PROBLEMA DE OPTIMIZACION E INVESTIGACION DE OPERACIONES

METODO GRAFICO

1. Una fbrica de gas medicinal, utiliza 3 procesos en su produccin de: Oxigeno

medicinal y Aire medicinal, cada proceso requiere 15,8 y 10 horas respectivamente,

producir un cilindro de Oxigeno medicinal requiere 2 horas de compresin ,1 hora de

llenado y 6.5 horas de enfriamiento. Para la produccin de aire medicinal se requiere

4 horas de compresin ,3 hora de llenado y 6 horas de enfriamiento Si la utilidad de

la produccin de cilindros llenos Oxigeno medicinal es de $70 y Aire medicinal es de

$100. Cuantos cilindros debe producir la fbrica para generar la mxima ganancia?

SOLUCION

Se establece el siguiente cuadro

Se concluye que la funcin objetivo es: Zmax=70x+100y S.A 2x+4y15 X+3y 8 6.5x+6y 10 Condicin de no negatividad (x0 y Y0) Para poder obtener la utilidad podemos darle cualquier valor a Z con el objetivo de que nos permita graficar en el plano cartesiano, por lo tanto se le dar cualquier valor, debido a que dar la misma pendiente 70x+100y=5000

Proceso Oxigeno Medicinal

Aire Medicinal Horas disponible

Compresin 2 4 15

Llenado 1 3 8

Enfriamiento 6.5 6 10

Utilidad $70 $100

GRAFICO PROGRAMA GEOGEBRA

A=(0;,2.67) B=(6.5;7.5) C=(7.5;0)

Zmax= 70x+100y X=6.5 Y=7.5 Z=70(6.5)+100(7.5)=1205

Z=1205

PROGRAMA WINQSB

2. La empresa Karifran S.A.C de vendas elsticas, utiliza 3 procesos en su manufactura:

hilado, remallado y enrollado para ser vendas elsticas de 2 diferentes medidas

cada proceso requiere 12,7 y 9 horas respectivamente, producir un venda de 5 yardas

x 5 requiere 6horas de hilado ,2 hora de remallado y 2.5 horas de enrollado. Para la

producir vendas de 4 yardas x 5 se requiere 5.5 horas de hilado ,4.5 hora de

remallado y 3 horas de enrollado Si la utilidad de la produccin de las diferentes

vendas elsticas es $50 y $90 respectivamente. Cuantas vendas elsticas debe

producir la empresa para generar la mxima ganancia?

SOLUCION

Se establece el siguiente cuadro

Se concluye que la funcin objetivo es:

Z Max=50x+90y

S.A

6x+5,5y12

2X+4.5y 7

2.5x+3y 9

Condicin de no negatividad (x0 y Y0)

Para poder obtener la utilidad podemos darle cualquier valor a Z con el objetivo de

que nos permita graficar en el plano cartesiano, por lo tanto se le dar cualquier

valor, debido a que dar la misma pendiente

50x+90y=2000

Proceso Vendas 5 yardas

Venda 4 yardas Horas disponible

Hilado 6 5.5 12

Remallado 2 4.5 7

Enrollado 2.5 3 9

Utilidad $50 $90

GRAFICO PROGRAMA GEOGEBRA

A=(0;1.56) B=(0.97;1.13) C=(3.5;0)

Z Max= 50x+90y X=0.97 Y=1.13 Z=50(0.97)+90(1.13)=150.2

Z Max=150.2

PROGRAMA WINQSB

3. Resolver grficamente el siguiente programa lineal:

Z min = 4x+9y S.A X+Y>=15 2X+Y>=12 X+3y>=18 X+y>=13 X, y>=0

METODO ALGORITMO SIMPLEX 4.-En una fbrica de tortas se produce dos tipos diferentes para lanzarlos al mercado. El primero se vende a S/.50 y contiene 150 gramos de vainilla, 100 gramos de chocolate y 80 gramos de lcuma. El segundo tipo se vende a S/.60 y contiene 200 gramos de vainilla, 100 gramos de chocolate y 100 gramos de lcuma. Se dispone de un total de 200 kilogramos de vainilla, 130 kilogramos de chocolate y 104 kilogramos de lcuma. Si se sabe que la empresa de embalajes slo le puede suministrar 1200 cajas. Cuntas tortas de cada tipo con vendra fabricar para que el beneficio sea mximo? SOLUCION Definimos las variables originales:

x1= nmero de torta tipo 1

x2= nmero de torta tipo 2

La funcin a maximizar, el beneficio obtenido ser:

F(x1, x2)=50 x1+60 x2

Las restricciones lineales del problema se formulan como:

