11

skupovnih identiteta. Pri ovome treba shvatiti da su skupovi o kojima je rije zaista

reprezentirani unutrašnjoš u zatvorenih krivih u smislu da svaka ta ka (te untrušnjosti)

predstavlja jedan element posmatranog skupa. Pravilno je shvatiti da Vennov dijagram

predstavlja ne formulu algebre skupova (Algebrom skupova naziva se ure en par

(P(I ),{ , , c}), gdje je I proizvoljan skup.) ve odgovaraju u formulu iskazne algebre, pri

emu unutrašnjosti zatvorene krive odgovara istinitosna vrijednost 1 odgovaraju eg iskaznog

slova, a spoljašnjosti zatvorene krive istinitosna vrijednost 0. Osim toga, treba voditi ra una

da se nacrtane zatvorene krive sijeku tako da obrazuju dovoljan broj oblasti u ravni (po jednu

za svaku kombinaciju istinitosnih vrijednosti iskaznih slova koja se pojavljuju u

odgovaraju oj iskaznoj formuli). Takvim na inom shvatanja Vennov dijagram predstavlja, u

stvari, geometrijsku interpretaciju istinitosne tablice (odgovaraju e, posmatrane, iskazne

formule).

Relacije me u skupovima esto prikazujemo i tzv. linijskim (Hasseovim) dijagramima.

To prikazivanje izvodimo na ovaj na in: ako je B A, onda A pišemo iznad B (na ''višem

nivou /razini/'' od B) i crtom spojimo A sa B (sl. 1.2.2.a)). Ako je A B, a B C, onda pišemo

kao na sl. 1.2.2.b).

Primjer 1.2.1. Ako je A={a, b, c}, B={a, b, d}, C={a, b, c, d}, D={a, b}, E={a}, gdje su

a, b, c, d me usobno razli iti elementi, onda je Hasseov dijagram kao na sl. 1.2.3. (radi

usporedbe nacrtajte i odgovaraju i Vennov dijagram!).

1.2.2. Relacije

Za svaka dva elementa a, b možemo formirati skup koji kao jedine elemente ima a i b, pri

emu ne isklju ujemo mogu nost a = b, kada se skup {a, b} svodi na skup {a}. Par

elemenata a, b kod koga se zna koja mu je prva komponenta (koordinata, projekcija), a koja

druga, zove se ure en par i ozna ava (naj eš e) sa (a, b). Me utim, ure en par može se

definirati pomo u pojma skup. Navodimo jednu takvu definiciju (kao jednu od mogu ih

preciznijih definicija ure enog para) koju su dali N. Wiener i C. Kuratowski:

Definicija 1.2.1. Ure en par redom elemenata a i b, u oznaci (a, b), jeste skup {{a},

{a,b}}. U ure enom paru (a, b) element a se zove prva komponenta, a b – druga komponenta.

Ure enu trojku redom elemenata a, b, c definiramo kao ((a, b), c), odnosno, uopšte

ure ena n-torka redom elemenata a1, a2, ... , an-1, an je, ((a1, a2, ... , an-1), an) (n 3).

Uvodimo još (a1)= a1. Za n = 0 posmatramo ure enu 0-torku kao skup .

Polaze i od definicije pojma ure enog para pomo u pojma skupa, dokazuje se da vrijedi

sljede a teorema o ure enom paru:

Teorema 1.2.1. Dva ure ena para su me usobno jednaka akko su im jednake

(me usobno) odgovaraju e komponente, tj.

12

(a, b) = (c, d) (a = c b = d).

Ako su A i B skupovi, onda skup svih ure enih parova (a, b) kod kojih je a A, b B

ozna avamo sa A x B i nazivamo Dekartov (ili Kartezijev , ili direktni) proizvod skupa A i

skupa B, tj. A x B: ={(a, b) | a A b B }.

Kako je (a, b) (b, a) izuzev kada je a = b, to u opštem slu aju skupovi A x B i B x A

nisu jednaki; ovi skupovi jednaki su samo kad je A = B ili kada je bar jedan od skupova A, B

prazan. Ako skupovi A i B nisu prazni, onda ni A x B nije prazan skup. Ako je jedan od

skupova A i B prazan, onda je i skup A x B prazan.

