MATEMATIKA

VRIJEME RJEŠAVANJA TESTA JE 150 MINUTA

Pribor: grafitna olovka i gumica, hemijska olovka, geometrijski pribor. Upotreba digitrona nije dozvoljena. Pažljivo pročitajte uputstvo. Ne okrećite stranice i ne rješavajte zadatke dok to ne dozvoli dežurni nastavnik. Test sadrži 20 zadataka. Tokom rada možete koristiti formule koje su date na stranama 4 i 5. Uz test je dat i list za odgovore za zadatke višestrukog izbora. Potrebno je da na odgovarajuće mjesto pažljivo prepišete svoje odgovore za prvih 8 zadataka. Očekuje se da je kod zadataka otvorenog tipa detaljno napisan postupak rješavanja, da je krajnji rezultat sveden (npr. izvršeno je skraćivanje razlomaka, sabiranje članova iste vrste) i da je napisana odgovarajuća jedinica mjere (kod zadataka iz stereometrije). Zadatak će se vrednovati sa 0 bodova ako je:

netačan zaokruženo više ponuđenih odgovora nečitko i nejasno napisan rješenje napisano grafitnom olovkom

Grafike i geometrijske slike možete crtati grafitnom olovkom. Ukoliko pogriješite, prekrižite i rješavajte ponovo. Ako ste zadatak riješili na više načina, nedvosmisleno označite koje rješenje ocjenjivač boduje. Kad završite sa rješavanjem, provjerite svoje odgovore. Želimo vam puno uspjeha!

JANUAR 2018.

PRAZNA STRANA

4

,,12 biazi z a bi , 2 2 , ,z a b a b R

,33)( 32233 babbaaba ))(( 2233 babababa

n

m

n m aa

Vietova pravila: a

cxx

a

bxx 2121 ,

Tjeme parabole: )4

4,

2(

2

a

bac

a

bT

a

bb

c

ca

log

loglog , b

kb aak log

1log

Skalarna projekcija vektora na osu cos aaprx

Skalarni proizvod vektora preko koordinata 21212121 zzyyxxaa

Vektorski proizvod vektora preko koordinata

kxyyxjzxxziyzzyaa

)()()( 21212121212121

sin2 2sin cos , 22 sincos2cos cossincossin)sin( ,

sinsincoscos)cos(

tgtg

tgtgtg

1)(

2

cos2

sin2sinsin

, 2

sin2

cos2sinsin

2

cos2

cos2coscos

, 2

sin2

sin2coscos

Sinusna teorema: Rcba

2sinsinsin

Kosinusna teorema : cos2222 bccba

Trougao: 2

aahP ,

2

sinabP ,

))()(( csbsassP , 2

cbas

, srP ,

R

abcP

4

Paralelogram: ahaP , Romb: 2

21 ddP

Trapez: h

baP

2

Prizma: 2P B M V B H

Piramida: P B M HBV 3

1

Zarubljena piramida: MBBP 21, )(

32211 BBBB

HV

FORMULE

5

R – oznaka za poluprečnik

Valjak: )(22 HRRMBP , 2V B H r H

Kupa: )( lRRMBP , HRHBV 2

3

1

3

1

Zarubljena kupa : ))(( 21

2

2

2

1 lRRRRP , )(3

1 2

221

2

1 RRRRHV

Sfera: 24RP Lopta: 3

3

4RV

Rastojanje između dvije tačke: 2

12

2

12 )()( yyxxAB

Površina trougla: )()()(2

1213132321 yyxyyxyyxP

Ugao između dvije prave: 21

12

1 kk

kktg

Rastojanje između tačke i prave: 22

00

BA

CByAxd

Kružna linija: 222 )()( Rbyax

Uslov dodira kružne linije sa centrom u koordinantnom početku i prave

222 )1( nkR

Elipsa: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF

Uslov dodira prave i elipse: 2222 nbka

Hiperbola: 12

2

2

2

b

y

a

x, )0,( 22

21 baF , asimptote hiperbole

by x

a

Uslov dodira prave i hiperbole: 2222 nbka

Parabola: pxy 22 , )0,2

(p

F

Uslov dodira prave i parabole: knp 2

Aritmetički niz: dnaan )1(1 , naa

S nn

2

1

Geometrijski niz: 1

1

n

n qbb , 1,1

)1(1

q

q

qbS

n

n

6

1.

