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Seminario degli Ex-Studenti Parma 9-12 gennaio 2012

Introduzione alla Geometria Generalizzata, I

Federico Alberto Rossi

Universita Milano-Bicocca

11 gennaio 2012

Federico A. Rossi Introduzione alla Geometria Generalizzata, I

Sommario

1 Introduzione

2 Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps

3 Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate

4 Ringraziamenti


Introduzione

Introduzione

Interesse fisico-matematico (Poisson-Nijenhuis manifold, Liealgebroids, bi-hamiltonian...)

Kosmann-Schwarzbach Rubtsov, “Compatible structures onLie algebroids and Monge-Ampere operators”, Acta Appl.Math., 109 (2010), 101-135.

Kosmann-Schwarzbach, “Nijenhuis structures on Courantalgebroids”, Bull. Brazilian Math. Soc., to appear (arXiv1102.1410)

Interesse geometrico (Geometria complessa, geometriasimplettica)

Hitchin, “Generalized Calabi-Yau manifolds”, Q. J. Math. 54(2003)

Cavalcanti, Gualtieri, Yau...


Introduzione

Geometria Riemanniana Geometria Generalizzata

Fibrato tangente ←→ Fibrato TMTM TM := TM ⊕ T ∗M

Metrica riemanniana g(·, ·) ←→ Metrica indefinita 〈·, ·〉e definita positiva segnatura (n, n)

Bracket di Lie ←→ Bracket di CourantBracket di Dorfman


Geometria GeneralizzataDefinizioni e tensore di NijenhuisStrutture cps

Definizioni

Mn varieta diff.Fibrato tangenete generalizzato

TM = TM ⊕ T ∗M = {X + ξ | X ∈ TM, ξ ∈ T ∗M}

Forma simmetrica bilineare simmetrica non-degenere

〈X + ξ,Y + η〉 = 〈Y , ξ〉+ 〈X , η〉 =1

2(ξ(Y ) + η(X ))

[·, ·] , [[·, ·]] : Γ(TM)× Γ(TM) −→ Γ(TM)

Dorfman bracket

[X + ξ,Y + η] := [X ,Y ] + LXη − ιY (d ξ)

Courant bracket

[[X + ξ,Y + η]] :=[X ,Y ] + LXη − LY ξ

− 1

2d(ιXη − ιY ξ) + iX iY H



u, v ∈ TM

Osservazione

1 Dorfman bracket non e anti-simmetrico, ma sodisfa l’identiadi Jacobi:

[u, [v ,w ]] = [[u, v ],w ] + [v , [u,w ]],

2 Courant bracket non sodisfa l’identia di Jacobi, ma eanti-simmetrico,

3 Courant bracket e l’anti-simmetrizzato del Dorfman bracket.

Notazione: ∂ : C∞(M) 7→ Γ(T ∗M) definito da: ∂ f (Z ) = Zf



Tensore di Nijenhuis

Sia N un endomorfismo di TM, i.e. un tensore di tipo (1, 1) sulfibrato TM. Torsione di N o tensore di Nijenhuis:

TN (u, v) := [Nu,N v ]−N ([Nu, v ] + [u,N v ]) +N 2[u, v ]

dove [·, ·] e il bracket di Dorfman.N e Operatore di Nijenhuis se TN = 0,ortogonale o anti-simmetrico se

〈Nu, v〉+ 〈u,N v〉 = 0

cioe N +N t = 0, o equivalentemente

N =

(A πσ −A∗

)dove A ∈ End(M), A∗ : T ∗M → T ∗M e il trasposto di A,π : T ∗M → TM e un bivettore, σ : TM → T ∗M e una 2-forma(π ∈ ∧2T ∗M) t.c. A = −A∗, π∗ = −σ, σ∗ = −π



Sia B una 2-forma, consideriamo

eB =

(1 0B 1

): TM −→ TM

X + ξ 7−→ X + ξιXB

allora

Proposizione

La mappa eB preserva il bracket di Courant i.e.