Analogno kao što smo definirali Dekartov proizvod dvaju skupova, definiramo i Dekartov

proizvod triju i više skupova, te imamo ovu definiciju.

Definicija 1.2.2. Dekartov (ili direktni) proizvod redom skupova A1, A2, ... , An, u oznaci

A1x A2x ... x An (ili ) , jeste skup svih ure enih n-torki (a1, a2, ... , an), gdje je

a1 A1, a2 A2, ... , an An, ; odnosno:

k

n

k

n

k

k AXiliA1

1

,

A1x A2x ... x An:={ (a1, a2, ... , an) | a1 A1, a2 A2, ... , an An}.

Ako je A1 = A2 = ... = An = A, onda A1x A2x ... x An ozna avamo sa An i nazivamo n-tim

Dekartovim stepenom skupa A. Pri tome je A1= A.

S tim u vezi skup A2

= (A A) zovemo Dekartov (direktni) kvadrat skupa A, a skup

A3 = (AxAxA) Dekartov kub(us) skupa A.

Podskup skupa A2, koji se sastoji od svih ure enih parova kojima je prva komponenta

jednaka drugoj, zovemo dijagonalom skupa A2 i ozna avamo ga sa D (A

2 ) (ili ), tj. A

D (A2 ):={(a, a) | a A}.

(npr., ako je A={-1, 0, 1}, onda je D (A2 ) = {(-1, -1), (0, 0), (1, 1)}.)

Izme u elemenata nekog skupa A i elemenata nekog skupa B mogu postojati najrazli itije

relacije (veze ili odnosi). Evo primjera.

Primjer 1.2.2. Neka je S = {1, 2, 3, ... }. Za element a S kažemo da je u relaciji ''biti

manji od'' s elementom b S i pišemo a < b akko je b – a S. Relaciju ''biti manji od'' ozna ili

smo sa <. Lako se vidi da ta relacija odre uje jedan podskup skupa SxS, naime podskup

R:={(a, b) S x S | b - a S

},

( iji je grafi ki prikaz dat na sl. 1.2.4.). Skup R je iznad dijagonale D(S2): predstavljen punim

kruži ima na sl. 1.2.4. Prema tome, bit e a < b akko je (a, b) R.

Primjer 1.2.3. Neka je S skup svih trouglova. Za trougao T1 kažemo da je u relaciji ''biti

sli an sa'' trouglom T2 i pišemo T1~T2 akko su T1 i T2 sli ni trouglovi, tj. trouglovi s

jednakim (odgovaraju im) uglovima (v. sl. 1.2.5).

Relaciju ''biti sli an sa'', ozna enu sa ~, odre uje podskup

*) René Descartes (Cartesius) (1596-1650) – francuski filozof, matemati ar i fizi ar.

13

R: ={(a, b) S 2 | a ~ b},

koji se sastoji od svih onih parova (a, b) S2 gdje su trouglovi a i b sli ni.

Zapravo, esto nas zanima samo to jesu li dati element a A i dati element b B u

odre enoj relaciji ili nisu, a ne i to šta ta relacija zna i. Sa tog stanovišta svaka relacija izme u

elemenata skupa A i elemenata skupa B potpuno je odre ena podskupom skupa AxB svih

ure enih parova (a, b) za koji je a u toj relaciji sa b. Zato je prirodna i svrsishodna sljede a

definicija.

Definicija 1.2.3. Svaki podskup R Dekartovog proizvoda AxB zove se binarna relacija

iz A u B (ili relacija od A prema B, ili binarna relacija izme u elemenata skupa A i elemenata

skupa B). Pritom A je polazni skup (ili skup polaženja) binarne relacije R, a B je dolazni skup (ili skup dolaženja) binarne relacije R. Za element a A kaže se da je u relaciji R sa

b B i pišemo R(a, b), ili aRb ( ita se: a je u relaciji R sa b) akko je (a, b) R. Umjesto

simbola R, esto se koristi i oznaka .)

Op enito, ako su A1, A2, ... , An skupovi, onda svaki podskup R od A1x A2x ... x An

zovemo n-arnom relacijom me u elementima tih skupova. Ako je A1 = A2 = ... = An = A, onda

govorimo o n-arnoj relaciji na A (ili relaciji dužine n u A).

