la existencia de estos límites en forma muy general.

Denotaremos a lo largo de este trabajo por D un proyector ~ r togona l [~ ] con rango, Ran( D), contenido

en el subespacio de continuidad de H, E Zc(H,)[8]. Más aún, supondremos que H , conmuta con el

operador D. Es decir,

üo(t) D = ll U,( t ) , V t E R. (1.1)

Sean H y H, operadores autoadjuntos actuando en los espacios de Hilbert Z y E, respectivamente, y

sea J un operador lineal continuo de Z, en Z. Decimos que los operadores de Moller R*(H, H, ; D, J ) E R*(H, H,; J ) existen s i los límites fuertes

existen.

Cuando el potencial V tiene singularidades locales fuertes, intuitivamente uno espera que los estados

tienen ahora dos posibilidades: O bien el estado se “dispersa” hacia el infinito o bien queda atrapado en las

1’1 L(Z) es el conjunto de operadores lineales continuos de E en Z mismo. Una base de vecindades para

esta topología viene dada por los conjuntos de la forma

donde (1, E2, ..., En son una colección finita de vectores arbitrarios en E y E > O . [61 i.e. H, E = x 5. [71 ¡.e. D2 = D, D’ = D. (‘1 Recordemos que por el teorema espectral, dado un operador autoadjunto A actuando en u n espacio

de Hilbert 2, se tiene la descomposición en suma directa para B como

Para una definición de estos subespacios ver referencia dada en [l].

4

singularidades del potencial. Por ejemplo, tomemos V tal que para toda función

donde r es un subconjunto compacto de R" con medida de Lebesgue cero y p 2 2, p > m f 2 . Sea H una

extensión autoadjunta en L2(R", dmz) arbitraria del operador minimal -+A + V. Usando argumentos de

compacidad se demuestra

iim 1 1 'p. ü(t) < 11' = O , si w - iim U ( t ) e = O. t - f o o t -Ioo

Aquí, cp E C?(R" \ r) es arbitraria. w - lim denota el límite en la topología débil en Z. Para caracterizar esta nueva situación es conveniente considerar subespacios de vectores de acuerdo al

comportamiento de su evolución en el tiempo.

En lo que sigue, r denota un subconjunto compacto de R" y Cf es el conjunto de funciones cp en

Coo(Rm) í l Lm(R") que se anulan en una vecindad abierta de I'.

Definición 1.4

Sean Z = L2(Rm,d"2), (., .) el producto escalar en Z y con norma 1 ) < 1 ) := ( <,( )l/' . Denotemos

por I el operador identidad actuando en Z y por N un operador autoadjunto en el mismo espacio de Hilbert

3. Sea e - i t H el grupo unitario asociado al operador autoadjunto H . Diremos que el vector < E E es un

estado:

a. Acotado para t -L fco si

M , ~ ( H ) es el

estados acotados.

conjunto de tales estados y h f o ( H ) := M t ( H ) ri M ; ( H ) es llamado el conjunto de

b. De dispersón para t -.$ f ca si

lim 1 1 Fre-itH< 1 1 = O, v T < +m. t - foo

M&(H) denota el conjunto de estos estados.

c . De dispersión en la media para t -f f c o si

. fT

-f M , ( H ) denota el conjunto de estos estados.

['I Teoría de Perturbación del espectro continuo y operadores de onda. Juan H. Arredondo R. Tesis de

licenciatura. No publicada.

5

d. Débilmente de dispersión si

íim ( 4 , , - a t H < ) = O, v 4 E E. t - foo

3: (H) denota el conjunto de estos estados y ponemos E,,, (H) := Z$ ( H ) n E; ( H )

e. Concentrado en r si para toda función 'p E Cr

Denotamos por M r f ( H ) al conjunto de estos vectores e E E.

f. Concentrado en la media en r si para toda función 'p E Cr

(1.10)

Este conjunto es denotado por Mr(H). Cuando no exista posibilidad de confusión en cuanto al operador H al que nos referimos, denotaremos

estos distintos subconjuntos sin la expresión (H).

Usando la proposición 1.12 siguiente es fácil ver que

F,(H - z1- l compacto 3

(1.11) -*

M,(H) = E,@), M , = Z,(H), = Z,(H).

Proposición 1.12

Sea H un operador autoadjunto en Z = L2(R", dmx). Las siguientes propiedades son válidas para los

conjuntos definidos en (1.5-10).

-* -f a. M:, M z , M,, M , f , y M r son subespacios de Z y además son invariantes bajo el grupo unitario

, - i t H asociado a H[l0] .

-f -f -+ c. M,f y M , son subespacios ortogonales entre sí. La misma relación se cumple entre M , y iZIr.

d. Epp(H) C M,, y M L C E,

-f e. M , c Z , ( H ) y Mf C M , f

['O] Es decir, si E B c E, entonces e - i t H < E B, V t E R.

6

f. Si además l? tiene medida de Lebesgue cero entonces a: C Zc(H) y C Zw

Demostración de (a):

El probar que los conjuntos son subespacios se sigue fácilmente de la definición. Para probar que .I$

es un subespacio invariante de Ut Es decir,

e- i tH , hay que usar la propiedad de grupo de éste operador unitario.

ut . u, = Ut+,. (1.13)

En consecuencia, si ( E hfz , r E R es arbitrario:

(1.14)

-* -f El mismo argumento funciona para M,f . Para M , y M r se vuelve usar la propiedad (1.13) junto con un

cambio de variable. En cuanto a M , f , notemos que si c > O

(1.15)

para todo vector E E 3. Esto es debido a que Ut es un grupo unitario fuertemente continuo. Por lo

tanto es una función uniformemente continua en cada subintervalo compacto de R. Entonces para r E R arbitrario, .$ E M$ tenemos

I lim SUP l l(Z - Fr)ut(ll

+ lim sup Il(Z - Fr)Ut(ll = O. r-m t € [ - l T l , l ~ I l

t E [f I 7 I , f m) r-o3

Esto prueba (a). La demostración de (b) es inmediata de la definición.

Demostración de (c): +

Sean @ E M r , Q E y ‘p E Cr. Usando la unitariedad de U t , obtenemos

(1.16)

(1.17)

Tomemos ahora r > O suficientemente grande de tal forma que exista 17 E Cr con 17 E 1 para I z I > T .

Para estas r y 71 obtenemos de (1.17) y la desigualdad de Schwarz

(1.18)

-f -& Esto prueba que M r y M , son subespacios ortogonales entre sí. El otro enunciado de este inciso (c) se

prueba muy similarmente.

Demostración de (d):

Para demostrar que Z,,(H) c Mol se puede usar el hecho que Spp(H) está generado por los eigenvec-

tores de H. Si < es un eigenvector de H con eigenvalor X entonces

Usando además que Mo es un subespacio cerrado, se prueba la inclusión. La otra aseveración se prueba

fácilmente de la definición.

Demostración de (e): I

De los incisos (c) y (d) se sabe que[''] %: c (M:) c Z,,(H)' G Z,(H). Esto prueba la primera

1 para aseveración de este inciso. Para probar la relación Mrf c M:l tomamos < E M , f , 'p E Cr con 'p

I z I > r0, con I? contenido en la bola de radio Po. En consecuencia,

(1.20)

Aquí hemos usado (1.15) y E > O puede ser tomada arbitrariamente pequeña tomando c2 suficientemente

grande. Esto prueba este inciso.

Demostración de (f):

Sean Q E Mrf , E E. Puesto que suponemos que la medida de es cero, podemos tomar 7 E Cr tal

que para E > O

I I (1 - V ( 5 ) ) 4 I I < E. (1.21)

Entonces

(1.22)

["I BL denota el subespacio de vectores E Z que son ortogonales a todo vector en B

8

-f Como E es arbitraria, esto implica que Q E E,. Ahora probamos que M , c Z, (H) . Tomando 7 E Cr como

en (1.21) se demuestra que u: y E,,(H) son conjuntos ortogonales entre sí. Es decir,

I -f M , c (E,,) =Ec(H). (1.23)

Esto termina la demostración de la proposición.

Proposición 1.24

Sean H , H, operadores autoadjuntos en E y E, respectivamente. Denotemos por ( . , . ) I , (.,.), los

R* respectivos productos escalares en E, Z,. Supongamos que los operadores de Moller R*(H, H,; J ) existen. Ponemos

F5 := Q*(H, H,; J)O*(H, H,; J ) * , (1.25)

I Eo := (KerO*(H, H,; J)) ,

E* := RanR*(H, H,; J).

(1.26)

(1.27)

a. Eo es un subespacio invariante para H, y E* es un subespacio invariante para H. Además, H,

restringido a E: es unitariamente equivalente a H restringido a E*. En particular, Z* está contenido en

Z,( H). b. Si RanD C E,,,,(H,) entonces Z* C Z,(H). c . Si además Z = L2(Rm,dmz) para algún entero positivo m y

s - lim F,Je-ItNoD = O , V r < +o0 f-*w

entonces

E* c M 2 ( H ) .

d. Sea p una función Lebesgue medible acotada sobre R’ a valores complejos y p ( H ) el operador

definido mediante cálculo funcional, entonces

Demostración

Sea T E R fijo. Entonces

(1.29)

Se puede definir para cualquier operador acotado A E L(S,) =

(A1/’)’. Este operador es único, positivo y conmuta con cada operador con el que A conmute. En base a

esto tomamos

I Qf I := [ Qp* 11’’ E L(E,). (1.30)

el operador A’/’ tal que A

[I2] Un operador lineal A es llamado positivo si (<, A [ ) 2 O, V [ E E,.

