UNIVERSIDAD FERMÍN TORO VICE RECTORADO ACADÉMICO

FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Asignación de Análisis de Señales

NOMBRE Y APELLIDO Jheickson Romario Noguera Torin CEDULA: v.22.313.717

PARTE I

1. Si f(t) es una función periódica de t con periodo T, demostrar que f(at) para

a ≠ 0 es una función periódica con período T/a ∗ Una señal 𝑓(𝑡) es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 ± 𝑇) para todos los

valores de 𝑇 . En otras palabras, una señal periódica tiene la propiedad de que no cambia para un corrimiento en el tiempo.

Por teoría sabemos que para 𝑓(𝑎𝑡) si a esta 0 < 𝑎 < 1 la función se ensancha en su periodo pero si 𝑎 > 1 la función se comprime dependiendo

del número que tenga 𝑎 .

Como la señal es periódica con periodo 𝑡 y tomando el teorema ∗ podemos decir

Aca podemos observar que la señal se repite cada

(periodo)

2. Demostrar que la función f(t) = constante, es una función periódica de período T para cualquier valor positivo de T, Sabemos que 𝑓(𝑡) = 𝑐 , donde c es ctte.

Por teorema conocemos que una función es periódica si y solo si 𝑓(𝑡) = 𝑓(𝑡 + 𝑇) este caso se cumple para una función constante ya que para cualquier valor de T la función 𝑓(𝑡 + 𝑇) valdrá el mismo valor. 3. Si f(t) es una función periódica de t con T e integrable, demostrar que

También es periódica con periodo T Esta integral, tiene un parecido al valor promedio de una señal f(t) la cual es la componenete DC de una señal f(t) viene expresada por:

Solo que T=2ª y el intervalo de integración va de t-a a t+a

Claramente se puede observar que también tiene periodo T.

PARTE II

1. Dada la función la función f(t) definida por f(t) = 1 para – π < t < 0, f (t) = 0, para 0< t < π y f (t + 2π) = f (t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 1).

Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis tenemos que:

Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:

Por propiedad:

Para el valor medio de la señal

Para K=1

Para K=2

Para K=3

Para K=4

Para K=5

Graficando Ak obtenemos

Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:

Por propiedad sin(wt)=

2. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo

(- π, π) y f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 2).

Estamos en presencia de una señal periódica

Por la ecuación de análisis tenemos que:

Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:

Resolviendo la integral

Así, sustituyendo el valor de a se tiene que

Por propiedad

Para el valor medio de la señal

Para K=1

Para K=-1

Para K=2

Para k=3

Para K=4

Graficando Ak se obtiene

Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:

Por propiedad

3. Dada la función la función f (t) definida por f(t) = t para el intervalo

(- π, π) y f(t + 2π) = f(t). Grafique y encuentre la serie de Fourier de la función f (t) (Ver figura 3).

Estamos en presencia de una señal periódica. Por la ecuación de análisis, se tiene que

Tomando el periodo −𝜋 < 𝑡 < 𝜋 obtenemos:

Resolviendo la integral

Obtenemos así, la solución de la integral

Por propiedad

Para el valor medio de la señal

Para K=1

Para K=-1

Para k= 2

Para k=--2

Para k=3

Para k=-3

Graficando Ak obtenemos

Para la ecuación de síntesis y obtener la representación en serie de Fourier tenemos:

Por propiedad