Binarne relacije je prakti no predstavljati i opisivati oslanjaju i se na ''geometrijsku

intuiciju'', koriste i tzv. grafike (npr. na sl. 1.2.4 je dat grafik binarne relacije R iz primjera

1.2.2, preciznije, kako R ima beskona no mnogo lanova, prikazan je samo jedan kona ni dio

grafika binarne relacije R, a /kao što je uobi ajeno za binarne relacije sa beskona no mnogo

lanova/ ostavljeno je mašti itaoca da sebi ''zamisli'' sav grafik binarne relacije R).

Osobito važan slu aj binarne relacije iz A u A je onaj kada je A : = R. Pri grafi kom

predstavljanju bilo koje binarne relacije R R x R važno je znati da je skup R x R (tzv.

Dekartova ravan) mogu e poistovjetiti sa skupom svih ta aka u ravni u kojoj je uveden

Dekartov koordinatni sistem. Osim Dekartove ravni R2 (= RxR) i pravougaonika [a, b]x[c, d]

(={(x, y) | a x b c y d }) toj ravni, nas e posebno interesovati i skup (za svaki n N)

R n: =R x ... x R (=x1, ... , xn) | xi R, (i {1, ... , n})}.

Ako je R A x B, onda tzv. projekciju P1(R):={a | (a, b) R} A, nazivamo još i oblast

definisanosti binarne relacije R, a P2(R):={b | (a, b) R} B nazivamo još i oblast vrijednosti

binarne relacije R. Ako je P1(R) = A, onda kažemo da je binarna relacija R svuda definirana

na polaznom skupu A, a ako je P1(R) = B, onda kažemo da je binarna relacija sirjektivna.

Kako su relacije iz A u B podskupovi skupa AxB, sa njima se mogu na prirodan na in

izvoditi operacije unije, presjeka i razlike. Tako za relacije R1, R2 AxB imamo relacije

R1 R2 : ={(a, b) A x B | aR1b aR2b}; R1 R2 : ={(a, b) AxB | aR1b aR2b},

R1\R2:={(a, b) AxB | aR1b a non R2b},

gdje je injenica (a, b) R2 ozna ena sa ''a non R2 b'' ( ita se: a nije u relaciji R2 sa b).

No, za datu relaciju R AxB može se posmatrati inverzna binarna relacija R-1

BxA koja

se definira sa

R -1

:={(b, a) B x A | a R b},

odakle je: ( a, b)( b R –1

a a R b).

Za binarne relacije R' AxB i R'' BxC može se definirati relacija R '' R ' AxC

(kompozicija binarnih relacija) ovako:

aR '' R 'c ( b B)(aR ' b bR ''c), tj. R '' R ' ={(a, c) | (b B)(a, b) R ' (b, c) R ''}.

Pokušajmo to obrazložiti ovako: Neka su A i B ma kakvi dati skupovi, a P(x, y) ma kakva iskazna funkcija

(otvoreni iskaz) na AxB. Istinitosni skup od P(x, y) je podskup od AxB koji sa injavaju svi oni parovi (x, y) iz

AxB za koje je P(x, y) istinit iskaz. Dakle, svakoj iskaznoj funkciji P(x, y) na AxB odgovara jedan podskup R

skupa AxB. I obratno vrijedi, tj. svakom podskupu R skupa AxB odgovara iskazna fukcija P(x, y) na AxB.

14

Primjer 1.2.4. Ako je A : ={1, 2, 3, 4}, B : ={a, b, c}, C : ={x, y, z, d, e}, R ' :={(1, a),

(1, b), (2, b), (4, c)}, R '':={(a, x), (a, y), (b, e)}, onda je R'' R'={(1, x), (1, y), (1, e), (2, e)}.

Teorema 1.2.2. (o osobinama binarnih relacija). Neka su R1, R2, R3, R binarne relacije.

