kapitel 3. elektroner i det fasta...

Kapitel 3. Elektroner i det fastatillstandet

[Understanding Physics: 20.1-20.3]

I detta kapitel skall vi studera bindningsmekanismerna och de fysikaliska egenskaperna hos fasta kroppar,

utgaende fran kvantmekaniska principer. Vi skall ocksa beskriva ledare, isolatorer och halvledare pa det

molekylara planet, samt narmare undersoka skillnaden mellan bosoner och fermioner och vad det innebar

i det fasta tillstandet.

Den moderna fysikens grunder, Tom Sundius 2010 JJ J I II × 1

3.1. Bindningen i molekyler och fasta kroppar

Da temperaturen for ett system av atomer eller molekyler sjunker, sa kommer atomerna att ordna sig sa,

att systemets totala energi minimeras. Da tva partiklar, som ar bundna till varandra av en attraktiv kraft,

narmar sig varandra, sa kommer systemets potentiella energi att avta (bli mera negativ). For att minimera

energin ordnar sig atomerna eller molekylerna darfor sa, att antalet bindningar blir sa stort som mojligt. Den

slutliga strukturen, dar varje atom ar forenad med de narmaste grannatomerna, kallas en fast kropp. Om

systemet hastigt kyls ner, blir molekylerna ordnade endast inom ett litet omrade. Darvid uppstar ett amorft

fast amne, sasom glas. Om avkylningen sker langsamt, ordnar sig molekylerna over ett storre omrade, och

en kristall uppstar.

Vi skall harnast beskriva fem allmanna former av bindning mellan atomer och molekyler, som uppstar pa

grund av Coulombvaxelverkan mellan elektriska laddningar i atomer och molekyler. I verkliga system ar

bindningen vanligen en blandning av dessa olika mekanismer.


Som vi tidigare sett, ar den yttersta elektronen i en alkaliatom endast svagt bunden till atomen. En energi

av storleken 5.1 eV ar salunda tillracklig for att frigora 3s–elektronen fran en natriumatom. A andra sidan

ar halogenatomer mycket stabilare da de mottar en extra elektron, som fyller upp deras yttersta subskal.

Salunda har klor konfigurationen 3p5 i sitt yttersta subskal, och blir darfor stabilare da den har fangat in

en sjatte elektron i detta subskal. Darvid frigors energin 3.6 eV.

Det behovs darfor en nettoenergi 5.1− 3.6 = 1.5 eV for att overfora en elektron fran en natriumatom

till en kloratom, varvid en Na+-jon och en Cl−-jon bildas. Lat oss upprita den potentiella energin for ett

bundet system som bildas av dessa joner, som funktion av deras inbordes avstand r. Vi far da en kurva,

som har ett minimum vid r = 0.25 nm. Detta ar systemets jamviktslage, dar den potentiella energin ar

4.9 eV lagre an energin i det fall att jonerna ar helt atskilda (dissocierade). Denna energi kan ocksa latt

beraknas utgaende fran Coulombenergin for de tva jonerna. Energin ar betydligt storre an nettoenergin (1.5

eV) som behovs for att overfora en elektron fran natrium till klor. Om avstandet mellan jonerna ar 0.25

nm, sa ar det darfor betydligt ”fordelaktigare”att overfora en elektron fran natriumatomen till kloratomen.

I detta fall ar atomerna bundna till varandra, det uppstar en jonbindning. Den totala energi som frigors,

da natrium och klor utbyter en elektron, och en jonisk Na+Cl−–molekyl uppstar, ar 4.9 − 1.5 = 3.4

eV. Denna energi kallas for dissociationsenergin for NaCl, eftersom det ar den energi som behovs for att

Na+Cl− skall forvandlas till tva fria neutrala Na och Cl atomer.


Att potentialenergin har ett minimum vid r = 0.25 nm kan forklaras pa foljande satt. Pa langa avstand

tacker inte jonernas elektronfordelningar varandra. De kan da uppfattas som tva punktladdningar +e

och −e, och systemets potentialenergi kan (enligt ekv. (15.16), s. 452) uttryckas U(r) = Q′V (r) =

Q′ Q4πε0r

, darQ = +e ochQ′ = −e. Saledes arU(r) = − e2

4πε0r. Da r minskar, borjar laddningsfordel-

ningarna att tacka varandra, och tva effekter samverkar till att oka systemets energi. Till forst minskar de

omgivande elektronfordelningarnas avskarmning av karnladdningarna, vilket leder till att repulsionen mellan

karnorna vaxer. Sedan borjar elektronerna kring de bada jonerna att bilda ett system, som ar underkastat

Pauliprincipen. Om inte Pauliprincipen skulle galla, sa skulle vi fa ett system med tva uppsattningar av

fyllda 1s–, 2s– och 2p–subskal i det extrema fallet att karnorna skulle sammanfalla (r = 0). For att

Pauliprincipen skall galla, sa maste halften av elektronerna excitera till hogre energitillstand, vilket okar

systemets energi.

