investigaciÓn sobre estudiantes con alta capacidad

INVESTIGACIÓN SOBRE ESTUDIANTES CON ALTA CAPACIDAD MATEMÁTICA1

Research on mathematically gifted students

Jaime, A. y Gutiérrez, Á.

Departamento de Didáctica de la Matemática. Universitat de València

Resumen

En la actualidad va creciendo el consenso sobre la necesidad de atender de forma especializada y di-ferenciada las necesidades educativas especiales de los estudiantes con alta capacidad matemática.Paralelamente, se percibe un incremento en la cantidad de investigaciones centradas en este colectivo.En este texto, presentamos una panorámica de los resultados de investigaciones recientes, españolase internacionales, sobre estudiantes con alta capacidad matemática. Después ofrecemos una síntesisde las investigaciones que estamos desarrollando en la Universitat de València basadas en diversoscontenidos matemáticos pero con los objetivos comunes de entender mejor los procesos cognitivos delos estudiantes con alta capacidad matemática de Primaria y ESO y de proporcionar a los profesoresmateriales que les ayuden a atender adecuadamente a estos estudiantes en sus clases ordinarias.Palabras clave: alta capacidad matemática, educación primaria, educación secundaria obligatoria(ESO), procesos cognitivos, atención a la diversidad.

Abstract

There is growing consensus on the need to consider in a specialized and differentiated way the specialeducational needs of mathematically gifted students. At the same time, there is an increase in the num-ber of research focused on those students. In this text, we present an overview of the results of recentresearch, both Spanish and international, on mathematically gifted students. Next, we offer a synthesisof the research we are developing at the University of Valencia based on various mathematical contentsbut with the common objectives of better understanding the cognitive processes of students with highmathematical ability in Primary and Lower Secondary schools and to provide teachers with materialsthat may help them to adequately teach to these students in their regular classes.Keywords: mathematical giftedness, primary school, lower secondary school, cognitive processes,attention to diversity.

INTRODUCCIÓN

Son numerosos los focos de interés de la investigación en didáctica de las matemáticas (o educación ma-temática) actual. En ocasiones, estos focos de interés se simplifican y esquematizan en un triángulo edu-cativo en cuyos vértices están las matemáticas, los profesores y los estudiantes. Este triángulo tal vez fueraválido en la primera época, cuando se prestaba atención principalmente a las ideas matemáticas, a cómollevarlas a los currículos escolares y a cómo enseñarlas para lograr que los estudiantes las aprendieran,pero dejó de ser representativo unas décadas después, cuando se produjo un movimiento de los focos deatención hacia la investigación de aspectos cognitivos de los estudiantes, que explicaran cómo se procesan,entienden y asimilan nuevas ideas matemáticas (Bass, 2008), y de aspectos profesionales de los profesores,que ayudaran a entender su problemática y mejorar su formación y su práctica. En la actualidad, sin olvidarel análisis de los contenidos matemáticos, los componentes cognitivos de los estudiantes ni los aspectosprofesionales de los profesores, se ha ampliado enormemente el abanico de puntos de vista desde los quese analizan e investigan los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas.

Jaime, A. y Gutiérrez, Á. (2017). Investigación sobre estudiantes con alta capacidad matemática. En J.M. Muñoz-Escolano,A. Arnal-Bailera, P. Beltrán-Pellicer, M.L. Callejo y J. Carrillo (Eds.), Investigación en Educación Matemática XXI (pp.71-89). Zaragoza: SEIEM.

En este contexto, y desde cualquiera de los numerosos puntos de vista adoptables, lo más frecuente esque las investigaciones tengan como objetivo más o menos directo analizar las dificultades de apren-dizaje. En unas ocasiones se investigan directamente algunas dificultades específicas, mientras queen otras se investigan factores que pueden condicionarlas o modificarlas, positiva o negativamente.Sin embargo, este interés por ayudar a comprender y minimizar las dificultades de aprendizaje de lasmatemáticas que sufre una mayoría de estudiantes hace que quede oculto e ignorado otro problemadidáctico importante, como es el de comprender y abordar la problemática en torno a los estudiantescon alta capacidad matemática, es decir aquéllos con una capacidad matemática claramente superiora la media. Estos estudiantes no tienen las dificultades de aprendizaje que sufren sus compañeros deaula, al contrario, son capaces de comprender deprisa y con profundidad los nuevos contenidos ma-temáticos. Sin embargo, tienen otro tipo de necesidades especiales que también hay que investigar ytratar de solucionar desde la didáctica de las matemáticas.

Lamentablemente, no todos los profesionales de la enseñanza asumen que los estudiantes con alta ca-pacidad y superdotados tienen necesidades educativas especiales que deben ser atendidas. La SEIEMha demostrado que sí asume esta postura. En 2010 se organizó un seminario sobre educación mate-mática y diversidad en cuya presentación el coordinador identificó como necesidades educativas es-peciales “una gran diversidad de campos de investigación, pues a la Educación Matemática nosolamente le interesan las situaciones que se pueden plantear con estudiantes con parálisis cerebral,autismo, sordera, ceguera, etc., sino también las que se dan cuando en el aula tenemos estudiantes conaltas capacidades matemáticas.” (De la Torre, 2010). Este año, la SEIEM ha organizado un nuevo se-minario sobre diversidad en el que se ha dedicado una de las intervenciones a los estudiantes con altacapacidad matemática.

En el ICME10, tuvo lugar un panel plenario titulado “Mathematics education for whom and why?The balance between mathematics education for all and for high level mathematics performance”(Niss, 2010). En España, como en muchos otros países avanzados, la formación matemática se concibecomo una necesidad social y un derecho de todos los ciudadanos, al menos durante el periodo de en-señanza obligatoria. Pero, por otra parte, en aquellos países en los que las autoridades educativas sonconscientes de la necesidad de disponer de profesionales con una formación matemática elevada, setoman medidas para identificar a los estudiantes que muestran una alta capacidad matemática y paraproporcionarles una formación específica que les permita desarrollar su potencial matemático (Diez-mann y Watters, 2002; NCTM, 2003). Nuestra postura personal al respecto, como didactas y comoinvestigadores, es que ninguna de las dos opciones (matemáticas para todos y matemáticas para losde más capacidad) debe primar sobre la otra, sino que ambas son igualmente importantes y el sistemaeducativo tiene obligación de prestar la misma atención a ambas. En otras palabras, el sistema educa-tivo debe ocuparse de que todos los estudiantes reciban una buena formación matemática, lo cual con-lleva la necesidad de proporcionar formación diferenciada a los estudiantes con diferentes capacidadesmatemáticas, para que, en particular, los mejor dotados para las matemáticas puedan llegar tan lejoscomo su capacidad les permita.