Neka su A, B skupovi. Tada (pod uslovom da su sve binarne relacije koje se pojavljuju

definirane) vrijedi:

(i) (R-1

)-1

= R; (ii) (R2 R1)-1

= R1-1

R2-1

; (iii) R3 (R2 R1) = (R3 R2) R1; (iv) R2 R1(A) =

R2(R1(A)), gdje je R1(A):={b B | (a,b) R za neki a A} (tzv. R – slika u B skupa A); (v)

R(A B)= R(A) R(B); (vi) R (A B) R (A) R (B).

Dokaz: Ovdje emo dokazati svojstvo (ii), a ostala svojstva se dokazuju analogno. Neka

je R1 S1xS2, R2 S2xS3. Tada je (v. sl. 1.2.6):

(c,a) (R2 R1)-1

(a,c) R2 R1

(b S2)(a,b) R1 (b,c) R2

(b S2) (b,a) R1-1

(c,b) R2-1

(c,a) R1-1

R2-2

.

Definicija 1.2.4. Za binarnu relaciju AxA kažemo da je:

(I) refleksivna akko (a A) a a (ekvivalentno: A );

(II) antirefleksivna akko (a A) a non a (ekvivalentno: A = );

(III) simetri na akko (x y y x) (ekvivalentno: =-1

);

(IV) antisimetri na akko (x y y x) x = y (ekvivalentno: -1

= A);

(V) tranzitivna akko (x y y z x z) (ekvivalentno: );

(VI) jednozna na akko presjek (lijevi presjek) relacije (lijevi presjek binarne relacije

AxB elementom a A definira se sa (a):={b B|(a,b) }) bilo kojim

elementom a A je ili prazan skup, ili jedno lan skup;

(VII) relacija ekvivalencije (relacija klasifikacije, ekvivalentnost) akko (I) (III) (V);

(VIII) relacija pretporetka (praporetka, kvaziporetka) akko zadovoljava (I) (V);

(IX) relacija parcijalnog poretka*) (relacija parcijalnog ure aja) akko (I) (IV) (V);

(X) relacija totalnog ili linearnog, ili savršenog poretka, ili totalnog ure aja akko

(I) (IV) (V) (d), gdje je (d) uslov dihotomije, tj.

(d) (x,y A) (x y) (y x).

Relacije parcijalnog poretka i relacije totalnog poretka zovu se relacije poretka. Ako

je relacija poretka na skupu A, onda se u pravilu umjesto stavlja simbol (ili ) i umjesto

a b piše a b (ili a b) i ita se na jedan od na ina: „a je ispred b”, „b je iza a”, „a je manje

ili jednako od b”, „a ne prelazi b”, „a je prethodnik za b” i sl. Umjesto a b (odnosno a b)

ponekad se piše i b a (odnosno b a) /b ve e ili jednako a/.

Me u relacijama iz definicije 1.2.4. po važnosti se isti u relacije ekvivalencije i relacije

poretka. Prost primjer relacije ekvivalencije iz A u A jeste relacija jednakosti u A (tj.

dijagonala A). Relacija paralelnosti u skupu pravih jedne ravni je relacija ekvivalencije, a i

relacija sli nosti u skupu trougla je relacija ekvivalencije. Trivijalan primjer relacije

ekvivalencije je i tzv. puna binarna relacija iz A u A, pri emu se, op enito, pod punom

*) U definicijama pojmova: relacija parcijalnog poretka i relacija totalnog poretka ponekad se ne zahtijeva

svojstvo refleksivnosti.

15

binarnom relacijom iz A u B podrazumijeva binarna relacija : =AxB (relacija A je

prazna ili pusta binarna relacija).

Za relaciju AxB i element a A definiramo skup [a]: ={b B| a b}. Ako

je AxA relacija ekvivalencije na skupu A, onda se [a] zove klasa ekvivalencije

elementa a u odnosu na relaciju AxA. Umjesto [a] pisa emo tada i [a] ili, prostije,

[a] kada znamo o kojoj je relaciji ekvivalencije rije . Skup A| svih klasa ekvivalencije zove

se faktorski (ili koli inski) skup skupa A u odnosu na relaciju ekvivalencije . Npr., za

relaciju paralelnosti u skupu pravih jedne ravni, faktorski skup je skup svih pravaca te ravni.

