joone võrrand
DESCRIPTION
Joone võrrand. 16. september 2014. Sirgjoone tõusunurk ja sirge tõus. Vaatleme koordinaatteljestikus paiknevat sirgjoont, mis lõikab x - telge. Selle sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x - telje positiivse suuna ja sirge vahel - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
![Page 1: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/1.jpg)
Joone võrrand
21. aprill 2023. a
Külli NõmmisteJõhvi Gümnaasium
![Page 2: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/2.jpg)
Sirgjoone tõusunurk ja sirge tõus
![Page 3: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/3.jpg)
Vaatleme koordinaatteljestikus paiknevat sirgjoont, mis lõikab x - telge
Selle sirge tõusunurgaks nimetatakse nurka x - telje positiivse suuna ja sirge vahel
nurka mõõdetakse x - telje positiivsest suunast lugedes vastupäeva
Tõusunurk on alati 0 ja 180 vahel
Sirgjoone tõusunurka tähistame tähega
![Page 4: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/4.jpg)
Kui tõusunurk on teravnurk, siis öeldakse, et sirge tõuseb
kui tõusunurk on nürinurk, siis öeldakse, et sirge langeb
![Page 5: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/5.jpg)
Sirge tõus
Sirge tõusuks nimetatakse selle sirge tõusunurga tangensit
Tõusu tähistatakse tähega k
Tõusva sirge tõus on positiivne
Langeva sirge tõus on negatiivne
![Page 6: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/7.jpg)
Sirge tõus
Sirge tõus näitab, kui palju muutub sirgel liikuva punkti y- koordinaat, kui x-koordinaat kasvab ühe ühiku võrra
k = 2
![Page 8: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/8.jpg)
Koordinaattelgedega paralleelsed sirged
Kui sirge on paralleelne x - teljega, siis = 0 ja k = 0
Kui sirge on paralleelne y - teljega, siis = 90 ja k ei ole määratud, sest tan 90 ei ole määratud
![Page 9: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/9.jpg)
Paralleelsete sirgete tõusud
Paralleelsete sirgete tõusunurgad on võrdsed, järelikult neil sirgetel on ka ühesugune tõus
![Page 10: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/10.jpg)
Sirge võrrand
![Page 11: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/11.jpg)
Sirge on määratud punktiga A(x1;y1) ja
tõusuga k Valime vabalt sirgel punkti P(x;y)
asendame koordinaatide väärtused sirge tõusu valemisse
ning saame , siit
Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand
y – y1= k(x – x1)
Punkti ja tõusuga määratud sirge võrrand
1
1
xx
yyk
![Page 12: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/12.jpg)
Näide
Leia sirge võrrand, kui sirge tõusunurk on 30 ja sirge läbib punkti A(9;0) y – y1= k(x – x1) Leiame tõusu k = tan 30 =
Asendame punkti koordinaadid valemisse:
y – 0 = (x – 9)
y = x –
3
3
3
3
3
3 33
![Page 13: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/13.jpg)
Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand
Tõusu ja algordinaadiga määratud sirge võrrand on kujul y = kx + b, kus k on sirge tõus ja b on algordinaat
Algordinaadiks nimetatakse sirge ja
y-telje lõikepunkti ordinaati
![Page 14: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/14.jpg)
Näide
Leia sirge võrrand, kui sirge tõus on k = 2 ja algordinaat b = -3y = kx + b Asendame väärtused valemisse
y = 2x + (-3)
y = 2x – 3
![Page 15: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/15.jpg)
Kahe punktiga määratud sirge võrrand
Sirge s on määratud punktidega A(x1; y1) ja B(x2; y2)
Kahe punktiga määratud sirge võrrand
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
![Page 16: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/16.jpg)
Näide
Leia punkte P(-7; 4) ja Q(-8; -1) läbiva sirge võrrandi ja kontrolli, kas punkt A(7; 72) asub sellel sirgel
Asendame punktide koordinaadid valemisse
Kontrollime, kas punkti A koordinaadid rahuldavad saadud võrrandit
12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
5
4
1
7
41
4
78
7
yx
yx
395
4355
4175
xy
yx
yx
397572
![Page 17: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/17.jpg)
Sirge võrrand telglõikudes
Juhul kui sirge on määratud punktidega, milles see sirge lõikab koordinaattelgi
Arve a ja b nimetetaksetelglõikudeks
Telglõikude abil lihtsustub sirgjoone konstrueerimine
