ivana soˇˇ semdjumic/uploads/diplomski/Šoš03.pdfanuiteti jednaki bez obzira na promjene u...

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivana Sose

Strategije otplate zajma

Diplomski rad

Osijek, 2014.

Sveuciliste J. J. Strossmayera u Osijeku

Odjel za matematiku

Ivana Sose

Strategije otplate zajma

Diplomski rad

Mentor: doc. dr. sc. Nenad Suvak

Osijek, 2014.

Sadrzaj

1 UVOD 4

2 OPCENITO O ZAJMU 4

3 ZAJAM UZ NOMINALNO JEDNAKE ANUITETE 8

3.1 Odredivanje iznosa zajma i nominalno jednakih anuiteta . . . . . . . . . . . 8

3.2 Izrada tablice otplate zajma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.3 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

4 ZAJAM UZ NOMINALNO JEDNAKE OTPLATNE KVOTE 19

4.1 Izracunavanje otplatne kvote . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

4.2 Izrada otplatne tablice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

4.3 Primjeri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

5 USPOREDBA OTPLATE ZAJMA JEDNAKIM ANUITETIMA I JED-

NAKIM OTPLATNIM KVOTAMA 32

6 DRUGE STRATEGIJE OTPLATE ZAJMA 35

6.1 Vlastita strategija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6.2 Strategija prema ocekivanoj dobiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

6.3 Otplata zajma uz razlicite anuitete i razlicite otplatne kvote . . . . . . . . . 41

3

1 UVOD

U diplomskom radu su prezentirane neke strategije otplate zajma, sto podrazumijeva

nacin na koji ce zajmoprimac vratiti dug zajmodavcu.

Glavna podjela u ovom radu je na otplatu zajma nominalno jednakim anuitetima, otplatu

zajma nominalno jednakim otplatnim kvotama te druge strategije otplate zajma od kojih su

navedene: vlastita strategija, strategija otplate zajma prema ocekivanoj dobiti i strategija

otplate razlicitim anuitetima i razlicitim otplatnim kvotama. Dane su formule za jednostavno

i slozeno ukamacivanje te prikazana izrada tablica otplate i navedeni primjeri za svaki oblik

otplate zajma.

2 OPCENITO O ZAJMU

Posudbu financijskih sredstava za investiranje od za to ovlastenih institucija nazivamo

zajam. Da bi doslo do potpisivanja ugovora prema kojemu zajmodavac (kreditor) ustupa

financijska sredstva zajmoprimcu (duzniku), potrebno je odrediti nuzne uvjete koji ce uci u

ugovor, a to su:

a) iznos zajma

b) vrijeme i nacin na koji ce zajmoprimac izvrsiti svoje obaveze

c) kamatnu stopu za redovnu otplatu

d) pocetak otplate zajma

e) nacin vracanja zajma

f) rok otplate zajma

g) zateznu kamatnu stopu

h) mjere osiguranja kredita.

Potpisnici ugovora mogu dogovoriti jos neke odredbe koje ce odgovarati objema stranama.

Kod racunanja kamata za podignuti zajam koristimo slozeno ukamacivanje. Slozeni kamatni

racun je onaj kod kojeg zajmodavac obracunatu kamatu za prvo obracunsko razdoblje pri-

braja pocetnoj glavnici, pa u iducem obracunskom razdoblju obracunava kamatu na pocetnu

glavnicu uvecanu za iznos kamate iz prvog razdoblja. U svakom sljedecem razdoblju dolazi

do obracuna kamate na kamatu.

Jednostavni kamatni racun koji se upotrebljava ako kamate racunamo na istu pocetnu

glavnicu za svako razdoblje ukamacivanja.

Prilikom podizanja zajma razlikujemo nominalnu i efektivnu kamatnu stopu. Nominalna

kamatna stopa ne predstavlja konacnu cijenu kredita, na temelju nje se izracunavaju ot-

4

platne rate. Nominalna kamatna stopa se najcesce ugovara za razdoblje od godine dana i

cesto ju je potrebno preracunati za krace vremensko razdoblje, npr. mjesecno, kvartalno ili

polugodisnje.

Efektivna kamatna stopa prikazuje koliko zajam stvarno kosta, odnosno kolika je

ukupna cijena zajma. Na visinu efektivne kamatne stope utjece osim redovne kamatne stope

i visina naknada koje zajmoprimac placa zajmodavcu prilikom odobrenja zajma, duzina ot-

plate zajma, visina eventualno potrebnog garantnog depozita ili udjela itd. U Hrvatskoj je

nacin izracuna EKS-a je jedinstven za sve banke, propisala ga je Hrvatska narodna banka.

Efektivna kamatna stopa definirana je izrazom:

e = 100[(1 +en

100)

1n − 1]

en = 100 · Σk[BVn(NTk+]− Σk[SV0(NTk−)]

Σk[SV0(NTk−)]= 100 ·

{ Σk[BVn(NTk+]

Σk[SV0(NTk−)]− 1

}

en =

{Σk[(NTk+)(1 + e1

100)n−dk ]

Σk[(NTk−)(1 + e1

100)−dk ]

}

e1 = 100[(1 +

en

100

) 1n − 1]

Gdje je:

e = EKS

en = EKS izrazena na razini n dana trajanja kredita

e1 = EKS izrazena na razini jednog dana

t = broj dana u godini

n = ukupan broj dana trajanja zajma

k = 0, 1, 2, . . .

NTk− = (zbroj) isplata korisniku zajma tijekom k-tog dana

NTk+ = (zbroj) uplata davatelju zajma tijekom k-tog dana

BVn(x) = buduca vrijednost izraza x na kraju n-tog dana

SV0(x) = sadasnja vrijednost izraza x na kraju 0-tog dana

dk - broj dana koji je protekao od 0-tog dana do k-tog dana

Ukupni trosak zajma uvijek je veci od same kamate jer svaka banka propisuje svoje

uvjete za odobravanje zajmova.

Primjerice, prilikom odobravanja stambenog kredita postoje troskovi koji su vezani uz kredit,

te neki troskovi koji nisu vezani direktno uz odobravanje kredita, nego uz samu kupnju stam-

benog prostora.

5

Ukljuceni u EKS su sljedeci troskovi:

• naknada za obradu kredita (krece se u iznosu od 0% do 2% ovisno o zajmodavcu)

• trosak procjene nekretnine (oko 600 kn)

• osiguranje nekretnine od pozara (oko 750 kn/m2)

• trosak police osiguranja korisnika kredita od nezgode ili police mjesovitog osiguranja

zivota (ovisno o uvjetima zajmodavca).

Te drugi troskovi poput:

• javnobiljeznickih pristojbi (ovjera/solemizacija ugovora o kreditu, zaduznica, suglas-

nost o zapljeni - cijena varira ovisno o tarifi javnog biljeznika)

• trosak izdavanja zemljisno - knjiznog izvatka (oko 100 kn)

• trosak provodenja zaloznog prava u korist banke

• upis vlasnistva u gruntovnicu (250 kn)

• porez na promet nekretnina.

Ako procijenjena vrijednost nekretnine nije dovoljna, javljaju se novi troskovi za procjenu i

osiguranje dodatne nekretnine te ovjere davanja nove nekretnine u zalog.

Tocan trosak zajma tesko je reci jer se cijene naknada mijenjaju i ovise o vrsti i namjeni

zajma. U danasnje vrijeme je na trzistu velika ponuda, a smanjena potraznja za kreditima,

pa iz tog razloga zajmodavci, odnosno banke, odredenim povoljnostima pokusavaju privuci

sto veci broj klijenata.

Nakon zakljucivanja ugovora zajmodavac isplacuje ugovoreni iznos zajmoprimcu prema

nacinu navedenom u ugovoru. Otplata zajma takoder pocinje prema navedenom u ugovoru.

Ako zajmoprimac (duznik) zajam koristi u obrocima, morat ce platiti interkalarne kamate

jer zajmodavac svaki obrok ukamacuje od trenutka doznake obroka, pa do trenutka kada

pocinje redovno vracanje zajma.

Zajam se otplacuje anuitetima, to su odredeni periodicni iznosi koje placa korisnik zajma,

a sastoje se od otplatne kvote i slozenih kamata. Otplatna kvota je dio kojim se otplacuje

osnovni dug (ukljucujuci i interkalarne kamate ako nisu prije naplacene), a slozene kamate

su dio kojim se placa naknada za koristenje usluga.

