inzenjerska matematika i huse fatkic viii dio

7/23/2019 Inzenjerska Matematika I Huse Fatkic VIII dio

1/10

71

konvergentan akko je ogranien odozgo. Ako pak niz (Sn) nije ogranien odozgo, ondavrijedi: lim .n

nS

Na osnovu ovoga mo!emo formulisati sljedei va!an i jednostavan stav:

Stav 2.6.1. Pozitivni red (2.6.1) je konvergentan akko je niz (Sn) njegovih parcijalnihsuma ogranien odozgo.

Ako niz (Sn) nije ogranien odozgo, onda je pozitivni red (2.6.1) divergentan i vrijediNa osnovu stava 2.6.1. mo!emo zakljuiti da svaki pozitivni red ima sumu

(konanu ili beskonanu). Ta suma je konana akko je niz parcijalnih suma toga reda

ogranien. Veina kriterija za konvergenciju ili divergenciju pozitivnih redova zasnovana je

indirektno na jednostavnom stavu 2.6.1.

.1

n na

Primjenom stava 2.6.1. dokazuje se da je red , gdje je fiksan realan broj,konvergentan ako je >1, a divergentan ako je 1.

n

1

Ovaj red se naziva hiperharmonijski red. Ako je = 1, dobijemo tzv. harmonijski red.

Stavovi o konvergenciji pozitivnih redova dobijeni poreenjem redova

Posmatrajmo sada dva pozitivna reda " red (2.6.1) (tj. red an) i redbn. (2.6.2)

Prvi kriterij uporeivanja dat emo u obliku sljedee teoreme:

Teorema 2.6.1. Pretpostavimo da postoji prirodni broj n0, takav da za lanove redova

(2.6.1) i (2.6.2) va!e nejednakosti*)

an b

n za sve n n

0 . Tada iz konvergencije reda

(2.6.2) slijedi konvergencija reda (2.6.1), a iz divergencije reda (2.6.1) slijedi divergencija

reda (2.6.2)

(U ovom sluaju ka!emo da je red bn majorantareda an, a da je red anminorantareda bn.)

Dokaz:Na osnovu tvrdnje 2.5.1. bez ogranienja op#tosti, mo!emo pretpostaviti da je n0= 1.

Parcijalne sume reda (2.6.1), odnosno reda (2.6.2), oznaimo sa sn', odnosno sn''. Neka je

R. Iz nejednakosti anbn (nN) slijedi da je sn' sn'' s''. Dakle, niz (sn' ) jeneopadajui i ogranien odozgo, te postoji .

''lim'

lim

''ssnn

nn s

Drugo tvrenje teoreme je ekvivalentno prvom, kao njegova kontrapozicija.

Teorema 2.6.2. Neka postoji 0 K , gdje su ani bn lanovi redova(2.6.1) i (2.6.2). Ako je K < , onda iz konvergencije reda (2.6.2) slijedi konvergencija reda(2.6.1). Ako je K> 0, iz divergencije reda (2.6.2) slijedi divergencija reda (2.6.1).

,lim Kb

a

n

nn

_____________________*) ili nejednakosti an k bn za svaki nN i za svaki kR

+.


2/10

72

(Ako je an= O(bn) i bn= O(an) (n+) ili an~bn (n+) ili ako postoji

0


3/10

73

Kako red konvergira, to konvergira i red . Dakle, konvergira i red(2.6.1).

01

k

nka q

1 0k kna

Ako je za svaki nn0', onda op!ti lan an ne te!i ka nuli, pa red

(2.6.1) divergira na osnovu teoreme 2.5.1.

11

n

n

aa

2Neka je i 0 < < 1 " l. Oznaimo q: = l+ . Tada postoji n0N1lim1 l

a

a

n

nn

tako da je za svaki nn0. Na osnovu dokazanog dijela 1ovog stava dobijemo da red

(2.6.1) konvergira.

11 qa

a

n

n

Ako je , tada je poev od nekog n0'N, pa tvrenje ponovo11

n

n

a

a

slijedi iz prvog dijela stava.

1lim 1 la

a

n

nn

3 Neka je >0, takav da je < 1 " q. Tada postoji n0= n0()N, takav da vrijedi

Otuda je Kako red (q+)n konvergira, to konvergira i red an.

