Đại$số$booletcdungnghi/dld_pfiev/kts_c2_l4.pdf · 2020. 8. 6. · boolean functions ! a...

Đại$số$BooleCổng$logic

GV:$Trương$Công$Dung$Nghi

Cấu$trúc$đại$số$Boole• Là$cấu$trúc$đại$số$được$định$nghĩa$trên$một$tập$phần$tử$nhị$

phân$B$=${0,$1}$và$các$phép$toán$nhị$phân:$AND$(.),$OR$(+),$NOT$(‘).

• Thứ$tự$phép$toán$:$theo$thứ$tự$dấu$ngoặc$(),$NOT,$AND,$OR.

2February 10, 2012 9

Postulates of Two-Valued Boolean Algebra�

!  B = {0, 1} and two binary operations, + and !  The rules of operations: AND�OR and NOT.

1. Closure (+ and�) 2. The identity elements

(1) +: 0 (2) ��

x� y� x�y�

0� 0� 0�0� 1� 0�1� 0� 0�1� 1� 1�

x� y� x+y�

0� 0� 0�0� 1� 1�1� 0� 1�1� 1� 1�

x� x'�

0� 1�1� 0�

AND� OR� NOT�


Các$tiên$đề$(Axioms)1. Tính$giao$hoán$(Commutative$Property)

` ` ` x"."y%=%y"."x% % % x"+"y%=%y"+"x

2. Tính$phân$bố$(Distributive$Property)` ` ` x"."(y"+"z)"="x"."y"+"x"."z% % % x"+"(y"."z)"="(x"+"y)"."(x"+"z)

3. Phần$tử$đồng$nhất$(Identity$Element)` ` ` x"."1%=%1"."x%=%x% % % x"+"0%=%0"+"x%=%x

4. Phần$tử$bù$(Complement$Element)` ` x"+"x’"="1% % % % % x"."x’"="0

3 GV:$Trương$Công$Dung$Nghi

Các$định$lý$cơ$bản$(Basic$Theorems)

4

GV soạn: Nguyễn Trọng Luật ĐH Bách Khoa TP.HCM

GV dạy: Lê Chí Thông 2

3

2. Caùc ñònh lyù cô baûn (Basic Theorems):

b. Ñònh lyù 2: x + x = x x . x = x

c. Ñònh lyù 3: x + 1 = 1 x . 0 = 0

d. Ñònh lyù 4: ñònh lyù haáp thu (Absorption)

x + x . y = x x . (x + y) = x

e. Ñònh lyù 5: ñònh lyù keát hôïp (Associative)

x + (y + z) = (x + y) + z x . (y . z) = (x . y) . z

a. Ñònh lyù 1: x = x

f. Ñònh lyù 6: ñònh lyù De Morgan

x + y = x . y x . y = x + y

Môû roäng: x1 + x2 + .. + xn = x1 . x2 .. xn

x1 . x2 .. xn = x1 + x2 + .. + xn

4

II. Haøm Boole (Boolean Function):

1. Ñònh nghóa:

* Haøm Boole laø 1 bieåu thöùc ñöôïc taïo bôûi caùc bieán nhò

phaân vaø caùc pheùp toaùn nhò phaân NOT, AND, OR.

* Vôùi giaù trò cho tröôùc cuûa caùc bieán, haøm Boole seõ coù giaù

trò laø 0 hoaëc 1.

* Baûng giaù trò:

F (x, y, z) = x . y + x . y . z

x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

01000011


Hàm$Boole$(Boolean$Function)• Hàm$Boole$là$1$biểu$thức$được$tạo$bởi$các$biến$nhị$phân$và$

các$phép$toán$nhị$phân$NOT,$AND,$OR,$dấu$ngoặc$().

• Với$giá$trị$cho$trước$của$các$biến,$hàm$Boole$sẽ$có$giá$trị$là$0$hoặc$1.

• Ví$dụ$:$

5

February 10, 2012 22

Boolean Functions�!  A Boolean function

"  Binary variables "  Binary operators OR and AND "  Unary operator NOT "  Parentheses

!  Examples "  F1= x y z' "  F2 = x + y'z "  F3 = x' y' z + x' y z + x y' "  F4 = x y' + x' z


Hàm$Boole$(Boolean$Function)• Ví$dụ$:$

6










Boolean Functions�!  The truth table of 2n entries

!  Two Boolean expressions may specify the same function

"  F3 = F4�

x� y� z� F1� F2� F3� F4�0� 0� 0� 0� 0� 0� 0�

0� 0� 1� 0� 1� 1� 1�

0� 1� 0� 0� 0� 0� 0�

0� 1� 1� 0� 0� 1� 1�

1� 0� 0� 0� 1� 1� 1�

1� 0� 1� 0� 1� 1� 1�

1� 1� 0� 1� 1� 0� 0�

1� 1� 1� 0� 1� 0� 0�


Bù$của$một$hàm• Cách$1$:$Sử$dụng$định$lý$Morgan.

Ví$dụ$:$

• Cách$2$:$lấy$biểu$thức$đối$ngẫu$và$lấy$bù$các$biến.Tính%đối%ngẫu%(Duality)$:$hai$biểu$thức$được$gọi$là$đối$ngẫu$của$nhau$khi$ta$thay$phép$toán$AND$bằng$OR,$OR$bằng$AND,$0$thành$1$và$1$thành$0.Ví$dụ$:Lấy$đối$ngẫu$:Bù$các$biến$:$$$

7

F = x.y + x.y.z

F =x.y + x.y.z = x.y( ). x .y.z( )F = x + y( ). x + y + z( )

F = x.y + x.y.zx + y( ). x + y + z( )

F = x + y( ). x + y + z( )GV:$Trương$Công$Dung$Nghi

Dạng$chính$tắc$của$hàm$Boole• Tích"chuẩn"(minterm)$:$là$tích$số$của$đầy$đủ$các$biến,$ở$dạng$bù$

hay$không$bù.$Nếu$giá$trị$của$biến$là$0$thì$biến$ở$dạng$bù,$ngược$lại$nếu$giá$trị$của$biến$là$1$thì$biến$ở$dạng$không"bù.