Esta afirmación es una interesante declaración de principios. De hecho, es posible encontrar afirma-ciones en esta dirección en las últimas leyes educativas españolas. En la LGE (aprobada en 1970) sedice que “se prestará una educación especial a los escolares superdotados para el debido desarrollo desus aptitudes”. La LOGSE (aprobada en 1990) supuso un retroceso en este aspecto, pues sólo proponíaatención diferenciada a los estudiantes con dificultades. La LOCE (aprobada en 2002) identifica di-versos tipos de “alumnos con necesidades educativas especiales”, entre los que están los “alumnossuperdotados intelectualmente”. Por último, la LOE (aprobada en 2006) y su modificación de 2013,la LOMCE, también diferencian varios tipos de “dificultades específicas de aprendizaje” entre los quese encuentran los estudiantes con “altas capacidades intelectuales”.


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La implementación práctica por las autoridades educativas de estas directrices de las leyes de educa-ción más recientes, es decir desde la LOCE, ha consistido en pedir a los centros de enseñanza que de-finan y desarrollen adaptaciones curriculares para los estudiantes superdotados. Estas adaptacionescurriculares suelen tener como punto crítico, debido a la dificultad y complejidad que conlleva, suimplementación en la asignatura de matemáticas, ya que una mayoría de estudiantes identificadoscomo superdotados tienen una alta capacidad matemática. En los últimos años está habiendo un in-cremento en el reconocimiento por autoridades y profesores de la inaplazable necesidad de poner enpráctica estrategias de aula para ayudar a estos estudiantes.

Lo indicado en los párrafos anteriores es el contexto que explica y justifica la conveniencia de que ladidáctica de las matemáticas se plantee y aborde un importante problema de investigación, consistenteen describir y analizar diferentes factores que influyen de manera significativa en la problemática dela formación de los estudiantes con alta capacidad matemática, así como en proponer soluciones prác-ticas y realistas. La investigación centrada en los estudiantes con alta capacidad matemática no esnueva en España, si bien, hasta hace pocos años, estaba casi toda en el terreno de la psicología edu-cativa, formando parte de un contexto más amplio centrado en la superdotación. Sin embargo, en losúltimos años están surgiendo en diversas universidades españolas grupos de didactas de las matemá-ticas interesados en investigar este tema desde diferentes aproximaciones, si bien la producción deestos grupos es todavía escasa, como lo muestra que sólo 11 artículos de las actas de los Simposios dela SEIEM versan sobre la alta capacidad matemática, siendo el más antiguo de 2008, con 4 de ellospublicados en 2016 y 7 presentados en los años 2013-2016 por miembros del mismo equipo de inves-tigación. Esta situación no es exclusiva de España; por ejemplo, el primer congreso CERME en elque hubo un grupo de trabajo dedicado a la alta capacidad matemática fue el de 2011 y Diezmann yWatters (2002) afirman, respecto de Australia, que es bastante limitada la cantidad de publicacionesde investigación sobre este tipo de estudiantes.

Hay diversos términos que se utilizan habitualmente en el contexto que nos ocupa en este documento.Los más habituales son superdotación, alta(s) capacidad(es) y talento. Existen diversas definicionesde estos términos en la literatura que pueden indicar diferencias entre ellos. En este texto, asumimosel significado que se da a superdotación en el sistema educativo español, que incluye como requisitomás característico, la obtención de al menos 130 puntos de cociente intelectual. Usaremos de manerahabitual el término alta capacidad matemática (o, simplemente, alta capacidad), para referirnos a losestudiantes que muestran una calidad matemática claramente superior a los estudiantes medios de sumisma edad o curso, aunque no lleguen a ser considerados como superdotados. En cuanto al términotalento matemático, hemos optado por no utilizarlo para evitar confusión en los lectores.

En este texto hacemos, primero, un repaso de la investigación reciente, tanto española como interna-cional, relativa a los estudiantes con alta capacidad matemática. En particular, mencionamos las pu-blicaciones en las actas de simposios de la SEIEM, aunque algunas de ellas formen parte de otraspublicaciones más extensas, como tesis de máster o doctorales. Después, describimos la línea de in-vestigación sobre alta capacidad que estamos desarrollando en la Universitat de València desde haceaproximadamente una década2, cuyo objetivo central último es elaborar materiales de enseñanza quepuedan ser llevados a las aulas de Primaria y ESO, pero que tiene otros objetivos de investigaciónmás específicos que nos ayudan a entender las características cognitivas de estos estudiantes, sus es-trategias de resolución de problemas y sus procesos de aprendizaje. Por último, presentamos algunasconclusiones y propuestas de acción.

REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA

Dedicamos esta sección a presentar investigaciones españolas e internacionales relevantes sobre es-tudiantes con alta capacidad matemática. En lo referente a las publicaciones internacionales, el objetivono es hacer una revisión extensa, pues ésta superaría el espacio disponible y tampoco se ajustaría a

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los objetivos del Seminario, sino mostrar ejemplos de publicaciones pertinentes. Hemos dividido larevisión en varios apartados centrados en diferentes aspectos destacados de la investigación didácticasobre la alta capacidad matemática. Son diversas las opciones de temáticas para organizar esta revisiónbibliográfica, pero hemos escogido aquéllas en las que se están realizando investigaciones en España:Resolución de problemas, caracterización de la alta capacidad matemática e identificación de estu-diantes y análisis de los procesos de razonamiento y aprendizaje de estudiantes con alta capacidad.

Investigación sobre resolución de problemas

Empezamos la revisión bibliográfica por este tema porque, dentro de la escasez de investigación di-dáctica, la mayoría de publicaciones, nacionales e internacionales, están relacionadas con la resoluciónde problemas (Castro, 2008). Un repaso de las presentaciones realizadas en los grupos de trabajo de-dicados a la alta capacidad en los congresos ICME, CERME y MCG muestra claramente este hecho.

Esta tendencia a basar las investigaciones en la resolución de problemas se da también en las españolas,basadas en resolución de problemas de diferentes áreas de las matemáticas escolares. Así Ramírez,Flores y Castro (2010), Ramírez (2012), Gutiérrez, Jaime y Alba (2014), Benedicto, Acosta, Gutiérrez,Hoyos y Jaime (2015), Escrivà (2016), Escrivà, Beltrán-Meneu, Gutiérrez y Jaime (2016) y Ramírez,Beltrán-Meneu, Jaime y Gutiérrez (2016) plantean problemas en los que el uso de la visualización esun elemento fundamental de la resolución. Varios de esos estudios están orientados hacia la geometríaespacial, incluyendo en algunos casos el uso de software de geometría 3d, mientras que los otros sebasan en contextos planos. Los resultados de dichos estudios son coherentes con resultados anteriores,en particular con los tipos de razonamiento matemático propuestos por Krutetskii (1976), es decir elanalítico, el geométrico y el armónico, cuya diferencia se basa en los estilos de trabajo empleados alabordar la resolución de los problemas.

