j f íf(x,y, z) dzdydx = f f j f(x, rcos®, zsenb) zdxdzcb

9 6 X f t t»$ r« l»s d o k l f f i y t r i p l e s , <S» l i s t a y á t l a p f i r f i c f e l « r » « r é e A c w M t o .

j f íf(x,y, z) dzdydx = f f J f(x, rCos®, zSenB) zdxdzcB " A

Nata: Estas coordenadas se llaman cilindricas porque de alguna mane el sólido (A) está limitado por un cilindro. 2.6.6 DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CILINDRICAS Y CARTES1M

(Figura 120) 1 H

dv=dzdydx (cartesianas) y dv=rd@drdz (ci1indricas). Ejemplo 1

Calcular f f j (x2+yz) dzdydx. es el sólido limitado por laf »(A)

superficies z=\¡X7' íy 2 Z=2 (FÍQ u r a 121) Solución

I n t t f r i U i tfollti y t r i p l e * , d» I l u t a y t a a a f e r f i c i * 97

F i g . 1 2 1

c. OL

x

orna la proyección en el plano xy de ^ ( A ) es C(x , y ) |x = + y 2<4}, se tiene ue 0<r<2, O<012n, y r<z<2; es decir z varia desde

z=y/x2+y2=Jr2Cos2e+r2Sen2e=y/rs = r ha5ta z==2' lue(3° Q{r,e,z) =(rCosQ,rSenef z) 0<r<2, 0<e<2ir, r<z<2, luego:

r r r , v^1 2 J I ] (x?+y2) dzdydx = J2 J J (x7+y2) dzdy dx

f2' f" f 2 r 2 . rdzdrdd Jo Jo jr r,

_ r f z f . Jo Jo Ir

[ ? K f 2 ( 2 - r ) r 3 d r d B (Ejercicio). Jo «Jo

r 3 d r d 6 (

Ejemplo 2

Calcular I J J xydzdy dx, entonces k(x,r,Q) - (x, zCasS, rSenB) = { x , y , z ) , 0<r<2, 0<e<2n, y x entre x=y=+z==r= y x=4, luego:

98 Int»or«J»« <«»!>• r Irlfl»«, 11«!»« r *«frtief larmtrém *< • x ir .

e * j i Jxydzdydx = j2 j f xydxdzdy

J 7 -y/rp y*+*2

= J'jj'x(rCose) rdxdrdd A

- f2K f2 f4x(rCose)rdxdrd& Jo Jo Jr2

_ f3n f 2 2£Íj4 (r2CosQ) drdd Ja Jo 2 112

J 2 s£ 2(8--^)r 2Cos0drde . (Ejercicio Jo Jo \ 2 f

Ejemplo 3

Calcular f f Jdzdydx, ^ el sólido limitado por las superfici V (A)

y=l, y=4 (Figura 123)

es

Fig.123

fe"

Solución Como la proyección de ^ (A) en el plano xz es {(x , z) |x^+z3<9} entonces x=rCos6, y=y y z=rSen6, 0<r<3, 0<#<2tc, l<y<4 entonces:

/ f fdzáydx = f" f ' j y d x t e

= f K f f rdydrdS Jo Jo j1

= f2% f3 3rdZdB- (Ejercicio) Jo Jo

Ejemplo 4

Calcular f f í'Jx2+y2 dxdy dz , (p es el sólido limitado por z=0, *U)

z = x2+y=, z = 4 (Figura 124) Solución

v C T xJ+ya j I jy/x2+yz dxdydz = £ f f fic^dzdydx

1-2

= f f f z.rdzdrdd Jo Jo Jo

= f3* f¿ r2 ,r2dzdB (Ejercicio) Jo Jo

Ejemplo 5

Calcular J f j (x2+y2+z) dzdydx, ^ es el sólido limitado por tfW

z = x2+y=, y z =4 (Figura 125) Solución

loo l a t e r a l » « a k l a a f t r l f l n , ta l i a » y «o a a p c r f i e l a • v r a a r t f a ftcovj«)«.

z-4

XZ+yí

v C T Í 4

j f j {x2+yz+z) dzdydx = J*2 j J (x3+y2+z) dzdydx

= f2% f2 f4 (r2 + z) rdzdzdd (Ejercicio) Jo Jo Jr2

Ejemplo 6

Calcular / j / (x 2+y 2) 20dxdydz% Q el sólido limitado por las »U)

superfices x 3 + y 2 + z:z=6 y z^x^+y2 (interior a éste último) (Figura 126)

Fig.117

z - ^ + y 2

x2 + y2+z2-6

Solución El punto de intersección de las superficies x 2+y 2+z 2=6 y z = x3+y:2 es z = 2 pues x^ + y^+z^z + z ^ ó - z=+z-6-0 - (z-2)(z + 3)=0 - z=2, luego la proyección en el plano xy es { ( x , y ) | x 2 + y 2 < 2} y así:

y/1 s/2-x2 y/ 6 -x* -y1

{x2+y2) 20 dxdydz =

^LJ f f / ( x 2 + y 2 ) 2 0 dzdydx -VS -y/TP x2+y*

v w 7

Ejemplo 7 Hal 1 ar el volumen del sólido limitado superiormente por la superfice z=y e inferiormente por z = x z + y=: (Figura 127)

C

F i g . 1 2 7

Z

Solución

v (s) = / / ¡ d z d y d x <P (A)

= i" f S e a e [ r S e T*zdzdrd6 (Ejercicio) Jo Jo J r 2

Pues: z = y - z = rSen0 y x^+y==z - r = =z y x=+y==y « r = Sen0, luego 0<6<n, OiriSen®, r^izlrSen©. Ejemplo B Hallar el volumen del sólido limitado por x E+y a=2az; x 2+y 2=2a 2; z=0 (Figura 128) Solución

