Şiruri Şi serii de funcŢii. aplicaŢfliacob/an1/id_05-06/siruri...legate de reprezentarea...
TRANSCRIPT
-
CAPITOLUL VI
ŞIRURI ŞI SERII DE FUNCŢII. APLICAŢII
Şirurile şi seriile de funcţii reale sunt o generalizare naturală a
şirurilor şi seriilor de numere reale, care permit o definire riguroasă a unor
funcţii elementare de bază şi au multe aplicaţii.
O clasă importantă de serii de funcţii sunt seriile de puteri (numite
şi serii întregi) ale căror sume parţiale sunt polinoame şi din acest motiv,
posedă proprietăţi bune de calcul; de asemenea sunt folosite pentru a defini
în mod riguros unele funcţii elementare de bază. Altă clasă de serii de
funcţii sunt seriile trigonometrice care au aplicaţii în studiul unor procese
periodice din diverse domenii; în particular seriile Fourier sunt intim
legate de reprezentarea semnalelor periodice cu posibilităţi de adaptare la
tehnicile moderne de calcul.
1. Şiruri de funcţii. Serii de funcţii. Criterii de
convergenţă uniformă.
Fie A ⊂ R o mulţime oarecare, A ≠ ∅ şi vom nota prin:
407
( )
( ) ( ) { }( ) { }( ) { }( ) { }
( )
A A | : A funcţie
A | : A funcţie mărginită pe A
(VI.1) A | : A funcţie continuă pe A
A | : A funcţie mărginită şi continuă pe A
A | : A A = I interval şi derivabilă
f f f
f f f
f f f
f f f
f f f
= →
= →
= →
= →
= →
R R;
R;
R;
R;
R;
notat
F = F ,
M
C
B
D { }pe I Inotat
⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪
=⎪⎩ D
-
Avem: ( ) ( ) ( )A AB C F⊆ ⊆ A şi în raport cu operaţiile algebrice de
adunare: f + g (f, g ∈ F (A)) şi înmulţire cu scalari reali: λf (f∈F (A); λ∈R)
aplicate funcţiilor reale de o variabilă reală; cele trei familii (clase) de
funcţii reale: B (A), C (A), F (A) sunt spaţii R – liniare. Dacă A⊂ R este
mulţime compactă, atunci B (A) = C (A); în particular pentru A = I interval
din R, avem D (A) ≠⊂ C (I).
Pentru ∀f∈ M (A) se defineşte norma supremum sau norma
uniformă a lui f, prin:
( )( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )A
A
sup , AVI.2.
, sup , , A
M
M
def
x
x
f f x f
d f g f x g x f g f g∈
∈
⎧ = ∀ ∈⎪⎨⎪ = − = − ∀ ∈⎩
şi se verifică, prin calcul direct, axiomele de definiţie:
(N1) ( )0, A şi 0 0 peMf f f f≥ ∀ ∈ = ⇔ = A
(N2) ( ), şi AMf f fλ = λ ∀λ∈ ∈R
(N3) ( ), , AMf g f g f g+ ≤ + ∀ ∈
şi respectiv:
(D1) ( )( , ) 0, , A şi ( , ) 0 pe AMd f g f g d f g f g≥ ∀ ∈ = ⇔ ≡
(D2) ( )( , ) ( , ), , AMd f g d g f f g= ∀ ∈
(D3) ( )( , ) ( , ) ( , ), , , AMd f g d f h d h g f g h≤ + ∀ ∈
Definiţia VI.1.
Se numeşte şir de funcţii reale definite pe A⊂ R, orice funcţie:
( ) ( ): A pentru
A , A ,nn
fn n
f n
x f x f n
→ ∀ ∈⎧⎪⎨
∈ ⎯⎯→ ∈ ∈ ∀ ∈⎪⎩
R N
R NF
408
-
unde elementele şirului ( )A ,nf n∈ ∀ ∈NF s-au notat prin:
( ) ( )1 sau sau cu n n nnf f f n≥ ∈N .
Definiţia VI.2.
Fie fn: A → R un şir de funcţii reale şi f : A → R o funcţie reală.
1] Şirul fn converge punctual (simplu) la funcţia f pe A, notat pcAnf f⎯⎯→ dacă ( ) ( )nf x f⎯⎯→R x în fiecare punct x ∈ A.
2] Şirul fn converge uniform la funcţia f pe A, notat ucAnf f⎯⎯→ , dacă:
(VI.3.) ∀ε > 0, există nε ∈N (independent de x) a. î. ∀ n ≥nε ⇒
⇒ | fn (x) – f(x)| < ε, ∀x∈A.
3] Şirul (fn) este şir uniform - Cauchy pe A, dacă:
(VI.4.) ∀ε > 0, există nε ∈N (independent de x) a. î. ∀ n ≥nε şi ∀ p ≥ 1⇒
⇒ | fn+p (x) – fn (x)| < ε, ∀x∈A.
Observaţii:
1) Dacă A0 ⊆ A şi , atunci pcAnf ⎯⎯→ f 0pcAnf f⎯⎯→ respectiv dacă:
, atunci: ucAnf ⎯⎯→ f
409
0
ucAnf f⎯⎯→ .
2) Convergenţa uniformă a
şirului (fn) la f pe A se
poate interpreta geometric
astfel: ∀ε > 0 fixat, trasăm
graficele funcţiilor f, f - ε,
f + ε şi atunci există nε ∈N
a. î. graficul funcţiei fn cu
n ≥ nε este situat între graficul lui f - ε şi f + ε ([36]).
fn f
f+ε
f−ε
(b,0)(a,0)
y
x 0
-
Exemple:
1. ( ) 2sin cu şi
1nxf x x
n= ∈
+R pcnf ⎯⎯→R f cu f(x)= 0, ∀x∈R.
2. ( )2 2
2
1 cu şi 1n
n xf x xn
+= ∈
+R cu f(x)= pcnf ⎯⎯→R f
2x , ∀x∈R.
3. ( )2 1 cu şi
1nxf x xn+
= ∈+
R cu f(x)= 0, ∀x∈R. pcnf ⎯⎯→R f
4. ( ) [ ]2cos cu 0, şi
1nnxf x x
n= ∈ π
+ [ ]pc0,nf fπ⎯⎯⎯→ cu f(x)= 0, ∀x∈[0, π].
Fie fn: A → R, n∈N un şir de funcţii reale şi îi asociem şirul de sume
parţiale:
(VI.5.) Sn: A → R ( ) ( )0
,n
n kk
S x f x x=
= ∈∑ A deci:
Sn(x) = ( ) ( ) ( )0 1 ... ,nf x f x f x x+ + + ∈A.
Definiţia VI.3.
Fie şirul de funcţii reale ( )n nf ∈N definite pe A şi şirul de sume parţiale
asociat prin (VI.5), ( )n nS ∈N .
1] Perechea de şiruri de funcţii reale definite pe A: ( ) ( )( ),n nn nf S∈ ∈N N se numeşte serie de funcţii reale de termen general fn şi cu şirul sumelor
parţiale Sn, notată prin: ( )0 0 0
sau sau sau , An n n nn n n n
f f f f x x∞ ∞
= ≥ ≥
∈∑ ∑ ∑ ∑ .
410
-
2] Seria de funcţii nn
f∑ este simplu convergentă sau punctual
convergentă pe A cu suma S dacă şi notăm Apc
nS ⎯⎯→ Spc
nn
S f=∑ .
3] Seria de funcţii nn
f∑ este uniform convergentă pe A cu suma S dacă
şi notăm Auc
nS ⎯⎯→ Suc
nn
S f=∑ .
4] Seria de funcţii ( )nn
f x∑ este absolut convergentă pe A dacă seria
( )nn
f x∑ este convergentă în ∀x∈A.
Exemple:
1. ( ) ( )1
0
1 1, 0, şi 1 ...3 1
nnn k n
n nk 1
xf x x x S x x x xx x
+
=
⎡ ⎤= ∈ = = + + + = +⎢ ⎥ − −⎣ ⎦∑ cu
( )10,3
11
pcnS S x x⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦⎯⎯⎯→ =
− deci seria de funcţii
0 0
nn
n n
f x≥ ≥
=∑ ∑ este punctual
convergentă pe 10,3
⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
cu suma ( ) 11
S xx
=−
.
2. ( ) ( ) 10 1, nn nf x f x x += = − x cu n ≥ 1 şi x∈[0, 1].
Seria ( ) ( )11 1
1 1 n nnn n
f x x∞ ∞
+
= =
+ = + −∑ ∑ x are ( ) 11 nnS x x x += − + şi:
[ ] ( )[ ) ( 10,1
1
1 ; 0,1 deci 1+
1; 1pc n n
nn
x xS S x x
x
∞+
=
⎧ − ∈⎪⎯⎯⎯→ = −⎨=⎪⎩
∑ )x este punctual
convergentă pe [0, 1] cu suma ( ) [ )1 ; 0,11; 1
x xS x
x⎧ − ∈⎪= ⎨
=⎪⎩.
411
-
3. ( )1
1
n n
nx xf xn n
+
= −+
cu n ≥ 1 şi x ∈[-1, 1] avem ( )1
1
n
nxS x xn
+
= −+
şi
. Seria de funcţii [ ] ( )-1,1pc
nS S x⎯⎯⎯→ = x1
1 1
n nx xn n
+∞ ⎛ ⎞−⎜ ⎟+⎝ ⎠
∑ este punctual
convergentă cu suma S(x) = x pe [-1, 1].
Observaţii:
1. Din definiţia VI.2., pcAnf f⎯⎯→ se exprimă prin inegalităţi, astfel:
(VI.6.) Pentru fiecare x ∈ A, ∀ε > 0, există nε(x) a. î. ∀ n ≥ nε (x)⇒
⇒|fn(x) – f(x)| < ε.
