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Itzcóatl Tonatiuh Bravo PadillaRectoría General

Miguel Ángel Navarro NavarroVicerrectoría Ejecutiva

José Alfredo Peña RamosSecretaría General

Sistema de Educación Media Superior

Javier Espinoza de los Monteros CárdenasDirección General del Sistema de Educación Media Superior

Ernesto Herrera CárdenasSecretaría Académica del Sistema de Educación Media Superior

Adriana Lorena Fierros LaraSecretaría Administrativa del Sistema de Educación Media Superior

Francia Carmen Martínez FavelaDirección de Educación Contínua, Abierta y a Distancia

Autor

María del Carmen Mercado VásquezCésar Gerardo Naranjo García

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Introducción 4 Introducción al curso de nivelación de matemáticas 6 Forma de trabajo para el estudiante 7Módulo 1 Pensamiento numérico 9 Lección 1 Números naturales 10 Tarea 1 20 Lección 2 Números Enteros 22 Tarea 2 27 Lección 3 Números Racionales ( ) 30 Tarea 3 41Módulo 2 Pensamiento algebraico 46 Lección 4 expresiones algebraicas y productos notables 47 Tarea 4 58 Lección 5 Factorización y ecuaciones de primer grado 60 Tarea 5 67

Bibliografía 68

Anexos 69

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Bienvenido al curso de nivelación para estudiantes de primer ingreso del nivel medio superior de la Universidad de Guadalajara. Este programa busca brindarte las herramientas necesarias para que logres mejores resultados a lo largo de tu paso por el bachillerato. El curso cuenta con una duración de 11 semanas, durante las cuales abordarás cuatro campos específicos: el manejo de plataforma Moodle, la lectura y redacción de textos, el inglés y las matemáticas. Durante la primera semana, aprenderás a utilizar la plataforma de aprendizaje; durante las diez siguientes, de la 2 a la 11, te acercarás a estrategias de lectocomprensión de textos en español así como la redacción de escritos breves. Asimismo, de la semana 2 a 6, trabajarás con la gramática básica del inglés, mientras que las siguientes cinco semanas (7 a 11) te enfocarás en las matemáticas básicas, en especial lo referente a pensamiento lógico. Los contenidos de este programa coinciden con algunos de los que aborda la prueba PIENSE II. Además, te resultarán de ayuda en futuras unidades de aprendizaje, tales como Tecnologías de la información I (en donde se aborda justamente el manejo de Moodle), todas las correspondientes al campo disciplinar de las matemáticas, así como las de comunicación (lo que en secundaria conocías como Español) y de Inglés. Estos tres campos tienen mucha importancia en tus futuros estudios, pues las estudiarás una gran parte del bachillerato. La forma de trabajo se conoce como modalidad mixta: parte del trabajo lo harás de forma presencial, acompañado de tu asesor y tus compañeros, mientras que el resto se llevará a cabo

Introducción

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en línea, a través de una plataforma de aprendizaje. Recuerda que tus asesores te acompañarán durante todo este curso para reforzar tus aprendizajes y resolver tus dudas. Sin embargo, es importante que recuerdes que el responsable de tu educación eres tú mismo. Éste es un bachillerato por competencias y eso implica que tú eres quien realizará el trabajo y que tu asesor estará allí para guiarte. No te preocupes, no lo harás solo: para eso cuentas con compañeros con quienes trabajar de forma colaborativa (y podrás aprender de los demás, así como los otros aprenderán de ti). A final de cuentas, todos tienen experiencias, conocimientos y habilidades que les resultarán de utilidad. Así es que… ¡Comencemos!

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Introducción al curso de nivelación de matemáticas

¡Bienvenido al curso de matemáticas!

Entre las diferentes ciencias que permiten conocer la realidad en la que vivimos se encuentran las matemáticas. ¿Alguna vez te has preguntado cuál es el propósito de conocer los números? Incluso: ¿qué es un número? El estudio de las matemáticas te permite darle un sentido a lo que ocurre a tu alrededor. Este libro de Ejercicios matemáticos pretende que apliques los conocimientos que hasta hora has adquirido desde tu formación básica. Los Ejercicios están diseñados para ser resueltos de manera práctica, con la finalidad de que tengas una mayor comprensión de cada tema. Durante este curso trabajarás de manera presencial y, además, en línea. Para el desarrollo de algunas actividades podrás compartir con tus compañeros el proceso de solución que utilizaste en cada problema. Recuerda que tu asesor trabajará contigo para resolver cualquier duda que puedas tener. Así que… ¡Iniciemos ya!

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Forma de trabajo para el estudiante

Recuerda que en este curso trabajaremos de forma virtual y presencial, por lo que a continuación te presentamos cómo se desarrollará tu labor:• En cada lección y contenido aprenderás

matemáticas mientras resuelves una serie de ejercicios.

• Cada uno de los ejercicios matemáticos está contextualizado; se ejemplifica una situación problemática relacionada con tu vida diaria.

• Es importante que en tus sesiones presenciales aclares tus dudas. No olvides que podrás apoyarte con tus propios compañeros y hacer uso de las tecnologías para fortalecer tu aprendizaje.

• En plataforma podrás hacer uso de los diferentes recursos de apoyo propuestos. Utiliza también los foros para retroalimentar con tus compañeros el proceso de solución utilizado en los problemas.

• Por último, pero no menos importante, planifica el tiempo necesario para el estudio de este curso en lo presencial y virtual.

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Módulo 1 Pensamiento numérico

Quizás te has preguntado cómo surgen los números. Desde la antigüedad, el hombre ha utilizado los números como una base de conteo y control; podrás identificar que tú, hoy en día, los utilizas para: poder comunicarte; saber el resultado de un problema; conocer las estadísticas de desempleo, reprobación, etc. En este módulo desarrollarás tus habilidades de pensamiento, aplicándolo en Ejercicios, permitiéndote reconocer su funcionalidad y aplicación en su magnitud, suma, resta, multiplicación, división y racionales.