.1,...,,0 01 nniq

a

a

i

i

.)()(

00

0 n

n

n

n qq

aa

Primjer 2.6.3.

1 Red konvergira, jer je .3

1

12

3

3

1)1()1(2lim

21

2

nn

nn n

nn

n

nn

3

122

2 Harmonijski red divergira, a red konvergira. Za oba reda je

pa se o njihovoj konvergenciji na osnovu Dalamberovog kriterijuma ne

n

1 2

1

n

,1lim 1 n

nn

a

a

mo!e rei ni#ta. (U takvim sluajevima ovaj kriterijum je neodluiv / red mo!e da konvergiraili da divergira /. )

Analogno se dokazuje da vrijedi i sljedei kriterij:

Stav 2.6.3. (Ko!ijev / korijeni/ kriterijum) /Root test/, (1821).

1 Ako za red (2.6.1) postoji n0N i qR, tako da je za nn0, ondaon konvergira. Ako postoji n0'N tako da je za nn0' , onda red (2.6.1)divergira .

1 qan n

1n na

2 Neka postoji Tada za l < 1 red (2.6.1) konvergira, a za l> 1 on

divergira..:lim lan nn

1n na 3 Ako je onda l< 1 an konvergira, a l> 1 ,:lim lan nn (najop#tiji oblik Cauchyjevog kriterijuma korijena)

*).

_____________________*) U sluajevima, kada Dalamberov i Ko#ijev kriterijum ne daju odgovor, onda primjenjujemo preciznije

kriterijume, koji se zasnivaju na uporeivanju reda kojeg ispitujemo sa drugim poznatim redovima (kao #to su

harmonijski i hiperharmonijski, pomou kojih se mo!e dobiti i, npr., Rabeov i logaritamski kriterij) ija je

konvergencija sporija od geometrijske progresije. Inae, za red an ka!emo da je sporije konvergentannegored an' ako za sumu rn ostatka reda an i za sumu rn' ostatka reda an' vrijedi relacija

.0)'/(lim nnn rr


4/10

74

Primjer 2.6.4.

1 Red konvergira jer je

1 12

1

n

n

n

n

2 Slino kao u primjeru 2.6.3. pokazuje se da u sluaju da je ne mo!emo

ni"ta rei o konvergenciji reda (2.6.1) na osnovu Ko"ijevog kriterijuma. (U ovom sluajuCauchyjev kriterijum korijena je neodluiv.)

.2

1

12

1

lim

n

n

n n

n

,1lim n nn a

Dokazuje se da va!e i sljedea tri kriterija za pozitivne redove.*)

1) Ako, poev"i od nekog n, va!i nejednakost odnosno,111

ra

an

n

n,11

1

n

n

a

an

onda red (2.6.1) konvergira, odnosno divergira. Ako je onda red

(2.6.1) konvergira, odnosno divergira, za r>1, odnosno r 1 (odnosno = 1, < 1) red (2.6.1.) konvergira (odnosno divergira) ("toslijedi neposredno iz Rabeovog kriterijuma).

c) Za = 1, = 1, red (2.6.1.) divergira (ovo se dokazuje na osnovu tzv. Kummerovogkriterijuma, iju formulaciju ovdje neemo navoditi).

Ovo je tzv. Gausov***)

kriterijum, koji se obino koristi ako je = 1, jer za 1konvergencija reda se mo!e ispitati Dalamberovim ili Ko"ijevim korijenim kriterijumom. Onima "iroku oblast primjene, ali on ipak nije univerzalan, jer razvoj (2.6.3.) ne mora uvijek

da postoji (nije uvijek mogu).