2. Convergenţa punctuală şi respectiv convergenţa uniformă a unei serii de
funcţii, revine la a studia tipul de convergenţă al şirului de sume parţiale
conform definiţiei VI.3. Pentru studiul convergenţei unei serii de funcţii se
vor putea folosi toate teoremele relative la convergenţa şirurilor de funcţii;
vom indica numai un criteriu de comparaţie (criteriul lui Weierstrass)
specific pentru serii de funcţii.
Teorema VI.1.
Fie f, fn∈ F (A) (n∈N) şi dacă ucAnf f⎯⎯→ atunci pcAnf f⎯⎯→ . Reciproca
în general, nu este adevărată.
Demonstraţia este directă deoarece (VI.3) adevărată implică
(VI.6), dar nu şi invers.
Teorema VI.2.
Fie f, fn∈ F (A) (n∈N) atunci următoarele afirmaţii sunt echivalente:
412
-
(i) ucAnf f⎯⎯→ ; (ii) ( ) ( )A
lim sup 0nn xf x f x
→∞ ∈
⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦;
(iii) lim 0nn f f ∞→∞ − = (iv) există αn > 0 (n∈N) şi αn 0 a. î.
|f
⎯⎯→R
n(x) – f (x)| ≤ αn, ∀x∈A şi ∀n∈N (criteriul majorării prin αn ∈ ). *+R
(ivv) există gn ∈ F (A) cu gn Auc⎯⎯→ 0 a. î. |fn(x) – f (x)| ≤ |gn(x)| ∀x∈A şi
∀n∈N (criteriul majorării prin şiruri (gn) uniform convergente la
pe A). 0g =
Demonstraţie: (i)⇒ (ii) Avem: ucAnf f⎯⎯→ def
⇔∀ε>0, ∃ nε ≥ 1 a. î.
|fn(x) – f(x)| ≤ ε, ∀x∈A şi ∀ n ≥ nε ⇔ ∀ε>0, ∃ nε ≥ 1 a. î. ∀ n ≥ nε avem
( ) ( )A
sup nx
f x f x∈
− ≤ ε ⇔ există ( ) ( )A
lim sup 0nn xf x f x
→∞ ∈
⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦. În mod
direct, folosind definiţia normei || ⋅ ||∞, rezultă echivalenţele: (ii)⇔(iii) şi
(iv)⇔(ivv). Pentru a arăta (iii)⇔(iv) notăm αn = n nf f− cu n ≥ 1 şi
atunci li = m nn→∞α lim 0n nn f f→∞ − = . Implicaţia (iv)⇒(iii) rezultă din faptul că
nf f− ≤ αn, ∀ n ≥ 1 şi αn 0 implică ⎯⎯→R lim 0n nn f f→∞ − = .
(ivv)⇒ (iv) Notăm αn = ng ∞ , n ≥ 1 şi avem αn 0, deci
|f
⎯⎯→R
n(x) – f(x)| ≤ αn, ∀x∈A şi n≥1.
Teorema VI.3.
Fie fn∈ F (A), n≥1 un şir de funcţii reale, atunci următoarele
afirmaţii sunt echivalente:
1) şir uniform - Cauchy. ( ) 1n nf ≥
2) ( ) ( )A
lim sup 0n mn xmf x f x
→∞ ∈→∞
⎡ ⎤− =⎢ ⎥⎣ ⎦
413
-
3) lim 0n mnm
f f∞→∞
→∞
− =
Demonstraţie:
1) ⇒ 2) ( ) uniform - Cauchy 1n nf ≥def
⇔∀ε>0, ∃ nε∈N* a. î. ∀n, m≥ nε ⇒
( ) ( )A
sup n mx
f x f x∈
− ≤ ε ⇔ ( ) ( )A
lim sup 0n mn xmf x f x
→∞ ∈→∞
⎡ ⎤− =⎢⎣ ⎦⎥. În mod analog,
folosind definiţia normei || ⋅ ||∞, se arată 2) ⇔ 3) şi deci 1) ⇔ 3).
Teorema VI.4. (Teorema lui Cauchy pentru şiruri)
Fie fn∈ F (A), pentru n≥1 şi f∈F (A), atunci: ucAnf f⎯⎯→ ⇔ (fn) este şir
uniform - Cauchy pe A (şir uniform - fundamantal pe A).
Demonstraţie: Dacă ucAnf f⎯⎯→ ⇒ ( ) 1n nf ≥ şir uniform - Cauchy
pe A. Fie ε>0 fixat şi cum ucAnf f⎯⎯→ , ∃ nε∈N a. î. |fn(x) – f(x)| ≤ 2ε ,
∀x∈A şi ∀n ≥ nε , deci:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2n p n n p n
f x f x f x f x f x f x+ +ε ε
− ≤ − + − ≤ + = ε , ∀n ≥ nε ,
∀ p ≥1 şi ∀x∈A. ( ) 1n nf ≥ uniform - Cauchy pe A.
Dacă ( ) uniform – Cauchy pe A ⇒ f1n nf ≥ n uniform convergent pe A.
Fie ε>0 fixat şi cum fn uniform - Cauchy există nε∈N cu nε ≥ 1 a. î.
∀ n, m ≥ nε avem: |fn(x) – fm(x)| ≤ ε, ∀x∈A. Pentru x∈A fixat, şirul
numeric ( )( ) 1n nf x ≥ este şir Cauchy de numere reale şi deci converge în R,
notăm cu f limita sa: (*) ( ) ( )lim ,nnf x f x→∞ x= ∈ A fixat şi pcAnf f⎯⎯→ cu
f : A → R. În inegalitatea |fn(x) – fm(x)| ≤ ε, ∀x∈A şi ∀ n, m ≥ nε trecem la
limită pentru m → ∞ şi n fixat, deci avem:
414
-
( ) ( ) ( ) ( )lim ,n m nm f x f x f x f x→∞ − = − ≤ ε x∀ ∈A şi ∀ n ≥ nε, deci
ucAnf f⎯⎯→ după (*).
Consecinţa VI.1.
Fie fn∈ F (A), n≥1. Şirul de funcţii reale (fn) este uniform convergent pe
A, dacă şi numai dacă, (fn) este şir uniform - Cauchy pe A.
Demonstraţia este directă din teorema lui Cauchy pentru
convergenţa uniformă a şirurilor de funcţi reale (teorema VI.4).
Teorema VI.5. (Teorema lui Cauchy pentru serii)
Fie fn∈ F (A), pentru n∈N, A ⊆ R şi seria de funcţii 0
nn
f≥∑ . Seria de
funcţii 0
nn
f∞
=∑ este uniform convergentă pe A, dacă şi numai dacă:
(VI.7.) ∀ε>0, ∃nε∈N (independent de x) a. î. ∀n ≥ nε şi ∀p ≥ 1 ⇒
⇒| fn + 1(x)+ + ... + fn + p(x)| < ε, ∀x∈A.
Demonstraţie: 0
nn
f∞
=∑ este uniform convergentă pe A
este uniform convergent pe A
def
⇔
( ) ( )0
n
n kk
S x f x=
= ∑Teorema VI.4⇔ ( ) 0n nS ≥ este şir
fundamental - Cauchy pe A def
⇔ ∀ε > 0, ∃ nε ∈N (independent de x) a. î.
∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1 ⇒ ( ) ( ) ,n p nS x S x x+ A− < ε ∀ ∈ ⇔ ∀ε >0, ∃ nε ∈N a. î.
∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1 ⇒ | fn + 1(x)+ ... + fn + p(x)| ≤ ε, ∀x∈A ⇔ (VI.7).
415
-
Consecinţa VI.2.
Fie fn∈ F (A), pentru n∈N şi 0
nn
f∞
=∑ . Dacă seria
0nf
∞
∑ este uniform
convergentă pe A, atunci şi seria 0
nn
f∞
=∑ este uniform convergentă pe A.
Demonstraţie: După teorema Cauchy pentru serii, (teorema VI.5.)
aplicată seriei 0
nf∞
∑ rezultă: ∀ε > 0, ∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p∈N⇒
| fn + 1(x)+ ... + fn + p(x)| ≤ | fn + 1(x)| + ...+| fn + p(x)| < ε, ∀x∈A ⇔ 0
nn
f∞
=∑ este
uniform convergentă pe A.
Teorema VI.6. (Criteriul lui Weierstrass)
Fie fn∈ F (A), n ≥1 şi seria de funcţii 0
nn
f∞
=∑ . Dacă există o serie numerică
cu termeni pozitivi 0
na∞
∑ convergentă ( )0,na n> ∈N astfel încât:
( ) , A şi n nf x a x n≤ ∀ ∈ ∀ ∈N , atunci seria de funcţii 0
nn
f∞
=∑ este absolut şi
uniform convergentă pe A.
Demonstraţie: Seria 0
na∞
∑ ( an> 0) convergentă T.Cauchy
⇔ ∀ε>0∃
nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p∈N ⇒ an + 1 + ... + an + p < ε. Aplicăm seriei 0
nn
f∞
=∑
teorema lui Cauchy pentru serii folosind şi ipotezele din enunţ, avem:
∀ε > 0, ∃ nε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1⇒ | fn + 1(x)+ ... + fn + p(x)| ≤
≤ | fn + 1(x)| +...+ | fn + p(x)| ≤ an + 1 + ... + an + p < ε, ∀x∈A ⇔ 0
nn
f∞
=∑ este
416
-
absolut convergentă (0
nf∞
∑ convergentă pe A) şi uniform convergentă pe
A (după teorema VI.5).
Observaţii:
1. O serie de funcţii 0
nn
f∞
=∑ pentru care există o serie numerică cu termeni
pozitivi convergentă 0
na∞
∑ astfel încât ( ) , A şi n nf x a x n≤ ∀ ∈ ∀ ∈N se
numeşte serie normal convergentă pe A.