• Tổng"chuẩn"(Maxterm)$:$là$tổng$số$của$đầy$đủ$các$biến,$ở$dạng$bù$hay$không$bù.$Nếu$giá$trị$của$biến$là$1$thì$biến$ở$dạng$bù,$ngược$lại$nếu$giá$trị$của$biến$là$0$thì$biến$ở$dạng$không"bù.

8



5

2. Buø cuûa 1 haøm:

- Söû duïng ñònh lyù De Morgan:

- Laáy bieåu thöùc ñoái ngaãu vaø laáy buø caùc bieán:* Tính ñoái ngaãu (Duality): Hai bieåu thöùc ñöôïc goïi laø ñoái

ngaãu cuûa nhau khi ta thay pheùp toaùn AND baèng OR, pheùp toaùn OR baèng AND, 0 thaønh 1 vaø 1 thaønh 0.

Buø caùc bieán:

F = x . y + x . y . zF = x . y + x . y . z

= ( x . y ) . ( x . y . z )F = ( x + y ) . ( x + y + z )

F = x . y + x . y . zLaáy ñoái ngaãu: ( x + y ) . ( x + y + z )

F = ( x + y ) . ( x + y + z )

6

III. Daïng chính taéc vaø daïng chuaån cuûa haøm Boole:1. Caùc tích chuaån (minterm) vaø toång chuaån (Maxterm):

- Tích chuaån (minterm): mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø caùc soá haïng tích (AND) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 0 vaø khoâng buø neáu laø 1.

- Toång chuaån (Maxterm): Mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø caùc soá haïng toång (OR) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 1 vaø khoâng buø neáu laø 0.

x y z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

minterm MaxtermM0 = x + y + zm0 = x y z

m1 = x y z m2 = x y z m3 = x y z m4 = x y z m5 = x y z m6 = x y z m7 = x y z

M1 = x + y + z

M7 = x + y + z

M2 = x + y + zM3 = x + y + zM4 = x + y + zM5 = x + y + zM6 = x + y + z

mi = Mi



5

2. Buø cuûa 1 haøm:

- Söû duïng ñònh lyù De Morgan:

- Laáy bieåu thöùc ñoái ngaãu vaø laáy buø caùc bieán:* Tính ñoái ngaãu (Duality): Hai bieåu thöùc ñöôïc goïi laø ñoái

ngaãu cuûa nhau khi ta thay pheùp toaùn AND baèng OR, pheùp toaùn OR baèng AND, 0 thaønh 1 vaø 1 thaønh 0.

Buø caùc bieán:

F = x . y + x . y . zF = x . y + x . y . z

= ( x . y ) . ( x . y . z )F = ( x + y ) . ( x + y + z )

F = x . y + x . y . zLaáy ñoái ngaãu: ( x + y ) . ( x + y + z )

F = ( x + y ) . ( x + y + z )

6

III. Daïng chính taéc vaø daïng chuaån cuûa haøm Boole:1. Caùc tích chuaån (minterm) vaø toång chuaån (Maxterm):

- Tích chuaån (minterm): mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø caùc soá haïng tích (AND) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 0 vaø khoâng buø neáu laø 1.

- Toång chuaån (Maxterm): Mi (0 ≤ i ≤ 2n-1) laø caùc soá haïng toång (OR) cuûa n bieán maø haøm Boole phuï thuoäc vôùi quy öôùc bieán ñoù coù buø neáu noù laø 1 vaø khoâng buø neáu laø 0.

x y z0 0 00 0 10 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1

minterm MaxtermM0 = x + y + zm0 = x y z

m1 = x y z m2 = x y z m3 = x y z m4 = x y z m5 = x y z m6 = x y z m7 = x y z

M1 = x + y + z

M7 = x + y + z

M2 = x + y + zM3 = x + y + zM4 = x + y + zM5 = x + y + zM6 = x + y + z

mi = Mi


Dạng$chính$tắc$của$hàm$Boole• Dạng$chính$tắc$1$:$là$dạng$tổng$của$các$tích$chuẩn$mà$ở$đó$

hàm$có$giá$trị$bằng$1.

`Tổng$quát$:

`với$`mi �`minterm$thứ$i.`` Fi` �`giá$trị$của$hàm$F$tương$ứng$với$minterm$thứ$i.

• Dạng$chính$tắc$2$:$là$dạng$tích$của$các$tổng$chuẩn$mà$ở$đó$hàm$có$giá$trị$bằng$0.

`Tổng$quát$:

`với`Mi �`maxterm$thứ$i.`` Fi` �`giá$trị$của$hàm$F$tương$ứng$với$maxterm$thứ$i.$

9

F = mi .Fii=0

2n−1

∑

F = Mi + Fi( )i=0

2n−1

∏


Dạng$chính$tắc$của$hàm$Boole• Ví$dụ$:$

10



7

2. Daïng chính taéc (Canonical Form):a. Daïng chính taéc 1:

laø daïng toång cuûa caùc tích chuaån (minterm) laøm cho haøm Boole coù giaù trò 1

x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

1

1

0

0

1

1

1

F(x, y, z) = + x y z

= m1 + m2 + m5 + m6 + m7

= ΣΣΣΣ m(1, 2, 5, 6, 7)

b. Daïng chính taéc 2:laø daïng tích cuûa caùc toång chuaån (Maxterm) laøm cho haøm Boole coù giaù trò 0

F(x, y, z) = (x + y + z)= M0 . M3 . M4

= ΠΠΠΠ M(0, 3, 4)

= ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6, 7)

= ΠΠΠΠ (0, 3, 4)

x y z + x y z + x y z + x y z

(x + y + z) (x + y + z)

8

* Tröôøng hôïp haøm Boole tuøy ñònh (don’t care):

Haøm Boole n bieán coù theå khoâng ñöôïc ñònh nghóa heáttaát caû 2n toå hôïp cuûa n bieán phuï thuoäc. Khi ñoù taïi caùctoå hôïp khoâng söû duïng naøy, haøm Boole seõ nhaän giaù tròtuøy ñònh (don’t care), nghóa laø haøm Boole coù theå nhaängiaù tri 0 hoaëc 1.

x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

X

1

1

0

0

1

1

X

F (x, y, z) = ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6) + d (0, 7)

= ΠΠΠΠ (3, 4) . D (0, 7)



