kaedah terbuka - ukm.my terbuka.pdf · iterasi titik tetap manipulasi fungsi f(x) = 0 menjadi x =...
TRANSCRIPT
Di akhir bab ini, anda sepatutnya:
Mampu membezakan antara kaedah kurungan dan kaedah terbukaFaham konsep penumpuan dan pencapahanMampu menggunakan Iterasi Titik Tetap,Kaedah Newton Raphson, Kaedah Sekan danKaedah Sekan Terubah untuk mencari punca persamaan.Faham kelebihan dan kelemahan kaedah Newton Raphson
Iterasi Titik Tetap
Manipulasi fungsi f(x) = 0 menjadix = g(x)
Boleh dilakukan sama ada kaedah manipulasi algebra atau menambahkan nilai x pada kedua-dua belah persamaan asal.Contoh 1 : x2 –2x + 3 = 0
232xx
Iterasi Titik TetapContoh 2 : sin x = 0
x = sin x + xPersamaan (6.1) boleh digunakan untuk meramal nilai baru xi menggantikan nilai asal x menjadi
xi+1 = g(xi) (6.2)Dengan anggaran ralat
%1001
1
i
iia x
xx
Penyelesaian contoh
Fungsi ini boleh dimanipulasikan menjadi persamaan 6.2 seperti :
Penyelesaian secara berangka akan menjadi seperti:
ixi ex 1
Formula Newton-Raphson
Daripada rajah, didapati kebezaan peringkat pertama pada x adalah bersamaan dengan kecerunan :
Yang mana boleh disusun semula menjadi:1
0)()('ii
ii xx
xfxf
)(')(
1i
iii xf
xfxxdikenali sebagi
formula Newton Raphson
(6.5)
(6.6)
Contoh 6.3
Menggunakan kaedah Newton-Raphson, dapatkan punca bagi :
Dengan nilai awalan x0 =0
xexf x)(
Penyelesaian contoh 4
Persamaan kebezaan fungsi adalah :
Menggunakan persamaan 6.6,
1)(' xexf
11 xii
x
ii exexx
i
Keputusani xi e-xi e-xi - xi (-e-xi-1) xi+1 Error %0 0 1 1 -2 0.5 100.00%1 0.5 0.606531 0.106531 -1.60653 0.566311 11.71%2 0.566311 0.567616 0.001305 -1.56762 0.567143 0.15%3 0.567143 0.567143 1.96E-07 -1.56714 0.567143 0.00%4 0.567143 0.567143 4.44E-15 -1.56714 0.567143 0.00%
Dengan ralat, %1001
1
i
iia x
xx
Daripada rajah 6.7,
Anggaran ini boleh dimasukkan ke persamaan 6.6 menjadi:
ii
iii xx
xfxfxf1
1 )()()('
)()())((
1
11
ii
iiiii xfxf
xxxfxx(6.7)
Persamaan ini dikenalisebagai kaedah sekan
Contoh 5
Menggunakan kaedah Sekan, dapatkan punca bagi :
Dengan nilai awalan x-1 = 0 dan x0 = 1.0
xexf x)(
Keputusan
i xi xi-1 f(xi) f(xi-1) f(xi-1)-f(xi)f(xi)(xi-1 -xi) xi+10 1 0 -0.63212 1 1.632121 0.6321206 0.6126998371 0.6127 1 -0.07081 -0.63212 -0.56131 -0.0274263 0.5638383892 0.5638 0.6127 0.005182 -0.07081 -0.076 0.0002532 0.5671703583 0.5672 0.563838 -4.2E-05 0.005182 0.005225 1.413E-07 0.5671433074 0.5671 0.56717 -2.5E-08 -4.2E-05 -4.2E-05 -6.866E-13 0.567143295 0.5671 0.567143 1.24E-13 -2.5E-08 -2.5E-08 2.012E-21 0.56714329
Kaedah Sekan TerubahKaedah alternatif yang menggunakan satu nilai sahaja di mana perubahan f(x),
di mana merupakan perubahan kecil f(x)Persamaan ini boleh dimasukkan ke dalam persamaan 6.6 menjadi:
i
iiii x
xfxxfxf )()()('
)()()(
1iii
iiii xfxxf
xfxxx(6.8)
Contoh
Menggunakan kaedah Sekan Terubah,dapatkan punca bagi :
Dengan nilai = 0.01 dan x0 = 1.0
xexf x)(
Penyelesaiani xi delta f(xi) dxif(xi) (xi+dxi) f(xi+dxi) f(xi+dxi)-f(xi) xi+10 1 0.01 -0.63212 -0.00632 1.01 -0.645781 -0.01366046 0.5372626661 0.537263 0.01 0.047083 0.000253 0.542635 0.038579 -0.00850368 0.5670096852 0.56701 0.01 0.000209 1.19E-06 0.57268 -0.008668 -0.00887718 0.5671434243 0.567143 0.01 -2.1E-07 -1.2E-09 0.572815 -0.008879 -0.00887885 0.567143294 0.567143 0.01 2.15E-10 1.22E-12 0.572815 -0.008879 -0.00887884 0.567143295 0.567143 0.01 -2.2E-13 -1.2E-15 0.572815 -0.008879 -0.00887884 0.56714329