Fig.128

z

V ( s ) = J jj jdzdydx * ( A ) , , x3^

BsP. a/2 a 5 — ü f -

f f f dzdydx -aV7 -V2az-jf2 0

Ka' 2

Ejemplo 9 Hallar el volumen del sólido limitado por las su[ 2x2 + 2y:2=z= (Figura 129) Sol ución

z 2-x 2-y 2=l y

Flg.129 z

El punto de

Z=±<j2 y a s i proyección del sólido en el plano xy es ((x, y) |x2 + y 2<1}, (Se calculará el volumen de la parte superior del sólido y se multiplicará por 2) luego:

V(s) = / / / » ( A )

dzdydx

s/T^X* y/l+x2+y2

2 f j dzdydx

h2x2+2y2

104

/T7F = 2j2Vj1 f rdzdrdO

(Ejercicio)

Ejemplo ÍO Hallar el volumen del sólido limitad.o por

z=0, x2+y2=R2 y z=e x2 y3-Solución

V(s) / / / t (A)

dzdydx

£ / / dzdydx - V ^ F 0

>2« f R r - f2n[*f°-'rdzdrdO,

Jo Jo Jo u ( _ <5 ) (Ejercicio).

Ejemplo 11 Hallar el volumen del sólido limitado por las 2=1. (Figura 130) Solución

Fig.130

Z .

z - 1

X2 + / • 4

las superficies

kr

x =+y ==4, z=0,

I l 105

V ( s ) = V (A)

J J Jdzdydx

f-1 / - v C T

'2% ri r2 _ j'ercicio) f * f f rdrdzdd (Ej. JO Jo Jo Ejemplo 12 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x^+y^+z 2^ y

x2+y==3z (parte externa respeto a éste último) (Figura 131) Solución

F i g . 1 3 1

z

El punto de intersección de la esfera x:2 + y 2 + z 2 = 4 y x 2 + y 2=3z es z = l, pues x 2 + y 2+z 2=3z + z2:=4 z2+3z-4^0 ** (z+4)(z-l)=0 «* z = l , luego

V(s) = volumen de la esfera - V t

y/l-x*-y2 s/1 v/Fjc1 s/4.-X*-~P = £ f f dzdydx- / / f dzdydx

-x2 -V*-x3-y3 V5" V3-x1 »'«r3

« /02702 7 rdzdzdB-f2* f * Jrdzdrd* -y/TT7 0 0 J±

(Ej,

Ejemplo 13 Hallar el volumen del sólido limitado por x=+y:2 = 2*x, x^+y^-(Fiqura 132) Solucíón

•az y z=u|

Fig.132

<p(A)

V ( s ) = f f f dzdydx »(A)

V 2ax-xi i»

r / / d z d y d x -\j7.ax-x 7 0

7nCoB& i» f l f j rdzdrdQ (Ejercicio) i UZ CJÍX tro T o 0

2 . 6 . 7 CAMBIO DE VARI BLE A COORDENADAS ESFERICAS (Figura 1 3 2 - 1 )

I 10/

Flg132.1

Del triángulo rectángulo OCP se tiene que C O S i ' SeiltP = ~

z=rCosip y a =rSentp . • Del triángulo rectángulo QAQ se tiene:

Sen6=^, y Cos6=— - y=aSentp =SenQrSenq =zSenQSen<p y a a

x=CosQa=rCos6Sen<p y así <p (r, 6, <p) = ( r C o s Q S e n y , rSer&Senqt, rCosy)

IiO, 0£<p£7I, 0íí8i27t 5 e llama cambia de variable a coordenadas

esféricas y a

dx dx dx dz 66 Cos6f?e/j<p -rSenQSentp rCosQCosy JL dr

& de iü a» = SenQSerup rCosQSeny rSenQCosip = -r 2 Sernp dz dz dz Cos<p 0, -rSentp dr ae d»

su Jacobiano 2.6.8 ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN EN COORDENADAS CARTESIANAS Y

ESFERICAS (Figura 133)

108 i latlfralu #ofcltt r trlflts, lint* y 4m l«p«rftclB

Flg.133

(W = AEJWJkD = . rtr.rstivim»

dv=dxdydz (cartesianas) dv = AE.AB. AD=di. rcftp . rSempdd = r2Sen<pdr.d0.d(p (esféricas).

La siguiente fórmula da el cambio de variable a coordenadas esféricas:

I I f ff(x,y,z)dxdydz=ffff(rCos6S9nv,rSenOSen<ptrCos<p)r2S&nydrddd<(> *(A) A

Ejemplo 1 Hallar el volumen encerrado por la superficie x 2+y 2+z^-a^ (Figura 134)

Flfl.134

Solución

V(s) / / / »(A) dzdydx

yfS^x1 v/a x'-y»

L! / / ^^^ •2« /• « r* - o * / "

En coordenadas cilindricas el volumen biene dado por:

v (s) = f f / d z d y d x 9 (A)

= ¡i¡rdzdrd&

[3n f rdzdrdd Jo Jo J

-V^P

Ejemplo 2 Hablar el volumen del sólido encerrado por (Figura 135) Solución

z^\/x2+y2, Z=4

l i o

Jf=-i2Senq> •

 Cos lue9c

, así: 4

V(s) = f f /dzdydx vU)