9

Definamos ahora V : Ran1 52h I + RanQh mediante la ecuación

(1.31)

V está bien definido puesto que si I !& I € = 1 14 entonces

0 = I I I Q* I ( € - 4) [ I 2 = ( F - 4, I % 12( F - 4 I ) ,

= ( € - 4 ,Q;Qf ( E - 4 I ) , = I1 (1.32)

Esto implica que V es isométrico entre estos subespacios y se puede entonces extender como una isometría de Ran1 0% I - l a clausura de Ran1 I en E,- en Rano*- la clausura de R a n a * en E. Podemos extender

V a un operador sobre todo So extendiendolo como el operador cero en (Ran1 !& 1) . Puesto que 1 1 es autoadjunto, (Ran/

- 4 ) 1 1 2 .

I

I

1) = Ker 1 521 I = Ker &. Esto implica que

KerV = K e r R I . (1.33)

Así queda V univocamente determinado. Por (1.29),

(1.35)

Puesto que I I conmuta con cualquier operador con el que RfR* conmuta, se tiene que

Usando (1.29), (1.31) y (1.36) obtenemos

Esto significa que,

e - i ~ H VEo = v e - i 7 H o € 0 , v E o E Ran1 Qf l. I

Además si 9 E (Ran1 R* 1) = KerJ !& I = KerV, por (1.36)

(1.38)

En consecuencia, e - i 7 H ~ = v e - i 7 H 0 . (1.40)

Por (1.29) se deduce que E$ es un subespacio invariante para H , y E* es un subespacio invariante para H . De

(1.38) y (1.40) concluimos que H, restringido a E: es unitariamente equivalente a H restringido a 3*. Puesto

que KerD C K e r Q = Ker( f& I , entonces Ran1 Qí 1 = (Kerl O* 1) C (KerD) = RanD C Ec(Ho).

Usando (1.38) y que el espectro continuo queda invariante bajo transformaciones unitarias, obtenemos que

I I

Z* c Zc(H).

10

Esto prueba (b).

Sea 7 E 2,. Entonces,

Aquí hemos usado la unitariedad de e-iiH y la existencia de los operadores de Moller (1.2). Esto prueba (c).

Por (1.29), F*e-itH - - e -itH F* . (1.42)

Notemos que para una función 'p con su transformada de Fourier + E L ' (R , di),

1

R

(1.43)

Usando (1.42) y (1.43) vemos que para esta clase funciones,

Utilizando que esta clase de funciones son densas en Lm(R,dz) y la estimación para la norma ) I . 11 del

operador p(H)

I I 'p(W I I I I 1 cp l lool (1.45)

obtenemos que (1.44) es válido para toda función en ese espacio. Esto prueba la proposición.

Un argumento básico para probar la existencia de los operadores de Moller es el criterio de Cook. Aquí damos la versión que necesitaremos más adelante. Algunas generalizaciones pueden ser hechas[l3I,

aunque en la práctica es difícil comprobar en casos particulares que dos operadores autoadjuntos satisfacen

las hipótesis requeridas. Es más fácil checar las hipótesis s i éstas están en función de diferencias de las

resolventes.

Definición 1.46 Definimos Co(S) c Z, el conjunto de vectores C$ de la forma

donde 'p E C,"(R \ S) , S c R, es un conjunto cerrado y < es un vector en 8,.

Proposición 1.47

[131 Ver referencia en nota al pie de página [9] y "Methods of Modern Mathematical Physics".

Academic Press, 1975 por Michael Reed y Barry Simon.

Vol I.

11

Sean H y H, operadores autoadjunta en los espacios de Hilbert E y Z, con grupos unitarios e - i t H y

respectivamente. Supongamos que existe un operador acotado J de Z, en 2 y para algún S C R,

C,(S) es un conjunto denso en Ran D tal que para t,odo 4 E Co(S)

711 y, e - i t f f o 411 < +m, O

donde Y, E J(H, - 2)-' - ( H - z)-'J,

es un operador compacto. Entonces los operadores de Moller existen.

(1.48)

(1.49)

La demostración de esta proposición puede ser obtenida fácilmente notando que la derivada de la ex- presión ( H - z)-' e i tH Je-'*Ho cp(H,) existe en un subconjunto denso de Ran D y está mayorizada por la

expresión (1.48). Ver referencias dadas anteriormente para los detalles.

Dada la existencia de los operadores de Moller uno desea poder caracterizar el rango de estos operadores.

Los vectores en ese rango son precisamente los vectores cuyo comportamiento asintótico es esencialmente

como el de la dinámica e - i t H o -más simple- generada por el operador autoadjunto H,. En vista del aspecto geométrico que envuelve el fenómeno físico de colisiones, uno espera que se cumplan algunas de las siguientes

relaciones.

Definición 1.50

Sean H y H , operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert Z = L2(Rm, dmz), n entero positivo,

y So respectivamente. J un operador lineal acotado de 8, en 8. Supongamos que los operadores de Moller

(1.2) existen.

a. Decimos que la completitud asintótica se cumple si

b. Decimos que la completitud asintótica en sentido geométrico se cumple si

Rani& = Mo(H)'.

(1.51)

(1.52)

c . Decimos que la completitud asintótica en sentido generalizado se cumple si

La completitud asintótica se puede demostrar suponiendo entre otras cosas una condición como en

(1.10). En los potenciales que consideraremos no necesariamente se cumplirá esto. Para una demsotración de la completitud asintótica veanse las referencias dadas arriba.

12

Ahora enunciamos las condiciones para poder demostrar completitud asintótica en sentido geométrico o generalizado. Suponemos que H y H, son operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert S y Z, respectivamente. J un operador lineal acotado de E, en Z. Además, supondremos que los operadores de

Moller (1.2) existen.

Condiciones para la Completitud 1.54

Sea S un subconjunto de R cerrado. Supongamos que para cada intervalo compacto Z C R \ S existen

operadores acotados P* tales que para toda 'p E C,"(R \ S) con

supp 'p := {E E R' I y ( z ) # O } C Z

se cumplen las siguientes propiedades:

C1. P+ + P- = I (Operador identidad sobre E,).

c2.

a).- s - limt+hm PTe-itHoD = O.

b).- s - lirnt+foo P;e-jtH0 D = O

c 3 .

c4. J'p(H,)(I - D ) y Y,, definido en (1.49), son operadores compactos.

c 5 . s - 1imt+hm(J - I)e-i"oD = O .

Aparte de las condiciones para la existencia de los operadores de Moller, C1 - C5 son suficientes para

probar completitud en sentido geométrico y generalizado para una clase amplia de operadores de Schrodinger.

Lema 1.55

Sean H y H, operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert E y E, respectivamente . Asumamos

que los operadores de Moller (1.2) existen, Y, es un operador compacto y además que C3 se cumple para

H y H, para algún S C R. Entonces para toda función 'p E Cr(R \ S)

( H - z)-l(f& - J)'p(H,)DP* son operadores compactos. (1.56)

Demostración:

Tomando la derivada 5 en sentido de la norma en L(E,, Z)

(1.57)

y asumiendo la existencia de los operadores de onda, obtenemos que

t i m

En el último paso hemos utilizado el hecho que la función (A - z)cp(A) es del mismo tipo que cp(A). Notemos

por otro lado que los operadores

son la integral de Riemann de funciones sobre R a valores en los operadores compactos continuas en la norma

de L(S,, f). Usando que el subespacio de L ( f o l f) de operadores compactos es cerrado, obtenemos que el operador en el lado izquierdo de la ecuación (1.59) es un operador compacto. De (1.58) obtenemos entonces

que existe una sucesión de operadores compactos que convergen en norma a los operadores de la ecuación

(1.56). Esto prueba el lema.

Lema 1.60

Sean H y H, operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert Z y f,, respectivamente, para los

cuales se cumplen las condiciones C1 - C4, con S c R un conjunto cerrado y numerable. Asumamos que

los operadores de Moller (1.2) existen. Para todo $ E ( Z* )I n Z,(H)

(1.61)

Demostración:

Damos los detalles para $ E ( E+)' n z c ( H ) . El mismo argumento funciona poniendo "-" en las

siguientes ecuaciones. Puesto que ( S+ )I y f c (H) son subespacios cerrados invariantes bajo e-atH entonces

la intersección de ambos subespacios es también un subespacio cerrado e invariante. Sea 11, E ( S+ >Inz,(H) un vector distinto de cero. Puesto que 11, E EC(H), la medida espectral asociada al vector $ es continua.

Puesto que la medida de un conjunto numerable es cero con respecto a una medida continua y S es un

conjunto cerrado y numerable, podemos encontrar para toda E > O, 'pc E CF(R \ S) tal que

Por (1.43), se deduce

' ~ , ( H ) s , E ( E+ )I n E,(H). (1.63)

14

Por lo tanto, sólo necesitamos probar (1.61) para q c ( H ) + . Para esta clase de vectores, usamos la siguiente

descomposición.

El penúltimo término en esta ecuación es idénticamente cero pues 11, E ( Z+ )'. El Último término tiende

a cero en norma cuando t --+ $00 por C 2 , b . En consecuencia, la contribución de estos términos al límite

en (1.61) es nula. Los operadores que aparecen en los términos tercero y cuarto actuando sobre 11, en la

ecuación (1.64) son compactos por el lema 1.55. Notemos que el operador (H - r)cp,(H) es un operador

acotado. Lo mismo sucede para los operadores que aparecen en el primero y segundo términos. Esto se

deduce del teorema de Stone-Weierstrass y la hipótesis C4 . Usando el teorema de Wiener [I4] sabemos que

el valor absoluto al cuadrado de la transformada de Fourier de una medida de Baire continua y finita tiende

a cero en la media. Esto es el límite en (1.61). Ver la referencia dada en 191 para los detalles acerca de esta

aplicación del teorema de Wiener. Con esto queda demostrado el lema.

