jose nicolas fernandez garcia
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CENTRO DE INVESTIGACION Y
ESTUDIOS AVANZADOSDepartamento de F́ısica.
ESTUDIO DE RESONANCIAS YTRANSFORMACIONES DE
DARBOUX-GAMOWEN MECANICA CUANTICA.
TESISPARA OBTENER EL GRADO DE DOCTOR EN CIENCIAS
P R E S E N T A:
JOSE NICOLAS FERNANDEZ GARCIA
MEXICO, D.F. SEPTIEMBRE DE 2008
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Deseo agradecer en forma especial al Dr. José Oscar Rosas Ortiz por su afectuosacolaboración y excelente dirección en la elaboración de esta tesis.
Al Consejo Nacional de Ciencia y Tecnoloǵıa (CONACyT) por el apoyo econ´omico
recibido para hacer posible la obtenci ón de este grado académico.
Al Centro de Investigací on y de Estudios Avanzados (Cinvestav) por brindarme las
herramientas necesarias para continuar avanzando en el ´ ambito profesional.
A mis sinodales por su amable trato y comentarios respecto a esta tesis, Doctores Alfonso
Mondrag ón Ballesteros, Axel Schulze-Halberg, Mauricio Carbajal Tinoco, Gabriel L´ opez
Castro y Gabino Torres Vega.
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A
mi esposa y a mi hijo,
por estar conmigo y ser mi principal aliciente para seguir adelante.
A
mi madre y a mi hermano David
que siempre me han apoyado,
por su cariño y comprensión muchas gracias.A
mi cuñada Nora y a mis dem ás hermanos Car, Lupi, To˜no y Jorge.
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Contenido
1 Introducci´ on 1
2 Transformaciones de Darboux-Gamow 7
2.1 Factorizaci ón y transformaciones de Darboux . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.3 Más allá del método de factorizacíon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Transformaciones de Darboux-Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.1 Enerǵıas complejas y potenciales ópticos . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.4.2 Resonancias y funciones de Gamow-Siegert . . . . . . . . . . . . . . 262.4.3 Combinacíon Darboux-Gamow . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3 Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales 31
3.1 Tratamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.2 Comportamiento asint́ otico de la solución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3 Resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.4 Pozo cuadrado unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.4.1 Enerǵıas complejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3.4.2 Método Gr áco . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.4.3 Método anaĺıtico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.4.4 Distribucíon de Fock-Breit-Wigner . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.4.5 Dos clases de funciones de transformación . . . . . . . . . . . . . . 44
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3.5 Barrera cuadrada unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.6 Nuevos potenciales reales e imaginarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Pozos y barreras radiales 55
4.1 Importancia de la amplitud de dispersí on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
4.1.1 El conjunto fundamental de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . 57
4.1.2 Estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.1.3 Estados de dispersíon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.2 Amplitud S (k) y estudio de resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2.1 Estados de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
4.3 Deformaciones de Darboux-Gamow para potenciales radiales . . . . . . . . 64
4.4 Pozos y barreras radiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.4.1 Funciones de Gamow-Siegert para un pozo radial . . . . . . . . . . 67
4.4.2 Estados de Gamow para la barrera radial . . . . . . . . . . . . . . . 74
5 Potenciales unidimensionales truncados 81
5.1 Tratamiento general . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
5.2 Estados ligados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
5.3 Estados de dispersi ón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
5.3.1 Pozo unidimensional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
5.4 Discontinuidad contra resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
5.4.1 Espectro discreto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
5.4.2 Espectro continuo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
6 Escalamiento complejo y una alternativa WKB 103
6.1 Aspectos básicos del escalamiento complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
6.2 Aplicaciones del escalamiento complejo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
6.3 El método BBJS y el potencial de Sukumar . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
6.4 Método WKB para el estudio de resonancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 113
6.4.1 Método WKB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
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CONTENIDO v
6.4.2 Método WKB extendido para el estudio de resonancias. . . . . . . . 118
7 Conclusiones y Perspectivas 125
Bibliograf́ıa 131
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Resumen
Las transformaciones de Darboux son una herramienta poderosa en la soluci´ on de ecuaciones
diferenciales. Aplicadas a la ecuaci´ on de Schr ödinger permiten la construcci´ on de nuevos poten-
ciales exactamente solubles. En este trabajo combinamos el método de Darboux con funciones
del tipo Gamow-Siegert (GS) para construir potenciales complejos de corto alcance cuyo es-
pectro de enerǵıas es real. Los nuevos potenciales se comportan como un dispositivo ´ optico
que emite y absorbe ondas de luz simult´ aneamente. El método es aplicado a potenciales trunca-
dos (caracterizados por una funci´ on suave y un par´ametro de corte) tanto lineales como radiales.
Las funciones GS son soluciones de la ecuación de Schr¨ odinger con eigenvalor complejo que
satisfacen la condici´on de onda puramente saliente y que representan estados de resonancia dela enerǵıa. Aqúı mostraremos que las discontinuidades (truncamiento) de un potencial, cuando
se presentan por pares, inducen la presencia de resonancias. También mostraremos el efecto de
estas discontinuidades en la parte discreta del espectro.
Para el estudio de resonancias asociadas con potenciales suaves en todo el dominio se intro-
duce una generalizaci´on del método WKB. Aplicando este método al potencial de Sukumar (que
es un potencial radial muy usado en f́ısica-qúımica) obtenemos resultados que son comparables
con los que se obtienen del escalamiento complejo.
Finalmente discutimos algunos modelos adicionales donde nuestro método representaŕıa una
simplicaci ón en el cálculo y en el estudio de resonancias.
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Caṕıtulo 1
Introducción
A principios del siglo pasado se hab́ıan acumulado una serie de experimentos cuyos resul-
tados no se pod́ıan explicar con las teoŕıas existentes. Las leyes fı́sicas conocidas hasta
entonces resultaron aplicables solamente a un cierto tipo de sistemas, y bajo condiciones
muy especı́cas. Entonces se tuvieron que abandonar muchas ideas y cambiar principios
que se creian bien establecidos. En particular, fue necesario convencerse de que la f́ısica
de sistemas tan peque ños como los átomos y los electrones no se ajusta a la mec ánicaNewtoniana. El primer paso para el establecimiento de la nueva teoŕıa fue determinar
los conceptos que deb́ıan ser modicados e identicar cuales seŕıan los sustitutos a estas
ideas. Aśı, el postulado m´as importante result´o ser la ecuación de Schrödinger, que en la
representaci ón de coordenadas es una ecuaci ón diferencial lineal de segundo orden en r y
de primer orden en t:
− 2
2m∇2 + V ( r) ψ( r, t ) = i
∂ ∂t
ψ( r, t ). (1.1)
La ecuación (1.1) es uno de los pilares de la f́ısica contemporánea y corresponde a la “ley
dinámica” que obedecen los sistemas cu ánticos a bajas enerǵıas. Con las funciones de
onda ψ( r, t ) se calculan las densidades de probabilidad ρ( r, t ) = |ψ( r, t )|2 que le dan uncarácter predictivo a la teoŕıa cu´ antica. De esta manera la construcci´ on de las soluciones
de la ecuación (1.1) que correspondan a funciones de área nita tiene enorme vaĺıa para
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2 1. Introduccí on.
el estudio de los sistemas cuánticos. La concordancia entre las predicciones te´ oricas de la
mecánica cuántica y los resultados experimentales es increiblemente alta. De hecho, hastael momento ningún experimento ha puesto en entredicho la efectividad de esta teoŕıa.
A lo largo del tiempo se ha hecho un esfuerzo notable para establecer diversos criterios
de aproximaci ón en la obtención de soluciones a la ecuación (1.1). Entre los más cono-
cidos se encuentran el método variacional y el método semicl´ asico WKB. Por otro lado,
el método de factorizaci´on se ha mantenido como una herramienta muy poderosa para
construir soluciones exactas. Este método se introdujo en mec´ anica cuántica para calcularel espectro discreto de enerǵıas del oscilador arm´onico. Los operadores que factorizan al
Hamiltoniano del oscilador lineal se conocen como operadores de creaci ón y de aniquilación
y son tales que mapean soluciones entre niveles consecutivos del espectro (a un estado
más energético si aplicamos el operador de creaci ón y a un estado menos energético si
aplicamos el operador de aniquilaci ón). Los antecedentes hist´oricos indican que Fock fue
el primero en usar la factorizaci ón del oscilador en términos del producto del aniquilador
y del creador de cuantos de luz. La primera aplicaci ón fue entonces en la cuantizaci ón
del campo electromagnético ‘a la Fock’ (∼1928). Posteriormente, el método aparece enel libro de Dirac (desde la primera edici ón en 1930) como una curiosidad matem ática que
permite determinar las eigenfunciones y el espectro del oscilador arm´onico (ver Capı́tulo
V, pp 86-88 de [1]). Un poco después, en 1940, Schrödinger usa el método en la soluci ón
de su famosa ecuación para los casos del oscilador y el átomo de Hidr ógeno [2].
Con el art́ıculo de Infeld y Hull en 1951 [3] la factorización extendi ó sus dominios
a una gran diversidad de potenciales al grado que sus aplicaciones siguen vigentes yabarcan temas como supersimetŕıa, teorı́a de solitones, simetrı́as PT y Hamiltonianos no
Hermitianos (la referencia [4] es la revisión más reciente de este t ópico). La razón de la
aplicabilidad de este método subyace en un teorema matem´ atico presentado por Darboux
en 1882 [5]. Dicho teorema permite mapear soluciones entre dos ecuaciones diferenciales
de segundo orden, lo que facilita la investigaci ón de problemas exactamente solubles en
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mecánica cu ántica (una explicaci´on más detallada ser á dada en el Caṕıtulo 2).
En años recientes se han hecho aportes relevantes en F́ısica-Matem´ atica usando este
método. Aunque la lista de investigadores que desarrollan trabajos en este rubro es larga,
entre los autores se pueden identicar nombres, grupos y/o colaboraciones importantes.