Ako je tranzitivna i antisimetri na relacija na skupu X, onda se zove relacija

(parcijalnog poretka) na skupu X, a za X se kaže da je tom relacijom (parcijalno) ure en. U

skladu sa ranije navedenim, relacija poretka obi no se ozna ava simbolom . Ako je

relacija (parcijalnog, odnosno totalnog) poretka u skupu X, onda ure eni par (X, ) nazivamo

(parcijalno, odnosno totalno) ure en skup.

Ako je relacija poretka (relacija totalnog poretka, odnosno relacija parcijalnog poretka)

na X, onda joj možemo pridružiti relaciju strogog poretka (strogog totanog poretka, odnosno

strogog parcijalnog poretka, respektivno) na skupu X koja se obi no ozna ava sa < (ili ) i

definira ovako:

x < y (x.def

y) (x y).

Lako se provjerava da je relacija strogog poretka antirefleksivna, antisimetri na i

tranzitivna binarna relacija, te da relacija strogog totalnog poretka na X zadovoljava još i

uslov trihotomije:

(x, y X) (x < y y < x x = y).

Ako je < relacija strogog poretka (strogog totalnog ili strogog parcijalnog poretka) na

skupu X, onda joj možemo pridružiti relaciju poretka na skupu X, onda joj možemo pridružiti

relaciju poretka (totalnog poretka ili parcijalnog poretka, respektivno) na X pomo u formule

x y (x < y) (x = y). .def

Budu i da važi jednostavna veza izme u relacije poretka i relacije < strogog poretka na

skupu X, pri osnovnim razmatranjima možemo upotrebljavati jedan ili drugi od tih pojmova.

Osnovni primjer relacije poretka u skupu R realnih brojeva jeste relacija nejednakosti

(nejednakost) , definirana na uobi ajeni na in:

x y: „x je manje ili jednako od y”.

Ako je X R, onda, ograni avaju i relaciju sa R na X, dobijemo relaciju poretka na

skupu X, tj. (X, ) je ure en skup. Specijalno, skupovi (Q, ), (Z, ), (N, ) su ure eni.

Op enito, za svaku relaciju X x X, i za svaki podskup Y skupa X imamo relaciju

(Y x Y) Y x Y za koju kažemo da je inducirana relacijom na Y. Ako je relacija

poretka na X, onda je inducirana relacija relacija poretka na Y. Otuda slijedi da za svaki

ure en skup (X, ) i za svaki neprazan podskup Y od X imamo ure en skup (Y, ). Ako je

pri tome skup (Y, ) totalno ure en, onda se kaže da je to lanac skupa (X, ).

Ako je relacija poretka na X, onda je i -1

relacija poretka na X, pa iz ure enog skupa (X,

) dobijemo ure en skup (X, -1

). Ovaj drugi ure aj zove se dualni ure aj prvoga. Za ure en

skup (X, ) koristi se oznaka (X, ) za dualno ure ene skupa X.

16

Neka je (X, ) ure en (parcijalno ure en) skup i A neprazan podskup od X. Kažemo da je

element m X minoranta (rje e: donja me a) ili donje ograni enje skupa A u (X, ) ako za

svaki a A vrijedi m a. Odmah slijedi da najviše jedna minoranta skupa A pripada skupu

A. Kad takva minoranta postoji, ona se zove najmanji element skupa A. Najmanji element

treba u opštem slu aju razlikovati od minimalnog (ili po etnog) elementa A skupa A,

koji se definira formulom

0a

(a A) (a a = ). 0a 0a

Skup A može da ima jedan ili više minimalnih elemenata. A da nema najmanjeg elementa.

Ako skup A ima najmanji element. Onda je to, o ito, jedini minimalni element skupa A.

Za skup A kažemo da je ograni en (ome en) odozdo (slijeva), ako postoji bar jedna

minoranta skupa A u ure enom skupu (X, ).

Majoranta, najve i element i maksimalni element skupa A u odnosu na (X, ) definira

se kao minoranta, najmanji element i minimalni element skupa A u odnosu na dualno ure enje

(X, ). Za skup A u (X, ) kažemo da je ograni en (ome en) odozgo (zdesna), ako postoji

bar jedna majoranta skupa A. Ako je A X ograni en odozdo i odozgo, tj. ako postoje

elementi p, P X, takvi da je p A P za svaki a A, onda se kaže da je skup A

ograni en (u (X, )).