Da bi olaksali zajmoprimcu te da bi zajmodavac imao dobar uvid u priliv financijskih

sredstava, radi se plan otplate zajma. Plan otplate zajma pregledno je dan u tablici otplate u

kojoj se za svaki rok racuna nominalni iznos anuiteta, kamate, otplatne kvote i ostatak duga.

6

Kamate mozemo obracunavati anticipativno - na pocetku obracunskog razdoblja, i dekurzivno

- na kraju obracunskog razdoblja. U radu cemo se bazirati na dekurzivni nacin obracunavanja

i naplate kamata jer se takav obracun najcesce koristi u nasoj praksi.

Po zavrsetku otplate zajma potrebno je provjeriti je li zbroj svih otplatnih kvota jednak

iznosu zajma, te je li zbroj svih otplatnih kvota i svih kamata jednak iznosu zbroja svih

anuiteta.

Poznato je mnogo razlicitih strategija otplate zajma, u ovom radu podijelit cemo ih u tri

skupine: zajam uz nominalno jednake anuitete, zajam uz nominalno jednake otplatne kvote

te druge strategije otplate zajma.

Obracun kamata ne mora biti uvijek godisnji, mozemo imati polugodisnji ili mjesecni obracun

kamata, ali u ovome radu cemo se bazirati na godisnji obracun kamata i placanje anuiteta

krajem godine.

7

3 ZAJAM UZ NOMINALNO JEDNAKE ANUITETE

3.1 Odredivanje iznosa zajma i nominalno jednakih anuiteta

Model otplate zajma nominalno jednakim anuitetima najcesce je primjenjivan model.

Njegove dobre osobine su jednostavno izracunavanje te ujednacen priliv sredstava za zajmo-

davca. Negativna strana moze biti za zajmoprimca jer u cijelom razdoblju otplate zajma su

anuiteti jednaki bez obzira na promjene u prihodima. Da bismo poblize objasnili dani model

uvest cemo oznake:

C = C0 - nominalni iznos odobrenog zajma

a - iznos nominalno jednakih anuiteta

n - broj razdoblja otplate zajma

Ii - iznos kamata na kraju i-tog razdoblja otplate i ∈ {1, 2, . . . n}Ri - iznos oplatne kvote na kraju i-tog razdoblja otplate

Ci- ostatak duga na kraju i-tog razdoblja otplate

p - stalni dekurzivni kamatnjak za jedinicno vremensko razdoblje.

Obracun kamata za ovaj model otplate je slozen i dekurzivan, anuiteti su jednaki i

dolaze na naplatu u jednakim vremenskim razmacima, kamatnjak je stalan tokom cijelog

razdoblja otplate te je duljina ukamacivanja jednaka duljini vremenskog dospijeca izmedu

dva uzastopna anuiteta.

Kamatnjak je svota kamata placenih na jedinicu vremena, tj. kamatnjak je trosak

posudivana novca. Rastuci trend kamatnjaka nam govori o smanjenoj ponudi zajmova, a

padajuci upucuje na visak ponude nad potraznjom.

Moguc je obracun ako je kamatnjak relativan ili konformni. Relativni kamatnjak se obracunava

ako je kamatna stopa zadana za neki interval, a obracun kamata se vrsi u nekom drugom

intervalu. Preracunavanje u relativni kamatnjak vrsimo prema formuli:

pr =p

m

m dobijemo tako da vremenski interval nominalne kamatne stope podijelimo sa vremenskim

intervalom ukamacivanja.

Konformni kamatnjak je onaj kojeg dobijemo ako nominalni kamatnjak preracunamo tako

da rjedom ili cescom kapitalizacijom u nekom drugom vremenskom intervalu ostvari jednaka

kolicina kamata.

8

Za dobivanje konformnog kamatnjaka koristimo formulu:

p′= 100[(1 +

p

100)m−1]

Primjer izracuna relativne i konformne kamatne stope:

Neka je godisnja kamatna stopa 10%, izracunajmo relativne i konformne kamatne stope za

polugodisnje, tromjesecno i dvogodisnje ukamacivanje.

Relativne kamate:

Polugodisnje: m =1 god

1 polugodiste=

2

1= 2 pr =

p

m=

10

2= 5

Tromjesecne: m =1 god

1 tromjesecje=

4

1= 4 pr =

p

m=

10

4= 2.5

Dvogodisnje: m =1 god

2 god=

1

2= 0.5 pr =

p

m=

10

0.5= 20

Konformne kamate:

Polugodisnje: p′= 100[(1 +

p

100

1m − 1] = 100[(1 +

10

100

12

− 1] = 4.88

Tromjesecne: p′= 100[(1 +

p

100

1m − 1] = 100[(1 +

10

100

14

− 1] = 2.41

Dvogodisnje: p′= 100[(1 +

p

100

1m − 1] = 100[(1 +

10

100

10.5

− 1] = 21

Zajam u iznosu C se otplacuje nominalno jednakim anuitetima krajem godine, tijekom n go-

dina, a otplacuje se uz stalnu kamatnu stopu p. Slijedi da je iznos zajma zbroj svih sadasnjih

anuiteta.

Uocimo takoder da je izraz u zagradi ako ga gledamo u suprotnom smijeru zbroj prvih n

clanova geometrijskog niza.

C =a

r+

a

r2+ ... +

a

rn−1+

a

rn=

a

rn(rn−1 + rn−2 + ... + r + 1) (1)

r = 1 +p

100, p ∈ [0, 100].

9

Ako zajam otplatimo jednakim anuitetima u trenutcima t1, t2, . . . tn onda suma sadasnjih

vrijednosti svih rata mora biti jednaka iznosu zajma. Oznacimo sa r dekurzivni kamatni

faktor, tada otplatu graficki mozemo prikazati sljedecom slikom.

Slika 1.

Vidimo da ce anuitetima a1, . . . , an u trenutcima t1, . . . , tn biti otplacen zajam ako je sadasnja

vrijednost svih anuiteta jednaka iznosu zajma:

C =

n∑

i=1

air−ti

Uvrstavanjem u (1) dobivamo

C =a

rn· rn − 1

r − 1. (2)

Sada iz danog izraza lako mozemo dobiti izraz za velicinu anuiteta:

a = C · rn r − 1

rn−1(3)

Primjer 3.1.1.

Odobren je zajam na 3 godine, koji se vraca uz 10% dekurzivnih godisnjih kamata i otplacuje

se nominalno jednakim anuitetima krajem godine u iznosu a = 10 000 kn. Odredimo iznos

zajma.

Rjesenje:

C =a

rn· rn − 1

r − 1

r = 1 +p

100= 1 + 0.1 = 1.1

10

C =10000

1.13· 1.13 − 1

1.1 − 1

C = 2486.52

Primjer 3.1.2.

Ako je odobren zajam u iznosu od 500 000 kn na 7 godina uz dekurzivnu kamatnu stopu od

10% godisnje, treba odrediti iznos nominalno jednakih anuiteta plativih krajem godine.

Rjesenje:

a = C · rn r − 1

rn−1

r = 1 +p

100= 1 + 0.1 = 1.1

a = 500000 · 1.17 1.1 − 1

1.17 − 1

a = 102704.601

3.2 Izrada tablice otplate zajma

Zbog lakseg pracenja otplate duga izraduju se tablice otplate duga u kojima je pre-

gledno za svaki vremenski period izracunat ostatak duga, takoder zajmodavac ima pregledan

plan priliva sredstava.

Tablica otplate sadrzi razdoblje - kraj godine, anuitet (ai), kamate (Ii), otplatnu kvotu (Ri),

te ostatak duga (Ci).

Tablica otplate izgleda ovako:

Kraj i-tog Anuitet Kamate Otplatna kvota Ostatak dugarazdoblja (ai) (Ii) (Ri) (Ci)

0 - - - C1 a1 I1 R1 C1

. . . . .

. . . . .

. . . . .n . . . 0

11

U prvi redak se upisuje samo iznos C jer se zajam otplacuje postnumerando anuitetima,

sto znaci da se uplata odvija na kraju vremenskog razdoblja. U stupac anuiteti upisujemo

svugdje jednake anuitete koje dobijemo iz formule (3).