Teorema VI.7.
Fie fn∈ F (A), pentru n ≥0 şi seria de funcţii 0
nn
f∞
=∑ , atunci au loc
următoarele afirmaţii:
I) 0
nn
f≥∑ uniform convergentă pe A ⇒
0n
n
f∞
=∑ punctual (simplu)
convergentă pe A.
II) 0
nn
f≥∑ normal convergentă pe A ⇒
0n
n
f≥∑ absolut convergentă pe A ⇒
0n
nf
∞
=∑ punctual (simplu) convergentă pe A.
III) 0
nn
f≥∑ normal convergentă pe A ⇔
0n
n
f≥∑ normal convergentă pe A
⇔ ( )A0
sup nxn
f x∈≥
⎛⎜⎝ ⎠∑
⎞⎟ convergentă.
417
-
Demonstraţia afirmaţiilor I), II) şi III) este directă folosind
definiţiile tipurilor de convergenţă respective şi teorema Cauchy pentru
serii de funcţii ([36], [40], [41]).
Observaţii:
1. Reciprocele implicaţiilor I) şi II) din teorema VI.7. în general nu sunt
adevărate.
2. Dacă 0
nf∞
∑ este uniform convergentă (respectiv normal convergentă)
pe A atunci şirul de funcţii ( ) ( )A
A 0, A cu limuc
n nnf f x f x f
→∞⎯⎯→ ≡ ∀ ∈ = x .
3. Dacă şirul A
ucA 0nf f⎯⎯→ ≡ nu rezultă obligatoriu că seria de funcţii
0nf
∞
∑ este convergentă pe A.
Teorema VI.8.
Fie fn∈ F (A), n ≥1 şi seria de funcţii 0
nf∞
∑ . Dacă 0
nf∞
∑ este normal
convergentă pe A, atunci seria este uniform convergentă pe A. Reciproca
nu este în general adevărată.
Demonstraţie: 0
nf∞
∑ normal convergentă există
convergentă cu a
Teorema VI.6⇒
0na
∞
∑
n > 0 a. î. ( ) , A şi n nf x a x n≤ ∀ ∈ ∀ ∈N . Fie ∀ε > 0 şi
convergentă ∃ n0
na∞
∑T.Cauchy
⇒ ε∈N a. î. ∀ n ≥ nε şi ∀p ≥ 1, avem < ε
şi atunci rezultă:
1
n p
kk n
a+
= +∑
( ) ( )1 1
n p n p
k kk n k n
f x f x+ +
= + = +
≤∑ ∑ ≤1
n p
kk n
a+
= +
∑ < ε pentru ∀x∈A şi
418
-
∀n≥nε iar ∀p ≥ 1 ⇒ ( )0
nf x∞
∑ este uniform convergentă pe A (după
teorema VI.5).
Observaţii:
1. Convergenţa unei serii de funcţii se poate testa, conform definiţiei, cu
ajutorul şirului de sume parţiale care este un şir de funcţii. De asemenea, se
poate folosi criteriul Weierstrass pentru normal convergenţa unei serii de
funcţii şi teorema care precizează relaţiile dintre diferite tipuri de
convergenţă pentru serii de funcţii (teorema VI.7.) .
Exemple:
I. Şiruri de funcţii
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2
2
pc
0,1. , şi lim
2 , 0
0 şi cum sup2
nx
n nn
n nx
xnf x e x f x f xx
nnf x f f x f x
−
→∞
∈
⎧ ∈= ∈ = = ⇒⎨π ∞ =⎩
⇒ ⎯⎯→ = − = → +∞⇒π
**
*
RR
RR
f
nu converge uniform pe R* la f. Şirul de funcţii (fn) apare în teoria
ondulatorie a luminii în studiul unor probleme din fizică.
2. ( ) [ ] ( ) ( ) [ )0, 0,1 cu 0,1 şi lim1, 1
nn nn
xf x x x f x f x
x→∞⎧ ∈⎪= ∈ = = ⎨
=⎪⎩⇒
⇒ [ ]pc0,1nf f⎯⎯⎯→ .
Pentru ( ) ( )1 11 , 0,1 avem 1n
n n1
nx x f xn n⎛ ⎞= − ∈ = − ⎯⎯→ ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
R fe
nu este
uniform convergent pe [0, 1] la f. În mod echivalent, avem:
419
-
[ ]( ) ( )
( )( ) ( ) ( ) ( )
[ )( )
[ )
0,1 0,1
0,1 0,1
sup max sup ; 1 1
max sup ;0 sup 1 lim 1 0
nu converge uniform la
n n n nx x
n nn nnx x
f f f x f x f x f x f f
x x f f f
f
∈ ∈
→∞∈ ∈
⎡ ⎤− = − = − − =⎢ ⎥
⎣ ⎦⎡ ⎤
= = = ⇒ − = ≠ ⇒⎢ ⎥⎣ ⎦
3. ( ) ( ) ( ) ( )3
1,3 3 , 1, şi 0pc
n nxf x x f f x
x n − ∞= ∈ − ∞ ⎯⎯⎯→ =
+.
Pentru ( ) ( ) ( ) 11, avem 2n n
x n f n f n= ∈ − ∞ − = şi deci ( ) ( )nf n f n− nu
este mai mică decât ∀ε >0 ⇒ fn nu converge uniform la f pe (-1, ∞).
4. ( ) [ )arctg , 0,nf x x nx x= ∈ ∞ aplicăm criteriul Cauchy de la şiruri pentru uniforma convergenţă:
( ) ( ) ( )
[ ) ( ) [ )
( ) ( ) [ )
2
2 2
arctg arctg arctg1 ( )
1arctg pentru ( ) ( ) ( )
1 1, 1 şi 0, este uniform convergent pe 0, .
lim , 0,2
n p n
n
nn
pxf x f x x n p x x nx xn p nx
px px px xn p nx n p nx n p n n
p x f
xf x f x x
+
ε
→∞
⎛ ⎞− = + − = ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎛ ⎞
< < = < < ε ∀⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠⎡ ⎤= + ∀ ≥ ∀ ∈ ∞ ⇒ ∞⎢ ⎥ε⎣ ⎦
π= = ∀ ∈ ∞ [ ]
n n
<
≥ =
; tg Arctg Arctg 1
⎛ ⎞α ±βα ± β =⎜ ⎟+ αβ⎝ ⎠
5. ( ) ( ) ( )2sin cu şi lim 0, pcn nn
nxnf x x f x f x x fn →∞
= ∈ = = ∀ ∈ ⇒ ⎯⎯→RR R f
( ) ( ) 2 21 1 şi cum cu 0 ucn n nf x f x f fn n
− ≤ α = ⎯⎯→ ⇒ ⎯⎯→R R .
6. ( ) [ ] ( ) ( ) [ ]3 4
43
1 cu 0,1 şi lim , 0,11n nn
n xf x x f x f x x xn →∞
+= ∈ = = ∈
+⇒
420
-
[ ] ( ) ( )
[ ] [ ]
44
0,1 3 3
30,1
1 1 ,1 1
1 1 şi 0,1
pcn n
ucn
xf f x f x f x n nn n
x f f
ε
−⇒ ⎯⎯⎯→ = ⇒ − = ≤ < ε ∀ ≥ =
+ +
⎡ ⎤− ε= + ∀ ∈ ⇒ ⎯⎯⎯→⎢ ⎥ε⎣ ⎦
2. Serii de funcţii
1. ( )31
cos cos, şi nnx nxx f x
n n
∞
∈ =∑ R 3 satisface ( ) 31 ,nf x n
≤
31
1 şi iar x nn
∞
∀ ∈ ∀ ∈ ∑R N convergentă ⇒1
nf∞
∑ uniform convergentă pe
R după criteriul Weierstrass ⇒ 1
nf∞
∑ normal convergentă pe R.
2. ( )0
1 cu 0, şi 1 ... ...3
n nnf x x x x x x
∞⎡ ⎤= ∈ = + + + +⎢ ⎥⎣ ⎦∑ n cu:
( ) ( ) ( )1 1
10,3
1 1 1, lim1 1 1 1
n npc
n nn
x xS x S x S x S Sx x x x
+ +
⎡ ⎤→∞ ⎢ ⎥⎣ ⎦
−= = + = = ⇒ ⎯⎯⎯→
− − − − n.
Avem ( ) ( )1
1
11 3
n
n n
xS x S xx
+
+− = <
-
pentru ∀x∈[a, b] şi seria 1
1an
∞
∑ convergentă pentru a > 1 ⇒ 1
1xn
∞
∑ normal
convergentă pe ∀[a, b] ⊂ (1, ∞).
4. Seria de funcţii:
( )
( )( )
( )
3
33 3
1 3
cos3cos3 cos 6 cos3 3 3... ... cu cu 2 şi 0,
1 3 3 3 cos31
nnxf x
x x nx n n xn xf x
⎧ =⎪ π−⎪ ⎡ ⎤+ + + + ≥ ∀ ∈⎨ ⎢ ⎥⎣ ⎦− ⎪ =⎪⎩
2
este uniform şi absolut convergentă pe 0,2π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦ după criteriul Weierstrass:
( )( ) ( )3cos3 13 3 3 3n
nxf x
n n= ≤
− − 3 iar seria numerică
( )33 31 1 1... ... 1 3 3 3n+ + + +
−
este convergentă.