[[eB(X + ξ), eB(Y + η)]] = eB(X + ξ)[[X + ξ,Y + η]]

se e soltanto sed B = 0



La torsione di N : TM → TM e una mappa:

TN : Γ(TM)× Γ(TM) :−→ Γ(TM)

Purtroppo in generale non e anti-simmetrica:

TN (u, v) + TN (v , u) = N 2 ∂〈u, v〉 − ∂〈u,N 2v〉

e non e C∞(M)-lineare:

TN (u, fv) = f (TN )(u, v)

ma

TN (fu, v) = f (TN )(u, v) + 〈u, v〉N 2(∂ f )− 〈u,N 2v〉 ∂ f



Inoltre, dalle formule precedenti, si ha:

〈TN (u, v),w〉+ 〈TN (u,w), v〉 = 〈N 2[u,w ]− [u,N 2w ], v〉

e quindi TN non determina una 3-formaT CN torsione sell’endomorfismo N rispetto al bracket di Courant.

Vale la seguente:

T CN (u, v) =

1

2(TN (u, v)− TN (v , u))

e se N e ortogonale si ha:(T CN − TN

)(u, v) =

1

2

(∂〈u,N 2v〉 − N 2 ∂〈u, v〉

)



Strutture cps

Definizione

un endomorfismo di TM ortogonale tale che

N 2 = λ IdTM

con λ = −1,+1, 0 e detto struttura quasi cps-generalizzata.Se inoltre TN = 0, diremo struttura cps-generalizzata

cps sta per complessa, prodotto (para-complessa) o sottotangente



Teorema (Vaisman, Kosmann-Schwarzbach...)

Se N e un struttura quasi cps-generalizzata (o piu in generale se eproporzionale a una str. quasi cps-gen) allora:

TN e anti-simmetrica,

TN e una sezione C∞(M)-lineare di TM ⊗ ∧2TM∗,

TN definisce un 3-tensore antisimmetrico TN ∈ ∧3TM:

TN (u, v ,w) = 〈TN (u, v),w〉

le torsioni TN e T CN coincidono.

⇓Interessante studiare strutture para-complesse e complessegeneralizzate, ovvero:

J 2 = − IdTM K2 = + IdTM


Geometria Complessa GeneralizzataDefinizioniStrutture Kahleriane generalizzate

Geometria Complessa Generalizzata

M varieta reale dimR(M) = 2n.

Definizione

Una Struttura Quasi Complessa Generalizzata J e unendomorfismo su TM t.c.J sia ortogonale rispetto al prodotto 〈·, ·〉,J 2 = − IdTM .

Struttura Complessa Generalizzata J e una struttura q. complessageneralizzata t.c. TJ = 0.



Definizione

Equivalentemente, una Struttura Quasi Complx Gen e unsottofibrato L < TM ⊗ C t.c.1) L sia isotropo e massimale, (i.e. 〈·, ·〉|L =0 e L⊕L=(TM)⊗C);2) L ∩ L = {0}.Struttura Complessa Generalizzata se l’autospazio L involutivo peril bracket di Courant

L e l’autospazio di J rispetto l’autovalore i

Osservazione

J GC e una struttura di Dirac complessa.



J si puo scrivere come matrice a blocchi nel seguente modo:

J =

(A πσ −A∗

)dove A e un endomorfismo di TM, π e un campo di bivettori(π ∈ Λ2TM) e σ e una due forma (σ ∈ Λ2T ∗M).

Esempio (J Struttura Complessa su M)

JJ =

(−J 00 J∗

)LJ = TM0,1 ⊕ T ∗M1,0.



Esempio (ω Forma Simplettica)

Jω =

(0 ω−1

ω 0

)Lω = {X − iω(X ) : X ∈ TM ⊗ C}.

applichiamo un B-field per coniugio:(0 ω−1

ω 0

)7→(

1 0B 1

)(0 ω−1

ω 0

)(1 0−B 1

)=

(ω−1B −ω−1

ω + Bω−1B −Bω−1

)e ancora una struttura complessa generalizzata



Strutture Kahleriane generalizzate

Esempio (Esempio Kahleriano)

Sia (g , J, ω) una struttura di Kahler su una varieta M:

J una struttura complessa,

g una metrica riemanniana J-hermitiana,

ω la 2-forma fondamentale:

ω(·, ·) = g(J·, ·) t.c. dω = 0.

