61

take gomilanja, supremum i infimum skupa T(an) bi pripadali skupu T(an), suprotno pretpostavci. Time je dokaz stava 2.3.1. zavren.

Definicija 2.3.4. Najvea (najmanja) taka gomilanja niza (an) realnih brojeva zove se gornji limes ili limes superior (donji limes ili limes inferior) niza (an) i oznaava sa ili ( ili ). nn asuplim fo

nn afolim nn afolim nn ainflim fo Primijetimo da pojmove iz definicije 2.3.4. treba razlikovati od pojmova

sup{ an _ nN } i inf { an _ nN }.

Lako se dokazuju sljedee jednostavne injenice: ( i ) Niz (an) ima graninu vrijednost akko , tj. akko ima samo jednu taku gomilanja.

nn aa limlim ( ii) Niz (an) konvergira akko je konaan broj. (iii) Niz (an) ima graninu vrijednost akko svaki njegov podniz ima graninu vrijednost

nn aa limlim

Primjer 2. 3.1. Niz (an) iji je opti lan ima dvije take gomilanja, tj. T(an) ={0, 1}.Ovdje se radi o nizu 0, 1, 0, 1, 0, 1, , tj. a2k = 1 i a2k 1 = 0 za svaki

kN. U svakoj H - okolini take 0 nalaze se svi lanovi niza s neparnim indeksom, a u svakoj H - okolini take 1 nalaze se svi lanovi niza s parnim indeksom. Otuda je

2

1 ( 1):

n

na

,1lim na pa ne postoji.

,0lim na nn afolim Zadatak 2. 3.1. Za sve DR, odredite i (u sluajevima kada postoji) ako je niz (an) zadan optim lanom

nn aa lim,limnn afolim

Zadatak 2. 3. 2. Za sve DR, odredite (ako postoji) limes niza cos ( 1)

: .n

n

n na

nD

Rezultat: l(D) = 0 za D < 1.

Zadatak 2. 3. 3. Neka je (an) niz koji divergira ka +f, a (bn) niz iji je opti lan dat sa

cos( ) : lim .

1sin

n

n nl

n

DD of

Ustanovite da je niz (bn) infinitezimala.

1: sin cosn

n

b na

.

2.4. Cauchyjev princip konvergencije. Monotoni nizovi. Broj e

esto je od interesa ispitivanje konvergencije niza bez efektivnog nalaenja njegovog limesa. A ustanoviti da li neki niz konvergira je od fundamentalnog znaaja u raznim oblastima primjene teorije nizova, kao to su numerika analiza, automatsko upravljanje, obrada signala, teorija sistema i dr. Jedan od naina za ispitivanje konvergencije nizova, koristei se samo poznavanjem samog niza, a ne znajui unaprijed kojoj bi to graninoj vrijednosti on konvergirao, daje Cauchyjev kriterij konvergencije.

Definicija 2.4.1. Za niz (an) u R kaemo da je Cauchyjev ili fundamentalan ako za

svaki H > 0 postoji indeks n0N takav da je _ am an _ < H im su indeksi m i n vei od n0.

Lako se dokazuje da Cauchyjevi nizovi imaju ova svojstva:

(i) Svaki konvergentan niz je Cauchyjev.

62

(ii) Svaki Cauchyjev niz je ogranien. (iii) Ako Cauchyjev niz ima konvergentan podniz, on je i sam konvergentan.

No, vrijedi i obrat izjave (i), tj. vrijedi sljedea teorema koja se naziva Cauchyjevim principom konvergencije

*).

Teorema 2.4.1. Svaki Cauchyjev niz u R je konvergentan (u R).

Dokaz: Neka je (an) Cauchyjev niz u R. Tada je on ogranien, pa iz Bolzano Weierstrassove teoreme slijedi da postoji podniz ( ) tog niza koji konvergira u R. Na

osnovu svojstva (iii) Cauchyjevog niza slijedi da je niz (an) konvergentan (u R), to je

trebalo i dokazati.

ank

Primjer 2.4.1. Primjenom Cauchyjevog kriterijuma dokaimo da je niz (an)

1

1.n

n

idivergentan ako je

Dovoljno je dokazati da taj niz nije Cauchyjev, tj. dovoljno je dokazati logiku negaciju uslova iz definicije Cauchyjevog niza:

i a(an) nije Cauchyjev H ! n0N) ( m, n N) (m, n t n0 i _am an _ t H ).

