KALKULUS KAMILAN

Disediakan olah : Azmi Bin Juadi @ Rosbi

Jabatan Kejuruteraan Mekanikal

Politeknik Kota Bharu, Kelantan

KALKULUS KAMILAN

Kamilan merupakan proses songssangan kepada pembezaan. Dalam proses pembezaan kita bermula dengan fungsi dan membezakan fungsi untuk memperolehi pekali pembezaan. Dalam pembezaan kita bermula dengan pekali pembezaan dan membuat kerja secara songsangan untuk mendapatkan fungsi sesuatu persamaan.

Terdapat tiga kaedah penyelesaian yang akan dibincangkan didalam nota ini iaitu ;

i. Kamilan dengan kaedah gantian.

ii. Kamilan dengan kaedah bahagian .

iii. Kamilan dengan kaedah penurunan.

Kamilan dengan kaedah Gantian

Contoh 1

Selesaikan kamilan berikut.

i.

ii.

iii.

Penyelesaian contoh 1

i.

katakan

oleh itu ;

ii.

katakan

oleh itu,

iii.

katakan

oleh itu

maka

2. Kamilan bagi bentuk dan

Contoh 2

Selesaikan kamilan berikut dengan gantian yang sesuai.

i.

ii.

iii.

Penyelesaian contoh 2

i.

katakan

ii.

katakan

oleh itu

i.

Katakan

Oleh itu :

Contoh 3

Cari nilai kamilan berikut :-

i.

ii.

Penyelesaian Contoh 3

i.

Katakan

oleh itu ,

ii.

Katakan

oleh itu ,

Kamilan dengan kaedah bahagian

Kita biasanya perlu mengkamilkan hasil dimana samada sesuatu fungsi itu adalah bukan merupakan pekali pembezaan bagi sesuatu fungsi yang lain. Sebagai contoh dalam kes bagi .

ln x adalah bukan pekali pembezaan bagi

adalah bukan pekali pembezaan bagi ln x

Jadi didalam keadaan ini, kita perlu mencari sesuatu kaedah yang lain bagi menyelesaikan kamilan tersebut.

Daripada hukum hasil darab didapati ;

dimana u dan v adalah fungsi bagi x

oleh itu ;

Jika terdapat salah satu faktor adalah fungsi ln, maka ianya boleh diambil sebagai u. Jika terdapat salah satu faktor tiada fungsi ln tetapi mempunyai kuasa x, maka ianya boleh diambil sebagai u. Jika terdapat salah satu faktor tiada fungsi ln dan kuasa bagi x tetapi mempunyai eksponen, maka ianya boleh diambil sebagai u.Contoh 4

Selesaikan kamilan berikut ;

i.

ii.

iii.

iv.

Penyelesaian contoh 4

i.

katakan ;

oleh itu ;

ii.

katakan ;

oleh itu ;

iii.

katakan ;

oleh itu ;

iv.

katakan ;

katakan ;

oleh itu ;

Contoh 5

Cari nilai kamilan berikut ;

i.

ii.

Penyelesaian Contoh 5

i.

katakan ;

maka ;

oleh itu;

ii.

katakan ;

maka ;

oleh itu ;

Kamilan dengan kaedah Penurunan

Kita telah mengetahui bahawa dengan cara bahagian kita akan dapati formula kamilan adalah ;

Sebagai contoh untuk menyelesaikan dengan cara bahagian.

Katakan ;

oleh itu ;

maka ;

(1)

katakan

gantikan dalam persamaan 1

Persamaan diatas dikenali sebagai rumus penurunan.

Contoh 6

Selesaikan kamilan berikut dengan cara penurunan.

i.

ii.

Penyelesaian contoh 6

i.

katakan ;

jika ;

n = 2

n = 1

n = 0

oleh itu ;

ii.

Jika ;

n = 4

n = 3

n = 2

n = 1

n = 0

maka ;

Menerbitkan formula penurunan bagi dan

i. Mendapatkan formula bagi

Katakan

dengan cara bahagian

tetapi;

oleh itu;

ii. Mendapatkan formula bagi

Katakan

dengan cara bahagian

tetapi;

oleh itu;

Contoh 7

i.

ii.

Penyelesaian contoh 7

i.

katakan ;

bila n = 4

bila n = 2

bila n = 0

oleh itu ;

ii.

katakan ;

bila n = 3

bila n = 1

oleh itu ;

Contoh 8

i.

ii.