Lema 1.65

Sean H y H, operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert E E L2(Rm,dMz), rn entero positivo

y Z, respectivamente. Supongamos que los operadores de Moller (1.2) existen y se cumplen las condiciones

C 1 - C4 con S c R un conjunto cerrado y numerable. Si para cada 11, E Cr y cada cp E Cr(R \ S), el operador

(1 - J*) cp(H) (1.66)

es compacto. Entonces

(Ran a*)' n Sc c a: Demostración

Sea 4 E (Ran R*)' n SC. Por la definición ( l . lO), tenemos que probar que

1 1 $(Z)e-'"4 11' = O. T++m T

(1.67)

(1.68)

Usando (1.43) y (1.62) deducimos que es suficiente con probar (1.68) para q ( H ) # en lugar de 4. Ahora

notemos que

El primer término en esta última expresión tiende a cero en la media por el lema 1.60. El segundo término

contiene un operador compacto. Puesto que 4 E E,, el teorema de Wiener nos implica que también el

segundo término tiende a cero en la media. Esto prueba el lema.

[I4] Wiener, N., "The Fourier Integral and Certain of its Applications". Cambridge University Press, 1979.

15

Proposición 1.70

Sean H y H, operadores autoadjuntos cumpliendo todas las hipótesis del lema 1.65. Supongamos

además

s - lim F,Je-"HoD = O , para cada T < +o0 t-foo

Y w e -f M r C Zc(H).

Entonces para E* definido en (1.27) se cumple

Z* @ = Z,(H).

Demostración:

Por (1.71) y la proposición 1.24 (c), obtenemos que

+ Ran& c M L ( H ) C M ,

(1.71)

(1.72)

(1.73)

(1.74)

Y de la proposición 1.12 (c) deducimos que Rani& y

proposición 1.24 (a) y la hipótesis (1.72) obtenemos que

son subespacios ortogonales entre sí. Por la

(1.75)

Por (1.67) sabemos además que el complemento en E, de Ran

contención de Zc en =* @ M r . Por lo tanto, obtenemos con esto el resultado enunciado.

está contenido en zF . Esto prueba la 4

Así, el subespacio de continuidad de H, Z,, que son los estados que pueden sufrir el fenómeno de

dispersión, queda compuesto - por la proposicón anterior - por estados que se alejan del centro de interacción,

más estados que quedan atrapados en las singularidades del potencial.

La proposición siguiente caracteriza a todos los estados posibles del sistema (G E) en base a los estados

de "dispersión" más estados acotados. Con esto terminamos esta sección.

Proposición 1.76

Sean H y H, operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert E _= L2(Rm,dmz), m entero positivo

y Z, respectivamente, para los cuales se cumplen las condiciones C1 - C4, con S c R un conjunto cerrado

y numerable. Asumamos que los operadores de hloller (1.2) existen con J un operador tal que

lim 1 1 (I - Fn) (I - J*) I / = O . (1.77) n-cu

Entonces

3 = E* @ M,'.

Si además se cumplen las hipótesis de la proposición 1.70, entonces

(1.78)

Ef = Mf 00' (1.79)

16

Demostración

Sólo demostramos el resultado para "+" . Los mismos argumentos pueden ser utilizados en el otro caso.

Sea O # < E Z tal que [ E Z* n ( M$ )l. Por la proposición 1.12 (d), concluimos que [ E S,.(H). Podemos entonces encontrar como en (1.62) una función 4 E Cr(R\S) tal que 11, 4(H)E # O . Por (1.43),

11, E E* í l ( M t )I. De la definición para el subespacio M $ ( H ) se concluye que deben existir dos sucesiones

{ t n } , {rn} tales que t n l T , -+ +m y

( 1 ( I - F r n ) 11, 11 2 E > O, v n número natural. (1.80)

Puesto que la bola unitaria en la topología débil es un subconjunto compacto, existe una subsucesión { t k } de { tn } tal que e-itkHICI y e-"kH(H - z ) 4 , .z E C , convergen débilmente. Denotamos esta subsucesión

como antes por { t , , } . Como S es cerrado, podemos tomar cp E Cr(R \ S) con cp E 1 sobre el soporte

de 4. Usando la misma descomposición que en (1.64) para J*e-ifnHq(H)S), concluimos que la sucesión de

vectores en E, 11,, converge a un elemento en Z (Operadores compactos mandan sucesiones débilmente

convergentes en fuertemente convergentes ). Por lo tanto, de (1.77)

( 1 ( I - $11 5 11(1 - Frn)(l - J*)e-"'" ) I + 1 ) (I - Frn)J*e-itnH $ 11 -+O, si R -++OO.

(1.81)

Esto es una contradicción con (1.80). Esto prueba (1.78). Supongamos ahora que se cumplen las hipótesis

de la proposición 1.70. Usando (1.74) concluimos que

Zf c M L (1.82)

-i Por otro lado, de la proposición l.l2(b),(e) sabemos que M$ c Id, c Zc. Y de 12(c) y (1.73) deducimos

De (1.82-83) obtenemos (1.79). Esto prueba el lema.

La condición C5 nos permite asegurar la unitariedad de los operadores de onda.

Proposición 1.84

Sean H y H, dos operadores autoadjuntos en los espacios de Hilbert E y E, respectivamente. J un

operador lineal acotado de 2, en Z. Supongamos que se cumple la condición C5 para H y H, y que los

operadores de onda

Qh(H, H o ; J) := - l-foo lim , i tH je - i fH0 D

(1.2) existen. Entonces s2, son isometrias parciales ( i.e. 0% es unitario de Ran D sobre Ran

particular, Ran s2* es cerrado. Además,

). En

Demostración:

17

Notemos que

Esto prueba (1.85). Usando entonces (1.85) se prueban fácilmente las demás afirmaciones. Esto prueba la

proposición.

En la siguiente sección consideraremos operadores de Schrodinger bastante generales para los cuales

todas las hipótesis necesarias se cumplen.

18

SECCION I1

La herramienta utilizada por Arnrein (ver nota al pie de página [4]) para comprobar las hipótesis en

el caso particular de operadores de la forma ( 1 . 1 ) es el hecho que H , =_ -4A es unitariamente equivalente

a multiplicación por u n a función en el espacio de momentos. Los ingredientes que le añadiremos es la

posibilidad de que el espectro no sea unicamente absolutamente continuo (como es el caso para A) sino

que ahora 11, puede tener eigenvalores. Además, el operador no necesariamente es "radial" como ocurre

también para A. Esto imposibilita el poder utilizar una transformación como la usada por Amrein para

"di agon ai iz ar" If , .

Ahora establecemos la clase de funciones P ( k ) que consideraremos.

Definición 2.1

Denotaremos por P(- iV) al operador que actiia en L2(Rm,dmz), m entero positivo de la siguiente

forma:

dJ - [@)41-(q (2.2)

donde P(k) es una función medible sobre Rrn a valores (en general) en C . Este operador lineal tiene como

dominio máximo al conjunto

{ dJ E L2(Rrn) I P(& E L2(Rrn) }. (2.3)

Definición 2.4

Sea H , = P(-ZV) con P una función continua de Rm en C . Un punto k , es llamado un punto

i).- singular si P no es C" en ninguna vecindad de k,.

ii).- crítico si no es punto singular y (VP)(k, ) = O .

Los valores de P en los puntos singulares (críticos) son llamados los valores singulares (críticos). Deno-

- -

-

taremos a estos conjuntos por S, ( C, ) y Su ( C, ) respectivamente.

Diremos que un operador P(-ZV) es un operador vagamente elíptico si

a). El conjunto de valores singuiares unión los valores críticos es un conjunto numerable.

b). P es una función real tal que I P ( k ) I + +o0 cuando Ikl -+ +OO.

c). Para todo punto k E 12"' que no sea un punto singular existen constantes fijas p, p con O < p 5 1

..

tales que para cada multi-índice

a = ( "1, ( ~ 2 , ..., Qrn ), ai entero no negativo, i = 1, ..., m (2.5)

tenemos que

Aqiií, C, cs constante y rn

la1 := c " j ,

j = i

19

Para dar u n a expresión explícita de los operadores Ph para los cuales se cumplen las condiciones 1.54

es necesario introducir el concepto de u n a medida a valores en los operadores positivos ["l.

Definición 2.9

Sean $2 un conjunto con una a-álgebra 3 y Z un espacio de Hilbert. Una medida sobre R a valores en

los operadores positivos (POV) es un mapeo A : T -, L(E) tal que

a. A(E) es un operador positivo en L(Z), para todo E c 3. b. Si {E,} es una colección numerable y disjunta de conjuntos en 3, entonces

n = l

donde la serie converge débilmente en L(E) (Y por tanto fuertemente).

c . A(R) = I(0perador identidad).

(2.10)

El caso concreto que iitilizamos es el siguiente. Tomemos Z = L2(Rm, dmz), tn entero positivo. E Z con 11 q ( 1 = 1. Ponemos

v3 y ( 3 := exp( i y . (f - 5)) q(4 - 5).