7



x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

1

1

0

0

1

1

1

F(x, y, z) = + x y z

= m1 + m2 + m5 + m6 + m7

= ΣΣΣΣ m(1, 2, 5, 6, 7)


F(x, y, z) = (x + y + z)= M0 . M3 . M4

= ΠΠΠΠ M(0, 3, 4)

= ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6, 7)

= ΠΠΠΠ (0, 3, 4)


(x + y + z) (x + y + z)

8



x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

X

1

1

0

0

1

1

X

F (x, y, z) = ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6) + d (0, 7)

= ΠΠΠΠ (3, 4) . D (0, 7)

Dạng$chính$tắc$1

Dạng$chính$tắc$2



7



x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

1

1

0

0

1

1

1

F(x, y, z) = + x y z

= m1 + m2 + m5 + m6 + m7

= ΣΣΣΣ m(1, 2, 5, 6, 7)


F(x, y, z) = (x + y + z)= M0 . M3 . M4

= ΠΠΠΠ M(0, 3, 4)

= ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6, 7)

= ΠΠΠΠ (0, 3, 4)


(x + y + z) (x + y + z)

8



x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

X

1

1

0

0

1

1

X

F (x, y, z) = ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6) + d (0, 7)

= ΠΠΠΠ (3, 4) . D (0, 7)


Dạng$chính$tắc$của$hàm$Boole• Trường$hợp$hàm$Boole$tùy$định$(don’t$care)$:

Hàm$Boole$n$biến$có$thể$không$được$định$nghĩa$hết$tất$cả$2n$tổ$hợp$của$n$biến$phụ$thuộc.$Khi$đó$tại$các$tổ$hợp$không$sử$dụng$này,$hàm$Boole$nhận$giá$trị$tùy$định$(0$hoặc$1).

11



7



x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

0

1

1

0

0

1

1

1

F(x, y, z) = + x y z

= m1 + m2 + m5 + m6 + m7

= ΣΣΣΣ m(1, 2, 5, 6, 7)


F(x, y, z) = (x + y + z)= M0 . M3 . M4

= ΠΠΠΠ M(0, 3, 4)

= ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6, 7)

= ΠΠΠΠ (0, 3, 4)


(x + y + z) (x + y + z)

8



x y z F0 0 0

0 0 1

0 1 0

0 1 1

1 0 0

1 0 1

1 1 0

1 1 1

X

1

1

0

0

1

1

X

F (x, y, z) = ΣΣΣΣ (1, 2, 5, 6) + d (0, 7)

= ΠΠΠΠ (3, 4) . D (0, 7)


Dạng$chuẩn$(Standard$form)$• Dạng$chuẩn$1$:$là$dạng$tổng$của$các$tích$(Standard$SOP$�$

Standard$Sum�Of�Products).Ví$dụ$:$F(x,$y,$z)$=$xy$+$zTa$có$thể$chuyển$dạng$chuẩn$1$về$dạng$chính$tắc$1$bằng$cách$thêm$vào$các$cặp$không$phụ$thuộc$dạng$$$$$$$$$$$$$$hoặc$dạng$chính$tắc$2$bằng$cách$thêm$

12

x + x( )x.x



9

3. Daïng chuaån (Standard Form):a. Daïng chuaån 1:

laø daïng toång caùc tích (S.O.P – Sum of Product)

F (x, y, z) = x y + z* F (x, y, z) = x y + z

= m6 + m7 + m1 + m5 + m3

= ΣΣΣΣ (1, 3, 5, 6, 7)

* F (x, y, z) = x y + z= (x + z) (y + z)

= M2 . M0 . M4

= ΠΠΠΠ (0, 2, 4)

= x y (z + z) + (x + x) (y + y) z= x y z + x y z + x y z + x y z + x y z + x y z

= (x + y y + z) (x x + y + z)= (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z) (x + y + z)

10

= (x + y + z) (x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)(x + y + z)

= x y z + x y z + x y z + x y z

b. Daïng chuaån 2:laø daïng tích caùc toång (P.O.S – Product of Sum)

= m4 + m5 + m0

= ΣΣΣΣ (0, 4, 5)

= M3 . M1 . M7 . M6 . M2

= ΠΠΠΠ (1, 2, 3, 6, 7)

F (x, y, z) = (x + z) y

* F (x, y, z) = (x + z) y = x y + y z= x y (z + z) + (x + x) y z

* F (x, y, z) = (x + z) y= (x + y y + z) (x x + y + z z)



9



F (x, y, z) = x y + z* F (x, y, z) = x y + z

= m6 + m7 + m1 + m5 + m3

= ΣΣΣΣ (1, 3, 5, 6, 7)

* F (x, y, z) = x y + z= (x + z) (y + z)

= M2 . M0 . M4

= ΠΠΠΠ (0, 2, 4)



10


= x y z + x y z + x y z + x y z


= m4 + m5 + m0

= ΣΣΣΣ (0, 4, 5)

= M3 . M1 . M7 . M6 . M2

= ΠΠΠΠ (1, 2, 3, 6, 7)

F (x, y, z) = (x + z) y




Dạng$chuẩn$(Standard$form)$• Dạng$chuẩn$2$:$là$dạng$tích$của$các$tổng$(Standard$POS$�$

Standard$Products�Of�Sum).Ví$dụ$:

13

F x, y, z( ) = x + z( )y



9



F (x, y, z) = x y + z* F (x, y, z) = x y + z

= m6 + m7 + m1 + m5 + m3

= ΣΣΣΣ (1, 3, 5, 6, 7)

* F (x, y, z) = x y + z= (x + z) (y + z)

= M2 . M0 . M4

= ΠΠΠΠ (0, 2, 4)



10


= x y z + x y z + x y z + x y z


= m4 + m5 + m0

= ΣΣΣΣ (0, 4, 5)

= M3 . M1 . M7 . M6 . M2

= ΠΠΠΠ (1, 2, 3, 6, 7)

F (x, y, z) = (x + z) y





9



F (x, y, z) = x y + z* F (x, y, z) = x y + z

= m6 + m7 + m1 + m5 + m3

= ΣΣΣΣ (1, 3, 5, 6, 7)

* F (x, y, z) = x y + z= (x + z) (y + z)

= M2 . M0 . M4

= ΠΠΠΠ (0, 2, 4)



10


= x y z + x y z + x y z + x y z


= m4 + m5 + m0

= ΣΣΣΣ (0, 4, 5)

= M3 . M1 . M7 . M6 . M2

= ΠΠΠΠ (1, 2, 3, 6, 7)

F (x, y, z) = (x + z) y




Cổng$logic1. Cổng$NOT$:

2. Cổng$AND$:

14



11

x

IV. Coång logic:1. Coång NOT:

xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z

Vôùi coång AND coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1

x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y

Vôùi coång OR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 0

z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y

zVôùi coång NAND coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1



11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y


Với$cổng$AND$có$nhiều$ngõ$vào,$ngõ$ra$sẽ$là$1$nếu$tất$cả$các$ngõ$vào$

đều$là$1.


