Introduzione: matematica classica ematematica moderna

M. Galuzzi

Trento, 2019

Importanza dei classici

I In ogni insegnamento,- filosofico, letterario, musicale,scientifico, . . . ,- i classici hanno, e debbono avere, un ruolofondamentale.

I Questo e ancor piu vero per la matematica, per la qualeEuclide, Apollonio ed Archimede hanno posto alcunecaratteristiche fondamentali.

I Il concetto di dimostrazione, e l’idea di un’esposizionesistematica dei contenuti di una disciplina partendo dapostulati, assiomi e procedendo in modo deduttivo apartire da essi e dovuta sopra tutto agli Elementi diEuclide.

I Ancora oggi i primi elementi di geometria vengonoproposti, in genere, secondo il modello euclideo1

1Le Grundlagen di Hilbert (una traduzione italiana in [9]) sono un testofondamentale che va ben oltre Euclide, ma in genere non viene utilizzatoper l’insegnamento.

Identita e differenza, 1

La matematica e il luogo per eccellenza delle “forme compiute”:risultati che, nel corso della storia, mantengono unafondamentale identita.Un primo esempio: l’irrazionalita di

√2

√2 =

m

n⇒ m2 = 2n2.

Allora m e pari : m = 2p.

4p2 = 2n2 ⇒ 2p2 = n2.

Anche n e pari : Assurdo.

(1)

Nella formulazione di Aristotele: “i dispari diventano uguali aipari” (cf. [2, p. 532-533]).Opppure siamo di fronte ad un processo infinito...La sostanzarimane comunque la stessa (anche se solo con Gauss si ha ladimostrazione della fondamentale unicita della decomposizionein fattori primi.)

Identita e differenza, 2

Un secondo esempio: l’esistenza di infiniti numeri primi:La IX.20 degli Elementi (cf. [3, p. 549-550]).

Per assurdo, siano solo A,B,Γ .

Si consideri A ·B · Γ + 1. Se e primo si ha un altro numeroprimo diverso da A,B,Γ .

Se non e primo e divisibile per un numero primo, adesempio A.

Ma se A divide A ·B · Γ + 1, poiche divide anche A ·B · Γdeve dividere l’unita. Assurdo.

Aspetti caratteristici della matematica greca

Anche se siamo debitori nei confronti della matematica greca dimolti concetti ed in particolare dell’idea di dimostrazione visono anche aspetti che per noi hanno un ruolo importantementre hanno una presenza meno evidente nella matemaicagreca.

I La simmetria in genere non viene ne evidenziata neutilizzata;

I vi sonopochi problemi di massimo e minimo ed hannouna forma molto particolare2;

I Il movimento ha un uso molto limitato;

I nella forma espositiva l’analisi, in genere, viene presuppostae viene esposta solamente la sintesi.

2Naturalmente un’eccezione rilevante e data dal libro V delle Coniche diApollonio. Si veda [1, vol. 3], ma si tratta di un contenuto di assai diffcilevalutazione.

La simmetria (per noi)

Questa figura sugerisce qualcosa in riferimento al punto C?

Se la figura e completata nel modo seguente ci sembra di avereprecisi suggerimenti in merito a C. Ad esempio ci sembra“evidente” che la tangente in C debba essere perpendicolare aCH. Ma e qualcosa di estraneo alla natura del pensieromatematico greco. (Il concetto di funzione “moderno” creaqueste “suggestioni”?)

La tangente al cerchio: III.16Non vi e alcun uso della simmetria per dimostrare che laperpendicolare ad OP e la tangente.

Invece: ∠OPQ e retto; se la perpendicolare passa per Q, poicheOP = OQ, deve essere anche ∠PQO retto. Assurdo.

Il movimento negli Elementi

Per dimostrare l’uguaglianza di due triangoli che hanno due latie l’angolo compreso uguali Euclide utilizza il movimento.Altrettanto accade per la I.8 e la III.243.Hilbert, per eliminare questi “residui” di movimento, assume idue assiomi III.4, III.5. Deduce cosı facilmente i criteri diguaglianza per i triangoli4.

3In [13], sub voce âφαρµìζειν si hanno questi riferimenti e poco altro.4Cf. [9, pp.66-73].