I en jonmolekyl, sasom NaCl, befinner sig alla elektronerna i slutna subskal, och de har darfor sfariskt

symmetriska fordelningar. Jonbindningen fungerar darfor oberoende av jonernas inbordes orientering. Jon-

bindningen som uppstar mellan ett par Na+ och Cl− joner, kan utvidgas till ett stort antal joner. Darvid

uppstar en kubisk jonkristall (se fig. 20.3, eller bilden nedan). I en sadan kristall ar avstandet mellan narlig-

gande natrium och klorjoner R = 0.28 nm, nagot storre an avstandet mellan jonerna i en enkel molekyl. I

jonkristallen utsatts varje Na+–jon for Coulombattraktion fran de sex narmaste Cl−–jonerna, som befinner

sig pa avstandet R.


Den paverkas ocksa av Coulombrepulsion fran de tolv narmaste Na+–jonerna, som ar pa avstan-

det√R2 + R2 =

√2R, samt av Coulombattraktion fran atta Cl−–joner pa avstandet√

R2 + R2 + R2 =√

3R, osv.

Slutresultatet ar att summan av alla dessa kontributioner till natriumjonens bindningsenergi blir

Etotal =1

4πε0

e2

R(−6 +

12√

2−

8√

3+ . . .) ≈ −

1.7476

4πε0

e2

R


Konstanten∑′+∞

−∞(−1)k+l+m

√k2 + l2 +m2

≈ 1.7476 kallas Madelungs konstant for NaCl (tyvarr konvergerar

inte den ursprungliga serien). Om vi substituerar R = 0.28 nm far vi Etotal ≈ −9 eV.

Observera har, att vi har inkluderat vaxelverkan mellan en natriumjon och alla de andra jonerna i denna

berakning, och tillordnat vaxelverkningsenergin till natriumjonen. Da vi beraknar den elektrostatiska energin

for tva laddningar −e och +e med hjalp av uttrycket for Coulombenergin, sa beraknar vi i sjalva verket

den totala energin for laddningarna. Den elektrostatiska energin for en laddning ar halften av detta belopp,

varfor bindningsenergin for natriumjonen i en NaCl kristall ar 12Etotal ≈ −4.5 eV.

Den potentiella energin for en jonisk kristall far man genom att till bindningsenergin addera en repulsiv

term som ar omvant proportionell mot en potens av R, eller en term som avtar exponentiellt med R.

Denna term har betydelse endast pa korta avstand.

Bindningsenergin i en NaCl kristall ar alltsa betydligt storre an jonernas termiska energi i rumstemperatur

(kT ≈ 0.025 eV, T = 293 K). Varmevibrationer i rumstemperatur kommer darfor inte namnvart att

stora bindningarna i en sadan kristall. Bindningarna ar starka, och jonkristallerna ar darfor mycket harda,

och har hog smaltpunkt (1074 K for NaCl). Emedan alla valenselektroner ar bundna till bestamda atomer

med jonbindningar, sa finns det inga rorliga laddningsbarare som kan alstra en strom genom kristallen.

Jonkristaller ar darfor goda isolatorer.


Kovalent bindning (eller atombindning) uppstar, da elektroner delas mellan atomer sa att slutna subskal

uppstar. Ett exempel ar vatemolekylen H2, dar vateatomernas 1s elektroner binds till karnorna sa att ett

slutet 1s2 –subskal uppstar.

Lat oss beteckna de bada vatekarnorna A och B samt elektronerna 1 och 2. Systemets potentiella energi

blir darvid U = e2

4πε0(r−1AB + r−1

12 − r−1A1 − r−1

A2 − r−1B1 − r−1

B2) och dess Schrodinger-ekvation antar

formen − ~22m(∇2

1 +∇22)ψ + Uψ = Eψ.