U naem primjeru stavimo H = , m = 2n. Tada je )(

2

1

2

11

2

1

1

1 H ! nnnnnnaa nm za svaki nN, pa niz (an) nije Cauchyjev.

Definicija 2.4.2. Za niz (an) u R kaemo da je neopadajui ako je an d an+1 za svaki nN, a da je rastui (strogo rastui) ako je an < an+1 za svaki nN. Analogno se definira nerastui i opadajui (strogo opadajui) nizovi. Jednim imenom nizove navedena etiri tipa zovemo monotoni nizovi.

Za monotone nizove vai sljedei veoma jednostavan kriterij konvergencije : Svaki monoton i ogranien niz u R je i konvergentan u R. Zapravo, vrijedi sljedea teorema:

Teorema 2.4.2.

(i) Neka je (an) neopadajui niz u R. Tada (an) konvergira u R akko je ogranien odozgo.

(ii) Svaki neopadajui niz u R ima graninu vrijednost u R. Analogne izjave vrijede i za nerastue nizove.

Dokaz: (i) Dovoljno je dokazati da neopadajui i odozgo ogranien niz (an) u R ima konanu graninu vrijednost. Prema teoremi o supremumu postoji a : = sup{ an _ n N }< + f, odakle slijedi da za svaki H > 0 postoji n0 N takav da je a - H < d a. No, kako je niz an neopadajui, otuda je a - H < an d a za svaki n > n0 , tj. _ an a _ < H za svaki n > n0, pa je niz (an) konvergenatn i lim an = a.

0na

_____________________ *) Umjesto ovog teorema esto se daje Cauchyjev kriterij konvergencije za nizove u R koji glasi : Niz (an) u R je konvergentan u R akko je Cauchyjev.

63

(ii) Ako neopadajui niz (an) nije ogranien, to znai da se za svaki MR moe nai n0N takav da je > M. No, zbog svojstva monotonosti; otuda slijedi da je takoe an > M za svaki n > n0. Time je pokazano da niz (an) u R ima graninu vrijednost u R i lim an = + f .

0na

Primjer 2.4.2. Dokaimo da je niz (an) realnih brojeva definiran optim lanom

an : = , (nN), konvergenatn. U tu svrhu dovoljno je dokazati da je ovaj niz nn 11

(strogo) rastui i ogranien odozgo. Na osnovu Bernulijeve nejednakosti imamo (za svaki n t 2):

,1

11

1

11

11

,1

11

11

1

1

111

22

!

! n

nnnn

n

n

ann

n

nna

nnn

n

tj.

odakle slijedi da je niz (an) (strogo) rastui. Dokaimo da je niz (an) ogranien odozgo. Za n t 2 primjenom Newtonove binomne formule dobijemo

0 2

2

1 ... 11 11 1 1

!

1 1 2 12 1 1 ... 1 .

!

n k k

n n n

k k

n

k

n n n n ka

kn n k n

k

k n n n

Iz nejednakosti k! t 2k-1, (k t 2), i formule za zbir prvih n lanova geometrijskog niza dobijemo

tj. niz (an) je ogranien odozgo.

1

1 2 1

1

2 2 2

11

1 1 1 1 1 1 21 1 1 1 1 1 1

1! 2 2 2 2 21

2

13 3,

2

n

kn

n k n

n

n n

k k k

ak

d

Otuda slijedi da niz (an) ima konanu graninu vrijednost. Tu graninu vrijednost (prema Euleru) zovemo broj e. Dakle,

Lako se dokazuje da je broj e (koji se jo zove i Eulerov broj) iracionalan broj, a

Hermite je 1873. godine dokazao da je broj e ak i transcendentan, tj. ne zadovoljava nikakvu algebarsku jednainu a0xn + a1xn-1 + + an = 0, (a0 z 0), s racionalnim koeficijentima. Broj e ima veliki znaaj u matematikoj analizi i njenim primjenama, a esto i prirodno se uzima za bazu logaritmu ( prirodni logaritam ln).

...).590457182818284,2(),32(,1

1lim: fo eenen

n

Primjer 2.4.3.

a) i za b) za sve D , E R svaki niz (a ) n u R takav da je

2

1

11

1im lim ; lim 1

1 11

n

n

n nn

ann en

e en e a

n

Eln n

DEDof of of

lim .n naof r f

64

Zadatak 2. 4. 1.* Naite (ako postoji) ili ustanovite da ne postoji lim an , gdje je

an : = 12 31 1 1 1 12 2 2 2n n1 1 . I. 2 .

