introduktion till matematiken - tex-sales.se · matematik är ett sätt att greja med si⁄ror,...

Introduktion tillMatematiken

Tord Ganelius

19662006

⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index

Upplåtelse av rätten till boken Introduktion till Matematiken avTord Ganelius

Härmed upplåtes till "Förvaltaren" rätten att nyttja (ej ensamrätt) boken Intro-duktion till Matematiken av Tord Ganelius hädanefter kallad "Boken", på följandevillkor:

§1. Boken skall finnas fritt tillgänglig på Internet (World Wide Web) eller lik-nande medium, i form av en upplaga anpassad för elektronisk bildskärm ellermotsvarande anordning. Med fritt tillgänglig förstås att:

• det står envar fritt att ladda ned boken till sin dator eller motsvarandeapparatur,

• det står envar fritt att utan ekonomisk ersättning distribuera kopior avboken till andra,

• det är tillåtet att med datorns hjälp och för egen räkning göra en redigeradkopia av boken. Bokens bilder/fotografier får däremot inte kopieras inågot sammanhang.

§2. Boken skall, för en avgift, finnas tillgänglig för personlig utskrift på papperdels i låg upplösning (högst 150 dpi), dels i hög upplösning (minst 1200 dpi).

i ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Pappersutskriften kommer att ha ägarens namn tryckt på varje sida och fårendast brukas av ägaren.

§3. Boken skall för en avgift kunna erhållas som konventionell bok.

§4. Förvaltaren åtar sig att distribuera böcker enligt principerna ovan.

§5. Bokens läsare skall ha möjlighet att föreslå tillägg, ändringar, rättelser ochstrykningar, vilka kommer att bedömas och eventuellt implementeras av Bo-kens Förvaltare.

§6. De uttagna avgifterna skall användas till följande ändamål:

• täcka löpande kostnader (avgift för serverutrymme mm),• arvodera den redaktör som har till uppgift att fortlöpande redigera boken,• bekosta ytterligare utgivning av böcker enligt samma förutsättningar somgäller för Boken.

§7. Alla exemplar av Boken, i alla dess former, skall innehålla den fullständigatexten i paragraferna 1—7 samt ingressen av detta gåvobrev.

ii ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


År 2004 lånade undertecknad av Arne Söderqvist ett exemplar av Tord Ganeliusbok, Introduktion till Matematiken. Redan efter några inledande sidor blev jag såfängslad att jag hade svårt att lägga boken åt sidan. Märkligt nog har den barakommit ut i en enda upplaga. Eftersom intresseväckande böcker i matematik ärsällsynta och eftersom Arne var bekant med Tord ordnade det sig så att vi ficktillstånd att publicera boken på nytt —fyrtio år senare.

Arbetet att överföra bokens text, formler och figurer till ett modernt format, TEX,har varit omfattande och utan programvaran Scientific Workplace hade det aldrigblivit utfört. Det är Arne och jag som tillsammans sett till att bevara boken ochgöra den allmänt tillgänglig i elektronisk form —förhoppningsvis till glädje för allamatematikintresserade.

Ett stort tack riktas härmed till professor Dan Laksov, KTH, som skrivit ett förordtill denna nya upplaga av Tords bok och ännu ett tack riktas till professor Ulf Pers-son, Chalmers, som bidragit med ett appendix som beskriver matematisk forskningav idag.

Mikael Möller, Utanhed 2006

iii ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Innehåll

Innehåll

Förord viii

Förord till nät- och nyupplagan ix

1 Matematik, kultur 1

1.1 Skönhet och glädje? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Mängdlära 29

2.1 Enkla operationer och beteckningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.2 Logik, mängder och geometri . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2.3 Produktmängd, relation och funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.4 Mängders mäktighet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

iv ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


3 Algebra 96

3.1 Kompositionsregler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

3.2 Grupper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

3.3 Ringar och kroppar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

3.4 Vektorrum och matriser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

4 Några bilder till matematikens historia 157

5 Topologi 179

5.1 Topologi och topologiskt rum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

5.2 Kontinuerliga funktioner, gränsvärden och topologiska avbildningar . 201

5.3 Geometria situs (eller ballonggeometri) och grafteori . . . . . . . . . 208

5.4 Algebraisk-topologiska strukturer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224

6 Mått och integration 228

6.1 Integraler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236

6.2 Sannolikhetskalkyl och statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244

v ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


7 Tal 246

7.1 Naturliga tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

7.2 Ringen av heltal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253

7.3 Rationella talkroppen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259

7.4 Reella tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263

7.5 Komplexa tal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.6 Talbeteckningar och talsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289

7.7 Hur man spelar Nim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294

7.8 Om mäktigheten av de olika talområdena . . . . . . . . . . . . . . . 301

8 Matematisk analys och några . . . 306

8.1 Kontinuerliga funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

8.2 Deriverbarhet och derivator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312

8.3 Växande, avtagande och extremvärden . . . . . . . . . . . . . . . . . 317

8.4 Reellvärda funktioner definierade i R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 328

8.5 Lineär programmering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330

vi ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


9 Om matematikens tillämpningar 336

9.1 Mekaniska och fysiska tillämpningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . 338

9.2 Datamaskiner och programmeringsspråk . . . . . . . . . . . . . . . . 345

9.3 Matematikens tillämpningar inom biologi, . . . . . . . . . . . . . . . . 351

9.4 Spelteori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354

10 Några ord om matematisk forskning och . . . 1966 370

11 Hur man studerar matematik vid . . . 1966 377

Att forska i matematik 385

Index 413

vii ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Förord

Förord

Denna bok är ett försök att lösa ett välkänt olösligt problem: att ge en introduk-tion till matematiken som förmedlar ny kunskap utan att förutsätta alltför mycketgammal. I så måtto uppfyller boken kravet att ordet logaritm ej nämns i den, sinusförekommer i förbigående i ett exempel och derivatorna är förvisade till ett av desista kapitlen, medan ord som mängd, grafteori, matris, topologiskt rum, kardinal-tal och spelteori förekommer. Om sedan kunskap om dessa ting går att inhämta fårläsaren bedöma.

Det är min förhoppning att den som är intresserad av abstrakta resonemang och ärvillig till logiska övningar skall kunna ta sig igenom större delen av boken, även utangymnasiekunskaper i ämnet (de mest formeltyngda sidorna i exempelvis algebra- ochtopologikapitlen kan uteslutas utan större men för sammanhanget).

Att min utformning av tron på helhet och sammanhang inom matematiken ochkulturlivet kan väcka irritation är förståeligt och ej helt oavsiktligt.

professor emeritus Tord Ganelius 1966.

viii ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Förord till nät- och nyupplagan

Förord till nät- och nyupplagan

professor Dan Laksov, KTH 2006

Ganelius prøver med denne boken å løse det uløselige problemet "att ge en introduk-tion till matematiken som förmedlar ny kunskap utan att förutsätta alltför mycketgammal". Han lykkes på en imponerende måte med det umulige. Boken har værttil glede og inspirasjon for en hel generasjon av lærere og forskere, amatører ogprofesjonelle, og har lenge vært savnet. I årene som har gått siden den først blepublisert, har mye hendt både i matematikken, i den akademiske kulturen, innenforpedagogikken, og med hele utdannelsessystemet. Forbausende nok har disse en-dringene snarere øket behovet for denne boken enn de har gjort den gammelmodig.Årsakene til dette er flere:

∗ Matematikken er en levende vitenskap. De siste førti årene har utviklingen påområdet vært enorm. Mengden av matematikk og antallet matematikere har blittmangedoblet, gamle områder har eksplodert og nye har oppstått. For hvert problemsom blir løst, og for hver teori som blir utviklet, oppstår det et stort antall nye in-teressante problemer, og behovet for nye teorier øker. På den andre siden forandresdet felles grunnlaget for matematikken mye langsommere. Dette bidrar til å holdesammen de sprikende grenene av matematikken. De emnene fra mengdelære, grup-peteori, topologi, mål og integrasjonsteori, konstruksjoner av tall, og grunnleggende

ix ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


analyse, som Ganelius har valgt som introduksjon til matematikken, er like aktuellei dag og det er vanskelig å se andre emner som har tilkommet og som på sammemåte tilhører den felles kulturen i matematikken.

∗ Det kanskje mest forbausende med boken er at den sannsynligvis har et brederepublikum i dag enn da den ble skrevet. Ganelius’ forhåpning er "att den som ärintresserad av abstrakta resonemang och villig till logiska övningar, skall kunnataga sig igenom större delen av boken utan gymnasiekunskaper i ämnet". I dag erdet knapt noen ungdom som ikke har besøkt et gymnasium og er helt uten gym-nasiekunnskaper i matematikk. På den andre siden er begrepet "gymnasiekunskaperi matematik" langt mer flytende enn for førti år siden. Ikke bare finnes det et stortantall program med mer eller mindre matematikk, men det finnes også mange mu-ligheter til å velge bort matematikk, selv innenfor det naturvitenskapelige program-met. Samtidig tynnes det teoretiske innholdet ut i alle matematikk-kurser. Dettegjør at elevene og studentene "som är interesserad av abstrakta resonemang och ärvilliga till logiska övningar" i dag er understimulerte både ved gymnasene og univer-sitetene og forhåpningsvis vil kaste seg over bøker som denne med glupende appetittfor å finne den inspirasjonen og de kunnskapene som skolen og universitetet ikkelenger klarer å gi.

∗ Pedagogisk er boken også forfriskende. Den er skrevet i den "gamle" utprøde stilenmed teorien først, forklart uvanlig grundig til å være en introduksjon, og deretter et

x ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


par illustrerende eksempler til hvert nytt begrep. Dette må være en nytelse for eleverog studenter som i mange år har blitt foret med "moderne pedagogikk" basert påurealistiske eksempler, tusentalls meningsløse regneøvelser, pedagogiske pekepinner iform av faktaruter og mangefargede sider, der den teoretiske innsikten alltid kommeri andre hånd. I denne boken er det matematisk forståelse som er ledetråden.

∗ Boken er skrevet i en akademisk kulturell tradisjon og med en akademisk humorsom er i ferd med å forsvinne. Ganelius skriver i innledningen "Att min utformningav tron på helhet och sammanhang inom matematiken och kulturlivet kan väckairritation är förståeligt och ej helt oavsiktligt". For de eldre vil nok boken hellergi behagelige minner om en tid som er i ferd med å forsvinne enn den vil vekkeirritasjon. På den andre siden vil boken gi de yngre et nyttig historisk perspektivpå matematikken og kulturen rundt denne. Les boken. Du vil finne en sjarmerendeintroduksjon til et levende og spennende emne, som vil gi deg glede og inspirasjonresten av livet.

xi ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Matematik, kultur

1. Matematik, kultur

Matematiken är en lek. Många skulle kanske säga att matematiken är ett spel, mendet är inte riktigt lika bra som beskrivning. Det finns så mycket annat här i världensom kallas för spel eller som betraktas som spel av många människor.

Att det nu är av intresse att hävda att matematiken är en lek sammanhänger medatt det är så få som vet det. Och att det är så konstiga människor, i många fall heltandra än man skulle ha trott —eller hoppats.

Vad tror nu de andra, de som inte tror att matematiken är en lek?

Det finns naturligtvis en massa varianter, men ofta är de förfärligt hemska:

Matematik är ett sätt att greja med siffror, länge och ihärdigt, efter ettgivet schema, som förmodligen och i allmänhet är tvåtusen år gammalt.

Allt är avklarat i matematiken, för i skolundervisningen nämndes aldrignågra olösta problem, möjligen felaktigt lösta.

En duktig matematiker måste vara en som kan multiplicera riktigt storatal, sådana som avståndet härifrån och till Venus, men han blir väl ar-betslös nu, när datamaskinerna uppfunnits.

Denna första samling var väl litet grov och kanske förlegad, men jag har själv vid

1 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


intagande av middag i kulturell oingivning tilltalats av en mitt emot sittande äldredam:

Vad gör en professor i matematik? Räknar ni studenttal hela tiden?

Nu skall man inte uppehålla sig för länge vid dessa ytliga uppfattningar om matema-tikens natur och innehåll. Av större vikt och därigenom också bra mycket farligareför matematikens lyckosamma utveckling, och kanske också för dess rekrytering, ärtron på matematiken som någon sorts naturvetenskap. Denna uppfattning, somsannolikt grundar sig på en kombination av okunnighet med ett aIltför begränsathistoriskt perspektiv, är särskilt frestande i våra dagar, då den tillämpade ideolo-gins formella syn medför att det ger pengar redan att vara bokförd under rubrikennaturvetenskap eller teknik.

Att det inte kan vara riktigt att tro att matematiken är en naturvetenskap framgårredan av mitt inledningskonstaterande, för även om många upptäckter av naturvet-enskaplig och teknisk betydelse gjorts under lek, så vågar väl ingen beteckna dessaaktiviteter så? Sakta men säkert sprider sig kunskapen att matematikens axiom ejär några självklara sanningar utan fritt valda regler för leken. Och matematikenär alltså en lek, och det måste man förstå, om man på ett givande och naturligtsätt skall kunna närma sig den. När jag nu går att göra detta troligt, eller somvi säger inom matematiken "att bevisa detta", så måste jag först erkänna att det

2 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


finns väldigt många som räknar mycket, mycket bättre än jag och som inte tyckerlikadant. Det kanske till och med finns sådana som vill bestrida min tes.

Problemen för tvivlarna och även för bakåtsträvarna är detta med tillämpbarheten.Matematiken har kallats såväl för naturvetenskapens som för teknikens språk, ochför närvarande tycks utvecklingen vara sådan att ett än lämpligare namn skulle vara"vetenskapens språk". Matematiken, denna lek med tecken, kan alltså fungera somspråk i högst varierade sammanhang, och det torde i dagens läge vara få vetenskaperoch aktiviteter som lyckats hålla sig obefläckade av matematikens symbolism. Justpå denna punkt är det som svårigheter och problem anmäler sig: ett riktigt ochlyckligt spridande —och begränsande —av matematisk känsla och metodik förutsät-ter en hygglig kännedom om matematikens väsen hos betydligt större grupper avmänniskor än vad som nu är fallet!

Och vad man då måste förstå är att även om lekmannen oftast hör talas om matema-tik i samband med maskinella vidunder, raketskott, eller brobyggnad, avslöjar dettamycket litet om matematikens innehåll, charm och syftning. I själva verket avslöjardet varken mer eller mindre därom än en folkräkning. Onödigt är att säga att dessakonstateranden ej innebär något beklagande eller någon bristande uppskattning avvare sig tillämpningar eller tillämpbarhet. Det är bara det att vi nu är på väg attkratsa litet under ytan, att lyfta på förlåten i spaning efter tinget i sig. Och då måsteman ha klart för sig att även om det skulle råka vara så att telefonkatalogen är vår

3 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kulturs mest lästa bok, så är det litet fåvitskt att söka värdera boktryckarkonstenfrån den utgångspunkten.

Låt oss en stund, som ett mellanstick, på vår sökans väg till utforskande av mate-matiken, tolka begreppet lek som motsats till arbete. Finns det då någon möjlighetatt vidhålla att matematiken är en lek?

Att umgänget med matematik är och måste vara förenat med smärtupplevelse är envida spridd övertygelse. Många känner nog till några rader ur Bellmans bekännelse:

Hjärnan ännu i mig vrides,när jag tänker på Euklidesoch på de trianglarnaABC och CBA.Svetten ur min panna gnidesvärre än på Golgata.

Om vi går drygt 100 år framåt i tiden, finns det citat som visar att Woodrow Wilson,som sedermera blev amerikansk president, hade den uppfattningen att man endastgenom ett smärtsamt exercisförfarande kan stoppa in matematik i en normal män-niska, men trots detta medverkade han som rektor för Princetonuniversitetet till deåtgärder som ledde till att denna plats i sinom tid blev kallad världens matematiskacentrum!

4 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Mot dessa berömdheter skall jag nu ställa resultatet av en privat undersökning, somjag en gång gjort. Jag frågade ett antal yrkesmatematiker hur de kom på att detvar matematik de borde syssla med. Ett karakteristiskt medelsvar var följande.

Jag kom till skolan utan att ha läst på geometriläxan, men när jag kikadei en kamrats bok på rasten så såg jag med detsamma hur det var. Dåtyckte jag att ett sådant ämne, där man kan lära sig sakerna utan arbeteutan snarare på lek, borde vara något för mig.

Jaha, säger den kloke, det där var väl ingen nyhet. Det är precis så det är. Det finnsen del specialbegåvningar, som fattar matematik, och få finns det klokt folk som W.Wilson, Bellman, och jag, som hellre låter bli än utsätta oss för onödig smärta.

Mindre överdriven kan man finna denna dualism i varje grupp av låt oss säga äldreherrar. Säkert finns där några som förstod allting i skolan utom matematik, meneftersom de lärde sig lösningen av "alla" tal utantill, så fick de ändå betyget Ba!Likaså finns där nästan alltid någon som i hemlighet brukar öva några av de rituellasifferuppställningar som han fick lära i skolan och som betygar sin längtan efterdjupare matematisk kunskap.

Jag tror för min del inte mycket på nödvändigheten av denna tvåklassuppdelning.I många fall kan motståndet och avståndstagandet bottna i matematisk begåvningsnarare än obegåvning: den mindre kritiskt begåvade slickar i sig och förvärvar

5 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kanske därmed en nyttig statussymbol. Hela problemet har något av samma karaktärsom "Hur få ett litet barn att gå till tandläkaren?" (Det blir nämligen bättre sedan.)Mest förvånande är månne att denna problematik lever kvar på alla matematikensnivåer.

En integration och en kvadratrotsutdragning har ej alltför mycket som principielltskiljer dem från en addition. Men för många är additionen välkänd, medan exem-pelvis integrationen är omsvept med alla mystikens slöjor. En svensk student kangöra många trick med det som kallas för sinus, fastän han vet rätt litet om dessolika värden, om han ej har en tabell eller miniräknare i bakfickan. Förklarar manför honom vad en Besselfunktion är, kan han inte ens reproducera trick av lägresvårighetsgrad än dem han nyss klarade, beroende på att det nya begreppet ej ärfamiljärt. Ett matematikstudium kan inte bara sikta till staplande av kunskap, detmåste också innehålla ett moment av "bliv Du med symbolerna". På samma sättsom en kurs i hur man vinner framgång i livet måste ge folk så mycket råg i ryggen,att de inte hukar sig för första bästa professor, miljonär eller greve de möter, såmåste studiet av matematiken leda till att man inte hukar sig mer om man ser enFredholmsk integralekvation än om det står x− 2 = 5.

Som ytterligare exempel kan tas matematikers bekymmerslösa tal om fyra, fem ochoändligt många dimensioner. För den oinvigde kan detta leda till djup respekt:dessa matematiker har tydligen en förmåga till vidare blick som gränsar till det

6 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


spöklika, medan det i själva verket (åtminstone nu för tiden) är en trivial utbyggnadav formalismen, som ej behöver vara förknippad med den minsta utvidgning avföreställningsvärlden.

Alltså ingen realism —bara lek!

Och när jag nu är på väg att försöka ge en "introduktion till matematiken", är detför mig ett oeftergivligt villkor och en nödvändighet att få tala om vad jag skullevilja uppnå, även om jag är klart medveten om målets omöjlighet. Matematikensysslar med abstrakta ting, och den stora paradoxen består däri, att dess resultat,som borde vara triviala tautologier, så ofta upplevs som förbluffande. Matematikenkan aldrig kontrolleras genom erfarenheter från omvärlden eller genom andra exper-iment än sådana som utförs inom matematiken (och där spelar stor roll). För migär matematiken ett system genom vilket man uppnår sammanfattning, enkelhet ochklarhet. Det visar sig också att dessa strävanden lett till resultat som i alla tideroch för högst varierade grupper av människor inneburit och innebär en skönhet-supplevelse. Matematikens naturliga utvecklingstendens är stark, och all erfarenhettyder på att denna bör stödjas helt oberoende av synpunkter på ögonblickets nytta,om man önskar se till "nytta" på något längre sikt. För alla dem bland oss somär oberörda av nytta jämfört med skönhetsupplevelse, detta må nu bero på snob-bism eller övertygelse, är den sista kommentaren ointressant, men den kan för andravara ett betydelsefullt argument. Det mål som jag på de följande sidorna kommer

7 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


att eftersträva är en introduktion till matematiken som vädjar till vår gemensammanyfikenhet.

Jag är mycket rädd för att vad jag just sagt om nyfikenhetens lek i förhållande tillnyttig tillämpning kommer att missförstås mer än förstås. Det är ett annat välkäntaxiom i den hantering som vi nu gemensamt är på väg att utforska. Missförstån-det kommer, då min förklaring tolkas som ointresse och förakt för matematikenstillämpningar, vilket är fel. Det är ej fråga om den välbekanta elfenbenstornskon-struktionen, utan det är med sikte på alltmer givande tillämpningar inom såvälteknik, samhällsvetenskap som estetik som jag driver min tes, och dessutom driverjag den därför att den är den enda möjliga och den som visat sig fungera bäst, såvittvår historia kunnat avslöja.

1.1 Skönhet och glädje?

Vad som tycks vara så svårt att acceptera för många är detta tal om skönhetsup-plevelser och lyckokänslor i samband med matematik. Låt oss meditera ett tag överdenna problematik.

Det enda rätta sättet att angripa en svårighet av denna art kunde ju tyckas varaatt för de klentrogna demonstrera några exempel från matematiken, som enligt dematematiska esteterna är oemotståndliga. Vi skall i denna bok göra några försök,

8 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


men det är inte bara rädslan för att dessa ej skall ha avsedd verkan som gör att jaginledningsvis skulle vilja använda en något annan procedur. Det gäller ju först ochfrämst att förleda tvivlaren så, att han verkligen går med på att utsätta sig för enmatematisk behandling. Motsvarande situation är välkänd för varje missionär ochparapsykolog. Men kan det nu finnas några förutsättningar för en sådan matematiskPR-verksamhet, är den ej helt enkelt omöjlig? Ja, det försök som har klassisk hävd,när det gäller att överföra något av matematikens natur utan utnyttjande av dessformalism, är det historiskt citerande. Jag skall försöka utnyttja det på det sättet,att jag skall välja ut en gestalt ur den matematiska historien, en man som sade sigfinna skönhet i den matematik han ägnade sig åt, som verkligen hämtade glädjeoch vederkvickelse ur detta sitt arbete och som därigenom uppriktigt kunde säga Ireally love my subject. Det är fråga om 1800-talsmatematikern J. J. Sylvester, ochjag skall sedan söka komplettera den bild vi kan få, med hans hjälp, genom refer-enser till personer som uppfattat ett samband mellan konstnärlig och matematiskverksamhet. Det är nämligen ej alls svårt att hitta exempel på, låt oss säga, fram-stående författare som haft en positiv inställning till matematiken. Någon näringkan sådana observationer ge åt den förhoppningsfulla tesen om en gemensam kärnai allt konstnärligt och vetenskapligt skapande. Betydligt svårare att finna kontakterblir det, om man går ett steg vidare på skalan och söker den ömsesidiga förståelsenbland uttolkarna! Detta är bara en illustration till det inom matematiken ofta givna,

9 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


något mindre ofta följda rådet att genvägen till den stora förståelsen går över di-rektkontakt med mästarnas verk. Inom konsten ligger kanske denna princip närmaresjälvklarheten.

Samtidigt som jag nu rekommenderar envar att söka den stora matematiska skön-heten genom ett studium av toppmatematikernas skrifter, skall jag alltså försökagöra det troligt att det är värt besväret.

Att matematiken har något samband med musiken hör till det som ofta förmodas,och mycket av sin näring torde denna uppfattning hämta från vad vi lär om den, på500-talet före Kristus, i Italien verksamme Pythagoras. Hans intresse för de positivaheltalen 1, 2, 3, . . . och deras egenskaper, även av för oss utommatematisk art, varstort, och han sägs ha upptäckt hur den ton som en svängande sträng ger samman-hänger med strängens längd och därigenom kommit fram till det nära sambandetmellan naturliga tal och musikalisk harmoni. (Att matematiken också skulle ha ettvisst ansvar för denna harmonis moderna öden antyds ibland av dem som reagerarnegativt.) Pythagoras indelning av matematiken i fyra grenar: aritmetik, musik,geometri och astronomi kommer igen i romarnas quadrivium, som tusen år senaretillsammans med de trivialare ämnena grammatik, retorik och dialektik utgjorde defria konsterna, d v s de som fria män borde ha övning i.

I våra dagar är den vanligaste associationen till detta tema att man föreslår attden som sysslar med matematik bör vara intresserad av musik, och ofta preciseras

10 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


detta också till Bachs musik. Varför stackars Bach skall schavottera är ej fullt klart.Förmodligen sammanhänger det med att de ord som väljs vid beskrivning av fugoretc lätt får en klang som för lekmannen associerar till matematik, och dessutomgäller det naturligtvis att finna en koryfé på musikhistoriskt betryggande avståndfrån romantiken som uppfattas som matematikens motsats.Det tycks trots uppfattningens popularitet vara svårt att hitta bestickande exempelpå skapande samröre mellan musik och matematik från tiden mellan Pythagoras ochvårt sekels tolvtonisterEn man som var övertygad om möjligheten av ett ömsesidigt utbyte mellan musikoch matematik och som, såvitt man kan finna, levde som han trodde var JamesJoseph Sylvester, född i London 1814. I en fotnot till ett vetenskapligt matematisktarbete skriver han (och för många måste denna kombination av skrift och fotnotframstå som absurd):

May not Music be described as the Mathematics of sense, Mathematicsas the Music of reason, the soul of each the same? Thus the musicianfeels Mathematics, the mathematician thinks Music —Music the dream,Mathematics the working life — each to receive its consummation fromthe other when the human intelligence, elevated to its perfect type, skallshine forth glorified in some future Mozart-Dirichlet or Beethoven-Gauss—a union already not indistinctly foreshadowed in the genius and laborsof a Helmholtz!

11 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Sylvester skall ha tagit sånglektioner för ingen mindre än operakompositören CharlesGounod, och han uppträdde som sångare på arbetarmöten. En intressant detalj ibetänkande av i vilken era Sylvester levde är att han gav privatlektioner till en missFlorence Nightingale, vars namn skulle gå ut över världen några år senare! Att hanej helt slöt upp kring tidens samhällsbevarande doktriner kanske får en ytterligareförklaring, om man noterar att han ej kunde få ut sina examina vid Cambridge,eftersom han beroende på sin judiska börd ej kunde acceptera de religiösa postulatsom kyrkan krävde underskrift på för examination. Nåväl, tiderna ändras, ochSylvester fick sina examina honoris causa — 1871. Då hade han hunnit med attråka i svårigheter under ett första amerikabesök 1841 och försörja sig som aktuarieoch advokat fram till 1854, då han fick en lärartjänst vid en militärhögskola. 1876startade en ny matematiskt produktiv tid för honom, då han tillträdde som förstamatematikprofessor vid det nystartade Johns Hopkins University i Baltimore, USA.Detta skulle ej bli hans sista professur, ty som sjuttioåring återvände han till Englandsom professor i geometri i Oxford. Han avgick vid åttio års ålder och avled tre årsenare.

Jag har inte här för avsikt att redogöra för Sylvesters matematiska prestationer,där hans namn framförallt är knutet till invariansteorin. Bland de matematikensgrenar som behandlas i denna bok gjorde han insatser inom grafteori. Han var engod matematiker utan att tillhöra den högsta hierarkin. Jag har velat nämna något

12 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


om hans skiftande liv som en bakgrund till vad jag ytterligare kommer att citera omhans uppfattning av matematikens natur. Tidigare har nämnts Sylvesters intresse förmusik. Han hade även vidsträckta litterära intressen, som hans stora språkkunnighetgjorde det lättare för honom att tillfredsställa. Några av hans efterlämnade dikterhar publicerats, och hans installationsföreläsning i Oxford innehöll bland annat enregelrätt dikt "Till en term som saknas i en uppsättning termer i en algebraiskformel"! En av hans publikationer heter "The laws of verse".

Denne matematiker kunde ej låta bli att i sina vetenskapliga skrifter flika in kom-mentarer som avslöjade vilket nöje hans verksamhet beredde honom och han kändetillfredsställelse varje gång han kunde dela med sig av sin entusiasm till någon annanmänniska. Förmodligen behöver det ej tilläggas att en man med denna läggning intevar lika road av att ta del av och hålla reda på andras resultat.

Den berömda episod i Sylvesters liv som jag vill stanna vid och som berör vårttema är hans tal inför British Association for the Advancement of Science 1869,publicerat som appendix till ovannämnda The laws of verse. Det är ett polemisktanförande, riktat mot en uppsats av den berömde biologen Thomas H. Huxley,som i sin tur var en vidräkning med ett påstående av filosofen Comte, att manendast genom matematiska studier kan komma till en riktig uppfattning om vadvetenskap är. Det är lätt att förstå hur en experimentellt inriktad biolog reagerar pådetta, men Huxley råkade också avfärda matematiken som den vetenskap som varken

13 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


känner till experiment, iakttagelse, induktion eller orsakssammanhang. Sylvestergick i svaromål och gav en formellt glänsande beskrivning av "The study that knowsnothing of observation".

Huxley hade påstått att matematisk utbildning var så gott som uteslutande de-duktiv. Matematikern startar från ett par enkla påståenden, vars sanning är såuppenbar att de kallas självklara, och resten av hans arbete består av subtila de-duktioner från dessa. Sylvester visar nu genom exempel hur man i matematikenständigt har anledning att lita till iakttagelser och jämförelse, att induktionen är ettväsentligt hjälpmedel, att man ofta tillgriper experiment och att matematiken gerutrymme för obegränsat övande av inbillningskraft och uppfinningsförmåga. Underutförandet av detta program lyfter han sig till vältalighetens höjder. Sålunda kom-mer han i anslutning till sina för tillfället pågående matematiska forskningar in påjämförelser med färgtoner vid solnedgången och hos den döende guldmakrillen. Hanser fram mot en morgondagens lyckligare skola, där hans älskade matematik lärsut jämsides med naturvetenskapen, och han har redan vid denna tidpunkt, dekaderinnan man upphörde att dividera med noll i läroböckerna, klart för sig att Euklidesunder hedersbetygelser borde avlägsnas från skolans kurser. Överhuvudtaget harhan en modern inställning till matematikundervisningens problem, som väl svararmot de tecken på radikalitet i förhållande till samtidens förhärskande tänkesätt somovan berörts. Sist men inte minst skall från detta tal citeras vad som väcker glada

14 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


förhoppningar hos varje matematiker:

The mathematician lives long and lives young; the wings of his soul donot early drop off, for do its pores become clogged with the earthy particlesblown from the dusty highways of vulgar life.

Så talade den entusiastiske och mångintresserade Sylvester. Hade han rätt?

Huxley brydde sig aldrig om att svara, men det kan ju ha många orsaker. Vemav dem som hade mest rätt är för mig en förhållandevis ointressant fråga, mendet viktiga är att vi har fått kontakt med en person som knappast kan frånkännascharmerande drag och som övade sin inspiration och intuition inom matematikenoch därvid hämtade glädje. Kunde det inte vara värt ett försök även för vår del?

Innan vi kastar oss in på den svåra delen, skall jag passa på att fullfölja bevisningengenom hänvisning till ytterligare personer från skilda tider, som haft förståelse förmatematikens estetiska och upplyftande karaktär.

Var och en som någon gång kommit i kontakt med den engelske skalden SamuelTaylor Coleridges välljudande produktion, t ex dikten om Kubla Khan och dennespalats, kan ha intresse av att känna till att Coleridge som sjuttonåring (han var född1772) roade sig med att överflytta Euklides till vers. Hans matematiska verksamhetledde honom till konstaterandet

15 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


I have often been surprised that mathematics, the quintessence of truth,should have found admirers so few and so languid!

Hans påstående stämmer med vad vi tyckt oss observera i dagens samhälle, menColeridges kontakt med fakta, i detta fall alltså med matematiken, gör honom,förvånad över sakernas tillstånd.

Om Coleridge hade levat 100 år senare, när den persiske poeten och matematikernfrån 1000-talet Omar Khayyam hade en av sina renässanser, hade han blivit påmindom en av matematikens utövare, som ej gärna kan beskyllas för tröghet och livlöshet.Den man som skrev Rubaiyat, där man (i Sten Selanders översättning) läser

Ack, låt mig till de sista andedragenåt vinet glädjas, låt min kropp bli tvageni druvans saft, bli svept i hennes bladoch bäddas ner, där rosor le mot dagen —

medverkade vid en reform av den persiska kalendern, som gav denna en noggrannhetsom ej skulle överträffas i Europa förrän med den gregorianska kalendern (1582).Vårt intresse för Omar motiveras dock framförallt av hans algebra, som finns till-gänglig i fransk översättning. Det är fråga om lösning av ekvationer av tredje ochfjärde graden och Omar ger en allmänt användbar geometrisk metod för lösning av

16 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


givna tredjegradsekvationer. Man har beskrivit hans förmodanden om olika ekva-tioners lösbarhet som felaktiga, men ett ståndpunktstagande i en sådan fråga kräveren noggrann analys av vad som i hans kulturepok avsågs med de termer som använ-des.

Vad alla är överens om är att Omar jämfört med sina föregångare anlade merallmängiltiga betraktelsesätt och att hans insatser förutsätter en kvalitet som lämpli-gen betecknas skapande fantasi.

Nu kan man inte hoppas på att skönlitteraturen endast har bekräftelser att ge på vårförmodan om matematikens natur. En som man försökt använda som bevis på mot-satsen är den satiriske domprosten Jonathan Swift, som 1726 utgav Gullivers resor.Sålunda skriver utgivaren av samlingsverket "The world of mathematics", JamesR. Newman, i en kommentar till ett avsnitt ur Gulliver, där författaren förlöjligarbl a matematiker:

Om han hade varit mer av en matematiker, skulle han kanske ha varitmindre föraktfull eller i varje fall visat mer urskillningsförmåga i sittförlöjligande. Men om han hade varit mer av en matematiker, är dettvivelaktigt om han hade skrivit Gulliver.

I den mån spekulationer av denna art överhuvudtaget kan diskuteras, vill jag starktifrågasätta innehållet i Newmans tes. Meningen skulle väl vara att kombinationen av

17 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


matematik och det fantasifulla skapandet av Gulliver är omöjlig. Jag har ovan berörtnågra fall som ej får detta påstående att framstå som självklart. Vi kommer attmöta fler, men låt mig här endast nämna Charles L. Dodgson, som kombinerade enmatematisk verksamhet i Oxford med författandet av "Alice in Wonderland" underpseudonymen Lewis Carroll. Det måste erkännas att hans matematiska prestationerej låg på samma nivå som hans mer berömda författarskap, men det råder ingettvivel om att han trivdes med att vara matematiker och hämtade inspiration från densidan, något som är uppenbart för varje matematiker som läser Alice eller "Throughthe Looking Glass". I inledningen till sin bok "Symbolic Logic" driver han sammates för sin form av logik som vi här gör för matematiken:

If, dear Reader, you will faithfully observe these Rules, and so give mylittle book a really fair trial, I promise you, most confidently, that you willfind ’Symbolic Logic’to be one of the most, if not the most, fascinatingof mental recreations!

Men låt oss återvända till Swift och vad han har att säga om matematiken. Ja, isjälva verket har han mycket litet om ens något att säga om matematiken, även omhan ger en parodi på ett matematiskt bevis, men han ger en elegant och mördandesatir som drabbar vissa grupper som han kallar matematiker och som säkerligenockså innehåller personer som vi skulle kalla matematiker. Intressant är att noteraatt vi här möter en av de konventioner vi tidigare diskuterat, i det att invånarna

18 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


på den säregna ön Laputa har alla sina tankar och sinnen koncentrerade på tvåområden, matematik och musik. För en matematiker är det glädjande att ävenmusiken kommit med, när Swift deklarerar om dessa människor:

Imagination, fancy, and invention, they are wholly strangers to, nor haveany words in their language by which those ideas can be expressed.

Trots sin oförmåga är dessa personer alltid redo att ge uttryck för sin uppfattningi politiska frågor och allmänna problem, något som Swift även funnit vara falletmed matematiker i Europa och som han härleder ur en mänsklig dragning till så-dant som man har minst läggning och förståelse för! Eftersom vi tidigare berörtutvecklingen inom den matematiska pedagogiken, skall vi väl också påminna omundervisningsmetoden vid akademin i Lagado. Satsen och beviset skrevs med enspeciell tinktur på ett rån som förtärdes på fastande mage; under matsmältning-sproceduren steg skriften upp och fastnade i hjärnan. Metodens bristande framgångansågs bl a bero på att lärjungarna ej fann denna kost särskilt välsmakande utanbefriade sig från den, innan den hunnit verka!

Uppenbart är att Swift ej kommit i den relationen till matematiken som de andrajag i detta sammanhang citerat. Jag vill dock ej tolka detta på annat sätt än att hanär en utmärkt representant för det av matematikens rätta väsen oberörda klientelsom utgör lockande och jungfrulig mark för den matematiske missionären.

19 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Alltnog, säger tvivlaren, det är ju gott och väl att man kan hitta en för-färlig massa exempel från 1700-talet på att folk höll på både med det enaoch det andra och hade intressen som för oss verkar litet säreget kombin-erade. Men nu för tiden, nu när ledande samhällsdiagnostiker, filosoferoch författare har konstaterat att vi lever i de två kulturernas värld, dåär det väl inte stor idé att tjata om det här. Matematiken är ett i detnärmaste färdigutvecklat verktyg för de vetenskaper och verksamheter påvilka vårt tekniska framåtskridande och vårt materiella välbestånd beror.I den mån som man kan hitta på några andra kontakter med skönheteller annan underhållning, så är det OK, men det får klaras av på friti-den inom de 5% samhället kan avstå till kulturell utsmyckning.

Så långt tvivlaren, men hur fel har han inte! Många av de försök som görs att skapakontakt mellan materiell och humanistisk kultur är av samma natur som uppvisningi modern dans för vattenbyggnadsingenjörer d v s lika tilltalande som valhänta. Iplanerna för vår nya skola förefaller man att välja mer lovande vägar, t ex genomden lärdomshistoriska orienteringen: naturvetenskapernas och teknikens utvecklingoch samspel med allmän utveckling och ändlig odling förefaller vara värda stort in-tresse. Enligt min mening finns det dock ett än centralare samband mellan de skildakulturerna, och det gäller utformningen av matematik och naturvetenskap, fram-förallt i undervisningen, så att inte de centralt humanistiska värdena förtrampas. I

20 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


klartext: är det inte ofantligt mycket mer inspirerande att tänka sig en framställningsåväl av matematik som av naturvetenskaper, där man eftersträvar och tar till varade estetiska upplevelser det finns möjlighet till och där man vinnlägger sig om att ejgöra våld på tänkandets lagar och ej suddar ut de intressanta logiska problem manmöter?

Det sista innebär ingen propaganda för överdrivna och frustrerande stringenskrav,bara ett ideal av att veta när man slarvar och när man inte gör det. Inom parentessagt så finns det knappt någon enklare variant att leva upp till än det stora tvivlet,eller som en av våra stora matematiker bra mycket elegantare uttrycker det

Douter de tout ou tout croire, ce sont deux solutions également commodesqui l’une et l’autre notis dispensent de réfléchir

(H. Poincaré, La science et l’hypothése, 1903).

Det program som är uppställt som ideal för denna bok och som vi nu försökerunderbygga kan således sättas i samband med något som av många upplevs somen kulturkris. Idealet lyder då: samverkan på djupet genom betoning av det somär gemensamt för kultur i all mening. Kan något sådant en enstaka gång uppnås,borde det vara betydligt mer värt än ett lager kulturfernissa över hela samhällsliveti form av teaterintresserade ingenjörer och porslinssamlande köpmän, vilket dock ioch för sig är utomordentligt och eventuellt också vad man maximalt kan uppnå.

21 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Min närmaste uppgift är att i det kulturliv som hör till vår generation ge någraexempel på att en "sylvestersk" anda ej är helt död.

Spelets regler

bildar ett slags komplicerat chiffer med inslag från flera vetenskaper ochkonster, men särskilt matematiken och musiken (eller musikvetenskapen);det uttrycker nästan alla vetenskapers innehåll och resultat och sätter deni tillbörligt samband med varandra. Glaspärlespelet är med andra ord ettspel med vår kulturs samtliga värden och enheter med vilka det lekerungefär som en målare under konstens blomstringstid torde ha lekt med,färgerna på sin palett.

Så beskriver Herman Hesse (i Nils Holmbergs översättning) glaspärlespelet i ro-manen som bär detta namn. Vi möter igen matematiken och musiken i sammaandedrag, och de utgör betydelsefulla inslag i detta spel, som berör hela vår kultur.Spelet vandrade från de musikstuderande till matematikerna, som utvecklade det,och det övertogs och efterhärmades av nästan alla vetenskaper. Då möttes naturli-gen detta spel också av de invändningar vi känner till från matematikens jungfruligatillämpningsområden. Så talar den gamle historikern i boken till matematiker ochglaspärlespelare:

Ni behandlar världshistorien som matematikern behandlar matematiken,där det bara finns lagar och formler men ingen verklighet, inget gott eller

22 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ont, ingen tid, ingen gårdag, ingen morgondag, endast en evig, flack,matematisk samtid.

Matematikern känner väl den konflikt mellan ordning och frihet som är ett av bokenscentrala problem.

Och vad som krävs för att göra glaspärlespelet oumbärligt kan också stå som ettmatematiskt ideal, nämligen att utforma det

så skönt, så övertygande, lockande och stimulerande, hela tiden medtanke på enheten, att även den allvarligaste forskare och flitigaste spe-cialist måste känna dess maning och lockelse!

Det är dock inte ofta som något av matematikens substans återfinns i skönlit-teraturen. Där finns förstås den sjuårige Guido i Aldous Huxleys novell "YoungArchimedes" (denne Huxley är sonson till den tidigare nämnde biologen), som full-ständigt redogör för ett av bevisen för Pythagoras sats och som sedan användersamma ord för att karakterisera såväl detta som Bachs dubbelkonsert: lätt ochvackert!

Bland den, under detta decennium, i Sverige utgivna skönlitteraturen kan vi hämtaexempel från Leon Rappaports "Determinantan". Där visar Anders lösningen avett geometriskt problem för Teodor.

23 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Teodor stirrade en stund häpen på ritningen, klappade sedan i händarnaoch utbrast: — Det är vackert! — Just det, vi har förstått varandra,Teodor. Lyssna noga nu: Det är som om alla dessa saker hade en ana-log tankestruktur. Just denna struktur, form, väcker namnlösa tillstånd,emotioner som vi helst skulle beskriva som skönhet, något estetiskt, ele-gans.

En som enligt min mening på ett utomordentligt sätt fångat något av matematikensväsentliga innehåll är Willy Kyrklund på några sidor i "Mästaren Ma", några sidorsom börjar med det utmanande utspelet "Nu detta med matematiken. Människansbegåvning för matematik är enorm." Författaren påstår:

Inom alla andra verksamheter erfar människan en känsla av att krypalängs med marken; hon förnimmer plågsamt sin otillräcklighet, sina del-visa kunskaper och sin brist på överblick. Endast inom matematiken erfarmänniskan en känsla av att sväva i rymden; hennes ängslan gäller attfalla ned.

Så vackert kan folk alltså ge sig till att tala om matematik, och så kan man hos vårgenerations författare finna beskrivningar som avsevärt skiljer sig från den ovanförmodade matematiska flackheten och bristen på verklighet. Och går man tillbotten, har alltså denna entusiasm något med multiplikationstabellen och dy/dxatt göra!

24 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Och det är kanske viktigt att betona det, tron på estetiska moments avgörandeinflytande vid utvecklingen av matematiken är alIs ej oförenlig med en tro påtillämpningarna som matematikens nyttigaste inspirationskälla för den som så ön-skar. Sålunda skriver den 1957 avlidne ungersk-amerikanske matematikern Johnvon Neumann vilken, väl som få, utvecklat vacker matematik med betydelse förutommatematiska aktiviteter, på tal om matematikerns val av områden och be-handlingsmetoder inom dessa att han är av den uppfattningen att urvalskriteriernai huvudsak är estetiska. Han är dock av den uppfattningen att matematikern börvarnas för idén om "lart pour l’art", men det sker i följande sköna termer:

At a great distance from its empirical source, or after much ’abstract’inbreeding, a mathematical subject is in danger of degeneration. At theinception the style is usually classical; when it shows signs of becomingbaroque, then the danger signal is up.

Vad allt detta visar är att det i matematiken finns drag som visar likhet med ochpåminner om många andra kulturaktiviteter. Vad jag speciellt velat framhålla och igörligaste mån understryka är att icke frågan, rätt eller fel, och ej heller det slaviskaföljandet av fastställda scheman är något som känns dominerande för den utövandematematikern. Vi skall hoppas att de beskrivningar som ges i denna bok av matema-tiska områden i någon mån skall kunna bestyrka påståendet. Detta kan formulerassom ett råd vid matematikstudium:

25 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om ej den matematiska framställningen ger något intryck av enkelhet, elegans ochskönhet, så är det fel någonstans, hos författaren, pedagogen eller i värsta fall hosden som studerar. Den tes jag personligen vill driva är att risken för svårigheterhos den som studerar är överdriven i den populära uppfattningen. Kan man få enpositiv inställning och aktivt söka efter en framställning som passar för en själv,måste möjligheterna vara stora för den som så önskar att uppleva något av denart som våra citat från författare och vetenskapsmän avslöjat. Och skälet för dettaär den stora gemenskap som finns mellan en mångfald kulturyttringar och i vilkenockså ovedersägligen matematiken har del.

Att stora naturvetenskapliga upptäckter ändrar vår världsbild och så småningomhela vår uppfattning, om vår mänskliga situation, och vår inställning är allmäntaccepterat. I någon mån kan också ett studium av matematikens historia visa attmycket, som nu anses självklart och elementärt, en gång har varit problem för delärde. Att Arkimedes ansåg det mödan värt att genomföra sin sandräkning d v svisa att han kunde ange tal som var större än antalet sandkorn i den sfär som mandå ansåg utgöra universum, är ett sådant exempel. För övrigt kan man väl sägaatt hela utvecklingen av metoder för beteckning av tal, och även utvecklingen avandra matematiska beteckningar, utgör en utmärkt illustration till hur man förvärvarmakt över en jätte genom att känna hans namn. Att den av matematikerna tämjdaoändligheten skulle ha nämnvärt påverkat den oändlighet som poeter nyttjar, är

26 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kanske att hoppas för mycket, men ostridigt är att den matematiska utvecklingenav gränsvärdesbegreppet helt förändrat den klassiska upplevelsen av paradoxer somZenons om Akilles och sköldpaddan.

Vi skall så gå över till mer matematisk materia, och som sig bör nu för tiden skall vibörja med något om mängdlära. Till tröst för den som tvekar bör det sägas att vadvi i nuvarande skolorganisation börjar lära ut i form av elementär mängdlära medbörjan i grundskolan är till stor del saker som är okända för flertalet av samtidensräknemästare. Så det är en förhållandevis rättvis början, där man ej är dömd pågrund av bristande förkunskaper! Den stöter även många framstående lärare ochingenjörer för huvudet.

Skälet varför man numera vill utgå från mängdlära är att detta har visat sig vara ennaturlig utgångspunkt, som skapar en ram, bl a av terminologi, i vilken sedan övrigamatematiska discipliner kan infogas. Det är också det program vi kommer att följa.Mängderna är utgångspunkterna, och vi skall beskriva dem och deras teori intuitivt.Sedan följer matematiken och det är läran om olika strukturer på mängder.

Om man ej är villig att starta på ett intuitivt sätt blir mängdläran som inledandedisciplin ett mycket svårt område, som kräver avancerad abstraktion och axiomatik.Det är naturligtvis så det skall göras, om vi strängt skall bygga upp matematiken.Men även för våra syften, d v s den mer populära framställningen, är mängdläranden naturliga utgångspunkten och vi behöver ej skämmas alltför mycket för bristen

27 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


på stringens. Resultatet av flera undersökningar om matematikens grunder kannämligen närmast turneras så, att det är omöjligt att bevisa motsägelsefrihet hosflera av våra enklaste system. Vad vi däremot har som ideal är att göra klart föross vad som är bevisat och vad det är som vi accepterar. Det är en princip somman kan kalla för lokal stringens, och den svarar mot en välkänd arbetsmetodik iall annan vetenskap. Om vi utgår från dessa ting och från att de följer dessa lagar(utan att nödvändigtvis veta att så är fallet), vad kan vi då dra för slutsatser?

Låt oss så ta steget över till matematiken! Och låt oss hoppas att vi där skall finnanågot av det som Kyrklund skildrat:

Den matematiska kalkylen spinner en underbar spindelväv, högt över dödoch avgrunder, vars trådar löper ut och löper samman i en rymd utangräns. Detta är matematikens höga rena omänsklighet.På denna spindelvävsstege klättrar människan mot himmelen. Månenoch stjärnorna fångar hon i sin fjärilshåv. Rund och glödande lyser må-nen i håvens botten, stjärnornas silverfiskar kastar sin mjölk. Rakt uppi det svarta djupet klättrar klättraren. Under honom glimmar en mareldav stjärnljus; stegen sviktar i en kosmisk vind. O ingenting finnes somär likt denna svindel! Ju högre han klättrar dess mindre blir han. Endag, när luften är fylld av solrök och vallflickors rop, är han alldelesförsvunnen.

28 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Mängdlära

2. Mängdlära

Det grundläggande begrepp som vi skall utgå ifrån, när vi beskriver den modernamatematiken, ärmängd. Med mängd skall vi mena ungefär samma sak som man gör idagligt tal. Skillnaden är närmast den att man med t ex "en mängd människor" van-ligen avser många människor. I den matematiska meningen kan en mängd beståendeav människor vara varje grupp av människor, exempelvis en familj om fyra personereller jordens befolkning av mer än tre miljarder. För mängdens beståndsdelar an-vänder man facktermen element, och mängdens element sägs tillhöra mängden.

Vi har ovan nämnt två exempel på mängder och det är lätt att ge flera.

De nio huvudplaneterna utgör en mängd, det mest kända elementet i denna mängdär vår egen jord. Sedlarna i min plånbok bildar en annan mängd och i anslutningtill denna kan det vara naturligt att redogöra för den tomma mängden.

Som jag nyss nämnde har matematikens mängder inte mycket med "många" attgöra. Sveriges nu levande kungar är en mängd men har endast ett element. Detkunde ju tyckas som om detta skulle vara det minsta tänkbara antalet element i enmängd, men det har visat sig praktiskt att gå ytterligare ett steg, som kanske vidförsta anblicken kan synas förvånande. Man har nämligen i matematiken anledningatt intressera sig för den mängd som helt saknar element och som brukar kallas förden tomma mängden. Detta begrepp kanske verkar litet intetsägande, men det är

29 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


just den typen av abstraktioner som är typiska för matematiken och nödvändiga fören enkel framställning.

Ofta är det naturligtvis i matematiken fråga om mängder vars element förefallerlekmannen mer matematiska än planeterna. Vi kan tänka på den mängd som bestårav talen 1, 2 och 3 eller den som består av hörnpunkterna i en given triangel.

Det viktiga när man skall ange en mängd är att man anger en metod att avgöra omnågot är element i mängden eller inte. Om mängden anges genom uppräkning, somvi gjorde i fallet 1, 2 och 3 är det lätt att konstatera att varken talet 12 eller solenär element i mängden.

I andra fall kan det vara svårare, men vi förutsätter, när vi talar om mängder, attdet är möjligt. Det bör för säkerhets skull påpekas redan här att vi är synnerligenintresserade också av mängder som ej har ändligt många element och där alltså idénatt ange dem genom uppräkning är i det närmaste utesluten.

En mycket betydelsefull mängd, som brukar kallas de naturliga talen, består avtalen 0, 1, 2, 3, . . . och här får författaren hoppas att de prickar som följer efter 3ger varje läsare den uppfattning som avses, nämligen att därefter följer 4, 5, 6, 7varefter vi återigen får förlita oss på prickarna. (Matematiken känner metoder attundvika dessa prickar, men det skall vi inte gå in på just nu.) Andra exempel påoändliga mängder, som man brukar kalla dessa som ej har ett antal element som

30 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kan anges med ett naturligt tal, är den mängd som består av punkterna på en rätlinje eller den, vilken som element har alla tal, vars decimalbråk har en nolla framfördecimalkommat.

Det bör understrykas att den moderna matematiken ej begränsar sitt intresse tilltal och figurer och liknande ting, vilka enligt populär uppfattning hör hemma där.Det finns matematiska satser som kan tillämpas långt utanför talens värld och ävenmängder med element som är gubbar eller gummor eller matvaror och även dessakan utsättas för matematisk behandling, kanske t om med intressanta resultat somföljd.

En sak värd att observera är att den elementära, eller som man ibland säger, naivamängdlära, som vi är i färd med att utveckla måste förbli naiv. En spridd uppfatt-ning är att matematiken är en välgrundad vetenskap, den enda där man ej löper riskatt råka ut för tvetydigheter och motsägelser. Tyvärr har detta visat sig vara långtifrån sanningen.

I viss mån sammanhänger detta med de paradoxer som man lätt råkar ut för, om manvidareutvecklar den naiva mängdlärans metoder att ange mängder genom sinnrikabeskrivningar, t ex av typen: mängden av alla rödhåriga sörmlänningar, vilkas fäderej tillhör mängden.

