j.kaladė, r.maldžius. krūvininkų pernašos modeliai...
TRANSCRIPT
VILNIAUS UNIVERSITETAS
Julijonas Jonas Kaladė ir
Robertas Maldžius
KRŪVININKŲ PERNAŠOS
SLUOKSNINĖSE SISTEMOSE
MODELIAI
Monografija
Vilniaus 2011
2
Apsvarstė ir rekomendavo išleisti Vilniaus universiteto Fizikos fakulteto Kietojo kūno elektronikos katedra (2011 m. gegužės 9 d.; protokolas Nr. 478)
Recenzavo: habil. dr. Eugenijus Gaubas (Vilniaus universitetas) dr. Jonas Sidaravičius (Vilniaus Gedimino technikos universitetas) ISBN 978-9955-634-31-7
Julijonas Jonas Kaladė, 2011
Robertas Maldžius, 2011
Vilniaus universitetas, 2011
3
Turinys Įvadas ......................................................................................................... 5
I skyrius. NEPUSIAUSVIROJO PASISKIRSTYMO FUNKCIJOS LYGTYS .......................................................................................... 7
1.1. Pagrindinių kinetinių lygčių pavidalas ........................................... 7 1.2. Vienalytis lengvasis sandas pastovios jėgos lauke ........................... 8 1.3. Visiškai tamprūs susidūrimai........................................................ 13 1.4. Skleidinys išorinės jėgos laipsnių eilute ....................................... 16 1.5. Relaksacijos trukmės artinio pagrindimas..................................... 21 1.6. Relaksacijos trukmės apskaičiavimo pavyzdys .............................. 22 1.7. Silpnai netamprūs susidūrimai..................................................... 26 1.8. Simetriškieji susidūrimai ............................................................. 30 1.9. Neutronų erdvinis ir energinis pasiskirstymas medžiagoje............ 31 1.10. Ermito polinomų metodas Bolcmano kinetinei lygčiai................. 36 1.11. Ermito polinomų metodas lengvojo sando kinetinei lygčiai ......... 42 1.12. Ermito polinomų taikymo pavyzdžiai .......................................... 44
A. Silpnai nepusiausvira sistema .................................................... 44 B. Medžiagos pernaša neizoterminiame sluoksnyje ........................ 46 C. Elektringų dalelių srautas išoriniame elektriniame lauke ........... 48
II skyrius. KRŪVININKŲ PERNAŠOS LYGTYS .................................. 53 2.1. Vieno ženklo krūvininkų pernašos lygtys..................................... 53 2.2. Mažo trikdžio metodas ................................................................ 59 2.3. Rekombinacijos vaidmuo ............................................................ 64 2.4. Judrūs abiejų ženklų krūviai ........................................................ 68 2.5. Charakteristikų metodas .............................................................. 72 2.6. Difuzijos vaidmuo ....................................................................... 80
III skyrius. KRŪVININKŲ PERNAŠOS PARAMETRŲ REIKŠMIŲ IR PERNAŠOS MECHANIZMŲ PUSLAIDININKIUOSE SLUOKS-NIUOSE NUSTATYMAS............................................................... 89
3.1. Krūvio pernašos didžiavaržiuose puslaidininkiuose tyrimas mažo trikdžio metodu........................................................................... 89
3.1.1. Vienos rūšies sekliųjų lokalizuojančių būsenų artinys .............. 90 3.1.2. Dviejų rūšių lokalizuojančių būsenų artinys............................. 93 3.1.3. Trijų rūšių lokalizuojančios būsenos ........................................ 98
3.2. Sluoksnio potencialo išvestinių panaudojimas............................ 106 3.2.1. Elektroradiografinių sluoksnių jautris .................................... 107 3.2.2. Krūvininkų lokalizavimo būsenų energinio pasiskirstymo didžiavaržiuose puslaidininkiuose nustatymas.................................. 112
4
3.2.3. Intensyvus supertrumpas elektrofotografinių sluoksnių eksponavimas.................................................................................. 124
3.3. Fotoreceptoriaus potencialo visos kinetikos tyrimas. Skaitiniai metodai......................................................................................129
3.3.1. Dvisluoksnis fotoreceptorius.................................................. 129 3.3.2. Vienasluoksnis fotoreceptorius .............................................. 140
1 PRIEDAS. Susidūrimų matricos apskaičiavimas.................................151 2 PRIEDAS. Srovės kinetikos apskaičiavimas mažo trikdžio sąlygomis .154
A. Akimirkinė skylių injekcija, lokalizavimas, išlaisvinimas ............. 154 B. Akimirkinė fotogeneracija sluoksnio tūryje, dreifas ir lokalizavimas. ............................................................................. 156
3 PRIEDAS. (3.118) – (3.124) potencialo išraiškų išvedimas ................157
Literatūra.................................................................................................161
Dalykinė rodyklė .....................................................................................163
5
Įvadas
Puslaidininkiniai sluoksniai, tarp jų ir elektrografiniai, plačiai taikomi
įvairiai informacijai užrašyti, saugoti, perduoti, pvz. kopijavimo įrengi-
niuose, medicininėje diagnostikoje, pramoninėje defektoskopijoje. Šių
sluoksnių fizikines ir technines charakteristikas didžia dalimi lemia elektros
krūvio pernašos mechanizmai sluoksniuose. Dažnai šie mechanizmai
apibūdinami pernašos parametrais, tokiais kaip krūvininkų judriai, įvairios
gyvavimo trukmės, krūvininkų lokalizavimo būsenų tankiai ir kt. Norint
efektyviai valdyti minėtų sluoksnių savybes, būtina žinoti pernašos para-
metrų vertes bei jų priklausomybę nuo išorinių sąlygų, pvz., nuo išorinio
elektrinio lauko stiprio, sluoksnio eksponavimo šviesa sąlygų. Dėl sudėtin-
gos ir mažai žinomos krūvininkų tarpusavio bei krūvininkų ir kitų sluoksnio
sandų sąveikos apskaičiuoti pernašos parametrus remiantis pirmaisiais prin-
cipais (klasikinės arba kvantinės mechanikos metodais apskaičiuojant susi-
dūrimų tikimybes, surandant nepusiausvirojo pasiskirstymo funkciją ir t.t.)
realios galimybės nėra. Dėl to tenka spręsti atvirkštinį uždavinį – nustatyti
pernašos parametrus panaudojant eksperimentinius rezultatus, pvz., elekt-
rografinių sluoksnių atveju sluoksnio paviršinio potencialo ar srovės laikiš-
kųjų priklausomybių duomenis.
Pagrindinis šio leidinio tikslas – supažindinti skaitytoją, kaip, pasitel-
kus kinetines lygtis, gali būti surasti tam tikro pernašos modelio paprasčiausi
ir vienareikšmiai teoriniai sąryšiai, išreiškiantys pernašos parametrus ekspe-
rimentu nustatomais dydžiais.
Knygos pirmajame skyriuje aptariami pagrindinių klasikinės fizikinės
kinetikos nepusiausvirosios pasiskirstymo funkcijos lygčių sprendimo būdai.
Šio skyriaus rezultatai priskirtini pirmiesiems principams. Antrajame sky-
riuje, remiantis pirmojo skyriaus lygtimis, randamos elektros krūvio perna-
šos lygtys ir aptariami šių lygčių sprendimo metodai. Trečiajame skyriuje
analizuojamos konkrečios sluoksninės sistemos ir sudaromi krūvio pernašos
modeliai. Knygoje pateiktai medžiagai suprasti reikalingos diferencialinio ir
integralinio skaičiavimo, diferencialinių lygčių dalinėmis išvestinėmis bei
integralinių transformacijų matematikos žinios. Jos paprastai įgyjamos per
universitetines fizikinių dalykų pagrindines studijas.
6
7
I skyrius
NEPUSIAUSVIROJO PASISKIRSTYMO FUNKCIJOS LYGTYS
Pagrindinės klasikinio artinio nepusiausvirojo pasiskirstymo funkcijos, teikiančios detaliausią (nuodugniausią) nepusiausvirosios makroskopinės sistemos apibūdinimą, lygtys yra Bolcmano kinetinė lygtis ir jos atmainos. Šiame skyriuje aptariami pastarųjų lygčių sprendinių radimo būdai bei kai kurie taikymai. Vėliau minėtomis lygtimis pasiremsime išvesdami elektros krūvio pernašos lygtis.
1.1. Pagrindinių kinetinių lygčių pavidalas
A. Lengvojo sando kinetinė lygtis. Ši lygtis aprašo daugiasandę sistemą, t.y. sistemą, sudarytą iš įvairiarū-
šių dalelių (pvz., krūvininkų, priemaišų atomų, dislokacijų). Tariama, kad visi sandai, išskyrus vieną, sudaryti iš labai sunkių dalelių ir yra pusiausviri, o vienas sandas, sudarytas iš lengvų dalelių, yra nepusiausviras. Nepusiaus-virasis sandas vadinamas lengvuoju. Kai lengvasis sandas praretintas taip, kad jo dalelių tarpusavio sąveikos galima nepaisyti, lygtis yra šitokia:
3
0
0 3
d, , , e kT
V pf f fv F p p f p f p
t r p h
. (1P.1) (1.1a)
Čia bedimensinė nepusiausvirojo pasiskirstymo funkcija
( ) ( , , )f f p f r p t , normuojama lygybe
3
3
d( , , ) ( , )
pf r p t n r t
h
, (1.2)
kurioje ( , )n r t
– dalelių tankis laiko momentu t erdvės taške r
. Kiti ženkli-
nimai šitokie: k – Bolcmano konstanta, h – Planko konstanta, T – termodi-
naminė termostato temperatūra, v
– lengvojo sando dalelės greitis, p
– jos
judesio kiekis, – energija, 0
F
– išorinė jėga, 0
V – vienetinis (normavimo)
tūris, kurio toliau šioje lygtyje nerašysime. Funkcija ( , )p p nusako leng-
8
vojo sando dalelės susidūrimo per vienetinę trukmę su pusiausviruoju sandu
(sandais) tikimybę (jos dimensija 1s ), p
ir p - dalelės judesio kiekiai atitin-
kamai prieš ir po susidūrimo. (1.1a) lygtis dažnai taikoma aprašant krūvi-ninkų pernašą puslaidininkiuose, sprendžiant dujų dinamikos uždavinius ir kt. Matematiškai ši lygtis gana sudėtinga, todėl jos pertvarkymo ir sprendi-nio radimo būdai labai priklauso nuo konkrečių sąlygų, kuriomis ji taikoma.
B. Vienasandės sistemos Bolcmano kinetinė lygtis. Ši lygtis aprašo artisiekėmis jėgomis sąveikaujančių dalelių vienasandę
sistemą, ir tik susidūrimų integralo pavidalu skiriasi nuo (1.1a) lygties. Taigi ji šitokia:
0 1 1 1
, , , ; ,f f f
v F p p p p f p f pt r p
3 3 3
1 1
6
d d dp p pf p f p
h. (1.1b)
Čia V0 = 1, o 1 1
, ; ,p p p p – dviejų dalelių susidūrimo per vienetinę
trukmę tikimybė;
1,p p – dalelių judesio kiekiai prieš susidūrimą,
1,p p – po
susidūrimo. Pagrindinis (1.1b) lygties taikymo objektas – nepusiausviros dujos. (1.1b) lygtis netiesinė, todėl jos sprendinio radimo uždavinys sudė-tingesnis, negu (1.1a) sprendinio radimas.
1.2. Vienalytis lengvasis sandas pastovios jėgos lauke
Kai nepusiausvira sistema vienalytė, tai (1.1a) lygtyje nėra dešiniosios
pusės pirmojo dėmens, o 0
F
turi būti pastovios krypties ir didumo vekto-
rius. Vienalytiškumo sąlygą krūvininkų pernašai puslaidininkiuose galima naudoti, jei pernaša nuostovi, o sistema išlieka lokaliai elektriškai neutrali. Toliau tarsime, kad lengvojo sando dalelės dispersijos dėsnis yra izotropinis, t.y. dalelės energija priklauso tik nuo jos judesio kiekio didumo, bet
nepriklauso nuo judesio kiekio krypties: ( )p . Taip pat tarsime, jog
susidūrimo tikimybė ( , )p p priklauso tik nuo judesio kiekių p
ir p di-
dumų ir kampo tarp šių vektorių. Taikant krūvininkų (pvz., elektronų) per-
našai puslaidininkyje ši savybė reikštų, jog tuo atveju, kai nepusiausvi-rieji elektronai sklaidomi fononais arba skylėmis, pastarųjų sandų pasiskirs-
9
tymo funkcijų prieklausa nuo jų judesio kiekių yra sferiškai simetriška. Jeigu elektronai susiduria su dislokacijomis, tai pastarosios turi būti chaotiškai ori-entuotos.
Suformuluotomis sąlygomis paranku koordinačių sistemos z ašį nu-
kreipti 0
F
kryptimi, o pasiskirstymo funkciją ,f p t
išskleisti sferinėmis
funkcijomis ( , )lm
Y , normuotomis lygybe
1 1 1 1
* , , sin d dlm l m ll mm
Y Y , (1.3)
čia ir – sferinės koordinačių sistemos kampai. Jei dar yra ir posūkio
apie z ašį simetrija (pvz., 0F
yra tik elektrinio lauko jėga), tai ( , )f p t
nepri-
klauso nuo kampo ir minėtame skleidinyje yra tik 0m dėmenys:
0 0
0 0
( , ) 4π ( , ) ( ) 4π ( , ) ( )l l
l l
l l
f p t f p t Y f t Y
. (1.4)
(1.4) skleidinio koeficientai
( )l
f vadinami pasiskirstymo funkcijos
momentais. Dėmuo 0l yra sferiškoji pasiskirstymo funkcijos dalis. Kiti
dėmenys ( 0)l sudaro anizotropiškąją ( , )f p t
dalį.
Dalelių tankį išreiškę pagal (1.2) ir, pasinaudodami lygybe *
00 001 4π 4πY Y , pritaikę (1.3) sąlygą, randame
3
0
0 30
d( ) 4π ( , ) ( ) ( , ) ( )d
l
ll
pn t f t Y f t g
h
, (1.5)
čia ( )g – lengvojo sando būsenų tankio funkcija, apskaičiuota vienetiniam
tūriui. Taigi
2
3
4π ( )( )
( )
pg
vh
, d
( )d
vp
. (1.6)
Matome, jog dalelių tankis reiškiamas tik sferiškuoju momentu. Tuo pačiu momentu išreiškiama ir vidutinė dalelės energija:
10
3
03
3 0
3
d( , ) ( ) ( , )d
d ( ) ( , )d( , )
pf p t g f t
h
p g f tf p t
h
. (1.7)
Pagal apibrėžimą dalelių srauto tankis išreiškiamas šitaip:
3
3
d( ) ( , )
pj t vf p t
h
. (1.8)
Srauto tankio sferinę komponentę j nusako greičio v
atitinkama kompo-
nentė. Pasinaudoję lygybe
1 1
4π 4π( 1) , 1,0, 1,
3 3v v Y v Y (1.9)
(1.4) skleidiniu ir (1.3) sąlyga, randame
10( ) ( ) ( ) ( , )d
3j t v g f t
. (1.10)
Taigi tėra tik dalelių srauto tankio komponentė z ašimi ( 0) ir ji išreiš-
kiama pirmuoju pasiskirstymo funkcijos momentu. Matome, jog svarbioms nepusiausviros sistemos charakteristikoms apskaičiuoti pakanka žinoti du pirmuosius pasiskirstymo funkcijos momentus.
Dabar pertvarkysime kinetinės lygties dėmenis. Pasirinktoje koordina-čių sistemoje lauko dėmuo
0 0
,z
f fF F
p p. (1.11)
Pasinaudoję z
p
išraiška sferinėje koordinačių sistemoje,
sin
cosz
p p p, (1.12)
11
ir (1.4) skleidiniu bei sferinių funkcijų diferencijavimo taisyklėmis, randame
0 0 1,00
14π
(2 1)(2 3)
l l
llz
f l f lfL F F Y
p p pl l
1
1,0
1
(2 1)(2 1)
l
l
l f lf Y
p pl l
. (1.13)
Šio skleidinio sferiškai simetriškasis dėmuo (gaunamas, kai 1l ) yra šitoks:
11
0 0 00
4π 2
3
fL F f Y
p p
. (1.14)
Atsižvelgę į tai, kad ( )vp
,
0L užrašome ir šitaip:
1 12
0 0 00 0 002
4π 1 4π 1( ) ( ) ( , )
3 3 ( )L F Y p f F Y g v f t
p gp
. (1.15)
Pirmasis anizotropinis dėmuo
0 22
1 0 10
4π 2 3
3 5
f fL F f Y
p p p
. (1.16)
Dabar pertvarkysime susidūrimų integralą. Pagal suformuluotą
prielaidą susidūrimo tikimybė yra tik dalelės judesio kiekių prieš susidūrimą ir po susidūrimo didumų ir kampo tarp tų vektorių funkcija, todėl izotropinei sistemai galime rašyti:
12( , ) ( , ,cos )p p
, (1.17)
čia ir – dalelės energija atitinkamai prieš ir po susidūrimo, 12 –
kampas tarp vektorių p
ir p . Išskleisime dešiniąją (1.17) lygybės pusę
Ležandro polinomais:
12
12 12
0
( , ,cos ) ( , ) (cos )l l
l
P
. (1.18)
Ležandro polinomai ortogonalūs, 1
1
2( ) ( )d
2 1m l ml
P x P x xm
, (1.19)
todėl iš (1.18) lygybės randame šitokią susidūrimo tikimybės momento išraišką susidūrimo tikimybe:
1
1
1( , ) ( , , ) ( )d
2l l
l x P x x
. (1.20)
Iš sferinių funkcijų sudėties teoremos plaukia lygybė:
*
12
4π(cos ) ( , ) ( , )
2 1
l
l lm lm
m l
P Y Yl
, (1.21)
čia , ir , – atitinkamai vektorių p
ir p krypties kampai. Tuomet
vietoj (1.18) turime šitokią lygybę:
*
12
,
4π( , ,cos ) ( , ) ( , ) ( , )
2 1l lm lm
l m
Y Yl
. (1.22)
Dabar, remdamiesi (1.4) ir (1.22) skleidiniais, išreiškiame (1.1a) kine-
tinės lygties susidūrimų integralą,
1
1/23
30 0
4πd( , ) e ( , ) ( , ) ( , ) ( )
2 1
l
kTlm
l m l l
pS p p f p t f p t Y g
lh
1 1
1
*
0( , ) ( , )e ( , ) ( , ) sin d d ( , )
l lkTl lm l
f t d Y Y f t
1
*
,0( , ) ( , ) ( ) ( , )d ( , ) sin d d
l lm l lmY Y g Y , (1.23)
čia . (1.23) dešiniojoje pusėje suintegravę kampais ir susumavę, randame šitokį susidūrimų integralo skleidinį:
13
0
0
14π ( ) ( ) ( , ) ( , )e d
2 1
l kTl l
l
S Y g f tl
0( , ) ( ) ( , )d
lf t g . (1.24)
Sferiškai simetriškas šio skleidinio dėmuo
0
0 00 04π ( ) ( , ) ( , )e dkTS Y g f t
0
0( , ) ( ) ( , )df t g . (1.25)
Tolimesnis kinetinės lygties (1.24) sąveikos dėmens pertvarkymas bei
detalesnis informacijos radimas labai priklauso nuo susidūrimo tikimybės ir jos momentų matematinių savybių. Pavyzdžiui, visiškai tampriems susidū-
rimams ( , )l (kaip ir ( , )p p
) turi Dirako delta funkcijos daugiklius
( ) , užtikrinančius energijos pastovumą dalelei susiduriant. Šiuo at-
veju (1.24) integralai apskaičiuojami naudojant ( ) savybę ir dife-
rencialinė integralinė kinetinė lygtis tampa diferencialine lygtimi pasi-
skirstymo funkcijos momentams. Jeigu l
taško artumoje turi ryškią
smailę, tai integralinė (1.24) išraiška apytiksliai taip pat gali būti pakeista diferencialine išraiška. Sudėtingiausias atvejis yra tada, kai susiduriant leng-
vojo sando dalelės energija pakinta dydžiu kT ir daugiau. Tuomet (1.24) kairiosios pusės pirmieji dėmenys išlieka integraliniais. Tad toliau aptarsime atskirus atvejus.
1.3. Visiškai tamprūs susidūrimai
Visiškai tampriais susidūrimais vadiname tuos, kurių metu lengvojo
sando dalelės energija nepakinta, t.y. . Tokiems susidūrimams
sferiškai simetriškas susidūrimų integralo (1.25) dėmuo lygus nuliui, o Sl,
kai l ≥ 1, išreiškiamas šitaip:
0
( , )4π ( ) , 1,2,...
( )
l
l l
l
f tS Y l
(1.26)
Čia pažymėta
14
0
( , )1( ) ( , ) d
( ) 2 1
l
l
gl
. (1.27)
Išskleidę sferinėmis funkcijomis (1.1a) kinetinės lygties kairiąją pusę,
0
0
( , ) ( , )4π ( )
l
l
l
f p t f tY
t t
, (1.28)
ir sulyginę abiejų (1.1a) pusių dėmenis su vienodomis sferinėmis funkcijomis, randame pasiskirstymo funkcijos momentų lygtis:
0 110 2
( )( )3
Ff fv f
t p
,
1 0 2 120
1
2 3( ) ( )
( )3 5
Ff f f fv v f
t p
, (1.29)
· · · · · · // · · · · · · .
Matome, kad baigtinis (1.29) lygčių skaičius nesudaro uždaros lygčių siste-
mos (parašytuoju atveju 0
f ir 1
f momentų lygtyse yra aukštesnės eilės
momentas 2
f , o pridėjus lygtį 2
f momentui, joje atsirastų 3
f ). (1.29)
baigtinio skaičiaus lygčių sistemą galima spręsti jose esantį aukščiausios eilės momentą prilyginant nuliui ir tuo (1.29) padarant uždara sistema. Būdingi visiškai tamprių susidūrimų atvejai – puslaidininkio krūvininkų sklaida dis-lokacijomis, priemaišomis (ypač jonizuotomis). Visiškai tamprių susidūrimų
atveju pasiskirstymo funkcijos anizotropija nedidelė, todėl 2
f ir aukštesnės
eilės momentų galima nepaisyti. Tuomet iš (1.29) lygčių, grįžę prie kinta-
mojo p, turime:
0 110 2
3
Ff ff
t p p
,
1 0 1
0
1( )3
Ff f f
t p p
. (1.30)
15
Tarkime, kad pusiausvira sistema į išorinį lanką įnešama laiko mo-mentu 0t . Tuomet
0 1
0( ,0) ( ); ( ,0) 0f p f p f p , (1.31)
čia 0
f pusiausvirojo pasiskirstymo funkcija. Iš (1.30) sistemos antrosios
lygties randame
1 1
01 0
0
( , )( , ) e e d
3
t ttF f p t
f p t tp
. (1.32)
Įrašę (1.32) išraišką į (1.30) pirmąją lygtį, gauname diferencialinę integra-linę lygtį sferiškajam momentui,
1 1 1
0 0 02
0
0 0
2e e d e e d
3
t t tt ttFf f ft t
t p p p p
, (1.33)
kuri bendruoju atveju gali būti išspręsta tik skaitiniais metodais.
(1.30) nuostovusis sprendinys neegzistuoja, kaip ir turėtų būti šiuo atveju. Tačiau (1.33) sprendinys gali būti panaudotas nepusiausvirajam
reiškiniui tirti, kai išoriniame lauke buvusi sistema laiko momentu 0
t t iš
to lauko išnešama. Tuomet jos būseną aprašo (1.30) lygtys, kuriose 0
0F :
0
0f
t
,
1 1
1
,f f
t
t ≥ t0. (1.34)
Iš šių lygčių plaukia, kad izotropiškasis momentas išlieka toks, koks susidarė
laiko momentu 0
t t ,
0( ,f p t ≥
0
0 0) ( , )t f p t ,
o anizotropiškasis relaksuoja pagal dėsnį
1( ,f p t ≥
0
11
0 0) ( , )e
t t
t f p t
, (1.35)
16
t.y. jis ilgainiui išnyksta.
Pasiskirstymo funkcijos momentas 0
f priklauso nuo 0
F , tačiau, kai
00F , neišnyksta, o tampa pusiausvirojo pasisikirstymo funkcija f0. Todėl
kai išorinis laukas pakankamai silpnas bent jau nepusiausvirojo reiškinio
pradžioje, (1.32) išraiškoje esantį 0
f galima pakeisti jo pusiausvirąja
reikšme 0
f , kuri nuo laiko nepriklauso. Tuomet randame
11 0 0
1( , ) 1 e
3
tF f
f p tp
. (1.36)
Šiuo atveju dalelių srauto tankis išorinio lauko kryptimi pagal (1.10) formulę yra šitoks:
1 ( )20 0
1( ) ( ) ( ) ( ) 1 e d
3
tF f
j t g v
. (1.37)
Tuo atveju, kai trukmė 1 nežinoma, (1.37) išraiška gali būti panaudota šiai
trukmei apskaičiuoti pagal eksperimentu nustatytą ( ).j t
1.4. Skleidinys išorinės jėgos laipsnių eilute
Tarsime, kad (1.1a) kinetinėje lygtyje esanti išorinė jėga, kaip ir anksčiau, yra pastovi, dar ir pakankamai silpna (silpnumo kriterijų aptarsime
vėliau). Tokiomis sąlygomis pasiskirstymo funkciją galima skleisti 0
F
laipsnių eilute,
0
0
( , ) ( , )i
i
i
f p t F f p t
, (1.38)
ir apsiriboti keletu pirmųjų skleidinio dėmenų. Dar tarkime, kad pusiausvira sistema į išorinį lauką įnešama laiko momentu 0t . Tuomet
0 0( , ) ( )f p t f p
(1.39)
17
yra pusiausvirojo pasiskirstymo funkcija, o visiems kitiems skleidinio koefi-cientams 1,2,...i galioja lygybė
( ,0) 0i
f p . (1.40)
Atsižvelgę į tai, kad susidūrimų integralas, įrašius jame funkciją 0( )f p
,
išnyksta ir kad 0 0f
t
, bei lauko dėmenį išreiškę šitaip:
1 1
0 0 0
0 1
i ii i
i iz z z
f ffF F F
p p p, (1.41)
randame
3
1
0 0 0 31 1 1
d( , ) e ( , ) ( , )
i i ii i kTi i
i i iz
f f pF F F p p f p t f p t
t p h
. (1.42)
Sulyginę pastarojoje lygybėje dėmenis prie vienodų 0
F laipsnių, turime
3
1
3
d( , ) e ( , ) ( , )i i kT
i i
z
f f pp p f p t f p t
t p h
, (1.43)
1,2,...i (1.43) lygties pavidalas analogiškas (1.3) skirsnyje išnagrinėtai
lygčiai, todėl skleidinio koeficientus i
f reiškiame (1.4) lygybe
0
0
( , ) 4π ( , ) ( )l
i i l
l
f p t f t Y
.
Visiškai tampriems susidūrimams (1.43) susidūrimų integralo l-tojo momento dėmuo reiškiamas (1.26) pavidalo lygybe,
0
( , )4π ( ) , 1,2,...
( )
l
i
il l
l
f tS Y l
, (1.44)
18
kurioje 1( ) sutampa su (1.27) lygybe apibrėžta reikšme. Pasinaudoję
(1.13) diferencijavimo formule bei, kaip ir anksčiau, (1.43) lygtyje sulyginę
koeficientus prie vienodų 0l
Y , randame
0 1
1
1
1 2
3
i i l
i
f fv f
t p,
1 0 2 1
21 1
1
1
1 2 3
3 5
i i i i
i
f f f fv v f
t p,
2 1 3 2
1 31 1
1 1
2
1 2 1 3 4
5 3 7
i i i i
i i
f f f fv f v f
t p p, (1.45)
· · · · · · // · · · · · · . Matome, kad, kitaip negu (1.29) lygtys, (1.45) sistemos kiekvieno momento lygtis sprendžiama naudojant prieš ją esančių lygčių sprendinius. Taigi (1.45) lygčių sistema turi privalumų, lyginant ją su (1.29) sistema.
Rasime kelis (1.38) skleidinio koeficientus.
1i . Kadangi 0
f yra sferiškai simetriška funkcija, tai (1.45) pirmojoje
lygtyje esanti 1
00f . Taigi
0
01
10 0
ff
t
, (1.46)
nes pradinė 1
f vertė lygi nuliui. Kadangi taip pat ir 2
00f , tai iš antrosios
lygties lieka šitokia:
01 1
0 01 1
0
1 3 3 3
f ff f v v vf
t kT,
o jos sprendinys
11 1
1 0( , ) ( ) 1 e
3
tv
f t fkT
. (1.47)
19
Trečioji (1.45) lygtis dabar šitokia:
2 2
1 1
2
f f
t
. (1.48)
Ir bet kuriam momentui
1(
lf l ≥2) galioja (1.48) lygtis. Atsižvelgus į pradi-
nę sąlygą, iš (1.48) plaukia, kad
1
0, 2,3,...l
f l (1.49)
Vadinasi,
11
1 0 10
4π( , ) ( ) 1 e ( )
3
tv
f p t f YkT
. (1.50)
2i . Dabar iš (1.45) lygčių turime:
0 1
12 1
1
1 2
3
f fv f
t p. (1.51)
Atsižvelgę dar į tai, kad 0
2( ,0) 0f , bei pasinaudoję (1.47) išraiška, iš
(1.51) lygties randame
1 10 2 1
2 0 1
1( , ) 1 e e
3
t t
f t v f tkT
11
0 1 0 1
21 e
tv
f v v f tp
. (1.52)
Funkcija 1
2f tenkina (1.48) pavidalo lygtį, todėl
1
20f . (1.53)
Tuo tarpu
20
2 1 2
12 1 2
1
2
2 1
15
f f fv f
t p, (1.54)
iš kurios plaukia, jog
2 2
1 1
2 1 1
2
0
( , ) ( , )2( , ) e e d
15
t ttf t f t
f t v tp
. (1.55)
Aukštesnieji momentai lygūs nuliui, todėl
0 2
2 2 00 2 20( , ) 4π ( , ) 4π ( , )f p t f t Y f t Y
. (1.56)
Kad (1.38) eilutėje nuo 0
F priklausantys dėmenys būtų maži, lyginant
su 0
f , iš (1.47) bei (1.52) išraiškų plaukia, jog turi galioti nelygybė
0 1 1F v
kT
.
Taigi 0
F galima laikyti pakankamai silpna, jei
0
1
kTF
v . (1.57)
Pavyzdžiui, elektronui, kurio greitis kambario temperatūroje prilyginamas
vidutiniam šiluminiam greičiui bei tariant, kad 1 ~ 1310 s , randame
12
010 NF .
Elektrinio lauko atveju ši sąlyga reikštų, jog lauko stipris negali viršyti
104 V/cm. Matome, kad 0
F reikšmę, tenkinančią (1.57) sąlygą, didžiąja
dalimi lemia susidūrimo mechanizmas, kurių kiekvienam yra savasis 1 .
Dar pastebėsime, kad (1.38) skleidinyje apsiribojant tik pirmuoju 0
F
laipsniu, pasiskirstymo funkcija turi nuostoviąją vertę (žiūr. (1.47)), kuri
21
pasiekiama, kai 1
t . Tačiau aukštesnių 0
F laipsnių (1.52), (1.55) dėmenys
nuostovių verčių neįgyja.
1.5. Relaksacijos trukmės artinio pagrindimas
Kokybiškai apibūdinant pernašą kartais naudojamasi relaksacijos trukmės artinio kinetine lygtimi. Šis artinys reiškia tai, jog kinetinės lygties susidūrimų integralas išreiškiamas lygybe
0f f
S
, (1.58)
čia 0
f – funkcija, kurią įrašius į susidūrimų integralą, pastarasis išnyksta.
Tokia funkcija gali būti pusiausvirojo (arba vietinės pusiausvyros) pasiskirs-tymo funkcija. Aprašomojoje teorijoje parametras vadinamas relaksacijos trukme ir yra nežinomas dydis, kurio vertė ir prieklausa nuo dalelės energi-jos ir kt. nustatomi naudojant eksperimento rezultatus. Rasime sąlygas, ku-riomis susidūrimų integralui gali būti suteiktas (1.58) pavidalas.
Pasinaudodami (1.4) skleidiniu, vietoj (1.58) išraiškos turime šitokią:
0
0 01
4πl
ll
f f f Y
S
. (1.59)
Antra vertus, visiškai tampriems susidūrimams iš (1.24), (1.26), (1.27) formulių plaukia lygybė:
0
1
4π
l
l
l l
fS Y
. (1.60)
Jeigu išorinis laukas pakankamai silpnas, tai, kaip jau nustatėme praeitame
skirsnyje, 0
f nuo 0
f skiriasi dėmeniu 02
0 2 004πF f Y , kuris yra mažas, ir
todėl (1.59) dešiniojoje pusėje galime rašyti 0
00f f . Iš praeito skirsnio
rezultatų taip pat plaukia, kad aukštesni pasiskirstymo funkcijos momentai
( 1)l proporcingi didesniems 0
F laipsniams, todėl silpno išorinio lauko
atveju (1.59), (1.60) sumose pakanka palikti tik 1l dėmenį. Tuomet (1.59) ir (1.60) dešiniosios pusės sutampa, jei
22
1 1
1 0 1
1( ) ( , ) ( , ) d
3g
. (1.61)
Taigi, kai susidūrimai visiškai tamprūs, o išorinis laukas silpnas, susidūrimų integralui galima taikyti relaksacijos trukmės artinį, relaksacijos trukmę išreiškiant (1.61) lygybe.
1.6. Relaksacijos trukmės apskaičiavimo pavyzdys Tarsime, kad puslaidininkio laisvieji elektronai sklaidomi jonizuotąja
priemaiša. Apskaičiuosime relaksacijos trukmę, tardami, kad priemaišos visi atomai vienodi.
Priemaišos atomas sunkus, susidurdamas su elektronu nepakeičia padėties, o dėl to, kad yra jonizuotas, dar ir nesužadinamas. Todėl šį susi-dūrimą galime aprašyti kaip elektrono sklaidą išoriniu lauku. Tuomet pagal kvantinę mechaniką susidūrimo (sklaidos) per vienetinę trukmę su vienu priemaišos atomu tikimybė išreiškiama šitaip:
1
21 32π
( , ) ( ) ( ) ( )d ( )pp
P p p r V r r r
,
čia / 2 h . Elektroną aprašome efektinės masės artiniu, t.y. plokščiąja banga,
i( , )1
( ) ep r
pr
V
,
V – normavimo (kristalo) tūris (toliau tarsime, kad 1V ). Priemaišos atomo laukas ekranuojamas judančių elektronų, todėl
02e
( )
r
rZe
V rr
,
– puslaidininkio dielektrinė skvarba, Ze – priemaišos atomo krūvis, 0r –
ekranavimo radiusas. Taigi
0
1
i( , )23 31
( ) ( ) ( )d e d
q r r
r
pp
ZeI r V r r r r
r
,
23
čia 1q p p
- perduotasis judesio kiekis, kuriuo, skaičiuodami I, nukrei-
piame z ašį. Tuomet ( , ) cosq r qr ir
0 0
iπ2 2cos
0 0 0
2π 4πd sin d e e sin d
r rqr
r rZe Ze qrI r r r
q
2
2
2 2
0
4π
1
Ze
q
r
.
Vadinasi,
0 22
2
2
0
( )( , )P p p B
qr
,
čia 3 2 4 2
04B h Z e . Kinetinėje lygtyje esančią tikimybę randame sumuo-
dami ( , )P p p visomis priemaišomis, esančiomis normavimo tūryje.
Bendruoju atveju toks sumavimas gana sudėtingas, nes skirtingais priemaišų atomais išsklaidyto elektrono banginės funkcijos interferuoja ir dėl to sklaida skirtingais priemaišų atomais nėra nepriklausoma. Tačiau tuo atveju, kai vidutinis nuotolis tarp priemaišos atomų didesnis už elektrono bangos ilgį
, interferencijos reiškinys nereikšmingas. Klasikiniu artiniu kambario temperatūroje
h
mv ~
h
mkT~ 610 cm .
Vadinasi, jei priemaišų tankis mažesnis už 18 310 cm , tai sklaida skirtingais priemaišų atomais nepriklausoma ir
0 22
2
2
0
( )( , )p p NB
qr
,
čia N – priemaišos atomų skaičius kristale (normavimo tūryje). Tampriam susidūrimui
24
2 2 2 2 22 2 cos 2 2q p p p p x ,
cos ,x – sklaidos kampas, t.y. kampas tarp p
ir p . Tikimybę
užrašome šitaip:
4 2
( )( , ) ( , , )
4 ( ) ( )
Bp p x
p A x
,
čia 2
0 2 2
0
, 12
B NB Ap r
.
Pagal (1.20) nulinis tikimybės momentas
1
0 0
1
1( , ) ( , , )d , ( ) 1
2x x P x
.
Apskaičiavę čia esantį integralą, randame
0 4 2
( )( , )
2 ( 1)
B
p A
.
Pirmasis momentas
1
1 1
1
3( , ) ( , , ) d , ( )
2x x x P x x
.
Todėl
1 4 2
( ) 1 1( , ) ln
2 12 1
B A A
Ap A
.
Pagal (1.61) lygybę dydžio 1 išraiška dabar šitokia:
1
4 2
( ) 1 1 3ln
2 16 ( ) 1
Bg A A
Ap A
. (1.62)
Relaksacijos trukmės prieklausą nuo elektrono energijos galime nustatyti tik tada, kai žinomas dispersijos dėsnis. Tarsime, kad
25
2
2
p
m.