La posible relación entre alta capacidad matemática y estilo de razonamiento es una cuestión que to-davía no ha recibido una respuesta concluyente. Presmeg (1986) señala que la mayoría de los estu-diantes con alta capacidad de sus investigaciones no eran visualizadores y que ello es debido a unadiversidad de factores que ayudan a que estos estudiantes prefieran no usar la visualización, entre losque destacan el estilo de enseñanza formal habitual en las aulas (al menos en la época de este estudio)y la propia naturaleza de las matemáticas superiores. Sin embargo, Van Garderen (2006) obtiene re-sultados aparentemente contradictorios con los anteriores, ya que observa que los estudiantes con altacapacidad usan más imágenes mentales que sus compañeros con capacidad matemática media.

Benavides (2008) y Castro, Benavides y Segovia (2006, 2008) presentan resultado de la administraciónde un conjunto de problemas de estructura multiplicativa y nos ofrecen una clasificación de los errorescometidos por los estudiantes con alta capacidad de su muestra. Estos resultados demuestran que, encontra de lo que opinan muchos profesores, estos estudiantes no aprenden solos, sino que, igual quesus compañeros, necesitan que sus profesores les ayuden a entender y aprender los nuevos contenidosy a corregir los errores que cometen.

Por otra parte, Arbona (2016), Arbona, Jaime, Gutiérrez y Beltrán-Meneu (2016), Benedicto, Jaime yGutiérrez (2015), Benedicto, Arbona, Jaime y Gutiérrez (2016) y Benedicto, Hoyos, Aristizábal, Gu-tiérrez y Jaime (2016) se centran en el contexto de la pre-álgebra para analizar los procesos de reso-lución de problemas de generalización de sucesiones numéricas, en contextos de patrones geométricoso similares, por estudiantes con alta capacidad de los últimos cursos de Primaria. Los resultados deestos experimentos muestran que los estudiantes con alta capacidad de dichos cursos están en condi-ciones de empezar a aprender los significados de los conceptos básicos de álgebra, empezar a usar elsistema de símbolos algebraico, expresar en términos algebraicos relaciones funcionales generalizadasy plantear y resolver ecuaciones lineales.


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Otros investigadores que han analizado el aprendizaje de pre-álgebra por estudiantes con alta capacidadson Amit y Neria (2008), quienes informan de que, para resolver problemas de patrones geométricos,los estudiantes con alta capacidad realizan análisis pictórico, numérico y verbal de los enunciados yutilizan principalmente las estrategias recursiva y funcional para resolverlos, mostrando una flexibi-lidad mental que les ayuda a cambiar con facilidad de una forma de análisis o estrategia a otra segúnles interesara. Este resultado concuerda con los obtenidos en las publicaciones mencionadas en el pá-rrafo anterior.

Una tipología especial de resolución de problemas es la que tiene que ver con las competiciones ma-temáticas. En las competiciones matemáticas normalmente se valora cómo de completo, correcto, ori-ginal, etc. es el proceso de resolución de los problemas. Sin embargo, las Pruebas Cangur presentanunas características específicas debido a que plantean problemas de elección múltiple en tiempo limi-tado y a que no se valora el proceso de resolución, sino sólo si el resultado es o no correcto. Esto hadado pie al interés de Guinjoan, Gutiérrez y Fortuny (2015) por analizar los procesos de razonamiento,la toma de decisiones y el grado de certeza y confianza en sus respuestas de los estudiantes que obtie-nen mejores resultados en estas Pruebas. En este estudio se observa que disponer de las opciones derespuesta influye poco en las estrategias de resolución seguidas, ya que los estudiantes no utilizan conmás frecuencia la comprobación de casos, que hay una relación positiva entre la certeza de los estu-diantes en que sus respuestas son correctas y la corrección real de éstas y que los estudiantes utilizancon frecuencia la intuición ya que no tienen tiempo para resolver completamente los problemas.

Algunas investigaciones se han orientado a analizar, desde varios puntos de vista, los problemas dematemáticas para determinar su adecuación a los estudiantes con alta capacidad. Benedicto (2013) yKarp (2013) analizan problemas propuestos en libros de texto. Pitta-Pantazi, Christou, Kattou, Sop-hocleous y Pittalis (2015) proponen diseñar y plantear problemas que incluyan diversas destrezas ma-temáticas, como el uso de tecnología, la expresión verbal, iniciativa, entre otras. Ivanov, Ivanova yStolbov (2013) proponen un modelo que tiene en cuenta la actividad realizada por los estudiantes alresolver un problema y los esquemas de razonamiento aplicados.

Los análisis de problemas anteriores son análisis teóricos de enunciados, que sirven como una primeraaproximación a identificar su adecuación a los estudiantes, pero, dada la diversidad de estilos y capa-cidades que hay entre los estudiantes con alta capacidad, se hace necesario experimentar con estu-diantes. Así, Benedicto, Jaime y Gutiérrez (2015) comparan el análisis teórico de la demanda cognitivade problemas de patrones geométricos con el análisis de la demanda cognitiva mostrada por estudiantescon alta capacidad. Sus resultados muestran una sorprendente diversidad de comportamiento de losestudiantes.

Es frecuente que los investigadores propongan a los estudiantes con alta capacidad, junto a la re-solución de problemas, el planteamiento de problemas (problem posing). Este tipo de actividadconjuga la capacidad matemática superior con la creatividad, pues permite a los estudiantes mostrarsu habilidad para plantear problemas originales, variados y con diversos grados de dificultad (Sil-ver, 1997). Voica y Singer (2012) analizan las respuestas de un grupo de estudiantes con alta ca-pacidad de 4º a 6º de Primaria a los que se pidió que modificaran el enunciado de un problema.Los estudiantes que identificaron y entendieron los contenidos matemáticos puestos en juego enel problema fueron capaces de producir variantes y generalizaciones del problema, mientras quelos otros estudiantes se limitaron a plantear variaciones superficiales. Espinoza, Lupiañez y Segovia(2016) presentan a un grupo de estudiantes con alta capacidad matemática dos situaciones realistasy les piden plantear un enunciado de un problema aritmético “que te parezca difícil de resolver”.Los estudiantes produjeron enunciados complejos, con diversos tipos de números y que requierenvarias operaciones. Por lo tanto, ambas investigaciones apoyan la idea de que la habilidad paraplantear enunciados de problemas variados y complejos es una característica de los estudiantescon alta capacidad matemática.


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Un estudio precursor sobre planteamiento de problemas es el de Ellerton (1986), que muestra que losestudiantes de mayor capacidad plantean problemas más complejos, es decir con más operaciones,utilizando datos más complejos y necesitando operaciones más difíciles, que sus compañeros con ca-pacidad media. Además, los estudiantes de capacidad media tenían menos éxito resolviendo los pro-blemas que ellos mismo han planteado que sus compañeros con alta capacidad. Otros estudios másrecientes (Sophocleous y Pitta-Pantazi, 2017) confirman este tipo de resultados y, además, relacionanla alta capacidad matemática con la habilidad en el planteamiento de problemas y con la capacidad derealizar pensamiento crítico y razonamiento de alto nivel (higher order thinking).