Den mest berömda paradoxen är väl den Russelska, som alltså först analyserades av

31 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Bertrand Russell omkring sekelskiftet. Russel betraktade den mängd vilken bestårav alla mängder som ej innehåller sig själva som element. Detta låter inte mycketmer komplicerat än de beskrivningar vi tidigare givit. Katastrofen kommer, när vibörjar fundera på om den så angivna mängden tillhör sig själv: det nödvändiga ochtillräckliga för att den skall tillhöra sig själv är att den inte gör det!

En naturlig förhoppning, när vi lägger fram den naiva mängdläran är, att vi skallfå en lämplig vokabulär för matematikens vidare utbyggnad, men naturligtvis ocksåenligt det gamla programmet att denna skall visa sig vara ett lämpligt språk förformulerandet av matematikens allmänna axiomsystem och bevisregler.

Det Russellska exemplet ovan visar att det inte ens är så lätt att avgöra vad som ärmängder och vad som inte är det. Tron på matematikens säkra och klara grundvalarhar fått än allvarligare stötar, bl a genom undersökningar av Kurt Gödel på 1920-talet, som visade att ett bevis för motsägelsefriheten är ogenomförbart, även omvi inskränkte vår matematik till att omfatta något som lämpligen kallas elementärtalteori.

Jag varken kan eller vill gå närmare in på dessa resultat, men låt oss bara konstat-era att matematikens grunder vid en närmare analys ej visar sig vara så klara ochfasta som lekmannen förmodar. Detta kunde tas som en uppmuntran till fullständiganarki och till att slänga alla stringensförsök över bord. Jag skulle vilja rekommen-dera en mer moderat linje, där vi accepterar ovannämnda svårigheter på samma sätt

32 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


som vi accepterar att vi ej på sekunden kan redogöra för vad vi avser med mening.Trots detta kastar vi ej all logik, och det naturliga inom matematiken synes mig varaatt man i medvetande om att man ej kan tränga till grunden med allt, inte ens inomdenna vetenskap eftersträvar en mer lokal axiomatik: vilka var mina förutsättningaroch enligt vilka regler härledde jag just nu mitt resultat? I den mån vi får tillfälletill exakta härledningar i denna bok kommer det att bli i den andan.

Låt oss då först återgå till att utveckla den naiva mängdläran på ett lagom lättsinnigtsätt, och låt oss redan nu börja göra framställningen mer "matematisk" genom attinföra teckenspråk och symboler.

2.1 Enkla operationer och beteckningar

Vi har förut talat om några exempel på mängder, t ex den som består av talen 1, 2och 3. Detta är naturligtvis samma mängd som den som består av talen 2, 1 och3, och när vi säger att två mängder är lika, så menar vi att de har samma element:varje element i den första tillhör också den andra, och det finns inga i den andrasom ej tillhör den första av mängderna. Två mängder kan tydligen vara lika, ävenom de beskrivits helt olika. Det finns t ex en mängd av tal som anger åldrarna i årav mina barn just när jag skriver detta. Denna mängd kan enklare beskrivas genomuppräkning av talen 1, 7, 9 och 12.

33 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


När vi nu skall börja ge namn åt mängder, skall vi använda vårt vanliga likhetsteckenför den typ av likhet som ovan beskrivits.

Låt oss kalla den mängd som innehåller som enda element talet 1 för P och den sominnehåller talen 1 och 2 för Q, medan vi använder R som beteckning på den mängdvi ovan talat om och som har elementen 1, 2, 3.

När man anger en mängd genom uppräkning, brukar man använda en speciell sortsparenteser för att markera att det är mängden med de aktuella elementen man tänkerpå. Med de omnämnda beteckningarna kan vi nu skriva

P = 1 ,Q = 1, 2 ,R = 1, 2, 3 .

För "att vara element i" eller "tillhöra" har man infört en särskild symbol och att 1tillhör P brukar man skriva 1 ∈ P.

På samma sätt gäller1 ∈ Q, 2 ∈ Q, 1 ∈ R,

medan 3 /∈ P betecknar att 3 ej är element i P. Inom klammerparenteserna kan manäven på annat sätt karakterisera den mängd man intresserar sig för. Om vi låter N

34 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


beteckna mängden av alla naturliga tal, kan vi skriva

N = 1, 2, 3, . . . eller N = naturliga tal

eller bättre än det sista

N = n | n är ett naturligt tal .

Före strecket | skriver man då en symbol och efter detta följer karakteriseringen.Som ytterligare belysning av denna teknik och dessa regler observerar vi att

R = n | n ∈ N, n 6 3

där vi då använt det vanliga matematiska tecknet 6 för mindre än eller lika med.Vi ska också utnyttja ett något förkortat beteckningssätt och skriva

R = N | n 6 3 .

För den tomma mängden brukas beteckningen ∅, och i engelskspråkig litteratur harjag sett Sverige bli beskyllt för att vara ursprungsland till denna bokstav! En lagomhumoristisk beskrivning av den tomma mängden skulle kunna tänkas vara

∅ = x | x 6= x .

35 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Här står det att vi har en mängd vars element har den egenskapen att de ej ärlika med sig själva! Utgående ifrån att sådana ej finns inser vi att mängden saknarelement d v s är tom.

Vi skall nu gå över till att studera samband och relationer mellan olika mängder ochvi skall först göra ett påpekande.

I matematiken opererar man i allmänhet med mängder vilka är (eller kan tänkasvara) delar av något större. Man utgår då ifrån att man kan koncentrera sitt in-tresse till en viss välbestämd mängd och sysselsätta sig med delmängder till denna.Den mängd som förutsätts innehålla allt som för ögonblicket är av intresse brukarbenämnas universum eller universalmängd. I och med att man fixerar ett universumundgår man en del ointressanta kommentarer. Om P betecknar den tidigare betrak-tade mängden, som innehåller talet 1, så är det sant att solen ej tillhör mängdenP, men det är väldigt mycket som ej tillhör P och vi kan i många sammanhanginskränka oss till att syssla med de naturliga talen. Denna mängd , N, omfattar heltP. Detta att en mängd omfattar en annan eller, vilket är samma sak uttryckt åtandra hållet, att en mängd är delmängd till en annan, har vi en särskild beteckningför. Att mängden R är en del av mängden Q brukar man skriva

R ⊆ Q

och detta kan definieras så; om x ∈ R så gäller det att x ∈ Q, d v s varje element i R

36 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är element i Q (medan omvändningen uppenbarligen ej behöver gälla). Ett välkäntexempel på en sådan inklusion utgör Sveriges prostar som tillsammans utgör endelmängd av Sveriges präster. Enligt definitionen ovan finner man att

P ⊆ P

för varje mängd P, vilket kan se litet ovant ut men som visat sig vara en lämpligkonvention. På samma sätt har vi att för varje mängd Q gäller att

∅ ⊆ Q

d v s den tomma mängden är delmängd till varje annan mängd.

Vi skall också påpeka att tecknet kan vändas åt andra hållet, så att

Q ⊇ P

innebär detsamma som P ⊆ Q. Däremot är det så att om både

P ⊆ Q och Q ⊆ P

är uppfyllda så måste P = Q, ty då har mängderna exakt samma element. Om vi harkommit överens om ett universum, så menar vi med komplementet till en mängd,

37 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


alla element i universum som ej tillhör denna. Om mängden heter P, betecknaskomplementet antingen genom att en stiliserad form av bokstaven C skrivs fram-för mängden eller genom att ett "C" skrivits istället för en accent efter mängdensbeteckning

P = PC = x | x /∈ P .

Som exempel kan vi i det universum som består av Sveriges befolkning välja P sommängden bestående av alla av mankön. Komplementet blir alla Sveriges invånareav kvinnokön och denna uppdelning av grundmängden i två komplementära delarär som bekant i många sammanhang nog så viktig. Om vi ej fixerat något univer-sum, kan vi ändå ta komplementet till P med avseende på varje annan mängd sominnehåller P.

Vi måste då i beteckningarna markera vilken större mängd vi tänker på. Om P ⊆ Qkan vi skriva

QP = x ∈ Q | x /∈ P

Vi ska försöka begränsa oss till beteckningen P för komplementet till P, och om vii samma andedrag talar om och skriver P och Q så menar vi att komplementet ärtaget med avseende på ett universum som båda mängderna tillhör. Som beteckningför universum skall vi använda U, men denna bokstav tillåts alltså beteckna olika

38 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mängder vid olika tillfällen. Tydligen gäller

P = x ∈ U | x /∈ P .

P

Q

U

a) P är en delmängd till Q:P ⊆ Q

Q

Q

U

b) Q är komplementettill Q

Figur 2.1: Två figurer

Redan nu skulle vi på grundval av de begrepp vi infört kunna bevisa några mate-matiska satser t ex

(P)

= P

39 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ochom P ⊆ Q så gäller att Q ⊆ P.

Uttrycks dessa satser i ord, blir de enligt vår uppfattning av språkets logik självklara,och detta gäller även om vi kastar en blick på figur 2.1 där vi illustrerat inklusionoch komplementbildning.

I detta sammanhang bör framhållas att även om "att se är att tro", så uppnås ejmatematiska bevis den vägen, och vi skall på annan plats i denna bok ge exempeldär sammanhang som ser alldeles klara ut dock visar sig vara felaktiga.

Nu har vi inte givit några bevis för våra just nämnda satser. Detta skulle lämpligenske genom en viss formalisering av resonemang och antaganden. Vi utgår ifrån attdet finns en för alla (kloka) människor gemensam logik, som vi kan bygga på, och viförutsätter denna vara bekant vid beskrivningen av mängdläran. Detta är den endamöjliga vägen och i själva verket kunde förhållandet och samspelet mellan logik ochmängdlära vara värt en rätt så utförlig behandling som vi dock avstår ifrån.

Vår attityd är sålunda den att eftersom vår logik säger oss att alla präster som intehar den egenskapen att de inte är prostar, är prostar, så följer på exakt samma sättatt

(P)

= P

och på liknande sätt för vår andra sats.

40 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi skall nu gå vidare och bygga ut vår begreppsvärld, så vi får möjlighet till nyakalkyler. Om vi har givet två mängder P och Q så skall vi närmast införa tvåbildningar av nya mängder, vilka kallas för snittet av P och Q och unionen av P ochQ. I stället för snitt förekommer även benämningen skärning, och i stället för unionanvänds ibland föreningsmängd. I figur 2.2 är konstruktionen antydd.

Med snittet av P och Qmenar vi alla element som tillhör såväl P som Q, det betecknasP ∩ Q, och vi kan skriva

P ∩ Q = x | x ∈ P och x ∈ Q .

Med unionen av P och Q menar vi alla element som tillhör antingen P eller Q ellerbåda, den tecknas P ∪ Q, och vi kan skriva

P ∪ Q = x | x ∈ P eller x ∈ Q .

Det sista uttryckssättet, inom klammern, kan missförstås och är därför ej helt bra.

Ordet "eller" kan ju tydas som "antingen eller" och då stämmer det inte med vadvi förut anfört, figur 2.2 torde ytterligare avslöja definitionens innebörd. Som ex-emplifiering kan vi låta den ena mängden bestå av alla böcker som är skrivna påsvenska språket, medan den andra mängden som sina element har alla böcker somhandlar om det svenska språket. Det är möjligt att dessa definitioner lämnar en del

41 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


övrigt att önska, eftersom de bl a utgår ifrån att det är fullt klart vad en bok äroch dessutom att det finns någon regel som avgör på vilket språk en sådan bok ärskriven. Låt oss utgå ifrån att detta är avklarat, så att vi har två mängder, somvi gott kunde kalla P respektive Q, och att dessa är delmängder till ett naturligtuniversum, nämligen mängden av alla böcker.

P

Q

U

a) Union: P ∪ Q

P

Q

U

b) Snitt: P ∩ Q

Figur 2.2:

Unionen och snittet av dessa mängder förefaller nu kunna ha åtminstone ett bib-liotekstekniskt intresse. Unionen består av alla böcker som har med svenska språketatt göra på så sätt att de antingen är skrivna på svenska eller handlar om detta

42 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


språk. Snittet utgörs av den svenskspråkiga litteraturen om det svenska språket.Vad det är för glädje med att beteckna dessa mängder P ∪ Q respektive P ∩ Q ärnaturligtvis svårt att inse i en handvändning, men låt oss hoppas att detta avslöjarsig framöver.

Har man svårt att komma ihåg vilket tecken som betyder vad, bör man erinra sigbeteckningen union. Unionen betecknas med ett stiliserat U, snittet med sammabokstav upp och nedvänd. Införandet av dessa operationer på mängder ger ossomedelbart möjlighet till omfattande kalkyler och nya satser. Som enkla exempel,vars riktighet enkelt kan efterprövas, kan nämnas

P ∪ P = U och P ∩ P= ∅.

Om två mängder har den egenskapen att deras snitt är tomt, kallas de disjunkta.Mängderna P och Q är sålunda disjunkta, om P ∩ Q = ∅. Vi har just sett att enmängd och dess komplement är disjunkta. Innan vi går vidare, skall vi observeraatt snitt- och unionbildning omedelbart kan utsträckas till mer än två mängder.Exempelvis har enligt vår logik P∩ (Q ∩ R) samma mening som (P ∩ Q)∩R och kandärför lika väl betecknas

P ∩ Q ∩ R.

Parenteserna används för att beteckna vilken operation som skall utföras först; i(P ∩ Q) ∩ R skall vi först ta reda på de element som är gemensamma för P och Q.

43 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


När denna mängd är funnen, skall vi ange de element som denna har gemensamtmed R. Resultatet av denna procedur kunde likaväl beskrivas som de element somär gemensamma för P, Q och R, och detta rättfärdigar beteckningen P∩Q∩R utannågra parenteser.

P

R

Q

U

a) P ∪ Q ∪ R är streckad

P

R

Q

U

b) P ∩ Q ∩ R är streckat

Figur 2.3:

På liknande sätt kan man resonera om P ∪ Q ∪ R, och i figur 2.3 ges några skisserav hur det hela tar sig ut. Börjar vi blanda unioner och snitt, blir det hela merkomplicerat och inte längre oberoende av ordningar.

Vi skall närmast studera de båda uttrycken P ∩ (Q ∪ R)ochP ∪ (Q ∩ R) och vi skall

44 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


visa, eller åtminstone göra troligt, att följande formler gäller:

P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)

P ∪ (Q ∩ R) = (P ∪ Q) ∩ (P ∪ R)

Genom studium, av figur 2.4 kan man förmodligen övertyga sig om riktigheten avdessa påståenden.

P

R

Q

U

a) Mängden P ∩ (Q ∪ R) ärstreckad

P

R

Q

U

b) Mängden P ∪ (Q ∩ R) ärstreckad

Figur 2.4:

Vi skall emellertid ägna dem litet mera uppmärksamhet och därefter skissera ett

45 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


bevis. Ett sätt att beskriva de båda formler som vi ovan angivit är att säga att deuttrycker de båda mängdoperationernas distributivitet med avseende på varandra.Låt oss göra en liten exkurs utanför mängdläran för att skapa en bakgrund till dennaterminologi. Någon gång under barnaåren har vi lärt oss att addera och multiplicera,bl a när det är fråga om heltal. Sannolikt var framställningen långt från axiomatisk,och en viss risk finns att vi helt enkelt bara fick lära oss "hur man gör". Om jag nufrågar, hur man vet att

5 + 7 = 7 + 5 och att 3 · 4 = 4 · 3

så är det enklaste svaret att det gäller, eftersom alla led vi skrivit upp är likamed 12. Men om vi allmänt skulle fråga oss hur man kan veta att summan avtvå tal är oberoende av deras ordningsföljd, så måste beviset som ges som svarbygga på en definition av addition, en definition som vi förmodligen ej har klarför oss. Överhuvudtaget har vi svårt att aktualisera problemet, eftersom vi så välvet att det helt enkelt är så. Egenskapen hos en operation att vara oberoendeav ordningen brukar kallas kommutativitet, och i en grundligare kurs i matematikingår det kännedom om hur de enkla räknesätten införs och vilka egenskaper dehar. Förutom kommutativiteten brukar man intressera sig för associativitet ochdistributivitet. Associativiteten är det som gör att vi inte behöver sätta ut parenteseri summor av tal, 2 + (7 + 4) är lika mycket som (2 + 7) + 4 och kan alltså skrivas

46 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


2 + 7 + 4. Vi uppehöll oss ovan vid unions- och snittbildningens associativitet.Kommutativiteten uttrycks genom formlerna

P ∪ Q = Q ∪ P

P ∩ Q = Q ∩ P

som följer direkt ur definitionerna genom enkel logik.

Vi skulle nu ägna oss åt det mindre triviala problemet att bevisa att dessa bådaoperationer är distributiva med avseende på varandra.

Vid våra vanliga räknesätt ligger det så till att multiplikationen är distributiv medavseende på addition, men additionen är ej distributiv med avseende på multiplika-tion.

Multiplikationens distributivitet rättfärdigar räkningar som

3 · (5 + 7) = 3 · 5 + 3 · 7.

Vore additionen distributiv med avseende på multiplikation, skulle det exempelvisvara sant att

3 + 5 · 7 = (3 + 5) · (3 + 7)

vilket uppenbart ej är fallet!

47 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Låt oss nu försöka att bevisa formeln

P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)

som vi hoppas skall gälla, vilka mängder P, Q och R vi än betraktar.

På vardera sidan av likhetstecknet står en mängd. Om mängderna ska vara lika,ska det gälla att varje element i den ena också tillhör den andra och tvärtom. Låt xbeteckna ett element som tillhör mängden P ∩ (Q ∪ R).

Vi vet då att x tillhör såväl P som Q∪ R enligt definitionen av ∩. Om x ∈ Q∪ R såtillhör x åtminstone den ena av Q och R.

Men om x tillhör såväl P som den ena av Q och R, så måste x tillhöra åtminstoneden ena av P ∩ Q och P ∩ R. Gör den det, så tillhör den också deras union, och vihar visat att om x ∈ P ∩ (Q ∪ R), så tillhör den också (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R).

Med hjälp av vårt inklusionstecken kan detta resultat uttryckas på ett riktigt kom-plicerat sätt: vi har visat att

P ∩ (Q ∪ R) ⊆ (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R).

För att få fram likheten har vi nu att visa inklusion åt andra hållet d v s att om ytillhör mängden på högra sidan, så är y också element i mängden på vänster sida.

48 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Eftersom y tillhör unionen av mängderna P∩Q och P∩R, måste det tillhöra åtmin-stone den ena av dessa mängder. Varje element i någon av dessa mängder tillhör nuP, eftersom de uppkommer genom snitt med P. Vårt element y tillhör således P ochdessutom någon av mängderna Q eller R. Då tillhör y emellertid Q∪R, och eftersomy också tillhörde P, så gäller att y ∈ P ∩ (Q ∪ R) och vi har visat inklusionen

(P ∩ Q) ∪ (P ∩ R) ⊇ P ∩ (Q ∪ R).

Eftersom vi har inklusion åt båda hållen följer likhet, och vår första formel är bevisad.Den likhet

P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R)

som vi just bevisat kan användas som exempel på att de parenteser som vi funnitonödiga i kombinationen P ∩ (Q ∩ R), där

(P ∩ Q) ∩ R = P ∩ (Q ∩ R) ,

ej kan slopas i en sammanställning som P ∩ Q ∪ R. Enligt vad vi funnit vid vårhärledning är

P ∩ (Q ∪ R) 6= (P ∩ Q ∪ R)

utan i stället gäller alltså

P ∩ (Q ∪ R) = (P ∩ Q) ∪ (P ∩ R).

49 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


För att få ett enkelt motexempel som visar att likhet ej råder mellan uttryckenP ∩ (Q ∪ R) och (P ∩ Q) ∪ R har vi enligt ovanstående två formler att välja ett falldär P ∩ R 6= R. Låter vi R vara en icke tom mängd och väljer P som komplementettill R, så blir P ∩ R = R ∩ R = ∅.Om sålunda R är alla svenska pojkar, P är alla svenska flickor och Q är alla svenskaungdomar som kan spela piano, så visar sig P∩ (Q ∪ R) bestå av alla flickor som kanspela piano, medan (P ∩ Q)∪R visar sig vara den mängd som förutom pianospelandeflickor också innehåller alla gossar, oberoende av om de är pianister eller ej.

Den som nu blev utmattad och knäckt av detta abstrakta och förment logiska bevisska nu inte ge upp! Det skall dröja några sidor innan vi bevisar något igen. Den somdäremot blev uppiggad av beviset utför naturligen som övning motsvarande bevisför unionbildningens distributivitet med avseende på snittbildningen.

Vad vi just sysslat med är ett exempel på hur man, med en mycket begränsadbegreppsbildning, i matematiken kan ställa problem som icke förefaller triviala ochvilka kan öka utblicken över andra områden. Det bör också observeras att våra justgenomförda kalkyler inte hade något med varken tal eller figurer att göra, även omvi försökt belysa proceduren med illustrationer.

Låt oss närmast observera att bildandet av unioner och snitt lätt utsträcks till ettgodtyckligt antal mängder och att associativiteten gör att vi ej behöver använda

50 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


några parenteser för att få meningen klar. Kommutativiteten gör att vi ej behöverfästa oss vid ordningen.

När man bildar union eller snitt av många mängder kan ett något varierat beteck-ningssätt vara lämpligt, även om det kanske är väl abstrakt på detta stadium.

För att inte slösa med bokstäverna brukar man ofta beteckna olika mängder medsamma bokstav, men försedd med olika index. Man kan sålunda intressera sig förett antal mängder som definierats på något sätt och som vi kallar

P1,P2,P3, . . .

Unionen av de fem första kan naturligtvis skrivas

P1 ∪ P2 ∪ P3 ∪ P4 ∪ P5

men ofta förkortas detta till5⋃

k=1

Pk

När det blir fråga om ännu fler (kanske oändligt många!), blir beteckningen nöd-vändig och

50⋂k=1

Pk

51 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


betyder således snittet av de femtio mängderna P1,P2,P3, . . . ,P50.

Redan med de första enkla operationerna kan vi nu utveckla en kalkyl, som brukarkallas mängdalgebra (vad algebra är skall vi senare försöka uppenbara) och sominnehåller många vackra formler.

Om vi först tänker oss en mängd P som är del till ett universum så visar oss våradefinitioner omedelbart riktigheten av följande schema, som har vissa drag av mul-tiplikationstabell

P ∪ ∅ = P P ∩ ∅ = ∅P ∪ U = U P ∩ U = P

Blandar vi även in komplementet är uppenbarligen

U = ∅ och ∅ = U.

Följande formler kan bevisas på liknande sätt som vi ovan bevisade distributiviteten,men vi kan kanske nöja oss med att tro på deras sanning efter en titt på figur 2.5sid 53 (jfr också figur 2.1b)

(P ∪ Q) = P ∩ Q (P ∩ Q) = P ∪ Q

52 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som framgår av vår hittillsvarande behandling av mängdläran är det fråga om enformaliserad beskrivning av sammanhang mellan begrepp som ej nödvändigtvis be-höver vara matematiska i populär mening. Många kan redan första gången då de tardel av verksamhet av denna art finna nöje i den; ett nöje som säkert ofta är besläktatmed korsordslösarens och andra gåtknäckares. Nyttolängtaren är naturligtvis i sinfulla rätt att framföra sina tvivel på att detta skall kunna tjäna något förnuftigtsyfte.

PQ

U

a) (P ∪ Q) är streckat

PQ

U

b) (P ∩ Q) är streckat

Figur 2.5:

Möjligen kan man då påminna honom om att det vi nu sysslar med är rena grun-

53 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


derna, något som, om vi gör en jämförelse, t om ligger före "Far ror" och "Mor ärrar". Även på "Mor är rar"-stadiet upplever säkert den studerande besvären somdominerande över den litterära upplevelsen.

Under den hittillsvarande matematiska utvecklingen har man funnit det bästa ochnaturligaste vara att bygga upp matematiken på en lämpligt utformad teori förmängder. Vi studerar alltså nu själva alfabetet och några av de tillhörande kombi-nationsreglerna.

För den som är intresserad av den matematiska pedagogiken bör det vara möjligt attredan på detta stadium få en positiv reaktion i förhållande till mängdläran likavälsom till de enklaste strukturerna, som vi sedan kommer till.

2.2 Logik, mängder och geometri

Jag har i denna framställning avsiktligt undvikit att gå in på gränserna mellan logikoch mängdlära och deras inbördes förhållande. Det är lätt att finna lärde som pådetta område diskutera om ägget och hönan, och den diskussionen är säkerligen värdsitt intresse, men inte för oss. För en populärt hållen introduktion till matematikenhar jag föredragit att ta logiken som given och gemensam och som något som manalltså kan referera till.

Nu är det emellertid allmänt bekant att det kan bli diskussion om logik och att

54 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


det ej är helt ovanligt med debatter där motståndare beskylls för att vara ologiska.Upplevelser av den arten leder på ett naturligt sätt till en förhoppning om att vårtutmärkta bildningsväsen också skall kunna inrymma moment som bekämpar sprid-ningen av ologisk verksamhet och som gör oss till ett rättänkande folk. Förr i världenlåg matematiken bra till i den diskussionen, tyvärr kanske allra bäst på den tidendå matematiken också var templet för spridning av ordning, reda, tydlig skrift ochfixa procedurer. Senare tider har fått uppleva attacker mot matematikens möjlighetatt förmedla någon kunskap som kan vara utnyttjbar utanför den egna ramen,

Bland matematiker torde det inte finnas något motstånd mot att spridningen av så-dan kunskap sker inom något ämne med mer allmän beteckning, exempelvis filosofi,speciellt inte om man därmed anses markera en vidare tillämpbarhet. Vad matema-tikerna däremot anser sig veta, i synnerhet efter studiet av en hel del mer troskyldigaalternativförslag, är att matematiken är svår att undvara som leverantör av icketriv-iala exempel för de logiska övningarna. Man behöver inte gå så långt som att jämföraCajus fyra fötter med de mängdläreproblem som vi ovan sökt lösa med rent logiskhantering.

Var och en som konfronterats såväl med intensiva beskrivningar av matematikenstautologa karaktär som med verkliga matematiska resultat måste stanna till i för-undran över hur överraskande dessa helt triviala och i antagandena implicita resul-tat kan upplevas, och detta även jämfört med naturvetenskapliga och humanistiska

55 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


nyupptäckter.

Alltnog, om vi nu bortser från matematikens mer eller mindre skamfilade kontaktermed andra vetenskapsgrenar, så fanns det även inom matematiken en gammal troatt den euklidiska geometrin var en lämplig materia för den logiska utvecklingen hosde studerande. Att direkt motbevisa eller bevisa en sådan tes förefaller vara rätt såomöjligt, men vi känner numera en hel del skäl som gör det troligt att vissa enklarestrukturer skulle vara mer lämpade än geometrin som tummelplats för logikutövare.

Ett sådant skäl är att den euklidiska geometrin har ett så komplicerat axiomsystematt det aldrig har varit tal om att redogöra för det i samband med undervisningen.Något tillspetsat, men förmodligen sannfärdigt, kan sägas att av alla lärare somintensivt undervisat i geometri torde högst en procent överhuvudtaget ha sett ettnågorlunda tillfredsställande axiomsystem. Till yttermera visso har det, alltsedanEuklides, varit brukligt att i geometriböckerna behålla en del teser som axiom ävenom de inte har något med geometrins axiomsystem att göra; vad jag tänker på är"om lika stora ökas med lika stora, bliva summorna lika stora" etc. I den geometri-bok som användes under min skoltid betecknades ovanstående tes tillsammans medEuklides parallellpostulat som axiom. Axiom förklarades inom parentes vara "själv-klara satser", och detta försiggick hundra år efter det att man börjat konstruerasammanhängande geometriska system, som faktiskt bygger på mot parallellaxiometstridande förutsättningar och om vilka man länge vetat att de är lika motsägelsefria

56 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


som den euklidiska geometrin!

För säkerhets skull skall väl nämnas att det parallellaxiomet som här diskuterasär det av Euklides givna postulat som har att göra med följande problem: Om vihar en punkt som inte ligger på en rät linje, hur många räta linjer går då genompunkten och som inte skär den förstnämnda räta linjen? Med rät linje avses härden "obegränsat utdragna linjen". Euklides hävdade i sin geometri uppfattningenatt en rät linje var det rätta svaret, men numera vet man att ett antagande om attdet finns en hel mängd sådana linjer är precis lika gångbart; det leder inte till någramotsägelser, om sådana ej skulle finnas i Euklides geometri, och det finns ingenmänsklig erfarenhet som ger oss anledning att föredra det ena framför det andra.

Det sista är på sätt och vis kärnpunkten, ty ingen praktisk utommatematisk er-farenhet kan ge någon information om matematiken eftersom denna inte handlarom sådana objekt. Dess tillämpbarhet kan avgöras så, men aldrig dess riktighet.

Genom en långvarig och smärtsam procedur har bl a Lobatjevskijs och Bolyais upp-täckter av den icke euklidiska geometrin under 1800-talets tredje decennium, letttill den moderna matematiska inställningen till axiomen som spelregler i den ab-strakta matematiska konstruktionen. Matematikern utgår ej längre från någrasjälvklarheter. När han säger att något är självklart, skall det bara betyda atthan så lätt kan leverera bevisen att han tycker det är genant att meddela dem tillnågon annan.

57 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Nödvändigheten av att låta denna syn på matematiken slå igenom även i den elemen-tära undervisningen är uppenbar, och det är bl a på den punkten som uppbyggnadenpå mängdlärans grund väcker förhoppningar. Som jag redan framhöll i inledningen,är det fara värt att om man propagerar denna tes utan konkret underlag så är detrisk att man blir missförstådd av dem som är rädda för att detta måste innebärabristande intresse för eller ringaktning av matematikens tillämpningar, medan det isjälva verket är fråga om att bl a i tillämpningarnas intresse propagera en "modern"matematisk syn; modern i meningen ungefär hundrafemtioårig.

Vi har ej givit något formellt axiomsystem för mängdläran, men detta kan jämförel-sevis lätt göras för de delar vi hittills utvecklat, och en intresserad studerande kanalltså ta del av det. Skillnaden mellan geometri och mängdlära som logiskt övnings-fält ligger mycket däri, att man i de traditionella framställningarna av geometrinalltid varit tvingad att av pedagogiska skäl göra våld på systemet: vissa axiom harfått bli satser, och "bevis" har givits o s v. Den geometriska åskådningen har fåttersätta en del av förutsättningarna. I den elementära mängdläran kan vi ge en intu-itiv beskrivning av vissa grundläggande begrepp och dessas egenskaper, och när vien gång accepterat dem, kan den övriga teorin utvecklas. Vad som fattas är alltsåen bit i början, men det blir klarare vad vi har att utgå ifrån. Vi har ej heller enfullt så farlig åskådning att förledas av. Vidare kommer vi mycket snabbt, om vi ejredan gjort det, att möta exempel på matematiska teorier, där den ena innehåller

58 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mot den andra stridande axiom. Detta skall då tas som ett fenomen av, ej ett duggmer sensationell art än, att lagarna på Borneo ej överensstämmer med Svea rikeslagar. Strävan efter en världslag (om en sådan strävan nu skulle finnas) motsvaras imatematiken av en strävan efter att bygga ihop skilda teorier till mer enhetliga sys-tem. Likaväl som världslagen torde få behov av lokala trafikföreskrifter, innehållerde olika matematiska teorierna karakteristiska egna spelregler.

Som mången erinrar sig, ansågs det ej helt tillåtet i geometristudiet att i figuren sevad som gällde, även om bevisen då och då hänvisade till vad man faktiskt kundese. Man kan då oroligt fråga sig hur vi i denna framställning kunnat hänvisa tillfigurer. Det lämpliga sättet att uppleva dessa torde dock snarare vara som kommu-nikationsmedel än som bevis, men rätt figur kan omedelbart avslöja hur beviset skallgå till och på så vis för den tränade ersätta beviset. Som pedagogiskt hjälpmedelför att öka trovärdigheten och för att skapa den rätta nyfikenheten har alltså ävendessa mängdillustrationer en uppgift att fylla.

Vi har ännu inte kommit igång med någon utveckling av riktigt typisk matematik,men den mängdalgebra som vi redogjorde för i föregående avsnitt har väl omiss-känneliga matematiska drag, även om vi exemplifierade den med flickor och böcker.Mängdkalkyler och tillhörande figurer kan inom den ram som vi hittills utvecklatvara ett mycket lämpligt hjälpmedel för studiet av komplicerade sammanhang, somi verbal form är närmast obegripliga.

59 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi skall avsluta detta avsnitt med ett sådant exempel.

Vi tänker oss en grupp människor, en mängd alltså, och vi intresserar oss för derasspråkkunskaper. Vissa kan inget främmande språk, andra behärskar ryska, tyska,engelska eller franska. Vi gör en indelning av mängden i olika klasser på följandesätt:

Klass 1 innehåller dem som kan åtminstone ryska eller engelska

Klass 2 innehåller dem som kan åtminstone ryska eller franska

Klass 3 innehåller dem som kan åtminstone tyska eller engelska

Klass 4 innehåller dem som kan åtminstone tyska eller franska.

Om vi nu kommer underfund med att det finns en person som tillhör alla fyraklasserna så vet vi också att han antingen kan både ryska och tyska eller ocksåbåde engelska och franska. Detta är en enkel logisk följd av det första konstateran-det att han tillhörde alla fyra klasserna, men för många av oss krävs det en visstankekoncentration för att komma fram till denna slutsats.

Om man i stället lärt sig den enkla mängdkalkylens regler, kan denna tankeprocessersättas med ett rent rutinmässigt arbete, som vi nu skall se. För säkerhets skullvill jag här understryka att matematik ej är att genomföra det triviala rutinmässigaarbetet, som många vill tro, utan matematik är att utveckla de idéer som hjälper

60 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


oss att förenkla komplicerade tankeoperationer till rutin. I och med att detta ärgjort svalnar matematikerns intresse.

Alltnog, låt oss formalisera våra språkkunniga vänner. Låt E beteckna mängden avalla som behärskar engelska, F består av de franskkunniga, R av de ryskkunniga ochelementen i T är personer som kan tala tyska. Det gäller då att

Klass 1 kan skrivas E ∪ R

Klass 2 kan skrivas F ∪ R

Klass 3 kan skrivas E ∪ T

Klass 4 kan skrivas F ∪ T

Om någon, kalla honom x, tillhör alla klasserna, kan detta skrivas att han tillhörsnittet, som vi kallar S d v s

x ∈ S = (E ∪ R) ∩ (F ∪ R) ∩ (E ∪ T) ∩ (F ∪ T)

och alltså betecknar det långa uttrycket på höger sida ej den tomma mängden.

Vi skall nu öva oss i lite kalkyler. Enligt den distributiva lagen gäller (om dentillämpas så att säga i omvänd riktning) att

(E ∪ R) ∩ (F ∪ R) = (E ∩ F) ∪ R

61 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och på samma sätt(E ∪ T) ∩ (F ∪ T) = (E ∩ F) ∪ T

Vi finner alltså attS = [(E ∩ F) ∪ R] ∩ [(E ∩ F) ∪ T]

och återigen genom den distributiva lagen ser vi att

S = (E ∩ F) ∪ (R ∩ T)

och vi har funnit attx ∈ (E ∩ F) ∪ (R ∩ T) .

Detta innebär emellertid ingenting annat än att x åtminstone tillhör en av gruppernaengelsk- och franskkunniga eller rysk- och tyskkunniga. Vilket skulle bevisas!

Den långa formel som vi just bevisat lyder

(E ∪ R) ∩ (F ∪ R) ∩ (E ∪ T) ∩ (F ∪ T) = (E ∩ F) ∪ (R ∩ T) .

Om vi successivt tillämpar lagarna för komplementbildning, så finner vi genom attta komplementet på båda sidor att(

E ∩ R)∪(F ∩ R

)∪(E ∩ T

)∪(F ∩ T

)=(E ∪ F

)∩(R ∪ T

)62 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och eftersom varje mängd har ett komplement, kan vi införa nya beteckningar förE, F, R, T och kalla dem t ex P, Q, R och S.

Vi har då fått fram följande formel:

(P ∩ R) ∪ (P ∩ S) ∪ (Q ∩ R) ∪ (Q ∩ S) = (P ∪ Q) ∩ (R ∪ S) .

Detta sätt att härleda formler genom ett skenbart utbyte av tecken kan naturligtvisanvändas även i andra sammanhang.

2.3 Produktmängd, relation och funktion

Vi skall nu närmast ägna oss åt en viktig metod att införa nya mängder med hjälpav sådana som redan är givna.

Låt S beteckna den mängd som består av de åtta första bokstäverna i alfabetet

S = a, b, c, d, e, f, g, h

och låt T beteckna den mängd som består av de åtta första naturliga talen

T = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 .

63 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi bildar nu mängden av alla par, vilka som första element har ett element ur S ochsom andra element ett element ur T. Vi tittar med andra ord på alla par av typen

(a, 1) , (d, 7) , . . .

där första tecknet är en bokstav och det andra är en siffra, inte vilken bokstav ochsiffra som helst, utan valda ur S respektive T.

Hur många sådana par finns det?

Ja, bokstaven a förekommer en gång tillsammans med varje siffra d v s åtta gånger,samma sak gäller för bokstaven b, och eftersom vi har åtta bokstäver, blir slutre-sultatet 8 · 8 = 64. Dessa 64 par bildar naturligtvis en mängd, och denna brukarbenämnas produktmängden av S och T. Om vi kallar mängden av par för P, så ärföljande beteckning vanlig (tecknet mellan S och T brukar utläsas kryss)

P = S× T.

Skall vi på ett något allmänare sätt beskriva hur produktmängden, eller som manockså brukar säga, cartesiska produkten, av två mängder bildas, kan vi skriva

P× Q = (x, y) | x ∈ P, y ∈ Q .

Det förtjänar understrykas att vi tänker oss att paren är ordnade, så det råder ingenlikhet mellan t ex (a, 3) och (3, a). Det sista är ett par som inte är element i S× T

64 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ovan. Däremot gäller det att (3, a) ∈ T× S, och det är alltså inte likgiltigt i vilkenordning vi tar mängderna, när vi bildar produktmängden.

1

2

3

4

5

6

7

8

a b c d e f g h

(h,5)

(e,4)

Figur 2.6: Schackbräde som exempel på produktmängd

Innan vi går vidare, kanske vi skall påpeka att produktmängden S×T spelar stor rolli ett välkänt spel, nämligen schackspelet, och därifrån kan vi också hämta ett geo-metriskt sätt att beskriva mängden. Schack kunde naturligtvis spelas helt skriftligtgenom att man drag för drag gjorde en tillordning mellan den mängd som består av

65 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


de 32 pjäserna (de är åtminstone 32 vid spelets början) och en delmängd av S× T.Exempelvis brukar i utgångsställningen vit kung associeras med (e, 1). Det vanligaschackbrädet ger oss en illustration (figur 2.6 sid 65) av mängden S× T och kanskeockså denna figur ger någon förklaring till beteckningen produktmängd. Adjektivetcartesisk skall vi strax komma till.

Som ytterligare exempel på produktmängd kan vi tänka på mängden av danspar(med flickan nämnd först) som kan tänkas bildade av fyra gossar och tre flickorenligt reglerna för vanlig sällskapsdans d v s där en flicka dansar med en gosse. Omgossarna heter Adam, Bertil, Cesar och David och flickorna heter Ester, Fia ochGudrun, kan en viss åskådlighet erhållas genom en uppställning av de tolv paren,som liknar den vi hade på schackbrädet, nämligen följande

(Ester,David) (Fia,David) (Gudrun,David)(Ester,Cesar) (Fia,Cesar) (Gudrun,Cesar)(Ester,Bertil) (Fia,Bertil) (Gudrun,Bertil)(Ester,Adam) (Fia,Adam) (Gudrun,Adam)

Här har vi en uppräkning av elementen i den cartesiska produkten av mängden avflickor Ester, Fia, Gudrun och mängden av gossar Adam, Bertil, Cesar, David.Ett av de allra viktigaste exemplen på produktmängd är det som på 1600-taletstuderades av Cartesius, även om han ej använde den terminologin. Detta exempel

66 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är en aning mer komplicerat än våra tidigare bl a beroende på att vi tar produktenav mängder som har oändligt många element. Vad vi är ute efter är nämligen R× R,där R betyder mängden av alla reella tal.Vad är då ett reellt tal? Det kunde kräva en egen bok bara att förklara det, och densvårighet vi nu stöter på är typisk för varje försök att lägga fram en introduktion tillmatematiken: rätt som det är får man lust att ge ett exempel, som i någon meningär välkänt men som egentligen hör hemma mycket längre fram i diskussionen. (Viåterkommer till de reella talen på sid 263).

Låt oss som förklaring på mängden R ta att dess element är reella tal och att ettreellt tal är ett (positivt eller negativt) oändligt decimalbråk, vilket dock naturligtvisfår sluta på oändligt många nollor om det vill. Exempel på reella tal är sålunda

−37.13600000

0.014285714285714 . . .

10.99999 . . .

3.14159265 . . .

Om det andra fortsätts på det sätt som för många verkar naturligt så är det ett talsom också är känt under beteckningen en sjuttiondel. Det tredje är ett tal som vibrukar identifiera med 11 och som alltså då kan skrivas som oändligt decimalbråk

67 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


på två olika sätt (alltså även som 11.0000 . . .). Det sista är svårt att fortsätta, menvad som är angivet är början på det ej helt obekanta talet pi, d v s π, om vilket manvet att det aldrig uppträder någon periodicitet i sifferföljden.

Det är en allmänt spridd uppfattning, som vi ej heller här önskar ifrågasätta, att detgår att finna en naturlig och enkel tillordning mellan de reella talen och punkternapå en rät linje, så fort man bestämt sig för vilka punkter som svarar mot de reellatalen 0 och 1.

−2 0 1 π

När man talar om den reella talmängden R, händer det ofta i matematiken att mansöker uppnå ett mer måleriskt språk genom att kalla den för den reella linjen.

Vad skulle vi nu rimligen kunna mena med R× R? Om vi prövar vårt försök tillallmän definition, skulle vi få

R× R = (x, y) | x ∈ R, y ∈ R

men vad betyder då det? Det är tydligen fråga om en mängd av ordnade par, därdet såväl på första som på andra, plats står ett reellt tal.

68 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi skall ta och skaffa oss en geometrisk bild av R× R genom att utnyttja framställ-ningen av R som en linje och försöka överföra den metod som gav oss schackbrädetsom bild av S × T. Detta uppkom genom att vi skrev upp mängdernas element itvå olika riktningar från en begynnelsepunkt, den ena mängden åt höger och denandra uppåt, och så linjerade vi fram en massa fack, som vart och ett svarade motett element i produktmängden.

0

y∈R (x,y)∈R×R

x∈R

(π,−2)∈R×R

Figur 2.7: Det vanliga koordinatsystemet som illustration av R× R.

Nu är det svårt att hitta något begynnelseelement eller någon ände på R, som ju

69 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


innehåller oändligt många tal. Man brukar då (rent konventionellt) välja 0 somutgångspunkt och placera två exemplar av den reella linjen på det sätt som visas ifigur 2.7 sid 69. I stället för de 64 "facken" på schackbrädet kommer var och en avpunkterna i det plan, som vi tänker oss boksidan kan fortsättas i, att svara mot ettelement (x, y) i produktmängden.

Vad Cartesius gjorde var att han systematiskt utnyttjade denna metod att ge namnåt alla punkter i ett plan för att återföra geometriska problem till problem omtal (och tvärtom). Detta visade sig vara en mycket fruktbärande metod och denvetenskapsgren som uppkom på detta sätt kallas analytisk geometri. Den går alltsåut på att återföra geometriska spörsmål på frågor om reella tal, och vi kommersenare att möta mer av detta.

Det är lätt att fortsätta mängdproduktbildningen till mer än två mängder. I ställetför ordnade par tittar man då på ordnade tripplar och definierar

P× Q× R = (x, y, z) | x ∈ P, y ∈ Q, z ∈ R .

Som ett praktiskt exempel på en produktmängd av så mycket som elva ursprungligamängder kan vi ta följande:

Antag att det finns en mängd, ett universum, bestående av fotbollsspelare, och låtoss förutsätta att var och en av dessa endast kan tänka sig en plats i ett fotbollslagd v s den som är vänsterback kan aldrig spela något annat. Den cartesiska produkten

70 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


av mängden av målvakter, mängden av högerbackar, mängden av vänsterbackar etc,genom hela laget, är då en mängd som består av alla möjliga laguppställningar somkan åstadkommas ur vårt universum. Om mängden av målvakter betecknas medP1, mängden av högerbackar med P2 o s v, ända fram till P11, som är mängden avvänsteryttrar, så kan vi teckna produktmängden på ett kortare sätt

11∏k=1

Pk = P1 × P2 × . . .× P11.

Vår förhoppning som uttagningskommitté är naturligtvis att ingen av mängdernaPk är tom!

För produktmängden R× R använder man ibland beteckningen R2 och på sammasätt inför man då

R3 = R× R× R = (x, y, z) | x, y, x är reella tal .

En bild av R3 har vi i det som brukar kallas det tredimensionella rummet d v s detrum som vi förmodas uppleva. Det är lätt att, i anslutning till vår genomgång avplanets samband med R× R, inse att varje punkt i ett vanligt boningsrum enkeltkan anges med ett element i R3. Vi utmärker ett hörn av rummet, t ex det nedresydvästra, om sådant finns. En punkt anges sedan genom tre tal, av vilka det första

71 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


anger hur många meter öster om begynnelsepunkten den ligger, det andra angerhur många meter norr om begynnelsepunkten den ligger och den tredje hur mångameter över den ligger.

Fortsätter vi till R4 = R×R×R×R och R5, så sviker oss vår geometriska intuition,men vi har inga svårigheter att operera med dessa mängder, som på något sättsvarar mot fyr- och femdimensionella rum.

I matematiken är man inte rädd av sig, så låt oss redan nu som en härdningsövningobservera att det går bra att bilda cartesiska produkten även av oändligt mångamängder. Låt S beteckna mängden av alla hela tal från 0 till 9, och tag en sådanmängd för varje naturligt tal, S = S1 = S2 = . . . = Sk = . . .. Bilda sedan

∞∏k=1

Sk = S1 × S2 × S3 × . . . = S× S× S× . . .

där de olika krumelurerna skall beteckna att vi multiplicerar ihop så många S som"de naturliga talen är". Den mängd som vi då får fram, känner vi till den på någotvis?

Det är alltså mängden av oavslutade sifferserier innehållande 0, 1, 2, . . . 9, ochdet betyder att det finns en exakt motsvarighet mellan denna mängd och t ex allaoändliga decimalbråk med värde mellan 0 och 1.

72 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi skall närmast gå över till att definiera vad vi menar med en relation: En relationär en mängd av ordnade par och alltså en delmängd till en produktmängd av tvåmängder. Denna typ av relation kallar man ibland binär relation för att ange att detendast är fråga om par; det möter naturligtvis ingen svårighet att införa relationer avhögre ordning, utgörande exempelvis delmängder av mängden av ordnade sextetter.

Nu låter det här kanske litet överraskande, och det är möjligen ej helt klart hurnära detta begrepp ligger vad vi i dagligt tal kallar relation. Låt oss tänka på någonenkel släktskapsrelation t ex "att vara mor till". Vad har det med produktmängdatt göra?

Jo, tag produkten av den mängd Q som består av alla svenska kvinnor och denmängd som består av alla svenskar, S. Den cartesiska produkten Q × S består aven mängd ordnade par; en delmängd av dessa uppfyller kravet att första individeni paret är mor till den andra individen. Denna mängd, kalla den Z, bestämmernaturligtvis helt relationen att vara mor till (i Sverige).

I matematiken brukar man använda ytterligare en beteckning, nämligen om Z ⊆S × T, så skriver man för två element x ∈ S och y ∈ T att xZy om och endast om(x, y) ∈ Z.

Enligt vår definition ges en relation på schackbrädet av de svarta rutorna. Låt osskalla denna relation B, och av vår figur 2.6 sid 65 framgår tydligt t ex att eB3, d v s

73 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


(e, 3) ∈ B. Det finns 31 andra par som är element i B.

En mer matematiskt intressant relation är likhetsrelationen. Om S är en mängd, sådefinieras likhetsrelationen E naturligen så att

E = (x, y) | x = y ∈ S ⊆ S×S.

Den relation som är given genom de punkter som vi i figur 2.8 har satt ringar kringi N× N, där N betyder de naturliga talen, brukar kallas större än.Relationer brukar klassificeras beroende på sina egenskaper och i det sammanhangetskall vi passa på att införa några facktermer.

74 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

× × × × × × ×

(1, 1)

(3, 5)

(7, 2)

(7, 6)

Figur 2.8: Produktmängden 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 × 1, 2, 3, 4, 5, 6 och relationen R =(a, b) | a > b. Elementen i relationen är inringade.

75 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


En relation P kallas

reflexiv då xPx för alla x

symmetrisk då xPy om (och endast om) yPx

transitiv då xPy och yPz medför xPz.

Komplementet till relationen "större än" brukar kallas "mindre än eller lika med"och är ett exempel på vad man brukar kalla en ordningsrelation.

En relation O på en mängd S, alltså en delmängd till S×S, kallas en ordningsrelation,om den är reflexiv och transitiv och dessutom är antisymmetrisk. Detta innebär attaOb och bOa ej båda gäller, såvida ej a = b.

Ibland används det förkortade uttrycket att vi har en ordning på mängden S, omvi angivit en ordningsrelation på den. Nu brukar man ha anledning att skilja påtvå slags ordningsrelationer, nämligen partiella ordningar och totala (eller linjära)ordningar. En ordning O kallas total, om för varje par av element a och b ur S detgäller att antingen aOb eller bOa. I annat fall är ordningen partiell.

Det vanligaste exemplet på en ordning, som dessutom är total, är "mindre än ellerlika med" på någon av våra vanligare talmängder t ex mängden N av de naturligatalen. För denna brukas ofta beteckningen ≤, så att vi skriver

1 ≤ 1, 2 ≤ 7 etc

76 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Att denna relation är reflexiv och transitiv är lätt att undersöka. Att den är an-tisymmetrisk är också tydligt, bara vi inser att m ≤ n tillsammans med n ≤ mmedför att m = n.

Som exempel på en partiell ordning kan vi välja inklusionen, när det gäller del-mängderna till en given mängd M. Uppenbart är att det finns delmängder som ej ärinneslutna i varandra, om mängden innehåller mer än ett element. Det sista falletmåste undantagas, för då har vi bara delmängderna

∅ och M

och vi har alltså en total ordning.

Innehåller M två olika element så finns det en delmängd som bara innehåller det enaoch en annan delmängd som bara innehåller det andra och av dessa innesluter ingenden andra.

De tre villkor som skall vara uppfyllda för att vi skall ha en ordningsrelation är lättkontrollerade. Om P, Q och R är delmängder till M, har vi endast att övertyga ossom att

P ⊆ PP ⊆ Q och Q ⊆ P medför att P = QP ⊆ Q och Q ⊆ R medför att P ⊆ R

vilket torde vara snabbt gjort.

77 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som exempel på en ordningsrelation på de naturliga talen, som ej är total, kan vinämna relationen "går jämnt upp i". Låt oss skriva den med ett lodrät streck, t ex2 | 4 och 3 | 12, vilket också kan utläsas 2 delar 4 respektive 3 delar 12. Detta ärsant, eftersom divisionen av 4 med 2 går jämnt ut, vilket också gäller vid divisionav 12 med 3. Däremot gäller ej 7 | 10. När vi nu säger att detta "att dela" ären ordningsrelation, har vi därmed kortare uttryckt följande villkor, där a, b och cbetecknar element i N:

a | a,a | b och b | a medför att a = b,a | b och b | c medför att a | c.

Ordningen är partiell, eftersom exempelvis det varken gäller att 7 | 10 eller 10 | 7.Däremot har den en annan intressant egenskap, nämligen att till två tal a och b kanman alltid hitta ett tredje c så att a | c och b | c. Detta gäller ej för alla partiellaordningar.

Som vi tidigare observerat finns det intressanta relationer utanför det rent mate-matiska område som sysslar med tal och trianglar. En del av matematikens icke-kvantitativa tillämpningar har att göra just med de resultat man känner till förordningsrelationer. Redan de införda begreppen ger anledning till frågeställningar,som ej är ointressanta, exempelvis den om transitivitet. Om en person föredrar

78 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vissa alternativ framför andra i en valsituation, är det då säkert att hans ordning ärtransitiv? Om han föredrar a framför b och b framför c, föredrar han då a framförc? Det finns praktiska experiment som visar att detta ej alltid är fallet och detfinns också matematiska teorier som utvecklats för beskrivning och prognos i sådansammanhang.

Förutom ordningsrelationer finns det en annan intressant typ av relationer, kalladeekvivalensrelationer. En relation Q på en mängd kallas ekvivalensrelation om den ärreflexiv, symmetrisk och transitiv. Det gäller sålunda delmängder Q till S×S, somhar dessa tre egenskaper. Eftersom Q skall vara reflexiv, måste den innehålla alla parav lika element d v s för varje x ∈ S gäller (x, x) ∈ Q. Nu är mängden av alla sådanapar, d v s den relation som vi ovan kallade likhetsrelationen, E = (x, x) | x ∈ S,en ekvivalensrelation. Den är tydligen den minsta tänkbara ekvivalensrelationen påS, eftersom varje annan ekvivalensrelation måste innehålla denna. Den största ellermest omfattade ekvivalensrelationen på S är den (triviala) relation som är given avhela S× S.