150 x1 +200 x2

PROGRAMA LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 65.00000 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 1.300000 0.000000 X2 0.000000 0.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 5.000000 0.000000 3) 0.000000 0.100000 4) 0.000000 0.500000 NO. ITERATIONS= 3 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 50.000000 10.000000 2.000000 X2 60.000000 2.500000 10.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 200.000000 INFINITY 5.000000 3 130.000000 0.000000 10.000000 4 104.000000 2.000000 0.000000

5.- Resuelve el siguiente modelo PL por la estrategia 1: Minimice z = 3 x1 + 8 x2 S.A 4 x1 + x2 13 2 x1 + 3 x2 6 Con x1, x2 0. Solucin La forma estndar queda: Max w = z = (3 x1 + 8 x2) Sujeto a 4 x1 + x2 + s1 = 13

PROGRAMA LINDO LP OPTIMUM FOUND AT STEP 0 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00 VARIABLE VALUE REDUCED COST X1 0.000000 3.000000 X2 0.000000 8.000000 ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) 13.000000 0.000000 3) 6.000000 0.000000 NO. ITERATIONS= 0 RANGES IN WHICH THE BASIS IS UNCHANGED: OBJ COEFFICIENT RANGES VARIABLE CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE COEF INCREASE DECREASE X1 3.000000 INFINITY 3.000000 X2 8.000000 INFINITY 8.000000 RIGHTHAND SIDE RANGES ROW CURRENT ALLOWABLE ALLOWABLE RHS INCREASE DECREASE 2 13.000000 INFINITY 13.000000 3 6.000000 INFINITY 6.000000

PRIMAL DUAL

6.-Un carpintero modesto fabrica dos tipos de mesas de madera. Cada mesa del tipo 1 necesita 4 horas de mecanizado primario (preparacin de piezas) y 4 horas de mecanizado secundario (ensamblado y barnizado). Anlogamente, cada mesa del tipo 2 necesita 3 horas de mecanizado primario y 7 horas de mecanizado secundario. Las disponibilidades diarias de mecanizados primario y secundario son respectivamente de 40 y 56 horas-mquina. La venta de una mesa del tipo 1 reporta un beneficio de 70 dlares, mientras que la venta de una mesa del tipo 2 de 90 dlares. El objeto de este problema es determinar el nmero de mesas de cada tipo que han de producirse diariamente para maximizar el beneficio obtenido.

Horas de Mecanizado

Variables (mesas) Horas disponibles X1 X2

Primario 4 3 40

Secundario 4 7 56

Primal:

= 701 + 902 . .

41 + 32 40 41 + 72 56

1 , 2 0

Dual:

= 401 + 562 . .

41 + 42 70 31 + 72 90

1 , 2 0

GEOGEBRA

Primal:

Dual:

WINQSB

Primal:

Dual:

LINDO

Primal:

Dual:

El anlisis con los programas Geogebra, Winqsb y Lindo, muestran que el carpintero ser capaz de fabricar 7 mesas del tipo 1, 4 del tipo 2 y su ganancia ser de $850.

7.-Abel se dedica a la cra de patos y gansos. l solo tiene el tiempo para atender a lo mximo 30 aves en total, y sin embargo desea obtener la mayor ganancia posible. El costo de criar cada pato y cada ganso es de 1 dlar y 1,50 respectivamente y solo cuenta con 40 dlares para cubrir dicho costo. Si desea ganar 1,50 por cada pato y 2 por cada ganso. Cuntos animales de cada especie deber cuidar para obtener la mxima ganancia?.

Variables Patos

X1 Gansos

X2 Disponibilidad

# Aves 1 1 30

Costo 1 1.5 40

Primal:

= 1.51 + 22 . .

1 + 2 30 1 + 1.52 40

1 , 2 0

Dual:

= 301 + 402 . .

1 + 2 1.5 1 + 1.52 2

1 , 2 0

GEOGEBRA

Primal:

Dual:

WINQSB

Primal:

Dual:

LINDO

Primal:

Dual:

El mximo nmero de animales que podr criar Abel es de 30, compuesto por 10 patos y 20 gansos. Con esta combinacin ptima obtendra una ganancia mxima de $55.00.

8.-Una florista sabe hacer solo 2 tipos distintos de arreglos florales (x1 y x2) para los cuales dispone de 3 tipos distintos de flores: rosas, tulipanes y azucenas. Los requerimientos de flores para cada arreglo, la disponibilidad de flores y los precios de cada arreglo vienen dados por:

Flores Variables (arreglos) Horas

disponibles X1 X2

Rosas 3 1 300

Tulipanes 1 1 140

Azucenas 1 3 300

Precio 2000 1000

Primal:

= 20001 + 10002 . .

31 + 2 300 1 + 2 140

1 + 32 300 1 , 2 0

Dual:

= 3001 + 1402 + 3003 . .