Skup svih minoranti skupa A u (X, ) može da ima najve i element. Tada je taj element

jedinstven i zove se donja me a ili infimum skupa A u (X, ), a obi no se ozna ava sa inf A.

Element inf A ( X) ima ova dva svojstva:

(i) inf A je minoranta skupa A

(ii) za svaku minorantu m skupa A vrijedi m inf A.

Ako infimum postoji onda je posve odre en (tj. jedinstven je) budu i da kad bismo imali

dva elementa m1, m2 X sa osobinama (i), (ii), vrijedilo bi (m1 m2) (m2 m1), a odatle

slijedi da je m1 = m2. Ako za neki skup A ( X) postoji najmanji element (min A), onda je

o ito inf A = min A.

Ako skup majoranti skupa A u (X, ) nije prazan i ima najmanji element, onda je ovaj

element jedinstven i tove se gornja me a ili supremum skupa A u (X, ), a obi no se

ozna ava sa sup A. Ako za neki skup A postoji najve i element, max A u (X, ), onda je o ito

sup A = max A.

U ure enom skupu (X, ) važnu ulogu imaju podskupovi oblika:

1) [a,b] = {x X | a x b} ( X), a b,

koji se zovu segmenti skupa X,

2) (a,b) (= < a,b > = ] a,b [ ) = { x X | a< x < b} ( X), a < b,

koji se zovu intervali skupa X,

3) [a, .), (a,

.), (

., b] i (

., b) gdje je npr. [a,

.) = {x X | a x}( X),

Ako je A X, uvode se još i oznake [a,b] = [a,b] A ( A), te analogno i oznake (a,b]A,

(a,b)A, itd.

17

Za totalno ure en skup (X, ) kaže se da je dobro ure en ako svaki neprazan podsku A

( X ) ima minimalni element. Primijetimo da je taj minimalni element ujedno i najmanji

element skupa A, budu i da je (X, ) totalno ure en skup. Npr. Skup N prirodnih brojeva je

dobro ure en uobi ajenom relacijom ( „manje ili jednako”).

U skupu N, kao što emo kasnije detaljno i obrazložiti, vrijedi aksiom (princip) totalne

(matemati ke) indukcije: Ako podskup S skupa N ima ove dvije osobine:

(i) Minimalni element skupa N pripada skupu S, tj. 1 S;

(ii) (n N) (n S n + 1 S );

onda je S = N.

Uslov (ii) može se u ovom slu aju zamijeniti uslovom (koji je u opštem slu aju ja i od

zahtjeva (ii))

(ii’) (n N) ((m < n m S ) ) n S

Sa tako poja anim uslovom (ii) imamo princip transfinitne indukcije:

Ako podskup A dobro ure enog skupa (X, ) ima svojstva:

a) Minimalni element skupa X pripada skupu A; b) ( x X) ( (y < x y A ) x A),

onda je A = X.

Zadatak 1.2.1.* U jednom prevodila kom timu radi 30 prevodilaca. Me u njima 17

govori engleski jezik, 13 ruski jezik, a 12 francuski. Engleski i francuski govori 5

prevodilaca, engleski i ruski 5, a francuski i ruski tako er 5. Odredite (u ovom slu ju):

a) koliko prevodilaca govori sva tri jezika; b) koliko prevodilaca govori samo engleski jezik;

c) koliko prevodilaca govori samo ruski jezik. ([ŽFS]. 2. O skupovima. Zad. 2.23. (Neznatno proširen.)) Zadatak 1.2.2.* Dokažite kontraprimjerom da izraz x (P(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) nije

valjan. (Napomena. Za izraz logike predikata kažemo da je valjan ako je taj izraz ta an pri svakoj od

mogu ih interpretacija).