Investigación sobre identificación y caracterización de estudiantes con alta capacidad matemática

En esta sección nos centraremos en los esfuerzos hechos desde la didáctica de las matemáticas paracaracterizar la alta capacidad matemática y para identificar a los estudiantes con esta característicaintelectual. No vamos a entrar en otros procedimientos de detección, comunes en el ámbito escolar ybasados generalmente en tests psicológicos, algunos de los cuales han sido descritos en Ramírez(2012), Pitta-Pantazi (2017) y en literatura psicológica especializada, ya que diversos estudios (porejemplo, Niederer y Irwin, 2001 y Díaz, Sánchez, Pomar y Fernández, 2008) muestran que estos testsson menos fiables que una batería de problemas de matemáticas elegidos cuidadosamente.

En lo referente a la caracterización de la alta capacidad, hay diversos estudios realizados a lo largo delos años que ofrecen información empírica avalando determinados rasgos de comportamiento. Un ele-mento común a estos estudios es que se basan en observar a muestras de estudiantes previamente iden-tificados por otros procedimientos como con alta capacidad resolviendo problemas. La primera listade rasgos con alta capacidad que se menciona habitualmente en la literatura es del conocido estudiode Krutetskii (1976), que incluye rapidez y flexibilidad de razonamiento, memoria matemática, y ha-bilidades de generalización, de manejo de conceptos abstractos, de identificación y uso de estructurasmatemáticas. Otros estudios en esta línea, recogidos en Jaime y Gutiérrez (2014) y Pitta-Pantazi (2017),apuntan a características más específicas y relacionadas con áreas matemáticas, como las capacidadesde visualización y de realización de razonamientos cualitativo, cuantitativo y causal. Por otra parte,algunos estudios coinciden en señalar que es necesario tener en cuenta el razonamiento visual pararealizar una identificación de los estudiantes con alta capacidad (Webb, Lubinski y Benbow, 2007).Rojas, Jiménez y Mora (2009) presentan un estudio en el que, basándose en la resolución de problemasque requieren usar visualización espacial, identifican diversas características en los estudiantes conalta capacidad observados.

Una metodología de investigación frecuente en estudios de nuestra área que tratan de identificar ca-racterísticas de estudiantes con alta capacidad matemática es la de comparar formas de actuación deéstos con las de estudiantes medios, en particular en resolución de problemas. Por ejemplo, Heinze(2005) observa que los estudiantes con alta capacidad superan a sus compañeros en rapidez de reso-lución, sistematización del trabajo y calidad de sus explicaciones verbales. En el contexto de las in-vestigaciones realizadas en España, Benavides (2008) compara la resolución de problemasmultiplicativos y Ramírez (2012) y Escrivà (2016) la de tareas de visualización. Reyes-Santander yKarg (2009) plantean dos problemas a estudiantes con alta capacidad de Primaria para ver qué ca-racterísticas diferenciadoras permiten identificar, con el objetivo de que profesores y futuros profe-sores aprendan a identificar a estudiantes con alta capacidad en sus clases. Díaz y otros (2008)comparan las respuestas de un grupo de estudiantes, seleccionados para participar en Estalmat-Ga-licia, a los problemas de selección de Estalmat y a un test psicológico estandarizado. Sus resultadosindican que, aunque hay una correlación bastante buena entre las respuestas a los problemas y al test,son más fiables los problemas para identificar a estudiantes con alta capacidad, pues el test puedepasar por alto a algunos estudiantes. Otro estudio con cuestiones de investigación relacionadas es elde Nolte (2012).


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El estudio presentado en Benavides (2008) y Castro, Benavides y Segovia (2006, 2008) tiene comoobjetivo central elaborar y administrar un conjunto de problemas de estructura multiplicativa con elobjetivo de ver si permiten identificar a estudiantes de Primaria con alta capacidad. Este estudio con-cluye que los problemas elegidos permiten diferenciar estudiantes con alta capacidad de estudiantesde capacidad media.En Gutiérrez y Jaime (2013) ofrecemos ejemplos de dos estilos de resolución de problemas en los quelos estudiantes ponen en juego algunas formas de trabajo características, como identificar un elementoclave del problema, flexibilidad para modificar el problema planteado o para cambiar de estrategia deresolución y capacidad para identificar un proceso inductivo y generalizarlo.Una característica típica de la resolución de problemas por estudiantes con alta capacidad es la origi-nalidad de sus procedimientos, pues con frecuencia siguen formas de resolución atípicas, en las quecombinan los conocimientos matemáticos de manera sorprendente. Estos estudiantes suelen mostrarmucha intuición al resolver problemas, pues son capaces de llegar a la solución de un problema inclusoaunque no dispongan de los conocimientos matemáticos necesarios para escribir una justificación de-tallada de la misma. También es reconocida como una característica típica de los estudiantes con altacapacidad matemática la rapidez para comprender nuevos conceptos, propiedades o procedimientos.Con frecuencia, estas características aparecen combinadas (Jaime y Gutiérrez, 2014), como en el casode un estudiante con alta capacidad (11 años, cursando 6º de Primaria) al que planteamos el problemade dibujar en una hoja de papel un polígono regular de 20 lados. Nada más terminar de oír el enunciado,el estudiante respondió:

Estudiante: Hacemos 360÷20, que son 18°, y con ese ángulo unimos muchos triángulos juntos, 20.

El estudiante se refería a los triángulos formados al unir el centro del polígono con los vértices, y lainvestigadora suponía que el ángulo de 18º que había calculado era el ángulo central. La resolucióntípica que cabe esperar es dibujar los 20 triángulos consecutivos midiendo ángulos de 18º con vérticeen el centro del polígono. La investigadora quiso confirmarlo:

Investigadora: ¿Y qué hacemos con el ángulo de 18°?

Estudiante: [dibuja dos triángulos consecutivos desde el centro y marca el ángulo exterior, Figura 1a]Éste mide 18°.

Investigadora: ¿Por qué?

Estudiante: Intuición. Yo lo veo, pero no sé por qué es así.

Investigadora: ¿Y cómo harías entonces el polígono?

Estudiante: [marca el ángulo formado por los lados del polígono que salen de un vértice, Figura 1b]Esto mide 162 porque es 180-18.

Investigadora: ¿Y qué haces con ese ángulo?

Estudiante: Dibujar los triángulos. 162 ÷ 2 es el ángulo [de un triángulo]. Lo dibujamos, y al lado otro,y al lado otro, … Así hasta 20.