J J J r35erj d& Jo Jo Jo

y/16-X2 4 £ / / d z d y d *

-x/Te x7 >/*2 *y2

:n coor denadas cilindricas). Ejercicio. = f f f rdzdrdd <E, Jo Jo J T

Ejemplo 3

Calcular f f f d x d y d z , <p (A) = {(x,y,z ) | = z<0, y<0} <tU)

(Figura 136) Solución

Nraarla Actvt««. 111

0 0

/ / f d x d y d z = f ' f f dzdydx

= f J j r7SenydrdtydQ A

í 2 n Í c f * r 2 S e n < f > ^ ^1 ^

o = j | J rdzdrdQ (En coordenadas cilindricas). Ejercicio

-•y/TT*

Ejemplo 4

Calcular J j Jdzdydxn cp es el sétlid® limitado por las superfices

x2 +y= + 23 = 8 y z = ^ x 2 + y 2 (Interior a éste último) (Figura 137) Solución El punto de intersección de las superficies x2+y2+Z2= 8 y e 5

Z=±2» pues x 2 + y 2 + Z 2 = Z 2 + 2T2=8 -* Z=±2 » asi x2+y2-4* luego la proyección en el plano xy de (A) es { ( v , y ) | x 2 + y 214 > , y

/ / [dzdydx = f2 f C d z d y d x <p{A) J-2 J J -yl -X2 y/x2*y2

= f^f^f^ziSenvdrdydQ

= J* y rdzdrdd* ( E n coordenadas ci 1 indri cas) . (Ejercicio) o o r

Ejemplo 5 Hallar el volumen del sólido q> (A) que se observa en la (Figura 138)

)

11? I * t » f r * l « s « » » ! • • y t r i p l e » , *• ! ! • » • • y c¡© » « » t r f í c i »

Fig.138

Como x ^ + y 2 ^ entonces, aplicando coordenadas esfericas se tiene que (rCoBQSeny)2+ (rSenQSeny)2 = r2Cos2QSen2<p+r2Sen2ñSen2y=r2Sen2q>^

3 • 3 n _ _ ti -» r= a s i g u e v 0s6s2k l u e 9 o

V^-x3 \Jx2*y'>

í / j -dzdydx v ( f

3 -N/^T 0

* _JL_ ' 2fr

j* J r2¿>en<i) dr dq> d6 «. 0

;oc)f denadas r i l indr i cas ) . (Ejercicio) f2r'f fTrdzdrdd <e. Jo JO Jo Ejemplo 6

r rí i' 111 a r f f f(x2+y2) dzdydx, ^ (A) ( x ,y , z ) ¡ x<o. «pU>

So 1ucirtn

r v/9-x2 o ] J J (x2+y2) dzdydx = j j (x

7+y2) dzdydx * A> -v'i"^-V9-xJ -y2

• * r n « r t f e Acevfftf». 11 3 1 i

= f * f 3 f * T l (rCosqtSeny)2 + (zSenQSentp ) 2}r2Senq> dBdz d®

i— JT o

I I í 1 • r ¿ dz dr d® T ° V ^ P

Ejemplo 7 • T

Hallar el volumen del sólido limitado por (x 2+y 2+z 2) 2=2z(x : : :+y 2) . Solución

Como Z£0, O * © * — 2

(x 2+y 2+z 2) 2 = [ (r2Cos2QSen2tp+r2Sen2&Sen2(p+r2Cos2q>) ]2

= 2zCos +r2Sen2BSen2ty) *» r 4-2r 3 C o s í ? S e n ? < # **

z^2CosySen2y • luego o^r¿:2Cos<p5'en2(p • |Como 0 no aparece, toma el máximo valor es decir, Oí012ti, luego:

v ( 5 ) f f j d z d y d x <9 (A)

^ 2Cast^Sen39 - J2KJ t

f r2Senq> drdq> dd (Ejercicio). 0 0 o

Ejemplo 8

Hallar el volumen del sólido que se observa en la f i g u r a ( F i g u r a 1 3 9 ) Solución

x 2 + y 2 + z 2 = 2 z " Z2=2ZC0SÍP ** Z=2COSip (en esféricas), luego 0£Z£2COS<p - L a intersección de las superfices X2 +y2 +Z2=2 Z V

z=Jx2+y2 e 5 z = l' oues x2+y2 + z2=z2 + z2=2z ~ 2z2-2z=0 « 2z(z-l) =0 ~

Z=1- Luego la proyección en el plano xy del sólido es { ( •: ,y)|x 2+y 2íl) entonces

O<;052m:, y 0 *<p < , luego: 4

Vis) / / / »(A)

dzdydx

v'i-xa i V i -*3 -yJ

f j J dzdydx '-i t

114 i latlfralu #ofcltt r trlflts, lint* y 4m l « p « r f t c l B

- í K f < f CírfraSen<pdrdq>dd-Jo Jo Jo

(x2+y2+z2=2z ~ x 2+y 2+(z-1) 2=1 - z-l=±\/l-x2-y2)

Ejemplo 9 Hallar el volumen del sólido que se observa en la figura (Figura 140) Solución

x'+Z+z*- 2 12 z

x*+ y'+z*~ 4

Pasando las ecuaciones cartesianas a coordenadas esfericas se tiene Qje x 2 +y2 + z2-Zlm\

- r=2; x2 +y2 + z2=r2=2i/2rCosy ~ r=2j2Cosy E 1 P u n t o d e interseccióf

de las superfices es pues x 2+y 2+Z 2=4 ~2\[^.Z ** z~—~r = ~~r ~ " ^ 2 y 2 y 2 ¿

" 2y/J asi la proyección en el plano xy es x 3 + V23í2- C o m o COSIJ> 2y2 ¿

d&+f*TfjfJ'/*Ccspr2Sen<pdrd<í>dQ. (Ejercicio)