Por citar algunos tenemos a la escuela Rusa donde se encuentran autores como A.A. An-
drianov, V. Spiridonov, V.G. Bagrov y B.F. Samsonov. En la escuela India podŕıamos
incluir a C.V. Sukumar, A. Khare, U. Sukhatme y a B. Bagchi. En los dos casos anteriores
el término “escuela” se reere m ás a un estilo que a un trabajo hecho en colaboraci´on.Entre las colaboraciones relevantes podemos mencionar a la del grupo italiano integrado
por F. Cannata, G. Junker y J. Trost, o la del grupo mexicano donde participan estudi-
antes e investigadores del Departamento de F́ısica del Cinvestav con colegas del Depar-
tamento de F́ısica Te´ orica de la Universidad de Valladolid (Espa˜na) y del Departamento
de Matem áticas del CRM en la Universidad de Montreal (Canad´ a). Además, entre la
lista se pueden encontrar autores como E.D. Filho, R. Junker, C. Quesne, A.A. Stalhofen
y D. Baye. Los detalles sobre y las aportaciones que ha hecho cada uno de los grupos
mencionados se puede encontrar en la referencia [4].
Muy recientemente se ha extendido la aplicabilidad del método para incluir eigen-
valores complejos de la enerǵıa [6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20].
Los resultados incluyen sistemas como el oscilador armónico [8] y el átomo de Hidr ógeno
[9]. Estas investigaciones han dado lugar a la construcci´on de operadores no Hermitianos
que admiten espectro real. A diferencia del método de la simetŕıa-PT investigada por
C. Bender, M. Znojil y G. Lévai, entre otros, los potenciales complejos que se puedengenerar por medio de transformaciones de Darboux no dependen de las simetŕıas del
problema. Por otro lado, el método de factorizaci´ on es tan exible que incluso se pueden
usar funciones divergentes para generar las transformaciones de Darboux. En particu-
lar, las funciones que describen sistemas inestables (donde aparecen resonancias entre sus
estados energéticos) resultan de mucha utilidad para investigar una nueva clase de Hamil-
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4 1. Introduccí on.
tonianos no Hermitianos. Hasta donde sabemos, salvo las referencias [10, 14, 17, 18, 20]
y los aportes de esta tesis ya publicados [11, 15, 16, 19], no hay reportes del uso de es-tados resonantes para generar transformaciones de Darboux. A la combinaci´ on de las
transformaciones de Darboux con las funciones de Gamow-Siegert les llamaremos trans-
formaciones de Darboux-Gamow .
Los eigenvalores complejos del operador de ‘enerǵıa’ H fueron estudiados por primera
vez en mecánica cuántica por G. Gamow en sus art́ıculos concernientes al decaimiento
alfa [21]. En un modelo simple, un núcleo pesado está compuesto en parte por partı́culasalfa (núcleos de 42He) que interact úan con el resto del núcleo via un pozo (obedeciendo
la presencia de fuerzas nucleares) y una barrera de potencial (debida, en parte, a fuerzas
electrost áticas). La primera de estas interacciones genera estados ligados en las partı́culas
y la segunda las mantiene connadas dentro del n´ucleo. No obstante, las part́ıculas tienen
una pequeña probabilidad de tunelear la barrera de potencial en lugar de permanecer en la
región del pozo. Fuera de la región del pozo ellas tienen un tiempo de vida nito. De este
modo, las part́ıculas alfa en un n´ucleo deben ser representadas por estados cuasi-ligados
(resonancias). Para tales estados se cumple que, al tiempo t = 0, la probabilidad deencontrar a la part́ıcula dentro del pozo es uno y, en tiempos posteriores, la probabilidad
decrece con el tiempo. No mucho tiempo después del trabajo de Gamow, V.A. Fock de-
mostr ó que la ley de decaimiento de un estado cuasi-ligado depende s ólo de la función de
distribución de energı́as del estado [22]. En su libro de mec´anica cuántica, Fock construye
explı́citamente esta distribuci´ on y encuentra que tiene forma de una campana de ancho
Γ, centrada en una enerǵıa E . Varios años después G. Breit y E.P. Wigner obtienen el
mismo comportamiento para la distribuci´ on de enerǵıas asociada con la sección transver-
sal de colisiones de neutrones lentos, raz ón por la que dicha distribuci ón suele llamarse
de Breit-Wigner [23].
Las resonancias pueden denirse como eigensoluciones ψ del Hamiltoniano H con
eigenvalor complejo . Este último corresponde a un polo de primer orden de la ma-
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6 1. Introduccí on.
discreto de este sistema.
En el Caṕıtulo 6 presentamos una generalizaci´ on del método de aproximaci´on semiclásica
WKB para calcular las enerǵıas de resonancia de potenciales radiales suaves. Como sabe-
mos, este método es bastante aceptable para c´ alcular el espectro de enerǵıas pero falla
en la obtenci ón de las funciones de onda. La razón es que con este método las funciones
de onda no quedan bien denidas en los puntos de retorno cl´asico. Aśı que, una vez que
calculemos las enerǵıas de resonancia mediante nuestra generalizaci´ on del método WKB,
procederemos a obtener las soluciones de la ecuación de Schrödinger en forma numérica.
También discutiremos los pormenores del método de escalamiento complejo, de uso fre-
cuente en f́ısica-qúımica para investigar resonancias en potenciales radiales. Aplicaremos
este y nuestro método al potencial reportado por R.A. Bain, J.N. Barsdey, B.R. Junker
y C.V. Sukumar en la referencia [26] como un caso de prueba para vericar que ambos
métodos producen resultados equivalentes.
En cada uno de los capı́tulos 3-6 se construyen las deformaciones de Darboux-Gamow
(de primer y segundo orden) correspondientes. En el primer caso obtenemos potenciales
complejos que son isoespectrales al potencial de partida o bien incluyen un eigenvalor com-plejo cuya función de onda es de cuadrado integrable. La parte imaginaria de los nuevos
potenciales cambia constantemente de signo por lo que se comportan como un dispositivo
óptico que emite y absorbe luz al mismo tiempo. En el caso de las transformaciones de
Darboux de segundo orden (vistas como una iteraci´on de dos transformaciones de primer
orden) obtenemos potenciales reales cuando la segunda función de transformaci´ on ϕ¯ está
asociada con el complejo conjugado de la primera constante de factorizaci´on .
Finalmente, en el Caṕıtulo 7 presentamos algunas conclusiones y perspectivas (en el
corto y mediano plazo) del material contenido en este trabajo.
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Caṕıtulo 2
Transformaciones deDarboux-Gamow
Para sistemas con energı́a E bien denida la función ψ es separable: ψ( r, t ) = ϕ( r)χ (t).
Aśı, la ecuaci ón (1.1) se desacopla en una parte temporal cuya soluci´on es χ (t) = e−iEt/
y en una parte espacial que se puede escribir como
Hϕ( r) ≡ −
2m∇2 + V ( r) ϕ( r) = Eϕ( r). (2.1)
En otras palabras, el problema de calcular las soluciones de la ecuaci´on de Schrödinger
(1.1) para sistemas estacionarios se reduce a resolver la ecuaci´on de eigenvalores (2.1).
Para la correcta identicaci´on de la densidad de probabilidad ρ( r) se requiere imponer la
condición de normalizaci ón
|ϕ( r)
|2 d3r = 1, (2.2)
que corresponde al hecho de que la suma de todas las probabilidades debe ser igual a
uno. A las funciones ϕ que satisfacen la condición (2.2) se les clasica como de cuadrado
integrable. Es del todo interesante resaltar que la condicí on de normalizaci ón es muy
restrictiva y hace que la tarea de encontrar soluciones a la ecuaci´ on (1.1) sea muy dif́ıcil.
De hecho, sólo existen unos cuantos sistemas que admiten soluci´on exacta. Entre ellos se
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8 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
pueden mencionar al oscilador arm´onico, al átomo de hidr´ogeno y algunas interacciones
modeladas por potenciales muy particulares como el de P¨ oschl-Teller.
Con la formalización de la teoŕıa aparecieron también los primeros métodos de soluci´ on.
En partı́cular, el método de factorizaci´ on introducido por Vladimir A. Fock (1928), Paul
A. M. Dirac (1930) y Erwin Schrödinger (1940), ha mostrado tanto su enorme utilidad
como su vigencia a lo largo de todo el siglo pasado y lo que va de este. Inicialmente
se le introdujo como una forma elegante de resolver el problema espectral del oscilador
arm ónico cuántico [1, 2] pero ya antes hab́ıa resultado fundamental en la cuantizaci´ on
de los campos electromagnéticos (ver [22] y referencias alĺı citadas). La idea involucrada
es bastante simple y consiste en notar que el operador Hamiltoniano H puede expresarse
como el producto de dos operadores lineales, digamos a y b. Considerando que H es un
operador Hermitiano que corresponde a un operador diferencial de segundo orden en la
representaci ón de coordenadas (ver ecuaci ón (2.1)), lo más sencillo es pedir que a y b sean
mut úamente adjuntos (i.e., b = a†).
En el caso del oscilador unidimensional a y a† resultan ser los operadores de aniquilaci óny de creación que se estudian en los cursos convencionales de mecánica cuántica. Equipa-
dos con la interpretaci´on de Fock, estos operadores han mostrado su utilidad en la de-
scripción de la interacci ón de la materia con la radiaci ón electromagnética, lo que dio
lugar a un sinf́ın de aplicaciones tecnol´ogicas, además de avances teóricos en diversas ra-
mas de la f́ısica contempor´anea. A lo largo de este caṕıtulo discutiremos algunos de los
pormenores m ás importantes del método de factorizaci´ on y la estrecha relaci ón que éste
guarda con la transformaci´on de Darboux, conocida por los matem áticos desde hace dos
siglos y que, gracias a sus recientes aplicaciones en f́ısica, ha “despertado” de un largo
letargo.