Nakon anuiteta racunaju se kamate prema formuli

Ii =Ci−1 · p

100(4)

jer se kamate za i - to razdoblje placaju na ostatak duga Ci−1.

Otplatne kvote racunamo prema formuli

Ri = a − Ii (5)

a ostatak duga

Ci = Ci − Ri (6)

Ako se tablica otplate racuna rucno, sto je danas rijetkost, treba vrsiti kontrole prilikom

izrade tablice i nakon izrade. Prilikom izrada tablica otplate pomocu programa namijen-

jenih za to, dovoljno je u tablice ugraditi kontrole.

Kontrolu vrsimo na sljedeci nacin:

Anuitet je zbroj kamata i otplatne kvote, i svi anuiteti su jednaki, sto znaci da je

a = Ii + Ri za svaki i ∈ {1, . . . , n}

a = Ii + Ri =Ci−1 · p

100+ Ri.

Izracunat cemo anuitet za i = 1 i i = 2 da bi nasli vezu izmedu otplatnih kvota:

za i = 1 a =C0 · p100

+ R1,

za i = 2 a =C1 · p100

+ R2.

Ostatak duga nakon prvog obracunskog razdoblja jednak je

C1 = C0 − R1.

za i = 1 a =C0 · p100

+ R1,

za i = 2 a =(C0 − R) · p

100+ R2 =

C0 · p100

− R1 · p100

+ R2.

Kada izjednacimo ta dva anuiteta dobijemo:

R2 = R1 · r.

12

Na isti nacin, daljnjim uvrstavanjem za i = 3 dobili bi vezu izmedu druge i trece otplatne

kvote:

R2 = R3 · r.

Iz danih jednadzbi mozemo napraviti vezu izmedu prve i trece otplatne kvote:

R3 = R2 · r = R1 · r2.

Opcenito mozemo napraviti vezu izmedu k-te i prve otplatne kvote:

Rk = Rk−1 · r ili Rk = R1 · rk−1.

Vidimo da otplatne kvote formiraju geometrijski niz.

Otplatnu tablicu ilustrirat cemo primjerom.

Primjer 3.2.1.

Odobren je zajam u iznosu od 500 000 kn uz 10% godisnjih dekurzivnih kamata na 5 godina.

Placanje se vrsi krajem godine, nominalno jednakim anuitetima. Sastavimo tablicu otplate

zajma.

Rjesenje:

Kako je vec ranije navedeno u prvi redak za razdoblje t = 0, za kamate, anuitet i otplatnu

kvotu stavlja se znak - jer se tu ne treba nista racunati. U polje ostatak duga upisujemo

iznos zajma.

Nakon toga racunamo iznos anuiteta:

a = C · rn r − 1

rn−1r = 1 +

p

100= 1 + 0.1 = 1.1

a = 500000 · 1.15 1.1 − 1

1.15 − 1= 500000 · 1.61051 · 0.163797 = 131898.3532.

Dobiveni iznos anuiteta unosimo u sva polja stupca anuitet.

Sljedece racunamo kamate, one se placaju na cijeli iznos kredita i otplatnu kvotu za prvu

godinu:

I1 =C0 · p100

=500000 · 10

100= 50000,

R1 = a − I1 = 131898.35 − 50000 = 81898.35

Te ostatak duga kao razliku iznosa zajma i prve otplatne kvote:

13

C1 = C0 −R1 = 500000 − 81898.35 = 418101.65.

Na isti nacin racunamo i sljedece retke otplatne tablice:

I2 =C1 · p100

=418101.65 · 10

100= 41810.17,

R2 = a − I2 = 131898.35 − 41810.17 = 90088.18

C2 = C1 −R2 = 418101.65 − 90088.18 = 328013.47

I3 =C2 · p100

=328013.47 · 10

100= 32801.35

R3 = a − I3 = 131898.35 − 32801.35 = 99097

C3 = C2 −R3 = 328013.46 − 99097 = 228916.46

I4 =C3 · p100

=228916.45 · 10

100= 22891.65

R4 = a − I4 = 131898.35 − 22891.65 = 109006.70

C4 = C3 −R4 = 228916.45 − 109006.70 = 119909.75

I5 =C4 · p100

=119909.75 · 10

100= 11990.98

R5 = a − I5 = 131898.35 − 11990.98 = 119907.37

C5 = C4 −R5 = 119909.75 − 119907.37 = 2.38.


0 - - - 500 0001 131 898.35 50 000 81 898.35 418 101.652 131 898.35 41 810.16 90 088.18 328 013.473 131 898.35 32 801.35 99 097 228 916.454 131 898.35 22 891.65 109 006.70 119 909.755 131 898.35+2.38 11 990.98 119 907.37 0

14

Vidimo da je ostatak duga na kraju otplate zajma umjesto 0 iznosio 2.38 kn. greska je

nastala zbog rucnog izracunavanja tablice te zaokruzivanja.

3.3 Primjeri

Primjer 3.3.1.

Zajam od 50 000 kn treba biti vracen kroz 6 godina uz nepromjenjivu kamatnu stopu od

5% anuitetima plativim na kraju godine. Izracunaj visinu anuiteta te napravi plan otplate

zajma.

Rjesenje:

C = 50000 n = 6 p = 5%

r = 1 +5

100= 1.05

a = 50000 · 1.056 · 1.05 − 1

1.056 − 1= 9850.87

I1 =50000 · 5

100= 2500

R1 = a − I1 = 9850.87 − 2500 = 7350.87

C1 = C0 −R1 = 50000 − 7350.87 = 42649.13

I2 =C1 · p100

=42649.13 · 5

100= 2132.46

R2 = a − I2 = 9850.87 − 2132.46 = 7718.41

C2 = C1 −R2 = 42649.13 − 7718.41 = 34930.72

I3 =C2 · p100

=34930.72 · 5

100= 1746.54

15

R3 = a − I3 = 9850.87 − 1746.54 = 8104.33

C3 = C2 −R3 = 34930.72 − 8104.33 = 26826.39

I4 =C3 · p100

=26826.39 · 5

100= 1341.32

R4 = a − I4 = 9850.87 − 1341.32 = 8509.55

C4 = C3 −R4 = 26826.39 − 8509.55 = 18316.84

I5 =C4 · p100

=18316.84 · 5

100= 915.84

R5 = a − I5 = 9850.87 − 915.84 = 8935.03

C5 = C4 −R5 = 18316.84 − 8935.03 = 9381.81

I6 =C5 · p100

=9381.81 · 5

100= 469.09

R6 = a − I6 = 9850.87 − 469.09 = 9381.78

C5 = C5 −R6 = 9381.81 − 9381.78 = 0.03


0 - - - 50 0001 9 850.87 2 500 7 350.87 42 649.132 9 850.87 2 132.46 7 718.41 34 930.723 9 850.87 1 746.54 8 104.33 26 826.394 9 850.87 1 241.32 8 509.55 18 316.845 9 850.87 915.84 8 935.03 9 381.816 9 850.87 469.09 9 381.78 0.03

16

Primjer 3.3.2.

Odobren je zajam od 200 000 kn na period od 3 god uz nepromjenjivu kamatnu stopu od

5% , placa se krajem godine jednakim anuitetima. Sastavite otplatnu tablicu.

Rjesenje:

C = 200000 n = 3 p = 5%,

r = 1 +5

100= 1.05

a = 200000 · 1.053 · 1.05 − 1

1.053 − 1= 73441.71

I1 =200000 · 5

100= 10000

R1 = a − I1 = 73441.71 − 10000 = 63441.71

C1 = C0 −R1 = 200000 − 63441.71 = 136558.29

I2 =C1 · p100

=(136558.29 · 5

100= 6827.91

R2 = a − I2 = 73441.71 − 6827.91 = 66613.8

C2 = C1 −R2 = 136558.29 − 66613.8 = 69944.49

I3 =C2 · p100

=69944.49 · 5

100= 3497.22

R3 = a − I3 = 73441.71 − 3497.22 = 69944.49

C3 = C2 −R3 = 69944.49 − 69944.49 = 0

17


0 - - - 200 0001 73 441.71 10 000 63 441.71 136 558.292 73 441.71 6 827.91 66 613.8 69 944.493 73 441.71 3 497.22 69 944.49 0

Primjer 3.3.3.