Som ett något annorlunda exempel än våra tidigare på mängd och relation kan vilåta S beteckna alla punkter i ett plan eller kanske enklare på en boksida, På dennaritar vi sedan en sluten kurva t ex en åtta. Vi inför så en relation Q genom attsäga att två punkter står i denna relation till varandra om de kan förbindas meden kurva som inte skär vår åtta. Det är lätt att övertyga sig om att relationen Q

79 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är en ekvivalensrelation. Om vi tittar på vårt papper, där vi ritat vår åtta, inservi att de punkter som står i relationen Q till varandra är de som ligger i ett ochsamma område av de tre områden som åttan delar planet i. Alla punkter i den övreöglan står i relationen Q till varandra, alla punkter utanför likaså, men ingen punktutanför står i relationen Q till någon innanför. Vad vi här funnit är karakteristisktför ekvivalensrelationer. Varje sådan leder till en uppdelning av begynnelsemängdenS i ekvivalensklasser, som var och en består av de element som står i relation tillvarandra men ej till något element i någon annan klass. En sådan uppdelning aven mängd i disjunkta (parvis skilda) delmängder brukar kallas en partition. Varjeekvivalensrelation ger upphov till en partition och på omvänt sätt finns det till varjepartition en naturligt given ekvivalensrelation; två element är ekvivalenta, om detillhör samma delmängd.

Om vi återvänder till de hela talen för att finna exempel, kan man där införa enekvivalensrelation genom att säga att två tal är ekvivalenta, om de ger samma restvid division med ett givet tal. Väljer vi detta som talet 2, får vi partitionen av denaturliga talen i udda och jämna, väljer vi divisorn 7, får vi sju olika ekvivalensklas-ser. För den tillhörande ekvivalensrelationen används ofta beteckningen, där man,om man finner det nödvändigt, tillfogar divisorn efter facktermen modulo, oftastförkortad mod. Man skriver sålunda 7 ≡ 1 mod 2, som utläses "sju är kongruentmed ett, modulo två" och 83 ≡ 48 ≡ 6 mod 7.

80 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Att detta kan ha något större intresse framkommer först när man övertygat sig omatt man kan räkna med dessa trestreckade likheter på nästan samma sätt som manräknar med vanliga likheter. Om det är fråga om samma divisor, kan man adderaoch multiplicera ledvis o s v. Vi skall inte fortsätta den utvecklingslinjen här, mensom ett icke-trivialt exempel på vad man kan komma fram till gällande dessa s k,kongruenser kan nämnas,

2p ≡ 3 mod p,

en relation som gäller, om p är ett primtal (d v s ett tal som ej delas av andra tal än1 och sig självt), men ej för andra naturliga tal. Detta resultat är ett specialfall aven sats uppkallad efter 1600-talsmatematikern Fermat (2p betyder förstås produktenav p stycken tvåor).

81 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


a) F ( ) och G( ) b) F ∨G ( ) och F ∧G ( )

Figur 2.9:

Vi skall nu gå över till att syssla med ytterligare en annan typ av relationer, nämligenfunktioner. Funktion är som bekant ett av matematikens mest berömda begrepp,och vi kommer nu att möta det i en mycket generell form, som dock, såvitt mankunnat finna, är minst lika pedagogiskt lämplig som de mer speciella definitionersom fordom brukades i våra skolor.

En funktion är helt enkelt en relation som ej innehåller två olika par med gemensamtförsta element. Mer formellt uttryckt skall det för en funktion f på en mängd S×Tgälla att om x ∈ S, y ∈ T, z ∈ T och (x, y) ∈ f och (x, z) ∈ f , så gäller att y = x.

82 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Låt oss försöka exemplifiera detta på ett sätt som anknyter till de upplevelser somnågra av oss tidigare haft av funktion.

Vi skall välja S × T som R × R och vi vet då att en åskådlig bild av denna pro-duktmängd har vi i planet, där vi lämpligen ritar in två axlar som hjälp för attange paren (figur 2.9a). En relation på S×T kan vi nu ange genom att markera engodtycklig mängd i planet. Vilken delmängd som helst av S × T godkänns ju somrelation. Vill vi emellertid ha en funktion, får vi lov att inskränka oss till en mycket"tunn", figur. Till varje första element skall då endast höra ett andra element, ochden bild vi erhåller utgörs av en tunn kurva.

Denna typ av funktioner, som består av par av reella tal, är mycket speciell. Minstlika god funktion och ej helt matematiskt ointressant är t ex den som med varjesvensk invånare förknippar hans hårfärg. Förutsättningen är att det finns ett ändligteller oändligt antal välbestämda hårfärger. Mängden av par, där första elementetär svensken och det andra hans hårfärg, blir då en delmängd av den cartesiskaprodukten svenskar kryssade med hårfärger och denna delmängd uppfyller villkoretför att vara en funktion.

Som ett annat exempel kan vi ta den funktion som består av par där det förstaelementet är en tidpunkt och det andra är en observation av temperatur och lufttryckvid nordpolen. Vid första anblicken kan en mängd sådana element ge sken av att ejuppfylla det krav vi ställt på en funktion, nämligen det entydiga andra elementet,

83 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


men det är dock fallet. Andra elementen i paren är nämligen element i R2 ochvid varje tidpunkt finns det ett bestämt värde på temperatur och lufttryck mätta ilämpliga enheter och detta kan identifieras med ett element i R2. Denna vår funktionär alltså en relation på R× R2 och kan också kallas för en funktion från R till R2.Än vanligare än funktioner med andra element i mängder som R2 är funktioner somhar första element i t ex R3. Mät vid en viss tidpunkt temperaturen i en mängdolika punkter i ett rum. Varje punkt anges lämpligen med ett element i R3 ochmätresultatet blir säkerligen ett reellt tal. Vi har sålunda en relation på R3 × R,och denna relation är i själva verket en funktion. Funktioner från Rn till R kallasmed en gängse benämning för "funktioner av n variabler".

Detta är säkerligen platsen för bekännelsen att det funktionsbegrepp vi ovan införtej är allmänt vedertaget. Förr i världen, fram till början av 1800-talet, användesfunktion närmast för något som kunde kallas "ett matematiskt uttryck", exempelvissådant som πx3 − 2x. Utvecklingen under 1800-talet framtvingade allmänare defi-nitioner och bland de mest favoriserade även i våra dagar är den som anknyter tillbegreppet avbildning. Man tänker sig två mängder X och Y och att en funktion ären avbildning av X in i Y d v s en tillordning av ett element i Y till varje element i X.Mängden X kallas funktionens definitionsmängd, de element i Y som förekommer,som bilder, kallas funktionens värdemängd.

Om man nu bestämmer sig för att låta funktionen beteckna själva avbildningen, så

84 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


får man behov av ett annat ord för mängden av sammanhörande par bestående av ettelement i definitionsmängden tillsammans med den bild denna har. Denna mängdbrukar då kallas funktionens graf, den sammanfaller med vad vi förut kallat funktionoch vad vi också i fortsättningen kommer att kalla funktion. Denna situation är ejhelt ovanlig i matematiken att man ej har perfekt enighet om vad ett begrepp åsyftar.Detta är naturligtvis otillfredsställande ur både logisk och pedagogisk synpunkt,om man tvingas att vackla mellan olika språkbruk vid olika tidpunkter. Att ejnågon större harm åstadkommes, beror på att avbildningen och parmängden så välmotsvarar varandra. Känner vi den ena, kan vi omedelbart ange den andra.

Hur man än definierat en funktion, som en delmängd till en produktmängd eller somen avbildning, är man ofta intresserad av att undersöka om det finns någon inversfunktion, ett begrepp som vi nu skall definiera.

Till varje relation Z på en produktmängd S× T kan vi definiera en invers relation,som vi kallar Z−1 och som är en relation på T× S.

Det går till så attZ−1 = (x, y) | (y, x) ∈ Z .

Under vissa betingelser är nu denna relation en funktion. Var den första relationenen funktion, och är den inversa relationen en funktion, så kallas den sista den inversafunktionen till den första. Villkoret för att den inversa funktionen skall existera är

85 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tydligen att till varje y skall endast finnas ett enda x, d v s att det skall vara en-entydig tillordning mellan element i definitionsmängd och värdemängd. Vi har i såfall en perfekt motsvarighet och det finns en invers funktion.

Som exempel kan vi ta den relation som är given av

f = (n, n+ 1) | n ∈ N .

Här är N de naturliga talen och relationen är uppenbarligen en funktion, Värdemäng-den består av talen 1, 2, 3, . . . d v s de naturliga talen utom 0. Den inversa relationenär

f−1 = (n+ 1, n) | n ∈ Noch det är den funktion som till varje naturligt tal större än 0 ordnar närmast mindrenaturliga tal. Detta är sålunda inversen till den funktion som till varje naturligt talordnar närmast större naturliga tal.

Vi skall passa på att nämna några olika beteckningar för funktioner. Att f är enfunktion med definitionsmängd X och värdemängd innehållen i Y brukar skrivas

f : X→ Y.

Mängden av alla sådana funktioner från X till Y brukar betecknas YX. Varje elementYX är tydligen en delmängd till X×Y, men som vi vet, finns det delmängder som ejär funktioner.

86 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som torde vara bekant för alla läsare som till äventyrs kommit så här långt, harfunktioner från R till R spelat en roll i matematikundervisningen, och torde med allsannolikhet varit för dominerande. Detta har bl a lett till att de studerande har haftsvårigheter at tänka sig så enkla objekt som funktioner med definitionsmängden Noch en värdemängd som är en delmängd av R.Den typen av funktioner brukar för övrigt ofta kallas reella talföljder. Förhoppningenär att metoden att införa funktionsbegreppet i anslutning till en inledning om heltallmänna mängder skall göra det lättare än tidigare att vid fortsatta möten medmatematiken assimilera mer avancerade varianter av funktioner.

I denna bok, som tyvärr ej kan byggas upp särskilt systematiskt, skall vi försökaundvika de reella talen och de "vanliga" funktionerna så länge som möjligt för attfå tillfälle att oförvillat bygga upp matematiken på det naturliga sättet, nämligengenom att införa strukturer på mängder. Många gånger blir det dock lämpligtatt för exemplifiering referera till författarens och läsarens förmodade gemensammakunskaper om hela och reella tal, enkla funktioner etc.

Vi har hittills använt beteckningar som f = (x, y) och f : X → Y. Den bokstavsom betecknar en funktion brukar nu användas på ytterligare ett sätt, som det kanvara lämpligt att införa här.

Om det är så att (x, y) ∈ f , brukar man skriva y = f (x), vilket kan uttydas så,

87 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


att y är det element i värdemängden Y som funktionen f tillordnar till elementetx i definitionsmängden X. Förr i världen brukade man inte vara så intresserad avbeskrivningar av definitionsmängd och värdemängd, utan en funktion gavs i stortsett genom att man t ex skrev

f (x) = x2 + 3x+ 5.

I vårt språkbruk skall detta närmast turneras som

f =

(x, y) | x ∈ R, y = x2 + 3x+ 5,

om vi gör den nära till hands liggande förutsättningen att definitionsmängden skallvara hela R. I noggranna resonemang och med en viss försvarbar snobbism bör detbetonas att detta är en helt annan funktion än

f1 =

(x, y) | x ∈ R, 0 < x < 1, y = x2 + 3x+ 5,

ty de har olika definitionsmängder. Lämpligen beskrivs f1 som en restriktion av foch f kan betraktas som en utvidgning av f1. Ett annat och ofta lämpligt sätt attange funktionen är x→ x2 + 3x+ 5. I pedagogisk litteratur ersätts gärna den rakapilen med en böjd.

Här bör också nämnas något om sammansatt funktion. Om vi har en funktion somhar en definitionsmängd som överensstämmer med en annan funktions värdemängd,

88 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kan vi sammansätta dem till en ny funktion på följande sätt. Låt oss införa beteck-ningarna g : X→ Z, f : Z→ Y.

Vi definierar den sammansatta funktionen f g : X→ Y genom

f g = (x, y) | det finns z ∈ Z med z = g (x) , y = f (z) .

Mer direkt och mindre precist skrivs detta f g (x) = f (g (x)). Om funktionerna foch g har inverser kan man lätt övertyga sig om att detsamma gäller f g och attman har formeln (f g)−1 = g−1 f−1.

2.4 Mängders mäktighet

Det klingande ordet mäktighet används i matematiken som beteckning för det somi de enklaste fallen kallas för antalet element i en mängd. Två mängder sägs hasamma mäktighet eller vara ekvivalenta, om det går att para ihop deras elementtvå och två, ett från vardera mängden, på ett sådant sätt att inget element bliröver i någondera av dem. Som ett första exempel kan vi tänka oss att man vid ettkalas vill ta reda på om antalet gossar och flickor är lika stort. Ett sätt är då atträkna antalet gossar och antalet flickor och sedan jämföra resultaten. Ett annat ochtroligen enklare är det som svarar mot den ovan nämnda idén; man låter pojkarnabjuda upp var sin flicka och ser om det blir jämna par. Blir det det, kan man vara

89 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


säker på att mängden av gossar och mängden av flickor är ekvivalenta, men manbehöver fördenskull inte känna det exakta antalet gossar och flickor.

Vi har tidigare använt beteckningen ändlig mängd, och det, är alltså en mängd somär ekvivalent med ett avsnitt av den naturliga talserien, alltså med en mängd

1, 2, 3, . . . , n ,

där n är ett naturligt tal. Närmast efter de ändliga mängderna kommer de uppräk-neliga mängderna, som definieras därigenom att de är ekvivalenta med mängden avnaturliga tal.

För den ekvivalens vi här talar om använder man ofta en speciell krumelur, så attman skriver; om N är mängden av naturliga tal och M ∼ N så är M uppräknelig.Allmänt, om P och Q är ekvivalenta skrivs detta P ∼ Q.

Vi skall inte här gå in på vad man kan kalla oändlighetens aritmetik, även omden sysselsättningen kan vara mycket fängslande. Vi skall dock konstatera att mankan definiera ett generaliserat "tal", som anger det som en mängd har gemensamtmed alla andra ekvivalenta mängder. Sådana tal kallas kardinaltal och för ändligamängder kan vi använda de vanliga naturliga talen utan risk för förväxling. Denuppräkneliga mängdens kardinaltal brukar betecknas med den hebreiska bokstavenAlefmed index 0, alltså ℵ0. Vi skall strax finna att det finns ännu "större" kardinaltald v s att det finns mängder med så stor mäktighet att de ej är ekvivalenta med

90 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mängden av naturliga tal eller någon delmängd därav. I själva verket finns det enhel svit av skilda kardinatal utan något största element, vilket redan det kan gesen paradoxal formulering. Den sats som kommer att avslöja existensen av de storakardinaltalen för oss är uppkallad efter den tyske matematikern Georg Cantor, som iett antal avhandlingar omkring 1880 skapade den moderna mängdläran. Innan vi geross in på den satsen, skall vi öva oss med ändliga tal och något mindre oändligheter!

Karakteristiskt för en ändlig mängd är att den inte är ekvivalent med någon äktadelmängd till sig själv (äkta kallas varje delmängd som ej är mängden själv). Attdetta inte gäller för oändliga mängder observerades bl a av Galilei som påpekadeekvivalensen mellan N och den delmängd till N som utgörs av de jämna kvadraternad v s de tal som kan skrivas n ·n, eller enklare n2. Att dessa mängder är ekvivalentaframgår av den naturliga hopparningen 1←→ 1, 2←→ 2 · 2 = 22 = 4, 3←→ 3 · 3 =32 = 9, . . . , n←→ n · n = n2, . . ..

Det är uppenbart att det finns många naturliga tal som ej är jämna kvadrater(t ex 2 och 32), så det är verkligen fråga om ekvivalens med en äkta delmängd Detkardinaltal som anger "antalet naturliga tal" har vi förut kallat ℵ0 och för det gäller

91 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


rätt lustiga räkneregler, exempelvis,

ℵ0 + 1 = ℵ0,ℵ0 + ℵ0 = ℵ0,ℵ0 · ℵ0 = ℵ0,

där vi visserligen ej definierat räknesätten men där de förmodligen kan upplevasintuitivt. Sålunda definieras produkten av två kardinaltal som kardinaltalet förproduktmängden av två mängder med faktorerna som kardinaltal. Om vi skallexemplifiera ytterligare kan vi studera den första formeln och i samband med denpåminna om något som brukar benämnas Hilberts hotell. (I verkligheten var inteHilbert hotellägare utan en tysk matematiker som levde 1862—1943). Det är fråga omen lagom fantasifull konstruktion, där man tänker sig ett hotell med ett uppräkneligtantal rum. Även om det är fullbelagt, kan ägare alltid ordna plats för ytterligare engäst. Han flyttar nämligen gästen på nr 1 till rum nr 2, gästen på nr 2 till nr 3 o s vhela raden igenom, varefter den nya gästen tar hand om rum nr 1!

Ett sätt att uttrycka detta utmärkta resultat formelmässigt är ℵ0 + 1 = ℵ0 och somman gissar definieras alltså summan av två kardinaltal som kardinaltalet för unionenav två disjunkta mängder med dessa kardinaltal.

Ett kombinatoriskt problem som är av största intresse i dessa sammanhang gällerantalet delmängder till en ändlig mängd. Antalet delmängder. till mängden 1

92 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är tydligen 2, nämligen den tomma mängden och mängden själv. Till mängden1, 2 finner vi fyra delmängder, nämligen ∅, 1 , 2 och 1, 2. När vi på liknandesätt övertygat oss om att en mängd med tre element har åtta delmängder, är viförmodligen beredda att gissa på att antalet delmängder till en ändlig mängd med nelement är 2n. Beviset för detta, alltså för att antalet delmängder fördubblas, då viutökar antalet element med ett, ligger nära till hands: Om vi utökar med ytterligareett element har vi som delmängder dels alla de gamla delmängderna, dels alla unionerav mängden med endast det nya elementet och de gamla delmängderna. Båda dessagrupper av mängder har lika många element, nämligen antalet delmängder i denursprungliga mängden och det nya antalet delmängder blir alltså dubbelt så stortsom det gamla.

Man brukar nu använda ett beteckningssätt svarande mot 2n även för oändligakardinaltal och med 2ℵ0 betecknar vi sålunda det kardinaltal som hör till mängdersom är ekvivalenta med mängden av delmängder till de naturliga talen. Vi vetnaturligtvis inte om detta är något annat än ℵ0, men vi skall omedelbart konstateradet genom att bevisa Cantors sats: Mängden av delmängder till en mängd är ejekvivalent med mängden (och naturligtvis ej heller med någon delmängd till denna).

Att det som står inom parentesen gäller är uppenbart, då mängden av delmängderbl a innehåller alla mängder vilka har precis ett element.

Vi skall nu bevisa att ett antagande om ekvivalens mellan mängden och mängden av

93 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


dess delmängder leder till en motsägelse och alltså måste förkastas, varefter satsenär bevisad.

Eftersom vi skall ge ett matematiskt bevis, skall vi i stället för det mer familjära"hopparning" använda "en-entydig avbildning" av mängden M på mängden P (M)av delmängder till M. Låt f : M→ P (M) vara en sådan avbildning eller, med andraord, en sådan funktion, som då också har en invers funktion f−1 : P (M) → M. Nuskall vi göra matematik en kort stund.

SättP = x ∈ M | x /∈ f (x)

d v s P är den mängd vilken som element har sådana element i M som ej är elementi den delmängd som funktionen f ordnar till dem.

Eftersom P ∈ P (M) finns det ett element a ∈ M sådant att P = f (a). Det äruppenbart att antingen tillhör elementet a mängden P eller också gör det icke detta.Bägge varianterna är emellertid omöjliga. Om vi försöker med a ∈ P, så är a ettelement som ligger i motsvarande delmängd, och det strider mot definitionen påP. Om a /∈ P, så skall a enligt definitionen på P ligga i P! Motsägelsen visar attmängderna ej kan vara ekvivalenta, och M är sålunda ekvivalent endast med vissadelmängder till P (M).

Det är jämförelsevis lätt att visa att mängden av alla reella tal är ekvivalent med

94 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mängden av delmängder till mängden av de naturliga talen. Mängder som är ek-vivalenta med dessa brukar sägas ha kontinuets mäktighet. Den berömda kontinu-umhypotesen säger att det ej finns något kardinaltal mellan ℵ0 och 2ℵ0 , så att omkardinaltalen betecknas med indicerade alef, där indexen anger storleksordningen,ℵ1 = 2ℵ0 . Att bevisa denna hypotes har många framstående matematiker och logikerförsökt sig på, men ingen har lyckats. Man har sedan länge vetat att hypotesen ejstred mot mängdlärans axiomsystem, men endast för något år sedan gjorde denunge amerikanske matematikern Paul J. Cohen en förbluffande upptäckt: Ej hellerkontinuumhypotesens negation är oförenlig med axiomsystemet. Vi har alltså inomdetta område i våra dagar fått uppleva en lösning av en gåta som utgör en slåendeparallell till vad som en gång hände med parallellaxiomet!

95 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Algebra

3. Algebra

Vi skall nu närmast bygga ut våra tidigare beskrivningar av mängder genom attinföra ytterligare antaganden. I detta kapitel ska vi införa sådan struktur sombrukar kallas algebraisk, och det ska visa sig att vi på detta sätt kommer i kontaktmed begreppsbildningar som, bortsett från sitt eget intresse, också är av störstabetydelse för matematikens tillämpningar.

3.1 Kompositionsregler

Det viktigaste nya begrepp vi närmast skall syssla med är kompositionsregeI. Enkompositionsregel tillordnar till varje ordnat par (a, b) av element i en mängd ettelement c i mängden. För olika kompositionsregler används ofta olika tecken, menlåt oss som beteckning på vad vi just beskrivit införa a ∗ b = c. Med användning avdet språkbruk vi infört i kapitlet om mängdlära kan vi säga att en kompositionsregelpå en mängd M är en funktion från M×M till M. Härvid har vi förutsatt attkompositionen är definierad för varje par av element iM, vilket det inte är nödvändigtatt kräva.

Ett enkelt exempel på en mängd och en kompositionsregel är de naturliga talen ochadditionen. Summan av två naturliga tal är ju ett välbestämt naturligt tal och som

96 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


beteckning på denna kompositionsregel brukar man som bekant använda plustecknetoch skriva a+ b = c. I detta fall gäller

a+ b = b+ a.

En kompositionsregel med denna egenskap, för vilken alltså a ∗ b = b ∗ a kallas, ienlighet med vad vi nämnt beträffande union och snitt av mängder, kommutativ.Dessa just omnämnda mängdoperationer är naturligtvis exempel på kompositions-regler på mängden, bestående av alla delmängder till en given mängd. Vi kan påsamma sätt som vi speciellt gjorde för ∪ och ∩ diskutera associativitet av allmännakompositionsregler och om vi har två olika kompositionsregler på samma mängd,uppkommer frågan om deras distributivitet. Som vi tidigare undersökt, är de bådakompositionsreglerna ∪ och ∩ såväl kommutativa som associativa och dessutom dis-tributiva med avseende på varandra. Om vi jämför med addition och multiplikation,som är två kompositionsregler på de naturliga talen, så finner vi, som vi även förutpåpekat, att dessa är såväl kommutativa som associativa, men endast multiplika-tionen är distributiv med avseende på additionen, ej tvärtom. Många av de först iögonen fallande exemplen på kompositionsregler är såväl associativa som kommuta-tiva, men vi kommer snart att finna exempel som ej har dessa egenskaper. Om viförsöker med subtraktion i stället för addition, är denna ej definierad för alla par avnaturliga tal, om vi skall stanna bland de naturliga talen. Vi blir därför tvungna

97 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


att som mängd ta alla heltal, d v s alla tal som här antytts

. . .− 2,−1, 0, 1, 2 . . . .

På denna mängd är subtraktionen en för alla par definierad kompositionsregel, mendet gäller inte att a− b = b− a för alla heltal a och b, vilket det skulle ha gjort, omkompositionsregeln varit kommutativ. Ej heller gäller allmänt att

a− (b− c) = (a− b)− c

och vi har således ej heller associativitet.

Man behöver ej nöja sig med tidigare välkända kompositionsregler. En "forsknings-uppgift" vore t ex att studera den kompositionsregel som på de naturliga talen ärgiven genom

a ∗ b = a+ b+ a · b

där + och · betyder vanlig addition och multiplikation och a och b är naturliga tal.Exempelvis har vi

2 ∗ 3 = 2 + 3 + 2 · 3 = 11

Vilka egenskaper har nu denna kompositionsregel? Eftersom

a ∗ b = a+ b+ a · b = b+ a+ b · a = b ∗ a

98 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är den tydligen kommutativ. För undersökningen av associativiteten bildar vi

(a ∗ b) ∗ c = (a+ b+ a · b) ∗ c= a+ b+ a · b+ c+ (a+ b+ a · b) · c= a+ b+ c+ a · b+ b · c+ c · a+ a · b · c

och eftersom vi får samma resultat vid uträkning av a ∗ (b ∗ c), är denna komposi-tionsregel associativ.

Den typ av kompositionsregler som vi hittills studerat kallas utförligare inre kompo-sitionsregler till skillnad från yttre kompositionsregler. Vid de yttre tänker man sigatt man förutom mängden E också har en mängd F, ibland kallad operatormängd;den yttre kompositionen är en funktion från E× F till E.

För att ta ett utommatematiskt exempel på en yttre kompositionsregel kan vi taett vanligt tärningsspel, där t ex två spelare förmodas flytta sina marker utmed enbana, beroende på resultatet av ett tärningskast. Vi kan då välja E som den mängdvilken som element har alla möjliga positioner för vår mark på spelet och sedan låtaF som element ha resultatet av ett tärningskast d v s, om vi har en vanlig tärning,vi kan sätta F = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Spelreglerna består vanligen i beskrivningen av enyttre kompositionsregel: till varje par av position och antal ögon på tärningen skalldet vara tillordnat en ny position på banan. Spelet går alltså till så att efter varje

99 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tärningskast flyttar spelaren sin mark, och den nya positionen är en funktion av denursprungliga samt resultatet av tärningskastet.

För att visa att det finns ytterligare varianter skall jag nämna två kompositionsregler,som jag hoppas ger intryck av att ha ett mer matematiskt intresse.

Låt oss återigen intressera oss för de naturliga talen, d v s en mängd N som vi redantidigare sökt ange genom att skriva

N = 0, 1, 2, 3, . . . .

På denna mängd inför vi nu först en kompositionsregel ∨, som till två element moch n i N tillordnar deras minsta gemensamma multipel p eller i formel m ∨ n = p.Talet p är det minsta naturliga tal i vilket båda de ursprungliga talen går jämntupp. Sålunda gäller: 2 ∨ 3 = 6, 30 ∨ 5 = 30, 27 ∨ 12 = 108 o s v. Vår andrakompositionsregel ∧ skall till de två talen m och n ordna deras största gemensammadelare q, så att vi skriver m ∧ n = q. Som enkla exempel har vi här 2 ∧ 3 = 1,30 ∧ 5 = 5, 12 ∧ 27 = 3 o s v.

Det är lätt att fastslå att båda dessa kompositionsregler är såväl associativa somkommutativa. Men är de distributiva med avseende på varandra?

100 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Att inse riktigheten av formlerna

p ∧ (m ∨ n) = (p ∧m) ∨ (p ∧ n)

p ∨ (m ∧ n) = (p ∨m) ∧ (p ∨ n)

är inte omedelbart klart men prövning av några värden ger bestyrkande resultat, sådet borde vara intressant att försöka bevisa dem. De båda kompositionsreglerna, detär fråga om, är de som vi just infört, minsta gemensamma multipel ∨ och störstagemensamma delare ∧.Låt mig nu göra en liten utvikning, som vid första påseende bör verka helt oförståeligmen som så småningom skall visa sig ha ett sammanhang med den icke helt lättauppgift vi ställt oss, nämligen att bevisa distributiviteten av operationerna "min-sta gemensamma multipel" och "största gemensamma delare" på mängden av denaturliga talen. Utvikningen från problemet skall nu ske, som jag hoppas, i bästamatematiska anda.

Låt oss för ett tag framåt "låtsas" att våra kompositionsregler ∨ och ∧ betyder "detstörsta av" och "det minsta av", som också är två rimliga kompositionsregler på denaturliga talen. Är då de distributiva lagarna sanna?

Den undersökningen kan genomföras på många sätt, ett är att ställa upp allatänkbara storleksrelationer mellan p, m och n och pröva att våra formler stäm-mer. Om t ex p inte är större än m och m inte är större än n, kan vi beteckna

101 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


dettap ≤ m ≤ n.

I detta fall blir med vår nya tydning av ∧ och ∨ resultatet av m∨n lika med n, ochav p ∧ (m ∨ n) får vi då p. På samma sätt resulterar både p ∧m och p ∧ n i taletp, och även (p ∧ n) ∨ (p ∧ n) blir alltså p. Vi kan fortsätta att pröva igenom allatänkbara kombinationer av storlek på p, m och n och se att våra formler stämmer.Det visar sig finnas sex olika kombinationer, men genom att m och n förekommersymmetriskt i formlerna, kan den begåvade räkna ut att det räcker att behandlafallen m ≤ p ≤ n och m ≤ n ≤ p förutom det vi tidigare klarat av. Om m ≤ p ≤ n,blir de båda leden i vår första formel lika med p, medan om m ≤ n ≤ p, är detgemensamma värdet n. Den första distributivitetslagen är då bevisad, om ∨ och ∧betyder största och minsta, och den andra följer på samma sätt. Men vad har nudetta med delbarheten att göra?

Vad vi där önskade visa var att om m ∨ n betecknade den minsta gemensammamultipeln, så gäller

p ∨ (m ∧ n) = (p ∨m) ∧ (p ∨ n) .

Detta är naturligtvis en helt annan sak än det vi nyss visade, som handlade omstörsta och minsta. Men de båda problemen hänger ihop på följande sätt, som ejalls har någonting med abstrakt algebra att göra utan rör elementära ting i vårt

102 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tillämpningsexempel. De närmaste raderna handlar sålunda om elementär talteorioch är ej nödvändiga för förståelsen av framställningen i stort.

En metod att få tag på den minsta gemensamma multipeln till två tal m och nbörjar med att man delar upp talen i primfaktorer, något som man brukar intresserasig för även i lägre skolutbildning Det gäller alltså att skriva naturliga tal somprodukter av andra naturliga tal på ett sådant sätt att de faktorer man fått fram eji sin tur kan delas upp i produkter av mindre naturliga tal. Ett väl spritt om än ejhelt lättbevisat resultat säger att detta kan ske på endast ett sätt, åtminstone omman undviker att foga dit faktorn 1 för ofta.

Om det ena talet innehåller 3 faktorer 2 och det andra bara en faktor 2, blir vitvungna att kräva att den minsta gemensamma multipeln skall innehålla 3 faktorer2. Vi fortsätter på detta sätt med alla faktorer och plockar med så många som detmest finns i något av talen m och n. På så sätt får vi fram p = m∨n. Kanske dettaär lättare att förstå i ett konkret exempel. Låt oss välja m = 120, n = 63 och sökap = m ∨ n. Efter en stunds nyttigt arbete upptäcker vi att

120 = 2 · 2 · 2 · 3 · 5, 63 = 3 · 3 · 7

För att få 120 ∨ 63 skall vi ta det mesta som finns på något ställe, alltså

120 ∨ 63 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5 · 7 = 2520.

103 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


På liknande sätt kan vi övertyga oss om att vi får den största gemensamma delarengenom att ta det minsta antalet faktorer i vart och ett av talen, alltså

120 ∧ 63 = 3.

För att få ett exempel där det händer mer kan vi observera att eftersom 108 =2 · 2 · 3 · 3, blir

108 ∧ 120 = 2 · 2 · 3 = 12.

Låt oss nu tro på detta talteoretiska resultat; den minsta gemensamma multipelnerhålls genom att man multiplicerar ihop de givna talens faktorer så många gångersom de maximalt förekommer i något av talen (En annan typiskt matematisk metodvore att definiera den minsta gemensamma multipeln på detta sätt!). Vi tror ocksåpå att den största gemensamma delaren fås genom att man multiplicerar ihop detminimala antalet faktorer i de båda talen (Om det ena innehåller 3 ·3 och det andraingen trea alls, så skall vi välja det minimala antalet, d v s den största gemensammadelaren saknar faktorn 3. Även här kunde vi förstås definiera facktermen med hjälpav denna egenskap.).

Om vi nu skulle bevisa formeln

p ∨ (m ∧ n) = (p ∨m) ∧ (p ∨ n) ,

104 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


så innehåller den ett påstående om att två naturliga tal är lika; talet som står tillvänster om likhetstecknet och talet som står till höger om likhetstecknet. För attbevisa att två naturliga tal är lika kan vi, i den anda vi just verkat, visa att deinnehåller varje primfaktor lika många gånger. Om vi då tänker oss en viss bestämdfaktor, t ex 7, hur många gånger finns den med till vänster? Jo, det största av debåda tal som anger hur många gånger p innehåller 7 ochm∧n innehåller 7. Menm∧ninnehåller 7 det minsta antalet gånger som m och n innehåller 7. Frågan är nu omdet tal vi får fram som anger antalet sjuor till vänster är lika med det tal som angerantalet sjuor till höger. Att detta är fallet har vi emellertid bevisat i vår utvikningfrån ämnet. Vi visade ju nämligen där att om ∨ tolkades som det största av två taloch ∧ som givande det minsta av två tal, så gällde vår distributivitetsformel. Ochdetta är just vad vi behöver för att se att antalet sjuor är lika stort på båda sidor.Precis samma resonemang går igenom för alla andra faktorer, och på detta sätt fårvi ett bevis för de distributiva lagar vi kom att intressera oss för i samband medmultipler och delare.

Nu frågar sig säkerligen mången läsare, om det resultat vi kom fram till hade ett så-dant intresse att det var värt allt besvär. Det är naturligtvis en omdömesfråga, menav erfarenheten tycks framgå att problemställningarna åtminstone brukar kunnafånga personer som ej är helt matematiskt oskyldiga. Jag har lagt ned allt arbetetbl a för att få tillfälle att göra en mer allmän kommentar om matematikens natur

105 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och tillämpbarhet.

Matematik är studiet av en eller annan struktur, t ex härledandet av teorem somgäller för en mängd med två kompositionsregler som är, låt oss säga, kommutativa,associativa och distributiva med avseende på varandra. Varje resultat man kan fåfram i denna teori har sedan en tillämpning inom vart och ett av de områden som vianvänt som exemplifiering ovan, alltså mängdlära med kompositionsreglerna ∪ och∩ samt naturliga tal med kompositionsreglerna ∨ och ∧ för minsta gemensammamultipel och största gemensamma delare men också för naturliga tal med komposi-tionsreglerna "största av" och "minsta av". Det finns naturligtvis massor med andraexempel, som har större eller mindre anknytning till de givna. För att visa att vi ejhelt lämnat det allmänt omhuldade området av funktioner kan vi ta ett närliggandeexempel från detta fält. För två funktioner, låt oss kalla dem f och g, med sammadefinitionsmängd, t ex D = alla reella tal mellan 0 och 1, och med värdemängdersom är delmängder av de reella talen, kan vi definiera f ∨ g och f ∧ g på följandesätt, där vi låter y ∨ z betyda det största och y ∧ z det minsta av de reella talen yoch z.

f ∨ g = (x, z) | x ∈ D, x = y ∨ z där (xy) ∈ f, (x, z) ∈ gf ∧ g = (x, z) | x ∈ D, x = y ∧ z där (xy) ∈ f, (x, z) ∈ g

Det här ser säkerligen litet komplicerat ut men kan illustreras, om vi ritar upp

106 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


funktionerna i produkmängden och förutsätter att de ser lika tama ut som de brukari läroböcker i funktionslära. Vi får då en figur (figur 2.9 sid 82) som kanske illustrerarmer. En enkel variant av våra tidigare överläggningar om "största av" och "minstaav" kan användas för att visa att våra sist införda kompositionsregler ∨ och ∧ ärdistributiva med avseende på varandra.

Genom att man nu kan göra bevisen av vissa resultat gemensamma för alla dessaolika exempel eller, som man också kan uttrycka det, interpretationer av våra tecken,fungerar matematiken arbetsbesparande. Formaliseringen hjälper oss att undvikaupprepning. Ytterligare en synpunkt är mycket väsentlig i dessa sammanhang. Re-sultat som visat sig vara av intresse och kanske är välkända i en interpretation kanvia formaliseringen överföras till en allmän sats, som sedan kan tillämpas i de andraexemplen!

Den struktur med ett par kompositionsregler som jag ovan beskrivit kanske inteförefaller vara så intressant eller kunna ge upphov till alltför djupsinniga satser. Vihar emellertid rört oss i gränsområdet till en struktur som under namnet "lattice"(engelska; på svenska "galler" eller "gallerverk") som sedan 1930-talet spelat enroll av just den art vi beskrivit i allmänna ord ovan. Med hänsyn till det intresselattice-teorin väckt, skall vi här se en definition.

Ett lattice är en mängd L med en (partiell) ordningsrelation (som vi skriver ≤) ochtvå kompositionsregler, som vi här skriver ∨ och ∧, vilka uppfyller följande krav:

107 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om a, b och c betecknar element i L, så gäller det, att

a ≤ a ∨ b, b ≤ a ∨ b, a ∧ b ≤ a, a ∧ b ≤ ba ≤ c och b ≤ c medför att a ∨ b ≤ cc ≤ a och c ≤ b medför att c ≤ a ∧ b

Exempel har vi givit ovan, bl a det där L är mängden av delmängder till en givenmängd med inklusion som ordningsrelation och union och snitt som kompositions-regler samt ett annat där L är de naturliga talen och ordningsrelationen är "är delaretill" eller "går jämnt upp i" och kompositionsreglerna är minsta gemensamma mul-tipel och största gemensamma faktor.

Det bör observeras att vi ej kräver distributivitet av kompositionsreglerna, däremotföljer associativitet och kommutativitet ur våra antaganden. Den läsare som villstarta sin latticeforskning kan bevisa detta samt dessutom satsen att i ett latticedär ∨ är distributivt med avseende på ∧ så gäller det att.

a ≤ c ≤ a ∨ b medför att c = a ∨ (b ∧ c)vilket är ett tilläggsantagande, som ger en berömd klass av lattice.

För den som snarare önskar sig litet geometrisk upplysning, som dessutom kan ge enantydan om hur namnet lattice uppkommit, hänvisar jag till figur 3.1, som illustrerar

108 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


delbarhetsförhållandena i en utvald mängd av tal. När figuren är "sluten" just pådet sätt vi har i figuren, har vi med ett lattice att göra, men den precisa innebördenav detta överlämnas åt läsaren att spekulera över. Exemplet ger i själva verket en nyinterpretation som uppfyller latticelagarna och där vi enbart utnyttjar en delmängdav de naturliga talen.

72

24 36

8 12 18

4 6 9

2 3

11

a)

12

4

2

30

15

5

60

20

1

3

610

b)

Figur 3.1: Delbarhets-lattice för 72 och 60. Genom att följa nedåtriktade linjer frånett tal finner man dettas delare, följer man uppåtriktade finner man talets multipler.

109 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


3.2 Grupper

Bland de enklaste tänkbara strukturerna borde en markant plats intas av en mängdmed en enda kompositionsregel. Några egenskaper bör denna dock ha, för att vi skallfå några satser av ej helt trivial natur. Distributivitet kan det ej bli tal om, menassociativitet har visat sig vara ett naturligt krav, och när vi nu skall definiera vadsom menas med en grupp, skall vi starta med att förutsätta att vi har en associativkompositionsregel. Vi kräver inte kommutativitet, utan vi skall i stället kräva någraej förut diskuterade egenskaper, nämligen dels att det finns ett enhetselement ochdels att varje element i mängden har en invers.

Dessa begrepp kan definieras helt allmänt för en kompositionsregel. Låt oss betecknadenna med ∗ och låt mängden vi utgår ifrån heta G.

Ett element e ∈ G kallas höger-enhetselement, om a∗ e = a för alla a ∈ G, och f ∈ Gkallas vänster-enhetselement, om f ∗ a = a för alla a ∈ G.

Med höger-inversen till ett element a ∈ G menas ett element a′ ∈ G sådant atta ∗ a′ = e, och med vänster-inversen till a menas ett element a

′′ ∈ G sådant atta′′ ∗ a = e.

Jag har ovan nämnt vad som karakteriserar en grupp, men jag skall för övnings skulldefiniera begreppet med något svagare axiom.

110 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


En grupp är en mängd med en associativ kompositionsregel för vilken det finns (åt-minstone) ett höger-enhetselement och där varje element i mängden har (åtmin-stone) en höger-invers.

Det kommer att visa sig att enhetselementet är entydigt bestämt och i själva verketär såväl höger- som vänsterenhet, likaså är inversen entydig och den är såväl höger-som vänster-invers.

Denna förhållandevis enkla struktur har visat sig ha de två egenskaper som krävs föratt erövra en rangplats i den matematiska begreppsvärlden: den är tillräckligt enkelför att tillåta ett stort antal artskilda interpretationer och tillräckligt kompliceradför att ge upphov till triviala satser som inte är triviala.

Det är kanske lämpligt att här tillfoga ytterligare terminologi. En grupp med kom-mutativ kompositionsregel kallas kommutativ eller abelsk (efter norske matematikernHenrik Abel), och om antalet element i mängden är ändligt, kallas gruppen ändlig,och antalet element kallas gruppens ordning. Den allra enklaste gruppen består avett enda element, som måste vara enhetselementet. Som nästa, säkerligen nyttigaexempel, kan man ta alla (positiva och negativa) heltal med addition som kompo-sitionsregel. Att detta exempel är så nyttigt beror närmast på att enhetselementeti denna grupp är det tal som vi kallar 0 (och alltså inte vår vanliga etta). Inversentill ett tal i denna grupp får man genom att ändra tecken, −2 är invers till 2, 10 ärinvers till −10 o s v. Detta sista exempel är en oändlig, kommutativ grupp.

111 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Innan vi går över till fler exempel och tillämpningar, är det kanske lämpligt attbevisa våra påståenden om höger-enheter och höger-inverser. Låt oss börja medinversen.

Vi antar att det för a ∈ G finns ett a′h ∈ G så att det gäller att

a ∗ a′h = eh,

där eh är en höger-enhet. Då finns det också en höger-invers a′′h till a′h,eftersom

a′h ∈ G, och vi hara′h ∗ a′′h = eh.

Vi tittar så påa = a ∗ eh = a ∗

(a′h ∗ a′′h

)enligt vad vi antagit ovan. Associativiteten ger

a =(a ∗ a′h

)∗ a′′h = eh ∗ a′′h

och om vi nu utnyttjar detta resultat för att bilda a′h ∗ a, finner vi

a′h ∗ a = a′h ∗(eh ∗ a′′h

)=(a′h ∗ eh

)∗ a′′h = a′h ∗ a′′h = eh

Vi har således visat att om a′h är höger-invers till a, så är a′h också vänster-invers till

a. Att det ej kan finnas mer än en sådan invers framgår, om vi betecknar två inverser

112 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med a1 och a2 och beräknar a1 ∗ a ∗ a2 på två olika sätt enligt associativiteten. Vifinner a1 ∗ (a ∗ a2) = a1 ∗ eh = a1, medan (a1 ∗ a) ∗ a2 = eh ∗ a2. Om vi bara vissteatt eh också var vänster-enhet, så har vi bevisat att a1 = a2 och alltså att inversenär entydig.

För att se att höger-enheten, eh, också är vänster-enhet, d v s att den uppfyllereh ∗ b = b för varje b ∈ G, inför vi inversen b′ till b och finner

eh ∗ b =(b ∗ b′

)∗ b = b ∗

(b′ ∗ b

)= b ∗ eh = b.

Varje höger-enhet är alltså vänster-enhet och för att se att ej blott inversen utanäven enhetselementet är entydigt antar vi att både e1 och e2 är enheter. Omedelbartföljer e1 = e1 ∗ e2 = e2. Vi har sålunda visat att det av våra försvagade antagandenföljer att varje grupp har ett enda enhetselement och att detta är enhet såväl frånhöger som från vänster.Vidare har vi funnit att varje element i gruppen har entydigtbestämd invers, som är såväl höger- som vänster-invers.

Vi skulle närmast titta på några exempel på grupper, och i överensstämmelse medvårt allmänna program borde vi försöka välja dem från så skilda tillämpningsområ-den som möjligt.

I. Som första exempel kan vi ta vridningar av en jordglob. Detta är ett specielltfall som tillhör en mycket betydelsefull klass av grupper, nämligen sådana

113 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vilkas element utgörs av transformationer av någon geometrisk eller mer reellverklighet.Jordgloben förutsätts vara av gängse typ med en fix axel. Varje vridning kan,om man så vill, anges med ett tal som anger hur många grader nollmeridianenflyttats åt öster; de tal som kan bli aktuella är då tal som är större än eller likamed 0 men mindre än 360. Vi tänker oss alltså att vi observerat jordglobensställning före vridningen, och så låter vi någon vrida på den, varefter vi gårfram och avläser det tal jag ovan angivit.Mängden av alla sådana vridningar bildar nu en grupp med ett oändligt, antalelement. Kompositionsregeln är att göra två vridningar efter varandra, vilketsvarar mot att addera deras gradtal. Associativiteten torde vara intuitivt klaråtminstone efter en stunds kontemplation —här likaväl som vid transforma-tioner i allmänhet. Dessutom följer den av gradtalsrepresentationen, eftersomaddition av reella tal är associativ. Enhetselementet svarar mot vridningen0, och det inversa elementet till en vridning är den ytterligare vridning somåterställer globen till begynnelseläget före den första vridningen.Svarar den första vridningen mot talet 100, så är inversen den vridning somsvarar mot talet 360− 100 = 260.

II. Om nu vårt föregående exempel var nästan olidligt praktiskt och för alldagligt,skall vi som andra exempel beskriva en helt abstrakt grupp, d v s en matematisk

114 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


konstruktion, som åtminstone till en början synes sakna varje kontakt ned vårpraktiska omvärld.Vi skall betrakta en mängd med fyra element,

G = e, a, b, c

Här skall e vara enhetselement, och vi skall explicit definiera vår kompositions-regel. Detta är gjort i nedanstående lilla tabell på ett sätt som uppenbarligengör kompositionsregeln kommutativ.

a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = ea ∗ b = b ∗ a = cb ∗ c = c ∗ b = ac ∗ a = a ∗ c = b

Ibland brukar man ställa upp kompositionsregeln som en multiplikationstabell,och i ovanstående fall skulle denna andra beskrivning se ut så här:

∗ e a b c

e e a b ca a e c bb b c e ac c b a e

115 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Tabellen skall läsas så att det ej kursiverade a:t betecknar att b ∗ c = a. Detär då lätt att se att vår ruta beskriver den kompositionsregel som vi ovanbeskrivit.Blir nu vår mängd en grupp med denna kompositionsregel? Vad som är ensmula svårt att genomskåda är associativiteten. Det finns nämligen ingen enkelregel med vars hjälp man av kompositionstabellen kan avläsa om associativitetråder. Vad vi har att göra är att pröva igenom de 4 ∗ 4 ∗ 4 = 64 fall av typen(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c), (a ∗ b) ∗ b = a ∗ (b ∗ b) etc som är tänkbara. Utesluter vide förhållandevis enkla fallen, där ett eller flera av elementen är e, så återstårdock 3 ∗ 3 ∗ 3 = 27 stycken, och tar vi bort dem som har tre lika faktoreroch därför är triviala, återstår 24 formler att pröva. På grund av symmetrinkan detta antal reduceras något. Hur man än bär sig åt, visar det sig attkompositionsregeln faktiskt är associativ.För att vi skall vara övertygade om att vi har en abelsk grupp med fyra elementframför oss, återstår det bara att påvisa existensen av inversa element. Vi harju redan kontrollerat att kompositionsregeln är associativ och kommutativ,och att vi har ett enhetselement. Eftersom varje element har sig självt sominvers enligt formlerna a ∗ a = b ∗ b = c ∗ c = e, är allt klart. Den abstraktagrupp vi här beskrivit brukar kallas Kleins fyrgrupp.

III. Som nästa exempel ska vi återigen ta en grupp av geometriska transforma-

116 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tioner. De har det gemensamt att de överför en given kvadrat i sig själv, vilketdet finns flera olika transformationer som gör. Vi ska välja ut fyra av dem. Vihänvisar till figurerna 3.2 och 3.3.Vi har alltså en kvadrat i figur 3.2, där de fyra hörnen har numrerats från1 till 4, Den utsätts nu för fyra transformationer. Den första SA består ispegling i linjen AA, den andra SB i. spegling i linjen BB, den tredje VCbestår i vridning ett halvt varv, och den fjärde består i ingen förändring alls,en transformation som vi här kallar I som i identitet. Effekten av dessa fyra

B A

A B

1 2

4 3C

Figur 3.2: Transformationer av en kvadrat

transformationer på vår kvadrat är given i övre raden av figur 3.3. Vi skallnu ha en kompositionsregel och den får vi helt enkelt genom att definiera t exSA ∗ SB som den transformation vi får om vi först speglar i BB och därefter i

117 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


1 2

4 3

3 2

4 1

1 4

2 3

3 4

2 1

1 2

4 3

3 2

4 1

1 4

2 3

3 4

2 1

ASI B

SC

V

A AS S∗

B CS V∗

C AV S∗ A B

S S∗

Figur 3.3: Resultat av några kvadrattransformationer

AA. På samma sätt skall VC ∗SA betyda spegling i AA följd av en rotation etthalvt varv. Effekten av några sådana sammansatta transformationer är giveni undre raden av figur 3.3, och där kan vi t ex avläsa att

SA ∗ SA = SB ∗ SB = VC ∗ VC = ISA ∗ SB = SB ∗ SA = VCSB ∗ VC = VC ∗ SB = SAVC ∗ SA = SA ∗ VC = SB

Detta verkar misstänkt likt vad vi studerade som exempel II, alltså den Klein-ska fyrgruppen. De båda grupperna är vad man kallar isomorfa, d v s vi kan

118 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


para ihop elementen i dem på ett sådant sätt, t ex (e, I), (a, SA), (b, SB),(c, SC), att komposition av första elementen i paren ger som resultat ett förstaelement, vilket är parat med det element som vi får genom komposition avrespektive andra element.Något enklare uttryckt innebär isomorfin att vi har en en-entydig avbildning,alltså en funiktion f med existerande invers funktion från den ena gruppen tillden andra och så beskaffad att om kompositionsregeln i den första gruppenbetecknas med ∗ och i den andra med , så gäller det att

f (a ∗ b) = f (a) f (b) .

Vid en isomorf avbildning svarar enheterna mot varandra, och inversa elementavbildas på inversa element.Vi har i just detta fall lyckats finna en konkret exemplifiering av vår abstraktafyrgrupp.