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2.1. FACTORIZACI ÓN Y TRANSFORMACIONES DE DARBOUX 9
2.1 Factorizaci´ on y transformaciones de Darboux
Por sencillez discutiremos el caso de problemas unidimensionales y trabajaremos en una
representaci ón libre de unidades. Con esto en mente el Hamiltoniano asociado con un
sistema sometido a la acci ón de un potencial V (x) se escribe
H = − d2
dx2 + V (x). (2.3)
Buscamos un par de operadores A, B que satisfagan la ecuaci ón
H = BA + , (2.4)
donde es una constante a determinar. Como H es Hermitiano se debe cumplir lo siguiente
A†B† = BA + 2i Im( ). (2.5)
El caso más sencillo consiste en escoger real y tomar operadores de factorizaci´on mut úamente
adjuntos, i.e., B = A†. Asumiendo que A y B son de primer orden podemos escribir
A = ddx
+ β (x), B = − ddx
+ β (x), (2.6)
donde z signica el complejo conjugado de z y β es una función a determinar. Intro-
duciendo (2.6) en (2.4) tenemos:
− + V (x) = −β (x) + |β (x)|2 −2i Im(β (x)) ddx
. (2.7)
Ası́ que Im( β ) = 0 y nuestro problema se reduce a resolver la siguiente ecuaci ón de Riccati:
−β + β 2 = V − (2.8)donde ∈
R y β es una función real. La ecuación (2.8) es, en términos generales, dif́ıcil de
resolver ya que siendo no lineal no existen teoremas de unicidad. Sin embargo, hay una
transformaci´on que permite conectar las soluciones de (2.8) con las de (2.1). Supongamos
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10 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
que u es solución estacionaria de la ecuaci ón de Schrödinger para el eigenvalor . Es decir,
u satisface
−u + V u = u. (2.9)Si queremos conectar (2.9) con (2.8) debemos reducir el grado de diferenciaci ón en la
primera ecuaci ón. Como (2.9) es lineal, esto se logra proponiendo una solucíon del tipo
u(x)∝eα (x) , donde α está por determinarse. La ecuaci´on de Schrödinger nos lleva a
−α −(α )2
+ V = . (2.10)Comparando (2.10) y (2.8) notamos que β debe ser un factor integrante de u, es decir:
α(x) = x β (y) dy ⇒ u(x)∝e−R x β (y) dy . (2.11)La relación integral entre u y β dada por esta última ecuaci ón puede invertirse, aśı que
β (x) = − ddx
ln u(x) (2.12)
es una transformaci ón que mapea la ecuación de Riccati (2.8) en la ecuaci ón de Schrödinger(2.9). Con esto queda claro que uno puede trabajar con una o con otra ecuaci´on indis-
tintamente. Es ilustrativo resaltar que la transformaci´ on (2.12) ya hab́ıa sido notada
por Fock en su tratado sobre mec´anica cuántica [22], relacionando incluso la ecuaci ón de
Schrödinger con la de Riccati (ver pp 101). Sin embargo, no parece que Fock se hubiese
percatado de la riqueza escondida en esta simple relaci´on.
Tenemos ya impuestas las condiciones para factorizar al Hamiltoniano H en la forma
(2.4). Asumamos ahora que conocemos al menos una soluci ón de (2.7) y que por tanto
tenemos un par de operadores de factorizaci´on A y B bien denidos. Si invertimos el
producto (2.4) llegamos a la siguiente expresi ón
AB + = − d2
dx2 + V (x) + 2 β (x) ≡ −
d2
dx2 + V (x) = H (2.13)
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2.1 Factorizaci´ on y transformaciones de Darboux 11
donde
V := V (x) + 2 β (x) (2.14)
es un nuevo potencial que da lugar a un Hamiltoniano H diferente del original siempre queβ (x) = constante. Si esto ´ultimo no se cumple entonces H diere de H sólo formalmenteporque la presencia de la constante 2 β se reduce a denir una nueva posici ón para el cerode potencial.
La ecuación (2.14) genera una transformaci´on de Darboux en el potencial inicial que,en términos generales, se entiende como una deformación. El enunciado original de Dar-boux puede escribirse como sigue 1:
• Sea φ(x ) una funci´ on que satisface −φ (x ) + [ V (x ) − ]φ(x ) = 0. Si existe θ(x ) tal que −θ (x ) + V (x )θ(x ) = 0 , entonces la funci´ on
φ = − ddx −
θθ
φ (2.15)
resuelve la nueva ecuaci´ on diferencial −φ + ( V (x ) − )φ = 0 , con
V (x ) = V (x ) + θ d2
dx 2θ−1. (2.16)
Un aspecto importante del método es que los Hamiltonianos H y H están entrelazados.Es decir, satisfacen las relacionesHA = AH, HB = B
H. (2.17)
Estas últimas expresiones se derivan f ácilmente de (2.4) y (2.13). Con esto es sencillo
construir las eigenfunciones de H si se conocen las de H y viceversa. Supongamos queϕE es solución de HϕE = EϕE , entonces1 El enunciado que presentamos aqúı est´ a tomado de la referencia [4] que, a su vez, se ci˜ne al trabajo
original de Darboux que aparece como la referencia [5] de esta tesis
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12 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
(AH )ϕE = A(HϕE ) = A(Eϕ E ) = E (AϕE )
= ( HA)ϕE = H (AϕE ). (2.18)Este último resultado muestra que AϕE es eigenfunción de H con eigenvalor E . Aún más,si ϕE está normalizada tendremos:
(AϕE , AϕE ) = (ϕE ,BAϕE ) = (ϕE ,ϕE )(E − ) = E − .Entonces escogemos ϕE = ( E − )−
1/ 2AϕE = cE AϕE . Las nuevas funciones también son
ortogonales entre sı́:
(ϕE , ϕE ) = cE cE (E −E )δ (E, E )donde δ (E, E ) es una delta de Dirac ó una delta de Kroneker dependiendo de que laetiqueta sea continua o discreta. De esta forma encontramos que el espectro de enerǵıas
Sp(H ) del nuevo Hamiltoniano incluye a todo el espectro de enerǵıas Sp( H ) del Hamil-
toniano inicial. Queda, sin embargo, un caso especial por denir. Sea ϕM una funciónortogonal a todo el nuevo conjunto {ϕE }, es decir:(ϕM , ϕE ) = cE (BϕM ,ϕE ) = 0 . (2.19)Como ϕE es arbitrario se debe cumplir que BϕM = 0. La solución es inmediata:ϕM (x) = cM eR
x β (y) dy = cM
u(x)
(2.20)
donde cM es una constante de integraci´on y hemos usado (2.11). De la ecuación (2.13) no-
tamos que H ϕM = ϕM . Entonces, si ϕM es de cuadrado integrable debe incorporarse alconjunto de eigenfunciones de H . De ser esta la situación tendremos Sp( H ) = Sp( H ) {}y diremos que H y H son casi-isoespectrales.
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2.2. TRANSFORMACIONES DE DARBOUX DE ORDEN SUPERIOR 13
A principios de los ochenta Edward Witten present´ o un modelo supersimétrico de la
mecánica cu´antica como ejemplo ĺımite de lo que ocurre en teoŕıas de campo [27]. En dichaformulación se discute un Hamiltoniano matricial 2 ×2 que incluye un sector bosónico yuno fermiónico. En el caso más sencillo estos sectores involucran al par de Hamiltonianos
entrelazados H y H del oscilador lineal donde β = x (es decir, la función de transformaci´onu es la función del estado base del oscilador). Un poco después Alexander Andrianov ysus colaboradores [7], además de Bogdan Mielnik [28], David J. Fern´andez [29] y Candadi
V. Sukumar [30] (entre otros) mostraron que usar la eigenfunci´ on del estado base para
transformar al operador de Schr¨odinger no fue un accidente. Más bien, se encontr ó que el
método tiene raı́ces m´ as profundas, directamente asociados con los resultados de Gustav
Darboux en el siglo XIX. La misma conclusión fue obtenida por M. Luban y D. L. Pursey
[31], quienes sugieren que todos los resultados derivados del método de factorizaci´on no
son más que aplicaciones del método de Darboux. Sin embargo, como se indica en [4],
esta última declaraci ón debe tomarse con cuidado ya que, aunque el teorema de Darboux
es punto común para una gran cantidad de resultados, fue el algoritmo de conmutaci´ on
derivado de la factorizaci ón lo que le dió un auge excepcional en el siglo XX.
2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior
En la sección anterior resolvimos el problema de expresar el Hamiltoniano de un determi-
nado sistema como el producto de dos operadores diferenciales de primer orden que son
mut úamente adjuntos. Como indicamos, esta factorizaci´ on es no sólo la más inmediata
sino la más sencilla de implementar. La clave fue asumir que conociamos al menos una
solución para la ecuaci ón de Riccati correspondiente. En términos generales la expresi´ on(2.8) representa una familia de ecuaciones si recordamos que es, en principio, arbitraria.
Desde luego, para hacer la transformaci´on (2.14) debemos vigilar que el término 2 β no
agregue nuevas singularidades al potencial inicial V (x). A lo más, β deberá ser tal que su
derivada incluya singularidades en el mismo punto y del mismo tipo que aquellas que ya
pudiesen estar presentes en V (x). Por ello es que la mayoŕıa de la literatura suele reportar
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14 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
transformaciones con las funciones del estado fundamental como el ingrediente principal.
Como ya hemos mencionado, después de los traba jos sobre factorizaci´ on publicados en ladécada de 1980 qued ó claro que esta última restriccí on no es inamovible. A continuaci ón
indicamos los ingredientes fundamentales que se requieren para factorizar un Hamiltoni-
ano en términos de factores de orden superior.
