INSTITUTO SUPERIOR PEDAGOGICO ROMAESPECIALIDAD DE PRIMARIA FACULTAD DE EDUCACIN

La Matemtica Recreativa para el desarrollo de la capacidad de Raciocinio en los alumnos del 3 de la I. E. Santa Rosa de Comas

PARA OBTENER EL GRADO DE: PROFESOR DE EDUCACION PRIMARIAESPECIALIDAD PRIMARIA

AUTOR:DURAN RODRIGUEZ, Jos

ASESORA:Magster: Maria Leonor, LOPEZ GONZALES

LIMA PER2007

AGRADECIENTO Agradezco con mucho cario y justo orgullo a mi madre Yolanda RODRIGUEZ LOPEZ y mi hermano SIXTO quienes me han motivado en todo instante mi existencia para asumir con responsablildad m compromiso con la niez estudiosa de mi patria JOS

PRESENTACIONAl culminar el presente estudio me siento orgulloso y satisfecho de brindarles la cristalizacin de un trabajo intelectual, esperando con ello- contribuir en la enseanza de los alumnos de Educacin Primaria en el rea de lgico matemtico. El presente informe:La Matemtica Recreativa facilita el desarrollo de la Capacidad de Raciocinio de los alumnos del 3 grado de primaria de la I. E. Santa Rosa de Comas esta redactado obedeciendo a las normas de nuestro centro de formacin magisterial. que consta de cuatro captulos: Si con el presente trabajo de Investigacin Pedaggica, logramos contribuir en algo con las nuevas corrientes educativas, en que el individuo es un todo armnico, donde los valores. Psquico, fsicas, intelectual y social se equilibran para preparar al hombre del maana intelectualmente culto pero profundamente humano, nuestro objetivo estar logrado. Son los seores miembros del jurado quienes tienen la ultima palabra y a su valioso veredicto me someto en la medida en que ellos valoren todo el esfuerzo que he desplegado, me siento alentado para aplicar los conocimientos adquiridos, durante mi permanencia en el alma mater que me alberg y la experiencia que nos ha proporcionado para la realizacin del presente trabajo de investigacin en el proceso de Enseanza-Aprendizaje, que nos toca emprender como docente de la especialidad de Educacin Primaria y sobre todo, para nunca desmayar, para jams sentirme conformista, para estar siempre superando ya que al final slo llegar a la conclusin de que mi vida siempre estuvo y seguir estando al servicio de la noble causa de la educacin..

ndiceIntroduccin I.- PROBLEMAS DE INVESTIGACION 1.1.- Planteamiento del problema 1.2.- Formulacin del problema 1.3.- Justificacin 1.4.- Limitacin 1.5.- Antecedentes 1.6.- objetivos 1.6.1.- General 1.6.2.- Especifico II.- MARCO TEORICO III- MARCO METODOLOGICO 3.1.- Hiptesis 3.2.- Variables 3.2.1.- Definicin conceptual 3.2.2.- Definicin operacional 3.3 Metodologa 3.3.1.- Tipo de estudio 3.3.2.-Diseo 3.4 Poblacin y muestra 3.5 Mtodo de Investigacin 3.6 Tcnicas de instrumentos de recoleccin de datos 3.7 Mtodos de anlisis de datos IV Resultados 4.1.-Descripcin 4.2.-Discusin V.- CONCLUSION Y SUGERENCIAS VI.- REFENCIAS BIBLIOGRAFICAS ANEXOS

CAPITULO I PROBLEMAS DE INVESTIGACIN

1.1.- Planteamiento del problema Es indudable que estamos asistiendo a una verdadera revolucin en el avance cientfico y tcnico de las ciencias, especialmente de la matemtica, sin embargo y pese a continuas modificaciones en los contenidos de los programas curriculares, as como de la metodologa y en las tcnicas del proceso Enseanza-Aprendizaje no se ha logrado desterrar la enseanza tradicional de lectura tipo novela y memorista, poco recreativo, nada identificado con su

realidad conformista, proceso en el cual casi todas las acciones las realiza el educador, mientras que el educando slo aporta en un mnimo porcentaje privndose de esta manera al educando, su libertad, creatividad, originalidad, independencia y de su identidad individual, social y cultural; dejando de lado la practica y el raciocinio, trayendo como consecuencia un deficiente aprendizaje de la Matemtica que no motiva la atencin del alumno. Es frente a esta realidad educativa que se plantea la alternativa de una enseanza utilizando la Matemtica Recreativa para desarrollar la capacidad de raciocinio del alumno. Lo ms importante a comprender en relacin con la recreacin es que ella no constituye un lujo sino una necesidad. No es simplemente una cosa de la cual el escolar le gusta, sino algo de la cual precisa para desarrollarse como parte esencial de la educacin, es parte importante de su crecimiento a travs de la cual camina hacia la edad adulta En este trabajo de investigacin vamos a responder las siguientes preguntas, como: Cules son las caractersticas de la Matemtica Recreativa que facilita el desarrollo de la Capacidad de Raciocinio de los alumnos? Cmo se emplea la Matemtica Recreativa para el desarrollo de la capacidad de raciocinio de los

alumnos? Qu tipo de la Matemtico Recreativa emplean los docentes para desarrollar la capacidad de raciocinio de los alumnos? Cul es el impacto de la Matemtica Recreativa en el desarrollo de la capacidad cognitiva alumnos? Por que se recrea jugando donde el escolar explora no slo su camino fsico y el ambiente social, sino que perfecciona conceptos, ampla y enriquece su voluntad, sus sentidos y lo que es ms importante desarrolla su capacidad de atencin, su memoria de nmeros y objetos, dando impulso a la imaginacin, al raciocinio y al pensamiento creador. Debemos tener presente tambin que la herencia cultural es un gran aporte trasmitida y fijada en situaciones informales de recreacin. Las actividades recreativas dirigidas son uno de los factores efectivos de educacin, facilitando el aprovechamiento racional y constructivo del tiempo libre, considerndose as mismo al juego como una de las modalidades de la recreacin, como necesaria para la salud mental, indispensable para obtener una personalidad equilibrada. Considerado al alumno como centro y como dinmico protagonista de su propia enseanza. Este trabajo es producto de la curiosidad cientfica y un inters comprometido por conocer y difundir el uso de la Matemtica Recreativa y as reducir una variedad de problemas que soportan la mayora de los estudiantes, esta orientado a una va fcil de aprendizaje de la Matemtica, un cambio realmente en su enfoque y en su didctica, al conjuro del avance arrollador y sorprendente de la tecnologa como signo inconfundible del presente milenio 1.2.- Formulacin del problema de los

De que manera La Matemtica Recreativa facilita el desarrollo de la capacidad de raciocinio de los alumnos del 3 grado de la I. E: Santa Rosa de Comas? 1.3.- Justificacin La ejecucin del presente trabajo de investigacin es convenientemente llevarlo a cabo porque nos permitir lograr una mejor comprensin de la capacidad de raciocinio de los alumnos y establecer un mejor clima participativo de los

docentes y alumnos de la I. E. y la comunidad De igual modo nos permitir diagnosticar sobre las deficiencias y dificultades en la matemtica de los nios, as como elaborar nuevas estrategias a base de la Matemtica recreativa, orientados para superar las anomalas. Asimismo el presente proyecto tiene el propsito de mejorar el aprendizaje de la matemtica a travs de la Matemtica recreativa que mejorara la capacidad de raciocinio en los estudiantes del 3 grado de Primaria, de manera de que nuestra Institucin educativa favorezca el desarrollo de nuestra comunidad A continuacin trataremos de analizar la importancia de la recreacin dentro del proceso educativo, teniendo presente que por recreacin se entiende a cualquier actividad ya sea en forma individual o colectiva percibida como libre, placentera, teniendo en s mismo su propio estmulo cuya modalidad es la de producir: diversin, deleite y distraccin. Entre las recreaciones se puede considerar: Los juegos, representaciones teatrales, pasatiempos, ciertas diversiones, adivinanzas y los deportes. Se debe hacer una distincin entre la recreacin escolar y la extra escolar: Las actividades ldicas que se desenvuelven en la primera son naturalmente menos variadas que las segundas. Estas actividades bien orientadas representan un instrumento de proporcionamiento bio-psico-social imprescindible.

1.4.- Limitacin En el presente trabajo de investigacin, se ha encontrado las siguientes dificultades .* El escaso numero de horas para la aplicacin de la Matemtica recreativa * El escaso material bibliogrfico que contenga conceptos de Razonamiento lgico, como: juegos de ingenio y juegos de creatividad. * La no existencia de pruebas para medir la capacidad de raciocinio * La actitud de aceptacin o rechazo de los encuestados frente a los tems que contiene la encuesta. *En lo que respecta a lo econmico, todos los alumnos cuentan con escasos recursos, para que puedan comprar algunos materiales 1.6.- Antecedentes Empezando con los antecedentes del presente trabajo vamos a ver con la Historia de los juegos Matemticos que est llena de pasatiempos, acertijos, juegos de ingenio, historias paradjicas, ilusiones pticas.... El carcter ldico ha dado importantes frutos al desarrollo aplicado y terico de la matemtica. Por el contrario, la enseanza de la matemtica ha insistido en un desarrollo formal, deductivo, dando especial nfasis a los procesos de clculo algortmico, dejando a un lado esta faceta juguetona, extremadamente atractiva del quehacer matemtico. Desde su remoto origen la matemtica siempre tuvo dos fines: contribuir al progreso de las artes y de las ciencias y divertir a los matemticos. Los caldeos, los egipcios, los griegos de la antigedad usaron la aritmtica y la geometra para elaborar tablas astronmicas, medir las tierras, dirigir los navos, pero tambin las utilizaron para su placer.

