MA 3021 Struktur AljabarUTS II - Semester II - 2010 / 2011

2 Mei 2011

1. Misalkan G, H grup dan N subgrup normal dari G. Misalkan θ : G −→ H homomor-fisma pada. Buktikan θ(N) = {θ(n) : n ∈ N} subgrup normal dari H.

2. Misalkan B suatu ring dan V suatu ideal kiri dari B. Definisikan

J(V) = {x ∈ B : xu = 0 untuk setiap u ∈ V}.

(a) Buktikan J(V) ideal dari B.

(b) Buktikan J(V) = {0} jika V = B.

3. Misalkan K =

{(a b−b a

): a, b ∈ Z

}. Dengan operasi penjumlahan dan perkalian

matriks, K membentuk ring.

(a) Buktikan K gelanggang komutatif

(b) Buktikan K daerah integral

4. Misalkan D daerah ideal utama dan I ideal di D dengan I 6= {0} dan I 6= D. JikaI = (a) dan I ideal prim, buktikan a adalah unsur prim.

5. Misalkan F lapangan dan f ∈ F[x] dimana f (x) = a0 + a1x + · · ·+ anxn. Unsur β ∈ Fdisebut akar dari β jika f (β) = α0 + α1β + · · ·+ αnβn = 0.

(a) Tunjukkan β akar dari f jika dan hanya jika x− β membagi f .

(b) Misalkan f berderajat 3. Tunjukkan f tereduksi jika dan hanya jika f memilikiakar.