Supóngase que conocemos al menos dos soluciones diferentes de (2.8), denotémoslas
por β (x, 1) y β (x, 2). Cada una de ellas corresponde a una soluci ón de (2.9) con eigen-
valor diferente, u 1 (x) y u 2 (x) respectivamente. Usemos β (x, 1) para hacer una primera
transformaci´on, tendremos
V (x, 1) = V (x) + 2 β (x, 1). (2.21)
Si ahora tomamos a V (x, 1) como el potencial de partida, una transformaci´ on equivalentea (2.21) se leeŕıa de la siguiente maneraV (x, 1, ) =
V (x, 1) + 2 γ (x, 1, ) (2.22)
donde γ (x, 1, ) debeŕıa ser soluci ón de una nueva ecuaci ón de Raccati:
−γ (x, 1, ) + γ 2(x, 1, ) = V (x, 1, ) − . (2.23)Nuestro problema ahora es resolver (2.23). Para ello usamos el algoritmo de diferenciasnitas reportado por el grupo mexicano en [32, 33, 34, 35]. Aśı, podemos escribir γ en
términos de las soluciones de (2.8):
γ (x, 1, ) = −β (x, 1) + Ω(x, 1, ) (2.24)donde
Ω(x, 1, ) := − 1
β (x, ) −β (x, 1). (2.25)
Con esto la ecuación (2.22) se reduce a
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2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior 15
V (x, 1, ) = V (x) + 2 ddx − 1β (x, ) −β (x, 1) . (2.26)El potencial V (x, 1, ) corresponde a una doble transformaci´on de Darboux implemen-tada con las soluciones u 1 (x) y u (x) de la ecuación de Schrödinger original. Obsérvesela simetŕıa del nuevo potencial con respecto a las constantes de factorizaci´ on V (x, 1, ) =V (x, , 1). Esto signica que, como resultado nal, da lo mismo hacer la primera trans-formación con 1 y la segunda con que operando primero con y luego con 1. Los po-
tenciales intermedios, sin embargo, no gozan de esa arbitrariedad ya que
V (x, 1) podrı́a
hacerse irregular en el sentido que involucra puntos singulares, o bien es V (x, ) quienpresenta esta anomaĺıa. La literatura referente a estas propiedades de las deformacionesde Darboux es vasta e incluye muchos resultados del grupo mexicano. Aśı que referimosal lector a los trabajos de revisi ón [4, 36, 37], donde se discuten a detalle los pormenores
técnicos correspondientes.
Lo importante aqúı, adem´ as del algoritmo de diferencias nitas (2.24)-(2.26), son
las relaciones algebraicas que satisfacen los operadores involucrados. Con una notaci´ on
autoconsistente tendremos:
Ak = ddx + β (x, k), Akl = ddx + γ (x, k , l),
H = − d2
dx 2 + V (x, k), H kl = −d2
dx 2 + V (x, k , l)(2.27)
donde k, l = 1, 2 son tales que k = l. Se tienen entonces las siguientes relaciones deentrelazamiento
H kAk = AkH, HB k = Bk H,H kl Akl = Akl H k , H kBkl = Bkl H kl .(2.28)
Por lo que el Hamiltoniano inicial H y el nal H kl también est´an entrelazadosH kl (Akl Ak) = ( Akl Ak)H, H (BkBkl ) = ( BkBkl )H kl . (2.29)
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16 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
El espectro de
H kl incluye la totalidad del espectro de H y puede incluso admitir los
nuevos niveles 1 y 2 si las funciones ϕM correspondientes son de cuadrado integrable.
Si denotamos por C al operador que resulta del producto Akl Ak tendremos que las eigen-
funciones de H kl se escriben comoϕkl (x) =
CϕE (x)
(E − k)(E − l) k, l = 1, 2, (2.30)mientras que las funciones faltantes son de la formaϕM ( k)∝
ukW (uk , u l) , k, l = 1, 2. (2.31)
Cabe mencionar que las transformaciones (2.14) y (2.26) representan una base para las
deformaciones de Darboux que se pueden generar en un potencial dado. Con nuestra
notaci ón, el potencial V (x, ) representa la deformaci ón de Darboux para V (x) en “ab-stracto”. Es decir, en tanto no se je el valor de , el potencial V (x, ) no necesariamentees regular (i.e., libre de singularidades que no estén contenidas en el potencial de partida).Además, si la deformación (2.14) ha de entenderse como el resultado nal que nos interesa
entonces
V (x, 1) es regular. Lo mismo ocurre con (2.26): si la doble deformación es lo
que nos interesa entonces 1 y 2 son tales que V (x, 1, 2) es regular, no importando queV (x, 1) y/o V (x, 2) sean o no regulares. Aśı, la combinaci ón de (2.14) y (2.26) puedeelevarse a nivel de un teorema (Teorema 1) para producir deformaciones de Darboux deorden arbitrario. Los detalles y el enunciado espećıco de este teorema pueden encon-
trarse en la p ágina 240 de la referencia [37]. Otro resultado importante en este mismo
sentido est á dado por el siguiente teorema (Teorema 2):
• Sea
{u(x, l)
}nl=1 un conjunto de n diferentes funciones de transformaci ón. El número
total de diferentes deformaciones de Darboux que se pueden producir en V (x) es
igual a 2n −1. El orden de estas deformaciones vaŕıa de 1 hasta n.La demostraci ón puede consultarse en la p ágina 244 de [37]. Para claricar la utilidad
de este teorema pensemos en que contamos con tres funciones de transformaci´on difer-
entes. Entonces podemos construir 7 diferentes deformaciones en el potencial inicial: 3 de
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2.2 Transformaciones de Darboux de orden superior 17
primer orden, 3 de segundo orden y una m ás, de tercer orden. Por lo que discutimos lı́neas
arriba sabemos que cada uno de estos potenciales podŕıa ser regular o irregular depen-diendo de cómo se escojan las enerǵıas de factorizaci ón correspondientes. La aplicací on
de estos teoremas permite, adem´as, representar los resultados por medio de diagramas
de Bianchi. Estos diagramas son de mucha utilidad en teoŕıa de solitones y su presencia
aqúı no es casual. Cuando el potencial de partida es el de part́ıcula libre, el algoritmo
de diferencias nitas –ecuaciones (2.24) a (2.26)– corresponde a la superposici ón no lineal
satisfecha por la parte espacial de las soluciones a la ecuaci ón de N. Korteweg y G. de
Vries (KdV). La expresi ón (2.26) es entonces la transformaci ón de Bäcklund estudiada
por H. D. Wahlquist y F. B. Estabrook para analizar el comportamiento de los solitones
tipo KdV [38]. Para una discusi ón más detallada de la relaci ón entre la teoŕıa de solitones
y el método de factorizaci ón por medio de las transformaciones de Darboux remitimos al
lector a las referencias [37] y [39].
Un aspecto adicional de las transformaciones generadas con la base compuesta por
(2.14) y (2.16) es que, además del espectro inicial, muchas propiedades del potencial departida se preservan. En partı́cular, cuando las deformaciones son regulares se encuentra
que los coecientes de transmisi ón y reexión son cualitativamente los mismos que los
iniciales. Aśı, el potencial de P öschl-Teller modicado es trasparente ya que este es una
deformación de Darboux regular, de primer orden, del potencial de part́ıcula libre (ver
referencia [35]). Entre las deformaciones de segundo orden para este potencial se encuen-
tran los potenciales cuadr´aticos de Bargmann (para las deniciones de estos potenciales
ver la referencia [40]), algunos de los cuales son también transparentes.
Por último, el método puede aplicarse incluso si s´olo tenemos una función de trans-
formación u(x, ) conocida. Bastar á con tomar el ĺımite → 1 en la función Ω(x, 1, )denida en (2.25). Tendremos
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18 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
Ωconf (x, 1) = lim→1
Ω(x, 1, ) = ∂β (x, )∂ = 1−
1
. (2.32)
La etiqueta “conf” denota conuente y signica que como resultado de la doble defor-
mación se obtiene el “traslape” de dos enerǵıas de factorizaci´on en el mismo punto 1. El
nombre obedece a la semejanza de este mecanismo con la conuencia de dos de las singu-
laridades de las funciones hipergeométricas que da lugar a las funciones hipergeométricas
conuentes. El caso conuente fue reportado por B. Mielnik, L. M. Nieto y O. Rosas-Ortiz
[35, 37] aplicándolo en el caso de part́ıcula libre [35] y para un oscilador arm ónico [37].
Estudios posteriores, realizados por D. J. Fern´ andez y E. Salinas-Hern ández, mostraron
la versatilidad del algoritmo para investigar otra clase de potenciales [41].
2.3 Más allá del método de factorizaci´ on
Hasta este momento hemos usado enerǵıas de factorización reales. Este simple hecho dio
lugar a funciones β reales y a operadores de factorización A y B que son uno el adjunto
del otro. Como hemos visto, esta misma estructura se mantiene si los operadores A yB no sólo son de primer orden y les permitimos ser, a su vez, de segundo orden. Un
aspecto importante es que, en este ´ultimo caso, el producto BA no factoriza a H sino a
un polinomio de segundo orden en H . Para ver con claridad este argumento recuperamos
la notaci ón autoconsistente de la secci ón anterior con A ↔C , B ↔C †, y escribimos
C †C = Bk(Bkl Akl )Ak = Bk(H k − l)Ak= BkAk(H − l) = ( H − k)(H − l) (2.33)= H 2 −( k + l)H + k l (2.34)
En forma equivalente tendremos
CC † = ( H kl − k)(H kl − l). (2.35)
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2.3 M ás allá del método de factorizaci´ on 19
Estos resultados pueden generalizarse f´acilmente al caso de operadores de factorizaci ón
A y B que sean de orden n ∈ N . De ser aśı, será entonces posible obtener un Hamilto-niano H que depende de n energı́as de factorizaci ón diferentes y cuyo espectro incluyetodo Sp(H ), además de hasta n nuevos niveles de enerǵıa. El producto BA será entoncesun polinomio de grado n en H mientras que AB obedecerá la misma regla polinomial
pero en H . De esta forma se consigue una ingenierı́a espectral ya que los nuevos nivelespueden incrustarse caśı sin restricciones por debajo del estado fundamental del Hamilto-niano inicial, respentando un cierto ritmo de espaciamiento que estaŕıa determinado por
una funci ón espectral E (n). Por ejemplo, para el oscilador lineal E (n) = n +1 / 2 mientras
que en el caso Coulombiano se tiene E (n) = −1/n 2. La regla “equidistante” del espectrodel oscilador se respeta incrustando los nuevos niveles en las posiciones −1/ 3, −3/ 2, etc.Es decir, tomando n ∈ Z antes que n ∈ N + . Algo equivalente vale para el potencial deCoulomb. Por si esto fuera poco, el diseño de los nuevos espectros puede hacerse tal que
existan “huecos” en el ritmo de espaciamiento. Es decir, la construcci´ on de un espectro
de energı́as del tipo −9/ 2, −3/ 2, 1/ 2, 3/ 2,..., estaŕıa asociado con una deformaci´ on deDarboux de al menos segundo orden aplicada al oscilador arm´onico lineal, donde se in-
crusta un primer nivel en −3/ 2 y después uno más en −9/ 2.