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Lección 1 Números naturales Ejercicio 1 Observa las siguientes imágenes

¿Cómo describirías las imágenes?_________________________________________________________________________________________________________________________________

Si analizas tu respuesta te darás cuenta de que estás utilizando los siguientes símbolos: 2, 12 ó 14; a esos símbolos se les llama números y pasaron muchos años para formar este concepto, entonces ¿qué es un número?, ¿para qué se utiliza?____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

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El ser humano en su desarrollo tuvo la necesidad de contar; así conocía la cantidad de bienes que poseía. Esos números que satisfacen la necesidad de contar se les conoce como Números Naturales (obvio es que no utilizaban los símbolos que actualmente usamos) y se representan de la siguiente forma:

Dado que los Números Naturales ( ) están ordenados, los podemos representar en una recta numérica, la cual también se conoce como sistema de coordenadas en una dimensión:

Con los Números Naturales ( ), la primer operación que existe es la suma. Decimos que existe la operación porque la suma de dos Números Naturales es siempre un Número Natural. Por ejemplo:

Ejercicio 2Realiza las siguientes sumas y contesta ¿cómo son sus resultados?

Tu respuesta habrá sido que los resultados son iguales; eso es una propiedad que se llama propiedad conmutativa de la suma.

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Ejercicio 3¿Cómo resuelves la siguiente operación 5 + 7 + 4?

Cuando sumas tres Números Naturales descompones la operación en dos sumas, es decir, primero sumas dos números y el resultado que obtienes lo sumas al otro; en este proceso lo que comúnmente decimos es: agrego paréntesis (signos de agrupación). La operación nos queda de la siguiente forma:

(5+7) + 4(12) + 4

16 A esta propiedad se le conoce como propiedad asociativa.

Ejercicio 4¿Cómo realizas la siguiente operación 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2?

Cuando sumamos varias veces un mismo número, se vuelve algo tedioso, es por ello que surgió una nueva operación llamada multiplicación que no es más que una suma abreviada y se denota de la siguiente forma:

2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 9 x 2 = 9 ∙ 2 = 9 (2)

La multiplicación cumple las mismas propiedades que la suma, conmutativa y asociativa, y cuando se combinan ambas operaciones a esta propiedad se le conoce como distributiva. Estas propiedades se ejemplifican en la siguiente tabla, donde a,b y c son Números Naturales ( ).

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Propiedad Suma Multiplicación Ejemplos

Conmutativa

Asociativa

Distributiva

del producto

respecto a la

suma

Consideremos el Número “1” y vayamos agrupando de diez en diez: así, 10 unidades forman una decena, diez decenas una centena, diez centenas una unidad de millar, y así sucesivamente. De esta manera, formamos Números muy grandes; a este sistema de numeración lo vamos a llamar sistema base diez o sistema decimal.

1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 1010 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 + 10 = 100

100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 + 100 = 1000

Lo anterior nos permite que cualquier Número Natural se pueda escribir como la suma de productos de múltiplos de 10 y así simplificar la suma de números grandes. Por ejemplo:

347 = 300 + 40 + 7 = 3 x 100 + 4 x 10 + 7 x 17249 = 7 x 1000 + 2 x 100 + 4 x 10 + 9 x 1

A esta forma de escribir un número como suma de productos de múltiplos de 10 se le conoce como Notación desarrollada.

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Ejercicio 5Escribe en notación desarrollada los siguientes números

I. 794=

II. 8264=

III. 1304=

IV. 90452=

V. 109430=

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Ya hemos escrito números como suma de múltiplos de 10, ¿habrá alguna otra forma de escribir los números mediante una operación, o ciertas operaciones con alguna característica especial? La respuesta es SÍ. Empecemos a reescribir los números naturales desde el inicio.

1 = 12 = 1 x 23 = 1 x 3

4 = 1 x 2 x 2 = 1 x 45 = 1 x 5

6 = 1 x 2 x 3 = 1 x 67 = 1 x 7

8 = 1 x 2 x 2 x 2 = 1 x 2 x 4 = 1 x 89 = 1 x 3 x 3

10 = 10 x 2 x 511 = 1 x 11

12 = 1 x 2 x 2 x 3

A los números que están a la derecha se les llama factores o divisores.

Ejercicio 6Completa la siguiente tabla mencionando cuántos y cuáles son los factores de los Números Naturales comprendidos entre el 1 y el 50. Utiliza los ejemplos resueltos como guía.

Número

Divisores

o

factores

Cantidad

de

divisores

NúmeroDivisores o

factores

Cantidad

de

divisores

1 1 1 26

2 1, 2 2 27

3 1, 3 2 28

4 1, 2, 4 3 29

5 1, 5 2 30

6 1, 2, 3, 6 4 31

16

7 1, 7 2 32

8 1, 2, 4, 8 4 33

9 1, 3, 9 3 34

10 35

11 36

12 37

13 38

14 39

15 40

16 41

17 42

18 43

19 44

20 45

21 46

22 47

23 48

24 49

25 50 1, 2, 5, 10, 25, 50 6

A los Números que tienen sólo dos divisores se les conoce como números primos y a los números que tienen más de dos divisores se les llama números compuestos.

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Ejercicio 7Utiliza la tabla del Ejercicio 6 para escribir los números primos que existen entre el uno y el 50.

Conocer cuáles son los números primos es algo que te va a ser de mucha utilidad para solucionar problemas o para facilitar el aprendizaje de otro tipo de números, como lo son las fracciones. Por tal motivo, es útil saber cuándo un número grande o pequeño es divisible o tiene como factor a un número primo, a esto se le conoce como criterios de divisibilidad. A continuación, te presentamos algunos criterios de divisibilidad de números primos.

• Criterio de divisibilidad del dos: un número es divisible por dos si el dígito de las unidades es cero o par.

• Criterio de divisibilidad del tres: un número es divisible por tres si la suma de sus dígitos es divisible por tres.

• Criterio de divisibilidad del cinco: un número es divisible por cinco si la cifra de las unidades es cero o cinco.

• Criterio de divisibilidad del siete: un número es divisible por siete si al quitar la cifra de las unidades, multiplicarla por dos y restarlo del número que queda la diferencia es múltiplo de siete. Este proceso se repite hasta identificar el múltiplo de siete.