3) (Integralni kriterijum)

Neka je f(x) nenegativna i nerastua realna funkcija na [a, + ) (R) za neki a > 0 i

neka je an=f(n). Tada red n(a)an konvergira ako i samo ako konvergira nesvojstveni

integral****)

tj. ovaj red i ovaj integral su ekvikonvergentni.( ) ,a

f x dx

________________*)Raabeov i Gaussov kriterij, a i neki drugi kriteriji (kao "to je Bertrandov kriterij), izvode se iz Kummerovog

kriterijuma, koji predstavlja jedan op"ti kriterij (pa kao takav ima teorijski znaaj).**) J. L. Raabe (1801 # 1859) - "vajcarski matematiar.***)

C. F. Gauss (1777 # 1855), njemaki matematiar, fiziar i astronom (koji je prvi dokazao osnovni teoremalgebre u svojoj doktorskoj disertaciji i to kao mladiod 22 godine; po mnogima Gaus je najvei matematiar

svih vremena).****) Pojam nesvojstvenog integralaemo uvesti pri kraju ovog kursa.


5/10

75

Zadatak 2. 6.1.*

a) Poka!ite da red konvergira te izraunajte sumuna

2n

na

, gdje je

1

43

5

n

n na

( n N0).

b) Poka!ite da red0

2 3

4

n n

n nn

a

, (za an iz a)), konvergira, a zatim naite

njegovu sumu .

Zadatak 2. 6. 2.* a)Doka!ite da red

1

1n n konvergira.

b)Izraunajte sumu 1

( 1)n kn n

, gdje je ksuma svih cifara va"eg matinog broja.

c)Poka!ite da vrijedi2

1 1,

( 1) ( 1)n n n

za svaki nN.

d) Poka!ite usporednim kriterijem da red

21

1

n konvergira.

e)Ustanovite na osnovu d) da je red 21

n konvergentan. ( Dokazuje se da za

pripadnu sumu ovog reda vrijedi:2

21

1

6n n

.)

Zadatak 2. 6. 3.* a) Zamjenom niza (xn) odgovarajuim redom, ispitajte konvergenciju niza (xn)zadanog formulom

1

2

1 1 .

2 2 2nx n

n

b) Koristei Gaussov kriterijispitajte za svaki p R konvergenciju reda na ako je

(2 1) ##

(2 ) ##

p

n

n

n

a

( nN).

c)Doka!ite da redovi i1 nn

a 1 nn b konvergiraju i izraunajte njihove sume ako je

12n n

na

,

1 1 1 1(1 )

( 1) 2 3 2 1nb

n n n

( nN).

_______________

*) Zadatak zadavan za domau zadau (DZ) i (parcijalni i/ili integralni) pismeni ispit iz In!enjerske

matematike 1 (IM1) na Elektrotehnikom fakultetu Univerziteta u Sarajevu.


6/10

I N E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

Haurit aquam cribro,qui discre vult sinelibro.

[Crpe vodu sitom tko !eli uiti bez knjige.](LATINSKA IZREKA)

P r e d a v a n j a z a p e t u s e d m i c u n a s t a v e(u akademskoj 2010/2011. godini)

2.7. Redovi s proizvoljnim lanovima(Redovi sa lanovima proizvoljnog znaka)

Neka je dat realni red

an. (2.7.1)

Ako ovaj red ima samo konano mnogo negativnih lanova, onda takav red zovemo pozitivni red,

jer odbacivanjem tih negativnih lanova, !to kao !to znamo ne utie na konvergenciju reda,dobijemo pozitivni red u u"em smislu (tj. red iji su svi lanovi nenegativni). Dakle, u ovom sluaju

na red (2.7.1) mo"emo primijeniti neki od kriterija za konvergenciju pozitivnih redova. Slino, ako

red (2.7.1) ima samo konano mnogo pozitivnih lanova, onda odbacivanjem tih pozitivnih lanova imno"enjem sa (#1), !to takoe ne utie na konvergenciju reda, dobijemo pozitivni red (u u"em

smislu), pa ponovo mo"emo koristiti kriterije za konvergenciju pozitivnih redova. Ako, pak, red

(2.7.1) ima beskonano mnogo pozitivnih i beskonano mnogo negativnih lanova, onda ne mo"emo

(bar neposredno) primijeniti kriterije za konvergenciju pozitivnih redova, te nam trebaju novi

kriteriji za ispitivanje konvergencije takvih redova. Navest emo neke od njih, ali prvo emo navestijednu korisnu formulu. To je tzv. Abelova sumaciona formula (pravilo) koja je pogodna zaizvoenje dokaza kriterija za redove sa op!tim lanom oblika anbn, a poznata je i pod nazivom

pravilo parcijalnog sumiranja, a glasi:

Za svaki nN i za sve proizvoljne nizove (ak), (bk) u R vrijedi:

(2.7.2)1

1

1 1

( )i i n n i i i

nn

i i

a b a B a a B

,

.

gdje je Bi= b1+ b2+ + bi, ( i= 1, 2, ..., n ).