Om rAB ar mycket stort, bestar systemet av tva normala vateatomer. Lat oss beteckna vagfunktionen

for elektron 1 i ett vateliknande 1s tillstand, som ror sig kring karnan A med 1sA(1) etc. En mojlig

vagfunktion for bada elektronerna blir da ψ1 = 1sA(1)1sB(2) eller ψ2 = 1sA(2)1sB(1). Dessa

vagfunktioner fungerar dock inte bra, eftersom elektronerna ar identiska partiklar. Detta insags av Heitler

och London∗ pa foljande satt.

De utgick istallet fran de symmetriska och antisymmetriska kombinationerna ψS = ψ1 + ψ2 och ψA =

ψ1 − ψ2, som ocksa ar losningar till Schrodingerekvationen. Mot ψS och ψA svarar tva energikurvor

ES och EA som kan ritas som funktion av avstandet mellan karnorna rAB. Vi ser da att EA svarar

mot repulsion pa alla avstand, medan ES ger upphov till en stabil molekyl (det beraknade jamviktslaget

rAB ≈ 0.087 nm).

∗Z. Physik 44(1927)455


Har har inte elektronernas spinn beaktats. Om man gor det, sa maste vagfunktionerna multipliceras med

lampligt valda spinnfunktioner, sa att den totala vagfunktionen blir antisymmetrisk och saledes uppfyller

Pauliprincipen. Enligt Pauliprincipen kan bada elektronerna vara i samma tillstand endast om de har mot-

satta spinn. I det bundna tillstandet ar spinnen darfor motsatta, och ett energiminimum uppstar vid ca

0.074 nm, som ar karnornas jamviktsavstand, den kovalenta bindningslangden.

Om elektronerna har samma spinnriktning, kommer sannolikheten att finna en elektron mellan karnorna att

vara mindre, an om elektronerna har motsatta spinn. Den motsvarande potentialkurvan saknar da minimum,

och inget bundet tillstand kan uppsta. Figuren nedan visar vatemolekylens energikurvor.


Kovalent bindning innebar alltsa, att elektroner med motsatta spinn fran olika atomer med delvis fyllda

subskal paras ihop. Den kovalenta bindningen forutsatter alltsa, att laddningsfordelningarna delvis tack-

er varandra. I sektion 19.7 har vi observerat, att sannolikhetsdistributionerna for p–elektronerna har ett

markant vinkelberoende. Den kovalenta bindningen kommer darfor att uppvisa ett starkt riktningsberoende.

Atomerna har en bestamd orientering i en kovalent bindning som inkluderar p–elektroner, i motsats till jon-

bindningarna, som inte har en bestamd orientering.

Elementen i grupp IV (kol, kisel och germanium) har fyra hal i de yttre p–skalen. Som vi minns ifran

diagrammet som visar den ordning, i vilken subskalen fylls, sa ar bindningsenergierna for de yttre s– och

p–skalen ganska lika, sa att alla de fyra elektronerna i s– och p–subskalen kan delta i den kovalenta bind-

ningen. Kolatomen, som har konfigurationen 1s22s22p2 i grundtillstandet, bildar fyra kovalenta bindningar,

som ar riktade mot hornen av en tetraeder. Detta tillgar sa, att en av elektronerna i 2s–skalet exciteras

till 2p–skalet, varpa orienterade vagfunktioner bildas genom sp3–hybridisering av vagfunktionerna (fyra

linjarkombinationer av en s–orbital och tre p–orbitaler uppkommer). Figuren visar en metanmolekyl, som

uppstar pa detta satt.


Da kolatomer binds samman med manga andra kolatomer i en tetraedrisk struktur uppstar en diamant-

kristall, som har en mycket hog bindningsenergi (7.4 eV). Ocksa elementen i grupp IV ar goda isolatorer,

eftersom det inte finns rorliga laddningsbarare. Kolatomernas vagfunktioner kan ocksa hybridiseras pa andra

satt, t.ex. trigonal (eller sp2–) hybridisering, som bildas av tre orbitaler i ett plan, och en fjarde vinkelratt

daremot.