• Criterio de divisibilidad del once: Un número es divisible por 11 si la diferencia de la suma de las cifras que ocupan un lugar par y la suma de las cifras que ocupan un lugar impar es cero u 11.

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Ejercicio 8Escribe la descomposición en factores primos de los siguientes números; puedes tomar como referencia el primer ejemplo resuelto.

I. 38808

Número Divisor

38808 2 Tiene mitad porque termina en ocho

19404 2 Tiene mitad porque terminan en cuatro

9702 2 Tiene quinta por que termina en dos

4851 3 Tiene tercera porque 4+8+5+1=18 y este es múltiplo

de 31617 3 Tiene tercera porque 1+6+1+7=15 y 15 es múltiplo

de 3539 7 Tiene séptima porque 2(9)=18

53−18=35 esta diferencia es múltiplo de 7

77 7 Tiene séptima porque 7−14=−7, y 14 es divisible por 711 11 Tiene onceava

1 Resulatado

Por lo que 38808=2×2×2×3×3×7×7×11

II. 21780=

III. 71874=

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IV. 21131=

V. 26400=

VI. 898425=

VII. 37949472=

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Tarea 1 1. Realiza los Ejercicios en tu cuaderno. 2. Sube a plataforma tus resultados en Tarea 1

Números Naturales. Recuerda que puedes usar tu celular, tomando fotos de los Ejercicios resueltos.

3. Comenta en “foro de diálogo” qué problemas obtuviste para resolver los Ejercicios

4. Está al pendiente de la retroalimentación de tu asesor.

A) Descomponer en factores primos los siguientes números

I. 341=

II. 2093=

III. 4753=

IV. 3249=

V. 12740=

VI. 47601=

VII. 3277001=

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B) Encuentra todos los divisores o factores de los siguientes números

I. 45=

II. 54=

III. 126=

III. 108=

IV. 735=

V. 1090=

VI. 2040=

VII. 6006=

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Lección 2 Números Enteros

Con los Números Naturales ( ), empezamos a expresar y escribir números (a esto se le conoce como numeración) y se desarrollaron dos operaciones: la suma y la multiplicación como abreviación de la suma; pero en Matemáticas, al igual que en la vida, toda operación tiene su inverso o algo que la anule, es decir, si la suma nos indica un agrupar o acumular términos u objetos, existe otra operación para quitar algunos de esos términos u objetos. A este proceso lo conocemos como resta.

Ejercicio 1Realiza las siguientes restas; justifica si la solución es un Número Natural

I. 5−2=

II. 18−15=

III. 125−94=

IV. 2−5=

V. 15−18=

VI. 94−125=

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Habrás notado que las últimas tres restas no tienen solución en el conjunto de los Números Naturales ( ), por lo que necesitamos agregar más números. Los números que vamos a agregar representan un punto de partida, el cual llamamos origen o cero “0” y simétricos a los naturales con respecto al cero “0”. Observa la siguiente recta numérica:

A este nuevo conjunto de números se les conoce como Números Enteros y se les denota con el símbolo , con ellos ya se pueden realizar, sumas, restas y multiplicaciones y el resultado es un Número Entero, para realizar estas operaciones se siguen las mismas reglas que para los Naturales ( ).

Ejercicio 2Resolver

4 + 7 x 5

Si tu respuesta es 55, lamentamos decirte que estas en un error; recuerda que la multiplicación es una suma abreviada, por lo que el desarrollo completo debió de haber sido el siguiente:

4 + 7 x 54 + 5 + 5 + 5 + 5 + 5

4 + 35 39

Desarrollar la multiplicación como una sumaPropiedad asociativaSuma o resultado

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Por lo que cuando tienes un conjunto de operaciones que involucran multiplicaciones, sumas y/o restas, lo primero que hay que hacer es resolver la multiplicación y por último la suma y/o resta. Por ejemplo:

4 + 7 x 54 + 35

39

Resolver la multiplicaciónRealizar la suma

Ejercicio 3Resuelve las siguientes operaciones; recuerda que cuando hay paréntesis o algún signo de agrupación esto es lo que se resuelve primero.

I. 8+4+6−4−3−5=

II. 30+15−1−9=

III. 5×4−2×3=

IV. 50−4∙7−2=

V. 5×3∙2−1+2∙2∙2−4=

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¿Existe alguna forma de simplificar la siguiente operación?

2×2×2×2×2

La respuesta es sí: la abreviación de la multiplicación se le conoce como potencia y se denota de la siguiente forma

Ejercicio 4Resuelve la siguiente operación:

7−5×23

¿Cuál es el orden en que realizaste las operaciones?

Ahora, para resolver operaciones respetando su jerarquía, se resuelven primero las potencias, después multiplicaciones y hasta al último las sumas y/o restas.

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Ejercicio 5Resuelve los siguientes ejercicios respetando la jerarquía de los operadores o bien el orden de los signos de agrupación.

I.

II.

III.

IV. =

En los Ejercicios II y IV ¿Cómo trabajaste las operaciones? ¿Qué significado tiene el paréntesis?

Habrás notado que la función del paréntesis es indicarte el orden en que debes realizar las operaciones. En matemáticas se acostumbra que cuando tienes signos de agrupación el orden de utilizarlos es el siguiente:• Empezar con los más internos, que por lo

regular son los paréntesis ( ).• Continuar con corchetes [ ].• Finalizamos con llaves { }.

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Ejercicio 6Resuelve las siguientes operaciones respetando el signo de agrupación y la jerarquía de los operadores:I. =

II. =

III. =

IV. =

Tarea 21. Realiza los ejercicios en tu cuaderno. 2. Sube a plataforma tus respuestas en la tarea 2.

Números enteros. Recuerda que puedes usar tu celular, tomando fotos de los ejercicios que elaboraste.

3. Comparte con tus compañeros las dificultades que obtuviste para resolver los ejercicios, en el “foro de diálogo”.

4. Espera la retroalimentación de tu asesor.

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Realiza las siguientes operaciones. Recuerda respetar signos de agrupación y/o jerarquía de los operadores.