115

Ejemplo 1 0

(Figura 1 4 1 )

Solución

<p(r,e,<p)

Sea | = u , f - V , -» x=2u, y-3v, z=4w y así

A(u,v, w) = (2u,3v,4w) = (x,y, z) .

cbc dx dx du dv dw 2 0 0

II ÍL du ÉL dv ÉL dw = 0 3 0

5* dz dz 0 0 4 du dv dv

= 2*3*4=24 y 2 2 2 +-¿— =u 2+V 2 + W 2 entonces

16

I [(*i+J±+¿L}dzdydx = / / f(u2+v2+w*)24dudvdwy para caicuiar

f(A) u1*vi+w2i.l

esta integral se hace: u=rCosbSeny, v^rSen&Seny; w=rCos:£Tt y JB=-i7Seny, luego:

f / f [u2+v2+ w2) 24 dudvdw = 24 f1 f2% [* r2. zSen* d<f>dSdz J o J o J o

= 2 4 * 4 * — (Ejercicio).

1 1 6 i latlfralu #ofcltt r trlflts, lint* y 4m l«p«rftclB

A/ota

La integra 1 / / (^+¿-+-£)dzdycbc, c o n { A ) í ^ y > g ) , + + sj » ( A ) l 4 9 1 6 J

puede calcular directamente si se hace

=rCosQSemp; =rSej}6.S«r¡<p, —-=rCosr<p, es decir 2 3 4 = (2rCo&QSen<?r *rSendSentp, -lxCowp) - Osrsl, 0.<6<2n, Oíqxn

y J"9=-24r2.Se/np y así:

fJJ-T+JT+-&)d*dydx = 24¡o1fo

2%foKr*.i*Senvd<pde<lr = 2 4 * 4 * | -

(Ejercicio). En coordenadas cilindricas quedaría:

vT^ f f ( - T + J T + Í l ) d z d y d x = 2 4 / ; * / ; / r(r3+w3) dwdrdd * -Vl-r7

= 2 4 * 4 * — 5

Ejemplo 11 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies:

2 2 2 2 2 2 =2 V — , Z * ( (Interior a ésta) (Figura 142)

a 2 ¿>2 c 2 a2 b2 c2

Flg.142

I 10/

Solución

las superfices es Z~±C pues

=2. *• z-±C Y I a proyección en el plano xy

La de X2 Z2

+ Z 2 2z2

a2 í>2 c2 c2 c2 c2

del sólida es a 2 ¿>2

asi que

V ( S ) = f f f dzdydx »(A)

/_; / / a -JVa'-x5 I xi

y/l-U1 yj2-U2-V3

= ¿2¿>cJ J J dwdvdu Vi"«2 >/u2+v2

- abcf" i* f ^ z d r d r * Jo Jo J r

= ai>cf2n fv^fJ*r2Sen<pd<pdrdd (Ej< Jo io Jo lambios de variables análogos al ejemplo anterior. Ejemplo 12 Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies x2+y2+z2=4 y x2+y2+z2=9 tFiqura 143) Solución

Fig.117

v(s) = / / fdzdydx » ( A )

= jJjr2Sen<p drdQdy A

f2K f* f*r2Semp drdycfá JO Jo J2

= 1 9 * 4 y ( E j )

2.6.9 EJERCICIOS

1. Pasar las integrales siguientes a coordenadas polares y calcularlas o

i. £ / dydx

-VTe^x7

\Z25-X*

2. f f dydx -y/25-X

• í s f d x d y

In 119

/ ; / dyäx

V» ax-x' 5. | 3 a J (x2+y2) dydx

-y/2lX-X2

f f f i — ^ d y d x <p(A)={u,y> »(A) 1

7 • f [~e ~x2 y2dydx J o Jo

8. v'CT

•3 J J s/x7 +y2 dydx

yf^X1 9' / S e n U ^ y 2 ) «fr0*

- 0

10. J 1 J (l-x 2-y 2) dxdy

v^I 7 v T X 7 f 1 Í -T^ctydx* f2 f ——jdydx J 0 J x'+y2 J x*+y*

v/TÍ7 0

12. f ^ - y í - d x d y Jo J y \/x2*yÍ t

y V* +y

13. f 2 f x - J — d y d x Jl JO y/x

2<y

2

II. Hallar el área en coordenadas polares de las regiones: 1. { ( x , y ) j ( x - l ) « + ( y - 4 ) ® < 2 5 ) 2. r =2+CosO 3. r=SenO 4. Area común a r=2SenO y r=l 5. { ( x,y ) I 4<x = + y~<3¿>) 6. La región limitada por y = x y y = x:2

1 2 0

7. Común a r=a y r=2aSenO 8. r2=Cos20 9. Común a r=1 y r=1-CosO

III. Calcular las integrales siguientes por cilindricas o esféricas VT^F»

>•/; f j0'd*<tydx (x>/«i)

2' í ' / / * d z d y d x («=/2-r) ° 0 °

v'/ü'-x2 y/R'-x'-y2

f f f dzdydx ( R : / * f ) - y / l t t 0

4 ' / I / f_l(xa+y2) dzdydx

^9-x2 3 5 • / ' / / dzdydx

0 v / P ^

/ ; / / d z d y d x -v/Ii^P 0

v/J v^-x* Jxa+y3

f f f dzdydx -y/1 V^-x1

6 .