Esistono due strutture complesse generalizzate su M:

JJ =

(J 00 −J∗

), Jω =

(0 −ω−1

ω 0

).



Esempio (Esempio Kahleriano)

Si osserva immediatamente che:

JJ e Jω commutano; G := −JJJω =

(0 g−1

g 0

)G e una metrica definita positiva su TM ⊕ T ∗M.

Definizione

Una Struttura Kahleriana Generalizzata (GK) e una coppia(J1,J2) di strutture complesse generalizzate tali che:1) J1 e J2 commutino tra loro;2) G := −〈J1J2·, ·〉 = 〈J1·,J2·〉 metrica definita positiva suTM ⊕ T ∗M.

(M, g , J, ω) varieta di Kahler definisce una struttura Kahlerianageneralizzata.



G = −J1J2 e ortogonale e G 2 = IdTM

G = −J1J2 =

(A g−1

σ At

)=

(1 0b 1

)(0 g−1

g 0

)(1 0−b 1

)ponendo b = −gA. Quindi la metrica G e determinata dalla coppia(g , b).



Teorema (Gualtieri, Comm. Math. Phys. (2007))

Per ogni struttura Kahleriana generalizzata (J1,J2) e equivalentea (g , J+, J−, b) t.c.

1 g metrica riemanniana,

2 J+, J− strutture complesse su M, compatibili con g,

3 le 2-forme fondamentali ω±(·, ·) := g(J±·, ·) soddisfano:

dc− ω− = − dc

+ ω+ = d b

M ha una struttura Kahleriana generalizzata=⇒ (J+, g) e (J−, g) sono strutture SKT:

d dc± ω± = 0



Alcuni risultati

Teorema (Cavalcanti-Gualtieri, J. of Symplectic Geom. (2004))

Tutte le nilvarieta 6-dimensionali ammettono strutture complessegeneralizzate invarianti.

Teorema (Cavalcanti, Topology Appl. (2007))

Nessuna nilvarieta ammette strutture GK invarianti con la solaeccezione del toro.

Dunque per studiare strutture GK bisogna tralasciare le nilvarieta.

Definizione

Sia G un gruppo di Lie semplicemente connesso, e sia g la suaalgebra di Lie. Se tale algebra e risolubile e G ammette unquoziente compatto M = Γ\G , allora M e detta Varieta Risolubile(o Solvmanifold).



Algebra di Lie risolubile sa,b definita da:

d e1 = ae1 ∧ e2

d e2 = 0

d e3 =a

2e2 ∧ e3

d e4 =a

2e2 ∧ e4

d e5 = be2 ∧ e6

d e6 = −be2 ∧ e5.

Sa,b gruppo di Lie semplicemente connesso con algebra di Lie sa,b.S1,π

2ha quoziente compatto M6 = Γ\S1,π

2.

[Fino-Tomassini, J. Symplectic Geom. (2009)]



Teorema (Fino-Tomassini, J. Symplectic Geom. (2009))

La varieta compatta M6 := Γ\S1,π2

ha una struttura generalizzatadi Kahler invariante a sinistra.

J+ :

ω1

+ = e1 + ie2

ω2+ = e3 + ie4

ω3+ = e5 + ie6

J− :

ω1− = e1 − ie2

ω2− = e3 + ie4

ω3− = e5 + ie6

g :=6∑

k=1

ek ⊗ ek .



Su M6 := Γ\S1,π2

consideriamo le strutture complesse:

J+ :

ω1

+ = e1 + ie2

ω2+ = e3 + ie4

ω3+ = e5 + ie6

J−(t) :

ϕ1− =e1 − i(2 + 2t + t2)

2(1 + t)e2

ϕ2− =e3 + ie4 + te3

ϕ3− =e5 + ie6

Teorema (—)

(g , J+, J−(t))|t|<ε e una curva di strutture Kahleriane generalizzatesu M6 := Γ\S1,π

2.


Ringraziamenti

Grazie


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