5. Fie ( ) ( ) [ ]sin 1 sin cu , şi 11n
n x nxf x xn n+
n= − ∈ −π π+
≥ atunci seria de
funcţii ( )1
nf x∞
∑ are ( ) ( )sin 1
sin1n
n xS x x
n+
= −+
cu:
[ ] ( ), sinpc
nS S x−π π⎯⎯⎯→ = − x . Avem:
( ) ( ) ( ) ( )sin 1sin 1 1sin sin
1 1n nn xn x
S x S x x xn n
++− = − + = ≤ =
+ + 1nα
+ cu
şi [ ],0, deci uc
n nS S−π πα ⎯⎯→ ⎯⎯⎯→R ( )
1nf x
∞
∑ uniform convergentă pe [-π, π]
cu suma S(x) = - sin x, avem: ( )1
sinuc
nx f x∞
− =∑ .
6. ( ) ( )( )
21
21
1n
n n
xf xx
+= −+
cu x∈R şi seria de funcţii ( )( )
21
21
11
nn
x
x
∞+−
+∑
căreia îi aplicăm criteriul (teorema VI.5.) Cauchy pentru serii de funcţii: 422
-
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2 2 2
1 2 1 22 2 2
2 2 2
1 3 12 22 2 2
44
2 4 22 2 2 2 2
... ...1 1 1
1 11 1 ... 11 11 1 1
1 1 1 1... 11 1 1 1 1
n n n p n n n p
n n n p
n n n p n p
x x xf x f x f xx x x
x x xx xx x x
xxx x x x x
+ + + + + +
+ + + −
+ + + +
+ + + = + + + =+ + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= − + − + + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠+ + +
⎡ ⎤ ⎛⎜ ⎟⎢ ⎥≤ + + + = −⎜ ⎟⎢ ⎥+ + + + +⎣ ⎦ ⎝
2
11 x
≤+
⎞⋅⎠
( ) ( ) ( )2 2 2 2
12 2 22
1 11 1 1 11
n
x x x xx n x x n nx
+
+⋅ ≤ ≤ ≤ = < ε
+ + + ++
pentru 1
1 1 şi nn n x f∞
ε
⎡ − ε ⎤∀ ≥ = + ∀ ∈ ⇒⎢ ⎥ε⎣ ⎦
∑R este uniform convergentă
pe R.
7. 2 21
sin ,nx xn x
∞
∈+∑ R şi avem:
( ) 2 2 2 2 2 2 2 21
sinsin 1 1 1, cu n nnxnxf x a x
n x n x n x n n
∞
= = ≤ ≤ = ∀ ∈+ + + ∑R
convergentă Crt.Weierstrass
1nf
∞
⇒ ∑ normal convergentă pe R ⇒ 1
nf∞
∑ uniform
convergentă pe R.
Teorema VI.9. (Criteriul Abel – Dirichlet pentru serii)
Fie date şirurile de funcţii reale ( ), Fn nf g ∈ A , n ≥1. Dacă au loc
afirmaţiile:
(i) şi seria ucA 0nf f⎯⎯→ = 11
n nf f∞
−−∑ uniform convergentă pe A.
(ii) şirul 1
n
nk
S=
= kg∑ egal mărginit pe A, adică
423
-
( )sup{ | A; 1}nM S x x n= ∈ ≥ < +∞ , atunci seria de funcţii ( ) ( )1
n nf x g x∞
∑
este uniform convergentă pe A.
Demonstraţie: Testăm convergenţa uniformă a seriei 1
n nf g∞
∑ cu
teorema lui Cauchy, folosind ipotezele scrise cu inegalităţi:
( ) ( ) ( )
( )
uc1 1A 0 0, a.î.
, A3
def
n
n
i f f N n N
f x xM
⎯⎯→ = ⇔∀ε > ∃ ε ∈ ∀ ≥ ε ⇒
ε≤ ∀ ∈
N 1.
( ) ( )
( ) ( ) ( )
T.Cauchy
2 1 21
2 11
uniform convergentă pe A 0, a.î.
, A şi 13
n n
n p
k kk
i f f N
n N f x f x x pM
∞
−
+
−=
− ⇔ ∀ε >
ε∀ ≥ ε ⇒ − ≤ ∀ ∈ ∀ ≥
∑
∑
N ∃ ε ∈.
Din (i1), (i2) şi (ii) după teorema lui Cauchy pentru serii, avem:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
1 1
1
T.Cauchy
1 21
3 3 3
, A şi max{ , }, 1
n p
k kk n
n p
k k k n n n p n pk n
n p
k k n n pk n
n n
f x g x
f x f x S x f x S x f x S x
M f x f x f x f x MM M M
x n n N N p f g
+
=
+
+ − + +=
+
+ +=
∞
ε
≤
≤ − + + ≤
⎛ ⎞ ε ε ε⎛ ⎞≤ − + + ≤ + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
= ε ∀ ∈ ≥ = ε ε ∀ ≥ ⇒
∑
∑
∑
∑
=
uniform convergentă pe A.
Consecinţa VI.3.
Fie date şirurile de funcţii reale ( ), Fn nf g ∈ A , n ≥1. Dacă sunt îndeplinite
condiţiile:
(i°) (fn) şir monoton descrescător în ∀x∈A şi ucA 0nf f⎯⎯→ =
424
-
425
kg (ii°) (Sn) cu 1
n
nk
S=
= ∑ este egal mărginit pe A (∃ M >0 a. î. |Sn(x)| ≤ M,
∀x∈A şi ∀ n ≥1) atunci seria de funcţii 1
n nf g∞
∑ este uniform convergentă.
Demonstraţie:
Şirul de funcţii Tn(x) = ( ) ( ) ( ) ( )1 1 11
n
k k nk
f x f x f x f x+=
− = −∑ + este uniform
convergent pe A: ( )uc 1AnT f⎯⎯→ x şi atunci seria de funcţii 11
n nf f∞
+−∑
este uniform convergentă peA tocmai (i) din teorema VI.9. Cum (ii) ≡ (ii°)
şi (i) adevărată, după teorema VI.9, seria de funcţii 1
n nf g∞
∑ este uniform
convergentă pe A.
Consecinţa VI.4.
Fie ( ) ( )A , AM Fn nf g∈ ∈ şi seriile 11 1
,n n nf f∞ ∞
+− g∑ ∑ uniform
convergente pe A, atunci seria 1
n nf g∞
∑ este uniform convergentă pe A.
Demonstraţie: 11
n nf f∞
+−∑ este uniform convergentă pe A ⇒
( 11
n n )f f∞
+−∑ este uniform convergentă pe A ⇒ şirul de funcţii
( ) ( ) ( )(1
1 11
n
n kk
)kx f x f f x−
+=
σ = + −∑ este uniform convergent pe A cu limita
-
( ) ( )lim , Annx x x→∞σ = σ ∈ . Cum ( )AMnf ∈ pentru n ≥ 1 ⇒
pentru n ≥1 şi atunci
( )AMnσ ∈
( )AMσ∈ , 1 1
ucA
1n
n n n Mε∞
⎛ ⎞⎧σ ⎯⎯→σ⎪⎜ ⎟⎨⎜ ⎟σ ≤ σ−σ + σ < + σ ≤⎪⎩⎝ ⎠
.
Notăm uc 1 1A şi 0 iar , 1n n n n n n nh f h h h h f f n+ += −σ ⎯⎯→ = − = − ∀ ≥ ⇒
11
n nh h∞
+−∑ este uniform convergentă pe A. În aceste condiţii, seria
este uniform convergentă pe A şi cum 1
n nh g∞
∑ , 1n n n n nh g f g g n= −σ ∀ ≥
iar seria este uniform convergentă (1
ng∞
σ∑ ( )AMσ∈ şi 1
ng∞
∑ uniform
convergentă pe A)⇒ 1
n nf g∞
∑ este uniform convergentă pe A
( , 1n n n n nf g h g g n= +σ ∀ ≥ ).
Consecinţa VI.5.
Fie ( ) ( )A , AM Fn nf g∈ ∈ . Dacă au loc afirmaţiile:
I) este şir monoton şi uniform convergent; ( ) 1n nf ≥
II) este uniform convergentă, atunci seria 1
ng∞
∑1
n nf g∞
∑ este uniform
convergentă pe A.
Demonstraţie: Presupunem (fn) monoton crescător şi ucAnf f⎯⎯→
atunci ( ) ( ) uc1 1 A1
n
k k nk
1f x f x f f f f+=
− = − ⎯⎯→ −∑ ⇒ 11
n nf f∞
+−∑ este
uniform convergentă pe A şi folosind consecinţa VI.4., rezultă 1
n nf g∞
∑
uniform convergentă pe A.
426
-
Teorema VI.10. (Criteriul lui Leibniz pentru serii de funcţii)
Fie , n ≥ 1, dacă au loc condiţiile: ( )AFnf ∈
(v) ucA 0nf f⎯⎯→ ≡ ; (vv) seria 11
n nf f∞
+−∑ este uniform convergentă pe
A, atunci ( ) 11
1 n nf∞
+−∑ este uniform convergentă pe A.
Demonstraţia este directă din criteriul Abel – Dirichlet cu (fn) care
satisface (v) şi (vv) echivalentă cu (i) şi ( ) 11 nng+= − care satisface (ii).
Observaţii:
1. În criteriul Dirichlet şi cele trei consecinţe ale sale se poate înlocui unul
dintre şirurile (fn) şi (gn) prin şiruri numerice.
2. Dacă fn∈C (A) cu A⊂ R mulţime compactă, 1, 1n nf f n+≤ ∀ ≥ şi
pcA 0nf f⎯⎯→ ≡ atunci
ucA 0nf f⎯⎯→ ≡ (Teorema lui Dini).
2. Proprietăţi ale şirurilor şi seriilor de funcţii uniform
convergente
Vom prezenta unele "proprietăţi de permanenţă (transfer)" de la
termeni la funcţia limită a unui şir de funcţii reale, ca: continuitate,
derivabilitate, integrabilitate etc. Convergenţa uniformă a şirului de funcţii
este o condiţie suficientă pentru valabilitatea proprietăţilor de transfer.