Para cada operador r a traza["] definimos

(2.11)

Para cada conjunto de Bore1 E c R2"' sea CE el mapeo dado por

cEr := 1 T(Z,y3dmx dmy. (2.12)

E

Usando la descomposición canónica para operadores compactos, se demuestra que CE es una funcional

continua sobre los operadores a traza. Puesto que el espacio dual del espacio de Banach formado por los

operadores a traza es isomorfo a L(Z) [l71, debe existir un operador A(E) tal que

CEr = Ir ( r . A ( E ) ). (2.13)

["I Davies, E. B. "Quantum Theory for Open System". Academic Press, 1978. New York. ["I Un operador lineal T E L(Z) es llamado a traza si

n = l

donde { 4, } es una base ortonormal para Z y I T I está definido como en (1.30). Para esta clase de

operadores se define el mapeo tr : T - C dado por

+o0

~r ( T ) = 4 n 1 T4n 1. n=l

[I7] Reed, M., Simon, B., "Methods of Modern Mathematical Physics". Vol I. Academic Press, 1975. New

York.

20

Es fácil establecer las propiedades 2.9. a-c para A ( . ) .

Una vez definida u n a medida POV podemos dar una expresión para los operadores Pi. Matemáticamente hablando, las hipótesis necesarias se cumplen para un operador de Schrodinger en

base a las propiedades de regularidad de la función P(i), y de decaimiento del potencial V en el infinito.

Lema 2.14

Sea 2 un intervalo compacto disjunto de S 3 S, ü C,. acotados P i que dependen de 2, u n a función f E C r ( R \ S ) con f g E Co"(R"), las funciones mbi(t) definidas por

Entonces existen dos operadores positivos

1 sobre 2, y b > O tales que para toda

m b i ( f ) := 11 FbIiI e f i t H 0 g ( - i V ) f ( H o ) PA 11

son funciones en L*(R*, di). Además,

P+ + P- = i (Operador identidad),

(2.15)

(2.16)

mai(t) + O , si f 1 + +OO. (2.17)

Demostración:

Tomando 93 y(p') como en la Definición 2.9 es posible construir una medida POV. Con supp ij suficiente-

mente pequeño, nos podemos asegurar que se cumplan los requisitos necesarios para poder usar argumentos

de integración por partes [la]. En términos de la medida POV asociada con 7 se tiene la expresión para Pi

(2.18) P+ := A( Z@CpUSp, Z.(VP)(;))O) + 5 A ( k E S p U C p ) , 1

(2.19)

Por ser A ( . ) una medida I'OV, P i son operadores positivos y su suma es la identidad. Esto prueba el lema.

1 r- := A ( L @ c , u s , , z . ( v P ) ( ~ ) ~ o ) + 5 ~ ( k E s p ~ ~ p ).

Este lema indica que para el cumplimiento de la condición 1.54.C3 es suficiente con considerar el

comportamiento asintótico de la expresión

donde

F,! := I - F,, r > O.

g-' denota ia función l/g. g siendo una función C" con I g I ) C > O [le].

(2.21)

[la] Iiormander, L. "The existence of Wave Operators in Scattering Theory", Matliematische Zeitschrift.

["I La función g puede ser diferente para cada intervalo Z y debe cumplir estas condiciones unicamente en

un subconjunto compacto apropiado de R".

69-91, 146, 1976.

21

Cuando el potencial V tiene singularidades grandes en alguna región acotada del espacio de configu-

ración, conviene tomar el operador J de tal forma que el operador V . J sea un operador de multiplicación con

una función sin singiilaridades. Por un lado, esto nos permite considerar potenciales V con singularidades

locales fuertes. Por el otro, el comportamiento asintótico de la norma en (2.20) no puede ser estimada en

general sólo en términos del comportamiento asintótico del potencial V. La utilización de J nos añade una

expresión que depende del conmutador ['O]

[ II, J ] := II, ' J - J . If,. (2.22)

Sea r un conjunto cerrado y acotado en R" con medida de Lebesgue cero. V una función sobre R" a valores reales con V E LYoc(Rm \ r,dmt) para algún p 2 2. Definamos el siguiente operador simétrico en

Lz( Rml dmz) con dominio Cr(Rm \ r): H := H, + V, (2.23)

donde H, = P(-1V) es un operador vagamente elíptico. Sabemos que H tiene extensiones autoadjuntas[21].

Denotaremos por H a cualesquiera de estas extensiones.

Dada esta discusión podemos enunciar la proposición siguiente. Más adelante daremos ejemplos explíci

tos que cumplen las hipótesis necesarias.

Proposición 2.24

Sean H y If, dos operadores autoadjuntos en el espacio de Hilbert Z 3 L2(Rm, dmz). H una extensión

autoadjunta del operador definido en (2.23) y J un operador lineal acotado en Z. Pongamos S := S, U C,. Y denotemos por Pac(H,) E D el proyector ortogonal sobre el subespacio de continuidad absoluta de H,[''].

Supongamos que se cumplen las siguientes hipótesis:

i).- Existe una función g E Cm(Rm) con I g I 2 C > O , para alguna constante C, tal que

f c o

(2.25)

ii).- Y, es un operador compacto.

iii).- s - iim ( J - I ) ~ - ' ~ ~ O P ~ ~ ( H , ) = O,

I - f w

['"I Esta expresión en principio está definida para funciones en S(Rm) = Espacio de Schwartz de funciones

infinitamente diferenciables a valores complejos sobre R" que decaen -junto con sus derivadas de todo orden-

más rápido que el inverso de cuaiqiiier polinomio. ['l] I1 es una extensión autoadjunta de fi si D( f f ) c D( II ), fiv = Il<p para todo <p E D( fi ) y

además H es un operador autoadjiinto. Un teorema de von Neumann nos asegura que I? tiene extensiones

aut0adjunt.w. Ver "Methods of Modern Mathematical Physics". Vol 11. Academic Press, 1975. New York

por M. Reed y B. Simon. (''1 Ver nota al pie de página [8].

22

Y s - lim F,.Je-itHoPa,(Zf,) , para cada r < +OO.

t - f c a

iv).- Para cada rl, E Cr y 'p E CT( R' \ S) el operador

$(Z)(I - J*)p( H ) es compacto.

Entonces los operadores de onda

O*(Zf,Zfo; P,,(H,) ,J) := s - lim e i tHJe i tHo Pa, ( H , t-*aJ

existen y se tiene la igualdad

Además se cumple la complet,itud asintótica en sentido generalizado y el rango de los operadores de

onda, Ran 06, es precisamente el subespacio de los estados de dispersión para el operador if. Es decir,

Ran = M ; ( H ) . (2.27)

Demost ración :

Sólo necesitamos p r o h que todas las hipótesis de las proposiciones 1.70 y 1.76 se cumplen. Primero

vemos que las condiciones Cl-C5 se cumplen.

Por ser H, = P(-iV) un operador vagamente elíptico, entonces['3]

Ranpa,( If,) = L2(Rm \ S, u Cp). (2.28)

Sea 'p E Co(R \ S) con siipp cp c 1. Tomemos los operadores P* dados por el lema 2.14. Entonces para

estos operadores P* se cumple C1 por (2.16).

De (2.17) obtenemos que

El conjunto

{ E I E = 'p(Ifo)rl,, 'p E CO(Rrn \ S) , 11, E 3 ) (2.30)

es denso en Ran Pac(H,) por cálculo funcional[24], y además para 'p E C?(Rm \ S)

p(H0) Pac(~f0) = cp(H0). (2.31)

Un operador P(-iV) necesariamente tiene espectro absolutamente continuo sobre el conjunto de puntos

z E Rm tales que (VF')(;) # O. Puesto que P(S, U C,) es un conjunto numerable, a lo ni& puede haber

eigenvalores en este conjunt,o. En consecuencia, sólo puede haber eigenvectores de H, en L2(S, U C,). [241 Ver nota al pie de página [8].

23

De (2.29-31) se prueba C2,a. Como Pf es un operador positivo, en particular es autoadjunto, Z'* = Pz Por lo tanto también se cumple C 2 , b .

Para ver que se verifica C3 tomamos 'p E Cg(R \ S) tal que

supp p C Z C R\S. (2.32)

Sean f E CF(R \ S) con f ( z ) 1 para z E supp 'p y b > O como en el lema 2.14.

Por (2.25), (2.31) y el lerna 2.14 se deduce que C3 se cumple. De (2.31) obtenemos que

J'p(H,)( I - Pac(H0) = 0. (2.34)

Además, por hipótesis, Yz es compacto. Entonces C4 se satisface. Todas las demás hipótesis de las proposi-

ciones 1.70 y 1.76 se estan suponiendo dentro de esta proposición. Puesto que en la hipótesis (iv) se supone

C 5 , entonces las conclusiones de la proposición 1.84 son válidas. Se cumple por lo tanto (2.26) y los oper-

adores de onda son isometri as parciales.) En particular, su rango es cerrado. Esto completa la demostración.

Consideremos ahora una función 4 E Ca3(R+), con 11 4 (Ia3 5 1, y tal que 4(z) = O (respectivamente

1 ), para O < z < 1 (respectivamente 2 < z < +m). Con esta función definimos una regularización de la

proyección F,. Para 2 E Rm, y r > O definimos

Sea ro < +co fijo. M á s adelante tomaremos r, convenientemente. Definamos el operador de multiplicación

con la función jr0 por J. Entonces los operadores (J - I ) y Fr . J son operadores de multiplicación con

u n a función a soporte conipacto. Por un argumento de compacidad se puede demostrar que[25]

s - iim 17 e - i t H o P,,(H,) = O, 1 - f a 3

(2.36)

si q es una función en L2(Rm). Más aún, ( I - F,,) . ( I - J') E O para toda n >_ 2r,. En consecuencia,

la hipótesis 2.24.(iii) se cumple si totnamm precisamente este operador J.

cuadrática (2.22). De hecho, tenemos que en un subconjunto denso en L2( Rm)["] Como ya hemos mencionado, el cumplimiento de la condición (2.25) depende del potencial V y la forma

J(Ifo - *)-I - (If - *)-9 = (If - z)-' { [Ir, , J] + V . J } ( H , - .)-'. (2.37)

[''I Ver nota al pie de página [ l ] . [''I Sea H , = P(-~v) con P una función a valores reales tal que

I ~ ( $ 1 I 5 C( 1i1~~ + 1 ), para algunas constantes positivas c y N .