Zadatak 1.2.3.* Pretpostavimo da su poznate sljede e injenice: • Nakon odigranog derbija u Sarajevu, osoba N je sretna ako i samo ako je pobijedio FK Željezni ar; • Nakon odigranog derbija, slavi e ili plavi ili bordo navija i, ali ne i jedni i drugi; • Ukoliko je pobijedio FK Željezni ar, slavi e plavi navija i; • Derbi je odigran, i slave bordo navija i. Iz ovih injenica može se zaklju iti da osoba N nije sretna. Dokažite ispravnost ovog rezonovanja formalnim putem (dokazuju i da je odgovaraju i logi ki izraz tautologija). Zadatak 1.2.4.* * a) Nacrtati kolo struje (sa samo dva prekida a) koje odgovara

implikaciji p q (odnosno jedna ini p q Y ). b) Potrebno je da se osvjetljenje nekog stepeništa reguliše pomo u dva prekida a, jednog

dole i jednog gore. Okre u i bilo koji prekida zahtijevamo da se može upaliti ili ugasiti

osvjetljenje. Formirajte tablicu koja daje rješenje postavljenog problema, a zatim napišite

odgovaraju u Booleovu jedna inu za taj problem i nacrtajte elektri ni krug (kolo struje) koji

odgovara toj jedna ini.

18

(Uputa. Ako istinitom iskazu (logi kom sudu) pridružimo prekida u horizontalnom položaju, a neistinitom iskazu pridružimo prekida u vertikalnom položaju, možemo svaki iskaz predo iti elektri nim krugom (strujnim kolom) kojim struja te e ako i samo ako je pripadni iskaz istinit.) ([Mili i - Uš umli ]. §1. Ra un iskaza. Zad. 165. (Proširen.))

..................................................................... @ .................................................................. __________________ *) Zadatak zadavan za doma u zada u (DZ) iz Inženjerske matematike 1 (IM1) na Elektrotehni kom fakultetu Univerziteta u Sarajevu. **) Zadatak sa ispita / a zadavan i za doma u zada u (DZ) / iz IM1.

I N Ž E N J E R S K A M A T E M A T I K A 1

Onaj koji cijeni praksu bez teorijskih osnova sli an je moreplovcu koji ulazi

u brod bez krme i busole ne znaju i kuda se plovi.

( LEONARDO DA VINCI )

P r e d a v a n j a z a d r u g u s e d m i c u n a s t a v e

(u akademskoj 2010/2011. godini)

1.2.3. Preslikavanja ( funkcije )

Pojam preslikavanja (funkcije) jedan je od najvažnijih matemati kih pojmova, koji se uvodi i izu ava ve krajem

osnovne i tokom cijele srednje škole. Zato bi ve ina ovog odjeljka studentu trebala biti poznata (ali ne i na nužnom nivou

strogosti, preciznosti i op enitosti).

Ovdje emo uvesti opšti pojam preslikavanja (funkcije) na više (uobi ajenih) na ina (intuitivno i formalno).

Neka su X i Y skupovi. Kažemo da je data funkcija (ili preslikavanje) koja preslikava skup X u skup Y ako je po

nekom pravilu svakom elementu skupa X pridružen neki, potpuno odre eni, element skupa Y.

Malo preciznija definicija pojma funkcije glasi:

Definicija P.1. Neka su X i Y bilo koja dva (neprazna) skupa. Postupak (pravilo, zakon) f koji

svakom elementu x X pridružuje ta no jedan element y Y zovemo preslikavanje (ili funkcija) sa X

u Y i pišemo

f: X Y ili x f(x), x X .

Umjesto termina ''preslikavanje'' (odnosno, funkcija) koriste se i sljede i sinonimi:

transformacija (obi no u slu aju da je X=Y), operator (naro ito kad skupovi X i Y nisu skupovi

brojeva), funkcional (obi no kad je Y skup brojeva a X to nužno nije) i dr.

Gornje opisne definicje pojma preslikavanja (funkcije) mogu se precizirati (upotrebom pojma

binarne relacije) na sljede i na in:

Definicija P.2. Neka su X i Y skupovi i f relacija iz X u Y (tj. f X Y). Za relaciju f kažemo

da je preslikavanje (ili funkcija) iz X u Y i pišemo f: X Y ako su (istovremeno) zadovoljeni sljede i

uslovi:

1° (x,y) f; ))(( YyXx

2° ((x,y1) f (x,y2) f ) (y1 = y2).