Fueron los griegos quienes imaginaron los primeros problemas propuestos en forma de desafo; sus propios dioses intervinieron en este juego cuando Apolo, por boca de su orculo, plante a los habitantes de Quos el problema de la duplicacin del cubo.. Arqumedes, ms modestamente, hizo llegar a los sabios de la Escuela de Alejandra el problema de los bueyes de Trinacia, que aqullos no supieron resolver. A comienzos de nuestra era, durante la guerra de los judos, se sita la aventura verdadera o falsa de Josefo en las grutas de Jotapata contada por Hegesipo; esa aventura inspira un problema clebre en el imperio romano que se transmiti de diversas formas durante toda la edad media. Los hindes, grandes matemticos, extrajeron tambin ellos de su ciencia el material de problemas placenteros que encontramos en sus cuentos de hadas y en un libro escrito en el siglo XII por Lilawati para su hija. En Europa, Carlomagno fue el primer gran aficionado a enigmas matemticos. Ofreci mil escudos a quien resolviera la cuadratura del crculo. Su amigo, el telogo Alcuino, le propuso el problema famoso del lobo, de la cabra y del repollo. Pero fue a partir del renacimiento cuando se desarroll la pasin por los juegos matemticos. Nicols Chuquet ofreci en 1484 una primera coleccin. En el siglo siguiente lo imitaron otros autores: como de la Roche, Jacques Chauvet, Jean Trenchant; la cantidad de ediciones de los libros de estos autores es una prueba del xito que obtuvieron. A fines del siglo XVI, un profesor de Lovaina, Adriaen Van Roomen, ms conocido por el seudnimo de Adrianus Romanus, reanudando una antigua moda,

lanz a todos los matemticos del mundo un desafo en la forma de cierta ecuacin de 45 para resolver. El embajador de los Pases Bajos en la corte de Enrique IV se jactaba de que no haba en Francia ningn matemtico capaz de resolver el problema propuesto por su compatriota. Francois Vite consejero del parlamento de Gran Bretaa, observ que la ecuacin propuesta era exactamente la que resulta al expresar sen 45 en trminos de x = 2sen , y as pudo calcular rpidamente las races positivas. El xito de Vite impresion tanto a Van Roomen que le hizo una visita especial con esta ocasin y le confiri una distincin honorfica. En el siglo XVII, Adrianus Romanus fue imitado por Fermat, Pascal, Descartes, Mersenne, quienes lanzaron sus desafos a travs de toda Europa. Desafos de Fermat al ingls Digby que dieron lugar a que se iniciara un proceso matemtico, desafos de Mersenne a Fermat, desafos de Pascal alrededor del tema de la cicloide, etc. Tanto era el gusto por estas diversiones sabias que se las propona al pblico mediante anuncios y carteles. Descartes, viajando por Holanda , qued intrigado por una inscripcin en flamenco acompaada por figuras geomtricas. Se hizo traducir el texto: se trataba del enunciado de un problema dfcil que su autor ofreca a la sagacidad de sus conciudadanos. Descartes lo resolvi

inmediatamente. En esa poca obtuvieron gran xito tres obras de recreaciones matemticas: 1) Problemas placenteros y deleitosos que se hacen con los nmeros del acadmico Bachet de Meziriac. 2) Cuestiones inauditas o recreaciones de hombres ilustrados del hermano mnimo Marin Mersenne

3) Jacques Ozanam, miembro de la Academia de Ciencias, hizo publicar un grueso volumen titulado Recreaciones matemticas y fsicas que es el primer clsico del gnero. Los ms grandes matemticos de los dos siglos siguientes conservaron la tradicin de los desafos y de los problemas planteados en forma de juego. Leibnitz, Euler autores del problema de los 36 oficiales-, Lagrange. es famoso por el desafo lanzado por uno de los Bernoulli inventor de la paradoja de San Petesburgo- y resuelto rpidamente por Newton cuando llegaba de sus recargadas labores en la casa de la moneda en Londres.

Hamilton, Cayley enriquecieron as la coleccin de los juegos matemticos. Pero la contribucin ms importante se debe a Edouard Lucas, astrnomo del Observatorio de Pars, luego profesor de matemtica especial, quien despus de realizar eruditos trabajos sobre la teora de los nmeros y las secciones cnicas, public de 1881 a 1894 cuatro volmenes de Recreaciones Matemticas. Es sta la obra ms importante y clsica publicada sobre el tema, y los autores posteriores tomaron a veces de ella no poco material

En 1935 unos profesores e investigadores se reunieron en Bruselas en un congreso internacional de recreacin matemtica. Se trat all el famoso problema del caballo de ajedrez. Pigeolet revel los secretos de la criptoaritmtica. Se consider el papel de la Matemtica Recreativaen en la enseanza. En 1937 se reuniern en Pars en un segundo congreso. La segunda guerra mundial puso fin a estas reuniones. En los ltimos aos los ms renombrados divulgadores de recreaciones matemticas son Martin Gardner, Yakov Perelman, Miguel de Guzmn. En el Per, en los ltimos aos han publicado libros de Matematica Recreativa, los autores peruanos son: Mario Santibaez, Manuel Coveas, Hugo Vera Duarte,

Victor Mere y en el mes de junio la primera revista de juegos matemticos Mente Brillante". En el siglo pasado con el cuestionamiento de la didctica tradicional

emerge una nueva concepcin filosfica-pedaggica acerca de la educacin concretizada en la denominada Escuela Nueva, que entre sus fundamentos bastante interesantes plantea la auto educacin, la actividad, individualidad, colectividad, libertad, etc. que en su conjunto imprimen una nueva tcnica al campo educacional. Continuando con la investigacin bibliogrfica con el fin de determinar los antecedentes de nuestro estudio, se han encontrado una serie de publicaciones de distintos autores en distintos lugares y fechas como: John von Neumann (1903-1957), matemtico estadounidense nacido en Hungra, que desarroll la rama de las matemticas conocida como teora de juegos. Aunque la teora de juegos tiene sus orgenes en el estudio de conocidos pasatiempos como tres en raya, el ajedrez y el pquer y de ah su nombre tambin incluye conflictos ms serios que pueden aparecer en los campos de la sociologa, la economa y la ciencia poltica y militar. Ciertos aspectos de la teora de juegos fueron estudiados por primera vez por el matemtico francs mile Borel, quien public varios artculos sobre los juegos de azar y la teora de las partidas. Sin embargo, el matemtico estadounidense de origen hngaro John von Neumann es considerado como el padre de la teora de juegos. En una serie de artculos entre 1920 y 1930, estableci la estructura matemtica de todos los desarrollos tericos posteriores. Durante la II Guerra Mundial, los estrategas militares en los campos de la logstica, la guerra submarina y la defensa area recurrieron a conceptos directamente relacionados con la teora de juegos. A partir de entonces esta teora evolucion dentro del

campo de las ciencias sociales. A pesar de sus aplicaciones empricas, la teora de juegos es esencialmente un producto de las matemticas*** HUGO VERA DUARTE Juegos Matemticos Edit. Bruo Lima Per Ao 2006 Matemtica? Qu aburrimiento! Es muy difcil! Eso dicen la mayora de los nios y tambin muchas personas ocultas. La sola palabra matemtica nos evoca pginas de montonos problemas de nmeros, reglas difciles de recordar y montn de cosas a no entendernos en absoluto y lo mas triste, es que no sabemos para que nos va ha servir. En este trabajo de investigacin encontraras que esta lleno de pasatiempos, rompecabezas, sorpresas, trucos, ancdotas, historias, etc., que descubren toda magia que se esconde en los nmeros y en las figuras. A travs de estas paginas visitaras un extrao pas donde sus habitantes son conjuntos nmeros, operaciones matemticas, figuras matemticas, estadstica, etc. Pero lo ms importante, descubrirs que es en realidad la aplicacin de la matemtica, porque en la matemtica (juegos matemticos) hay mucho de lo que jams has sospechado. De verdad que son divertidas aunque naturalmente hay que pensar un poquito. Aprender matemtica no solo es minora, es decir, aprender una serie de conceptos, definiciones y propiedades, reglas para realizar ciertas operaciones o recetas para resolver problemas.El aprendizaje de la matemtica es el seguimiento comprensivo lgico y creativo de los pasos hasta llegar a un modelo. Es construir conocimientos matemticos en un proceso dinmico y compartido de observacin, experimentacin y vinculacin con los elementos previos. Es adquirir capacidades y destrezas para resolver problemas (juegos) empleando la lgica y la capacidad y aplicar luego estas en la vida cotidiana (matemtica para la vida)

El presente libro Juegos matemticos para nios es una propuesta novedosa, una obra para incentivar la observacin y el razonamiento de constantes desafos a su inteligencia por medio de entendidos juegos y actividades. Donde se evidencia claramente que el motivo esencial de esta publicacin tengan sus races en las concepciones y difusin de los postulados de la Escuela Nueva en todo el mundo. REA DE MATEMATICA. El juego y el aprendizaje de la matemtica. Edit.

Biblioteca Nacional. Ao julio 2006, del M. E. D. Pg. N 61. El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maa fsica, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele presentarse muy frecuentemente a un tipo de anlisis intelectual cuyas caractersticas son muy semejantes a las que presenta el desarrollo del pensamiento matemtico. Las diferentes partes de la matemtica tienen sus piezas, los objetivos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento mutuo a travs de las definiciones de las teoras. Las reglas validas de manejo de estas piezas son dadas por las definiciones y por todos los procedimientos de razonamientos admitidos como validos en el campo. Cuando la teora es elemental, stos no son muchos ni muy complicados y se adquieren bien pronto, lo cual no quiere decir que el juego sea trivial. Elemental quiere decir cerca de los elementos iniciales y no necesariamente simples. Existen problemas elementales

desproporcionadamente complicados con respeto a su enunciado. Se puede utilizar los juegos matemticos con provecho en el aprendizaje de la matemtica? De qu forma? Qu juegos?Qu metas pueden alcanzar a travs del juego? Los juegos tienen un carcter fundamental de pasatiempo y diversin. Para eso

se han hecho y ese es el cometido bsico que desempean. Por eso es natural que haya mucho recelo de su empleo en la enseanza. Ms bien, ese mismo elemento de pasatiempo y diversin que el juego tiene, esencialmente debera ser un motivo ms para utilizarlo generosamente.Porque no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa?. Si cada da ofrecisemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de diversin, incluso, aunque no tuviese nada que ver con el contenido de nuestra rea, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variaran positivamente. Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemticas se prestan igualmente al aprovechamiento didctico. Muchos son solamente charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusin intencionada del enunciada, dejando una impresin de mera tomadura de pelo. En otros casos la solucin da la impresin de haber llegado por

revelacin divina que no cabe fcilmente en un esquema de pensamiento que puede conducir a un mtodo. Pero hay juegos que de forma natural, resultan asequibles a una manipulacin muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolucin sistemtica de problemas matemticos y que encierran lecciones profundamente valiosas. As mismo cabe mencionar que en las diferentes Bibliotecas de las universidades locales se han encontrado trabajos diversos sobre juegos y materiales didcticos, as como otros que inciden en el rendimiento escolar pero no lo relacionan con el desarrollo de la capacidad de raciocinio en los alumnos de educacin primaria pero que no existe similitud con el tema que tratamos. As mismo encontramos un prrafo del Dr. Ral Gonzles que suscribe:

As en el proceso de Enseanza-Aprendizaje de la Matemtica, aquellos profesores que se preocupan por dosificar sus ejemplos por cambiar o adecuar el mtodo de enseanza, si observa deficiencias en el aprendizaje que motiva constantemente a sus alumnos que efecta prcticas de trabajo grupal en el aula intercambiando opiniones (enseanza), con sus alumnos que inciden en la enseanza con aquellos que presentan dificultades en el aprendizaje que evalan constantemente a fin de poder realizar la retroalimentacin necesaria que dialogan frecuentemente con los padres de familia que emplean la denominada Matemtica Recreativa , etc. se hallan ubicados entre aquellos que consideran el aprendizaje como el resultado de la interrelacin de diversas variables que ocurren a nivel interno del alumno.