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Figura 1. Respuesta del estudiante—a— —b—

Después de resolver el problema, la investigadora le sugirió al estudiante el procedimiento típico, ba-sado en utilizar el ángulo central de 18°. Al momento de empezar la explicación, el estudiante no ne-cesitó que la investigadora le explicara más, diciéndole que ya sabía qué le iba a explicar y que nohacía falta que siguiera.

Al analizar este diálogo, se perciben diversos rasgos con alta capacidad matemática: la originalidadde la solución, evidente al utilizar el ángulo exterior de 18º en vez del ángulo central. La intuición delestudiante, que fue capaz de visualizar la solución y dibujarla de manera rigurosa aunque no había es-tudiado algunos de los conceptos involucrados, como el ángulo central o el ángulo exterior. La rapidezde comprensión, al adelantarse a las explicaciones de la profesora y no necesitar que terminara de ex-plicarle el otro método de resolución.

La diversidad de baterías de problemas producidos y administrados a estudiantes con alta capacidad dapie a plantearse la pregunta de si todas ellas dan resultados similares. La respuesta está lejos de ser uná-nime. Por una parte, hay estudiantes con alta capacidad matemática que no se muestran igualmentediestros en diferentes áreas de las matemáticas escolares. Escrivà (2016) planteó a una clase ordinariade 6º de Primaria una serie de problemas de geometría espacial y también parte de los problemas deBenavides (2008), observando que ambos conjuntos de problemas producían resultados discrepantes,ya que los estudiantes que mostraron mejor capacidad de visualización y rasgos con alta capacidad ma-temática relativos a la visualización no fueron los que mejor resolvieron los problemas multiplicativos.Trabajos anteriores han presentado resultados coherentes con este, como Ryu, Chong y Song (2007),quienes informan de que estudiantes con alta capacidad con gran destreza en álgebra y determinadasáreas de geometría mostraron dificultades en el uso de la visualización para resolver problemas de geo-metría espacial. Por otra parte, Applebaum (2017) da cuenta de diversas investigaciones en las que losestudiantes que muestran mejor capacidad espacial también tienen mejor capacidad matemática.

Padres y profesores suelen relacionar la alta capacidad con el éxito escolar, es decir con las buenasnotas. Sin embargo, esta relación es ficticia. Aparte del hecho, suficientemente conocido y documen-tado, de que los estudiantes superdotados tienen un alto riesgo de fracaso escolar, por haber perdidoel interés por los estudios, y de que numerosos estudiantes superdotados desarrollan estrategias parapasar desapercibidos en sus clases, entre las cuales destaca la de obtener notas mediocres, hay diversasinvestigaciones que muestran que no siempre hay relación entre alta capacidad matemática y buenasnotas en matemáticas. En una investigación realizada en Valencia, trabajamos con un grupo ordinariode clase y obtuvimos que todos los estudiantes que mostraron un uso destacado de las habilidades devisualización espacial obtenían también buenas notas en las asignaturas de matemáticas, pero habíatambién estudiantes con buenas notas que no destacaron en el uso de la visualización (Escrivà, 2016;Escrivà, Beltrán-Meneu, Gutiérrez y Jaime, 2016). Brandl (2011) encuentra en sus experimentos es-tudiantes con alta capacidad que no obtienen buenas notas y estudiantes con buenas notas que notienen alta capacidad. Evidentemente, las notas obtenidas en los cursos de matemáticas de Primaria ySecundaria están condicionadas por una diversidad de factores, no todos de rendimiento matemático,lo cual hace que estas notas no puedan tomarse como un indicador principal con alta capacidad ma-temática, sino como un indicador secundario que debe servir para activar otros procedimientos deidentificación más fiables.

No podemos cerrar esta sección sin mencionar la relación entre creatividad y alta capacidad matemática,aunque no es nuestro objetivo entrar a describirla. Dicha relación es un caso particular de una relaciónmás amplia entre sobredotación y creatividad. Limitándonos al ámbito de las matemáticas, para una ma-yoría de autores, alta capacidad y creatividad son dos conjuntos con intersección no vacía pero ningunoincluido en el otro, si bien no hay acuerdo sobre la posible relación de dependencia lógica de una respectode la otra (Pitta-Pantazi, 2017 y diversos textos en los congresos CERME, ICME y MCG). En otros pá-rrafos de este texto mostramos que la creatividad se considera como una característica de la alta capacidady es, por tanto, uno de los rasgos que se buscan al tratar de identificar a estudiantes con alta capacidad.


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Investigación sobre procesos de razonamiento y de aprendizaje

Dado el relevante papel que tiene la aritmética en Primaria y Secundaria, no es de extrañar que hayadiversos trabajos centrados en el aprendizaje de la aritmética y el pensamiento numérico, así como depre-álgebra. En este contexto, Freiman (2004) y Vale y Pimentel (2011) informan de los resultados desendos experimentos con estudiantes con alta capacidad de Primaria en los que plantean diversos pro-blemas de aritmética y álgebra seleccionados para que supongan desafíos para los estudiantes. Lee(2004) diseña unos problemas que se resuelven mediante ecuaciones lineales. Fritzlar y Karpinski-Siebold (2012) exploran la utilización de problemas pre-algebraicos con estudiantes de 4º curso dePrimaria, observando las diferencias entre formas de resolución de estudiantes con alta capacidad yordinarios. Phillipson y Callingham (2009) ofrecen una revisión de la literatura relativa a la alta ca-pacidad matemática y la habilidad de cálculo.Por otra parte, los problemas de geometría siguen siendo un contexto muy utilizado para evaluar lashabilidades de razonamiento deductivo de los estudiantes. Por ejemplo, Cho, Han, Jim, Kim y Song(2004) presentan un micromundo geométrico basado en Logo y software de geometría dinámica paraestudiantes de Primaria y Secundaria. De Villiers (2016) presenta una unidad de enseñanza sobre ge-neralización basada en un problema geométrico que es modificado para que los estudiantes obtengany demuestren una versión generalizada.Siendo la demostración una característica central del trabajo matemático, sorprende la poca atenciónprestada al aprendizaje de la demostración por estudiantes con alta capacidad. En la búsqueda parapreparar este texto, sólo hemos encontrado el trabajo de Lee (2005), que analiza un experimento deenseñanza orientado a mejorar la habilidad de demostración en contextos geométricos de estudiantesde 12 años. Sus resultados muestran que estos estudiantes siguen los procesos habituales de aprendizajede la demostración, desde métodos empíricos a deductivos.Otros investigadores se han centrado en el aprendizaje de contenidos extraescolares, típicos de acti-vidades de extensión. Schindler y Joklitschke (2015) crearon un contexto de matematización de si-tuaciones reales mediante teoría de grafos, a fin de observar si estudiantes con alta capacidad desecundaria (12-13 años) eran capaces de resolver este tipo de problemas y de generalizar estrategiasde matematización. Sus resultados indican que la habilidad de los estudiantes para resolver los pro-blemas depende en gran medida del contexto de cada problema y de la facilidad con la que identifi-caron un contexto geométrico o visual para representar los datos del problema. Con unos objetivosparcialmente coincidentes, Aizikovitsh-Udi y Amit (2011) diseñan una unidad de enseñanza basadaen el uso de estadística en situaciones de la vida ordinaria para promover en estudiantes de secundariacon alta capacidad (15-16 años) pensamiento crítico y razonamiento de alto nivel. Entre sus resultados,destaca que el razonamiento de alto nivel no surge de forma espontánea, ni siquiera en los estudiantescon alta capacidad, sino que es necesario inducirlo mediante la enseñanza y que esto depende, en granmedida, del contexto y del tipo de actividades.Los dos estudios anteriores, al igual que otros, muestran que es necesario prestar atención al papel delos profesores y sus formas de organizar las clases, pues sólo profesores creativos y bien formadospueden abordar adecuadamente la formación de sus alumnos con alta capacidad (Karp y Leikin, 2009).Así, Zaslavsky y Linchevski (2007) y Gal, Levenson, Shayshon, Tesler, Eyal, Prusak y Berger (2008)presentan resultados de sendos programas de formación de profesores enfocados a hacerles conscientesde las necesidades de los estudiantes con alta capacidad que tienen en sus clases, a modificar la prácticade los profesores y a establecer conexiones entre la teoría y la práctica. Por su parte, Karsenty y Fried-lander (2008) informan de un curso de desarrollo profesional de profesores Secundaria en el que seenfatiza la importancia de promover la alta capacidad matemática en sus clases y se da a los profesorespautas para lograrlo.