Šiuo atveju, kaip žinoma, 3/2
0 0 3
4π(2 )( ) ,
mg g g
h , o m – elektrono
efektinė masė. Nors (1.62) išraiška nėra pernelyg sudėtinga funkcija, aptarsime ribinius atvejus.
1A . Tuomet
2 2
2 2 2
0 0
12 4p r mr
,
arba kitaip
2
2
04mr
. (1.63)
Šiuo atveju, apsiribodami antrosios eilės mažais dydžiais 1
A, randame
2 2
1 1 3 3ln
2 1 1
A A
A A A.
Tuomet, A išraiškoje nepaisydami 1, turime
4
1 0 0
4
2Bg r
,
ir , kai 0 .
2
2 2
0
12p r
. Dabar tenkina priešingos krypties, negu (1.63), sąlygą.
Išskleidę mažo dydžio laipsniais ir apsiriboję didžiausiu dėmeniu, randame
2 2
0
2 2
41 1 3ln
2 1 1
m rA A
A A,
2
1 0 0
26
Bg r
m
,
t.y. dabar , kai . Tačiau ši riba neturi fizikinės prasmės. Mat, kai elektrono energija labai didelė, susidūrimas negali būti visiškai tamprus.
26
1.7. Silpnai netamprūs susidūrimai
Silpnai netampriais vadiname susidūrimus, kuriems
kT . (1.64)
Tokie gali būti puslaidininkio krūvininkų ir fononų susidūrimai, dujų
molekulių susidūrimai ir kt. Šiomis sąlygomis susidūrimo integralo (1.26)
dėmenis l
S (neišnykstančius, kai , o dėl (1.64) sąlygos įgyjančius tik
nedidelius priedus) skaičiuosime taip, kaip jie reiškiami (1.26) formule. Tuo
tarpu skaičiuojant 0l dėmenį ((1.25) formulė) turi būti atsižvelgta į mažus dėmenis, atsirandančius (1.64) sąlygomis.
Taikydami 1.4 skirsnio metodiką, vietoj (1.45) pirmosios lygties dabar turime šitokią lygtį:
0
0 0
0 0
( , )( ) ( , )e ( , )d ( , ) ( ) ( , )di kT
i i
f tg f t f t g
t
1
11
1
1 2, 1,2,....
3
i
i
fv f i
p (1.65)
Kitų (1.45) lygčių pavidalas nepakinta. Kadangi , o mažas,
tai (1.65) dešiniojoje pusėje esančią funkciją 0
( , )i
f t skleidžiame
laipsnių eilute. Apsiriboję pirmaisiais mažais dydžiais, randame:
0
0 0 0 0 ( )( , ) ( ) ( ) ( ) i
i i i i
ff t f f f
022
2
( )( )
2
if
. (1.66)
Panaudoję tokio paties artinio skleidinį, taip pat turime
2
2
1 ( )e 1
2 ( )kT
kT kT
.
Palikus tik nemažesnius nei antrosios eilės mažus dydžius, plaukia lygybė
27
02 20 0
2
( )( ) ( )e ( ) 1 ( )
2( )
ikTi i
ff f
kT kTkT
022
2
( )( )
2
if
. (1.67)
Remdamiesi (1.67) išraiška, vietoj (1.65) lygties, turime šitokią
0 1
1 01
1
1 2 1 ( )( )
3
i i
i i
f f Rv f Q f
t p kT kT
0 02
2
( )( ) 2 ( )i i
f fRQ R
kT
. (1.68)
Čia pažymėta
0( ) ( ) ( , )dQ g , (1.69)
2
0
( )( ) ( ) ( , )d
2R g
. (1.70)
(1.69) funkcija apibūdina lengvojo sando dalelės energijos relaksaciją dėl
susidūrimų. Matome, kad ( )Q gali keisti ženklą, pereidama tam tikrą
energijos reikšmę 0
. Pavyzdžiui, kai 0 , tai 0Q , o kai labai
didelis, 0.Q Taigi, kai 0Q (arba 0
), dalelė relaksuoja įgydama
energijos iš sklaidančiosios sistemos, o kai 0Q (arba 0), susidurdama
dalelė energiją perduoda sklaidančiajai sistemai. Funkcija ( )R , kaip plaukia
iš (1.70) išraiškos, visada yra teigiamas dydis. Ji apibūdina susidūrimų nulemtą energijos fliuktuaciją.
Pastebėsime, kad pusiausvirojo pasiskirstymo funkcija,
0f ~ e
kT ,
(1.68) lygties susidūrimų dėmenį (lygties dešiniosios pusės antrojo, trečiojo ir ketvirtojo dėmenų sumą) paverčia nuliu, kaip ir turėtų būti.
(1.68) lygtis jau neintegralinė, o diferencialinė dalinėmis išvestinėmis, turinti nepastovius, tačiau tik nuo vieno kintamojo priklausančius
28
koeficientus. Funkcijos 0
1f lygtis vienalytė, todėl
0
1f nustatoma
konstantos tikslumu. Tačiau toji konstanta turi būti lygi nuliui, nes
nelyginių 0
F laipsnių dėmenys negali turėti lyginių l sferinių funkcijų. Mat,
kinetinė lygtis invarianti keitiniui 0 0
, πF F :
0 0 0 0( ) (π ) ( 1) ( )i i l
l lF Y F Y ,
taigi i l turi būti lyginis skaičius. Vadinasi, kaip ir visiškai tampriam
susidūrimui, 0
10f . Funkcijos
1
1f lygtis ir jos sprendinys lieka tampriųjų
susidūrimų pavidalo. Kadangi visi
1
lf , kai 2,3,...l , taip pat lygūs nuliui,
tai relaksacijos trukmės artinio sprendinys dėl silpno susidūrimų netamprumo nekeičia pavidalo ir išreiškiamas (1.50) lygybe.
Funkciją 0
2f nusako nevienalytė (1.68) lygtis ir šis sprendinys įgyja
netamprumo priedą. Tuo tarpu 1
20f , o
2
2f yra tokio paties pavidalo,
kaip ir visiškai tampriems susidūrimams ((1.55) išraiška). Matome, jog
pasiskirstymo funkcijos skleidinyje iki 2
0F imtinai, susidūrimų netamprumas
pakeičia tik sferiškai simetriškąją funkcijos dalį ir pokyčio efektas yra 2
0F
eilės. Pagal diferencialinių lygčių klasifikavimą, (1.68) lygtis yra parabolinio
tipo tiesinė dviejų kintamųjų funkcijos lygtis. Tokių lygčių matematinė teorija gerai išplėtota (būdingi atvejai – difuzija, šilumos pernaša – mūsų
atveju kintamasis atitiktų koordinatę begalinėje erdvėje, o f, pvz., difunduojančio objekto tankį), tačiau (1.68) lygties sprendinio nesudėtingos analizinės išraiškos nėra. Tad tinkamiausias (1.68) lygties sprendimo būdas – skaitinis. Tačiau nuostovaus nepusiausvirojo vyksmo atveju tą lygtį galime gerokai supaprastinti.
(1.68) lygties lauko dėmenį žymėsime 1i
L ir jį pertvarkysime šitaip:
1
1 121
1 1 12
1 2 1 1
3 3
i
i i i
fL f p f
p p pp
1
1
1 1( ) ( )
( )3i
g v fg
. (1.71)
29
Remiantis (1.70) ir (1.69) apibrėžimais bei pasinaudojant detaliosios pusiausvyros principu susidūrimo tikimybei, įrodoma, jog silpnai netamp-riam susidūrimui galioja lygybė
R R R gQ
kT g
.
Pasinaudoję šiuo sąryšiu ir iš jo išreikštą Q įrašę į (1.68) lygtį, susi-dūrimų dėmeniui suteikiame šitokį pavidalą:
0 02
0
2
12 i i
i
f fR RQ f Q R
kT kT kT
0 01 i i
f fRg
g kT. (1.72)
Tuomet nuostoviajai būsenai vietoj (1.68) turime lygtį
0 0
1
1
1 10
3
i i
i
f fgvf Rg
g g kT
. (1.73)
Iš (1.73) lygties plaukia, kad
0 0
1
13
i i
i
f f gvRg f const
kT
. (1.74)
Tariama, kad bet kokio teigiamojo laipsnio vidurkis yra baigtinis
dydis, dėl to pasiskirstymo funkcijos momentai turi pakankamai sparčiai
mažėti ir riboje, kai , išnykti. Vadinasi, 0const . Tuomet iš (1.74)
randame lygtį
0 0
1
13
i i
i
f f vf
kT R
, (1.75)
kurioje 1
1if – nuostovioji šios funkcijos reikšmė. (1.75) lygties sprendinys
šitoks:
30
0 1
1
0
( )( ) e ( )e d
3 ( )
kT kTi i
vf C f
R
. (1.76)
Konstanta C nustatoma iš sąlygų, kuriomis vyksta nuostovusis reiški-nys, pvz., jei dalelių tankis nepriklauso nuo išorinio lauko, tai turi galioti lygybė
0
0
( ) ( )d 0i
f g
.
Tuo tarpu dalelės vidutinė energija ir ja nusakoma lengvojo sando temperatūra
2
3T
k
įgytų nuo išorinio lauko priklausančius priedus.
1.8. Simetriškieji susidūrimai
Tai susidūrimai, kurių tikimybė ( , )p p nepriklauso nuo kampo tarp
vektorių p
ir p . Simetriškojo susidūrimo pavyzdys – puslaidininkio krūvi-
ninkų susidūrimas su optiniais fononais, kai sąveikos potencialas deformaci-nės kilmės.
Simetriškojo susidūrimo atveju, kaip matyti (1.18) išraiškoje, visi
tikimybės momentai, kurių l ≥ 1, lygūs nuliui, todėl visiškai tampriam susidūrimui vietoj (1.26) išraiškos turime šitokią:
0
0
4π ( ) ( , ), 1,2,...
( )
l
l
l
Y f tS l
(1.77)
čia
0
0
1( ) ( , )d
( )g
, (1.78)
0 – būsenos gyvavimo trukmė, apibrėžianti pilnutinę tikimybę, jog leng-
vojo sando dalelė per vienetinę trukmę paliks būseną, kurios energija , pereidama į bet kokios energijos būseną.
31
Susidūrimų integralą šiuo atveju galime išreikšti šitaip:
0
1 0
( , ) ( , )
( )l
l
f t f p tS S
. (1.79)
(1.79) lygybėje esančią 0
f , kaip ir 1.5 skirsnyje, pakeitę pusiausvirojo pasi-
skirstymo funkcija 0
f , rastume, jog (1.79) tiksliai sutampa su relaksacijos
trukmės (1.58) artiniu. Tad šiuo atveju relaksacijos trukmė lygi 0 .
1.9. Neutronų erdvinis ir energinis pasiskirstymas medžiagoje
Didelės energijos, siekiančios milijonus eV, neutronai susidaro bran-duolinėse reakcijose. Valdomose branduolinėse reakcijose, pvz., branduoli-nėse jėgainėse, aktualus greitųjų neutronų lėtinimo uždavinys. Kadangi elektromagnetiniu lauku neutronai nevaldomi, tai neutronus lėtinti galima tik praleidžiant juos pro medžiagą. Medžiagoje lėkdami neutronai susiduria su atomų branduoliais. Pastaruosius sužadindami, arba ir nesužadindami, perduoda jiems dalį savo energijos. Neutronų sąveikos jėgos yra artisiekės, o branduolinėse reakcijose atsiradusių neutronų tankiai nedideli tiek, jog neutronų tarpusavio sąveika, jiems lekiant medžiaga, yra nereikšminga. Va-dinasi, aprašydami neutronų erdvinį ir energinį pasiskirstymą medžiagoje, galime remtis nežymiai pakeista (1.1a) kinetine lygtimi. Pirmiausia me-džiaga lėtinami neutronai nesudaro uždaros sistemos, o medžiagoje atsi-randa, arba į ją įlekia. Todėl (1.1a) dešinioji pusė turi būti papildyta neu-tronų šaltinio funkcija. Toliau tarsime, kad neutronų šaltinis nuostovus, sfe-
riškai simetriškas, visi atsirandantys neutronai vienodos energijos 0 , tačiau
šaltinis gali būti pasiskirstęs erdvėje. Šaltinio funkciją žymėsime ( , )q r p
, o ja
išreiškiama funkcija
3
0 0 3
d( , ) ( , )
pq r q r p
h
(1.80)
apibūdina vienetiniame tūryje per vienetinę trukmę atsirandančių neutronų skaičių.
Tikimybė ( , )p p nusako du reiškinius: medžiagos branduolio suža-
dinimą ir susidūrimą be sužadinimo. Sužadinant branduolį neutronas pra-
32
randa didžiąją dalį energijos, taigi, tarsi, sugeriamas. (1.1a) esantį ( , )p p
integralą užrašome šitaip:
3
1
1 3
d1( , )
pp p
h
,
čia – neutrono gyvavimo trukmė sugerties ir sklaidos atžvilgiu. Tuo tarpu
iš kitų būsenų į būseną p
neutronų patekimo tikimybė ( , )p p , kuri (1.1a)
lygtyje išreikšta lygybe ( , )e kTp p
, nusako tik sklaidą. Kadangi neutrono
ir branduolio sąveika reiškiasi tik jiems esant labai arti, tai neutrono tampriąją sklaidą branduoliu (susidūrimą be branduolio sužadinimo) galime aprašyti kaip tamprųjį rutuliukų susidūrimą. Toks susidūrimas yra izotro-piškas, todėl, tarus, kad iki susidūrimo branduolys nejudėjo (branduolio šiluminio judėjimo greitis mažas palyginus su greitojo neutrono greičiu), galime rašyti
2 2 2( )
( , ) ( )2 2 2
p p p pp p p
m m M
, (1.81)
čia m – neutrono, M – branduolio masės. (1.81) lygybės dešiniojoje pusėje
esanti Dirako funkcija išreiškia energijos tvermę susiduriant, o ( )p
priklauso tik nuo neutrono judesio kiekio didumo, t.y. tik nuo jo energijos. Turėdami dėmesyje dar ir tai, kad išorinių jėgų nėra, vietoj (1.1a)
turime lygtį
3
3
d ( ), ( , ) ( ) ( , )
f f p f pv p p f p q r p
t r h
, (1.82)
nusakančią neutronų pasiskirstymo funkciją.
Toliau išnagrinėsime praktiškai svarbų atvejį – rasime visų medžiagoje nuostoviomis sąlygomis esančių neutronų skaičiaus pasiskirstymą energijo-mis. Pažymėję
3( ) ( , )dN p f r p r
, (1.83)
33
suintegravę (1.82) lygties abi puses koordinate r
visame sistemos tūryje ir
tarę, kad per sistemą (medžiagą) ribojantį paviršių S neutronų srauto nėra, randame
3 3, d div d ,d 0s
fv r vf r vf s
r
.
Tuomet vietoj (1.82) turime šiyokią lygtį:
3
3
d ( )( , ) ( ) ( ) 0
p N pp p N p Q p
h
, (1.84)
čia
3( ) ( , )dQ p q r p r
. (1.85)
Kadangi mums svarbu neutronų pasiskirstymas energijomis, tai apibrė-
žiame funkciją
( ) ( )dN N p
, (1.86)
čia – vektoriaus p
krypčių erdvinis kampas, d sin d d . Pasinau-
doję (1.22) pavidalo skleidiniu, turime
*
0 0 0
,
4π( , )d ( , ) 4π 4π ( , )
2 1l lm l m
l m
p p Yl
. (1.87)
Įrašę šį skleidinį į (1.84) lygtį ir suintegravę kampais ir , randame ( )N
lygtį:
2
0 0 03
d ( )4π ( , ) ( ) ( ) 0
p p NN Q
h
, (1.88)
čia
0 0( ) ( )dQ Q p
.
Pagal anksčiau suformuluotą prielaidą dydis 0
Q yra pastovus. (1.88) lygtyje
kintamuoju p (t.y. neutrono judesio kiekio absoliutine verte iki susidū-
34
rimo) integruojama tarp min
p ir max
p . Dydį p nusako tampriojo susidūrimo
sąlyga, išreiškianti energijos tvermę:
2 22 2
122 cos
02 2 2
p p ppp p
m m M. (1.89)
Iš (1.89) plaukia, kad p monotoniškai mažėja didėjant 12
cos . Mažiausia p
reikšmė
min
p p . (1.90)
Didžiausia vertė yra, kai 12
cos 1 ,
max
M mp p
M m. (1.91)
Kai p yra iš (1.90), (1.91) intervalo, tai, panaudoję (1.20) ir (1.81) išraiškas,
randame
0
( )( , )
2
M p
pp
,
o vietoj (1.88) lygties – šitokią:
max
0 03
2 ( ) ( )( ) d ( ) 0
p
p
M p NN p p Q
h p
. (1.92)
Pritaikysime (1.92) lygtį atvejui, kai neutronus lėtinančioji terpė –
vandenilis. Tuomet M m , max
p . Čia tariama, kad vandenilio atomų
yra žymiai daugiau negu neutronų. Mat, priešingu atveju, dėl to, kad susidurdami su neutronais vandenilio atomai gali įgyti greitį, didesnį už šiluminį, atomų nebegalėtume laikyti nejudančiais. Dabar (1.92) lygtyje
integravimo kintamąjį p pakeičiame energija 2/ 2p m ir gauname
lygtį:
35
0
0( )d ( ) ( ) ( ) ( ) 0N A N B
, (1.93)
čia
3
2( )
( )2π
h pA
pm
,
3
0
2( )
( )2π
h Q pB
pm
. (1.94)
Apskaičiuojant A ir B dimensijas, būtina atsižvelgti į tai, kad (1.88) lygtyje po integralu įrašytas vienetinis tūris (žiūr. (1.1a)), iš kurio (1.93) išraiškoje
visi dėmenys padalinti. Todėl A J , 2B J .
Išdiferencijavę (1.93) lygybę neutrono energija , turime
0
d ( )
d ( ) 1 dln ( ) d( ) ( )d ( ) d ( )
B
N AN
A A
0
( ) d( )
( ) d
B
A. (1.95)
Šios lygties sprendinio ieškome, kai 0 ≤ ≤ 0, nes neutronai, susidurdami su nejudančiais branduoliais, energiją tik praranda. Randame:
0 0
0( ) ( )d
0( ) e e ( , )d
p d p
N C R
, (1.96)
čia
1 dln
d
Ap
A ,
o R žymi (1.95) lygybės dešiniąją pusę. Dėl R išraiškoje esančių Dirako delta funkcijos savybių (1.96) integralas nepriklauso nuo , todėl galime rašyti:
0 0d
( )d( )
0 0
0
( )( ) ( )e ( ) e
( )
pAA
N N NA
. (1.97)
36
Funkcijos ( )A (1.94) išraiškoje esantys ir ( )p bendruoju atveju
yra sudėtingos funkcijos. Tačiau tampriam rutulių susidūrimui galime išreikšti lygybe
v
,
čia – vidutinis laisvasis kelias, kurį tariame esant pastoviu. Šiuo artiniu laikytina, kad taip pat ir
0const .
Tuomet 0
( )A A , 3 2
0 0/ πA h m ,
0
0
1
0
0
( ) ( )
A
A
N N
. (1.98)
Matome, kad didžiausias neutronų skaičius yra energijos 0
, kaip ir
turėtų būti. Įrašę (1.98) išraišką į (1.93) ir gautąją lygybę suintegravę kintamuoju , rastume
0 0
0 2
0 0 0
(3 1) ( )( )
2 ( 1)
A BN
A A
. (1.99)
Matome, kad (1.98) išraiška turi prasmę, kai 0
1A . Tarus, kad 0
1A ,
vietoj (1.99) turėtume šitokią:
1 3
2 20 0 0
3 2( )
4N m Q
. (1.100)
Gautasis rezultatas visiškai suprantamas: kuo ilgesnis laisvasis kelias , tuo daugiau didžiausios energijos neutronų.
1.10. Ermito polinomų metodas Bolcmano kinetinei lygčiai
Bolcmano (1.1b) lygties susidūrimų integralas išreiškiamas lygybe
37
3 3 3
1 1
1 1 1 6
d d d, ; ,
p p pS p p p p f p f p f p f p
h. (1.101)
Čia, kaip ir anksčiau, , ,f p f p r t . Toliau aptarsime kai kuriuos
Bolcmano kinetinės lygties apytikslio sprendinio suradimo būdus. Tarsime, kaip ir (1.1a) atveju, kad susidūrimo tikimybė žinoma ir fizikinių tikimybės apskaičiavimo problemų nenagrinėsime.
Susiduriant dviems vienodoms dalelėms, abiejų jų energija pakinta, o tas pokytis bendruoju atveju nėra mažas, lyginant jį su vidutine energija. Todėl anksčiau naudoti visiškai tampraus arba silpnai netampraus susidū-rimo metodai čia neefektyvūs. Vienas iš gana efektyvių Bolcmano kinetinės
lygties sprendinio suradimo metodų yra pasiskirstymo funkcijos , ,f r p t
skleidimas apibendrintaisiais Ermito polinomais
m
m
iii
mmmiii xxx
f
fH
...
1
21
21
0
0... . (1.102)
Čia 0
f – pusiausvirojo pasiskirstymo funkcija, o , 1,2,32
i
i
px i
mkT.
Kintamaisiais xi
2 2 21 2 3
3
0
0 3/2e
π
x x xn hf
, (1.103)
0n – pusiausvirasis dalelių tankis. Pagal (1.102) išraišką
0 1 2
1, 2 , 4 2i i ij i j ij
H H x H x x ,
38 4
ijk i j k i jk j ik k ijH x x x x x x , ... . (1.104)
Ermito polinomai ortogonalūs su svoriniu daugikliu 0f :
1 2
1 11 20 ... ... 1 2 3 1 2
d d d 0,m m
m m
i i i if H H x x x m m . (1.105)
Išskleisime , ,f r p t šitokia eilute:
38
1 2
0 01 ...
i i ij ij
i ij
f f C C H C H . (1.106)
Skleidinio koeficientai 0, , ...
i ijC C C bendruoju atveju yra laiko ir koordinačių
funkcijos. Remdamiesi (1.106) skleidiniu ir Ermito polinomų ortogona-lumu, randame
1 1 1
23 3
... 0 ... 0 ...d d
m m m
m m
i i i i i ifH p C C f H x . (1.107)
Kadangi (1.107) dešiniosios pusės integralai apskaičiuojami išreikštai, tai
matome, jog skleidinio koeficientai 1...i
C nusakomi (1.107) kairiosios pusės
integralu. Antra vertus, integralai
1 1
3
... ..... d
m mi i i iM p p f p (1.108)
yra pasiskirstymo funkcijos momentai. Palyginę (1.107) ir (1.108), matome,
kad 1... mi i
C gali būti susieti su pasiskirstymo funkcijos momentais. Todėl
(1.106) skleidinio panaudojimas ieškant f dar vadinamas momentų metodu. Rasime (1.106) skleidinio koeficientų ir pagrindinių pernašos
charakteristikų sąryšius. Dalelių tankis
3 3
1
0 0 0 03 3
d d, , , 1 ...
i i
p xn r t f r p t f C C H n C
h h
. (1.109)
Taigi 0
C apibūdina nepusiausvirojo tankio nuokrypą nuo pusiausvirojo.
Vietinio greičio komponentė i
U
3 3
1
3 3
1 d 1 d 2, , , ,
2,i i i i
p kT p kTU r t v f r p t H f C r t
n m mn r t h h
.(1.110)
Čia pasinaudota (1.109) rezultatu. Vienam laisvės laipsniui tenkanti reliaty-vaus judėjimo kinetinė energija, panaudojant (1.104), išreiškiama taip:
2 2
2 1
2 2 4 2 2
i i
ii i i
mc mUkT kT mkTH U H ,
i i ic v U . (1.111)
39
Statistinis šios energijos vidurkis
2 2 23
3
1 d2 2
2 2 2 2
i i i
i ii
mc mc mUp kTf mkTU kTC
n h . (1.112)
Pasinaudoję (1.110) išraiška, vietoj (1.112) išraiškos turime šitokią:
2
21 2 4 42 2
ii i ii
mc kTC C C . (1.113)
Vietinė termodinaminė temperatūra ,T r t
nusakoma lygybe
23
1
3,
2 2
i
i
mckT r t
. (1.114)
Tuomet
3
2
1
1, 1 2 4 4
3i i ii
i
T r t T C C C
, (1.115)
čia (1.115) lygybės dešiniojoje pusėje T – termostato termodinaminė tem-peratūra.
Matome, kad nepusiausviros sistemos eksperimentu kontroliuojamos
charakteristikos išreiškiamos (1.106) skleidinio koeficientais C. Rasime lygtis šiems koeficientams. Toliau nagrinėsime atvejį, kai nėra išorinio
lauko. Tuomet 0
n const ir, pasinaudoję iš Bolcmano kinetinės lygties
plaukiančiomis lygybėmis
div 0,n
j j nUt
bei (1.109) ir (1.110) išraiškomis, randame lygtį
300
1
20
j
j j
C CC kT
t m r
, (1.116)
40
nusakančią 0 0,C C r t
. Ši lygtis neuždara, nes joje yra koeficientas j
C ,
kurio lygtį randame pasinaudodami Bolcmano kinetine lygtimi ir (1.106) skleidiniu. Turime
0 01 20
0...
j ij
j ij
j ij
C C C CCff H H
t t t t, (1.117)
3 3
1 10
0
1 1
1, div
2 2i i
i ii i
Cf kT f kTv f p H f H
r m m r m r
30 1 1 10
0
1
...2
j
i j i
j ii i
C C CkTH H f H
r m r
0 22 ...
j
ij ijj i
C CH
r, (1.118)
3 3 3
1 1
1 1 1 1 6
d d d, ; ,
p p pS p p p p f p f p f p f p
h
12
0 1 1 0 0 1, ; , 2
i i
i
C x p x x f x f x C H x
3 3 3
1 1 1 1
1 9,
d d d...
i j i ji j
p x xC C H x H x
h
2
0 1 1 0 0 1 1, , ,
i i i
i
C x x x p f x f x C H x H x
3 3 3
1 1
1 6,
d d d...
i j i j
i j
x x pC C H x H x
h
. (1.119)
Dabar kinetinės lygties (1.117) – (1.119) dėmenis dauginsime iš Ermito
polinomų ir integruosime kintamuoju x. Padauginę iš 0
1H ir suin-
tegravę rastume (1.116) lygtį. padauginę iš 1
lH ir suintegravę bei apsiriboję
(1.106) skleidinyje tik pirmaisiais dviem dėmenimis 0C ir i
C , gauname
41
3 3
1 1 1 10
0 0 03 3
d d
2j j l i l
j i i
Cx kT xC C f H H f H H
t m rh h
2
0 0
,
li i lij i j
i i j
A C B C C n C . (1.120)
Čia pažymėta
3/2 1 1 1
0 1 1 0 0 1 12 , ; ,
li l i imkT n A x x x x f x f x H x H x H x
3 3 3 31 1 1 1
1 6
d d d di i
x x x xH x H x
h,
3/2 1 1 1
0 1 1 0 0 1 12 , ; ,
lij i j lmkT n B x x x x f x f x H x H x H x
3 3 3 31 1 1 1 1
1 6
d d d di j l
x x x xH x H x H x
h. (1.121)
Koeficientai A ir B nepriklauso nuo koordinačių ir laiko. Apskaičiavę
(1.120) lygtyje esančius integralus, randame l
C lygtį:
0
0
0 0
2 1
2
l l
j
j j l
C C CkT kTC C
t m C r m C r
0 0
,
, 1,2,32 2
li i lij i j
i i j
C CA C B C C l . (1.122)
Pasirinktu artiniu keturios (1.116), (1.122) lygtys sudaro uždarą
sistemą ir jų sprendiniai nusakytų dalelių tankį ir vietinį greitį. Šilumos
srauto tankiui bei vietinei temperatūrai apskaičiuoti dar reiktų žinoti ij
C .
Matome, jog pagrindinėms nepusiausviros sistemos charakteristikoms
apskaičiuoti pakanka žinoti 0, ,
i ijC C C , todėl nepusiausvirojo pasiskirstymo
funkcijos artinys, kuomet (1.106) dešiniojoje pusėje paliekami tik pirmieji
trys dėmenys, gana dažnai taikomas. Čia neieškosime ij
C lygties tik
pastebėsime, kad C lygtys netiesinės dalinėmis išvestinėmis (nesant išorinio lauko pastoviais koeficientais). Todėl jų sprendinius bendruoju atveju galima surasti tik skaitmeniškai. Nors šios lygtys gana sudėtingos, vistik jų sprendimas matematiškai paprastesnis (lygtys neintegralinės, ieškomosios
42
funkcijos priklauso nuo mažesnio skaičiaus kintamųjų), negu Bolcmano kinetinės lygties.
Svarbu ir tai, ką jau matėme, jog koeficientų C lygčių sprendiniai betarpiškai susieti su eksperimentu kontroliuojamais dydžiais.
1.11. Ermito polinomų metodas lengvojo sando kinetinei lygčiai Pasinaudosime (1.106) skleidiniu, jame palikdami tris pirmuosius
dėmenis. Tokiu artiniu iš (1.117) plaukia šitokia lygtis:
1 1 1 1 1 1
1 1 1
1 20
0 0 0 , ,
,
j j i j i j
j i j
Cff C C H C C H
t t t t. (1.123)
(1.118) išraišką turime papildyti dėmenimis, priklausančiais nuo ij
C .
Randame
1
1 1
1 11 1 1
01 1 200
0 ,,
,2
lll
i l l li l l li i i
C CC CCf kTv H f H H
r m r r r
1 1 1
1 1 1
1 200
02
2
l
i i l i l
i li i
C CCkTf H H
m r r
1
1 1 1 1 1 1
1 1
0 3 1 1
,
2 2ll
i ll i l l i l l
l l i
C CH H H
r. (1.124)(1.124a)
Tarę, kad pernašą sukelianti išorinė jėga yra pastovios krypties ir šia
linkme nukreipę z ašį, turime
1 20
0 0 0 11 22 33 3 3, 1 2 2 2
2i i
i
FfF f C C C C H C H
p mkT
3
3
,
ij ij
i j
C H , (1.124b)
čia 1, 2, 3 žymi atitinkamai ašis x, y, z. Susidūrimų integralą užrašome šitaip:
43
3
3
d, ,
pS p p f p p p f p
h
1 1 1
1
31 1
0 0 0 3
d, ,
j j j
j
xC C x x f x H x x x f x H x
h
1 1 1 1 1 1
1 1
3 12 2
0 0 0 3
d, ,
i j i j i j
i j
xC C x x f x H x x x f x H x
h. (1.125)
Padauginę kinetinės lygties dėmenis iš 1
iH x , suintegravę kintamuoju x
bei padalinę iš 0n , randame
0 0
0 0 0 11
22 2 4 1 2
2 2 2i li il
li l
C FkT kTC C C C C C C
t m r m r mkT
22 33 3 0 0, 1,2,3
i l li lj lji
l lj
C C C C A C C B i . (1.126)
Čia
1 1
0
0
1,
li l iA x x f x H x H x
n
3 3
1 1
0 3
d d,
l i
x xx x f x H x H x
h,
2 1
0
0
1,
lji lj iB x x f x H x H x
n
3 3
2 1
0 3
d d,
lj i
x xx x f x H x H x
h. (1.127)
Pagaliau, padauginę iš 2
ijH ir atlikę tuos pačius veiksmus kaip ir anksčiau,
randame ij
C lygtį:
0 0
0 0 3 3
44 1 4 1
2 2
j
ij ij ij i j j i
i
C C FkTC C C C C
t m r mkT
1 1
1
3 3 3 0 02 , , 1,2,3
i j l lij ll ll ij
l ll
C C C A C C B i j . (1.128)
44
Pastarojoje lygtyje lij
A gaunamas iš li
A integralo, kuriame vietoj 1
iH x
įrašytas 2
ijH x , o
1ll ijB atitinkamai iš
1ll iB išraiškos. Gautosios lygtys forma-
liai yra netiesinės. Tačiau vietoj 0, ,
i ijC C C apibrėžus funkcijas
0 0 0, ,
i i ij ijC K C C K C C , šių funkcijų lygtys būtų tiesinės dalinėmis išvesti-
nėmis ir pastoviais koeficientais. Taigi 0, ,
i ijC K K lygtys matematiškai
nesudėtingos. Pastebėsime, kad vienasandės sistemos atveju, dėl susidūrimų
integralo netiesiškumo, koeficientų C lygčių paversti tiesinėmis neįmanoma.
Žinodami praeitame ir šiame skirsnyje aptartų koeficientų C lygčių sprendinius galime apskaičiuoti bet kurią nepusiausviros sistemos charakte-ristiką (dalelių tankius, pernašos srautų tankius ir kt.), todėl minėtas lygtis galime vadinti pernašos lygtimis. Pagrindinis šių lygčių trūkumas yra tas, jog jos sudaro begalinę diferencialinių lygčių sistemą. Ieškant sprendinių bega-linė sistema nutraukiama, apsiribojant tam tikru baigtiniu lygčių skaičiumi. Tačiau įvertinti taip pasirinkto artinio tinkamumą dažnai būna gana sudėtin-gas uždavinys. Antrame skyriuje aptarsime kito pavidalo pernašos lygtis, su-darančias uždarą baigtinio skaičiaus lygčių sistemą.
1.12. Ermito polinomų taikymo pavyzdžiai
A. Silpnai nepusiausvira sistema
Jeigu poveikiai, išvedantys sistemą, pvz., dujas, iš pusiausvirosios bū-
senos yra silpni, pvz., silpnas išorinis laukas, trikdantis sistemą, maži dydžių, pvz., temperatūros, gradientai, sukeliantys pernašą, tai nepusiausvirojo pa-siskirstymo funkcija mažai skiriasi nuo pusiausvirojo pasiskirstymo funkcijos
0 0
,f f r p (0
f - Maksvelio ir Bolcmano funkcija). Pritaikysime šiai siste-
mai praeitame skirsnyje surastas lygtis.
Pagal (1.109) išraišką pusiausvirosios sistemos C0 = 1, todėl silpnai nepusiausvirai sistemai galime rašyti
0
1 ( , )C h r t , 1h . (1.129)
Pusiausvirosios sistemos koeficientas Ci = 0. (1.110) išraiškoje matome, kad šis koeficientas yra bedimensinis dydis, todėl silpnai nepusiausvirajai siste-mai
45
1i
C . (1.130)
Apsiribosime šių dviejų koeficientų artiniu ir rasime tų koeficientų lygtis. Pirmosios eilės mažų dydžių tikslumu vietoj (1.116) dabar turime lygtį
3
1
20
j
j j
Ch kT
t m r, (1.131)
o lengvajam sandui vietoj (1.126) – šitokią lygtį:
22 i
l li
li
C kT hC A
t m r. (1.132)
Vienasandei sistemai iš (1.122) taip pat plaukia (1.132) lygtis.
Toliau nagrinėsime vienmatę sistemą – sluoksnį. Koordinačių sistemos
z ašį nukreipsime statmenai sluoksnio paviršiui ir tarsime, kad į sluoksnio
paviršių z ašies kryptimi krinta plokščia garso banga, trikdanti sistemos
pusiausvyrą. Šiomis sąlygomis trikdoma tik judėjimo z ašies kryptimi
pusiausvyra, todėl koeficientai C1 ir C2 lygūs nuliui, o 3 3
( , ) 0C C z t .
Pagal 1 Priedo rezultatus
3 321 1
33 0 3 3 3
0
1 d d, 0
2
x xA x x f x H x H x
n h. (1.133)
Analogiškai vienasandės sistemos visiškai tampriems susidūrimams
3/2
1 1
33 1 1 0 0 1 3 3 1
0
2, ; ,
mkTA x x x x f x f x H x H x
n
3 3 3 321 1 1 1
3 3 1 6
d d d d0
x x x xH x H x
h. (1.134)
Pusiausvirajai sistemai susidūrimų integralas lygus nuliui, todėl silpnai
nepusiausvirai sistemai tas integralas yra mažas dydis. Pasirinktu artiniu susidūrimų integralą išreiškia (1.133) ir (1.134) dydžiai. Taigi (1.132) dešinioji pusė yra aukštesnės eilės mažas dydis, negu kairiosios pusės dėmenys. Vadinasi, nagrinėjamajai sistemai, vietoj (1.131), (1.132), turime rašyti šias lygtis:
46
320
Ch kT
t m z
,
3 2
2 0C kT h
t m z. (1.135)
Esant minėtam sistemos trikdžiui (1.135) lygčių sprendinių pavidalas
šitoks:
i i
0( , ) e zt k z
h z t h ,
i i
3 30( , ) e zt k z
C z t C , (1.136)
čia – garso bangos dažnis, kz – bangos vektorius. Įrašę (1.136) išraišką į (1.135) įprastu būdu randame dispersijos dėsnį
z
kTk
m . (1.137)
Tai vadinamasis hidrodinaminis artinys. Jis nenumato garso slopimo, kaip ir turėtų būti, kai nepaisoma dalelių susidūrimų.
Atsižvelgus į dalelių susidūrimus, (1.135) antrosios lygties dešiniojoje
pusėje būtų – AC3 (čia 33
A A ) ir vietoj (1.137) plauktų šitoks dispersijos
dėsnis:
2
2i4 4
z
A kT Ak
m
. (1.138)
(1.138) išraiškoje matome, kad Im > 0 nepriklausomai nuo kz didumo, t.y. virpesių bangos ilgio. Taigi virpesiai slopsta dėl dalelių susidūrimų. Jei
bangos ilgis toks didelis, jog 2
z
kTk
m≤
2
4
A
, tai egzistuoja tik slopimas, o
priešingu atveju – slopstantys harmoniniai virpesiai.