Cổng$logic3. Cổng$OR$:

4. Cổng$NAND

15



11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y


Với$cổng$OR$có$nhiều$ngõ$vào,$ngõ$ra$sẽ$là$0$nếu$tất$cả$các$ngõ$vào$đều$là$0.



11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y




11

x


xx x t

2. Coång AND:

xy

z = x.yx

y

z


x y z

0 00 11 01 1

0001

12

3. Coång OR:

x y z0 00 11 01 1

0111

xy

z = x+y x

y


z

4. Coång NAND:xy

z = x.y

x y z0 00 11 01 1

1110

x

y

zVôùi coång NAND coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 0 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 1Với$cổng$NAND$có$nhiều$ngõ$vào,$ngõ$ra$sẽ$là$

0$nếu$tất$cả$các$ngõ$vào$đều$là$1.GV:$Trương$Công$Dung$Nghi

Cổng$logic3. Cổng$NOR$:

4. Cổng$XOR$(Exclusive_OR)

16

Với$cổng$NOR$có$nhiều$ngõ$vào,$ngõ$ra$sẽ$là$1$nếu$tất$cả$các$ngõ$vào$đều$là$0.

Với$cổng$XOR$có$nhiều$ngõ$vào,$ngõ$ra$sẽ$là$1$nếu$tổng$số$bits$1$ở$các$ngõ$vào$là$số$lẻ.



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y

Vôùi coång NOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1 neáu taát caû caùc ngoõ vaøo ñeàu laø 0

z

xy

z = x+y

6. Coång XOR (Exclusive_OR):xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y

zVôùi coång XOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø

1 neáu toång soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá leûz = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)

14

7. Coång XNOR (Exclusive_NOR):

x y z0 00 11 01 1

1001

x

y

zVôùi coång XNOR coù nhieàu ngoõ vaøo, ngoõ ra seõ laø 1

neáu toång soá bit 1 ôû caùc ngoõ vaøo laø soá chaün

xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)

z = x⊕ y = xy + xy = x + y( ) x + y( )


Cổng$logic7. Cổng$XNOR$(Exclusive_NOR)$:

17

Với$cổng$XNOR$có$nhiều$ngõ$vào,$ngõ$ra$sẽ$là$1$nếu$tổng$số$bits$1$ở$các$ngõ$vào$

là$số$chẵn.



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)



13

5. Coång NOR:

x y z0 00 11 01 1

1000

x

y


z

xy

z = x+y


z = x⊕⊕⊕⊕y

x y z0 00 11 01 1

0110

x

y



14


x y z0 00 11 01 1

1001

x

y



xy

z = x⊕⊕⊕⊕y

z = x⊕⊕⊕⊕y = x y + x y = (x + y)(x + y)z = x⊕ y = x y + x y = x + y( ) x + y( )


Rút$gọn$hàm$Boole• Đưa$hàm$Boole$về$dạng$biểu$diễn$đơn$giản$nhất$sao$cho$:

‣ Biểu$thức$có$chứa$ít$nhất$các$thừa$số$và$mỗi$thừa$số$có$chứa$ít$nhất$các$biến.

‣ Mạch$logic$thực$hiện$có$chứa$ít$nhất$các$vi$mạch$số.

• Các$phương$pháp$rút$gọn$hàm$Boole$:

‣ Phương$pháp$đại$số$:$dùng$các$định$lý$và$tiên$đề$để$rút$gọn$hàm.

‣ Phương$pháp$bìa$Karnaugh.

18


Rút$gọn$hàm$Boole1. Phương$pháp$đại$số$:

19



15

V. Ruùt goïn haøm Boole:Ruùt goïn (toái thieåu hoùa) haøm Boole nghóa laø ñöa haøm Boole

veà daïng bieåu dieãn ñôn giaûn nhaát, sao cho:- Bieåu thöùc coù chöùa ít nhaát caùc thöøa soá vaø moãi thöøa soá

chöùa ít nhaát caùc bieán.- Maïch logic thöïc hieän coù chöùa ít nhaát caùc vi maïch soá.

1. Phöông phaùp ñaïi soá:Duøng caùc ñònh lyù vaø tieân ñeà ñeå ruùt goïn haøm.F (A, B, C) = ΣΣΣΣ (2, 3, 5, 6, 7)

= ABC + ABC + ABC + ABC + ABC

= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)

= AB + AC + AB

= (A + A)B + AC= B + AC

16

AB

F0 1

0

1

2. Phöông phaùp bìa KARNAUGH:a. Caùch bieåu dieãn:

- Bìa K goàm caùc oâ vuoâng, moãi oâ vuoâng bieåu dieãn cho toå hôïp n bieán. Nhö vaäy bìa K cho n bieán seõ coù 2n oâ.

- Hai oâ ñöôïc goïi laø keà caän nhau khi toå hôïp bieán maø chuùng bieåu dieãn chæ khaùc nhau 1 bieán.

- Trong oâ seõ ghi giaù trò töông öùng cuûa haøm Boole taïi toå hôïp đoù. ÔÛû daïng chính taéc 1 thì ñöa caùc giaù trò 1 vaø X leân caùc oâ, khoâng ñöa caùc giaù trò 0. Ngöôïc laïi, daïng chính taéc 2 thì chæ ñöa giaù trò 0 vaø X.