Como podemos notar el término ingenierı́a espectral es más que apropiado. En cierta
medida se tiene un aparato matem´ atico con un “bot ón de ajuste” que permite sincronizar
el espectro de energı́as, adapt´andose a los gustos y necesidades del usuario que bien podŕıa
ser algún colega experimentalista con resultados que se parecen al espectro del oscilador,
al átomo de hidr ógeno, etc, pero que dieren porque hay uno o más niveles muy “rebeldes”
que no se dejan “poner en su lugar”. Cabe mencionar que también puede deformarse el es-
pectro original incrustando, por ejemplo, dos niveles de enerǵıa adicionales entre el quinto
y el sexto estados excitados. La única reserva es que los niveles f́ısicos originales admiten
deformaciones entre ellos siempre que sean de segundo orden, como en el ejemplo anterior.
Las aplicaciones de la ingenieŕıa espectral abarcan desde la construcci´ on de nuevos
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20 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
Hamiltonianos exactamente solubles y el estudio de estructuras algebráicas polinomiales
entre operadores hasta la construccí on e investigación de estados coherentes generalizados.El grupo mexicano tiene aportes relevantes en cada una de estas ´ areas de investigacíon y
referimos al lector a los art́ıculos de revisi ón [4, 36, 37].
Recientemente el aparato matem´ atico de la ingenieŕıa espectral se ha extendido para
abarcar energı́as complejas de factorización. En la secci´ on 2.1 argumentamos que la forma
más sencilla de obtener la expresi ón (2.4) corresponde a tomar ∈ R y A† = B. Conestas condiciones encontramos que la funci ón β deberı́a ser real. Si le permitimos a ser
un número complejo entonces β será, en general, una funci ón compleja. Sin embargo, la
denición (2.6) –que corresponde a A† = B– nos complica inecesariamente los cálculos.Con lo que ya hemos aprendido buscamos ahora una forma m´as apropiada de denir a
los operadores A y B. Esto signica que deseamos preservar la ecuaci ón de Riccati (2.8)
por que ha sido clave en la ingenieŕıa espectral que acabamos de discutir. Para este n
proponemos
A = ddx + β (x), B = − ddx + β (x). (2.36)Primero notemos que A = B†, es decir, A y B ya no son mutúamente adjuntos. Segundo,la introducci ón de (2.36) en (2.4) nos lleva autom áticamente a la ecuación de Riccati
deseada (2.8) con ∈ C . Como de todas formas el Hamiltoniano en (2.4) sigue siendoHermitiano debe vericarse que H = A†B†+¯. Esto último nos lleva a una nueva ecuaci ónde Riccati:
−β̄ + β̄ 2 = V −¯. (2.37)Dado que el potencial inicial V (x) es una función real (de otra forma H no podrı́a ser
autoadjunto) es f´acil notar que el complejo conjugado de esta última ecuaci ón no es otra
cosa que la ecuación original de Riccati. Por lo tanto, si (2.8) se cumple entonces (2.37)
también es cierta y la expresi´on A†B†+ es Hermitiana, no importando que sea complejo
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2.3 M ás allá del método de factorizaci´ on 21
y que A y B no sean mutuamente adjuntos. Con este resultado procedemos a invertir el
orden en (2.24). Tenemos:
AB + = − d2
dx2 + V (x) + 2 β (x). (2.38)
Obsérvese que esta ecuaci´on es equivalente a (2.13) salvo que y β son complejos además
de que, insistimos, A = B†. Denamos ahora la siguiente funci ón:
v(x) := V (x) + 2 β . (2.39)
Dado que V (x) es real pero β (x) es compleja tenemos que v(x) es una función compleja.
Por la estructura de (2.38) podŕıamos asumir que v(x) es el “potencial” de un nuevo
“Hamiltoniano” h denido por
h := − d2
dx2 + v(x), h = AB + . (2.40)
Este nuevo Hamiltoniano es un operador no Hermitiano ya que no es autoadjunto: h† = h.Para identicar la naturaleza de la información que se puede obtener de él debemos
resolver la ecuación de eigenvalores correspondiente. Primero notamos que hay un par de
relaciones de entrelazamiento entre H y h:
hA = AH, HB = Bh. (2.41)
De esta forma, como sabemos, H comparte sus eigenvalores con el operador h. A diferencia
de las ecuaciones (2.17) notemos que las nuevas relaciones (2.41) no se obtienen una como
el adjunto de la otra (la naturaleza de los operadores de factorizaci´ on inuye fuertemente
en el entralazamiento). A pesar de esto se cumple que, si ϕE es eigenfunción de H con
eigenvalor E , entonces ψE ∝ AϕE es eigenfunción de h con el mismo eigenvalor que ϕE .Expĺıcitamente tenemos
ψE = cte W (u,ϕE )
u , (2.42)
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22 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
donde W (∗,∗) denota el Wronskiano de las funciones involucradas. Un c´alculo sencillo
(pero tedioso) muestra que estas nuevas funciones son todas de cuadrado integrable siem-pre que ϕE esté normalizada (ver detalles en [8, 9, 14, 42]). De esta manera el espectro
de H es heredado en su totalidad a h en forma tal que a cada elemento E de la parte
puntual de Sp( H ) le corresponde una funci ón de cuadrado integrable ψE que resuleve
la ecuación hψE = Eψ E . Este es un aspecto positivo de los resultados ya que permite
asociar una densidad de probabilidad ρ con cada uno de los vectores ψE dentro de la
interpretaci´on de Born. Sin embargo, es importante notar que el nuevo conjunto {ψE }no es ortogonal [8, 9]. Aśı, el precio que se tiene que pagar por trabajar con un oper-
ador no Hermitiano h es la pérdida en la independencia entre los estados ψE y ψE ya
que, en general, (ψE , ψE ) = 0 (ver la referencia [13] y el “rompe-cabezas” de los estados
auto-ortogonales en [43]). Existen desde luego propuestas de soluci´on para esta anomalı́a.
Entre ellas se ha considerado la construcci´on de bases bi-ortonormales [42] tanto como la
redenición del producto interno (tal y como se sugiere en la formulaci ón de los espacios
de Hilbert equipados [44, 45, 46, 47, 48]). No obstante, al cambiar a una base de vectores
no convencional, o al cambiar la denición del producto interno, se tiene poca claridad en
la interpretaci´on probabiĺıstica de los resultados.
A sabiendas de que el operador h es no Hermitiano, en este trabajo mantendremos la
estructura del espacio de Hilbert intacta porque nos apegaremos a la denici´ on de Born
para las predicciones de la teoŕıa. En la siguiente secci´on anaremos todav́ıa m´as los
criterios que se requieren para construir un operador h más apropiado en el sentido que
permita dar una interpretaci´ on más aceptable a su posible signicado.
Por otro lado, hay un único vector de h que resulta ser ortogonal a todos los elementos
de {ψE }. Sea ψE tal que hψE = EψE , busquemos ψM tal que
(ψM , ψE )∝(ψM , AϕE ) = ( A†ψM ,ϕE ) = 0 . (2.43)
Dado que ϕE es diferente de cero debemos tener que A†ψM = 0, cuya solución es
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2.3 M ás allá del método de factorizaci´ on 23
ψM ∝eR x β (y) dy = 1uE . (2.44)Ahora bien, si ψM ha de ser eigenfunción de h se tiene:
hψM = −ψM + vψM = (−β −β 2 + v)ψM (2.45)donde hemos usado la ecuaci ón (2.40). Como β satisface una ecuaci ón de Riccati del
tipo (2.8) sabemos que el lado derecho de esta última ecuaci ón es simplemente ψM . Aśı
que tenemos hψM
= M
ψM
. En otras palabras, el inverso multiplicativo de la funci´ on de
transformaci´on uE (x) es eigenfunción de h con eigenvalor complejo . De esta forma, si
ψM es de cuadrado integrable entonces debe agregarse al espectro de h, en este caso
tendremos Sp( h) = Sp( H ) {}.
Para terminar con esta secci´on hacemos notar que la iteraci´on del procedimiento nos
lleva, en general, a un potencial complejo V (x, 1, 2) con, a lo más, dos eigenvalorescomplejos asociados con funciones de cuadrado integrable. El resultado, en esta ocasi´ on,puede “regularizarse” para tener un operador Hermitiano (real) eliminando la naturalezacompleja del potencial. Esto se logra notando que el algoritmo de diferencias nitas (2.26)
permite escoger como el complejo conjugado de 1. Con esto tenemos un potencial real
V 2(x) = V (x, , )̄ denido porV 2(x) = V (x) + 2
I
β I (2.46)
donde el sub́ındice “I” denota a la parte imaginaria de la variable correspondiente. En
este caso V 2(x) es un potencial real con el mismo espectro que V (x). Además, es sencillovericar que las eigenfunciones correspondientes
Ψ = ( −E )ϕE −I
β I ψE (2.47)
son de cuadrado integrable.
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24 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
2.4 Transformaciones de Darboux-Gamow
2.4.1 Enerǵıas complejas y potenciales ópticos
En esta sección analizaremos la forma de construir operadores h que sean más apropiados
para modelar alguna situaci´on f́ısica a pesar de ser no Hermitianos. Para ello recordemos
que las soluciones estacionarias de la ecuación (1.1) se escriben como ψ( r, t ) = ϕ( r)χ (t).
De esta forma, siguiendo la interpretaci´on de Born, la densidad de probabilidad no de-
pende del tiempo:
ρ( r, t ) ≡ |ψ( r, t )|2 = |ϕ( r)|2 = ρ( r). (2.48)Esto signica que la probabilidad de hallar a la part́ıcula alrededor del punto r es la
misma en cualquier instante de tiempo (la velocidad del ujo de probabilidad, que es
una velocidad local media de las part́ıculas que conforman el ensemble, es nula). Si
ahora tomamos una eigensoluci´on ω de H , asociada con un eigenvalor complejo =
E −iΓ/ 2, tendremos ω( r, t ) = u( r)η(t), donde η(t) = e−i t/ . La densidad correspondientese comporta como sigue:
ρ( r, t ) = |ω( r, t)|2 = |u( r)|2e−Γt/ = ρ( r)e−Γt/ . (2.49)Esto signica que la probabilidad de hallar a la part́ıcula alrededor del punto r depender á
del momento preciso en que hagamos la medici ón. Si Γ > 0 y ρ( r0) es nita en r0 entonces
la probabilidad decrece exponencialmente con el tiempo en el punto r0. Una justicaci ón
para este comportamiento se obtiene al considerar que la probabilidad se “propaga”,
alejándose del punto r0. Con esto, de la ecuación de continuidad
∂ρ∂t
+ ∇ · j = 0 (2.50)notamos que la expresi ón (2.49) necesariamente implica una densidad de ujo j no trivial
( j = 0). Sin embargo, sabemos que para estados estacionarios se debe cumplir j = 0.