Penyelesaian contoh 8

i.

katakan ;

bila n = 4

bila n = 2

bila n = 0

oleh itu ;

maka ;

i.

katakan ;

bila n = 5

bila n = 3

bila n = 1

oleh itu ;

maka ;

Kamilan peringkat kedua

Ungkapan dikenali sebagai kamilan peringkat kedua. Kamilan ini menunjukkan bahawa ;

a. f(x,y) mula dikamilkan berbanding dengan x (dimana y dianggap sebagai pemalar) antara had-had x = x1 dan x = x2 .

b. Keputusan ini kemudiannya dikamilkan berbanding dengan y diantara had-had y = y1 dan y = y2 .

Contoh 9

Selesaikan kamilan-kamilan berikut.

i.

ii.

iii.

iv.

Penyelesaian contoh 9

i.

ii.

iii.

iv.

Penggunaan Kamilan Peringkat Kedua1. Mencari Luas Di Bawah Garis Lengkung

Pertimbangkan segiempat bersempadankan garis lurus x = r , x = s, y = k , dan y = m di bawah.

Luas segiempat berlorek , (a = (y. (x

Jika kita campurkan kesemua luas kawasan berlorek ( (a ) yang berada disepanjang garis tegak PQ maka (a boleh ditulis sebagai ;

Semasa menjumlahkan (a pada arah y, kita andaikan (x adalah tetap.

Jika kita jumlahkan semua luas kawasan berlorek yang baru (A di sepanjang arah x, x = r ke x = s, kita akan dapat luas bagi segiempat TUVW yang ditandakan sebagai A

Jika (y ( 0 dan (x ( 0 , persamaan bagi A menjadi bentuk kamilan.

Contoh 10

i. Dapatkan luas yang dilengkungi oleh garis , paksi x dan garis x = 6

ii. Dapatkan luas dibawah garis lengkung dengan paksi dan dengan cara kamilan peringkat kedua.

iii. Kirakan luas yang dibatasi oleh garis lengkung-garislengkung dan

Penyelesaian contoh 10

i. Dapatkan luas yang dilengkungi oleh garis , paksi x dan garis x = 6

Luas ,

ii. Dapatkan luas dibawah garis lengkung dengan paksi dan dengan cara kamilan peringkat kedua.

Luas ,

iii. Kirakan luas yang dibatasi oleh garis lengkung-garislengkung dan

Untuk mendapatkan titik persilangan garislengkung dan

Luas ,

2. Mencari Momen Luas Kedua

Dalam teori lenturan rasuk, sebutan ( ar2 , berhubung dengan luas keratan rentas rasuk dapat ditentukan. Sebutan ini adalah dikenali sebagai momen luas kedua bagi keratan tersebut.

Pertimpangkan sebuah segiempat 5 sm x 3 sm dalam gambarajah di bawah. Dapatkan momen luas kedua bagi rajah tersebut jika sempada 5 sn menjadi paksi.

Luas momen kedua disekitar paksi x

Contoh 11

i. Kira momen luas kedua bagi satah yang dibatasi oleh lengkung , paksi x dan garis x = 1 dan x = 4 pada paksi y.

ii. Kira momen luas kedua bagi satah yang dibatasi oleh garislengkung xy = 4 , paksi x, x = 2 dan x = 4 pada paksi y.

Penyelesaian contoh 11

i. Momen luas kedua ;

ii. Momen luas kedua ;

Mencari Pusat Bentuk

Kedudukan pusat bentuk bagi suatu gambarajah pada permukaan rata bukan hanya bergantung kepada pertambahan luas sahaja tetapi juga kepada bagaimana bentuk luas tersebut. Ianya seakan mencari pusat graviti bagi plat nipis tetapi keadaan ini tidak boleh dipanggil pusat graviti kerana gambarajah pada permukaan rata tidak mempunyai jisim.

Perhatikan gambarajah dibawah ;

Katakan kedudukan C adalah pusat bentuk bagi rajah yang dibatasi oleh garis lengkung y = f (x) , paksi x, x = a dan x = b

Oleh itu ;

Bagi memudahkan pengiraan, adalah lebih mudah kamilan di atas diasingkan.

oleh itu ;

dan

Contoh 12

Dengan menggunakan kamilan peringkat kedua, cari pusat bentuk yang dilengkungi oleh ;

i. Garislengkung ,paksi x dan paksi y.

ii. Garislengkung , paksi x , garis x = 0 dan x = 2 .

iii. Garislengkung dan paksi x.