* Bìa 2 bieán:

0

1

2

3

F (A, B) = ΣΣΣΣ (0, 2) + d(3) = ∏∏∏∏ (1) . D(3)

AB

F0 1

0

1

1 1

X

AB

F0 1

0

1 0 X


Phương$pháp$bìa$Karnaugh• Các$biểu$diễn$hàm$Boole$trên$bìa$Karnaugh$(bìa$K)$:

‣ Bìa$K$gồm$các$ô$vuông,$mỗi$ô$vuông$biểu$diễn$cho$tổ$hợp$n$biến$⇒$bìa$K$cho$n$biến$sẽ$có$2n$ô.

‣ Hai$ô$được$gọi$là$kề$cận$nhau$khi$tổ$hợp$biến$mà$chúng$biểu$diễn$chỉ$khác$nhau$1$biến.

‣ Trong$ô$sẽ$ghi$giá$trị$tương$ứng$của$hàm$Boole$tại$tổ$hợp$đó.✓ Dạng$chính$tắc$1$:$đưa$các$giá$trị$1$và$X$lên$các$ô.✓ Dạng$chính$tắc$2$:$đưa$các$giá$trị$0$và$X.

20


Phương$pháp$bìa$Karnaugh• Bìa$2$biến$:

21

F A,B( ) = 0,2( )∑ + d 3( ) = 1( )∏ .D 3( )



15






= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)

= AB + AC + AB

= (A + A)B + AC= B + AC

16

AB

F0 1

0

1





* Bìa 2 bieán:

0

1

2

3

F (A, B) = ΣΣΣΣ (0, 2) + d(3) = ∏∏∏∏ (1) . D(3)

AB

F0 1

0

1

1 1

X

AB

F0 1

0

1 0 X



15






= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)

= AB + AC + AB

= (A + A)B + AC= B + AC

16

AB

F0 1

0

1





* Bìa 2 bieán:

0

1

2

3

F (A, B) = ΣΣΣΣ (0, 2) + d(3) = ∏∏∏∏ (1) . D(3)

AB

F0 1

0

1

1 1

X

AB

F0 1

0

1 0 X



15






= AB(C + C) + AC(B + B) + AB(C + C)

= AB + AC + AB

= (A + A)B + AC= B + AC

16

AB

F0 1

0

1





* Bìa 2 bieán:

0

1

2

3

F (A, B) = ΣΣΣΣ (0, 2) + d(3) = ∏∏∏∏ (1) . D(3)

AB

F0 1

0

1

1 1

X

AB

F0 1

0

1 0 X



22



17

* Bìa 3 bieán:AB

C

F

0

1

00 01 11 100

1

2

3

6

7

4

5

ABC

F

0

1

00 01 11 10

F (A, B, C) = ΣΣΣΣ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏∏∏∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)

X

X

1

1

1

ABC

F

0

1

00 01 11 10X

X 0

0

0

18

* Bìa 4 bieán: ABCD

F

0000 01 11 10

01

11

10

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30

31

29

28

BCDE

F

0000 01 11 10

01

11

10

10 0011 01A 0 1

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

18

19

17

16

22

23

21

20

26

27

25

24



17

* Bìa 3 bieán:AB

C

F

0

1

00 01 11 100

1

2

3

6

7

4

5

ABC

F

0

1

00 01 11 10

F (A, B, C) = ΣΣΣΣ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏∏∏∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)

X

X

1

1

1

ABC

F

0

1

00 01 11 10X

X 0

0

0

18


F

0000 01 11 10

01

11

10

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30

31

29

28

BCDE

F

0000 01 11 10

01

11

10

10 0011 01A 0 1

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

18

19

17

16

22

23

21

20

26

27

25

24



17

* Bìa 3 bieán:AB

C

F

0

1

00 01 11 100

1

2

3

6

7

4

5

ABC

F

0

1

00 01 11 10

F (A, B, C) = ΣΣΣΣ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏∏∏∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)

X

X

1

1

1

ABC

F

0

1

00 01 11 10X

X 0

0

0

18


F

0000 01 11 10

01

11

10

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30

31

29

28

BCDE

F

0000 01 11 10

01

11

10

10 0011 01A 0 1

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

18

19

17

16

22

23

21

20

26

27

25

24



• Bìa$5$biến$:

23



17

* Bìa 3 bieán:AB

C

F

0

1

00 01 11 100

1

2

3

6

7

4

5

ABC

F

0

1

00 01 11 10

F (A, B, C) = ΣΣΣΣ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏∏∏∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)

X

X

1

1

1

ABC

F

0

1

00 01 11 10X

X 0

0

0

18


F

0000 01 11 10

01

11

10

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30

31

29

28

BCDE

F

0000 01 11 10

01

11

10

10 0011 01A 0 1

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

18

19

17

16

22

23

21

20

26

27

25

24



17

* Bìa 3 bieán:AB

C

F

0

1

00 01 11 100

1

2

3

6

7

4

5

ABC

F

0

1

00 01 11 10

F (A, B, C) = ΣΣΣΣ (2, 4, 7) + d(0, 1) = ∏∏∏∏ (3, 5, 6) . D(0, 1)

X

X

1

1

1

ABC

F

0

1

00 01 11 10X

X 0

0

0

18


F

0000 01 11 10

01

11

10

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

* Bìa 5 bieán:

30

31

29

28

BCDE

F

0000 01 11 10

01

11

10

10 0011 01A 0 1

0

1

4

5

8

9

3

2

7

6 1014

15

13

12

11

18

19

17

16

22

23

21

20

26

27

25

24


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Định$nghĩa$ô$kế$cận$:

‣ Hai$ô$được$gọi$là$kế$cận$nhau$nếu$chúng$nằm$kế$nhau$hoặc$đối$xứng$nhau$qua$trục.

‣ Bốn$ô$được$gọi$là$kế$cận$nhau$nếu$chúng$gồm$2$nhóm$hai$ô$kế$cận$và$mỗi$ô$của$nhóm$này$là$kế$cận$với$một$ô$của$nhóm$kia.

‣ Tương$tự$cho$2n$ô$kế$cận.

‣ Các$ô$kế$cận$được$gom$thành$1$nhóm$nếu$chúng$có$cùng$giá$trị$0$hay$1.