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2.4.1 Enerǵıas complejas y potenciales ´ opticos 25
Esta aparente contradicci´ on se clarica si pensamos que existen fuentes o sumideros de
part́ıculas, aśı que la ecuaci´ on (2.50) debe escribirse:
∂ρ∂t
+ ∇ · j = f ( r, t ). (2.51)Como es natural, la información referente a la fuente (o al sumidero) de part́ıculas debe
incluirse en el potencial. Asumamos por un momento que éste es complejo y escribamos
V = V R + iV I , con V I = cte. Un c álculo sencillo nos muestra que
f ( r, t ) = 2
V I ( r)ρ( r). (2.52)Si N = ρ( r) d3r representa la cantidad total de part́ıculas tendremos
dN dt
= 2
V I ( r)ρ( r)d3r. (2.53)Ası́, cuando V I < 0 se tiene un decremento del número de partı́culas ( dN/dt < 0), por lo
que el potencial V funciona como una esponja que las absorbe. Por otro lado, si V I > 0
el potencial V funciona como una fuente de part́ıculas ( dN/dt > 0). Con esto en mente
la ecuación completa de Schr ödinger para ω( r, t ) se simplica a la siguiente expresión:
− 2
2m∇2 + ( V R + iV I ) u( r) = −i
Γ2
u( r). (2.54)
Entonces, si la parte imaginaria de V está dada por V I = −Γ/ 2 encontramos que laecuación (2.54) se reduce a la forma convencional de la ecuación de Schrödinger para
el caso estacionario. A pesar de eso, como la función de onda completa est á dada por
ω( r, t ) = u( r)e−iEt/ e−Γt/ 2 , encontramos que Γ es una medida de la intensidad de ab-
sorción. Es decir, en un tiempo τ = / Γ la densidad de probabilidad decrece a la fracci ón
1/e de su valor inicial (τ es el tiempo de vida media). El uso de enerǵıas complejas
= E −iΓ/ 2 queda aśı justicado para explicar la absorci´ on de part́ıculas por parte delpotencial (se pueden dar argumentos equivalentes para el caso donde el potencial funciona
como una fuente de part́ıculas). En este modelo el potencial V = V R + iV I , con V I = cte,
recibe el nombre de “potencial óptico”. Los potenciales ópticos han sido estudiados con
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26 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
mucho interés en f́ısica nuclear dentro de las interacciones nucle´ on-nucleón a bajas en-
erǵıas (ver por ejemplo [49]). El caso más general donde V I es una función arbitrariade la posición está, hasta donde sabemos, poco reportado en la literatura. M´ as adelante
tendremos oportunidad de mencionar cu´ ales son nuestros aportes en este contexto. De
momento recordemos que nuestro potencial de partida es real.
2.4.2 Resonancias y funciones de Gamow-Siegert
Otra forma de justicar la lectura de la ecuaci´on (2.49) es considerando que la funciónρ( r, t ) contiene informaci ón de un connamiento temporal de la part́ıcula. Dicho con-
namiento podŕıa hacerse evidente si, por ejemplo, el potencial est´ a compuesto b ásicamente
de un pozo radial de cierta profundidad V 0, unido en |r| = a con una barrera de altura V 1y ancho b−a nitos. Aśı, una partı́cula dentro del pozo que tenga la enerǵıa apropiadapodŕıa atravezar la barrera por tunelamiento y alcanzar la regi´ on exterior para luego ale-
jarse libremente. Si el punto r0 está localizado dentro de la región de inuencia del pozo
(
|r0
|< a ) es razonable asumir una función u( r) que tome valores nitos alĺı. Con el paso
del tiempo ser á menos probable encontrar a la part́ıcula en el mismo punto dentro del
pozo. Tambíen es razonable asumir que al tiempo inicial (digamos t = 0) sepamos con
certeza que la part́ıcula est´ a ‘atrapada’ en el pozo. Sin embargo, con el paso del tiempo
tiene que ser más probable hallarla en un punto alejado de r0. Es decir, cada vez más
alejada de la inuencia del pozo. Debemos observar que si u( r) se mantiene nita para to-
dos los puntos del dominio de denición entonces, a un tiempo sucientemente grande, no
podremos hallar a la part́ıcula en ning´ un lugar. Por esta raz´on, para que nuestro modelo
sea realista, debemos suponer que u( r) crece conforme |r| → +∞. Aśı, la probabilidadde encontrar a la partı́cula a distancias muy grandes aumenta con el tiempo mientras quees cada vez menos probable encontrarla en la regi ón de inuencia del potencial.
La descripción anterior corresponde al modelo que us ó George Gamow en 1928 para
estudiar en forma sencilla el decaimiento de átomos inestables [21]. Un poco después
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2.4.2 Resonancias y funciones de Gamow-Siegert 27
(1939), Siegert formalizó el modelo introduciendo el concepto de la condición de onda
puramente saliente [50]. Dicha condicí on consiste en exigir que las soluciones se com-porten como ondas planas para distancias muy alejadas de la regi´ on de interacci ón. El
término “saliente” indica que la direcci´ on de propagaci ón de tales ondas debe ser siempre
alejándose del potencial. De esta forma, una funci ón de Gamow-Siegert es una solución
de la ecuación de Schrödinger asociada con un eigenvalor complejo de la enerǵıa y que
satisface la condición de onda puramente saliente. La presencia del eigenvalor complejo
= E −iΓ/ 2, por otro lado, est á asociada con el fenómeno de resonancia. Para ilustrareste fenómeno consideremos la mecánica de un columpio. Cuando mecemos a alguien en
uno de estos juguetes sabemos que aplicando un ligero “empujoncito” cada vez que el
columpio se aleja de nosotros será suciente para que éste vaya m´as lejos y alcance mayor
altura. En otras palabras, aplicando una fuerza en sincronı́a con la frecuencia natural
del columpio lograremos aumentar la amplitud de sus oscilaciones. Un c´alculo sencillo
muestra que la enerǵıa del columpio es proporcional a la amplitud de oscilaci´ on, ası́ que
entrando en “complicidad” con su movimiento logramos inyectarle enerǵıa en forma m´ as
eciente. Al suspender los “empujoncitos” las fuerzas de fricci ón del aire y las de fricción
en los soportes del columpio terminar án por frenarlo. Esta descripcí on es precisamentelo que se entiende por resonancia y es una car ácteristica de los sistemas oscilantes. Lo
más relevante aqúı es notar que el modelo matem´ atico correspondiente requiere de usar
amplitudes de oscilaci ón que son funciones complejas de la frecuencia y de un coeciente
de fricción (ver por ejemplo [51, 52]). Aśı, las frecuencias de resonancia del columpio son
aquellas que est́ımulan un incremento de la enerǵıa y corresponden a polos de la ampli-
tud de oscilación. El fenómeno no se restringe a los sistemas clásicos como el columpio,
un oscilador, una copa de cristal o un circuito LRC, sino que est´a presente en cualquier
sistema que vibre u oscile de alguna manera. De esta forma tenemos resonancias en los
estados de esṕın electr´onicos cuando se les aplican campos magnéticos, resonancias en
la interacci ón de la radiaci ón electromagnética con la materia, etc. Con todo esto, una
función de Gamow-Siegert representa un estado cu´ antico resonante (o de resonancia) de
la energı́a del sistema. Lo que oscila aquı́ es la densidad de probabilidad y lo que entra en
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28 2. Transformaciones de Darboux-Gamow
resonancia es la enerǵıa de la part́ıcula con la del potencial. El equivalente al coeciente
de fricción del columpio seŕıa la parte imaginaria de , ya que contiene la informaci ón delatenuamiento (tiempo de vida) de la resonancia.
2.4.3 Combinaci´ on Darboux-Gamow
A lo largo de esta tesis investigaremos la forma de construir las funciones de Gamow-
Siegert asociadas con algunos sistemas cu ánticos. La razón es que las usaremos como
funciones de transformaci ón en las deformaciones de Darboux para varios potenciales de
interés f́ısico. A continuaci´ on daremos una descripci ón somera del comportamiento de las
deformaciones de Darboux generadas con una funci ón de Gamow-Siegert para potenciales
de corto alcance unidimensionales.
Pensemos en un potencial unidimensional, denido en toda la recta real pero carac-
terizado por una regi ón bien localizada donde su inuencia sobre las part́ıculas es efectiva.
De momento no importa si este potencial admite o no estados ligados. Lo que śı es im-portante es que los estados asociados con las enerǵıas de dispersi´on E s tienen funciones
de onda que se comportan, en los extremos del dominio, como sigue:
ϕs< = eiκx + Lse−iκx , ϕs> = S seiκx . (2.55)
Aquı́ el n úmero de onda κ funciona como un parámetro cinético y está denido en términos
de la energı́a de dispersión correspondiente κ = √ E s (estamos asumiendo que el umbralde dispersión está anclado a una enerǵıa positiva que bien podŕıa ser E = 0). Las expre-siones asint óticas (2.55) corresponden al caso de una única fuente de part́ıculas localizada
muy a la izquierda de la región de interacci ón. Los coecientes de transmisi ón T = |S s|2y reexión R = |Ls |2 son tales que R + T = 1.