Ostatak duga na kraju pete godine pri otplati zajma iznosi 20 000 kn. Koliki je iznos

odobrenog zajma ako se on treba otplatiti sa 6 nominalno jednakih godisnjih anuiteta uz

10% godisnjih kamata. Obracun kamata je slozen, godisnji i dekurzivan.

Rjesenje:

Kako smo vec ranije pokazali i vidjeli u prethodnim primjerima, vrijedi da je Rn = Cn−1 tj.

u nasem slucaju R6 = C5 = 20000.

Koristeci ranije navedenu formulu Rk = R1 · rk−1 za vezu izmedu k-te i prve otplatne kvote

imamo: R6 = R1 · r5 tj. R1 = R6

r5 .

r = 1 +p

100= 1 +

10

100= 1.1

R1 =20000

1.15= 12418.43

Buduci da otplatne kvote formiraju geometrijski niz vrijedi:

C =6∑

i=1

Ri =6∑

i=1

R1ri−1 = R1 ·

r6 − 1

r − 1= 12418.43 · 1.16 − 1

1.1 − 1= 95818.76

18

4 ZAJAM UZ NOMINALNO JEDNAKE OTPLATNE

KVOTE

4.1 Izracunavanje otplatne kvote

Prilikom otplate zajma jednakim otplatim kvotama, sto je takoder jedna od mogucnosti

otplate, definirat cemo model koji se temelji na pretpostavkama da je obracun kamata slozen

i dekurzivan, duljina obracunskog razdoblja ukamacivanja jednaka je vremenu dospijeca za-

jma, kamatnjak je stalan u cijelom razdoblju otplate zajma te naplata anuiteta dolazi krajem

jednakih vremenskih razmaka.

Kao u prethodnom primjeru definiramo oznake koje cemo koristiti kod ovog modela:

C = C0 - nominalni iznos odobrenog zajma

n - broj razdoblja otplate zajma

R - iznos nominalno jednakih oplatnih kvota

ai - iznos anuiteta na kraju i-tog razdoblja otplate (i ∈ 1, 2, . . . n)

Ii - iznos kamata na kraju i-tog razdoblja otplate (i ∈ 1, 2, . . . n)

Ci - ostatak duga na kraju i-tog razdoblja otplate

p - stalni dekurzivni kamatnjak za jedinicno vremensko razdoblje.

Posto se iznos zajma otplacuje otplatnim kvotama vrijedi da je

n∑

i=1

Ri = C

.

Kako se radi o nominalno jednakim otplatnim kvotama mora biti

C = R · n (7)

iz dane jednakosti dobivamo formulu za izracun otplatne kvote:

R =C

n(8)

Kamate racunamo kao i kod otplate zajma jednakim anuitetima:

I1 =C0 · p100

19

.

Anuitet je zbroj otplatne kvote i kamata:

ai = Ii + R (9)

Model otplate zajma jednakim otplatnim kvotama ima svoje prednosti, a to su jed-

nostavnost izracunavanja otplatne kvote, kamata i anuiteta. Takoder zajmodavac kod ovog

modela otplate zajma na pocetku otplate ima brzi priljev novcanih sredstava. Prednosti

lakog izracuna vise ne dolaze toliko do izrazaja jer se koriste gotovi programi za izracune.

Primjer 4.1.1.

Odobren je zajam na 3 godine, koji se vraca uz 10% dekurzivnih godisnjih kamata i

otplacuje se nominalno jednakim otplatnim kvotama krajem godine u iznosu R = 10000 kn.

Odredimo iznos zajma.

Rjesenje:

Uocimo da kod rjesavanja ovog zadatka, tj. kod odredivanja iznosa zajma nije bitan iznos

kamata jer on ne utjece na iznos zajma vec na anuitet.

Dakle iznos zajma racunamo:

C = R · n = 10000 · 3 = 30000 kn.

Primjer 4.1.2.

Ako je odobren zajam u iznosu od 500 000 kn na 7 godina uz dekurzivnu kamatnu stopu

od 10 % godisnje, treba odrediti iznos nominalno jednakih otplatnih kvota plativih krajem

godine.

Rjesenje:

Kao u prethodnom zadatku koristimo formulu:

R =C

n=

500000

7= 71428.57 kn.

20

4.2 Izrada otplatne tablice

Tablica otplate za model otplate zajma jednakim otplatnim kvotama ne razlikuje se od

tablice otplate kod modela otplate zajma jednakim anuitetima, razlika je u popunjavanju.

Na pocetku izrade tablice otplate racunamo iznos otplatne kvote prema formuli

R =C

n,

i dobiveni iznos upisujemo u sve retke stupca otplatna kvota.

Kako je vec receno, kamate se racunaju kao kod prethodnog modela, formulom:

Ii =Ci−1 · p

100

Anuitet u pojedinom razdoblju je jednak zbroju otplatne kvote i kamata za to vremensko

razdoblje i te iznosi

ai = Ii + R.

Ostatak duga za i - to razdoblje jednak je ostatku duga u prethodnom (i − 1) razdoblju

umanjenom za otplatnu kvotu za i - to razdoblje, tj.

Ci = Ci−1 − R

Primjer 4.2.1.

Zajam u iznosu od 400 000 kn, na 4 godine uz 10% godisnjih dekurzivnih kamata treba

otplatiti jednakim otplatnim kvotama.

Izradite tablicu otplate zajma.

Rjesenje:

Racunamo otplatne kvote:

R =C

n=

400000

4= 100000

Ostatak duga racunamo:

C1 = C0 −R = 400000 − 100000 = 300000

21

C2 = C1 −R = 300000 − 100000 = 200000

C3 = C2 −R = 200000 − 100000 = 100000

C4 = C3 −R = 100000 − 100000 = 0

Kamate racunamo prema formuli:

I1 =C0 · p100

=400000 · 10

100= 40000

I2 =C1 · p100

=300000 · 10

100= 30000

I3 =C2 · p100

=200000 · 10

100= 20000

I4 =C3 · p100

=100000 · 10

100= 10000


0 - - - 4000001 140 000 40 000 100 000 300 0002 130 000 30 000 100 000 200 0003 120 000 20 000 100 000 100 0004 110 000 10 000 100 000 0

Kao i kod prethodnog modela otplate zajma i ovdje mozemo raditi kontrolu tokom zarade

otplatne tablice.

Na kraju otplatnog razdoblja dug mora biti jednak 0, a na kraju pojedinog i - tog razdoblja

jednak je:

Ci = C − (R1 + R2 + . . . + Ri) = C −i∑

j=1

Ri,

posto je u ovom modelu

R1 = R2 = . . . = Rn =C

n.

dobivamo da je

22

Ci = C · (1 − i

n),

za svaki i ∈ 1, 2, . . . n.

Po zavrsetku izrade otplatne tablice takoder moramo napraviti provjeru je li zbroj otplatnih

kvota jednak iznosu zajma, te zbroj kamata i otplatih kota jednak iznosu anuiteta.

4.3 Primjeri

Primjer 4.3.1.

Zajam od 200 000 kuna odobren je poduzecu na 10 godina uz 5% godisnjih dekurzivnih

kamata i placanjem anuiteta krajem godine, uz nominalno jednake otplatne kvote. Sas-

tavimo otplatnu tablicu, te izracunajmo zbroj svih anuiteta pomocu formule te kontrolira-

jmo tablicu.