427
-
Teoremele de transfer pentru serii de funcţii 0
nf∞
∑ se vor aplica
direct şirului de sume parţiale 0
n
nS = kf∑ şi sunt valabile în condiţiile
demonstrate pentru şiruri de funcţii reale.
Teorema VI.11. (Transfer de mărginire)
Dacă ( )AMnf ∈ pentru n ≥ 1 şi ucAnf f⎯⎯→ atunci şi ( )AMf ∈
1sup nn
f f∞ ∞
≥≤ .
Demonstraţie: Aplicăm definiţia convergenţei ucAnf f⎯⎯→ : pentru
ε = 1 există n 1 ∈ N a. i. ∀ n ≥ n 1 ⇒ ( ) ( ) 1,nf x f x x− < ∀ ∈A, deci
11,nf f n− ≤ ∀ ≥ n . În aceste condiţii, avem:
( )1
Asup ,n n nx
f f x f f f M∞ ∞ ∞∈= ≤ − + ≤ < ∞ unde:
{ }1 11sup ,..., ,1n nM f f f∞ ∞ ∞= + . Teorema VI.12. (Transfer de trecere la limită)
Fie A⊆ R şi x 0 ∈R punct de acumulare pentru A. Dacă şirul de funcţii
satisface proprietăţile: ( )AFnf ∈
1) (fn) uniform convergent pe A;
2) există şirul ( )0
lim , 1n nx xy f x n→= ≥ , atunci şirul (yn) este convergent şi are
loc relaţia:
(VI.8.) ( ) ( )0 0
lim lim lim limn nx x n n x xf x f→ →∞ →∞ → x⎡ ⎤⎡ ⎤ = ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
.
Demonstraţie: Fie ε > 0 şi ( )AFf ∈ a. î. ucAnf f⎯⎯→ . Şirul (fn)
uniform convergent pe A este şir uniform - Cauchy (după teorema lui
428
-
Cauchy) şi pentru ε > 0, există nε∈N a. î. ∀ n, m ≥ nε ⇒
( ) ( ) ( ) ( )0
, A limn m n m n mx xf x f x x y y f x f x→− < ε ∀ ∈ ⇒ − = − ≤ ε
y
∀n, m ≥ nε
⇒ (yn) este un şir Cauchy de numere reale, deci (yn) este convergent şi
notăm . Avem: lim nny →∞=
( ) ( ) ( ) ( )
{ } () ( )
0
uc1 2 1 A
2 2
,3 3 3
max ( ), ( ) şi A ( ) din
şi ( ) din lim
n n n n
n
n x x
y f x y y y f x f x f x
n n n n x n f f
n n y y y f x
ε
→
ε ε ε− ≤ − + − + − ≤ + +
∀ ≥ = ε ε ∀ ∈ ε ⎯⎯→
= ε ⎯⎯→ ⇒ =R
şi are loc relaţia (VI.8).
Teorema VI.13. (Transfer de continuitate)
Dacă ( )ACnf ∈ pentru n ∈ N şi ucAnf f⎯⎯→ cu ( )AFf ∈ , atunci
. ( )ACf ∈
Demonstraţie: Pentru ∀x0∈A au loc două situaţii distincte.
Dacă x0∈A este punct izolat al lui A atunci f este continuă în x0.
Dacă x0 este punct de acumulare al lui A, atunci pentru ∀ n ≥ 1 avem:
( ) ( ) ( )( )0
0lim , ACn n nx x f x f x f→ = ∈ şi folosind (VI.8) din teorema VI.12,
avem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
0 0lim lim lim lim lim limn n nn n x x x x n x xf x f x f x f x f→∞ →∞ → → →∞ →⎡ ⎤ ⎡ ⎤= = = =⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦
x ⇒
f continuă în ∀ x0∈ A ⇒ ( )ACf ∈ .
Consecinţa VI.6.
Dacă pentri n ≥ 1 şi ( )ABnf ∈ ucAnf f⎯⎯→ atunci ( )ABf ∈ .
Demonstraţia rezultă direct aplicând teoremele de transfer
mărginire şi transfer continuitate, deja demonstrate.
429
-
Teorema VI.14. (Transfer de derivabilitate)
Fie I ⊆ R interval nedegenerat şi mărginit, fn: I → R, n ≥ 1 un şir de
funcţii reale derivabile cu proprietăţile:
1. există a ∈ I a. î. şirul (fn(a)) este convergent în R.
2. există g : I → R a. î. ucInf g′ ⎯⎯→ , atunci există:
ucI: a. î. nf I f→ ⎯⎯→R f şi f este derivabilă pe I cu f ' = g, adică:
(VI.9.) ( ) ( )lim lim ,n nn nf x f x→∞ →∞′⎡ ⎤ ′ x= ∀ ∈⎣ ⎦ I.
Demonstraţie: Fie ε > 0 şi cum ucAnf g′ ⎯⎯→ , atunci (fn') este şir
uniform - Cauchy, deci există nε ∈ N* a. î. ∀n, m ≥ nε ⇒
( ) ( )I
, sup ,n mx
If x f x x a x∈
ε ⎛ ⎞′ ′− < α = − ∀⎜ ⎟α ⎝ ⎠∈ de unde rezultă şirul de
inegalităţi:
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )( )
I I
1
sup sup , I
şi , este un şir uniform - Cauchy pe I.
între şi după teorema Lagrange aplicată lui
n n m m n m n m
n m x n mx x
n n n
x n m
x
f x f a f x f a f f x f f a
x a f f c x a f f x x
n m n f f a
c x a f f
c a
∈ ∈
ε ≥
− − − = − − − =⎡ ⎤⎣ ⎦ε′ ′= − − ≤ − − ≤ α = ε ∀ ∈α
∀ ≥ ⇒ −⎡ ⎤⎣ ⎦
−
= +
( ) ,0 1x a⎛ ⎞⎧⎪⎜ ⎟⎨⎜ ⎟θ − < θ
-
Fie ∀x0∈I fixat şi funcţia ajutătoare ( ) ( ) ( )0 00
, I {n nnf x f x
g x x xx x−
= ∈−
}−
pentru care, avem:
( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) (
( )( )
00
0
,
după teorema Lagrange aplicată lui cu între şi
,0 1
n m n mn m n m x
n m x
x
f f x f f xg x g x f f c
x x)
f f c x a
c a x a
− − − ′− = = −−
⎛ ⎞−⎧⎪⎜ ⎟⎨⎜ ⎟= + θ − < θ 0, ∃ nε ∈ N a. î. ∀n, m ≥ nε ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0V
sup , V -{ } cu V = ,n m n mt
g x g x f t f t x x x r x r∈
′ ′− ≤ − ≤ ε ∀ ∈ − +
( ) 1n ng ≥⇒ şir uniform - Cauchy pe V – {x0}. Avem:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
00
0
lim lim n nnx x x xf x f x
g x f xx x→ →− ′=− n
= pentru ∀ n ≥ 1 şi obţinem:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
00 0
0
lim lim lim lim lim limn n nx x n n x x x x nf x f x
g x g x f x g xx x→ →∞ →∞ → → →∞−⎡ ⎤⎡ ⎤ ′= ⇔ =⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −
=
⇒ f este derivabilă în x0∈I cu ( ) ( )0 0f x g x′ = şi cum x0 este arbitrar în I
⇒ f este derivabilă pe I cu ( ) ( ) , If x g x x′ = ∀ ∈ .
Observaţii:
1. Condiţiile 1 şi 2 din teorema VI.14 preciează în care caz, avem:
( )lim limnn n nf f→∞ →∞′ ′= şi această teoremă se numeşte "Teorema de derivare
termen cu termen a unui şir de funcţii reale".
2. Convergenţa uniformă ucInf f⎯⎯→ cu nf funcţii reale derivabile nu
implică convergenţa uniformă a şirului derivatelor ( )nf ′ şi nici chiar simpla convergenţă.
431
-
Exemplu: ( ) sin cu 0,2n
nxf x xn
π⎛= ∈⎜⎝ ⎠
⎞⎟ şi
uc
0,2
0nf fπ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
⎯⎯⎯→ = are
şirul derivatelor ( ) cosnf x′ = nx care este divergent în orice punct
0,2
x π⎛ ⎞∈⎜ ⎟⎝ ⎠
.
3. Condiţiile 1 şi 2 din teorema VI.14 asupra transferului de derivabilitate
sunt esenţiale pentru valabilitatea concluziilor din enunţul teoremei.
Teorema VI.15. (Transferul proprietăţii "a admite primitive")
Fie I ⊂ R interval, nf : I → R (n ≥1) un şir de funcţii reale care admit
primitive şi f : I → R. Dacă I este interval mărginit şi ucInf f⎯⎯→ , atunci f
admite primitive pe I.
Demonstraţie: Fie Fn I → R (n ≥1) un şir de funcţii derivabile cu
F'n = nf (x), ∀x∈I. Înlocuim pentru n≥ 1, fiecare Fn cu Fn - Fn(x0) unde
x0∈I fixat şi se poate presupune Fn(x0) = 0, n ≥1. Şirul ( ) 1Fn n≥ este un şir de
funcţii derivabile a. î. şirul ( )( )0 1Fn nx ≥ este convergent şi ucIFn f′ ⎯⎯→ . Atunci după teorema VI.14 există o funcţie F: I → R derivabilă şi cu
proprietatea F' = f ⇒ f este o funcţie care admite primitive pe I.
Teorema VI.16. (Transfer de integrabilitate)
Fie [ ]: ,nf a b →R (n ≥1) un şir de funcţii reale integrabile pe [ şi ],a b
[ ]uc,n a bf f⎯⎯⎯→ , atunci funcţia limită f este integrabilă pe[ ],a b şi avem:
(VI.10) ( ) ( ) ( )lim limb b b
n nn na a a
f x dx f x dx f x dx→∞ →∞
⎡ ⎤= =⎣ ⎦∫ ∫ ∫ .