I. (9−6+3)−2−(8−7+1) =

II. (8−1)−(16−9)+3−2+8−7−6+(8−3)−(7−2) =

III. 50+ [(8+12)−5]=

IV. 400− {10+ [14−(13−11)]} =

V. 3(4+5+6) =

Resuelve los siguientes problemas, para solucionarlos analiza el rol de cada parte de los algoritmos.I. La suma de dos números e 600 y su cociente es

5.

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II. Encuentra dos números tales que el duplo de su suma sea 100 y el cuádruplo de su cociente es 36.

III. El doble del cociente de dos números es 10 y la mitad de la diferencia de esos números es 60.

IV. Si a un número se le suma 23, se le resta 41 de esta suma y la diferencia se multiplica por 2, se obtiene 132. ¿Cuál es ese número?

V. ¿Por cuáles de los números 2, 3, 4, 5, 7 u 11 son divisibles, 84, 375, 136, 132, 1892, 12344?

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Lección 3 Números Racionales ( )

Con los Números Enteros ( ) podemos sumar, multiplicar, elevar a una potencia entera y tenemos como solución un Número Entero ( ). Además, se presentó la operación inversa a la suma (la resta). Al igual, si tomamos dos Enteros y los restamos, ya tenemos un número que nos represente la respuesta; ahora abreviemos la resta. Para ello, reflexiona el siguiente problema.

Ejercicio 1¿Cuántas veces tienes que restar dos al 10 para que el resultado final sea cero?

Tu respuesta habrá sido 5 ¿Por qué?

10 − 2 − 2 − 2 − 2 − 2 = 0

Lo anterior también lo podemos escribir de la siguiente forma

Pero esa división también puede tener las siguientes notaciones que resultan ser más prácticas y sencillas

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Ejercicio 2Realiza la siguiente división:

Tu respuesta habrá sido que 5/2 no es un Número Entero ( ), lo que nos lleva a concluir que la división no está definida en el conjunto de los . Para que existan esos números necesitamos agregar más números: a este conjunto de números los vamos a llamar Números Racionales y se les denota con el siguiente símbolo: .Reformulemos nuestro problema y consideremos la recta formada por los puntos 0 y 1

Ejercicio 3Observa el siguiente segmento:

¿Qué número representa el punto que se agregó?

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Ejercicio 4Ahora cada división anterior se vuelve a dividir. Escribe los números que representan

Ejercicio 5¿Qué números obtienes si cada parte la vuelves a dividir en dos? Y luego la divides en 2 otra vez, ¿algún día terminaras de dividir?

Ahora divide el segmento formado por los puntos 0 y 1 en tres partes iguales; cada una de estas partes vuélvela a dividir en tres partes iguales y así sucesivamente. Escribe los números que obtuviste.

Esos números que acabas de obtener se llaman racionales y se escriben de la siguiente forma

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Una de las características que tienen los números racionales es que se pueden escribir de diferentes formas. Por ejemplo:

A las fracciones anteriores que representan el mismo número pero que se escriben diferente se les llama fracciones equivalentes y se pueden obtener multiplicando o dividiendo una fracción por un mismo número.

Ejercicio 6Escribe al menos 5 fracciones equivalentes a cada uno de los siguientes números:

I. =

II. =

III. =

IV. =

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V. =

VI. =

VII. =

Ejercicio 7El Número 7, ¿a qué tipo de números pertenece? ¿Y el −3?

Habrás notado que el Número 7 es un Número Natural, es un Número Entero y también es un Número Racional, es decir los naturales son enteros y los enteros son racionales. Eso en matemáticas se escribe de la siguiente forma:

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Ejercicio 8Realiza las siguientes operaciones

I.

II.

¿Te causó problemas realizar las operaciones anteriores? Creemos que no, pues tienen el mismo denominador y sólo se realizan operaciones sobre los numeradores. La primer respuesta al I) es 2 que es equivalente a , la respuesta al inciso II) es: .

Ejercicio 9Realiza las siguientes operaciones:

I.

II.

Recordaste el proceso para solucionar el problema. En caso de que la respuesta sea negativa, recordemos que para poder sumar o restar dos números, estos deben ser de la misma categoría. En el caso de las fracciones, necesitamos que tengan mismo denominador, por lo que se requiere tener fracciones equivalentes.

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Ejercicio 9 ACompleta las siguientes expresiones para tener al menos 10 fracciones equivalentes a y a .

y , ¿cuántos y cuáles son los denominadores que tienen en común? La respuesta es tres que son 6, 12 y 18, por lo que tenemos tres formas diferentes de realizar +

Te habrás dado cuenta que al simplificar el resultado los números son equivalentes (éste es uno de los usos que se les da a los criterios de divisibilidad). Para evitar el simplificar fracciones es conveniente utilizar el denominador más pequeño que se conoce como mínimo común denominador o mínimo común múltiplo (mcm).

NOTA: para ver métodos de cómo hacer el cálculo del mcm, te sugerimos ir al anexo de criterios de divisibilidad.

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Ejercicio 9 BAhora realiza la resta utilizando el procedimiento anterior.

Ejercicio 10Resuelve la siguiente operación

Recuerda que como primer paso tenemos que encontrar el mínimo común denominador o mínimo común múltiplo que es 30. Ahora completa los espacios en blanco de la operación que se indica.

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Algoritmos de las operaciones con Números Racionales ( )

Suma y/o resta de Fracciones

Para sumar o restar fracciones con mismo denominador se suman o restan los numeradores y se mantiene el denominador.

Ejemplo

Para sumar fracciones con distintos denominadores se tiene que transformar en fracciones equivalentes con el mismo denominador.

NOTA: Recuerda simplificar la operación.

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Multiplicación de fraccionesEl producto o multiplicación de dos racionales es una fracción donde el numerador es el producto de los dos numeradores y el denominador es el producto de los dos denominadores

En este caso la fracción no se puede simplificar

División de FraccionesLa división de dos fracciones o racionales es la multiplicación del numerador a por el denominador d, dividido por el producto del denominador b por el numerador c.

Otra notación de división de fracciones:

NOTA: Recuerda simplificar la operación.