Ovaj rezultat je analogan formuli (pravilu) parcijalne integracije.

Abelova adiciona formula (2.7.2) izvodi se na sljedei nain:Neka su ai, bi ( i= 1, 2, ..., n) neki brojevi. Stavimo: B0= 0, B1= b1,B2= b1+ b2, ... ,Bk= b1+ b2+ + bk, ... ,

Bn= b1+ b2+ + bn. Tada je, za i= 1, 2, ..., n,Bi= ( b1+ + bi-1 + bi ) # ( b1+ + bi-1 ) =Bi#Bi#1. (2.7.3)

Posmatrajmo sada sumu Na osnovu (2.7.3) vrijedi.1

n

i iiba

111 1 1 1

( )n n n n

i i i i i i i iii i i i

a b a B B a B a B

Ako u posljednoj sumi pi!emo i umjesto i"1 ( i dakle i+1 umjesto i), dobijemo

1

1

1 1 1

.n n n

i i i i i i

i i i

a b a B a B

76


7/10

77

1,

No, kako je B0= 0, imamo

1 1 11

1 1

1 1 1 1 1 1

( )i i i i i i n n i i i i n n i i i

n n nnn n

i i i i i i

a b a B a B a B a B a B a B a a B

tj. dobili smo formulu (2.7.2).

2.7.1. Osnovni kriterijumi konvergencije redovas lanovima proizvoljnog znaka

Primjenom Abelove sumacione formule dokazuje se sljedea Dedekindova1) teorema, koja se(kao i naredne teoreme) odnosi na redove (u R) sa lanovima proizvoljnog znaka, iji se op!ti lanmo"e predstaviti u obliku anbn.

2)

Teorema 2.7.1.Neka je zadan redanbn (2.7.4)

i neka su zadovoljeni sljedei uslovi:

1) an0 (n); 2) red an# an+1 je konvergentan;3) niz (Bn) parcijalnih suma reda bn je ogranien.

Tada je red (2.7.4) konvergentan.

Primjenom Abelove sumacione formule ili Dedekindove teoreme 2.7.1. dokazuje se da vrijedi

sljedei kriterij:

Teorema 2.7.2. (Dirichletov kriterij).3) Neka je zadan red anbn (u R) i neka suzadovoljeni sljedei uslovi:

(i)

niz (an) monotono te!i ka nuli;(ii) niz (Sn) parcijalnih suma reda bn je ogranien.

Tada je red anbn konvergentan(uR).

Primjenom Dirichletovog kriterija ili Abelove sumacione formule (2.7.3) dobije se Abelovkriterij za konvergenciju redova u R (redova sa lanovima proizvoljnog znaka, u kojih je op!tilan oblika anbn):

Teorema 2.7.3.Neka je zadan red anbn i neka su zadovoljeni sljedei uslovi:(a)niz (an) je monoton i ogranien ;

(b)red bn je konvergentan.Tada je red anbn konvergentan.

Primjer 2.7.1. Kako je za svaki kN,1

(1 ) ,1

i t i k t k

it

int

ne ee

e

(i# imaginarna jedinica), a

1 # eit

= (1 # cos t) # isin t = 2 sin2

t (sin2

t# icos

2

t), to se lako doka"e da je

1 1

( 1) ( 1)cos sin cos cosec , sin sin sin cosec

2 2 2 2 2

k k

n n

kt k t t kt k t t nt nt

2, pa je

_____________________1) (Julius Wilhelm) Richard Dedekind (1831 # 1916) # njemaki matematiar.

2) To nije neko posebno ogranienje, jer se svaki niz (xn) u Rmo"e napisati u obliku

n

nn

a

xa , (an0 za nN).

3)Peter Gustav Lejeune Dirichlet (1805 # 1859) # njemaki matematiar.


