karnaugh map

5/23/2018 Karnaugh Map

1/45

1

Karnaugh MAP (K-Map)

Pokok Bahasan :

1. K-map 2 variabel

2. K-map 3 variabel

3. K-map 4 variabel

4. Penyederhanaan rangkaian dengan k-map

Tujuan Instruksional Khusus :1.Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami cara

membuat k-map 2, 3, 4 variabel.

2.Mahasiswa dapat menerangkan dan memahami carapeng-cover-an minterm dalam sebuah k-map..

3.Mahasiswa dapat menyederhanakan persamaan logika

melalui metode k-map.


2/45

2

Karnaugh Map (K-Map)

Suatu peralatan grafis yang digunakan untuk menyederhanakan

persamaan logika atau mengkonversikan sebuah tabel kebenaran

menjadi sebuah rangkaian logika.

Salah satu metode yang paling mudah untuk penyederhanaan

Rangkaian Logika.


3/45

3

Map

Value A B Y

0 0 0 AB

1 0 1 AB

2 1 0 AB

3 1 1 AB

Karnaugh Map 2 Variabel :

( A dan B )

Tabel Kebenaran

A

AB3

AB1

AB2

AB0

0

1

0

1

B

Model II

AB3

AB2

AB1

AB0

0

1

0

1

AB

Model I

Map Value


4/45

4

Desain Pemetaan K- Map 2

Variabel

01

0

1

AB

A A

B

B


5/45

5


dengan minterm-mintermnya

x y F

0 0 1

0 1 1

1 0 0

1 1 0

0 1y

x

0

1

1

0 0

1

0 1yx

0

1

xy

xy xy

xy

x

y F = (m0,m1) = xy + xy


6/45

6

0A

1 0

1

B0 1

0

1F=AB +AB

0A

1 1

1

B0 1

0

1

F=AB +AB +AB

0A

1 0

1

B0 1

0

1F=AB +AB

0A

1 1

1

B0 1

0

1 F=A+B

F=AB +AB +AB


7/45

7

Contoh : 1

10

02

01

13

A

B 0Tabel Kebenaran 1

0MapValue

A B Y0 0 0 1

1 0 1 0

2 1 0 0

3 1 1 1

1AB

AB0

01

02

AB3

0

1

A

B 01

AB

Jadi Y = AB + AB


8/45

8

Contoh : 2

10 11

02

03

A

B 0Tabel Kebenaran 1

0MapValue A B Y0 0 0 1

1 0 1 12 1 0 0

3 1 1 0

1AB

AB

AB0 AB1

02

03

0

1

A

B 01

Jadi Y = A


9/45

9

0 kotak terlingkupi = 0 (Low)

1 kotak terlingkupi = 2 variabel output 2 kotak terlingkupi = 1 variabel output

4 kotak terlingkupi = 1 (High)

Melingkupinya harus posisi Horisontal

atau vertikal , yang dilingkupi digit 1 dan

jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1,2,4,8,16, ...)

Catatan untuk K-Map

2 Variabel

1

11

0 1

1

0

AB

B A

0 1

1

0

A

1

1 AB

AB

Y = AB + AB

Y = B + A


10/45

10

Contoh 3:

Dari Tabel Kebenaran dibawah, tulis persamaan

logikanya dengan menggunakan K-map :

11

1

01

0

1

AB

A A

B

B

Map

Value

A B Y0 0 0 1

1 0 1 1

2 1 0 0

3 1 1 1 01

0

1

AB

A A

B

B

1

1 1Jadi Y = A + B


11/45

Sederhanakan persamaan logika :

Y = A + AB + ABMenggunakan K- map :

Contoh 4 :

01

0

1

AB

A A

B

B1

1

111

1

01

0

1

AB

A A

B

B

Jadi Y = A + B

11


12/45

12


( A, B dan C )