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LÍNEAS DE INVESTIGACIÓN PROPIAS

La revisión de la literatura española en educación matemática sobre estudiantes con altas capacidadesde las páginas anteriores muestra que, durante los últimos años las investigaciones se han desarrolladoprincipalmente en las universidades de Granada (llevadas a cabo por Enrique Castro, Isidoro Segovia,Pablo Flores, Rafael Ramírez, José Luis Lupiáñez y estudiantes de postgrado) y de Valencia. En estasección presentamos brevemente las principales investigaciones que llevamos a cabo en la Universitatde València. En las páginas anteriores hemos mencionado algunos aspectos de nuestro trabajo, peroahora vamos a presentarlo de forma más organizada.Un objetivo último de investigación común a todos los estudios que estamos realizando es producirinformación que resulte útil a los profesores de Primaria y ESO poder para atender adecuadamente asus alumnos con alta capacidad. Dicha información consiste, por una parte, en identificar rasgos ca-racterísticos de la actividad matemática de estos estudiantes y, por otra, en producir conjuntos de ac-tividades matemáticas ricas (Hewson, 2011) que los profesores puedan usar en sus clases con todoslos estudiantes del grupo de manera que los estudiantes de distintas capacidades matemáticas puedanalcanzar objetivos de aprendizaje o de resolución de problemas diferentes. También estamos empe-zando a investigar la resolución de problemas en entornos de comunicación virtual, lo cual facilita lacomunicación entre estudiantes de alta capacidad, analizando el comportamiento de los estudiantes yla eficacia de dicho entorno de trabajo.

Análisis de la complejidad del razonamiento matemático

Una característica que distingue a los estudiantes con alta capacidad de sus compañeros es la comple-jidad de los procesos de razonamiento que pueden desarrollar. Existe un consenso cada vez mayor entrelos grupos internacionales de profesores de matemáticas e investigadores en educación matemática enque, para mejorar la calidad del aprendizaje de las matemáticas, es necesario que los profesores planteenen sus clases actividades y problemas que sean cognitivamente exigentes para sus alumnos, es decirque les induzcan a utilizar razonamiento de alto nivel (Bishop, 2008; Boston y Smith, 2009; Cai y How-son, 2013). Esto es válido para todos los estudiantes, pero es más necesario para los estudiantes conalta capacidad. Este planteamiento pone de relieve la cuestión de cómo saber si un problema de mate-máticas servirá para promover el razonamiento de alto nivel, la cual ha sido investigada desde hacebastantes años (Benedicto, 2013; Pitta-Pantazi y Sophocleous, 2017). Una de las propuestas realizadaspara responderla es el modelo teórico de los niveles de demanda cognitiva (Smith y Stein, 1998).La demanda cognitiva de una tarea matemática se define como “el tipo y nivel de pensamiento reque-rido de los estudiantes para poder abordar la tarea y resolverla con éxito” (Stein, Smith, Henningseny Silver, 2009, p. 1). Smith y Stein (1998) definieron un conjunto de características de cada nivel dedemanda cognitiva que permiten identificar la complejidad de razonamiento necesaria para la resolu-ción de actividades o problemas planteados en los libros de texto o por los profesores en clase. Estosautores utilizan los niveles de demanda cognitiva en el contexto de la formación de profesores y futurosprofesores, para enseñarles a evaluar las actividades que plantean y a mantener su nivel de demandacognitiva en clase. Esta forma de utilización del modelo tiene, para nosotros, el inconveniente de quees teórica, pues sólo analiza los enunciados de los problemas y las formas correctas de resolverlos tí-picas de los estudiantes medios.En nuestras investigaciones hemos aplicado el modelo de demanda cognitiva para analizar la comple-jidad del razonamiento de estudiantes reales resolviendo problemas. Esto nos ha obligado a reconcep-tualizar los niveles de demanda cognitiva y a modificar, completar y mejorar las características definidasen Smith y Stein (1998). Esta actividad de investigación teórica (Benedicto, Gutiérrez y Jaime, 2017)está dando lugar a un fructífero conjunto de resultados empíricos basados en experimentos con estu-diantes con alta capacidad de diversas edades resolviendo problemas de varias áreas de las matemáticascomo geometría plana (Benedicto, 2013), pre-álgebra (Benedicto, Jaime y Gutiérrez, 2015; Benedicto,Arbona, Jaime y Gutiérrez, 2016) y visualización (Benedicto, Acosta, Gutiérrez, Hoyos y Jaime, 2015).


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Un resultado importante de esta línea de investigación en relación con los estudiantes con alta capa-cidad es que estamos encontrando una amplia diversidad de resoluciones de un mismo problema, in-cluso entre estudiantes con la misma edad o del mismo curso. Además, parte de esas resoluciones sealejan bastante de la evaluación del nivel de demanda cognitiva de los problemas hecha teóricamente,basada sólo en el enunciado (Benedicto, Jaime y Gutiérrez, 2015).