Rjesenje:

C = 200000 n = 10 p = 5

R =C

n=

200000

10= 20000

C1 = C0 −R = 200000 − 20000 = 180000

C2 = C1 −R = 180000 − 20000 = 160000

C3 = C2 −R = 160000 − 20000 = 140000

C4 = C3 −R = 140000 − 20000 = 120000

C5 = C4 −R = 120000 − 20000 = 100000

C6 = C5 −R = 100000 − 20000 = 80000

23

C7 = C6 −R = 80000 − 20000 = 60000

C8 = C7 −R = 60000 − 20000 = 40000

C9 = C8 −R = 40000 − 20000 = 20000

C10 = C9 − R = 20000 − 20000 = 0

I1 =C0 · p100

=200000 · 5

100= 10000

I2 =C1 · p100

=180000 · 5

100= 9000

I3 =C2 · p100

=160000 · 5

100= 8000

I4 =C3 · p100

=140000 · 5

100= 7000

I5 =C4 · p100

=120000 · 5

100= 6000

I6 =C5 · p100

=100000 · 5

100= 5000

I7 =C6 · p100

=80000 · 5

100= 4000

I8 =C7 · p100

=60000 · 5

100= 3000

I9 =C8 · p100

=40000 · 5

100= 2000

I10 =C9 · p100

=20000 · 5

100= 1000

24


0 - - - 200 0001 30 000 10 000 20 0000 180 0002 29 000 9 000 20 0000 160 0003 28 000 8 000 20 0000 140 0004 27 000 7 000 20 0000 120 0005 26 000 6 000 20 0000 100 0006 25 000 5 000 20 0000 80 0007 24 000 4 000 20 0000 60 0008 23 000 3 000 20 0000 40 0009 22 000 2 000 20 0000 20 00010 21 000 1 000 20 0000 0

Ukupno 255 000 55 000 200 000

Primjer 4.3.2.

Zajam u iznosu od 200000 kn odobren je na 3 godine uz 10% dekurzivnih godisnjih ka-

mata i placanje anuitetima sa nominalno jednakim otplatnim kvotama krajem polugodista.

Izradimo tablicu otplate ako je obracun kamata slozen i polugodisnji.

Rjesenje:

C = 200000 n = 3 p = 10

m =2

1= 2

pr =p

m=

10

2= 5

R =C

n · m =200000

6= 33333.33

C1 = C0 −R = 200000 − 33333.33 = 166666.67

C2 = C1 −R = 166666.67 − 33333.33 = 133333.34

C3 = C2 −R = 133333.34 − 33333.33 = 100000.01

C4 = C3 −R = 100000.01 − 33333.33 = 66666.68

C5 = C4 −R = 66666.68 − 33333.33 = 33333.35

25

C6 = C5 −R = 33333.35 − 33333.33 = 0.02

I1 =C0 · pr

100= 200000 · 5100 = 10000

I2 =C1 · pr

100= 166666.67 · 5100 = 8333.33

I3 =C2 · pr

100= 133333.34 · 5100 = 6666.67

I4 =C3 · pr

100= 100000.01 · 5100 = 5000

I5 =C4 · pr

100= 66666.68 · 5100 = 3333.33

I6 =C5 · pr

100= 33333.35 · 5100 = 1666.67

Anuitete dobijemo kao zbroj otplatne kvote i kamata.


0 - - - 200 0001 43 333.33 10 000 33 333.33 166 666.672 41 666.66 8 333.33 33 333.33 133 333.343 40 000 6 666.67 33 333.33 100 000.014 38 333.33 5 000 33 333.33 66 666.865 36 666.66 3 333.33 33 333.33 33 333.356 35 000 1 666.67 33 333.33 0.02

Ukupno 234 999.98 35 000 200 000

Primjer 4.3.3.

Odobren je zajam na 5 godina uz 4% godisnjih kamata i placanjem postnumerando godisnjim

anuitetima pri cemu su nominalno jednake otplatne kvote. Poznato je da je zbroj cetvrtog

i petog anuiteta 25 420.63 kn. Koliki je iznos zajma ako je obracun kamata slozen, godisnji

i dekurzivan? (vidi [5])

26

Rjesenje

n = 5 p = 4 a4 + a5 = 25420.63

Posto su otplatne kvote jednake vrijedi da je

I4 + I5 = 25420.63 − 2R

Pa koristeci formulu Ci = C · (1 − in) dobivamo :

I4 + I5 =C3 · p100

+C4 · p100

= C · (1 − 3

5) · p

100+ (1 − 4

5) · p

100

= C · (2 − 7

5) · p

100=

3 ·C · p100

= 25420.63 − 2R

Posto je R =C

n=

C

5

Dobivamo jednadzbu:3 ·C · 4

100= 25420.63 − 2C

5

kojoj je rjesenje: C = 59957.32

Primjer 4.3.4.

Zajam u iznosu od 350 000 kn odobren je na 2 godine uz 18% godisnjih kamata i placanjem

postnumerando mjesecnih anuiteta, pri cemu su otplatne kvote nominalno jednake. Izradimo

otplatnu tablicu ako je obracun kamata dekurzivan, mjesecni i slozen.

Rjesenje:

C = 350000 n = 2 p = 18

m =1god

1mjesec=

12

1= 12

pr =p

m=

18

12= 1.5

R =C

n · m =35000

24= 14583.33

27

C1 = C0 −R = 350000 − 14583.33 = 335416.67

C2 = C1 −R = 335416.67 − 14583.33 = 320833.34

C3 = C2 −R = 320833.34 − 14583.33 = 306250.01

C4 = C3 −R = 306250.01 − 14583.33 = 291666.68

C5 = C4 −R = 291666.68 − 14583.33 = 277083.35

C6 = C5 −R = 277083.35 − 14583.33 = 262500.02

C7 = C6 −R = 262500.02 − 14583.33 = 247916.69

C8 = C7 −R = 247916.69 − 14583.33 = 233333.36

C9 = C8 −R = 233333.36 − 14583.33 = 218750.03

C10 = C9 − R = 218750.03 − 14583.33 = 204166.7

C11 = C10 − R = 204166.7 − 14583.33 = 189583.37

C12 = C11 − R = 189583.37 − 14583.33 = 175000.04

C13 = C12 − R = 175000.04 − 14583.33 = 160416.71

C14 = C13 − R = 160416.71 − 14583.33 = 145833.38

C15 = C14 − R = 145833.38 − 14583.33 = 131250.05

C16 = C15 − R = 131250.05 − 14583.33 = 116666.72

C17 = C16 − R = 116666.72 − 14583.33 = 100083.39

C18 = C17 − R = 100083.39 − 14583.33 = 87500.06

C19 = C18 − R = 87500.06 − 14583.33 = 72916.73

C20 = C19 − R = 72916.73 − 14583.33 = 58333.4

28

C21 = C20 − R = 58333.4 − 14583.33 = 43750.07

C22 = C21 − R = 43750.07 − 14583.33 = 29166.74

C23 = C22 − R = 29166.74 − 14583.33 = 14583.41

C24 = C23 − R = 13583.41 − 14583.33 = 0.08

I1 = (C0 · pr)/100 = (350000?1.5)/100 = 5250

I2 =C1 · pr

100=

335416.67 · 1.5100

= 5031.25

I3 =C2 · pr

100=

320833.34 · 1.5100

= 4812.5

I4 =C3 · pr

100=

306250.01 · 1.5100

= 4593.75

I5 =C4 · pr

100=

291666.68 · 1.5100

= 4375

I6 =C5 · pr

100=

277083.35 · 1.5100

= 4156.25

I7 =C6 · pr

100=

262500.02 · 1.5100

= 3937.5

I8 =C7 · pr

100=

247916.69 · 1.5100

= 3718.75

I9 =C8 · pr

100=

233333.36 · 1.5100

= 3500

I10 =C9 · pr

100=

218750.03 · 1.5100

= 3281.25

I11 =C10 · pr

100=

204166.7 · 1.5100

= 3062.5

I12 =C11 · pr

100=

189583.37 · 1.5100

= 2843.75

I13 =C12 · pr

100=

175000.04 · 1.5100

= 2625

I14 =C13 · pr

100=

160416.71 · 1.5100

= 2406.25

29

I15 =C14 · pr

100=

145833.38 · 1.5100

= 2187.5

I16 =C15 · pr

100=

131250.05 · 1.5100

= 1968.75

I17 =C16 · pr

100=

116666.72 · 1.5100

= 1750

I18 =C17 · pr

100=

100083.39 · 1.5100

= 1501.25

I19 =C18 · pr

100=

87500.06 · 1.5100

= 1312.5

I20 =C19 · pr

100=

72916.73 · 1.5100

= 1093.75

I21 =C20 · pr

100=

58333.4 · 1.5100

= 875

I22 =C21 · pr

100=

43750.07 · 1.5100

= 656.25

I23 =C22 · pr

100=

29166.74 · 1.5100

= 437.5

I24 =C23 · pr

100=

14583.41 · 1.5100

= 218.75

Anuitete dobijemo kao zbroj otplatne kvote i kamata.