7 . 0

0 0 V^S-x'-y2 s. y j" | dzdydx

"5 -v/i?^7 0

O 9- f l f f ^ ^

IV. Calcular las integrales con alqún cambio de variable,

1 2 1

/ / j y ( A ) el sólido limitado por las superficies »(A)

Z2 = j£(x2+y2) y por 0; \Ri

f j j\jx7+y2dzdydxt e l 5 Ó i i d o limitado por z=-yJx2+y2 y

dzdydxt e l s ó l i d o limitado por

z=-l

b / / / < f(A)

a2 b2 a2 b2 a \ 2 /

4. I I I (** +y2) dzdydx^ la parte de la semiesfera x 2 + y 2 + Z 2 = 4 < ZJtO »(A)

[ intersectada con x2+y2=1-

5. (*2 +y7) dzdydxn <P (A) el sólido limitado por

•PÍA) V

4 - V ^ F , y z - l

[.Hallar el volumen del sólido limitado por las superficies iguientes, indicando los límites de la integral sin cambio de variable luego con cambio de variable si es posible.

1. x2+y2=z y

2. z=4 -x2; z

3. z=x, z= --X2

4. z=Q-x2- y \ 5. x2+y2 + z 2 =6

( R : / l )

(R:/6nyf5) 6. x=4, y-4, Z=x2+y2 +1 y l o s planos coordenados (¿?:/367t) 7. X+y+Z-1, Y los planos coordenados

122

8. — +y¿=l, z=l, z=12-3x-4y 4

— + + (i?-:/32ic) 16

10. /

11 .

12.

1 3 .

y2=4a2-3ax; y2=ax, z=±h

x+y+z=a, 3x+y=a, -|x+y=a, y=o, z=0 /JLÍ +A ¿ V ^ 6

x2 +y2=b2 ; y+z=a, z=0 ( R : / a b 2 n )

z=0; z=x2+y2, x2+y2=a2 \R:/n

14. z2=x2+y2; z=x2+y2 I/?: 15 • x2+y2 = 2x, z2=x2+y2

x2+4y2=4z; x2+4y2=48-4z I '? . x2+y2 + Z2=4<32 y <32=X2+y2 lFuera de éste último) 18 • z=8 -X2-y2 y z~x2+y2

lv. z=4-x2-9y2 ; z=l 2' >.

7 1

z=4 -y/x2+y2, z= 1

Z=JÜ_+y2; Z=1 ; z=3 4

VI. Indicar los límites de la integral

variable, en cilindricas y en

/ / / <r(A)

dzdydxt s i n cambio

para : tp (A) ={(x,y, z) | x2+y2+z2*9, z*0} (A) el sólido limitado por x2+y2=10' Z = 0 > Z = 5 • Z-X2 +y2

<p (A) ={(x,y, z) ¡ 4^x2+y2 + z2á9)

IZS

3. APLICACIONES FISICAS DE LA INTEGRAL

3.1 DEFINICION

Si una lámina tiene la forma de una reqíón encerrada y acotada en el plano xy (Figura 144) y tiene una densidad constante p, entonces la nasa de la lámina viene dada por:

x=a

Fifl.144 y

y=f|xj

=0M

masa = pA = p f b [ f ( x ) - c r ( x ) ) d x = p / / d A = / / p ^ • Ja 0 0

El empleo de una integral doble sugiere una extensión natural de la fórmula, para hallar la masa de una lámina de densidad variable, donde

;sta viene dada por p(x,y) . lueqo:

. tíasa:

M(Q) / fp(x,y) dxdy = f Jp{x,y) dA . o o

2. Mamen tas:

Los momentos de la masa con respecto a los ejes x e y son:

Mx = f f y p ( x , y ) dA y My = j J x p ( x , y ) dA . o o

|3. Centro de masa: Si M es la masa de la lámina entonces el centro de masa es:

124 -- * r J? taiarfldl Vartirio Acivtrio.

4. Momentos de Inercia:

El momento de inercia de la lámina respecto a una recta L es:

IL = j fd2{x,y) . p(x,y) dA . o

Donde d(x,y) es la distancia del punto (x,y) de la lámina a la recta L. Si la recta L es el eje x o L es el eje y, estos momentos de inercia se notarán por l,, e Iv y vienen dados por:

Ix ' f f y 2 p ( x , y ) d A y Iy = f f x 2 p ( x . y ) d A

Q 0

5 . Cen t roi de :

S l p(x,y) ^constante el centro de masa de la lámina se 11 ama|

Centroide.

6. Momento polar de Inercia:

El momento polar de inercia de una lámina respecto al origen se nota| por I 0 y viene dado por:

I0 = f fr2p(x,y)dA = f f(x2+y2)p(x,y)dA = J y + I x , o o

Ejemplo 1 Hallar la masa, momentos de una lámina triangular de vértices (0,0), (0,3) y (2,3); (Figura 145) supuesta la densidad en cada punto (x,y)|

está dada por p(x,y) =X •

Solución

1 2 5

Fig.145

Como se observa en la figura L45, la reqión Q tiene las fronteras x=0 y= 3, luego:

Masa=M - f f p ( x , y ) d A 0

- S!x d A

M »

j j xdxdy (Eji ) .