Penyelesaian contoh 12

i. Garislengkung ,paksi x dan paksi y.

Pusat bentuk = di mana ;

dan

Oleh itu ,

pusat bentuk berada di (0.75 , 1.60)

ii. Garislengkung , paksi x , garis x = 0 dan x = 2 .

Pusat bentuk = di mana ;

dan

Oleh itu ,

pusat bentuk berada di (1.5 , 3.6)

iii. Garislengkung dan paksi x.

Pusat bentuk = di mana ;

dan

Oleh itu

pusat bentuk berada di (2.5 , 2.5)

Mencari luas di bawah garislengkung polar

Untuk mendapatkan luas satah yang dilengkungi oleh garislengkung polar, dan jejari vektor dari dan adalah seperti berikut.

Luas elemen berlorek

Luas sektor nipis

Jumlah luas

Apabila (r ( 0 dan (( ( 0

Contoh 13

Dengan menggunakan kamilan peringkat kedua, cari luas yang dilengkungi oleh:

i. garis lengkung polar dan jejari vektor dari dan

ii. garis lengkung polar dan jejari vektor dari dan

Penyelesaian Contoh 13

i. garis lengkung polar dan jejari vektor dari dan

luas

di mana

Nota :

ii. garis lengkung polar dan jejari vektor dari dan

luas

di mana

Nota :

Kamilan Perigkat Ketiga

Ungkapan dalam bentuk umum bagi kamilan peringkat ini adalah dalam bentuk :

walaubagaimanapun kaedah penyelesaiannya adalah sama seperti kamilan peringkat kedua, iaitu dengan mengkamilkan ungkapan disebelah dalam dahulu dan seterusnya diikuti oleh ungkapan disebelah luar

Contoh 14

i.

ii.

iii.

Penyelesaian Contoh 14

i.

ii.

iii.

T

s

k

r

W

Q

V

P

U

m

y

x

y

x

(x

(y

(A

(a

y

x

0

6

EMBED Equation.3

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0

x

x

y

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0

Q

y

x

y

x

(x

(y

0

(a

5

3

1

EMBED Equation.3

4

2

xy = 4

4

(

y

y

x

0

C

Y = f (x)