30


0 - - - 350 0001 19 833.33 5 250 14 583.33 335 416.672 19 614.58 5 031.25 14 583.33 320 833.343 19 395.83 4 812.5 14 583.33 306 250.0114 19 177.08 4 593.75 14 583.33 291 666.685 18 958.33 4 375 14 583.33 277 083.356 18 739.58 4 156.25 14 583.33 262 500.027 18 520.83 3 937.5 14 583.33 247 916.698 18 302.08 3 718.75 14 583.33 233 333.369 18 083.33 3 500 14 583.33 218 750.0310 17 864.58 3 281.25 14 583.33 204 166.711 17 645.83 3 062.5 14 583.33 189 583.3712 17 427.08 2 843.75 14 583.33 175 000.0413 17 208.33 2 625 14 583.33 160 416.7114 16 989.58 2 406.25 14 583.33 145 833.3815 16 770.83 2 187.5 14 583.33 131 250.0516 16 552.08 1 968.75 14 583.33 116 666.7217 16 333.33 1 750 14 583.33 100 083.3918 16 084.58 1 501.25 14 583.33 87 500.0619 15 895.83 1 312.5 14 583.33 72 916.7320 15 677.08 1 093.75 14 583.33 58 333.421 15 458.33 875 14 583.33 43 750.0722 15 239.58 656.25 14 583.33 29 166.7423 15 020.83 437.5 14 583.33 14 583.4124 14 802.08 218.75 14 583.33 0.08

Ukupno 415 595 65 595 349 999.92

31

5 USPOREDBA OTPLATE ZAJMA JEDNAKIM ANU-

ITETIMA I JEDNAKIM OTPLATNIM KVOTAMA

Na primjeru cemo pokazati razliku izmedu zajma kojeg otplacujemo jednakim anuite-

tima i jednakim otplatnim kvotama te vidjeti koji je nacin otplate financijski povoljniji za

zajmoprimca.

Primjer 5.1.

Odobren je zajam u iznosu od 50 000 kn zajmoprimcu na rok od 3 godine uz dekurzivnu ka-

matnu stopu od 8% godisnje. Usporedimo tablice otplate zajma ako zajam placamo krajem

godine nominalno jednakim anuitetima i nominalno jednakim otplatnim kvotama.

a)Nominalno jednaki anuiteti:

C = 50000 p = 8 n = 3

r = 1 +p

100= 1 + 0.08 = 1.08

a = C · rn · (r − 1)

rn − 1= 50000 · 1.083 · (1.08 − 1)

1.083 − 1= 19401.68

I1 =C0 · p100

=50000 · 8

100= 4000

R1 = a − I1 = 19401.68 − 4000 = 15401.68

C1 = C0 −R1 = 50000 − 15401.68 = 34598.32

I2 =C1 · p100

=34598.32 · 8

100= 2767.87

R2 = a − I2 = 19401.68 − 2767.87 = 16633.81

C2 = C1 −R2 = 34598.32 − 16633.81 = 17964.51

I3 =C2 · p100

=17964.51 · 8

100= 1437.16

32

R3 = a − I3 = 19401.68 − 1437.16 = 17964.51

C3 = C2 −R3 = 17964.51 − 17964.51 = 0


0 - - - 50 0001 19401.68 4000 15401.68 34598.322 19401.68 2767.87 16633.81 17964.513 19401.68 1437.16 17964.51 0

Ukupno: 58205.04 8205.03 50000

b) Nominalno jednake otplatne kvote

C = 50000 p = 8 n = 3

r = 1 +p

100= 1 + 0.08 = 1.08

R =C

n=

50000

3= 16666.67

Ostatak duga racunamo: C1 = C0 −R = 50000 − 16666.67 = 33333.33

C2 = C1 −R = 33333.33 − 16666.67 = 16666.67

C3 = C2 −R = 16666.67 − 16666.67 = 0

I1 =C0 · p100

=50000 · 8

100= 4000

I2 =C1 · p100

=33333.33 · 8

100= 2666.67

I3 =C2 · p100

=16666.67 · 8

100= 1333.33


0 - - - 50 0001 20666.67 4000 16666.67 33333.332 19333.34 2666.67 16666.67 16666.673 18000 1333.33 16666.67 0

Ukupno: 58 000 8 000 50 000

33

Iz navedenog primjera mozemo zakljuciti da je za zajmoprimca povoljniji nacin otplate za-

jma jednakim otplatnim kvotama.

U prvom slucaju, kada zajam otplacujemo nominalno jednakom anuitetima platit cemo 8

205.03 kn kamata, a prilikom otplate zajma nominalno jednakim otplatnim kvotama kamata

ce iznositi 8 000 kn.

Dakle ukupan iznos svih anuiteta koje ce zajmoprimac vratiti zajmodavcu kod modela ot-

plate zajma jednakim anuitetima je 58 205.04 kn dok ce vracajuci isti zajam modelom otplate

jednakim nominalnim kvotama ukupno vratiti 58 000 kn.

34

6 DRUGE STRATEGIJE OTPLATE ZAJMA

Osim na do sada pokazane nacine otplate zajma, zajam mozemo otplatiti i drugacije

dogovorenim strategijama. Neke od njih su:

• vlastita strategija - kod ove strategije jedini je uvjet vracanje duga do unaprijed do-

govorenog vremena.

• strategija prema ocekivanoj dobiti - iznos zajma se ulaze u posao koji ce donositi dobit

• otplata zajma uz razlicite anuitete i razlicite otplatne kvote.

6.1 Vlastita strategija

Prilikom definiranja vlastite strategije otplate zajma, zajmoprimac se obavezuje vratiti

posudeni zajam i kamate na taj zajam u zadanom vremenskom roku. Uz navedeni uvjet,

zajmodavac moze postaviti jos neke uvjete. Najcesce je to da prvi anuitet treba biti uplacen

do odredenog trenutka, ili da svaki anuitet sadrzi barem kamate koje su prispjele do tog

trenutka.

Kod vlastite strategije otplate zajma vazno je da u svakom trenutku znamo koliko je duga

otplaceno tj. koliki je jos ostatak duga.

Prilikom definiranja vlastite strategije otplate zajma zajmoprimac se moze odluciti za ra-

zlicite nacine otplate duga, neki od nacina su da:

• dug vraca u proizvoljnim anuitetima i pretezno jednakim intervalima

• dug vraca tako da je glavnina otplate skoncentrirana oko sredine otplatnog razdoblja,

intervali uplate su proizvoljni

• dug se vraca jednakim anuitetima uz poseban obrok koji se naplacuje sa zadnjim

anuitetom

• dug vraca na nacin da tokom razdoblja otplate zajma uplacuje samo kamate, a iznos

zajma otplacuje na kraju vremenskog intervala otplate.

Na primjerima cemo pokazati vlastitu strategiju otplate zajma.

35

Primjer 6.1.1.

Zajam u iznosu od 10 0000 kn odobren je na 3 godine uz nominalnu godisnju kamatnu stopu

od 5%. Otplata dijela glavnice u iznosu 80 000 kn vrsi se postnumerando jednakim anu-

itetima, dok se preostali dio od 20 000 kn naplacuje zajedno sa uplatom posljednjeg anuiteta.

Rjesenje:

Za dio glavnice koji otplacujemo jednakim anuitetima racunamo koliki ce anuitet biti i njemu

dodajemo kamatu ostatka vrijednosti tokom cijelog razdoblja otplate.