24

Para poder demostrar que (2.25) se cumple, primero veamos algunas propiedades de las normas que deseamos

estimar. Sea h" u n operador tal que

donde n es entero positivo y

Definamos

Y

De (2.35) concluimos que

Usando que Gn( -iV) es un operador de derivación obtenemos que para alguna constante C > O

De (2.38-44) obtenemos que

+o0 +ca

J h ( r ) dr < +co ¢j hz(r) dr < $00. O J O

(2.38)

(2.39)

(2.40)

(2.41)

(2.42)

(2.43)

(2.44)

(2.45)

Podemos suponer que N es un entero positivo. Sean q E CF(Rm) y q E L2(R") tales que

Tomemos 4 E S ( R m ) . Podemos encontrar Qfn E Cr(Rm) tal que

El operador ( [ ; I z N + 1 ) es esencialmente autoadjunto en Cr(Rm) por lo que debe existir tal sucesión.

Entonces,

Esto último es equivalente a ( q5,q ) = O , para toda función q5 E S(Rm) . Como este espacio es denso en

L2(Rm) necesariamente debemos tener q O. Por lo tanto, Ran (11, - z) restringido a CF(R") es denso

en L2(Rm). Esto es equiva1ent.e con que H, sea esencialmente autoadjunto en C?(R"). En consecuencia,

el conjunto de vectores 'p E Lz(Rm) tales que ( I i , - z)-l 'p E CF(R") es denso en L2(R").

25

Para dar una clase de potenciales que cumplen la condición (2.25) necesitamos del resultado siguiente["].

Sea Zm el conjunto de puntos en Rm con coordenadas enteras. Definimos

L ; = { w 1 sup I W(Z) 12Pr < m}, a E Z m J

C ,

donde Ca es el cubo unitario centrado en cyinZm. Para W E L i ponemos

r

(2.46)

(2.47)

Dado CV E L; y n entero positivo tal que n > m/2, existe una constante C independiente de W tal que

Supóngase que para algún r , < +o0 el potencial V satisface las condiciones

( 1 + 151 ) ' + C . V(Z)F,C, E L;. (2.50)

donde J es el operador de multiplicación con la función jro. Usando (2.48) se obtiene que

(2.51)

Tomando V . J = K en (2.45), esto implica que

(2.53)

Comparando (2.52) con (2.37) concluimos que si (2.49-50) se cumple, es necesario y suficiente que la condición

sea válida para que (2.25) sea también cierta. De Iiecho, cuando If, es uun operador en derivadas parciales, es

decir, P u n poiinomio, (2.54) se cumple, pues el conmutador [If, , J] se representa por u n a función a soporte

compacto en 5 E Rm. Para P una función más general utilizaremos del siguiente resultado fundamental en

la teoría de operadores pseudo-diferenciales. Aquí daremos Únicamente la versión que necesitaremos[28].

12'1 La demostración puede ser hallada en "Methods of Modern Mathematical Pliysics" . Vol IV. Academic

Press, 1975. New York por M. Reed y B. Simon. ['*I Kumano-go, I I . , "A Calculus of Fourier Integral Operators on R" and the Fundamental Solution for an

Operator of Hyperbolic Type". Comm. in Partial Differential Equations, 1-44, l(l), 1976.

26

Lema 2.55

Sean q(c) y Q(2) funciones en Cm(Rm) tales que para cada multi-índice (Y = ( ai, (YZ , ..., om ), la( 2 O, C 6 R' y O < p < 1 existen constantes Cat Có, para las cuales se cumplen las siguientes desigualdades:

(2.56)

(2.57)

Entonces para cada q entero positivo, existen N , , Ni, M,, M i , enteros positivos, tales que los operadores

Q(Z)@(-iV) y iTr(-iV)Q(E), restringidos al subespacio Co(Rm) (c L2(Rm ,dmx) ), pueden expresarse de

las formas siguientes:

(2.58)

(2.59)

Aqui D,, Di, F, y FQ son operadores lineales sobre L2(Rm ,dmx) con

G,(-iV) D,, G,(-iV) Di Gq(-iV)FqyG,(-iV)Fioperadores acotados en L2(R" , dmx). (2.60)

G,(i) está definida por la ecuación (2.39).

L a demostración puede ser hallada en Kumano-go["].

4

En el caso particular en que 3 ( k ) sea un polinomio, D,, Di, F, FQ son idénticamente cero para q

suficientemente grande.

Para verificar que (2.54) se cumple, notamos primero que es suficiente con probar que

11 [I], , J] G;'(-iV) x i j , 11 < C < +m, para alguna constante C independiente de r y V e = 1,2,. . . , m. (2.61)

Para probar que (2.61) se cumple, procedemos de la siguiente manera:

Por el lema 2.55 se deduce que

(2.62)

Tomemos 1 5 .t 5 rn. fijo. Las siguientes igualdades entre operadores son válidas si nos restringimos a

funciones en S(Rm). Recordemos que 11, = P(-iV) con P satisfaciendo una desigualdad como en (2.6) . Tomamos n 2 1 6 .

[H, , J ] Gñ'(-iV) xt j , = { [ H , , J ] [Cñ'(-iV) , ztj,] + xtj , Gñ'(-iV) }

= [ H o J] [Gñ'(-iV) z t j r ]

+ ( I - J) H, zrj,Gñ'(-iV)

= [lie , J] [Gñ'(-iV) , z t j r ] a + ( I - J ) ( z t If, - i-P ( - i V ) ) jrGñl(- iV)

= * a - ( I - J ) ( xt H, - i-P ( - iV) ) [Cñ'(-iV) , j,]

a + ( I - J ) ( zt 11, - i-P (- iV) ) Gñ'(-iV) j,. a k t

a k t

a k L

, J ] { [Gñ'(-iV) , z t j r ]

(2.63)

Aquí estamos suponiendo que r 2 2r0. Usando que G,(-iV) es un operador de derivación y por lo tanto

no cambia el soporte de u n a función se obtiene que

[Gñ'(-iV) , xljr] = - Gñ'(-iV) [IkIz"(-iV) , ztj,] Gñ'(-iV),

[ ~ ñ 1 ( - i v ) , j r ] = - ~ ñ ' ( - i ~ ) [1k12n(-i~> , j r ] G; ' ( -~v) .

(2.64)

(2.65)

Usando otra vez que G,,(-iV) es un operador de derivación se obtiene que existe u n a constante C unfiorme

en r 2 2r , tal que

En consecuencia, de (2.62-66) se obtiene que la expresión formal

Usando (2.67) y un argumento similar al dado para demostrar la ecuación (2.67) , funciona para probar

(2.61). Por lo tanto (2.25) se cumple.

Con base en la discusión dada anteriormente, podemos enunciar el siguiente resultado.

Proposición 2.68

Sea H, = P(-iV) , un operador vagamente elíptico con P una función Cm(Rm), tal que para ciertas

constantes positivas C1, Cz y n entero positivo se cumple

4

Ci . lkI2" 5 lP(c)I 5 C~1i1~", para todo Ikl 2 M para alguna constante positiva M . (2.69)

Supongamos que H es una extensión autoadjunta en L2(Rm, dmz) del operador H,+V con dominio CF(Rm\

r), donde I' es compacto y con medida de Lebesgue cero. Sea io suficientemente grande tal que c {Z E Rm I 151 5 ro } E Br,. Sea V E Lfoc(Bro \ I') para algun p 2 2, que cumple la ecuación (2.50) para algun E > O y siendo una función continua en el complemento de B,,, que tiende a cero en el infinito. Tomemos J

28

el operador de multiplicación con la función jro definida en la ecuación (2.35). Entonces los operadores de

onda

R*(H, If,; PaC(íf,,) , J ) := s - iim e i t H J e i t H e Pac(Ho) t-*m

existen, se cumple la compietitud asintótica en sentido generalizado y el rango de los operadores de onda es

precisamente el subespacio de estados de dispersión para el operador IT. Es decir

R a n o * = M z ( H ) . (2.70)

y además se cumple la igualdad

(2.71)

Demostración:

Es suficiente con verificar que todas las hipótesis de la proposición 2.24 son válidas en este caso.

Si tomamos GN(-iV) como en (2.39 ) con N > max( n, rn/2 ) se cumplen (2.49), (2.51) y (2.54). (2.25) es válida entonces para g ( k ) = G N ( k ) . (P(k) - z)-'. Para probar que la hipótesis ( i i ) se cumple

se usa el hecho que para dos funciones q, f E L2(Rm) el operador

..

q( 2) f ( -iV) es compacto. (2.72)

En consecuencia,

F, . v . J (IT, - z1-l . F,(-Iv) es compacto v r < 00, (2.73)

y por cálculo funcional se tiene

Esto implica que V . J ([I, - z)-' es un operador compacto pues es el límite en la norma de los operadores

de una sucesión de operadores compactos. Si tomamos ahora el operador G,(-iV) se tiene que (2.61) es

válida. Haciendo una estimación como en (2.74) se deduce que el operador [if,, J] G;'(-iV) es compacto.