IV. Nu skall vi sysselsätta oss med ett riktigt praktiskt exempel. Tänk på enskolklass med 30 elever och antag att läraren vill flytta om eleverna. Allatänkbara omflyttningar (d v s transformationer av elevernas placeringar) bil-dar en grupp, där enhetselementet är den synnerliga lindriga omflyttning sombestår i att alla sitter kvar på sina platser. Inversen till en omflyttning fårman genom att låta eleverna flytta tillbaka igen. Att antalet element i denna

119 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


grupp är något mindre än 300 kvintillioner kanske ej står intuitivt klart förvarje skollärare men så är det faktiskt.Ett sätt att systematiskt beskriva dessa omflyttningar är att numrera bänkarnapå ett godtyckligt sätt och därefter göra upp en tabell som talar om att vid enviss omflyttning skall eleven i bänk 1 flytta till bänk 7 o s v. Lämpligen skriverman gamla bänknummer i en rad och motsvarande nya i en rad under. För attspara oss kan vi utföra exemplifieringen i ett pedagogiskt mer lyckligt lottatland, där klasserna bara har 6 elever. Ett typiskt omflyttningsdiagram ser dåut så här (

1 2 3 4 5 62 3 4 5 1 6

)vilket skall betyda att eleven i bänk 1 flyttar till bänk 2, eleven i bänk 2 tillbänk 3 och eleven i bänk 5 till bänk 1, medan sjätte bänkens innehavare sitterkvar.För att två sifferrader skall betyda en omflyttning kan vi kräva att den överstaska innehålla talen 1 t om 6 i sin naturliga ordning, medan den undre radeninnehåller samma tal i en godtycklig ordning, men så att varje tal förekommeren och endast en gång. Hur många sådana s k permutationer finns det av sextal?Att det finns 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 stycken, ett tal som råkar vara lika med 720,

120 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kan man inse på flera olika sätt. Ett är att tänka sig hur man skriver upp engodtycklig permutation. Först skall vi ha ett tal under ettan. Det finns sexolika att välja på, men när vi valt ett, finns det bara fem kvar att välja påför platsen under tvåan. På de två första platserna finns det alltså 6 · 5 olikamöjligheter, eftersom varje första val kan kombineras med vilket andra val somhelst. När vi sedan kommer till platsen under trean har vi fyra element kvaratt välja på och så går det vidare, tills vi kommer till sista platsen, som fårintas av det element som blivit över och detta utan att något val sker. Antaletmöjliga permutationer av de sex siffrorna blir sålunda 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 och idet allmänna fallet, som svarar mot en skolklass med n stycken elever, brukarantalet betecknas med n!, vilket ger en ny användning av utropstecknet. Hurdetta uttryck beräknas kan antydas genom

n! = n · (n− 1) · (n− 2) · . . . · 3 · 2 · 1,

och vår första utsaga om omflyttningarnas antal i en skolklass på 30 eleversvarar mot att 30! är ett 33-siffrigt tal med första siffran 2 (om jag räknaträtt).Vi har dock inte ännu beskrivit gruppstrukturen ordentligt. Kompositionsre-geln skall naturligtvis vara att vi utför två omflyttningar efter varandra, vilket

121 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


lätt kan beskrivas som en enda omflyttning. Om vi inför beteckningarna

S =

(1 2 3 4 5 62 3 4 5 1 6

)T =

(1 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1

)

U =

(1 2 3 4 5 62 6 5 4 3 1

)så kan vi lättare förklara att T ∗ U skall betyda den omflyttning vi får om viförst flyttar enligt U och därefter enligt T . Eftersom bänk nr 1 vid U flyttartill bänk nr 2 och bänk nr 2 vid T flyttar till bänk nr 5, skall i omflyttningenT ∗ U det stå 5 under 1. Fortsätter vi vårt resonemang på detta sätt, kan vilätt kontrollera att

T ∗ U =

(1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 6

)Som ytterligare övning kan vi räkna ut att

S ∗ (T ∗ U) =

(1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6

)= I

som är detsamma som ingen omflyttning alls. En beräkning visar att även(S ∗ T ) ∗ U = I och associativiteten hos den införda kompositionsregeln är

122 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


förhållandevis lätt att inse. I fallet S ∗ T ∗ U , som vi närmare studerat ovan,gäller det, om vi ser på den ursprungliga bänken 5, att dess innehavare vid Uflyttas till bänk 3. Bänk 3 flyttas vid T till bänk 4. Bänk 4 flyttas till bänk 5vid S. Slutresultatet blir att eleven i bänk 5 flyttas över bänk 3 och 4 till 5 igenOm vi här först slår ihop de båda första flyttningarna och tar 5 till 4, varefterhan flyttas till 5 igen, eller om vi först flyttar 5 till 3 och sedan utsätter honomför de två sista sammanslagna förflyttningarna, som innebär färd från 3 till 5,det är egalt för slutresultatet. Men just dessa två beskrivningars ekvivalensutgör beviset för associativiteten, åtminstone vad gäller elementet 5. Vi kanförstås resonera på samma sätt med de övriga elementen.Även om den ovan angivna "förklaringen" ej går helt in hos läsaren så bör,som jag ovan antytt, en stunds kontemplation kunna övertyga honom om attvarje sammansättning av transformationer av den art vi här betraktat blir enassociativ kompositionsregel. Inversen till en omflyttning eller permutationfår man genom att i underraden leta rätt på respektive siffror och se vad somstår på platsen ovanför. Detta sätts under dem i den inversa permutationen.Sålunda är inversen T ′ till T given av

T ′ =

(1 2 3 4 5 66 5 4 3 2 1

)

123 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


d v s den är identisk med T , medan inversen S′ till S blir

S′ =

(1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 6

)Vi får på detta sätt en grupp med 720 element, och denna är ej kommutativsom följer av att

U ∗ T =

(1 2 3 4 5 61 3 4 5 6 2

)medan som vi förut räknat ut

T ∗ U =

(1 2 3 4 5 65 1 2 3 4 6

)Permutationsgrupper av den art vi här studerat finns det för varje antal el-ement. Permutationerna av två element ger en grupp av ordning 2, som

består av enhetslementet(

1 21 2

)och permutationen

(1 22 1

), som har

egenskapen att vara sin egen invers. För tre element får vi en grupp av ord-ningen 6, för fyra element blir ordningen 24 och för n element kan den tecknasn!. Dessa grupper brukar kallas den symmetriska gruppen av graden 2, avgraden 3, o s v.

124 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Det kan vid studiet av grupper visa sig att det finns en äkta delmängd till dengivna mängden, alltså en delmängd som ej är identisk med hela mängden ochsom själv bildar en grupp under den på hela mängden givna kompositionsre-geln. En sådan grupp kallas undergrupp till den ursprungliga guppen.Som exempel på undergrupp skall vi välja ut fyra permutationer i permuta-tionsgruppen som består av fyra element. Det är dels enhetselementet

E =

(1 2 3 41 2 3 4

)och dels de tre permutationerna

A =

(1 2 3 42 1 4 3

)B =

(1 2 3 43 4 1 2

)C =

(1 2 3 44 3 2 1

)Om vi räknar enligt tidigare anvisningar finner vi att

A ∗A = B ∗B = C ∗ C = E

A ∗B =

(1 2 3 44 3 2 1

)= C = B ∗A

B ∗ C = A = C ∗BC ∗A = B = A ∗ C

125 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Det är möjligt att läsaren finner det tjatigt, men vi har här funnit ytterligareen grupp som är isomorf till Kleins fyrgrupp. Vårt intresse för den, just nu,kom av att den var undergrupp av ordningen fyra till permutationsgruppen avordningen 24.När man till en abstrakt grupp G (i detta fall fyrgruppen) hittar en isomorfgrupp bestående av permutationer, säger man att man har en representationav G. En berömd och ej alltför svårbevisad sats av Cayley (som för övrigtvar en synnerligen god vän till Sylvester) säger att varje ändlig grupp har enrepresentation i form av en isomorf permutationsgrupp som är undergrupp tillden symmetriska gruppen av samma grad som den första gruppens ordning.

V. Den som med entusiasm upplevt mängdläran och dess operationer hoppas na-turligtvis att vi också där skall ha exempel på grupper. Tyvärr är snitt ochunion inga bra kompositionsregler ur denna synpunkt, beroende på avsak-naden av invers. Det finns emellertid en mängdoperation som vi ännu inteintroducerat, men som är användbar som kompositionsregel i en grupp.

126 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


P

Q

U

Symmetrisk differens, P4 Q, avtvå mängder.

Figur 3.4:

Vi inför vad som brukar kallas den symmetriska differensen av två mängderoch definierar denna på följande sätt

P4Q =(P ∩ Q

)∪(P ∩ Q

).

Uttryckt i ord blir detta att P4Q innehåller de element som finns i någon avmängderna utan att finnas i båda. Motsvarande bild finns i figur 3.4.Vi utgår nu från en mängd M, som kan vara vilken mängd som helst, men

127 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


låt oss precisera och välja M = 1, 2, 3. Vår grupp skall nu som element hadelmängderna till M. Det finns åtta sådana, och det är kanske bäst att räknaupp dem och införa beteckningar på dem.Först har vi den tomma mängden ∅ och så M själv. Så finns det tre delmängdermed ett element var, nämligen

p = 1 , q = 2 , r = 3 ,

och tre delmängder med två element var, nämligen

P = 2, 3 , Q = 1, 3 , R = 1, 2 .

Kompositionsregeln skulle vara M, och vi har nu att undersöka om

G = ∅, p, q, r,P,Q,R,M

med denna kompositionsregel, alltså symmetrisk mängddifferens, är en grupp.Det är lätt att se att p4∅ = p och att p4 p = ∅, samt att motsvarande gälleräven för andra element än delmängden p. Härav följer att ∅ är enhetselementoch att varje element har sig självt som invers.

128 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


P

Q

R

U

Symmetrisk differens, P4 Q, avtre mängder.

Figur 3.5:

Den symmetriska differensen är enligt sin definition kommutativ, men vi harsom vanligt något svårare att genomskåda associativiteten. Genom rent logiskanalys av defintionen på M kan man komma fram till att ett element tillhör(P4 Q)4 R om och endast om det tillhör ett udda antal (alltså, en eller tre)av mängderna P, Q, och R. Eftersom denna beskrivning är helt symmetrisk imängderna P, Q och R, följer associativiteten. För genomsnittstänkaren insesdetta lättare med hjälp av figur 3.5. Det kan kanske vara av intresse att skriva

129 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


upp kompositionstabellen för gruppen G, och så här ser den ut:

4 ∅ p q r P Q R M∅ ∅ p q r P Q R Mp p ∅ R Q M r q Pq q R ∅ P r M p Qr r Q P ∅ q p M RP P M r q ∅ R Q pQ Q r M p R ∅ P qR R q p M Q P ∅ rM M P Q R p q r ∅

Den uppmärksamme kan urskilja en undergrupp som innehåller elementen ∅,p, q och R. (Jag kanske vågar påpeka att denna, som alltså består av del-mängderna till en mängd G, av två element, är isomorf med Kleins fyrgrupp,som alltså dyker upp även i detta sammanhang.)

VI. I mitt avslutande exempel skall jag välja funktioner som element. En naturligkompositionsregel för funktioner som alla har samma definitionsmängd ochsom har värdemängd sammanfallande med definitionsmängden är att definieraf ∗ g genom

f ∗ g (x) = f(g (x)

).

130 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som grundmängd väljer vi nu en mängd fr för alla positiva rationella talr. Talet r skall alltså vara kvoten av två naturliga tal. Som definitionsmängdför våra funktioner tar vi de positiva reella talen, och värdemängden blir den-samma, om vi definierar

fpq = xpq = q√xp

Vi finner att fr ∗ fs = fr·s, enhetselementet är f1 som är givet av f1 (x) = x.Inversen till fr är f1r och associativiteten är ovanligt lätt bevisad.

Jag förmodar att vi nu har övernog av exempel och frågan är hur stort nöje en sådankollektion kan bereda, när man ej tränger så långt in i teorin att man får upplevanågra väsentliga resultat. Vad som varit min avsikt är att samla några varieradeexempel av mer eller mindre konkret anknytning men alla besittande samma typ avstruktur. Vi har ju också från helt olika utgångspunkter kommit fram till isomorfagrupper, d v s ekvivalenta abstraktioner. Förhoppningen är nu att det skall kunnaupplevas som betydelsefullt att resultaten i en gemensam teori, gruppteorin, kan in-terpreteras t ex i de skiftande exempel vi räknat upp. Den skeptiske kan naturligtvisfråga, om det verkligen finns några uppseendeväckande resultat att härleda i en teorimed så magert axiomsystem som gruppteorin. Jag har ju av många skäl ej kunnatvisa några sådana satser, men låt mig utan bevis nämna ett icke trivialt resultat,som brukar kallas Lagranges sats. Den säger att ordningen av en undergrupp alltid

131 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


går jämnt upp i gruppens ordning. Detta betyder bl a att en grupp av primtalsord-ning ej kan ha några andra undergrupper än de triviala, alltså gruppen själv ochden som endast består av enhetselementet. Speciellt, medför detta att om vi har engrupp, G, av primtalsordning p, så måste varje element g ∈ G ha den egenskapen attg, g ∗ g, g ∗ g ∗ g, . . . alla är olika, så länge antalet faktorer ej är större än p. I annatfall skulle vi nämligen ha en likhet av typen g ∗ g = g ∗ g ∗ g ∗ g ∗ g och eftersom ghar en invers, följer att g ∗ g ∗ g = e, vilket i sin tur skulle medföra att vi hade enundergrupp bestående av elementen e, g, g ∗ g. Först när vi får p stycken faktorerg, kan resultatet bli e. Eftersom alla bildningana g, g ∗ g, . . . ger element i gruppensom är olika, kan varje element i gruppen framställas genom multiplikation av gmed sig självt eller, som man också brukar säga, som en potens av g. En grupp sombestår av g och dess potenser upp till en viss ordning kallas cyklisk, och elementetg sägs generera den cykliska gruppen. Vad vi anfört ovan visar att varje grupp avprimtalsordning är cyklisk.

Man vet naturligtvis betydligt mer än detta om strukturen av olika grupper ochom deras representationer. Att gruppteorins vidare utvecklingar är av intresse ochbetydelse inom fysiken är bekant, men man skall kanske också påminna om att sågott som alla vackra satser vi känner om ekvationers lösbarhet eller deras brist pålösbarhet, med hjälp av rotuttryck, bygger på gruppteori. Mycket av denna kunskaphärrör från början av 1800-talet och de båda tidigt bortgångna matematikerna Abel

132 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och Galois.

Som avslutande kommentar, av kanske litet elak art, kan tillfogas att mycket vorevunnet, om man kunde lura över de ännu i vår tid existerande "vinkeltredelarna" tillett studium av den vackra teorin för grupper. De skulle förutom allt övrigt utbytedå också snabbt lära sig omöjligheten av att dela allmänt givna vinklar i tre likadelar med hjälp av enbart passare och linjal!

3.3 Ringar och kroppar

Vi skall inte ägna oss åt ett lika utförligt exemplifierande av andra viktiga algebraiskastrukturer som vi gjort beträffande grupperna, men vi skall dock titta litet på någraav de mer betydelsefulla. Vad kan vara naturligt som utveckling av gruppbegreppet?

Gruppen fick vi fram genom att införa en kompositionsregel på en mängd och krävaatt denna hade vissa speciella egenskaper, nämligen associativitet, existens av en-hetselement och inverser. Om vi nu inför ytterligare en kompositionsregel, måstevi ha någon koppling mellan de båda kompositionsreglernas egenskaper, för att dethela ska bli meningsfullt. Ett nära till hands liggande krav är distributivitet. Av vadvi förut upptäckt vid studiet av grupper kan det synas troligt att associativitetenär bra att ha även för den andra kompositionsregeln. En mängd med två komposi-tionsregler som har de egenskaper jag just antytt brukar kallas ring om den grupp

133 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


den utgör med den första kompositionsregeln är abelsk. Just begreppet ring är ettmycket viktigt matematiskt begrepp, vars definition här följer:

En ring är en mängd med två kompositionsregler. Med den första kom-positionsregeln skall mängden vara en abelsk grupp; om den andra kom-positionsregeln förutsätter vi endast att den är associativ och distributivmed avseende på den första.

Låt oss kalla ringen för R, och låt oss beteckna de två kompositionsreglerna med ∗och . Kravet på distributivitet blir, om det uttrycks i formler, att om a ∈ R, b ∈ R,c ∈ R, så skall

a (b ∗ c) = (a b) ∗ (a c)(b ∗ c) a = (b a) ∗ (c a) .

Det bör understrykas att vi ej förutsätter kommutativitet i den andra komposi-tionsregeln och inte heller existens av enhetselement eller inverser. Är den andrakompositionsregeln också kommutativ, kallas ringen helt enkelt kommutativ ring.

Ett av de mest välkända exemplen på en ring är alla positiva och negativa heltalmed kompositionsreglerna addition och multiplikation. Detta är en kommutativring med enhetselement även för den andra kompositionsregeln, nämligen heltalet1. Enhetselement för additionen är som bekant 0. Däremot finns det inga inverser

134 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


annat än till −1 och 1, eftersom vi inte till något annat heltal m kan finna etttillhörande heltal m′, så att m ·m′ = 1.

Om vi vill ha ett något mer sofistikerat exempel där multiplikativt enhetselementsaknas, kan vi betrakta ringen av alla jämna heltal, d v s 0, ± 2, ±4, . . . och medsamma kompositionsregler som förut. Här kan vi ej ens söka efter multiplikativainverser, eftersom enhet saknas beträffande multiplikation.

För att göra resonemangen enklare brukar man vid ringar göra så att man kallar denförsta kompositionsregeln för addition och betecknar den med +, hur den nu än ärdefinierad. Enheten för denna kompositionsregel kallas då för noll, och vi använderockså beteckningen 0. Inversen till r ∈ R betecknas lämpligen −r, så att vi får devanliga formlerna

r + (−r) = 0, r + 0 = r.

Den andra kompositionsregeln kallas multiplikation, och vi betecknar den ·. Om detfinns en enhet, skall vi beteckna den med e.

En förhållandevis reguljär typ av ring kunde nu förmodas uppkomma, om mankrävde gruppstruktur i båda kompositionsreglerna. Så mycket går det dock ej attåstadkomma, ty nollelementet kan aldrig ha en multiplikativ invers. Låt oss visadetta, även om det blir en smula tekniskt.

135 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om 0 hade en multiplikativ invers 0′, så skulle enligt distributiva lagen följa att

0′ · r = 0′ · (r + 0) = 0′ · r + 0′ · 0 = 0′ · r + e

Addition av inversen till 0′ · r, −0′ · r, i alla led erhåller vi

−0′ · r + 0′ · r = −0′ · r + 0′ · r + e

vilket leder till0 = e,

d v s den additiva och multiplikativa enheten sammanfaller. Nu gäller i varje ringatt r1 · 0 = 0 för alla r1, eftersom

r1 · r = r1 · (r + 0) = r1 · r + r1 · 0.

Skulle då multiplikativ och additiv enhet sammanfalla, gäller för varje element r1 ∈ Ratt

r1 = r1 · e = r1 · 0 = 0,

d v s alla element i ringen är lika. Detta är en förhållandevis ointressant ring; attinföra två kompositionsregler på en mängd med ett enda element leder knappast tillnågra spännande nya upptäckter. Vad vi just bevisat är "omöjligheten av divisionmed 0" i ringar med 0 6= e.

136 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Däremot finns det många intressanta exempel på ringar som är abelska grupperunder "additionen" och där alla element utom den additiva enheten, d v s 0, bildar engrupp under "multiplikationen". En sådan ring kallas för kropp (på engelska: field),och alla de betydelsefulla talmängder som den klassiska matematiken intresserar sigför är just kroppar.

Den minsta kropp som innehåller vår ring av heltal är den rationella talkroppen, sominnehåller alla kvoter mellan (positiva eller negativa) heltal och som har additionoch multiplikation som kompositionsregler. Även de reella talen bildar en kropp meddessa kompositionsregler. Båda dessa sista exempel är kommutativa och innehålleroändligt många element. Det finns emellertid mycket behändigare små kroppar, t exden som bara har två element, en additiv och en multiplikativ enhet. Räknereglernablir

0 + 0 = 0 0 · 0 = 0e+ 0 = 0 + e = e e · 0 = 0 · e = 0e+ e = 0 e · e = e

Ett mer konkret exempel kan vi få, om vi låter e vara en mängd M och 0 dentomma mängden ∅ samt tar differens och snitt som kompositionsregler. Med dennainterpretation gäller de räkneregler vi just skrivit upp.

Det finns intressanta ändliga ringar som inte är kroppar utan där det t ex kan händaatt produkten av två faktorer är 0 utan att någon av faktorerna är det. För att

137 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


erhålla ett exempel ska vi påminna om de ekvivalensklasser som tidigare infördesoch som innehöll alla tal som vid division med ett fixt tal gav samma rest. De ringarsom då uppkommer brukar kallas restklassringar. Om det fixa talet är 2, får vi tvåekvivalensklasser bestående av respektive udda och jämna tal; är det fixa talet 6, fårvi 6 ekvivalensklasser, nämligen tal som vid division med 6 ger resten 0, 1, 2, 3, 4,eller5. På mängden av dessa ekvivalensklasser skall vi nu införa två kompositionsregler,addition och multiplikation, på följande sätt.

Om A0, A1, A2, . . . o s v är de ekvivalensklasser som vid division med det fixa taletn ger resterna 0, 1, 2, . . . så definierar vi summan av två ekvivalensklasser som denekvivalensklass som ger en rest som är summan av de två första, alltså, A0+A1 = A1,A1 + A2 = A3, o s v. Det kan naturligtvis hända att summan av resterna blir störreän eller lika med n, men i så fall reducerar vi den genom att på nytt ta resten, såatt t ex A1 + An−1 = A0. Om vi tar fallet n = 6, gäller A3 + A4 = A1. En enkelundersökning eller överläggning visar att om en ekvivalensklass, R, är summan avtvå andra A och B, så gäller det att a+ b ∈ R, om a ∈ A och b ∈ B.

Vi inför också en produkt genom att sätta Ai · Aj = Ai·j , där produkten sedanreduceras till sin rest vid division med n. Liksom nyss gäller att

a · b ∈ A · B om a ∈ A och b ∈ B.

Denna egenskap att räkneoperationerna lika väl kan utföras på ett godtyckligt ele-

138 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ment i klassen leder till att ringen lämpligen beskrivs genom att man tar ett elementsom representant för varje klass och sedan skriver upp additions- och multiplikations-tabellerna. I fallet n = 6 blir dessa

+ 0 1 2 3 4 5

0 0 1 2 3 4 51 1 2 3 4 5 02 2 3 4 5 0 13 3 4 5 0 1 24 4 5 0 1 2 35 5 0 1 2 3 4

· 0 1 2 3 4 5

0 0 0 0 0 0 01 0 1 2 3 4 52 0 2 4 0 2 43 0 3 0 3 0 34 0 4 2 0 4 25 0 5 4 3 2 1

Hade vi tagit resterna vid division med ett primtal i stället, hade vi fått en kropp.Primtalet 2 gav ekvivalensklasserna udda och jämnt, och den restklassringen är iso-morf med kroppen bestående av de båda enheterna 0 och e som vi tidigare beskrivit.

För att få exempel på en ring med nolldelare och utan multiplikativ enhet kan vi taden underring till restklassringen modulo 4 som innehåller talen 0 och 2. Den harnämligen räknereglerna

+ 0 2

0 0 22 2 0

· 0 2

0 0 02 0 0

139 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


där åtminstone inte multiplikationen ser ut att ha något större djup (Ett någotbättre exempel ges av 0, 2, 4, 6 modulo 8.).

Ett aktuellt och intressant exempel på ringar med ytterligare krav är de s k Booleskaringarna (Boole var en engelsk 1800-talsmatematiker). I en Boolesk ring Q är varjeelement idempotent, d v s om q ∈ Q, så gäller det att q · q = q. Detta villkor medföromedelbart att q + q = 0, d v s varje element är sin egen invers med avseende påadditionen, ty (q + q) ·(q + q) måste dels vara lika med q+q enligt idempotenskravetmen dels q + q + q + q enligt distributiva lagen. Alltså blir q + q = 0.

Vi har varit mycket nära ett exempel på en Boolesk ring. Om vi betraktar alladelmängder till en given mängd och som additionsregel tar symmetrisk differens ochsom multiplikation väljer snitt, så får vi ett exempel. Att P ∩ P = P är uppenbart,men vad vi inte undersökt tidigare är distributiviteten av snitt med avseende påsymmetrisk differens, alltså formeln

P ∩ (Q4 R) = (P ∩ Q)4 (P ∩ R) .

Har vi bara kraft kvar för en kalkyl med hjälp av definitionen på symmetrisk differens

140 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


så ordnar detta sig lätt. Vi finner nämligen

(P ∩ Q)4 (P ∩ R) =[

(P ∩ Q) ∩ (P ∩ R)]∪[ (P ∩ Q) ∩ (P ∩ R)

]=[P ∩ Q ∩

(P ∪ Q

)]∪[ (P ∪ Q

)∩ P ∩ R

]=[P ∩ Q ∩ R

]∪[Q ∩ P ∩ R

],

eftersom P ∩ P = ∅. Använder vi nu den distribitiva lagen på det sista uttrycket,får vi

(P ∩ Q)4 (P ∩ R) = P ∩[ (

Q ∩ R)∪(Q ∩ R

)]= P ∩ (Q4 R) ,

vilket var vad vi ville visa.

För en godtycklig mängd gäller det alltså att delmängder med dessa kompositions-regler bildar en Boolesk ring. Det är ett berömt resultat att det så när som påisomorfa avbildningar ej finns andra Booleska ringar med enhet.

Medan vi nu sysselsätter oss med ringar ska vi passa på att nämna vad man imatematiken avser med ett ideal. Vi förutsätter att vi har en delmängd I till enring R, där de båda kompositionsreglerna skrivs additivt respektive multiplikativt.Delmängden I kallas nu för ett ideal, om det gäller att

a ∈ I, b ∈ I medför att a+ (−b) ∈ I

a ∈ I, b ∈ R medför att a · b ∈ I

141 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om ringen inte är kommutativ, kallas det ideal vi just definierat för högerideal, efter-som det "tål" multiplikation med godtyckllga ringelement från höger. Vänsteridealdefinieras på analogt sätt. Är ett ideal både vänster- och högerideal, kallas det två-sidigt, men i en kommutativ ring är naturligtvis varje ideal tvåsidigt, varför vi därrätt och slätt talar om ideal.

Som första exempel på ett ideal kan vi ta de jämna talen i ringen av alla positivaoch negativa heltal. Summan och skillnaden av två jämna tal är ju alltid jämn, ochvilket tal, udda eller jämnt, vi än multiplicerar ett jämnt tal med, blir produktenjämn.

Som ett något annorlunda exempel skall vi se på den ring som består av alla funk-tioner med reella värden och definierade på de reella talen. Som kompositionsreglerför dessa funktioner definierar vi nu, om f och g är två sådana funktioner,

(f + g) (x) = f (x) + g (x)

f · g (x) = f (x) · g (x) .

Det betyder att vi får summan av två funktioner genom att addera funktionsvärdenaoch produkten genom att multiplicera dem. Detta stämmer med gängse bruk i skoloroch annorstädes.

Med dessa kompositionsregler får vi en kommutativ ring med oändligt antal element.Additiv enhet är den funktion som till varje reellt tal ordnar talet 0, multiplikativ

142 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


enhet är den funktion som till varje reellt tal ordnar det reella talet 1. Det är lättatt finna nolldelare, alltså funktioner som har produkten 0 utan att någon av demär den additiva nollan. Välj t ex f och g så att

f (x) =

1 x > 00 x ≤ 0

g (x) =

0 x > 01 x ≤ 0

så har vi ett sådant exempel.

Om vi nu ser på en delring I till denna ring, där I består av de funktioner som tilldet fixa reella talet a ordnar talet 0 så blir I ett ideal. Vi kan ju speciellt välja a = 1så att

I1 = f | f (1) = 0 .

Eftersom summan av två funktioner har nollställe där de båda funktionerna somadderas har gemensamma nollställen och eftersom produkten får ett nollställe baraen av faktorerna har det, så är det uppenbart att I1 är ett ideal.

Vi har inte gjort mycket mer än omnämnt begreppet ideal, men den teori som harbyggts upp under det senaste århundradet med utgångspunkt från denna idé har letttill intressanta resultat ej blott inom algebra och talteori utan också inom modernfunktionsteori.

143 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


3.4 Vektorrum och matriser

I de ringar vi just studerat hade vi två inre kompositionsregler. Det mest kändaexemplet på en algebraisk struktur med en inre och en yttre kompositionsregel ärvektorrummet, som vi nu skall intressera oss för. Det något speciella namnet, sominte har rondeuren hos grupp, ring eller kropp, har sin historiska förklaring. Vad ärnu ett vektorrum?

Först skall vi ha en mängd V med en inre kompositionsregel, som vi förutsätter görV till en abelsk grupp. Vi skriver den additivt.

För att kunna definiera den yttre kompositionsregeln måste vi ha tillgång till enyttre mängd, mängden av skalärer (elementen i V brukar kallas vektorer, och dettaär det enda sunda svaret på frågan vad en vektor är: ett element i ett vektorrum)och denna ska vi förutsätta vara de reella talen eller, som vi nu med rätta kan kalladen, den reella talkroppen R. Som beteckning för den yttre kompositionsregeln skallvi bara använda placering bredvid, d v s om α ∈ R och v ∈ V, så betecknar αv ∈ Vresultatet av den yttre kompositionen av α och v. Vad gäller samspelet mellan debåda kompositionsreglerna gör vi antaganden om distributivitet

α (v1 + v2) = av1 + av2, (α1 + α2)v = α1v + α2v,

144 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och en sorts associativitetα (βv) = (αβ)v,

samt slutligen, att för alla v ∈ V det gäller att 0v = 0, 1v = v. Här har jag försäkerhets skull använt beteckningen 0 för enhetselementet i den additiva gruppen,och 0 och 1 betecknar alltså inget annat än reella tal. Finns det nu några konkretarepresentationer av ett system med så många bisarra axiom?

Låt oss som första exempel ta alla tripler av reella tal, d v s elementen i den cartesiskaprodukten R×R×R=R3, och låt oss definiera de båda kompositionsreglerna enligtföljande.

Om x = (x1, x2, x3) och y = (y1, y2, y3) så inför vi

x+ y = (x1 + y1, x2 + y2, x3 + y3)

αx = (αx1, αx2, αx3) .

Dessa kompositionsregler visar sig uppfylla alla våra axiom, d v s de ovan användaförutsättningarna, och R3 är alltså ett vektorrum, om vi använder ovanstående kom-positionsregler. Detsamma gäller naturligtvis Rn för n = 1, 2, 3, . . . med analogtdefinierade kompositionsregler. Enligt de axiom som brukar förutsättas mer ellermindre explicit vid utvecklingen av två- och tredimensionell geometri finns dettill R2 och R3 isomorfa vektorrum, vilka som sina element har riktade sträckor i

145 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


det geometriska rummet, varvid alla lika riktade och lika långa sträckor betraktassom ekvivalenta. Liksom vi gjorde med ekvivalensklasserna av heltal ovan, kan vibeskriva vad vi företar oss med hjälp av en godtyckligt vald representant för ek-vivalensklassen. Egentligen är det alltså hela ekvivalensklassen av riktade sträckorsom i detta fall är vektorn, d v s elementet i vektorrummet.

v2

v1 + v2

v1

v

(−1)v2v

Figur 3.6: Vektoroperationer

Additionen införs enligt den, också i fysiken, välkända parallellogrammetoden. Sum-man av vektorerna v1 och v2 får vi genom att placera två representanter i en sådanställning att de bestämmer en halv och därmed indirekt en hel parallellogram (figur3.6). Summavektorn representeras av diagonalen i denna parallellogram. Multipli-

146 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kation med ett reellt tal betyder förlängning av sträckan i samma proportion; omtalet är negativt, ändras dessutom riktningen till den motsatta. Vi får här verkligenett vektorrum, och det är lätt att finna en isomorf avbildning på t ex R3, om det ärfråga om tre dimensioner. Enligt den geometriska teorin kan vi nämligen finna trevektorer u1,u2,u3 sådana att varje annan vektor kan skrivas som en kombinationav dessa på följande sätt:

v = α1u1 + α2u2 + α3u3

där α1, α2 och α3 är entydigt bestämda reella tal. Det finns många godtagbara valav u1,u2,u3. Det väsentliga villkoret är att de tre vektorerna ej innehålls i ettoch samma plan.

Genom framställningen v = α1u1 + α2u2 + α3u3 får vi en entydig motsvarighetmellan den geometriska vektorn v och taltripeln (α1, α2, α3), och det är dessa bådasom definierar isomorfin.

Det finns många skojiga vektorrum som helt skiljer sig från de vanligaste varianterna.Man kan t ex låta elementen vara funktioner och som ett specialfall kan vi ta vek-torrummet bestående av alla polynom med reella koeffi cienter. Räknereglerna införs

147 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


precis som vi i skolorna brukat räkna med polynom, alltså som i följande exempel.(2 + 3x+ 0.1x2

)+(−1 + x+ 3x3

)= 1 + 4x+ 0.1x2 + 3x3,

5(2 + 3x+ 0.1x2

)= 10 + 15x+ 0.5x2.

Detta vektorrum skiljer sig från de föregående genom att det visar sig att det ej finnsnågon ändlig bas. Det finns alltså ingen ändlig uppsättning av vektorer med vilkaalla de andra kan framställas genom kombination av multiplikation med skalär ochaddition. Antalet element som ingår i en bas visar sig vara karakteristiskt för ettvektorrum i den meningen att även om vi tar olika baser så innehåller de samma antalelement. Beviset för detta skall vi ej gå in på, men detta karakteristiska antal kallarman för vektorrummets dimension. Denna definition av ordet dimension stämmertydligen med det bruk vi tidigare gjort av ordet i uttryck som "i två dimensioner"och "tredimensionellt".

I samband med baser i vektorrum ska jag nämna något om linjära transformationeroch matriser. Tyvärr blir det nog litet tekniskt och abstrakt. Detta beror på att,det ur pedagogisk synpunkt nära till hands liggande greppet att begränsa sig tillavbildningar, t ex från tre till två dimensioner, förefaller att spoliera så mycket avfinessen. En ambitiös läsare kan skriva om mina prickade uttryck med m = 3 ochn = 2 och kanske på så sätt få större behållning.

Låt oss föreställa oss två vektorrum V och W av ändlig dimension och låt T vara en

148 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


funktion, T : V −→W. Om det för alla reella värden på α1 och α2 och varje par avvektorer v1 och v2, där v1 ∈ V och v2 ∈W, gäller att

T (α1v1 + α2v2) = α1T (v1) + α2T (v2) ,

så kallas T en linjär transformation. Ett enkelt exempel på en sådan är den som gesav Tv = αv. Denna lineära transformation avbildar V på sig själv. Går det att fånågon uppfattning om hur komplicerad en linjär transformation kan vara?

Vi gör så att vi tar reda på en bas såväl i det vektorrum V som är definitionsmängdsom i bildmängden, eller bildrummet, W. Låt oss kalla dessa baser

v1,v2, . . . ,vm och w1,w2, . . . ,wn

Om vi tar en godtycklig vektor v i V, så kan den skrivas v = α1v1+α2v2+· · ·+αmvm,och av linjäriteten hos T följer att Tv = α1Tv1 + α2Tv2 + . . . + αmTvm. Allavektorerna Tv1, Tv2, . . . , Tvm ligger nu i W och de måste kunna skrivas med hjälpav w1,w2, . . . ,wn. Låt oss anta att

Tv1 = β11w1 + β21w2 + · · ·+ βn1wn

Tv2 = β12w1 + β22w2 + · · ·+ βn2wn

· · · = · · ·Tvm = β1mw1 + β2mw2 + · · ·+ βnmwn

149 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


där alla dessa β, med index, betyder reella tal. Sätter vi in detta i framställningenav Tv, får vi

Tv = (β11α1 + β12α2 + · · ·+ β1mαm)w1

+ (β21α1 + β22α2 + · · ·+ β2mαm)w2

+ . . .

+ (βn1α1 + βn2α2 + · · ·+ βnmαm)wn.

Om vi tänker oss att respektive baser är fixerade, så kan vi ange vektorerna i V medm-tippler, alltså

v = (α1, α2, . . . , αm) ,

vilket är en förkortning för v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αmvm. På samma sätt skrivervi

w = (γ1, γ2, . . . , γn)

om w = γ1w1+ γ2w2+ · · ·+ γnwn. Vad vi ovan härlett är att om vi sätter w = Tvdär w = (γ1, γ2, . . . , γn) och v = (α1, α2, . . . , αm) så blir

γ1 = β11α1 + β12α2 + · · ·+ β1mαmγ2 = β21α1 + β22α2 + · · ·+ β2mαm· · · = · · ·γn = βn1α1 + βn2α2 + · · ·+ βnmαm

150 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Detta är ett av de enklaste exemplen på matrismultiplikation, men låt oss förstskriva om ovanstående ekvationer sålunda

γ1γ2...γn

=

β11 β12 · · · β1mβ21 β22 · · · β2m...

.... . .

...βn1 βn2 · · · βnm

α1α2...αm

.Här ska det som står på högra sidan om likhetstecknet tydas som

β11α1 + β12α2 + · · ·+ β1mαmβ21α1 + β22α2 + · · ·+ β2mαm

...βn1α1 + βn2α2 + · · ·+ βnmαm

och likhet mellan två kolonner mellan runda parenteser skall tydas som likhet mellanrespektive matriselement i tur och ordning. Det betyder att vi får tillbaka detekvationssystem vi hade ovan och som började med

γ1 = β11α1 + β12α2 + · · ·+ β1mαm.

151 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi har kommit fram till resultatet att om vi fixerar basen i så väl definitionsrummetsom värderummet så kan verkan av transformationen T beskrivas med en uppsätt-ning reella tal

β11 β12 · · · β1mβ21 β22 · · · β2m...

.... . .

...βn1 βn2 · · · βnm

eller, som man ofta kortare skriver (βij)n,m. Om vi har en vektor v i V given avv = α1v1 + · · ·+ αmvm, får vi komponenterna till bildvektorns (alltså till w = Tv)komponenter γk i w = γ1w1 + γ2w2 + · · · + γnwn, genom att multiplicera ihop(βij)n,moch (αj)m på så sätt att vi tar första raden i (βij)n,m och multiplicerarelementen i tur och ordning med talen a1, a2, . . ., am och adderar. Resultatet skrivervi överst och fortsätter därunder med elementen i andra raden multiplicerade i turoch ordning med talen a1, a2, . . ., am. Längst ned hamnar βn1α1 + βn2α2 + · · · +βnmαm.

En rektangulär anordning av tal av typen (βij)n,m som dessutom uppfyller vissaräkneregler som vi nu kommer till, kallas en matris. Vår transformation T kan,så fort baserna fixerats, framställas med en matris. Tar vi olika baser, får vi olikamatriser och detta är grunden för en viktig transformationsteori för matriser, som

152 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kan sägas gå ut på att baserna ska väljas på sådant sätt att matrisen blir så enkelsom möjligt.

Det möter inget hinder att tänka sig att vi förutom en transformation T från V tillW har en linjär transformation S, som avbildar ett vektorrum U in i V. Man får dågenom sammansättning en transformation R från U till W, som ges av Ru = T (Su),u ∈ U. Om vi fixerar en bas i U t ex u1,u2, . . . ,up och om vi känner matrisernaför S och T , hur kan vi då få fram matrisen för R = TS?

Vi antar att R har matrisen (γij)n,p att S har matrisen(σij)m,p och att T har ma-trisen (τij)n,m. Allt detta är nu bara förkortade beteckningar och vi skall skrivaut matriserna till fullo när vi nu avslöjar att R:s matris uppkommer genom detsom kallas för matrismultiplikation av matriserna för T och S. Insättning och räk-ning med baserna precis som vi gjorde tidigare vid införandet av matrisen, till entransformation, visar att

γ11 γ12 · · · γ1pγ21 γ21 · · · γ2p...

.... . .

...γn1 γn2 · · · γnp

=

τ11 τ12 · · · τ1mτ21 τ21 · · · τ2m...

.... . .

...τn1 τn2 · · · τnm

σ11 σ12 · · · σ1pσ21 σ21 · · · σ2p...

.... . .

...σm1 σm2 · · · σmp

Här går multiplikationen i högra ledet så till att att man tar första radens element iτ -matrisen och multiplicerar dem i tur och ordning med elementen i första kolonnen

153 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


i σ-matrisen och adderar. Resultatet skrivs på den plats som tillhör första raden ochförsta kolonnen i γ-matrisen. För att få γij , d v s det element i γ-matrisen som ståri i:te raden och j:te kolonnen, multiplicerar man i:te radens element i τ -matrisenmed j:te kolonnens element i σ-matrisen och summerar. Uttryckt i formel blir detta

γij = τi1σ1j + τi2σ2j + · · ·+ τimσmj .

Förutsättningen för att detta skall fungera är att τ -matrisen har lika många kolonnersom σ-matrisen har rader (i vårt fall är båda antalen lika med m). Ett specialfallav denna procedur hade vi, när vi bildade produkten av (βij)n,m och (αj)m.

Addition av två matriser kan om både antalet rader och antalet kolonner överensstäm-mer, ske enligt formeln

(βij) + (γij) = (δij)

där δij = βij+γij . En yttre komposition, multiplikation med skalär, definieras genom

α (βij) = (αβij) .

Om vi nu begränsar oss till kvadratiska matriser, t ex med n rader och n kolonner,vilket svarar mot att de transformerar från ett n-dimensionellt till ett n-dimensionelltvektorrum, så kan alla sådana matriser multipliceras med varandra. Det naturligasteär att tänka sig att vi har transformationer av ett vektorrum på sig självt.

154 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Med de räkneregler vi ovan infört, där vi lätt kan kontrollera att multiplikationenär associativ, bildar mängden av alla n × n-matriser (matriser med n rader och nkolonner) under addition och multiplikation en ring, som ej i allmänhet är kommu-tativ. Om vi i stället koncentrerar oss på additionen och den yttre kompositionen,multiplikation med skalär, finner vi att vi har ett vektorrum med matriser somelement.

En algebraisk struktur, där vi har ett vektorrum med en associativ multiplikationdefinierad för vektorerna, brukar originellt nog, eller kanske snarare genom någothistoriskt olycksfall, kallas för en algebra. Många olika algebror studeras numeraintensivt inom algebran, men jag gissar att de hittillsvarande övningarna inom ma-trisalgebran varit tillräckliga för stunden. Vi har i detta avsnitt sysslat med vek-torrum som en algebraisk struktur. Mycket av intresset för vektorrum har väcktssedan man upptäckt vilka intressanta objekt som kommer fram om man förutomden algebraiska strukturen också inför en topologisk struktur. Det blir då fråga omtopologiska vektorrum, och några mer speciella exempel, som är berömda för sintillämpbarhet såväl inom den matematiska analysen som inom naturvetenskapen, äruppkallade efter den tidigare nämnde Hilbert och polacken Banach (1892—1944). Vikommer i denna bok nätt och jämnt att hinna fram till Hilbertrum och Banachrum,men i nästa kapitel skall vi börja utveckla den topologiska strukturen. Det är re-markabla framgångar som nåtts inom områden av matematiken där man tidigare ej

155 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ens anade det, just genom syntesen av algebraiska och topologiska begrepp.

156 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Några bilder till matematikens historia

4. Några bilder till matematikens historia

1De äldsta kända vittnesbörden om en verksamhet som kan benämnas matematikutgöres av papyrusrullar från Egypten och kilskriftstavlor från Babylonien och i bådafallen kan de dateras till omkring 2000 år f kr. Att matematikens historia sträcker sigytterligare längre tillbaka i tiden framgår av deras innehåll. Det är ej fråga om någragenerella metoder utan om praktiskt genomförda lösningar av konkreta problem.Av de äldsta papyrerna framgår att egypterna kände metoder för beräkning av ytoroch volymer: som approximation till π användes

(43

)4= 256

81 = 3.15 . . . vilket kanjämföras med den bibliska vers (Första Konungaboken 7:23) som kan tolkas som ettförslag för att π har värdet 3. Med den grekiska epoken (600 f kr −300 e kr) mötervi matematik av ett helt annat slag.

1 Vårt varma tack till Bo Göran Johansson som gjort oss uppmärksam på länken http://www-history.mcs.st-and.ac.uk/history/BiogIndex.html.

157 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Pythagoras

Den förste store matematikern är Pythagoras (ca580-500 f kr)från Samos som höll föreläsningar ifilosofi och matematik i Kroton i Syditalien. Om deupptäckter som bär hans namn härrör från honomsjälv eller från medlemmar i det politiskt-religiösaförbund som hans lärjungar bildade är inte helt klart.Alla känner den geometriska satsen, "Pythagorassats", som säger att kvadraten på hypotenusanslängd är lika med summan av kvadraterna på kateter-nas längder och vi har nämnt hans musikaliska in-tressen och undersökningar samt hans talmystik.Som exempel på det senare kan anges att 10 sågssom det bästa av alla tal ty 1 + 2 + 3 + 4 = 10

och skrev man dem som punkter så formade de den perfekta triangeln. Ett annatexempel på den fördjupade problematiken hos pytagoréerna, jämfört med tidigareepoker, kan nämnas det första omöjlighetsbeviset i matematiken: beviset för att

√2

är irrationellt (se sid 266).

158 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Arkimedes

Den grekiska matematiken hade sin mest glän-sande period under det tredje århundradet före vårtideräknings början. Alla de tre största matema-tikerna, Euklides, Arkimedes och Apollonios till-bringade någon tid i Alexandria. De två sistnämndahar med all sannolikhet följt Euklides föreläsningardär. Det var i Alexandria som Euklides förfat-tade sina Elementa, som ju ej endast innehåller dengeometri som skolynglingar under århundraden brot-tats med, utan även många andra berömda resultat

t ex beviset för att det finns oändligt många primtal. Euklides bevisföring har ej påalla punkter stått sig, vid senare tiders granskning, men de stora grekernas uppfatt-ning om vad ett bevis var överensstämmer helt med vår tids. Apollonios från Pergeutvecklade den geometriska teorin genom sina undersökningar av kägelsnitten d v sde kurvor som uppkommer då en kon skärs av ett plan. Den störste antike mate-matikern var Arkimedes, som ju även är bekant för sina fysikaliska upptäckter t exArkimedes princip, sina kastmaskiner för krigiskt bruk och sin bråda död Syrakusa,där han vistades under sin mest aktiva tid. Det i geometrin välkända arkimediskaaxiomet tillämpades vid hans, på sid 26, nämnda sandräkning. Flera av Arkimedesskrifter finns bevarade. Hans aritmetiska metoder ledde honom till det approxima-

159 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tiva värdet 317 för π. Vad som är den väsentliga grunden för hans berömmelse är atthan tycks ha stått på gränsen till den upptäckt av differential- och integralkalkylenpå vilken historien sedan fick vänta 2000 år. Arkimedes bestämde tangenten till denspiralkurva, som bär hans namn och härledde formeln för ytan av ett parabelseg-ment. En modern studerande tillgriper naturligen differential- och integralkalkyl förbåda dessa uppgifter. Efter den grekiska matematikens blomstring följde en perioddå insatserna gjordes av orientaliska matematiker bl a inom algebran. Den viktigastehändelsen i Europa var införandet av det indiska decimala talbeteckningssystemetomkring år 1200. Med renaissansen kommer också den europeiska matematiken,först i Italien där bl a Tartaglia och Cardano sysslade med lösningen av tredje- ochfjärdegradsekvationer och Galilei tillämpade matematiken inom dynamiken.

160 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Descartes

Beteckningssystemet inom algebran fick sin utform-ning av Viète och Descartes och det var genomViète som algebran blev en vetenskap om symboler.Descartes har sin väsentliga matematiska berömmelsesom skapare av den analytiska geometrin, där utnyt-tjandet av koordinater överför geometriska problemtill algebraiska och tvärtom. Descartes geometriskaundersökningar var en utgångspunkt för Newton ochLeibniz när de skapade differential- och integralka-lkylen. Descartes matematik var endast en del i ettstort filosofiskt program som även omfattade hans

virvelteori för förklaring av planeternas rörelse. På inbjudan av drottning Kristinakom Descartes till Stockholm 1649 där han avled redan året därpå.

161 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Newton

Enligt nuvarande uppfattning utformade Newton sin"fluxionskalkyl" tidigare (1666) än Leibniz (1678),som uppnådde motsvarande resultat, men trots allastrider om prioriteten torde prestationerna ha utförtshelt oberoende. Följden av skapandet av denna teori,som vi vanligen kallar differential- och integralkalkyl,var en explosionsartad utveckling inom matematikenoch dess tillämpningsområden.

Förutom genom denna kalkyl är Newton berömd försin gravitationslag och för sina insatser inom optiken.

Newton uppfattade ljuset som en ström av partiklar medan hans holländske samtidaHuygens ansåg att ljuset var en vågrörelse. Även om Huygens teori under lång tidansetts vara den adekvata har de Newtonska idéerna fått erkännande som likaberät-tigade under 1900-talet. Inom den rena matematiken är Newtons namn knutet tillbinomialteoremet, som han kände ej blott för positiva heltalsexponenter utan ocksåför negativa och godtyckliga rationella exponenter.

162 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Leibniz

Newtons konkurrent om äran över att vara upphovs-man till differential- och integralkalkylen, Leibniz, ärlika känd som filosof som matematiker. Om New-ton tillerkänns prioritet för kalkylen bör det dockframhållas att Leibniz var den som först (1684) pub-licerade sina resultat och att vårt nuvarande sys-tem för beteckning av derivator och integraler knap-past alls överensstämmer med Newtons utan i ställetansluter till det som Leibniz lanserade.

År 1666 publicerade Leibniz "De arte combinatoria"som är den historiska utgångspunkten för senare tiders matematiska och symboliskalogik. Leibniz var en flitig medarbetare, bl a med problem inom differential- ochintegralkalkylen, i Tysklands första vetenskapliga tidskrift "Acta Eruditorum" sombörjade utges 1682.

163 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Jacques Bernoulli

Matematikerdynastin Bernoulli som på tre gener-ationer producerade åtta framstående matematikerkan vara en intressant utgångspunkt för den som villspekulera om begåvning, arv eller miljö. Den protes-tantiska familjen hade flytt från Antwerpen, undankatolska förföljelser, och bosatte sig så småningom iSchweiz. Fadern till bröderna Jacques och Jean varframgångsrik köpman i Basel.

Den äldre brodern Jacques började studera teologimen gick snart över till matematik och var under 18år professor i detta ämne i Basel. Han vidareutveck-

lade självständigt differential- och integralkalkylen och löste flera intressanta tillämp-ningsproblem. Några av hans mest kända undersökningar gäller kedjelinjen, ävenkallad hängbrokurvan, och den logaritmiska spiralen (en sådan spiral finns inris-tad på hans gravsten). Först efter hans död publicerades hans stora, fortfarandeintressanta, arbete om sannolikhetskalkylen "Ars conjectandi".

Båda bröderna intresserade sig för variationskalkylen och löste där det på sid 340omtalade problemet om brakistokronen.

164 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Jean Bernoulli

Jean som var det 10:e barnet i familjen studeradeförst medicin men också matematik med sin bror somlärare. Han var mest intresserad av Leibniz arbetenoch var efter två års studier sin brors like.

Jean behärskade analysen så väl att han under entid i Paris blev, av l’Hôpital, ombed att undervisahonom, l’Hôpital, i Leibniz arbeten. Han efterträddeår 1705 brodern som professor i matematik. Inomdifferential- och integralkalkylen intresserade han sigockså för differentialekvationer och tillämpningarna

inom optiken. En gång i veckan gav Jean Bernoulli privatlektioner åt en elev somväckt hans uppmärksamhet och som var son till en tidigare studiekamrat Paul Euler.

165 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Euler

Dennes namn var Leonhard Euler och han blev allatiders mest produktive matematiker; utgåvan avhans samlade verk omfattar hittills ett femtiotalvolymer.

Eulers aktiva tid tillbringades först vid den kejserligaakademin i S:t Petersburg och sedan vid den kungligai Berlin. Han gjorde stora insatser genom att vidare-föra och tillämpa Newtons och Descartes teorier.

Det var en båld period han verkade i och mycket blevgjort även om inte allt utan vidare accepterats viden kritisk granskning.

Förutom inom differential- och integralkalkylen och dess tillämpningar inom bl amekaniken verkade han inom talteori och "lägesgeometri". Ur det sistnämnda om-rådet har ju topologin utvecklat sig och vi har i kapitlet om topologi nämnt Eulerslösning av problemet om Königsbergs broar. Hans lärobok i mekanik mm i form avbrev till en prinsessa vid det tyska hovet har översatts till många språk.

Men Euler sysslade inte bara med matematik. Under sin tid vid Berlins akademiövervakade han observatoriet och den botaniska trädgården; anställde personal; höllett öga på finanserna; publicerade olika kalendrar och geografiska kartor och mycket

166 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mer.

Efter Eulers död 1783, då vid St Petersburg akademin, fortsatte man att publicerahans arbeten i nästan ytterligare 50 år.

167 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Lagrange

Eulers efterträdare i Berlin var fransmannen J. L. Lagrange(1736-1813), som av många av sina samtida betraktadas somden störste då levande matematikern. Hans huvudverk "Mé-canique analytique" är berömt för sin klarhet och mycket avdet som vid denna tid presterades i Frankrike av t ex Laplace,Fourier och Cauchy byggde på idéer, som givits av Lagrange.

1772 fann Lagrange, vid 36 års ålder, på teoretisk väg, att omett mindre föremål placeras i en omloppsbana runt solen i en avfem bestämda positioner så skulle föremålet under sin rotationrunt solen förbli i en fast position relativt solen och en givenplanet. Dessa positioner bestäms av en balans mellan solens

och planetens dragningskrafter och föremålets utåtriktade centrifugalkraft.

Lagrange trodde inte att dessa punkter skulle ha någon praktisk funktion men deär de ideala platserna för att placera rymdstationer. Tre är dock instabila, d v s enrymdstation måste knuffas tillbaka var 2-3 vecka. Två av dem är stabila d v s ettföremål tvingas tillbaka till platsen om det rubbas.

168 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Fourier

Den tidigt föräldralöse Fourier uppfostrades avbenediktinmunkar och fortsatte att utbilda sig tillpräst. År 1789 öppnades naturligen andra möj-ligheter.

Fourier ville bli offi cer men hamnade som matem-atiklärare vid sin gamla skola. När "Ecole normale"grundades 1794 blev Fourier dess första matem-atikprofessor. Ett säreget inslag i hans liv är hansdeltagande 1798-1801 i Napoleons egyptiska fälttåg,där han skulle medverka till att göra egypterna de-

laktiga i den europeiska kulturens välsignelser.

Återkommen till Frankrike blev Fourier prefekt för departementet Isere. Det var iGrenoble som han 1807-1822 utarbetade "La théorie analytique de la chaleur", ettverk som är en milstolpe i den matematiska fysikens utveckling. Ur strängt matem-atisk synpunkt lämnar Fouriers metoder en del övrigt att önska, men i hans verkintroduceras matematiska begrepp som sedan dess alltjämt fängslar matematikerna.Det följande seklets triumfer vad gäller matematikens tillämpningar inom fysik ochteknik är en direkt fortsättning på Fouriers insatser som därigenom haft ett stortinflytande på vår tids uppfattning av matematikens natur.

169 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Gauss

Bilden återger Gauss omkring år 1800 alltså unge-fär vid den tidpunkt då han gav sitt första bevis föralgebrans fundamentalsats (sid 285). Gauss visadetidigt sin begåvning och han infriade löftena på ettsådant sätt att han kallats matematikens konung.Han framlevde sitt liv som föreståndare för obser-vatoriet i Göttingen och enligt uppgift lämnade hanGöttingen endast under två korta perioder.

Vilken gren av matematiken och dess tillämpningarvi än väljer är det troligt att vi möter Gauss namn.

Observatorieföreståndaren sysslade ej endast med planeter, han gjorde även berömdainsatser inom geodesi och ektromagnetism. Detta intresse för andra vetenskaper varhos Gauss förenat med ett krav på stringens i matematiken. Det är mycket genomhans insatser som 1700-talets landvinningar börjar ordna sig till en i verklig meningmatematisk vetenskap. Gauss intresserade sig för seriers konvergens och han gaven rigorös framställning av de komplexa talen (som han också interpreterade sompunkter i ett plan) vars egenskaper tidigare undersökts av Euler.