24


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Ví$dụ$:

25



21

- Lieân keát 8: lieân keát 8 oâ keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 3 bieán (3 bieán khaùc nhau giöõa 8 oâ)

ABCD

F00 01 11 10

00

01

11

10

1 1 1

1 1 1

1

1

D

ABCD

F00 01 11 10

00

01

11

10

0

0

0

0

0

0 0

0

B

- Lieân keát 2k: khi ta lieân keát 2k OÂ_1 hoaëc 2k OÂ_0 keà caän vôùi nhau ta seõ loaïi ñi ñöôïc k bieán (k bieán khaùc nhau giöõa 2k

oâ)

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 0

0

Các ví dụ về 2 ô kế cận

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 0

0

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 1 1


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Gom$các$ô$kế$cận$:

‣ Khi$gom$các$ô$kế$cận$có$cùng$giá$trị$1,$ta$được$một$tích$các$biến$có$giá$trị$giống$nhau$:$0$tương$ứng$với$bù,$1$tương$ứng$với$không$bù,$còn$các$biến$có$giá$tị$khác$nhau$được$lược$bỏ$đi.

‣ Khi$gom$các$ô$kế$cận$có$cùng$giá$trị$0,$ta$được$một$tổng$các$biến$có$giá$trị$giống$nhau$:$0$tương$ứng$với$không$bù,$1$tương$ứng$với$bù,$còn$các$biến$có$giá$tị$khác$nhau$được$lược$bỏ$đi.

26



19

b. Ruùt goïn bìa Karnaugh:

- Lieân keát ñoâi: Khi lieân keát (OR) hai oâ coù giaù trò 1 (OÂ_1) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng tích maát ñi 1 bieán so vôùi tích chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ). Hoaëc khi lieân keát (AND) hai oâ coù giaù trò 0 (OÂ_0) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng toång maát ñi 1 bieán so vôùi toång chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ).

* Nguyeân taéc:

ABC

F

0

1

00 01 11 101 1

B C

ABC

F

0

1

00 01 11 100

0

A +B

20

- Lieân keát 4: Töông töï nhö lieân keát ñoâi khi lieân keát 4 OÂ_1 hoaëc 4 OÂ_ 0 keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 2 bieán (2 bieán khaùc nhau giöõa 4 oâ)

ABC

F

0

1

00 01 11 101

1

1

1

B

ABC

F

0

1

00 01 11 10

0 0 0 0

C


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Gom$các$ô$kế$cận$:

‣ Gom$2$ô$kế$cận$⇒$loại$bỏ$được$1$biến.

‣ Gom$4$ô$kế$cận$⇒$loại$bỏ$được$2$biến.

‣ Tổng$quát$:$gom$2n$ô$kế$cận$⇒$loại$bỏ$được$n$biến.

27



19

b. Ruùt goïn bìa Karnaugh:

- Lieân keát ñoâi: Khi lieân keát (OR) hai oâ coù giaù trò 1 (OÂ_1) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng tích maát ñi 1 bieán so vôùi tích chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ). Hoaëc khi lieân keát (AND) hai oâ coù giaù trò 0 (OÂ_0) keà caän vôùi nhau treân bìa K, ta seõ ñöôïc 1 soá haïng toång maát ñi 1 bieán so vôùi toång chuaån (bieán maát ñi laø bieán khaùc nhau giöõa 2 oâ).

* Nguyeân taéc:

ABC

F

0

1

00 01 11 101 1

B C

ABC

F

0

1

00 01 11 100

0

A +B

20

- Lieân keát 4: Töông töï nhö lieân keát ñoâi khi lieân keát 4 OÂ_1 hoaëc 4 OÂ_ 0 keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 2 bieán (2 bieán khaùc nhau giöõa 4 oâ)

ABC

F

0

1

00 01 11 101

1

1

1

B

ABC

F

0

1

00 01 11 10

0 0 0 0

C



21

- Lieân keát 8: lieân keát 8 oâ keà caän vôùi nhau, ta seõ loaïi ñi ñöôïc 3 bieán (3 bieán khaùc nhau giöõa 8 oâ)

ABCD

F00 01 11 10

00

01

11

10

1 1 1

1 1 1

1

1

D

ABCD

F00 01 11 10

00

01

11

10

00

00

0

0 0

0

B

- Lieân keát 2k: khi ta lieân keát 2k OÂ_1 hoaëc 2k OÂ_0 keà caän vôùi nhau ta seõ loaïi ñi ñöôïc k bieán (k bieán khaùc nhau giöõa 2k

oâ)

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 0

0


00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 0

0

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10 1 1


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh

28



00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

DC

DA

DA

DB


00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

DC +

DA +

DA +

DB +



Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh

29



00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

0 0 0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0

0

0

0

DC +

CA +

DB +

CB +


00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

1

1

1

DC

CA

DB

CB



Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• \

30



00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

C

DD

A


28

* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng S.O.P:

- Bieåu dieãn caùc OÂ_1 leân bìa Karnaugh

- Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_1 ñöôïc lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng tích. (Neáu OÂ_1 khoâng coù keà caän vôùi caùc OÂ_1 khaùc thì ta coù lieân keát 1: soá haïng tích chính baèng minterm cuûa oâ ñoù). - Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy toång (OR) cuûa caùc soá hạng tích lieân keát treân.

F(A, B, C) = ΣΣΣΣ (0, 1, 3, 5, 6)

ABC

F

0

1

00 01 11 10

1

1 1

1

1

A C

A BB C

A B C

= A B + A C + B C + A B C


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Các$bước$thực$hiện$rút$gọn$theo$dạng$S.O.P$:

‣ Biểu$diễn$các$ô$1$lên$bìa$K.

‣ Thực$hiện$các$liên$kết$sao$cho$các$ô$1$được$liên$kết$ít$nhất$1$lần$⇒$mỗi$liên$kết$cho$1$số$hạng$tích.

‣ Biểu$thức$rút$gọn$bằng$tổng$của$các$số$hạng$tích$liên$kết$trên.

31



00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1 1 1 1

0 0

0 0

1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1

0 0

0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

C

DD

A


28

* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng S.O.P:


- Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_1 ñöôïc lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng tích. (Neáu OÂ_1 khoâng coù keà caän vôùi caùc OÂ_1 khaùc thì ta coù lieân keát 1: soá haïng tích chính baèng minterm cuûa oâ ñoù). - Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy toång (OR) cuûa caùc soá hạng tích lieân keát treân.