C = 80000 + 20000 n = 3 p = 5 r = 1.05

a = C · rn · (r − 1)

rn − 1= 80000 · 1.053 · (1.05 − 1)

1.053 − 1= 29376.69

I1 =C0 · p100

=80000 · 5

100= 4000

R1 = a − I1 = 29376.69 − 4000 = 25376.69

C1 = C0 −R1 = 80000 − 25376.69 = 54623.31

I2 =C1 · p100

=54623.31 · 5

100= 2731.17

R2 = a − I2 = 29376.69 − 2731.17 = 26645.52

C2 = C1 −R2 = 54623.31 − 26645.52 = 27977.79

I3 =C2 · p100

=27977.79 · 5

100= 1398.89

R3 = a − I3 = 29376.69 − 1398.89 = 27977.8

C3 = C2 −R3 = 27977.8 − 27977.8 = 0

a = C · rn · (r − 1)

rn − 1= 20000 · 1.051 · (1.05 − 1)

1.051 − 1= 21000

36

I =C · p100

=20000 · 5

100= 1000

R = a − I = 21000 − 1000 = 20000

Cx = C − R = 20000 − 20000 = 0

Kraj i-tog Anuitet Kamate Kamata Otplatna kvota Ostatak dugarazdoblja (ai) (Ii) posebnog (Ri) (Ci)

obroka0 - - - - 10 0001 29 376.69+1 000 4 000 1 000 25 376.69 54 623.312 29 376.69+1 000 2 731.17 1000 26 645.52 27 977.83 29 376.69+21 000 1 398.89 1000 27 977.8+20 000 0

Ukupno: 111 130.07 8 130.06 3 000 10 0000

Primjer 6.1.2.

Zajam u iznosu od 100 000 kn odobren je na 5 godina uz dekurzivnu godisnju kamatnu stopu

od 15% . Otplata se vrsi na nacin da se postnumerando uplacuje redom anuiteti od 23 000,

25 000, 24 000, 27 000 i zadnji anuitet dobijemo racunajuci tablicu otplate.

Rjesenje:

C = 100000 n = 5 p = 15

r = 1 +p

100= 1 + 0.15 = 1.15

I1 =C0 · p100

=100000 · 15

100= 15000

R1 = a1 − I1 = 23000 − 15000 = 8000

C1 = C0 −R1 = 10000 − 8000 = 92000

I2 =C1 · p100

=92000 · 15

100= 13800

R2 = a2 − I2 = 25000 − 13800 = 11200

37

C2 = C1 −R2 = 92000 − 11200 = 80800

I3 =C2 · p100

=80800 · 15

100= 12120

R3 = a3 − I3 = 24000 − 12120 = 11880

C3 = C2 −R3 = 80800 − 11880 = 68920

I4 =C3 · p100

=68920 · 15

100= 10338

R4 = a4 − I4 = 27000 − 10338 = 16662

C4 = C3 −R4 = 68920 − 16662 = 52258

I5 =C4 · p100

=52258 · 15

100= 7838.7

R5 = a5 − I5 = 60096.7 − 7838.7 = 52258

C5 = C4 −R5 = 52258 − 52258 = 0


0 - - - 100 0001 23 000 15 000 8 000 92 0002 25 000 13 800 11 200 80 8003 24 000 12 120 11 880 68 9204 27 000 10 338 16 662 52 2585 60 096.7 7 838.7 52 258 0

Ukupno: 159 096.7 59 096.7 100 000

38

6.2 Strategija prema ocekivanoj dobiti

Ova strategija otplate zajma namijenjena je podizanju zajmova koji ce se ulagati u

posao od kojega ocekujemo kroz odredeno vrijeme dobit. Osnova ove strategije je da se anu-

iteti kontinuirano povecavaju tokom zadanog roka otplate zajma. Definirajmo model otplate.

Neka je zajmoprimcu odobren zajam u iznosu C. Zajam treba vratiti u odredenom

vremenu T uz dekurzivnu kamatnu stopu. Obracun kamata je slozen. Zbog ocekivanog

kontinuiranog priliva dobiti anuitete definiramo na osnovi kontinuirane strategije

o(t) = E · st−t0 (10)

s =q

100.

Stopu ocekivane dobiti oznacavamo q, a E je konstanta koja se odreduje iz uvjeta otplate

zajma:

∫ T

t0

o(t)r−(ti−t0)dt = C (11)

r = 1 +p

100.

Anuitete racunamo formulom:

ai = r−(ti−t0) ·∫ ti

t1−i

o(t)r−1dt (12)

Primjer 6.2.1.

U nekom poduzecu na osnovi planiranog prihoda u iducih 5 godina procjenjuju da bi krajem

svake godine u tom razdoblju mogli izdvojiti iznose navedene u tablici. Ako od zajmodavca

uzmu investicijski zajam uz 10% godisnjih kamata za koji ce se iznos zajma zaduziti, ako je

obracun kamata slozen, godisnji i dekurzivan.

Kraj i-te Planirani ukupni prihod u Planirani iznos anuiteta nagodine i-toj godini kraju i-te godine

1 10 000000 300 0002 12 000000 400 0003 13 000000 400 0004 15 000000 500 0005 18 000000 600 000

39

Rjesenje:

r = 1 +p

100= 1 +

6

100= 1.06

C0 =a1

r+

a2

r1+

a3

r2+

a4

r3+

a5

r4=

=300000

1.06+

400000

1.062+

400000

1.063+

500000

1.064+

600000

1.065= 1819266.89

I1 =C0 · p100

=1819266.89 · 6

100= 109156.01

R1 = a1 − I1 = 300000 − 109156.01 = 190843.99

C1 = C0 −R1 = 1819266.89 − 190843.99 = 1628422.91

I2 =C1 · p100

=1628422.91 · 6

100= 97705.37

R2 = a2 − I2 = 400000 − 97705.37 = 302294.63

C2 = C1 −R2 = 1628422.91 − 302294.63 = 1326128.28

I3 =C2 · p100

=1326128.28 · 6

100= 79567.7

R3 = a3 − I3 = 400000 − 79567.7 = 320432.3

C3 = C2 −R3 = 1326128.28 − 320432.3 = 1005695.98

I4 =C3 · p100

=1005695.98 · 6

100= 60341.76

R4 = a4 − I4 = 500000 − 60341.76 = 439658.24

C4 = C3 −R4 = 1005695.98 − 439658.24 = 566037.74

I5 =C4 · p100

=566037.74 · 6

100= 33962.26

R5 = a5 − I5 = 600000 − 33962.26 = 566037.74

40

C5 = C4 −R5 = 566037.74 − 566037.74 = 0


0 - - - 1 819 266.891 300 000 109 156.01 190 843.99 1 628 422.912 400 000 97 705.37 302 294.63 1 326 128.283 400 000 79 567.7 320 432.3 1 005 695.984 500 000 60 341.76 439 658.24 566 037.745 600 000 33 962.26 566 037.74 0

Ukupno: 2 200 000 380 733.11 1 819 266.89

6.3 Otplata zajma uz razlicite anuitete i razlicite otplatne kvote

Zajmodavac i zajmoprimac mogu dogovoriti otplatu zajma razlicitim anuitetima i ra-

zlicitim otplatnim kvotama. Ovakav nacin otplate zajma moguc je ako se ne definiraju iznosi

svih anuiteta nego najvise n-1 i (ili) se ne precizira rok otplate zajma.

Na primjeru cemo pokazati navedene mogucnosti.

Primjer 6.3.1.

Odobren je zajam u iznosu od 200 000 kn uz 5% godisnjih kamata. Zajmoprimac

moze krajem svake godine za otplatu zajma izdvojiti 20 000 kn. Kamate se racunaju po

slozenom kamatnom racunu, godisnje i dekurzivno, a zajmoprimac krajem godine otplacuje

dogovoreni iznos. Izracunajmo koliko ce godina trajati otplata zajma, koliki ce biti posljednji

anuitet, te sastavimo otplatnu tablicu.

Rjesenje:

C0 = 200000

p = 5

a = 20000

Koristeci formulu C =a

rn· rn−1

r − 1mozemo izracunati broj anuiteta.

41

200000 =20000

1.05n· 1.05n−1

1.05 − 1.

za rjesavanje ove jednadzbe uvodimo supstituciju x = 1.05n

10 =1

x· x − 1

0.05.

Rjesenje ove jednadzbe je x = 2,

pa imamo 2 = 1.05n, tj. n =log2

log1.05≈ 14, 21.

Iz dobivenog mozemo zakljuciti da ce zajmoprimac otplacivati zajam 15 godina. Prvih

15 anuiteta ce placati kako je dogovoreno 20 000 kn, te ce na kraju petnaesti anuitet platiti

manje. Takav umanjeni anuitet nazivamo krnji ili nepotpuni.

Preostaje jos izracunati posljednji anuitet. Njega racunamo prema formuli:

a‘ = C · r15 − a · r · r14 − 1

r − 1= 200000 · 1.0515 − 20000 · 1.05 · 1.0514 − 11.05 − 1 = 4214.36.