ALGEBRA RECREATIVA Esperanza Casas Alonso Edit. Magisterio Colombia Ao 2007 En este trabajo de investigacin e innovacin en la enseanza

aprendizaje del algebra, no se trata de un programa tradicional, pues se considera que no se puede ensear como un paquete separado que se inicia cuando se ha terminado los contenidos de aritmtica y geometra ya que el algebra esta inmerso en todo el conocimiento matemtico Nos vamos a preocupar de diferentes modelos numricos y geomtricos que permite a los alumnos a ser participes de su propio aprendizaje para la construccin de conceptos matemticos que se inicia en los primeros aos de escolaridad, para ir formando el pensamiento algebraico. Se ha entrado en el juego para resolver, actividades interesantes y divertidas que permita solucionar a los alumnos para que puedan apreciar la importancia del algebra.

JUEGOS NUMRICOS Desde que los griegos inventaron la Matemtica como disciplina, la esencia de los nmeros ha constituido un aspecto muy atractivo para los estudiosos de todas las pocas. Desde su clasificacin, bsqueda de nmeros con caractersticas especiales (primos, capicas, amigos, perfectos, etc.), hasta el estudio de sus propiedades, estos problemas han fascinado a los matemticos; incluso algunos han inscrito su nombre en la historia por su relacin con ellostraspasando los lmites del mundo matemtico, como los casos evidentes de la escuela pitagrica,Pierre de Fermat o Srinivasa Ramanujan. Esta fascinacin no slo hace mella en los matemticos sino que tambin en quienes son ajenos a ese mundo es observable una cierta atraccin hacia esos problemas. Esto se ve claramente en la gran cantidad de pasatiempos numricos queaparecen regularmente en la prensa. No es raro tampoco que cuando organizamos alguna actividad de matemtica recreativa, sean gymkanas, concursos de ingenio, pruebas individuales o por equipos, etc. estn presentes los problemas numricos, pues son de los que ms aceptacin tienen. Pensamos que el xito de este tipo de problemas se debe a que son entretenimientos que se basan en operaciones bsicas conocidas por todo el mundo,que sin embargo no suelen ser evidentes; es ms, algunos pueden entraar bastante complejidad en su resolucin. Para nosotros como profesores, esos problemas numricos tienen caractersticas didcticas atractivas, como las siguientes: Son altamente motivadores (por lo explicado anteriormente). Sirven para introducir cualquier tema del bloque numrico, tomndolosdirectamente de la prensa o de libros de matemticas recreativas, o adaptndolos a nuestra conveniencia(ver Muoz y otros; 1998). Complementan o refuerzan el bloque numrico de Primaria o Secundaria. Agilizan el clculo mental. Juegos numricos. La cantidad de pasatiempos de este tipo que pueden usarse en clase es muy amplia. Nosotros los clasificamos en dos grandes bloques: por un lado los de ordenacin, en los que hay que colocar los nmeros en determinados lugares segn unas exigencias previas, y por otro lado los de clculo, en los que se puede ir desde los ms simples con sumas, hasta las operaciones ms complicadas. Hemos seleccionado ocho juegos con nivel adecuado para ser usados en Primaria, aunque por supuesto, son actividades atractivas para cualquiera, como hemos comprobado cuando las hemos sacado a la calle y presentado a personas de todas las edades y formacin. 1.- Siete nmeros en la Y griega Coloca las cifras del 1 al 7 en el siguiente tablero, de manera que dos nmeros consecutivos no estn juntos ni vertical, ni horizontal, ni diagonalmente. 2.- La rueda numrica

Sita los nmeros del 1 al 9 en los cuadros del tablero, de forma que todas las lneas de tres nmeros sumen 15. 3.- El tringulo que suma igual Distribuye las cifras del 1 al 6 en el tablero, de forma que la suma de cada lado del tringulo sea la misma. 4.- El cuadro de nmeros. Coloca los ocho primeros nmeros en el tablero, de forma que cada nmero que est en un cuadrado, sea la diferencia de los que estn en los crculos a sus lados. 5.- Ocho nmeros en lnea Coloca las cifras del 1 al 8 en los cuadros de la siguiente lnea, de forma que la diferencia, en un orden o en otro, entre dos nmeros vecinos, no sea nunca menor que 4 6.- Pares e impares en una suma Con los nmeros del 1 al 9 realiza la suma que aparece en el tablero, colocando los nmeros pares en los cuadrados y los impares en los crculos. 7.- La serpiente smica Sita sobre los crculos de la serpiente los nmeros del 1 al 9, de manera que cada lnea de tres nmeros, sume 13. 8.- El producto con nueve nmeros Coloca las cifras del 1 al 9 sobre el tablero, de forma que el producto resultante sea correcto. Aclaraciones. En la mayora de los juegos hay varias soluciones. Si el nivel de conocimiento de los alumnos lo permite, se les puede pedir que busquen todas las posibles. En el enunciado del segundo juego, se pide que los dimetros de la rueda sumen 15, si se hace el juego en cursos superiores, la condicin conviene expresarla diciendo que deben sumar igual, sin decirles el valor. En el tercer juego hay diversas soluciones (los tres nmeros suman 9, 10, 11,12). Si se considera conveniente para alumnos pequeos, se les puede decir el valor de la suma para que les sirva de pista. Este juego, con el mismo tablero y fichas, puede complicarse modificando las exigencias, basta pedir que cuando se coloquen los seis nmeros, cada lado del tringulo sume distinto, pero que en las sumas se obtengan tres nmeros consecutivos. El cuarto juego se ha presentado como diferencia para que no fuese casi todo sumas, pero se puede plantear tambin el colocar los nueve nmeros de manera que los que queden en los cuadros negros, sean la suma de los que estn en los crculos vecinos. Cmo presentar los juegos. Como se puede apreciar en los ejemplos anteriores, todos estos juegos se pueden hacer perfectamente con lpiz y papel, pero tenemos comprobado que el aspectomanipulativo es muy importante en la enseanza, especialmente en Primaria, por lo que aconsejamos que se haga como juego de tablero y fichas,

presentando el dibujo del tablero en cartn o sobre panel, y los nmeros en cartulina o soporte de ms consistencia (cartn pluma, panel, DM, etc.). Esto facilita la resolucin pues los intentos nuevos no pasan por borrar lo hecho antes sino por cambiar las cifras de lugares. De esta manera es como la presentamos nosotros en los montajes que realizamos de Matemticas en la Calle. En este sentido, durante una magna exposicin de materiales didcticos y recreativos, que se desarroll durante el IX Congreso de Matemticas THALES, celebrado el pasado Septiembre en San Fernando (Cdiz), compaeros de la S.A.E.M. THALES de Crdoba presentaron materiales en esta lnea, utilizando como tableros alfombras del cuarto de bao pintadas, y como fichas los nmeros de goma usados normalmente en Preescolar,que se pueden encontrar actualmente en los tiendas de "Todo a Cien". Bibliografa. MUOZ, J.; FERNNDEZ, J., CARMONA, V. (1998): "Jugando con potencias y races". Nmeros 33, Tenerife, 27-38.

juegos matemticos en la enseanza

Transcribimos aqu dos fragmentos del artculo "juegos matemticos en la enseanza" escrito por el profesor espaol Miguel de Guzmn de la Facultad de Matemticas de la Universidad Complutense. El artculo est publicado en: "Actas de las IV Jornadas sobre Aprendizaje y Enseanza de las Matemticas Santa Cruz de Tenerife, 10-14 Septiembre 1984" 1. Matematicas y juegos. "Dnde termina el juego y dnde comienza la matemtica seria? Una pregunta capciosa que admite mltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemtica desde fuera, sta mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los ms de entre los matemticos, la matemtica nunca deja totalmente de ser un juego, aunque adems de ello pueda ser otras muchas cosas. El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maa fsicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de anlisis intelectual cuyas caractersticas son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemtico. Las diferentes partes de la matemtica tienen sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento mutuo a travs de las definiciones de la teora. Las reglas vlidas de manejo de estas piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de razonamiento admitidos como vlidos en el campo. Cuando la teora es elemental, estos no son muchos ni

muy complicados y se adquieren bien pronto, lo cual no quiere decir que el juego sea trivial. Elemental quiere decir cerca de los elementos iniciales y no necesariamente simple. Existen problemas elementales desproporcionadamente complicados con respecto a su enunciado. Un ejemplo lo constituye el problema de averiguar el mnimo de las figuras en las que una aguja unitaria puede ser invertida en el plano por movimientos continuos. Cuando la teora no es elemental es generalmente porque las reglas usuales del juego se han desarrollado extraordinariamente en nmero y en complejidad y es necesario un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. Son herramientas muy poderosas que se han ido elaborando, cada vez ms sofisticadas, a lo largo de los siglos. Tal es, por ejemplo, la teora de la medida e integral de Lebesgue en el anlisis superior. La matemtica as concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de estmulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar ms activamente enfrentndose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos an abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y til herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solucin del problema. Por esto no es de extraar en absoluto que muchos de los grandes matemticos de todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos, y que muchas de sus elucubraciones, precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y matemtica, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado lugar a nuevos campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemtica profundamente seria" 2. Utilizacion de los juegos en la enseanza. "Se pueden utilizar los juegos matemticos con provecho en la enseanza? De qu forma? Qu juegos? Qu objetivos pueden conseguirse a travs de los juegos? Los juegos tienen un carcter fundamental de pasatiempo y diversin. Para eso se han hecho y ese es el cometido bsico que desempean. Por eso es natural que haya mucho receloso de su empleo en la enseanza. "El alumno, -piensa-, se queda con el pasatiempo que, eso s, le puede comer el coco totalmente y se olvida de todo lo dems. Para lo que se pretende, es una miserable prdida de tiempo". A mi parecer, en cambio, ese mismo elemento de pasatiempo y diversin que el juego tiene esencialmente, debera ser un motivo ms para utilizarlo generosamente. Por qu no paliar la mortal seriedad de muchas de nuestras clases con una sonrisa? Si cada da ofrecisemos a nuestros alumnos, junto con el rollo cotidiano, un elemento de diversin, incluso aunque no tuviese nada que