432
-
Demonstraţie: Funcţiile fn integrabile pe [ ],a b sunt în mod
necesar mărginite pe [ ],a b . După teorema lui Lebesgue pentru fiecare n ≥1
există An ⊂ [ de măsura Lebesgue nulă (A],a b n mulţimi neglijabile) a. î. fn
este continuă pe [ ],a b - An, adică fn continue a. p.t. pe [ ],a b . Notăm
şi A mulţime neglijabilă şi pentru fiecare n ≥ 1 funcţiile f1
nn
A A≥
=U n sunt
continue pe [ - A. Şirul uniform convergent de funcţii continue f]
]
,a b n pe
- A are limita f funcţie continue pe [ ,a b [ ],a b - A, adică f continuă a. p.t.
pe [ şi după teorema Lebesgue f integrabilă pe ],a b [ ],a b , deci f mărginită.
Avem: [ ]uc, 0, 1 a. î. pentru n na bf f n f f b a
n nε ε∞ε
⎯⎯⎯→ ⇔∀ε > ∃ ≥ − ≤ ∀ ≥−
⇒ ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b
n na a a
f x dx f x dx f x f x dx b a f f∞n
− ≤ − ≤ − −∫ ∫ ∫ ≤ ε
pentru ( ) ( )lim ( ) limb b b
n nn na a a
n n f x dx f x dx f x dxε →∞ →∞⎡ ⎤∀ ≥ ⇒ = = ⎣ ⎦∫ ∫ ∫ tocmai
(VI.10).
Consecinţa VI.7.
Dacă [ ]( ,Cn )f a b∈ pentru n ≥ 1 şi [ ]uc,n a bf f⎯⎯⎯→ , atunci [ ]( ),Cf a b∈ şi
are loc relaţia (VI.10).
Observaţii.
1. Dacă [ ]pc,n a bf f⎯⎯⎯→ nu este adevărată teorema de transfer de
integrabilitate (teorema VI.16).
Exemplu: ( ) [ ]2 , 0,nxnf x nxe x−= ∈ 1 şi . Avem: [ ]pc0,1 0nf f⎯⎯⎯→ =
433
-
( ) ( )211
00
1 1 12 2
nx nnf x dx e e
− −= − = −∫ şi:
( ) ( ) ( )1 1
0 0
1 1lim lim 1 ,2 2
nn nn n
f x dx e f x dx−→∞ →∞
= − = ≠∫ ∫
[ ]11 10,1 şi 1nn nx f en n
−⎛ ⎞⎛ ⎞= ∈ = →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
.
2. Teorema VI.16 se numeşte "Teorema de trecere la limită sub
integrală" pentru integrala Riemann.
3. Consecinta teoremei precedente se numeşte "Teorema de integrare
termen cu termen a unui şir de funcţii".
Teorema VI.17. (Transfer de trecere la limită pentru serii de
funcţii)
Fie x0∈ R punct de acumulare pentru A⊂ R şi ( ) ( )A , 1Fnf n∈ ≥ un şir de
funcţii reale care au limită finită în x0. Dacă seria de funcţii 1
nf∞
∑ este
uniform convergentă cu suma f, atunci seria numerică ( )( )01
lim nx x f x∞
→∑ este
convergentă şi are suma ( )0
limx x
f x→
, adică are loc relaţia:
(VI.11.) ( ) ( )( ) ( )0 01 1
lim lim limn nx x x x x xn n 0f x f x
∞ ∞
→ →= =
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑ f x→ .
Demonstraţie: Se aplică teorema de transfer de trecere la limită
şirului sumelor parţiale şi în ipotezele teoremei există
limita , adică
( ) ( )1
n
n kk
S x f x=
= ∑
( )0
lim nx x S x→ ( ) ( )0 0ucA
1
lim lim ;n
n k nx x x xk
S x f x S S→ →
=
= ⎯⎯→∑ .
434
-
Seriile ( )1
nf x∞
∑ şi ( )( )01
lim nx x f x∞
→∑ serie numerică, sunt convergente şi se
obţine relaţia (VI.11). Teorema VI.17 precizează în ce condiţii are loc
relaţia (VI.11) de intervertire a trecerii la limită cu sumarea prin serie.
Teorema VI.18. (Teorema Weierstrass pentru transfer de
continuitate)
Fie ( ) ( )A , 1Fnf n∈ ≥ şi seria de funcţii 1
nf∞
∑ cu suma ( )AFf ∈ . Dacă
fiecare funcţie fn cu n ≥ 1 este continuă pe A şi seria de funcţii 1
nf∞
∑ este
uniformă convergentă cu suma f (în particular normal convergentă), atunci
suma sa f este funcţie continuă pe A.
Demonstraţie: Şirul de funcţii este uniform
convergent la f pe A şi S
( ) ( )1
n
n kk
S x f x=
= ∑
n sunt funcţii continue pe A, deci f este continuă de
A. Dacă 1
nf∞
∑ este normal convergentă pe A, atunci 1
nf∞
∑ este uniform
convergentă şi se aplică raţionamentul precedent.
Teorema VI.19. (Transfer de mărginire)
Fie ( ) ( )A , 1Mnf ∈ n ≥ şi dacă 1
nf∞
∑ este uniform convergentă (în
particular normal convergentă) cu suma f, atunci ( )AMf ∈ .
Demonstraţia este imediată, aplicând teorema de transfer de
mărginire a şirului de sume parţiale (Sn).
435
-
Consecinţa VI.7.
Dacă ( ) ( )A , 1Bnf n∈ ≥ şi seria de funcţii 1
nf∞
∑ este uniform convergentă
(în particular normal convergentă) cu suma f, atunci ( )ABf ∈ .
Demonstraţie: Din teoremele de transfer de continuitate şi transfer
de mărginire, rezultă că suma seriei de funcţii ( ) ( ) (A AM C =Bf ∈ ∩ )A .
Teorema VI.20 (Transfer de integrabilitate)
Fie [ ]( ,Fn )f a b∈ cu fn funcţii integrabile pentru n ≥ 1 şi seria de funcţii
1nf
∞
∑ uniform convergentă cu suma f, atunci f este funcţie integrabilă şi
are loc relaţia:
(VI.12) ( ) ( ) ( )1 1
b b b
n nn na a a
f x dx f x dx f x dx∞ ∞
= =
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ ∫
Demonstraţie: Fie , după
ipotezele teoremei (S
( ) ( )( )1
A,n
n kk
S x f x x n=
= ∀ ∈ ∈∑ *N
n) este un şir uniform convergent pe [ ],a b de funcţii
integrabile: , atunci f este integrabilă şi avem: [ ]uc,n a bS ⎯⎯⎯→ f
b
ka
( ) ( )0 1
lim limb b n
nx x n ka a
f x dx S x dx f dx→ →∞
=
= = ∑∫ ∫ ∫ ⇒ seria numerică ( )1
b
na
f x dx∞
∑∫
este convergentă cu suma f şi se obţine (VI.12).
Teorema VI.20. se numeşte "Teorema de integrare temen cu
termen a unei serii de funcţii".
Teorema VI.21. (Transfer de derivabilitate)
Fie I ⊂ R interval nedegenerat şi mărginit, fn: I → R (n ≥ 1) un şir de
funcţii reale derivabile pe I. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:
436
-
1°. Există a ∈ I a. î. seria numerică ( )1
nn
f a≥∑ este convergentă;
2°. Seria ( )1
nf x∞
′∑ este uniform convergentă pe I cu suma g,
atunci există o funcţie f: I → R derivabilă a. î. f ' = g pe I, iar seria de
funcţii ( )1
nf x∞
∑ este uniform convergentă pe I cu suma f.
Demonstraţie: Fie , după ipoteza 1°. şirul
numeric
( ) ( )1
n
n kk
S x f x=
= ∑
( )( ) 1n nS a ≥ este convergent în R; din 2°. avem ,
aplicând teorema de transfer de derivabilitate pentru şiruri de funcţii (1° şi
2° sunt adevărate), rezultă că există f : I → R derivabila a. î.
ucInS g′ ⎯⎯→
f g′ ≡ pe I şi
seria 1
nf∞
∑ este uniform convergentă cu suma f pe I.
Consecinţa VI.8.
Fie I ⊂ R un interval nedegenerat şi mărginit, fn: I → R (n ≥ 1) un şir de
funcţii reale derivabile pe I. Dacă sunt îndeplinite condiţiile:
1. 1
nf∞
∑ este punctual convergentă cu suma f pe I;
2. 1
nf∞
′∑ este uniform convergentă cu suma g pe I,
atunci seria 1
nf∞
∑ este uniform convergentă pe I şi suma sa f este funcţie
derivabila cu f g′ ≡ pe I.
Demonstraţia este directă din teorema de transfer de derivabilitate
pentru serii de funcţii (teorema VI.21).
437
-
Teorema VI.22. (Transferul proprietăţii "a admite primitive")
Fie I ⊂ R un interval mărginit şi ( ) ( )I , 1Fnf n∈ ≥ . Dacă funcţiile fn
pentru fiecare n ≥ 1 admit primitive pe I şi seria 1
nf∞
∑ este uniform
convergentă pe intervalul mărginit I, atunci suma sa f admite primitive pe I.
Demonstraţie: Fie x0∈I fixat şi Fn: I → R (n ≥ 1) o primitvă
pentru fn pentru n ≥ 1 pe I; aplicăm teorema de transfer a proprietăţii "a
admite primitive" şirului de funcţii ( )( )0 1F Fn n nx ≥− şi obţinem afirmaţia din teoremă.