31 + 2 + 3 2000 1 + 2 + 33 1000

1 , 2,3 0

GEOGEBRA

Primal:

WINQSB

Primal:

Dual:

LINDO Primal:

Dual:

En este problema no se puede aplicar el anlisis con el software Geogebra para la expresin primal, pues esta contiene 3 variables en la funcin ptima. La florista encontrara su combinacin ptima con la preparacin de 80 arreglos del tipo 1 y 60 del tipo 2; obteniendo una ganancia mxima por sus ventas de $220000.00.

ASIGNACION Y METODO DE TRANSPORTE 1.-Manuel Alfredo necesita asignar cuatro trabajos que recibi a cuatro empleados de

planta. Las diversas habilidades de estos dan origen a costos variados por el desempeo de los trabajos. A continuacin se detalla los datos de los costos de asignaciones.

Determinar la asignacin optima

EMPLEADO TRABAJO

1 2 3 4

JOSE 50 50 0 20

LUIS 70 40 20 30

PAUL 90 30 50 0

MIGUEL 70 20 50 70

WINQSB

LINDO

El empleado Jos realizara el trabajo 3

El empleado Luis realizara el trabajo 1

El empleado Pablo realizara el trabajo 4

El empleado Miguel realizara el trabajo 2

Costo mnimo=0+70+0+20=90

2.-La Universidad Nacional del Callao programara los cursos de la facultad de Ingeniera de Sistemas e Industrial para impartirlos durante el prximo ciclo acadmico: se necesitan cubrir cuatro curso de niveles universitario (NU) de Maestra en ingeniera de sistemas (MIS) Maestra en gerencia de calidad y productividad (MGCP) y doctorado en ingeniera industrial (DII) los cuales se le asignara un profesor a cada curso.

Se dispone de evaluaciones de estudiantes de ciclos anteriores por parte de los profesores que con bases en una escala el: 4-excelente, 3-muy bueno, 2-promedio, 1-pasable, 0-malo, las evaluaciones del estudiante promedio por cada profesor se muestra en la siguiente tabla.

PROFESOR CURSO

UN MIS MGCP DII

A 2.8 2.2 3.3 3

B 3.2 3 3.6 3.6

C 3.3 3.2 3.5 3.5

D 3.2 2.8 2.5 0

Si la facultad hace las asignaciones del profesorado con base en la maximizacin de las

calificaciones de evaluacin de los estudiantes para los cuatro cursos qu asignaciones de profesores debe hacer?

El profesor A enseara el curso a nivel MSCP 3.30

El profesor B enseara el curso a nivel DII 3.60

El profesor C enseara el curso a nivel MIIS 3.20

El profesor D enseara el curso a nivel UN 3.20

TOTAL 3.30+3.60+3.20+3.20 =13.30

3.-La compaa MINSUR ha sido contratada para realizar cinco trabajo los cuales pueden efectuarse en seis de sus plantas de manufactura .Debido a la magnitud de los trabajos no es factible asignar ms de un trabajo a una planta de manufactura particular. Tambin el segundo trabajo no se puede asignarse a la tercera planta de manufactura. Los costos estimados en miles de dlares para la ejecucin de los trabajos en las distintas plantas de manufactura se resumen en la siguiente tabla:

PLANTAS

TRABAJOS 1 2 3 4 5 6

A 50 55 42 57 48 52

B 66 70 0 68 75 63

C 81 78 72 80 85 78

D 40 42 38 45 46 42

E 62 55 58 60 56 65

Resuelva el problema de asignar los trabajos a las plantas de forma que el costo total sea el

mnimo.

El trabajo A lo realizara la planta 5

El trabajo B lo realizara la planta 3

El trabajo C lo realizara la planta 6

El trabajo D lo realizara la planta 1

El trabajo E lo realizara la planta 2

COSTOS MINIMO =48+0+78+40+35=221

4.-tres plantas de energa elctrica con capacidades de 25,40 y 30 millones de kW/hora proporcionan electricidad a tres ciudades. La demanda mxima en las ciudades se calcula en 30,35 y 25 millones de kW/hora .En la tabla se detalla el precio por milln en las ciudades:

PLANTA CIUDADES

A B C

1 2.8 2.2 3.3

2 3.2 3 3.6

3 3.3 3.2 3.5

Determine las plantas que deben abastecer de energa las ciudades y el costo mnimo.

5.-Una compaa tiene tres almacenes con 15,25 y 5 artculos disponibles respectivamente .con ese producto necesita satisfacer la demanda de cuatro clientes que requieren 5,15 ,15 y 10 unidades .los costos asociados con el envi de la mercanca del almacn a cada cliente por unidad se dan en la tabla siguiente:

ALMACEN CLIENTES

A B C D

1 10 0 20 11

2 12 7 9 20

3 0 14 16 18