Tomemos ahora una funci ón de Gamow-Siegert ϕ , donde = E −iΓ/ 2. En este caso
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Caṕıtulo 3
Pozos cuadrados y barrerascuadradas unidimensionales
Publicaciones relacionadas:
1. Fernández-Garćıa N and Rosas-Ortiz O, “Gamow-Siegert functions and Darboux-
deformed short range potentials”, Ann. Phys. 323 (2008) 1397-1414
2. Fernández Garćıa N, “Darboux-deformed barriers and resonances in quantum me-
chanics”, Rev. Mex. Fis. 53 (Suppl 4) (2007) 42-45
3. Fernández-Garćıa N, “On a class of Hairy Square Barriers and Gamow Vectors”,
AIP Conf. Proc. 885 (2006) 30-33
En este caṕıtulo investigamos la presencia de estados resonantes de la enerǵıa en
sistemas sometidos a potenciales de corto alcance que pueden modelarse como pozos (obarreras) cuadrados unidimensionales. Primero haremos el planteamiento general del
problema asociado con resolver la ecuaci ón de Schrödinger correspondiente. Para la con-
strucción de las funciones de Gamow-Siegert introducimos un método gr´ aco que nos per-
mitir á calcular los eigenvalores complejos del Hamiltoniano. Contrastaremos estos resul-
tados con las expresiones anaĺıticas que derivaremos imponiendo la condici´ on de grandes
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32 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
tiempos de vida. Posteriormente mostraremos c´ omo es que funcionan las deformaciones
de Darboux usando una funci´on de Gamow-Siegert como función de transformaci ón.
3.1 Tratamiento general
Consideremos la ecuaci ón estacionaria de Schr ödinger para un potencial de corto alcance
denido sobre la recta real
Hu (x, ) = −u (x, ) + V (x)u(x, ) = u(x, ). (3.1)De ahora en adelante asumiremos que el potencial V (x) está caracterizado por una inten-
sidad V 0 y por un parámetro de corte ζ > 0 tal que V (x) = 0 si |x| > ζ . En este momentoes apropiado denir a la derivada logarı́tmica de u(x, ) como la función compleja:
β := − ddx
ln u. (3.2)
Ası́, la funci ón u se puede escribir de la siguiente manera
u = ΦeiΞ , (3.3)
donde la amplitud Φ( x, ) y la fase Ξ(x, ) son funciones reales denidas por las expresiones
Φ = Φ0Exp − β R dx , Ξ = − β I dx + Ξ 0, (3.4)con Φ0 y Ξ0 constantes de integraci´on. Entonces, la densidad de corriente
j = i(u u −uu ) (3.5)
puede escribirse como
j = 2Ξ |u|2 = −2β I |u|2 = vρ. (3.6)
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3.2. COMPORTAMIENTO ASINT ÓTICO DE LA SOLUCI ÓN 33
De esta forma −2β I representa a la velocidad de ujo v. Como veremos, v juega unpapel importante tanto en la descripci´ on de las funciones de Gamow-Siegert como en lastransformaciones de Darboux que nos interesa investigar.
3.2 Comportamiento asint´ otico de la soluci´ on
La solución general de (3.1) puede escribirse en términos de ondas planas entrantes y
salientes para |x| > ζ :
u(x < −ζ ) = I eikx + Le−ikx , u(x > ζ ) = N e−ikx + Seikx (3.7)donde los coecientes I , L, N y S dependen de los parámetros ζ , V 0 y de la enerǵıa
k2 = . De entre estas soluciones nos interesan aquellas que satisfacen la condicíon de
onda puramente saliente, la cual puede escribirse de la siguiente manera
limx→±∞
(u ∓iku ) = limx→±∞(−β ∓ik)u = 0. (3.8)
Aśı, el segundo término en cada una de las funciones en (3.7) debe dominar sobre elprimero. Para tales funciones la densidad de corriente (3.5) adquiere la forma:
j = ±(k + k)|u|2, x >< ±ζ. (3.9)Notemos que si tomamos = E ∈R entonces k es o bien un número imaginario (si E < 0)o bien un número real (si E ≥0). Asumiendo que el potencial admite enerǵıas negativastenemos k± = ±i
|E | y la ecuación (3.9) es igual a cero (la velocidad de ujo v es cero
fuera de la zona de interacci ón). Las soluciones ψ(+)
E , asociadas con k+ , no son de nuestrointerés inmediato porque ellas corresponden a estados acotados (En efecto, como veremos,
para valores adecuados de k+ se obtienen funciones de cuadrado integrable). Por otro lado,
los estados no acotados ψ(−)E (también conocidos como estados virtuales o anti-ligados )crecen exponencialmente con |x| →+ ∞ y representan resonancias bajo condiciones muyespeciales (ver por ejemplo [53]). Sin embargo, tales estados no serán considerados en
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34 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
esta tesis ya que ellos no existen para potenciales de corto alcance arbitrarios. Por otro
lado, cuando = E > 0 encontramos que la condición de frontera puramente saliente(3.8) elimina el termino de interferencia en la densidad
ρ(x; t) = |N |2 + |S |2 + 2 |NS |cos(2kx + arg[S/N ]), x > ζ, (3.10)(una expresíon similar se obtiene para el caso x < −ζ ) de tal forma que ρ = |S |2 noes una función de área nita ni en todo el espacio ni en el tiempo. Obśervese que la
velocidad de ujo no es cero fuera de la zona de interacción (|v| = 2√ E ). De esta formala condición E > 0 nos permite construir ondas puramente salientes al precio de tenerun ujo neto j = 0. Entonces, si queremos obtener soluciones que sean m´as apropiadasdebemos considerar eigenvalores complejos ∈
C .
3.3 Resonancias
De la discusión anterior se sigue que, en general, debe ser complejo
= E − i2Γ, R = k2R −k2I , I = 2kR kI , (3.11)
donde = ( kR + ikI )2. Entonces la condición de frontera puramente saliente (3.8) se
reduce a lo siguiente:
limx→±∞
[−β ±(kI −ikR )] = 0. (3.12)Como la velocidad de ujo es v+ = 2kR para x > ζ y v− = −2kR para x < −ζ notamosque la dirección de propagaci ón correcta de las ondas salientes est á dada por kR > 0. En
este caso la densidad
ρ(x; t) ≡ |u(x, t )|2 = e−Γt |u(x)|2, limx→±∞= e−Γ( t−x/v ± ) (3.13)
es amortiguada para Γ > 0. Por lo tanto kI = 0 y kR = 0 tienen signos opuestos. Adem´as,dado que kR > 0 tenemos kI < 0. Entonces, las funciones que satisfacen la condicíon de
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36 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
corresponden a resonancias: La onda correspondiente interacciona con el potencial de tal
forma que el tiempo de tr ánsito por la regi ón de interacci ón es máximo. La superposici ónde un conjunto numerable de distribuciones de FBW (cada una de ellas centrada en
una energı́a de resonancia E n , n = 1, 2,...) proporciona una aproximaci´on del coeciente
de transmisi ón. Entre mayor sea el n úmero de resonancias involucradas mejor ser´a la
precisión de la aproximaci ón:
T ≈ωN ( R ) =N
n =1
ω( R , E n , Γn ). (3.18)
La descripción anterior sugiere un método gr´aco para el cálculo de las enerǵıas de reso-
nancia que ser á discutido m ás adelante.
3.4 Pozo cuadrado unidimensional
Los pozos cuadrados se discuten en todos los libros de mecánica cuántica porque son
una muy buena aproximaci´on para el estudio de potenciales m ás realistas. Por ejemplo,
a pesar de que las fuerzas de interacci ón entre un prot ón y un neutr ón en los núcleos
at ómicos no se conocen exactamente, śı se sabe que son de corto alcance. Es decir, a
diferencia de las fuerzas electrost áticas que mantienen unido al ´atomo, las interacciones
nucleares se extienden una cierta distancia y luego caen rápidamente a cero. Estas inter-
acciones pueden modelarse mediante un pozo cuadrado nito. Tambíen recordemos que
los pozos cuadrados son utilizados en estado sólido para describir electrones atrapados
en una l ámina delgada de material conductor. Aśı, se pueden mencionar un sinf́ın deinteracciones que son modeladas por pozos o barreras (ve´ase [10] y las referencias alĺı
citadas). En este caṕıtulo estamos interesados en estudiar las soluciones de la ecuaci´ on
de Schrödinger para estos potenciales, asociadas con eigenvalores complejos y que satis-
facen la condición de onda puramente saliente. Es decir, nos interesan las funciones de
Gamow-Siegert correspondientes.
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3.4.1 Enerǵıas complejas 37
3.4.1 Enerǵıas complejas
Consideremos el siguiente potencial
V (x) = −V 0 Θb2 − |x| , Θ =
1, x ≥00, x < 0
(3.19)
donde V 0 > 0 y b > 0. Asumiremos que la única fuente de part́ıculas est´ a localizada
muy a la izquierda de la zona de interacci ón. La solución general para las enerǵıas de
dispersi ón de la ecuación de Schrödinger (3.1) con el potencial (3.19) se escribe de la
siguiente manera
ψ(x, ) =
eikx + L(k)e−ikx , x < −b2 ,k∆ e−ikb/ 2[i(k cos
qb2 −iq sen qb2 )senqx
+( q cos qb2 −ik sen qb2 ) cosqx], −b2 ≤x ≤ b2 ,S (k)eikx , b2 < x,
(3.20)
donde
L(k) = iV
0 senqb
2∆( k) e−ikb , S (k) = kq ∆( k) e−ikb . (3.21)
Además, k2 = y q 2 = k2 + V 0 son los parámetros cinético y de interacci´on respectiva-
mente, mientras que la funci´on ∆ est á denida por
∆( k) = k cos qb2 −iq sen
qb2
q cos qb2 −ik sen
qb2
. (3.22)
Para iniciar nuestro an´alisis notamos que los ceros de ∆( k) corresponden a divergencias
de la amplitud de transmisi´on S. Como la expresión (3.22) está factorizada, las ráıces de
∆( k) = 0 son, al mismo tiempo, soluciones del sistema
tanqb2
= −ikq
, cotqb2
= ikq . (3.23)
Si k (y consecuentemente q ) es un número real entonces las ecuaciones (3.23) no tienen
solución. Un primer conjunto de ráıces se encuentra si permitimos que k sea un número
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38 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
imaginario; tenemos dos casos: k± = ±
|E | ≡ ±iκ . Para estos valores de k en los
extremos del dominio la funci ón (3.20) se comporta como sigue
ψ(±)E (x −b) = e∓κx + L(k±)e±κx , ψ(±)E (x b) = S (k±)e∓
κx .