Skup X u prethodnim definicijama pojma funkcije zovemo domen(a) (ili oblast definisanosti,

podru je definicije, ulazni skup i dr.) a skup Y zovemo kodomen(a) (ili antidomen(a), podru je

vrijednosti, izlazni skup). Ako je (x, y) f, pišemo y = f(x) ili fx. Elementi x X se zovu originali, a

elementi y = f(x) slike ili vrijednosti preslikavanja na elementu x. Ponekad je za funkciju zgodna i

oznaka x f(x), x X, y Y, ili naprosto x f(x) (kojom se ozna ava preslikavanje koje prevodi ta ku

x u f(x)), ili ak govorimo jednostavno o funkciji f(x) (mada je, strogo govore i, f(x) element skupa Y –

dakle, npr. broj /za fiksno x /- a ne funkcija).

19

20

Primijetimo da uslov 1° definicije P.1. zna i da je funkcija f definisana na cijelom skupu X, tj. da

x X može biti original za funkciju f, dok uslov 2° predstavlja zahtjev da je f jednozna na, tj. da

jednom originalu može odgovarati samo jedna slika. Oba uslova 1° i 2° mogu se ekvivalentno

zamijeniti jednim uslovom:

)!)(( YyXx y = f(x),

pri emu se simbol koristi u smislu ''postoji ta no jedan''. Ako u definiciji P.1. izostavimo ''potpuno

odre eni'', dobijemo definiciju višezna nog preslikavanja (višezna ne funkcije).

!

Pojam preslikavanja se uvodi i ovom definicijom:

Definicija P.3. Neka su X i Y dva skupa. Preslikavanje (ili funkcija) skupa X u skup Y je

ure ena trojka (X, Y, f ), koja se sastoji od skupa X, kojeg zovemo domen, skupa Y, kojeg zovemo

kodomen, te nekog pravila f, pomo u kojeg svakom elementu x X pridružujemo neki, potpuno ure en,

element y Y (koji ovisi o x). Uobi ajena oznaka za preslikavanje je f: X Y ili kra e f. O

elementima x X esto se govori kao o nezavisno promjenljivoj (nezavisnoj varijabli) ili argumentu

preslikavanja (funkcije), a o elementu y Y govori se kao o zavisnoj promjenljivoj (zavisnoj varijabli)

preslikavanja (funkcije) f.

Graf (grafik, dijagram) preslikavanja (X, Y, f ) je skup F: ={(x, f(x)): x X}( X Y). Umjesto

oznake F esto se koristi oznaka G(f) ili f. Primijetimo da u skladu sa definicijom P.2., grafik funkcije

f ustvari nije ništa drugo ve sama funkcija f, tj. pojam funkcije poistovje uje se sa pojmom grafika.

Ovaj pristup s logi ke strane je u prednosti jer se ne služi pojmom ''pravilo''. Me utim, pristup dat

definicijom P.3. intuitivno je bliži a ne dovodi do poteško a jer se u njemu može gledati samo na in

govora, dok je matemati ki smisao onaj iz pristupa dat definicijom P.3.

Primjer 1.2.3.a). Kvadriranje realnih brojeva je funkcija x x2, x R, x

2 R,. Njen grafik

(u pravouglom Dekartovom koordinatnom sistemu) dat je na sl. 1.2.3.a)

Sl. 1.2.3.a)

Primijetimo da se neprecizan termin „pravilo“ u definiciji P.3. može zemijeniti sa pojmom

„binarna relacija“ koja zadovoljava uslove 1o i 2

o u definiciji P.2., ime definicija P.3. postaje

preciznija (formalnija).

Za dva preslikavanja (X1, Y1, f1) i (X2, Y2, f2) kažemo da su jednaka ako je X1 = X2, Y1 = Y2, i za

svaki x X1(=X2) je f1(x) = f2(x).

Preslikavanje i: X Y definirano formulom i(x) = x, x X, zovemo ulaganje ili inkluzija.

Ovo preslikavanje treba razlikovati od preslikavanja 1x: X X, koje je definirano izrazom 1x (x) = x,

x X, a zove se identiteta ili identi no preslikavanje (umjesto oznake 1x koristi se i oznaka ex, x i

dr.).