Otra notación de la división:

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Jerarquía de los operadores

Las operaciones compuestas se realizan según el orden siguiente:1. Paréntesis, si los hubiese (si aparecen varios, uno

dentro de otros se comienza efectuando los de adentro).

2. Potencias y/o radicales.3. Multiplicaciones y o divisiones.4. Sumas y/o restas.

Ejercicio 11Realiza las siguientes operaciones con números racionales:

I.

II.

III.

IV.

V. =

¿Recordaste cómo realizar operaciones básicas con fracciones?

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Tarea 3 1. Realiza los ejercicios en tu cuaderno. 2. Sube a plataforma tus respuestas en la Tarea 3.

Números racionales. Recuerda que puedes usar tu celular, tomando fotos de tus ejercicios que elaboraste en tu cuaderno.



Simplificar las siguientes fracciones a su mínima expresión, utiliza criterios de divisibilidad

I. =

II. =

III. =

IV. =

V. =

VI. =

VII. =

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Realiza las siguientes operaciones con fracciones

I.

II.

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

XI.

XII.

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XIII.

XIV.

XV.

Resuelve los siguientes problemasI. Si tengo , ¿cuánto me falta para tener 1?

II. Mi papá vende de su terreno, renta y lo restante lo cultiva, ¿qué porción cultiva?

III. Mi mamá mi hermana y yo tejemos 20 metros de tela. Mi mamá teje 5 m, mi hermana , ¿cuánto tejo yo?

IV. Encuentra dos tercios de la mitad de 12.

V. De una soga de 40m se corta en tres partes iguales de 4 , ¿cuánto mide el pedazo de soga que queda?

VI. En una escuela hay 324 alumnos y el número de alumnas es del total, ¿cuántos alumnos varones hay?

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VII. En un parque de diversiones, por su aniversario, cada quinto visitante recibe una gorra gratis, cada séptimo visitante recibe un cartel y cada onceavo visitante recibe una camiseta. ¿Qué visitante debo de ser para recibir los tres regalos?

VIII. En mi grupo somos 36 estudiantes, por la intensa lluvia hoy solo asistimos 24, ¿qué fracción del grupo estuvo ausente?

IX. Ayer fue mi cumpleaños y me regalaron un pastel el cual compartí con mis compañeros y me llevé a mi casa del pastel. Al llegar a mi casa dividí el pastel en tercios para convidar a mi papá y a mi mamá, ¿qué parte del pastel le tocó a mi mamá?

X. Fui a Ixtlahuacán de los membrillos y compre un dulce de membrillo el cuál tuve que dividir 16 pedazos para regalar un pedazo a cada uno de mis hermanos, la mitad de mis hermanos están solteros y dividieron su pedazo de dulce para compartir con su novio(a) y la otra mitad de mis hermanos están casados y tienen un hijo cada uno, por lo que tuvieron que dividir su pedazo de dulce en tres partes para compartir con los integrantes de su familia, ¿qué porción de dulce le toco a las novias o esposas de mis hermanos?

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Módulo 2 Pensamiento algebraicoEn este módulo abordaremos dos lecciones: expresiones algebraicas y productos notables, desarrollando el pensamiento algebraico, reconociendo las limitantes conceptuales de los términos algebraicos; trabajando la factorización y ecuaciones de primer grado, identificando lo complejo de las ideas que se desarrollan en el pensamiento del alumno y creando los símbolos adecuados para la abstracción del pensamiento algebraico.

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Lección 4 expresiones algebraicas y productos notables

Cuando nos enfrentamos a situaciones que tenemos que solucionar es porque hay algo que es desconocido o en otras palabras es algo de lo cual queremos conocer su valor o significado; a ese término que buscamos en matemáticas lo llamamos incógnita o variable y se representa mediante letras para así facilitar su manejo. Por ejemplo: si una persona nos dice que hoy compró tres kilos de jitomate y dos kilo de cebolla y pagó $25.00, es común que no lo imaginemos de la siguiente forma:

3kg.+ 2kg.= $25.00

Si nos pasamos haciendo dibujos en lugar de simplificar el trabajo, vamos a hacerlo más complicado y/o laborioso; por ello es conveniente decir que el precio del kilo de jitomate lo vamos a representar por una letra y el precio del kilo de cebolla por otra, quedando la expresión de la siguiente forma:

3j + 2c =25.00

Donde j= el precio del kilo de jitomate y c= el precio del kilo de cebolla. Cuando utilizamos letras para representar números que no conocemos, le llamamos expresión algebraica y cuando esta expresión se iguala a otro término, entonces recibe el nombre de ecuación.

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Una expresión algebraica está formada por uno o más términos algebraicos. Empecemos por definir este concepto: un término algebraico es una expresión de la forma

Ejercicio 1 Traduce las siguientes expresiones a lenguaje algebraico, utiliza los ejemplos resueltos como guía.

Frase en lenguaje natural (en

nuestro caso español) Expresión algebraica

La suma de dos números a+b

El doble de un número disminuido

en tres.2m−3

La diferencia de un número y 5.

Un número aumentado en 6.

15 veces un número.

El cociente de dos números.

Tres más que el cociente de un

número y 12.

Cuatro menos que la mitad de un

número.

El cociente de 50 y un número.

Brian tiene n años de edad,

¿cuántos años tendrá en 15 años?

El perímetro de un cuadrado.

El área de un rectángulo.

49

Ejercicio 2Observa la siguiente expresión algebraica y contesta las preguntas.

I. ¿Cuántos términos algebraicos tiene?

II. ¿Existen términos que tengan la misma base y el mismo exponente?

III. Los términos que tienen misma base y mismo exponente se les conoce como términos semejantes, en caso de tener semejantes escribe cuál es el término semejante a cada uno de los términos indicados:

Cuando dos o más términos son semejantes, éstos se pueden simplificar sumando o restando los coeficientes según sea el signo. Por ejemplo:

Y se acostumbra escribirlos de exponente mayor a menor:

50

Quedando la expresión algebraica simplificada de la siguiente forma.

Ejemplo: simplifica la siguiente expresión algebraica:

Los términos semejantes son.