B. Medžiagos pernaša neizoterminiame sluoksnyje
Tarsime, kad sluoksnyje juda lengvasis sandas, patirdamas tamprius
simetriškuosius susidūrimus. Sluoksnio vieno paviršiaus temperatūra T1,
47
galinti gerokai skirtis nuo pusiausviros sistemos temperatūros, palaikoma pastovi. Rasime nuostovųjį temperatūros bei dalelių srauto pasiskirstymą sluoksnyje.
Nagrinėjamoji sistema nėra silpnai nepusiausvira, todėl remiamės (1.116), (1.126) ir (1.128) lygtimis. Analogiškai, kaip ir išvedant (1.133), (1.134) nelygybes, įsitikiname, kad (1.128) lygtyje esantis integralas
1 3333
0ll ij
B B , o dėl susidūrimų simetriškumo integralai 333
0lij
A A ,
333
0lij
B B , nes jų pointegralinės funkcijos nelyginės. Tuomet nuosto-
viuoju atveju vietoj (1.116), (1.126), (1.128) turime lygtis:
0
K
z,
0 2
4C M kT
AKz z m
,
24
kT KBM
m z. (1.139)
Čia 33
A A , 3333
B B , 0 3
K C C , 0 33
M C C . Ašis z nukreipta statme-
nai sluoksnio paviršiams tarus, kad z = 0 paviršiuje, kurio temperatūra lygi
T1.
Iš (1.139) plaukia, kad 0
constK K , M = 0, o
0 0( )
2
mC z C AK z
kT, (1.140)
čia C – koeficiento C0 reikšmė sluoksnio paviršiuje, kurio temperatūra lygi
T1. Taigi
0
3
0
( )
2
KC z
mC AK z
kT
, 33
0C . (1.141)
Pagal (1.113) lygybę vienmatės sistemos vietinė temperatūra
2
3 3( ) 1 2 ( ) 4 ( )T z T C z C z . (1.142)
Pažymėję 1T
aT
, 0K
xC
, iš (1.142) išraiškos, joje įrašę z = 0, randame
11
2
ax . (1.143)
48
Tarsime, kad, kai T1 = T, per paviršių z = 0 dalelių srauto nėra (K0 = 0).
Tuomet turi galioti lygybė:
1
12
ax . Vadinasi,
2
2
2 4( ) 1
11 22
x xT z T
mm xA zxA z kTkT
,
0( ) 1
2
mC z C xA z
kT. (1.144)
Jei a > 1, tai x < 0 ir didėjant z, žemėja T(z). Tuo tarpu C0(z) didėja, didė-
jant z (C > 0 visada). x < 0 reiškia, kad dalelių srautas, kuris proporcingas
dydžiui K0 ir kurį čia sukelia temperatūros gradientas, nukreiptas z mažė-jimo kryptimi, t.y. iš didesnio dalelių tankio srities į sritį, kurioje dalelių tankis mažesnis, kaip ir turi būti. Pastebėkime, kad čia kalbama apie dalelių srauto kryptį. Šilumos srauto kryptis kita. Ir dar: temperatūros ir dalelių tan-kio nevienalytiškumą lemia susidūrimai ( 0A ).
C. Elektringų dalelių srautas išoriniame elektriniame lauke
Išnagrinėsime elektringų dalelių, išėjusių pro siaurą plyšį, srautą išori-
niame elektriniame lauke ir nustatysime dalelių ir aplinkos susidūrimų vaid-menį pro plyšį išėjusio pluoštelio pasiskirstymui erdvėje tarp elektrodų.
1.1 pav. Plyšiui statmenas sistemos piūvis
Tarsime, kad plyšys, pro kurį elektriniu lauku ištrau-kiamos dujos, yra daug ilgesnis
už jo pusplotį d ir kad kiekvie-name plyšio ilgio taške dujų išlėkimo sąlygos yra vienodos. Tuomet galime apsiriboti dvi-mate koordinačių sistema (1.1 pav.). Taip pat tarsime, kad dujų ir aplinkos dalelių susidūrimai yra tamprūs.
Dujų judėjimą aprašysime 1.10, 1.11 skirsniuose rastomis
49
lygtimis, apsiribodami tik koeficientų C0 ir Ci artiniu. Suformuluotomis
sąlygomis C0 ir Ci priklauso tik nuo koordinačių z, y bei laiko t ir neprik-
lauso nuo išilgai plyšio skaičiuojamos koordinatės x. Susitarus koordinačių
ašis x, y, z atitinkamai žymėti indeksu i = 1, 2, 3, plaukia, kad C1 = 0. Tuomet vietoj (1.116) lygties turime šitokią:
0 32 0C KK
at y z
, (1.145)
čia a = (2kT/m)1/2, K2 = C0C2, K3 = C0C3. Iš (1.126) lygties randame šito-kias lygtis:
02
2 32 32
CKa AK A K
t y
, (1.146)
3 0
0 1 3 23 22
K Ca bC A K A K
t z
, (1.147)
čia b = 2F0/(2mkT)1/2, o pagal 1 Priedą A23= A32= 0, A= –A23 > 0, A1= -
A33 > 0, A1= A. (1.145) – (1.147) lygtims taikome Laplaso transformaciją kintamajam
t. Tarę, kad pradiniu laiko momentu t = 0 funkcijos C0, K2 ir K3 lygios nuliui, randame šitokias Laplaso vaizdų lygtis:
32
00
KKsC a
y z
,
0
2 22 0
CsK AK a
y
,
0
3 3 02 0
CsK AK a bC
z
. (1.148)
Šiose lygtyse C0 yra funkcijos C0(t, y, z) Laplaso vaizdas ir t.t., o s – Laplaso
kintamasis. Iš (1.148) antrosios ir trečiosios lygčių išreiškę K2 ir K3 bei tas
išraiškas įrašę į (1.148) pirmąją lygtį, randame Laplaso vaizdo C0(s, y, z) lygtį
2 2
0 0 0
02 2 2
(2 )0
C C Cb s s AC
a zy z a. (1.149)
50
Ieškome lyginio y atžvilgiu (1.149) lygties sprendinio, todėl C0(s, y, z) skleidžiame kosinusų integralu:
0
0
( , , ) ( , , )cos dC s y z H s k z ky k
. (1.150)
Įrašę šią išraišką į (1.149), randame funkcijos H(s, k, z) lygtį:
22
2 2
d d (2 )0
dd
H b H s s Ak H
a zz a
. (1.151)
Pastarosios lygties sprendinio ieškome išreikšto lygybe ( )e zH h k , o gau-
tos charakteringosios lygties sprendinį tariame esant tinkamu tą, kuris įgyja
tik neigiamas vertas, t.y. tarsi sistema būtų pusiaubegalinė z ašies kryptimi. Taigi
0
0
( , , ) ( )e cos dz
C s y z h k ky k
,
1/22
2
2
(2 )
2 2
b b s s Ak
a a a. (1.152)
Čia esančią funkciją h(k) nustatome iš kraštinės sąlygos plyšyje:
0 0
0, ,( , ,0) ( , ,0)
1, .
y dC s y C t y
y d
(1.153)
Tuomet
0
0
2 2 sin( ) ( , ,0)cos d
π π
kdh k C s y ky y
k
. (1.154)
Koordinačių z ir y reikšmes išreiškę dydžiu l bei apibrėžę naują integravimo
kintamąjį u = kl, randame šitokią Laplaso vaizdo C0(s, y, z) išraišką:
2
2 2 2
22
0
0
sin2
( , , ) e cos dπ
lBz z B u s As
a
du
lC s y z uy u
u
, (1.155)
51
čia B = bl/2a. Dar laiką išreiškę dydžiu 0
2 /t l a , pažymėję
2 / 4D lA a , randame (1.155) vaizdo originalą:
0
0, jei ,( , , )
( , , ), jei ,
t zC t y z
M t y z t z
(1.156)
čia
2 2 1/22 2 2
0
sin2
( , , ) e eπ
Bz B u z
du
lM t y z B u D
u
2 2 2 2 2
1
2 2
e d cos dD
t
J B u D z
z uy uz
. (1.157)
Šioje išraiškoje 0 ≤ z ≤ 1, 0 ≤ y ≤ , B ≥ D, J1 - sferinė Beselio funkcija.
(1.157) formulėje matome, kad nuostovus judėjimas susidaro, kai t . Nuostovioji reikšmė
2 2
0 nuost.
0
sin2
( , ) e cos dπ
B u B z
du
lC y z uy u
u
. (1.158)
1.2 pav. parodytas (1.158) funkcijos grafinis vaizdas. (1.158) išraiškoje nėra
susidūrimus apibūdinančio parametro A. Tai nuostovaus judėjimo savybė tamprių izotropinių susidūrimų atveju. Mat, nuostovusis (1.145) – (1.147)
lygčių sprendinys priklauso tik nuo santykio A22/A33, kuris lygus 1. Jeigu
būtų A22 A33, tai po (1.158) integralu esančios eksponentės rodiklyje vietoj
u2 turėtume A32u2/A22. Taigi galime tarti, kad minėto u2 egzistavimą lemia
susidūrimai. Judančios dujos neturi apibrėžto jas ribojančio paviršiaus, kokį,
pavyzdžiui, turėtų elektringas skystis. Kad vaizdžiau matytume išorinio elektrinio lauko ir aplinkos poveikį, apibrėšime tam tikrą efektinį paviršių,
kurio atstumas R nuo z ašies būtų nusakomas lygybe
0( ,0, ) 1R C t z d . (1.159)
1.3 pav. parodytas šio efektinio paviršiaus plyšiui statmenas piūvis.
52
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
6
4
23
5
1
C0
nuo
st.(y
, z)
y/d
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
6
423
5
1
C0
nuos
t.(y,
z)
y/d a) b)
1.2 pav. Nuostovioji funkcija C0nuost. įvairiems lauko stipriams: a) B = eU/2kT=
5,8·104; b) B = 8,7·105 ir koordinatės z/l reikšmėms: 1- 0; 2- 0,0005;
3- 0,005; 4- 0,05; 5- 0,2; 6- 0,6. Visur d/l = 10-3.
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,03
2
-d
1
d
2
3
1
z/l
R/d
1.3 pav. Efektinio paviršiaus vaizdas: 1) B = eU/2kT = 3,9·105;
2) B = 9,6·105; 3) B = 2,9·106.
1.2, 1.3 pav. matome, kad, stiprėjant elektriniam laukui, susidūrimų
įtaka pluošto formai silpnėja ir praktiškai išnyksta, kai lauko stipris pasiekia tam tikrą vertę (1.3 pav. 3 kreivė).
53
II skyrius
KRŪVININKŲ PERNAŠOS LYGTYS
Krūvininkų pernašos lygtimis vadiname pernašos charakteristikų, išreikštų erdvės ir laiko kintamaisiais, lygtis, kuriose dalelių susidūrimai apibūdinami tam tikrais efektiniais parametrais. Šiame skyriuje, remdamiesi I skyriaus lygtimis, aptariame pernašos lygčių pagrindimą ir iš šių lygčių išplaukiančios informacijos radimo metodus.
2.1. Vieno ženklo krūvininkų pernašos lygtys
Nagrinėsime sistemą, pvz., neorganinį arba organinį puslaidininkį, dielektriką, kuri, būdama pusiausvirosios būsenos, elektriškai yra neutrali, tačiau kurią įnešus į išorinį elektrinį ar magnetinį lauką, dėl esančių išorinių arba vidinių elektringų dalelių šaltinių, joje atsiranda krūvio pernaša. Šiame skirsnyje tarsime, kad pernešamas tik vieno ženklo krūvis, pvz., juda tik elektronai. Visi kiti sistemos sandai yra pusiausviri. Tokiomis sąlygomis, tai-kydami pernašos nuodugnųjį aprašymą, turėtume remtis (1.1a) lygtimi, pa-pildyta elektronų šaltinių dėmeniu (jei tie šaltiniai vidiniai) ir vienasandės sistemos Bolcmano kinetinės lygties susidūrimų integralu, jeigu pernašoje svarbūs elektronų tarpusavio susidūrimai. Dažnai būna taip, kad elektronų susidūrimai su kitais sandais yra arba labai sudėtingi, arba apie juos turima
tiek mažai informacijos, jog susidūrimų tikimybė ,p p negali būti su-
rasta kaip elektrono judesio kiekių funkcija. Tokiomis sąlygomis remtis pa-siskirstymo funkcija nėra prasmės ir susidūrimus tenka apibūdinti tam tikrais efektiniais dydžiais, kurių reikšmes ir jų prieklausą nuo išorinių sąlygų tenka nustatyti gretinant teorinius ir eksperimento rezultatus. Eksperimentu kontroliuojamos makroskopinės pernašos charakteristikos betarpiškai nesu-sietos su elektrono judesio kiekiu, kuris yra atsitiktinis, todėl ir minėti efek-tiniai dydžiai sietini ne su elektrono fazinės erdvės kintamaisiais, o su konfi-gūracijų erdve ir laiku. Vadinasi, reikia sudaryti pernašą apibūdinančias lyg-tis, kuriose elektrono judesio kiekio išreikštu pavidalu nebūtų.
Dabar tarkime, kad sistemoje esančių vidinių šaltinių (pvz., vidinio
fotoefekto) funkcija, nusakanti per vienetinę trukmę atsirandančių ,r p
būsenos elektronų skaičių, yra , ,r p t ir kad elektronai, susidurdami
tarpusavyje ir su kitais sandais, yra ne tik sklaidomi, bet gali būti ir
54
lokalizuojami vietinėmis būsenomis. Lokalizuojančių i būsenų erdvinį tankį
pažymėsime iM r
, o tos būsenos lokalizuotų elektronų tankį ,
im r t
.
Lokalizuotas elektronas, įgijęs iš sistemos sandų energijos, gali vėl tapti laisvu. Elektrono delokalizavimo į apibrėžto judesio kiekio būseną tikimybę
pažymėsime ip
3
čiai
m
s. Tuomet iš visų lokalizuotųjų būsenų į
apibrėžtų r
ir p
būseną per vienetinę trukmę patenkančių elektronų skai-
čius
1,
i ii
S m r t p . (2.1)
Iš ,r p
būsenos per vienetinę trukmę visomis būsenomis lokalizuojamų
elektronų skaičius
2 0, , ,
i ii
S f r p t p i M m , (2.2)
čia 0,p i
– lokalizavimo per vienetinę trukmę neužimta i būsena tikimy-
bė 3
0.
m
s
Tuomet elektronų nepusiausvirojo pasiskirstymo funkcijos , ,f r p t
lygtis šitokia:
0 1 2, , , ,
f f fv F r p t S S S
t r p
. (2.3)
Čia S – visų susidūrimų, dėl kurių elektronai tik sklaidomi, bet nelokali-zuojami, integralų suma.
Suintegruosime (2.3) abi puses judesio kiekiu p
. Kadangi
3 3
0 3 3
d d, 0, 0
f p pF S
p h h
,
o
3 3
3 3
d d, div div ,
r
f p pv vf j r t
r h h
,
55
tai randame
,
div , , ,i i
i
n r tj r t r t m r t
t
3
0 3
d,
i i
i
pM m f p p i
h. (2.4)
Čia pažymėta:
3 3
3 3
d d, , , ,
i
p pr t r p t p
h h
, (2.5)
n – laisvų elektronų tankis, j
– laisvų elektronų srauto tankis. (2.5) funkcija
,r t išreiškia per vienetinę trukmę vienetiniame tūryje atsirandančių
elektronų skaičių, o 1
i is
pilnutinė išsilaisvinimo iš i būsenos per
vienetinę trukmę tikimybė. (2.4) dešiniojoje lygybės pusėje esantis integra-
las bendruoju atveju neišreiškiamas eksperimentu kontroliuojama r
ir t funkcija. Tačiau, jeigu sistema vietinės pusiausvyros, tai
, , , , ,f r p t n r t r p t ,
čia – vietinio Maksvelio pasiskirstymo tikimybės tankis. Tuomet
3
0 3
d, , ,
i
pf p p i n r t r t
h
. (2.6)
Čia
3
0 3
d, , ,
i
pp i r p t
h
(2.7)
vidutinė lokalizavimo tikimybė, dažnai vadinama lokalizavimo koeficientu
3
i
m
s
. Jeigu vietinio greičio nėra ir termodinaminė temperatūra
pastovi, tai , o tuo pačiu ir i nepriklauso nuo r
ir t. Pasinaudoję (2.6),
vietoj (2.4) turime lygtį
56
div ,i i i i i
i i
nj r t m n M m
t
, (2.8)
kurioje elektronų lokalizavimo ir delokalizavimo reiškiniai apibūdinami
dydžiais i ir
i . Šių dydžių reikšmės dažniausiai surandamos ne pagal jų
(2.5), (2.7) išraiškas, o gretinant teoriškai apskaičiuotus ir eksperimentu nustatytus rezultatus. Gretinimui tinkamų teorinių išraiškų radimas yra svarbus pernašos lygčių taikymo uždavinys.
(2.8) lygtyje nežinomos funkcijos yra n , j ir
im , todėl (2.8)
nepakanka joms nustatyti. Akivaizdu, kad i
m lygtis yra šitokia:
i
i i i i i
mM m n m
t
. (2.9)
Pagal (1.8)
3
3
d, ,
pj vf p n r t U r t
h
, (2.10)
čia U
– vietinis greitis. Ši lygybė nėra j
lygtis, o tik patogi išraiška tolimes-
niam pertvarkymui, kuris labai priklauso nuo pernašos sąlygų. Todėl tar-sime, kad iš pusiausvyros sistemą išveda išorinis elektrinis laukas, į kurį
pastaroji įnešama. Vadinasi, kai lauko nėra, 0U
, todėl silpno lauko atveju galime rašyti
U E
. (2.11)
Čia E
– elektrinio lauko stipris, o dydis vadinamas judriu. Dažnai (2.11)
paliekama bet kokio stiprio laukui. Tuomet gali priklausyti nuo E.
Elektros krūvio srauto tankis
ej ej e nE
. (2.12)
Šioji ej
išraiška atitinka artinį, kai nepaisoma difuzijos. Elektronų pernaša
sistemoje perskirsto krūvį, dėl to atsiranda papildomasis elektrinis laukas. Elektrinio lauko stiprį sistemoje nusako Puasono lygtis
57
0
divp i
i
eE m m n
, (2.13)
čia 0 – elektrinė konstanta, – dielektrinė skvarba,
pm – teigiamojo elek-
trinio krūvio, susidarančio elektronų atsiradimo vietoje ir čia laikomo neju-dančiu, tankis. Jis reiškiamas lygybe
0
, , d
t
pm r t r t t
. (2.14)
Tarus, kad sistema iš pusiausvyros išvedama laiko momentu 0t , galime
rašyti ,0 0p
m r , nes pusiausvira sistema lokaliai yra elektriškai neutrali.
(2.8), (2.9) ir (2.13) lygtys, bei (2.12) ir (2.14) išraiškos nusako
nepusiausviros sistemos funkcijas n , i
m , ej
, E
ir p
m . Minėtos lygtys
dalinėmis išvestinėmis, netiesinės. Dėl jų netiesiškumo sprendinio suradimo uždavinys matematiškai gana sudėtingas.
Išdiferencijavę (2.13) laiku ir pasinaudoję (2.14), (2.12) bei (2.8) ir (2.9) lygybėmis, randame
0div 0
e
Ej
t
. (2.15)
Šį papildomą sąryšį kartais patogu panaudoti vietoj vienos (dažniausia vietoj (2.8)) aukščiau minėtų lygčių.
Svarbus čia aptartų lygčių taikymo atvejis – puslaidininkiniai arba dielektrikų sluoksniai, kurie gali būti aprašyti kaip vienmatės sistemos.
Nukreipę x ašį statmenai sluoksnio paviršiui ir tardami, kad išorinio
elektrinio lauko stipris nepriklauso nuo y ir z, turime
1,e
i i i i ii
jnx t m n M m
t e x
,
i
i i i i i
mM m n m
t
,
ej e nE ,
0
p i
i
E em m n
x
,
58
0
, , d
t
pm x t x t t . (2.16)
Dabar vietoj (2.15) turime
00
e
Ej
x t
,
iš kurios plaukia, jog
0
,,
e
E x tj x t J t
t
. (2.17)
Čia J t - pilnutinė srovė. Atvirosios elektros grandinės sąlygomis 0J t .
Pastaroji sąlyga dar vadinama elektrografiniu režimu. Taigi elektrografiniam režimui
0
,, 0
e
E x tj x t
t
. (2.18)
Pasinaudoję (2.18) ir (2.16) trečiąja lygybe, randame
0 1 En
e E t
. (2.19)
Gautoji lygybė leidžia pašalinti n iš (2.16) antrosios ir ketvirtosios lygčių ir iki minimalaus skaičiaus sumažinti ieškomų funkcijų skaičių. Tos funkcijos
yra E ir i
m , o jų lygtys šitokios:
0 1i i
i i i i
m EM m m
t e E t
, (2.20)
0
1p i
i
E E em m
x E t
. (2.21)
(2.20) ir (2.21) lygtyse, kaip ir jų pirmtakėse, neatsižvelgiama į
elektronų ir teigiamųjų krūvių (skylių) susidūrimus. Susidūrimai, kurių
59
metu elektronai tik sklaidomi, nepakeičia šių lygčių pavidalo. Tačiau susiduriant priešingų ženklų krūviams gali vykti jų rekombinacija, kurią
aprašant būtų kitaip skaičiuojamas p
m , negu (2.16) atveju. Rekombinacijos
reiškinį aptarsime toliau.
2.2. Mažo trikdžio metodas
(2.20), (2.21) lygtys netiesinės, todėl jų sprendinys gali būti surastas tik skaitiniu metodu. Skaitiniai metodai visiškai tinka sprendžiant vadina-mąjį tiesioginį uždavinį, t.y., kai teorinio modelio išvadų ieškoma žinant pernašos lygčių parametrų reikšmes. Tačiau tuo atveju, kai iš teorinių ir eks-perimento rezultatų gretinimo siekiama nustatyti pernašos parametrus (pvz.,
elektronų susidūrimus apibūdinančius parametrus , , ,i i i
M ), t.y. spren-
džiant atvirkštinį uždavinį, siektina turėti analizines apskaičiuojamų funkcijų išraiškas, leidžiančias suformuluoti ieškomųjų parametrų reikšmių algebrines lygtis. Šiuo atveju skaitmeninio pavidalo sprendiniai gana neparankūs.
Aptarsime didžiavaržiams puslaidininkiams taikomą atvejį, leidžiantį supaprastinti (2.20), (2.21) lygčių pavidalą. Pagal anksčiau suformuluotą są-lygą pusiausvira sistema yra lokaliai elektriškai neutrali. Tarsime, kad ji tokia išlieka ir įnešta į nuostovų išorinį lauką (t.y. nevyksta jonizacija lauku, neat-siranda injekcija ir kt.). Į išorinį lauką įneštą sistemą apšvietus pakankamai mažos galios šviesos impulsu, dėl vidinio fotoefekto atsiradę elektronai ir jiems judant susidaręs erdvinis elektrinis krūvis mažai tepakeičia elektrinio lauko stiprį sistemoje. Tokiomis sąlygomis, išorinio šaltinio elektrinio lauko
stiprį pažymėję 0
E , galime rašyti
0 0,E E E , (2.22)
Ši mažo trikdžio sąlyga leidžia supaprastinti (2.20), (2.21) lygtis nekeičiant susidūrimų modelio. Palikdami pirmosios eilės mažus dydžius, turime
0 0
1 1 1E
E t E t E t
(2.23)
ir (2.20), (2.21) tampa tiesinėmis lygtimis:
0
0
i i i
i i
m Mm
t e E t
60
0 0
1p i
i
em m
x E t
, (2.24)
nes i
mt
yra antrosios eilės mažas dydis (tokios eilės būtų ir anksčiau
minėtos rekombinacijos įnašas). Čia 0
E nepriklauso nuo x. (2.24) lygčių
analizinis sprendinys vis tik pakankamai sudėtingas, kad jį galima būtų panaudoti gretinimui su eksperimentiniais rezultatais, kurie čia aptariamai sistemai dažniausiai yra sluoksnio paviršiaus potencialo prieklausa nuo laiko. Atkreipsime dėmesį į tai, kad (2.24) lygtyse yra šie nepriklausomi modelio
parametrai: ,i
ir i i
M . Apsiribojus vienos rūšies lokalizavimo būsenos
artiniu, būtų trys parametrai, kuriems nustatyti reikalingi trys nepriklausomi sąryšiai. Rasime juos.
Sluoksnio paviršiaus potencialas
0
0
( ) ( , )d ( )
l
U t E x t x U V t , (2.25)
čia l – sluoksnio storis, 0 0
U E l – pradinė potencialo reikšmė (įelektrinimo
potencialas), o
0
( ) ( , )d
l
V t x t x , (2.26)
– paviršiaus potencialo sumažėjimas dėl fotogeneracijos.
Nesudėtingai eksperimentu kontroliuojami dydžiai yra
1
0 0
d d
d dt t
U Vk
t t
, (2.27)
t.y. pradinis potencialo mažėjimo greitis,
2 2
2 2 2
0 0
d d
d dt t
U Vk
t t
(2.28)
– potencialo mažėjimo pagreitis ir plotas
61
0 0
( ) ( ) d ( ) ( ) dQ U t U t V t V t
. (2.29)
(2.27), (2.28) išraiškose laikas skaičiuojamas nuo apšvietimo pradžios, jei apšvietimas užtrunka baigtinį laiko tarpą, arba nuo apšvietimo momento, jei apšvietimas akimirkinis.
1 2,k k ir Q charakteristikų teorines išraiškas randame (2.24) lygtims
pritaikę Laplaso transformaciją. Pirmiau išnagrinėsime atvejį, kai sluoksnis apšviečiamas akimirksniu per teigiamai įelektrintą sluoksnio paviršių
0x . Tuomet galime rašyti
0, e xx t t , (2.30)
čia – šviesos sugerties koeficientas, o 0
– dydis, priklausantis nuo foto-
generacijos kvantinio našumo ir tiesiog proporcingas apšvietai:
0e
x
pm
. (2.31)
Kadangi ,0 0, ,0 0m x x , tai, pritaikę Laplaso transformaciją (2.24)
pirmajai lygčiai, randame
0
0
, ,M s
m x s x se E s
, (2.32)
čia s – Laplaso kintamasis, ,m x s ir ,x s – atitinkamų funkcijų Laplaso
vaizdai. Vietoj (2.24) antrosios turime
,, e x
x sg s x s b
x
, (2.33)
kurios sprendinys, atsižvelgus į kraštinę sąlygą , 0l s , šitoks
, e e eg lx gxb
x sg
. (2.34)
Čia
62
0
0
eb
, 0
1s M
g sE s
. (2.35)
Tuomet potencialo trikdžio Laplaso vaizdas
1 e e eg ll l
bV s
g g
. (2.36)
Iš Laplaso vaizdų savybių plaukia:
0
lims
V t V s
,
0
dlim
d st
VsV s
t
, 0 0V t ,
2
2
2
00
d 1 dlim
dd stt
V Vs V s
s tt
,
0
0
d lims
V s V tQ V t V t t
s
. (2.37)
Apskaičiavę (2.36) funkcijos ribas, nurodytas (2.37) formulėse, randame
1 e el lb
V V t l
, (2.38)
1 0
0
d1 e
d
l
t
Vk E b
t
, (2.39)
2
2 0 02
0
d1 e
d
l
t
Vk E b E M
t
, (2.40)
22
0
1 1 1 e2
llb M
Q lE
. (2.41)
Kartais parametrą b eksperimentu kontroliuoti sudėtinga. Tuomet (2.38) išraiška gali būti panaudota šiam parametrui pašalinti iš likusiųjų trijų išraiškų. Šitai padarę, rastume
63
1
0
11
e 1l
kE l
V
, (2.42)
2 1
2
1
1 1 e
1 e
l
l
lk kM
k V
, (2.43)
2
11 /1 Qk V R l
M
,
2
2
1 1 e 1 e2
1 1 e
x x
x
xx
R x
x
. (2.44)
Atkreipsime dėmesį į tai, kad čia 1
0k , 0V , 2
0k , 0Q .
Mažo trikdžio metodu nustatoma tik sandauga M , nusakanti
atvirkštinę laisvų elektronų gyvavimo trukmę pernašos pradžioje. Atskirai
parametrų ir M reikšmes galime surasti remdamiesi vadinamuoju
Lanževeno sąryšiu
0
e
. (2.45)
Tuomet, panaudoję (2.42) lygybę, apskaičiuojame , o iš (2.43) ir M.
Jeigu sugertis stipri, t.y. 1 l , tai eksperimentu nustatomos V ir Q
reikšmės yra mažos ir, dėl eksperimento paklaidų, modelio parametrų ,
M , reikšmės, nustatytos pagal (2.42) – (2.44) sąryšius, bus netikslios.
Šiuo atveju sistema turi būti trikdoma apšviečiant sluoksnio paviršių x l
(dabar elektronai pralėks ilgesnį kelią, todėl V ir Q bus didesni). Taip
trikdant funkcija
0, e
l xx t t
,
o vietoj (2.34) išraiškos turime
, e el x g l xb
x sg
, (2.46)
Bei vietoj (2.36) išraiškos – šitokią:
64
1 e 1 egl l
bV s
g g
. (2.47)
Tuomet
1 e1
l
V bll
, (2.48)
1k išreiškiamas (2.39) formule, o
2 0 0e 1 el lk E b E M , (2.49)
0
1 e1 1
2
lbl l M
QE l
. (2.50)
Silpnos sugerties 1l atveju charakteristikų išraiškos abiems
apšvietimo atvejams sutampa, kaip ir turėtų būti. Tuo tarpu, kai sugertis
stipri 1l , apšviečiant paviršių x l reikšmė V didesnė l kartų, o
reikšmė Q – 2
2
l kartų už atitinkamas reikšmes, kai ta pačia doze apšvie-
čiamas paviršius 0x .
2.3. Rekombinacijos vaidmuo
Lokalizuotas teigiamasis krūvis (skylės) gali būti įvairių būsenų. Tar-
kime, kad i būsenos krūvio erdvinis tankis yra ,pi
m r t
. Pažymėję elektrono
rekombinacijos per vienetinę trukmę su vienu i būsenos teigiamuoju krūviu
tikimybę ,r
p i , rekombinavusių per vienetinę trukmę ,r p
būsenos elekt-
ronų skaičių nuodugniajame aprašyme galime išreikšti šitaip:
, , , ,r r pi
i
S f r p t p i m r t . (2.51)
Kaip ir 2.1 skirsnyje, tardami, kad sistema yra vietinės pusiausvyros, ir
suintegravę (2.51) elektrono judesio kiekiu, randame rekombinacijos dėmenį
65
3
3
d, ,
r ri pii
pS n r t m r t
h
, (2.52)
kuris su ženklu „–„ turi būti pridėtas (2.8) lygybės dešiniojoje pusėje. Čia, analogiškai (2.7) išraiškai,
3
3
d, , ,
ri r
pr p t p i
h
(2.53)
yra rekombinacijos koeficientas 3
ri
m
s
. Dabar (2.14) išraiška nebega-
lioja ir pi
m turi būti surastas iš lygties
,
, , , ,pi
ri pi
m r tr t i n r t m r t
t
, (2.54)
kurioje , ,r t i – vienetiniame tūryje per vienetinę trukmę atsirandančių i
būsenos teigiamųjų krūvių (skylių) skaičius. Anksčiau naudota (2.5) funkcija dabar šitokia:
, , ,i
r t r t i .
Elektrografinio rėžimo sąlygomis tarę, kad visi ri pastovūs, bei pasi-
naudoję tankio (2.19) išraiška, randame (2.54) lygties sprendinį
0
, , , , , di i
t
g g
pim r t E r t r t i E r t t
, (2.55)
čia
0 ri
ig
e
. (2.56)
Nenuodugniojoje, t.y. pasiskirstymo funkcija nesiremiančioje, pernašos teo-rijoje lokalizuotasis krūvis dažniausiai nediferencijuojamas būsenomis. For-maliai šitai reikštų, kad tėra vienos rūšies būsenos. Tokiomis sąlygomis, tai-
66
kydami (2.55) išraišką akimirkiniu šviesos impulsu apšviečiamam sluoksniui (apšviečiant paviršių 0x ), turėtume
0
0
,, e
g
x
p
E x tm x t
E
. (2.57)
Matome, kad rekombinacijos efektas nusakomas daugikliu 0/
g
E E , kuris
mažo trikdžio atveju nuo 1 skiriasi mažu dydžiu. Todėl, kaip jau minėjome, mažo trikdžio metodu, kuriame atsižvelgiama tik į pirmos eilės mažus dy-
džius (0
proporcingas mažam dydžiui!), rekombinacija nėra kontroliuo-
jama. Atsižvelgus į rekombinaciją (2.20), (2.21) lygčių pavidalas išlieka, ta-
čiau jose esanti funkcija p
m reiškiama (2.57) lygybe. Kadangi iš teorinių ir
eksperimento rezultatų sugretinimo nustatant rekombinacijos vaidmenį mažo trikdžio metodas nebetinka, tai ir Laplaso transformacijų metodas ne-gali būti panaudotas. Tačiau, panaudojant kinetikos lygtis, galima rasti sluoksnio paviršiaus potencialo pirmąją ir antrąją išvestines, išreikštas mode-lio parametrais.
Suintegravę (2.18) lygybę kintamuoju x, turime
0 00
,d 1d , d
d
l l
e
E x tUx j x t x
t t
. (2.58)
Iš šios lygybės plaukia
000
d 1,0 d
d
l
e
t
Uj x x
t
. (2.59)
Analogiškai randame
2
2
000 0
,d 1d
d
l
e
t t
j x tUx
tt
. (2.60)
Akimirkiniu šviesos impulsu sukurtų krūvių pasiskirstymą paranku
nusakyti funkcijų n ir p
m pradinėmis reikšmėmis. Taip darant, (2.16) siste-
mos pirmojoje lygtyje bei (2.54) lygtyje funkcija ,x t nerašoma. Taigi
67
pradiniu laiko momentu 0t elektronai dar nepajudėję, todėl
,0 ,0p
n x m x . Tuomet, panaudoję (2.16) ir (2.57) lygtis, randame
0 0,0 e ,x
ej x e E x l (2.61)
ir
0 0
0
00
d1 e 1 e
d
l l
t
e EUE b
t
, (2.62)
kuri sutampa su (2.39), kaip ir turi būti, nes rekombinacija yra antrinis reiškinys. Taip pat turime
1e e
r p
j jn Ee E n e E m n M n nm
t t t e x
0
ej
n . (2.63)
Čia pasinaudota (2.16) pirmąja, kurioje praleista ,x t , ir (2.18) lygtimis.
Dar pasinaudojame (2.16) ketvirtąja lygtimi ir pertvarkome (2.63) dešiniosios pusės pirmąjį dėmenį:
0
e e
e e e p
j ejEE Ej j Ej m m n
x x x x
. (2.64)
(2.64) kairiosios pusės išraišką įrašę (2.63) antrosios lygybės dešiniojoje
pusėje, o gautąją ej
t
išraišką į (2.60) integralą, randame
2
2
00
d 1,0 ,0 0,0 0,0
de e
t
U eE l j l E j
et
0 0 0 0
d
l
e
e p r p
t
njej m m n E m n M m nm x
. (2.65)
Dabar pasinaudojame kraštinėmis ir pradinėmis sąlygomis
, 0ej l t , 0 0
0,0ej e E , ,0 0m x , 0
,0E x E ,
68
0,0 ,0 e
x
pm x n x
ir galutinai turime
22 0 0
0 0 02
0
d 11 e
2d
l
t
UE b E M E b
et
21 e
l. (2.66)
Mažo trikdžio atveju šioje išraiškoje dėmuo su 2b yra antrosios eilės mažas dydis, todėl pirmosios eilės mažais dydžiais (2.66) sutampa su (2.40) iš-
raiška. Kai trikdis nėra mažas, dėmuo, proporcingas 2b , nėra mažas (jis gali
būti netgi didesnis už dėmenį, proporcingą b), todėl, naudojant (2.66) iš-
raišką ir bei M vertes, nustatytas mažo trikdžio metodu, galima surasti
r . (2.62) išraiška gali būti panaudota parametrui b pašalinti iš (2.66) išraiš-
kos.