M,„ f j y p ( x , y ) dA ' o

I f y x d A

£ J x y d x d y (eji

M. J ¡ x p ( x , y ) dA o

= / fy*dA

126

1Z

(Eji j J xydxdy o

= ffy2p(x,y)dA o

= J Iy2xdA

iz

U =

J3 j y3xdxdy 0 o

f fx2p(x, y) dA o"

f íx2ydA o ?JL

j"3 j x3 dxdy

Ejemplo 2 Hallar la masa, momentos, centro ele masas de la lámina correspondiente a la porción del círculo x 2+y 2=9, siendo su densidad en el punto (x,yl proporcional a la distancia entre el punto y el centro como se observa en la f igura 146. Solución

Fig.146

y

1 2 7

En un punto cualquiera (x,y) la densidad de la lámina es

p(x,y) = k\J (x-0) 2+ (y-0)2 = kjx2+y2- y como ~ 3 m 3 y -finpsyzfó'1*? la

masa viene dada por:

11, m = f Jp(x,y) dA 0

= j fky/x7+y2dA o

= J j ky/x7+y2 dydx

- f f kr2 di de J o Jo

= 2 re fkr2dr Jo

2» k r 3l 3 = 187CÍC o

|2. IV = f fyp(x,y) dA 0

- J J'yky/x2 +y2 dA A

= f J kyjx2+ v7 dydx

= f2n f3krSenQrrdrdO J o J o

= f2n f^kr3Senddrde Jo Jo

= kr^.]3 sene de Jo 3 Jo

r 2n 27 k Spndde Jo "2 TC j o 27 k ( -Coíto) ¡27t = 0

133

v = / /xp(xt y) dA o

= f jkxjx2 +y2 dA

- f3 j* kx<Jx2+y2 dydx

/"* f kzCosQzzdzdd Jo Jo

- Í2K f3kz3cosedzdd = o Jo Jo

.... j | ¡y2p{x,y) dA o

J y y2 ky/x2 + v2 dA

J 3 J ky2Jx2+y2dydx 3 - v ^ P

= f2" [3kz2S#n2ezzdzdd Jo Jo

= í2n í'kz4Sen20dzde <Ej Jo Jo

e r c i n o ) .

Ejemplo 3 Hallar el centra de masa de la lámina correspondiente a la reqión limitada por y=4-x= y el eje x (Figura 147), si la densidad en él punta ( x , y ) de la lámina es proporcional a la distancia entre (x,y) y el eje X . S o l u r i ó n

Fig.147

y A

y - 4 - x ?

p(x,y)=ky y asi:

i. m = f f p(x,y) dA o

- / / * " < « a

J-2J0

. f ' ^ f - ^ d x J - 2 2 J 0

/-'jçji^nidx -2 2

= -^f2 (16-8x 2+x 4) dx 2 J -2

|. m* = / fyp<x,y) cîa 0

= J fvkydA

= f fky2dA 0 •2 T4-X2

256 15

f f*~x ky2dydx = J-2J0

4096 105

m v = / fxp(x,y) dA o

= j xkydA A

_ f 2 X fcyxtfyrfx _ Q J-2J0

ó. f K y , ^ { M M

4. i = / fy2p(x,y) dA o

= f I ky3 dA A

= i* f'-^ky'dydx (Ejercicio). J-2J0

t = f fx3p(x,y) dA ' o

= J f Jcyx* c¿A o

=• / / kyx2dydx (Ejercicio) J-2J0

E j e m p L o 4 Una lámina tiene la forma de la región que esta fuera de la gráfica di r - a y dentro de la gráfica de r = 2aSenft (Fiqura 140). Halle la masa el suponiendo que la densidad en el punto p=(r,8) es inversamentl proporcional a la distancia de p al polo. So 1u ci ón

4096 k _o "105 256 k' 256ic 1 R 1 ^

Fig.147 y

s curvas r = a y r =2aSenB se cortan en 0 = _ y Q= D7t (Ejercicio) 6 6

- f fp(r,e) dA o

•iS f 2aSsn0

f f ( f ) ^ r d e i a 6

5T k J (2aSenQ-a) dd

ka -2 CosB-e] 5 —

^ 2 / 3 - 2

S-5 c 2 a.9«nfl

= J J (r2Cos26) ~rdr dQ

132

3 . 2 APLICACIONES FISICAS DE LA INTEGRAL TRIPLE

Si p ( x , y , z ) es la densidad en un punto (x,y,z) de un sólido S cerrado y acotado del espacio entonces: 1 . Masa del sólido:

i a masa del sólido viene dada por:

M^fffp(x, y, z) dv s

t"~im<?n tos < íir> r evfjurt'} ."» íus pl a>n cuor den^doa xy. y¿ , xz:

Los momentos con respecto a los planos z = 0, x=0, y 0 vierten dados por :

Mxy = f f f zp(x,y, z) dv, Myg = f f f xp(x,y, z) dv. Mxz = f f f y p ( x , y , z) dv S 3 3

3. Coordenadas del centro de masa (x,y#z) ""

Las coordenadas del centro de masa vienen dadas por:

X=MY*-; y- ^ ; M M M

4 . Centrai de:

si p(x, y , z)=constan te entonces el centro de masa se llama centroide del sólido.

Mamen tos de Inercia respecto a una recta L:

t- 1 momento de inercia del sólido respecto a una recta L viene

I7 = f f f d2{x,y, z) p ( x , y , z) dv

donde d(x,y,z) es la distancia del punto (x,y,z) del sólido a la recta L.