B

x

a

b

(

y

EMBED Equation.3

0

y

x

x

x

y = 3x2

y

2

0

x

y

x = 5x-x2

0

x = 5

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

EMBED Equation.3

0

PAGE Mukasurat 28

_1042652735.unknown

_1042722927.unknown

_1043178678.unknown

_1043226253.unknown

_1043235556.unknown

_1043255285.unknown

_1043444101.unknown

_1043603659.unknown

_1043840689.unknown

_1043842028.unknown

_1043845764.unknown

_1043898582.unknown

_1043898926.unknown

_1043900332.unknown

_1043901064.unknown

_1043901166.unknown

_1043900055.unknown

_1043898381.unknown

_1043898581.unknown

_1043897958.unknown

_1043897650.unknown

_1043897747.unknown

_1043844956.unknown

_1043845227.unknown

_1043845763.unknown

_1043842141.unknown

_1043842794.unknown

_1043840947.unknown

_1043841154.unknown

_1043841328.unknown

_1043841005.unknown

_1043841099.unknown

_1043840991.unknown

_1043826036.unknown

_1043840526.unknown

_1043826973.unknown

_1043840386.unknown

_1043840502.unknown

_1043827146.unknown

_1043827338.unknown

_1043827053.unknown

_1043826746.unknown

_1043826817.unknown

_1043825600.unknown

_1043825767.unknown

_1043825972.unknown

_1043826007.unknown

_1043825732.unknown

_1043825188.unknown

_1043825362.unknown

_1043603660.unknown

_1043527065.unknown

_1043602885.unknown

_1043603346.unknown

_1043603439.unknown

_1043603076.unknown

_1043602207.unknown

_1043602283.unknown

_1043601935.unknown

_1043526974.unknown

_1043269219.unknown

_1043296815.unknown

_1043442489.unknown

_1043443851.unknown

_1043443888.unknown

_1043443648.unknown

_1043441803.unknown

_1043442416.unknown

_1043297057.unknown

_1043297111.unknown

_1043297005.unknown

_1043296553.unknown

_1043296603.unknown

_1043296715.unknown

_1043296769.unknown

_1043296633.unknown

_1043296577.unknown

_1043269755.unknown

_1043270059.unknown

_1043269364.unknown

_1043258567.unknown

_1043258708.unknown

_1043268885.unknown

_1043258575.unknown

_1043256665.unknown

_1043257971.unknown

_1043258070.unknown

_1043257841.unknown

_1043256608.unknown

_1043236289.unknown

_1043247430.unknown

_1043247615.unknown

_1043247701.unknown

_1043255195.unknown

_1043247667.unknown

_1043247542.unknown

_1043247594.unknown

_1043246191.unknown

_1043246550.unknown

_1043246074.unknown

_1043235879.unknown

_1043235688.unknown

_1043235750.unknown

_1043235634.unknown

_1043226749.unknown

_1043228754.unknown

_1043235194.unknown

_1043229229.unknown

_1043228036.unknown

_1043228106.unknown

_1043228024.unknown

_1043226648.unknown

_1043226703.unknown

_1043226741.unknown

_1043226688.unknown

_1043226273.unknown

_1043226502.unknown

_1043179816.unknown

_1043225643.unknown

_1043225877.unknown

_1043226207.unknown

_1043180443.unknown

_1043180444.unknown

_1043225577.unknown

_1043225620.unknown

_1043225068.unknown

_1043180205.unknown

_1043180250.unknown

_1043180266.unknown

_1043179844.unknown

_1043179625.unknown

_1043179777.unknown

_1043179792.unknown

_1043179681.unknown

_1043178935.unknown

_1043179343.unknown

_1043178843.unknown

_1043178889.unknown

_1043178712.unknown

_1042737392.unknown

_1042738768.unknown

_1042739266.unknown

_1042739316.unknown

_1042739913.unknown

_1042739269.unknown

_1042738844.unknown

_1042739123.unknown

_1042738813.unknown

_1042737762.unknown

_1042738218.unknown

_1042738610.unknown

_1042738732.unknown

_1042738373.unknown

_1042737989.unknown

_1042737777.unknown

_1042737681.unknown

_1042737712.unknown

_1042737395.unknown

_1042723942.unknown

_1042736633.unknown

_1042736845.unknown

_1042737138.unknown

_1042736698.unknown

_1042736013.unknown

_1042736024.unknown

_1042724090.unknown

_1042723476.unknown

_1042723764.unknown

_1042723911.unknown

_1042723567.unknown

_1042723113.unknown

_1042723132.unknown

_1042723080.unknown

_1042695103.unknown

_1042697006.unknown

_1042722503.unknown

_1042722731.unknown

_1042722796.unknown

_1042722645.unknown

_1042722129.unknown

_1042722437.unknown

_1042722112.unknown

_1042695618.unknown

_1042695646.unknown

_1042695992.unknown

_1042695628.unknown

_1042695640.unknown

_1042695199.unknown

_1042695206.unknown

_1042695490.unknown

_1042695113.unknown

_1042692815.unknown

_1042694622.unknown

_1042694739.unknown

_1042694780.unknown

_1042694969.unknown

_1042694654.unknown

_1042694455.unknown

_1042694266.unknown

_1042694358.unknown

_1042694421.unknown

_1042693034.unknown

_1042653442.unknown

_1042692692.unknown

_1042692778.unknown

_1042692179.unknown

_1042653299.unknown

_1042653313.unknown

_1042652939.unknown

_1042653239.unknown

_1040706823.unknown

_1040707765.unknown

_1042650448.unknown

_1042651214.unknown

_1042651981.unknown

_1042652356.unknown

_1042651336.unknown

_1042650722.unknown

_1042650955.unknown

_1042650565.unknown

_1040708173.unknown

_1040708231.unknown

_1040708382.unknown

_1040708189.unknown

_1040707857.unknown

_1040708115.unknown

_1040707806.unknown

_1040707234.unknown

_1040707697.unknown

_1040707753.unknown

_1040707444.unknown

_1040707541.unknown

_1040707577.unknown

_1040707507.unknown

_1040707395.unknown

_1040707000.unknown

_1040707136.unknown

_1040706870.unknown

_1040706071.unknown

_1040706494.unknown

_1040706782.unknown

_1040706801.unknown

_1040706732.unknown

_1040706421.unknown

_1040706469.unknown

_1040706251.unknown

_1040706364.unknown

_1040662564.unknown

_1040662691.unknown

_1040662901.unknown

_1040662584.unknown

_1040662383.unknown

_1040662407.unknown

_1040662336.unknown