Redan år 1801 utkom "Disquisitiones Arithmeticae" med en rikedom av talteo-retiska resultat, däribland den berömda kvadratiska reciprocitetssatsen. Även inomgeometrin (speciellt den gren som kallas differentialgeometri) går många av de funda-

170 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mentala resultaten tillbaka på Gauss. Man har anledning förmoda att Gauss kändeexistensen av icke-euklidiska geometrier före publikationen av Bolyais och Lobat-jevskijs arbeten. Gauss hade flera framstående elever bland vilka G. F. B. Riemannförtjänar nämnas för sina undersökningar såväl inom funktionsteorin som i arbetet"Über die Hypothesen welche der Geometrie zu Grunde liegen".

I Euklides geometri ingår som ett axiom (som betecknas postulat) att det genom enpunkt utanför en given rät linje kan dragas en och endast en rät linje som ej skärden givna linjen. Denna förutsättning föreföll under tidernas lopp många människorbåde komplicerad och naturlig och många fåfänga försök gjordes att härleda denur Euklides övriga axiom. I början på 1800-talet var tiden mogen för en lösningav problemet; ungefär samtidigt och oberoende av varandra kom Gauss, Bolyai ochLobatjevskij till insikt om att detta är ett oberoende axiom och att det går attbygga motsägelsefria geometrier också på antagandet att det finns flera parallellalinjer genom en punkt utanför en given linje.

171 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Lobatjevskij

Den som först publicerade sina resultat var Lobat-jevskij 1829-30 men på ryska. När den tyska över-sättningen kom ut 1840 fanns redan Bolyais uppsatssedan åtta år. Lobatjevskij tillbringade 40 år vid uni-versitetet i Kazan som student, professor och rektor,men han var även universitetsbibliotekarie och mu-seiföreståndare. Han hade en utmärkt administrativförmåga, men avsattes vid 54 års ålder av de makt-havande.

Skapandet av de icke-euklidiska geometrierna in-nebar en revolution i det mänskliga tänkandets histo-

ria. För matematikens del medförde det att förutsättningar skapades för en riktigareuppfattning av matematikens natur och dess beroende av erfarenheten, även om detskulle ta tid innan den nya synen slog igenom.

Samtidigt skedde en annan revolution inom matematiken som vi nämnt i sambandmed Gauss. Det var det växande kravet på stringent behandling av allt det materialsom på 1700-talet kommit fram i anslutning till Newtons och Leibniz teorier.

172 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Abel

En väsentlig insats inom teorin för serier och de-ras konvergens gjordes av norrmannen Abel. Vid22 års ålder publicerade han sitt bevis för att denallmänna femtegradsekvationen inte kan lösas medrotutdragningar. Härigenom löstes ett problem somvarit aktuellt sedan motsvarande lösning av tredje-och fjärdegradsekvationerna givits i Italien på 1500-talet. Abel ägnade sig också åt teorin för elliptiskafunktioner och de härmed sammanhörande integralersom bär hans namn.

Abel införde inte bara stringens i matematiken; han angrep också problem med enannan generalitet än föregångarna, möjligen med undantag av Gauss.

173 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Galois

Samma strävan möter vi hos fransmannen Galois.Även den som står likgiltig inför dennes geniala ma-tematiska prestationer måste gripas av hans biografi.

Misslyckad som skolgosse, eftersom han antingenkunde sin läxa perfekt eller inte alls (om den ejintresserade honom) fortsatte han med misslyckadeförsök att bli antagen till Ecole polytechnique. Un-der tiden författade han väsentliga manuskript inomekvationsteorin men ett slarvades bort av Cauchyoch ett försvann i Fouriers hem vid dennes död.

För sin aktivitet i samband med Julirevolutionen hamnade han upprepade gånger ifängelse och det var där han gjorde flera av sina upptäckter. Vid 20 års ålder blevhan utmanad på duell; motiveringen tycks ha varit dels politisk dels grundad på enkärleksaffär som dock ej synes ha rymt någon större romantik. Natten före duellenförfattade han sitt vetenskapliga testamente, som framför allt innehåller galoisteorin,d v s hans tillämpning av gruppteorin på problemet om ekvationers lösning. Duellengick illa och till en besökande vän sade Galois på sjukhuset "Gråt ej, jag behöverallt mitt mod för att dö vid 20 års ålder!"

174 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som vi förut observerat är 1800-talet en period under vilken rigorös matematikväxer fram samtidigt som tillämpningarna vidgas. Efter Gauss, Abel och Cauchyföljde Riemann och Weierstrass och den stränga teorin för irrationella tal infördes avprofessorn vid tekniska högskolan i Braunschweig, R. Dedekind, bl a i boken "Wassind und was solen die Zahlen".

Cantor

Omkring 1870 börjar Cantor publicera sin mängdlära,d v s den teori som enligt nutida sätt att se är dennaturliga utgångspunkten för all matematik. Can-tor klassificerar och ordnar mängder med oändligtmånga element och hans verk är i viss mening en fort-sättning av tidigare mystiska spekulationer om oänd-lighetens natur. Vi har honom att tacka för bevisetatt de rationella talen inte är fler än de naturliga.De paradoxer som uppkom inom mängdläran väcktemotstånd mot den nya teorin och härigenom inleddesden strid om matematikens grundvalar som skakade

den vetenskapliga världen under 1900-talets första decennier. Trots alla svårigheterframstod mängdläran snart som nödvändig för den följande utvecklingen t ex inomtopologin och de reella funktionernas teori. Den av H. Lebesgue 1901 införda måt-teorin bidrog till konsoliderandet.

175 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Poincaré

Ända in i våra dagar har den matematiska undervisningeni åtskilliga länder stått under inflytande av traditionen frånde franska böcker med titlar som "Cours danalyse" ochliknande, som var och en i flera volymer publicerades avbl a C. Jordan, E. Picard och E. Goursat under åren 1882-1905. Den största franska matematikern under denna tidvar H. Poincaré, som från 1881 till sin död var knuten tillSorbonne i Paris.

Poincaré har kallats den siste allsidige matematikern. Hanvar astronom och sannolikhetsteoretiker och publiceradeuppsatser om funktionsteori, topologi, differentialekvation-

ernas teori och matematikens grundvalar. Hans föreläsningar har givits ut i bokformoch behandlar elektromagnetism, termodynamik, ljuset, potentialteori mm. Hanförfattade flera halvpopulära vetenskapsfilosofiska böcker.

Som ytterligare upplysning kan omtalas att han ritade så illa att han behövde dispensför att komma in på Ecole polytechnique, men hans essäsamlingar hade litterärakvaliteter av sådan art att han blev en av de fyrtio i Franska akademin. Han sägsha varit närsynt, kutryggig och tankspridd.

176 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Banach

Mycket av 1900-talets matematik har sin inspira-tionskälla i Poincarés verk. En av de väsentliga ma-tematiska skapelserna under 1900-talet är funktio-nalanalysen.Förutsättningarna för denna är att sökasåväl i mängdläran och tillhörande grundvalsunder-sökningar som i de abstrakta utvecklingarna av denur fysiska och tekniska problem framvuxna mate-matiken. I den senare riktningen kan nämnas inte-gralekvationerna (där viktiga resultat uppnåddes avsvensken I. Fredholm omkring 1905) som inspireradetill den algebraisk-topologiska struktur som kallas

hilbertrum.

Som företrädare för funktionalanalysen avbildas här polacken S. Banach, vars bok"Théorie des operations linéaires" publicerades 1932 och innehåller teori för vad somsenare kallats banachrum.

En stor del av den matematiska analysens vackrare resultat under senare år haruppnåtts med hjälp av denna teori.

177 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


John von Neumann

På flera ställen i denna bok har vi haft anledningatt referera till John von Neumann, född i Ungernmen bosatt i USA sedan 1930, från 1933 till sindöd som permanent ledamot av "Institute for Ad-vanced Study" i Princeton. John von Neumanns in-satser sträcker sig från den matematiska logiken ochmängdteorin till spelteorin. Han införde den axioma-tiska teorin för abstrakta hilbertrum, han studeraderingar av operatorer, kontinuerliga grupper och er-godteori och han var en pionjär inom datamaskin-

området.

178 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Topologi

5. Topologi

Topologi är en gren av matematiken som sysslar med frågeställningar som vid enförsta anblick kan synas vara vitt skilda från varandra och där det alltså ej är heltlätt att finna vad de har gemensamt. Först och främst ger topologin bakgrundentill och är förutsättningen för resonemang om flera av matematikens mest älskadebegrepp, såsom gränsvärden och kontinuitet. Men dessutom är det den vetenskaps-gren där man kan ge förnuftigt innehåll och dessutom bevis för satser sådana somfransmannen Jordans kurvsats, där en normal amatör tar sig för pannan och frågar:Vad är problemet? Jordans kurvsats (från 1893) säger att en sluten kurva, som inteskär sig själv, delar planet i två sammanhängande områden, ett inre och ett yttre.

Det finns dock andra topologiska satser, som har mer lättförståeligt om än över-raskande innehåll, och jag kan som exempel välja den som ofta kallas Cartesii ochEulers polyederrelation. Vi kan åskådliggöra den i ett plan genom att tänka oss ensammanhängande figur där linjer förenar ett antal punkter. Planet blir då uppdelati sammanhängande komponenter (figur 5.1). Om vi nu från antalet punkter drar an-talet linjer och sedan lägger till antalet ytkomponenter, får vi resultatet 2. Uttryckti formel säger detta

n0 − n1 + n2 = 2,

där n0 är antalet hörn, n1 är antalet linjer och n2 är antalet ytstycken. Om vi tittar

179 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


på de tre exemplen i figur 5.1, där vi markerat de punkter som räknas, så framgårdet nog hur man räknar antalen för att få formeln att stämma: Ett elementärt beviskan erhållas genom att man från figuren avlägsnar bit för bit, t ex ett linjestycke ochpåvisar

180 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


1P

2P3

P5

P

4P

6P

n0 = 6, n1 = 8, n2 = 4 n0 = 9, n1 = 18, n2 = 11

n0 = 14, n1 = 19, n2 = 7

Figur 5.1:181 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


att uttrycket n0−n1+n2 är oförändrat vid sådana förändringar. Det krävs emellertiden viss omsorg för att få det hela att fungera. Det skall kanske understrykas attformeln ej gäller, om vi har ett par osammanhängande bitar. Titta t ex samtidigtpå alla tre figurerna i figur 5.1. Där är n0 = 29, n1 = 45, n2 = 20, och naturligtvisblir då n0 − n1 + n2 = 4.

Jag skall återkomma med några kommentarer till de problemtyper som jag i dennakapitelinledning snuddat vid, men nu skall vi återvända till begynnelsen och frågaoss vilken struktur vi skall införa på en mängd för att få en topologi och därmedlägga grunden för studier av den art vi här bara antytt.

5.1 Topologi och topologiskt rum

Vi startar som vanligt med en mängd. Låt oss kalla den M och låt oss åter ägna våruppmärksamhet åt mängden av delmängder till M. Vi skall utmärka vissa elementi denna mängd genom att ge dem en hederstitel: vissa delmängder skall kallas föröppna. Det är ungefär som att starta en klubb i en mängd människor, bortsett frånatt man där oftast väljer mer komplicerade benämningar än "de öppna". Men påsamma sätt som brukar ske vid klubbildning, föreligger vissa krav på urvalet av deöppna mängderna. Jag skall strax ange dessa, och om de är uppfyllda säger vi att viinfört en topologi på M. Paret (M,Ω) bestående av mängden M och mängden Ω av

182 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


öppna delmängder (som alltså är vår nyinförda struktur) kallas ett topologiskt rum.När mängden gjorts till ett topologiskt rum, kallar man ofta elementen för punkteri rummet.

De krav vi lägger på mängden Ω av öppna mängder är följande, och utgör alltsåvåra axiom för öppna mängder:

I. Snittet av ett ändligt antal öppna mängder är en öppen mängd.

II. Varje union (utan någon begränsning av antalet) av öppna mängder är öppen.

III. Mängden M och den tomma mängden ∅ är båda öppna.Detta är en helt allmän definition, och den kan appliceras oberoende av vilket M vivalt. När vi nu ger exempel, skall vi snart upptäcka hur det hela fungerar —t ex påde punktmängder vi är vana vid i den elementära geometrin.

Som vårt första exempel väljer vi dock något annat och fortfarande rätt allmänt:Låt Ω bestå endast av ∅ och M. Det är lätt att kontrollera att våra krav är uppfylldaoch detta är alltså det minsta antalet öppna mängder man kan klara sig med; dennatopologi kallas också för den triviala.

Vårt andra exempel är i någon mening motsatsen till det första: Låt Ω bestå avalla delmängder till M d v s kalla alla delmängder för öppna. Återigen är förutsät-tningarnas giltighet helt klar och den topologi vi här har brukar kallas den diskreta.Den kan alltså liksom den första införas på varje mängd.

183 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Ett tredje exempel erhålles om vi som öppna mängder tar dels den tomma mäng-den och dessutom alla mängder som innehåller ett visst fixerat element. Den somär van vid ett plant koordinatsystem kan t ex tänka sig alla mängder som innehållerorigo. Att union och snitt behåller den speciella punkten som element är uppenbart.

Detta tredje exempel ger inte de öppna mängder som man vanligen brukar tala omi planet. För att, som fjärde exempel, få fram dessa definierar vi en öppen mängdså att den med varje punkt också skall innehålla någon cirkelskiva med punkten sommedelpunkt. Tar man snittet av ändligt många i denna mening öppna mängder, såinnehåller snittmängden säkert den minsta av de ändligt många cirkelskivor som vivet finns, eftersom de ursprungliga mängderna var öppna. Unionens öppenhet ärän lättare att se. Har vi en punkt i unionen så måste den ingå i åtminstone någonav de mängder som vi bildat unionen av. Den cirkelskiva som tillhör den av ossutplockade mängden finns även med i unionen.

Man kan i all lekfullhet göra massor av exempel på många olika mängder. Det kanvara både roligt och nyttigt att ytterligare understryka det fria drag i matematikensom alltjämt så många har svårt att tro att det finns. Vi skall dock avstå från dessalekar, då vi har en hel rad av facktermer framför oss, innan vi kan börja tänka påatt unifiera de resultat vi inledningsvis omnämnde.

Komplementmängden till en öppen mängd kallas sluten. Man skall akta sig för atttro att dessa begrepp, öppen och sluten, i någon mening är varandras motsatser. I

184 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vårt första exempel är den tomma mängden och hela mängden båda såväl öppna somslutna, övriga delmängder är varken öppna eller slutna. I vårt fjärde exempel, somgällde planets ordinarie topologi, är naturligtvis en väldig massa mängder varkenöppna eller slutna. Bilda t ex en mängd bestående dels av alla inre punkter i enrektangel och dels punkterna på tre av de fyra sidorna. Varken denna mängd ellerdess komplement är öppen, ty tar vi en punkt på någon av sidorna, så skär encirkel med denna som medelpunkt såväl mängden som dess komplementmängd. Vianvände här alldeles ogenerat begreppet "inre punkt" för en rektangel, men vi skallnedan definiera det för ett allmänt topologisk rum.

Våra axiom för öppna mängder kan ges en helt ekvivalent formulering för slutnamängder. Eftersom (P ∪ Q) = P ∩ Q, blir formuleringarna:

I. Unionen av ett ändligt antal slutna mängder är sluten.

II. Varje snitt av slutna mängder (oberoende av antalet) är en sluten mängd.

III. Mängden M och den tomma mängden, ∅, är slutna.

Närmast inför vi begreppet omgivning till en punkt. Det finns många sådana, tyen mängd kallas omgivning till en punkt om mängden har en öppen delmängd sominnehåller den givna punkten. En punkt kallas inre punkt till en mängd, om mängdenär omgivning till punkten. En punkt som är inre punkt till komplementet kallas yttrepunkt. En punkt i det topologiska rummet som varken är inre eller yttre punkt till

185 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


en mängd P kallas randpunkt till P. En punkt är således randpunkt till P, om varjeomgivning till den innehåller punkter både i P och P. Mängden som består av allarandpunkter kallas randen av P, och vi skall beteckna den med ∂P.

Det är fullt förståeligt om det börjar verka vara onödigt mycket terminologi sominförs här, men får vi bara införa höljet till en mängd P, så kan vi sedan, försökaroa oss med mer suggestiva undersökningar. Höljet till P betecknas P och definierashelt enkelt som

P = P ∪ ∂P.

Vi skall närmast övertyga oss om att höljet är en sluten mängd (av denna anledningkallas det också ofta "slutna höljet").

Först observerar vi att om en mängd är öppen, så är alla dess punkter inre punkter.Detta följer direkt av definitionen på inre punkt. Åt andra hållet gäller det också:en mängd där alla punkter är inre är öppen. För att bevisa det får vi lita till våraaxiom om öppna mängder. Kallas mängden P och är varje punkt i P en inre punkt,så finns det till varje x ∈ P en öppen omgivning Ox med Ox ⊆ P. Unionen av alladessa Ox, som man lämpligen skriver ⋃

x∈POx,

innehåller dels alla x ∈ P men är också innesluten i P, eftersom Ox ⊆ P. Det gäller

186 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


alltså attP=

⋃x∈P

Ox,

men unionen på höger sida är enligt axiomen för öppna mängder också öppen.

För en godtycklig mängd P kan man definiera det inre, betecknat int P som

intP= x ∈ M | x är inre punkt till P ,

och det yttre (exteriören) som

extP= x ∈ M | x är yttre punkt till P .

Om P är öppen, gäller enligt ovan att P= int P, och om P är sluten så gällerP= ext P = int P . Vi observerar att ext P och int P båda är öppna och att helarummet kan delas upp i tre disjunkta delmängder, alltså mängder utan gemensammaelement, enligt formeln

M = intP ∪ ∂P ∪ extP.

För att visa att P är sluten räcker det nu med att observera att P=ext P och dettaframgår av den nyss gjorda uppdelningen. Eftersom P innehåller både int P och ∂P,måste P ⊆ ext P, men någon punkt i ext P kan ej tillhöra P, varför P = ext P.

187 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om vi exemplifierar de begrepp vi hittills definierat i den vanliga topologin i planet,d v s den vi beskrivit i exempel 4, får vi till en början ungefär vad vi tänkt oss, mensom vi snart skall se leder även definitioner som ser oskyldiga ut till förvånandekonsekvenser.

Vi tänker oss ett plan P och förutsätter att vi är överens om vad som menas medavståndet mellan två punkter i planet och att vi känner dettas enklare egenskaper.Vi fastlägger en punkt, som vi kan kalla för origo och intresserar oss för följande tremängder:

P1 består av alla punkter som har ett avstånd mindre än 1 från origo,

P2 består av alla punkter som har ett avstånd mindre än eller lika med 1 från origo,

P3 består av dels alla punkter i P1, dels en punkt med avståndet 1 från origo.

I mer formelmässig skrift är

P1 = p ∈ P | |p| < 1P2 = p ∈ P | |p| ≤ 1P3 = P1 ∪ a | |a| = 1

Vi har använt beteckningarna |a| och |p| för a:s respektive p:s avstånd till origo.

188 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om vi nu erinrar oss definitionen av öppen mängd i exempel 4 och betänker defini-tionen av de nya begrepp vi infört, så bör det ej vara omöjligt för oss att verifieraföljande påståenden

P1 ⊆ P3 ⊆ P2, P1 6= P3, P3 6= P2, P2 6= P1.int P3 = int P2 = int P1 = P1, d v s P1 är öppen.ext P1 = ext P2 = ext P3 = P2, d v s P2 är sluten.P3 är varken öppen eller sluten.P1 = P2 = P3 = P2∂P1 = ∂P2 = ∂P3 = p ∈ P | |p| = 1

Randen till våra områden är i samtliga fall periferin av cirkeln med radien 1 ochmedelpunkt i origo. Detta stämmer utmärkt väl med vår uppfattning om vad enrand eller en gräns för ett område bör vara.

Icke desto mindre känner man sedan länge exempel på tre skilda delar av planetsom i den vanliga topologin har samma rand. Att man kan få underligheter omman sysslar med topologiska rum, som är lika konstiga som eller konstigare än våratre första exempel är förmodigen inte överraskande, men definitionen på rand enligtbestämmelserna i exempel 4 ger ett naturligt intryck. Vad kan det vara för konstigtmed att definiera "gränsen för ett område", d v s randen, som de punkter som i varjeomgivning har såväl en bit av "vårt" område som en bit av det utanför? Med denna

189 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


definition blir det dock möjligt att ange t ex tre disjunkta punktmängder i planet somalla har samma rand, något som först upptäcktes av holländaren Brouwer (1881—1950), en av de banbrytande topologerna. Vi kan ej i detalj redogöra för konstruk-tionen, men någon idé om den kan man få genom följande vattenbyggnadstekniskasaga, som en japansk matematiker vid namn Yoneyama tänkt fram.

Det ligger en ö i det salta havet och på ön finns det en sjö med kallt (söt)vatten ochen sjö med varmt (söt)vatten. Nu beslutar öns arbetsmarknadsstyrelse att inom entimme skall det vara grävt kanaler på ön på ett sådant sätt att ingen punkt (stuga)har längre än en kilometer till såväl kallt, varmt som salt vatten. Naturligtvis är detförbjudet att utföra arbetet så, att kallt, varmt eller salt vatten blandas, vidare ärrör och akvedukter bannlysta, så det skall vara vanliga hederliga kanaler. Låt ossförutsätta att ön är ovanligt platt och belägen i sin helhet mycket nära havets nivå.Alltnog, nästa halvtimme fortsätts arbetet med kanalerna på ett sådant sätt att,vid denna halvtimmes slut, ingen punkt har ett större avstånd än en halv kilometertill salt, varmt respektive kallt vatten. På nästa kvart skall avstånden reduceras tillen kvarts kilometer, på en åttondels timme till en åttondels kilometer o s v. Vad ärkvar efter 2 timmar?

Eftersom serien 1 + 12 + 1

4 + 18 + . . . har summan 2, är allt klart då, men av den

ursprungliga ön är det inte mycket kvar. Bara en ynklig punktmängd, som enligtvåra definitioner är rand såväl till det område som upptas av salta kanaler, till det

190 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med varma kanaler, som till det med kalla kanaler!

Vi skall närmast, sticka emellan med en liten undersökning av randen av randen.Eftersom randen till en punktmängd blir en ny sådan, kan vi upprepa procedurenoch se efter vad denna har för rand. Intuitivt verkar det frestande att förmoda att∂ (∂P) = ∂P, vilket stämmer för våra mängder P1, P2 och P3, som vi studerade iden plana topologin ovan.

Det finns emellertid exempel som grumlar glädjen. Låt oss tänka oss det vanligaplanet som en illustration till R×R, d v s antag att vi har två s k koordinataxlar medvilkas hjälp vi har en-entydig tillordning mellan punkter i planet och reella ordnadetalpar.

Låt Qr vara den delmängd till planet som består av alla punkter med rationellakoordinater och med ett avstånd mindre än 1 till origo. Rationella koordinaterbetyder förstås att de båda reella talen i talparet skall vara kvoter mellan heltal.Det är mycket svårt, för att inte säga omöjligt, att skaffa sig en åskådlig bild avQr, ohyggligt "prickig" måste den i alla fall vara. Nu visar det sig att ∂Qr = P2,där P2 är den slutna mängd vi förut studerat i planet. Detta beror på att för varjepunkt innanför cirkeln med radien 1, varje omgivning innehåller såväl punkter medrationella som med irrationella koordinater. Men då blir ∂ (∂Qr) = ∂P2 och randenav P2 var cirkelperiferin.

191 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Först nästa gång, när vi bildar ∂ (∂ (∂Qr)) = ∂ (∂P2) = ∂C där vi satt C= p | |p| = 1,blir ∂C = C, och vi har alltså

∂(∂ (∂Qr)

)= ∂ (∂Qr)

Var nu detta en tillfällighet eller är det en allmän sats? Vi skall visa att det är ensats och ge ett bevis och i samband därmed utföra en del formella övningar, sombelyser det föregående.

Det gäller att ext P = P och eftersom ext P = int P blir int P = ext P =P. Detär ju nämligen så att komplementets komplement är den ursprungliga mängden,medan höljets hölje är höljet. Uttryckt i formler blir detta P = P, P = P. Attden sista formeln är sann är exempelvis en konsekvens av att höljets komplement ärext P, något som nämligen medför att höljet till P är den minsta slutna mängd sominnehåller P. På samma sätt är int P den största öppna mängd som är delmängd tillP. I dessa utsagor har vi använt orden största och minsta med syftning på inklusion:en mängd är större än varje delmängd till den. En sluten mängd som innehåller Phar alltså P som delmängd.

När vi nu skall sysselsätta oss med kalkyler måste vi lära in något om höljebildningi förhållande till union och snitt. Om jag först talar om att formeln P ∪ Q = P ∪ Qär generellt riktig, så låter det väl så naturligt att jag samtidigt bör påpeka attdetta inte gäller formeln P ∩ Q = P ∩ Q. Däremot gäller P ∩ Q ⊆ P ∩ Q. För att

192 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


exemplifiera det sista kan vi ta och titta på Qr ∩ Qr = ∅, där Qr är de rationellaparen i cirkeln som vi ovan studerade. Nu är Qr = P, medan Qr = P2 enligt våraföregående beteckningar, varför

Qr ∩ Qr = ∅ = ∅

medanQr ∩ Qr = P ∩ P2 = P2.

Om vi återvänder till problemet att visa att P ∪ Q = P ∪ Q så står uppenbarligenpå högra sidan en sluten mängd, som innehåller P ∪Q. Alltså gäller P ∪ Q ⊆ P ∪Q(samma resonemang bevisar att P ∩ Q ⊆ P∩Q). Men om en punkt tillhör P, måsteden också tillhöra Q, ty vore den yttre till P ∪ Q, måste den vara yttre punkt tillP. Sammalunda gäller Q ⊆ P ∪ Q och vi finner P∪Q ⊆ P ∪ Q och tillsammans medden nyss härledda omvända olikheten bevisar denna att P ∪ Q = P ∪ Q. Skriv nuP ∪ Q=

(P ∩ Q

)och sätt E = P och F = Q. Om vi i den så erhållna formeln

tar komplement på båda sidor får vi int (E ∩ F) = int E ∩ int F.

Vad får vi nu för formel för randen? Jo, randen är komplement till unionen av extoch int, varför

∂P=P ∪ Q =(P

)∩(Q

)= P ∩ Q,

193 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vilket utsäger att randen är snittet mellan höljet och komplementets hölje. Formelnvisar också tydligt att ∂P = P ∩ P = ∂P. Om vi nu fortsätter, får vi

∂ (∂P) = P ∩ P ∩ (

P ∩ P)

där vi alltså applicerat formeln ∂Q = Q∩Q med Q = P∩P. Vi får räkna en stundför att se vad det blir av randen av randen.

På höger sida gäller först att P ∩ P = P ∩ P = ∂P. Vi har nyss berört problemetmed Q ∩ C, men här är ju både P och P slutna, varför, enligt axiom II, deras snittär slutet och de är alltså sina egna höljen. "Höljeoperatorn" har alltså ingen effektpå en sluten mängd; en sådan innehåller alla sina randpunkter.

Om vi sedan studerar nästa krångliga uttryck på höger sida i vår formel för randenav randen, så finner vi

(P ∩ P

)= P ∪ P = P ∪ P

Summerar vi upp, har vi visat att

∂ (∂P) = P ∩ P ∩(P ∪ P

)medan

∂P=P ∩ P.

194 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Detta ser inte särskilt likt ut och vårt exempel ovan visade ju också att likhet ejbehövde råda. Gör vi emellertid tilläggsantagandet att P är sluten, så att P = P,finner vi att

∂ (∂P) = ∂(∂P)

= P ∩ P ∩(P ∪ P

).

Ett lätt tankearbete visar att högra sidans parentes kan ersättas med universum,d v s M. Formellt bevisas detta genom att distributiva lagen ger(

P ∩ P ∩ P)∪(

P ∩ P ∩ P)

=(

P ∩ P ∩M)∪(

P ∩ P ∩ P)

= P ∩ P ∩(

M ∪ P)

= P ∩ P ∩M

=P ∩ P

varför ∂ (∂P) = ∂P, under förutsättningen att P är sluten.

Nu är randen till varje område sluten, eftersom den går att skriva som snitt mellantvå slutna mängder, och alltså gäller det för varje mängd Q att

∂ (∂ (∂Q)) = ∂ (∂Q) .

195 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Därmed har vi uppnått det resultat vi förutskickat. Vi har bevisat en allmän topo-logisk sats som, även om den gäller i helt abstrakta rum, har ett suggestivt innehåll.Efter dessa formella övningar skall vi återvända till mer allmänna problemställ-ningar.

Om vi tar två olika punkter i vårt rum, finns det då alltid omgivningar till varderapunkten som är disjunkta?

Intuitivt förefaller detta vara ett oeftergivligt krav, och det är också uppfyllt i denvanliga plana topologin. Om vi ser på våra övriga topologier så ligger saken konsti-gare till. I den diskreta topologin klarar vi oss lätt, eftersom vi där som omgivningkan välja de mängder som innehåller respektive punkter och ingenting annat. Varjemängd är ju öppen i den diskreta topologin, och alltså duger varje mängd som om-givning. I den triviala topologin är den enda omgivning till en punkt vi kan finnahela rummet. Den andra öppna mängd som finns är den tomma, och den innehålleringen punkt. I ett sådant topologiskt rum kan vårt krav om disjunkta omgivningartill skilda punkter inte uppfyllas. Av våra exempel återstår det tredje, men därinnehåller varje öppen mängd som ej är tom en viss punkt, och snittet av två öppnaicke tomma mängder kan alltså aldrig bli tomt.

Utfallet var alltså olika i olika exempel, men man kan kanske förstå att ett ac-cepterande av denna separationsegenskap som tilläggsaxiom kan ge ytterligare satserav intresse i tillämpningarna.

196 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Ett topologiskt rum där man alltid till två skilda punkter kan hitta öppna dis-junkta mängder som innehåller punkterna, kallas hausdorffrum (med Hausdorffs"Grundzuge der Mengenlehre" som utkom 1914 startar den moderna allmännatopologin). I ett hausdorffrum är varje mängd som innehåller precis en punkt sluten,vilket alltså inte är allmänt sant!

Vi skall nämna några av de viktigaste metoderna att konstruera nya topologier fråntidigare givna. Först gäller det den topologi som induceras på en delmängd P ⊆ Mav topologin på det topologiska rummet (M,Ω). Som öppen mängd definierar vivarje delmängd till P som uppkommer genom snitt av P och en öppen delmängd tillM. Om vi kallar detta nya topologiska rum (P,Ψ) så innebär vår definition att

Ψ= X ⊆ P|X= P ∩ O med O ∈ Ω .

För att denna definition skall vara, användbar måste vi förstås visa att vårt nyasystem av öppna mängder uppfyller axiomen för sådana. Låt oss exempelvis under-söka det första av dem. Vi skall då visa att snittet av två mängder i Ψ tillhör Ψ(utvidgningen från två till ändligt många görs sedan successivt). Men

(P ∩ O1) ∩ (P ∩ O2) = (O1 ∩ O2) ∩ P

och eftersom O1 ∩ O2 ∈ Ω om O1 ∈ Ω och O2 ∈ Ω är detta axiom uppfyllt. Dentopologi vi får kallas den relativa topologin inducerad av (M,Ω) på P.

197 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi kan använda denna procedur för att från den vanliga topologin i planet härledaden vanliga topologin på linjen. Ur det villkor vi givit i exempel 4 följer då att enmängd på linjen, alltså en delmängd till R, är öppen, om den med varje punkt ocksåinnehåller ett intervall med punkten som mittpunkt. De gängse beteckningarna"öppet" och "slutet" intervall för punktmängderna

x ∈ R | a < x < bx ∈ R | a ≤ x ≤ b

visar sig vara i överensstämmelse med topologins krav, ett öppet intervall är enöppen mängd, och ett slutet intervall är en sluten mängd. Relativisering av dentriviala eller diskreta topologin ger upphov till topologier med samma namn pålinjen.

Om vi vill gå åt andra hållet, finns det också en allmänt användbar procedur atttopologisera produktrum, om vi känner topologierna på respektive "faktorrum". Låt(M,Ω) och (P,Ψ) vara två topologiska rum. Vi önskar på ett naturligt sätt finna entopologi på M×P och detta kan ske på följande sätt. Låt O1 och O2 vara element iΩ och P1, P2, P3, . . . element i Ψ. En delmängd till M×P kallas öppen om den ärunionen av cartesiska produkter av öppna mängder i M respektive P. Uttryckt i enformel blir detta, om vi kallar mängden av öppna delmängder till M×P för Ψ, att

198 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vi harΨ = O ⊆ M×P |O = ∪k (Ok × Pk) .

Vi hoppar över verifikationen att axiomen för öppna mängder är uppfyllda, ävenom denna ej torde innebära några större svårigheter för läsaren. Den procedurvi använt generaliseras naturligtvis direkt till ett godtyckligt antal faktorer i dencartesiska produkten. På dessa sätt kan vi få en naturlig topologi, exempelvis påR×R× . . .×R = Rn, där öppna mängder blir sådana som till varje punkt innehålleren "kub" med punkten som medelpunkt.

Nu behöver man emellertid inte krångla så mycket för att finna en naturlig topologipå Rn. Denna framträder automatiskt om vi förser Rn med en metrik, d v s definierarett avstånd mellan punkter i Rn. Om Rn = x | x = (x1, x2, . . . , xn), så sätter vi

d (x, y) =

√(x1 − y1)2 + (x2 − y2)2 + · · ·+ (xn − yn)2

och definierar därmed en sfär Sx (r) omkring punkten x enligt

Sx (r) = y | d (x, y) < r .

Om vi nu, i analogi med vad vi gjorde i exempel 4, kräver att en öppen mängd medvar och en av sina punkter också innehåller en sfär med denna som sin medelpunkt,så får vi precis den topologi vi ovan skisserade i samband med produktrum.

199 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Ett topologiskt rum där topologin på detta sätt framkommer ur ett avstånd kallas ettmetriskt rum. Detta är en mycket speciell typ av topologiska rum, men de innehållerexempelvis de euklidiska rummen, d v s Rn med det avstånd vi ovan angivit. Vadman kräver i det allmänna fallet av avståndsfunktionen, eller metriken, är följande:

1. d (x, y) = d (y, x) ≥ 0,

2. d (x, y) = 0 medför att x = y,

3. d (x, y) ≤ d (x, z) + d (z, y).

där den sista olikheten är känd under namnet triangelolikheten. Om vi har etttopologiskt rum givet, kan man ställa sig problemet att finna en metrik som gerupphov till rummets topologi, Detta är inte alltid möjligt, men sådana rum där enmetrik kan införas kallas metriserbara.

Som avslutning på denna berättelse om begrepp i allmän topologi skall jag nämna endefinition av begreppet sammanhängande. De flesta av oss har väl en uppfattningom vilka punktmängder som är sammanhängande; den vanligaste föreställningenanknyter nog till vad som brukar kallas bågvist sammanhängande. Vi exemplifierar iplanet: att två godtyckliga punkter i mängden kan förbindas med en kurva som helttillhör mängden. En allmän definition är följande: Ett topologiskt rum är samman-hängande, om det ej kan framställas som unionen av två icke tomma disjunkta öppnamängder. En delmängd är sammanhängande, om den är ett sammanhängande rum

200 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


i den relativa topologin. I den diskreta topologin är inga mängder sammanhän-gande, såvida de innehåller mer än en punkt. I den vanliga topologin blir de endasammanhängande mängderna på en linje intervallen, precis som vi intuitivt önskar.

5.2 Kontinuerliga funktioner, gränsvärden och topologiskaavbildningar

Det är nu dags att sätta våra mer allmäntopologiska funderingar i samband delsmed matematiken i övrigt och dels med de problem vi inledningsvis nämnt i dettakapitel.

Låt oss börja med kontinuerlig funktion. En funktion f : D→ V, där mängderna Doch V förutsätts vara försedda med var sin topologi, kallas kontinuerlig, om inversabilden (som vi kommer att definiera några rader längre ned) till varje öppen mängdär öppen. Om klasserna av öppna mängder kallas Ω och Ψ, så att de topologiskarummen är (D,Ω) och (V,Ψ) så kan vi formulera vår definition av kontinuiteten hosf på följande sätt:

om v ∈ Ψ så gäller att f−1 (v) ∈ Ω.

Användningen av symbolen f−1 kräver en viss förklaring. Härmed avses inte att

201 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


den inversa funktionen existerar. Vi använder bara f−1 (v) som beteckning för denmängd vars punkter har bilder i v, d v s

f−1 (v) = x ∈ D | f(x) ∈ v .

Som logisk övning kan vi övertyga oss om att komplementet till f−1 (v) är f−1 avkomplementet till v:

Df−1 (v) = f−1(Vv).

Detta är en enkel följd av definitionerna på och f−1. Den som vill kontrollera atthan är med bör också övertyga sig om formelns tvivelaktighet om f−1 bytes mot f .

Formeln med komplement som vi just skrivit bevisar att lika väl som vi definieratkontinuitet med öppna mängder, kunde vi ha gjort det med slutna och sagt att enkontinuerlig funktion är en sådan där inversa bilden av varje sluten mängd är sluten.

Båda dessa ekvivalenta formuleringar med öppen och sluten klingar enligt minmening betydligt bättre än en massa resonemang om ε och δ, som brukar återfinnasi matematisk litteratur. Vi skall emellertid sänka oss till att visa, den som är in-tresserad, att det i metriska rum finns en ekvivalent formulering av kontinuiteten,där man med fördel nyttjar nyss nämnda grekiska bokstäver. Först vill jag dockunderstryka vikten av att observera att det är inversa bilden av en öppen mängdsom skall vara öppen. Det är således inte alls säkert att en kontinuerlig funktion

202 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


avbildar öppna mängder på öppna mängder.

Låt oss nu emellertid som utlovat se på vad kontinuitetsdefinitionen ger vid avbild-ning mellan metriska rum. Om y = f (x), så innehåller varje öppen omgivning till yen sfär Sy, och denna är dessutom en öppen omgivning till y. För att inversa bildentill en öppen mängd skall vara öppen, är det alltså både nödvändigt och tillräckligtatt inversa bilden av varje sfär Sy är öppen, d v s innehåller en sfär Sx. Något vari-erat kan detta sägas så; för varje ε > 0 skall f−1 (Sy (ε)) ⊇ Sx (δ) för något δ > 0.Vi är därmed framme vid den klassiska formuleringen: f är kontinuerlig om det tillvarje punkt x och positivt ε finns ett positivt δ, så att det för alla ξ, med |ξ − x| < δ,gäller att

|f (ξ)− f (x)| < ε.

Men nog är öppenformuleringen, bortsett från att den är allmännare, också vackrare!

Vi bör nog spilla några ord på gränsvärden innan vi går vidare. Ofta definieras jukontinuitet med hjälp av gränsvärden och det kunde vi också ha gjort här. För ettinförande av gränsvärden som på ett hyggligt sätt uppfyller de krav vi måste ställa,får vi lov att ytterligare bygga ut vår begreppsvärld, varför vi en stund skall tala ombegreppet filter.

En samling delmängder F till en mängd M kallas ett filter, om följande villkor äruppfyllda:

203 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


1. M ⊇ F ⊇ F1 ∈ F medför att F ∈ F ,2. F1 ∈ F , F2 ∈ F medför att F1 ∩ F2 ∈ F ,3. ∅ /∈ F .

Två berömda exempel på filter är:

• Alla omgivningar till en punkt i ett topologiskt rum (omgivningsfilter).

• Alla delmängder till de naturliga talen som har ändligt komplement(fréchetfilter).

Ett filter F säges vara finare än ett annat G, om F ⊇ G. Detta innebär att det tillvarje G∈ G finns F∈ F med F⊆G.

Vi kan nu definiera gränsvärdet för en punktföljd. Låt N vara mängden av naturligatal och låt (M,Ω) vara ett topologiskt rum. Vi skall undersöka en funktion f : N→M. Låt F vara fréchetfiltret.Vi definierar nu ett filter G på M på följande sätt.

G =

G ⊆ M | f−1 (G) ∈ F.

Om detta filter är finare än omgivningsfiltret till punkten x ∈ M, så säger vi attf har gränsvärdet x enligt filtret F . Detta kan skrivas limF f = x eller, på ettvanligare sätt, limn→∞ f (n) = x.

204 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


På liknande sätt definierar man sedan gränsvärden av funktioner från ett topologisktrum till ett annat. Om (D,Ψ) och (V,Ω) är topologiska rum och f : D → V, sådefinierar vi ett filter G på M med hjälp av ett omgivningsfilter Fx på D på sammasätt som ovan G =

G ⊆ M | f−1 (G) ∈ Fx

. Om G är finare än omgivningsfiltret

till punkten y ∈ M så sägs f ha gränsvärdet y enligt filtret Fx. Man använderockså uttryckssättet att f har gränsvärdet y i punkten x och skriver y = limFx f =limξ→x f (ξ).

Vi kan nu definiera kontinuitet av en funktion i en punkt x på vanligt sätt genomatt kräva att f (x) = limFx f . Om vi kallar en funktion kontinuerlig om den är kon-tinuerlig i varje punkt i definitionsområdet, så syns det att vi får överensstämmelsemed vår tidigare (öppna) kontinuitetsdefinition.

Finessen med filterbegreppet är förmodligen svårfångad i denna korta framställning.Det är emellertid så att man mycket snart även i elementär klassisk analys stöter pågränsprocesser, som är svåra att hantera utan begrepp som filter eller något därmedekvivalent.

Om vi nu har en funktion som avbildar ett topologiskt rum på ett annat, så vetvi vad som menas med kontinuitet. Om den inversa funktionen existerar och ärkontinuerlig, så ger f en en-entydig avbildning av rummen på varandra, där öppnamängder motsvarar varandra. En sådan funktion kallas en homeomorfism eller entopologisk avbildning. Två rum sägs vara topologiskt ekvivalenta, om det finns en

205 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


homeomorfism av det ena på det andra.

Vi kan så definiera topologi som läran om topologiska avbildningar och de egen-skaper som är invarianta under topologiska avbildningar. Sådana egenskaper kallastopologiska.

Vad vi här kommit fram till utgör sammanbindningslänken mellan den allmännatopologin och de problem vi nämnde i kapitelinledningen och vilka vid första an-blicken kanske verkade vara kombinatoriska kuriosa. De egenskaper som där efter-frågades är topologiska, alltså invarianta under homeomorfismer. Vi skall snartåterkomma till den problematiken, men låt mig först i detta avsnitt nämna någotom några andra fascinerande topologiska resultat där kontinuiteten spelar stor roll.

Först som exempel på vad som brukar kallas fixpunktssatser kan vi ta Brouwersfixpunktssats. Den säger att om S är den slutna enhetssfären i ett euklidiskt rum avgodtycklig dimension, så har varje kontinuerlig avbildning f : S→S en fixpunkt, d v sdet finns x0 ∈ S med x0 = f (x0). Den slutna enhetssfären är naturligtvis mängdenS = x | d (x, 0) ≤ 1.Det finns bevis för denna sats som är både roliga och elementära, men de tar tyvärrlite för stor plats. Låt mig i stället upprepa satsen i ett specialfall som möjligenkan vara instruktivt. Tag två lika stora pappersark och placera dem först rakt övervarandra, så att inget sticker utanför det andra. Punkter som då ligger mitt över

206 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


varandra kallar vi i detta sammanhang för motsvarande punkter. Tag sedan och kny-ckla ihop det ena papperet, dock utan att det rivs sönder, och placera pappersbollenovanpå det andra pappersarket, så att ingen del sticker utanför. Då lovar Brouweri sin sats att det finns minst ett par av motsvarande punkter som ligger mitt övervarandra också efter hopknycklingen Jag tror inte att denna sats är vad som brukarkallas intuitivt uppenbar, men den har ju ett suggestivt innehåll. Det är lätt attgenom experiment övertyga sig om att kontinuiteten är nödvändig. River man hål idet misshandlade papperet, kan man lätt undvika att motsvarande punkter råkas.

Någon kanske tycker att det här är ett typiskt exempel på de patologiska svårighetersom verkar tilltalande på matematiker. Jag är inte villig att leverera något merdjupsinnigt försvar, men det kan nämnas att Henri Poincaré, som vi redan citerat iinledningen och vars namn ej bör utelämnas i ett kapitel om topologi, hamnade i enliknande problemställning, när han hade börjat med en undersökning av trekroppars-problemet, alltså ett fundamentalt problem bl a inom astronomin. Vissa fixpunkts-satser leder direkt till existenssatser för lösningar till differentialekvationer, som juanses vara typexemplet på matematik av tillämpningsintresse.

Ett välkänt resultat av topologisk natur är att en reellvärd kontinuerlig funktion somär definierad på ett intervall, om den antar värden med olika tecken i intervalletsändpunkter, måste ha ett nollställe i intervallets inre, alltså att det finns en punktdär funktionsvärdet är 0.

207 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Med liknande överläggningar kan man lösa problemet om skinksmörgåsen, någotsom är av intresse för varje hungrig familj med rättslidelse. Låt oss anta att vi i dettredimensionella rummet har tre disjunkta mängder, som vi kallar smör, bröd ochskinka. Detta är ett matematiskt sätt att beskriva en smörgås. Kan vi då finna ettplant snitt som delar var och en av de tre mängderna i två delar av lika volym, d v skan vi rättvist dela smörgåsen med en kniv? Svaret är faktiskt ja!

5.3 Geometria situs (eller ballonggeometri) och grafteori

Vi hade just konstaterat att topologin är läran om topologiska avbildningar och deegenskaper som är invarianta under sådana. Nu är inte topologiska avbildningar ellerkontinuerliga funktioner något som är direkt säljbart utanför en specialintresseradkrets, och därför har man försökt ge en populärare bild av vad det handlar omgenom att beskriva topologin som "gummibandsgeometri" eller "ballonggeometri".Ett äldre och kanske lika bra namn är "geometria situs", infört av Leibniz. En sådansats som n0 − n1 + n2 = 2, som vi startade med, är lika riktig om vi ritar figurenpå en ballong som på ett plant papper. Den invarianta egenskap som uttrycks iformeln förstörs inte, hur vi än deformerar ballongen, förminskar eller förstorar den,så länge den inte spricker, vilket är den praktiska följden av att transformationenslutar att vara kontinuerlig; vi har då ej längre någon topologisk avbildning. Ur

208 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


topologisk synpunkt är alla ballonger likvärdiga, d v s detta är inte sant för allaprodukter från den mer avancerade ballongindustrin; t ex en ballong i form av enbadring (i matematiken kallad torus) är inte topologiskt ekvivalent med en sfäriskballong. Varje enkel sluten kurva i planet är en topologisk cirkel, och en sådankan alltså mycket väl se ut som en kvadrat eller som randkurvan till ett godtyckligtflikat löv! Jordans kurvsats är en sats om topologiska cirklar. I vissa fall är detjust påvisandet av att en egenskap är topologisk som är av intresse; detta gäller t exdimensionen av Rn.Innan vi går in på några avslutande exempel från ballonggeometri skall jag nämnahur väl den syn på topologin som vi ovan givit passar in i ett program för geometrinsutveckling som formulerades 1872 av Felix Klein och som har kallats "Erlangenpro-grammet".

Klein ser på geometri som ett system av definitioner och satser som är invariantaunder en viss grupp (i algebraisk mening) av transformationer. Mycket av den ele-mentära geometrin handlar om egenskaper som är invarianta under kongruenstrans-formationer, och sedan brukar man fortsätta med studiet av sådant som är invariantunder likställighetstransformationer. Av de transformationer och avbildningar somär av intresse i många av matematikens tillämpningar kan vi nämna de affi na (tillvilka parallellprojektion hör) och de projektiva (som innehåller centralprojektion). Ide nämnda fallen bildar de transformationer vi nämnt en grupp i algebraisk mening

209 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med den naturliga kompositionsregeln för funktioner och transformationer, nämligenatt de utförs efter varandra och på så sätt tillsammans ger upphov till en transforma-tion. Läran om egenskaper som är invarianta under den affi na gruppen kallas affi ngeometri och på motsvarande sätt har vi projektiv geometri. Vi har räknat upp deolika transformationerna med avtagande grad av specialisering, varje kongruensav-bildning är en likställighetstransformation, en projektiv transformation (och ocksåen topologisk avbildning). Ju färre villkor vi lägger på transformationsgruppen,desto fattigare på satser blir motsvarande geometriska teori. De topologiska satservi lyckats erhålla räcker inte för att fylla någon geometribok. Däremot blir ekvi-valensklasserna av de studerade objekten större och större. I kongruensgeometrinär två olika stora cirklar olika, men detta synsätt upphör i likformighetsläran. (Isjälva verket finns det ett stadium "under" kongruensläran, det som handlar omidentitetstransformationen, vilken bildar en triviala grupp med endast ett enda el-ement. I motsvarande geometri är två lika stora cirklar ej ekvivalenta, om de intesammanfaller.) I den affi na geometrin är alla ellipser ekvivalenta med cirklar, medandet i den projektiva geometrin råder ekvivalens mellan kägelsnitt och cirkel. Om ref-erenserna till kägelsnitt och ellips faller utanför någons intresseområde, så är det avmindre betydelse, det viktiga är att klasserna ökar. Vad som är ekvivalent med encirkel i topologin har vi förut varit inne på.

Det kleinska programmet sätter således in vår ballonggeometri i ett vidare geomet-

210 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


riskt sammanhang. Själva programmet har ej undgått kritik, exempelvis i sambandmed att geometrin i bl a Riemanns efterföljd utvecklade sig till ett studium av egen-skaper vars invarianstransformationsgrupp är identiteten som av Klein upplevdessom trivial. För min del måste jag säga att sådana observationer icke på någotsätt eliminerar det fascinerande i Erlangenprogrammets systematisering av ett stortkunskapsområde.

211 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


a) b)

9

5 5

54 4

c)

Figur 5.2: Att rita figurer med ett enda streck

212 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi övergår så till studiet av några kombinatoriskt topologiska problem i planet,problem som alltså gäller ballonggeometri. En typ som i en eller annan form ständigtåterkommer i huvudbryuppgifter gäller att rita en figur bestående av ett antal linjeri ett enda penndrag, utan att lyfta pennan och utan att några linjer genomlöps fleragånger. Vi kan undersöka de figurer som vi använde för kontroll av den Cartesii-Eulerska polyedersatsen i figur 5.1. Experiment visar att det inte tycks gå att klaradelfigur a i ett penndrag, men b är det lätt att klara. Den som betecknats medc erbjuder oöverkomliga svårigheter, även om man tar bort de fyra utskjutandehorisontella linjestyckena. I figur 5.2 har vi i a visat hur mycket av 5.1a som manlätt åstadkommer, i b antyds en lösning av ritning av 5.1b i ett streck, medan c angerett besläktat problem, som vi snart kommer till, nämligen att med en kurva skäraalla linjestycken i en sådan figur, en och endast en gång. Siffrorna anger antaletlinjer som begränsar de olika ytorna, av vilka den som ligger utanför rektangeln fåttnummer 9. Vad är nu den bakomliggande teorin som visar vad som går och integår? Låt oss tänka oss att vi löst problemet och ritat vår figur i ett streck. Om vidå ser på en punkt i figuren, där vi varken startade eller slutade, så måste från denpunkten utgå ett jämnt antal linjer, nämligen de som vi kom in till punkten på vidritningen och lika många som vi avlägsnade oss från punkten på. I allmänhet, d v sför punkter där linjer inte stöter ihop, är antalet två och allt stämmer.

213 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


9

5 54 4

5

a) Den till 17c "dualafiguren"

A

B

D

CFlod

b) Broarna iKönigsberg

c)Königsbergbroarnaschematiserade

Figur 5.3: Några kända topologiska problem

Tittar vi nu på figur 5.1a, så är antalet linjer som stöter samman i punkterna P1,P2, P3, P4, P5 och P6 respektive 1, 3, 4, 3, 2, 3. Här är fyra värden udda; detfinns alltså fyra punkter som vi måste börja eller sluta i och figuren kan ritas i tvåpenndrag, som vi antytt i 5.2a. Om vi sedan undersöker 5.1b, så är alla hörnpunkterjämna utom den översta och de understa, vilket stämmer med lösningen i 5.2b. Denromerska siffran för 17 i 5.1c är alldeles hopplös i sådana här sammanhang. Det gåråt fem penndrag!

Jag påstod att 5.2c, som uppenbarligen också är ett topologiskt problem, var endast

214 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


en variant, av de tidigare uppgifterna. För att se det krävs det en liten matema-tisk omformulering, som måhända är smått finurlig. Vi kan återigen tänka oss attproblemet är löst, och utan att fördärva lösningen kan vi sammanföra kurvbågarnasom går genom en viss yta till en viss punkt, d v s ordna så att de skär eller snuddarvarandra i en och samma punkt i varje delyta av planet. Om vi ritar upp dessa punk-ter i stället (figur 5.3a), skall det finnas en förbindelselinje från en punkt för varjelinjestycke som begränsade motsvarande yta i 5.2c. Vi får i 5.3a en ny kombinationav punkter och linjer, som i någon mening är reciprok till den i 5.2c. Problemet viställde för 5.2c är ekvivalent med problemet att rita 5.3a i ett penndrag. Eftersomde fyra talen 5, 5, 5 och 9 är udda, är detta inte möjligt; vi måste använda tvåpenndrag, som börjar eller slutar i punkterna markerade med 5 och 9. På sammasätt behövs det två penndrag för att skära förbindelselinjerna i figur 5.2c, och demåste börja och sluta i områdena med udda tal.