*

6. Momentos de inercia con respecta a los planos y-O, x~0:

Los momentos de inercia con respecto a los planos z=0, y=0 y x=0 vienen dados por:

Ixy - f f f z2p(x,y, z) dv. Iyt = f f f x 2 p ( x , y , z ) dV. IXB = f f f y2p(x, y, z) dV 3 S 3

7 . Momentos de Inercia con respecta a las ejes coordenados:

Los momentos de inercia con respecto a los ejes coordenados se cal cu 1an por:

= f f f (y7+z2)p(xfy,z) dv= s

Iy = f f f (X2 + Z2)p(X,yrZ) dV = Iyy+Iys ,

133

xy = / / / ( * 2 + y 2 ) P<x'y, d v = 3

jemplo 1 aliar la masa, momentos y centro de masa del sólido limitado por las

X2 suDerf irps Z-2-—— y los planos z = 0, y = x, y=0. (Figura 149) suponiendo

que la densidad es proporcional a la distancia de la base del plano xy . Solución

z

|Por hipótesis p ( x , y , z ) =•<z donde k es una constante, por lo tanto:

|n = f f jp(x,y,z) dV 3

í i* / kzdzdydx o

• « a ;

• * / / / / ( — f K -- kCl2x-xy*\x*)dx = -f-Jc.

JJJp(x,y,z)z<íV

fffkz'dV 3

2

/ 2 / X / kz2dzdydx 0 0 o

T M " * ) ' « " *

f j f { * x , y , z ) y d v s

fffkyzdV 3

2

j j"X j kyz7 dzdydx 0 0 o

kí0,L"M2-JT?dydx

JJJ p(x,y,z)xdv s

[ f f x k z d V s

k f f J xzdzdvdx

2 4

f ? f* f kxzdzdvdx - ^-k 0 0 o

Iit>|rtlH <•>!•• y i'lfltm, d» li*« y li i«Mrfici» 140

128 k X = ^yz _ 105 32

M 4 Je 35

64ie

y - = 105 _ JL6 w 35

4 * li m "~t" i V = 3

= i M 4k

||v = f f f z ? p ( x , y , z ) d V s

, f f f k z ' d v 3

/ ; / ; / kz3 dzdydx 0

f f f y 2 p ( x f y , z ) d v s

[ f f k y ' z d v S

2

i T / * f ky*zdzdydx ( E j l 0 0

I = f f f x ? 9 ( x r y r z ) dV s

»= f f f ^ z c / v

« r * (Ejercicio) £ £ j" kx7 zdzdydx o

• IPfnn 1 11

1 3 6

Calcular el momento de inercia con respecto al eje y, del sólidc limitado por la superfices 4x 2-y=+z 2=0 y y=3 (Figura 150) si si densidad en cada punto (x,y,z) es constante. Solución

F i g . 1 5 0

k'

\ y = 3

^ 4 x 2 + z 2 - 9

l, - I v + I >-• = / / / (z 2+y 2) p(x,y, z ) dV s

JjJ c{z2+y2) dV

s/9-4.jp J j J c{z2+y2) dydzdx

-y/3l-iX2 l/4X2 + Z2

i VP^P J3 J J c(z2+y2) dzdxdy ° -f -VP^tP

(Ejercicio)

Ejemplo 3 Hallar la masa, centro de masa del sólido limitado por las superfices

Z=y¡9 -X2~y2> (Figura 151) Si p(x,y, z)

Solución

I l

tarmiré» «c«y»<u.

Flg.151

z -V9 -X 2 -y2

I N / / / dv

/ 3 / / cdzdydx - v ^ P 0

v / ^

: V I 2 SU c T 2 s e n < * d i d < ? < *

2TÏ9C = 18cti

Mi.y = f f f p { x , y , z ) z d v

/// czdv c f 0

2 * f 0 1 £3 (-rCos<p) r25e/3<p drd<p d8

81c«

Lr = /// p (x,y,x)yciv

138 Itriari» «cmdo.

/// cydv

2 * T 3

cf J JrSenQSenq>r2Senq> drdy dd • O 0 0 0

M, J ¡ f p(x,yfz)xdV s

2a "a 3 f I j rCos®Sen<pr2Sen<p drdtp dd - O 0 0 0

M 18C1C

Y = — - = O M

= O

81ctc 4 2 = =

Af 18 C7i 8 Ejemplo 4 Hallar el momento de inercia con respecto al eje z, la masa y centroide del sólido limitado por z=-4 y z = 4 (Figura 152) p(x,y, z) =i. Solución

= f f f i x ' + y * ) l.oV 5

y'9-X1 4 [' f f (x7+ya) dzdydx

• r r r ^ . r d z d i d e '0 j 0 J-4

I f2K f3&r3 drdfì Jo Jo

Jo * Jo de

2**8*81 = 3 2 4 1 C

jffç>(x,y, z) dV a

f f f d v 3

• cn>dzdrdR

= r i 8 zdrde Jo Jo

r ai3 8 — = 2**4*9 = 72K L 2 Jo

f f f z d v S

f " i" f 'rzdzdidQ = 0 Jo Jo J-4

h - i f f S

I f / r2Co.<*edzdrdB = 0 Jo Jo j - 4

I. - / / /y<*

x d v

140 Btrttrl» AcmO».

= f f f z2Senddzdrdd = O Jo Jo j-i

V a s i (J.y.5) . ( ^ - . - I J , ^ ) . (0.0.0).