Kako smo vec ranije spomenuli, zadnji anuitet je manji od prethodnih (krnji).

Za izradu otplatne tablice koristit cemo sljedece formule:

Za kamate: Ii =Ci−1 · p

100

Za otplatnu kvotu: Ri = a − Ii

Za ostatak duga: Ci = Ci−1 − Ri

I1 =C0 · p100

=200000 · 5

100= 10000

R1 = a − I1 = 20000 − 10000 = 10000

C1 = C0 −R1 = 200000 − 10000 = 190000

I2 =C1 · p100

=190000 · 5

100= 9500

R2 = a − I2 = 20000 − 9500 = 10500

42

C2 = C1 −R2 = 190000 − 10500 = 179500

I3 =C2 · p100

=179500 · 5

100= 8975

R3 = a − I3 = 20000 − 8975 = 11025

C3 = C2 −R3 = 179500 − 11025 = 168475

I4 =C3 · p100

=168475 · 5

100= 8423.75

R4 = a − I4 = 20000 − 8423.75 = 11576.25

C4 = C3 −R4 = 168475 − 11576.25 = 156898.75

I5 =C4 · p100

=156898.75 · 5

100= 7844.94

R5 = a − I5 = 20000 − 7844.94 = 12155.06

C5 = C4 −R5 = 156898.75 − 12155.06 = 144743.69

I6 =C5 · p100

=144743.69 · 5

100= 7237.18

R6 = a − I6 = 20000 − 7237.18 = 12762.82

C6 = C5 −R6 = 144743.69 − 12762.82 = 131980.18

I7 =C6 · p100

=131980.18 · 5

100= 6599.01

R7 = a − I7 = 20000 − 6599.01 = 13400.99

C7 = C6 −R7 = 131980.18 − 13400.99 = 118579.19

I8 =C7 · p100

=118579.19 · 5

100= 5928.96

43

R8 = a − I8 = 20000 − 5928.96 = 14071.04

C8 = C7 −R8 = 118579.19 − 14071.04 = 104508.15

I9 =C8 · p100

=104508.15 · 5

100= 5225.4

R9 = a − I9 = 20000 − 5225.4 = 14774.6

C9 = C8 −R9 = 104508.15 − 14774.6 = 89733.55

I10 =C9 · p100

=89733.55 · 5

100= 4486.68

R10 = a− I10 = 20000 − 4486.68 = 15513.32

C10 = C9 − R10 = 89733.55 − 15513.32 = 74220.23

I11 =C10 · p100

=74220.23 · 5

100= 3711.01

R11 = a− I11 = 20000 − 3711.01 = 16288.99

C11 = C10 − R11 = 74220.23 − 16288.99 = 57931.24

I12 =C11 · p100

=57931.24 · 5

100= 2896.56

R12 = a− I12 = 20000 − 2896.56 = 17103.44

C12 = C11 − R12 = 57931.24 − 17103.44 = 40827.8

I13 =C12 · p100

=40827.8 · 5

100= 2041.39

R13 = a− I13 = 20000 − 2041.39 = 17958.61

C13 = C12 − R13 = 40827.8 − 17958.61 = 22869.19

44

I14 =C13 · p100

=22869.19 · 5

100= 1143.46

R14 = a− I14 = 20000 − 1143.46 = 18856.54

C14 = C13 − R14 = 22869.19 − 18856.54 = 4012.65

I15 =C14 · p100

=4012.65 · 5

100= 200.63

R15 = a− I15 = 4214.36 − 200.63 = 4013.73

C15 = C14 − R15 = 4012.65 − 4013.73 = −1.08

Do odstupanja u ostatku duga dolazi zbog zaokruzivanja na dvije decimale.


0 - - - 200 0001 20 000 10 000 10 000 190 0002 20 000 9 500 10 500 179 5003 20 000 8 975 11 025 168 4754 20 000 8 423.75 11 576.25 156 898.755 20 000 7 844.94 12 155.06 144 743.696 20 000 7 237.18 12 762.82 131 980.187 20 000 6 599.01 13 400.99 118 579.198 20 000 5 928.96 14 071.04 104 508.159 20 000 5 225.4 14 774.6 89 733.5510 20 000 4 486.68 15 513.32 74 220.2311 20 000 3 711.01 16 288.99 57 931.2412 20 000 2 896.56 17 103.44 40 827.813 20 000 2 041.39 17 958.61 22 869.1914 20 000 1 143.46 18 856.54 4 012.6515 4 214.36 200.63 4 013.73 -1.08

Ukupno: 284 214.36 84 213.97 200 000.39

45

Literatura

[1] Crnjac, Jukic, Scitovski, Nove strategije otplate zajma, Zbornik radova IV. kon-

ferencije iz operacijskih istrazivanja 1994.

[2] Franciskovic, Generalizacija kontinuiranog ukamacivana i strategije otplate duga,

Ekonomska analiza 24, 1990.

[3] Kovacic, Radisic, Usporedba kvantitativnih efekata klasicnih modela otplate zajma,

Osjecki matematicki list 11, 2011.

[4] Scitovski, Problemi najmanjih kvadrata Financijska matematika, Ekonomski fakultet

Osijek, Elektrotehnicki fakultet Osijek, Osijek, 1989.

[5] Sego, Lukac, Problemi najmanjih kvadrata Financijska matematika, Financijska

matematika, Prif, Zagreb, 2011.

[6] Silac, Otplata zajma varijabilnim anuitetima, Ekonomska analiza 2, XXIII 1989.

[7] http://www.mmoi.efzg.hr/radovi/bsego/Clanak-RIF-BSego.pdf

[8] http://www.vus.hr/Nastavni materijali/Matematika/Fin matematika vjezbe

[9] http://web.math.pmf.unizg.hr/nastava/s4-prof/gosp matematika/

slozeni kamatni racun.html

[10] http://poduke-itd.hr/naucimozajedno/instrukcije/nominalni-relativni-i-konformni-

kamatnjak.pdf

46

SAZETAK

U ovom diplomskom radu navedene su razlicite strategije otplate zajma, popracene

mnostvom primjerima na kojima je jasno pokazan plan otplate zajma u tablicama otplate.

U praksi najcesca strategija otplate zajma je otplata zajma jednakim anuitetima. Slabije

zastupljena je otplata zajma jednakim otplatnim kvotama, a ostale strategije su vrlo rijetko

zastupljene.

Razlicite strategije otplate zajma dovode i do razlicitih pogodnosti za zajmoprimca i zajmo-

davca. Vecim brojem razlicitih strategija zajmoprimac moze prema sebi i svojim potrebama

prilagoditi otplatu zajma, a isto tako i zajmodavac moze obogatiti ponudu zajmova i time

privuci veci broj klijenata.

Kljucne rijeci: Strategije otplate zajma, zajam, kamate, kakatna stopa, slozeno ukamacivanje,

anuiteti, otplatne kvote, tablica otplate, ostatak duga

47

TITLE AND SUMMARY

STRATEGY OF THE LOAN REPAYMENT

This thesis outlines different strategies of loan payment, supported by numerous examples

that clearly describe loan amortization schedule in loan amortization tables.

In practice amortization schedule is the most commonly used strategy. Repayment in equal

installments and other strategies are far less frequently used. Different repayment strategies

lead to different benefits for the parties involved.

Larger number of different strategies used provides more flexible payment strategy for the

borrower. At the same time it enriches the offer of the lender and makes it more attractive

to potential customers.

Keywords: Loan repayment strategies, loan, interest, interest rate, complex compounding,

annuities, repayment quotas, repayment table, remaining debt

48

ZIVOTOPIS

Zovem se Ivana Sose, rodena sam 5.10.1980. godine u Pakracu. Osnovnu skolu sam zavrsila

u Novskoj. Maturirala sam 1999. na Prirodoslovno matematickoj gimnaziji u Novoj Grdisci.

Iste godine upisala sam matematiku i informatiku na Odjelu za matematiku, Sveucilista J.J.

Strossmayera, u Osijeku.

Kao apsolvent matematike-informatike radila sam na Osnovnoj skoli Rajic i Srednjoj skoli

Kneza Branimira u Benkovcu.

49

ivana soˇˇ semdjumic/uploads/diplomski/Šoš03.pdfanuiteti jednaki bez obzira na promjene u...

Documents