1117

0116

1015

00141103

0102

1001

0000

YCBAMap

Value

Tabel Kebenaran

A

00 01 11

ABC5

ABC7

ABC3

ABC1

ABC4

ABC6

ABC2

ABC0

Model IIAB

00 01 11

ABC6

ABC7

ABC5

ABC4

ABC

2

ABC

3

ABC

1

ABC

0

10

0

1

10

0

Model IBC

C

Map Value

1


13/45

13

Tabel Kebenaran

1117

0116

1015

00141103

0102

1001

0000

YCBAMap

Value

Model III Model IV

ABC7

ABC6

ABC5

ABC4

ABC3

ABC2

ABC1

ABC0

0 1

00

01

10

11

A BC

ABC7

ABC3

ABC6

ABC2

ABC5

ABC1

ABC4

ABC0

0 1

00

01

10

11

B CA

Map Value


14/45

14


Variabel

00 01 11

0

1

10ABC

C

C

BB

A

A


15/45

15


1 kotak terlingkupi = 3 variabel output






jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n (1, 2, 4,

8, ... )

Catatan untuk K- Map

3 Variabel

00 01 110

1 11

1110

00 01 11

0

1 11

1110BC

A

A

A

B

00 01 11

0

1 11

1

10A

+ ABC+ ABCY = ABC


16/45

16

Contoh pengcoveran

00 01AB

C 0

1

11 10

C

B

A

cab

00 01 11 10

0

1

0 0 1 0

0 1 1 1

cout = ab + bc + ac

F(A,B,C) = m(0,4,5,7)

G(A,B,C) =

0 0

0 0

1 1

1 1C

B

A

1 0

0 0

0 1

1 1C

B

A

A

= AC + BC

cab

00 01 11 10

0

1

0 0 1 1

0 0 1 1

f = a


17/45

17

0A

1 1

1

00 01

0

1

BC

0

1 1

1

11 10

F=ABC +AB C+ABC +ABC+ ABC + ABC

A B C F0 0 0 00 0 1 1

0 1 0 10 1 1 01 0 0 11 0 1 11 1 0 1

1 1 1 1+

F=A+B C+BC0

A

1 11

00 01

0

1

BC

01 1

1

11 10

F=ABC +AB C+ABC +ABC+ ABC + ABC


18/45

18

Contoh 1 :

Tabel Kebenaran

Diketahui Tabel Kebenaran seperti disamping :Cari persamaan logikanya :

11117

1011611015

0001401103

00102

11001

10000

YCBAMap

Value

00 01 11

0

1

1 1

1 1 1

10BC

A

AB

AB

AC

Jadi Y = AC + AB + AB

Contoh 2 :


19/45

19

A

Diketahui Persamaan Boolean :

D = ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

Sederhanakan dengan metode K-map

00 01 11

0

1

1 1

1 1 1

10BCABC

ABC

ABC

ABCABC

00 01 11

0

1

1 1

1 1 1

10ABC

B

ACJadi D = B + AC



20/45

20

ABCD10

ABCD14

ABCD6

ABCD2

ABCD11

ABCD15

ABCD7

ABCD3

ABCD9ABCD13ABCD5ABCD1

ABCD8

ABCD12

ABCD4

ABCD0

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

ABCD10

ABCD11

ABCD9

ABCD8

ABCD14

ABCD15

ABCD13

ABCD12

ABCD6

ABCD7

ABCD5

ABCD4

ABCD2

ABCD3

ABCD1

ABCD0

CD

AB 00 01 11 10

00

01

11

10

Map

Valu

e

A B C D Y

0 0 0 0 0

1 0 0 0 1

2 0 0 1 0

3 0 0 1 1

4 0 1 0 0

5 0 1 0 1

6 0 1 1 07 0 1 1 1

8 1 0 0 0

9 1 0 0 1

10 1 0 1 0

11 1 0 1 1

12 1 1 0 0

13 1 1 0 1

14 1 1 1 0

15 1 1 1 1

Model 1

Model 2

Tabel Kebenarang p

( A, B, C dan D )


21/45

21

Dengan wxyz input


22/45

22


Variabel

AB

CD 00 01 11 10

00

01

11

10

A

D

C

B

C

D

A

B


23/45

23

Catatan untuk K-Map

4 Variabel









jumlah digit 1 yang dilingkupi 2n ( 1,2, 4, 8,16, ... )

111111

1111

1111

AB

CD 00 01 11 1000

01

11

10

1

111

11

ABCD 00 01 11 10

00

01

11

10

AC

A

ACD

BC

ABCDABCD


24/45

24

Contoh pengcoveran :

