101

7. TROJROZMERN GEODZIA

Vo Svetovom geodetickom systme polohu bodu urujeme geodetickmi zemepisnmi sradnicami j, l a vkou HN nad nulovou vzanou plochou. Zemepisn sradnice j, l zodpovedaj priemetu bodu, ktor le na ternnom relife Zeme, na normle k referennmu elipsoidu. Vka HN sa vzahuje ku kvzigeoidu (vo vkovom systme Bpv), uruje sa z nivelanch a gravimetrickch meran. V sasnom obdob sa na vyjadrenie polohy a vky bodu pouvaj rzne vzan plochy.

Polohu bodu na elipsoide, resp. na zemskom povrchu vyjadrujeme tie priestorovmi pravouhlmi sradnicami X, Y, Z vo svetovom sradnicovom systme (WGS-84). (Pozn.: v S-JTSK oznaujeme sradnice bodov y, x, H). Takto vyjadrenie priestorovej polohy bodu oznaujeme trojrozmern geodzia alebo priestorov geodzia. V sasnom obdob trojrozmern geodzia nadobda mimoriadny vznam s aplikovanm metd globlneho urenia priestorovej polohy bodov (GPS). Metdu GPS zaraujeme do geodetickej disciplny s pomenovanm kozmick geodzia.

Vsledkom meran GPS s priestorov sradnice X, Y, Z v sradnicovom systme WGS-84. Zo systmu WGS-84 do S-JTSK prechdzame transformciou sradnc. lohou vyej geodzie je tie transformcia sradnc v rmci trojrozmernej geodzie. Ide o transforman vzahy medzi zemepisnmi sradnicami j, l, H a priestorovmi sradnicami X, Y, Z.

7.1 Transformcia sradnc j, l, H na X, Y, Z.

Vzah medzi geodetickmi zemepisnmi sradnicami j, l, a pravouhlmi sradnicami X, Y, Z sme odvodili v kap. 1.3.7. Priemet bodu P na elipsoide je v bode P0, body P a P0 maj rovnak zemepisn sradnice j, l (obr. 7.1). Priestorov sradnice bodu P0 v geocentrickom sradnicovom systme s

lj coscos0 NX = ,

lj sincos0 NY = , (7.1)

( ) jsin1 20 eNZ -= .

Obr. 7.1. Transformcia sradnc j, l, H na X, Y, Z Obr. 7.2. Vka kvzigeoidu nad elipsoidom

102

Bod P je od bodu P0 vo vzdialenosti H (elipsoidick vka bodu P). V rovine meridinovej elipsy bodu P0, m bod P sradnice

( ) jcosHNx += , ( )[ ] jsin1 2 HeNy +-= . (7.2)

Ak dosadme rovnice (7.2) do rovnice

lcosxX = , lsinxY = , Z = y (7.3) dostaneme priestorov pravouhl sradnice bodu P

( ) lj coscosHNX += , ( ) lj sincosHNY += , (7.4)

( )[ ] jsin1 2 HeNZ +-= . Elispoidick vka H bodu P je stom normlnej vky HN a vky x kvzigeoidu Q nad

elipsoidom E (obr. 7.2)

x+= NHH (7.5)

7.2 Transformcia sradnc X, Y, H na j, l, H

Pri niektorch pecilnych lohch trojrozmernej geodzie je potrebn transformova pravouhl sradnice X, Y, Z na zemepisn sradnice j, l a H.

Geodetick dku l vypotame predelenm prvch dvoch rovnc (7.4)

XYtg =l . (7.6)

Zo vzahu

( ) ( ) ( ) jllj cossincoscos 222222 HNHNYX +=++=+ (7.7) a vzahov (7.4) vypotame

22sin

YX

Y

+=l a

22cos

YX

X

+=l . (7.8)

Geodetick rku j vypotame aproximciou vzahu

( )[ ] ( )( ) j

jjj

jcos

sinsincos

sin1 2222 HN

NeHNHN

HeNYX

Z+

-+=

++-

=+

= jj tgHN

Netg+

-2

. (7.9)

Po prave tg j bude

jj tgeHN

N

YX

Ztg 222 +

++

= . (7.10)

V rovnici (7.10) s neznme N, H a j . V 1. aproximcii s ohadom na nepomerne viu hodnotu N ako H polome ( ) .1/ =+ HNN Potom dostaneme

103

( )222 11eYX

Ztg-+

=j . (7.11)

Ozname 222

2

abae -= a 2

222

bbae -= . Prv rovnicu odpotajme od 1 a druh rovnicu

pripotajme k 1. Dostaneme

2

221

abe =- a 2

221

bae =+ (7.12)

O rovniciach (7.12) plat

( ) ( ) 111 22 =+- ee (7.13) S uvenm rovnice (7.13) priblin rovnice (7.11) bud ma v 1. aproximcii tvar

( )22

2I 1

YX

eZtg+

+=j . (7.14)

K hodnote Ij vypotame zodpovedajci prieny polomer krivosti ( )2

1I22

I

sin1 je

aN-

= .