ver con el contenido de nuestra enseanza, el conjunto de nuestra clase y de nuestras mismas relaciones personales con nuestros alumnos variaran favorablemente. Pero es que adems sucede que, por algunas de las razones apuntadas antes, relativas a la semejanza de estructura del juego mismo y de la matemtica, avaladas por la historia misma de la matemtica y de los juegos, y por otras razones que sealar a continuacin, el juego bien escogido y bien explotado puede ser un elemento auxiliar de gran eficacia para lograr algunos de los objetivos de nuestra enseanza ms eficazmente. En mi opinin, el objetivo primordial de la enseanza bsica y media no consiste en embutir en la mente del nio un amasijo de informacin que, pensamos, le va a ser muy necesaria como ciudadano en nuestra sociedad. El objetivo fundamental consiste en ayudarle a desarrollar su mente y sus potencialidades intelectuales, sensitivas, afectivas, fsicas, de modo armonioso. Y para ello nuestro instrumento principal debe consistir en el estmulo de su propia accin, colocndole en situaciones que fomenten el ejercicio de aquellas actividades que mejor pueden conducir a la adquisicin de las actitudes bsicas ms caractersticas que se pretende transmitir con el cultivo de cada materia. Por la semejanza de estructura entre el juego y la matemtica, es claro que existen muchos tipos de actividad y muchas actitudes fundamentales comunes que pueden ejercitarse escogiendo juegos adecuados tan bien o mejor que escogiendo contenidos matemticos de apariencia ms seria, en muchos casos con claras ventajas de tipo psicolgico y motivacional para el juego sobre los contenidos propiamente matemticos. Es un hecho frecuente que muchas personas que se declaran incapaces de toda la vida para la matemtica, disfrutan intensamente con puzzles y juegos cuya estructura en poco difiere de la matemtica. Existen en ellas claros bloqueos psicolgicos que nublan su mente en cuanto se percatan de que una cuestin que se les propone, mucho ms sencilla tal vez que el juego que Es claro que no todos los juegos que se encuentran en los libros de recreaciones matemticas se prestan igualmente al aprovechamiento didctico. Muchos son meras charadas y acertijos ingeniosos. Muchos otros se basan en la confusin intencionada del enunciado al modo de los orculos sibilinos y dejan al final una impresin de mera tomadura de pelo. En otros casos la solucin de la impresin de haber llegado por revelacin divina que no cabe fcilmente en un esquema de pensamiento que pueda conducir a un mtodo. Pero, como veremos, hay juegos que, de forma natural, resultan asequibles a una manipulacin muy semejante a la que se lleva a cabo en la resolucin sistemtica de problemas matemticos y que encierran lecciones profundamente valiosas. Es mi intencin presentar a continuacin dos esquemas de posible utilizacin de los juegos en la enseanza. El primero consiste en un ensayo de desarrollo heurstico a travs de los juegos. Tratar de poner de manifiesto cmo lo que, a mi parecer, constituye la savia de las matemticas y la manera ms efectiva de

acercamiento a ellas desde el punto de vista didctico, la resolucin de problemas, puede aprovecharse de la actividad con juegos bien escogidos. El segundo esquema presenta, a travs de un listado de temas, actitudes y actividades matemticas, cmo los juegos pueden utilizarse para motivar, enriquecer e iluminar la ocupacin con ellas. Lo que sobre todo deberamos proporcionar a nuestros alumnos a travs de las matemticas es la posibilidad de hacerse con hbitos de pensamiento adecuados para la resolucin de problemas, matemticos y no matemticos. De qu les puede servir hacer un hueco en su mente en el que quepan unos cuantos teoremas y propiedades relativas a entes con poco significado si luego van a dejarlos all hermticamente emparedados? A la resolucin de problemas se le ha llamado, con razn el corazn de las matemticas, pues ah es donde se puede adquirir el verdadero sabor que ha atrado y atrae a los matemticos de todas las pocas. Del enfrentamiento con problemas adecuados es de donde pueden resultar motivaciones, actitudes, hbitos, ideas para el desarrollo de herramientas apropiadas, en una palabra, la vida propia de las matemticas. Muchos de estos elementos pueden adquirirse igualmente en el enfrentamiento con los problemas que constituyen los juegos matemticos. Lo que sigue viene a ser, en sus lneas generales, un calco de las directrices fundamentales de la famosa obra de Polya Cmo Resolverlo?, ilustradas aqu con algunos juegos que a m, espigando en la literatura, me han parecido adecuados. El objetivo de este esquema consiste simplemente en tratar de poner bien patente la semejanza de actitudes que se dan en la resolucin de un puzzle o un juego y en la de un genuino problema matemtico, y cmo, efectivamente, muchos de los hbitos adecuados para la tarea matemtica podra no adquirirlos igualmente bien divirtindose con ejemplos escogidos de juegos. La elaboracin de un curso completo de heurstica en esta direccin sera un trabajo bien interesante que requerira una inmersin a fondo en la abundante literatura existente a fin de analizar los juegos ms apropiados para cada aspecto y para comprobar el rendimiento efectivo de esta actividad. Tratar en lo posible aqu de presentar ejemplos bien conocidos a fin de evitar introducciones que nos llevaran mucho tiempo"

Juegos MatematicosLa gama de problemas matemticos flucta desde los ms simples hasta los ms complejos an sin resolver. Toda la historia de las matemticas se encuentra entrelazada con juegos matemticos los cuales han llevado a estudiar diferentes reas de esta ciencia. Juegos numricos, problemas geomtricos, red de problemas y problemas de combinatoria se encuentran entre los tipos de problemas ms conocidos. El papiro Rhind muestra que las primeras matemticas egipcias se fundamentaron extensamente en problemas tipo acertijos. Este papiro de alrededor del ao 1850 A.C. contiene, por ejemplo, un problema escrito en forma bastante anloga a los acertijos actuales:

Siete gatos habitan siete casas. Cada gato caza siete ratones. Cada ratn se haba comido siete mazorcas de maz. Cada mazorca de maz habra producido siete hekats de maz. Cul es el total de granos de maz? Problemas similares aparecen en el libro Liber Abaci de Fibonacci escrito en 1202. El conocido acertijo de St Ives del siglo XVIII est basado en la misma idea (y en el nmero siete). Los matemticos griegos desarrollaron muchos problemas clsicos. Quizs los ms famosos son los desarrollados por Arqumedes en su libro The Sandreckoner donde escribi el Acertijo del Ganado Oh Extrao, si tu arte es diligente y sabio, calcula el nmero de ganado del sol... En alguna de las interpretaciones de este problema, el nmero de ganado ha resultado ser un nmero de 206545 dgitos! (Es posible encontrar mayores detalles al respecto) Otro de los inventos de Arqumedes fue dividir un cuadrado en catorce partes llegando ste ms tarde a convertirse en un juego similar a los Tangrams que consiste en hacer figuras a partir de las catorce partes. Los Tangrams son de origen chino y requieren de poca habilidad matemtica. Sin embargo, es interesante notar cuntas figuras convexas se pueden hacer con el Tangram de siete partes. Es importante observar la presencia del nmero siete, el cual parece haber sido asociado con propiedades mgicas. Los Tangrams llegaron a tener un resurgimiento cuando Dodgson bajo el nombre de Lewis Carroll introdujo los caracteres del tipo Alice.

Fibonacci (mencionado previamente) es famoso por su invencin de la secuencia 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... donde cada nmero es la suma de los dos dgitos anteriores. De hecho las implicancias matemticas desprendidas de esta secuencia han originado que hoy en da haya un Journal dedicado a tpicos relacionados con esta secuencia. No obstante, la secuencia no aparece en la obra de Fibonacci sino slo el famoso Problema del Conejo Un hombre pone un par de conejos en un lugar rodeado por una muralla. Cuntos pares de conejos pueden ser producidos a partir de ese par en un ao si todos los meses cada par produce un nuevo par el cual a partir del segundo mes comienza a ser productivo? Una de las primeras menciones del Ajedrez en problemas matemticos se debe al matemtico rabe Ibn Kallikan quien en 1256 propone el problema de los granos de maz, 1 en el primer casillero del tablero, 2 en el segundo, 4 en el tercero, 8 en el cuarto, etc. Uno de los primeros problemas que involucran piezas de ajedrez se debe a Guarini di Forli quien en 1512 plante cmo dos caballos blancos y dos negros podan ser intercambiados si eran colocados en la esquinas de un tablero de 3X3 (usando el movimiento clsico del caballo). Los Cuadrados Mgicos comprenden el uso de todos los nmeros 1, 2, 3... n2 para llenar los casilleros de un tablero n x n de manera que cada fila, cada columna y ambas diagonales principales sumen el mismo nmero. Los cuadrados mgicos se remontan al ao 2200 A.C. en el que los chinos los llamaban lo-shu A comienzos del siglo XVI Cornelius Agrippa construy casilleros para n = 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 los cuales asoci con los siete planetas entonces conocidos (incluyendo el Sol y la Luna). Melancholia, el famoso grabado de Drero hecho en 1514 incluye una imagen de un cuadrado mgico.

El nmero de cuadrados mgicos, de un orden dado, es todava un problema sin solucin. Incluso el caso n = 5 permanece no resuelto. El cuadrado mgico de Drero mencionado previamente es simtrico. Otras de las condiciones que se estudiaron adems fue que todas las diagonales (trazadas como si el cuadrado estuviese sobre un bocel (1) ) se aaden al mismo nmero que la suma de filas y columnas. Euler estudi este tipo de cuadrado conocido como cuadrado pandiagonal. Ningn cuadrado pandiagonal del orden 2 (2n + 1) puede existir pero si de cualquier otro orden. Para n = 4 existen 880 cuadrados mgicos de los que 48 son pandiagonales. Veblen en 1908 utiliz matrices para estudiar los cuadrados mgicos. Otros de los primeros inventores de juegos fueron Recorde y Cardan. Cardan invent un juego que consista en una serie de anillos en una barra.

Este juego que aparece en la edicin nmero 1550 de su libro De Subtililate. Los anillos estaban ordenados de modo que slo el anillo A en uno de los extremos poda ser puesto y sacado sin problemas. Para sacar cualquiera de los otros, el anillo que se quisiese sacar tena que estar en la barra prximo a A y todos los otros entre el anillo que se deseaba sacar y A tenan que estar fuera de la barra. Para sacar todos los anillos se necesita (2n+1 -1)/3 movidas si n es impar y (2 n+1 -2)/3 si n es par. Este problema es parecido a las Torres de Hanoi descritas ms abajo. De hecho Lucas (el inventor de las Torres de Hanoi) da una elegante solucin al Problema de los Anillos de Cardan usando aritmtica binaria. (1) Bocel: Moldura convexa de seccin semicilndrica Tartaglia, quin junto con Cardan descubri la solucin algebraica de potencias cbicas, fue otro famoso inventor de juegos matemticos. Invent varios problemas aritmticos; problemas de masas de peso con el mnimo nmero de pesos y problemas del tipo Ferry Boat los que ahora pueden ser resueltos con la teora de grficos. Bachet fue famoso como poeta, traductor y matemtico de la Academia Francesa. Es ms conocido por su traduccin de la Arithmetica de Diophantus de 1621. Este es el libro que lea Fermat cuando escribi en el margen su famoso ltimo Teorema. Bachet, sin embargo, tambin es famoso como coleccionista de problemas matemticos los cuales public en Problmes plaisans et dlectables qui font par les nombres,(2) en 1612. Esta obra contiene muchos de los problemas antes mencionados; problemas del tipo cruce de ros, problemas de pesos, trucos numricos, cuadrados mgicos, etc. A continuacin, un ejemplo de uno de los problemas de pesos de Bachet: Cul es el nmero mnimo de pesos que pueden ser usados en un platillo de una balanza para pesar cualquier nmero integral de libras de 1 a 40 inclusive, si los pesos pueden ser ubicados en ambos platillos de la balanza? (La solucin a ese problema est disponible) Los problemas matemticos de Euler son quizs los que poseen la ms profunda naturaleza matemtica. Adems de los problemas de los cuadrados mgicos y los problemas numricos, l estudi el Movimiento del Caballo en el tablero de ajedrez, el problema de Los Treinta y Seis Oficiales y Los Siete Puentes de Knigsberg.