A' B' D + A' C + B' C D

B C' D' + A C' + A B D'

LT =

EQ =

GT =

K-map untuk LT K-map untuk GT

0 0

1 0

0 0

0 0D

A

1 1

1 1

0 1

0 0

B

C

K-map untuk EQ

1 0

0 1

0 0

0 0D

A

0 0

0 0

1 0

0 1

B

C

0 1

0 0

1 1

1 1D

A

0 0

0 0

0 0

1 0

B

C

A'B'C'D' + A'BC'D + ABCD + AB'CD


25/45

25

Contoh pengcoveran :

F= ABC+ACD +ABC

+AB CD +ABC+AB C

CD

0AB

1 1

0

00 01

00

01

0

0 1

1

11 10

1

1 0

111

10

1

1 1

1

F=BC+CD + AC+ AD

Contoh 1


26/45

26

C + BD

Kalau digambarkan dengan system coordinate

F(A,B,C,D) =

m(0,2,3,5,6,7,8,10,11,14,15)F =

D

A

B

A

B

CD

0000

1111

1000

01111 0

0 1

0 1

0 0

1 1

1 1

1 1

1 1C

+ ABD

Contoh 2 Diketah i Tabel KebenaranAB

A


27/45

27

11111

1

1

AB

00 01 11 1000

01

11

10

CD

A

D

C

B

AC

ABCD

ABD

Contoh 2 : Diketahui Tabel Kebenaran ,

cari persamaan logikanya.

Jadi Y = AC + ABD + ABCD

C

12 1

113 1

11

1000 01 11 10

00

01

11

10

CD

D

B

MapValue A B C D Y

0 0 0 0 0 0

1 0 0 0 1 0

2 0 0 1 0 13 0 0 1 1 1

4 0 1 0 0 0

5 0 1 0 1 0

6 0 1 1 0 17 0 1 1 1 1

8 1 0 0 0 0

9 1 0 0 1 1

10 1 0 1 0 0

11 1 0 1 1 1

12 1 1 0 0 1

13 1 1 0 1 0

14 1 1 1 0 0

15 1 1 1 1 0

WX

W


28/45

28

1

1111

1

11YZ 00 01 11 10

00

01

11

10

Z

1

1111

111

WX

YZ 00 01 11 10

00

01

11

10

W

Y

Z

Y

Y

X

WXYZ

YZ

WXZ

WXZ

Contoh 3 : Lingkarilah dan

Tulis Persamaan Logikanya.

Jadi M = WXYZ + WXZ + WXXZ + YZ

Ph i l I l i


29/45

29

Physical Implementasi

A B C D

EQ

Step 1: Truth table

Step 2: K-map

Step 3: Minimized sum-of-products

Step 4: Implementasi dengan

gates

K-map untuk EQ

1 0

0 1

0 0

0 0

D

A

0 0

0 0

1 0

0 1

B

C


30/45

30

Poin-poin penggunaan K-map

Tulis persamaan

logika hasil peng-

coveran.

Buat persamaan ke

bentuk SOP (melalui

tabel kebenaran).

Minterm-mintermnya

masukkan ke k-map (sesuaikan jumlah kotak

atau variabel input).

Lingkari (pe-ngcover-

an) yang benar.

D t C


31/45

31

Dont Care

Kondisi dont care merupakan kondisi dimana ada beberapakombinasi variable input yang tidak selalu dapat dinyatakan nilai

outputnya.

Keadaan dimana nilai outputnya tersebut bisa berlogic 1 atau

berlogic 0 yang disimbulkan dengan X atau d.

Kegunaan dari kondisi dont care pada penyederhanaan fungsi

dapat dinyatakan pada fakta bahwa dapat diset dengan logic 1

atau logic 0, berdasar kegunaannya untuk format kelompoklogic 1 yang lebih besar.