Se tiene entonces

[If,, J ] (11, - z)-' = [IT,, J] Gñ'(-?V). (If, - z)-'G,,(-iV) = operador compacto (2.75)

debido a que en la parte derecha de esta ecuación se tiene un operador compacto multiplicado por un operador

acotado, por (2.75), y por tanto es también compacto.

Usando (2.37) se ve inmediatamente que (ii) se cumple. Las condiciones (iii) son válidas por la elección

del operador J y la ecuación (2.36). Para ver que también (iv) es válida, notemos que la función q(2) E

$(.>(I - 3') es una función en Co(Rm \ I?). U n argumento muy similar al dado arriba muestra que

(IT, - z ) - ' ~ ( ? ) - q(Z)(H - z)-' = compacto. (2.76)

29

Por el teorema de Stone-Weierstrass esto implica que para toda función <p E Cm(R')

(F(H,)~~(Z) - q(X)p(H) = compacto. (2.77)

Y se obtiene

q(")'p(H) = -[ )'p(H,)q(S) - q(X)(F(H) I + <p(Ho)r ) ( z ) = compacto, (2.78)

debido a (2.77) y (2.36). Esto completa la demostración. En la siguiente sección se dará una aplicación a la

ecuación de Klein-Gordon.

30

SECCIO N I11

La ecuación de Klein-Gordon es la ecuación diferencial parcial

m a at (i- - bo)' Q ( Z , t ) = [ ( D , - bj)' + m2 + qs(Z)] Q(Z,t),

j = l

Si A(?) es una función sobre R m , se denota indistintamente por medio de A al operador actuando por

multiplicación con la función A(Z), así como a la función misma. b j , j = O , 1 , 2 , . . . , m y qI son funciones

reales sobre Rm y ni es una constante positiva. Esta ecuación describe una partícula de spin cero y masa m

en la presencia de un potencial eléctrico bo , un potencial magnético b , , j = O , 1,2, . . . , m y qs un potencial

escalar.

Siguiendo el procedimiento usual podemos pasar la ecuación (3.1) a una ecuación equivalente la cuál es

de primer orden en el tiempo. Definamos fl(Z,t) = Q ( I , t ) y f Z ( i ? , t ) = i&Q(I,t). Ponemos

- f = (k). (3.3)

(3.1) es equivalente a la ecuación a - at i - f = h f , (3 .4)

donde h es el siguiente operador con dominio de definición D ( h ) = C ~ B ~ ( R " ' ) := Co(Rm) @ Cr(R"'):

m

L = (Dj - bj)' + m2 + q(z),

Se asocia con L una forma sesqiiilineal definida para 7, ¿j E C F i 2 ( R m ) por medio de la siguiente ecuación:

m

( 7 9 ¿j )E = ( (uj - b j ) f i 1 (uj - b j ) g i + (e2 + q(z))( fi , g i + ( fz , g 2 1. (3.9) j = l

Aquí (., .) es el producto escalar en L2(R"', dmz). h es un operador simétripo en esta forma, es decir,

Si bj = qI = O , j = 1 , . . . , m; la forma sesquilineal se reduce a la expresión

m

( 7 1 3 )o = ( o j f i 9 u j g i + e'( fi 91 + ( fz , g z 1. j = l

(3.11)

31

Fácilmente se verifica que la forma sesquilineal ( . , . ) o define un producto escalar. C0,2(Rm) es un espacio

Pre-Hilbert. Tomemos su cerradura en la norma heredada por el producto escalar. Se denotará la cerradura

por R 0 . Se obtiene por un cálculo directo que

31, = Hl$L2(R",drnX), (3.12)

donde 12,

transformada de Fourier. Las ecuaciones (3.4-8) se reducen para b, = qs = O, j = 1 , . . . , rn en

= (91 I( ( 1 + (f12)S/2F9 )I < +co } i el espacio de Sobolev de orden s. F denota aquí la

a - at

i - f = 11, ?,

H o = [L, 4 1

(3.13)

(3.14)

(3.15)

(3.16)

Denotemos por ,C;(Rm,dmx) E Ci alespacio L 2 ( R m , d m ~ ) @ L 2 ( R m , d m ~ ) y sea U, el operador de til@ L2(R", d"x) sobre Li(Rm,dmx) definido por

(3.17)

Aquí Lot2 está definido mediante cálculo funcional. Un cálculo directo muestra que U, es un operador

unitario de 31, sobre Ci . Más a ú n , se tiene la identidad

con

U:' H 0 U, = H , , (3.18)

(3.19)

Se sigue entonces que ti, es autoadjunto con dominio D(Ho) = 122 $ H1

Ahora se desea aplicar el mismo procedimiento a la forma sesquilineal (3.9). Si hacemos una comparación

con el caso b, = qs = O, j = 1 , . . . , m; vemos que para ese caso la forma sesquilineal asociada es

automáticamente definida positiva. Esto no sucede en general para cualesquiera elecciones de qs , b j , j = l , . . . ,m. De hecho, se va a tener u n a forma sesquilineal degenerada en general. Por teoría general se

sabe que toda forma sesquilineal semiacotada está asociada de manera Única a un operador lineal. La

forma sesqiiilineal (3.9) está asociada al operador L. Si el operador L tiene una extensión autoadjunta en

L2(R", dmx) definida positiva, es decir, L 2 E, para algun E > O, entonces se pueden seguir paso a paso los

argumentos dados anteriormente y llegar a una ecuación equivalente en el espacio Li(Rm, d m t ) . Nosotros

consideraremos ahora el caso en que L tiene una extensión autoadjunta en L2( Rm, dmx) con parte negativa

no trivial. Mostraremos cómo se puede tratar este caso.

En lo que sigue tomaremos bo = O.

32

Supongamos que L con dominio Cr(Rm) tiene una extensión autoadjunta en L2(Rm, d"z). Seguiremos

denotando por L a tal extensión. Para la mayoría de los potenciales qs, b j , j = 1, . . . , m, que son de interés,

se puede probar que el espectro esencial de L , oess(L), es el intervalo [ e, +m). Esto se puede verificar por

el teorema de Weyl. Supondremos entonces esto último pero permitiremos que L tenga parte negativa no

trivial .

Se denota por P al subespacio generado por los eigenvectores con eigenvalores no positivos. Y d e n e

taremos por P a la proyección ortogonal sobre P . Definamos el conjunto de vectores 7 tales que

- f = (;;)l (3.20)

(3.21)

(3.22)

como 'HE. Es fácil verificar que este conjunto de vectores es un espacio vectorial. Podemos definir en ' H E el

siguiente producto escalar (., . ) E :

(3.23)

'HE es un espacio de Hilbert bajo este producto escalar, pues en P' L es un operador definido positivo. L restringido a D ( L ) n P' será denotado por L+. Ahora definimos

H+ = (;+ ;). Un cálculo directo muestra que H+ es autoadjunto en XE con dominio

Definimos los siguientes operadores con sus respectivos dominios:

U+ es unitario y se tiene la igualdad

H+ = lJT1 H+ U+.

(3.24)

(3.25)

(3.26)

(3.27)

(3.28)

(3.29)

(3.30)

(3.31)

33

Notemos que ,Ci = 2~ @( P@P ). Aquí @ significa suma directa en el espacio de Hilbert ,Ci y @ significa

lo mismo pero en el espacio L2(Rm, dmx). Por otro lado, el operador H+ puede ser visto como un operador

en si extendemos a ese operador como el operador cero en P @ P . Es decir, se define

H = H+@O. (3.32)

Se puede ver que, bajo ciertas condiciones, es irrevelante para la teoría de colisiones el cómo se extienda al

operador. De esta forma la ecuación de Klein-Gordon queda escrita en la forma

a i- ilj = H \E, \k E .c;. at

(3.33)

Mientras que la ecuación de Klein-Gordon no perturbada es equivalente a la ecuación

(3.34) a i- <p = H, a, @ E L ; . a

La ventaja de esta nueva representación es que ambas ecuaciones están dadas en el mismo espacio de Hilbert

C;. Además, la interpretación física es clara en estas representaciones, en la cual existe un operador de

posición y una densidad de probabilidad definida positiva.

Recordemos que estamos suponiendo para L que tiene una extensión autoadjunta tal que aess(L) = [ e', $00) .

Denotaremos indistintamente a cualquier operador D sobre L2(Rm) con el operador actuando en .C; como ( o ;)- Sea J un operador acotado de L2(Rm) en s í mismo. Un cálculo muestra que

(3.35)

(3 136)

Ahora mostramos cómo se aplica la teoría anteriormente desarrollada.