Da en kristall bildas av atomer, som innehaller svagt bundna valenselektroner sasom natriumatomer, kom-

mer valenselektronerna att delas mellan dem, liksom i kovalent bindning, men elektronerna delas inte

bara mellan de narmaste grannatomerna, utan mellan alla positiva joner i kristallen. Metallbindningen

uppstar alltsa mellan ett ”hav” av fria elektroner och fasta, positiva joner. Liksom jonbindningen, har

metallbindningen inget riktningsberoende, och binder inte heller ihop bestamda grannatomer. Den attrak-

tiva Coulombkraften verkar i godtyckliga riktningar. Da en metall deformeras, spricker den inte eftersom

metallbindningarna (de kohesiva krafterna) verkar i alla riktningar. Rena metaller ar darfor formbara och

smidbara. Elektronerna i en metall ar inte bundna till speciella atomer, och kan darfor rora sig fritt inom

materialets granser. Metallerna innehaller ett mycket stort antal rorliga laddningar, och leder darfor utmarkt

bade varme och elektricitet.

I endel molekyler, som kallas polara molekyler, kommer laddningen att dela pa sig pa grund av att elek-

tronerna delas mellan atomerna. Pa grund harav uppstar ett permanent elektriskt dipolmoment i molekylen.

Vattenmolekylen ar ett exempel pa en sadan molekyl. I fasta kroppar staller sig polara molekyler sa, att

dipolernas positiva komponenter befinner sig nara de negativa komponenterna av andra dipoler (se fig.

20.7). Som framgick av diskussionen om adelgasmolekyler, sa har atomer med slutna subskal inga elek-

triska eller magnetiska dipolmoment. Likval kan det elektriska faltet som alstras av en polar molekyl ge

upphov till separation av laddningarna, och salunda ett elektriskt dipolmoment i en adelgasmolekyl. En polar

molekyl kan darfor binda en adelgasatom (polar bindning). Detta motsvarar en stavmagnets attraktion av

ett stycke jarn.


Adelgaser kan ocksa bilda foreningar med varandra. Aven om elektronfordelningen i en adelgas i medeltal ar

sfariskt symmetrisk, sa kan elektronfordelningarna mellan narliggande atomer vara korrelerade. Detta kan

grovt beskrivas med Bohrs modell. Vi betraktar tva heliumatomer, som vardera har tva elektroner i cirkulara

banor (fig. 20.8 i boken). I medeltal ar det elektriska dipolmomentet noll, emedan elektronen lika garna kan

befinna sig pa den ena sidan om atomen som pa den andra. I ett visst ogonblick ar dipolmomentet dock

olika noll. Detta fluktuerande dipolmoment alstrar ett elektriskt falt, som polariserar laddningsfordelningen

i narliggande atomer. Det kommer darfor att ge upphov till korrelerade, ordnade dipolmoment. Kraften som

verkar mellan dipolmomenten ar attraktiv och binder atomerna. Denna mekanism kallas for van der Waals

bindning, som i allmanhet ar mycket svag, och darfor endast kan observeras i atomer dar inga jonbindningar

eller kovalenta bindningar upptrader. Adelgaserna kristalliseras endast vid mycket laga temperaturer, dar

de termiska energierna ar alltfor sma for att bryta sonder de svaga van der Waals bindningarna.


3.2. Den klassiska fria elektronmodellen

Vi skall nu anvanda en enkel elektronmodell for att forklara den elektriska ledningsformagan σ, som

definieras genom Ohms lag: J = σE (ekvation 15.19). I den fria elektronmodellen, som introducerades

av Paul Drude i slutet av 1800–talet, gors tva antaganden pa basen av metallbindningsmekanismen:

1. De svagt bundna elektronerna kan fritt rora sig inom metallen. Dessa kallas ’fria elektroner’, eller

ledningselektroner.

2. Potentialen som beror pa jonattraktionen i kroppen ar konstant inom kroppen.

Ledningselektronerna antas kunna rora sig fritt inom en region med en konstant attraktiv potential i den

fasta kroppen. Vid kroppens gransytor upphor den attraktiva potentialen, och elektronerna stoter pa en hog

potentialbarriar, som haller dem kvar i kroppen. Man forvantar sig darfor att de beter sig som en klassisk

gas i enlighet med den kinetiska teorin, och att de foljer Maxwell–Boltzmanns statistik. Medelhastigheten

for en elektron ar da vrms =√

3kT/m (dar m ar elektronens massa), som ger vardet vrms = 1.2 ·105

m/s i rumstemperatur (T = 300K).


I ett konstant likformigt elfaltE utsatts en elektron for kraften F = qE och kommer darfor att accelerera.

