i̇şlem ve modüler ari̇tmeti̇k

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKKONU ANLATIMI

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEM

Boş olmayan A,B,C kümeleri verilmiş olsun.

AxB nin bir alt kümesinden C ye tanımlı her fonksiyona işlem denir. AxA nın bir alt kümesinden A’ya tanımlı her fonksiyona A kümesinde bir işlem denir. İşlemi göstermek için *, +, -, ,� ,, ... gibi işaretler kullanılır. 5 + 3 = 8 olduğunu biliyoruz. Eşitliğin solunda iki sayı olduğu halde, eşitliğin sağında bir sayı vardır. Eşitliğin solundaki iki sayıyı (5,3) ikilisibiçiminde yazalım.Şimdi bu ikiliyi 8’e eşleyen bir f fonksiyonu düşünebilirsiniz. f(5,3) = 5+3 olur.Reel sayılar kümesinde yaptığımız, toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeişlemleri reel sayılar kümesinin kartezyen çarpımının bir alt kümesinden reelsayılar kümesine birer fonksiyondur.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMÖrnek : A={ -1,0, 1}AxA={ (-1,-1), (-1,0), (-1,1), (0,-1), (0,0), (0,1), (1,-1), (1,1) }f:AxA A fonksiyonu;f(x,y)= x.y olsun.Bu fonksiyon A kümesinde tanımlı bir işlemdir. Bu işlemi ile gösterirsek, x y =x.y dir.

Tablodan -1-1 = 1, 0 1= 0, 0 0=0 olduğunu bulunuz.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEM

Örnek Reel sayılar kümesinde , x #y =2x-2y+xy olmak üzere, # işlemi tanımlanıyor.A- (2 #3) #4 işleminin sonucu nedir?B- (2 #x) #2=16 eşitliğini sağlayan x değeri nedir?Çözüm: A- 2#3= 4-3.3 +2.3 =1 olduğundan; ( 2 #3 ) #4= 1 #4= 2-12+4= -6 B- 2 #x=4-3x+2x=4-x olduğundan; (2 #x) #2= (4-x) #2 =2(4-x)-6+( 4-x) #2 =8-2x-6+8-2x =-4x+10 -4x+10=16 -4x=6 x=-6/4 bulunur.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMİşlemin ÖzellikleriA boş olmayan bir küme ve , A’ da tanımlı bir işlem olsun;

•x, y A için x y A ise A kümesi işlemine göre kapalıdır.•x,y A için x y= y x ise işlemin değişme özelliği vardır.•x,y,z A için (x y) z=x (y z) ise işlemin birleşme özelliği vardır.•x A için x e= e x=x olacak şekilde bir e A varsa e’ ye etkisiz eleman denir.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMİşlemin Özellikleri•A kümesinin işlemine göre etkisiz elemanı e olsun. x A için x x-1= x-1 x=e olacak şekilde bir x-1A varsa x-1 ‘e x’in işlemine göre tersi denir.

• * A da tanımlı bir işlem olsun. x,y,z A için, x (y*z)= (x y)*(z x) eşitlikleri sağlanıyorsa işlemini * işlemi üzerine dağılma özelliği vardır denir.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMİşlemin Özellikleri

Örnek Z ‘ de işlemi x,y,z A için ;x y=(x+y) / 2 şeklinde tanımlanıyor. işlemine göre Z kümesi kapalı mıdır?Çözüm: x,y,z A için, x x,y,z A için y Z dir. Çünkü toplamı çift olan sayıların ikiye bölümü tam sayıya karşılık gelirken, toplamı tek olan sayıların ikiye bölümü tam sayı değildir. Mesela;2,7 z için 2 7= (2+7) /2= 9 / 2 Z dir.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMİşlemin ÖzellikleriÖrnek a b c d e a d e a b cb e a b c dc a b c d ed b c d e ae c d e a b

KÖŞEGEN

A= { a,b,c,d,e} kümesinde işlemi yukarıdaki tablo ile tanımlanıyor. A- A kümesi işlemine göre kapalı mıdır? B- işlemi değişme özelliğine sahip midir? C- işlemine göre etkisiz eleman nedir? D- b’ nin tersi nedir?


Çözüm :A- işlemine göre A kümesinin herhangi iki elemanının sonucu yine A kümesinin bir elemanı olduğu için A kümesi kapalıdır.

B- x,y A için x y=y x olduğundan işlemi değişmelidir.

C- x A için x c=c x=x olduğu için c etkisiz elemandır. Gerçektena c=a, b c=b, c c=c, d c=d, e c=e dir.

D- b’nin tersi olsun.b x=c olmalıdır.x=d olduğu tabloda görülür.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMİşlemin ÖzellikleriÖrnek x,yR için x y=x+y+2xy işlemi tanımlanıyor.A- işlemi değişmeli midir?B- işlemine göre etkisiz eleman nedir?C- işlemine göre aR olmak şartıyla a’nın tersi nedir? Çözüm:A- x y= x + y+ 2xy = y + x + 2yx = y xO halde değişmelidir.


C- a’nın tersi a-1 olsun.a a-1=0 olmalıdır.a+a-1 + 2a.a-1=0 a-1(1+2a)=-aa-1 =-a/(1+2a) bulunur.