F(A, B, C) = ΣΣΣΣ (0, 1, 3, 5, 6)

ABC

F

0

1

00 01 11 10

1

1 1

1

1

A C

A BB C

A B C

= A B + A C + B C + A B C


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Các$bước$thực$hiện$rút$gọn$theo$dạng$P.O.S$:

‣ Biểu$diễn$các$ô$0$lên$bìa$K.

‣ Thực$hiện$các$liên$kết$sao$cho$các$ô$0$được$liên$kết$ít$nhất$1$lần$⇒$mỗi$liên$kết$cho$1$số$hạng$tổng.

‣ Biểu$thức$rút$gọn$bằng$tích$của$các$số$hạng$tổng$liên$kết$trên.

32



29

* Caùc böôùc thöïc hieän ruùt goïn theo daïng P.O.S:


- Thöïc hieän caùc lieân keát coù theå coù sao cho caùc OÂ_0 ñöôïc

lieân keát ít nhaát 1 laàn; moãi lieân keát cho ta 1 soá haïng tổng.

- Bieåu thöùc ruùt goïn coù ñöôïc baèng caùch laáy tích (AND) cuûa

caùc soá hạng tổng lieân keát treân.

F(A, B, C, D) = ΠΠΠΠ (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

AB

CD

F

00 01 11 10

00

01

11

10

(C + D) (A + C)

(A + B + D)

00

0 0 00

0

= (C + D) (A + C) (A + B + D)

Rut gon ham sau

00 01 11 10F ABCD

00

01

11

10

1

11

1

1

1

1

=),,,( DCBAF BA + CB+DCBA



29







F(A, B, C, D) = ΠΠΠΠ (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

AB

CD

F

00 01 11 10

00

01

11

10

(C + D) (A + C)

(A + B + D)

00

0 0 00

0

= (C + D) (A + C) (A + B + D)

Rut gon ham sau

00 01 11 10F ABCD

00

01

11

10

1

11

1

1

1

1




29







F(A, B, C, D) = ΠΠΠΠ (0, 4, 8, 9, 12, 13, 15)

AB

CD

F

00 01 11 10

00

01

11

10

(C + D) (A + C)

(A + B + D)

00

0 0 00

0

= (C + D) (A + C) (A + B + D)

Rut gon ham sau

00 01 11 10F ABCD

00

01

11

10

1

11

1

1

1

1



Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Trường$hợp$rút$gọn$hàm$Boole$có$tùy$định$:$có$thể$coi$các$ô$

tùy$định$này$là$ô$1$hoặc$ô$0$sao$cho$có$được$liên$kết$nhiều$ô$kế$cận$nhất.

33



Rut gon ham sau

∑= )15,14,7,6,5,4,1,0()D,C,B,A(F

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

=)D,C,B,A(F CA + CB

32

* Tröôøng hôïp ruùt goïn haøm Boole coù tuøy ñònh: thì ta coù theå coi caùc OÂ tuøy ñònh naøy laø OÂ_1 hoaëc OÂ_0 sao cho coù lôïi khi lieân keát (nghóa laø coù ñöôïc lieân keát nhieàu OÂ keà caän nhaát)

F(A, B, C, D) = ΣΣΣΣ (0, 4, 8, 10) + d (2, 12, 15)

1 1 1

X 1

X

X

ABCD

F00 01 11 10

00

01

11

10

C D

B D

= B D + C D



Rut gon ham sau

∑= )15,14,7,6,5,4,1,0()D,C,B,A(F

00 01 11 10F

ABCD

00

01

11

10

1

1

1

1

1

1

1

1

=)D,C,B,A(F CA + CB

32

* Tröôøng hôïp ruùt goïn haøm Boole coù tuøy ñònh: thì ta coù theå coi caùc OÂ tuøy ñònh naøy laø OÂ_1 hoaëc OÂ_0 sao cho coù lôïi khi lieân keát (nghóa laø coù ñöôïc lieân keát nhieàu OÂ keà caän nhaát)

F(A, B, C, D) = ΣΣΣΣ (0, 4, 8, 10) + d (2, 12, 15)

1 1 1

X 1

X

X

ABCD

F00 01 11 10

00

01

11

10

C D

B D

= B D + C D


Rút$gọn$bằng$bìa$Karnaugh• Một$số$chú$ý$:

‣ Ưu$tiên$cho$các$liên$kết$có$nhiều$ô$nhất.

‣ Khi$liên$kết$phải$đảm$bảo$có$chứa$ít$nhất$1$ô$chưa$được$liên$kết$lần$nào.

‣ Có$thể$có$nhiều$cách$liên$kết$có$kết$quả$tương$đương$nhau.

‣ Các$ô$tùy$định$có$thể$coi$như$là$những$ô$đã$liên$kết$rồi.

34


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$cổng$AND_OR$:$là$sơ$đồ$logic$thực$hiện$cho$hàm$

Boole$biểu$diễn$theo$dạng$tổng$các$tích$(S.O.P)

35



35

VI. Thöïc hieän haøm Boole baèng coång logic:1. Caáu truùc coång AND _ OR:

Caáu truùc AND_OR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng toång caùc tích (S.O.P)

F(A, B, C, D) = A B D + C D

F(A, B, C, D)

A

B

C

D

AND 0R

36

2. Caáu truùc coång OR _ AND :

Caáu truùc OR_AND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng tích caùc toång (P.O.S).

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

OR AND

F(A, B, C, D)

A

B

C

D


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$cổng$OR_AND$:$là$sơ$đồ$logic$thực$hiện$cho$hàm$

Boole$biểu$diễn$theo$dạng$tích$các$tổng$(P.O.S).

36



35

VI. Thöïc hieän haøm Boole baèng coång logic:

1. Caáu truùc coång AND _ OR:


F(A, B, C, D) = A B D + C D

F(A, B, C, D)

A

B

C

D

AND 0R

36



F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

OR AND

F(A, B, C, D)

A

B

C

D



35

VI. Thöïc hieän haøm Boole baèng coång logic:

1. Caáu truùc coång AND _ OR:


F(A, B, C, D) = A B D + C D

F(A, B, C, D)

A

B

C

D

AND 0R

36



F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

OR AND

F(A, B, C, D)

A

B

C

D


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$cổng$AND_OR_INVERTER$(AOI)$:$là$sơ$đồ$logic$

thực$hiện$cho$hàm$Boole$biểu$diễn$theo$dạng$bù$(Inverter$=$NOT)$của$tổng$các$tích.