Euler no fue el primero en analizar el problema del Movimiento del Caballo. De Moivre y Montmort ya lo haban estudiado y resuelto a principios del siglo XVIII, despus de haber sido propuesto por Taylor. Ozanam y Montucla citan las soluciones de De Moivre y de Montmort. Euler, en 1759 a sugerencia de L.Bertrand de Ginebra, fue el primero en hacer un anlisis matemtico serio del problema, introduciendo conceptos que seran importantes en la teora de grficos. Lagrange y Vandermonde tambin contribuyeron a la comprensin del problema del Movimiento del Caballo. Los Siete Puentes de Knisgberg marca el comienzo de la teora de grficos y de la topologa.

El Problema de Los Treinta y Seis Oficiales, presentado por Euler en 1779, plantea si es posible ordenar 6 regimientos de 6 oficiales de diferente rango cada uno en un cuadrado de 6 x 6 de tal manera que ningn rango ni regimiento se repita en ninguna fila o columna. El problema no tiene solucin pero ha dado origen a importantes estudios en combinatoria. (2) Problemas agradables y deleitosos que se forman por los nmeros Otro famoso problema que involucra al tablero de ajedrez es el Problema de las Ocho Reinas. La interrogante del problema es determinar de cuntas maneras 8 reinas pueden ser ubicadas en un tablero de ajedrez de tal manera que ningn par se enfrente. La interrogante de cuntas maneras pueden ubicarse n reinas en un tablero de n x n de tal manera que ningn par se enfrente, fue planteado por Franz Nauck, en 1850. En 1874, Gnther y Glaisher describieron mtodos basados en determinantes para resolver este problema. Existe una singular solucin (conforme a la simetra) para el problema de 6 x 6 y para el juego en la forma de un tablero de madera con 36 agujeros en los que se colocan clavijas, el que se vendi en las calles de Londres por un centavo. En 1857 Hamilton describi su Juego Icosiano en una reunin de la Asociacin Britnica, en Dubln. ste fue vendido a J. Jacques and Sons fabricantes de juegos de ajedrez de excelente calidad, por 25 y patentado en Londres en 1859. El juego est relacionado con problema del Movimiento del Caballo de Euler ya que, en la terminologa actual, ste requiere de un

circuito Hamiltoniano en una grfica determinada. El juego fue un fracaso y vendi muy pocas copias. Otro famoso juego fue el Problema de Las Escolares de Kirkman. La interrogante del problema planteado en 1850 es de qu manera 15 escolares pueden caminar en 5 filas de 3 estudiantes cada una por 7 das de tal manera que ninguna nia camine con otra en el mismo tro ms de una vez. De hecho, si n es divisible por 3, podemos formular una pregunta ms general sobre n estudiantes caminando por (n - 1)/2 das de tal manera que ninguna nia camine con otra en el mismo tro ms de una vez. Las soluciones para n=9, 15, 27 fueron provistas en 1850 y de ah en adelante se trabaj mucho en este problema. Este problema es importante en la teora moderna de combinatoria.. Por la misma poca dos inventores profesionales de problemas matemticos, Sam Loyd y Henry Ernest Dudeney, entretenan al mundo con un gran nmero de juegos matemticos y recreativos. El juego ms famoso de Loyd fue el Puzzle 15. Es posible ver el Puzzle 15. Este problema es ilustrativo de importantes propiedades de las permutaciones. Loyd tambin fue famoso por sus problemas de ajedrez. El invent una serie de problemas, algunos de los cuales son muy difciles, que public en el primer nmero del American Chess Journal. Edouard Lucas invent las Torres de Hanoi en 1883. (Es posible encontrar ms informacin sobre el tema). El juego de pentminos es de ms reciente data. El problema de insertar un agujero cuadrado en el centro de un cuadrado de 8 x 8 fue resuelto en 1935. En 1958 se demostr computacionalmente que este problema tena exactamente 65 soluciones. En 1953 se introdujeron poliminos ms generales. Todava permanece sin resolver el problema sobre cuntos poliminos distintos hay. Hay 12 pentminos, 35 hexminos y 108 heptminos (incluyendo uno ms bien dudoso con un agujero en la mitad!). Solomon W.Golomb, matemtico e ingeniero elctrico de la Universidad de California del Sur, fue quien invent los problemas con polinomios. Existe una versin de pentminos tridimensional donde los elementos bsicos son cubos en vez de cuadrados. Un prisma rectangular de 3 x 4 x 5 puede derivarse de los pentminos tridimensionales. Muy relacionado a estos, est El Soma Cubes de Piet Hein, el que consiste de 7 piezas. 6 piezas estn compuestas de 4 cubos pequeos y una de 3 cubos pequeos. El objetivo de este juego es armar un cubo de 3 x 3 x 3. Esto puede hacerse de 230 maneras diferentes!

Un juego de cubo ms antiguo (1921) pertenece a P.A. MacMahon y se llama el Problema de los Cubos de 30 Colores. Hay 30 cubos con todas las permutaciones posibles para sus caras de 6 colores. (Puede Usted probar que hay exactamente 30 cubos de ese tipo?) Elija un cubo al azar y luego elija 8 cubos ms para hacer un cubo de 2 x 2 x 2 con el mismo arreglo de colores, del primer cubo elegido, para sus caras. Cada cara del cubo de 2 x 2 x 2 tiene que ser de un solo color y sus caras interiores tienen que corresponder en color. Raymond Smullyan, lgico matemtico, cre una serie de problemas de ajedrez diferentes a los que se crean generalmente. Ellos son conocidos actualmente como problemas de anlisis

retrgrado y su objetivo es deducir las movidas previas del juego en cuestin ms que las jugadas por venir, que es el problema convencional. Los problemas de anlisis retrgrado son problemas de lgica matemtica. Aqu est el primero que escribi Smullyan en 1925 a los 16 aos. Uno de los ms importantes inventores y coleccionistas de problemas profesionales modernos es Martin Gardner quien escribi, hasta hace alrededor de 4 aos atrs, una excelente columna en la revista Scientific American por cerca de 30 aos. Public algunos de los problemas ajedrecsticos de anlisis retrgrado de Smullyan, en 1973. Tambin se refiri a un juego computacional en ese mismo ao. El advenimiento de las computadoras personales ha marcado un nuevo curso en el diseo y la ejecucin de los juegos matemticos para computadores. El juego al que se refiri Gardner era el Spirolaterals inventado por Frank Olds con slo 3 o 4 lneas de cdigo. Es posible ver algunos ejemplos de spirolaterals. El ms famoso de los problemas recientes es el Cubo Rubik, inventado por el hngaro Ern Rubik. La fama de este cubo es enorme. Fue inventado en 1974, patentado en 1975 y llevado al mercado hngaro en 1977. Sin embargo, no lleg a ser un xito total sino hasta 1981. Hacia 1982, se haban vendido 10 millones de cubos en Hungra, ms que la poblacin del pas. Se estima que se vendieron 100 millones de ejemplares en el mundo entero. Aunque mucha gente no est consciente de este hecho, el cubo es un problema la de teora de conjuntos. El cubo est compuesto de cubos ms pequeos de 3 x 3 x 3 los cuales, en la posicin inicial, estn coloreados de modo tal que las 6 caras del cubo grande sean de color distinto. Los 9 cubos que forman cada cara pueden ser rotados en 45. Hay 43,252,003,274,489,856,000 combinaciones diferentes de los cubos pequeos, siendo slo una de ellas la posicin inicial. La resolucin del cubo muestra la importancia de los conjugadores y conmutadores en un conjunto.

1.6 Objetivos 1.6.1.- General Describir de qu manera la Matemtica Recreativa, facilita el desarrollo de la Capacidad de Raciocinio de los alumnos del 3 grado de Educacin Primaria de la I. E Santa Rosa de Comas 1.6.2.- Especifico 1.-Identificar cuales son las caractersticas de la Matemtica Recreativa que facilita el desarrollo de la Capacidad de Raciocinio de los alumnos del 3 grado de la I. E. Santa Rosa de Comas

2.- Analiza el uso de la Matemtica Recreativa que facilita el desarrollo de la capacidad de raciocinio de los alumnos de la I. E. Santa Rosa de Comas 3.-Conocer el tipo de Matemtica Recreativa, que emplean los docentes para desarrollar la capacidad de raciocinio de los alumnos del 3 grado de la I. E Santa Rosa de Comas 4.- Determinar el impacto de la Matemtica Recreativa para el desarrollo de la capacidad de raciocinio de los alumnos de la I. E. Santa Rosa de Comas

CAPITULO II MARCO TEORICO

2.1 BASES TERICAS Matemtica recreativa es un rea de la matemtica que se concentra en la obtencin de resultados acerca de actividades ldicas, o bien de resultar entretenida en su prctica. El concepto de matemtica recreativa es tan viejo como lo son los juegos en los que interviene la lgica, o el clculo de algn modo. Lo voy a clasificar segn los indicadores del presente trabajo as como: Teoras psicolgicas que explican la enseanza de la matemtica. a) Juegos Matematicos: TANIA CONDOR. La enseanza de las matemticas a travs del juego en

educacin primaria es un instrumento esencial del conocimiento cientfico. Por su carcter abstracto y forma, su aprendizaje resulta difcil para una parte importante de los estudiantes y de todos, es conocido que la matemtica es una de las reas

que ms incide en el fracaso escolar en todos los niveles de enseanza; es el rea que arroja los resultados ms negativos en las evaluaciones escolares. Los juegos y las matemticas tienen muchos rasgos en comn en lo que se refiere a su finalidad educativa. Las matemticas dotan a los individuos de un conjunto de instrumentos que potencian y enriquecen sus estructuras mentales, y los posibilitan para explorar y actuar en la realidad. Los juegos ensean a los escolares a dar los primeros pasos en el desarrollo de tcnicas intelectuales, potencian el pensamiento lgico, desarrollan hbitos de razonamiento, ensean a pensar con espritu crtico; los juegos, por la actividad mental que generan, son un buen punto de partida para la enseanza de la matemtica, y crean la base para una posterior formalizacin del pensamiento matemtico

La presente investigacin tiene como tema de estudio la matemtica recreativa definindolo como una propuesta de actividades diferente a un tema del rea lgico matemtico que permite a los nios de educacin primaria resolver un ejercicio de manera amena y entretenida evitando las dificultades que implica de nociones abstractas. La otra variable capacidad de raciocinio entendida esta como el conjunto de comportamientos, aprendidos y adquiridos para resolver las operaciones y demostraciones que exige la resolucin de un ejercicio en el rea lgico matemtico. Estas dos variables permiten al nio de Educacin Primaria un aprendizaje eficiente de los temas que los profesores proponen a los nios en cada clase. Nuestro objetivo es describir de que manera la matemtica recreativa facilita el desarrollo de la capacidad de raciocinio de los nios de tercer grado de primaria.