2.4. Judrūs abiejų ženklų krūviai
Dažnai būna taip, jog judrūs yra abiejų ženklų šviesa sukurti krūviai. Tuomet sakoma, kad šviesa sukuriamos elektrono ir skylės poros. Rasime lygtis, aprašančias elektronų ir skylių pernašą. Ir šiuo atveju minėtų lygčių suradimo iš nuodugniųjų kinetikos lygčių principai išlieka tokie patys, kaip ir 2.1 skirsnyje, todėl, apsiribodami vienmate sistema (sluoksniu), turime tik papildyti (2.16) lygtis skylių pernašą nusakančiais sąryšiais. Judančios skylės, kaip ir elektronai, gali būti lokalizuojamos vietinėmis būsenomis, rekombi-nuoti su lokalizuotaisiais bei laisvaisiais elektronais. Apsiriboję tik vienos
rūšies lokalizavimo būsenomis, kurių erdvinis tankis lygus Ms, laisvųjų sky-
lių erdvinio tankio p kitimą laike nusakome šitokia lygtimi:
1,s
s s s s s sr e se
jpx t m p M m pm pn
t e x
, (2.67)
čia s
m – lokalizuotų skylių tankis, e
m – lokalizuotų elektronų tankis, s ,
sr ,
se – skylių lokalizavimo ir atitinkamų rekombinacijų koeficientai,
s –
skylių išlaisvinimo iš lokalizuotosios būsenos tikimybė. Nepaisant difuzijos
69
s sj e pE , (2.68)
s – skylių judris. Skylių lokalizavimą aprašanti lygtis šitokia:
s
s s s s s er
mp M m m n
t
, (2.69)
joje er – laisvųjų elektronų ir lokalizuotų skylių rekombinacijos koeficien-
tas. Vietoj (2.16) pirmosios lygties dabar turime
1,e
e e e e e er s se
jnx t m n M m nm p
t e x
, (2.70)
čia esančių ženklinimų prasmė analogiška (2.67) lygties ženklinimams. (2.67) lygties dešiniosios pusės pirmojo dėmens priešingą ženklą atitinka-mam (2.70) lygties ženklui lemia skylių judėjimo priešinga elektronams kryptis. Lokalizuotų elektronų tankį nusako lygtis
e
e e e e e sr e
mn M m m pm
t
, (2.71)
o elektrinio lauko stiprį – šitokia lygtis:
0
s e
E ep m n m
x
. (2.72)
(2.67) – (2.72) lygtys ir (2.16) trečioji lygtis sudaro uždarą lygčių, nusakan-čių 7 funkcijas, sistemą. Formaliai yra tik 5 netiesinės diferencialinės dali-
nėmis išvestinėmis lygtys, nes funkcijos s
j ir ej gali būti iš lygčių pašalintos
panaudojant tų funkcijų išraiškas. Funkcijų n ir p kraštinės sąlygos nusako-mos skirtinguose sistemos taškuose (skirtinguose sluoksnio paviršiuose), to-dėl minėtų lygčių sprendinių suradimo netgi ir skaitiniai metodai gana su-dėtingi.
Pakartoję veiksmus, atliktus išvedant (2.15) ir iš jos plaukiančius sąryšius, elektrografinio režimo sąlygomis dabar turime
0
,, , 0
e s
E x tj x t j x t
t
. (2.73)
70
Tai gana bendras sąryšis, naudingas ieškant lygčių sprendinių kaip analizi-
niu, taip ir skaitmeniniu pavidalu. Dreifo artiniu panaudoję je ir js išraiškas lauko stipriui, (2.73) lygybėje suintegruojame laiko kintamuoju. Randame
00
, ,0 exp , , d
t
s
eE x t E x p x t n x t t
. (2.74)
Šioje išraiškoje matome, kad kiekviename sluoksnio taške laikui bėgant
elektrinio lauko stipris mažėja ((2.74) integralas didėja, didėjant t) ir išlieka pastovaus ženklo.
Pritaikysime mažo trikdžio metodą ir rasime 2.2 skirsnyje įvardintas charakteristikas. Mažam trikdžiui
0ej e nE ,
0s sj e pE , (2.75)
todėl vietoj (2.67), (2.69), (2.70) ir (2.71) lygčių, palikdami tik pirmosios eilės mažus dydžius, akimirkinės apšvietimo sąlygomis turime:
0s s s s s
p pE m M p
t x
, (2.76)
s
s s s s
mM p m
t
, (2.77)
0 e e e e
n nE m M n
t x
, (2.78)
e
e e e e
mM n m
t
. (2.79)
Šių lygčių sprendinių kraštinės ir pradinės sąlygos šitokios:
, 0n l t , 0, 0p t , 0t ;
,0 ,0 0s e
m x m x ; 0,0 ,0 e xp x n x (2.80)
Pritaikę (2.67) – (2.79) lygtims Laplaso transformaciją, randame Laplaso vaizdus:
, ,s s
s
s
Mm x s p x s
s
, 0
0
, e e sg xx
s s
sp x s
E g
,
71
, ,e e
e
e
Mm x s n x s
s
, 0
0
, e e e eg l g xx
e
sn x s
E g
, (2.81)
čia ,s e
g g – reiškiami (2.35) formule atitinkamai skylėms ir elektronams.
Pagal (2.73) lygybę elektrinio lauko stiprio kraštinė sąlyga šitokia:
0 0
0,0, 0,
e
E tj t e E n t
t
. (2.82)
Pasinaudoję šia ir (2.72) lygtimis, randame elektrinio lauko stiprio Laplaso
vaizdą ,E x s , o po to ir sluoksnio paviršiaus potencialo trikdžio vaizdą
0
0
, d
l
V s E x s x U , 0 0
U E l ,
1 e 1 e sg ll
s e
s e s s
g gV s bl
g g l g g l
e 1 e eg ll
e eg g l
. (2.83)
Tuomet pagal (2.37) pirmąją lygybę
1 el
V t bl , (2.84)
t.y. išraiška, kurią gautume sudėję (2.38) ir (2.48) išraiškas (kaip ir turi būti). Taip pat randame
1 01 e
l
sk b E
, (2.85)
2 2
2 0 0 0 01 e e
l l
e e s s s sk b E M E M E E
, (2.86)
2
2
0
1
1 1 e2
e e
le
M
lbQ l
E
72
2
0
1
1 e2
s s
ls
s
M
ll
E. (2.87)
(2.86) ir (2.87) išraiškos yra nesimetriškos elektronų ir skylių charakteristikų
atžvilgiu, todėl apšviečiant paviršių x l galima gauti papildomas 2
k ir Q
išraiškas, kurios nuo (2.86) ir (2.87) skirtųsi elektronų ir skylių parametrų
, , , M sukeitimu vietomis. Vadinasi, mažo trikdžio metodu galima
rasti 5 nesudėtingai eksperimentu kontroliuojamus dydžius (vieną 1
k , po du
2k ir Q dydžius) šešiems parametrams , , , , ,
s e s e e s sM M apskai-
čiuoti. Reikšmė V gali būti panaudota parametro b reikšmei surasti, jei
pastaroji nežinoma, arba tam parametrui pašalinti iš 1 2,k k ir Q išraiškų.
Papildomus sąryšius minėtiems šešiems parametrams nustatyti galima rasti
panaudojant 2
k eksperimentines reikšmes, gaunamas esant skirtingoms 0
E
reikšmėms. Rekombinacijos koeficientams nustatyti gali būti panaudotos antrosios
išvestinės, nustatytos baigtinio trikdžio ir įvairių 0
E sąlygomis. Tačiau čia
tos pakankamai gremėzdiškos išraiškos nepateiksime, primindami, kad jos radimo būdas aprašytas 2.3 skirsnyje.
Kai krūvininkų pernašos modelio parametrai žinomi, bet kuri pernašą apibūdinanti funkcija gali būti surasta skaitiniais metodais.
2.5. Charakteristikų metodas Matėme, jog krūvio pernašos lygtys yra dalinėmis išvestinėmis, netie-
sinės, todėl netgi vienmatėms sistemoms – sluoksniams – jos gana sudėtin-gos. Tačiau kartais šių lygčių pavidalą galima supaprastinti naudojant dife-rencialinių lygčių teorijoje žinomą lygčių charakteristikų metodą, reiškiantį tam tikrą kintamųjų pakeitimą. Taikant šį metodą diferencialinių lygčių sprendimas pakeičiamas algebrinių lygčių sprendinio radimu.
Nagrinėsime vienmatę sistemą, dėmesyje turėdami, pvz., šviesa arba Rentgeno spinduliais eksponuojamus elektrofotografinius arba elektrorent-genografinius sluoksnius. Šiuo atveju pagrindinis uždavinys yra apskaičiuoti sluoksnio potencialo prieklausą nuo laiko ir nustatyti, kokį vaidmenį šioje prieklausoje vaidina eksponuojant sluoksnį sukurtų krūvininkų dreifas, jų lokalizavimas bei lokalizuotų krūvininkų išlaisvinimas. Kai yra lokalizuotų
73
krūvininkų išlaisvinimas, charakteristikų metodas yra neefektyvus. Metodo efektyvumą pademonstruosime nagrinėdami laisvąjį krūvininkų dreifą. Šis atvejis praktiškai svarbus dar tuo, jog jis apibrėžia potencialo sparčiausio mažėjimo ribą.
Tarsime, kad ant sluoksnio paviršiaus x = 0 yra sudarytas pastovaus tankio neigiamas paviršinis krūvis, sluoksnis iki eksponavimo pradžios yra elektriškai neutralus, o elektronų ir skylių poros visame sluoksnio tūryje kuriamos tolygiai ir vienalyčiai. Tuomet pagal 2.4 skirsnį elektronų ir skylių sukūrimą ir jų dreifą aprašančios lygtys yra šitokios:
0
E en p
x,
e ej e nE ,
s sj e nE ,
1ejn
t e x,
1
sjp
t e x. (2.88)
Pastarąsias lygtis papildome elektrografinio režimo lygtimi
00
s e
Ej j
t. (2.89)
Toliau nagrinėsime atvejį, kai vienos rūšies krūvininkų judris yra toks
didelis, kad jų pralėkimo skersai sluoksnį trukmę būtų galima prilyginti
nuliui (praktiškai pakanka, kad būtų žymiai trumpesnė už trukmę, per kurią sluoksnio potencialo dydis sumažėja pusiau). Mažėjant elektrinio
lauko stipriui, didėja , todėl, suprantama, kad prielaida = 0 galima remtis tol, kol sluoksnyje nesusidaro pakankamai silpno elektrinio lauko sritis.
Taigi tarsime, kad s e
(jei būtų priešingai, tai pakanka galutinėse
formulėse vietoj įrašyti s). Šiomis sąlygomis (2.88) pirmojoje lygtyje
nepaisome p, o paskutiniojoje – p
t. Dar tarus, kad per sluoksnio paviršių
x = l skylės neinjektuojamos, 0
s x lj , iš (2.88) paskutiniosios lygies
randame
sj e l x . (2.90)
Čia – elektronų arba skylių, sukurtų vienetiniame tūryje per vienetinę
trukmę eksponuojant sluoksnį, skaičius ( = const pagal anksčiau sufor-muluotą tolygumo ir vienalytiškumo sąlygą).
74
Įrašę (2.90) išraišką į (2.89) lygtį, o iš pastarosios išreikštą je panaudoję
funkcijai n pašalinti, vietoj (2.88) Puasono lygties, turime
1 1
0
E EE E x l e
x t. (2.91)
(2.91) lygties charakteristikų diferencialinė lygtis šitokia
1
d d
1
x t
E
. (2.92)
Bendrasis (2.92) lygties sprendinys
0d
t
x x E t
, 0 ≤ ≤ t. (2.93)
Įrašę (2.93) x išraišką į (2.91) lygties dešiniąją pusę bei tos lygties kairiąją pusę išreiškę pilnutine išvestine laiku charakteristikoje,
1d d
d d
E E x E E EE E
t t t x x t
, (2.94)
o gautos lygybės abi puses dar išdiferencijuojame laiku, randame
2
2
2
d0
d
EE
t , 1/2
0/e . (2.95)
Taigi netiesinę dalinėmis išvestinėmis (2.91) lygtį jos charakteristikoje
pakeitėme vieno kintamojo ir tarus, kad = const, tiesine pastoviais koeficientais diferencialine lygtimi. Bendrasis (2.95) lygties sprendinys
sh chE A t B t . (2.96)
Čia A ir B nustatomi iš kraštinių sąlygų.
Kai t , tai 0
x x ir iš (2.94), (2.91) lygčių plaukia kraštinė sąlyga
75
1
0 0
d
dt
Ee x l
t
. (2.97)
Pastebėsime, kad (2.93) charakteristiką apibūdina du parametrai: x0 ir , reiškiantys atitinkamai tam tikras koordinatės ir laiko reikšmes. Tarkime,
kad 0
0x visiems ≥ 0. Tuomet 0x , kai t . Taigi
( )
tE E
nusako elektrinio lauko stiprio prieklausą nuo laiko sluoksnio paviršiuje 0x . Dar tarus, kad elektronai per paviršių 0x neinjektuojami,
00
e xj , ir pasinaudojus (2.90) išraiška bei (2.89) lygtimi, kai 0x ,
randame
1 1
0 0 0 0( ) ( )
tt
E E t E e l t E e l , (2.98)
čia E0 – pradinė elektrinio lauko stiprio vertė. Pasinaudoję (2.97) ir (2.98) sąlygomis, (2.96) elektrinio lauko stiprį ir (2.93) koordinatę charak-
teristikose 0
0x , ≥ 0 išreiškiame lygybėmis
( , ) ( ) ch ( ) sh ( )E t E t l a t , 2 2/a , (2.99)
1
, ( ) sh ( ) ch ( )x t l E t l a ta
. (2.100)
Šios dvi išraiškos nusako elektrinio lauko stiprį sluoksnio dalyje, apibrė-
žiamoje charakteristikomis 0
0x , ≥ 0 (2.1, 2.2 pav.). Elektrinio lauko
stipriui nustatyti likusioje kintamųjų x ir t srityje naudojame charakteristikas, pradiniu laiko momentu prasidedančias sluoksnio tūryje,
t.y. x0 ≥ 0, 0 . Dabar
00( )
tE E x nusako pradinę elektrinio lauko
stiprio reikšmę, kuri pagal suformuluotą sąlygą lygi E0. Antroji kraštinė
sąlyga išplaukia iš (2.97) lygties. Taigi charakteristikose x0 ≥ 0, 0
0 0 0
( , ) ch shE t x E t a l x t , (2.101)
0 0 0
1, sh chx t x l E t a l x t
a. (2.102)
(2.99) – (2.102) išraiškos apibrėžia elektrinio lauko stiprį eksponavimo
laikotarpiui, t.y., kai 0 ≤ t ≤ T0, T0 – eksponavimo trukmė. Eksponavimui
76
pasibaigus, t > T0, lauko stipris nusakomas (2.91) lygtimi, kurioje 0 ,
t.y. lygtimi
d0
d
E
t . (2.103)
Dabar charakteristikose 0
0x , ≥ 0 turime
0
( , ) ( , )E t E T , 0 0 0
, , ,x t x T E T t T , (2.104)
o charakteristikose x0 ≥ 0, 0 – šitokią išraišką:
0 0 0
, ,E t x E T x , 0 0 0 0 0 0
, , ,x t x x T x E T x t T . (2.105)
Čia 0
( , )E T , 0,x T surandami iš (2.99), (2.100), o 0 0
,E T x , 0 0,x T x –
iš (2.101), (2.102) lygybių, įrašius šiose lygybėse 0
t T .
Čia nagrinėjamomis sąlygomis elektrinio lauko stipris didėja tolstant nuo sluoksnio paviršiaus 0x . Todėl pasibaigus eksponavimui mažiausia
stiprio reikšmė yra nusakoma (2.98) lygybe, kurioje 0
T . Iš nelygybės
0( ) 0E T randame, jog būtina sąlyga, kad galėtume remtis skylių
akimirkinio lėkio atveju yra nelygybė T0 < 0E0/el.
x =0, =
0
0 x =0, =
0
0
x =x , =
0
0
2
2.1 pav. Charakteristikos ir potencialo apskaičiavimo rėžiai, kai t1 ≥ T0
77
x =0, =
0
0
x =0, =
0
0
2.2 pav. Charakteristikos ir potencialo apskaičiavimo rėžiai, kai t1 ≤ T0
Dabar aptarsime sluoksnio potencialo apskaičiavimą, kai lauko stipris nusakytas (2.99) – (2.105) parametrinėmis lygtimis. Pirmiau apskaičiuosime
trukmę t1, per kurią elektronas, pradiniu laiko momentu sukurtas prie
sluoksnio paviršiaus x = 0, pasiekia sluoksnio paviršių x = l. Šią trukmę
nusako lygybė x(t = t1, = 0) = l. Kai t1 ≤ T0 (2.2 pav.), tai šios nelygybės
galiojimo sąlygą ir t1 trukmę randame iš (2.100) lygybės:
0
th T ≥ 0
l a
E,
0
1
0
1ln
2
E l at
E l a. (2.106)
Jeigu t1 ≥ T0 (2.1 pav.), tai t1 ir nelygybės galiojimo sąlygą surandame iš (2.104) lygybės:
0 0 0
1 0
0 0 0
ch T sh T
ch T sh T
l a Et T
a E l a,
0th T ≤
0
l a
E. (2.107)
a) t1 ≥ T0 atvejis.
2.1 pav. matome, jog šiuo atveju egzistuoja laiko intervalai 0 ≤ t ≤ T0,
T0 < t ≤ t1, t1 < t ≤ t2 ir t > t2, kuriuose koordinate x integruojama skirtingai.
Čia t2 – trukmė, per kurią „paskutinysis“ elektronas (t.y. sukurtas laiko
momentu t = T0 prie paviršiaus x = 0) pasiekia paviršių x = l. Ją nusako
lygybė x(t = t2, = T0) = l ir (2.104) formulė:
1
2 0 0 0 0/t T l E e lT . (2.108)
78
Rasime sluoksnio potencialo išraiškas įvardintiems laiko momentams.
Intervalas 0 ≤ t ≤ T0. Potencialą U(t) reišikiame šitaip:
1
10 0
( ) ( , )d ( , )d ( , )d
xl l
x
U t E x t x E x t x E x t x . (2.109)
Čia x1 (2.1 pav.) išreiškiamas (2.100) lygybe
1 1
( ) ( , 0)x x t x t . (2.110)
(2.109) integravimo intervalas išskaidytas taip, kad būtų paranku keičiant integravimo kintamuosius:
1
1
0 0
( , )( , )d ( , ) d
x tx t
V E x t x E t
,
2
1
0
2 0 0
0 0
( , )( , )d ( , ) d
xl
x
x t xV E x t x E t x x
x
. (2.111)
Čia lauko stipris reiškiamas atitinkamai (2.99), (2.101) formulėmis, o
koordinatė x – (2.100), (2.102) formulėmis; x2 (2.1 pav.) surandamos iš
lygybės x(t, x0 = x2) = l taikant (2.102) formulę.
Intervalas T0 < t ≤ t1. Dabar yra trys integravimo sritys, todėl
3 4 5
( )U t V V V , (2.112)
čia
3
3
0
( , )d
x
V E x t x , 01
3
4
0
( , )( , )d ( , ) d
Tx
x
x tV E x t x E t
,
2
1
0
5 0 0
0 0
( , )( , )d ( , ) d
xl
x
x t xV E x t x E t x x
x
. (2.113)
Dydis 3 3 0
( ) ( , )x x t x t T (2.1 pav.) surandamas taikant (2.104) formu-
lę, 1
( , 0)x x t – taikant (2.104) formulę, o x2 – taikant lygybę
x(t, x0=x2) = l ir (2.105) formulę. V3 išraiškoje esantis E(x,t) yra pastovus ir
79
sutampa su (2.98) reikšme, kurioje įrašyta = T0. V4, V5 išraiškose esančios
funkcijos E(t, ), x(t, ), E(t, x0), x(t, x0) nusakomos atitinkamai (2.104), (2.105) lygybėmis.
Intervalas t1 < t ≤ t2. Potencialą išreiškiame lygybe
3 6
( )U t V V , (2.114)
kurioje V3 reiškiamas taip, kaip ir (2.113) atveju, o
0
3 0
6
( , )( , )d ( , ) d
Tl
x
x tV E x t x E t
. (2.115)
Dydis 0 (2.1 pav.) apibrėžiamas lygybe x(t, = 0) = l, o E(t,), ir x(t,) nusakomi (2.104) formulėmis.
Intervalas t > t2.
Šiuo atveju krūviai nebejuda visame sluoksnyje, lauko stipris visur
vienodas ir toks, koks yra sluoksnio paviršiuje x = 0. Taigi potencialas nebekinta ir lygus
1
0 0 0U E e l T l . (2.116)
b) t1 < T0 atvejis.
Laiko intervalai ir potencialo išraiškos dabar nustatomi remiantis 2.2 pav.
Intervalas 0 ≤ t ≤ t1. U(t) reiškiamas (2.109) – (2.111) formulėmis.
Intervalas t1 < t ≤ T0. Šiuo atveju
00
( , )( ) ( , )d ( , ) d
l tx t
U t E x t x E t
, (2.117)
čia 0 nusakomas lygybe x(t, = 0) = l (2.2 pav.) taikant (2.100) formulę,
E(t,), x(t,) reiškiami (2.99), (2.100) lygybėmis.
80
Intervalas T0 < t ≤ t2.
Potencialą reiškiame (2.114), (2.115) formulėmis ir tais pačiais su šiomis formulėmis susijusiais sąryšiais.
Intervalas t2 < t. Potencialas reiškiamas (2.116) lygybe.
U(t) išreiškiančius integralus apskaičiuoti nėra sudėtinga, todėl tų gana nekompaktiškų išraiškų čia nepateikiame.
Dar pastebėsime, kad charakteristikų metodas yra pakankamai efekty-vus, kai sluoksnyje juda tik vieno ženklo krūvininkai, žiūr., pvz., III skyrių.
2.6. Difuzijos vaidmuo Iki šiol, nagrinėdami krūvininkų pernašą, difuzijos nepaisėme. Galima
manyti, jog pastaroji prielaida priimtina, jei elektrinis laukas, kuriame juda krūviai, pakankamai stiprus, o krūvių erdvinio tankio gradientai nedideli. Kad būtų aiškiau, išnagrinėsime difuzijos vaidmenį sąlygomis, kurios jai palankios.
Tarsime, kad per vienmačio, vienalyčio ir pradžioje elektriškai
neutralaus sluoksnio paviršių x = 0 (ašis x, kaip visada, nukreipta skersai sluoksnio ir yra statmena jo paviršiams), ant kurio sudarytas pastovaus tankio neigiamasis paviršinis krūvis, akimirksniu injektuojami elektronai. Tuomet pradinį laisvų elektronų tankį sluoksnyje galime išreikšti šitaip:
0
( ,0) ( , ) ex
tn x n x t
e
, , (2.118)
čia / e – elektronų skaičius, injektuotas per paviršiaus vientinį plotą.
(2.118) lygybė galiotų ir tuo atveju, jei elektronai prie paviršiaus x = 0 būtų sukuriami stipriai sugeriama spinduliuote. (2.118) funkcijos gradientas prie
paviršiaus x = 0 yra labai didelis, taigi difuzijai sąlygos yra. Taip pat tarsime, kad injekcija yra tik mažas trikdis, o sluoksnyje
judantys elektronai gali būti lokalizuojami būsenomis (kurių tankis M pastovus) bei iš tų būsenų išlaisvinami. Tuomet elektronų pernašą aprašome šitokiomis lygtimis:
0
E en m
x, (2.119)
m
Mn mt
, (2.120)
81
0
nj e E n eD
x. (2.121)
Čia x ašies teigiamoji kryptis sutampa su išorinio elektrinio lauko stiprio
kryptimi, o užrašant lokalizuotų elektronų tankio m kitimo (2.120) lygtį bei
elektros srovės tankio j (2.121) lygtį pasinaudota mažo trikdžio sąlyga (žiūr.
2.2 skirsnį). Kiti žymėjimai: E0 – pradinis elektrinio lauko stipris, D – dif-uzijos koeficientas. (2.119) – (2.121) lygtis papildome elektrografinio reži-mo sąlyga
00
Ej
t. (2.122)
Rasime laisvų elektronų tankio n lygtį. Suintegravę (2.120) laiku, gauname
( )
0
( , ) ( , )e d
t
tm x t g n x
, (2.123)
čia g = M. Užrašant (2.123) išraišką panaudota pradinė sąlyga m(x,0) = 0. Išdiferencijavę (2.119) lygties abi puses laiku bei pasinaudoję (2.120) ir (2.123) lygybėmis, turime
2
00
( , )e d
ttE e n
gn g n xt x t
.
Įrašę (2.121) išraišką į (2.122) ir išdiferencijavę koordinate x, randame
2 2
0 2
0
E e n nE D
t x x x.
Iš pastarųjų dviejų lygybių išplaukia ieškomoji lygtis:
2
02
0
( , )e d
ttn n n
D E gn g n xt xx
. (2.124)
82
Čia dešiniosios pusės dėmenų prasmė gana aiški: jie nusako elektronų tan-kio kitimą laike atitinkamai dėl difuzijos, dreifo, lokalizavimo ir išlaisvinimo iš lokalizuotų būsenų. (2.124) lygtis diferencialinė dalinėmis išvestinėmis ir integralinė, tačiau tiesinė. Pirmiausia jos sprendinio ieškosime taikydami Laplaso transformaciją laiko kintamajam.
Tankio n(x,t) Laplaso vaizdą pažymėję N(x,s) (s – Laplaso kintamasis), vietoj (2.124) randame lygtį
2
2
d d2 1 ( ,0)
dd
N N s g sa N n x
x D s Dx
. (2.125)
Čia a = E0/2D, arba, pasinaudojus klasikiniu artiniu aprašomam judėjimui
galiojančiu Enšteino sąryšiu eD = kT, turime a = eE0/2kT. Atsižvelgę į (2.118) išraišką, randame (2.125) lygties bendrąjį sprendinį
( , ) ·e ·e ·ea x a x x
N x s A B R , (2.126)
1/2
2 1s g
aD s
,
2 2 22
sR
D e a a. (2.127)
(2.126) išraiškoje integravimo konstantos A ir B turi būti nustatytos iš kraštinių sąlygų. Esant difuzijai nėra tokių universalių kraštinių sąlygų, kokias naudojome, pvz., praeitame skirsnyje, kai difuzijos nepaisėme. Dabar svarbu kokių savybių yra sluoksnio paviršiai: jie gali būti krūvį visiškai arba iš dalies atspindintys, visiškai arba iš dalies sugeriantys ir pan.
Taigi tarkime, kad sluoksnio paviršius x = 0 elektronus visiškai
atspindi, o paviršius x = l (l – sluoksnio storis) juos visiškai sugeria. Tuomet
j(0,t) = 0, n(l, t) = 0, t > 0. (2.128) Srovės stiprį išreiškę lygybe
0
1( ) ( , )d
l
J t j x t xl
, (2.129)
įrašę čia (2.121) j išraišką ir pasinaudoję (2.128) antrąja sąlyga, randame srovės stiprio Laplaso vaizdą:
83
0
0
(0, )( ) ( , )d
2
le E N s
J s N x s xl a
. (2.130)
Apskaičiavę koeficientus A ir B pagal (2.128) sąlygas, po to įrašę (2.126)
išraišką į (2.130) dešiniąją pusę ir suintegravę koordinate x bei suradę ribą , turime
1
0 2 2
2 exp ( )( )
( )exp( 2 ) 2 ( )
a lsD aJ s J
a a l a a a
exp( 2 )2 ( )
al
a a,
0
0
EJ
l. (2.131)
Rastoji srovės vaizdo išraiška yra pakankamai sudėtinga, todėl originalą
J(t) būtų galima rasti tik apytiksliais metodais. Tačiau (2.131) išraiška pa-
ranki nustatant krūvininkų judrio ir lokalizuojančių būsenų parametrų g ir
vertes pagal srovės arba potencialo eksperimentinius duomenis. Mat, ži-nant srovės arba potencialo prieklausos nuo laiko eksperimentines kreives, nesudėtinga apskaičiuoti atitinkamus Laplaso vaizdus. Taip pat svarbu, jog
parenkant Laplaso kintamojo s vertes arba tam tikrus srovės ar potencialo daugiklius, galima sumažinti vaidmenį tų sričių, kuriose eksperimento re-zultatai mažiau patikimi.
Elektrografinio režimo sąlygomis 0
E l ≥ 100 V, todėl kambario
temperatūroje al = eE0l/2kT > 103. Taigi (2.131) išraiškoje dėmenų,
turinčių daugiklius exp(-2l), dideliu tikslumu galime nepaisyti. Tarus, kad
lokalizavimo nėra (g = 0), turime sD-1 = 2 - a2 ir vietoj (2.131) randame
0
2( ) exp ( )
2
aJ s J a l
a a,
1/22
/a s D . (2.132)
Šio vaizdo originalas išreiškiamas uždara forma:
21/2
1
20
1 1 2( ) 2π exp exp
2 2 π 2 2
alt al altJ t J alt alt
t
1/2
1 1erf erfc
2 2 2 2 2
alt al alt
t
84
3exp(2 )erfc
2 2 2
al altal alt al
t.
Čia 22
erfc( ) 1 erf( ) e dπ
u
x
x x u
, (2.133)
(2.133) formulėje laikas išreikštas elektronų tranzito trukme t0 = l/E0. (2.133) išreiškia srovės prieklausą nuo laiko, kai elektronai dreifuoja ir difunduoja. Jeigu elektronai tik dreifuotų, tai turėtume
0
1, 0 1( )
0, 1
tJ t J
t. (2.134)
Skirtumą tarp (2.133) ir (2.134) lemia tik difuzija.
Apskaičiuosime (2.133) išvestinę laiku taške t = 1. Nepaisydami
dėmenų, kurių eilė (al)-1, ir mažesnių, randame
0 1
d ( )
d 2πt
J t al
t J
. (2.135)
Ši išraiška nusako tik difuzijos nulemtą srovės impulso nuokrypą nuo stačia-
kampio formos. Kai 100al , ta nuokrypa nedidelė, kitu atveju gali būti gana ženkli (2.3 pav.).
Tarkime, kraštinės sąlygos tokios, kokios būtų pusiaubegalinei siste-mai, t.y. (2.128) lygybėse paliekama tik pirmoji sąlyga, o (2.126) išraiškoje
įrašome A = 0. Šitai reikštų, kad per sluoksnio paviršių x = l krūvininkai praeina laisvai. Tuomet, nepaisydami lokalizavimo, randame
( )
0
0
1 e( )
a lsJ s J
E a
,
1/2
2 sa
D. (2.136)
Šio vaizdo originalas šitoks:
12 2
2
0
e 1( ) 1 e erfc
2 22π
alt al
t altJ t J
alt
85
1 1erfc
2 2
alt
t, (2.137)
2.3 pav. Difuzijos vaidmuo
mažo trikdžio sąlygomis.
1-3 – = 0 ir pusiaubegali-
nės sistemos kraštinės sąly-gos.
1 – al = 18,
2 – al = 50,
3 – al = 100.
t0 – tranzito trukmė, o J0
išreiškiamas (2.131) lygybe.
Čia parametro al vertėms ribojimų nėra, o laikas t, kaip ir (2.133) atveju,
išreišktas elektronų tranzito trukme t0. Kai 1al , (2.137) srovės stipriui galioja (2.135) lygybė, o ir srovės reikšmės mažai skiriasi nuo (2.133) reikšmių.
Jeigu = 0 (bet 0g ), tai (2.124) lygtyje pakeitę
1( , ) e ( , )gtn x t n x t , (2.138)
n1(x,t) funkcijai rastume lygtį, sutampančią su tankio lygtimi n(x,t), kurioje
g = 0, = 0. Iš čia plaukia, kad, nepriklausomai nuo kraštinių sąlygų, galioja
1( ) e ( )tJ t J t ,
0gt , (2.139)
čia J1(t) srovės stipris, kai g = 0. (2.128) kraštinių sąlygų atveju J1(t) išreiškia (2.133) formulė, o kitu atveju - (2.137) formulė. (2.137) formulėje laikas
išreikštas trukme t0.
86
Matėme, kad sprendžiant (2.124) lygtį, Laplaso transformacija neefek-tyvi, kai atsižvelgiama į elektronų išlaisvinimą iš lokalizavimo būsenų. Kitas šios lygties analizinio sprendinio radimo būdas – kintamųjų atskyrimo metodas. Nedetalizuodami sprendimo eigos pateikiame galutinę srovės stiprio išraišką (2.128) kraštinių sąlygų atveju:
0 2 2
sin sin exp( )( ) 2 ( )
sin2 ( )1
2
k k k
k
k k k
k
Z Z Z alJ t J Q t
Z al Z al
Z
. (2.140)
Čia Zk yra lygties
tg /k k
Z Z al (2.141)
teigiamosios šaknys. Kiti ženklinimai:
1 2 2 1
1 2
exp exp( ) exp
k k k k
k k
k k
S S t S S tQ t t t
S S,
2
1
14
2k k k
S ,
2
2
14
2k k k
S , 2 21( )
2k k
Z alal
, (2.142)
čia 0
gt , 0
t , o laikas išreikštas tranzito trukme t0. Dėl (2.140)
begalinėje eilutėje esančio daugiklio exp(al), ši eilutė gerai konverguoja tik
tada, kai al < 1. Iš aukščiau gautų rezultatų plaukia, kad aprašant mažo krūvio impulso
dreifą difuzijos galima nepaisyti, jei kambario temperatūroje sluoksnio
potencialas U > 10 V. Jeigu U < 10 V, tai difuzijos vaidmuo svarbus ir į jį būtina atsižvelgti analizuojant eksperimentinius srovės stiprio priklauso-mybės nuo laiko rezultatus ir nustatant krūvio pernašos mechanizmus.
Pusiaubegalinės sistemos kraštinių sąlygų atveju laisvų elektronų tankio Laplaso vaizdas (nesant lokalizavimo) šitoks:
2( , ) e e
a x xaN x s R
a
,
1/2
2 sa
D. (2.143)
87
Šio vaizdo originalas
2
( ) 1 11 2 2 2
220 1/2
e( , ) 2 e erfc
2 2(π )
al x t
talxal al x t
n x t n alt t
, (2.144)
čia 0
/n el ; x – išreikštas sluoksnio storiu l, laikas – tranzito trukme.
2.4 pav. parodytas
pagal (2.144) formulę apskaičiuoto elektronų tankio pasiskirstymas įvairiais laiko momentais.
0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,00,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
3,0
65
4
3
2
1
n(x,t)/n0
x/l
2.4 pav. Elektronų impulso
judėjimas ir išplitimas dėl difuzijos.
1-3 – al = 2;
4-6 – al = 10;
1, 4 – t = 0,2;
2, 5 – t = 0,5;
3, 6 – t = 0,8. Kraštinės
sąlygos – pusiaubegalinės sistemos.
88
89
III skyrius
KRŪVININKŲ PERNAŠOS PARAMETRŲ REIKŠMIŲ IR PERNAŠOS MECHANIZMŲ PUSLAIDININKIUOSE
SLUOKSNIUOSE NUSTATYMAS
Šiame skyriuje, gretinant teorinius mažo trikdžio, potencialo išvestinių bei skaitmeninius duomenis su atitinkamais eksperimentiniais duomenimis, analizuojama krūvininkų pernaša puslaidininkiuose sluoksniuose.
3.1. Krūvio pernašos didžiavaržiuose puslaidininkiuose tyrimas mažo trikdžio metodu
Krūvininkų judris bei gyvavimo trukmės didelės varžos puslaidinin-
kiuose, tarp jų ir elektrofotografiniuose (EFS) sluoksniuose (fotorecepto-riuose), yra ne tik svarbūs fizikiniai parametrai, apibūdinantys nepusiausvi-rąją krūvio pernašą, bet ir iš esmės lemia iš šių medžiagų pagamintų sluoks-nių eksploatacines charakteristikas. Vienas iš praktiškai svarbių būdų ekspe-rimentu nustatyti minėtus sluoksnių parametrus yra elektros srovės arba pa-viršinio EFS potencialo kinetikos registravimas mažo fotosužadinimo sąly-gomis. Pavyzdžiui, dažnai krūvininkų dreifinis judris nustatomas pagal elektros srovės kinetikos kreivės ypatingąjį lūžio tašką laiko momentu, lygiu krūvininkų tranzito skersai sluoksnio laikui. Realiame eksperimente kai ku-rių organinių puslaidininkių, chalkogenidinių medžiagų minėtasis kreivės ypatingasis taškas nestebimas, arba jis išnyksta mažo potencialo atveju. Be to (3.1 pav.), lūžio taškas gali būti nulemtas krūvininkų fotogeneravimo sluoksnio tūryje ir nebūti susijęs su jų tranzito skersai sluoksnio trukme. Vadinasi, norint eksperimentiškai nustatyti krūvininkų judrį, reikia taikyti kitokius metodus, nesusijusius su elektros srovės kreivės ypatingųjų taškų elgsena ar jų buvimu.
90
3.1.1. Vienos rūšies sekliųjų lokalizuojančių būsenų artinys
Tarsime, kad sluoksnis yra vienalytis, neturintis pradinio erdvinio
krūvio, kad krūvininkų poros šviesa sukuriamos akimirksniu (be galo greitai) arti apšviečiamo paviršiaus, ant kurio sudarytas teigiamasis paviršinis krūvis. Tuomet sluoksnyje juda tik teigiamieji krūvininkai (skylės), o bejudėdami yra lokalizuojami vienos rūšies pastovaus tankio būsenomis, iš kurių ilgainiui išsilaisvina. Dabar galime pasinaudoti 2.2 skirsnio sąryšiais, kurie gauti, kai judantieji krūvininkai yra elektronai, o apšviečiamasis
paviršius yra x l , t.y. (2.48) – (2.50) ir (2.39) išraiškomis. Vietoj šių
išraiškų šviesos stiprios sugerties atveju, t.y., kai 1l , randame
0
0t
dVE b
dt
, V bl , 2
02
0t
d VE b M
dt
, 2
0
12
bl MQ
.
Iš pastarųjų lygybių gauname šitokias skylių dreifinio judrio bei gyva-
vimo trukmių išraiškas eksperimentiškai išmatuojamoms sluoksnio poten-
cialo U(t) charakteristikoms:
21
0 0
d( )
dt
l VV t
U t
,
0( ) ( )V t U t U , (3.1)
0,0 0,5 1,00,0
0,5
1,0
P1
P
3
2
1
J(t)/J0
t/t0
3.1 pav. Mažo krūvio srovės
kinetikos kreivių pavyzdžiai. 1 – akimirkinė krūvio injekcija per sluoksnio paviršių (2P.8); 2, 3 – krūvininkų fotogeneracija
sluoksnio tūryje; 2 – E0 < 2;
3 – E0 > 2 (2P.15). Čia
– sugerties koeficientas;
– lokalizavimo trukmė;
P, P1 – ypatingieji taškai. Laikas išreikštas krūvininkų tranzito
trukme t0.