Z rovnice (7.7) vypotame vzah

( )jcos

22 YXHN +=+ , (7.15)

ktor dosadme do rovnice (7.10)

22

2

22

2

22

sincossin

cosYX

NeZ

YX

Ne

YX

Ztg+

+=

++

+=

jjj

j

j . (7.16)

Druh priblin hodnotu IIj dostaneme, ke Ij a IN dosadme do rovnice (7.16)

22

I2III sin

YX

eNZtg+

+=

jj . (7.17)

Postup opakujeme: k hodnote IIj vypotame IIN a z rovnice (7.17) vypotame IIIj , at.

Aproximcia zemepisnej rky j kon ak rozdiel vsledkov dvoch po sebe idcich aproximci spln vzah

( ) ii jj -+1 < e . (7.18)

Kde i vyjadruje poradie aproximcie a e je vyadovan presnos urenia sradnice j. Spravidla u jIII = j.

Z rovnc (7.4) a rovnice (7.7) vypotame elipsoidick vku H

( ) NYXeNZNYNXH --=--=-=-=jjljlj cos

1sincoscoscoscos

222 . (7.19)

104

7.3 Smerov kosnusy priamej spojnice bodov

Smerov kosnusy potrebujeme k rieeniu priestorovho pretnania napred. alej si uvedieme ich vpoet.

Priestorov poloha priamej spojnice S12 medzi bodmi P1(X1, Y1, Z1) a P2(X2, Y2, Z2) je uren smerovmi kosnusmi, ktor ozname =acos l12, =bcos m12 a =gcos n12 (obr. 7.3)

12

12

12

12

12

1212 n

ZZm

YYXXS

-=

-=

-=

l . (7.20)

O smerovch kosnusoch plat

1212212

212 =++ nml . (7.21)

Obr. 7.3. Priama spojnica na guli

Ke budeme ma dan sradnice bodu P1(X1, Y1, Z1), dku priamej spojnice S12 a jej smerov kosnusy l12, m12 a n12 , sradnice bodu P2(X2, Y2, Z2) vypotame poda rovnc

121212 lSXX += , 121212 mSYY += , 121212 nSZZ += . (7.22)

Na vpoet smerovch kosnusov potrebujeme pozna geodetick zenitov uhol Z12 a geodetick azimut A12 priamej spojnice bodov P1P2. Okrem toho poda predchdzajcej kapitoly je potrebn vypota zemepisn sradnice bodu ( )111 ,ljP .

Sradnicov systm X, Y, Z pootome okolo osi Z o geodetick zemepisn dku l1 bodu P1. Nov systm a sradnice v om ozname X, Y, Z (obr. 7.4).

105

Obr. 7.4. Transformcia sradnc

Transformovan sradnice bud

11 sincos ll YXX += , 11 sincos ll XYX -= , Z = Z. (7.23)

Smerov kosnusy 121212 ,, nm l v novom sradnicovom systme bud uren podobne ako v rovniciach (7.20)

121212 XXS -=l , 121212 YYmS -= , 121212 ZZnS -= . (7.24)

Do rovnc (7.24) dosadme transformovan sradnice z rovnc (7.23) pre body P1 a P2

( ) ( ) 1121121212 sincos ll YYXXS -+-=l , ( ) ( ) 1121121212 sincos ll XXYYmS ---= , (7.25) ( )121212 ZZnS -= .

Rovnice (7.25) upravme pomocou rovnc (7.22). Dostaneme smerov kosnusy v novom sradnicovom systme

11211212 sincos ll m+= ll ,

11211212 sincos ll l-= mm , (7.26)

1212 nm = .

Na jednotkovej guli (obr. 7.5) Z1 je geodetick zenit bodu P1. Sradnicov osi novho systmu s X, Y, Z. Smer na bod P2 pretna jednotkov guu v bode S. Z obr.7.5 odvodme smerov kosnusy. Na vpoet pouijeme geodetick zenitov uhol Z12, geodetick azimut A12, geodetick rku j1 a smerov uhly a, b, g. Kosnusy smerovch uhlov a, b, g predstavuj smerov kosnusy 1212 , ml a

12n .

106

Obr. 7.5. Smerov uhly priamej spojnice P1P2

Kosnusov vetu pre dky

acossinsincoscoscos cbcba += (7.27) aplikujeme v trojuholnkoch Z1XS, Z1YS a Z1ZS, z ktorch vypotame smerov kosnusy priamej spojnice bodov P1P2 v novom systme XYZ

( )1212112112 200cossinsincoscoscos AZZ g -+== jja l , ( )12121212 100cossin100sincos100coscos AZZm ggg -+==b , (7.28)

( ) ( ) 1212112112 cossin100sincos100coscos AZZn g jjg -+-== . V rovniciach plat: ( ) 1212 cos200cos AAg -=- , ( ) 1212 sin100cos AAg =- , 0100cos =g ,

1100sin =g . Vsledn hodnoty smerovch kosnusov s

1212112112 cossinsincoscoscos AZZ jja -== l ,

121212 sinsincos AZm ==b , (7.29)

1212112112 cossincoscossincos AZZn jjg +== .