Denna omformning av ett problem i ett annat är också naturlig i ett av de äld-sta problemen av denna art, som Euler (1707—1783) löste 1735 och betecknade somtillhörande geometria situs. Det är problemet om broarna i Königsberg, som flanör-erna önskade passera en gång var men inte gärna mer, för att undvika att riskera attbli uttråkade. I figur 5.3b finns en (något förenklad) framställning av Köngsbergstopografi och i 5.3c har vi gjort motsvarande reduktion som vi ovan tillämpade ochsom representerar varje stadsdel med en punkt och varje bro med en linje. Vi är

215 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tillbaka, till problemet att rita denna figur i ett penndrag, men våra karakteristiskatal blir 3, 3, 3 och 5, varför vi får ge upp. Accepterar vi att gå en bro två gånger blirproblemet lösbart (två av talen ändras med en enhet), och för att få en promenadsom slutar där den började, vilket ju ofta är praktiskt nödvändigt, måste vi passeraminst två broar två gånger. Men det kan ske i olika riktningar!

Karaktären av kvalificerat huvudbry är det väl svårt att frigöra sig från då manfunderar på "gåtor" av detta slag, men enligt gängse erfarenheter hör även denverksamhet vi just bedrivit till det som brukar väcka någon stilla glädje hos demsom ej är helt okänsliga för matematik. Dessutom har hela fältet som vi här berörtfått en ny aktivitet, för att inte säga vitalitet, under namn av grafteori, en verk-samhet där gemensamma intressen visar sig finnas för kemister, samhällsplanerare,elektrotekniker och ekonomer för att göra ett litet urval. De figurer vi ovan ritat iett streck är speciella exempel på grafer. En graf kan definieras som ett par (M, σ)bestående av en mängd M och en funktion σ : M ×M → N, där N är de naturligatalen. Detta måste verka en smula artificiellt, men låt oss undersöka innehållet enaning närmare. I de fall vi ovan studerat är mängden M just den mängd vilken somelement har punkterna i figuren.

216 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


1 2 3

Gas El Vatten

Figur 5.4: Exempel på en graf som ej är planär

M×M består då av ordnade punktpar. Att σ (P2, P3) är 2 i figur 5.1a innebär att detgår två linjer från P2 till P3. Eftersom vi har ordnade punktpar, kan vi i ovanståendebeskrivning också få in riktade grafer, där vi har en orientering på linjerna. Dåbetyder σ (P2, P3) antalet linjer riktade från P2 till P3 och σ (P3, P2) antalet som ärriktade från P3 till P2. Om vi vill ha en graf av den typ vi ovan studerat, kan vibortse från orienteringen eller definiera σ så att σ (Pi, Pj) = σ (Pj , Pi) och låta dettavara antalet linjer mellan Pi och Pj . Man skall dock inte tro att varje graf enligtden allmänna definitionen kan representeras i planet på det sätt vi tidigare gjort,där förbindelselinjerna mellan de olika punkterna aldrig skar varandra. Ett välkäntexempel på omöjligheten, som ibland också det återfinnes på huvudbryspalterna,är problemet att i ett plan förena var och en av tre villor med tre olika verk: ett

217 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


gasverk, ett elektricitetsverk och ett vattenverk (figur 5.4). Omöjligheten följer t exav Cartesii-Eulers relation. Eftersom n0 = 6 och n1 = 9, skulle n2 vara 5. Var ochen av dessa 5 komponenter begränsas nu av minst fyra linjer, ty vore det bara 3 såskulle en av dem förbinda två objekt av samma sort: två villor eller två verk. Dettaär ej fallet. Om varje komponent begränsas av minst fyra linjer, måste, eftersomvarje linje delas av två komponenter, antalet linjer vara större än 5 · 42 = 10. Dettaär en motsägelse, eftersom n1 = 9. En graf som kan representeras på angivet sätti planet kallas planär. Ytterligare skäl för att inte begränsa grafteori till läran omspeciella geometriska konfigurationer i planet eller rummet ges av D. König (1936)i en av de första monografierna inom området. I anslutning till Sylvester (som förövrigt torde ha varit den förste att använda ordet graf i här avsedd mening) betonarhan grafteorins natur av kombinatorisk abstrakt mängdlära som ur logisk synpunktej har något med rumsbegreppet att göra. I hans allmänna grafteori kan inte baramängden M vara oändlig utan även funktioner tillåts ha icke ändliga värden. Ochdå börjar det bli svårt att åskådliggöra dem!

Vi skall nu redogöra för två tal som är av intresse inom grafteorin och av vilka detena, det cyklomatiska talet, har anknytning till relationen n0 − n1 + n2 = 2, medandet kromatiska sammanhänger med ett av de mest berömda olösta problemen inomden kombinatoriska topologin, nämligen Fyrfärgsproblemet.

218 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


För en graf G definieras det cyklomatiska talet enligt formeln

c (G) = m+ n1 − n0

där m är antalet sammanhängande (för planära grafer har vi tidigare definieratdet topologiskt) delmängder av G, medan n0 och n1 är de av oss tidigare användabeteckningarna för antalet punkter och antalet linjer i grafen. Vi skall inte ge oss inpå den allmänna tydningen av detta tal, men som övning kan det rekommenderasläsaren att göra sig övertygad om att i en planär graf är c (G) + 1 lika med det antalkomponenter som grafen delar planet i.

Vi övergår till det kromatiska talet. En graf sägs vara p-kromatisk om man kandela in punkterna i grafen i p klasser på ett sådant sätt att två punkter i sammaklass aldrig är förbundna med en linje. Om en graf G är p-kromatisk utan att vara(p− 1)-kromatisk, säger man att det kromatiska talet är p och skriver k (G) = p.Om vi har en ändlig graf, är det uppenbart att k (G) alltid är mindre än eller likamed antalet punkter. Det förbluffande är att man kunnat visa att för planära graferså är alltid k (G) ≤ 5, men ingen har kunnat konstruera någon planär graf medk (G) = 5. Däremot är det lätt att finna exempel med k (G) = 4, som framgår avfigur 5.5a.

219 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


1

2

43

a) Här svarar hörnenmot länderna nedan

3 1 2 1 2

3

4

b) En karta över ettantal länder

3 1

1 2

2 1

1 2

4

c) Länder får hasamma färg i en punkt

Figur 5.5: Fyrfärgsproblemet: Ingen har lyckats konstruera en karta där inte fyrafärger (här betecknade med siffror) räcker för att angränsande länder skall ha olikafärger

Förklaringen av det vackra namnet kromatisk kommer om vi tar del av Fyrfärgsprob-lemet. Man tänker sig en karta (exempelvis den i figur 5.5b) över ett antal länderoch man vill färga den på sådant sätt att länder eller områden som har gemensamgräns får olika färg. Däremot får länder av samma färg stöta ihop i en punkt som ifigur 5.5c. Om vi nu gör samma transformation av problemet som vi använde närdet gällde att rita figurer i ett streck, finner vi att det minsta antalet färger sombehövs för att färga en karta är det kromatiska talet för den graf som har en punkt

220 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


för varje land och förbindelselinjer mellan de punkter som representerar länder medgemensam gräns. Jag har dock förstört något av romantiken genom att ersätta deolika färgerna med tal. Problemet om det kromatiska talet för en planär graf äralltså olöst, man förmodar att det alltid är fyra, men ingen har hittills kunnat visadet.1 Vad man visat är att hur komplicerad man än gör en karta, så räcker alltidfem färger för att uppfylla de uppställda fordringarna. Dessutom vet man att omdet finns något exempel på en karta där inte fyra räcker, så måste den ha väldigtmånga länder, men jag har tyvärr inte följt med så noga att jag kan ge det dagsak-tuella budet. För icke-planära grafer finns det ingen motsvarande begränsning avdet kromatiska talet, som man lätt kan förstå, då ju varje punkt kan vara förbundenmed godtyckligt många andra i ett sådant fall. Som illustrerande exempel i detgeometriska rummet kan man tänka sig att man på marken lägger, säg nio, rakapinnar, parallella med varandra, Vinkelrätt mot dessa och ovanpå placerar man nioandra raka pinnar med kvadratisk genomskärning. Vi förenar nu den nordligasteav pinnarna i det undre lagret med den västligaste i det övre lagret till ett område.På samma sätt sätter vi ihop den näst nordligaste med den näst västligaste (figur5.6). Vi får på så sätt nio områden i rummet, som alla gränsar till varandra. Detär uppenbart att konstruktionen kan utföras lika bra för varje annat heltal än nio.

1 Som numer är löst.

221 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Fyrfärgsproblemet är inte det enda problemet i grafteorin som är lätt att fatta mensvårt att lösa. I själva verket överflödar detta område av elementärt fattbara problemsom hittills trotsat många ansträngningar. Som en extra kuriositet kan nämnas attFyrfärgsproblemet, som lika väl kan formuleras som ett problem på sfären som iplanet, också kan överföras till topologiskt mer krångliga ytor, som

1 2 3 4 5 6 7 8 9

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Schematiskt

1 2 3 4 5 6 7 8 9

12

34

56

78

9

Praktiskt

Figur 5.6: Motsvarigheten till fyrfärgsproblemet i rummet. Konstruktionen visaratt inget ändligt antal färger räcker.

torusen (badringen) och Möbius band, på vilket det vanligaste exemplet väl är deten gång snodda skärpet. Om man råkar vrida änden ett halvt varv, innan man

222 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


knäpper, så bildar den väsentliga delen av skärpet ett Möbiusband.

A

B

A

B

A’ A

B’ B

Figur 5.7: Konstruktion av ett Möbiusband

I båda dessa fall känner man dock det minsta antalet behövliga färger exakt, d v sman har exempel som kräver det antal man lyckats bevisa är tillräckligt. För Möbius-bandet är antalet 5 och för torusen 7. Det finns en mångfald topologiska problemsom på andra sätt anknyter till de här i förbigående nämnda krångliga ytorna ochöverhuvudtaget till kombinatoriska problem i det geometriska rummet, exempelvisklassificering av knutar. Vi skall dock sluta vår exemplifiering av speciella topolo-giska problem.

223 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


5.4 Algebraisk-topologiska strukturer

Som tidigare nämnts har mycket av den matematiska utvecklingen under senareår skett i samband med studiet av mängder som har såväl en algebraisk som entopologisk struktur och där det råder ett lämpligt samspel mellan strukturerna.

En mängd G som har gruppstruktur kallas en topologisk grupp, om den har en to-pologisk struktur sådan att den är ett hausdorffrum och om vidare, den avbildningτ : G× G→ G som ges av

τ (x, y) = x ∗ y−1

är kontinuerlig. (Beteckningen y−1 anger inversen till elementet y med avseende påkompositionsregeln ∗).Ett enkelt exempel på en topologisk grupp är den reella talmängden med additionsom kompositionsregel och med den vanliga topologin, alltså den som är given avavståndet d (x, y) = |x− y|. Det är klart att en del av de satser som vi känner tillför den reella talmängden följer ur de egenskaper vi krävt av en topologisk gruppoch är oberoende av de reella talens övriga egenskaper; sådana satser generaliserasomedelbart till topologiska grupper. På liknande sätt kan vi definiera topologiskaringar o s v, men vi skall endast intressera oss för en speciell typ av topologiska vek-torrum, nämligen Banachrum, uppkallade efter den polske matematikern Banach,vars bok "Théorie des opérations linéaires" (1932) i hög grad påverkat den följande

224 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


matematiska utvecklingen.

Ett av kraven på ett Banachrum är att det skall vara ett normerat vektorrum. Ettvektorrum V kallas normerat, om det till varje v ∈ V svarar ett icke-negativt reellttal, ‖v‖, kallat normen av v och sådant att

1. ‖v‖ = 0 endast om v är enhetselementet för vektoradditionen i V,

2. ‖v1 + v2‖ ≤ ‖v1‖+ ‖v2‖ för alla v1, v2 ∈ V,

3. ‖αv‖ = |α| · ‖v‖ för alla skalärer α och v ∈ V.

Dessa antaganden medför att vi kan definiera en metrik genom att sätta d (v1, v2) =‖v1 − v2‖, där naturligtvis v1−v2 = v1+(−v2) där −v2 är invers till v2 med avseendepå addition.

Ett normerat vektorrum kallas Banachrum, om det är fullständigt, d v s om det tillvarje följd (vn)∞1 av element i rummet vilka uppfyller

limm,n→∞

‖vm − vn‖ = 0

det finns ett element v∗ i rummet sådant att

limn→∞

‖vn − v∗‖ = 0.

225 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Av de här uppträdande gränsvärdena har vi ej tidigare definierat lim, men vi kantolka det som taget enligt det filter som består av delmängder till N × N som harändligt komplement.

De ändligdimensionella euklidiska rummen är mycket speciella exempel på banach-rum. Som ytterligare exempel skall vi välja ett av oändlig dimension.

Betrakta mängden x av alla oändliga begränsade reella talföljder, d v s x = (xn)∞1och till varje följd finns det ett tal B sådant att |xn| ≤ B för alla n. Additionen ochmultiplikationen med skalär definieras enligt

x+ y = (xn + yn)∞1 ,

αx = (αxn)∞1 .

Som norm för x tar vi det minsta reella tal som begränsar talföljden (existensenav ett sådant tal är en djup men välkänd egenskap hos de reella talen). Detta talbrukar skrivas supn |xn| och vi sätter alltså

‖xn‖ = supn|xn| .

Det visar sig att vårt rum med dessa definitioner blir ett Banachrum.

Man känner åtskilliga allmänna satser för Banachrum som visat sig ha vad ma-tematikern kallar djup, i den meningen att deras implikationer i olika specialfall

226 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ger intressanta resultat. Funktionalanalysen, som är en gren av matematiken inomvilken mycket av detta sker, har medfört nya framsteg inom andra delar av ma-tematiken, t ex inom differentialekvationsteori, approximationsteori och harmoniskanalys, alltsammans områden som även den tillämpande matematikern tager sig anmed intresse.

227 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Mått och integration

6. Mått och integration

Vi skall nu förse våra mängder med den struktur som krävs bl a för de viktiga områ-den av matematiken som kallas måtteori, integrationsteori och sannolikhetskalkyl.Mycket snart skall vi gå över till enklare tillämpningar, men låt oss först ge enprincipiell beskrivning.

Låt oss utgå från en mängd, som vi den här gången kallar för M. Vi skall närmastintressera oss för vissa delmängder av M, d v s för en delmängdM till mängden avdelmängder till M. Mängden M kan i vissa fall inehålla alla delmängder till M,d v s vara identisk med mängden av delmängder till M, men detta är ej nödvändigt.Vad som är nödvändigt och som alltså är våra förutsättningar är att M skall varasluten för det första vid komplementbildning och för det andra vid bildning avuppräkneliga unioner. Det första betyder att om en viss delmängd tillhör M, såskall dess komplement också göra det. Det andra betyder att om vi har någradelmängder till M som tillhörM, så skall unionen av dem tillhöraM, och detta ejbara om vi har unionen av två, tre eller ett ändligt antal utan även om vi bildarunionen av uppräkneligt många. I mer formelmässig utskrift lyder det sista, om Nbetecknar mängden av de naturliga talen: Om Ak ∈ M för k ∈ N, så skall A ∈ M,där

A = ∪∞k=1Ak = x ∈ M | det finns k ∈ N sådant att x ∈ Ak .

228 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


OmM är mängden av alla delmängder till M, är det klart att våra krav på slutenhetär uppfyllda. Om M sedan också är en ändlig mängd, så blir det hela mycketenklare, eftersom då kommerM att bli ändlig, och våra fina krav på slutenhet viduppräkneliga unioner kommer aldrig in i resonemanget. Om vi tar mer kompliceradefall, är dock detta krav av största intresse. Det är inte så lätt att ge enkla exempeli de fall då M ej är ändlig, men vi kan observera den triviala variantenM = ∅,M,som tydligen uppfyller våra krav. I det viktiga fall då M utgörs av de reella taleneller, som man ibland föredrar att säga, M är reella linjen, så kan man beskriva denmängdM som oftast kommer till användning och som uppfyller våra förutsättningarpå följande sätt.

Vi inför först en mängd av halvöppna intervall, d v s mängder av typen

x ∈ R | a ≤ x < b ,

där a och b är reella tal. Bilda sedan alla komplement och alla unioner av intervallenoch deras komplement och av de mängder som så uppkommer och fortsätt att takomplement och unioner av allt vad som framkommit vid de tidigare utförda opera-tionerna. De mängder som uppkommer på detta sätt kallas Borelmängderna på R(Borel fransman 1871-1956) och är en naturlig grundval för en integrationsteori påR. Vi skall dock ej fördjupa oss i fullt så krångliga om än viktiga konstruktioner.

Ett måttrum (measure-space) är nu en trippel (M,M, σ), där M är en mängd, M

229 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är en mängd av delmängder till M, varvidM är sluten under komplementbildningoch unionsbildning, samt slutligen σ är en reellvärd funktion σ : M → R (där Rbetecknar de reella talen) som är vad man kallar uppräkneligt additiv. Detta begreppdefinieras sålunda. För det första skall σ (A1 ∪ A2) = σ (A1)+σ (A2), om A1∩A2 = ∅,d v s om A1 och A2 är disjunkta. Detta skall vidare gälla inte bara för två mängderoch för ändligt många utan även om man har ett antal parvis disjunkta delmängderAk∞k=1 och bildar deras union. Vi skall alltså förutsätta att

σ (∪∞k=1Ak) = limn→∞

(σ (A1) + σ (A2) + · · ·+ σ (An)

)Den suggestiva terminologin är nu att mängderna som är element iM kallasmätbara,ochM blir alltså mängden av mätbara mängder.

Jag har förut undvikit att använda den speciella symbol som i matematiken ärvanlig för att på ett kortare sätt beteckna en summa, men i detta kapitel är det rättönskvärt att ha den. För ett uttryck av typen

σ (A1) + σ (A2) + · · ·+ σ (An)

brukar man skrivan∑1

σ (Ak) ellern∑k=1

σ (Ak) .

230 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Allmänt sätter man dån∑1

ak = a1 + a2 + · · ·+ an =

n∑m=1

am

och även på liknande sätt exempelvisn∑v=1

f (x, v) = f (x, 1) + f (x, 2) + · · ·+ f (x, n)

Det är alltså likgiltigt vilken bokstav som används som summationsvariabel. Ingetav detta innebär någon ny matematik, endast förenklande beteckningar. För

limn→∞

n∑1

ak = a1 + a2 + a3 + · · ·

brukar man skriva ∞∑1

ak eller∞∑k=1

ak.

Om vi återvänder till vår formel för σ, lyder den i vårt nya beteckningssätt

σ (∪∞k=1Ak) =

∞∑k=1

σ (Ak)

231 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


En funktion med de egenskaper vi förutsatt hos σ kallas ofta ett mått.

Låt oss omedelbart nämna ett av de allra enklaste exemplen på måttrum. Vi tänker,oss en ändlig mängd och låterM bestå av alla delmängder. Funktionen σ definierassom ett fixt tal c gånger antalet element i en delmängd, så att

σ (A) = cp, om antalet element i A ∈M är p.

Om hela antalet element i M är q, väljer man ofta c = 1/q, vilket medför attσ (M) = 1 och att

0 ≤ σ (A) ≤ 1 = σ (A) + σ(A)där A ∈ M.

Den som så önskar kan ha detta exempel kvar i minnet som det typiska fallet istället för den fina generella definitionen på måttrum, när vi nu går att påvisa någraallmänna egenskaper hos mått och måttrum.

En naturlig frågeställning är nu följande. Om vi tittar på måttet av en union av tvåeller flera delmängder som ej är disjunkta, kan man då säga något om dennas mått?

Vi observerar först att unionen A ∪ B kan skrivas som unionen av tre disjunktamängder, nämligen

A ∩ B, A ∩ B och A ∩ B.

232 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


(För vissa läsare kan en figur vara till hjälp.) Att mängderna är disjunkta är upp-enbart, eftersom A och dess komplement A är disjunkta och naturligtvis också Boch B. Vi får att

σ (A ∪ B) = σ(A ∩ B

)+ σ

(A ∩ B

)+ σ (A ∩ B)

Nu är emellertid

A = A ∩M = A ∩(B ∪ B

)= (A ∩ B) ∪

(A ∩ B

)varför

σ (A) = σ (A ∩ B) + σ(A ∩ B

)och likaså, eftersom

B = (B ∩ A) ∪(B ∩ A

)gäller

σ (B) = σ (B ∩ A) + σ(B ∩ A

).

Adderar vi uttrycken för σ (A) och σ (B)

σ (A) + σ (B) = σ (A ∩ B) +[σ(A ∩ B

)+ σ (B ∩ A) + σ

(B ∩ A

)],

233 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


där vi ovan observerat att uttrycket i den kantiga parentesen är lika med σ (A ∪ B).Således gäller

σ (A) + σ (B) = σ (A ∩ B) + σ (A ∪ B)

ellerσ (A ∪ B) = σ (A) + σ (B)− σ (A ∩ B)

Denna formel är mycket välkänd i den speciella interpretation av måtteori som brukarkallas sannolikhetskalkyl eller probabilitetskalkyl. Den generaliseras lätt till mer äntvå mängder genom upprepad användning enligt schemat

σ (A1 ∪ A2 ∪ A3) = σ (A1 ∪ (A2 ∪ A3))

= σ (A1) + σ (A2 ∪ A3)− σ (A1 ∩ (A2 ∪ A3))

= σ (A1) + σ (A2) + σ (A3)− σ (A2 ∩ A3)

− σ ((A1 ∩ A2) ∪ (A1 ∩ A3))

= σ (A1) + σ (A2) + σ (A3)− σ (A2 ∩ A3)

− σ (A1 ∩ A2)− σ (A1 ∩ A3) + σ (A1 ∩ A2 ∩ A3) .

Om vi väljer σ som antalet element i en mängd så tillåter denna långa formel ele-mentära tillämpningar t ex av följande typ.

234 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Exempel 1 I en grupp av 10 musiker kan alla spela åtminstone ett av instrumentenfiol, klarinett eller piano. Det finns 6 violinister, 5 klarinettister och 6 pianister.Både fiol och klarinett kan 2 spela, både fiol och piano 4, medan 3 spelar pianooch klarinett, Hur många spelar alla tre instrumenten? Om mängden bestående avviolinister kallas A1, mängden av pianister A2 och mängden av klarinettister A3, såskall vi beräkna σ (A1 ∩ A2 ∩ A3). Vi har σ (A1) = σ (A2) = 6, σ (A3) = 5, medanσ (A1 ∩ A2) = 4, σ (A2 ∩ A3) = 3, σ (A1 ∩ A3) = 2. Eftersom σ (A1 ∪ A2 ∪ A3) = 10,får vi enligt formeln att

σ (A1 ∩ A2 ∩ A3) = 10− (6 + 6 + 5) + (4 + 3 + 2) = 2,

vilket således är antalet av dem som utövar alla tre instrumenten.

Viktigare exempel på mätbara mängder och mått är de generaliseringar man kommitfram till exempelvis av begreppen längd och yta. Om vi uppehåller oss vid längdutgår man från en enhet för längd som man kommer överens om och som ur vårnuvarande synpunkt är längden för ett lämpligt valt intervall. Genom förhållandeviskomplicerade överläggningar generaliseras detta mått till ett uppräkneligt additivtmått på alla Borelmängder, som ju efter vad vi förut talat om bildar en tillåtenmängdM.

Vad som kan förtjäna påpekas är att mängden M ej kan utvidgas till att omfattaalla delmängder av de reella talen, om man vill ha ett uppräkneligt additivt mått

235 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


som för intervall ger vårt ursprungliga mått. Något mer preciserat innebär dettaatt antagande om existensen av ett mått med dessa egenskaper är oförenligt medde antagandcn och axiom som man brukar nyttja i matematiken och att ett sådantpostulat sålunda leder till paradoxer.

Det skall också tillfogas att många andra praktiska begrepp av exempelvis fysikalisknatur liksom längd och yta som sin matematiska motsvarighet har mått, d v s ma-tematiska begrepp med de egenskaper vi just omnämnt.

6.1 Integraler

Det enklaste exemplet på det matematiska begreppet integral är följande.

Låt oss intressera oss för en ändlig mängd M, låt M vara mängden av alla del-mängder, och fastlägg σ genom att ange σ (x) för varje enskilt element i M. OmM ∈ xnN1 , kan vi också införa beteckningen σ (xn) = σn.

Förutom detta måttrum skall vi också ha en funktion f : M → R som alltså ärdefinierad på M och som antar reella värden. Den är specificerad, om vi anger dessvärden på varje element i M, och vi kan införa f (xn) = fn.

236 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


För uttrycket

f1σ1 + f2σ2 + · · ·+ fNσN =N∑n=1

fnσn =N∑1

f (xn)σ (xn) ,

använder man av historiska skäl beteckningen∫Mf (x) dσ (x) .

Nu finns det en hel integrationsteori, som vi endast skall snudda vid, som sysslarmed att ge mening åt ovanstående uttryck, då M är allmännare mängder, σ är ettmått definierat på lämpliga delmängder och f t ex en kontinuerlig funktion f : M→R. I det fall som vi nämnt ovan och som vi strax skall återvända till för ett litetnoggrannare studium, d v s när mängden är ändlig, definieras integralen helt enkeltenligt formeln ∫

Mf (x) dσ (x) =

N∑k=1

f (xk)σ (xk) =∑x∈M

f (x)σ (x) ,

där vi i sista ledet visat ytterligare ett sätt att använda summations tecknet.

237 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Ett sätt att bygga upp en integrationsteori som ofta används är att först definieraintegralen för funktioner som är konstanta på mätbara mängder, vilkas union är helaM. Låt oss tänka oss en funktion g : M→ R, som definieras på följande sätt

g (x) = ci för x ∈ Ai ∈M, i = 1, 2, . . . , n

där Ai är disjunkta sådana att ∪ni=1Ai = M.

Vi har alltså en uppdelning, en s k partition, av M i ett antal, i detta fall n, disjunktadelmängder och en funktion g, som är konstant på var och en av dessa delmängder.För en sådan funktion definieras integralen enligt formeln∫

Mg (x) dσ (x) =

n∑i=1

ciσ (Ai) .

För att komma vidare till ett generellare integralbegrepp kan man nu göra så attman approximerar funktioner f av annan typ med funktioner med de egenskapersom vi ovan förutsatt hos g. Om för alla sådana funktioner g som i någon meningapproximerar f väl, värdena av

∫M g (x) dσ (x) ligger nära ett fixt tal, kan vi defi-

niera∫M f (x) dσ (x) som detta värde. Ett genomförande av denna procedur i det

mest kända fallet, nämligen kontinuerliga funktioner på reella axeln, leder (om mansom mängder Ai för funktionerna g tar intervall) till det vanliga integralbegrep-pet. Genom något mer raffi nerade konstruktioner av liknande art uppnår man mer

238 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


avancerade integralbegrepp som spelar en dominerande roll i den moderna matema-tiken.

y

x

a) Kvartscirkel med radie 1

1 ytenhet

b) 1 cm2

x

y1

c) x2 + y2 = 1

Figur 6.1: Beräkning av ytor

Som ledning vid införandet av det abstrakta begreppet integral tar man ofta detintuitiva begreppet yta. Sedan man infört en ytenhet (t ex 1 cm2), är det förhål-landevis enkelt att definiera vad som menas med ytan av en rektangel. Jag tänker

239 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


mig denna yta angiven med ett tal; med en viss rätt hävdar vissa författare att denrätta benämningen av detta tal är mätetalet för rektangelns yta. Hur det nu än ärmed det, så är det mycket svårt att tala om vad vi menar med ytan av ett områdesom ej är begränsat av räta linjer. Om vi som exempel funderar på cirkeln, så har vipå ett stadium långt innan vår kritiska läggning var uppövad, lurats acceptera rim-ligheten av en formel πr2, som exempelvis kan användas för att beräkna hur mycketmålarfärg som går åt för att måla en cirkelrund dansbana. Som erfarenhetsgrundatnaturvetenskapligt resultat är detta godtagbart, men för att få fram en matematiskttillfredsställande definition på yta måste vi använda en procedur som påminner omvad vi just beskrivit som definition av integral.

Ett naturligt sätt (jfr figur 6.1a, där vi begränsat oss till en kvartscirkel med radien1) är att utanför och innanför cirkeln konstruera områden som är uppbyggda avrektanglar och som därför har känd yta. Kan vi visa att dessa kan väljas så, attskillnaden mellan yttre och inre rektangelområdens ytor blir mindre än varje upp-givet positivt tal, kan vi välja det reella tal som är större än alla inre rektangelytoroch mindre än alla yttre rektangelytor som definition på kvartscirkelns yta. Dettaprogram är genomförbart och är en exakt parallell till införandet enligt vår tidigarebeskrivning av den abstrakta integralen∫

M

√1− x2 dσ (x) ,

240 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


där M = x | 0 ≤ x ≤ 1 och σ är det mått som uppkommer ur intervallens längderi vanlig mening. Denna integral brukar i elementär matematik skrivas∫ 1

0

√1− x2 dx

och 4 gånger det så definierade talet brukar kallas för π (pi) och har det ungefärligavärdet 3.14159265.

Att√

1− x2 kommer in sammanhänger med Pythagoras sats (se figur 6.1c).Av vad vi hittills sagt framgår att integrationsteorin kan byggas upp med ut-gångspunkt från vissa enklare varianter. I vissa delar av numerisk matematik ärdet aktuellt att gå den andra vägen.

Om man har utvecklat en allmän teori för integraler, som ger den abstrakta motsva-righeten till det praktiska ytbegreppet, kan det vara av intresse att ha en så enkelformel som möjligt som med hygglig approximation ger ett värde på integralen.Detta kan uppnås genom att man förändrar måttet, så att det kommer att koncen-treras i vissa punkter. Som exemplifiering kan vi ta det reella intervallet (a, b) ochdet vanliga måttet på linjen. Då gäller att

∫ ba f (x) dx och därmed ytan mellan f

och vissa linjer approximeras av

1

6(b− a) f (a) +

2

3(b− a) f

(a+ b

2

)+

1

6(b− a) f (b)

241 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med god noggrannhet, om f är snällt varierande. Det approximerande uttrycket kanbetraktas som integralen av f med avseende på ett mått med alla mängder mätbaraoch måttet = 0 på dem som ej innehåller a, b eller a+b2 , medan måttet på en mängdsom innehåller punkten a men ej b och 1

2(a+ b) är 16 (b− a) o s v. Många andra ochi diverse avseenden bättre formler för numerisk integration finns.

Denna skiss är inte given med förhoppningen att den skall ge någon djupare insikti integralers handhavande. Det bör dock understrykas att de egenskaper som ovanbetonats är betydligt mer centrala för integraler, som de brukas i matematiken, ändet resonemang om derivatans omvändning (vad detta nu är) som man, lätt råkarin i om man begränsar sig till verksamhet på reella axeln. Vi kommer i ett följandekapitel att beröra derivator, begrepp som införs med hjälp av gränsvärdesbegreppet.Den läsare som studerat elementär differential- och integralkalkyl på traditionelltsätt har säkert ofta fått uppfattningen att kunskap om derivering är en lämplig föratt inte säga nödvändig förutsättning för studiet av integraler. I själva verket ärintegraler oftast det enklare begreppet, och avsikten med detta avsnitt har varit attantyda hur de kan införas på ett direkt sätt i anknytning till mängdläran.

Om vi återvänder till de ändliga mängderna, där således integralen är given av

242 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


summor enligt formeln ∫Mf (x) dσ (x) =

∑x∈M

f (x) dσ (x) ,

kan vi observera att integralen har följande egenskaper, om vi betraktar den som enfunktion I från mängden av funktioner med reella värden och definierade på M tillde reella talen. Vi inför beteckningen

I (f) =

∫Mf (x) dσ (x)

och förutsätter att σ är ett positivt mått, d v s att dess värdeförråd endast innehållericke-negativa tal. Då gäller

a. I (c1f1 + c2f2) = c1I (f1) + c2I (f2)

b. f1 ≥ 0 medför I (f1) ≥ 0.

(f1 ≥ 0 betyder att f1 ingenstädes antar negativa värden). Här är c1 och c2 reellatal och f1 och f2 funktioner från M till de reella talen. Man kan vidare observeraföljande kontinuitetsegenskap: Om f1, f2, . . . , fn, . . . är en följd av funktioner som äravtagande på varje element iM i den meningen, att varje efterföljande funktion antarvärden som är mindre än eller lika med de föregåendes på varje element i mängden,

243 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och om dessutom följden av funktionsvärden på de enskilda elementen kommer alltnärmre och närmre 0, så skall I (fn) för stora n ligga mycket nära 0. I formel skrivsdetta

c. Om i följden fn∞1 det gäller att fn ↓ 0, så skall I (fn) ↓ 0.

Just de egenskaper som vi här räknat upp under a, b och c är karakteristiska förintegraler, varvid dock c naturligtvis fordrar en mer utförlig tydning i allmännaresammanhang. Varje funktion I med dessa egenskaper brukar anses förtjäna beteck-ningen integral, vilken också användes för skillnaden mellan två sådana funktioner.

6.2 Sannolikhetskalkyl och statistik

För studiet av positiva mått med egenskapen σ (M) = 1 använder man, som vi ovanberört, ofta beteckningen sannolikhetskalkyl, som alltså ur denna synpunkt är engren av matematiken, närmare bestämt av måtteorin. Utvecklingen av denna del avmatematiken har dock skett i nära samband med olika tillämpningar på praktiskaproblem. Statistik är en utommatematisk teori, som förutom med undersökningarav sannolikhetskalkylens tillämpning och tillämpbarhet mer allmänt intresserar sigför insamling, redovisning och systematisering av data.

I sannolikhetskalkylen använder man ett pittoreskt språkbruk, som ger, associationertill de avsedda tillämpningarna. Den grundmängd M man har kallas utfallsrum, och

244 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


de olika delmängderna kallas händelser. Om två delmängder är disjunkta, sägsmotsvarande händelser vara varandra uteslutande. Måttet på en delmängd kallasför sannolikheten för motsvarande händelse, och vår formel

σ (A ∪ B) = σ (A) + σ (B)− σ (A ∩ B)

kallas i detta sammanhang sannolikhetskalkylens additionslag. Integralen av enfunktion f med avseende på ett mått med σ (M) = 1 kallas allmänt i måtteorinmedelvärdet av funktionen. I sannolikhetskalkylen kallas en funktion definierad påutfallsrummet en stokastisk variabel, och dennas medelvärde benämns väntevärdetav den stokastiska variabeln.

Vi skall ej här gå närmare in på den vackra teori som sannolikhetskalkylen utgör,ej heller skall vi intressera oss för de antaganden som ligger till grund för desspraktiska tillämpning. Över mått- och integrationsteorin råder ett samband mellansannolikhetskalkylen och andra praktiska tillämpningar av måtteorin, t ex på massoroch deras fördelning, tyngdpunkter och moment. Sådana samband verkar av skälsom tidigare anförts befordrande på den vetenskapliga utvecklingen och är ocksåförklaringen till en hel del överraskande terminologi i de olika vetenskapsgrenarna.

245 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Tal

7. Tal

Här och där i det föregående har vi haft anledning att anknyta till vår gemen-samma kunskap om tal av olika slag, i en strängare matematisk framställning skulleinte detta gå för sig, utan då skulle vi vara tvungna att bygga upp mängdläranutan talexempel och därefter definiera talen. Detta bör förmodligen understrykaseftersom en av de mest populära uppfattningarna om matematik är att det är veten-skapen om tal (möjligen finns det något som heter geometri också). Vi har redansett många exempel på matematisk verksamhet där talen antingen helt saknas ellerär synnerligen väl kamouflerade. Men inte heller i de delar av matematiken därtalen kommer till användning är de givna i förväg på någon utommatematisk väg,utan om matematiken byggs upp på mängdlärans grund, så kan och skall också denaturliga talen definieras.

Problemet om talens ursprung och möjligheten att bevisa de enklaste räknelagarnasom att 2 + 3 = 3 + 2 har sysselsatt många. Ännu på senare halvan av 1800-taletformulerade den förstklassige tyske matematikern Kronecker sitt bekanta uttalandeatt de naturliga talen är skapade av Gud, övriga tal är människans verk. Vi skallhär ägna några sidor åt att antyda hur det går till att definitionsmässigt introducerade naturliga talen och hur man sedan kan härleda våra vanligaste räknelagar.

Sedan väl de naturliga talen införts, är det bra mycket lättare att med den teknik som

246 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


står till förfogande inom mängdläran utvidga talbegreppet till positiva och negativaheltal och till de rationella talen. När det gäller att ta sig vidare till de reella talenfår vi ta till mer komplicerade hjälpmedel som anknyter till vad vi haft för oss itopologikapitlet. Vi skall inte heller dra oss för de komplexa talen vilka vi skallinföra genom en metod som ger oss anledning att påminna om algebraavsnittet.

De metoder som vi använder i detta kapitel och den framställning vi ger har mycketlitet gemensamt med den historiska utvecklingsgången. De positiva irrationella talenvar visserligen kända och nyttjade av grekerna århundraden före Kristi födelse menden stränga teorin kom först omkring 1870. Fram till dess, kan man något tillspetsatsäga, hade man fått klara sig med en av Eudoxos (300-talet f kr) given definition avlikhet mellan irrationella tal.

De negativa talen, ja t om de negativa rationella, hade svårare att slå igenom än depositiva irrationella och accepterades allmänt först på 1700-talet.

Som exempel på svårigheterna med negativa tal kan jag citera en riktigt trevliglärobok i matematik tryckt i Edinburgh 1823, som jag har i min ägo. Författaren ärmycket missbelåten med att många berömda matematiker, bland dem även Euler,har hävdat att negativa tal är mindre än noll eller, som författaren säger, ingenting.Detta är oantagbart, säger han, för finns det någonting som utmärker ingenting, såär det säkerligen att det är mindre än den minsta av alla möjliga storheter!

247 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Teorin för komplexa tal utvecklades av den nyss nämnde Euler (1707—1783) och komi allmänt bruk på 1800-talet. Ännu i våra dagar vilar någon sorts mystik av högrematematik över de komplexa talen, och den förut citerade skotten säger om dem:

Sådana uttryck kallas imaginära eller omöjliga tal; många absurda ochbortkastade spekulationer har förekommit beträffande deras natur.

Mer absurda än att de haft glänsande framgångar inom fysiken —från elektricitets-lära och framåt —har dessa omöjliga tal dock ej visat sig vara.

Att det blir besvärligt att utveckla talbegreppet vidare och vidare till allt störrekomplexitet låter säkerligen ej förvånande men som i så mycken annan verksamhetär även den omvända vägen besvärlig: att undersöka grunderna för de enklaste talen,de naturliga. Jag vill inte undanhålla läsaren de tröstens ord som den amerikanskematematikern Paul Halmos inflikat i sin Naive set theory (1960) i anslutning till enbehandling av dessa frågor (som jag för övrigt nära ansluter till)

The slight feeling of discomfort that the reader may experience in con-nection with the definition of natural numbers is quite common and inmost cases temporary.

248 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


7.1 Naturliga tal

Vi kunde här anknyta till de tankegångar som förekom vid införandet av kardinaltali avsnittet om mängders mäktighet. Jag väljer dock en annan metod att införade naturliga talen, vilken anvisats av den redan i inledningen omnämnde John vonNeumann (död 1957) och som betonar den egenskapen hos de naturliga talen att deutgör en ordnad mängd.

Vi definierar talet 0 som den tomma mängden. Talet 1 definieras som den mängdsom består av 0. Talet 2 är den mängd vilken som element har 0 och 1. Allmäntdefinieras efterföljaren till ett taln som den mängd som är unionen av den mängdsom har n som element och den mängd som definierar n. Det tal som är efterföljaretill n betecknas n+. I formler skulle ovanstående bli

0 = ∅, 1 = 0 , 2 = 0, 1 , 3 = 2 ∪ 2 = 0, 1, 2 , . . .

eller allmänt0 = ∅, n+ = n ∪ n = 0, 1, 2, 3, . . . , n .

Vi behöver naturligen ett axiom som säger att det finns en mängd som dels innehåller0 och dels till varje element också dettas efterföljare. Den minsta mängd som hardenna egenskap betecknar vi ω. Den är unionen av 0 och den mängd vi tidigare

249 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


betecknat N och kallat de naturliga talen, och den kan intuitivt skrivas

ω = 0, 1, 2, . . .

på samma sätt som vi även förut gjort.

På grundval av ovanstående definition kan man sedan bevisa de satser som är kändaför de naturliga talen. Speciellt kan vi få fram den grupp av egenskaper som brukarkallas Peanos axiom, efter italienaren Peano som formulerade dem i slutet av 1880-talet. Om man ej vill forska i grunderna startar man med dessa satser som axiomoch bygger den vidare teorin på dem. De lyder som följer: Det finns en mängd ωoch en funktion f : ω → ω sådana att det, med beteckningen m+ = f (m), gäller att

I. 0 ∈ ω.II. Om n ∈ ω, så gäller n+ ∈ ω.III. S ⊂ ω, 0 ∈ S och om n+ ∈ S så snart n ∈ S, så gäller S = ω.

IV. Om n ∈ ω så gäller n+ 6= 0.

V. Om m ∈ ω, n ∈ ω, m+ = n+, så gäller m = n.

Den tredje satsen brukar kallas induktionsaxiomet.

Vi skall inte närmare utreda hur dessa satser följer ur den ovan givna definitionenav tal. Somliga är omedelbara konsekvenser, medan t ex V är rätt så besvärlig.

250 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Accepterar vi Peanoaxiomen kan vi lätt definiera addition och multiplikation avnaturliga tal och bevisa att dessa kompositionsregler är kommutativa, associativaoch distributiva, egenskaper som vi redan i mängdlärekapitlet glatt förutsatte.

Den procedur man får använda ser ut ungefär som följer: Vi vill definiera summanav två tal m och n, ett tal som förtjänar beteckningen m+n. Vi startar då med attsätta

m+ 0 = m

ochm+ p+ = (m+ p)+ .

Det är uppenbart att enligt definitionen är m + n något helt annat än n + m ochden kommutativa lagen kräver ett bevis. Likaså är (k +m) +n något helt annat änk + (m+ n).

Eftersom det är något enklare, kan vi kanske nöja oss med att exemplifiera genomatt bevisa denna associativa lag. Vi önskar alltså visa att

(k +m) + n = k + (m+ n)

Först observerar vi att

(k +m) + 0 = k +m = k + (m+ 0) .

251 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Antag nu att vi visste att för ett visst p ∈ ω gäller

(k +m) + p = k + (m+ p) .

Vi finner

(k +m) + p+ = [(k +m) + p]+ = [k + (m+ p)]+ = k + (m+ p)+

= k +(m+ p+

)Om vi nu sätter

Sk,m = p ∈ ω | (k +m) + p = k + (m+ p)

så vet vi att 0 ∈ Sk,m, och dessutom, att om p ∈ Sk,m så gäller också p+ ∈ Sk,m.Enligt Peanoaxiom III har vi då Sk,m = ω och vårt bevis är klart.

Multiplikation definieras med utgångspunkt från

m · 1 = m, m · n+ = m · n+m,

varefter vi kan bevisa multiplikationens olika berömda egenskaper.

Jag skall nöja mig med dessa antydningar om hur det hela kan göras och samtidigtpåminna om att lärobyggnadens motsägelsefrihet är dubiös. Ett utökat forskande igrunderna riskerar dock att göra det tidigare nämnda obehaget för läsaren alltförstort, även om det enligt Halmos oftast endast är temporärt.

252 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


7.2 Ringen av heltal

Nu skall vi närmast intressera oss för hur mängden ω utvidgas till alla heltal, alltsåhur de negativa talen kan införas. Vi kommer också att finna att mängden av allaheltal som vi kallar Z är en ring i den mening vi gav detta ord i algebrakapitlet.Den situation vi skall försöka sätta oss in i är att det ännu inte finns några negativaheltal. Vi har mängden ω, och vi kan addera och t om multiplicera elementen iω, men vi kan inte lösa en ekvation sådan som x + 4 = 2. Om det finns ett "tal"som löser denna ekvation, bör detta enligt lagen om additionens associativitet haegenskapen

x+ 5 = (x+ 4) + 1 = 2 + 1 = 3

och vidare x+ 6 = 4, x+ 7 = 5 o s v.

Det typiskt matematiska greppet är nu att definiera detta tal x som ännu intefinns som mängden av alla dessa element i ω som bestämmer det, alltså x =(n, n+ 2) | n ∈ ω. I och för sig hjälper ju inte detta mycket, men därefter skallvi införa räkneregler för de nya talen, se efter att de gamla kan passas in i det nyasystemet och på så vis få en verklig utvidgning.

Detta går nu till på följande sätt. Vi startar med mängden ω och intresserar oss förproduktmängden ω × ω och en relation B på ω × ω. En relation på ω × ω är efter

253 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vad vi förut konstaterat en delmängd till (ω × ω)× (ω × ω). Vi definierar B genom

(m1,m2) B (n1, n2) om och endast om m1 + n2 = n1 +m2.

Att relationen B är en ekvivalensrelation är nu lätt att se. Reflexiviteten är uppenbaroch likaså symmetrin. Transitiviteten bevisas genom addition av likheterna

m1 + n2 = n1 +m2 och n1 + p2 = p1 + n2

som uttrycker (m1,m2) B (n1, n2) och (n1, n2) B (p1, p2). Vi får

m1 + (n2 + n1) + p2 = p1 + (n2 + n1) +m2,

d v sm1 + p2 = p1 +m2

genom användande av en förenklingslag, som vi ej strikt bevisat. Slutresultatetutsäger att (m1,m2) B (p1, p2) och transitiviteten är bevisad.

Enligt den allmänna teorin ger nu ekvivalensrelationen upphov till en partition av ω×ω i ekvivalensklasser. Ett heltal definieras som en ekvivalensklass i denna partition;mängden som består av alla ekvivalensklasser är Z.

254 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Låt oss använda bokstäver med index 0 för att beteckna dessa heltal, och låt en rep-resentant för ekvivalensklassens element innehålla samma bokstav, så att (m1,m2)är ett element i heltalet m0.

Vi skall nu införa kompositionsregler på Z och vi skall benämna dem addition ochmultiplikation.

Addition definieras sålunda: Om (m1,m2) ∈ m0 och (n1, n2) ∈ n0, så är m0 + n0den ekvivalensklass som innehåller paret (m1 + n1,m2 + n2). Att denna definitionblir oberoende av representantvalet är lätt att kontrollera:

Låt (m′1,m′2) och (n′1, n

′2) vara två andra representanter. Vi har då att visa att

(m1 + n1,m2 + n2) och (m′1 + n′1,m′2 + n′2) tillhör samma ekvivalensklass. Nöd-

vändigt och tillräckligt för detta är att

m1 + n1 +m′2 + n′2 = m′1 + n′1 +m2 + n2

Eftersom m1 +m′2 = m′1 +m2 och n1 + n′2 = n′1 + n2 följer detta omedelbart.

Vi skall nu också övertyga oss om att mängden Z bildar en abelsk grupp underden addition vi infört. Att denna addition är associativ och kommutativ följerdirekt av motvarande egenskaper på ω. Enhetselementet för addition i Z är denekvivalensklass som innehåller (0, 0) d v s (n, n) | n ∈ ω. Det återstår då endast

255 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


att finna inversen till ett givet heltal, och det är lätt gjort, eftersom

(m1,m2) + (m2,m1) = (m1 +m2,m1 +m2)

där högra sidan är det additiva enhetselementet. Om vi betecknar inversen till m0

med −m0, har vi just funnit att

om (m1,m2) ∈ m0 så gäller att (m2,m1) ∈ (−m0) .

Som definition av multiplikation på Z har vi nu att produkten av m0 och n0 skallvara den ekvivalensklass som innehåller (m1n1 +m2n2,m1n2 +m2n1) om som förut(m1,m2) ∈ m0 och (n1, n2) ∈ n0.Må det vara tillåtet att åt läsaren överlåta att, om han känner behov därav, kon-trollera att definitionen är oberoende av representantval. Vi skall ej heller gå igenomalla axiomen för en ring, men vi observerar att ringen har en multiplikativ enhet,nämligen den ekvivalensklass som innehåller (1, 0). Ringen visar sig också saknanolldelare d v s produkten av två element blir aldrig lika med den additiva enheten,såvida inte, någon av faktorerna är denna enhet.

Låt oss, för att ha gjort något, kontrollera den distributiva lagen på Z.Om (m1,m2) ∈ m0, (n1, n2) ∈ n0 och (p1, p2) ∈ p0, så är en representant för

256 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


p0 · (m0 + n0) given av

(p1, p2) · (m1 + n1,m2 + n2) = (p1m1 + p1n1 + p2m2 + p2n2,

p1m2 + p1n2 + p2m1 + p2n1)

medan(p1, p2) · (m1,m2) = (p1m1 + p2m2, p1m2 + p2m1)

och(p1, p2) · (n1, n2) = (p1n1 + p2n2, p1n2 + p2n1) .

Addition av de två sista likheterna ger dock tydligen den första och vi har alltså

(p1, p2) · (m1 + n1,m2 + n2) = (p1, p2) · (m1,m2) + (p1, p2) · (n1, n2)

eller skrivet med elementen i Z d v s heltalen

p0 · (m0 + n0) = p0 ·m0 + p0 · n0.

Vi anser oss nu ha visat att denna mängd Z av ekvivalensklasser, delmängder tillω × ω, är en ring med kompositionsreglerna givna ovan. Med vilken rätt är det nusom vi säger att vi utvidgat ω till Z? Vi har ju låtit ω helt försvinna:

257 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Svaret på denna fråga är att vi kan identifiera ω med en delmängd till Z. Det finnsalltså en delmängd till Z som är isomorf med ω i den meningen att motsvarighetenär en-entydig och bibehålls vid såväl addition som multiplikation. Denna isomorfiär given genom avbildningen p ↔ p0 där p ∈ ω och p0 är den ekvivalensklass sominnehåller (p, 0). Vi kontrollerar att våra definitioner av addition och multiplikationger

(p, 0) + (q, 0) = (p+ q, 0) , (p, 0) · (q, 0) = (p · q, 0)

vilket är nödvändigt för isomorfin.

Vi kan således påstå att vi utvidgat ω. Vi har i själva verket med mängdlärans hjälpbyggt upp ett större system Z med en med ω isomorf delmängd.I matematiken är man nu inte så noga med att skilja på olika objekt som är isomorfa.Vi skall därför göra en identifikation av p och p0 och överhuvudtaget av element iω och Z som motsvarar varandra. I det sammanhanget skall vi också förenklabeteckningarna på övriga element i Z.

Ett element i Z som innehåller (n, 0) med n ∈ ω betecknas n.Ett element i Z som innehåller (0, n) med n ∈ ω betecknas −n.

Tydligen blir då 0 = −0 och n + (−n) = 0. Den multiplikativa enheten får beteck-ningen 1. Vi bör naturligtvis övertyga oss om att samtliga element i Z fått nya

258 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


namn i detta dop men det är lätt att se att varje par är ekvivalent antingen med ettav typen (n, 0) eller av typen (0, n) med n ∈ ω.I fortsättningen kan vi på Z utnyttja allt vad vi vet eller kan härleda om kommutativaringar utan nolldelare, exempelvis att n · 0 = 0 och att (−m) · (−n) = m ·n. Vi skallockså passa på att definiera kompositionsregeln subtraktion genomm−n = m+(−n)och i samband därmed olikheter. Vi skriver m ≥ n och n ≤ m om (m− n) ∈ ω.

7.3 Rationella talkroppen

Idén är nu att vi skall vara så uppiggade av framgången med heltalsringen att vi utanalltför stora invändningar accepterar ett likartat införande av de rationella talen medhjälp av en ekvivalensrelation på Z×Z. I själva verket skall vi inte intressera oss såmycket för Z × Z som för den mängdprodukt vi får om vi som andra faktor tar Zmed undantag av 0. Enligt vår metod att beteckna komplement kan denna mängdskrivas Z 0. Den ekvivalensrelation C som vi skall studera på Z× Z 0 är givenav

(m1,m2) C (n1, n2) om m1 · n2 = m2 · n1.

Man bör observera att förändringen av den andra faktorn till Z 0 medför att vårapar aldrig har 0 som andra element.

259 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Liksom förra gången är reflexivitet och symmetri hos relationen C triviala; Transi-tiviteten följer av att m1 · n2 = m2 · n1 och n1 · p2 = n2 · p1 medför m1 · n2 · n1 · p2 =m2 ·n1 ·n2 ·p1. Är n1 ·n2 6= 0 kan det divideras bort, och vi fårm1 ·p2 = m2 ·p1, vilketbetyder att relationen är transitiv, eftersom (m1,m2) C (n1, n2), (n1, n2) C (p1, p2)medför (m1,m2) C (p1, p2).

Talet n2 kan ej vara 0 enligt definitionen. Vore n1 = 0, så måste även m1 och p1vara 0, och då gäller också att m1 · p2 = m1 · p2. Transitiviteten är alltså klar.De ekvivalensklasser vi får på Z × Z 0 kallar vi nu för rationella tal, och förmängden av rationella tal använder vi beteckningen Q. Vi skall definiera additionoch multiplikation och göra det troligt att Q med dessa kompositionsregler är enkropp.

Addition definieras genom den komplicerade formeln

(m1,m2) + (n1, n2) = (m1 · n2 +m2 · n1,m2 · n1)

som ger en representant i den ekvivalensklass som definieras som summan av deekvivalensklasser vilka har representanterna (m1,m2) och (n1, n2).

Vi observerar att vi alltid får ett element i Z × Z 0, eftersom m2 6= 0, n2 6= 0medför m2 · n2 6= 0.