Un problema di massimo: la III.7 degli Elementi

Tra tutti i possibili segmenti PQ il segmento PA e quello dilunghezza massima.

Nel triangolo POQ si ha PO +OQ > PQ. Ma OQ = OAQuindi PO +OQ = PA > PQ. Si noti che PA e dato.

Un altro problema di massimo: la VI.27 degli ElementiLa VI.27: Utilissima, per Simson. Il Menone?

Tra tutti i parallelogrammi applicati su AB che manchino diparallelogrammi simili a ΓBE∆ e similmente disposti rispettoad esso, quello su AΓ = 1

2AB e il piu grande.La “quantita” che corrisponde al massimo e data, non vienecalcolata. Ma: a partire da cio che e dato si dimostra che . . .[Invece [14, p. 464] . . . considerable liberty . . . riduzione alla II.5]

Visibilita geometrica della VI.27, 1

I due parallelogrammi della figura a destra, indicati con B, C,hanno uguale estensione.

Visibilita geometrica della VI.27, 2

Il parallelogramma AQPR ha estensione uguale allo gnomone.“Manca” un parallelogramma per ottenere un parallelogrammauguale a quello su AH, la meta di di AB.

La costruzione dell’ellisse

La VI.27 e collegata all’ellisse (e ne giustifica il nome).

La II.5. Una retta divisa in parti uguali e disuguali

Per noi da questa proposizione segue che il quadrato su AC e ilmassimo fra le “quantita” della forma AD ×DB con AD +DB

dato.Ma se la retta AB va divisa in parti uguali e disuguali si puoporre D ≡ C?[Playfair: le esigenze didattiche giustificano la manomissione deiclassici?]

Fermat. Trasformazione del problema

Si veda [4, vol. I, pp. 134-135]. Si tratta di determinare ilvalore massimo di una funzione.

La funzione e x · (a− x) = ABB′A′. Il massimo e per x = a2 .

Tra tutti i rettangoli di dato perimetro il quadrato e quello diarea massima.5

5Evidentemente il rettangolo ABB′A′ ‘manca’ di un quadrato.

Betti e Brioschi: rigore ma . . .

Di tutti i parallelogrammi che possono essere inscritti in undato triangolo il massimo e quello la cui base e la meta di unlato del triangolo. [Il riferimento e a [12, pp. 98-99]. Lawosserva che “That which has been substituted above is not onlymore intelligible but admits of a shorter proof”. Ma l’idea sitrova gia in [7, p. 122].]

Per completezza

EI = E′I. I parallelogrammi AHEF ed AIE′K hanno ugualeestensione.

Il problema puo trasformarsi

Con un triangolo rettangolo isoscele si ha la formulazione diFermat.

Il triangolo equilatero, inscritto in un cerchioSi costruisce facilmente, usando la IV.2.

Ma non mi pare vi sia la dimostrazione del fatto che il triangoloequilatero sia il piu grande possibile. [Cf. [10, pp. 92-93], [6, pp.276-278].]

La IV.16. Il pentadecagono

Le costruzioni del triangolo equilatero e del pentagono vengonopresupposte (senza misure).

Un minimo in Apollonio: la V.4 delle Coniche6

Sia E = (p, 0) e sia y2 = 2px l’equazione della parabola. Tratutti i segmenti EP il segmento EA e quello di lunghezzaminima.

PN2 = AL ·AN = 2AE ·ANPE2 = PN2 + EN2 = 2AE ·AN + (AE − EN)2 = AE2 +AN2.

6Cf. [8, pp. 140-41]. O, per una versione piu “filologica”, [1, vol. 3,pp.230-232].

Apollonio “rivisitato”

Sia y2 = 2px l’equazione della parabola. La sottonormale e datada yy′ = p. Per tracciare da Q la normale, dobbiamo allora“arretrare” della qantita p per arrivare ad N e da qui tracciarel’ordinata. Se Q si avvicina ad E la lunghezza di PQ si avvicinaa quella di AE. Al limite, ecc. Ma non e questa la modalitadimostrativa di Apollonio.7.

7E istruttivo confrontare [8] e [5]; ma si tenga conto sopra tutto di [1].