Po porovnan rovnc (7.26) a (7.29) dostaneme

12121121112112 cossinsincoscossincos AZZm jjll -=+l ,

1212112112 sinsinsincos AZm =- ll l , (7.30)

1212112112 cossincoscossin AZZn jj += .

Smerov kosnus n12 je priamo uren v rovnici (7.30) . Smerov kosnusy l12 a m12 dostaneme rieenm prvch dvoch rovnc (7.30) tak, e postupne vyjadrme m12 a l12

1

112121212 cos

sinsinsinl

ll+=

AZm ,

1

121211212 sin

sinsincosl

l AZm -=l ,

107

ktor dosadme do prvej rovnice (7.30), m dostaneme kosnusy v tvare

12121121211121112 sinsinsincossincossincoscoscos AZAZZ lljlj --=l ,

12121121211121112 sinsincoscossinsinsincossincos AZAZZm lljlj +-= , (7.31)

1212112112 cossincoscossin AZZn jj += .

Ak v rovniciach (7.31) namiesto indexu 1 napeme i a namiesto indexu 2 napeme j dostaneme kosnusov lij, mij, nij pre priamu spojnicu bodov PiPj.

7.4 Prv zkladn loha v priestorovch pravouhlch sradniciach

Majme dan geodetick zemepisn sradnice j1, l1 a vku H1 bodu P1. Na bod P2 meriame priamu spojnicu S12 geodetick zenitov uhol Z12 a horizontlny uhol 2iw medzi smerom, ktorho geodetick azimut poznme, resp. vypotame.

Geodetick azimut A12 vypotame z rovnice

2112 iiAA w+= . (7.32)

Azimut A1i vypotame zo sradnc bodu ( )111 , ljA a ( )iiiA lj , postupom uvedenm v kap. 1.4.3 pre II. zkladn geodetick lohu.

Poda rovnc (7.4) k hodnotm geodetickch zemepisnch sradnc j1, l1, H1 vypotame priestorov pravouhl sradnice X1, Y1, Z1. Dosadenm danch hodnt j1, l1 a odmeranch hodnt Z12, A12 do rovnc (7.31) vypotame smerov kosnusy l12, m12, n12. Priestorov pravouhl sradnice bodu P2 (X2, Y2, Z2) vypotame poda rovnc (7.22).

7.5 Priestorov pretnanie napred

Mme dan geodetick zemepisn sradnice bodov P1(j1, l1, H1) a P2 (j2, l2, H2), geodetick azimuty A13, A23, zenitov uhly Z13 a Z23 priamych spojnc na bod P3.

lohou je vypota sradnice bodu P3(X3, Y3, Z3) resp. P3(j3, l3, H3).

V danej lohe rieime priestorov pretnanie napred z odmeranch horizontlnych a zenitovch uhlov.

Postup vpotov:

1. K bodom Pi(ji, li, Hi) vypotame Pi(Xi, Yi, Zi) (i = 1, 2) poda rovnc (7.4)

2. Poda rovnc (7.31) vypotame smerov kosnusy l13, m13, n13 a l23, m23, n23 priamych spojnc S13, S23.

3. Dky priamych spojnc medzi danmi bodmi P1, P2 a urovanm bodom P3 vypotame podobne ako u vzahov (7.20)

1313

13

13

13

13

13 Sn

ZZm

YYXX=

-=

-=

-l

, (7.33)

2323

23

23

23

23

23 Sn

ZZm

YYXX=

-=

-=

-l

.

108

Nadbyton poet rovnc dovouje uri priame spojnice S12 a S23 vyrovnanm MN. Rovnice oprv zostavme postupom napr. pre sradnicu X

113133 XSX += l , (7.34)

223233 XSX += l .

Druh rovnicu (6.34) odpotame od prvej a dostaneme rovnicu opravy. Podobne zostavme aj alie rovnice oprv

( )2123231313 XXSSv X -+-= ll , ( )2123231313 YYSmSmvY -+-= , (7.35)

( )2123231313 ZZSnSnvZ -+-= . K rovniciam (7.35) znmym postupom napeme vektor oprv v tvare

( ) ( ) ( ) += 1,22,31,3 xAv l(3,1) (7.36)

kde ( )23

23

23

13

13

13

2,3

nm

nm

ll

---

=A ( )23

131,2 S

S=x , l(3,1) =

2

2

2

1

1

1

ZYX

ZYX

---

a vypotame priame spojnice S13, S23

( ) ( ) TT AAAx 123

131,2

--==

SS

l. (7.37)

4. Priestorov pravouhl sradnice bodu P3(X3, Y3, Z3) vypotame dvakrt poda rovnc

131313 SXX l+= , 232323 SXX l+= ,

131313 SmYY += , 232323 SmYY += , (7.38)

131313 SnZZ += , 232323 SnZZ += .

Ako vsledok prijmeme aritmetick priemer z vypotanch hodnt sradnc v rovniciach (7.38).

5. K sradniciam bodu P3(X3, Y3, Z3) vypotame sradnice P3(j3, l3, H3) poda vzahov v kap. 7.2.