260 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


En representant för produkten av samma tal får vi enligt formeln

(m1,m2) · (n1, n2) = (m1 · n1,m2 · n2) .

Additiv enhet är den klass som innehåller (0, 1) och multiplikativ enhet den sominnehåller (1, 1).

Vi skulle nu kunna kontrollera att alla lagar som, krävs är uppfyllda för att Q skallvara en kropp. Att Q är en utvidgning av Z framkommer genom att Q har endelmängd som är isomorf med Z och vi identifierar på samma sätt som förut det tali Q som utgörs av ekvivalensklassen innehållande (n, 1) med elementet n ∈ Z. Attdivisionen blir utförbar i Q följer av att definitionen av multiplikation medför att

(m1,m2) · (m2,m1) = (m1 ·m2,m2 ·m1) .

och elementet på högra sidan är C-ekvivalent med (1, 1), om ejm1 = 0; varje elementutom den additiva enheten har således en invers.

För att återkomma till våra vanliga rationella tal har vi endast att införa betecknin-gen

m1

m2= (m1,m2)

och betrakta alla representanter som lika och användbara som beteckning på klassen,

261 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


varefter våra vanliga formler följer, exempelvis

m1 · qm2 · q

=m1

m2om q ∈ Z och q 6= 0.

Som framgår av detta är till skillnad mot våra beteckningar för heltal beteckningarnainte entydiga, utan t ex är

2

3=

4

6.

Detta är emellertid ett historiskt faktum, som vi ej kan ändra.

För fortsättningen behöver vi definiera olikhetsrelationen på Q.Det ligger nära till hands att förfara på liknande sätt som för Z. Denna gång måstevi dock först införa en motsvarighet till de icke-negativa talen i ω. Vi definierarQ+ genom att säga att ett rationellt tal tillhör Q+, om det för varje representant(m1,m2) gäller att m1 ·m2 ∈ ω.Att denna definition är användbar beror på att om vi tar en annan representant(n1, n2), så gäller m1 · n2 = m2 · n1, och härav följer

m1 ·m2 · n2 · n2 = m2 ·m2 · n1 · n2.

Beroende på att n2 · n2 ∈ ω och m2 ·m2 ∈ ω innebär detta att m1 ·m2 och n1 · n2

262 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


samtidigt tillhör ω. Är detta väl avklarat, kan vi definiera

m1

m2≥ n1n2eller

n1n2≤ m1

m2

genomm1

m2− n1n2

=m1

m2+

(−n1n2

)∈ Q+.

7.4 Reella tal

När vi nu skall utvidga talbegreppet till de reella talen, kan vi inte använda demetoder som löst våra problem i de närmast föregående avsnitten. Detta samman-hänger med att utvidgningen från naturliga tal till alla hela tal kan sägas drivasfram av en önskan att subtraktionen skall vara obegränsat utförbar. Ringen Z ärden minsta ring som omfattar ω, vi har ej infört några onödiga element. På liknandesätt är det divisionen som framtvingar utvidgningen från Z till Q. Den rationellatallkroppen Q kan visas vara den minsta kropp som innehåller Z. I båda dessa fallär det, som man skulle kunna säga, algebraiska skäl som orsakar utvidgningen.

När det gäller att ta steget till de reella talen, alltså att införa de irrationella talen,ligger det annorlunda till. Det är ett problem av topologisk art som leder oss tilldenna utvidgning, nämligen frågan om fullständigheten hos ett topologiskt rum. Vi

263 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


skall införa en topologi på Q, så att den blir ett metriskt topologiskt rum, och sedanvi introducerat den allmänna problemställningen, skall vi genomföra lösningen. Denmetod vi då använder på Q går väsentligen tillbaka på Cantor.Vi skall införa en metrik på Q, i själva verket en norm (jfr sid 225). Om q ∈ Q,så gäller enligt vår definition att antingen är q > 0 eller −q ≥ 0; om q = 0 gällerbåda dessa olikheter. Beviset för dessa påståenden är omedelbart: (m1,m2) ≥ 0,om m1 ·m2 ∈ ω. Om (m1,m2) ∈ q så gäller att (−m1,m2) ∈ (−q). Nu är emellertidantingen m1 ·m2 eller −m1 ·m2 element i ω (och är m1 = 0, är de det båda).

Vi normerar Q genom att sätta

‖q‖ =

q om q ≥ 0,−q om q ≤ 0.

Normen ger upphov till en metrik d given av

d (q, r) = ‖q − r‖ ,

vilket har en mening, eftersom q − r = q + (−r) också tillhör Q. Det är lätt attövertyga sig om att det vi kallat norm verkligen är en norm och att d uppfyllervillkoren för att vara en metrik. Med denna blir nu Q ett topologiskt rum, som vibetecknar (Q, d) eller kortare Qd.

264 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Låt oss nu införa det allmänna problemet om fullständighet av ett metriskt rum. Viskall då först definiera vad som menas med en fundamentalföljd:

En följd (xm)∞1 av punkter i ett metriskt rum bildar en fundamentalföljd,om

limm,n→∞

d (xm, xn) = 0,

eller annorlunda uttryckt, om det för varje positivt tal går att få avståndetmellan två punkter i följden mindre än detta, bara genom att välja derasindex tillräckligt höga.

Ett rum sägs vara fullständigt, om varje fundamentaIföjd är konvergent d v s om detfinns en punkt x i rummet sådan att

limn→∞

d (x, xn) = 0.

Vi skall kalla en sådan punkt gränspunkt för fundamentalföljden. Med hjälp avtriangelolikheten visar man att det ej kan finnas mer än en.

Om ett rum ej är fullständigt, kan det kompletteras genom att man tillfogar nyaelement, som lämpligen kan identifieras med de fundamentalföljder som ej är kon-vergenta. Vi skall se hur detta går till men först skall vi öva på fullständighet ochlim-tecken genom att visa att Qd icke är fullständigt.

265 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Detta skall vi klara av genom att, till den förhållandevis moderna utformningen,överflytta det bevis som redan kretsen kring Pythagoras kände för betydligt mer än2000 år sedan. Det är alltså frågan om beviset för att

√2 ej är rationellt. Enligt

traditionen skall de grekiska filosoferna ha offrat 100 oxar vid denna remarkablaupptäckt, men om glädjen bottnade i kunskap om att de i det närmaste kastade allsin tids matematik över ända förmäler ej historien. Matematikerna fick finna sig iatt så småningom inkorporera irrationella tal bland talen, precis som vi nu är påväg att göra.

Vi skall ta och konstruera en fundamentalföljd av rationella tal, alltså av elementi Qd som har så mycket med

√2 att göra att om den är konvergent, så måste

gränspunkten ha egenskapen att dess kvadrat är 2. Något sådant rationellt tal finnsdock inte, som vi skall se, och därav följer ofullständigheten hos Qd.Först skall vi nu konstruera en fundamentalföljd av rationella tal som multiplicerademed sig själva ger tal nära 2.

Som första element väljer vi x1 = 1, eftersom

1 · 1 < 2 men 2 · 2 > 2.

Som andra element väljer vi x2 = 22 , eftersom

2

2· 2

2< 2 men

3

2· 3

2> 2.

266 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som tredje element väljer vi x3 = 43 eftersom

4

3· 4

3< 2 men

5

3· 5

3> 2.

Vi fortsätter att välja x4 = 54 , x5 = 6

5 , x6 = 86 . Regeln är den att vi väljer xn som

ett rationellt tal med nämnaren n och täljaren tn sådan att

tnn· tnn< 2 <

tn+1n· tn+1n.

Det enda som skulle kunna omöjliggöra vår konstruktion vore om ett rationellt talvisade sig ha kvadraten 2, d v s multiplicerat med sig självt ge värdet 2. Som vistrax skall se händer inte detta!

Jag har ovan påstått att den så konstruerade följden (xn)∞1 med xn = tnn är en

fundamentalföljd. Konstruktionen av tn visades ovan. Låt oss observera att för allavärden på n blir med denna konstruktion 1 < xn < 2.

Vi blir nu tvungna att göra en liten matematisk kalkyl, som kanske verkar omo-tiverad, men det bör vara lätt att kontrollera den. Låt m och p vara naturliga tal.Det gäller

x2m − x2p = (xm + xp) (xm − xp) =

(tmm

+tpp

)(xm − xp)

267 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Antag nu vidare att xm ≥ xp. Då är(tmm

)2−(tpp

)2= x2m − x2p ≥ (1 + 1) (xm − xp) .

Eftersom det gäller att (tmm

)2< 2 <

(tp + 1

p

)2får vi

2 (xm − xp) ≤(tp + 1

p

)2−(tpp

)2= tp ·

2

p+

1

p2≤ 2 · 2

p+

1

p

Men detta kan skrivas

xm − xp ≤1

2

(4

p+

1

p

)<

3

p.

Hade vi stället antagit att xp ≥ xm hade vi fått

xp − xm <3

m.

Härav följer

‖xm − xp‖ <3

m+

3

p,

268 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


enligt definitionen av normen. Vi kan t om få en bättre olikhet, men ovan givnaduger för våra behov. Det är nämligen tydligt att vi kan få talet

3

m+

3

p

hur litet vi vill, genom att välja m och p stora. Detta är emellertid inget annat ändefinitionen på att (xn)∞1 är en fundamentalföljd.

Vi skall närmast visa att om det finns ett rationellt tal x ∈ Qd sådant att,

limn→∞

‖xn − x‖ = 0,

så uppfyller detta x2 = 2. I våra räkningar ovan har vi sett att.

‖2− xn‖ ≤(xn +

1

n

)2− x2n <

5

n

Vi har inte bevisat att vår norm uppfyller triangelolikheten

‖y + z‖ ≤ ‖y‖+ ‖z‖

som vi nu skall använda, men det kan lätt göras med hjälp av normens definition.Vi får då ∥∥2− x2

∥∥ =∥∥2− x2n + x2n − x2

∥∥ ≤ ∥∥2− x2n∥∥+

∥∥x2n − x2∥∥ .269 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Eftersom xn < 2 för alla n, måste x ≤ 2, och därav följer∥∥x2n − x2∥∥ = ‖xn − x‖ ‖xn + x‖ ≤ 4 ‖xn − x‖

och vi har visat att∥∥2− x2∥∥ ≤ ∥∥2− x2n

∥∥+ 4 ‖xn − x‖ <5

n+ 4 ‖xn − x‖ .

Väljer vi n stort, kan vi få uttrycket till höger så litet vi önskar. Men∥∥2− x2

∥∥ berorej på n och alltså måste

∥∥2− x2∥∥ = 0, och härav följer omedelbart att x2 = 2, d v s

x är ett rationellt tal som kvadrerat blir 2.

Ett positivt rationellt tal kan skrivas mn , där m och n är naturliga tal, och om dettahar kvadraten 2 måste

m

n· mn

= 2 d v s m2 = 2n2.

Vi kan nu förutsätta att m och n inte har någon gemensam faktor d v s att det intefinns något naturligt tal som delar båda. Finns det ett sådant, skuIle vi kunnaförkorta bråket med det talet och efter ett ändligt antal operationer få täljare ochnämnare utan gemensamma faktorer.

Nu kan emellertid inte m vara udda, utan m måste vara jämnt, ty är m udda, bliräven m2 udda, vilket strider mot m2 = 2n2, där högra sidan anger ett jämnt tal.

270 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Är nu m jämnt, kan det skrivas m = 2p, och sätter vi in det i vår formel, får vim2 = 4p2 = 2n2 eller

n2 = 2p2

efter division med 2. Av exakt samma skäl som nyss måste här n ha faktorn 2, ochvårt antagande att det fanns ett färdigförkortat bråk som hade kvadraten 2 har letttill en motsägelse: vi har ju funnit att både m och n har faktorn 2. Motsägelsenmedför att vi måste förkasta vår hypotes och det finns alltså inget rationellt tal somhar kvadraten 2.

Som vi lagt upp vårt program var just detta vad som fattades för att visa att rum-met Qd ej var fullständigt. Den av oss konstruerade fundamentalföljden (xn)∞1 haralltså ingen gränspunkt i Qd. Vi utvidgar då mängden av rationella tal genom attdefiniera ett nytt tal som kan göra tjänst som den saknade gränspunkten. Vi skallge den exakta definitionen nedan men den innebär i stort sett att vi karakteriserarvårt "nya" tal, det som skall ha egenskapen att det kvadrerat blir 2 och som därförkallas

√2, genom den fundamentalföljd vi konstruerat som ej har någon gränspunkt

i Qd. Detta låter kanske litet artificiellt men vilken är då den populära skolpojks-uppfattningen av

√2? Är det inte att det är ett tal i den meningen att vi normalt

klarar oss med 1.414 men att man vid behov kan fastställa flera decimaler, ja, hurmånga som helst, om så önskas! Detta är inget annat än att man tänker sig enfundamentalföljd 1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, . . . om vi nu vill uttrycka det på detta

271 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


sätt.

Nu är vi inte bara intresserade av√

2, utan vi ville utvidga Qd, alltså de rationellatalen, till ett rum som är fullständigt i vår topologi.

Vi återvänder då till ett allmänt studium av fundamentalföljder. De fundamen-talföljder som har en rationell gränspunkt har vi inget besvär med. Det finns emeller-tid andra, som vi nyss såg. För dessa behöver vi införa nya punkter i rummet, somde kan ha som gränspunkter. Det kan dock tänkas att olika fundamentalföljderkan nöja sig med en gemensam gränspunkt, vilket gäller redan bland dem som harrationell gränspunkt.

Exempelvis ger xn = 1− 2−n en fundamentaföljd och yn = 1− 4−n en annan, menbåda dessa har det rationella talet 1 som gränspunkt. Vi inför nu begreppet ekvi-valenta fundamentalföljder genom följande definition. Fundamentalföljderna (xn)∞1och (yn)∞1 kallas ekvivalenta om

limn→∞

‖xn − yn‖ = 0.

Det är lätt att se att detta är en ekvivalensrelation, varvid vi för transitivitetenbehöver triangelolikheten i formen

‖xn − zn‖ ≤ ‖xn − yn‖+ ‖yn − zn‖ .

272 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Den talmängd som vi nu skall införa och som kallas de reella talen har som elementalla ekvivalensklasser av fundamentalföljder. Det är förståeligt om det låter litetkonstruerat, men som vi nyss såg, är det inte så stor skillnad på den populäraupplevelsen av hur ett irrationellt tal är givet och denna något mer precisa definition.

Addition av reella tal införs genom att vi som summan av två ekvivalensklassertar den ekvivalensklass som innehåller fundamentalföljden (xn + yn)∞1 , om (xn)∞1och (yn)∞1 är representanter valda ur de klasser vi vill addera. Vi bör naturligtviskontrollera dels att summan är en fundamentalföljd dels att ekvivalensklassen bliroberoende av representantvalen. På samma sätt införs multiplikation med hjälp av(xn · yn)∞1 . Med dessa operationer blir mängden av reella tal en kropp i algebransmening och den kallas den reella talkroppen. Vi kan också definiera olikhetsrela-tioner och avstånd mellan reella tal, men jag skall inte fördjupa mig i detta. Ettav de väsentliga resultaten, som jag bara omnämner, är nu att de reella talen meddetta avstånd bildar ett fullständigt rum d v s vi får ingen utvidgning om vi försökerstudera fundamentalföljder av reella tal. Varje fundamentalföljd av reella tal haren gränspunkt som är ett reellt tal och är alltså vad vi kallar konvergent. Dettaär innehållet i en bekant sats uppkallad efter den franske matematikern Cauchy,som genom sina läroböcker i början på 1800-talet väsentligt bidrog till att ge denmatematiska analysen en fast grund.

Den procedur som vi här använt för att komplettera rummet Qd ger intressanta

273 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


resultat även vid många andra fall av icke fullständiga topologiska rum.

7.5 Komplexa tal

Ett ofta använt sätt att införa komplexa tal är genom införande av nya kompo-sitionsregler på produktmängden R × R, där R betecknar mängden av reella tal.Som jag tidigare nämnt, skall vi stället anknyta till algebran enligt en metod somredan den nyss nämnde Cauchy utnyttjade. Vad det gäller är att skapa ett utvidgattalsystem där ekvationer som x2 = −1 är lösbara, mot allt reellt förnuft.

Vi skall införa ringen av polynom i en obestämd d v s en mängd bestående av uttryck

a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ amx

m,

där alla am är reella tal och x är en symbol, vilken som helst och i största allmänhet.Addition och multiplikation införs enligt förhållandevis välkända regler. Sålunda är(

a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ amx

m)

+(b0 + b1x+ b2x

2 + · · ·+ bmxm)

=

(a0 + b0)+(a1 + b1)x+(a2 + b2)x2+ · · ·+(am + bm)xm+bm+1x

m+1+ · · ·+bnxn.

om n > m.

274 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Multiplikationen är besvärligare att skriva, men följande exempel torde avslöja hurdet går till(

a0 + a1x+ a2x2 + a3x

3) (b0 + b1x+ b2x

2)

=

a0b0 + (a0b1 + a1b0)x+ (a0b2 + a1b1 + a2b0)x2

+ (a1b2 + a2b1 + a3b0)x3 + (a2b2 + a3b1)x

4 + a3b2x5.

Med dessa kompositionsregler visar sig mängden av polynom vara en kommutativring. Additiv enhet är polynom med alla koeffi cienter 0, multiplikativ enhet poly-nomet 1.

Innan vi nu kan sätta i gång på allvar, måste vi tyvärr också beskriva division meddessa polynom. Vad det gäller är att vi skall övertyga oss om att till varje polynom

a (x) = a0 + a1x+ a2x2 + · · ·+ amx

m

finns ett annat polynom

A (x) = A0 +A1x+A2x2 + · · ·+Am−2x

m−2

och två reella tal a0 och a1 sådana att

a (x) =(1 + x2

)·A (x) + a0 + a1x.

275 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


En vanlig algoritm för division av polynom, som brukar läras ut i skolorna ger dettaresultat, som annars kan verifieras direkt.

De beteckningar vi här använder, där polynom kallas a (x) och b (x), kräver kanske enkommentar. Beteckningen x i dessa sammanhang har ingen bestämd betydelse, denanvänds enbart för att markera och särskilja de reella tal som ingår som koeffi cienteroch för att påminna om räknereglerna. Polynomet som sådant kallas alltså a (x)med x medtaget. Detta ser ut på ett något annat sätt än de funktioner vi tidigarestuderat. Det finns en polynomfunktion a som är given genom att dess värde a (x)för det reella talet x erhålls genom formeln a (x) = a0 + a1x + · · · + amx

m. Dennafunktion a och dess värden a (x) är emellertid något helt annat än polynomet a (x),där vi varken vet eller inte vet eller bryr oss om "vad x är". Därför är det säkerligenlämpligt att i text där sådant kan bli aktuellt undvika samma beteckningar förpolynom, i detta avsnitts mening, och polynomfunktioner. (Den som ej till fullodelar författarens upplevelse på denna punkt kan trösta sig med att problematikenkommer inte att återkomma.)

Att vi är intresserade av detta resultat sammanhänger med att vi nu skall studerarestklassringen mod

(x2 + 1

)av vår ursprungliga ring.

Med varje element a (x) i polynomringen associerar vi den rest a0+a1x som framkom-mer enligt ovanstående. Alla polynom som ger samma rest kan sammanföras till enekvivalensklass, där vi som representant kan välja a0 + a1x. Dessa ekvivalensklasser

276 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kallar vi också restklasser.

I mängdläreavsnittet antydde vi hur kompositionsregler kunde överflyttas till rest-klasserna modulo ett naturligt tal (se sid 80), och vi skall här genomföra en liknandeprocedur.

Mängden av restklasser blir nämligen en ring, om vi inför två kompositionsregler,kallade addition och multiplikation, på följande sätt.

En restklass har vi definierat ovan, men vi kan ta om det för säkerhets skull i mermängdlärebetonat språk. Låt P vara mängden av alla polynom med reella koeffi -cienter. Den restklass som innehåller elementet a0+a1x och som vi helt godtyckligtbetecknar A∗ kan då skrivas

A∗ = a (x) ∈ P | det finns A (x) ∈ P sådant att

a (x) = A (x)(1 + x2

)+ a0 + a1x

.

Om B∗ är den restklass som innehåller β0 + β1x, så definierar vi addition

A∗ + B∗ = c (x) ∈ P | det finns C (x) ∈ P sådant att

c (x) = C (x)(1 + x2

)+ (α0 + β0) + (α1 + β1)x

277 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och multiplikation

A∗ · B∗ = c (x) ∈ P | det finns C (x) ∈ P sådant att

c (x) = C (x)(1 + x2

)+ (α0 + α1x) (β0 + β1x)

.

Så som resten här är skriven är den inte av typen γ0 + γ1x, men den blir lätt.Eftersom

(α0 + α1x) (β0 + β1x) = α0β0 + (α0β1 + α1β0)x+ α1β1x2

= α0β0 − α1β1 + (α0β1 + α1β0)x+ α1β1(1 + x2

)så kan produktrestklassen lika väl skrivas

A∗ · B∗ = c (x) ∈ P | det finns C (x) ∈ P sådant att

c (x) = C (x)(1 + x2

)+ (α0β0 − α1β1) + (α0β1 + α1β0)x

.

Det är mycket lätt att kontrollera att genom denna definition kommer summarest-klassen A∗ + B∗ att bestå av summan av alla par av polynom, ett ur A∗ och ett urB∗. På samma sätt för multiplikation, så att

A∗ · B∗ = c (x) | det finns a (x) ∈ A∗, b (x) ∈ B∗ sådant att

c (x) = a (x) b (x) .

278 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi skall nu visa att mängden av restklasser med dessa kompositionsregler blir intebara en ring utan en kropp. Därefter skall vi döpa denna till den komplexa talkroppen.

Vi tittar först på den additiva gruppen. Det additiva enhetselementet 0∗ är denrestklass som innehåller 0 + 0 · x = 0 d v s, om man så vill, det ideal i polynom-ringen P som består av polynom med faktorn

(x2 + 1

). Den restklass A∗ som har

representanten α0 + α1x har en additiv invers −A∗, som innehåller representanten(−α0)+(−α1)x. Associativitet och kommutativitet för såväl addition som multipli-kation är enkla följder av motsvarande egenskaper hos addition och multiplikation ipolynomringen P. Det är nästan lika enkelt att visa distributiviteten av multiplika-tionen med avseende, på additionen, så låt oss koncentrera oss på vad vi utlovat omgruppstruktur hos multiplikationen!

Multiplikativ enhet E∗ är den restklass som innehåller 1+0x = 1. Vi har ovan påståttatt ekvationen A∗ · Y∗ = E∗ alltid har en lösning. Om vi som förut förutsätter att

A∗ =α (x) | α (x) = p (x)

(1 + x2

)+ α0 + α1x, p (x) ∈ P

och på motsvarande sätt sätter

Y∗ =y (x) | y (x) = p (x)

(1 + x2

)+ y0 + y1x, p (x) ∈ P

så skall vi bestämma y0 och y1 så att

(α0 + α1x) (y0 + y1x) = 1 + p (x)(1 + x2

)279 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med p (x) ∈ P. En lätt räkning ger

(α0 + α1x) (y0 + y1x) = α0y0 + (α0y1 + α1y0)x+ α1y1(1 + x2

)− α1y1

och skall detta, vara lika med 1 + p (x)(1 + x2

), så måste

α0y0 − α1y1 = 1,

α0y1 + α1y0 = 0.

Multiplicerar vi den övre ekvationen med α0 och den undre med α1 och adderar, fårvi (

α20 + α21)y0 = α0

och om(α20 + α21

)6= 0 d v s om A∗ 6= 0 så blir

y0 =α0

α20 + α21

och på alldeles motsvarande sätt

y1 = − α1α20 + α21

.

280 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi har således funnit att varje restklass utom 0∗ har en invers och därmed är det visatatt övriga restklasser bildar en kommutativ grupp under multiplikation. Restklass-ringen är med andra ord en kropp. Eftersom varje element i denna kropp är entydigtbestämt av sin rest av "första graden", alltså av sin rest av formen γ0 + γ1x, kanvi låta dessa rester beteckna restklasserna. Låt oss då gå igenom räknereglerna förkroppen, om vi utför operationerna på dessa representanter. Vi skall alltså gå övertill en isomorf bild av restklasskroppen, där elementen skrivs γ0+γ1x. Det är dennakropp vi kallar komplexa talkroppen och dess element utgör alltså de komplexa talen.

Vi tar två element α0 +α1x och β0 + β1x. Deras summa är elementet (α0 + α1x) +(β0 + β1x). Additiv enhet är 0 + 0x som vi kortare skriver 0. Multiplikation har viförut övat på. Multiplicerar vi ihop elementen som de står, får vi ett uttryck sominnehåller x2, och det är ej den representant vi vill ha som element i den isomorfakropp vi nu sysslar med, utan vi får försöka förenkla det modulo

(1 + x2

).

Som vi ovan sett vid definitioner av A∗ · B∗, blir elementet

(α0β0 − α1β1) + (α0β1 − α1β0)x

och vi har alltså räkneregeln

(α0 + α1x) · (β0 + β1x) = (α0β0 − α1β1) + (α0β1 + α1β0)x

(d v s samma sats som vi fått, om vi räknat formellt och därefter satt x2 = −1).

281 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Enhetselementet 1 + 0x skriver vi enklare 1. Eftersom vi har en kropp är divisionmöjlig utom med den additiva enheten.

Om sålunda ej både β0 och β1 är = 0, vilket också kan sägas; om β20 + β21 6= 0,så existerar (α0 + α1x) / (β0 + β1x), och låt oss räkna ut vilket element detta blir.Kalla det γ0 + γ1x.

Då skall(β0 + β1x) (γ0 + γ1x) = (β0γ0 − β1γ1) + (β0γ1 + β1γ0)x

vara lika med α0 + α1x och alltså

β0γ0 − β1γ1 = α0,

β1γ0 + β0γ1 = α1.

Löser vi ut γ0 och γ1, vilket går eftersom β20 + β21 6= 0, får vi

γ0 =α0β0 + α1β1β20 + β21

γ1 =α1β0 − α0β1β20 + β21

och det gäller alltså att

α0 + α1x

β0 + β1x=α0β0 + α1β1β20 + β21

+α1β0 − α0β1β20 + β21

x.

282 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Denna kalkyl kan praktiskt utföras på följande snabbare sätt. Eftersom β0+β1x 6= 0,är också β0 − β1x 6= 0. "Förläng" (α0 + α1x) / (β0 + β1x) med β0 − β1x, så blirnämnaren β20+β21 och täljaren (α0β0 − α1β1)+(α0β1 + α1β0)x. Detta är emellertidexakt det resultat vi kommit fram till.

Om vi summerar ihop vad vi funnit, så är det så, att på

C = γ0 + γ1x | γ0 ∈ R, γ1 ∈ R

kan man införa kompositionsregler addition och subtraktion genom att man räknarsom vanligt med polynom, men så fort x2 uppträder, ersätts det med −1. Medde så beskrivna kompositionsreglerna blir mängden C en kropp. Den innehåller endelkropp γ0 + γ1x ∈ C | γ1 = 0 som ej bara är isomorf med R utan betecknas påidentiskt samma sätt. Vi har alltså bäddat in R i en större mängd, med kroppstruk-tur, och i denna mängd är bl a ekvationen x2 = −1 lösbar.

Jag har ovan vid införandet av de olika talområdena betonat vad som framtvingatutvidgningarna: önskan att kunna subtrahera, att kunna dividera eller att ha ettfullständigt rum.

Utvidgningen till de komplexa talen drevs fram av önskan att kunna lösa algebraiskaekvationer.

Vi nämnde nyss att x2 + 1 = 0 är lösbar i det komplexa talområdet och i själva

283 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


verket har två rötter, nämligen x och −x, ty efter vad vi ovan sagt är såväl

(0 + 1x) (0 + 1x) = −1 + 0x som (0 + (−1)x) (0 + (−1)x) = −1 + 0x.

När man ger sig till att räkna med de komplexa talen, är det ofta praktiskt attersätta x med en annan bokstav och den mest favoriserade är i, även om j ocksåförekommer. På detta sätt friställs x för andra ändamål, och vi kan konstatera,exempelvis, att ekvationen x2 = −1 har de båda rötterna x = i och x = −i, där idå är elementet 0 + 1i som vi förut skrivit 0 + 1x. Vi räknar då med talen a0 + a1i"som vanligt" men sätter i2 = −1. Nu kunde man tro att vi skulle vara tvungnaatt fortsätta utvidgningen av talsysternet för att få fler och fler ekvationer lösbara.Detta visar sig emellertid vara onödigt; med de komplexa talen har vi uppnått enmycket vacker avrundning.

Det är nämligen så att varje algebraisk ekvation

xn + a1xn−1 + a2x

n−2 + · · ·+ an = 0,

där a0, a1, . . . , an är komplexa tal, alltid har precis n stycken komplexa rötter. Detfinns alltså n komplexa tal, som substituerade för x på vänstra sidan, vid uträkningger det komplexa talet 0. För att få denna form av satsen måste man i naturligafall räkna dubbelt. Sålunda har ekvationen (x+ 1)3 = x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0

284 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


endast en rot bland de kompexa talen, nämligen 1, men den skall räknas tre gånger,eftersom faktorn (x+ 1) förekommer tre gånger. Hur man än resonerar, har alltidvarje ekvation med komplexa koeffi cienter minst en rot, medan detta minsann integällde kombinationen reella koeffi cienter och reella rötter. Tänk på x2 + 1 = 0.

Det resultat om komplexa rötter som vi just beskrivit brukar kallas algebrans funda-mentalsats. Det första godtagbara beviset gavs 1799 av C. F. Gauss, en av alla tidersstörsta matematiker, som vi berättat något om på sidan 113. Beviset finns i dendoktorsavhandling som Gauss författat vid 22 års ålder. Han gav senare andra bevisför samma sats. Det bör kanske påpekas att det är fråga om en ren existenssats. Vifår inte någon explicit metod att bestämma de rötter som finns.

Approximativa metoder för bestämning av rötter är ofta av intresse för tillämpningaroch metoder för detta faller tillsammans med mycket annat inom den gren av mate-matiken som brukar kallas numerisk analys. Vi har tidigare antytt det resultat somframkommer med gruppteorins hjäIp, nämligen att en sådan enkel metod som denvi använder vid andragradsekvationer, att med hjälp av rotutdragning ange rötterej går att generalisera till ekvationer av högre grad än den fjärde, vilka alltså är avformen

x4 + a1x3 + a2x

2 + a3x+ a4 = 0.

När man ser tillbaka på alla dessa utvidgningar som vi beskrivit, så kanske en delsätt att definiera tal förefaller tillkrånglade och konstruerade. Man kunde exem-

285 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


pelvis hävda att vi är så vana vid termometrar att något prat om ekvivalensklasserav talpar för att få fram negativa tal är verkligen både onödigt och skadligt. Urmatematisk synpunkt ligger det helt annorlunda till. Att det brukar gå bra attresonera om negativa temperaturer och deras förändringar är utomordentligt gläd-jande, men något matematiskt intressant kommer ej av dessa empiriska rön. Allatal, utom de naturliga, har vid någon tidpunkt varit "omöjliga tal" och det har dröjtinnan de spritt sig utanför matmatikernas krets. Startar man med att införa ett ellerannat omöjligt antagande, t ex att det finns ett tal som är både lika med 1 och 3, såkan vi som bekant bevisa vad som helst. När vi söker efter symboler som satisfierari · i = −1, så kan vi inte bara kasta in detta antagande och försöka förena dessa nyasymboler i en räknedans med de gamla talen. Vi måste visa att det inte leder tillnågra motsägelser.

Det är detta vi gjort vid utvidgningarna i detta kapitel. Utgående från mängdläranoch med algebraisk och topologisk teknik har vi konstruerat nya objekt, och med demkan vi ej härleda några motsägelser, som ej fanns i den teori vi startade med. Det ärdärför som våra tal får en så konstig beskrivning: ekvivalensklasser av polynom, avfundamentalföljder och av talpar. Men slutligen får vi fram existensen av talområdensom visat sin nytta i den historiska utvecklingen.

Jag skall avslutningsvis omnämna en utvidgning till en större kropp som omfattarde komplexa taIen, som har ett stort matematiskt intresse och som för 100 år sedan

286 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


väckte stort uppseende. Jag tänker på irländaren Hamiltons kvaternioner.

Om vi först beskriver kvaternionerna på ett av de mer direkta sätt som vi nyssfördömt, så är det fråga om ett fyrdimensionellt vektorrum över de reella talen, därvi av historiska skäl kallar basvektorerna e, i, j, k. Detta vektorrum blir nu enalgebra genom att vi inför en ringstruktur genom att definiera produkten av tvåbasvektorer enligt

i · i = j · j = k · k = −e · e = e,

e · i = i · e = i, e · j = j · e = j, e · k = k · e = k,

i · j = −j · i = k, j · k = −j · k = i, k · i = −i · k = j.

Det visar sig då att mängden

H = a0e+ a1i+ a2j + a3k | a0, a1, a2, a3 ∈ R

med vektorrumsaddition och med den icke-kommutativa produkt som framkommer,om vi förutsätter distributivitet och ovan givna multiplikationstabell, blir en kropp.Elementen i denna kropp kallas kvaternioner.

Nu kan vi införa kvaternionerna på andra sätt, som ej är lika riskfyllda som denovan givna kortfattade beskrivningen. Jag skall endast omnämna ett som kan geden därför intresserade läsaren tillfälle till åtskilliga övningsräkningar.

287 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om a0, a1, a2, a3 är reella tal och a0− ia3 etc anger de komplexa tal vi förut infört,så bildar alla matriser av utseendet(

a0 − ia3 a2 + ia1−a2 + ia1 a0 + ia3

)en ring, som t om visar sig vara en kropp. Denna är isomorf med kvaternionskrop-pen, om vi låter den ovan givna matrisen svara mot a0e + a1i + a2j + a3k i dentidigare framställningen. Vad vi läst om matriser i algebraavsnittet går sålunda attutnyttja till ett motsägelsefritt införande av kvaternioner, varvid vi sålunda bäddarin de komplexa talen i en icke-kommutativ kropp.

Den delmängd som är isomorf med de komplexa talen erhåller man genom att sättaa2 = a3 = 0. Det betyder speciellt att det råder isomorfimellan komplexa talkroppenoch mängden av matriser av utseendet(

a0 ia1−ia1 a0

)I den stora icke-kommutativa kroppen är förstås(

0 00 0

)288 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


additativ enhet och (1 00 1

)multiplikativ enhet. Divisionen underlättas av observationen att(

a0 − ia3 a2 + ia1−a2 + ia1 a0 + ia3

)(a0 + ia3 −a2 − ia1a2 − ia1 a0 − ia3

)=(a20 + a21 + a22 + a23

)( 1 00 1

)vilket ger inversen till en kvaternion i formen(

a0 − ia3 a2 + ia1−a2 + ia1 a0 + ia3

)−1=

1

a20 + a21 + a22 + a23

(a0 + ia3 −a2 − ia1a2 − ia1 a0 − ia3

)

7.6 Talbeteckningar och talsystem

Ett studium av den historiska utvecklingen av taluppfattningen och talbetecknings-systemen erbjuder mycket av intresse men skall ej genomföras här. Den metod som vianvänder för att beteckna tal, där man låter ett och samma tecken beteckna 2, 2 ·10,2 · 100 o s v och där placeringen avgör tydningen, kallas positionsmetoden. Sådanasystem för talbeteckningar var kända av babylonierna redan 2000 år f kr men nåddeej någon högre grad av fulländning förrän man kommit på fördelarna med nollan,

289 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


så att man ej längre behövde gissa av sammanhanget om 5 betydde 50 eller 5000.Nollan tillkom först omkring vår tideräknings början. Araberna, från vilka vi fåttvåra "arabiska siffror", hade övertagit sitt system inklusive nollan från hinduerna,men helt oberoende användes en nolla i Mayakulturens talbeteckningar, som förövrigt närmast byggde på 20 som bas och alltså icke var ett tiotalsystem som vårtnuvarande. Det tog lång tid, innan de arabiska siffrorna slog ut de romerska i denvästerländska kulturen. Det torde ha skett under 1500-talet, och en av anledningarnatill motståndet uppges vara att risken för förfalskningar i bokföring o d ansågs störremed arabiska än med romerska siffror. När det gäller högtidligare inskriptioner, harvi ju ej än i dag kommit över det romerska talbeteckningssystemet.

Ett mycket utbrett missförstånd är, att användandet av nollan är knutet till attvi har 10 som bas för vårt system och att det alltså skulle finnas några absolutaskäl som talade för det decimala systemet. Vi skall strax försöka visa felaktighetenav detta genom att något diskutera och tillämpa det binära eller tvåtalssystemet.Under tidernas lopp har man haft alla möjliga idéer om fördelarna av andra basert ex 12. I en handskrift från 1718. av Ermanuel Swedenborg utvecklar denne "EnNy Räknekonst som omwexlas"

wid 8 i stelle then wahnliga vid Thalet 10.

Swedenborg föreslog också nya klangfulla ord för talen, såsom lo för 8 och so för 16.

290 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Tar man ett stort tal som bas för sitt talsystem, blir talen förhållandevis kortaatt skriva, men barnen får en stor multiplikationstabell att lära in (såvida de inteförlitar sig på datamaskinutvecklingen och avstår från så pass mekaniska övningarsom att multiplicera). Väljer man ett litet tal som bas, blir multiplikationstabellenförsvinnande liten, men redan måttligt stora tal blir långa att skriva. Vi skall nu seexempel på detta, när vi introducerar det binära systemet.

I ett sådant tvåtalssystem behöver man två tecken, ett för att beteckna ett och ettför att beteckna noll. Vi skulle kunna använda våra vanliga tecken 1 och 0, men föratt kunna lätt se vad som är decimaltal och vad som är binärtal skall jag i binärtalenanvända beteckningarna Q och E stället för 0 och 1.

Enligt positionsprincipen skall nu de första talen, svarande mot de decimala 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7, skrivas Q, E, EQ, EE, EQQ, EQE, EEQ, EEE.

Förklaringen till dessa beteckningar är enkel. På samma sätt som 236 betyder2 · 10 · 10 + 3 · 10 + 6 och 1011 betyder 1 · 10 · 10 · 10 + 0 · 10 · 10 + 1 · 10 + 1, såskall, när vi har tvåtalssystem i stället för tiotalssystem, EQQ betyda 1 · 2 · 2 d v s 4i vanlig decimal skrift. Talet EQEE betecknar 1 · 2 · 2 · 2 + 1 · 2 + 1 = 11 i decimalform. I tvåtalssystemet behöver vi två siffror i stället för det decimalas 10. I ettåttatalssystem skulle vi förstås ha 8 siffror.

Om vi skulle vara lika företagsamma som Swedenborg, skulle vi också införa nya

291 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


räkneord. Jag försökte för ett antal år sedan att lansera att de binära talen skulle fåbeteckningar som innehöll ett b för binär och för övrigt någorlunda överensstämdemed namnen på decimaltal av samma utseende. Talen i den ovan givna raden skulledå heta noll, ett, bio, bioett, bundra, bundraett, bundrabioett, varefter skullefölja busen för EQQQ dv s det binära tal som svarar mot 8,

Detta system har dock aldrig slagit igenom, möjligen beroende på de svårighetersom uppkommer när man skall tyda beteckningen billion.

Som var och en förstår går det utmärkt att räkna med sådana här tal, bara manlärt sig multiplikationstabellen som har följande angenäma utseende

Q ·Q = QE ·Q = Q

Q · E = QE · E = E

Låt oss nu bara för den enskildes begrundan sätta upp multiplikationen busenbund-raett gånger bundrabio.

Eftersom busenbundraett skrivs EEQE (och svarar mot vårt tal 13) och bundrabio

292 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


skrivs EEQ (och svarar mot 6) får vi

E E Q E· E E Q

E E Q EE E Q E

+ Q

E Q Q E E E Q

där vi bl a utnyttjat att E+E = EQ, något som annars kallas 1 + 1 = 2. Resultatetav vår multiplikation blev en billionbusenbundrabio, vilket på tiotalssvenska heter78. Så går det alltså till att binärt klara av 6 · 13 = 78.

Mycket mer och mycket intressant kan sägas om tvåtalssystemet, som dock ej baraär av historiskt intresse. Eftersom de element varav datamaskiner byggs ofta hartvå tänkbara tillstånd, att vara eller inte vara, t ex strömförande eller magnetisk,blir de tal som lagras i maskinernas minne representerade i binär form; åtminstonekan man säga att möjligheten att representera godtyckliga heltal i binär form ärförutsättningen för användande av sådana element.

293 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


7.7 Hur man spelar Nim

För att visa hur modellen med binära tal kan tillämpas på praktiska fall skall jagvisa hur man kan nyttja binära tal för att lösa problemen kring det välkända speletNim.

Jag är litet rädd för att en och annan av mina läsare blir oroad av detta ständigaåtervändande till spel och lekar, vare sig det gäller grunder eller tillämpningar. Detär dock på denna punkt som det gäller att använda fantasin för att kunna föreställasig att så mycket av den bistraste verkligheten, när den är som verkligast, är ettspel. Tänk bara på den användning som så allvarliga personer som ekonomer ochmilitärer har av företagsspel och krigsspel.

Alltnog, skulle vi ta ett riktigt allmänt Nimspel som är i en sådan form att detkanske direkt kan ha nyttiga tillämpningar, skulle vi spela Nim på en graf (sid 216).Det går så till att av två spelare en väljer en punkt i grafen, som vi kan förutsättavara riktad. Den andra spelaren skall sedan välja en punkt i den mängd som riktadesträckor från den första punkten för till. Så fortsätter den första och väljer bland depunkter som är slutpunkter för riktade sträckor från den andras valda punkt o s v.Den som eventuellt till slut gör ett sådant val att motståndaren ej har någon punktatt välja har vunnit: Det finns en teori för detta grafspel, men jag skall nöja migmed en speciell variant, där jag ej ens behöver beskriva den graf som skulle kunna

294 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


bära spelet.

Jag koncentrerar mig alltså på den vanliga variant av Nim, där två spelare harfördelat ett antal tändstickor på p stycken högar (t ex 3 för att vara konkret). Deturas om att ta stickor, men reglerna är sådana att man måste ta någon sticka ochman får endast ta ur en av högarna. Antalet som han tar bestämmer dock spelarensjälv. Den som tar sista stickan har vunnit!

I detta spel är det så, att vissa fördelningar av stickor kan kallas pluskombinationer.Har man tillfälle att lämna över en sådan en gång, kan man, om man behärskartekniken, ordna så att man alltid i fortsättningen lämnar pluskombinationer tillmotståndaren och slutligen vinner spelet. Jag kan redan nu som exempel vid trehögar nämna att en fördelning av 25 stickor med 13, 7 och 5 per hög ej är någonpluskombination, men ett bra sätt att behandla dessa högar är att ta 11 stickor urden första högen och lämna fördelningen 2, 7, 5 till motståndaren. Detta är nämligenen pluskombination! Hur avgör man nu om en kombination är pluskombinationeller ej? Det enkla svaret är att man skriver antalet stickor i respektive högar itvåtalssystemet och gör upp en tabell, där de sista binära siffrorna står rakt övervarandra. I de båda fallen 13, 7, 5 och 2, 7, 5 blir dessa tabeller (eftersom 13 =

295 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


EEQE, 7 = EEE, 5 = EQE och 2 = EQ)

E E Q EE E EE Q E

E QE E EE Q E

Om det nu är en pluskombination eller inte, avgörs genom att man undersöker omdet är ett jämnt antal E eller ej i varje kolumn, alltså om det finns ett jämnt antalE bland sista siffrorna i talen, i näst sista siffrorna etc. Om det är ett jämnt antalE i varje kolumn, har vi en pluskombination. Om vi markerar jämnt antal med +och udda antal med − och skriver dessa beteckningar under kolumnerna får våratabeller utseendet

13 E E Q E7 E E E5 E Q E− − − −

2 E Q7 E E E5 E Q E

+ + +

.

Eftersom den andra tabellen endast har pluskolumner är motsvarande kombinationen pluskombination enligt vår definition.

Beviset för våra påståenden om att vinna i Nim följer nu av följande konstateranden:

296 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


A. Den som tar stickor enligt reglerna från en pluskombination lämnar en kombi-nation som ej är pluskombination.

B. Genom ett lämpligt drag enligt reglerna kan varje kombination som ej är plus-kombination överföras i en sådan.

Beviset för A är omedelbart. Man tar ju stickor ur en hög och det binära uttrycketför antalet stickor i denna hög måste alltså ändras åtminstone i någon kolumn. Merbehövs inte för att förstöra en pluskombination!

Beviset för B är en aning mer komplicerat, men vi skall ange en metod att bestämmavilken hög man skall ta ur och också det antal stickor man skall ta. Vi letar i radenav + och − under motsvarande tabell reda på det minustecken som står längst tillvänster. Eftersom det är ett minustecken, innehåller kolumnen ovanför åtminstoneett E. Välj en hög sådan att motsvarande antal stickor har ett E i denna kolumn. Urdenna hög skall vi nu bestämma hur många stickor som skall tas bort. Vi förändrardå det binära uttrycket för antalet i högen genom att behålla alla E och Q undervilka det står plus men förändra dem, under vilka det står minus genom att bytaE till Q och Q till E. Det binära tal vi så får fram är det antal stickor högen börinnehålla för att vi skall ha en pluskombination framför oss. Eftersom den förstabinära siffra som vi ändrat på blivit ett Q i stället för E, är det nya antalet mindreän det föregående. Vi får sålunda veta hur många stickor vi skall ta bort genom enenkel subtraktion.

297 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Kanske det hela blir lättare att förstå i ett praktiskt exempel!

Låt oss använda metoden för att förvandla 18, 17, 8, 5 och 2 stickor i fem högar tillen pluskombination. Vi gör först upp tabellen med tillhörande plus och minus

18 E Q Q E Q17 E Q Q Q E8 E Q Q Q5 E Q E2 E Q

+ − − + +

Det första minustecknet finns i kolumn nr 2 från vänster. I denna ingår endast ett Efrån högen med 8 element. Det binära uttrycket för 8 = EQQQ skall nu förändras påde ställen som det står minus under. Det är de två första platserna, och vi bör alltsålämnaQEQQ = EQ = 4 stickor kvar i högen och ta bort EQQQ−EQQ = EQQ = 4stickor.

Den nya pluskombinationen har 18, 17, 5, 4 och 2 stickor i högarna, låt oss kontrollera

298 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


att det ger endast plus!18 E Q Q E Q17 E Q Q Q E5 E Q E4 E Q Q2 E Q

+ + + + +

Det återstår nu endast att konstatera att den som alltid lämnar en pluskombinationtill motståndaren till slut vinner. (Att han kan göra det, om han bara en gånghaft tillfälle att framställa en pluskombination, framgår av A och B.) Eftersomtotalantalet stickor minskar vid varje drag måste vi efter ett ändligt antal drag hatagit alla stickor. Det kan naturligtvis ej bli fler drag än stickor. Den som fårnoll stickor att ta ur har uppenbarligen förlorat. Spelar vi så att vi alltid lämnaren pluskombination och alltid mottar en kombination som ej är pluskombination,kan vi aldrig få den som saknar stickor i alla högar. Denna är nämligen en typiskpluskombination och vi kommer alltså att få tillfälle att lämna den till motståndarenoch därmed vinna! D v s om han ej haft förstånd på att aldrig ge oss annat änpluskombinationer att dra från.

Är nu ett förhållandevis fånigt sällskapsspel, för att inte använda beteckningen enbarnlek, någonting som det är värt att ägna så mycket intresse åt? Varje fråga

299 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


av denna art tycks snabbt dela mänskligheten i två grupper, de förstående och deoförstående, och allt hänger nog på om man accepterar matematikens amoraliskanatur. Matematikern vänjer sig vid att problem om spel och lekar visar sig varaisomorfa med eller på annat sätt motsvara problem som anses ha största samhällsin-tresse. Därför känns det inte alls stötande för en matematiker att ge en förklaringtill att lösningen av Nimproblematiken känns så matematiskt tillfredsställande.

Vi har ett praktiskt problem, nämligen hur man bör spela Nim, och möjligheternaförefaller vara legio och principerna kaotiska, så att en s k praktisk undersökningsom tabulerar vinstgivande ställningar blir snart både tråkig och oöverskådlig. Denlösning vi givit bygger på en utmärkt idé: varför blir det något bättre om vi rep-resenterar antalet stickor i det binära systemet? När väl den beskrivningen avpluskombinationer är avklarad är resten ren rutin. Detta är typiskt för nästanalla riktiga matematiktillämpningar: En snårskog av praktisk information, ansatsertill teoribildning, en bra idé, litet matematiskt-tekniskt kunnande —därefter är helaproblematiken reducerad till rutin och saknar därmed matematiskt intresse.

Det kan ej nog understrykas att matematik är den del av hanteringen som rör sigkring idén, att sedan utöva rutinen faller ej inom matematiken, möjligen inom någonav alla dessa tillämpade vetenskaper som matematikern ser ned på, eftersom de gersina utövare helt annan reveny av verksamheten än vad som beskärs honom!

300 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


7.8 Om mäktigheten av de olika talområdena

Vi har redan i avsnittet om mängders mäktighet använt beteckningen "kontinuetsmäktighet" för 2ℵ0 d v s för mäktigheten av mängden av delmängder till de naturligatalen. I detta avsnitt skall vi ge en förklaring till detta genom att påvisa att mäng-derna av naturliga tal och av rationella tal är ekvivalenta och alltså har kardinaltaletℵ0, medan mängderna av reella och komplexa tal är ekvivalenta och har mäktigheten2ℵ0 .

De positiva rationella talen innehåller som delmängd de naturliga talen men är färreän mängden av par av naturliga tal (de är ju ekvivalensklasser av sådana talpar). Vihar redan en gång påpekat att produktmängden av de naturliga talen med sig självhar mäktigheten ℵ0, nämligen när vi skrev formeln ℵ0 × ℵ0 = ℵ0. Accepterar videnna, är det omedelbart klart att mängden av positiva rationella tal är ekvivalentmed den naturliga talmängden. Eftersom vi kan räkna upp alla rationella tal genomatt ta vartannat positivt och vartannat negativt, följer lätt vårt påstående om denrationella talmängden.

För att fylla ut den lucka som återstår, nämligen att vi ej visat att ℵ0 × ℵ0 = ℵ0,skall jag skriva upp en tillordning mellan paren av naturliga tal och de naturliga

301 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


talen. Vi låter paret (p, q) motsvara det naturliga talet

q +1

2(p+ q − 1) (p+ q − 2) .

Det kan överlämnas som övningsuppgift åt den intresserade att kontrollera att dettaär en en-entydig tillordning mellan N× N och N, och härav följer ekvivalensen.Vi övergår närmast till att bevisa att R är ekvivalent med mängden av delmängdertill de naturliga talen. Vissa fördelar kan vi ha i vårt resonemang genom att tänkaoss talen i R givna genom den binära motsvarigheten till decimalbråk.

Låt oss för detta ändamål tänka på ett reellt tal x som ligger mellan 0 och 1, och låtoss skriva det som binärbråk. Vi skall alltså visa att det finns en svit av tal (ak)

∞1

där alla ak är antingen 0 eller 1 och sådana att

x = a11

2+ a2

1

4+ a3

1

8+ · · ·+ ak

1

2k+ · · · =

∞∑k=1

ak2−k.

Detta sker på följande sätt.

Om x ≥ 12 , väljer man a1 = 1, annars a1 = 0.

Om med det så bestämda talet a1 det gäller att x − a112 ≥

14 väljer vi a2 = 1,

annars a2 = 0.

302 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Med det så bestämda talen a1 och a2 väljer vi a3 = 1, om

x− a11

2− a2

1

4≥ 1

8

annars sätter vi a3 = 0.

Fortsätts denna konstruktion, får vi en entydig motsvarighet mellan de reella talenmellan 0 och 1 och alla uppräkneliga sviter (ak)

∞1 av talen 0 och 1. Mot varje sådan

svit svarar emellertid en delmängd av de naturliga talen, nämligen k ∈ N | ak = 1,och varje delmängd av de naturliga talen svarar mot en svit. Sålunda följer attmängden av de reella talen mellan 0 och 1 är ekvivalent med mängden av delmängdertill de naturliga talen. (Skall vi vara noggranna, bör vi påpeka att vi genom vårkonstruktion aldrig får sviter som slutar på en obruten rad av ettor, delmängderav denna art har sålunda inget motsvarande reellt tal Genom att dessa delmängderendast är uppräkneligt många, går det emellertid fint att rädda vårt bevis.)

För att se att mängden av alla reella tal har samma mäktighet kan vi till varje reellttal ordna det par som på första plats har det reella talets heltalsdel, på andra platsdess bråkdel, alltså ett reellt tal mellan 0 och 1. Denna tillordning är en-entydig ochavbildar alltså R på en produktmängd där den ena faktormängden har kardinaltaletℵ0 och den andra kardinaltalet 2ℵ0 . Vi önskar visa att denna produktmängd harkardinaltalet 2ℵ0 . Eftersom den har en delmängd som är ekvivalent med de reella

303 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


talen mellan 0 och 1 och själv kan uppfattas som delmängd till en produktmängd,där båda faktorerna har kardinaltalen 2ℵ0 , är det tillräckligt att visa att

2ℵ0 × 2ℵ0 = 2ℵ0 .

Detta är emellertid också precis vad vi behöver för att inse att de komplexa talenhar kardinaltalet 2ℵ0 ; de kan ju som vi sett beskrivas med par av reella tal.