Al simplificar la expresión algebraica nos queda:

Ejercicio 3Simplifica las siguientes expresiones algebraicas.I. −7x + 10x=

II. −9a2 + a2 + 11a2 − 15a2=

III. xy + 2xz − 7yz + 2yz + yz − 4xz + 5xy=

IV. x2 − 2x2 − 3x2 + x2=

51

V. −2x2y + 5xy2 + 3x2y − 4xy2 + xy=

¿Recuerdas cómo abreviar la siguiente operación?

(a+b) + (a+b) + (a+b) + (a+b)

En la expresión algebraica anterior tenemos cuatro veces la suma de a y b, por lo que al simplificarla queda una multiplicación que se escribe de la siguiente forma:

4(a+b)

El número y el paréntesis por juntos representan multiplicación y al aplicar la propiedad distributiva nos queda.

4(a+b) = 4a + 4b

Ejercicio 4Utiliza la propiedad distributiva para simplificar las siguientes expresiones algebraicas:

I. 3(x+2) + 5(x − 3)=

II. 5(a−3) + 4(a+2)=

III. 7(x2+9) + 3(x2−5)=

IV. 2(2x−1) + 5(3x + 2) + 4(2x−5)=

52

Ahora que conocemos qué es una expresión algebraica es tiempo de clasificarlas: a las expresiones algebraicas cuyas variables tienen como exponente un Número Natural se les conoce como polinomios y se clasifican según su número de términos.

Cuando tenemos polinomios también los clasificamos según su grado. Este es el exponente más grande, pero cuando un término algebraico tiene dos o más variables, el grado del término algebraico es la suma de los exponentes.

Ejemplos:• −7a4 b3c monomio de grado 8 porque los

exponentes son 4, 3 y 1 (el exponente de c), 4+3+1=8

• 2y−4, binomio de grado 1• x2 y3−z, binomio de grado 5 porque x+3=4• ax2+bx+c, trinomio de grado 2• 3x+2y−1, trinomio de grado 1

53

La forma correcta de escribir un polinomio es de grado mayor a menor y respetando el orden alfabético de las variables.

Ejercicio 5Escribe el polinomio con las características solicitadas y después compara los resultados con tus compañeros en un foro o bien en la sesión presencial.

Monomio de grado 3 con dos variables

Monomio de grado 5 con dos variables

Binomio con una variable de grado 1

Binomio de grado 2 con una variable

Trinomio con tres variables de grado 1

Trinomio con dos variables de grado 2

Trinomio con dos variables de grado 3

Trinomio con una variable de grado 2

54

Polinomio de cuatro términos de

grado 1


grado 3


grado tres con una variable.

Productos notables

La multiplicación aritmética (números) se realiza siguiendo un algoritmo cuyos pasos conducen al resultado, lo mismo sucede con la multiplicación algebraica. Pero existen productos algebraicos que responden a una regla cuya aplicación simplifica la obtención de tal resultado. Estos productos reciben el nombre de productos notables.

Ejercicio 6Las fórmulas de estos productos notables las vamos a obtener calculando el área de rectángulos, en los siguientes ejercicios escribe el área de los cuadrados que se indican:

FiguraÁrea de la

figura 1Área de la

figura 2Área de la

figura 3Área total

55

Ejercicio 7Utiliza las fórmulas que obtuviste en el cuadro anterior para obtener las siguientes áreas de los cuadriláteros solicitados, si es necesario vuelve a dibujar las figuras para que te sea más claro.

I. El área de un rectángulo de base a y altura b+c

II. El área de un rectángulo de base a+b y altura b+c

III. El área de un cuadrado de lado a+b

IV. El área de un cuadrado de lado a−b

56

Las fórmulas que obtuviste en el Ejercicio 7, se conocen como productos notables y su función es obtener expresiones algebraicas que sean resultado de una multiplicación en forma más sencilla, es decir, sin realizar la multiplicación de polinomios (los productos notables son como las tablas de multiplicar cuando realizas una multiplicación o división de números grandes).

Factor comúna (b + c) = ab + ac

Binomios con término común

(a + b) (a + c) = a2 + (b + c) a + bc(a + b) (a − c) = a2 + (b − c) a − bc(a − b) (a − c) = a2 − (b + c) a + bc

Binomio al cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Binomios conjugados

(a + b) (a − b) = a2 − b2

Ejemplo 1:

Binomio al cuadrado

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

I. (p + 2b)2 = p2 + 2 ∙ p ∙2b + (2b)2 = p2 + 4pb +4b2

57

II. (3m + 4n)2 = (3m)2 + 2∙3m∙4n + (4n)2 = 9m2 + 24 mn + 16n2

III. (5x − y)2 = (5x)2 + 2∙5x∙ y + (y)2 =25x2 +10xy + y2

Ejemplo 2:Diferencia de cuadrados (a + b) (a − b) = a2 − b2

I. (x + 7) (x − 7) x2 −49

II. (a + 3) (a − 3) = a2 − 9

III. (2a5 + 3b8) (2a5 − 3b8) = 4a10 − 9b16

Ejemplo 3:Binomios con término común

(a + b) (a + c) = a2 + (b + c) a + bc(a + b) (a − c) = a2 + (b − c) a − bc(a − b) (a − c) = a2 − (b + c) a + bc

I. (x + 3)∙(x + 2) = x2 + (3 + 2) x + 3 ∙ 2 = x2 + 5x + 6

Observa que

II. (a + 8)∙(a − 7) = a2 + (8 − 7) a + 8 (−7) = a2 + a − 56

Observa que

58

III. (p − 9)∙(p − 12) = p2 + (−9 + (− 12)) ∙ p + (−9 (− 12)) = p2 − 21p + 108

Observa que

Tarea 41. Realiza los ejercicios en tu cuaderno. 2. Sube a plataforma tus respuestas en la Tarea

4 expresiones algebraicas. Recuerda que puedes usar tu celular, tomando fotos de tus ejercicios que elaboraste en tu cuaderno.