1b
y
a
x
![Page 18: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/18.jpg)
Näide
Kirjuta sirge võrrand, kui sirge läbib punkte (-2;0) ja (0;3) Antud punktid on otsitava sirge lõikepunktideks
koordinaattelgede ja seega saame punktide koordinaatidest välja lugeda telglõigud:a = -2 ja b = 3
Asendame telglõigud valemisse
1b
y
a
x
623
6132
yx
yx
35,1
2:632
xy
xy
![Page 19: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/19.jpg)
Koordinaattelgedega paralleelsete sirgete võrrandid
y-teljega paralleelse sirge võrrand
x = a
x-teljega paralleelse sirge võrrand
y = b
![Page 20: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/20.jpg)
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand
Sirge sihivektoriks nimetatakse iga vektorit, mille siht langeb kokku sirge sihiga sihivektorit tähistatakse
Punkti ja sihivektoriga määratud sirge võrrand
);( yx sss
yx s
yy
s
xx 11
![Page 21: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/21.jpg)
Näide
Leia sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(4; -1) ja sirge sihivektor on
Asendame väärtused valemisse
yx s
yy
s
xx 11
)1;2(s
224
12411
1
2
4
yx
yx
yx
15,0
2:22
xy
xy
![Page 22: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/22.jpg)
Sirge üldvõrrand
Ükskõik millisel kujul sirge võrrandit on võimalik teisendada kujule
Ax + By + C = 0 Saadud võrrandit nimetatakse sirge üldvõrrandiks Sirge tõus
Sirge üks sihivektor
B
Ak
);( ABs
![Page 23: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/23.jpg)
Kahe sirge vastastikused asendid
![Page 24: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/24.jpg)
Kahe sirge vastastikused asendid
0:
0:
222
111
CyBxAt
CyBxAs
LõikuvadÜhtivadParalleelsed
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
2
1
2
1
B
B
A
A
21|| kkts ts
121 kkts
![Page 25: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/25.jpg)
Nurk kahe sirge vahel
Kahe sirge lõikumisel tekib kaks paari võrdseid nurki Kui ühe nurga suurus on φ, siis tema
kõrvunurga suurus on 180 - φ
Kokkuleppeliselt loetakse kahe sirge vaheliseks nurgaks seda nurka, mis on teravnurk
Nurka kahe sirge vahel on võimalik arvutada valemist:
21
21
1tan
kk
kk
![Page 26: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/26.jpg)
Kahe sirge lõikepunkt
Kahe sirge lõikepunkti võib leida: jooniselt (ei ole alati täpne) arvutuslikult
sirgete võrranditest koostatakse võrrandisüsteem ja lahendatakse sobiva lahendusmeetodiga:
liitmisvõte asendusvõte determinantide abil
![Page 27: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/27.jpg)
Näide
Koosta sirge võrrand, teades, et sirge läbib punkti (2; -3) ja on risti sirgega 4x – 3y – 6 = 0 Teisendame sirge võrrandit
Et sirged peavad olema risti, siis k1 ·k2 = 1,
seega otsitava sirge tõusu k2 leiame seosest
23
4
)3(:643
0634
xy
xy
yx
4
31
3
422 kk
![Page 28: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/28.jpg)
Näide jätkub
Seega otsitava sirge võrrandi leiame valemi
y – y1= k(x – x1) abil
5,175,02
3
4
33
)2(4
3)3(
xy
xy
xy
![Page 29: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/29.jpg)
Ringjoone võrrand
![Page 30: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/30.jpg)
Ringjoon
Ringjooneks nimetatakse antud punktist jääval kaugusel asetsevate punktide hulka tasandil Punkti O nimetatakse ringjoone keskpunktiks jäävat kaugust r ringjoone raadiuseks
![Page 31: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/31.jpg)
Ringjoone võrrand
Ringjoone võrrand, kui ringjoone keskpunkt on (a; b) ja raadius r:
(x – a)2 +(y – b)2 = r2
antud võrrandit nimetatakse ringjoone kanooniliseks võrrandiks
Kui ringjoone keskpunkt on punktis O(0; 0), siis saab ringjoone võrrand kuju x2 + y2 = r2
![Page 32: Joone võrrand](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022061313/568147b8550346895db4fd5e/html5/thumbnails/32.jpg)
Näide
Kas võrrand x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0 on ringjoone võrrand? Kui on siis leia ringjoone keskpunkt ja raadius.
Täisruudu eraldamise võte: x2 + y2 + 4x – 8y + 11 = 0 x2 + y2 + 4x – 8y = –11 (x2 + 4x) + (y2 – 8y) = –11 (x2 + 4x + 4) + (y2 – 8y + 16) = –11 + 4 + 16 (x – 2)2 + (y – 4)2 = 9
O(2; 4), r = 3