3

II. f. III. 2 .3

IV. Ne postoji lim an.

Zadatak 2. 4. 2.* Za niz (an), gdje je an : = n

n

n

n

8

94

3 , (n N), naite lim an. (Rezultat. f.) Zadatak 2. 4. 3.

* Za niz (an), gdje je an : =

3 6 1nn + 3 6 2n n + ... + 3 6 2 nn n , ( n N \ {1}), naite lim an i lim (an)n . Zadatak 2. 4. 4.

** Du veliine a je podijeljena na n dijelova jednakih duina. Nad svakim dijelom

konstruisan je krug. Odredite:

a) zbir On, obima svih dobijenih krugova; b) zbir Pn, povrina svih dobijenih krugova;

c) ; d) . lim nn

Oof lim nn PofZatim diskutujte dobivene rezultate pod c) i d).

Zadatak 2. 4. 5. Neka je realan broj i neka je niz ( 1)a t nx definiran formulama: 21 1 2

3, 1 log

3 1

n n

n

n

x xx a x

x

. Dokazati da zadani niz ima konaan limes, a zatim odrediti taj limes. (Rezultat. 1.)

2. 5. Pojam i neka svojstva (beskonanog) reda

Predmet prouavanja ovog i narednih paragrafa ove glave je uglavnom teorija numerikih (brojnih) redova. Ona se oslanja na teoriju nizova i (intuitivno, opisno) moe se rei da je taj predmet sumiranje beskonanog broja konanih sabiraka. To sumiranje privlai panju naunika jo od antikog doba, koji su u tom postupku otkrili vie paradoksa (kao to je paradoks grkog filozofa Zenona iz Eleje, koji je tvrdio da strijela ne moe da leti, odnosno da Brzonogi Ahil utrkujui se s biem koje je najsporije, kornjaom, nee je moi dostii, ako je ona pola prije njega

***).

Beskonanim redom smo se zapravo ve formalno sluili predstavljajui realne brojeve beskonanim decimalnim brojevima, npr. kada smo stavljali = 0,333 , jer u decimalnom zapisu (oznaci) to ne znai

drugo nego , dakle, simbol koji ima oblik zbira u kome broj (konanih) sabiraka 10103 n310331 2

raste bez kraja. Budui da smo se dosad susretali samo sa sumama konanog broja sabiraka, uvodimo tim nainom pisanja sasvim nov simbol kome treba jasno i tano odrediti znaenje da izbjegnemo bezbrojnim zamkama to se kriju na svakome koraku kada se uputimo u krajeve beskonano velikoga. __________ *) Zadatak sa ispita iz IM1.

**) Zadatak koji je bio zadan za domau zadau iz IM1. ***) Kako znamo da strijela ipak leti, odnosno da je Ahil mogao dostii kornjau, Zenonov paradoks emo objasniti na kraju ovog paragrafa.

65

Neka je zadano beskonano mnogo (niz) realnih brojeva a1, a2, , an, i pomou njih napisan simboliki izraz u obliku zbira: a1 + a2 + + an + . (2.5.1) Taj simbol naziva se beskonanim (realnim) redom s optim lanom an, ili beskonanim redom kome su brojevi a1, a2, , an, lanovi*), ili krae (realnim) redom (ili redom u R).

Da tom simbolu damo znaenje, prirodno je da postupamo ovako. Oznaimo prvi lan tog izraza sa s1, zbir a1 + a2 sa s2, itd., tj. stavimo:

s1 : = a1, s2 : = a1 + a2, , sn : = a1 + a2 + + an , ; (2.5.2) saberimo dakle zadane brojeve a1, a2, , an, poevi od prvoga lan po lan. Tako dolazimo do niza (sn) parcijalnih zbirova ili parcijalnih suma (odsjeaka) zadanog reda (2.5.1):

s1, s2, , sn, (2.5.3)

kome su lanovi zbirovi od sve veeg, ali uvijek konanog broja lanova a1, a2, uzetih redom kako se u simbolu (2.5.1) pojavljuju.

Simbol beskonanog reda : a1 + a2 + + an + ili krae (2.5.4) 1n naf

samo je druga oznaka za beskonani niz parcijalnih zbirova (sn).