91
12
2
00
d d
d dt
t
V V
t t
, (3.2)
2
0
0
d2 ( ) 1
dt
VQ V t
t
. (3.3)
Čia 0 0
U E l – sluoksnio pradinis potencialas, – skylių dreifinis judris,
1
M
– skylių laisvojo lėkio trukmė lokalizavimo vietinėmis būseno-
mis (prilipimo lygmenimis) atžvilgiu, 1
0 – skylių buvimo lokalizuo-
tomis trukmė. Kaip matyti (3.1) – (3.3) formulėse, norint apskaičiuoti krūvininkų
pernašos parametrus, t.y. dreifinį judrį, gyvavimo trukmę, išlaisvinimo iš būsenų trukmę, reikia iš eksperimentiškai išmatuotų sluoksnio fotoišelektri-nimo kinetikos duomenų nustatyti šiuos parametrus: pradinį sluoksnio po-
tencialo mažėjimo greitį
0
d
dt
V
t
, pradinį potencialo mažėjimo sulėtėjimą
2
2
0
d
dt
V
t
, absoliutinį potencialo sumažėjimą ( )V V t , o taip pat
plotą Q, kurį riboja V(t) kreivė ir tiesė V = V(). Fotoišelektrinama tiria-
mąjį sluoksnį eksponuojant trumpu (≤ 610 s) stipriai sugeriamos šviesos im-pulsu. Mažo fotosužadinimo sąlyga (kad potencialo visas sumažėjimas ne-viršytų 5 % pradinės potencialo reikšmės) pasiekiama šviesos filtrais regu-liuojant šviesos intensyvumą. Kadangi yra ir savaiminis tiriamojo sluoksnio potencialo mažėjimas, t.y. mažėjimas tamsoje, tai nustatant tikrąją fotosuža-dinimo kinetiką, matuojama griežtai tokiomis pačiomis sąlygomis tamsoje (nesant fotosužadinimo) ir fotožadinimo sąlygomis. Po to potencialo tikras sumažėjimas randamas iš potencialo reikšmių fotosužadinimo sąlygomis atė-
mus potencialo tamsoje reikšmes. Toks V(t) nustatymos būdas pagrįstas, jei potencialo mažėjimas tamsoje neviršija potencialo mažėjimo dėl apšvietos. Mat, tada reiškinių, lemiančių vieną ir kitą potencialo mažėjimus, sąveika yra antros eilės mažas efektas ir jo galima nepaisyti.
Eksperimento rezultatų vaizdas parodytas 3.2 paveiksle. Taigi matome, kad reikalinga eksperimentinė informacija randama nesudėtingu būdu. 1–3 lentelėse pateiktos pagal (3.1) – (3.3) formules apskaičiuotų parametrų reikšmės kai kuriems elektrofotografijoje naudojamų medžiagų sluoksniams.
92
3.2 pav. Informacijos, gaunamos eksperimento metu, pavyzdys. Tiriamosios Se88P2Te10 medžiagos sluoksnio potencialo fotoišelektri-
nimo kinetika U(t), pagal kurią
skaičiuojami (dU/dt)t=0,
(d2U/dt2)t=0, U(t=) dydžiai.
Sluoksnio storis l = 2·10-5 m,
1000l , U0=355 V. 1 – pradi-nė potencialo mažėjimo dalis (laiko ašis brėžinio viršuje), 2 – visa foto-
išelektrinimo kinetika (laiko ašis brėžinio apačioje). Brūkšniuotos brėžinio srities plotas lygus dydžiui
Q (žr. (3.3)).
1 lentelė. Skylių judrio bei gyvavimo trukmių reikšmės amorfinio seleno (a-Se) elektrofotografiniame sluoksnyje vienos rūšies sekliųjų
būsenų artiniu; l = 5·10-5 m, 2500l
U0, V 56 103 204 400
, cm2/(V·s) 0,13 0,12 0,12 0,11
, s 5,0·10-6 3,6·10-6 2,1·10-6 0,70·10-6
0, s 11·10-4 3,8·10-4 1,8·10-4 0,45·10-4
t0, s 3,3·10-6 2,0·10-6 1,0·10-6 0,56·10-6
2 lentelė. Skylių judrio bei gyvavimo trukmių reikšmės Se88P2Te10
elektrofotografiniuose sluoksniuose vienos rūšies sekliųjų būsenų
artiniu; l = 2·10-5 m, 1000l
U0, V 43 80 160 355 660
, cm2/(V·s)
0,18·10-4 0,17·10-4 0,18·10-4 0,35·10-4 0,78·10-4
, s 7,2·10-4 4,2·10-4 3,8·10-4 0,75·10-4 0,20·10-4
0, s 2,5·10-2 1,8·10-2 2,8·10-2 2,0·10-2 1,9·10-2
93
3 lentelė. Skylių judrio bei gyvavimo trukmių reikšmės Se90P4Te6
elektrofotografiniame sluoksnyje vienos rūšies sekliųjų būsenų
artiniu; l = 1,9·10-5 m, 950l
U0, V 75 150 345 600
, cm2/(V·s) 0,60·10-6 0,65·10-6 0,76·10-6 1,9·10-6
, s 21·10-3 14·10-3 6,8·10-3 1,0·10-3
0, s 0,120 0,120 0,084 0,048
Lentelėse matome, kad krūvininkų judris ir gyvavimo trukmės yra in-
dividualios medžiagos charakteristikos, kaip ir turėtų būti. Visais atvejais
išsilaisvinimo trukmė 0 ilgesnė už tranzito trukmę, taigi išsilaisvinimas pa-
kankamai lėtas. Laisvojo lėkio trukmė visais atvejais pastebimai trumpėja didėjant pradiniam potencialui (stiprėjant elektriniam laukui), tarsi elektrinis laukas indukutuotų lokalizuojančias būsenas. Pastarųjų susidarymas nagri-nėjamais atvejais mažai tikėtinas. Kita priežastis gali būti vienos rūšies loka-lizuojančių būsenų artinio napakankamumas.
3.1.2. Dviejų rūšių lokalizuojančių būsenų artinys
Puslaidininkiuiose sluoksniuose egzistuojančias krūvininkų lokaliza-vimo būsenas sąlygiškai galima skirstyti į dvi grupes: giliąsias, iš kurių per tam tikrą laikotarpį (pvz., per sluoksnio potencialo sumažėjimo pusiau trukmę) krūvininkai neišlaisvinami, ir sekliąsias – iš kurių per tą laikotarpį gali būti išlaisvinti. Ir vienų, ir kitų būsenų gali būti įvairių rūšių, besiski-riančių erdviniu tankiu, lokalizavimo koeficientais ir kt. Čia išnagrinėsime dviejų rūšių lokalizuojančių būsenų – vienos rūšies gilios ir vienos rūšies seklios – modelį. Aišku, jog teoriniai sąryšiai šiuo atveju yra sudėtingesni, tačiau eksperimentinė informacija, kuri reikalinga nustatant judrį ir gyva-vimo trukmes, yra tokia pat, kaip ir 3.1.1. skirsnyje.
Čia, kaip ir pirmiau, taikome mažo trikdžio metodą. Šiuo atveju po-tencialo mažėjimo Laplaso vaizdui taip pat galioja (2.47) pavidalo išraiška,
kurioje esanti funkcija g(s) dabar reiškiama lygybe, gaunama (2.35) dešinio-
sios pusės skliaustuose pridėjus giliąsias būsenas ( = 0) atitinkantį dėmenį. Taigi turime šitokį akimirka apšviesto sluoksnio potencialo mažėjimo funk-
cijos V(t) Laplaso vaizdą:
1 1 10
0
( ) 1 e 1 el gleV s g g ,
94
0 2 1 0
1
1/
l sg s
E s
, (3.4)
čia 0 – fotogeneracijos kvantinio našumo parametras, 1 = (seklMsekl)-1 –
krūvininkų gyvavimo trukmė atžvilgiu lokalizavimo sekliosiomis būseno-
mis, 2 = (gilMgil)-1 – gyvavimo trukmė atžvilgiu lokalizavimo giliosiomis
būsenomis, 0 – krūvininko buvimo lokalizuotu sekliąja būsena trukmė. Pritaikę Laplaso vaizdo savybių (2.37) teoremas, randame sluoksnio
potencialo kinetikos charakteristikas:
10
0
( ) 1 e 1 el ye l l
V t y ly
, (3.5)
čia 1
0 2y t (t0 – judriųjų krūvininkų tranzito trukmė).
0 0
00
d ( )1 e
d
l
t
e EV t
t
, (3.6)
2
10
02
0 00
d ( ) 11 1 e
d
l
t
e lV tlt
tt
, (3.7)
čia 1 1 1
1 2 .
1
0 0 0
2
0 1
1 e 1 e1 1 1 e
l y
yy le l t l
Q yy l y l y
. (3.8)
Keturios (3.5) - (3.8) potencialo kinetikos charakteristikos priklauso
nuo penkių parametrų: 0, , 1, 2, 0. Taigi vienos eksperimentu nustatytos potencialo kinetikos kreivės nepakanka visiems penkiems parametrams apskaičiuoti. Minėtas keturias charakteristikas galima būtų papildyti,
pavyzdžiui, trečiąja V(t) išvestine. Tačiau eksperimentu nustatytos V(t) reikšmės visada turi matavimų paklaidą, kuri aukštėjant išvestinės eilei, vis labiau didėja. Išeitų, kad aukštesnių negu (3.7) išvestinių eksperimentinės reikšmės būtų mažiau patikimos, todėl ir nenaudotinos. Čia panaudosime kitą būdą – dvi sluoksnio potencialo kinetikos kreives, nustatytas esant
dviem skirtingoms potencialo pradinėms reikšmėms: U0 = U1 ir U0 = U2.
Tuomet parametrą y nustatome iš lygties
95
2
01 1
2 21 1
2 0
d
d( )( )
( )d
d
t
t
V
tU V tR y
U V tU VR y
U t
, (3.9)
11 e 1 e( )
1 e
l y
l
y lR y
y l
,
čia (3.9) dešiniojoje pusėje V indeksai atitinka pradinio potencialo indeksus,
o dydis y – pradinį potencialą U0 = U1. (3.9) lygtis išplaukia iš (3.5) ir (3.6)
lygybių, tarus, kad ir 2 nepriklauso nuo U0, t.y. nuo elektrinio lauko
stiprio. Bendruoju atveju šios savybės ir 2 gali ir neturėti, bent jau tada,
kai U1 ir U2 pakankamai daug skiriasi. Taigi, taikydami (3.9), turime naudoti
artimas U1 ir U2 vertes, kad galimo ir 2 kitimo galėtume nepaisyti. (3.9)
lygtyje fotogeneracijos kvantinio našumo parametras 0 atitinkamais santykiais yra pašalintas, todėl jo priklausomybė nuo elektrinio lauko stiprio nesvarbi.
Pažymėję (3.9) lygties sprendinį y = y0, iš (3.5) ir (3.6) randame šitokią judrio išraišką:
2
11
1 0
1 0
d( ) ( )
dt
VlV t R y
U t
. (3.10)
Gautosios lygybės dešiniojoje pusėje yra skirtingo pobūdžio daugikliai:
pirmieji nustatomi eksperimentu, o R(y0) yra modelio funkcija. Pastarosios egzistavimas leidžia nagrinėti įvairius artinius. Kai apšvietos sugertis labai
stipri ( 1l ), R(y) yra monotoniškai mažėjanti, o jos reikšmės yra iš
intervalo 1 ≥ R(y0) ≥ 0. R(y0) = 1, jei y0 = 0, t.y. 2 = ir R(y0) = 0, jei
y0 = , t.y. 2 = 0. Iš čia plaukia, jog sluoksnyje, turinčiame giliųjų
lokalizavimo būsenų (2 ), krūvininkų judrio reikšmės, nustatytos tik
sekliųjų lokalizavimo būsenų artiniu (R(y0) = 1), visada yra padidintos. Gyvavimo trukmė
2
0
2
0 1 0
t l
y U y
. (3.11)
96
Efektinę laisvojo lėkio trukmę apskaičiuojame, panaudoję (3.6) ir (3.7) lygybes:
0
0
1
1 23 2 23
1
1 1 1
4 d / d1 2
1 1e 1 e 1 d / d
t
t
l l
l V tl
U U V t
, (3.12)
o po to randame ir trukmę 1. Pagaliau iš (3.6), (3.8) randame trukmę, kurią krūvininkai būna lokalizuotos būsenos:
0
2 2
1 1
0 14
0 1
1 e1
( ) d / dt
lQ U
l G y V t
, (3.13)
čia
0
0
1
0
0 02
0 0 0
1 e 1 e1( ) 1 1 e
yl
yy l l
G y yy l y l y
.
Taigi keturi parametrai , 0, 1, 2 yra apskaičiuoti, o du parametrai 01, 02 pašalinti iš sąryšių panaudojant šešias eksperimentu nustatytas reikšmes
V1(t = ), V2(t = ), (dV1/dt)t=0, (dV2/dt)t=0, (d2V1/dt2)t=0, Q1. 4-oje lentelėje pateikti rezultatai amorfinio seleno sluoksniui, kai sluoksnio paviršius, ant kurio sudarytas teigiamasis paviršinis krūvis, apšviečiamas stipriai sugeriama šviesa. Taigi sluoksnio tūryje juda tik skylės, o elektronai lieka prie apšviečiamojo paviršiaus (arba rekombinuoja su paviršiniu krūviu) ir krūvio pernašoje nedalyvauja. Pastebėsime, kad kaip šio, taip ir praeito skirsnio galutinių formulių, išreiškiančių judrį ir gyvavimo trukmes, pavidalas nepriklauso nuo to, kokio ženklo krūvininkai juda sluoksnio tūryje. Pavyzdžiui, jei ant sluoksnio paviršiaus, kuris apšviečiamas stipriai sugeriama šviesa, būtų sudarytas neigiamasis paviršinis krūvis, tai (3.1) –(3.3) arba (3.10) – (3.13) išreikštų elektronų pernašos charakteristikas.
97
4 lentelė. Skylių judris bei gyvavimo trukmės a-Se elektrofotografiniame
sluoksnyje sekliosios ir giliosios būsenų artiniu; l = 34·10-5 m, 9860l
U1, V U2, V , cm2/(V·s) 2·10-6, s 1·10-6, s 0·10-6, s
110 400 0,104 1,88 6,93 0,474 110 810 0,103 1,88 6,93 0,474 205 285 0,090 1,96 6,63 0,720 285 395 0,110 2,14 7,91 0,640
400 810 0,103 1,87 7,19 0,685
4 lentelėje matome, kad apskaičiuotosios judrio ir gyvavimo trukmių
reikšmės praktiškai nepriklauso nuo sluoksnio potencialo, kuriam esant gauti eksperimento rezultatai. Viena vertus – tai gautų judrio ir gyvavimo truk-mių reikšmių patikimumo požymis. Antroji išvada ta, jog tiriamojo sluoks-nio atveju judris ir gyvavimo trukmės nepriklauso nuo elektrinio lauko
stiprio. Visais 4 lentelės U1 atvejais nustatant reikšmę giliųjų būsenų
vaidmuo yra svarbus, pavyzdžiui, kai U1 = 110 V, nepaisant giliųjų būsenų
apskaičiuotoji reikšmė būtų penkis kartus didesnė už esančią lentelėje.
Kadangi 2 nepriklauso nuo elektrinio lauko stiprio, tai analizuodami R(y)
reikšmes įsitikiname, jog, nustatant reikšmes čia tiriamo sluoksnio atveju,
giliųjų būsenų galima nepaisyti tik tada, kai elektrinio lauko stipris E yra ne
mažesnis už Ec = 4·104 V/cm (arba U1 ≥ 1400 V). 4 lentelės judrio reikšmės artimos 1 lentelės reikšmėms, nors pastarosios surastos nepaisant giliųjų būsenų. Tačiau tas rezultatų artumas visiškai suprantamas, nes plonesniojo
a-Se sluoksnio atveju E ≥ Ec sąlyga pradeda galioti, kai sluoksnio potencia-
las U0 ≥ 200 V.
Trukmės 0 (3.13) išraiškoje taip pat yra modelio funkcija G(y0), kuri
stiprios sugerties atveju, kaip ir funkcija R(y0), turi ribines reikšmes
G() = 0, G(0) = 1, tačiau yra sparčiau mažėjanti didėjant y0. Todėl sluoks-niams, kuriuose yra giliųjų būsenų, taikant sekliųjų būsenų artinį gaunamos
sumažintos 0 vertės. Apskaičiavę 0 vertę, nepaisydami giliųjų būsenų
U0 = 400 V atveju, rastume, kad ji sumažėja tik penkis kartus, taigi lieka
maždaug 100 kartų didesnė už 1 lentelės reikšmę (U0 = 56 V). Matomai 0 yra individualesnė a-Se sluoksnio charakteristika, negu krūvininkų judris.
98
3.1.3. Trijų rūšių lokalizuojančios būsenos
Nors praeituose dviejuose skirsniuose krūvininkų judrio ir jų gyva-vimo trukmių nustatymo metodai yra gana paprasti, bet jie turi vieną nepa-kankamumo bruožą – naudojama eksperimentinė informacija, išskyrus dydį
Q, yra susieta su sluoksnio potencialo kinetikos pradžia, t.y. apšvietos stip-rios sugerties atveju su krūvininkų judėjimu arti apšviečiamojo paviršiaus. Tuo tarpu sluoksnio priepaviršinės sritys gali būti kitų savybių, negu nuo paviršių nutolusios sritys, pavyzdžiui, gali skirtis lokalizuojančių būsenų tankiai, sekliųjų būsenų energiniai gyliai ir pan. Aprašant minėtas savybes padaugėja pernašą apibūdinančių charakteristikų skaičius, o jau vien dėl to anksčiau naudoti metodai netinka.
Šiame skirsnyje aptarsime kitus pernašos charakteristikų nustatymo būdus. Kaip ir anksčiau, remsimės mažo trikdžio metodu, leidžiančiu
sluoksnio potencialo sumažėjimą V(t) bei srovės stiprį J(t) rasti išreikštus
analiziškai arba bent kvadratūromis. V(t), o dažnai ir J(t), yra monotoniškai mažėjančios, ekstremumo taškų neturinčios funkcijos, todėl jų reikšmės tei-
kia mažiau informacijos, negu, pavyzdžiui, J(t) išvestinė laiku, turinti mak-simumo ir minimumo taškus, kurių padėtį lemia pernašos charakteristikos. Todėl toliau, nagrinėdami pernašos charakteristikas, remsimės srovės stiprio ir jo išvestinės laiku eksperimentiniais duomenimis. Aišku, kad šiuo atveju tenka naudoti sudėtingesnį matematinį aparatą, negu tas, kurį naudojome 3.1.1 ir 3.1.2 skirsniuose.
Nagrinėsime vienmatį puslaidininkinį sluoksnį, kurio paviršius x = 0 apšviečiamas akimirka trunkančiu stipriai sugeriamos šviesos impulsu. Kaip ir anksčiau tarsime, jog sluoksnyje juda skylės (galutinės formulės tinka ir elektronams), kurios dabar gali būti lokalizuojamos vienos rūšies giliosiomis būsenomis ir dviejų rūšių sekliosiomis būsenomis (pastebėsime, kad mažo trikdžio ir elektrografinio režimo sąlygomis skirtingų rūšių giliosios būsenos neatskiriamos – visos jos veikia kaip vienos rūšies būsenos, apibūdinamos viena efektine lokalizavimo trukme). Taigi, rendamiesi 2.2 skirsniu, gau-name šitokią lygčių sistemą skylių pernašai aprašyti:
0( , ) ( , )E x t E x t E ,
1 2 3
0
( , )( , ) ( , ) ( , ) ( , )
x t ep x t m x t m x t m x t
x
E
, (3.14)
1
1
( , ) ( , )m x t p x t
t,
0
( , ) ( , )( , )i i
i i
m x t m x tp x t
t, i=2,3, (3.15)
99
čia visi dydžiai dimensiniai. Elektrografinio režimo sąlygomis šias lygtis papildome sąryšiu
0
0
( , )( , )
x tp x t
e E t
E
. (3.16)
(3.14) – (3.16) lygtyse pažymėta: 1 – skylių laisvojo lėkio trukmė lokaliza-
vimo giliosiomis būsenomis atžvilgiu, 2, 3 – skylių laisvojo lėkio trukmės
lokalizavimo sekliosiomis būsenomis atžvilgiu, 02, 03 – lokalizuotų skylių
gyvavimo trukmės, mi (i = 1, 2, 3) yra atitinkamų būsenų lokalizuotų skylių tankiai. Kitų dydžių prasmė yra tokia pati, kaip ir anksčiau. Tariame, kad
pradinis lauko stipris E0 ir skylių judris nepriklauso nuo koordinatės x . Įrašę (3.16) į (3.15) ir, atsižvelgdami į pradines sąlygas
00
i tm
,
pastarasias išsprendę bei sprendinius įrašę į (3.14) lygtį, randame elektrinio
lauko stiprio pokyčio E lygtį:
1 ( )
1 2 1 1
0
( , ) ( , )( ) ( , ) ( , )e d
t
c tx t x ta a b x t a c x
x t
E EE E
2 ( )
2 2
0
( , )e d
t
c ta c xE . (3.17)
Pastarojoje lygtyje ir toliau naudojami bedimensiniai x ir t: x išreikštas
sluoksnio storiu l (x = x /l), t – skylių dreifo trukme t0 (t = t /t0). Kiti
žymėjimai: b = t0/1, ai = t0/i+1, ci = t0/0 i+1, i = 1, 2. (3.17) lygtis yra tiesinė, todėl ją sprendžiame taikydami Laplaso
transformaciją. Atsižvelgę į pradinę sąlygą E(x,t)t=0 = 0 bei kraštinę sąlygą
E(x,t)x=0 = –1 (pastaroji reiškia, kad E(x,t) didumas išreikštas E didumu
sluoksnio paviršiuje x = 0), randame funkcijos E(x,t) Laplaso vaizdą E(x,s):
1 2
0 1 2
( , ) exp d
xa s a s
E x s s b xs c s c
, (3.18)
čia s yra Laplaso transformacijos kintamasis. (3.18) vaizdo originalas šitoks:
*
1 2
0
( , ) ( , )exp ( )d
x
x t x t b a a x
E , (3.19)
100
0, ( , )
( , ), ,
t xx t
G x t x t x (3.20)
2
1/2
2 2
1 2 2
0
( , ) 1 e (2 ( )) d
t x
cc A x
G x t x I c A x
1
1/2
( ) 1 1
1 1 1
0
( )e (2 ( ) ( )) d
t x
c t xc A x
g I c t x A xt x
, (3.21)
2
1/2t
2 2
1 2 2
0
( )( )=1+ e (2 ( )) d
c c A xg t I c A x
. (3.22)
(3.21) ir (3.22) išraiškose I1 yra menamojo argumento Beselio funkcija, o
0
( ) ( )d
x
i iA x a x x
, i=1,2. (3.23)
Sluoksnio potencialo sumažėjimas V(t) išreiškiamas lygybe
1
0
( ) ( , )dV t x t x E , (3.24)
kurioje įrašę (3.19) – (3.22) išraiškas, randame srovės J(t) išraišką:
( ), 1d( )
( ), 1 ,d
J t tVJ t
J t tt (3.25)
1 2( ) ( ) ( )
0
( ) e ( , )d
t
A t A t B tJ t Q x t x
, (3.26)
1
0
( ) ( , )dJ t Q x t x , (3.27)
1 2 1
1/2
( ) ( ) ( ) ( ) 1 1
1 1 1
( )( , ) e e 2 ( ) ( )
A x A x B x c t x c A xQ x t I c t x A x
t x
2
1/2
( ) 2 2
1 2 2
( )e 2 ( ) ( )
c t x c A xI c t x A x
t x
101
1 2
1/2
( ) 1 2 1 2
1 1 1
0
( ) ( )e 2 ( ) ( )
( )
t x
c t x c c c A x A xI c t x A x
t x
1 2 22 ( ) dI c A x . (3.28)
Čia J(t) išreikšta savo pradine reikšme J0, atitinkančia E(x,t) kraštinę aąlygą,
o Ai(t) išreiškiamas (3.23) lygybe, kurioje x pakeistas laiko kintamuoju t:
* *
0
( ) ( )d
z
B z b x x , (3.29)
čia vietoje z galime rašyti x arba t. Apibrėšime trukmę
1
C
0
d( )
d ( ) d( ) lnd ( )
J tJ t tt
t J J t
. (3.30)
Jeigu sekliųjų būsenų nėra, o 1 pastovus, tai Ai(t) = Ai(x) = 0 (i = 1,2),
Q(x,t) = 0 ir iš (3.25), (3.26) išraiškų turime 0
1 1( ) e e
t tt
J t
, ( ) 0J t .
Iš (3.30) tuomet plaukia, kad C = 1 = Constt, t.y. C sutampa su krūvininkų gyvavimo trukme lokalizavimo giliosiomis būsenomis atžvilgiu. Jeigu
sekliosios būsenos egzistuoja arba 1 priklauso nuo koordinačių, tai (3.30)
apibrėžta trukmė C priklauso nuo laiko ir nusako tam tikrą efektinę
krūvininkų gyvavimo trukmę laiko momentu t visų lokalizavimų atžvilgiu.
Kadangi C susieta su J(t) išvestine laiku, tai, kaip jau minėjome, ji tinka pernašos charakteristikoms analizuoti.
3.3 ir 3.4 paveiksluose parodyti eksperimentiniai duomenys, gauti 99,999 % grynumo amorfinio seleno sluoksniui, kurio pagrindas apsaugotas nuo elektronų injekcijos iš aliumininio padėklo elektrodo. Sluoksnis
eksponuojamas stipriai sugeriama šviesa, kurios 337 nm. Greta pateikti
ir teoriniai J(t) ir C(t) skaičiavimai. Paveiksluose matome, kad eksperimen-
tinės C vertės priklauso nuo laiko, o J>(t) 0, taigi egzistuoja sekliosios būsenos.
102
Toliau išnagrinėsime gilių ir vienos rūšies seklių būsenų artinį.
Tuomet a2 = c2 = 0. Be to tarsime, kad a1, c1 ir b nepriklauso nuo x. Suintegravę (3.26) integralą, randame
0.0 0.5 1.00
2
4
23 1
2
3
1
(b)
0.0
0.5
1.00.0 0.5 1.0
2
1
3
1
2
3
(a)
3.3 pav. Srovės stiprio J(t) (a) ir skylių
gyvavimo trukmės C (b) prieklausa nuo
laiko a-Se sluoksniui, kurio l = 104 m.
Ištisinės kreivės skaičiavimų, simboliai
eksperimento duomenys. Elektrinio
lauko stipris 1, : 4103 V/cm; 2, :
2103 V/cm; 3, : 103 V/cm; 1: a1=1,
b=0.22, c1=4.5, a=400, c2=1, =100,
x0=0.98; 2: a1=2, b=0.44, c1=9, a=800,
c2=2, =100, x0=0.98; 3: a1=4, b=0.88,
c1=18, a=1600, c2=4, =100, x0=0.98;
= 0.144 cm2/V·s, 1 = 2 = 0.
0.0 0.5 1.00
1
2
1
33
1
(b)
3
21'
1
0.0
0.5
1.00.0 0.5 1.0
(a)
1'3
1
3.4 pav. Srovės stiprio J(t) (a) ir elektronų
gyvavimo trukmės C (b) prieklausa nuo
laiko a-Se sluoksniui, kurio l = 96 m.
Ištisinės kreivės skaičiavimų, simboliai eksperimento duomenys. Elektrinio lauko
stipris 1, 1, : 6,25104 V/cm; 2, :
4,17104 V/cm; 3, : 3,12104 V/cm; 1:
a1=1.2, b=0.45, c1=6.2, a=33, c2=6.2, =70
x0=0.85; 2: a1=1.8, b=0.68, c1=6.8, a=50,
c2=7.4, =70, x0=0.85; 3: a1=2.4, b=0.91,
c1=7.5, a=67, c2=8.6, =70, x0=0.85; 1: a1=1.2, b=0.45, c1=6.2, a=0. = 0.5010-
2 cm2/V·s, 1 = 6,87 cm1/2/V1/2,
2 = 5,0 cm1/2/V1/2.
t'/t0 t'/t0
C/ t
0
C/ t
0
J(t
)/J 0
J(t
)/J 0
103
1 2
1 1 1 2
2 1
e e( )
D t D tc D c D
J tD D
, (3.31)
C 1 1 1 2
0 1 1 1 2 1 2
( ) ( )e
( ) ( )e
t
t
t c D c D
t D c D D c D
, t ≤ 1, (3.32)
čia = ((a1+c1+b)2–4bc1)1/2, D1 = (a1+c1+b–)/2, D2 = (a1+c1+b+)/2.
Jei 1 , tai iš (3.32) plaukia, kad C beveik nepriklauso nuo t. Ši
kvazinuostovi C reikšmė yra lygi 1/D1. C nekvazinuostovi, jei b = 0, t.y.
nesant giliųjų būsenų. Jeigu ir c1 = 0, tai C nepriklauso nuo t ir sutampa su
1, ką nustatėme jau anksčiau.
Pagal (3.32) apskaičiuotos C prieklausos nuo t rezultatai parodyti 3.5 paveiksle. Palyginę šiuos rezultatus su 3.3 paveikslo eksperimento duome-
nimis matome, kad eksperimentu nustatytas C didėjimas, augant x toli nuo apšviečiamo sluoksnio paviršiaus, yra nulemtas lokalizuotų skylių išlaisvi-nimo.
Eksperimentu nustatytas staigus gyvavimo trukmės C sumažėjimas ties sluoksnio pagrindu gali būti nulemtas didesniu lokalizavimo būsenų tankiu toje sluoksnio srityje. Taigi grįžtame prie (3.26), (3.28) lygčių,
tardami, kad a1, c1, b ir c2 nepriklauso nuo x, o a2 = a2(x) išreiškiame šitaip:
0
0
2
3 1 ex x
t aa x
x
, 0
3
ta
, (3.33)
čia dydžiai a, , x0 yra bedimensiniai ir nepriklauso nuo koordinatės x bei
parenkami taip, kad dydžio a2(x) vertė greitai artėtų prie nulio, kai tolstama nuo sluoksnio pagrindo. Taigi modelio parametrų gana daug. Rasti jų apskaičiavimo vienareikšmių išraiškų, kokias turėjome praeituose skirs-niuose, dabar neįmanoma.
Kadangi pagal prielaidą antrosios sekliosios būsenos yra tik prie
sluoksnio pagrindo, tai parametrus a1, c1, b nustatome remdamiesi eksperi-
mento duomenimis t < 1 srityje. Pasinaudojame: a) – C kvazinuostovumu,
kai elektrinio lauko stipris E0 yra mažesnis už pasirinktų sluoksnių charakte-
ringą elektrinio lauko stiprį (pvz.: E0 ≤ 2103 V/cm 3.3 pav. ir
E0 ≤ 3.1104 V/cm 3.4 pav.); b) – maksimalia išvestinės C reikšme srityje,
kurioje C pereina į nuostoviąją ( )k
C; c) – laiko momentu T0, atitinkančiu C
išvestinės maksimumą.
104
Tuomet iš (3.32) išraiškos modelio parametrams apskaičiuoti randame šitokias lygybes:
0 0 0
12 23
1
C
11 e 1 ( 1)e e
pT pT pT
ka s s s s s
,
0 0
12
1
C
11 e 1 e
pT pT
kc s s
,
0 0
12
C
11 e 1 e
pT pT
kb s s s
, (3.34)
čia
1/2
C 0
0 C
1 2 1 1t
st
,
( )
C
1k
sp
.
Pagal (3.34) parametrų a1, c1, b reikšmes surandamos apibrėžtam lauko
stipriui E0 ir apskaičiuojamos 1, 2 ir 02 reikšmės. Taip surastos 1, 2
0.0 0.5 1.00
2
4
6 6
5
4
2
3
1
3.5 pav. Skylių gyvavimo trukmės C
prieklausa nuo laiko (arba koordi-
natės, x /l = t / t0) skirtingiems
modelio parametrų rinkiniams:
1 – a1 = 5, b = 2, c1 = 8,
2 – a1 = 5, b = 2, c1 = 2,
3 – a1 = 1, b = 2, c1 = 8,
4 – a1 = 5, b = 0.5, c1 = 8,
5 – a1 = 5, b = 0.5, c1 = 2,
6 – a1 = 1, b = 0.1, c1 = 20.
C/ t
0
t'/ t0
105
reikšmės naudojamos skaičiuojant visais kitais E0 reikšmių 3.3, 3.4 pav.
atvejais. 02 modeliuojama atsižvelgiant į Pulo ir Frenkelio efektą:
1 0
02 00e
E ,
čia 00 ir 1 nepriklauso nuo E0.
5 lentelė. Krūvininkų gyvavimo trukmės bei judris amorfinio seleno (a-Se) elektrofotografiniuose sluoksniuose trijų rūšių lokalizavimo būsenų artiniu.
Šviesos bangos ilgis 337 nm.
Sluoksnio storis
(m); krūvininkai
E0 (V/m)
1
(s)
2
(s)
02
(s)
3
(s)
03
(s)
Judris (cm2/V·s)
375; skylės 4105 295 65 14,4 0,162 65 0,144
375; skylės 2105 295 65 14,4 0,162 65 0,144
375; skylės 105 295 65 14,4 0,162 65 0,144
104; skylės 3106 1,65 0,336 0,151 0,011 0,030 0,154
104; skylės 106 1,65 0,336 0,674 0,011 0,135 0,154
96; elektronai 6,25106 68,2 25,6 4,95 0,93 4,95 0,5010-2
96; elektronai 4,17106 68,2 25,6 6,76 0,93 6,22 0,5010-2
96; elektronai 3,12106 68,2 25,6 8,19 0,93 7,14 0,5010-2
Paprastų išraiškų parametrams a, c2, , x0 apskaičiuoti nėra, todėl jų
reikšmės parenkamos taip, kad teorinės kreivės gerai derėtų su funkcijų J(t)
ir C(t) eksperimento rezultatais t ≥ 1 srityje. Šioje srityje apskaičiuojant J(t)
ir C(t) naudojamos a1, c1, b reikšmės yra surandamos aukščiau aprašytu
būdu, o išlaisvinimo trukmė 03 reiškiama lygybe, analogiška 02 išraiškai:
2 0
03 000e
E .
5 lentelėje esančios skylių ir elektronų judrio reikšmės nustatytos pagal
srovės kinetikos eksperimentinių kreivių ypatingąjį lūžio tašką, kuris nagri-nėjamu atveju yra pakankamai ryškus (3.3a, 3.4a pav.). Pastebėsime, kad ties
t 1 eksperimentu surasta C turi minimumą (3.3, 3.4 pav.). Toks reiškinys aiškinamas seklių būsenų, esančių arti sluoksnio pagrindo, įtaka. Priešingu
atveju funkcija C(t), pasiekusi maksimalią vertę turėtų monotoniškai mažėti iki nulio.
106
5 lentelėje esančios skylių gyvavimo trukmių 1 ir 2 reikšmės apskai-
čiuotos naudojant funkcijos C(t) sritį, nutolusią nuo pradinio tarpsnio. To-dėl, kai sluoksniai pakankamai stori, o šviesos sugertis stipri, šias trukmių reikšmes lemia skylių pernaša sluoksnio tūrio srityje, nutolusioje nuo ap-šviečiamo paviršiaus. Tuo tarpu 4 lentelėje esančios analogiškos reikšmės apskaičiuotos naudojant sluoksnio potencialo mažėjimo pradines charakte-ristikas, taigi šviesos stiprios sugerties sąlygomis susietos su skylių pernaša arti apšviečiamo paviršiaus. Matome, kad 4 lentelės reikšmės žymiai
mažesnės už 5 lentelės storojo sluoksnio (l = 375 nm) atitinkamas reikšmes (giliąjai būsenai 150 kartų, sekliąjai – 10 kartų). Dar pastebėsime, kad 5
lentelės trukmė 3 , apibūdinanti skylių lokalizavimą prie sluoksnio
pagrindo, taip pat žymiai mažesnė už storojo sluoksnio trukmes 1 ir 2. Remdamiesi (2.45) Lanževeno sąryšiu bei atsižvelgdami į tai, kad 4 ir 5 lentelėse esančios skylių judrio reikšmės yra artimos, randame, jog skylių lokalizavimo būsenų tankiai yra atvirkščiai proporcingi gyvavimo trukmėms.
Vadinasi, galime tvirtinti, kad a-Se sluoksniuose, kurių storis 300l m, skylių lokalizavimo būsenų tankiai nėra pastovūs dydžiai: priepaviršinėse sluoksnio srityse lokalizavimo būsenų tankiai gali šimtus kartų viršyti tankių reikšmes nuo paviršių nutolusioje sluoksnio srityje.
5 lentelės plonojo sluoksnio (l = 104 nm) trukmių 1 ir 2 reikšmės yra žymiai mažesnės už atitinkamas storojo sluoksnio reikšmes, o giliąją būseną
atitinkančios trukmės 1 reikšmė praktiškai sutampa su 4 lentelės atitinkama
(2) reikšme. Pastarasis rezultatas yra visiškai suprantamas. Mat, ploname sluoksnyje priepaviršinių savybių sritys gali sudaryti didžiąją sluoksnio tūrio dalį, o persiklodamos – ir visą tūrį.
Baigdami skirsnį suformuluosime šitokią išvadą: krūvininkų pernašos sluoksnio priepaviršinėse srityse charakteristikoms nustatyti tinka 3.1.2 po-skirsnyje aprašytas metodas, besiremiantis pradiniais sluoksnio potencialo mažėjimo duomenimis, gaunamais šviesos stiprios sugerties sąlygomis, o analizuojant krūvininkų pernašą nuo paviršių nutolusioje sluoksnio srityje –
funkcijos C(t) metodas.