B- Etkisiz eleman e olsun. x e = x olmalıdır.x+e+2xe = x e+2xe =0 e(1+2x) =0 1+2x0 ise e=0 dır. Bu durumda etkisiz eleman 0’dır.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMİşlemin ÖzellikleriÖrnek : işlemi R+ da tanımlı bir işlem olmak üzere, 1/m n2 = m.n ise 4 9 neye eşittir?

Çözüm:4 9= 1/ (1/4) 32 =1/4. 3 = 3/4‘ tür.


Örnek :R2 de tanımlanan (a,b) (c,d) =( a+c,b+d) işleminin etkisiz elemanı nedir?Çözüm: Etkisiz eleman (x. Y) olsun. İşlem değişme özelliğine sahip olduğu için;

(a,b) (x,y)=(a,b) olmalıdır.(a+x,b+y) = (a,b) ise a+x=a ve b+x= bx=0 , y=0 bulunur.

Demek ki etkisiz eleman (0,0) ‘dır.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler Aritmetik

Z ‘ de ={ x,y} : m(x-y)}, m1 ve m Z+ bağıntısı denklik bağıntısıdır. O halde (x ,y) için x y (mod m)

Örnek Z de ={ x,y : 5 (x-y)} denklik bağıntısını inceleyelim.Çözüm:, farklı 5’e bölünen tamsayı ikililerinden oluşmaktadır. Yani (1,6), (74, 69) ... denklik bağıntısı olduğu için x(x,y) için xy (mod 5)Mesela;(1,6) olduğu için 16 (mod 5)(74, 69) olduğu için 74 69 (mod 5).....


Çözüm:Z’ de m=5 modülüne göre ‘nın denklik sınıflarını ( kalan sınıfları) oluşturalım.

0={....., -10 , -5, 0, 5,10,.....}1={....., -9 , -4, 1, 6, 11,.....}2={....., -8 , -3 , 2, 7,12.....}3={....., -7, -2 , 3, 8, 13,......}4={....., -6 , -1, 4, 9, 14,......}

5 modülüne göre kalan sınıflarıdır.Z/m={ 0,1 ,2, 3........... (m-1)} dir.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler AritmetikÖzelliklerixy ( mod m) ve u= v olsun.1- x ve y nin ( u ve y in ) m’ ye bölümünden kalan eşittir.2- x-y , (u-v) m2 ye tam olarak bölünür.

3- x+ u y+v (mod m)

4- x-u y-v (mod m)5- x.u y. v ( mod m)6- c.x c.y (mod m) , c Z7- xn y-n ( mod m ) , n Z+


Z/m ‘ de Toplama ve Çıkarma

x ,y Z/m için 1. x +y = x+y2. x . y = x.y


ÖrnekZ/5 de 4. ( 2+ 4) +3 işleminin sonucu nedir?

Çözüm :

4. ( 2+ 4) +3 =4. ( 2+ 4)+ 3 =4. 6+ 3 =4. 1+ 3 =4+3 =7 = 2

Örnek

71962 x ( mod 11) ise x nedir?

Çözüm :

710= 1 dir. Buna göre ,71964 (710)196 . 72 11196 . 72 5 (mod 11)

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler AritmetikMatematik SistemlerTanım 1 : A boş olmayan bir küme olmak şartıyla A ‘ da tanımlı bir işlem olsun . ( A, ) ikilisine bir matematik sistem denir. ‘ da A ‘ da tanımlı bir işlem ise ( A, ,*) üçlüsüne de bir matematik sistem denir.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler AritmetikMatematik Sistemler

Tanım 2 :G, boş olmayan bir küme olmak şartıyla A da tanımlı bir işlem olsun.(G, ) sistemi aşağıdaki özellikleri sağlıyorsa grup adını alır.

• Kapalılık özelliği;• Birleşme özelliği;• Etkisiz eleman özelliği ;• Ters eleman özelliği ;


Tanım 3 :(G, ) grubu değişme özelliği sağlıyorsa değişmeli grup adını alır.

Örnek(Z, +), (R, .), (Z/5, +) sistemleri birer değişmeli gruptur fakat ( N, +), (Z, .)(Z/4, .) sistemleri birer değişmeli grup değildir.


Tanım 4 :(H, , &) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa halka adını alır.

• (H, ) değişmeli gruptur.• H kümesi & işlemine göre kapalıdır.• & işlemine göre birleşme özelliği vardır.• & işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler AritmetikMatematik SistemlerTanım 5 :(H, ,&) halka olmak şartıyla;

• & işlemi değişme özelliğine sahipse, (H, ,&) değişmeli halka adını alır.• & işleminde etkisiz eleman özelliği varsa (H, ,&) birimli halka adını alır.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler AritmetikMatematik SistemlerTanım 6 :(C, ,&) matematik sistemi aşağıdaki şartları sağlıyorsa, bir cisim adını alır.

• (C, ) sistemi değişmeli grup ve birim elemanı e’ dir.• (C-{e}, &) sistemi değişmeli gruptur.• & işleminin işlemi üzerine dağılma özelliği vardır.

İŞLEM VE MODÜLER ARİTMETİKİŞLEMModüler AritmetikMatematik SistemlerTanım 7 :( C, ,&) bir cisim olsun. & işleminin değişme özelliği varsa ( C, ,&) sistemi değişmeli cisim adını alır.

Örnek (Z, +, .) değişmeli ve birimli halkadır.

i̇şlem ve modüler ari̇tmeti̇k

Education