No, u novije vrijeme se obino pojam (beskonanog) reda uvodi na ovaj formalniji (precizan) nain (jer red nije obina suma svojih lanova i pri sumiranju beskonanog broja sabiraka pojavljuju se neke nove osobine u odnosu na konaan sluaj **) ): Neka je (an) niz realnih brojeva. Tada je za svaki kN definirana suma:

k

k

n

nk aaaas ...: 211 (2.5.5) prvih k lanova niza (an) tako da za svaki k( N \{1}) vrijedi

sk = sk1 + ak . (2.5.6)

Prirodna je ideja da se suma s svih lanova niza (an) definie kao . kk

sfolim

Analogno se postupa i u proizvoljnom normiranom vektorskom prostoru X (normirani vektorski prostor je ureen par ( X, __ __ ) koji se sastoji od vektorskog prostora X nad poljem ) realnih ili kompleksnih brojeva i norme na X, tj. preslikavanja __ __ : X o R , gdje je R skup realnih brojeva, koje zadovoljava uslove: (N 1) __ x __ t 0; (N 2) __ x __ = 0 x = 0X (nulavektor u X ); (N 3) __ O x __ = _ O _ __ x __ , (O), xX ); (N 4) __ x1 + x2 __ d __ x1 __ + __ x2 __ ). Ako elimo sumirati sve lanove niz (an) iz X, pridruujemo nizu (an) nov niz (sk, kN), gdje je sk dato realcijom (2.5.5) i govorimo o redu s lanovima an i parcijalnim sumama sk.

_____________________ *) Take na njegovom kraju znae da dodavanju novih lanova nema kraja. **) Da red nije obina suma svojih lanova vidimo npr. iz pokuaja sumiranja lanova niza ((-1)n-1 ) na tri razliita naina: 1) 1 1 + 1 1 + 1 = (1 1) + (1 1) + (1 1) + = 0; 2) 1 1 + 1 1 + 1 = = 1 + (1 + 1 ) + (1 + 1) + = 1; 3) 1 1 + 1 1 + 1 = (1 1) + (1 1) + = (1 + 1) + (1 + 1)+ + = 1 + (1 1) + (1 1) + = 1.

66

Definicija 2.5.1. Neka je dat niz (an) u R (ili, optije, u normiranom vektorskom

prostoru X ) i neka je za svaki kN. Beskonani red ili, krae, red u R ks a ( ili, optije, u proizvoljnom normiranom vektorskom prostoru X ) je ureen par ((an), (sk)) koji se sastoji od dva niza (an) , (sk) (an, sk R, odnosno, an, sk X ); an su lanovi reda, a sk (kN) k te parcijalne sume reda. Niz (sk) nazivamo nizom parcijalnih suma datog reda. Sam red se krae oznaava

1k nn

ili ili . *)

(2.5.7) t nn nn n aaa1 Za an se kae da je n-ti lan reda an, a ako je specificirana zavisnost an od n, onda se an naziva opti lan reda an.

Iz definicije 2.5.1. slijedi da su dva reda jednaka akko imaju jednake lanove sa istim indeksom.

Oznaka an za red sugerie sumiranje, a primjenjiva je jer je niz (sk) parcijalnih suma (tog reda) odreen nizom (an). Red se esto oznaava i ispisivanjem nekoliko prvih lanova, npr.

a1 + a2 + a3 + .

Ako su elementi (lanovi) reda realni ili kompleksni brojevi, kaemo da je taj red numeriki ili brojni (sa konstantnim lanovima); redove iji su lanovi funkcije nazivamo funkcionalnim redovima.

Definicija 2.5.2. Neka je (an) niz u R (ili, optije, iz normiranog vektorskog prostora X

). Kaemo da je niz (an) sumabilan u R ( odnosno, u X ) ili da je red an konvergentan ( u R, odnosno, u X ) ako je niz parcijalnih suma (sk) reda an konvergentan ( u R, odnosno, u X ). Limes naziva se suma reda an i oznaava se sa kk ss fo lim:

(2.5.8)

Ako red an nije konvergentan, kae se da je divergentan. .1f n nas

Radi vee jasnoe u ovom poglavlju razlikujemo simbole an i n an za red od simbola za sumu reda, to esto nije sluaj u literaturi *). Ponekad su lanovi reda numerisani poevi od 0, ili od nekog (fiksiranog) prirodnog broja r (>1). Tada se

f 1n nasuma reda an oznaava sa odnosno .f 0 ,n na f rn na

Nadalje emo se (ako drugaije ne naznaimo) ograniiti na redove u R (redove realnih brojeva, redove s konstantnim lanovima).