Dado que cada k± es un polo tanto de L como de S (ver ecuación 3.21) notamos que ψ(+)E
es una función acotada mientras que ψ(−)E es no acotada en los extremos de R . Aunque lassoluciones ψ(−)E podrı́an ser útiles para obtener funciones de Gamow-Siegert, tal y como yamencionamos corresponden a estados anti-ligados que no ser´an estudiados en este trabajo.
Nos quedamos entonces con las ráıces k+ que viven en el semiplano superior I + del plano
complejo k. Con esto, el sistema (3.23) no es más que el par de ecuaciones trascendentales
que denen soluciones acotadas, pares e impares, dentro de la regi´on de interacci ón. En
otras palabras, las funciones ψ(+)E son soluciones de cuadrado integrable en toda la recta
cuya paridad est´a denida por las raı́ces de (3.23) que estén localizadas en el eje imaginario
positivo del plano k. De esta forma se hace evidente que S (k) es una función regular en I +excepto en los puntos k+ . Por otro lado, si k está en el cuarto cuadrante del plano k (ver
sección 3.3) no es dif́ıcil vericar que k y −̄k producen los mismos picos en el coecientede transmisi ón. Aśı que se cumple S̄ (k) = S (−k̄). Sin embargo, k y −k̄ están localizadosen el semiplano inferior I − del plano complejo k. Entonces, para tener una funci´on S biendenida debemos hacer una continuaci´on analı́tica al semiplano I −. Para ello notemosprimero que la condición
S (−k)S (k) = 1 (3.24)
se cumple para puntos k tales que qb = nπ . Como −k ∈I + , esta última ecuación denea S (k) = 1 /S (−k) como una función anaĺıtica en I − excepto para los puntos −k que sonceros de S en I + . De la misma manera notamos que S (−k̄) es analı́tica en I − exceptopara los puntos k̄ que son ceros de S en I + . En resumen, si kn es un polo de S en el cuarto
cuadrante del plano complejo k, entonces −k̄n es también un polo, mientras que k̄n y −knson ceros de S . Por lo tanto S es una función meromórca de k, con polos restringidos al
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3.4.2 Método Gr´ aco 39
eje imaginario positivo (estados acotados) y al semiplano inferior (resonancias). Por otro
lado, si S se estudia como una función de la energı́a , entonces será necesario consideraruna supercie de Riemann de dos hojas ( k2 = ) cuyo corte est á a lo largo del eje real
positivo (ver detalles en el Caṕıtulo 6). Adem´ as, los polos simples de S ( ) siempre vienen
en pares (correspondiendo a k y −k̄) mientras que polos sobre el eje real negativo corre-sponden tanto a estados acotados como a estados antiacotados.
En la sección 3.3 hemos señalado que el comportamiento ondulatorio del coeciente de
transmisi ón T sugiere un método gr áco para el cálculo de las enerǵıas de resonancia (cada
uno de los picos de T se puede identicar con una distribuci´on FBW). A continuaci´on
indicamos en qué consiste el método.
3.4.2 Método Gr´ aco
Para potenciales unidimensionales de corto alcance la amplitud de transmisi´ on S puede
interpretarse como una matriz 1 ×1 de dispersión. De esta manera, analizar la secci ónecaz como una función de la enerǵıa de las part́ıculas incidentes corresponde a identicarlos máximos locales del coeciente de transmisión T . Ya hemos visto que los ceros de ∆(k)
son polos de S (k), aśı que estos mismos puntos son tales que el coeciente de transmisión
T = |S (k)|2 =kq
∆( k)
2
(3.25)
alcanza su máximo valor. En otras palabras, la funci´on T presenta una serie de m áximos y
mı́nimos. Esta serie de picos se hace m ás evidente para algunos valores de los par ámetros
que para otros. Como regla general, para obtener una buena correspondencia con lasdistribuciones de Fock-Breit-Wigner eliminaremos de nuestro an´ alisis aquellos picos que
estén acompa˜nados (a su derecha e izquierda) por mı́nimos locales que sean mayores a
1/ 2. El ancho Γ de cada uno de los picos permitidos estará denido por la distancia entre
sus intersecciones derecha e izquierda con la horizontal en 1 / 2 (ver Figura 3.1). El centro
de cada pico, proyectado sobre el eje de las energı́as, dene una resonancia E . La función
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40 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
0 2 4 6 8 10
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 10 20 30 40 50
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Figura 3.1: A la izquierda tenemos la primera resonancia de un pozo cuadrado con V 0 = 992 .25 yb = 20. La denición gr´aca del ancho Γ corresponde a la distancia entre las ĺıneas verticales que centran
el pico. A la derecha tenemos a las funciones T y ωN (curva punteada) para los mismos valores de lospar ámetros. En este caso, la suma de distribuciones de Fock-Breit-Wigner pega bastante bien con elcoeciente de transmisi´ on para las primeras cinco resonancias.
ωN ( R ) en (3.17) incluye N de estos picos, contados de izquierda a derecha. En la Figura
3.1 se muestra un caso donde la concordancia entre T y ωN es bastante buena para las
primeras cinco resonancias.
3.4.3 Método anaĺıticoEn esta sección derivaremos expresiones para las resonancias E y sus anchos Γ en términos
de los parámetros del potencial. Asumiremos que el par´ametro cinético k es un número
complejo con parte imaginaria no trivial. Puesto que la informaci´ on de un potencial de
corto alcance está necesariamente contenida en el par´ ametro de interacci´on, muchas de
las aproximaciones ser án hechas sobre q .
Para valores complejos de q 2 = k2 + V 0, las partes real e imaginaria de se escriben
de la siguiente manera
E = q 2R −V 0 −q 2I , Γ
2 = −2q R q I . (3.26)
La combinación de estás dos últimas expresiones nos lleva a
14
Γ2
2
γ 2 −(V 0 + E )γ −1 = 0, (3.27)
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42 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
Tomando qI b2 1 en la segunda de estas ecuaciones y para valores muy grandes de θtenemos:
q R b2 ≈cos−
1 ±1θ
= nπ
2 ± 1θ
+ O 1θ3
(3.35)
donde n debe ser un número impar. Si ahora trabajamos con la ecuaci´on derecha de
(3.23) llegamos a una expresi ón equivalente a (3.35) sólo que para n par. De esta forma
concluimos que la ecuación (3.35) se satisface para n un número natural arbitrario. In-
troduciendo esta expresi´on en la ecuación (3.32) obtenemos un conjunto discreto de reso
nancias
E ≈nπ2θ
2
−1 V 0, nπ
2 > θ, n∈N . (3.36)
Est á claro que n debe exceder un valor mı́nimo para conseguir una enerǵıa positiva.
Tomemos n := n inf + m, m = 0, 1, 2, .., donde ninf está denido como la función ceilling
de 2θ/π , es decir 2θπ . Aśı, E n inf ≡E 0 es la energı́a positiva m ás pequeña en (3.36). Engeneral tenemos
E m =(n inf + m)π
2θ
2
−1 V 0, m∈Z + . (3.37)
La expresión anaĺıtica de Γ se obtiene en forma equivalente. Partiendo de la ecuaci´ onizquierda en (3.23) llegamos a
kI = ± V 0 cos q R b2 cosh q I b2 . (3.38)Usando qI b2 1 y cos qR b2 ≈∓1θ , esta ecuación se simplica:
−kI b2 ≈1 +
12
q I b2
2
. (3.39)
Con este resultado y (3.32) en (3.26) llegamos a lo siguiente:
kR b2θ
2
=q R b2θ
2
+q I b2θ
2
+ 1θ −1 (3.40)
donde el segundo término aditivo es mucho m´as pequeño que el primero (ver ecuación
3.33) y θ−1 1, por lo que la ecuación (3.40) se reduce a kR ≈ ±√ E . La sustituci ón de
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3.4.4 Distribuci´ on de Fock-Breit-Wigner 43
estos últimos resultados en la expresi´on para Γ en (3.26) nos lleva a
Γ2 ≈ 4b√ E = 2v
+
b , (3.41)
donde hemos despreciado los términos que son proporcionales (´o mayores) a (q I b/2)2.
Es notable que Γ sea proporcional a la rapidez de ujo v+ en x > b/ 2. Dado un valor
del punto de corte b (con θ jo), a una partı́cula incidente muy energética le corresponde
un pico muy ancho en T , lo que signica que pasa menos tiempo en la región de interacci ón
(−b, b). Como resultado, los picos centrados en una enerǵıa resonante muy elevada v2+ / 2tienden a perder la forma de una funci´on de Fock-Breit-Wigner porque se traslapan endemaśıa con los picos contiguos. El ĺımite de tiempo de vida largo (Γ →0), aplicado paravalores jos de θ, es de esta forma un buen criterio para seleccionar tanto las velocidades
v+ como los parámetros del potencial que permitan construir las funciones de Gamow-
Siegert apropiadas para los pozos cuadrados.
3.4.4 Distribuci´ on de Fock-Breit-Wigner
En la discusión de la sección anterior asumimos la existencia de un par´ametro cinéticocomplejo con parte imaginaria no trivial. Ya hemos visto que las aproximaciones que nos
permiten calcular las energı́as de resonancia también son ´ utiles para obtener el ancho Γ en
el ĺımite de tiempos de vida largos. A continuaci´on vamos a demostrar que los par ámetros
E y Γ aśı obtenidos corresponden al centro y al ancho de una distribuci´ on FBW. Para
esto es conveniente escribir la amplitud de transmisi´ on S (k) de la siguiente manera
S (k) = e−ikb
cos qb[1−ig(k)], donde g(k) =
k2 + q 2
2kq
tan qb. (3.42)
Ahora consideremos un peque ño desplazamiento δE en la enerǵıa de resonancia E m a lo
largo del eje real del plano complejo . Los parámetros k y q se transforman como sigue:
k →k + δk, q →q + 12qδE . Cerca de las enerǵıas de resonancia tenemos qb≈nπ + b2qδE .Aśı
g(k) ≈ 2Γm
δE, (3.43)
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44 3. Pozos cuadrados y barreras cuadradas unidimensionales
15 10 5 0 5 10 15
10
5
0
5
10
15 10 5 0 5 10 15
15
10
5
0
5
10