Estilos de razonamiento en contextos de geometría espacial

Consideramos la visualización en matemáticas como “el tipo de actividades de razonamiento basadasen el uso de elementos visuales o espaciales, mentales o físicos, puestos en juego para resolver problemaso demostrar propiedades” (Gutiérrez, 1996, p. 9). Las capacidades de imaginación y visualización espa-ciales son dos herramientas muy importantes, no sólo en las matemáticas sino también en muchas otrasáreas científicas, sociales y humanísticas, así como en numerosos ámbitos profesionales. Estas habilidadesson necesarias en el ámbito escolar para facilitar el aprendizaje de las matemáticas desde la educacióninfantil, a pesar de lo cual no se dedica tiempo a fomentar su desarrollo y perfeccionamiento.

Desde hace bastantes años, hemos desarrollado una línea de investigación que se centra en analizar losprocesos de razonamiento visual y en crear entornos en los que los estudiantes de Primaria y Secundariapuedan desarrollar sus capacidades de imaginación y visualización espacial. En los últimos años hemosredefinido esta línea de trabajo centrándola en analizar las habilidades de visualización (Del Grande, 1990)puestas en juego por los estudiantes con alta capacidad de Primaria (Escrivà, 2016) y ESO (Gómez, 2013).

En Primaria, Escrivà (2016) realiza un experimento de enseñanza en el contexto de una clase ordinariade 6º de Primaria basado en un entorno de cubos con las caras decoradas, en el que plantea problemassobre relación entre cubos y desarrollos, rotaciones de cubos y secciones de cubos. Como parte de lametodología de investigación, es necesario seleccionar características de la alta capacidad matemáticarelacionadas con la visualización, cosa que hemos hecho a partir de los trabajos de Krutetskii (1976),Ramírez (2012) y Van Garderen (2006). En concreto, en este estudio hemos analizado la presencia enlas respuestas de los estudiantes de las habilidades de visualización descritas por Del Grande (1990).

Krutetskii (1976) observó en sus experimentos que la mayoría de los sujetos con alta capacidad no eranvisualizadores, por lo que planteó la conclusión de que la visualización no es un rasgo de alta capacidad.No obstante, estudios más recientes como el de Van Garderen (2006) y otros mencionados antes eneste texto, coinciden con el nuestro en mostrar que los estudiantes de alta capacidad suelen ser buenosvisualizadores, por lo que la visualización sí se debe considerar un rasgo de alta capacidad.

El análisis de las clases muestra algunas consecuencias significativas de la orientación predominan-temente aritmética de las clases de matemáticas, pues algunos estudiantes que en la asignatura de ma-temáticas obtenían notas mediocres, destacaron claramente por su destreza en la resolución de losproblemas, mientras que otros estudiantes que sacaban buenas notas tuvieron dificultades importantespara resolverlos. También se observó que los estudiantes de nuestra muestra que manifestaron deforma consistente rasgos de alta capacidad son los que resolvieron mejor los problemas planteados yestán entre los que obtenían mejores notas en matemáticas y, al mismo tiempo, los otros estudiantesque obtenían buenas notas, no mostraron rasgos de alta capacidad ni resolvieron bien los problemas.(Escrivà, Beltrán, Gutiérrez y Jaime, 2016).

En ESO, Gómez (2013) administra un conjunto de cuatro problemas de geometría espacial y uno degeometría plana, que admiten varias formas de resolución, con los objetivos de identificar las formasque tienen los estudiantes de organizar la información geométrica, identificar los tipos de imágenesmentales empleadas e identificar diferencias en las formas de razonamiento y los errores cometidospor estudiantes ordinarios y con alta capacidad. Una de las conclusiones de este estudio es que todoslos estudiantes con alta capacidad han utilizado habilidades de visualización para resolver al menoscuatro de los cinco problemas.


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Los resultados descritos en los párrafos anteriores debemos considerarlos acotados a los cursos de 6ºde Primaria y 3º y 4º de ESO. Un resultado de estos experimentos, cuya confirmación y desarrollo enotros cursos está entre los objetivos actuales de esta línea de investigación, es que todos los estudiantespueden mejorar sus habilidades de visualización si se les plantean actividades adecuadas y que los es-tudiantes con alta capacidad tienen entre sus características diferenciadoras un mejor dominio del usode dichas habilidades y más éxito en la resolución de problemas en los que la visualización puedejugar un papel importante.

Aprendizaje de conceptos algebraicos

Diversos estudios españoles (García-Reche, Callejo y Fernández, 2015; Merino, Cañadas y Molina,2013) y extranjeros (Radford, 2000; Rivera, 2013) avalan la conveniencia de que los estudiantes dePrimaria tomen contacto con el pensamiento algebraico mediante el aprendizaje de conceptos pre-al-gebraicos y muestran que los problemas de patrones geométricos son un excelente contexto para ello,ya que ayuda a desarrollar la capacidad de generalización y requiere de los estudiantes razonamientode alto nivel (Amit y Neria, 2008).

En esta línea de investigación, estamos observando las formas de resolver problemas de patrones geo-métricos por estudiantes de Primaria, tanto con alta capacidad como ordinarios con el fin de identificary describir sus diversas estrategias y las diferencias características entre unos y otros estudiantes. Es-tamos trabajando con un marco teórico integrado por varios componentes, que nos permite analizartodo el proceso de resolución de los problemas de patrones geométricos: Los procedimientos (visualy numérico; García-Cruz y Martinón, 1997) de uso de la información gráfica proporcionada por losenunciados, las estrategias de resolución de las preguntas directas (García-Reche, Callejo y Fernández,2015) y los niveles de generalización (Radford, 2006).

Arbona (2016) y Benedicto, Arbona, Jaime y Gutiérrez (2016) presentan y analizan un experimentode enseñanza en el que un niño con alta capacidad, de 9 años y que está empezando 5º de Primaria,progresa a medida que va resolviendo una secuencia de problemas de patrones geométricos, apren-diendo a generalizar relaciones funcionales de sucesiones lineales, afines y cuadráticas y apren-diendo a representar verbal y simbólicamente las generalizaciones lineales. Al mismo tiempo,aprende el significado de elementos algebraicos como el signo igual, las letras (a las que da los sig-nificados de número generalizado y de objeto) y las ecuaciones, contextualizadas en las preguntasde inversión de los problemas de patrones geométricos. A continuación, apoyándose en un appletde una balanza, le dio significado a las ecuaciones como estado de equilibrio y a las simplificacionescomo operaciones de mantenimiento del equilibrio. Esto ayudó al estudiante a interiorizar el modelode la balanza y a progresar rápidamente en la resolución de ecuaciones lineales. El estudiante fuecapaz de resolver diversos problemas verbales de ecuaciones lineales de contextos diferentes delde los patrones geométricos.

Esta experimentación permite conjeturar que los estudiantes con alta capacidad de los últimos cursosde Primaria están en condiciones de manejar el lenguaje algebraico. Este aprendizaje es muy impor-tante porque les permite acceder a nuevas herramientas matemáticas que les permitirán resolver nuevostipos de problemas, aumentando así su interés por las matemáticas.