Ako niz (sk) parcijalnih suma reda an u R ima konaan ili beskonaan limes s, onda se kae da taj red ima sumu i da mu je suma suma jednaka s. Ako niz (sk) nema limesa u

R, onda se kae da red an nema sume (ni konane ni beskonane). U skladu sa definicijom 2.5.2., za red an se kae da je konvergentan (u R) ako ima konanu sumu,

_____________________ *) Grko slovo je poetno slovo latinske rijei suma. Prva upotreba oznake za sumaciju pripisuje se Euleru.

67

a u suprotnom se kae da je red an (anR) divergentan (u R). Prema tome, red an u R je divergentan (u R) u sljedea dva sluaja: 1q Red an ima sumu s ali je s = f ili + f i tada jo kaemo da je red odreeno divergentan ili divergentan u uem smislu; 2q Red an nema nikakvu sumu (ni u R) i tada jo kaemo da je red oscilirajui ili da je divergentan u irem smislu..

Ako je red an konvergentan, onda suma prvih p lanova sp predstavlja priblinu vrijednost za sumu s toga reda. Zapravo, iz , imamo da za svaki H > 0 postoji prirodan broj n0 (= n0 (H)) takav da je _ s sp _ < H za svaki p t n 0 , pa se suma konvergentnog reda moe izraunati s proizvoljnim stepenom tanosti pomou parcijalnih suma reda.

ss pp folim

Ako je red an konvergentan, onda se lako vidi da je konvergentan i red an+ p (2.5.9)

za svaki pN i vrijedi jednakost Za sumu 1 1 1 .pn n nn n n pa a af f 1 nn p af kae se da je ostatak reda an poslije p-tog lana. No, i za sam red (2.5.9), bez obzira da li je red an konvergentan ili divergentan, kae se da je ostatak reda an poslije p-tog lana ili p-ti ostatak reda an, to emo i mi govoriti. Obrnuto, ako red an+ p konvergira za neki pN , onda konvergira i red an. Zapravo, vrijedi sljedea tvrdnja:

Tvrdnja 2.5.1.

(i) Neka je p proizvoljan fiksiran prirodan broj. Tada red an konvergira ako i samo ako konvergira red an+p, tj. red an i njegov ostatak an+p su ekvikonvergentni (oba reda su ili konveregntna ili divergentna). Osim toga, u sluaju konvergencije ovih redova za njhove sume s i rp, respektivno, vrijedi s = sp + rp, gdje je sp p-ta parcijalna suma reda an. (ii) Ako je red an konvergentan, onda suma rp njegovog p-tog ostatka tei ka nuli kad po f . Dokaz:

(i) Neka je sp p-ta parcijalna suma reda an. Oznaimo sa sn' n-tu parcijalnu sumu ostatka ap+n reda an poslije p-tog lana, tj. sn' = ap+1 + ap+2 + + ap+n (nN). Tada oito vrijedi

sp+n = sp + sn', odnosno sn' = sp+n sp , gdje je (*) 1

pni inp as . (Suma sn, p = sn' = sp+n sp ponekad se zove odreskom reda an. ) Pretpostavimo sada da red an konvergira i da mu je suma jednaka s. Tada sp+ n os , (nof), pa iz (*) slijedi da sn' = sn+ p sp o s sp , (nof). Znai, red (2.5.9) je konvergentan i suma mu je jednaka s sp. Ako tu sumu oznaimo sa rp, vrijedit e, dakle, rp = s sp, tj. s = sp + rp (*)'. Pretpostavimo sada da je red (2.5.9) konvergentan sa sumom rp. To znai da sn' o rp , (nof). No, odavde i iz (*) slijedi da sp+ n o sp + rp , nof. Prema tome, red an je konvergentan i vrijedi, ako mu sumu oznaimo sa s, da je s = sp + rp , tj. ponovo vrijedi (*)'.

(ii) Neka je red an konvergentan sa sumom s. Tada je i (2.5.9) konvergentan red. Ako mu sumu oznaimo sa rp, onda vrijedi s = sp + rp. No, ovdje je p fiksiran ali proizvoljan prirodan broj. Ako pustimo da p o f dobit emo da sp o s . Iz s = sp + rp sada slijedi rp = s sp o s s = 0, p o f, pa je dokaz tvrdnje 2.5.1. zavren.