Sintesi senza analisiLa parte aurea di un segmento. La costruzione di Euclide nella II.11

Per noi : AB = a,AE = a2 ⇒ EB = a

√52 . Quindi

AH = a

√5

2− a.

AH e la soluzione positiva di a : x = x : (a− x).

Il lato del decagono regolare: analisi nascosta, la IV.10

Se α = 2π10 = BAD, allora BDA = ABD = 2α.

Si tracci la bisettrice CD dell’angolo ADB. Allora AC = CD.Ma DCB = ADB e, ancora per ipotesi ADB = ABD. QuindiDCB = DBC e quindi DC = DB.BAD = BDC e quindi DB e tangente al cerchio per i puntiA,C,D, e quindi AB × CB = BD2 = CD2 = AC2. Dalla II.11,segue che C e dato. Ma anche il cerchio di centro A e raggioAB e dato. Poiche BD = AC anche il punto D e dato. �

Lo sviluppo della matematica consente di “rivisitare”certe situazioni

In termini geometrici qualitativi, prima del calcolo:

Oggi, data y = f(x), con le ipotesi opportune8:

xn+1 = xn −f(xn)

f ′(xn).

8Cf. [11, pp. 102-103].

Separazione delle radici

Accanto a questa figura: l’equazione f(x) = x3 − 3x+ 1 = 0 hatre radici reali. Derivando si ha f ′(x) = 3x2 − 3 Una radicedell’equazione f(x) = 0 e compresa tra −1 e 1, le due radici dif ′(x) = 0.

[1] Apollonius de Perge.Coniques.Walter De Gruyter, Berlin, 2008-2009.Commentaire historique et mathematique, edition ettraduction du texte arabe par R. Rashed.

[2] Aristotele.Organon.Bombiani, Milano, 2016.Coordinamento generale di M. Migliori. Saggi introduttivi,traduzioni, note e apparati di M. Bernardini, M. Bontempi,A. Fermani, R. Medda e L. Palpacelli.

[3] Euclide.Elementi.Utet, Torino, 1970.Traduzione italiana a cura di A. Frajese e L. Maccioni.

[4] P. de Fermat.Œuvres de Fermat.Gauthier-Villars, Paris, 1891-1922.

Publiees par les soins de MM. Paul Tannery et CharlesHenry sous les auspices du Ministere de l’instructionpublique.

[5] M. N. Fried and S. Unguru.Apollonius of Perga’s Conica. Text, Context, Subtext.Brill, Leiden - Boston - Koln, 2001.

[6] K. Gaiser.Platon Menon und die Akademie.Archiv fur Geschichte der Philosophie, (46):241–292, 1964.

[7] G. Grandi.Elementi geometrici piani e solidi di Euclide postibrevemente in volgare.In Firenze nella stamperia di S. A, R., 1740.

[8] T. L. Heath.Apollonius of Perga. Treatise on Conic Sections. Edited inmodern notation with introductions including an essay onthe earlier history of the subject by T.L. Heath.Cambridge at the University Press, Cambridge, 1896.

[9] D. Hilbert.Fondamenti della geometria, con i Supplementi di P.Bernays.Franco Angeli -Universita degli Studi di Milano-Bicocca,2009.Traduzione di P. Canetta, originariamente edita per i tipidi Feltrinelli, Milano, 1970. Con una nuova Introduzione diR. Betti.

[10] W. R. Knorr.The ancient tradition of geometric problems.Birkhauser, Boston, 1986.

[11] R. Kress.Numerical Analysis.Springer, New York, 1998.

[12] H. Law.The Elements of Euclid with many additional propositionsand explanatory notes to which is prefixed an introductory

essay on logic. Part II, containing the 4th,5th,6th, 11th &12th books.John Weale,59, high Holborn, London, 1855.

[13] C. Mugler.Dictionnaire historique de la terminologie geometrique desgrecs.Librairie C. Klincksieck, Paris, 1958.

[14] J. Playfair.Elements of geometry; containing the first six book ofEuclid with a supplement on the quadrature of circle andthe geometry of solids; to wich are added, elements of planeand spherical trigonometry.Bell & Bradfute, etc., Edinburgh, seventh edition, 1826.