37



37

3. Caáu truùc coång AND _ OR _ INVERTER (AOI):

Caáu truùc AOI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø (INVERTER = NOT) cuûa toång caùc tích.

F(A, B, C, D) = A D + B C

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

AND NOR

38

4. Caáu truùc coång OR _ AND _ INVERTER (OAI):

Caáu truùc OAI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø cuûa tích caùc toång.

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

OR NAND

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C)


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$cổng$OR_AND_INVERTER$(OAI)$:$là$sơ$đồ$logic$

thực$hiện$cho$hàm$Boole$biểu$diễn$theo$dạng$bù$của$tích$các$tổng.

38



37

3. Caáu truùc coång AND _ OR _ INVERTER (AOI):

Caáu truùc AOI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø (INVERTER = NOT) cuûa toång caùc tích.

F(A, B, C, D) = A D + B C

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

AND NOR

38

4. Caáu truùc coång OR _ AND _ INVERTER (OAI):

Caáu truùc OAI laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole bieåu dieãn theo daïng buø cuûa tích caùc toång.

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

OR NAND

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C)


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$toàn$cổng$NAND$:$là$sơ$đồ$logic$thực$hiện$cho$hàm$

Boole$có$biểu$thức$là$dạng$bù$của$1$số$hạng$tích.

‣ Dùng$định$lý$DeÅMorgan$để$biến$đổi$số$hạng$tổng$thành$tích.

‣ Cổng$NOT$cũng$được$thay$thế$bằng$cổng$NAND.

39



39

5. Caáu truùc toaøn coång NAND:Caáu truùc NAND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù

bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng tích. - Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng toång thaønh tích. - Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NAND

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= A B D . C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

NANDNAND

40

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

= A D . B C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$toàn$cổng$NAND$:

40



39

5. Caáu truùc toaøn coång NAND:Caáu truùc NAND laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù

bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng tích. - Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng toång thaønh tích. - Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NAND

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= A B D . C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

NANDNAND

40

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

= A D . B C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$toàn$cổng$NAND$:

Chú$ý$:$trong$thực$tế$người$ta$chỉ$sử$dụng$1$loại$cổng$NAND$2$ngõ$vào.$Khi$đó$ta$phải$biến$đổi$biểu$thức$sao$cho$chỉ$có$dạng$bù$trên$1$số$hạng$tích$chỉ$có$2$biến.

41



41

- Trong thöïc teá ngöôøi ta chæ söû duïng 1 loaïi coång NAND 2 ngoõ vaøo; khi ñoù ta phaûi bieán ñoåi bieåu thöùc sao cho chæ coù daïng buø treân 1 soá haïng tích chæ coù 2 bieán

F (A, B, C, D) = A B D . C D

= A B D . C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

42

6. Caáu truùc toaøn coång NOR:Caáu truùc NOR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù

bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng toång.

- Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng tích thaønh toång

- Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NOR

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

= (A + D) + (B + C+ D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

NOR NOR


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$toàn$cổng$NOR$:$là$sơ$đồ$logic$thực$hiện$cho$hàm$Boole$

có$biểu$thức$là$dạng$bù$của$1$số$hạng$tổng.

‣ Dùng$định$lý$DeÅMorgan$để$biến$đổi$số$hạng$tích$thành$tổng.

‣ Cổng$NOT$cũng$được$thay$thế$bằng$cổng$NOR.

42



41

- Trong thöïc teá ngöôøi ta chæ söû duïng 1 loaïi coång NAND 2 ngoõ vaøo; khi ñoù ta phaûi bieán ñoåi bieåu thöùc sao cho chæ coù daïng buø treân 1 soá haïng tích chæ coù 2 bieán

F (A, B, C, D) = A B D . C D

= A B D . C D

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

42

6. Caáu truùc toaøn coång NOR:Caáu truùc NOR laø sô ñoà logic thöïc hieän cho haøm Boole coù

bieåu thöùc laø daïng buø cuûa 1 soá haïng toång.

- Duøng ñònh lyù De-Morgan ñeå bieán ñoåi soá haïng tích thaønh toång

- Coång NOT cuõng ñöôïc thay theá baèng coång NOR

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C+ D)

= (A + D) + (B + C+ D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

NOR NOR


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$toàn$cổng$NOR$:

43



43

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= (A + B + D) + (C + D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

44

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D)

= (A + D) + (B + C) + (C + D)

= (A + D) + (B + C) + (C + D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)


Thực$hiện$hàm$Boole$bằng$cổng$logic• Cấu$trúc$toàn$cổng$NOR$:

44



43

F(A, B, C, D) = A B D + C D

= (A + B + D) + (C + D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)

44

F(A, B, C, D) = (A + D) (B + C) (C + D)

= (A + D) + (B + C) + (C + D)

= (A + D) + (B + C) + (C + D)

A

B

C

D

F(A, B, C, D)


Bài$tập1. Chứng$minh$các$đẳng$thức$sau$bằng$đại$số$:

a) .b) .

2. Dùng$bìa$Karnaugh$rút$gọn$các$hàm$sau$:

45

))()(( DBCADADCBDABA +++=++ !))(( ZYZXZXXYZ ++=++ !

F1(A,B,C,D) = (0,1,2,4,5,8,10,12,14)∑F2(A,B,C) = (0)∏ .d(1,2,3,4,5,6,7)

F3(A,B,C,D) = ABCD +AB+A(C⊕D)+ABC+CD


Bài$tập1. Thiết$kế$mạch$cho$hàm$sau$:

2. Thực$hiện$lại$hàm$F1$chỉ$dùng$toàn$cổng$NAND$2$ngõ$vào.

3. Thiết$kế$mạch$cho$hàm$sau$:

4. Thực$hiện$lại$hàm$F2$chỉ$dùng$toàn$cổng$NOR$2$ngõ$vào.

46

F1(A,B,C,D) = (2,3,4,5,6,7,9,12,13,14,15)∑

F2(A,B,C) = 0,1,2,3,6( )∏

Đại$số$booletcdungnghi/dld_pfiev/kts_c2_l4.pdf · 2020. 8. 6. · boolean functions ! a...

Documents