Vi vet emellertid, att elektriska strommar, och darfor ocksa elektronernas hastigheter ar konstanta, da en

elektrisk ledare utsatts for ett konstant likformigt elfalt. Harav foljer, att elektronerna i ledaren utsatts

for en motstandskraft, motsvarande det viskosa motstandet, som forsoker att bromsa upp elektronerna sa

att deras hastighet begransas till en drifthastighet vd. I den klassiska modellen antas orsaken till denna

motstandskraft vara vaxelverkningar med positiva joner i kristallgittret. Som vi senare skall se, stods inte

detta antagande av detaljerade rakningar. Vi skall nu tillampa modellen pa den elektriska ledningsformagan.

Da ett elektriskt falt palaggs de fria elektronerna i en ledare far de en drifthastighet, som adderas till deras

normala slumpmassiga rorelser. Ett analogt exempel ar t.ex. ett fortunaspel, dar ett antal kulor satts i

rorelse pa ett brade, dar de kolliderar med vertikala pinnar. I allmanhet ror de sig ganska slumpmassigt,

men om bradet lutas, kommer den slumpmassiga rorelsen att overlagras med en rorelse ned langs bradet.

I avsnitt 15.2 (s. 436) beraknades drifthastigheten vd vara omkring 10−4 m/s for en 1 A strom i en

kopparledning med 1 mm diameter. Observera, att denna hastighet ar omkring nio dekader mindre an

elektronernas medelhastighet (se ovan). Eftersom vd vrms, sa har drifthastigheten mycket liten inverkan

pa elektronernas kollisionshastighet. Vid rumstemperatur bestams denna nastan enbart av vrms.

Elektronernas driftrorelse bestammer den makroskopiska strommen genom ledningen. Enligt ekvation (15.3)

(s. 435) kan stromtatheten uttryckas som J = ρv, dar ρ ar laddningstatheten (laddningen per enhets-

volym) och v ar drifthastigheten.


Da laddningsbararna ar elektroner med laddningen −e, som ror sig med hastigheten vd, sa far vi J =

−neevd dar ne ar elektrontatheten (antalet elektroner per enhetsvolym). Eftersom kraften pa en elektron

ar F = −eE = ma, sa ar accelerationen a = −eE/m. Om E ar konstant, sa ar saledes ocksa a en

konstant. For enkelhetens skull skall vi anta att elektronerna bringas till vila vid varje kollision med en jon

i gittret. Om τ ar medeltiden mellan kollisionerna (’spridningstiden’), sa ar den hastighet, som elektronen

far (dvs drifthastigheten) vd = v0 + at = −eEτ/m. Om detta varde substitueras i utrycket for

stromtatheten, fas J = nee2τ

m E. Denna ekvation overensstammer med Ohms lag, om vi valjer σ = nee2τ

m .

Detta teoretiska varde for ledningsformagan stammer dock inte bra med det experimentella vardet, som vi

strax skall se.

Eftersom kollisionshastigheten bestams av medelhastigheten, sa kan vi uppskatta spridningstiden ur ekvatio-

nen τ = l/vrms, dar l ar den fria medelvaglangden mellan kollisionerna. Den uppmatta ledningsformagan

for koppar ar 6 · 107 Ω−1m−1. I exempel 20.2 beraknas elektrontatheten i koppar ne vara 8.4 · 1028

m−3. Om vi substituerar detta varde i det teoretiska uttrycket for σ, fas τ = 2.5 · 10−14 s. Med hjalp

av vart tidigare varde for medelhastigheten i rumstemperatur, 1.2 · 105 m/s, fas vardet l = 3 nm for

den fria medelvaglangden for koppar. Da detta varde ar mer an tio ganger storre an avstandet mellan

kopparatomerna i metallen (0.209 nm), sa stammer alltsa den klassiska modellen for ledningsformagan

inte overens med observationerna.


Den klassiska teorin misslyckas ocksa med att forklara ledningsformagans observerade temperaturberoende.

Av ekvationen vrms =√

3kT/m vantar vi oss, att vrms ∝√T . Darav foljer att τ , och saledes ocksa

σ, borde vara proportionella mot 1/√T . Experimentellt har man dock funnit, att σ ∝ 1/T .