Hemos observado que los estudiantes con alta capacidad suelen utilizar procedimientos recursivos decálculo para los términos inmediatos y próximos de la sucesión y pasar a procedimientos funcionalespara calcular términos lejanos y para verbalizar generalizaciones. Por su parte, los estudiantes ordina-rios de los mismos cursos, también suelen utilizar procedimientos recursivos para calcular los términosinmediatos y próximos, pero muchos de ellos se bloquean al no ser capaces de transformar este pro-cedimiento en uno funcional, lo cual les impide calcular los términos lejanos, generalizar y resolverlas cuestiones de inversión.


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En la actualidad, estamos progresando en esta línea de investigación para diseñar secuencias de ense-ñanza de pre-álgebra que se puedan implementar en clases ordinarias de Primaria, de manera quetodos los estudiantes puedan avanzar, más o menos dependiendo de su capacidad y motivación, y losestudiantes con alta capacidad puedan desarrollar todo su potencial en el contexto de las clases ordi-narias de su curso.

Resolución colaborativa de problemas en entornos virtuales

Los estudiantes con alta capacidad matemática se sienten con frecuencia solos en el contexto de sus clasesordinarias, porque ninguno de sus compañeros tiene su capacidad matemática ni su interés por resolverproblemas difíciles. Las actividades extraescolares como olimpiadas y talleres cumplen un papel impor-tante desde este punto de vista social, pues ayudan a que estudiantes con capacidades matemáticas, inte-reses y gustos similares se conozcan y se reúnan en un ambiente de iguales. Las nuevas tecnologías decomunicación abren posibilidades de interacción cuando la reunión física no es posible y, al mismo tiempo,plantean cuestiones sobre la viabilidad y utilidad de diferentes formas posibles de interacción virtual.Hay investigaciones que muestran que el trabajo cooperativo entre estudiantes superdotados es unaestrategia educativa beneficiosa (Davis, Rimm y Siegel, 2014), si bien se necesitan investigacionesespecíficas que analicen las particularidades de esta metodología cuando se implementa en un entornovirtual para la resolución cooperativa de problemas de matemáticas.En los últimos años estamos realizando experimentos de diversos tipos, todos los cuales tienen comoelemento común que, basándonos en plataformas de video-conferencia, como Skype o Hangout, co-nectamos de manera síncrona (en tiempo real) a varios estudiantes de alta capacidad y un profesorpara resolver problemas. Habitualmente, cada estudiante y el profesor están físicamente en lugaresdiferentes, por lo que la reunión real no es posible. En este momento, podemos considerar estas in-vestigaciones como estudios exploratorios de recopilación de información (Gutiérrez, 1991), ya queestamos empezando a analizar las condiciones operativas que imponen estos entornos y su influenciaen el desarrollo de la actividad, así como las características de las interacciones que se producen en elgrupo durante las sesiones. En Ramírez, Beltrán-Meneu, Jaime y Gutiérrez (2016) presentamos unejemplo de interacción entre dos estudiantes que tienen que resolver un problema del cuál cada estu-diante tiene parte de los datos, de forma que ninguno de ellos puede resolver solo el problema.Desde un punto de vista metodológico, las conexiones virtuales plantean algunos obstáculos, el principalde los cuales es la dificultad para compartir información a través de las pantallas. En ocasiones, la in-formación que interesa compartir es gráfica (esquemas, figuras geométricas, etc.). En otras ocasiones,la información es verbal-simbólica (una expresión algebraica, los vértices de un polígono, etc.). La co-municación de expresiones algebraicas presenta un reto interesante para los participantes en la actividad,pues deben aprender a manejar verbalmente elementos simbólicos, en especial los paréntesis, cuya omi-sión produce cambios matemáticamente importantes en las expresiones algebraicas comunicadas. Estoabre una interesante serie de cuestiones de investigación en las que estamos empezando a trabajar.

CONCLUSIONES

En este texto hemos hecho un recorrido por la investigación realizada desde la didáctica de las mate-máticas sobre los estudiantes con alta capacidad matemática. Hemos seleccionado las áreas de inves-tigación en las que se ha avanzado más, concretamente las de resolución de problemas, identificación,caracterización y análisis de los procesos de aprendizaje y aprendizaje de estos estudiantes. Hemospresentado algunas publicaciones internacionales relevantes y hemos hecho un recorrido exhaustivopor las investigaciones realizadas en España que conocemos. En la segunda parte del texto, hemoshecho una descripción organizada de las líneas de investigación en las que estamos actualmente invo-lucrados, relativas al análisis de la complejidad del razonamiento de los estudiantes al resolver pro-blemas, al uso de la visualización, al aprendizaje de conceptos y procedimientos pre-algebraicos y laresolución colaborativa de problemas.


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La identificación de estudiantes con alta capacidad matemática está en sus comienzos. Dejando aparteel estudio de Krutetskii (1976), que en la actualidad sería muy difícil de llevar a cabo debido a sucomplejidad y larga duración, los estudios sobre identificación se han centrado en contenidos mate-máticos específicos (por ejemplo pensamiento multiplicativo, geometría, visualización o pre-álgebra)y se han basado en unos conjuntos de problemas que son adecuados para unos cursos concretos dePrimaria o Secundaria. Estos instrumentos producen resultados parciales, a veces discrepantes, quesólo muestran la capacidad de estudiantes en un área matemática limitada. Es necesario organizar unproyecto de investigación más amplio y ambicioso que dé lugar a herramientas válidas y fiables, quecubran todo el espectro de las matemáticas escolares y, en lo posible, una mayor amplitud de cursos.Los profesores son un elemento clave en la identificación de los estudiantes con alta capacidad mate-mática. Sin embargo, se observa una falta de estudios enfocados a los profesores y futuros profesores,en lo referente a sus creencias sobre la alta capacidad y sus formas de identificación de alumnos, a suformación en destrezas de detección y en metodologías de enseñanza adecuadas para organizar susclases de manera adecuada a las necesidades de estos alumnos.Asimismo, las nuevas tecnologías proporcionan a los profesores herramientas eficaces para plantearintervenciones educativas y programas complementarios de atención a estudiantes de alta capacidadmatemática, porque son una enorme fuente de información y porque pueden resolver la limitaciónque supone la necesidad de reunirse físicamente, permitiendo a estos estudiantes avanzar más rápidoe investigar a su propio ritmo.

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1 Los resultados presentados en este texto son parte de las actividades de los proyectos de investigación I+D+i EDU2015-69731-R (MINECO/FEDER) y GVPROMETEO2016-143 (Generalitat Valenciana).2 El equipo está formado por Eva Arbona, María José Beltrán, Clara Benedicto, María Teresa Escrivá, Ángel Gutiérrez,Adela Jaime (U. de València), Rafael Ramírez (U. de Granada) y Juan Miguel Ribera (U. de la Rioja).

investigaciÓn sobre estudiantes con alta capacidad

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