3.2. Sluoksnio potencialo išvestinių panaudojimas Naudojant puslaidininkinį sluoksnį pagal paskirtį arba tiriant jo savy-
bes, dažnai sluoksnis per akimirką ar baigtinę trukmę paveikiamas didele spinduliuotės doze. Šiomis sąlygomis krūvio pernašai apibūdinti mažo trik-džio metodas netinka (jau matėme, kad mažo trikdžio sąlygomis negalime ištirti, krūvininkų rekombinacijos, taip pat ir koncentracinių reiškinių). Ta-
107
čiau ir nesant mažo trikdžio sąlygų apibūdindami pernašą galime remtis ne vien skaitiniais metodais. Egzistuoja analizinės elektrografinio režimo sąly-gomis nustatomo sluoksnio potencialo mažėjimo charakteristikų išraiškos, kurias galime gretinti su atitinkamais eksperimento rezultatais.
3.2.1. Elektroradiografinių sluoksnių jautris
Elektroradiografiniai sluoksniai (ERGS) taikomi pramoninėje defekto-skopijoje, medicininėje diagnostikoje. Pavyzdžiui, peršviečiant pacientą minkštaisiais Rentgeno spinduliais, ERGS sukuria nematomąjį vaizdą, vėliau ryškinant paverčiamą rentgeno fotonuotrauka.
Svarbus ERGS parametras yra sluoksnio jautris Rentgeno spinduliams, nusakomas švitinimo Rentgeno spinduliuote ERGS potencialo pradiniu sumažėjimu:
0 0
1 1 d
dt
US
P U t
. (3.35)
Dar naudojama ir kita jautrio išraiška – švitinamo ERGS potencialo sumažė-
jimo perpus trukme t1/2, t.y. S = 1/(P0t1/2). Čia P0 – Rentgeno spinduliuotės
galia, o t = 0 atitinka švitinimo pradžią. Tačiau teorinė t1/2 reikšmė gali būti surasta tik skaitiniais metodais.
Kadangi Rentgeno (arba ) spinduliuotė sugeriama visame ERGS
tūryje, tai krūvio pernašą, o tuo pačiu ir jautrį S, lemia abiejų ženklų krūvininkų dreifas, jų lokalizavimas ir rekombinacija. Krūvininkų šuolių schema parodyta 3.6 pav.
3.6 pav. Elektroninių šuolių schema elektroradiografiniame Se sluoksnyje.
1 ,
1 – elektronų ir skylių lokaliza-
vimo koeficientai; 2 ,
2 – elektro-
nų ir skylių rekombinavimo koefi-
cientai; M1, M2 – lokalizavimo būse-
nų tankiai; m1, m2 – lokalizuotų elek-
tronų ir skylių tankiai; n, p – laisvų
elektronų ir skylių tankiai; k0 – elek-trono ir skylės porų generacijos koeficientas, nusakantis per vienetinę
trukmę sukuriamų porų tankį prie eksponuojamo paviršiaus.
108
Vienmačio ERGS, kuriame vyksta 3.5 paveiksle parodyti krūvininkų šuoliai, fotoišelektrinimo procesą aprašo šitokios lygtys:
1 2
0
E em m n p
x
, n nj e nE ,
p pj e pE , (3.36)
1
1 1 1 2 1
mn M m m p
t
, 2
1 2 2 2 2
mp M m m n
t
, (3.37)
0 1 1 1 2 2
1e
x njn
k n M m m nt e x
, (3.38)
0 1 2 2 2 1
1e
pxjp
k p M m m pt e x
, (3.39)
čia – spinduliuotės sugerties koeficientas. Pastarąsias lygtis papildome elektrografinio režimo sąlyga
0 n p
Ej j
t
. (3.40)
Parašytoji lygčių sistema yra per daug sudėtinga, kad ją būtų galima
praktiškai panaudoti. Viena šių lygčių supaprastinimo, nekeičiančio lygtimis aprašomų reiškinių esmės, galimybė atsiranda dėl to, jog ERGS ekspona-vimas nėra akimirkinis (pagal (3.38), (3.39) lygtis eksponuojama tolygiai neribotą laiką). Jeigu laisvų krūvininkų tranzito trukmės skersai sluoksnio
yra žymiai mažesnės už laiko intervalą t, per kurį gali būti eksperimente pastebėtas sluoksnio potencialo pokytis, tai (3.36) Puasono lygtyje laisvų
elektronų ir skylių tankius n ir p galime prilyginti nuliui, o (3.38) ir (3.39)
lygtyse nepaisyti /n t , /p t . Formaliai šitai reikštų, kad nuo (3.36) –
(3.40) lygčių laiko ašies pereinama prie grubesnės laiko ašies, kurioje
baigtiniu matomas tik intervalas t, o trumpesni, taigi ir krūvininkų tranzito
trukmės, vaizduojamos taškais. Per trukmę t susidarę lokalizuotų krūvi-
ninkų tankiai m1 ir m2 nulemti per tą trukmę sluoksnį eksponuojant sukurtų
krūvininkų skaičiumi ir nėra tokie maži, kaip n ir p. Seleno ERGS eksponavimo rentgeno spinduliais pradžioje aukščiau
minėtos sąlygos dažniausiai galioja, todėl toliau jomis ir pasinaudosime. ERGS yra pakankamai stori sluoksniai, todėl pagal 3.1 skirsnio išvadas juose
lokalizavimo būsenų tankiai turėtų būti koordinatės x funkcijos. Tačiau, sie-kdami sumažinti (3.36) – (3.39) lygtyse esnačių parametrų, kurių reikšmės
nežinomos, skaičių, vis dėlto tarsime, kad M1=M2=M0=Const. Tuomet, iš
109
(3.37) – (3.39) lygčių pašalinę n ir p, o m1 ir m2 išreiškę dydžiu M0, koordi-
natę x – sluoksnio storiu l, laiką t – tam tikra trukme t0 (pavyzdžiui, poten-
cialo sumažėjimo pusiau trukme), lauko stiprį E jo pradine verte E0, srovių
tankius dydžiu 0E0/t0, vietoje (3.36) – (3.40) lygčių sistemos turime šitokią:
2 1
Ea m m
x
,
1 1
1 2 1 1 1
11
pjm m E
h h m h mt E t E
,
2 2
2 2 2 1 21
pjm m E
h h m h mt E t E
,
2 1 1 2e 1
p pxj j
aQ a h m h mt E
,
0p n
Ej j
t
. (3.41)
Čia pažymėta l , 0 0 0
/a elM E , 0 0 0 0
/Q k t M , 1 0 1
/n
h e ,
2 0 2/
nh e ,
1 0 1/
ph e ,
2 0 2/
ph e .
(3.41) lygčių sprendinių pradines ir kraštines sąlygas rašome šitokias:
,0 1E x , 1 2,0 ,0 0m x m x , 0, 1, 0
p nj t j t . (3.42)
(3.41) lygtyse kintamieji x ir t yra nepriklausomi, todėl sprendinių
galime ieškoti išreikštų t laipsnių eilute, pavyzdžiui
1, 1 ...E x t tE x
ir analogiškai kitoms funkcijoms. Lygtyse sulyginę daugiklius prie vienodų t laipsnių randame
1 1
e e e e( ) (0)e
pn n
n
g xg x g xxn pg x
p n n p
g gE x E aQ
g g g g
. (3.43)
Čia 1n
g ah , 1p
g ah , 1(0) e e /pg
pE aQ g .
110
Tada ERGS paviršiaus potencialas išreiškiamas lygybe
1
0
( )1 ...
U ttU
E l,
1
1 1
0
( ) dU E x x , ... , (3.44)
o ERGS jautris, apskaičiuojamas pagal (3.35) formulę, lygybe
1
0 0 00
1 1 d
dt
UUS
P U t P t
, (3.45)
Taigi gauname šitokią teorinę išraišką ERGS jautriui
1
0 0
1 e 1 e pp gn p n
pn
aQ g g g gS
gP t g
1 e enp g
n
g
g. (3.46)
(3.46) išraiškoje matome, kad potencialo pradiniu mažėjimu nusakytas jautris, kai pradiniu laiko momentu lokalizuotų skylių ir elektronų nėra ((3.42) pradinės sąlygos), nepriklauso nuo rekombinacijos parametrų. Jis taip pat nepriklauso ir nuo išlaisvinimo, kurio čia nepaisoma, tikimybių. Šitai visiškai suprantama. Mat, rekombinacija ir išlaisvinimas yra antrojo tarpsnio reiškiniai, neprasidedantys pradiniu laiko momentu. Pirmesnis yra
lokalizavimas. Tačiau, jei pradinės sąlygos kitos, t.y. 1( ,0) 0m x ,
2( ,0) 0m x , tai rekombinacija vyksta ir eksponavimo pradžioje, o pagal
(3.35) skaičiuojamas jautris priklauso nuo rekombinacijos parametrų. Pastarosios sąlygos atsiranda daug kartų eksponavus sluoksnį. Eilinį kartą eksponuojant ERGS jo jautris sumažėja dėl iš pat pradžių vykstančios rekombinacijos. Sakoma, kad ERGS nuvargsta.
ERGS jautrio teoriniai skaičiavimai ir eksperimento rezultatai
sugretinti 3.7 pav. (3.46) išraiškoje esantis daugiklis 2
0
0 0 0 0 0
kaQ el
t P U P , čia
k0 = 0,78 · 1013 P0/0, 0 – masinis spinduliuotės silpninimo koeficientas
ore, – kvantinis našumas. Skaičiuojant panaudota reikšmė = 4·10-4, atitinkanti kvantinį našumą nesant elektrinio lauko.
111
0 200 400 600 8000
14
28
42
56
4'
3'
6
4
2 3
5
1
S, R
–1
l, m
0
16
32
48
64
0 200 400 600 8000
10
20
30
40
S ',
R–1
6
4
2
3
5
1
S, R
–1
l, m
a) b)
3.7 pav. Amorfinio seleno (a-Se) elektroradiografinio sluoksnio jautrio prieklausa nuo sluoksnio storio: a) teorinės kreivės, b) eksperimento rezultatai. Spinduliuotės bangos ilgiai (Å) atitinkamai: 1- 0,8; 2- 0,6; 3- 0,1; 4- 0,14; 5-
0,32; 6- 0,22. Dysis S apskaičiuotas pagal pradinę U(t) kinetikos dalį, o dydis
S – pagal potencialo sumažėjimo pusiau laiką. P0 = 0,05 R/s, pradinis
potencialas U0 = 800 V, gn = 0,9·106 V/cm-2l21
0U
, gp = 3·106 V/cm-2l21
0U
.
3.7 pav. matome gerą teorinių ir eksperimentinių rezultatų derėjimą. Iš
skaičiavimų plaukia, kad ir nedidelis gn ir gp verčių pokytis smarkiai keičia S
didumą ir S maksimumo padėtį. Todėl 3.7 pav. panaudotos gn ir gp vertės
gana patikimos. Kadangi gn=T0n/n, gp=T0p/p (T0n, T0p – atitinkamai
elektronų ir skylių tranzito trukmės bei n =(1M0)-1, p =(
1 M0)
-1 – pradi-
nės lokalizavimo trukmės), tai plaukia, jog
T0p/p > T0n/n. (3.47) Pastebėsime, kad pagal šiame poskirsnyje suformuluotą artinį, viena ir
ta pačia gyvavimo trukmės p bei gyvavimo trukmės n reikšme apibūdi-name įvairaus storio ERGS. Todėl (3.47) nelygybę turime suprasti ne kaip konkretaus ERGS gyvavimo trukmių sąryšį, o kaip sąryšį, siejantį tam tikrus gyvavimo trukmių vidurkius įvairaus storio ERGS atžvilgiu.
112
3.2.2. Krūvininkų lokalizavimo būsenų energinio pasiskirstymo didžiavaržiuose puslaidininkiuose nustatymas
Teorinė ir eksperimentinė patirtis analizuojant krūvininkų pernašos fizi-kinius reiškinius leidžia manyti, kad didžiavaržių puslaidininkinių medžiagų draustinės energijos juostoje yra platus seklių ir gilių krūvininkų lokaliza-vimo būsenų spektras, kurio negalima aprašyti vienos ar dviejų rūšių lokali-zavimo būsenomis.
Lokalizavimo būsenų energinis pasiskirstymas gali būti nustatytas pagal srovės ar įtampos kitimą, krūvininkus optiškai žadinant iš šių būsenų. Eks-perimento schema parodyta 3.8 pav. Pirmiau didelės varžos puslaidininkinis sluoksnis, kuriame norima ištirti, pavyzdžiui, skylių lokalizavimo būsenas, įelektrinamas teigiamuoju krūviu iki tam tikro potencialo. Po to sluoksnis apšviečiamas stipriai sugeriama šviesa. Šviesos kvantų energijos turi pakakti krūvininkų fotogeneracijai. pvz., amorfiniam selenui būtų 400 nm bangos ilgio šviesa. Teigiamojo įelektrinimo atveju elektronai rekombinuoja su tei-giamuoju krūviu sluoksnio paviršiuje, o skylės dreifuoja sluoksnio tūriu ir patenka į lokalizavimo būsenas. Šviečiama tol, kol pasiekiama visiška visų būsenų užpilda. Eksperimentu kontroliuojamas šviečiamo sluoksnio poten-cialas sumažėja iki tam tikros reikšmės, vadinamos liktiniu potencialu (3.8 pav. (a)), kuri nebekinta toliau sluoksnį šviečiant.
a)
laikas
U liekamasis
+ + + + + +
– – – – – –
+ +
– – – – – –
+ + + +
400 nmįelektrinimas
apšv
ieti
mas
....... + +– – – – – –
+ + + +
pote
nci
ala
s
matavimas
laikas
cikliškas elektrinimas-
eksponavimas stipriai
absorbuojama šviesa
3.8 pav. Krūvininkų lokalizavimo būsenų spektro puslaidininkio drausti-
nių energijų juostoje nustatymo eksperimento schema: a) liktinio potencialo suformavimas sluoksnyje,
113
b)
laikas
2400 nm
laikas
+ +– – – – – –
+ + + ++ +
– – – – – –
+ + ++
– – – – – –
+ +
– – – – – –
+
2000 nm 1600 nm 1200 nmpote
nci
ala
sapšv
ieti
mas
eksponavimas ilgabange šviesa
U(t) kinetika
+ +
3.8 pav. (tęsinys) Krūvininkų lokalizavimo būsenų spektro puslaidininkio
draustinių energijų juostoje nustatymo eksperimento schema: b) krūvininkų žadinimas iš lokalizavimo būsenų infraraudonąja
spinduliuote.
Liktinio potencialo dydis stipriai priklauso nuo temperatūros (3.9 pav.). Tik žemoje temperatūroje (a-Se 145 K skylėms arba 170 K elektronams), sumažėjus terminiam krūvininkų išlaisvinimui, pasiekiama visiška atitinka-mos energijos intervalo būsenų užpilda krūvininkais. Siekiant krūvininkais užpildyti vis seklesnes būsenas, būtina žeminti sluoksnio temperatūrą. Aišku, kad žemoje temperatūroje stipriai sumažėja krūvininkų dreifinis jud-ris, todėl fotogeneruoti krūvininkai ir sluoksnio paviršiuje ir jo tūryje prak-tiškai nebedreifuoja, o dėl to sluoksnio potencialas nebekinta. Taigi, kad krūvininkai nesustotų dreifavę, sluoksnio temperatūra negali būti kiek no-rima žema, pavyzdžiui a-Se skylėms ji turi būti nežemesnė už 110 K, elektronams – 160 K.
114
0 2 4 6 8 100
200
400
600
800
= 400 nm
T = 300 K
T = 145 KU (
t), V
t, s
3.9 pav. Teigiamai įelektrinto a-Se sluoksnio potencialo kinetika
apšvietus 400 nm bangos ilgio šviesa 300 K temperatūroje (1 kreivė) ir 145 K temperatūroje (2 kreivė).
0 1 2 3 4 5
400
500
600
700
800
UL
T=145 K
l=126 m
U (
t), V
t, min.
0 50 100 1500
200
400
600
N – ciklø skaièius
UL , V
3.10 pav. a-Se sluoksnio teigiamojo potencialo kinetika cikliškai įelektri-nant bei eksponuojant stipriai suge-riama 400 nm bangos ilgio šviesa.
Taigi visiškai būsenų užpildai pasiekti pasirinktoje temperatūroje atlie-kamas daugkartinis sluoksnio elektrinimo ir eksponavimo stipriai sugeriama šviesa ciklas, kuriame eksperimentiškai stebimas sluoksnio liktinio poten-cialo didėjimas (3.10 pav.), kol pasiekiama šio potencialo didėjimo sotis.
Antrajame eksperimento tarpsnyje minėtu būdu paruoštas sluoksnis eks-ponuojamas infraraudonosios spektro srities šviesa (3.8 pav. (b)). Pastaroji yra silpnai sugeriama ir todėl tariama, kad sugertis yra vienalytė visame sluoksnio tūryje ir kad kvanto energijos visgi pakanka krūvininkus iš lokali-zavimo būsenų išlaisvinti. Žadinimą infraraudonąja šviesa pradėję didžiausio bangos ilgio monochromatine šviesa, krūvininkus žadiname iš pačių sek-liausių būsenų. Išlaisvintų krūvininkų dreifas lemia eksperimentu kontro-
liuojamo liktinio potencialo sumažėjimą dydžiu Ui, pagal kurį apskaičiuo-
jamas būsenų tankis i, atitinkantis žadinančios šviesos kvantų energijos in-
tervalą Ei:
0
2
2i
i
i
U
el
E, (3.48)
čia Ei = Ei – Ei–1 – dviejų gretimų ekspozicijų infraraudonąja šviesa energi-
jos intervalas (Ei Ei-1). Po to sluoksnis eksponuojamas mažesnio bangos
115
ilgio šviesa, ir gauname kitą sluoksnio liktinio potencialo sumažėjimą bei būsenų tankį, atitinkantį didesnę energiją puslaidininkio draustinės energi-jos juostoje. Šitaip tęsdami eksponavimą visame ilgabangės šviesos bangos ilgių intervale, randame krūvininkų lokalizavimo būsenų tankio pasiskirsty-mą energija – lokalizavimo būsenų spektrą.
Liktinis potencialas susidaro asimptotiškai per gana ilgą trukmę (3.10 pav.), todėl nustatant jo reikšmę galima suklysti. Antra, eksponuojant ilgabange šviesa liktinio potencialo reikšmę gali iškreipti, pavyzdžiui, krūvi-ninkų injekcija iš įelektrinto paviršiaus. Todėl toliau aptarsime lokalizavimo būsenų energinio pasiskirstymo nustatymą, besiremiantį ne liktiniu poten-cialu, o sluoksnio potencialo kinetikos pradinio tarpsnio analize.
Pirmiau išnagrinėsime sluoksnio, įelektrinamo nusodinant ant jo paviršiaus teigiamąjį krūvį, savaiminį (tamsinį) išelektrėjimą (3.11 pav.). Manoma, kad išelektrėjimą sukelia iš sluoksnio įelektrinto paviršiaus injek-tuojamos skylės (nuo elektronų injekcijos iš sluoksnio pagrindo apsisaugoma atitinkama technologija sudarant specialų pasluoksnį). Pastarosios, judėda-mos sluoksnio tūryje, gali būti lokalizuojamos būsenomis, kurių energinį pasiskirstymą turime nustatyti. Kadangi tiriamasis sluoksnis yra žemoje tem-peratūroje, tai šiluminio judėjimo ir elektrinio lauko sukeliamo lokalizuotų skylių išlaisvinimo nepaisysime. Nepaisysime taip pat ir difuzijos. Savaimi-nis išelektrėjimas yra gana lėtas reiškinys, todėl čia, kaip ir praeitame pa-skirsnyje, pereiname prie grubesnės laiko ašies, t.y. Puasono lygtyje nepai-some laisvųjų skylių erdvinio tankio, o tolydumo lygtyje – tankio išvestinės laiku.
0 20 40 60500
600
700
800
4 2
1
3
U (
t), V
t, min.
3.11 pav. Amorfinio seleno (a-Se)
sluoksnio potencialo mažėjimas
tamsoje. 1 ir 2 – teigiamasis krūvis sluoksnio paviršiuje; 3 – visiška sluoksnio tūrio užpilda skylėmis; T = 145 K, C1/C = 1,905; 4 – neigiamasis krūvis sluoksnio paviršiuje.
116
Čia, kaip ir iki šiol, tiriamąjam sluoksniui taikome vienmatį artinį. Įvardintomis sąlygomis krūvininkų pernašą aprašančios lygtys yra šitokios: Puasono lygtis –
0
0
( , )( , )
E x t em x t
x
, (3.49)
čia m0(x, t) – lokalizuotų visomis būsenomis skylių tankis; būsenų užpildos lygtis –
0( , ) ( , )m x t p x t
t
, (3.50)
čia tariama, kad visų rūšių būsenos silpnai užpildomos, taigi 1
i i
i
M ,
o i, Mi – atitinkami lokalizavimo i būsenomis koeficientas ir tų būsenų erdvinis tankis. Skylių tankio išraiška –
( , )( , )
( , )
j x tp x t
e E x t . (3.51)
Eksperimento sąlygomis tiriamasis sluoksnis yra kriostate, o jo elekt-
rinė talpa yra sujungta su išoriniu plokščiuoju kondensatoriumi, esančiu kambario temperatūroje ir naudojamu sluoksnio potencialui matuoti. Sluoksnio paviršiaus potencialui sumažėjus, iš išorinio kondensatoriaus ant sluoksnio paviršiaus atiteka tam tikras krūvis. Todėl dabar vietoj įprastinės elektrografinio režimo sąlygos turime šitokią:
0
( , )( , ) ( )
E x tj x t J t
t
, (3.52)
čia J(t) – iš išorinio kondensatoriaus tekančios srovės tankis. (3.49) – (3.52)
lygtyse laikas t skaičiuojamas nuo sluoksnio paviršiaus įelektrinimo momento. Elektrinio lauko stipris sluoksnio paviršiuje ir paviršinio krūvio
tankis susieti taip, kaip ir elektrografinio režimo sąlygomis, t.y.
0(0, ) ( )E t t , todėl (3.52) lygybę dabar galime perrašyti šitaip:
d( ) (0, )
dJ t j t
t
. (3.53)
117
Šioje lygybėje matome, kad J(t) – tai per vienetinę trukmę į sluoksnio paviršiaus vienetinį plotą atitekantis krūvis. Rasime jį. Išorinio kondensa-
toriaus krūvio q sumažėjimas per vienetinę trukmę 1
d / d (dU / d )q t C t , čia
C1 kondensatoriaus talpa. Šį sumažėjimą, paimtą su priešingu ženklu,
padalinę iš sluoksnio paviršiaus ploto S ir randame per vienetinę trukmę į sluoksnio paviršiaus vienetinį plotą atitekantį krūvį:
01 1d d( )
d d
C CU UJ t
S t l C t
, čia
0/C S l – sluoksnio talpa.
Iš sluoksnio paviršiaus injektuojamą krūvį daugelyje atvejų galima aprašyti kaip Pulo ir Frenkelio reiškinį, t.y.
1/2 (0, )
0(0, ) ( )e
E tj t t
. (3.54)
Čia 0, – nepriklausantys nuo elektrinio lauko stiprio parametrai, kurių reikšmės turi būti nustatytos iš eksperimento. Tuomet vietoj (3.53) turime šitokią lygtį paviršinio krūvio tankiui nustatyti:
1/2 (0, ) 0 1
0
d d( )e
d d
E t C Ut
t l C t
. (3.55)
Rasime parametrų 0, apskaičiavimo sąryšius. Iš (3.49), (3.50) ir (3.52) lygčių turime:
( , ) ( , ) ( , )
( , )
j x t ep x t j x t
x E x t
. (3.56)
Iš čia plaukia:
0
d( , ) (0, )exp
,
xx
j x t j tE x t
(3.57)
Savaiminio išelektrėjimo pradžioje, kurią čia ir tenagrinėjame, (3.57)
išraiškos dešiniojoje pusėje E(x,t) galima pakeisti lauko stiprio verte E(0,t).
Tuomet, panaudoję (3.52) ir joje įrašę surastą J(t) išraišką, randame:
0, 0 1
0
( , ) d( , ) (0, )e
d
x
E t CE x t Uj x t j t
t l C t
. (3.58)
118
Suintegravę (3.58) antrosios lygybės abi puses x atžvilgiu ir turėdami
omenyje tai, kad 0
( , )d ( )
l
E x t x U t , gauname:
0, 1
0
d(0, ) (0, ) 1 1
d
l
E t C Uj t E t e
C t
. (3.59)
Čia tarta, kad ir nepriklauso nuo x. (3.59) sąryšį panaudojame parametrų
0 ir reikšmėms nustatyti pagal pradines savaiminio išelektrėjimo greičio
reikšmes 0
d
dt
U
t
:
0,0
0 1
0
d (0,0) (0,0)1
d1
l
E
t
U j Ee
t C
C
. (3.60)
Dar pasinaudosime Lanževeno sąryšio pavidalo lygybe = 0/eM0, čia M0
– visų rūšių lokalizavimo būsenų erdvinis tankis, 0 i
i
M M . Tuomet
vietoj (3.60) turime
0
0
22
0 0
0 1
ed1 e
d2 1
UU
lU
t
UU
t CU
C
, (3.61)
čia pažymėtas
2
0
02
eM lU
(3.62)
yra eksperimentu kontroliuojamas potencialo pokytis, taigi žinomas dydis.
Nustatę 0
d
dt
U
t
dviems skirtingoms pradinėms potencialo reikšmėms
U01 ir U02, gauname:
0101 02
02
21
2
0 01
2 2
2 02
0
d
d 1 ee
d1 e
d
U
U U Ut l
U
U
t
U
t U
U U
t
. (3.63)
119
Iš (3.63), panaudoję eksperimentines 0
d
dt
U
t
reikšmes, surandame
parametrą , o po to iš (3.61) lygybės ir parametrą 0. Dabar išnagrinėsime skylių pernašą, kai, pirmiau visiškai užpildžius lo-
kalizavimo būsenas, sluoksnis šviečiamas tam tikro bangos ilgio infraraudo-nąja šviesa. Tuomet sluoksnio tūryje skylės generuojamos iš visų būsenų, kurių energinis gylis neviršija kvanto energijos. Vietoj (3.49) lygties dabar turime šitokią:
0
( )E e
M mx
. (3.64)
Čia M – visų skylėmis užpildytų būsenų iš kurių nėra generuojama tankis, o
m – skylių tankis lokalizuotų būsenomis, kurios veikiamos šviesa. Pastarojo kitimą, atsižvelgę į fotogeneraciją ir lokalizavimą, nusakome lygtimi:
1( )
mm p M m
t
, (3.65)
čia – fotogeneracijos tikimybė, M1 – būsenų, iš kurių vyksta fotogenera-
cija, tankis; – lokalizavimo koeficientas; tariama, kad , , M1 – nepriklau-
so nuo x. Vietoj (3.56) pirmosios lygybės turime šitokią lygtį:
1
1( )
jm p M m
e x
. (3.66)
(3.51), (3.52) bei (3.55) sąryšiai išlieka nepakitę. (3.64) – (3.66) lygtyse
esančios funkcijos m(x,t) pradinė sąlyga šitokia: m(x,0) = M1. Todėl iš (3.64), (3.66) bei (3.51) plaukia pradinių reikšmių sąryšiai:
0
0
( ,0) (0,0)eM x
E x E
, 0 1
M M M ,
1( ,0) (0,0)j x j e M x , (3.67)
1
0
0
(0,0)( ,0)
(0,0)
j e M xp x
eM xE e
,
120
čia laikas t skaičiuojamas nuo fotogeneracijos pradžios, o E(0,0) – elektrinio lauko stipris sluoksnio paviršiuje pradedant fotogeneraciją.
Dabar surasime sąryšius, kuriais remiantis būtų galima nustatyti lokaliza-vimo būsenų tankio ir fotogeneracijos tikimybės pasiskirstymą energijos
atžvilgiu. Suintegravę (3.64) x atžvilgiu, turime:
00 0
( , ) (0, ) ( , )d
xeMx e
E x t E t m x t x
. (3.68)
Tuomet laikui bėgant potencialo kitimas dėl fotogeneracijos infraraudonąja šviesa išreiškiamas šitaip:
2
0 00 0
( ) (0, ) d ( , )d2
l xeMl e
U t E t l x m x t x
. (3.69)
Tarkime, kad laiko momentu t = T fotogeneracija iš būsenų užbaigta. Tada
m(x,T) = 0 ir
2
0
( ) (0, )2
eMlU T E T l
. (3.70)
Potencialo pokytis dėl fotogeneracijos šviesa, kurios bangos ilgis , pagal
(3.69), (3.70) išraiškas ir turint dėmesyje tai, kad m(x,0) = M1, yra:
2
1
0
( ) (0) ( ) (0,0) (0, )2
eM lU U U T E E T l
. (3.71)
Iš (3.53) lygybės, įrašę joje J(t) išraišką, o po to suintegravę laiku, randame:
0 1
0
0
(0, ) (0,0) ( ) (0) (0, )d ( ) (0)
TC
E T E T j t t U T Ul C
.(3.72)
Pasinaudoję (3.72) lygybe, vietoj (3.71) turime
2
1 1
00 0
1 ( ) (0, )d2
TeM l C l
U j t tC
. (3.73)
121
Jeigu injekcijos iš sluoksnio paviršiaus nėra arba jos galima nepaisyti, tai iš (3.73) plaukia:
0 1
1 2
2( ) ( ) 1
CM U
Cel
. (3.74)
Ši formulė yra analogiška (3.48) išraiškai. Nustačius M1 kitu būdu, (3.73) formulė gali būti panaudota injektuojamo krūvio dydžiui nustatyti.
Dabar aptarsime tikimybės apskaičiavimo būdą. Tuo tikslu pasirem-
sime (3.69) lygybe ir apskaičiuosime U(t) išvestinę laiko atžvilgiu. Gauna-me:
0 00
d d (0, ) ( , )d d
d d
l xU E t e m x t
l x xt t t
. (3.75)
Pradiniu laiko momentu t = 0 iš (3.65) lygties randame 1
0t
mM
t
, o
iš (3.55), atsižvelgus į tai, kad (0) = 0, plaukia
0 1
0
0 0 0
d d d (0, )
d d dt t t
C U E t
t l C t t
. Taigi iš (3.75) lygybės
gauname šitokią lygybę:
2
1 1
00
d1
d 2t
C e M lU
C t
. (3.76)
Vadinasi,
0 1
2
01
2 d( ) 1
dt
C U
C teM l
. (3.77)
Taikant (3.74) parametro M1 vertei nustatyti, kartais galima suklysti
nustatant tikrąją T vertę, arba tą laiko momentą pasiekti praktiškai gali būti
neįmanoma, todėl aptarsime kitą būdą dydžiui M1 apskaičiuoti. Tuo tikslu
apskaičiuojame antrąją U(t) išvestinę laiko atžvilgiu:
2 2 2
2 2 2
0 00
d d (0, ) ( , )d d
d d
l xU E t e m x t
l x xt t t
. (3.78)
122
Iš (3.65) turime
2
12
0
( , )( ,0)
t
m x tM p x
t
. (3.79)
Atsižvelgę į tai, kad E(0,0) = 0, j(0,0) = 0, pasinaudoję (3.67) ktaštinėmis sąlygomis bei (3.55) lygtimi, gauname
22 1
12
00
d1
dt
MmM
Mt
,
2 2 2
1 1
02 2 2
0 00 0 0
d (0, ) d d d
dd d dtt t t
C CE t l U Ul
C C tt t t
. (3.80)
Čia taip pat pasinaudota jau minėtu Lanževeno sąryšiu 0 = e. Įrašę (3.80) išraiškas į (3.78) lygybę, randame
2221 1 1 1
02
0 000
d d1 1
d 2dtt
C C eM l MU U
C C t Mt
. (3.81)
Tuomet, pasinaudoję (3.77) lygybe ir tuo, kad 2
0 0 0/ 2U el M , iš (3.81)
gauname šitokią apskaičiavimo formulę:
112
02
1 00 00
1d d 1 d
d dd1t tt
C
U U UCCt U tt
C
. (3.82)
Įrašę šią reikšmę į (3.77) išraišką, randame
0 1
1 2
0
2 d1
dt
CUM
t Cel
. (3.83)
Apskaičiavę ir M1 ilgabangės šviesos bangos ilgiams ir – , randame reikšmę
M1() = M1( – ) – M1() (3.84)
123
ir lokalizavimo būsenų tankį, tenkantį vienetiniam energijos intervalui, nusakome lygybe
1( )
M
E
E , E =E ( – ) – E(), E = hc/. (3.85)
Šitai padarę visam ilgabangės šviesos bangos ilgių intervalui, nustatome krūvininkų lokalizavimo būsenų draustinės energijos juostoje energinį pa-siskirstymą. Taigi aukščiau aprašytas būdas (3.8 pav. schema) leidžia viena-reikšmiškai apskaičiuoti krūvininkų lokalinių būsenų energinio pasiskirs-tymo funkciją tiriamoje medžiagoje (3.12 pav.). Atkreipsime dėmesį į tai, kad šiame metode atsižvelgta į galimą krūvio injekciją iš sluoksnio įelektri-namojo paviršiaus.
0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8
0
3
6
9
12
15
0
3
6
9
12
15
, eV
·1
013, eV
-1·cm
-3
E0
EV
C1/C=1,91 C
1/C=1,91
C1/C=0,22 C
1/C=0,22
C1/C=0,45 C
1/C=0,45
EC
a-Se
·1012
, eV
-1·cm
-3
E
3.12 pav. Elektronų ir skylių lokalizavimo būsenų tankio energinis pasiskirsty-mas amorfiniame selene (a-Se) draustinių energijų juostoje. Liktinis
potencialas, kai būsenos visiškai užpildytos elektronais yra 265 V (170 K temperatūroje), kai skylėmis – 595 V (145 K temperatūroje).
E0 – 1,06 m bangos ilgio fotono kvanto energija.
= 1,5410-3 (m/V)1/2, 0 = 0,17910–3 (s–1).
124
3.2.3. Intensyvus supertrumpas elektrofotografinių sluoksnių eksponavimas
Čia tiriamų sluoksnių eksponavimo trukmė yra 2·10-11 s. Tariame, kad jis akimirkinis. Tuo pačiu pasirenkame laiko ašies detalumą – baigtiniai laiko intervalai yra tokie, kurie žymiai ilgesni už 2·10-11 s, pvz., 10-9 s ir ilgesni. Nagrinėsime organinius elektrofotografinius sluoksnius, turinčius donorinių ar akceptorinių priedų. Šiems sluoksniams būdinga tai, jog sluoksnyje šviesa sukurtų porų skylės judrios, o elektronai – nejudrūs. Aptariamais atvejais skylių tranzito skersai sluoksnio trukmė pradiniame lauke yra maždaug 10-5 s. Taigi pasirinktoje laiko ašyje skylių judėjimas turi būti aprašomas išreikštai, todėl praeituose poskirsniuose panaudoti kinetikos lygčių supaprastinimai čia nepriimtini.
Taigi tariame, kad šviesa sukurti elektronai lokalizuojami jų atsiradimo vietoje ir iš tų būsenų neišsilaisvina per trukmę, prilygstančią keletui skylių tranzito pradiniame lauke trukmių. Atsižvelgę dar į laisvų skylių ir lokalizuotų elektronų rekombinaciją bei skylių lokalizavimą giliosiomis būsenomis, turime šitokias fotoišelektrinimo procesą aprašančias lygtis:
0
p
E ep m m
x
, 0e xm
t mpt
,
p
p p
mp M m
t
, 0 E
pe E t
, (3.86)
čia M – skylių lokalizavimo būsenų tankis, m – lokalizuotų elektronų tan-
kis, mp – lokalizuotų skylių tankis, p – laisvų skylių tankis. (3.86) lygtyse
laikas t skaičiuojamas nuo sluoksnio apšvietimo momento, koordinatė x –
nuo sluoksnio įelektrinto paviršiaus, – šviesos sugerties koeficientas, –
krūvininkų rekombinacijos koeficientas, p – skylių lokalizavimo koeficien-
tas, – skylių judris (tariame, kad , p, nepriklauso nuo x), 0 – para-
metras, aprašantis krūvininkų porų fotogeneraciją, o dydis 0(1 – exp(– l)) lygus skylių, kurias sukuria šviesa, kritusi į sluoksnio paviršiaus vienetinį
plotą, skaičiui, l – sluoksnio storis. Dar tarsime, kad prieš sluoksnio ekspo-navimą šviesa sluoksnyje erdvinio krūvio nebuvo. Taip pat pasinaudosime Lanževeno pobūdžio lygybėmis bei pradinėmis sąlygomis:
0 1e
, 0
1p
e
, ( ,0) 0p
m x , ( ,0) 0m x , 0
( ,0)E x E . (3.87)
Įrašę (3.86) p išraišką į m ir mp lygtis, randame šių lygčių sprendinius:
125
0
0
e( , ) ( , )
x
m x t E x tE
, 0
( , )( , ) 1
p
E x tm x t M
E
. (3.88)
Tuomet Puasono lygtį elektrinio lauko stipriui užrašome šitokiu pavidalu:
1E EA BE
x E t
. (3.89)
Šioje lygtyje elektrinio lauko stipris išreikštas jo pradine verte E0, koordinatė
x – sluoksnio storiu l, laikas t – tranzito trukme l/E0, o
0 0
eMlA
E ,
e
1 e
x
B A , l . (3.90)
Parametras
0
0 0
1 ee
E (3.91)
išreiškia šviesa sluoksnyje sukurtų skylių skaičiaus ir teigiamųjų krūvių, nusodintų ant sluoksnio paviršiaus jį įelektrinant, skaičiaus santykį.