Planteamos como hiptesis de trabajo la siguiente propuesta: El empleo de la matemtica recreativa facilita el desarrollo de la capacidad de raciocinio entonces los nios de tercer grado de primaria desarrollan sus habilidades de comprensin de conceptos y procedimientos para resolver ejercicios del rea lgico matemtico. La relevancia de nuestra investigacin radica en resaltar la importancia del juego como procedimiento de enseanza en el rea lgico matemtico, debido a que el juego lgico es una tendencia a la resolucin de ejercicios matemticos porque el nio pone toda su creatividad para obtener un resultado favorable en su aprendizaje. MATEMATICAS Y JUEGOS. Dnde termina el juego y dnde comienza la matemtica seria una pregunta capciosa que admite mltiples respuestas. Para muchos de los que ven la matemtica, desde fuera, sta mortalmente aburrida, nada tiene que ver con el juego. En cambio, para los dems entre los matemticos, la matemtica nunca deja de ser un juego, aunque adems de ello pueda hacer muchas cosas. El juego bueno, el que no depende de la fuerza o maa fsicas, el juego que tiene bien definidas sus reglas y que posee cierta riqueza de movimientos, suele prestarse muy frecuentemente a un tipo de anlisis intelectual cuyas caractersticas son muy semejantes a las que presenta el desarrollo matemtico. Las diferentes partes de la matemtica tienen sus piezas, los objetos de los que se ocupa, bien determinados en su comportamiento mutuo a travs de las definiciones de la teora. Las reglas vlidas de manejo de estas piezas son dadas por sus definiciones y por todos los procedimientos de razonamiento admitidos

como vlidos en el campo. Cuando la teora es elemental, estos no son muchos ni muy complicados y se adquieren bien pronto, lo cual no quiere decir que el juego sea trivial quiere decir cerca de los elementos iniciales y no necesariamente simple. Existen problemas elementales desproporcionadamente complicados con respecto a su enunciado. Un ejemplo lo constituye el problema de averiguar el mnimo de las figuras en las que una aguja unitaria puede ser invertida en el plano por movimientos continuos. Cuando la teora no es elemental es generalmente porque las reglas usuales del juego se han desarrollado extraordinariamente en nmero y en complejidad y es necesario un intenso esfuerzo para hacerse con ellas y emplearlas adecuadamente. Son herramientas muy poderosas que se han ido elaborando, cada vez ms sofisticadas, a lo largo de los siglos. Tal es, por ejemplo, la teora de la medida e integral de Lebesgue en el anlisis superior. La

matemtica as concebida es un verdadero juego que presenta el mismo tipo de estmulos y de actividad que se da en el resto de los juegos intelectuales. Uno aprende las reglas, estudia las jugadas fundamentales, experimentando en partidas sencillas, observa a fondo las partidas de los grandes jugadores, sus mejores teoremas, tratando de asimilar sus procedimientos para usarlos en condiciones parecidas, trata finalmente de participar ms activamente

enfrentndose a los problemas nuevos que surgen constantemente debido a la riqueza del juego, o a los problemas viejos an abiertos esperando que alguna idea feliz le lleve a ensamblar de modo original y til herramientas ya existentes o a crear alguna herramienta nueva que conduzca a la solucin del problema. Por esto no es de extraar en absoluto que muchos de los grandes matemticos de todos los tiempos hayan sido agudos observadores de los juegos, participando muy activamente en ellos, y que muchas de sus elucubraciones,

precisamente por ese entreveramiento peculiar de juego y matemtica, que a veces los hace indiscernibles, hayan dado lugar a nuevos campos y modos de pensar en lo que hoy consideramos matemtica profundamente seria. A continuacin trataremos de analizar la importancia de la recreacin dentro del proceso educativo, teniendo presente que por recreacin se entiende a cualquier actividad ya sea en forma individual o colectiva percibida como libre, placentera, teniendo en s mismo su propio estmulo cuya modalidad es la de producir: diversin, deleite y distraccin. Entre las recreaciones se puede considerar: Los juegos, representaciones teatrales, pasatiempos, ciertas diversiones, adivinanzas y los deportes. Se debe hacer una distincin entre la recreacin escolar y la extra escolar: Las actividades ldicas que se desenvuelven en la primera son naturalmente menos variadas que las segundas. Estas actividades bien orientadas representan un instrumento de proporcionamiento bio-psico-social imprescindible. Lo ms importante a comprender en relacin con la recreacin es que ella no constituye un lujo sino una necesidad. No es simplemente una cosa de la cual al escolar le gusta, sino algo de la cual precisa para desarrollarse como parte esencial de la educacin, es parte importante de su crecimiento a travs de la cual camina hacia la edad adulta Mientras que se recrea jugando el escolar explora no slo su camino fsico y el ambiente social, sino que perfecciona conceptos, ampla y enriquece su voluntad, sus sentidos y lo que es ms importante desarrolla su capacidad de atencin, su memoria de nmeros y objetos, dando impulso a la imaginacin, al raciocinio y al pensamiento creador. Debemos tener presente tambin que la herencia cultural es un gran aporte trasmitida y fijada en situaciones informales de recreacin. Las

actividades recreativas dirigidas son uno de los factores efectivos de educacin, facilitando el aprovechamiento racional y constructivo del tiempo libre, considerndose as mismo al juego como una de las modalidades de la recreacin, como necesaria para la salud mental, indispensable para obtener una personalidad equilibrada. La recreacin tal como lo concebimos en este trabajo, si es verdad que tiene una acepcin muy genrica adaptada exclusivamente a la enseanza de la Matemtica, tiene grandes ventajes Psico-Pedaggicas en el proceso de enseanza aprendizaje de esta noble disciplina. Su importancia pedaggica, conforme a las actuales concepciones de las ciencias es importantes como la psicologa, filosofa, antropologa, etc se traduce en: a) Es un factor educativo muy importante y su prctica data de tiempos inmemoriales. b) La prctica recreacional satisface las necesidades biolgicas, mentales, emotivas y las de tipo social. c) La prctica del juego, deporte y recreacin en general por su importancia capital, han sido incluidos en las currculas de todos los niveles del sistema educativo del que se deduce su importancia que se les ha dado en el aprendizaje y su significacin en la pedagoga moderna. d) La prctica recreacional permite una mejor adaptacin a la familia a la escuela o colegio y a la colectividad en general. e) Con la recreacin el educando aprende importantes hbitos como la solidaridad, participacin. f) Con la recreacin el educando forma y cultiva su actividad cientfica, consolida su carcter y estimula su poder estimulativo y creador entre otras virtudes. g) Por la diversa emotividad e intelectualidad que el juego inspira en la vida del educando, ste se desenvuelve en un mundo colectivo, armonioso e ideal, el mismo que gira alrededor de su propio inters, sin llegar a la fatiga deparndole alegra y satisfaccin. h) En el aspecto individual los juegos desarrollan y perfeccionan en el alumno los diferentes sentidos: odo, vista, tacto, gusto. i) Ampla el espritu de observacin, estimula el ingenio, afirma la voluntad.

El juego en la actividad del alumno marca un determinado gusto de aficin que est representada por la libertad, actividad gregaria y sociabilidad que son guiadas por la labor del profesor El juego en la actividad del alumno marca un determinado gusto de aficin que est representada por la libertad, actividad gregaria y sociabilidad que son guiadas por la labor del profesor. La exigencia mnima de esta avalancha del progreso cientfico, en cuanto concierne a la educacin se sintetiza

indudablemente en estas dos caras de una misma medalla; ms matemtica y mejor matemtica La primera (ms matemtica) no implica en forma alguna la necesidad de ensanchar la extensin de los programas de abultar por consiguiente el grosor de los textos escolares y de atiborrar, en ltima instancia la mente de nuestros educandos. Se trata nada ms y nada menos de que el estudiante de Educacin Primaria tenga un alto nivel en la formacin de Matemtica y que sobre esta base de primersimo importancia le sirva para la Educacin Secundaria. Parecera que existe a simple vista una contradiccin en el propsito de querer ms Matemtica sin recurrir al ensanchamiento de programas y a la frondosidad de los textos escolares de Matemtica, sin embargo, dicha contradiccin es solo aparente, porque se puede ensear ms Matemtica con menos extensin de programas y textos, si se hace un buen uso de la Matemtica Recreativa en todos los niveles educativos, evitando repeticiones necesarias, impartiendo conceptos veraces y exactos desde los primeros grados y lo que es ms importante orientar el que hacer matemtico, hacia el logro de un objetivo fundamental, que es evaluar de que manera la Matemtica Recreativa, facilita la Capacidad de Raciocinio de los alumnos La Educacin Primaria es sin duda la ms importante en la formacin de

los nios en la Educacin Peruana, pues en ella se prepara en forma integral para los retos de la vida Secundaria. La investigacin es de gran actualidad para la prctica docente a favor del aprendizaje divertido y cognitivo que permitir una educacin que sea la expresin de un sentimiento y compromiso con nuestra realidad, una educacin cuyo valor este en su cobertura social de mayoras, sin requisitos ni privilegios culturales y econmicos, tenindose presente que el desarrollo de una ciencia y la tecnologa es un avance y propiedad de la

humanidad y no de una clase en particular, por muy dominante que sea; una educacin en sentido democrtico y socializador, para que el conocimiento cientfico y tecnolgico sean puesto, al servicio del pueblo. El fundamento matemtico de los juegos. Estas muestras del inters de los matemticos de todos los tiempos por los juegos matemticos, que se podran ciertamente multiplicar, apuntan a un hecho indudable con dos vertientes. Por una parte son muchos los juegos con un contenido matemtico profundo y sugerente y por otra parte una gran porcin de la matemtica de todos los tiempos tiene un sabor ldico que la asimila extraordinariamente al juego. El primer aspecto se puede poner bien de manifiesto sin ms que ojear un poco el repertorio de juegos ms conocidos. La aritmtica est inmersa en los cuadrados mgicos, cambios de monedas, juegos sobre pesadas, adivinacin de nmeros,... La teora elemental de nmeros es la base de muchos juegos de adivinacin fundamentados en criterios de divisibilidad, aparece en juegos que implican diferentes sistemas de numeracin, en juegos emparentados con el Nim,... La combinatoria es el ncleo bsico de todos los juegos en los que se pide enumerar las distintas formas de realizar una tarea, muchos de ellos sin resolver