2.

3.

Vrijednost izraza x je:

A. x

B. 3 x

C. 6 x

D. 8 x

3 boda

Na pitanje “Da li dolazite u školu pješice?”, 90% anketiranih učenika je između

odgovora DA ili NE izabralo odgovor DA. Koliko je učenika izabralo odgovor NE, ako

je 297 učenika odgovorilo potvrdno?

A. 27

B. 30

C. 33

D. 36

3 boda Za koju vrijednost paramera m će ostatak pri dijeljenju polinoma

3 23 7 3x x mx

sa 3 1x biti nula?

A. 3

B. 5

C. 11

D. 15

3 boda

U sljedećim zadacima zaokružite slovo ispred tačnog odgovora.

7

5.

4.

6.

Ako je i imaginarna jedinica tada je 2 3 4

1 1 1 1

i i i i jednako:

A. 1

B. 0

C. 1

D. i 3 boda

Skup rješenja nejednačine 55 x je:

A. 0,10

B. ,0 10,

C. ,5

D. 5,

3 boda

Ako je 2 1xf x i 12xg x , koja od sljedećih rečenica je tačna?

A. Funkcije ( )f x i ( )g x imaju istu asimptotu.

B. Funkcije ( )f x i ( )g x sijeku y osu u istoj tački.

C. Kada je x negativno, ( )g x je veće od ( )f x .

D. Kada je x pozitivno, ( )f x je veće od ( )g x .

3 boda

8

7.

8.

Koji od prikazanih grafika odgovara funkciji 2 4 5f x x x ?

A. 1 1y f x

B. 2 2y f x

C. 3 3y f x

D. 4 4y f x

3 boda

Koja od funkcija nema horizontalnu asimptotu?

A. 2

1

1f x

x

B. 1

1

xf x

x

C. 3 1x

f xx

D. 2

2

2

2 1

x xf x

x

3 boda

9

9.

a) Izračunajte 0 1

3 3

4 4

. 1 bod

b) Rastavite na činioce 1x xa a . 1 bod

c) Skratite razlomak 2 2

3 3

2a ab b

a b

. 1 bod

Rješenje:

Zadatke koji slijede rješavajte postupno.

10

10.

Za koju vrijednost parametra k jednačina 2 6 5 1 0x x k ima dvostruko

rješenje?

Rješenje: 2 boda

11

11.

Odredite realan broj x tako da razlika toga broja i njegovog kvadrata bude najveća.

Rješenje:

3 boda

12

12.

Riješite jednačinu log2 16xx .

Rješenje:

4 boda

13

13.

Izračunajte 1515 ctgtg .

Rješenje: 4 boda

14

14.

Na produžecima stranica jednakostraničnog trougla ABC date su tačke P, Q, R tako

da je AP = BQ = CR (kao na slici). Dokazati da je trougao PQR jednakostraničan.

Rješenje:

3 boda

15

15.

Naći površinu paralelograma konstruisanog na vektorima:

2 3 , 4 , 2, 3, , 150oa m n b m n m n m n .

Rješenje: 4 boda

16

16.

Pravougaonik sa stranicama dužine a i b može biti omotač dva različita valjka. Koliki je odnos njihovih zapremina?

Rješenje:

3 boda

17

17.

Dužina duži OM, koja sa pozitivnim dijelom x ose zaklapa ugao od 30o , je 3 . Odredite jednačinu prave p sa slike.

Rješenje:

3 boda

18

18.

Napisati jednačinu hiperbole ako su njena tangenta i asimptote redom prave:

1 0x y , 3

2y x .

Rješenje: 3 boda

19

19.

Odredite znak funkcije 28 2

xf x

x x

.

Rješenje: 4 boda

20

20.

Na koliko se načina 5 novih učenika može rasporediti u 4 odjeljenja, tako da svako

odjeljenje dobije bar po jednog od njih?

Rješenje: 3 boda

21

22

23

24

25

26