8/10

78

1 1

1

cos cosec , sin cosec .2 2sin

2

k k

n n

t t

nt nt t

Sada slijedi po Dirichletovom

kriteriju da redovi (sa lanovima promjenljivog znaka) n

nt

n

nt sin,

cos konvergiraju (u R) za

svaki tR, t2k (kZ).

2.7.2. Apsolutna konvergencija redova

Bez te!koa se dokazuje sljedei stav:

Stav 2.7.1. Ako red

an (2.7.5)konvergira, onda konvergira i red(2.7.1), tj. red an (uR).Dokaz: Dokaz slijedi iz teoreme 2.7.1. i nejednakosti

an+1 + an+2 + + an+pan+1+ an+2+ + an+p.

Ako red (2.7.5) konvergira, onda se ka"e da red (2.7.1) apsolutno konvergira. Za red (2.7.1) ka"ese da uslovno konvergira ili da je semikonvergentan ako konvergira, ali pri tom ne konvergiraapsolutno (kasnije emo dati primjer takvog reda). Sada se stav 2.7.1 mo"e formulisati ovako:

Stav 2.7.2.Ako je red apsolutno konvergentan, onda je on i konvergentan.

Posmatrajmo sada jednu posebnu vrstu redova sa konstantnim lanovima promjenljivog znaka.Red

(# 1)n+1cn( = c1# c2+ c3# c4+ + (# 1)n+1cn+ ),gdje su realni brojevi cn, nN, svi istog znaka (odnosno, red an sa osobinom da za svakinN vrijedi a2n#1 0, a2n 0), naziva se alternativnim redom.

Stav 2.7.3.(Leibnizov kriterijum). /Alternating series test/, (1705).

Ako je cn+1 cn, (nN), i limn cn= 0, onda alternativni red

konvergira.4)Osim toga, stavi li se

1

1(-1)n nn c

1

1 1(-1) , ( 1) ,

m n

m n

n

n nS c S

1 nc

onda jeS2kSS2l-1, (k, l N). (Vrijednost sume S alternativnog reda nalazi se u intervalu izmeu vrijednosti dvijesusjedne parcijalne sume, tj. Sm< S< Sm+1 ili Sm+1 < S < Sm..) Ostatak ovog reda ima sumurp po apsolutnoj vrijednosti manju od prvog izostavljenog lana, tj.

1 p

11( 1) , sgn (-1) .np n p ppnr c c te r

Dokaz: Parcijalne sume S2n datog reda napi!imo u obliku

S2n= (c1# c2) + (c3# c4) + + (c2n#1# c2n),odakle se vidi da je niz (S2n)nN, neopadajui. Iz jednakosti

S2n= c1# (c2# c3) # # (c2n#2# c2n#1) # c2nslijedi da je, za sve nN, S2n < c1, tj. da je niz (S2n)nN ogranien. Prema tome, postojilimn S2n= S.

__________________Za alternativni red (# 1)n+1 cn ka"emo da je red Leibnizovog tipa ako je niz (cn) monotono opadajuinula # niz. Alternativni red mo"e konvergirati iako nije Leibnizovog tipa.


9/10

79

Iz jednakosti S2n+1 = S2n+ c2n+1 slijedi da je i limn S2n+1 = S. Zato je i limn Sn= S.Ostali zakljuci stava 2.7.3. slijede iz injenice da je ostatak konvergentnog reda takoe

konvergentan i ima svojstvo asocijativnosti, pa je r2p= (c2p+1! c2p+2) + (c2p+3! c2p+4) + == c2p+1! (c2p+2! c2p+3) ! , odakle (iz prve jednakosti) slijedi r2p> 0 i (iz druge jednakosti)r2p< c2p+1. Na isti nain iz r2p+1 = (! c2p+2 + c2p+3 ) + (! c2p+4 + c2p+5) + = ! c2p+2 + (c2p+3! c2p+4) ++ slijedi r2p+1 < 0 i r2p+1 > ! c2p+2, tj. c2p+1 < c2p+2. Osim toga, iz rp= S! Sp slijedi ida je sgn rp= (-1)

p. Q.E.D.

Primjer 2.7.2.