Utiliza las fórmulas de productos notables para obtener los siguientes polinomios:

I. (x − 1)2 =

II. (x + 1)2 =

III. (x − 7)2 =

IV. (x − 2)2 =

V. (2 x − 1)2 =

59

VI. (3x + 5)2 =

VII. (7x + 8)2 =

VIII. (3x − y)2 =

IX. (a + 1) (a + 4) =

X. (x + 7) (x + 8) =

XI. (x + 1) (x + 3)=

XII. (x − 5) (x − 2)=

XIII. (x − 9) (x − 1)=

XIV. (x − 4) (x − 6)=

XV. (x + 3) (x − 2)=

60

XVI. (x + 2) (x − 3)=

XVII. (x + 7) (x − 6)=

XVIII. (x + 4) (x + 9)=

XIX. (x − 3) (x + 1)=

Lección 5 Factorización y ecuaciones de primer grado Factorización

El proceso inverso a un producto notable se conoce como factorización.

Ejemplo: Factorizar

x2 + 5x + 6

Como 6 es positivo y es el resultado de un producto, los signos tienen que ser iguales, es decir, buscamos dos números que multiplicados nos den por resultado 6 y sumados nos den 5. Esos números son:

(2) (3) = 62 + 3 = 5

Por lo que x2 + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)x2 + 6x + 5 como 5 es positivo y es el resultado de un producto, los signos tienen que ser iguales, es decir, buscamos dos números que multiplicados nos

61

den por resultado 5 y sumados nos den 6 y como el término lineal (segundo término) es negativo, los números son negativos. Esos números son:

(−1) (−5) = 5−1 + (−5)= 6

Por lo que x2 − 6x + 5 = (x − 1) (x − 5)x2 + 5x − 14 como el termino independiente (tercer término) es negativo y es el resultado de un producto, los signos tienen que ser diferentes, es decir, buscamos dos números que < multiplicados nos den por resultado 14 y sumados nos den 5. Esos números son:

(7) (−2) =−147+ (−2) = 5

Por lo que x2 + 5x − 14 = (x + 7) (x − 2)x2 − 2x −8, como el término independiente es negativo es positivo y es el resultado de un producto, los signos tienen que ser diferentes, es decir, buscamos dos números que multiplicados nos den por resultado 14 y sumados nos den −2. Esos números son:

(2) (−4) =−82+ (−4) = −2

Por lo que x2 − x − 8 = (x + 2) (x − 4)x2+ 14x +49, observarás que el primer y el tercer término son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada entera) y el segundo término es el doble producto de las dos raíces; entonces hablamos de un trinomio cuadrado perfecto, que se factoriza como un binomio al cuadrado:

a2 = x2, a = x2ab = 2 (x) (7)= 14x

b2 = 49, b = 7

62

Entonces x2 + 14x +49 = (x + 7)2

x2 − 8x + 16, observarás que el primer y el tercer término son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada entera) y el segundo término es el doble producto de las dos raíces; entonces hablamos de un trinomio cuadrado perfecto, que se factoriza como un binomio al cuadrado:

a2 = x2, a = x2ab = 2 (x) (4)= 8x

b2 = 16, b = 4

Entonces x2 − 8x + 16 = (x − 4)2

x2 − 8 < 1, observarás que es una diferencia (resta) y los dos números son cuadrados perfectos (tienen raíz cuadrada entera); entonces tenemos diferencia de cuadrados que se factoriza como binomios conjugados:

x2 − 81 = (x + 9) (x − 9)

Ejercicio 1Contesta los siguientes ejercicios utilizando la fórmula adecuada para factorizar las siguientes expresiones algebraicas:

I. 12x2 73 − 6xy2 =

II. 18a4b5c2−36a4b3c =

III. 5a2b − 10ab + 8a − 8=

63

IV. x2 + 8x + 16=

V. x2 − 8x 16=

VI. x2 − 12x + 36=

VII. x2 + 24x + 144=

VIII. x2 − 26x + 169=

IX. 9x2 − 30x + 25=

X. 5x2 − 20x + 20=

XI. 7x2 + 42x + 63=

XII. x2 + 8x + 7=

64

XIII. x2 − 8x + 7 =

XIV. x2 + 6x − 7 =

XV. x2 − 6x + 7 =

EcuacionesUna ecuación es la igualdad entre dos expresiones algebraicas; éstas se clasifican según su número de variables y por el grado de la expresión algebraica.

Ecuaciones de primer gradoUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas. Si esta expresión algebraica es de grado (exponente mayor de la variable) 1, la ecuación es de primer grado.

Para determinar la solución de una ecuación es necesario despejar a la variable, esto se hace eliminando los términos con operaciones inversas.

Ejercicio 2Completa la siguiente tabla con sus operaciones inversas.

Operación InversaSuma

MultiplicaciónRaíz cuadradaRaíz Cubica

65

Ejercicio 3Analiza los ejemplos resueltos que indican un procedimiento de solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.

Ejemplo 1: Proceso Justificación de su proceso de solución

x + 7 = 13 Ecuación a resolver

x + 7 − 7 = 13 − 7 Restar 7 a ambos miembros de la igualdad

x = 6 Simplificar


3x − 10 = 11 Ecuación a resolver

3x − 10 + 10 = 11 + 10Sumar 10 a ambos miembros de la

igualdad

3x = 21 Simplificar

3x 213 3 Dividir por 3

x = 7 Simplificar


3(x − 7)= 5x − 7 (x + 2) Ecuación a resolver

3x − 21 = 5x − 7 (x − 14) Realizar las multiplicaciones indicadas

3x − 21 + 21 = −2x − 14 + 21Sumar 21 a ambos miembros de la igualdad

y simplificar el segundo miembro

3x = −2x + 7 Simplificar

3x +2x = −2x + 2x + 7 Sumar 2x a ambos miembros de la igualdad

5x = 7 Simplificar

3x 75 5

Dividir por 5

x = =1.4 7 5 Simplificar

66


Ecuación a resolver

Multiplicar por 4 para evitar la división

Realizar la multiplicación por 4Restar 48x y 13Simplificar

Dividir por −45

Simplificar

Ejercicio 4Resuelve las siguientes ecuaciones:

I. x + 15 = 27

II. 3x − 12 = 6

III. 3x + 4 = 16

IV. 5z − 1 = 14

V. 4y − 3 = −27

67

VI. 2 (x − 5) = 4

VII. 4 (x − 3) = −2

Tarea 5 1. Realiza las ecuaciones en tu cuaderno.2. Sube a plataforma el Ejercicio 3 y 6 y comparte

con tus compañeros las respuestas en el “foro de diálogo”.