Observaţii
1. Teorema VI.21 de transfer de derivabilitate pentru serii de funcţii
precizează în ce condiţii are loc relaţia:
(VI.13) ( ) ( )1 1
n nn n
f x f∞ ∞
= =
′⎡ ⎤ x′=⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ∑ .
2. Din acest motiv această teoremă VI.21 se numeşte "Teorema de
derivare termen cu termen a unei serii de funcţii".
3. Vom demonstra un rezultat fundamental "Teorema lui Weierstrass"
care precizează în ce condiţii o funcţie continuă poate fi aproximată
uniform prin şiruri de polinoame algebrice.
Teorema VI.23. (Teorema Stone - Weierstrass)
Dacă f este o funcţie continuă pe un interval [ ],a b ⊂R, atunci există un şir
de polinoame cu coeficienţi reali Pn uniform convergent la f pe [ ] , adică:
,a b
438
-
(VI.14) ( )[ ]
( ),
limuc
na b nf x P
→∞= x sau (VI.14')
[ ]( ) ( )
,lim sup 0nn x a b
P x f x→∞ ∈
⎡ ⎤− =⎢ ⎥
⎣ ⎦.
Demonstraţie: Metoda I este directă.
Considerăm = [0,1] şi f (0) = f (1) = 0 şi f nulă în afara intervalului
. Fără a restrânge generalitatea, în locul lui f considerăm funcţia:
[ ,a b]
][ ,a b
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ]( ) ( )
0 1 0 ,
0 1 0
g x f x f x f f x
g g
⎧ = − − − ∈⎡ ⎤⎪ ⎣ ⎦⎨
= =⎪⎩
0,1
şi definim polinoamele ( ) ( ) (21 , 1,2,.nn nQ x C x n= − = ).. pentru care
coeficienţii Cn se determină prin egalitatea ( )1
1
1nQ x dx−
=∫ .
( )( )( )
( )
21
20 0
1sin 2 cos 1; cos cu , 2
2 1 !!; 2
2 !! 2şi
2 !!; 2 1
2 1 !!
nn n
n n n
n
nx t C tdt I tdt I I nn
kn k
kI
kn k
k
ππ
+−
⎛ ⎞−⎜ ⎟= ⇒ = = = ≥⎜ ⎟
⎜ ⎟⎜ ⎟−⎧ π
⋅ =⎜ ⎟⎪⎜ ⎟⎪= ⎨⎜ ⎟
⎪⎜ ⎟= +⎪⎜ ⎟+⎩⎝ ⎠
∫ ∫
Se demonstrează că pentru orice ∀δ > 0, şirul de funcţii ( ) 1n nQ ≥ este
uniform convergent pe [δ, 1]. Se consideră şirul de polinoame
cu x∈[0, 1] şi se arată că P( ) ( ) ( )1
1nP x f x t Q t dt
−
= +∫ n n este de grad n.
Avem –1 ≤ x+t ≤ 1, dar f este nulă în afara intervalulu [0,1], deci integrala
pentru Pn se va studia pentru 0 ≤ x + t≤ 1 ⇔ - x ≤ t ≤ 1 - x. Notăm x + t =
=u şi avem şi P( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0
x
n n nx
P x f x t Q t dt f u Q u x du−
−
= + = −∫ ∫ n este
439
-
un polinom de grad n în x. Se arată direct că ( ) 1n nP ≥ este uniform
convergent către f pe [0,1]; se poate trece de la [ ],a b la [0,1] prin
substituţia de clasă C1: x atb a−
=−
([36], [41]).
Metoda II este numită metoda lui S. Bernstein.
Propoziţia VI.1. (Lemă ajutătoare)
Pentru ∀x∈ R şi ∀n∈ N au loc relaţiile:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0
2 2
0
2
0
1 )1 1 2 ) 1
3 ) 1 1
4 ) 1 1
n nn k n kk k k k
n nk k
nn kk k
nk
nn kk k
nk
C x x nx kC x x
nx n n x k C x x
nx x nx k C x x
− −
= =
−
=
−
=
= − = −
+ − = −
− = − −
∑ ∑
∑
∑
o o
o
o
Demonstraţie: Din relaţia binomială ( )0
nn k k n k
nk
x y C x y −=
+ =∑ (I)
care are loc pentru ∀x, y∈R, pentru y = 1 – x se obţine (1°). Derivăm
relaţia (I) în raport cu x, apoi o înmulţim cu x şi obţinem:
( ) 10
nn k k n k
nk
nx x y kC x y− −=
+ =∑ (II) pentru y = 1 – x din (II) se obţine (2°).
Derivăm (II) în raport cu x, apoi o înmulţim cu x şi obţinem:
( ) ( ) ( )1 22 20
1n
n n k k n kn
k
nx x y n n x x y k C x y− − −=
+ + − + =∑ (III); pentru y = 1 – x
din (III) rezultă (3°). Înmulţim relaţia (1°) cu n2x2, relaţia (2°) cu (-2nx) şi
relaţia (3°) cu 1, prin adunare se obţine:
440
-
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
0
0
2 2
0
1 1 1
2 1 2
3 1 1
nn kk k
nk
nn kk k
nk
nn kk k
nk
C x x n x
nx kC x x nx
nx n n x k C x x
−
=
−
=
−
=
= − ⋅
= − ⋅ −
+ − = − ⋅
∑
∑
∑
o
o
o 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
2 2 2 2 2 2 2 2
0
22 2
0
2
0
2 ( 1) 2 1
1 3 1
1
nn kk k
nk
nn kk k
nk
nn kk k
nk
n x n x nx n n x n x knx k C x x
nx n x nx k C x x nx x
nx k C x x
−
=
−
=
−
=
− + + − = − + −
⇒ − = − − ⇒ − =
= − −
∑
∑
∑
o
Propoziţia VI.2. (Teorema lui S. Bernstein)
Fie f : [0,1]→ R o funcţie continuă şi un şir de funcţii polinomiale
dat prin:
( ) 1Bn n≥
(VI.15) ( ) ( ) [ ]0
1 , 0,1n
n kk kn n
k
kx f C x x xn
−
=
⎛ ⎞= − ∀ ∈⎜ ⎟⎝ ⎠
∑
n
B ,
atunci ( este uniform convergent la f (deci B)Bn [ ]uc0,1 f⎯⎯⎯→
4
).
Demonstraţie: Din propoziţia VI.1. pentru ∀x∈R, avem:
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )0
2
0
1 1 1
1 1
nn kk k
nk
nn kk k
nk
C x x
nx x nx k C x x
−
=
−
=
= −
− = − −
∑
∑
o
o
Funcţia f continuă pe compactul [0, 1] ⊂ R este uniform continuă, deci
(5°) ∀ε>0, ∃ δ(ε) > 0 a. î. ∀x,x'∈[0, 1] cu |x – x'| < δ ⇒
( ) ( )2
f x f x ε′− < , (ε > 0 fixat).
441
-
Pentru x ∈ [0,1] considerăm ( ) ( )0
1n
n kk kn n
k
A x C x x −=
= −∑ şi din expresia lui
An, avem pentru k xn− ≥ δ :
( ) ( ) ( )2 4
2 20
1 11 1n
n kk kn n
k
k2A x x C x x nxn n
−
=
⎛ ⎞≤ − − =⎜ ⎟δ δ⎝ ⎠∑ x− .
Cum pentru ∀x∈[0,1], avem 0 ≤ x(1- x)≤ 14
, rezulta că:
(6°) ( ) 2 21
4nA x
n≤
δ.
Din (1°) se obţine inegalitatea:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0
0
7 1
1
n nn k n kk k k k
n n nk k
nn kk k
nk
kf x x f x C x x f C x xn
kf x f C x xn
− −
= =
−
=
⎛ ⎞ 1= − − −⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞≤ − −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑
∑
o - B ≤
Din (1°) şi (5°) rezultă:
( ) ( ) ( ) ( )0 0
8 12 2
n nn k n kk k k k
n nk kk xn
kf x f C x x C x xn
− −
= =
−
-
Demonstraţia teoremei Stone – Weierstrass (Teorema VI.23)
Fie din teorma Bernstein asociate funcţiei: F(t) =f [a + t(b-a)] cu
t∈[0,1] şi . Considerăm
( ) 1Bn n≥
[ ]uc0,1Bn F⎯⎯⎯→ ( ) Bn n
x aP xb a−⎛= ⎜
⎞⎟−⎝ ⎠
cu x∈[ şi
avem:
],a b
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )
, 0,1sup sup Fn n
x a b tf x P x t
∈ ∈− = t - B deci:
[ ]( ) ( )
[ ]( ) ( )
, 0,1lim sup lim sup F 0t - Bn nn nx a b
f x P x x→+∞ →+∞∈
⎡ ⎤ ⎡ ⎤− = =⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦ ⎣⎥⎦
]
,
deoarece , deci . [ ]uc0,1Bn F⎯⎯⎯→ [ ]
uc,n a bP f⎯⎯⎯→
Consecinţa VI.9.
Fie f : [ → R cu f ∈ C,a b p([ ],a b ) (p ≥ 1, fixat), atunci există un şir de
polinoame cu coeficienţi reali ( ) 1n nP ≥ a. î.:
(VI.16) [ ]
( ) ( ) ( ) ( ),
lim sup 0i inn x a bP x f x
→+∞ ∈
⎡ ⎤− =⎢
⎣ ⎦⎥ pentru i = 1, 2, ..., p.
Demonstraţie: Din f ∈ Cp([ ],a b ) ⇒ f(p) este o funcţie continuă pe
şi după teorema Stone – Weierstrass există un şir de funcţii
polinomiale P
[ ,a b]
n:[ ],a b → R cu coeficienţi reali a. î. ( ) [ ]( )uc
,p p
n a bP f⎯⎯⎯→ . După
teorema de transfer a proprietăţii "a admite primitive" pentru şiruri de
funcţii rezultă că, există un şir de constante reale ( )11n n
C≥
cu proprietatea
că: ( ) [ ]uc10,1n nP x dx C f ′+ ⎯⎯⎯→∫ ; se aplică această proprietate în continuare
de (p-1) ori şi se obţine rezultatul din enunţ.