Karnaugh maps: dont cares (contd)


32/45

32

Karnaugh maps: don t cares (cont d)

f(A,B,C,D) = m(1,3,5,7,9) + d(6,12,13) f = A'D + B'C'D tanpa don't cares

f = AD + CD dengan don't cares

0 0

1 1

X 0

X 1D

A

1 1

0 X

0 0

0 0

B

C

C f0 00 11 01 1

0 00 11 X1

0

0

1

1

0

0

11

D0101

0101

0

1

0

1

0

1

01

1

0

1

0

0

X

X

00

A0000

0000

1

1

1

1

1

1

11

+

B0000

1111

0

0

0

0

1

1

11

+

Pengcoveran dengan Dont Cares


33/45

33

Pengcoveran dengan Don t Cares

0

AB

x x

1

00 01

00

01

CD

0

x 1

0

11 10

1

x 0

111

10

1

1 1

x

F=ACD+B+AC

Bentuk ilustrasi pengkoveran


34/45

34

Bentuk ilustrasi pengkoveran

0 X

1 1

1 0

1 0 D

A

1 0

0 0

1 1

1 1

B

C

6 prime implicants:

A'B'D, BC', AC, A'C'D, AB, B'CD

minimum cover: AC + BC' + A'B'D

essential

minimum cover: 3 essential implicants

0 0

1 1

1 0

1 0D

A

0 1

0 1

1 1

0 0

B

C

5 prime implicants:

BD, ABC', ACD, A

'BC, A

'C'D

minimum cover: 4 essential implicants

essential

minimum cover: ABC+ACD+ABC+ACD

Aplikasi K map


35/45

35

Aplikasi K-map

Pada Rangkaian Full Adder

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 0

0 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1+

S = ABCin + ABCin + ABCin + ABCin

Cout = ABCin + A BCin + ABCin + ABCin= ABCin + ABCin + ABCin + ABCin + ABCin + ABCin

= BCin + ACin + AB

= (A + A)BCin + (B + B)ACin + (Cin + Cin)AB

= 1BCin + 1 ACin + 1 AB

Metode Aljabar Boole

Aplikasi K map


36/45

36

Aplikasi K-map


Adder

Cin

Cout

SB

A


0 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 11 1 0 0 11 1 1 1 1

+

A

B

Cin

0

0

0

1 1 1

01

Pengisiaan digit 1 ke K-map

Karnaugh Map for Cout

Aplikasi K map


37/45

37

Aplikasi K-map


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

0

0 01

1 1 1Pengcoveran pertama.

Cout =ACin

Karnaugh Map untuk Cout

Aplikasi K map


38/45

38

Aplikasi K-map


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

0

0 01

1 1 1Pengcoveran kedua.

Cout = Acin +AB

Karnaugh Map for Cout

Aplikasi K-map


39/45

39

Aplikasi K-map


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

0

0 01

1 1 1

Karnaugh Map untuk Cout

Pengcoveran ketiga (seluruhnya)

Cout = ACin + AB + BCin

Aplikasi K-map


40/45

40

Aplikasi K-map


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S =ABCin

Karnaugh Map untuk S

Aplikasi K-map


41/45

41

Aplikasi K map


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCin +ABCin


Aplikasi K-map


42/45

42

Aplikasi K map


A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A

A B Cin S Cout0 0 0 0 00 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCin + ABCin +ABCin


Aplikasi K-map


43/45

43

Aplikasi K map


Coba anda gambar rangkaian diagramnya ?

A

B

Cin

Adder

Cin

Cout

SB

A


0 0 1 1 00 1 0 1 00 1 1 0 11 0 0 1 01 0 1 0 1

1 1 0 0 11 1 1 1 1

+

0

1

1 10

0 1 0

S = ABCin + ABCin + ABCin +ABCin

Karnaugh untuk S Tidak bisa direduksi

Latihan Soal 1:


44/45

44

Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawah

serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :

1. AB + BC + AB2. AC + ACB + BC + BC

3. XY + XZ + YZ

4. XY +YZ + XZ +XY

Latihan Soal 2 :


45/45

45

Gambarlah K-map untuk setiap ekspresi logika dibawah

serta sederhanakan dengan pengcoveran yang benar :

1. A(BC + C) + B(A + AC)

2. (AC + ACB). (BC + BC)3. Z(XY + XZ) . YZ(X+ Z)

Catatan : cari minterm-mintermnya dulu (rubah kebentuk SOP)

karnaugh map

Documents

ab ab ab 0a1 01b0 101f

ab ab 0a1 11b0 101f

ab ab 0a1 11b0 101 f

catatan untuk k

catatan untuk k

a ab abmenggunakan k