Definimos

j = U+P'JUO', (3.37)

donde J está definido como en (2.35) y Pl = 1 - P. I siendo el operador identidad en L2(Rm). Un

cálculo directo muestra que la ecuación

(3.38)

es válida. Supongamos ahora que se cumple lo siguiente:

II(LJ - JL,)Gñ'(-iV)F,CII E h(r) E L'(R+,dr), para aigun n E NI (3.39a)

34

I((LJ - JL,)G;'(-io)(l < +m. (3.39 b)

Aquí IlAll denota la norma en L2(R") del operador A. G,(-iV) está definido por (2.2) y (2.39) y F," por

(2.21). Además, supongamos que

( L + i ) -V - J(L, + i ) -1 (3.40)

es un operador compacto en L2(Rm). Esto implica Laal que el operador

es un operador compacto en L2(R") para toda función 4 E C,(R'). Además, supondremos que el espectro

esencial de L está contenido en un intervalo (a,+m) para algun a > O. Entonces existe un intervalo

(O,€), E > O el cual no pertenece al espectro de L. Tomemos cp*(z) continuas tales que

(3.42)

Por lo tanto cp* E C,(R1) y cp*(L) = Pl(L:/2 f i)-', cp*(L,) = (L;" f i)-'. Entonces

son operadores compactos en L2(Rm). En consecuencia,

-1 I ( f i + i ) P J - P*J ( Ei, + i ) - 1 (3.44)

es un operador compacto en L;. Análogamente, si tomamos

se obtiene que

(3.45a)

(3.45b)

y por (3.44)

cp(fi)P'J - P*Jcp(fi,) operador compacto V cp E C,(R'). (3.45c)

Con esto podemos enunciar el siguiente resultado:

Proposición 3.46

Supongamos que existe un compacto I' de medida cero en R" contenido en la bola de radio r,, tales

l , . . . , m que las funciones 0, . b,, j =

Veáse referencia dada en la nota al pie de página [l].

l , . . . , m y qs pertenecen a LJ'(B2í, \I?), p 2 2 y b,, j =

35

pertenecen a Lq(B2,, \ I?), q 2 4. Sea L definido en la ecuación (3.6) con dominio Cr(R" \ r) c L2(R") y supongamos que este operador tiene una extensión autoadjunta en L2(Rm). Denotemos también por L a

tal extensión. Asumamos que el espectro esencial de L esté contenido en un intervalo (a, +m) para algun

a > O . Sea Lo el operador autoadjunto definido en la ecuación (3.15). Tomemos J como en (2.35) con r 3 T ,

y supongamos que para los operadores L , Lo y J se cumplen (3.39a-39b) y (3.41). Entonces los operadores

de Moller &(fi, I?,, P'J) existen y son asintóticamente completos en sentido generalizado. El rango de estos operadores, Rana* es precisamente el subespacio de estados de dispersión para el operador fi

Ran i&(fi , fi,, P'J) = M z ( f i ) . (3.47)

Además se tienen las siguientes igualdadades

(3.48)

M Z ( f i ) = M$(L:/") @ M g ( L y 2 ) = MQ,(L) @ M Z ( L ) . (3.49)

Aquí @ significa suma directa en Ci y

~ * ( f i , H,; P'J) = ~ * ( f i , H,) G s - iim exp{itli} exp{-itfi,}. (3.50) t - foo

Demostración:

Notemos que fi, es un operador vagamente elíptico en Ci. Los puntos críticos unión los puntos singulares

constan unicamente del punto (8,o) 6 Rm x R". Y los correspondientes valores críticos son &p. Ahora

mostraremos que los operadores de Moller Q,(&, H,, PLJ) E $26 existen y que para toda función cp E

crwl \ {*e}) (fi + i)-' (0, - J) p(k,) P* = operador compacto, (3.5 1 a)

donde P* estarán dados apropiadamente en base al lema 2.14. Primero veremos que dado un intervalo

compacto K en R', los límites fuertes

s - lim PK(fi)exp{itfij) j exp{-itfi,,} existen. (3.51b)

es suficiente con probar que para todo vector * = ($:) E C ~ ~ 2 ( R m ) , y toda

t - foo

Por el criterio de

función cp E CF(R' \ hp) d

IlzPK(k)exp{i t f i } j exp{-itfi,} c p ( f i , ) * [ I , - ; E L'(R*,dt). (3.52)

P,(H) denota el proyector espectral asociado a fi sobre el intervalo K. Tenemos que

exp{itfi}PK(fi)jexp{-itfi,}cp(fi,) 1 ~ 1 1 ~ ; = I I P K ( ~ ) [ f i j - j f i , 1 exp{-itfio}cp(fi,)~llL; 11 dt - < l I P ~ ( f i ) ( LJ - JL, )GZ1(-iV)FGtlll,-; . IIGn(-iV)L01/2. ( II YZ) cp(fi0)IL: . Il*llL;

+ IIPK(H)(LJ - LoJ)GL'(-iv)ll,-; . IIFbltlGn(-iV)Lo'/2 . ( :z 11) exP{-itfioIip(fio)~llc:

5 c1 . h(blt1) 4- c2 . ( IIFb~tle-"LI'aLO''2G,(-iV)cp(L0/2)~lII + IIF~ltle"LO''Lo'/2G~(-iV)cp(-L~/2)izll ).

(3.53)

[301 Veáse referencia dada en la nota al pie de página [l].

36

Aquí b es un número real positivo que será tomado convenientemente. Por (3.39a-39b) el primer término en

el lado derecho de esta última desigualdad es integrable sobre R' para cualquier b > O. En consecuencia, es

suficiente con demostrar que el segundo término en el lado derecho de esta desigualdad es también integrable

sobre R'. Para ver esto es suficiente con tomar b de la siguiente manera: Sea S la unión de los soportes en Rm de las funciones p( (lk12 + p2)i/2 ) y p( - (lkI2 + e 2 ) 1 /2 ). Tómese

(3.54)

Puesto que 'p E C?(R' \*e) entonces S no contiene el origen 6 E R". Por lo tanto b > O. Por estinmaciones

de fase estacionaria[31] se demuestra que el término

IIFblt,e-"L:/a Lo112Gn(-iV)<p(L012)$l 11 + IIFbltleitLA/a Lo1/2Gn(- iV)(p(-Li/2)$211

es integrable en R' para $1, $2 E Cr(Rm). Esto prueba (3.51b). Por otro lado, tenemos

j ] e - i ta.

(3.55)

Aquí hemos usado (3.45b) y (3.38), el hecho que operadores compactos mandan sucesiones débilmente

convergentes en fuertemente convergentes y además la propiedad

(3.56)

Notemos también que H, tiene espectro absolutamente continuo. Veánse notas al pie de página [23] y [25].

Esto muestra que

s - lim PK(H)eit'PLJe-itfio existen. (3.57) t - f w

Mediante cálculo funcional y un argumento de integración por partes se puede ver que se cumple la

siguiente proposición:

Sea H, = P(-iV) un operador vagamente elíptico. Sea 2 la unión de los valores críticos y los singulares

de la función P. Tomemos un compacto K en R" de 2. Sea además O una vecindad abierta de

B = {(VP)(iÉ I iÉE K }.

Entonces para toda función 4 con transformada de Fourier en el conjunto C?(Rm) y con soporte contenido

en K se cumple que para cada n E H existe una constante Cn que depende solo de n, el compacto K y U

tal que

I ( e-itHo4 )(z) I 5 c n . (1 + IZ- z01 + ~ t l ) - n . II(i + 11- Z , I ~ ) ~ I I

para todos los puntos Z,, I y todos los valores de t tales que (Z- Zo)/ t 4 U.

37

Para demostrar la existencia de los operadores Q*(f i , H,; P'J) es suficiente, por densidad, con ver que

'p(H,) existen, v 'p E C?(R'). (3.58) - lim e i t f i p ~ ~ e - i t f i o t - f w

Esto último se puede ver de la siguiente manera: Sea 'p E CF(R'). Tomemos un compacto I< c R' tal que

el soporte de 'p esté contenido en K . En consecuencia,

Aquí hemos usado (3.56), ( 3 . 4 5 ~ ) y un argumento como en (3.55). Esto prueba que los operadores de Moller

Q * ( f i , H,; P'J) existen. Ahora demostramos (3.51a). Denotamos para un intervalo compacto I< c R'

(3.60)

Notemos que P ~ ( f i ) . f i f , ~ = f i f , ~ . Sea 'p E Cr(R' \ {he}). Denotemos por 'pi y 'p2 a las funciones

cp1(1) := cp(z) y ( P ~ ( z ) := $o(-.). Sea TE, k = 1 , 2 un intervalo compacto conteniendo los soportes de las

funciones <Pk , k = i , 2 pero no a los puntos e y -e . Por el lema 2.14 existen funciones f k E CF(R' \ { & e } ) con f k Z 1 sobre Z k , b k > 0 y operadores P k , f , k = i , 2 tales que para toda función g E Cm(Rrn) se cumple

1 1 F~~ ltl g(- iv)fk(Lk'2) pk,f 11 E L'(R*,dt), (3.61)

y además Pk,+ + 9,- = I (Operador identidad en L2(Rm). Aquí k = 1,2. Tomamos b como el mínimo entre bl y b 2 . Definimos

(3.62)

Para esta elección de los operadores Pk se tiene

t

f o o

- < C1 . 1 drh(blr1) t

f o o

- < ~2 . J ár(llFblrle-irLi12 LO ' '2 G n ( - iv 1 'p 1 ( L o'2 fl ( LO' 1 Pi, f I I t

+ llFblrleirLi'2 LO " 2 G " ( - i V ) ~ ~ ( L k ' 2 ) f ~ ( ~ k ' 2 ) P ~ , ~ ~ ~ )

-0, s i t + f c o . (3.63)

Por otro lado, de (3.38) y (3.40) se tiene que 5 exp{itki)PK(fi)~exp{-itfi,}cp(H,) es una función continua

en la norma de R' a valores en los operadores compactos. Usando el mismo argumento que en las ecuaciones

(1.58-59) se demuestra que

P ~ ( f i ) ( f i f , ~ - j ) cp(H,) Pf = operador compacto si K es un intervalo compacto. (3.64)

38

Usando (3.55) y (3.45b) tenemos

P~(fi) (a* - j ) c p ( f i , ) P* = P~(fi) ( f i f , ~ - j ) cp(fi,) P* + P~(fi) [ j - p*J](~(fio) P*, (3.65)

es un operador compacto. Esto muestra

&(I?) (a* - P l J ) c p ( f i , ) P* = operador compacto si K es un intervalo compacto. (3.66)