___________________ *) No, u narednim odjeljcima (paragrafima) ovog poglavlja ipak esto, umjesto an , koristimo simbol (posebno u sluajevima kada je n0 z1, n0N0). 0 ,an nf

68

Red (2.5.9) nastaje iz reda an odbacivanjem prvih p lanova. No, mi moemo smatrati da je red an nastao iz reda (2.5.9) tako to smo tom redu dodali p novih prvih lanova. Otuda na osnovu tvrdnje 2.5.1. slijedi da odbacivanje ili dodavanje konano mnogo lanova reda ne utie na konvergenciju tog reda, ali u optem sluaju utie na njegovu sumu.

Iz tvrdnje 2.5.1. moe se zakljuiti da je red an konvergentan akko suma rp ostatka reda poslije p-tog lana tei nuli kad p o + f. To znai da se suma konvergentnog reda moe aproksimirati parcijalnim sumama, pri emu greka te aproksimacije tei nuli kada broj lanova koji se sumiraju raste.

Teorema 2.5.1. (Potreban uslov za konvergenciju, ili test n-tog lana). Ako je red an konvergentan, onda niz (an) njegovih lanova konvergira ka nuli, tj. li on m f na .0 Dokaz:

Neka je Na osnovu pretpostavke teoreme, imamo da postoji i da je .: nk as k

konana granina vrijednost S druge strane je sk sk 1 = ak, (k > 1), pa je 1 n .:lim sskk fo .0limlim)(limlim 11 fofofofo ssssssa kkkkkkkkk Q.E.D.

Da navedeni neophodan uslov konvergencije reda nije i dovoljan, pokazuje sljedei primjer:

Primjer 2.5.1. Opti lan reda oito tei nuli kad nof . Meutim, za

parcijalnu sumu vai relacija

n

1 knk ns 1 1: .

11111

2

11 k

kk

kkkksk t

Oigledno, o +f kad k o +f, pa je , tj. red divergira (u uem smislu).

n

1k f fo kk slim Teorema 2.5.2. (Cauchyjev kriterijum za konvergenciju redova)

*). Red an

konvergira ako i samo ako za svaki H > 0 postoji n0N takav da iz n > n0 , pN slijedi _ an+1 + an+2 + + an+p _< H . Simboliki, an konvergira [(H >0) ( n0N) ( n, pN ) (n > n0 _ an+1 + + an+p _< H )].

Dokaz:

Slijedi neposredno iz Cauchyjevog principa konvergencije za nizove realnih brojeva (tj. iz

injenice da je svaki Cauchyjev niz u R konvergentan). Q.E.D.

Za date redove an i bn, red (an + bn ) naziva se njihovim zbirom, a red (an bn ) razlikom tih redova.

Vrijedi sljedea tvrdnja: Tvrdnja 2.5.2.

(i) Ako red an konvergira, onda konvergira i red Dan, (DR). Pri tome je suma 1 1

.n nn n

a aD Df f reda D an jednaka proizvodu konstante D i sume reda an , tj.

69

(ii) Ako redovi an i bn konvergiraju, onda konvergiraju i redovi (an + bn ) i (an bn ) i njihove sume su jednake zbiru i razlici, respektivno suma redova an i bn .

Dokaz:

(i) Neka je sk : = a1 + a2 + + ak, Sk : = Da1 + Da2 + + Dak. Iz egzistencije granine vrijednosti

slijedi ssk fo :lim k .limlimlim sssS k

kk

kk

k fofofo DDD

,''lim,'lim ''

k

' ssss kkk

fofo (ii) Neka je sk' = a1 + a2 + + ak , sk'' = b1 + b2 + + bk i Sk = (a1 r b1) + (a2 r b2 ) + + (ak r bk ). Tada je > @ .limlim)()(limlim ''''''2121 ssssbbbaaaS k

kk

kkk

kk

kr r r fofofofo

Q.E.D.