En annu storre diskrepans finner vi mellan den experimentella och teoretiska varmekapaciteten. Pa s. 289

konstaterades, att den molara varmekapaciteten vid konstant volym for en ideal gas ar cVm = 32R, dar

R ar den molara gaskonstanten. Enligt den klassiska fria elektronmodellen, borde denna ekvation ocksa

galla for ledningselektronerna i en fast kropp. Varmekapaciteten for ledningselektronerna borde adderas till

varmekapaciteten for kristallgittret. Experimenten visar emellertid, att varmekapaciteten for metallerna inte

skiljer sig anmarkningsvart fran varmekapaciteten for andra kristallina material. Bidraget fran ledningselek-

tronerna ar darfor betydligt mindre an vad den klassiska teorin forutsager. I sjalva verket visar experimenten

att detta bidrag ar omkring 10−4RT vid temperaturen T .

Det laga experimentella vardet for varmekapaciteten visar att nagon mekanism, som inte tagits i beaktande,

forhindrar ledningselektronerna fran att absorbera energi. I analogi med den fotoelektriska effekten kan vi

gissa, att denna mekanism ar kvantmekanisk till sin natur. I nasta avsnitt skall vi tillampa kvantmekanik

pa ledningselektronerna, och skall darav finna att vi kan forklara avvikelserna mellan teori och experiment.


3.3. Den kvantmekaniska fria elektronmodellen

I kvantmekaniken behandlas ledningselektronerna som ett enda fermionsystem, pa ett liknande satt som

elektronerna i flerelektronatomer. Systemet begransas endast av den fasta kroppens yttre dimensioner, och

kommer darfor att innehalla ett oerhort antal fermioner (ca 1028 m−3). Systemet kan alltsa behandlas

som atomer med flere elektroner, om vi gor foljande antaganden:

1. Elektronernas energinivaer ar kvantiserade, eftersom de befinner sig i ett bundet system.

2. Dessutom maste de uppfylla Pauliprincipen, dvs tva elektroner kan inte ha samma uppsattning kvanttal,

och energinivaerna fylls i den ordning, som energin vaxer.

Dessa nya principer kommer att forandra den statistiska fordelningen av elektronenergierna i en ledare.

En klassisk elektrongas foljer Maxwell–Boltzmanns statistik, enligt vilken alla elektroner kan ha samma

energi vid 0 K, i strid med Pauliprincipen. Darfor behover vi en ny statistik, som stammer overens med de

kvantmekaniska lagar, som bestammer hur ett system av identiska fermioner beter sig. Detta kommer att

paverka det satt, pa vilket en fermiongas upptar energi, och saledes ocksa deras varmekapacitet.

Eftersom elektronerna kan uppfattas som vagor, kommer ocksa detta att inverka pa deras rorelse genom

kristallgittret, och darmed deras elektriska ledningsformaga.


I ovrigt gors samma antaganden som i den klassiska modellen. Vid kroppens ytterkanter kommer elektroner-

na att stota pa en stor potentialbarriar, som approximativt kan beskrivas med en tredimensionell oandlig

potentialbrunn, en tredimensionell lada. Vi skall nu studera detta problem kvantmekaniskt.

Pa s. 386 visade vi, att losningen till Schrodingerekvationen for en endimensionell potentialbrunn kan skrivas

ψ(x) = B sin kx, dar k =√

2mE/~. Gransvillkoren leder till kvantisering (staende vagor), sa att

vagtalet k endast kan anta vardena kn = nπ, n = 1, 2, 3, . . .. Energierna ar darfor kvantiserade enligt

ekvation (13.42): En = n2E0; E0 = ~2π2

2ma2.

Detta resultat kan latt generaliseras till tre dimensioner (x, y, z). Den tredimensionella Schrodinger-

ekvationen for en partikel som ror sig i en potential V = 0 (fri partikel) ar

−~2

2m

(∂2ψ

∂x2+∂2ψ

∂y2+∂2ψ

∂z2

)= Eψ

For att losa denna ekvation separeras variablerna pa ett liknande satt som tidigare. Vi utgar alltsa fran

ansatsen

ψ(x, y, z) = ψ1(x)ψ2(y)ψ3(z),


som substitueras i Schrodingerekvationen. Vi far da

−~2

2m

[ψ2ψ3

d2ψ1

dx2+ ψ1ψ3

d2ψ2

dy2+ ψ1ψ2

d2ψ3

dz2

]= Eψ1ψ2ψ3

Genom division med ψ1ψ2ψ3 far vi da

−~2

2m

[1

ψ1

d2ψ1

dx2+

1

ψ2

d2ψ2

dy2+

1

ψ3

d2ψ3

dz2

]= E

som kan skrivas

−~2

2m

1

ψ1

d2ψ1

dx2= E +

~2

2m

[1

ψ2

d2ψ2

dy2+

1

ψ3

d2ψ3

dz2

]Vanstra membrum beror alltsa enbart av x, och hogra membrum inte alls av x. Alltsa ar vartdera membrum

en konstant (C), och vi kan uttrycka den x–beroende ekvationen i formen

−~2

2m

d2ψ1

dx2= Cψ1,

som ar Schrodingerekvationen for en endimensionell oandlig potentialbrunn.