an, como el de averiguar el nmero de formas distintas de pegar una tira de sellos, el problema del viajante,... El lgebra interviene en muchos acertijos sobre edades, medidas, en el famoso juego de los 15, en el problema de las ocho reinas,... La teora de grupos, en particular el grupo de Klein, es una herramienta importante para analizar ciertos juegos con fichas en un tablero en los que se "come al saltar al modo de las damas. La teora de grafos es una de las herramientas que aparece ms frecuentemente en el anlisis matemtico de los juegos. Naci con los puentes de Knigsberg, se encuentra en el juego de Hamilton, da la estrategia adecuada para los acertijos de cruces de ros, como el del pastor, la oveja, la col y el lobo, el de los maridos celosos y resuelve tambin muchos otros ms modernos como el de los cuatro cubos de la Locura Instantnea... La teora de matrices est ntimamente relacionada tambin con los grafos y juegos emparentados con ellos. Diversas formas de topologa aparecen tanto en juegos de sabor antiguo, como el de las tres granjas y tres pozos, como en juegos ms modernos como los relacionados con la banda de Mbius, problemas de coloracin, nudos, rompecabezas de alambres y anillas... La teora del punto fijo es bsica en algunos acertijos profundos y sorprendentes como el del monje que sube a la montaa, el pauelo que se arruga y se coloca sobre una rplica suya sin arrugar,... La geometra aparece de innumerables formas en falacias, disecciones, transformacin de configuraciones con cerillas, polinomins planos y espaciales,... La probabilidad es, por supuesto, la base de todos los juegos de azar, de los que precisamente naci. La lgica da lugar a un sinfn de acertijos y paradojas muy interesantes que llaman la atencin por su profundidad y por la luz que arrojan sobre la estructura misma del pensamiento y del lenguaje Matemticas con sabor a juego.

Por otra parte resulta igualmente fcil sealar problemas y resultados profundos de la matemtica que rezuman sabor a juego. Citar unos pocos entresacados de la matemtica ms o menos contempornea. El teorema de Ramsey, en su forma ms elemental, afirma que si tenemos 6 puntos sobre una circunferencia, los unimos dos a dos, y coloreamos arbitrariamente los segmentos que resultan de rojo o de verde, entonces necesariamente hay al final un tringulo con tales segmentos por los lados que tiene sus tres lados del mismo color. El lema de Sperner,es importante en la teora del punto fijo, afirma que si en un tringulo ABC se efecta una triangulacin (Una particin en un nmero finito de tringulos tales que cada dos de ellos tienen en comn un lado, un vrtice, o nada) y se nombran los vrtices de los tringulos de la triangulacin con A, B, C, de modo que en el lado AB no haya ms que las letras A B, en el AC nada ms que A C y en BC nada ms que B C, entonces necesariamente hay un tringulo de la triangulacin que se llama ABC El teorema de Helly afirma que

si en un plano hay un nmero cualquiera de conjuntos convexos y compactos tales que cada tres tienen un punto en comn, entonces todos ellos tienen al menos un punto en comn. El problema de Lebesgue, an sin resolver, pregunta por el mnimo del rea de aquellas figuras capaces de cubrir cualquier conjunto del plano de dimetro menor o igual que 1. El siguiente problema de la aguja en un convexo tridimensional est tambin an abierto: Cul es el cuerpo convexo de volumen mnimo capaz de albergar una aguja de longitud 1 paralela a cada direccin dada? Se sospecha, por

analoga con el caso bidimensional, que es el tetraedro regular de altura 1, pero no hay demostracin de ello. Raciocnio uma operao lgica discursiva e mental. Neste, o intelecto humano utiliza uma ou mais proposies, para concluir, atravs de mecanismos de comparaes e abstraes, quais so os dados que levam s respostas verdadeiras, falsas ou provveis. Das premissas chegamos a concluses. Foi pelo processo do raciocnio que ocorreu o desenvolvimento do mtodo matemtico, este considerado instrumento puramente terico e dedutivo, que prescinde de dados empricos. Atravs da aplicao do raciocnio, as cincias como um todo evoluram para uma crescente capacidade do intelecto em alavancar o conhecimento. Este utilizado para isolar questes e desenvolver mtodos e resolues nas mais diversas questes relacionadas existncia e sobrevivncia humana. O raciocnio, um mecanismo da inteligncia, gerou a convico nos humanos de que a razo unida imaginao constituem os instrumentos fundamentais para a compreenso do universo, cuja ordem interna, alis, tem um carter racional, portanto, segundo alguns, este processo a base do racionalismo. Logo, resumidamente, o raciocnio pode ser considerado tambm um dos integrantes dos mecanismos dos processos cognitivos superiores da formao de conceitos e da soluo de problemas, sendo parte do pensamento. Definicin de cognicin Proceso exclusivamente intelectual que precede al aprendizaje, las capacidades cognitivas solo se aprecian en la accin, es decir primero se procesa informacin y despus se analiza, se argumenta, se comprende y se produce nuevos enfoques. El desarrollo de lo cognitivo en el alumno debe ser el centro del proceso de enseanza por parte del docente. Este trmino s utilizado por la psicologa moderna, concediendo mayor importancia a los aspectos intelectuales que a los afectivos y emocionales, en este sentido se tiene un doble significado: primero, se refiere a una representacin conceptual de los objetos. La segunda, es la comprensin o explicacin de los objetos

C) Rendimiento Acadmico Definiciones acerca del rendimiento acadmico Como ya sabemos la educacin escolarizada es un hecho intencionado y, en trminos de calidad de la educacin, todo proceso educativo busca

permanentemente mejorar el aprovechamiento del alumno. En este sentido, la variable dependiente clsica en la educacin escolarizada es el rendimiento o aprovechamiento escolar (Kerlinger, 1988). El rendimiento en s y el rendimiento

acadmico, tambin denominado rendimiento escolar, son definidos por la Enciclopedia de Pedagoga / Psicologa de la siguiente manera: "Del latn reddere (restituir, pagar) el rendimiento es una relacin entre lo obtenido y el esfuerzo empleado para obtenerlo. Es un nivel de xito en la escuela, en el trabajo, etc", "..., al hablar de rendimiento en la escuela, nos referimos al aspecto dinmico de la institucin escolar. (...) El problema del rendimiento escolar se resolver de forma cientfica cuando se encuentre la relacin existente entre el trabajo realizado por el maestro y los alumnos, de un lado, y la educacin (es decir, la perfeccin intelectual y moral lograda por stos) de otro", "al estudiar cientficamente el rendimiento, es bsica la consideracin de los factores que intervienen en l. Por lo menos en lo que a la instruccin se refiere, existe una teora que considera que el rendimiento escolar se debe predominantemente a la inteligencia; sin embargo, lo cierto es que ni si quiera en el aspecto intelectual del rendimiento, la inteligencia es el nico factor", "..., al analizarse el rendimiento escolar, deben valorarse los factores ambientales como la familia, la sociedad y el ambiente escolar" (El Tawab, 1997; pg. 183). Adems el rendimiento acadmico es entendido por Pizarro (1985) como una medida de las capacidades respondientes o indicativa que manifiestan, en forma estimativa, lo que una persona ha aprendido como consecuencia de un proceso de instruccin o formacin. El mismo autor, ahora desde una perspectiva propia del alumno, define el rendimiento como una capacidad respondiente de ste frente a estmulos educativos, susceptible de ser interpretado segn objetivos o propsitos educativos pre-establecidos. Este tipo de rendimiento acadmico puede ser entendido en relacin con un grupo social que fija los niveles mnimos

de aprobacin ante un determinado cmulo de conocimientos o aptitudes (Carrasco, 1985). Segn Hern y Villarroel (1987), el rendimiento acadmico se define en forma operativa y tcita afirmando que se puede comprender el rendimiento escolar previo como el nmero de veces que el alumno ha repetido uno o ms cursos. Por su lado, Kaczynska (1986) afirma que el rendimiento acadmico es el fin de todos los esfuerzos y todas las iniciativas escolares del maestro, de los padres de los mismos alumnos; el valor de la escuela y el maestro se juzga por los conocimientos adquiridos por los alumnos. En tanto que Novez (1986) sostiene que el rendimiento acadmico es el quantum obtenido por el individuo en determinada actividad acadmica. El concepto de rendimiento est ligado al de aptitud, y sera el resultado de sta, de factores volitivos, afectivos y emocionales, adems de la ejercitacin. Chadwick (1979) define el rendimiento acadmico como la expresin de capacidades y de caractersticas psicolgicas del estudiante desarrolladas y actualizadas a travs del proceso de enseanza-aprendizaje que le posibilita obtener un nivel de funcionamiento y logros acadmicos a lo largo de un perodo o semestre, que se sintetiza en un calificativo final (cuantitativo en la mayora de los casos) evaluador del nivel alcanzado. Resumiendo, el rendimiento acadmico es un indicador del nivel de aprendizaje alcanzado por el alumno, por ello, el sistema educativo brinda tanta importancia a dicho indicador. En tal sentido, el rendimiento acadmico se convierte en una "tabla imaginaria de medida" para el aprendizaje logrado en el aula, que

constituye el objetivo central de la educacin. Sin embargo, en el rendimiento acadmico, intervienen muchas otras variables externas al sujeto, como la calidad del maestro, el ambiente de clase, la familia, el programa educativo, etc., y variables psicolgicas o internas, como la actitud hacia la asignatura, la inteligencia, la personalidad, el autoconcepto del alumno, la motivacin, etc. Es pertinente dejar establecido que aprovechamiento escolar no es sinnimo de rendimiento acadmico. El rendimiento acadmico o escolar parte del

presupuesto de que el alumno es responsable de su rendimiento. En tanto que el aprovechamiento escolar est referido, ms bien, al resultado del proceso enseanza-aprendizaje, de cuyos niveles de eficiencia son responsables tanto el que ensea como el que aprende. Caractersticas del rendimiento acadmico Garca y Palacios (1991), despus de realizar un anlisis comparativo de diversas definiciones del rendimiento escolar, concluyen que hay un doble punto de vista, esttico y dinmico, que ataen al sujeto de la educacin como ser social. En general, el rendimiento escolar es caracterizado del siguiente modo: a) el rendimiento en su aspecto dinmico responde al proceso de aprendizaje, como tal est ligado a la capacidad y esfuerzo del alumno; b) en su aspecto esttico comprende al producto del aprendizaje generado por el alumno y expresa una conducta de aprovechamiento; c) el rendimiento est ligado a medidas de calidad y a juicios de valoracin; d) el rendimiento es un medio y no un fin en s mismo; e) el rendimiento est relacionado a propsitos de carcter tico que incluye expectativas econmicas, lo cual hace necesario un tipo de rendimiento en funcin al modelo social vigente.