Primjer 2.5.2. Red aqn-1 , (az0, qz0), naziva se geometrijskim redom. Parcijalna suma sk tog reda predstavlja sumu prvih k lanova geometrijske progresije i data je sa sk : = a + aq + + aqk-1, odnosno sa

Za _ q _1 je lim qk = + f ; za q < 1 granina vrijednost ne postoji; za q = 1 je sk = ka, pa je kk qfolim sgn a f ; dok za q = 1 granina vrijednost ne postoji. kk qfolim

fo kk slim

Primjer 2.5.3. (Zenonov paradoks). Prema vijesti koju je sauvao Aristotel u svom djelu Fizika (knj. VI. 9.) slijedi da je pojam beskonanog geometrijskog reda s kolinikom q : = poznavao grki filozof Zenon iz Eleje (5. st. pr.n.e.) i njime se sluio u pobijanju svojih protivnika. Slian je geometrijski red osnova i tzv. Zenonova paradoksa koji se sastoji u sljedeem : Brzonogi Ahil utrkujui se kornjaom nee je moi dostii, ako je ona pola prije njega. Jer dok Ahil protri put s0 to ga je to najsporije bie ve prolo do asa kad Ahil poinje trati, pomaknut e se kornjaa dalje za neki dio puta, npr. za s0 / 10 . Dok Ahil proe taj dio puta, pomakla se kornjaa za isti dio puta s0 / 10, tj. za daljih s0 / 102 . Za vrijeme dok Ahil i taj dio prolazi napredovala je kornjaa jo za s0 / 103 i to se nastavlja tako dalje (sl. 2.5.1). Budui da Ahil mora svaki put prei jo onaj dio puta to ga je kornjaa neposredno prije toga prola, nee je on po Zenonu nikada dostii.

_____________________ *) Opti Koi Bolzanov kriterij za konvergenciju redova, ili, princip konvergencije za redove.

Specijalno, za a = 1, q = 1 geometrijski red ima oblik 1 1 + 1 1 + . Za njegove parcijalne sume imamo

ako je k neparan,

ako je k paran prirodan broj,

r ,0

,11...111

jedinicak

ks

pa dati red oscilira izmeu 0 i 1.

70

Put to ga prelazi Ahil predoen je naime beskonanim geometrijskim redom koji (prema savremenom

nainu izraavanja u nauci) konvergira i ima sumu ali kome Ahil ne moe doi na kraj 0 01 10( )1 91

10

,s s

zbog beskonanog broja lanova. No, kako Ahil tri neprekidno, ne sastavljajui svoj put iz lanova

geometrijskog reda, dostii e on kornjau upravo u taki . Naime, ako uzmemo da su oba kretanja 0109

s

jednolika i oznaimo sa s cio Ahilov put, dakle do take gdje Ahil dostigne kornjau, a put to ga kornjaa pree od asa kad Ahil poinje trati sa s', bit e s =s0 + s', ali kako Ahil tri deset puta bre, a duine

puteva se odnose kao brzine, to je s0 + s = 10 s', tj. Prema tome, cio Ahilov put s iznosi : .10

ss' 0

1(1 .

90 0

10s s ) s

9

,...)101010

,1010

,10

(

3

0

2

0003

2

0002

001

sssss

ssss

sss

Sl. 2.5.1.

U prethodnim razmatranjima mi smo polazei od reda an formirali niz njegovih parcijalnih suma, tj. niz (Sk ), odnosno (formalnije) u samoj definiciji pojma reda smo ukljuili i niz (Sk ). No, ako nam je unaprijed dat neki niz (Sk ) lako nam je formirati red kod koga je niz (Sk ) niz parcijalnih suma. To je red:

S1 + (S2 S1) + (S3 S2) + + (Sk Sk-1) + . Prvi lan ovog reda je S1 , drugi S2 S1, trei S3 S2 itd.

Pitanje konvergencije reda najjednostavnije je izuavati kod tzv. pozitivnih redova. Zbog toga mi prelazimo na razmatranje prvo takvih redova.

2. 6. Pozitivni redovi

Posmatrajmo red an. (2.6.1) Za red (2.6.1) kaemo da je pozitivan ili da je red s pozitivnim lanovima (ili red s nenegativnim lanovim) ako je an t 0 za svaki nN, ili (optije) ako postoji prirodan broj n0N takav da je an t 0 za svaki n t n0.

Neka je Sn (n = 1, 2, ) n-ta parcijalna suma reda (2.6.1) i neka je red (2.6.1) pozitivan.

Tada imamo da je:

.11211 nnnS

nn aSaaaaS

n

Zbog an+1 t 0 za svaki n t n0 (za neki n0N) imamo odavde da je Sn+1 t Sn za svaki n t n0. Vidimo dakle da je niz parcijalnih suma pozitivnog reda (2.6.1) neopadajui za n t n0. Iz teoreme o limesu monotonog niza, zakljuujemo dakle, da je niz (Sn) 1( )n nS f