Tinkamiausias (3.89) lygties sprendimo būdas – charakteristikų meto-das. Charakteristikoje, kurios diferencialinė lygtis
d dx E t , (3.92)
(3.89) lygtį užrašome šitaip:
d
d
EBE A
x . (3.93)
Kraštinę sąlygą E(0,t) = 1 (dimensiniais dydžiais E(0,t) = E0) tenkinantis (3.93) lygties sprendinys šitoks:
0 0 0
0( , ) 1 ( )exp ( )d d exp ( )d
x x x
x x x
E x x A x B x x x B x x
, (3.94)
čia x0 yra charakteristikos parametras (3.13 pav.).
126
0
3.13 pav. (3.93) lygties charakteristikos
Toliau mums svarbi tik sluoksnio potencialo U(t) mažėjimo pradžia,
t.y. tik maži t. Kiekvienoje charakteristikoje mažą t atitinka mažas skirtumas
x–x0, kurio laipsnių eilute ir skleidžiame (3.94) išraiškos dešiniąją pusę.
Tarus, kad A = const, randame
0
0 0
e( , ) 1
1 e
x
E x x x x
0 0
2
2
0
( )e e1...
2 1 e 1 e
x xA
x x . (3.95)
Po to tokiu pačiu tikslumu randame ir antrąją parametrinę lygtį:
0
0
2
0 0 0
0
d 1 e( , ) ...
( , ) 2 1 e
x x
x
xt t x x x x x x
E x x
. (3.96)
Antrame skyriuje aprašytu būdu apskaičiuojame sluoksnio potencialą:
1
1
1 1
0 00
( )( , )d ( , )d ( , )d
x
x
U tE x t x E x t x E x t x
U
2 21 e 1 e1 ...
2 1 e 1 et A t
. (3.97)
127
Iš (3.97) randame
0
0
d /
dt
U U
t
, (3.98)
2
0 2
2
0
d / 1 e e
d 1 e 1 et
U UA
t
, (3.99)
o iš pastarųjų išraiškų gauname
22
0 0
2
0 0
d / d / 1 e 1 e
dd 1 e 1 et t
U U U UA
tt
. (3.100)
(3.98) ir (3.100) išraiškos ypatingos tuo, kad pagal pirmąją iš jų, žinant
ir eksperimentinį potencialo mažėjimo greitį, galima apskaičiuoti skylių
judrį , o iš antrosios išraiškos, esant dideliems – įvertinti šviesos sugerties
koeficientą . 3.14 paveiksle parodyti poli-N-epoksipropilkarbazolo (PEPK), sensibili-
zuoto trinitrofluorenonu (TNF) arba pirilio druskomis (PD), fotoišelektri-nimo eksperimentiniai rezultatai. Krūvininkų fotogeneracijos šviesos šaltiniu buvo naudotas pasyvios modų sinchronizacijos AlG-Nd3+ neodimio lazeris. Vienas 2·10-11 s trukmės šviesos impulsas, išskirtas naudojant Pokelso prizmę, buvo stiprinamas ir netiesiniais KDP kristalais pagrindinės harmo-nikos dažnis didinamas 4 kartus. Minėtu būdu sluoksniui apšviesti sufor-muoto 270 nm šviesos bangos ilgio impulso energija buvo kontroliuojama matuojant iš anksto sugraduoto fotodiodo elektros srovės dydį. Sluoksniai iki pageidaujamo potencialo buvo įelektrinami skorotronu. Šis specialios konstrukcijos aukštos įtampos prietaisas yra sudarytas iš plonos vielos elektrodo, inicijuojančio elektros išlydį ore, bei tinklelinio elektrodo, kontroliuojančio jonų srautą. Potencialui registruoti panaudoti dviejų konstrukcijų elektrometrų elektrodai: vibruojantis zondas – pradinio poten-
cialo U0 bei nusistovėjusio potencialo U( t ) matavimams ir nejudantis
zondas – matuojantis potencialo kinetiką U(t) realiame laike, t.y. registruo-jantis sparčiuosius procesus. Nejudantis elektrometro zondas, kartu su greitaeigiu elektroniniu kartotuvu, leidžia eksperimente registruoti elektri-nius signalus, kurių kitimo laiko pastovioji neviršija 1,5·10-8 s.
128
(a) (b)
3.14 pav. a – Skylių judrio prieklausa nuo parametro . Šviesos bangos ilgis
= 270 nm. 1 – EFS su 5 mol % TNF, l = 2,8 m, U0 = 390 V,
2 – 2 mol % TNF, l = 5,8 m, U0 = 600 V, 3 – 2 mol % PD, l = 3,9 m,
U0 = 440 V, 4 – 0,5 mol % PD, l = 4,4 m, U0 = 53 V. Brūkšninės linijos
žymi vidutines judrio reikšmes. b – (3.100) išraiškos kairiosios pusės prie-klausa nuo šviesos, krentančios į EFS, energijos. Simbolių prasmė – kaip ir (a) dalyje.
Iš (3.98) išraiškos, užrašytos dimensiniais dydžiais, gauname formulę
skylių judriui apskaičiuoti:
2
2
00
d
dt
l U
tU
. (3.101)
Pagal (3.101) išraišką apskaičiuotos skylių judrio reikšmės parodytos
3.14a pav. Parametras apskaičiuotas pagal (3.91) išraišką, o joje esančio
dydžio 0 reikšmei nustatyti reikalingas fotogeneracijos kvantinis našumas surastas iš nepriklausomo eksperimento, taikant žinomą metodą – sluoksnį
eksponuojant mažo intensyvumo šviesa, kurios = 270 nm, impulsu ir panaudojant potencialo kinetikos pradines charakteristikas.
Literatūroje buvo skelbiama nuomonių, kad kvantiniam našumui būdingi koncentraciniai efektai – jis didėja, didėjant šviesos intensyvumui. Jei taip būtų, tai 3.14a pav. rezultatai būtų gauti esant sumažintoms (lygi-
nant su tikrosiomis) reikšmėms ir tuo labiau sumažintoms, kuo didesnis
129
(intensyvumas). Dėl to pagal (3.101) apskaičiuotos judrio reikšmės, didėjant
reikšmei, vis daugiau turėtų viršyti tikrąsias judrio reikšmes. Tai, kad
visiems sluoksniams apskaičiuotos judrio reikšmės nepriklauso nuo , daro mažai tikėtina prielaidą, jog egzistuoja tam tikri judrio koncentraciniai
reiškiniai (kurių čia nepaisoma), kompensuojantys sumažintas reikšmes. Iš čia išvedama, kad fotogeneracijos kvantiniam našumui nebūdingi koncentraciniai efektai iki paties didžiausio šiuose eksperimentuose pasiekto šviesos intensyvumo – 2,8·1018 kvantų/m2.
3.14b pav. parodyta (3.100) lygybės kairiosios pusės eksperimentinių rezultatų prieklausa nuo visos šviesos energijos. Kai impulso energija
E > 0,15 mJ, kairiosios pusės reikšmė visiems sluoksniams neviršija 6. Taigi
tuomet ir dešiniosios pusės pirmasis dėmuo (1 e ) / (1 e ) 6 . Iš čia
plaukia, kad < 6. Mažo intensyvumo šviesos, kurios = 270 nm,
nagrinėjamų sluoksnių sugerties koeficientas toks, kad jį atitinkantis turėtų būti tarp 28 ir 58. Tai žymiai daugiau, negu plaukia iš 3.14b pav. rezultatų. Išplauktų, kad didelio šviesos intensyvumo sąlygomis susilpnėja šviesos sugertis. Taigi išeitų, kad šiomis sąlygomis sugerties (silpnėjimo)
koeficientas tampa priklausomas nuo koordinatės x, nes tolstant nuo apšvie-
čiamo paviršiaus silpnėja šviesos intensyvumas ir turėtų didėti. Pastarasis reiškinys yra aptinkamas analizuojant krūvio pernašą, bet negali būti išaiškintas remiantis čia naudojamomis kinetikos lygtimis.
3.3. Fotoreceptoriaus potencialo visos kinetikos tyrimas. Skaitiniai metodai
Dalis kopijavimo įrenginių bei lazerinių spausdintuvų fotoreceptorių
yra gaminami iš organinių puslaidininkinių medžiagų. Joms būdinga tai, kad krūvininkų pernašą sluoksnyje lemiantys parametrai, pavyzdžiui, krūvininkų judriai, krūvininkų lokalizavimo būsenų tankiai ir kt., nėra pastovūs dydžiai, o dažnai priklauso nuo koordinačių arba net ir laiko. Tokiomis sąlygomis 3.2 skirsnyje aprašytas potencialo išvestinių metodas krūvio pernašos mechanizmams tirti nebetinka. Šiuo atveju potencialo kinetiką tenka analizuoti plačiame laiko intervale, o teoriškai interpretuojant eksperimentų rezultatus – pasitelkti skaitinius metodus.
3.3.1. Dvisluoksnis fotoreceptorius
Dvisluoksnis organinis fotoreceptorius sudarytas iš krūvininkų generavimo sluoksnio (KGS) bei krūvininkų transportavimo sluoksnio (KTS), o šie du sluoksniai suformuoti ant barjerinio sluoksnio (3.15 pav.).
130
Krūvininkų poros šviesa sukuriamos tik KGS, o iš KGS į KTS injektuojamas tik vieno ženklo – šiuo atveju teigiamas krūvis – skylės.
Išelektrinant dvisluoksnį organinį fotoreceptorių krūvininkų injekcija iš KGS į KTS prasideda tik esant pakankamai didelei apšvietai, todėl skylių
dreifo per KTS negalima aprašyti mažo krūvio dreifo artiniu. KGS storis lg
labai mažas, lyginant jį su KTS storiu l, todėl potencialo kritimo KGS nepaisysime. Kadangi skylės į barjerinį sluoksnį nepatenka, tai plaukia, kad fotoreceptoriaus potencialo kinetiką lems trys faktoriai: krūvininkų generavimas KGS, skylių injekcija iš KGS į KTS ir jų dreifas KTS. Tarsime,
kad elektronų ir skylių porų generacija KGS yra akimirkinė ir laiką t toliau skaičiuosime nuo fotogeneracijos momento.
3.15 pav. Dvisluoksnio fotorecepto-
riaus schema. KGS – krūvio generacinis sluoksnis, KTS – krūvio transportinis sluoksnis.
Taip pat tarsime, kad šviesos sugertis KGS yra vienalytė, dėl to pradinis elektronų ir skylių pasiskirstymas KGS taip pat vienalytis. Dar pridursime, kad krūvininkai KGS elektriniame lauke juda laisvai ir elektronai apšviečiamąjį KGS paviršių pasiekia žymiai greičiau, negu baigiasi skylių injekcija. Pastarosios, pasiekusios KGS ir KTS sandūrą, laisvai
injektuojamos į KTS. Suformuluotomis sąlygomis elektrinio lauko stiprio Eg kitimą KGS lems tik laisvas skylių dreifas. Taigi Puasono lygtis lauko stipriui šitokia
0
g
g
g
E ep
x
, (3.102)
čia g – KGS dielektrinė skvarba, pg – skylių erdvinis tankis KGS, x – skai-čiuojamos nuo apšviečiamojo KGS paviršiaus. Skylių srovės tankį išreiškę lygybe
131
g g gj e p E (3.103)
ir pasinaudoję elektrografinio režimo sąlyga
00
Ej
t
, (3.104)
vietoj (3.102) lygties randame šitokią:
10
g g
g g
E E
x E t
. (3.105)
(3.105) lygtį spręsime charakteristikų metodu. Turėdami mintyje tai,
kad, nusakant skylių injekciją į KTS, svarbu žinoti Eg reikšmę KGS ir KTS sandūroje, (3.105) lygtį užrašome pilnutinės išvestinės koordinate pavidalu:
d0
d
gE
x , (3.106)
d dg g
x E t . (3.107)
Toliau tariame, kad g = const. Kadangi (3.107) charakteristikoje Eg
nepriklauso nuo x, tai (3.106) lygties sprendinį užrašome šitaip:
0
0 0 0 0
0
( , ) ( ) (1 )g
g g
g
epE x x E x p E x
, (3.108)
čia E0 – elektrinio lauko stipris įelektrintame, bet dar neeksponuotame KGS.
Parametras p nusako elektrinio lauko susilpnėjimą KGS paviršiuje dėl fotogeneruotų elektronų, o jo skaitinė reikšmė lygi viso skylių krūvio, injektuoto į KTS, ir pradinio krūvio, nusodinto ant fotoreceptoriaus
paviršiaus iki jo eksponavimo šviesa, santykiui; (1–p)E0 – elektrinio lauko
stipris apšviestąjame KGS paviršiuje; p0g – pradinis skylių tankis; x0 – charakteristikos pradžios koordinatė. (3.108) išraišką įrašę į (3.107) lygtį ir
joje suintegravę koordinate ir laiku bei atsižvelgę į tai, kad x = x0, kai t = 0, randame
132
0
0( )
g g
x xt
E x
. (3.109)
Iš (3.109) lygybės išreiškę x0 ir tą išraišką įrašę į (3.108) dešiniąją pusę,
randame Eg, išreikštą laiku. Pastarojoje Eg išraiškoje įrašę x = lg surandame
Eg išraišką ties KGS pagrindu:
0 0
0 0
0 0
1
( ) (1 ) (1 ) 1g g g
g g g
g g
ep ep tE t p E l p tE . (3.110)
(3.110) lygybė galioja visiems t ≤ T = lg / (μg(1 – p)E0). Čia T yra laiko
momentas, kada skylių paskutinysis frontas (x0 = 0) pasiekia KGS ir KTS sandūrą. (3.110) išraiška nusako elektrinio lauko stiprio KTS kraštinę sąlygą bei (pagal (3.104) lygybę) į KTS injektuojamų skylių srauto tankį. Kai
apšvietus KGS sukuriama tiek krūvininkų porų, jog p 1, tai paskutinysis skylių frontas juda išnykstančiame elektriniame lauke, skylių injekcijos į
KTS trukmė T , o per šią trukmę į KTS injektuoto krūvio reikšmė artėja prie įelektrinant fotoreceptorių nusodinto ant KGS paviršiaus krūvio. Realiai injektuotas krūvis gali būti ir mažesnis už nusodintąjį dėl galimos elektronų ir skylių rekombinacijos labai susilpnėjusio lauko srityje. Pastaroji išvada galioja ir tada, kai KGS šviesa sukuriama daugiau krūvininkų porų,
negu p = 1 atveju. Dabar išnagrinėsime skylių pernašą KTS. Pirmiau aptarsime skylių
laisvo dreifo artinį, tarę, kad skylių judris priklauso nuo elektrinio lauko
stiprio E:
0
0e
E , (3.111)
čia 0, 0 – eksperimentu nustatomi dydžiai. Skylių dreifui KTS galioja (3.105) ir (3.107) lygtys, kuriose vietoj KGS dydžių yra įrašyti atitinkami
KTS dydžiai. Tačiau šiuo atveju elektrinio lauko stiprio E kraštinė sąlyga pagal (3.110) išreikšta laiku, todėl (3.105) lygtį užrašome pilnutinės išvestinės laiku pavidalu. Taigi turime:
d0
d
E
t , d dx E t , (3.112)
(3.112) lygčių sprendiniai šitokie:
133
( , ) ( )E t E , ( )( )x E t . (3.113)
Čia x skaičiuojamas nuo KGS ir KTS skiriančio paviršiaus, o E(η) –
elektrinio lauko stipris KGS ir KTS sąlyčio paviršiuje laiko momentu t = η. Tarę, kad tame paviršiuje krūvio nėra, turime
g( ) ( )
gE E
, (3.114)
čia Eg(η) išreiškiamas (3.110) formule vietoje t įrašius η. (3.113) sąryšius
užrašysime bedimensiu pavidalu, laiko kintamuosius t ir η reikšdami dydžiu
00 0
00 e
E
lT
E, (3.115)
kuris lygus skylių tranzito per KTS trukmei pradiniame elektriniame lauke.
Koordinatę x išreiškiame KTS storiu l, o fotoreceptoriaus pilnutinį pradinį
potencialą pažymime U0. Pasinaudoję nesudėtingu būdu išvedamu pradinio
elektrinio lauko stiprio E(η = 0) KTS ir pradinio potencialo U0 sąryšiu
1
0 0( 0) 1
g b
t
g b
l lE E U l
l l
bei iš (3.114), (3.110) išplau-
kiančia lygybe 0
( 0)g
E E
, skylių injekcijos į KTS trukmės T ir skylių
tranzito per KTS trukmės T0 santykį išreiškiame šitaip:
0
1
(1 )
T
T u p
. (3.116)
Šioje lygybėje
0e
g
g g
lu
l
ir 0
0 1 1 1 1(1 )
g g b b
U
l l l l l
.
Apskaičiuodami KTS potencialo U1(t) kinetiką turime išskirti du
atvejus: T ≥ T0 arba u(1–p) ≤ 1 ir T < T0 arba u(1–p) > 1. Kadangi
134
1
0
( ) ( , )d
l
U t E x t x , (3.117)
o elektrinio lauko stipris išreikštas (3.113) charakteristikose, tai apskaičiuo-dami (3.117) integralą remiamės 2 skyriuje aprašytu kintamųjų keitimo būdu. Šio atvejo charakteristikų ir integravimo sričių schema parodyta 3.16 pav.
3.16 pav. Charakteristikos ir integravimo sritys, kai u(1–p) ≤ 1.
Potencialo apskaičiavimas pateiktas 3 Priede. Toliau pateikiami galuti-niai rezultatai.
1. Atvejis, kuomet u (1 – p) ≤ 1.
a) laiko intervalas 0 ≤ t ≤ 1. Tuomet
1
0
( )1 ( , )d
tU t
t F tU
, (3.118)
čia 1
0gU lE – pradinis KTS potencialas,
( ) 12
1/2
( )( , ) e 1 1 (1 )
1 2(1 )
E up tF t up
up up
, (3.119)
1( ) (1 )E up .
135
b) laiko intervalas 1 < t ≤ (u(1–p))–1. Šiame intervale
1
1
( )
( )( , )d
t
t
U tF t
U
, (3.120)
čia η1(t) apskaičiuojamas iš lygties
*1( ) 1
1 1( )( )e 1
E
E t
(3.121)
(η1(t) – laiko reikšmė, kai laiko momentu t į KTS injektuotos skylės pasiekia KTS pagrindą).
c) laiko intervalas (u(1–p))–1 < t ≤ t0. Tuomet turime
1
1
( (1 ))1 121
( )
( ) 1(1 ) e ( , )d
(1 )
u pp
t
U tp t F t
u pU
, (3.122)
čia
1 11 1
0(1 ) e
p
t p u
(3.123)
laikas, per kurį skylių paskutinysis frontas pasiekia KTS pagrindą (x = 1).
d) kai t > t0, tai U1(t) = U1(t0).
2. Atvejis, kuomet u (1 – p) > 1.
a) laiko intervalas 0 ≤ t ≤ (u(1–p))–1. Potencialą U1(t) išreiškiame (3.118) formule.
b) laiko intervalas (u(1–p))–1 < t ≤ 1. Šiame intervale
1
( (1 ))1 121
0
( ) 11 (1 ) e ( , )d
(1 )
u ppU t
t p t F tu pU
. (3.124)
c) laiko intervalas 1 < t ≤ t0. Potencialą U1(t) išreiškia (3.122) formulė.
d) kai t > t0, tai U1(t) = U1(t0).
136
Atsižvelgę į barjerinį sluoksnį, į kurį skylės nepatenka, bet, kaip jau
tarta, nepaisydami potencialo kritimo KGS, fotoreceptoriaus potencialą U(t) išreiškiame lygybe
1
0
( )( )1
b b
U tU tk k
U U
, b
b
b
lk
l
. (3.125)
Eksperimente naudotas dvisluoksnis fotoreceptorius, kuris gautas ant
aliuminiu padengto polietileno-tereftalato plėvelės užliejus 11 μm storio KTS (hidrazono bei polikarbonato (PC-Z) 1:1 mišinį), o ant KTS užliejus 0,5 μm storio KGS (titanil-ftalocianino (TiOPc) ir polyvinilbutiralio (PVB) rišančios medžiagos 7:3 mišinį). Skylių dreifinis judris surastas krūvininkų lėkio elektrografiniame režime „time-of-flight (TOF)“ metodu. Pvz., skylių
judris, kai elektrinio lauko stipris 3,6∙105 V/cm, lygus μ = 1,1∙10-6 cm2/V∙s. Judrio prieklausa nuo elektrinio lauko stiprio, kaip plaukia iš eksperimento,
yra eksponentinio pavidalo – (3.111) formulė, kurioje = 4,8 ·10-3
(cm/V)1/2, o skylių judrio reikšmė μ0, gauta ekstrapoliuojant judrio reikšmes į nulinio elektrinio lauko sritį, lygi 6,2∙10-8 cm2/V∙s.
Skaičiavimų pagal (3.118) – (3.125) formules rezultatai parodyti
3.17 pav. Čia parametro p reikšmė nustatyta pagal eksperimentu stebimą
kvazinuostoviąją U(t) reikšmę Un. Mat, teoriškai Un = U(t0) ir priklauso tik
nuo p. Matome, kad skaičiavimai laisvo krūvininkų dreifo artiniu numato spartesnį potencialo mažėjimą pradiniame fotoišelektrinimo tarpsnyje (5, 6 kreivės), o šitai nedera su eksperimento rezultatais (1, 2 kreivės). Vadinasi, laisvojo skylių dreifo artinys nėra pakankamas sluoksnio fotoišelektrinimui aprašyti. Kadangi KTS tūryje elektronų nėra, tai skylių judėjimo sulėtėjimą gali lemti skylių lokalizavimas KTS. Dar pastebėsime, kad padidėjus šviesos
impulso energijai nustatoma p reikšmė padidėja mažesniu santykiu (1, 5 ir 3, 7 kreivės). Šitai gali būti nulemta jau minėtos krūvininkų rekombinacijos KGS. Didelės šviesos impulso energijos atveju (4, 8 kreivės) jau eksperi-
mentu nustatytas U(t) mažėja sparčiau, negu numato skaičiavimai. Viena šio reiškinio priežasčių galėtų būti difuzinės skylių pernašos iš KGS į KTS įna-šas, kurio teorijoje nepaisyta, kita – potencialo kritimo KGS įnašas.
Taigi dabar tarsime, kad dreifuodamos KTS skylės lokalizuojamos
sekliosiomis būsenomis, kurių tankis M nepriklauso nuo koordinatės x.
Lokalizuotų skylių tankį pažymėję m (m(t = 0)= 0), turime m kinetiką aprašančią lygtį
1t
m mMp m
t M
, (3.126)
137
0,000 0,004 0,008 0,1 0,2 0,3 0,40
200
400
600
800
p = 0,99
p = 0,67
p = 0,38
4
3
6
2
1
56
5
1 – 3 eksperimento rezultatai4 – 6 skaièiavimo rezultatai
4
3
2
1
u = 37k
b = 0,11
1,4 erg/cm2
11 erg/cm2
3,7 erg/cm2U, V
t, s
3.17 pav. Dvisluoksnio organinio fotoreceptoriaus fotoišelektrinimo kinetika eks-ponuojant trumpais (10-6 s) įvairios energijos šviesos impulsais, kai
= 780 nm. 4 – 6 kreivės – skaičiavimai laisvo dreifo artiniu.
čia γM – skylių lokalizavimo tikimybė laiko momentu t = 0; β – pastovi
skylių išlaisvinimo iš lokalizuotų būsenų tikimybė; pt – laisvųjų skylių tankis KTS. Iš elektrografinio režimo sąlygos turime
0
t
Ep
e E t
. (3.127)
Šią išraišką įrašę į (3.126) lygtį bei pasinaudoję 0γ / 1e sąryšiu, iš
(3.126) randame
0
e( , ) 1 ( , ) e 1 d
( , )
t s ts t
m x t M E x t s tE x t
, (3.128)
138
čia s = βT0, o T0 išreiškiamas (3.115) lygybe. (3.128) išraiškoje laikas t ir t'
išreikštas dydžiu T0, o elektrinio lauko stipris E(x,t) – pradiniu elektrinio
lauko stipriu KTS – E0t. Pasirinktu artiniu Puasono lygtis, užrašyta dimensiniu pavidalu, yra
šitokia
0
( , )t
E x t ep m
x
. (3.129)
Pasinaudoję (3.127) ir (3.128) išraiškomis bei elektrinio lauko stiprį išreiškę
dydžiu E0t, vietoj (3.129) turime šitokią bedimensinę lygtį:
( , )( , ) ( , ) ( , )
E x tR x t E x t Q x t
x
. (3.130)
Čia
0
e( , ) ·e 1 d
( , )
t s ts t
R x t a s tE x t
, (3.131)
1 ( , )( , )
( , )
E x tQ x t a
E x t t
, (3.132)
0 0t
eMla
E ,
( , ) 1
eE x t
. (3.133)
(3.130) lygties sprendinio pradinė sąlyga E(x,0) = 1, o kraštinės sąlygos šitokios:
1(0, ) (1 )E t upt
, kai t ≤ (u(1–p))–1,
E(0,t) = 1 – p, kai t > (u(1–p))–1. (3.134)
(3.130) lygtis sprendžiama tik skaitiniais metodais. Skaičiavimo bei eksperi-mento rezultatai parodyti 3.18 paveiksle.
Glaustai aptarsime principus, kuriuos naudosime nustatydami nežino-mas pernašos parametrų reikšmes, kai teoriniai rezultatai yra skaitmeninio pavidalo, o eksperimento ir teorijos duomenys gretinami dideliame laiko intervale. Pirmiausiai pastebėsime, kad čia aptariamas (ir kiti) teorinis mo-delis remiasi tam tikru skaičiumi prielaidų, supaprastinančių pernašos apra-šymą. Dėl šios priežasties teoriniai rezultatai tik apytiksliai aprašo realų reiš-
kinį. Todėl labai svarbu rasti tą sluoksnio potencialo U(t) sritį, kuri yra jaut-riausia nustatomajai reikšmei. Išskirkime pirminius ir antrinius modeliu ap-rašomus reiškinius. Pirminiai reiškiniai, pvz., krūvininkų generavimas, loka-
139
lizavimas, lemia U(t) pradinį mažėjimą, todėl krūvininkų generavimą, jų lokalizavimą apibūdinančių parametrų reikšmes turime parinkti gretindami
pradinio tarpsnio U(t) teorinius ir eksperimento duomenis. Antriniai reiški-niai, pvz., lokalizuotų krūvininkų išlaisvinimas, prasideda vėliau, negu pir-miniai, todėl antrinius reiškinius apibūdinančių parametrų reikšmes turime parinkti laiko intervale, einančiame po pradinio tarpsnio.
Grįžkime prie nagrinėjamo modelio. Yra trys modelio parametrai: p, a
ir s, apibūdinantys atitinkamai krūvininkų generavimą, lokalizavimą ir iš-laisvinimą. Kadangi giliojo lokalizavimo ir rekombinacijos nėra, tai poten-
cialo asimptotiką lemia tik p reikšmė, kurią ir įvertiname iš eksperimentinių
potencialo kinetikos asimptočių, t,y iš eksperimentinės U()/U0 reikšmės,
prilygindami ją pagal (3.125) dydžiui 1–p/(1+kb). Parametrų a ir s reikšmės nustatomos iš teorinės bei eksperimentinės potencialo kinetikos optimalaus
sutapimo sąlygos: a – pradinėje potencialo greitojo mažėjimo srityje (vienas
arba keli T0), s – tolimesnėje potencialo lėtojo kitimo srityje (t = (10 –
20)∙T0). Jeigu M būtų pastovus, tai pagal (3.133), parametras a būtų atvirkš-
čiai proporcingas sluoksnio įelektrinimo potencialui U0. Tačiau apskaičiavę
0 5 10 15 20 300 600 9000,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
21
5
laisvas dreifas,U
0=1138 V
5
4
3
2
1
p = 0,99k
b = 0,11
gen
= 6,2·10-6
0 = 6,2·10-8
= 4,8·10-3
t = 2
g = 2,5
lt = 10,86·10-4
lg = 0,5·10-4
1 – 2 eksperimentas3 – 5 skaièiavimai
1 – U0 = 425 V; T
0 = 3,10·10–3 s
2 – U0 = 1138 V; T
0 = 1,95·10–4 s
3 – u = 105; a = 0,6 ; s = 0,074 – u = 18; a = 1,4 ; s = 0,14
U (
t) /
U0
t / T0
3.18 pav. Dvisluoksnio organinio fotoreceptoriaus fotoišelektrinimo kinetika ap-
švietus 10-6 s trukmės ir 11 erg/cm2 energijos šviesos impulsais,
= 780 nm. 3, 4 – teoriniai skaičiavimai atsižvelgus į skylių loka-
lizavimą. 5 – laisvas skylių dreifas.
140
randame: M = 1,5∙1015 cm-3, kai U0 = 1138 V ir M = 0,24∙1015 cm-3, kai
U0 = 425 V. Kadangi Lanževeno sąryšiu jau atsižvelgta į lokalizavimo koeficiento prieklausą nuo elektrinio lauko stiprio, tai iš šių rezultatų vienareikšmiai plaukia, kad sekliųjų lokalizavimo būsenų tankis bent jau iš dalies yra indukuotas elektriniu lauku ir siekia (0,3 – 1,5)∙1015 cm-3.
Skylių lokalizavimo pradiniame elektriniame lauke trukmė
(γM)-1 = T0/a. Ji lygi 5,3∙10-3 s, kai U0 = 425 V ir 1,5∙10-4 s, kai
U0 = 1138 V, t.y. artima T0. Skylių išlaisvinimo iš lokalizuotos būsenos
tikimybės β prieklausa nuo elektrinio lauko stiprio nustatoma analizuojant
3.18 paveikslo duomenis. Nustatyta išlaisvinimo trukmė τ = 1/β = T0/s lygi
(6 – 9) T0. Kadangi skylių išlaisvinimo trukmė τ viršija skylių tranzito
trukmę T0 kelis kartus, tai plaukia, jog skylių lokalizavimas KTS riboja fotoreceptoriaus fotoišelektrinimo greitį.
Lygindami 3.17 ir 3.18 pav. skaičiavimų rezultatus, matome, kad artinys, kai atsižvelgiama į skylių lokalizavimą KTS, geriau dera su eksperimento rezultatais plačiame laiko intervale. Tobulinant krūvininkų pernašos KTS modelį reikėtų atsižvelgti į čia nustatytą skylių lokalizavimo būsenų tankio prieklausą nuo elektrinio lauko stiprio.
3.3.2. Vienasluoksnis fotoreceptorius
Šiame poskirsnyje ištirsime organinio vienasluoksnio fotoreceptoriaus,
eksponuojamo nenutrūkstamu šviesos, kurios bangos ilgis = 780 nm, srautu, fotoišelektrinimą. Minėto bangos ilgio šviesa yra sugeriama visame sluoksnio tūryje, todėl sluoksnyje sukuriami ir juda abiejų ženklų krūviai. Teoriškai analizuodami išelektrinimo kinetiką, dar turime atsižvelgti į krūvi-ninkų judrio ir fotogeneracijos kvantinio našumo prieklausą nuo elektrinio lauko stiprio, taip pat į laisvųjų krūvių sąveiką bei krūvininkų lokalizavimą.
Eksperimente panaudoti bandiniai, sudaryti iš šitokių vienasluoksnių daugiakomponenčių puslaidininkių: krūvininkų fotogeneracinės medžiagos (Y-formos titanilo ftalocianino, TiOPc), rišamosios medžiagos (polivinil-butiralio, PVB), skylių bei elektronų transportavimo medžiagų (TM) (įva-rūs hidrazono dimerai su alifatiniais centrais) mišinio tirpalo. Sluoksnių sudėtis ir storiai pateikta 6 lentelėje.
Tarę, kad šviesa krenta statmenai apšviečiamajam paviršiui ir koordina-
čių ašį x nukreipę skersai sluoksnio bei koordinatę x skaičiuodami nuo apšviečiamojo paviršiaus, šviesos intensyvumo silpnėjimą sluoksnyje
išreiškiame Bugerio dėsniu 0
0( ) e
k xI x I
. Čia I0 – šviesos intensyvumas ap-
šviečiamajame paviršiuje, k0 – intensyvumo silpnėjimo koeficientas. Toliau
tarsime, kad I0 – per vienetinę trukmę į vienetinį paviršiaus plotą krentančių
141
6 lentelė. Organinių fotoreceptorinių sluoksnių sandara
Nr. Pagrindas Sudėtis, masės santykis
[TiOPc, PVB, skylių TM, elektr. TM] Storis, m
1 PET+BS* 1 : 4,5 : 16 : 8 20,0 2 PET+BS* 1 : 4,5 : 16 : 8 20,0
3 Poliruotas Al 1 : 5 : 15 : 5 14,7
4 Poliruotas Al 1 : 4 : 16 : 8 14,7
* – polietileno-tereftalato plėvelė ir barjerinis sluoksnis
kvantų skaičius. Kaip įprasta dar tariame, kad laisvieji krūvininkai – skylės ir elektronai – susidaro tame pačiame taške, kuriame sugeriamas šviesos kvantas. Tuomet per vienetinę trukmę vienetiniame tūryje sukurtų skylių arba elektronų skaičius išreiškimas šitaip:
0
0 0( , ) e
k xrx t E k , (3.135)
čia 0 yra proporcingas I0 ir kvantinio našumo pastoviajai, rE – kvantinio
našumo prieklausą nuo elektrinio lauko stiprio E išreiškiantis daugiklis, r –
lauko stiprio laipsnio parametras; t – laikas, skaičiuojamas nuo eksponavimo pradžios.
Pirmiau aptarsime krūvininkų laisvo judėjimo artinį. Tuomet laisvųjų
skylių tankio p ir laisvųjų elektronų tankio n kitimo lygtys (žiūr., pvz. (3.38), (3.39) lygtis) yra šitokios:
1 pjp
t e x
,
1 njn
t e x
, (3.136)
čia jp, jn – skylių bei elektronų krūvio srauto tankiai, kuriuos, nepaisydami difuzijos, išreiškiame lygybėmis
p pj e pE ,
n nj e nE , (3.137)
čia p, n – skylių bei elektronų judriai. Kaip jau žinome iš eksperimento, judriai priklauso nuo elektrinio lauko stiprio ir, bent jau pakankamai stipriam laukui, reiškiami (3.111) pavidalo lygybėmis:
0
0e p E
p p
, 0
0e n E
n n
, (3.138)
142
čia 0p, 0n, 0p, 0n yra eksperimentu nustatomos reikšmės, jų dimensijos
[0] = cm2/V·s, [0] = (cm/V)1/2.
Nustatant elektrinio lauko stiprio prieklausą nuo x ir t paranku panaudoti universalų sąryšį, galiojantį elektrografinio režimo sąlygomis ir nepriklausantį nuo pernašos mechanizmų. Šis sąryšis – tai elektrografinio režimo sąlyga, kuri dabar yra šitokia:
00
p n
Ej j
t
. (3.139)
Atsižvelgę į tai, kad fotoreceptorius gali būti suformuotas virš
barjerinio sluoksnio, į kurį krūvininkai nepatenka, turime šitokią sluoksnio potencialo išraišką:
1
0
( ) /( )
1 1
b
b b
kU t UU t
U k k
, 1
0
( ) ( , )d
l
U t E x t x , 1(0)U U , (3.140)
čia kb – barjero parametras, išreiškiamas (3.125) lygybe (7 lentelė), l –
sluoksnio storis. Pradinė fotoreceptoriaus potencialo reikšmė lygi U0. Taria-ma, kad įelektrintas, bet dar neeksponuotas sluoksnis – be erdvinio krūvio.
(3.136) – (3.139) lygtys netiesinės, todėl jų sprendinys gali būti surastas tik skaitiniais metodais. Toliau visus (3.136) – (3.140) sąryšius
užrašysime bedimensiniais dydžiais. Elektrinio lauko stiprį E išreiškę
pradine verte E0 = U*/l, x – sluoksnio storiu l, laiką t – trukme T0 = l/0pE0,
srovės tankį – dydžiu j0 = 0E0/T0, laisvų krūvininkų tankį – dydžiu j0T0/el, vietoj (3.136) – (3.140) lygčių turime šitokias:
pr xjp
bE et x
, (3.141)
r x njn
bE et x
, (3.142)
e p E
pj pE
, e n E
nj k nE
, (3.143)
p n
Ej j
t
, (3.144)
1
1
0
( )( , )d
U tE x t x
U ,
01 b
b
lU U
l
, (3.145)
143
čia k = 0n/0p, = k0·l, p=0pU
l
, n=0n
U
l
,
20
0
0 0
r
p
e lb E
. (3.146)
Laisvo krūvininkų judėjimo atveju yra du teorijos parametrai: r ir b.
Pastarasis priklauso nuo E0 pagal (3.146) ir yra proporcingas dydžiui I0. Iš (3.144) lygties, pasinaudoję (3.143) išraiškomis, randame universalią
E išraišką:
( , ) ( , )
0
( , ) exp ( , )e ( , )e dp n
tE x t E x t
E x t p x t k n x t t
, (3.147)
parankią taikant skaitinius metodus. Pasinaudodami (3.143) išraiškomis ir
(3.141), (3.142) lygtyse pašalinę jp ir jn, randame uždarą lygčių sistemą
funkcijoms p, n.
e e p Er xpbE pE
t x
,
0 0p pE , (3.148)
e ·e n Er xnbE k nE
t x
.