Denotemos por K" el complemento en R' de K . En consecuencia, si tomamas K,, = [-n, n]

+ O si n + +OO. (3.67)

Esto muestra

(fi + i)-' (a* - P*J)p(;,) P* son operadores compactos (3.68)

pues por (3.6667) estos operadores son el límite en la norma de los operadores de una sucesión de opera-

dores compactos. Ahora hacemos notar que en la proposición (2.24) la hipótesis (i) se utiliza para probar

precisamente que la ecuación (3.68) es válida. La hipótesis (ii) de. esa misma proposición se cumple por

(3.44). L a hipótesis (iii) de la proposición (2.24) la verificaremos ahora. Para esto tenemos que utilizar el

concepto de operadores mutuamente subordinados mediante un operador. De (3.40) obtenemos que L y

L, son mutuamente subordinados mediante el operador J. En particular, para todo intervalo compacto C, existe una función f localmente acotada definida en R' tal que If(z)l 2 1, If(z)l -+ +o0 cuando 121 + +m

y el operador

f ( L ) J P c ( L , ) E operador acotado. (3.69)

Para el concepto de operadores subordinados y el resultado establecido en la ecuación (3.69) veáse referencia

dada en nota al pie de página [I]. Queremos ver primero que

s - lim eirfr)Je-itHo existen. t - f a 2

(3.70)

De (3.36) y el hecho que s - l imt +. 3xoeitHP'-Je-'"0 existen, es suficiente con demostrar que s - limt-.foo ~~e-it';'' existen. Para esto, es suficiente con ver que

para cada intervalo compacto C, s - limt-foo PJe-itLt'aPc(L,) = O. Recordemos que L tiene espectro

puramente puntual sobre el intervalo (-oo,O] y que P es precisamente la proyección espectral asociada a

L sobre este intervalo. Como además el espectro esencial de L es el intervalo [e2,+w) entonces los eigen-

valores no positivos no se pueden acumular más que en el infinito y la multiplicidad de cada eigenvector

asociado a esos eigenvalores es finita. Sea {Ai}:=? una enumeración de éstos en orden decreciente con

O = A,, A; > A;+l , V i 2 O. Denotemos por P; la proyección ortogonal sobre el espacio generado por los eigenvectores correspondientes al eigenvalor Ai, V i 2 O. Entonces

Veremos que estos límites son cero.

C P k = P. (3.71) k > O

39

(3.72)

Si tomamos N suficientemente grande, como If(.)/ -+ +co al infinito y se cumple (3.69), podemos hacer

arbitrariamente pequeño el primer término en el lado derecho de esta última desigualdad. Esto, independiente

de t . Haciendo tender t a foo, usamos que cada P k es un operador de rango finito (y por tanto compacto), que

operadores compactos mandan sucesiones débilmente convergentes en sucesiones fuertemente convergentes

y que se cumple (3.56) se obtiene que el segundo término en el lado derecho de l a última desigualdad en la

ecuación (3.72) tiene límite cero cuando t -i foo . Esto demuestra

(3.73)

Esto demuestra (3.70). L a hipótesis (iii) no se cumple estrictamente hablando pero podemos modificar la

demostración dada en la proposición 1.76. Para esto hay que notar que

I - JPL = I - J + JP. (3.74)

Para n suficientemente grande, tenemos que

F,c(I - JPI) = F;P. (3.75)

Esto y el hecho que si iE E Ec(i?) entonces P e - i f 8 9 = O se pueden utilizar para obtener los resultados

enunciados en l a proposición 1.76. Esto sustituye a la hipótesis

lim ll(I- Fn)(I- J*)ll = O. n-+w

de la proposición 1.76. Notando que.

P I J - I = -PJ + J - I , (3.76)

usando (3.73) y un argumento de densidad se prueba que s-linq,*,(P*J- I)e-itAo) = O . Un argumento

muy similar demuestra que s - limt+*a> FrP*Je-itfio) = O. Con esto hemos visto que la condición (iii) se

satisface.

40

Para verificar que también se cumple la hipótesis (iv) notamos primero que si q E C,OO(Bar, \ I') por

(3.6) se tiene

LOS términos de la forma [q, Lo] (Lo + i)-', -2bj(Dj .q)(L, + i)- ' , -q (Dj . b j ) (Lo + i)-' son operadores

compactos, pues un argumento como en (2.72-74) se puede seguir paso a paso. Hay que tener en cuenta que

Lo = -A + e2. Para la expresión -2bjqDj(L, + i)-l notemos que

- - 2 b j q ~ , ( ~ , + i)-' = - 2 ó , q f ( - i ~ ) , fj(i) = k j ( 1 i l 2 + i ) - ' , i 5 j 5 m, k = ( ~ l , k 2 , . . . , k j , . . - , n , > ,

(3.78) Teniendo esto en cuenta, el mismo argumento que en (2.72-74) funciona como antes. Esto implica que el

operador en el lado izquierdo de la ecuación (3.77) es un operador compacto. Puesto que el adjunto de un

operador compacto es compacto, se tiene

(Lo - i)-'?j(2) - ?j(Z)(L - i)-' = operador compacto (3.79)

para toda función q E CF(B2ro \ I'). Aquí

Stone Weierstrass se deduce que para toda función 4 E C,(R'), q E C?(&,, \ r) denota la función compleja conjugada a q. Por el teorema de

4(L , )q ( l ) - q(Z)4(L) = compacto. (3.80)

Puesto que el valor cero no pertenece al espectro de Lo es suficiente con tomar funciones 'p E CF(R' \ {O}). Entonces, para este tipo de funciones

(3.81)

(3.82)

(3.83)

41, 4 2 continuas

Tomemos q E CF(B2r, \ I'), 'p E C?(R' \ {O}). Definamos 41 y 4 2 como en (3.81-83). Usando (3 .80)

El mismo argumento funciona para 'p(-L:l2). De (3.84) se obtiene que

q(;C)'p(fi) = compacto V q E C?(B2r, \ I?), 'p E CF(I2').

(3.84)

(3.85)

41

Para que se cumpla la hipótesis (iv) de la proposición 2.24 para k, k, y P'J necesitamos probar que para

toda función $ E Cr y 'p E CF(R' \ {&Q) U { O ) ) se cumple

$(.'> ( I - J*P' )p~(k) = compacto. (3.86)

Notemos que p(k) = 'p(k>P' y [ P' l 2 = P*. Entonces la expresión en el lado izquierdo de la ecuación

(3.86) es igual a

$(23(1 - J)v(fi)P'. (3.87)

Puesto que $(Z)(1 - J) es una función a soporte contenido en BzTo \ r, de (3.85) y (3.87) se -obtiene

(3.86). Por lo tanto todas las conclusiones de la proposición 2.24 se aplican a los operadores de Moller

Rf(k, H,; P'J). En particular, (3.47) es válida. (3.48) es una consecuencia inmediata de las expresiones

para k y I?, junto con cálculo funcional. La primera igualdad en la ecuación (3.49) se sigue directamente de

(3.48) y del hecho que se cumplen las conclusiones de la proposición 2.24 para h, I?, y P'J. Para probar

la segunda igualdad tenemos que probar que

M Z ( L y 2 ) = M$(L). (3.88)

El que se cumplan (3.39a-39b) y (3.40) implica que todas las hipótesis de la proposición 2.24 son válidas

para los operadores L, Lo y J. Además, los operadores de Moller R*(L, Lo; J ) existen. Esto se puede ver

como en (3.53). En particular, el rango de estos operadores es precisamente

Ran R í ( L , Lo; J) = M $ ( L ) . (3.89)

Además , como el rango de los operadores de Moller Q*(L, Lo; J) está contenido en el subespacio de conti-

nuidad de L, y P proyecta sobre el espectro puntual de L se tiene

(3.90)

(3.91)

Por lo tanto los operadores R(L, Lo; P'J) existen y son iguales a Q(L, Lo; J). Pero por definición L . P' = L+. Se sigue que

R(L+, Lo; P'J) = R(L, Lo; P'J) = R(L, Lo; J). (3.92)

Por otro lado, si aplicamos el principio de invariancia en su versión débil para los operadores de M o l l e ~ [ ~ ~ ]

obtenemos, junto con (3.73):

R*(L:/2,Ly2,P'J) = R f ( L + , L , , P l J ) = R*(L,L,;J) . (3.93)

Pa] E l principio de invariancia en su versión débil establece que si para una función a (cumpliendo cier-

tas condiciones ) los operadores de Moller R(a(H),a(H,);J) existen y también los operadores de Moller

R(H, H,; J) existen, donde HI H, son operadores autoadjuntos y J es un operador acotado, entonces

R ( a ( H ) , a ( H , ) ; J) = R(H, H,; J). Para una demostración de este hecho, veáse :"Mathematical Scat-

tering Theory". Hellmut Baumgartel, Manfred Wollenberg. Birkhauser Verlag. Basel-Boston-Stuttgart.

1983.

42

De (3.89), (3.93) y (3.47-48) se sigue la segunda igualdad en (3.49). (3.50) se obtiene en la misma forma que

en la proposición 2.24. Esto prueba la proposición 3.46.

Una clase de funciones que cumplen las hipótesis (3.39a-39b) de esta última proposición son, por ejemplo,

funciones qs bj j = 1 . . . m tales que para algiin rol y V 121 2 ro

I b j ( Z ) I 5 C(1 + I2I>-'-'. (3.95)

y que además están en LP(Bro \ r) para algun p como se establece en el enunciado de la proposición 3.46

para un conjunto compacto contenido en Bra y con medida de Lebesgue cero.

Con esto terminamos este artículo.

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