Ejemplo 5 Un sólido en el primer octante está limitado por las superficies Z=y¡X2 +y2' 2 = 1 ' x = 0 ' y=0 (Figura 153). Hallar el centro de masa si la densidad p(x,y, z)=r. Solución

Fig.153

Z

M

h

= f f f p ( x , y r z ) dv s

• f f f ^ 3

= [ i f1 C^rirdzdrdQ) = Jo Jo J r 24

_ = f f f z p ( x r y r z ) d v 3

= f^f1flzr2dzdrdd = Jo Jo Jr 30

- = f f f y p ( x , y , z ) dv

1 4 1

= f " fX f1 (rSenO) rrdzdrdO = ~ Jo Jo Jr 20

f,vx = f f f x p ( x , y , z ) d V

= [ ' T í 1 (rCosQ) rrdzdrdd = Jo Jo Jr 20

Por tanto:

Myz _ 1 20

M ' n 24

1 20

M n 24

n O*.. 30

71 24

5n

6 571

_5 5

5.3 EJERCICIOS

I. Hallar el centroide de la lámina limitada por:

i- *=y 2, **=-8y H i < " ^ ) ) )

2- y = 4 X - X 2 . y=x (R: /(-§, -

3. y=2Sen3x, x=0, x = , -Jjj

4- X a-8y+4=0, X 2 = 4 y primer cuadrante , jj

2 «r2 5. X

a2 b2

6- ^ í r 1

7. triángulo de vértices (0,0), (b,a), (b,0). 8- y=V3x. y=0, x=3> p(r,8)=r3

II. Tomar p(x,y)=X+y en I y calcule el centro de masa y sus momentos respecto a los ejes coordenados.

142 Iattfral»! y trlflti, 4« llaaa y ém avftrfldt ltraar<* Acmla.

III. Hallar el centroide de la región limitada pors

1. r=5eií26, primer cuadrante |¿: r

2. r- — r , primer cuadrante / R:/(—,—\\ 1+COS0 \ •• \ 5 4//

3. r-2Cosd 4. r=l-CosQ 5- r=2Sen6

IV. Tomar p(r,6)=Jtr y hallar centro de masa y momentos para los ejercicios del numeral a n t e r i o r ( I I I ) .

V. Hallar el centroide del sólido limitado por: 1 . x2+z=4, x+z=2, y-0, y=3 2* z=x, z=x2+y2

3. z=4-x2, z=3x2+y2

4- x2+y2+z2= 9, x2+y2+z2= 16 5. x2+y2+Z2=9, X2+y2=1 (Exterior a ésta)

x2+y2=a2, z=0, z=h VI. Hallar el centro de masa, momentos en el numeral anterior (V) si

p (x,y,z) = x-, VII. Hallar el centroide del sólido limitado por:

í- r=2CosQr z=zz, z=0 2. z=0, z=a-r, r=aCosd 3. z=1, z-2, r=4

VIII. Hallar el centro de masa del sólido limitado por: 1 • x 2 + y 2 + z 2 = 9 y x 2 + y 2 + z 2 = 1 6 p(r,8,<p)=r 2 . x

2 + y 2 + z 2 = 9 p ( r , 0 , <p) =Send 3. z=v/9 —x2 —y2r z = 2 , p ( r , 6 , z ) = 2 z

4. INTEGRALES DE LINEA a noción de integración de una función definida en un intervalo, en ina región cerrada y acotada del plano o en un sólido cerrado y acotado el espacio se puede generalizar a la integración de una función eUnida a lo larqo de una curva y es por ello que primero conoceremos lgunos aspectos de las curvas y luego daremos la definición de la ntegra 1 de 1 íriea . .1 DEFINICIÓN

eaa:[a,b] 'Rn, tal que a ( t ) = <( xA (t ), xa( t),..., x„ (t)) . | Al conjunto { (<t , a ( t) | t e [ a , b ] } se llamará La gráfica de a.

Ejemplo < a: [0,4] >R I

t > a < t ) = ( t, t ) •Si a es continua en [a,b], la imagen de a la llamaremos Curva y a !|) = ( x i ( t), x a ( t),..., x„ ( t) ) es una ecuación paramétrica de la curva . ¡gráfica (el de la imagen) la representamos por C. (Figura 154)

Fig.154

Ejemplo Sea y = x 2 entonces sí x = t se tiene que y^t^ y así a(t) = (t,t::') es

na ecuación paramétrica y a la imagen de a se llamara curva, pues a [continua (Figura 155)

1 4 4

A

(-1,1)

<?.4)

-1 2 3. La curva se llama regular si existe <*'( ù) para todo te(a,b) y/ a

es continua en [a,b]. 4. La curva se llama regular (suave o lisa) a trazos, si se puede

expresar como unión de un número finito de curvas regulares 'suaves o lizas),

b. a continua, la curva a es cerrada si a(a)=a(b). 6. a:[a,b] > R" continua, la curva es cerrada simple si a(a)=a(b) y| si para todo t±,t= e[a,b], tx^t^ se tiene a ( t i ) ( t 3 ) . 7. Si c no es una curva cerrada el sentido positivo de c es la sentido correspondiente a los valores crecientes de t. hjemplos

Nn«rla Acmtf«. JL t )

Fig.156

Vr

C)

-ZS7 w

d) e) De la Figura 156 se puede concluir que a) Es una curva cerrada, regular, regular a trozos, es cerrada simple. b). Es una curva, no es regular, es regular a trozos, no es cerrada, f). Es una curva, es regular a trozos, es cerrada, es cerrada simple. I d). Es una curva, es regular a trozos, no es cerrada. e). Es una curva, es regular, es regular a trozos, es cerrada, no es

cerrada -¡fí/tfi/C . pie.. f|. Es una curva, es regular a trozos, es cerrada, es cerrada simple. 1.2 PARAMETRIZACION DE ALGUNAS CURVAS

I. Un segmento de ^ecta con punto inicial AeR" y con punto final BeR1" se puede parametrizar así: a(t)— A+1(B-A) 0<t<l, es decir, a: [0,1] > R n

t > a(t)=A+1(B-A) . Ejemplo 1 Hallar una ecuación paramétrica para el segmento de recta que tiene como punto inicial A=(1,2,1) y como punto final B(2,4,6). (Figura 157)

j f íf(x,y, z) dzdydx = f f j f(x, rcos®, zsenb) zdxdzcb

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