1 Red1

( 1)n

n

oito konvergira prema Leibnizovom kriteriju, pa kako red n

1

divergira, to dati red konvergira uslovno.

2 Kako red 121

,lnn n n

(> 0), konvergira, to red 12

( 1)

ln

n

n n n

konvergiraapsolutno.

Zadatak 2. 7. 1. Naite sumu reda

1

1

1

2

n

n n

.

I.1 1

ln2 2

II. ln 2. III.1

ln 2 IV.

1ln 2

2.

Zadatak 2. 7. 2.*Naite sumu reda

4

1

3

1

2

11 .

I. .2

1ln II. ln 2. III.

2ln

1. IV. 2ln

2

1 .

Zadatak 2. 7. 3.*

a)Koliko lanova reda treba sabrati da bi se njegova suma izraunala sa tano"u

do 10! 6

, pri emu je

1

n

n

a

1

2

1

1

n

na

n

, ( n N)? .

b) Poka#ite da red , gdje jenb3 2

4

n n

n n nb a

(za an iz a) ), konvergira.

2.7.3.

Svojstva realnih redova (Asocijacija i komutacija)

Posmatrajmo proizvoljne realne redove. Korisno je znati da li se neka svojstva konanih suma

prenose na takve redove. U tom smislu dokazuje se da vrijede sljedei stavovi:

Stav 2.7.4.Konvergentan red ima svojstvo asocijativnosti.


10/10

80

Primijetimo da se grupisanjem lanova nekog divergentnog reda mo!e dobiti konvergentan red. Na primjer, red

je divergentan, dok red1

1( 1)n

n

(1 " 1) + (1 " 1) + + (1 " 1) + ,

dobijen od datog reda grupisanjem lanova, ima zbir jednak nuli. Za red s pozitivnim lanovima, meutim, tako ne#tonije mogue. To je posljedica injenice da je kod takvog reda niz parcijalnih suma monoton.

Stav 2.7.5. (Dirichletova teorema o komutativnosti apsolutno konvergentnih redova).Apsolutno konvergentan red ima svojstvo komutativnosti, tj. ako je red an apsolutnokonvergentan, i ako je s: N N proizvoljna bijekcija, onda je

( )

1 1

.n s nn n

a a

Stav 2.7.6. (Riemann 5)!Dinijev 6)stav). (1866/7. ; 1868/9.).Ako red an uslovno konvergira, onda se za svaki datiA R mo!e premje"tanjem lanova datog

reda dobiti red iji zbir7)iznosiA, tj. postoji jedna bijekcija s: N N takva da je ( )1

.s nn

a A

2.7.4.

Mno"enje redova

Posmatrajmo realne redove (2.7.1) i

.1 21

b b b bnn

n

(2.7.6)

Formirajmo beskonanodimenzionalnu matricu

(2.7.7.)

jijjj

i

i

i

babababa

babababa

babababa

babababa

321

3333231

2232221

1131211

iji su elementi proizvodi lanova redova (2.7.1) i (2.7.6). Od elemenata ove matrice mogu se

formirati razni redovi. Da li ovako formirani redovi imaju jednake ili razliite zbirove (ako ih uop#te

imaju)? U tom smislu navodimo odgovore date sljedeim stavovima:

Stav 2.7.7. (Cauchy). Ako redovi (2.7.1) i (2.7.6) apsolutno konvergiraju, onda redformiran od elemenata matrice (2.7.7), uzetih u proizvoljnom poretku, takoe apsolutnokonvergira. Pri tom je suma dobijenog redajednaka proizvodu suma redova(2.7.1) i(2.7.6).

_____________________5) Bernhard Riemann (1826 " 1866) " njemaki matematiar.6) Ulisse Dini (1845 " 1918) " talijanski matematiar.7)Ovaj stav pokazuje da kod uslovno konvergentnih redova poredak ima znaajnu ulogu i da se ovi redovi ne mogu

shvatati samo kao obian zbir svojih lanova. Konvergentni redovi te vrste se mogu pretvoriti zgodnim poretkomlanova i u divergentne redove (U. Dini, 1868/9.).

inzenjerska matematika i huse fatkic viii dio

Documents