0 0n nE . (3.149)
(3.148), (3.149) lygčių sprendinių pradinės ir kraštinės sąlygos šitokios:
p(x, 0) = n(x, 0) = 0, p(0, t) = 0, n(1, t) = 0. (3.147) išraiškoje į E pradinę
vertę E(x, 0) = 1 jau atsižvelgta. Naudojant (3.147), (3.148), (3.149) lygčių sprendinius pagal (3.140)
apskaičiuoto U(t) rezultatai ir eksperimento duomenys parodyti 3.20 pav.
Nustatant bazinę parametro b reikšmę panaudota kvazinuostovioji U(t)
reikšmė, kai I0 mažiausias, o U0 = 550 V. Kitiems I0 ir U0, parametro b
reikšmė buvo randama pagal (3.146) formulę. Parametro r reikšmė parinkta remiantis principu, jog laisvo krūvininkų dreifo artiniu, nusakančiu spar-
čiausią potencialo mažėjimą, apskaičiuotoji U(t) negali būti aukščiau ekspe-rimentinės (3.19 pav.).
Bedimensinis parametras (vadinamasis optinis tankis) įvertintas pagal
pastarojo eksperimentinę reikšmę: = 1,25. Paveiksle matome, kad, nau-
dojant eksperimentu nustatytas judrių parametrų 0p, 0n, 0p, 0n reikšmes,
teorija numato spartesnį U(t) mažėjimą jo didžiausio kitimo srityje, negu išplaukia iš eksperimento. Turint dėmesyje tai, kad nustatant eksperimentu judrių parametrų reikšmes neišvengiama paklaida, vis tik koreguojant šiuos parametrus priimtinuose intervaluose (3.19 pav.) kokybiškai padėtis nepasi-keičia. Darome išvadą, kad krūvininkų laisvo dreifo artinys nepakankamas ir turi egzistuoti mechanizmas, lėtinantis sukurtų skylių (elektronų pernašos
144
detalės, dėl jų judrio mažumo, nėra lemiamos) pernašą, arba, galbūt, vedan-tis prie jų dalinio išnykimo. Taigi galima skylių ir elektronų (pastaruosius laikome laisvais) rekombinacija arba skylių lokalizavimas.
Laisvų krūvių rekombinacijos atveju (3.136) lygčių dešiniosiose pusėse turi būti pridėtas dėmuo
0n p , (3.150)
nusakantis skylių bei elektronų tankio sumažėjimą per vienetinę trukmę dėl
rekombinacijos. Čia 0 –rekombinacijos koeficientas. Bedimensiniu pavidalu išreikštas (3.150) dėmuo, kuris dabar pridedamas (3.148) ir (3.149) lygčių dešiniosiose pusėse, šitoks:
g n p , (3.151)
jame bedimensis rekombinacijos parametras
0,0 0,2 0,4 0,6 0,80
200
400
600
800
(a)
0p
= 4,1·10-3
0n
= 3·10-3
0p
= 2·10-7
k = 0,005k
b = 0,02
= 1,25 = 2
6
54
eksperimentas
I = 2·1016 kvantø·s-1·m-2
3
2 1
b r(1) 0,14 1(2) 0,2 2(3) 0,29 3(4) 0,4 1(5) 0,2 2(6) 0,1 3
t, s
U, V
3.19a pav. Vienasluoksnio fotoreceptoriaus (6 lentelė, Nr. 1) potencialo kinetikos prieklausos nuo pradinio potencialo. Eksperimentas – taškai, teorija (laisvo
dreifo artinys) – ištisinės kreivės. = 1,25. Kvantinio našumo prieklausos
nuo lauko stiprio laipsnis r = 1.
145
0,0 0,1 0,2 0,3 0,40
100
200
300
400
500
600
(b)
4
5
69
8
7
(7) – (9)
0p
= 2·10-3
0p
= 1,7·10-7
(4) – (6)
0p
= 4,1·10-3
0p
= 2·10-7
3
2
1
I (kvantø·s-1·m-2)
(1) 2·1016
(2) 1017
(3) 5·1017
0n
= 3·10-3
k = 5·10-3
kb = 0.02
= 1.25
b = 0.2
b = 5
b = 1
t, s
U, V
3.19b pav. Vienasluoksnio fotoreceptoriaus (6 lentelė, Nr. 1) potencialo kinetikos prieklausos nuo apšvietos. Eksperimentas – taškai, teorija (laisvo dreifo
artinys) – ištisinės kreivės, = 1,25. Kvantinio našumo prieklausos nuo
lauko stiprio laipsnis r = 1. 4, 5, 6 kreivės – skaičiavimai naudojant
normines eksperimentu nustatyto judrio parametrų vertes. 7, 8, 9 kreivės –
skaičiavimai naudojant modifikuotus 0p ir 0p: 2 kartus sumažinta 0p
reikšmė ir 10% sumažinta 0p reikšmė.
0 0
0p
ge
. (3.152)
Remiantis Lanževeno sąryšiu, kuris gerai galioja laisvų krūvių rekom-
binacijai, išplauktų, kad g vertė negalėtų viršyti e p (elektronai nejudantys,
o E vertė – didžiausia). Skaičiavimų rezultatai, atsižvelgus į rekombinaciją, rodo, kad šis mechanizmas negali būti pagrindiniu, nes teoriškai apskai-čiuotų rezultatų derėjimui su eksperimento duomenimis reikėtų imti nepa-
matuotai didelį g.
146
Vadinasi, dominuojančiu mechanizmu, lemiančiu krūvininkų dina-miką sluoksnyje, lieka skylių lokalizavimas. Lokalizavimo būsenų prigimtis gali būti įvairi, tačiau, kaip žinoma mokslinėje literatūroje ir kaip išplaukia iš mūsų tyrimo, svarbų vaidmenį vaidina elektriniu lauku indukuojamos būse-nos, atsirandančios, pavyzdžiui, dėl molekuliniuose dariniuose lauku poliari-zuojamo krūvio. Tokių būsenų tankis mažėja, silpnėjant elektrinio lauko stipriui ir išnyksta, kai lauko stipris pakankamai sumažėja. Toliau tarsime,
kad pastarųjų būsenų nelieka, kai E = 0. Dėl skylių lokalizavimo keičiasi tik
(3.136) pirmoji lygtis. Pažymėję lokalizuotų skylių tankį m, vietoj (3.136) dabar turime
1 pjp m
t e x t
, (3.153)
o lokalizavimo kinetiką nusakanti lygtis yra šitokia:
( ( ) )m
M x m pt
, (3.154)
čia – lokalizavimo koeficientas, M(x) – lokalizuojančių būsenų tankis, kurį, atsižvelgdami į aukščiau minėtą elektrinio lauko vaidmenį, išreiškiame šitaip:
0( )M x M E . (3.155)
Laisvos skylės rekombinuoja su elektronais dėl jų kuloninės sąveikos. Lais-vos skylės lokalizuojamos taip pat kuloninės kilmės potencialo duobėmis. Tad skylių lokalizavimo koeficientui ir rekombinacijos koeficientui turėtų
galioti analogiški sąryšiai. Taigi tariame, kad 0 0p
e . Dar m išreiškę
dydžiu 0 0
M E , vietoj (3.153), (3.154) lygčių turime šitokias bedimensines
lygtis:
( )m
E m pt
, (3.156)
epr x
jp mbE a
t x t
, (3.157)
2
1 10 0
0 0
0 0
elM el Ma E U
, (3.158)
147
čia M0 ir – teorijos parametrai. Rezultatai, gauti panaudojant (3.147), (3.149) bei (3.156) – (3.158)
lygtis, parodyti 3.20 pav. Parametro reikšmė parinkta (sveikaisiais skai-
čiais) siekiant tinkamo apskaičiuotų ir eksperimentu surastų U(t) kinetikų
kokybinio derėjimo skirtingiems U0, o parametro a reikšmė – siekiant opti-
malaus teorijos ir eksperimento sutapimo pradinėje U(t) mažėjimo srityje,
kai U0 = 800 V, o I0 – mažiausias. Kitiems U0 parametro a reikšmė apskai-čiuota pagal (3.158) formulę. Matome, kad šiuo atveju teorijos ir ekspe-rimento rezultatai dera žymiai geriau, nei tada, kai lokalizavimo nepaisoma.
Visų 6 lentelės vienasluoksnių fotoreceptorių, kurie tarpusavyje skiriasi
sudedamųjų komponenčių mišinio santykiu, teorinės U(t) kreivės silpno elektrinio lauko srityje yra ženkliai žemiau, negu eksperimentinės.
U0 = 850 V atveju ši sritis yra, kai U(t) < 300 V. Šiomis sąlygomis sluoks-nyje yra ženklus neigiamasis erdvinis krūvis (elektronų judris yra labai ma-žas), ekranuojantis paviršinį krūvį. Dėl to sluoksnyje susidaro pakankamai silpno elektrinio lauko sritis. Tuo tarpu (3.138) judrio išraiškos yra nustaty-tos stipresnių laukų srityje, todėl visiškai įmanoma, jog jos nėra tikslios, kai
E pakankamai maži. Tarus, kad kai E mažesnis už tam tikrą EC, tikrasis sky-lių judris mažesnis, negu plaukia pagal (3.138), yra visiškai suprantama
aukščiau minėta apskaičiuoto U(t) nuokrypis nuo eksperimento rezultatų. Iš tikrųjų, pakankamai sumažėjus lauko stipriui, labiau sumažėja skylių judris,
o dėl to sulėtėja U(t) mažėjimas, t.y. teorinės U(t) reikšmės turėtų artėti prie eksperimentinių. Todėl (3.138) išraišką keičiame šitokia:
0 0exp exp
p p p
c
EE
E
. (3.159)
(3.138) išraiškoje yra du papildomi parametrai (γ ir EC), o papildomasis dė-
muo labiausiai reikšis, kai E < EC. Remdamiesi krūvininkų judrio prieklau-sos nuo elektrinio lauko stiprio eksperimentiniais rezultatais, kritinį elektri-
nio lauko stiprį EC apibrėžiame lygybe EC·l = 450 V (500 V). Parametro γ
reikšmę parenkame tokią, kad apskaičiuotas ir eksperimentu nustatytas U(t) įmanomai geriau derėtų.
148
0,0 0,1 0,2 0,3 0,40
200
400
600
800
= 1,25r = 1 = 2
b a(1) 0,14 3(2) 0,70 3(3) 3,44 3
3
2
1
I (kvantø·s-1·m-2)
2·1016
1017
5·1017
0p
= 2·10-3
0n
= 3·10-3
0p
= 1,8·10-7
k = 0,005k
b = 0,02
t, s
U, V
3.20a pav. Vienasluoksnio fotoreceptoriaus (6 lentelė, Nr. 1) potencialo kinetikos
prieklausa nuo apšvietos, kai U0 = 800 V. Kiti žymėjimai žiūr. 3.20c pav.
0,0 0,1 0,2 0,3 0,40
200
400
600
= 1,25r = 1 = 2
0p
= 2·10-3
0n
= 3·10-3
0p
= 1,8·10-7
k = 0,005k
b = 0,02
b a(1) 0,2 2(2) 1 2(3) 5 2
3
2
1
I (kvantø·s-1·m-2)
2·1016
1017
5·1017
t, s
U, V
3.20b pav. Vienasluoksnio fotoreceptoriaus (6 lentelė, Nr. 1) potencialo kinetikos
prieklausa nuo apšvietos, kai U0 = 550 V. Kiti žymėjimai žiūr. 3.20c pav.
149
0,0 0,1 0,2 0,3 0,40
100
200
300
= 1,25r = 1 = 2
0p
= 2·10-3
0n
= 3·10-3
0p
= 1,8·10-7
k = 0,005k
b = 0,02
b a(1) 0,4 1(2) 2 1(3) 10 1
3
2
1
I (kvantø·s-1·m-2)
2·1016
1017
5·1017
t, s
U, V
3.20c pav. Vienasluoksnio fotoreceptoriaus (6 lentelė, Nr. 1) potencialo kinetikos
prieklausa nuo apšvietos, kai U0 = 275 V. Eksperimentas – taškai, teorija (laisvas dreifas ir skylių lokalizavimas) – ištisinės kreivės. Judrio parametrai
modifikuoti, kaip 3.19 pav. 1-os kreivės – I0 = 2·1016 kvantų/s·m2, 2-os
kreivės – I0 = 1017 kvantų/s·m2, 3-čios kreivės – I0 = 5·1017 kvantų/s·m2.
3.20a pav. 1, 2, 3 kreivės – a = 3. Kitiems pradiniams potencialams a para-
metro reikšmė apskaičiuota pagal (3.158) formulę. 3.20a pav. 1 kreivei – b =
0,138. Kitiems I0 ir U0 parametro b reikšmė apskaičiuota pagal (3.146)
formulę.
7 lentelė. Fotoreceptoriai ir teorinių skaičiavimų parametrų reikšmės
Nr. 0p·10-3 0e·10-3 0p·10-7 ke·10-3 EC γ a kb r
1 2,0 3,0 1,80 5,0 450 0,8 1,25 3 2,0 0,02 1
2 3,0 4,6 1,65 5,0 450 0,8 1,25 3 2,0 0,02 1
3 4,9 4,3 1,25 1,8 500 0,9 1,00 8 1,2 0 1
4 4,9 4,3 1,55 1,8 500 0,9 1,22 4 1,2 0 1
150
Iš teorinių ir eksperimentinių U(t) rezultatų gretinimo keturiems vie-nasluoksniams 6 lentelės organiniams fotoreceptoriams gali būti padarytos tokios išvados: išnagrinėtuose fotoreceptoriuose krūvio pernašą lemia skylių ir elektronų dreifas su nuo lauko stiprio priklausančiais judriais bei skylių lokalizavimas elektriniu lauku indukuotomis būsenomis; judrio (3.138) išraiškos nėra pakankamai tikslios silpno lauko atveju; fotogeneracijos kvantinis našumas priklauso nuo elektrinio lauko stiprio, o lauko stiprio
laipsnis (sveikaisiais skaičiais) r = 1 (bendriau 2 > r 1).
151
1 PRIEDAS. Susidūrimų matricos apskaičiavimas
Pasinaudojame iš detaliosios pusiausvyros principo išplaukiančia lygybe
0 0
, ,x x f x x x f x
ir (1.127) matricinį elementą Ali užrašome šitaip:
3 3
1 1 1
0 3
0
1 d d,
li i l l
x xA x x f x H x H x H x
n h
. (1P.2)
Šioje išraiškoje pernumeravę integravimo kintamuosius ir dar kartą pasinaudoję (1P.1) lygybe, randame
3 3
1 1 1
0 3
0
1 d d,
li i l l
x xA x x f x H x H x H x
n h
. (1P.3)
(1P.2) ir (1P.3) sudėję ir padalinę iš 2 turime dar ir šitokią matricinio elemento išraišką:
1 1 1
0
0
1,
2li l l i
A x x f x H x H x H xn
3 31
3
d di
x xH x
h. (1P.4)
Iš pastarosios išraiškos plaukia, kad Ali = Ail ir kad
All < 0. (1P.5)
Taigi susidūrimų matrica yra simetrinė, o jos diagonaliniai elementai neigiami dydžiai. Išvada galioja kaip tampriems, taip ir netampriems susidū-rimams.
Suintegruosime Ali integralą kampais sferinėje koordinačių sistemoje. Tuo tikslu Ermito polinomus, išreiškę pagal (1.104) formules, užrašome
sferinėje koordinačių sistemoje, o susidūrimų tikimybei ,x x taikome
(1.22) skleidinį. Tuomet vietoj (1P.2) turime
152
2 2
23 03,0
d d4 4π, d d , ,
2 1l lm lm
l m
x x x xA f x Y Y
n l h
2cos sin sin cos sin sinx x x . (1P.6)
Toliau integruojame kampų integralą
23 10
4πd d , , sin sin ,
3lm lm
K Y Y x x Y
2
00 1 0
4πcos sin sin 4π , d , sin
3lm l m
x Y x x Y
2
0 0 1 1sin 4π d , cos sin sin d cos
l m lm l mx Y x x
2
0 0sin sin d cos sin sin
l mx . (1P.7)
Kadangi
2π π
2
0 0
d cos sin sin sin d cos sin d 0 ,
tai ir K23 = 0. Vadinasi,
A23 = A32 =0. (1P.8) Diagonalusis elementas
2 2
33 0 333,0
d d4 4π, ·
2 1l
l m
x x x xA f x K
n l h
, (1P.9)
2 2
33d d , , cos cos cos
lm lmK Y Y x x x
10 10
4πd d , , , ,
3lm lm
Y Y x x Y Y
2 2
00 1 0 0 0
4π4π , cos 4π d ,
3l m l m lm
x Y x x Y
153
2π π
2 2 2
1 0 0 0
0 0
4πcos 4π d cos sin d
3l m l m
x x x
2
1 0 0 0
4π 4π
3 3l m l m
x x x . (1P.10)
Taigi
2 2 2
2
33 0 1 0 3
0
d d4 4π, 3 ,
3
x x x xA f x x x x
n h
. (1P.11)
(1P.11) integrale nuo kintamojo x grįžtame prie kintamojo energijos : x2 = /kT. Tuomet
33 1 04
16 πe , 3 , d d
9
kTAkT
, (1P.12)
čia pasinaudota (1.103) išraiška.
Tampriems susidūrimams susidūrimų tikimybės momentai ,l
turi Dirako delta funkcijos daugiklius, išreiškiančius energijos tvermę,
,l l .
Todėl tampriems susidūrimams
2
33 1 04
0
16 πe 3 d
9
kTAkT
. (1P.13)
Apskaičiavę taip pat rastume, kad A22 = A33 – kaip ir turėtų būti. Mat, čia panaudota susidūrimų tikimybė atitinka izotropines susidūrimo sąlygas.
Apskaičiuosime A33 reikšmę 1.6 skirsnyje surastos susidūrimų tikimy-
bės atveju. Įrašę į (1P.13) atitinkamas funkcijų 0 ir 1 išraiškas, turime
4 3
2 0 0
33 42 20 0 0
8 ( 8 )4 πe ln d
9 ( 8 ) 8kT
N e hA Z
m kT
, (1P.14)
154
čia 0 = 2
0/ mr . Jei m = 10-27 g, r0 = 10-5 cm, tai 0 = 6·10-6 eV kT.
Tokiomis sąlygomis (1P.14) integralą galime įvertinti dydžiu –2(kT)2/0. Tuomet
4 3
2
33 22 2
0
8 π
9
N e hA Z
m kT . (1P.15)
Matome, kad A33 reikšmę galintys keisti parametrai yra sklaidančių
centrų tankis N, sklaidomos dalelės masė m ir ekranavimo radiusas r0.
Priklausomai nuo šių parametrų reikšmių randame, kad A33 kitimo intervalas yra maždaug nuo –10 s-1 iki –105 s-1.
2 PRIEDAS. Srovės kinetikos apskaičiavimas mažo trikdžio sąlygomis
A. Akimirkinė skylių injekcija, lokalizavimas, išlaisvinimas
Tarsime, kad iki injekcijos sluoksnis yra elektriškai neutralus, o
injektuotos skylės gali būti lokalizuojamos vienos rūšies sekliosiomis būsenomis. Tuomet vietoj (3.18) išraiškos turime šitokią elektrinio lauko stiprio trikdžio Laplaso vaizdo išraišką:
( )( , ) e g s xs x E , ( )as
g s ss b
, (2P.1)
čia a = t0, b = t0; – lokalizavimo, – išlaisvinimo tikimybės, t0 – skylių tranzito per sluoksnį trukmė.
Potencialo sumažėjimo dėl injekcijos Laplaso vaizdas
1 ( )
0
1 e( ) ( , )d
( )
g s
V s s x xg s
E . (2P.2)
(2P.1), (2P.2) formulėse visi dydžiai bedimensiai.
Srovės stiprio, išreikšto dydžiu 0E0/t0, Laplaso vaizdas
155
( )( ) ( ) 1 e g ss bJ s sV s
s a b
. (2P.3)
Šio vaizdo originalas
( )
e( ) e ( )
a b t
ab aJ t F t
a b
, (2P.4)
čia
0, 1,( )
( 1), 1.
tF t
t t (2P.5)
Funkcijos (t) Laplaso vaizdas
( ) e 1
ab
s bs b s b
ss a b s a b
. (2P.6)
Šio vaizdo originalas
( ) ( )( )
1
0
1 e( ) e e 2 d
t ba b t a b t
t b a ab b a I aba b
. (2P.7)
Taigi srovės stipris išreiškiamas šitaip:
1 ( )( ) e a b tJ t a b b a , t < 1;
1 ( ) ( )( 1)( ) e e ea b t a a b tJ t a b b a b a
1
( )( 1 )
1
0
ee 2 d
t ba b t
ab b a I ab
, t > 1, (2P.8)
čia, I1 – menamojo argumento Beselio funkcija.
156
B. Akimirkinė fotogeneracija sluoksnio tūryje, dreifas ir lokalizavimas.
Tariame, kad šviesa sukurti elektronai akimirksniu lokalizuojami gilio-
siomis būsenomis ir krūvio pernašoje nedalyvauja. Judančios skylės taip pat
lokalizuojamos giliosiomis būsenomis. Šiomis sąlygomis = 0, o Puasono lygties dešinioji pusė yra papildoma lokalizuotų elektronų tankio funkcija
me, nusakoma lygtimi
02 ( ) e
xem
tt
, (2P.9)
kurioje – sugerties koeficientas, 0 – fotogeneracijos kvantinį našumą
nusakantis parametras, (t) – Dirako delfa funkcija. Iš (2P.9) lygties plaukia, kad
0e x
em . (2P.10)
Tuomet
0
0
e xep m
x
E
. (2P.11)
Apibrėžę bedimensinius dydžius taip, kaip daryta anksčiau, randame šitokią
lauko trikdžio E(t, x) Laplaso vaizdo E(s, x) lygtį
( , )( , ) ( , ) e
kxs xs s x a s x Qk
x
E
E E , (2P.12)
čia k = l, Q = e0/0E0. (2P.12) lygties sprendinys, tenkinantis kraštinę
sąlygą E(s, 0) = 0, šitoks:
( )
e e( , )
kx s a x
s x Q ks a k
E . (2P.13)
Srovės stiprio Laplaso vaizdas
1
0 0 0 0
00 0
1 e( ) ( , )d 1 e
a skE E Q s
J s s s x x kt t s a k a s
E . (2P.14)
157
Dydžiu 0 0 0
/E Q t išreikštas (2P.14) vaizdo originalas yra šitoks:
( )( ) e e , 1at k a k tJ t t ;
( ) 0, 1J t t . (2P.15)
Tarkime, kad funkcija J(t) keičia kreivio ženklą laiko momentu
t = t1 < 1. Lygtis, apibrėžianti laiko momentą t1 yra šitokia:
1
2
2
d0
dt t
J
t
, arba 12 2( ) e 0
kt ka a k
. (2P.16)
Iš jos randame
2
1 2
1 eln
( )
ka
tk a k
. (2P.17)
Iš (2P.17) lygybės plaukia, kad sąlyga t1 < 1 galioja tada, kai
2k
a , (2P.18)
arba dimensiniais dydžiais, kai
02E , (2P.19)
čia = 1/ – skylių laisvojo lėkio trukmė.
3 PRIEDAS. (3.118) – (3.124) potencialo išraiškų išvedimas
Pasinaudoję parametro p, esančio (3.110) išraiškoje, apibrėžimu
0
0
g g
g
ep lp
E , (3P.1)
randame elektrinio lauko stiprio KTS (3.114) išraišką
158
1
( ) 1E up
, (3P.2)
čia lauko stipris išreikštas dydžiu 0
gE
, o – (3.115) dydžiu T0. Įelektrin-
tame, bet dar neeksponuotame KGS, lauko stipris šitoks:
0
0
g g g b
b
UE
l ll
l l
. (3P.3)
U0 – fotoreceptoriaus pradinis potencialas. Potencialo kritimą KTS (3.117)
U1(t) išreiškiame bedimensiniu integralu
1
1
0
( )( , )d
U tE x t x
U , (3P.4)
čia x išreikštas KTS storiu l, lauko stipris – dydžiu 0
gE
, 0
gU E l
.
Vietoj (3.113) išraiškos turime šitokią bedimensinio x išraišką:
1/2(1 ) 1
e1
uptx
up
, (3P.5)
čia t, kaip ir , išreikštas dydžiu T0.
Visose šiose išraiškose u ir apibrėžti (3.116) lygybėmis.
1. Atvejis u(1 – p) ≤ 1 (3.16 pav. charakteristikos).
a) laiko intervalas 0 ≤ t ≤ 1.
(3P.4) integravimo sritį skaidome į dvi:
1
1
1 1
0 0
( , )d ( , )d ( , )d
x
x
E x t x E x t x E x t x . (3P.6)
Srityje 0 ≤ x ≤ x1 juda skylės, o lauko stipris yra nusakytas charakteristikoje ((3P.2) išraiška), todėl skaičiuodami integralą keičiame kintamąjį. Taigi
159
1
0 0
d( , )d ( ) d
d
x tx
E x t x E
, (3P.7)
čia rėžius nusako sąlygos: kai x = 0, tai = t; kai x = x1, tai = 0. Apskaičiavę išvestinę pagal (3P.5) išraišką, randame
1
0 0
( , )d ( , )d
x t
E x t x F t , (3P.8)
čia F(, t) išreikštas (3.119) lygybe.
Srityje x1 < x ≤ 1 skylių nėra, o elektrinio lauko stipris toks, kaip ir
charakteristikoje = 0, t.y. E = 1. Iš (3P.5) išraiškos turime
1 0x x t
, (3P.9)
todėl
1
1
( , )d 1x
E x t x t . (3P.10)
Iš (3P.8), (3P.9) išraiškų išplaukia (3.118) išraiška.
b) laiko intervalas 1 < t ≤ 1
(1 )u p
.
Šiame laiko intervale skylės juda visame KTS tūryje, todėl (3P.4) integralas skaičiuojamas taip, kaip (3P.7) integralas. Integravimo rėžiai šitokie: kai
x = 0, tai = t; kai x = 1, tai = 1(t) (3.16 pav.). Į (3P.5) įrašę x = 1,
randame funkcijos 1(t) (3.121) lygtį, o tuo pačiu ir (3.120) išraišką.
c) laiko intervalas 1
(1 )u p
< t ≤ t0.
Sritį 0 ≤ x ≤ x2 skylės jau palikę, o srityje x2 < x ≤ 1 skylės dar dreifuoja.
Reikšmę x2 surandame iš (3P.5), joje įrašę paskutiniosios charakteristikos
reikšmę 1
0/ (1 )T T u p
((3.116) formulė). Gauname
160
1 1
2
1(1 ) e
p
x t pu
. (3P.11)
Srityje 0 ≤ x ≤ x2 lauko stipris yra pastovus, E = 1 – p, todėl
21 12
0
1( , )d 1 e
(1 )
xp
E x t x p tu p
. (3P.12)
Srityje x2 < x ≤ 1 integruojama pagal (3P.7) taisyklę, integravimo rėžius
išreikšdami šiomis sąlygomis: 1
(1 )u p
, kai x = x2 ir = 1(t); kai
x = 1. Taigi
1
2 1
(1 )1
( )
( , )d ( , )d
u p
x t
E x t x F t
. (3P.13)
Iš (3P.12) ir (3P.13) plaukia (3.122) išraiška. Laiko momentas t = t0 suran-
damas iš (3P.5) lygybės, įrašius joje x = 1, 1
(1 )u p
.
2. Atvejis (1 ) 1u p .
Šiuo atveju skylių injekcijos trukmė T trumpesnė už skylių tranzito
trukmę T0, todėl išskiriami šitokie laiko intervalai:
0 ≤ t ≤ 1
0/ (1 )T T u p
; 1
(1 )u p
< t ≤ 0
/ 1T T ; 1 ≤ t ≤ t0; t > t0.
a) laiko intervalas 0 ≤ t ≤ 1
(1 )u p
. Galioja (3.118) išraiška.
b) laiko intervalas 1
(1 )u p
< t ≤ 1. Išskiriamos trys integravimo
sritys: 0 ≤ x ≤ x2, x2 < x ≤ x1 ir x1 < x ≤ 1. Pirmoje srityje potencialą išreiškia (3P.12) lygybė, o trečiojoje – (3P.10) lygybė. Antrojoje srityje juda
skylės, o integravimo rėžiai šitokie: = 0, kai x = x1; 1
(1 )u p
; kai
x = x2. Taigi turime (3.124) išraišką.
c) laiko intervalas 1 < t ≤ t0. Galioja (3.122) išraiška.
161
Literatūra
Kinetinių lygčių pasisikirstymo funkcijai sudarymo principai, sprendinių bendrosios savybės
J. Kaladė, V. Mickevičius, D. Grabauskas. Termodinamika ir statistinė fizika. Vilnius, Mokslas, 1982.
R. Kubo, M. Toda, N. Hoshitsume. Statistical Physics II, Nonequilib-rium Statistical Mechanics. Springer, 1985.
Ю. Б. Левинсон. Кинетическое уравнение в сильных электрических полях (leidinyje „Актуальные вопросы физики полупроводников и полупроводниковых приборов“. Вильнюс, 1969).
E. M. Лифшиц, Л. П. Питаевский. Физическая кинетика. Mосква, „Наука“, 1979.
В. Г. Левич, Ю. А. Вдовин, В. А. Мямлин. Курс теоретической физики, Том 2. Mосква, „Наука“, 1971.
J. Kaladė. Kinetikos lygčių sprendimo metodai. Vilniaus universitetas, 2003.
Mažo trikdžio metodas ir jo panaudojimas
J. Kaladė, E. Montrimas, A. Pažėra. Kinetics of Drift Current of Small Charge and Determination of Lifetime of Charge Carriers.- Phys. Stat. Sol. (a) – 1972, Vol. 13, 187 p.
J. Kaladė, E. Montrimas, A. Pažėra. Difuzijos įtaka mažo krūvio dreifui.- Liet. fiz. rink., 13, Nr 3 (1973) 421 p.
J. Kaladė. Mažo krūvio dreifo srovės charakteristikos.- Liet. fiz. rink., 25, No 5 (1985), 50 p.
J. Kaladė, E. Montrimas, V. Jankauskas. Krūvininkų dreifinio judrumo ir gyvavimo trukmių nustatymas didelės varžos puslaidininkių sluoksniuose.– Liet. fiz. rink., 30, Nr 5 (1990) 585 p.
J. Kaladė, E. Montrimas, V. Jankauskas. Krūvininkų dreifinio judrumo ir gyvavimo trukmių nustatymas elektrografiniu režimu puslaidininkių sluoksniuose su dviejų tipų pagavimo lygmenimis.– Liet. fiz. rink., 31, Nr 4 (1991) 355 p.
J. Kaladė, E. Montrimas, V. Jankauskas. Investigation of charge carrier lietime in high-resistivity semiconductor layers by the method of small charge photo current.- Journ. Non-Cryst. Solids, 243 (1999), 158 p.
H. Bateman, A. Erdely. Tables of Integral Transforms. Volume 1, McGraw-Hill Co, 1954 (1969 vertimas į rusų k.).
В. A. Диткин, A. П. Прудников. Справочник по операционному исчислению. Mосква, „Вышая школа“, 1965.
162
Charakteristikų metodas
M. M. Смирнов. Дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка. Mосква, „Наука“, 1964.
P. Golokvosčius. Diferencialinės lygtys: vadovėlis aukštosioms mokykloms. Vilnius, TEV, 2000.
J. Kaladė. Kai kurie laisvųjų krūvių dreifo kinetikos lygčių sprendiniai.- Liet. fiz. žurn., 13, Nr 2 (1973), 227 p.
Išvestinių metodo panaudojimas
R. Maldžius, E. Montrimas, J. Kaladė. The metod of investigation of the localized state density in high-resistance semiconductor mobility gap.- Liet. fiz. žurn., 36, Nr 3 (1996), 206 p.
J. Kaladė, E. Montrimas. Koncentraciniai reiškiniai organiniuose elektrofotografiniuose sluoksniuose.- Liet. fiz. žurn., 34, Nr 6 (1994), 489 p.
J. Kaladė, E. Montrimas, J. Rakauskas. The Mechanism of Sensitivity Reduction in Selenium Layers Irradiated by X-Rays.- Phys. Stat. Sol. (a) – 1974, Vol. 25, 629 p.
Tikslūs lygčių sprendiniai
J. Kaladė, E. Montrimas, R. Maldžius, Z. Tokarski. Investigation of Inertness of Photodischarge of Two-Layer Organic Photoreceptors.- J. of Imag. Sc. & Tech., 2005, Vol. 49, No. 1, 28 p.
J. Kaladė, R. Maldžius, E. Montrimas. Charge transport in a single-layer organic photoreceptor.- Synthetic Metals, 2006, Vol. 156, Issues 5-6, 476 p. (http://dx.doi.org/10.1016/j.synthmet.2006.01.007).
163
Dalykinė rodyklė
Ašis laiko grubioji ......................................................108, 115 Būsena lokalizavimo...........................................54, 60, 68, 93
– – gilioji ............................................ 93, 94 – – indukuotoji ........................140, 145, 146 – – seklioji .......................................... 93, 94 – lokalizuojanti........................................................... 54
Charakteristikos potencialo............................................ 90, 94 Detalumas laiko ašies......................................................... 124 Efektai koncentraciniai ...............................................128, 129 Energija vidutinė....................................................... 9, 10, 30 Funkcija būsenų tankio ......................................................... 9
– nepusiausvirojo pasiskirstymo ....................... 7, 9, 16 – pusiausvirojo pasiskirstymo............15, 17, 21, 27, 37
Greitis potencialo mažėjimo ................................................ 60 – vietinis....................................................38, 41, 55, 56
Integralas susidūrimų ............................... 8, 11, 12, 42, 44, 54 Išlaisvinimas krūvininkų.................................................... 139 Jautris sluoksnio .........................................................107, 110 Judris ............................................................................ 56, 90
– elektronų................................................................. 105 – skylių ....................................... 90, 92, 93, 97, 105, 128
Koeficientas lokalizavimo .............................................. 55, 68 – rekombinacijos .....................................65, 68, 72
Lygtis charakteristikų .......................................................... 74 – elektrinio lauko stiprio ........................................ 56, 57 – pasiskirstymo funkcijos elektronų ............................. 54 – – – momentų ....................... 14, 18 – – – neutronų.............................. 32 – paviršinio krūvio tankio .......................................... 117
Metodas momentų .............................................................. 38 Momentas pasiskirstymo funkcijos .................................. 9, 10
– – – išraiška .........15, 16, 18, 20 – susidūrimų tikimybės................................. 12, 153
Pagreitis potencialo mažėjimo ............................................. 60 Rekombinacija .....................................................59, 143, 144 Režimas elektrografinis........................................................ 58 Sąlyga elektrografinio režimo ........................................ 58, 69
– mažo trikdžio ........................................................... 59 Sąryšis Lanževeno ............................................................... 63 Sistema daugiasandė.............................................................. 7
164
– vienasandė............................................................... 8 Skaičius elektronų..........................................................55, 64
– neutronų ....................................................31, 32, 36 – skylių .................................................................... 65
Skleidinys elektrinio lauko stiprio ..............................109, 126 – kinetinės lygties lauko dėmens ..........10, 11, 17, 42 – nepusiausvirojo pasiskirstymo funkcijos.....9, 16, 38 – susidūrimo tikimybės.......................................... 12 – susidūrimų integralo........ 12, 13, 17, 21, 31, 40, 43
Sluoksnis barjerinis .................................... 129, 130, 136, 142 Sumažėjimas potencialo ...................................................... 60 Susilpnėjimas sugerties...................................................... 129 Tankis dalelių ............................................ 7, 9, 37, 38, 44, 48
– – srauto ......................................................10, 16 – lokalizavimo būsenų ......................... 54, 114, 115, 123 – lokalizuotų elektronų............................ 54, 68, 81, 107 – – skylių ............................... 68, 99, 107, 119
Temperatūra termodinaminė......................................7, 39, 55 – vietinė.......................................................39, 47
Tikimybė fotogeneracijos ...........................................119, 121 – išlaisvinimo..................................................55, 154 – lokalizavimo ..........................................54, 55, 137 – rekombinacijos.................................................... 64 – susidūrimo.......................................7, 8, 11, 22, 29
Trukmė gyvavimo............................................................... 90 – – krūvininkų efektinė.............................. 101 – – laisvų elektronų ..................................... 63 – – neutronų................................................ 32 – išlaisvinimo............................................................ 91
Tūris normavimo .......................................................7, 22, 23 – vienetinis ..........................................................7, 31, 55
Uždavinys atvirkštinis.......................................................... 59 – tiesioginis........................................................... 59
165
Julijonas Jonas Kaladė, Robertas Maldžius Krūvininkų pernašos sluoksninėse sistemose modeliai: monografija. –
Vilnius: Vilniaus universitetas, 2011. – 165 p.
ISBN 978-9955-634-31-7
Knyga skirta besidomintiems klasikine fizikine kinetika bei krūvininkų pernaša puslaidininkiniuose sluoksniuose ir jų sistemose. Joje aptariami analiziniai metodai, padedantys surasti iš kinetinių lygčių išplaukiančią informaciją, arba kuriais remiantis tos lygtys pertvarkomos, kad po to jas būtų galima sėkmingai spręsti skaitmeniškai.
Julijonas Jonas Kaladė, Robertas Maldžius KRŪVININKŲ PERNAŠOS SLUOKSNINĖSE SISTEMOSE MODELIAI
Monografija
Lietuvių kalbos redaktorius Julijonas Jonas Kaladė
Apimtis 12,50 aut. l.