3. Investiga una ecuación y compártela con tus compañeros.

4. Retroalimenta la ecuación investigada de unos de tus compañeros.


1. 4x − 1 = 2x + 4 2. −3 (x − 2) = 113. 5y + 2 = 3y − 144. −7x + 5 = −8x + 145. 5 (2x + 1) = 4 (3x − 8)6. −6 (x − 4) + 2 = 42

68

Bibliografía

Basurto, E. y G. Castillo (2011). Matemáticas 1, Competencia aprendizaje vida, bachillerato, México, Pearson.

Cuéllar, J. (2012) Matemáticas 1. México: Mc Graw-Hill Ibáñez.

P., García G. (2013) Matemáticas II. México: CENGAGE Learning.

Ibáñez, P., García, G. (2011) Matemáticas y vida cotidiana 1. México: CENGAGE Learning.

Jiménez, A. (2011) Matemática y Vida cotidiana I. México: Editorial Universitaria Santillana Bachillerato.

Referencias:

Imágenes tomadas del sitio: Foter http://foter.com/(Fecha de actualización 10 de octubre de 2016).

Imágenes tomadas del sitio: Intef http://recursostic.educacion.es/bancoimagenes/web/ (Fecha de actualización 10 de octubre de 2016).

69

ANEXOS

70

Ecuaciones de segundo grado o ecuaciones cuadráticas

La factorización es un proceso o método para solucionar ecuaciones de segundo grado, también conocidas como ecuaciones cuadráticas, cuando éstas se encuentran igualadas a cero. Ésta en general se escribe como un trinomio al cuadrado y se iguala a cero, es decir, ax2+bx+c=0. Existe otro procedimiento para encontrar la solución a estas ecuaciones cuadráticas, que es por fórmula general. Revisa el siguiente procedimiento para observar de donde se obtiene tal fórmula y en equipos completa la justificación.

Justificación

Completar trinomio cuadrado

perfecto

71

A la fórmula anterior se le conoce como la fórmula de la ecuación general de segundo grado.

Observa los siguientes ejemplos para solucionar ecuaciones cuadráticas por el método de factorización y por la fórmula general.

Resolver la ecuación x2+7x=0

Solución por factorización

Solución por fórmula x=

72

Resolver

Solución por factorización

Solución por fórmula

Resolver Solución factorizando como dos binomios

73

Solución factorizando como un binomio al cuadrado (trinomio cuadrado perfecto)


74

Resolver Solución factorizando


75

Resolver No hay solución por factorización pues no existen dos números enteros multiplicados de 11 y restados 2


Ejercicios: ahora resuelve las siguientes ecuaciones en tu cuaderno y sube en plataforma tus resultados de los Ejercicios V y IX, comparte tus respuestas con tus compañeros. Recuerda que en la carpeta de evidencias debes subir las fotos de los ejercicios contestados solicitados.

Ejercicios:I.

II.

76

III.

IV.

V.

VI.

VII.

VIII.

IX.

X.

77

Un Sistema de Ecuaciones Lineales es un conjunto de dos o más ecuaciones de primer grado con dos o más incógnitas; para determinar su solución existen procesos gráficos, como el utilizado en el problema 7 y procesos algebraicos. Dentro de los procesos algebraicos, los más comunes son los siguientes:• Método de Reducción (suma y/o resta): que

consiste en que al sumar o restar dos ecuaciones se elimine una de las variables.

• Método de Sustitución: se despeja una variable y se sustituye en las otras ecuaciones.

• Método de Igualación: se despeja una de las variables de las ecuaciones y se igualan éstas.

Observa cómo se utilizan los métodos anteriores en los siguientes ejemplos y después resuelve los ejercicios indicados. Existen varios métodos algebraicos para solución sistemas de ecuaciones lineales, dentro de los cuáles están:1. El método de eliminación (suma y resta) es una

forma algebraica de obtener la solución exacta de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, manipulando las ecuaciones de forma que eliminemos a una de las variables (x ó y). Consiste en que al sumar o restar dos ecuaciones se elimine una las variables. En algunas ocasiones hay que escribir ecuaciones equivalentes.

78

Ejemplo 1: Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de eliminación o reducción.

Sistema de ecuaciones a resolver

Sumar las dos ecuaciones

Despejar para x

Sustituir x en una de las ecuaciones

y despejar para y

Solución

II. El método de eliminación (suma y resta) es una forma algebraica de obtener la solución exacta de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas, manipulando las ecuaciones de forma que eliminemos a una de las variables (x ó y). Consiste en que al sumar o restar dos ecuaciones se elimine una las variables. En algunas ocasiones hay que escribir ecuaciones equivalentes.

79

Ejemplo 2: Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de sustitución.


Despejar y de la segunda ecuación

Sustituir y en la primer ecuación

Después despejar x

Sustituir x en la segunda ecuación,

después despejar y

Solución

III. El método de igualación: consiste en despejar de las dos ecuaciones la misma variable. Posteriormente se igualan estas expresiones para obtener una ecuación de primer grado con una incógnita y resolverla. Por último, se sustituye el valor encontrado en una de las ecuaciones.

80

Ejemplo 3: Determina la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales por el método de igualación


Despejar y de ambas ecuaciones

Igualar las dos ecuaciones y

despejar x

Sustituir x en una de las dos

ecuaciones despejadas

Solución

Resuelve los siguientes ejercicios por alguno de los métodos anteriores.

a)

b)

81

c)

d)

e)

Soluciona los siguientes problemas, lee bien los datos para que determines el método adecuado para resolver el problema y comparte en foro tus resultados, explicando cómo llegaste a resolverlos.I. El salón de clase mide 43.56 m2, ¿cuánto medirá

por lado este salón si su forma es un cuadrado?

II. Un tercio de la diferencia de dos números es 25 y el mayor equivale a 4 veces el menor. ¿Cuáles son esos números?

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