El rendimiento acadmico en el Per En consonancia con esa caracterizacin y en directa relacin con los propsitos de la investigacin, es necesario conceptuar el rendimiento acadmico. Para ello se requiere previamente considerar dos aspectos bsicos del rendimiento: el proceso de aprendizaje y la evaluacin de dicho aprendizaje. El proceso de aprendizaje no ser abordado en este estudio. Sobre la evaluacin acadmica hay una variedad de postulados que pueden agruparse en dos categoras: aquellos dirigidos a la consecucin de un valor numrico (u otro) y aquellos encaminados a propiciar la comprensin (insight) en trminos de utilizar tambin la evaluacin como parte del aprendizaje. En el presente trabajo interesa la primera categora, que se expresa en los calificativos escolares. Las calificaciones son las notas o expresiones cuantitativas o cualitativas con las que se valora o mide el nivel del rendimiento acadmico en los alumnos. Las calificaciones escolares son el resultado de los exmenes o de la evaluacin continua a que se ven sometidos los estudiantes. Medir o evaluar los rendimientos escolares es una tarea compleja que exige del docente obrar con la mxima objetividad y precisin (Fernndez Huerta, 1983; cit. por Aliaga, 1998b). En el sistema educativo peruano, en especial en las universidades -y en este caso especfico, en la UNMSM-, la mayor parte de las calificaciones se basan en el sistema vigesimal, es decir de 0 a 20 (Miljanovich, 2000). Sistema en el cual el puntaje obtenido se traduce a la categorizacin del logro de aprendizaje, el cual puede variar desde aprendizaje bien logrado hasta aprendizaje deficiente, basndonos en el siguiente cuadro (DIGEBARE, 1980; cit. por Reyes Murillo, 1988):

El rendimiento acadmico en general, se ve unido a muchas variables psicolgicas, una de ellas es la inteligencia, que se le relaciona de modo moderado a alto, en diversas poblaciones estudiantiles, como por ejemplo las de Inglaterra y Estados Unidos (Catell y Kline, 1982). Un panorama algo diferente presentan las correlaciones con las variables que Rodrguez Schuller (1987) denomina "comportamientos afectivos relacionados con el aprendizaje". Las correlaciones de la actitud general hacia la escuela y del autoconcepto no acadmico si bien son significativas son menores que las correlaciones de la actitud hacia una asignatura determinada y el autoconcepto acadmico (Comber y Keeves, 1973; cit. Enrquez Vereau, 1998). Por otro lado, la variable personalidad con sus diferentes rasgos y dimensiones, tiene correlaciones diversas y variadas segn los rasgos y niveles de educacin (Eysenck y Eysenck, 1987; cit. por Aliaga, 1998b). En cuanto al rendimiento en algunas asignaturas como por ejemplo, la matemtica, Bloom (1982) comunica resultados de estudios univariados en los cuales se hallan correlaciones sustanciales entre la inteligencia y el aprovechamiento en aritmtica en estudiantes secundarios estadounidenses. Tambin comunica correlaciones ms elevadas del autoconcepto matemtico en comparacin con el autoconcepto general con asignaturas de matemtica en el mismo tipo de estudiante. Otra variable que se ha relacionado mucho con el rendimiento acadmico es la ansiedad ante los exmenes. Ayora (1993) sostiene que esta ansiedad antes, durante y despus de situaciones de evaluacin o exmenes constituye una experiencia muy comn, y que en algunos casos se traduce en experiencias negativas como bajas calificaciones, merma acadmica, abandono escolar y

universitario, entre otras. Ya en los inicios de la dcada de 1950, Sarason y Mandler (citados por Spielberger, 1980) dieron a conocer una serie de estudios en los cuales descubrieron que los estudiantes universitarios con un alto nivel de ansiedad en los exmenes tenan un rendimiento ms bajo en los tests de inteligencia, comparados con aquellos con un bajo nivel de ansiedad en los exmenes, particularmente cuando eran aplicados en condiciones productoras de tensin y donde su ego era puesto a prueba. Por contraste, los primeros tenan un mejor rendimiento comparados con los segundos, en condiciones donde se minimizaba la tensin. Estos autores atribuyeron el bajo aprovechamiento acadmico, de los estudiantes altamente ansiosos, al surgimiento de sensaciones de incapacidad, impotencia, reacciones somticas elevadas, anticipacin de castigo o prdida de su condicin y estima, as como a los intentos implcitos de abandonar el examen. Tambin los estudiantes con un alto nivel de ansiedad tendan a culparse a s mismos por su bajo aprovechamiento, mientras que los de bajo nivel no lo hacan. Aparentemente, los primeros respondan a la tensin de los exmenes con intensas reacciones emocionales y pensamientos negativos egocntricos, lo cual les impeda un buen desarrollo, mientras que los segundos reaccionaban con una motivacin y concentracin cada vez mayores. McKeachie y cols. (1955; cit. por Anderson y Faust, 1991) afirmaron que muchos estudiantes llegan a ponerse ansiosos, airados y frustrados al verse sometidos a exmenes de cursos, particularmente cuando se encuentran con preguntas que consideran ambiguas o injustas. De acuerdo a esto, cabe esperar que estas emociones interfieran con el aprovechamiento; adems, creen ellos que si a los

alumnos se les da la oportunidad de escribir comentarios acerca de las preguntas que consideraban confusas, se disipara la ansiedad y la frustracin. Con un enfoque univariado en el Per se han realizado algunos estudios al respecto, en su mayora tesis de Licenciatura, en las que se han relacionado variables psicolgicas tales como la inteligencia y rasgos de personalidad, consideradas en forma individual, con el rendimiento acadmico general (p.e. Barahona, 1974; Bruckman, 1976; Carpio Toranzo, 1976; Gurmendi, 1979; Sacarpella, 1982; Benavides, 1993; Garca - Zapatero, 1988; Aliaga, Giove y Rojas, 1995; cit. por Aliaga y cols., 2001). Los resultados sealan

consistentemente correlaciones positivas moderadas del rendimiento con la inteligencia y correlaciones negativas pequeas pero significativas con la ansiedad. La correlacin con otros rasgos de personalidad como la introversinextroversin es cercana a cero o no significativa. d) Conocimiento y actitudes del alumno El sistema educativo peruano Mediante la aprobacin de la Ley de Ordenamiento General del Sistema Educativo en 1990, se pretenda la actualizacin del sistema educativo imperante hasta entonces, cuyo diseo databa de 1970, y la adaptacin del mismo a las normas derivadas de la Constitucin de 1978, tales como el derecho a la educacin y la libertad de enseanza, de ctedra y de creacin de centros educativos. En torno a estas ideas maestras gira el Prembulo de la, parte del cual aqu reproducimos. El sistema educativo peruano Prembulo

Los sistemas educativos desempean funciones esenciales para la vida de los individuos y de las sociedades. Las posibilidades de desarrollo armnico de unos y de otras se asientan en la educacin que aqullos proporcionan. El objetivo primero y fundamental de la educacin es el de proporcionar a los nios y a las nias, a los jvenes de uno y otro sexo una formacin plena que les permita conformar su propia y esencial identidad, as como construir una concepcin de la realidad que integre a la vez el conocimiento y la valoracin tica y moral de la misma. Tal formacin plena ha de ir dirigida al desarrollo de su capacidad para ejercer, de manera crtica y en una sociedad axiolgicamente plural, la libertad, la tolerancia y la solidaridad. En la educacin se transmiten y ejercitan los valores que hacen posible la vida en sociedad, singularmente el respeto a todos los derechos y libertades fundamentales, se adquieren los hbitos de convivencia democrtica y de respeto mutuo, se prepara para la participacin responsable en las distintas actividades e instancias sociales. La madurez de las sociedades se deriva, en muy buena medida, de su capacidad para integrar, a partir de la educacin y con el concurso de la misma, las dimensiones individual y comunitaria. De la formacin e instruccin que los sistemas educativos son capaces de proporcionar, de la transmisin de conocimientos y saberes que aseguran, de la cualificacin de recursos humanos que alcanzan, depende la mejor adecuacin de la respuesta a las crecientes y cambiantes necesidades colectivas. La educacin permite, en fin, avanzar en la lucha contra la discriminacin y la desigualdad, sean stas por razn de nacimiento, raza, sexo, religin u opinin, tengan un origen familiar o social, se arrastren tradicionalmente o aparezcan continuamente con la dinmica de la sociedad.

Por todo ello, a lo largo de la Historia, las distintas sociedades se han preocupado por su actividad educativa, sabedoras de que en ella estaban prefigurando su futuro, lo que en no pocas ocasiones ha desembocado en sistemas de privilegio, cerrados, elitistas y propagadores de ortodoxias excluyentes. Sin embargo, toda transformacin, grande o pequea, comprometida con el progreso social ha venido acompaada, cuando no precedida, de una revitalizacin e impulso de la educacin, de una esperanza confiada en sus posibilidades transformadoras. Su configuracin como un derecho social bsico, su extensin a todos los ciudadanos, es una de !as conquistas de ms hondo calado de las sociedades modernas. La nuestra es una sociedad en acelerado proceso de modernizacin que camina, cada vez ms ntidamente, hacia un horizonte comn para Europa. Cuando se estn incorporando a las escuelas los ciudadanos del prximo siglo, los pases con los que tratamos de construir el proyecto europeo, que ofrecer una nueva dimensin a nuestra juventud de hoy, conceden una gran relevancia a la educacin y a la formacin tratando de adaptarlas a la apertura del espacio individual, poltico, cultural y productivo, a la mayor rapidez y complejidad de los cambios de todo tipo, propiciando su prestacin ms prolongada a mayor nmero de ciudadanos, promoviendo las mejoras necesarias para garantizar su calidad. Poniendo en marcha, por tanto, procesos de reforma de sus respectivos sistemas. [...] El diseo del actualmente vigente procede de 1970. En estas dos dcadas, vividas ya en su mayor parte en democracia, la educacin peruana ha conocido un notable impulso [...]

La aplicacin de los mecanismos polticos y jurdicos propios de la transicin permiti superar los residuos autoritarios subsistentes en la norma aprobada en 1970 y abrir el sistema educativo a la nueva dinmica generada en diversos campos, muy singularmente a la derivada de la nueva estructura autonmica del Estado, que recoge en su diversidad la existencia de Comunidades Autnomas con caractersticas especficas y, en algunos casos, con lenguas propias que constituyen un patrimonio cultural comn. En el plano normativo, se procedi con la Ley de Reforma Universitaria a la reforma de