Observaţie:
1. Teorema lui S. Bernstein se poate generaliza în sensul afirmaţiei din
consecinţa VI.9., deci:
443
-
444
fDacă f : [0, 1] → R este o funcţie de clasă C[ ]uc,n a bP ⎯⎯⎯→
p (p∈N fixat) şi
este un şir de polinoame Bernstein dat prin (VI.14) atunci Bn( )
[ ]( )uc
0,1Bi
nif⎯⎯⎯→ , i = 1, 2, ..., p.
Exemple:
1. ( )0,
2
sin cu 0, şi 1, avem : 02
ucn n
nxf x x n f fn π⎛ ⎞⎜ ⎟
⎝ ⎠
π⎛ ⎞= ∈ ≥ ⎯⎯⎯→ =⎜ ⎟⎝ ⎠
dar ( ) cosnf x′ = nx este şir divergent.
( ) ( )( );
2. : 1 cu 1 , ,;
pcn n n
x x nf n f f f f x x x
n x n
⎧ ≤⎪→ ≥ = ⇒ ⎯⎯→ = = ∀ ∈⎨>⎪⎩
RRR R R
şi fn nu este uniform convergentă pe R. Funcţia limită f este marginită pe
R, deşi nf sunt nemărginite.
3. ( ) ( ) ( ) ( )1
2,2 2
1 arctg , , 0 şi 1
nucn
n n n n
xf x x n f f f xn x
−
−′= ∈ ⎯⎯⎯→ ≡ =
+N
cu ( ) ( ) ( ) ( ) ( )0; 1
lim cu , 2,21 ; 12
nn
xf x g x f x g x x
x→∞
≠⎧⎪′ ′= = ≠ ∈ −⎨
=⎪⎩
; şirul ( )nf ′
nu este uniform convergent.
4. [ ]3 4
3
1( ) , 0,1 1n
n xf x xn
+= ∈
+avem 4ucnf f x⎯⎯⎯→ =[0,1] şi
[ ]
3 3'
0,1 3
4( )1
ucn
n xf xn
= ⎯⎯⎯→+
[ ]3 ' 3( ) 4 şi ( ) ( ) 4 , 0,1g x x f x g x x x= = = ∀ ∈ .
5. ( ) [ ] [ ] ( )2
uc0,2
sin cu 0, avem : 01n n
nxf x x f f xn π
= ∈ π ⎯⎯⎯→ =+
şi există
( ) sin 21n
nf xn
′ =+
x care nu este convergent pe [0, π]. Pentru 0 2x π= avem
( )01 3 4 1 4 3: ,0, ,0,..., , 0, ,0,...2 2 4 2 4 4n
n nf xn n+ +′ − −+ +
şir divergent în R.
-
6. Seria de funcţii:
( )33 3cos3 cos 6 cos3... ...
1 3 3 3x x nx
n+ + + +
− este uniform convergentă pe 0,
2π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
după criteriul Weiertrass:
( ) 132 21 13 3 3
nn
an
∞ ∞
=
+ = +−
∑ a∑ este convergentă; | fn | ≤ an. Seria derivatelor:
( )33 33 6 3sin 3 sin 6 ... sin 3 ... 1 3 3 3
nx x nxn
− − − −−
+ este convergentă pe 0,2π⎡ ⎤
⎢ ⎥⎣ ⎦
după criteriul Weierstrass. ( )33
3 6 3... ... 1 3 3 3
nn
+ + + +−
este convergentă şi
( )( )1 3
3, 1 cu 3, ,3 3
n n nnf x b n b b n
n′ ≤ ≥ = = ≥
−2 şi avem uc
0,1 2nf f
∞
π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦
⎯⎯⎯→∑ cu
f derivabilă, iar ( )( )32
3 1sin 3 sin 3 , 0,1 9 1n
nf x x nx xn
∞
=
π2
⎡ ⎤′ = − − ∀ ∈⎢ ⎥⎣ ⎦−∑ .
7. ( ) [ ]2 , 0,nxnf x nxe x−= ∈ 1 cu . [ ]pc0,1 0nf f⎯⎯⎯→ =
[ ]11 10,1 şi 1nn nx f en n
−⎛ ⎞⎛ ⎞= ∈ = →⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
Avem:
( ) ( )2 211 1
00 0
1 1 12 2
nx nx nnf x dx nxe dx e e
− −= − = −∫ ∫ − şi:
( ) ( ) ( )1 1
0 0
1 1lim lim 1 02 2
nn nn n
f x dx e f x dx−→∞ →∞
= − = ≠ =∫ ∫ .
8. este punctual convergentă pe [0, 1] şi nu este
uniform convergentă. Avem:
( 2 1 21
n n n n
n
x x x x∞
− −
=
− − +∑ )2
( ) ( ) ( )2 şi 0 1 0n nn nS x x x S Sn= − = = , iar
445
-
pentru x∈(0, 1) avem: ( ) ( ) ( )0 limnn nnS x x S x f x→∞ 0< < ⇒ = = , ∀x∈[0, 1]
şi [ ] [ ]0,11 1 10,1 cu
4 42 2pc
n n nn nS f x S
⎛ ⎞⎛ ⎞⎯⎯⎯→ = ∈ = ⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
R 1 . Avem:
( ) ( ) ( )1 1 1
2 1 2 2
0 0 0
1 10 şi 1 2 1
n n n nnf x dx f x dx x x x x dx n n
− −= = − − + = − −+ +∫ ∫ ∫
1 12 1n n
− +−
şi seria ( )1
1 10
1 1 1 11 2 1 2 1n n
f xn n n n
∞ ∞
=
⎛ ⎞= − − +⎜ ⎟+ + −⎝ ⎠∑ ∑∫ este
convergentă cu suma egală cu zero pe [ ]0,1x∀ ∈ . Seria punctual convergentă verifică teorema de integrare termen cu termen a unei serii de
funcţii:
( ) (1 1
2 1 2 2 2 1 2 2
1 10 0
n n n n n n n n
n n)x x x x dx x x x x dx
∞ ∞− − − −
= =
⎡ ⎤⎡ ⎤− − + = − − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑∫ ∫ .
9. ( )22 2 21( 1)
1 1 1nx n xn x n x
∞ ⎡ ⎤−−⎢
+ + −⎢ ⎥⎣ ⎦∑ ⎥
≡
cu x ∈ [0, 1] are termeni fn funcţii continue
pe [0, 1] şi continuă. Seria nu este uniform
convergentă
( )pc[0,1]1
cu 0nf f f x∞
⎯⎯⎯→∑
( ) [ ]pc[0,1]2 21 1 10, 0,1 ,
1 2n n nnxS x f x Sn x n n
⎛ ⎞⎛ ⎞= ⎯⎯⎯→ = = ∈ = ⎯⎯→⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠⎝ ⎠R 1
2.
10. Să se determine şirul ( ) 1Bn n≥ de polinoame Bernstein pentru
( ) [ ] cu 0,1f x x x= ∈ . Avem:
( ) ( ) ( ) ( )0 0 0
11 1 1Bn n n
n k n k n kk k k k k kn n n n
k k k
k kx f C x x C x x kC x xn n n
− −
= = =
⎛ ⎞= − = − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ ∑ − =uc
[0,1]
1 şi nnx x fn= = ⎯⎯⎯→B .
446
-
11. Să se determine şirul ( ) 1Bn n≥ de polinoame Bernstein pentru
( ) [ ]2 cu 0,1f x x x= ∈ . Avem:
( ) ( ) ( )220 0
11 1Bn n
n k n kk k k kn n n
k k
kx f C x x k C x xn n
− −
= =
⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠
∑ ∑ =
( ) uc2 2 [0,1]21 -1 11 = + şi Bn
nnx n n x x x fn n n
⎡ ⎤= + − ⎯⎯⎯→⎣ ⎦ .
12. Fie ( ) ( ) 1 şi cu şi 1nf x x g x x x nn= = + ∈R ≥
2f
. Să se arate că:
uc pc2 şi n ng f g⎯⎯→ ⎯⎯→R R . Avem:
( ) ( )
( ) ( )
( )
uc
22 2 2
2 2
2
pc2 2
10 cu
21 2 1 10
pentru 1
n n
n
n
n nf x g x g f
n x
xxf x g x x xn n n n n
x xn n x g f
ε
ε
∀ ≥⎧< − = < ε ⇒ ⎯⎯→⎨∀ ∈⎩
⎛ ⎞< − = − + = − ≤ +⎜ ⎟⎝ ⎠
⎡ ⎤+ + ε⎢ ⎥∀ ≥ = + ⇒ ⎯⎯→⎢ ⎥ε⎢ ⎥⎣ ⎦
R
R
R
< ε
13. 1
cos , cu şi > 0nx xn
∞
α ∈ α∑ R . Avem: cos 1( ) ,n
nxf x x
n nα α= ≤ ∀ ∈R .
Pentru α >1 seria 1 1
1nan
∞ ∞
α =∑ ∑ este convergentă şi atunci 1
cos nxn
∞
α∑ este
uniform şi absolut convergentă (normal convergentă) pe R pentru α >1.
Din cosnnxf
nα= funcţii continue pe R şi ( )
1
ucnf x
∞
⎯⎯→∑ R f pentru α > 1
rezultă că suma f este o funcţie continuă pe R şi avem:
1 10 0
cos 1 sin ( )x xnt nxdt f t dt
n n n
∞ ∞
α α
⎛ ⎞ = =⎜ ⎟⎝ ⎠∑ ∑∫ ∫ .
447