Dess losning ar, som redan vet, ψ1(x) = A sin k1x. Ekvationerna i avseende pa y och z kan sedan

konstrueras genom att upprepa separationen, och vi finner alltsa att ψ2(y) = B sin k2y, och ψ3(z) =

D sin k3z.

Vi kan alltsa slutligen skriva den fullstandiga losningen till den tredimensionella Schrodingerekvationen

i formen (med beteckningen A′ = ABD) ψ(x, y, z) = A′sin k1x sin k2y sin k3z. Om ladan

ar en kub med kantlangden a, sa foljer av gransvillkoren k1 = n1π/a, (n1 = 1, 2, 3 . . .), k2 =

n2π/a, (n2 = 1, 2, 3 . . .), och k3 = n3π/a, (n3 = 1, 2, 3 . . .). Egenvardena, dvs de kvantiserade

energierna, ar En1n2n3= E0(n

21 + n2

2 + n23).

Observera, att vi som forr har ett kvanttal for varje frihetsgrad.

Vi skall studera energinivaernas besattning vid absoluta nollpunkten. Av uttrycket for energin foljer omedel-

bart, att grundtillstandet nas da n1 = n2 = n3 = 1. Vi skall beteckna energitillstanden med

(n1, n2, n3), sa att det lagsta tillstandet alltsa ar (111). Dess energi ar 3E0. Om vi beaktar, att

varje elektron har tva spinnriktningar, sa kan vi alltsa ha tva elektroner i detta tillstand. Det foljande till-

standet (211) har energin 6E0. Det ar tredubbelt degenererat, eftersom tillstanden (121) och (112)

ocksa har samma energi. Genom att beakta elektronspinnet finner vi, att besattningstalet ar 6 (sexfaldig

degeneration).


Det foljande energitillstandet ar (221) med energin 9E0. Det har samma energi som (122) och (212),

varfor degenerationen ocksa har ar sexfaldig, da spinnet beaktas. Pa detta satt kan vi fortsatta att fylla

upp energitillstanden. Om vi t.ex. antar, att vi har en elektrongas med 40 elektroner, sa kan vi fylla alla

energinivaer mellan 3E0 och 17E0 enligt tabellen nedan:

Tillstand Energi Besattning Aterstod

(1 1 1) 3E0 2 38

(2 1 1) 6E0 6 32

(2 2 1) 9E0 6 26

(3 1 1) 11E0 6 20

(2 2 2) 12E0 2 18

(3 2 1) 14E0 12 6

(3 2 2) 17E0 6 0

Detta resultat ar mycket olika det klassiska resultatet for T = 0. I detta fall ar medelenergin for en

elektron 32kT = 0, sa att alla 40 elektroner har energin 0.


Energin for det hogsta besatta tillstandet (17E0) for en gas med 40 elektroner kallas Fermienergin EFfor gasen vid 0 K. Energifordelningsfunktionen F (E) anger sannolikheten for att en energiniva ar fylld,

som funktion av energin. Om E < EF , sa ar F (E) = 1, och da E > EF , sa ar F (E) = 0 (se fig.

20.10, se nedan). Denna funktion, som kallas for Fermi–Diracs fordelningsfunktion vid 0 K, kan tillampas

pa alla fermionsystem och skiljer sig betydligt fran Maxwell–Boltzmanns fordelningsfunktion.

En elektrongas med 40 elektroner visar hur Pauliprincipen bestammer energifordelningen for ett system av

elektroner i en tredimensionell lada (en Fermigas). Denna metod ar givetvis inte sarskilt anvandbar for en

verklig ledare som innehaller omkring 1028 elektroner per m3. I nasta avsnitt skall vi se, hur Fermienergin

beraknas i detta fall.


kapitel 3. elektroner i det fasta...

Documents