För att visa att 2ℵ0 × 2ℵ0 = 2ℵ0 väljer vi nu som mängd med kardinaltalet 2ℵ0

mängden av alla reella tal mellan 0 och 1 och tänker oss dem skrivna i binär form.Till varje par (ak)

∞1 , (bk)

∞1 av sådana reella tal ordnar vi så sviten (ck)

∞1 , där

c1 = a1, c3 = a2, c5 = a3, . . . och c2 = b1, c4 = b2, c6 = b3, . . . . Vi får på detta sätten en-entydig avbildning av alla par av reella tal mellan 0 och 1 på de reella talenmellan 0 och 1. Härav följer våra påståenden om mäktigheten.

Vad vi har funnit är att, löst uttryckt, de naturliga och de rationella talen är "likamånga", medan de reella har större mäktighet och denna är densamma som dekomplexa talens. Detta medför också att de irrationella talen, alltså de reella talensom ej är rationella, har kontinuets mäktighet och utgör en med de reella talenekvivalent mängd.

De reella tal som kan erhållas som rötter till en algebraisk ekvation

a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an = 0

304 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med hela tal a0, a1,. . . ,an som koffi cienter, brukar kallas algebraiska, och de somej är algebraiska kallas transcendenta. En lämplig övning är att visa att mängdenav algebraiska tal är uppräknelig, vilket innebär att de allra flesta reella tal ärtranscendenta. Trots detta är det mycket svårt att visa att ett givet tal verkligen ärtranscendent. Beviset för transcendensen av π genomfördes första gången 1882 avC. L. F. Lindemann och var ingen enkel prestation. Bl a innebär detta resultat attproblemet om cirkelns kvadratur är olösligt. Man kan alltså ej med passare och linjalkonstruera sidan i en kvadrat som har samma yta som en given cirkel. Ginge detskulle man nämligen kunna ange en algebraisk ekvation med rationella koeffi cientersom hade förhållandet mellan t ex cirkelradien och kvadratsidan som rot. Att debåda andra klassiska problemen om konstruktioner med passare och linjal, nämligenvinkelns tredelning och kubens fördubbling, är olösliga är något enklare att reda utoch var tidigare bekant.

305 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Matematisk analys och några . . .

8. Matematisk analys och några vanliga missförstånd.Extremproblem

En mycket stor del av det som utanför matematikernas krets upplevs som matema-tik, i synnerhet om den skall vara "högre" eller aktuell i någon mening, gäller s kinfinitesimalkalkyl eller differential- och integralräkning. När dessa delar av mate-matiken sammanförs med ytterligare några anslutande moment, använder man viduniversitet och högskolor ofta det litet tvetydiga uttrycket matematisk analys.

Vad det är fråga om är närmast ett noggrant studium av vissa speciella funktions-klasser, framförallt av dem där definitionsområdet är antingen R eller R2 (alltså lin-jen eller planet) och värdeförrådet en delmängd till R. I många av de tillämpningarsom dominerade vid matematikens genombrott som fysiskt-tekniskt hjälpmedel un-der 1700-talet är det sådana objekt som är aktuella vid den matematiska beskriv-ningen. De sorgliga effekterna av en för stark koncentration till just detta område vidmatematikundervisningen kommer därav, att förmågan att fatta funktionsbegrep-pets interpretation i mer allmänna sammanhang ofta beskärs, vilket är till nackdelbl a i många mer moderna tillämpningar. Än värre är det kanske, när man utan vi-dare förutsätter att alla funktioner av ovan nämnd art, som är värda något intresse,har ett synnerligen stort mått av regularitet. Jag skall i detta kapitel redogöra förde delar av den matematiska analysen som jag finner nödvändiga för att ge några

306 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


exempel på hur patologiskt som enkla funktioner kan uppföra sig. Ett studium avdessa problem kan tyvärr alldeles för lätt avslöja hur svåra även många välspriddamoment av matematiken egentligen är (och hur få det är som verkligen kan dem!).Till dessa exempel skall jag också anknyta några reflexioner om extremproblem, enproblemtyp som ju är den oftast aktualiserade, när det gäller att tillämpa matema-tik: vad är bäst och vad är störst?

8.1 Kontinuerliga funktioner

Låt oss först intressera oss för det som har kallats funktioner av en variabel d v slåt f vara en funktion f : R → R2. Sådana finns det väldigt många och den oftautbredda förhoppningen (jfr figur 2.9a på sid 82) att det skall gå fint att åskådliggöraen sådan funktion med ett pennstreck är optimistisk i överkant. Tänk t ex på enså pass naturlig funktion som den som är definierad för alla reella tal och somantar värdet 0 för irrationella tal och 1 för rationella tal. Denna funktions graf kanbeskrivas genom

g = (s, 0) | s ∈ R, s irrationellt ∪ (t, 1) | t ∈ R, t rationellt .

Den som kan hitta på en bra figur som åskådliggör denna graf har gjort en stor insats.Om man skulle tänka sig en vanlig kurva, så skall den i stor utsträckning hålla sig

307 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


på reella axeln, ty de irrationella talen är mycket fler än de rationella (eftersom dereella är "många fler" än de rationella; jfr sid 301 för exaktare beskrivning). Å andrasidan innehåller varje intervall, hur litet det än är, oändligt många rationella tal ochför dessa är funktionsvärdet alltså 1.

Den enda behållning man bör ha av sådana exempel är att man vet att vad vi justförsökt beskriva är en precis lika respektabel funktion som den som avbildar varjereellt tal på sig självt, alltså den funktion som konventionellt skrivs h(x) = x och somalltså som graf har koordinatsystemsdiagonalen h = (x, x) | x ∈ R. För säkerhetsskull skall jag passa på att skjuta in att funktioner sådana som k (x) = 3 med grafen(x, 3) | x ∈ R också är utmärkta funktioner d v s en funktion kan mycket väl varakonstant. Genom att det varit brukligt att tala mycket om variabler i samband medfunktioner, som när man säger att y = f (x) anger hur y varierar med x, har detspritt sig en uppfattning att konstanta funktioner ej duger, därför att de ej varierar.Som var och en omedelbart kan avgöra med hjälp av den abstrakta definitionen,är dessa konstanta funktioner helt fullvärdiga medlemmar av funktionernas familj.Likaså finns det funktioner som har ett mycket inskränkt definitionsområde, mendå blir nödvändigtvis också värdeförrådet inskränkt, t ex i den funktion som antarvärdet −7 i punkten 1 och som ej är definierad för några andra värden

Om vi nu vill undvika funktioner som är vilda på det sätt som visades av exemplet,de som var olika definierat för rationella och irrationella tal, blir det nödvändigt att

308 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


införa regularitetskrav. Det allra vanligaste och mest kända är att man begränsarsig till kontinuerliga funktioner. Vi har då att gå tillbaka till vår topologiska kun-skap om gränsvärden och sådana ting. Den topologi som vi skall använda på linjenär den som vi förut kallat den vanliga (jfr sid 198) och som induceras av den van-liga topologin i planet, som vi gav som exempel 4 i inledningen till topologikapit-let. Ett annat sätt att beskriva dessa topologier är att uppfatta R och R2 sommetriska rum med det vanliga euklidiska avståndet, alltså |x1 − x2| för x1, x2 ∈ Roch

√(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2 för (x1, y1) , (x2, y2) ∈ R2.

Enligt våra allmänna definitioner är en funktion kontinuerlig om inversa bilden tillvarje öppen mängd är öppen eller med en annan ekvivalent formulering; om det tillvarje punkt a i definitionsområdet och varje positivt tal ε finns ett tal δ sådant attför alla x inom definitionsområdet och med |x− a| < δ gäller att |f (x)− f (a)| < ε.

Vid tillämpningen av dessa definitioner, ifall definitionsområdet för den funktion vistuderar ej är hela R, gäller det att hålla en del i minnet. Den topologi som skallanvändas på definitionsområdet är den som induceras av den ovan nämnda topologind v s öppna mängder uppkommer som snitt av definitionsområdet och de mängdersom är öppna på linjen. Detta innebär exempelvis att om en funktion är definieradpå intervallet x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1 så är alla mängder av typen x ∈ R | 0 ≤ x < aför 0 ≤ a < 1 öppna, likaså naturligtvis hela definitionsmängden d v s det slutna

309 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


intervallet!

Som vi tidigare påpekat, brukar man definiera kontinuitet i en punkt a genom attkräva att definitionen med ε och δ gäller för just detta a-värde. Ekvivalent därmedär att kräva att

limx→a

f (x) = f (a) .

Det visar sig att en funktion är kontinuerlig om och endast om den är kontinuerligi varje punkt i definitionsområdet.

Definitionen med lim f (x) = f (a) eller motsvarande ε, δ-formulering återfinns i varjenågorlunda ambitiös analysbok. De icke ambitiösa nöjer sig med att kräva att kurvansom "representerar" funktionen hänger ihop, Vad detta innebär i de fall den ej kanåskådliggöras är rätt besvärligt att gissa men låt oss observera att det matematiskabegreppet kontinuitet på något sätt preciserar det intuitiva begreppet sammanhän-gande funktionskurva, åtminstone om definitionsområdet är sammanhängande.

En sådan funktion, som den som var 0 eller 1 beroende på rationaliteten, är natur-ligtvis ej kontinuerlig: oberoende av om a är rationellt eller irrationellt finns det ivarje intervall x | |x− a| < δ punkter sådana att |f (x)− f (a)| = 1.

Däremot är varje polynomfunktion kontinuerlig. Genom enkla kalkyler är detta lättatt visa direkt. Ett elegantare sätt är att först visa att produkten och summan avtvå kontinuerliga funktioner med reella värden är kontinuerlig; därefter följer poly-

310 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


nomfunktionens kontinuitet genom upprepad användning av denna sats, blott vikontrollerar att såväl den identiska funktionen h (x) = x som de konstanta funktion-erna är kontinuerliga. Detta är emellertid lätt gjort, vilken definition vi än använder.Låt oss välja den med inversmängdens öppenhet.

Om h är den identiska avbildningen, är inversa bilden till varje öppen mängd öppen,eftersom det är samma mängd. Om funktionen är konstant är inversa bilden till enmängd antingen hela R eller den tomma mängden ∅. Båda är emellertid öppna.Bevisen för kontinuiteten av summafunktion och produktfunktion sker kanske enk-last med ε, δ-tekniken men skall ej genomföras här.

Som exempel på kontinuerliga funktioner nöjer vi oss tills vidare med polynomfunk-tionerna, alltså funktioner givna genom

p (x) = a0xn + a1x

n−1 + · · ·+ an,

där a0, a1, . . . , an är reella tal och n är ett naturligt tal. Dessa polynomfunktionerär i själva verket de allra snällaste funktioner man kan tänka sig men som vi snartskall se gäller inte detta för alla kontinuerliga funktioner. Vi skall närmast ägna ossåt det något starkare regularitetskrav som brukar kallas deriverbarhet.

311 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


8.2 Deriverbarhet och derivator

En funktion fsägs vara deriverbar i punkten aom det går att bestämmaett tal A så att den funktion f1som ges av

f1 (x) =f (x)− f (a)

x− a för x 6= a, f1 (a) = A

är kontinuerlig i punkten a.

Om detta är möjligt, blir tydligen med ett annat uttryckssätt

A = limx→a

f (x)− f (a)

x− a

Talet A kallas derivatvärdet i punkten a. På den punktmängd där funktionen ärderiverbar kan vi nu definiera en ny funktion vilken som värden har derivatvärdena.Denna funktion brukar kallas derivatan och betecknas med ett primtecken så attderivatan till funktionen f skrivs f ′ och derivatan till funktionen G skrivs G′ o s v.

För säkerhets skull skall vi ta en övning genom att undersöka om polynomfunktionenp given genom p (x) = x2 för alla reella x är deriverbar. Att den är kontinuerlig påhela linjen har vi nyss konstaterat.

312 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Vi bildarp (x)− p (a)

x− aoch finner genom direkt uträkning att eftersom x2 − a2 = (x− a) (x+ a), blir

p1 =p (x)− p (a)

x− a = (x+ a) om x 6= a

Vi skall nu definiera p1 (a) så att p1 (om möjligt) blir kontinuerlig. Väljer vi x näraa, blir tydligen x+ a mycket nära 2a, varför detta är rätta valet; med detta val blirp1 en polynomfunktion av första graden och alltså kontinuerlig.

Derivatan p′ skall ha egenskapen p′ (a) = 2a. Eftersom p visade sig vara deriverbarpå hela linjen, får vi en derivata som är definierad på hela linjen, och den är givengenom

p (x) = 2x.

Mycket ofta vinns ju matematikens framgångar genom upprepning, och man anslutersig sålunda till en värdig tradition, när man frågar om derivatan kanske kan deriveras.I fallet ovan med p′ definierad på hela linjen leder detta till ett problem inom våraktuella problemkrets. Vi bildar

p′ (x)− p′ (a) = 2 (x− a)

313 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


och finner sålunda attp′ (x)− p′ (a)

x− a = 2

och att derivatan av p′ är den konstanta funktionen med värdet 2.

Om derivatan har en derivata, kallas denna andra derivatan till den ursprungligafunktionen, och den betecknas med två primtecken, utlästa "biss". I exemplet ovanexisterar således andra derivatan på hela linjen och den ges genom p′′ (x) = 2 föralla x. Symbolen p′′ för denna funktion utläses alltså "p-biss".

Man kan på detta sätt fortsätta och undersöka tredje- och fjärdederivator. Existeraren n:te derivata till funktionen f , brukar den betecknas f (n), och vi kan, om vi vill,för låga värden på n använda de alternativa beteckningarna f (1) = f ′, f (2) = f ′′ ochäven f (3) = f ′′′.

Den funktion som är given genom

g (x) =

x5 om x ≥ 0,−x5 om x < 0,

har den egenskapen att den har 4 derivator som är definierade på hela linjen, g(4) äremellertid ej deriverbar i punkten 0. I alla andra punkter är funktionen deriverbarett godtyckligt antal gånger. Det visar sig nämligen att g(4) = 120 |x|. Denna

314 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


funktion har för positiva x derivatvärdet 120, för negativa x derivatvärdet −120.För x = 0 är det omöjligt att välja ett derivatvärde, eftersom

g(4) (x)− g(4) (0)

x− 0=

120 om x > 0,−120 om x < 0.

Som exempel på en funktion som ej är deriverbar i någon enda punkt kan vi ta densom vi flera gånger nämnt och som är 0 för irrationella värden och 1 för rationellatal. Denna var ju ej heller kontinuerlig och det kan då vara naturligt att fråga sighur dessa begrepp hänger samman.

Svaret är att en deriverbar funktion alltid är kontinuerlig, medan omvändningen ejbehöver vara sann.

Om vi utgår från det tidigare omnämnda resultatet att summan och produkten avtvå kontinuerliga funktioner är kontinuerlig, så följer det av

f (x) = f (a) + (x− a) f1 (x)

att f är kontinuerlig i a, eftersom konstanten f (a) och den funktion som ges avg (x) = x − a är kontinuerliga. Kontinuiteten av f1 i punkten a är precis vad somutgör definition på deriverbarheten i punkten a.

Åt andra hållet räcker det att hänvisa till ett exempel som vi förut kommit i kontakt

315 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


med. Låt h vara definierad på hela R genom h (x) = |x| . Denna funktion (figur 8.1apå sid 321) är kontinuerlig men den är ej deriverbar i x = 0.

Det är ej alltför svårt att konstruera kontinuerliga funktioner som ej är deriverbarai någon enda punkt men vi skall ej här genomföra något sådant resonemang. Detförsta exemplet av denna art, gavs för 100 år sedan av Berlinprofessorn Karl Weier-strass. Parentetiskt bör nämnas dennes direkta inflytande på svensk matematik.Såväl G. Mittag-Leffl er (professor i Stockholm 1881-1911) som Sonja Kovalevskij,vilken 1884 blev vår första kvinnliga professor, likaså i Stockholm, hade hos Weier-strass studerat teorin för analytiska funktioner d v s deriverbara komplexvärda funk-tioner som är definierade på delmängder av det komplexa talområdet.

Om vi återvänder till exemplet med den kontinuerliga funktionen utan derivata, såskakade denna upptäckt den matematiska världen och bidrog till att pressa framstringentare definitioner och resonemang inom funktionsteorin. En fysiker lär hakommenterat att funktioner har allt att vinna på att vara deriverbara, medan denrene matematikern C. Hermite tog till starkare ord: Jag vänder mig bort med skräckoch fasa från denna beklagansvärda plåga med funktioner utan derivator.

Antagligen fälldes detta yttrande med bibehållet humör men historien visar hurhårt förmodat fördomsfria matematiker ofta tar upplevelsen när intuitionen får sinatörnar. Vi skall syssla med fler sådana exempel i detta kapitel.

316 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


8.3 Växande, avtagande och extremvärden

Mycket av det intresse som ägnas åt derivator har sin förklaring däri att dessa kananvändas för studiet av funktioners växande och avtagande och i vissa fall även förbestämning av funktioners extrema värden.

En funktion f : R → R sägs vara växande, om x1 < x2 medför att f (x1) < f (x2),och den säges vara icke-avtagande, om x1 < x2 medför att f (x1) ≤ f (x2). Påsamma sätt definieras avtagande genom att x1 < x2 medför att f (x1) > f (x2) ochicke-växande genom att x1 < x2 medför att f (x1) ≥ f (x2).

Funktionen f sägs ha maximum i punkten x0, om det finns en omgivning V (x0) tillx0 sådan att f (x0) ≥ f (x) för x ∈ V (x0). Gäller sträng olikhet för alla värden utomx0, har funktionen ett strikt maximum i punkten. På motsvarande sätt definierasminimum och strikt minimum och vi kan formulera om definitionen för minimumsålunda: f har ett minimum i x0, om det finns ett positivt δ sådant att f (x0) ≤ f (x)för alla x med |x− x0| < δ. Maximum- och minimumpunkter kallas med ett gemen-samt namn extrempunkter och motsvarande funktionsvärden kallas extremvärden.De definitioner vi lämnat ger vad som brukar kallas lokala extremvärden men visöker ofta globala. Ett globalt maximum har vi i en punkt x0 om f (x0) ≥ f (x) föralla x i definitionsområdet för f .

Vi skall nu undersöka hur funktioners växande och avtagande påverkar derivatan,

317 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


om denna existerar.

Om en funktion f är icke-avtagande, så gäller f ′ (x) ≥ 0 för alla x för vilka f ärderiverbar. Detta följer eftersom f (x)− f (a) och x− a har samma tecken om f äricke-avtagande och sålunda

f1 (x) =f (x)− f (a)

x− a ≥ 0 för x 6= 0.

Derivatvärdet i punkten a skall ju tillsammans med dessa icke-negativa värden geen kontinuerlig funktion och måste då, som lätt inses, också vara icke-negativt.

Man skulle kunna förmoda att för en växande funktion skulle f ′ (x) > 0 gälla. Dettaär emellertid ej fallet som exemplet f (x) = x3 visar. Denna funktion är växandemen f ′ (0) = 0.

På exakt samma sätt följer nu att för en icke-växande funktion gäller f ′ (x) ≤ 0under förutsättning att derivatan existerar.

De uppnådda resultaten gäller under en skenbart svagare förutsättning. Om f ärderiverbar i punkten a och icke-avtagande i denna punkt, så gäller f ′ (a) = 0. De-finitionen på att vara icke-avtagande i en punkt a är att det finns ett δ > 0 så attf (x) ≤ f (a) för a− δ < x < a, medan f (a) ≤ f (x) för a < x < a+ δ. Om en funk-tion är icke-avtagande i ett intervall så är den också icke-avtagande i varje punkti intervallet. Omvändningen gäller men kräver en del matematisk teknik. Vi skall

318 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


därför inte bevisa att en funktion som är icke-avtagande i varje punkt i ett intervallockså är icke-avtagande i hela intervallet. Till de enkla funktionernas patologi hör,som vi snart skall finna, att en funktion mycket väl kan vara växande i en punktutan att den därför är icke-avtagande i ett enda intervall omkring punkten. Jagönskar stryka under detta resultat, som vi skall studera närmare, då erfarenhetenvisar att detta hör till de mest svårlärda tingen i hela funktionsteorin, åtminstone iett samhälle med vår hittillsvarande matematikundervisning.

Ständigt utkommer på alla de språk läroböcker med rent felaktiga påståenden inomdetta område. Detta om något visar hur svåra den allra mest konkreta matematikensresultat är eftersom läroboksförfattare ständigt går i de fällor de själva gillrar. (Närläsaren finner att denna tes även är applicerbar på författaren till denna bok, harhan ytterligare bevis för mitt påstående.)

Låt oss nu härnäst bevisa att om derivatan existerar och är positiv i en punkt, såär funktionen växande i denna punkt. Vi antar alltså att f ′ (a) > 0, och vi vet att

f (x)− f (a)

x− a

kommer mycket nära f ′ (a) bara vi håller x nära a, detta enligt ε, δ-definitionen på

319 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kontinuitet. Väljer vi ε = 12f′ (a) så finns det ett δ sådant att

f (x)− f (a)

x− a > f ′ (a)− 1

2f ′ (a) =

1

2f ′ (a) > 0 för |x− a| < δ.

För a < x < a+ δ medför detta att f (x) > f (a), medan vi för a− δ < x < a får attf (x) < f (a). Detta är emellertid inget annat än definitionen på växande i punktena.

På motsvarande sätt följer nu att om f ′ (a) < 0, så är f avtagande i punkten a.Jämför vi dessa båda resultat med definitionen på lokalt maximum finner vi att omen funktion f är deriverbar i en extrempunkt a som ligger i det inre av definition-sområdet så måste det gälla att f ′ (a) = 0. Vore nämligen derivatan större än 0,skulle funktionen vara växande i punkten, vore den mindre än 0, skulle funktionenvara avtagande i punkten och dessa resultat motsäger var för sig definitionen påextrempunkt.

320 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

1

2

3

4

5

a) f (x) = |x|

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

1.0

0.5

0.5

1.0

b) f (x) =

1 + x −1 ≤ x ≤ 0−1 + x 0 < x ≤ 1

Figur 8.1: Exempel på funktioner för diskussion av extremvärden

En funktion kan naturligtvis mycket väl ha extrempunkter utan att vara deriverbari dessa. I figur 8.1a har vi en kontinuerlig funktion som har minimum i 0 men ej ärderiverbar där, medan vi i figur 8.1b har ett extremvärde för x = 0men i denna punktär funktionen inte ens kontinuerlig. Den har ej något minimum, varken lokalt ellerglobalt. I figur 8.2a har vi en funktion som är kontinuerlig och deriverbar överallt,saknar maximum men har en minimumpunkt x = 0 i vilken också derivatan kanvisas vara 0. I 8.2b finns det två lokala extremvärden för x = 1

3 och −13 och för dessa

321 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


värden är derivatan = 0. Globalt maximumvärde är f (1) = 2 och globalt minimumf (−1) = −2. I båda dessa punkter visar sig derivatan vara lika med 8, vilket visarnödvändigheten av att inskränka sig till inre punkter vid uttalandet att derivatanär 0 i en extrempunkt.

5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

0.2

0.4

0.6

0.8

a) f (x) = x2

1+x2

1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

2

1

1

2

f (x) = 3x3 − x

Figur 8.2: Exempel på funktioner med extremvärden

Tydligt är att derivatans nollblivande ej är tillräckligt för att funktionen skall ha ettextremvärde. Vi har ju förut nämnt den växande funktionen given av f (x) = x3

för vilken f (0) = 0. Om man har att göra med ett praktiskt problem och sökerextremvärden, är det alltså naturligt att bl a studera de punkter där derivatan är0. Som vi ovan sett kan extremvärden dölja sig i många andra punkter exempelvis

322 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


randpunkter och punkter där funktionen ej är deriverbar. Det kan uppenbarligenvara av intresse att ha tillgång till några villkor som garanterar att f har maximumi en punkt. Det mest kända är då man lyckas visa att funktionen är växande i ettintervall till vänster om den förmodade extrempunkten och avtagande i ett intervalltill höger om denna; i så fall har vi ett strikt maximum. Speciellt gäller detta omfunktionen är två gånger deriverbar i den punkt där första derivatan är noll ochandra derivatan där har ett negativt värde.

Beviset för dessa påståenden hör till de mest omhuldade delarna av den matematiskaanalysen. Vad som ej är lika välkänt är att omvändningen inte gäller, att detta hängernära samman med det resultat som jag förut skildrade om den i en punkt växandefunktionen som i varje omkringliggande intervall har punkter där den avtar. Kanskedet är än lättare att hitta läroböcker i ämnet, där man med spärrad stil kan läsafelaktiga påståenden som:

I en punkt där en funktion har ett strikt minimum övergår den från attha varit avtagande till att bli växande

eller

Om den deriverbara funktionen fhar strikt minimum i a, så finns det ettintervall (a− h, a)i vilket f ′ är negativ och ett intervall (a, a+ k) i vilketf ′ är positiv.

323 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Detta var sålunda exempel på två väl spridda lögner.

För att visa felaktigheten skall vi ge ett exempel på en funktion f som är deriverbaroch alltså kontinuerlig för alla reella x, som har ett minimum i punkten 0 men därfunktionen ej är växande i något intervall x | 0 ≤ x ≤ δ, ej heller avtagande i någotintervall x | −δ ≤ x ≤ 0.

0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

0.2

0.4

0.6

Figur 8.3: Ett exempel på en funktion där derivatan ej byter tecken i minimumpunk-ten.

Grafen för f är skisserad i figur 8.3, och funktionen definieras genom

f (x) =

x2(2 + cos

(πx

))för x 6= 0,

0 för x = 0.

Detta är naturligtvis inte alls bra, eftersom jag för första gången tvingas skriva någotså speciellt som cos d v s beteckningen för cosinusfunktionen. Min förhoppning är att

324 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


den som i sin uppfostran gått miste om cosinus med glädje sätter sig över detta ochendast i figuren söker sig en kvalitativ upplevelse av det som jag kan strikt bevisaför den som behärskar t om derivatan av cosinus. Denne kommer nämligen att finnaatt

f ′ (x) =

2x(2 + cos

(πx

))+ π sin

(πx

)för x 6= 0,

0 för x = 0.

Det utmärkande för cos och sin är nu att de enligt vissa regler varierar mellan −1och +1 men aldrig går utanför dessa gränser. Härav följer att f (x) > x2 > 0 föralla x 6= 0 och alltså är f (0) = 0 ett strikt minimumvärde. Deriverbarheten anserjag mig ha visat genom att ange derivatan, den kunnige kontrollerar mig lätt. Attf ′ (0) = 0 visste vi av det allmänna resultat vi förut härlett. Det återstår endast attvisa att det finns positiva x-värden godtyckligt nära 0 för vilka f ′ (0) < 0 och attdet finns negativa x-värden på samma sätt för vilka f ′ (0) > 0.

Det lämpliga valet är

xn = (−1)n(n− 1

2(−1)n

)−1.

Om n > 4 så blir |xn| < 14 , och den första termen i övre raden för f

′ (xn) blir till sitt

talvärde mindre än 1, eftersom cos(πxn

)= 0. Beroende på om n är udda eller jämnt

blir sin(πxn

)lika med +1 eller −1. Det betyder att för udda n får vi punkter som

325 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ligger godtyckligt nära 0 på den negativa sidan och i vilka f ′ (xn) > π − 1, medanvi för jämna n får positiva xn med f ′ (xn) < −π + 1.

I varje intervall kring origo finns det sålunda punkter med negativ derivata till högerom origo och punkter med positiv derivata till vänster om origo. Felaktigheteni påståendet att funktionen övergår från att vara avtagande till att bli växandebör härmed vara evident. Trots detta har vi all anledning att vänta oss felaktigapåståenden i kommande publikationer Jag vet dock att det anses alltför elakt attpåstå att förekomsten av felaktigheter av denna art i läroböcker kan bidra till attskrämma bort begåvningar från matematikstudier

För att få ett exempel på den andra egendomligheten jag nämnt ovan behöver viendast betrakta funktionen g given genom g (x) = f (x) + x. Dennas derivata ärgiven av g′ (x) = f ′ (x) + 1, och alltså gäller g′ (0) = 0. Funktionen är växandei punkten 0, men i varje intervall kring denna punkt finns det punkter x2m därf ′ (x2m) < −π + 2 < 0. I dessa punkter är således funktionen avtagande och vihar ett exempel på en funktion som är växande i en punkt utan att ha liknandeegenskaper i det minsta intervall omkring punkten.

Jag skall inte rida mer på dessa speciella exempel. Det finns i själva verket ett par,tre moment inom den traditionella analysen som är av samma art och vilka, dennågot erfarne alltså först söker upp, om han vill ha ett intryck av standarden på enbok han fått i sin hand.

326 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Det stämmer rätt illa med den populära uppfattningen om matematiken som ensedan stenåldern fixerad vetenskap, där man lätt ser vad som är rätt och fel, atten av de grundläggande satserna inom differential- och integralkalkylen, nämligenformeln för derivatan av en sammansatt funktion, kan skildras på följande sätt i desenare upplagorna (fr om 1925) av läroboken Pure mathematics av G. H. Hardy:

Beviset för denna sats är i många läroböcker (och i de tre första up-plagorna av denna bok) felaktigt(Riktiga bevis finns dock redan i böcker av Dini från 1877 och av Peanofrån 1884.)

Den som känner till dessa och liknande exempel har anledning att känna sig litetorolig och kräva en närmre granskning, när historier av typen Jag förstod inte,när magistern förklarade i skolan, men så fort Kalle talade om hur det var, begrepjag berättas. Det finns så många punkter inom matematiken där det är alldelesför lätt att bedra folk, och det finns också många Kallar även i lärarkretsar somi okunnig välmening förstör matematiken. Det är säkert tur för oss alla att vi ejär så begåvade att vi i skolan ställde de frågor som naturligen borde ställas frånvetenskapens synpunkt, ty i så fall hade vi förmodligen aldrig klarat oss igenom.

327 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


8.4 Reellvärda funktioner definierade i R2

Jag skall ge några kommentarer gällande motsvarigheten till de problem som vinyss diskuterat för funktioner definierade på delmängder av R när vi går över tillfunktioner på R2 och delar därav. En av fördelarna med det allmänna sätt på vilketvi har närmat oss problemen är att vi ej har någon svårighet att göra reda förvarken vad som menas med en funktion av denna art eller med dess kontinuitet. Ensvårighet, när man går över till funktioner definierade i R2, är att det blir så mycketbesvärligare att rita; en reellvärd funktion definierad i en delmängd av R2 kräverju en tredimensionell bild. Efter vad vi sett i föregående avsnitt skulle dock dettakunna ha en liten fördel: vi förleds ej så lätt till förhastade slutsatser av figurer.

Låt oss något närmare titta på derivator och extremvärden.

Om en reellvärd funktion f har ett definifionsområde D ⊆ R så betecknar vi funk-tionsvärdet i punkten (x, y) ∈ D med f (x, y). Att f har ett strikt maximum ipunkten (x0, y0) innebär att det finns en omgivning V0 (i den metriska topologinpå R2) till (x0, y0) sådan att f (x0, y0) ≥ f (x, y) för alla (x, y) ∈ D ∩ V0 och likhetgäller endast för (x, y) = (x0, y0). På liknande sätt och analogt med vad vi föruthaft för oss införs minimum, globala extremvärden etc.

Mindre klart är det vad som skall menas med derivator av de funktioner vi nustuderar. Det enklaste sättet är att hålla det ena elementet i paret fixt. På så vis

328 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


får vi en funktion som är definierad på en delmängd av R och vi kan kopiera vårtidigare definition av derivata. Låt (a, b) ∈ D och definiera två funktioner g och hgenom g (x) = f (x, b), h (x) = f (a, x).

Om dessa funktioner är deriverbara, g i punkten a och h i punkten b, sägs f ′ varaderiverbar i punkten (a, b). Som beteckning på de båda derivatvärdena används

g′ (a) = f ′1 (a, b) , h′ (b) = f ′2 (a, b) .

Index 1 betecknar att derivation skett med avseende på första elementet i paretoch på motsvarande sätt tyds index 2. De derivatvärden vi fått fram kallas oftaav naturliga skäl partiella derivator. Om vi vill ha en motsvarighet till derivatani linjefallet är det naturligaste att som derivata till den här studerade funktioneninföra en vektorvärd funktion, som brukar betecknas Df och som är given genom

Df =[f ′1, f

′2

].

Vi skall inte fortsätta denna utveckling, låt oss blott observera att ett nödvändigtvillkor för att f skall ha extremvärde i punkten (a, b) är att Df (a, b) = 0, om nu Dfexisterar. Detta innebär att

f ′1 (a, b) = f ′2 (a, b) = 0

329 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Detta följer, eftersom definitionen av säg maximum för f medför att motsvarandepunkt blir maximumpunkt för såväl g som h, varför teorin för funktioner på linjenmedför att derivatorna måste vara 0, om de existerar. Tillräckliga villkor är det någotsvårare att ge och ofta är det mest praktiskt att utföra en speciell undersökning inärheten av de punkter som framkommer som lösningar till f ′1 (x, y) = f ′2 (x, y) = 0.

I det plana fallet likaväl som i linjefallet är det således så att en del av sökandetefter extremvärden består i att studera lösningar till ekvationer som framkommitgenom derivation. Dessutom måste man undersöka de punkter där funktionen ejär deriverbar samt randpunkter. God hjälp har man ofta av allmänna satser t exden som säger att en kontinuerlig funktion på ett slutet begränsat område har ettstörsta värde, alltså ett globalt maximum. Beviset för denna sats tillhör naturligtvistopologin men satsen är speciell i den meningen att den i vår formulering endastgäller reellvärda funktioner.

8.5 Lineär programmering

En naturlig utveckling av den beskrivning som vi givit för behandling av extrem-problemet är det som kallas lineär programmering. Det finns en del funktioner somvisserligen är deriverbara överallt men för vilka derivatan aldrig kan vara 0. Ettmycket viktigt sådant exempel är de lineära funktionerna som, om de definieras på

330 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


R2, har formen f (x1, x2) = a1x1 + a2x2 respektive, om de studeras på Rn, harformen

f (x1, x2, . . . , xn) = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxn.

För funktioner av denna typ är det utsiktslöst att leta efter extremvärden medhjälp av derivator, då det enda som kan finnas är randextremvärden. Det klassiskaproblemet inom lineär programmering gäller att maximera en funktion f av ovanangivet utseende på en delmängd, karakteriserad av lineära ekvationer av den deldär punkterna har samtliga koordinater positiva.

Det gäller alltså att söka maximum av f (x1, x2, . . . , xn) = a1x1 + a2x2 + · · ·+ anxnom

b11x1 + b12x2 + · · ·+ b1nxn = c1

b21x1 + b22x2 + · · ·+ b2nxn = c2

· · · = · · ·bn1x1 + bn2x2 + · · ·+ bnnxn = cn

där x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, . . . , xn ≥ 0.

I teorin för lineär programmering bevisas satser om existensen av lösningar ochhärledes metoder att bestämma dessa. Det är här fråga om ett område som snabbtutvecklar sig och där den enkla problemställning jag givit endast är en inledande

331 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


detalj. Den grundläggande teoribildningen bygger på den geometriskt färgade teorinför konvexa mängder i det n-dimensionella rummet, en teori som vi ej går in på idenna bok. Jag skall endast ge ett exempel på lineärprogrammering som är såenkelt att vi elementärt kan härleda lösningen men som i bästa fall avslöjar någotom naturen och tillämpbarheten.

För att ge det hela en riktigt realistisk inramning skall vi tänka oss en gumma somskall gå till torget för att sälja morötter och potatis. Vi antar att 1 liter morötterväger 0.8 kg och att 1 liter potatis väger 0.5 kg, medan, hon kan sälja 1 liter morötterför 1 krona och 20 öre och 1 liter potatis för 1 krona. Hon har mycket potatis ochmycket morötter hemma men tyvärr kan hon inte få rum med mer än 60 liter på sinkärra och lasten får inte väga mer än 45kg. Hur mycket morötter och potatis skallhon medföra för att få in så mycket pengar som möjligt, om hon får sälja allt påtorget?

Om vi antar att hon medför x1 liter morötter och x2 liter potatis innebär de villkorsom är ställda i problemet att

f (x1, x2) = 1.2x1 + x2

x1 + x2 ≤ 60

0.8x1 + 0.5x2 ≤ 45

där x1 ≥ 0 och x2 ≥ 0. Den uppmärksamme observerar att detta ej är ett problem

332 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


av den art som vi beskrivit som lineär programmering ovan. Det är emellertid lättatt på ett typiskt matematiskt sätt transformera det till denna form. Inför tvåhjälpstorheter, x3 och x4, så kan problemet skrivas

f (x1, x2) = 1.2x1 + x2 + 0x3 + 0x4

x1 + x2 + x3 = 60

0.8x1 + 0.5x2 + x4 = 45

där x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0 och x4 ≥ 0.

1x

2x

Q

P

R

Figur 8.4: Lineär programmering av torgummans problem. Punkten P har koordi-naterna (50, 10). Linjen genom P och Q har ekvationen x1+x2 = 60. Linjen genomP och R har ekvationen 0.8x1 + 0.5x2 = 45.

Om vi vill ge en elementär lösning är emellertid den första formen att föredra. I

333 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


figur 8.4 har vi streckat det område som är bestämt av de fyra olikheterna, alltsåpunktmängden K given av

K = (x1, x2 | x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x1 + x2 ≤ 60, 0.8x1 + 0.5x2 ≤ 45) .

Vi har också ritat in några linjer som sammanbinder punkter med samma försälj-ningsvärde. Högre värde ger linjer längre upp åt höger. En blick på figuren avslöjarnu att det bästa för gumman är att välja den kombination som ligger i skärnings-punkten mellan linjerna

x1 + x2 = 60 och 0.8x1 + 0.5x2 = 45.

Genom denna punkt går nämligen den linje som har det högsta försäljningsvärdet avalla som råkar K. Beräkning av skärningspunkten ger x1 = 50, x2 = 10. Gummanbör således medföra 50 liter morötter och 10 liter potatis och försäljningsvärdet är70 kr.

Det finns stora grupper av problem som vid första anblicken ser helt annorlundaut men som vid närmare studium visar sig kunna formuleras som sådana här pro-grammeringsproblem. Som ytterligare ett exempel, kanske något mer realistiskt ändet föregående, kan nämnas det s k dietproblemet. Om vi antar att vi känner olikafödoämnens innehåll av vissa nödvändiga ämnen, järn, vitamin C o s v och dessutomderas pris, hur skall vi då till lägsta kostnad tillgodose vårt behov av dessa ämnen?

334 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Jag har velat nämna denna typ av extremproblem eftersom jag tycker att de påett naturligt sätt ansluter sig till och bildar en ytterlighet bland de äldre extrem-problem, där derivering ibland leder till målet men ofta måste kompletteras medundersökningar av randpunkter och punkter, där derivatan ej existerar.

335 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Om matematikens tillämpningar

9. Om matematikens tillämpningar

Redan i mitt inledande kapitel hävdade jag att betonandet av matematikens arbi-trära eller lekfulla karaktär på intet sätt är oförenligt med en övertygelse om matema-tikens tillämpbarhet inom vidsträckta områden. Även de delar av matematiken somvuxit fram i anknytning till praktiska problem måste utvecklas på ett matematisktsätt, annars riskerar man att hamna i ett för alla, utom skaparen, ogenomträngligtvirrvarr. Att det finns exempel på geniala idéer som av sin upphovsman givits en idet närmaste oförståelig form, behöver ju ej nödvändigtvis uppmuntra till efterföljd.

Matematiska tillämpningar har som bekant växt fram under högst varierande former.Som den ena ytterligheten har vi den ej försumbara mängden av matematiska teorier,som utvecklats långt under den tid de betraktats som helt onyttiga och abstraktamen som plötsligt upptäckts och befunnits lämpade att tjänstgöra t ex som modellerinom fysiken. En av matematikens väsentliga uppgifter i det vetenskapliga samspeletär just att tillhandahålla teorier och modeller som med eventuella modifikationerkan appliceras inom andra fält. Man kan i de fall där tillämpningen visar sig varalyckosam vara förvissad om att den praktiska problematiken ger upphov till sju nyamatematiska problem. Utvecklingen går därmed vidare på det sätt som av mångaförmodas vara det enda.

För att man skall kunna sprida de grunder som eventuellt skall ge upphov till ma-

336 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tematiska modeller av god tillämpbarhet, fordras det naturligtvis att dessa är såutformade att någon frivilligt vill ta del av dem: det är alltså här enkelhetsidealetoch den estetiska målsättningen kommer in och dessa kan till stor del motiveras justsom pedagogiskt betingade. En av farorna med att matematiska teorier binds förhårt vid en viss tillämpning är att det kan leda till avsevärd fördröjning innan denår sin naturliga tillämpning på andra områden. Som jag redan tidigare antytt ärdet min bestämda övertygelse att den spridning av matematiken som hjälpmedelsom nu trots allt pågår i hög grad hämmas av en allmänt spridd uppfattning avmatematiken som en naturvetenskap, för vilken det i det närmaste krävs tekniskutbildning.

Detta leder till att man vill låsa utvecklingen genom att som axiom ta att matema-tiken har sitt naturliga tillämpningsfält inom den mekaniska och materiella världen.Organiska och biologiska samt humanistiska och samhällsbetonade problem är en-ligt detta synsätt definitionsmässigt helt oåtkomliga för matematisk påverkan. Teo-retiskt sett skulle detta kunna vara riktigt, men många av de säkraste profeterna liderav den svagheten, att de bevisligen inte vet vad matematik är, vilket något minskarbeviskraften. Praktiken har dessutom visat att det finns utrymme för intressantainsatser men tyvärr medför varje misslyckat och omoget försök att försvarsmurenåter byggs högre.

Jag skall nu övergå till en översiktlig genomgång av exempel på matematikens

337 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tillämpning inom de tre ovan nämnda världarna. Exemplen är naturligtvis valdaså att de enligt min mening väl bestyrker mina påståenden. Jag har också anled-ning att beröra datamaskinerna, såsom varande bland de viktigare instrumenten vidmatematiktillämpning i våra dagar.

9.1 Mekaniska och fysiska tillämpningar

Ibland hör man påståendet att geometrin skulle vara en tillämpad vetenskap, alltsåen praktisk tillämpning av matematiken. Med hänsyn till betydelsen av ordetgeometri, nämligen "jordmätning", kan man förstå att detta ligger nära till hands.Den euklidiska geometrin hade emellertid inte i sin ursprungliga och länge kvar-levande form denna inriktning. Geometri är en vetenskap som kan utvecklas heltarbiträrt, t ex med parallellaxiom eller med något däremot stridande axiom. Denbehandlar begrepp som triangel och cirkel men ingen har någonsin sett varken entriangel eller en cirkel.

Den geometriska tillämpningen kommer, när man börjar förutsätta att syftlinjer,d v s ljusstrålars banor eller spända snören, uppför sig som räta linjer i geometrinsmening, d v s att de uppfyller axiomen och därmed de satser som kan härledas urdessa. Att detta i många lägen är riktigt med god approximation är lika välbekantsom att det i princip är felaktigt och numera har ej enligt fysiken ljusstrålarna de

338 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ovan nämnda egenskaperna.

En klar åtskillnad mellan geometri i teoretisk mening och alla de praktiska mätprob-lem som approximativt (om än med mycket hög noggrannhet) är behandlingsbaramed geometri är nödvändig men tycks vara svår att upprätthålla för de flesta män-niskor. Ytterst få tycks vara beredda att inse att det inte går att få reda på vad enrät linje är och att det ej finns några skäl för att vår omvärld (trots alla dess linjaler)skulle vara mer euklidisk än icke-euklidisk.

I äldre tider inräknades i matematiken på samma sätt som geometrin också denteoretiska mekaniken. Just tillämpningar av den arten synes för flertalet människorvara det naturliga och typiska användningsområdet för matematik och det finnsonekligen där resultat som haft den största allmänna betydelse.

Tycho Brahe hade på sitt Venobservatorium observerat planetrörelser och det var urdet materialet som Johannes Kepler (1609) härledde sina tre lagar för planeternasrörelse. Kepler kunde ej ge någon ytterligare förklaring till sina lagar, t ex varförplaneterna rör sig i elliptiska banor med solen i den ena brännpunkten. Trots dettainnebar naturligtvis hans upptäckter väsentliga förenklingar både vad det gällderedovisning av material och möjligheter till förutsägelse.

Det var i stället Isaac Newton som gav en förklaring i sitt 1687 utgivna arbetePrincipia. Enligt Newtons gravitationslag attraherar två kroppar varandra med en

339 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


kraft som är proportionell mot kropparnas massor och omvänt proportionell motkvadraten på deras avstånd och om denna kombineras med den lag som säger attaccelerationen är proportionell mot kraften, så kan man sedan matematiskt bevisaKeplers lagar. Gravitationslagen och Newtons andra lagar är inga matematiska la-gar; de ger emellertid anvisning på en matematisk modell som kan användas för attförutsäga kroppars rörelse i universum. Den mekanik som utvecklats ur de New-tonska lagarna har visat sig synnerligen tillämpbar såväl inom astronomi som merjordnära verksamheter. Mycket av dagens typiskt tekniska användningar av mate-matiken ansluter till denna tradition. Förvånansvärt tidigt lyckades man lösa kom-plicerade rörelseproblem, ofta med hjälp av lagar som är alternativa formuleringartill de Newtonska. Som ett exempel kan vi ta problemet att bestämma brakistronen,som ställdes och även löstes av Bernoulli omkring 1700. Vad det gäller är att be-stämma den kurva som förbinder två givna punkter i rummet på ett sådant sätt attom en partikel under tyngdkraftens inverkan men utan friktion rör sig längs dennaså tar färden minimal tid. Det skall alltså gå fortare längs denna kurva än längsnågon annan genom de båda punkterna. Ett naturligt men tyvärr felaktigt förslagär den räta linjen som förbinder punkterna. Det gäller att låta kurvan stupa litetbrantare till en början, så att partikeln får upp farten och det rätta svaret visarsig vara en kurva av den typ som matematikerna brukar kalla cykloid (jfr figur 9.1sid 341). Den avancerade gren av matematisk analys som man har anledning att

340 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


utnyttja för lösning av brakistokronproblemet heter variationskalkyl. Den handlaralltså om extremproblem där det som kan variera ej är ett eller annat tal utan enhel kurva eller en funktion.

P

Q

Figur 9.1: Brakistokronen, kurvan för kortaste falltid från P till Q är ej den räta

linjen utan en cykloidbåge,( (

(t− sin (t)) , (1− cos (t)))), genom punkterna.

Ett annat berömt problem inom samma område gäller att genom en given slutenkurva i rummet lägga en yta som har minimal area. Motsvarande praktiska tillämp-ning är att vi på detta sätt kan beräkna hur en såphinna placerar sig om den spännsupp över en tråd formad som den givna kurvan.

Bland de resultat som har haft stort PR-värde för matematikens tillämpning inommekaniken bör framhållas de astronomiska förutsägelserna. År 1846 upptäcktes

341 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


planeten Neptunus ungefär där den var att söka enligt de beräkningar som utförtsav Leverrier och Adams och som grundade sig på de störningar man observerat iplaneten Uranus bana och som ej kunde förklaras med hänvisning till redan kändaplaneter. På samma sätt ledde avvikelser i Neptunus bana, från vad som beräknats,till upptäckten av planeten Pluto 1930. På de senaste åren har väl de beräkningarsom ligger till grund för satellituppskjutningar och månskott gjort motsvarande in-tryck på mänskligheten.

I dessa fall har som bekant också de möjligheter som de nya datamaskinerna ger,att utföra beräkningar som man tidigare ej drömt om, spelat en avgörande roll.

Det mesta av den matematik som ligger till grund för beräkningarna vid de ovan-nämnda tillämpningarna är helt klassisk. De områden som vi betonat i denna bokspelar ingen omedelbar roll, även om de naturligtvis indirekt har ett inflytandepå utvecklingen även inom dessa andra områden. Det finns emellertid andra ochminst lika viktiga tillämpningsområden inom fysiken där förhållandet är ett heltannat. Jag tänker då på sökandet efter modeller för de grundläggande skeendenainom fysiken som utvecklats under detta århundrade inom atomfysiken och kanskeframförallt efter 1925 och kvantummekanikens framväxt. Inom dessa fält spelar denmoderna algebran, matriser och grupper en roll som är jämförbar med analysens.De i tidigare kapitel nämnda algebraiskatopologiska strukturerna hör till det somblivit av intresse. De deterministiska drag som varje modell som byggts på den klas-

342 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


siska mekaniken besitter och som säkerligen spelat den största roll för variationer ilivsåskådning inom motsvarande tid har ju också i modernare naturvetenskap fåttge plats för en större osäkerhet genom det värde som probabilistiska modeller visatsig ha.

I mellanrummet mellan den klassiska mekanikens uppblomstring och vår tid hadematematikens tillämpningar inom naturvetenskapen dominerats av den utvecklinginom teorin för partiella differentialekvationer som följde på de upptäckter i börjanav 1800-talet som har sin mest berömda utformning i J. Fouriers Théorie analytiquede la chaleur.

Vi har ej i denna bok kunnat gå in på någon redogörelse för differentialekvationer,men som av namnet framgår, ansluter teorin till den differentialkalkyl vi introduc-erat i kapitlet om matematisk analys. Trots allt som hänt torde fortfarande dettaområde svara för de väsentliga naturvetenskapliga tillämpningarna av matematiken.I anslutning till Fouriers ovan nämnda arbete öppnade sig fascinerande fält. Inteendast kroppars rörelse och andra mekaniska problem var tillgängliga för matema-tisk behandling utan även värmets ledning, vätskors strömning och den elektriskapotentialen. Dessa studier och det parallella utvecklandet av differentialekvations-teorin utgjorde en av de dominerande aktiviteterna inom matematiken under förraårhundradet och också under första delen av vårt sekel. Dagens problematik gäller ihög grad atomer och kärnor, men också många andra områden, som den avancerade

343 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


hydro- och aerodynamik som exempelvis flygtekniken har behov av. I dessa sam-manhang lever kravet på ökad kunskap i differentialekvationernas teori oförminskatkvar.

Småningom växte inom den matematiska fysiken fram en frigörelse från bindnin-gen till det mekaniska tänkesättet. Till en början var en förklaring till ett fysisktfenomen att beskriva det i termer hämtade från mekaniken. Numera är det i fysikoch annan naturvetenskap fråga om att ge formaliserade modeller som på ett till-fredsställande sätt ger en sammanfattande och systematiserad beskrivning av allade fakta vi på olika sätt observerat. Det är just denna förändring som ofta förbisesav den som tvivlar på matematikens användbarhet utanför fysik och mekanik. Omman tror att matematikens medverkan inom fysiken inskränker sig till det noggrannaberäknandet av kroppars rörelse enligt Newtons lagar är en sådan attityd förståelig.Mycket av det väsentliga ligger dock, som jag förut understrukit, i djärvare hypote-sers prövande också inom fysiken och där arbetar man förtröstansfullt vidare ävenom de första resultaten på sin höjd är riktiga till storleksordningen. Jag har funnitatt många humanister har en högst överdriven uppfattning av noggrannheten ochfullständigheten i den naturvetenskapliga teoribildningen förmodligen beroende påden starka upplevelse de haft —exempelvis av lyckade månskott.

344 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


9.2 Datamaskiner och programmeringsspråk

Som vi kom in på i samband med beräkningar på astronomisk nivå, har hela förut-sättningen för tillämpad matematisk verksamhet förändrats, genom den revolutionsom kommit med datamaskinerna. Problem som det tidigare varit utsiktslöst attstarta beräkningar på klaras nu av på någon sekund, men hur underligt det än kanförefalla, växer aptiten snabbt, samtidigt som möjligheterna ökas.

De moderna datamaskinernas historia är inte mycket över 20 år1. Väsentliga insatsersåväl för utformningen som för det praktiska realiserandet av de första maskinernagjordes av den i inledningen citerade John von Neumann. Den militära och politiskabetydelsen hade säkerligen ett avgörande inflytande på snabbheten i utvecklingen;under krigstid har man råd och möjlighet att kasta in pengar och personal för målsom synes väsentliga.

De första maskinerna konstruerades närmast för att lösa matematiska problem avtekniskt och naturvetenskapligt ursprung. Deras prestationer syntes då imponer-ande, men utvecklingen har gått så snabbt att de nu, tjugo år senare, när mantalar om tredje generationens datamaskiner, närmast är skrattretande. Om relä-maskinerna omkring 1946 hade multiplikationstider på några tiondels sekunder, så

1 Boken publicerades 1966.

345 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


handlar det i dag om miljondelar av sekunder. Maskinernas prestationsförmågahar inspirerat till en omfattande ovederhäftig litteratur om "tänkande maskiner"och "elektronhjärnor". Vad maskinerna gör är, att de snabbt och säkert utför deoperationer som den planerande människan anvisar.

Den planering som krävs för att sätta maskinen i stånd att lösa problemen harsom sitt väsentliga inslag det som brukar kallas programmering. Som vi nämnt ianslutning till våra undersökningar av det binära systemet, kan en mängd föremålanvändas för registrering genom att de kan inta två tillstånd. I de första data-maskinerna var det fråga om ett relä som var öppet eller slutet, senare blev detexempelvis ferritkärnor som var magnetiserade eller inte, och tekniken går ständigtframåt mot bättre material, vilket i dessa sammanhang betyder snabbare och mindreutrymmeskrävande. Därmed har man lyckats förvånande. Dagens toppmaskiner tarmindre utrymme i anspråk, än många tidigare som var tusentals gånger långsam-mare, och detta är nödvändigt för snabbheten. Var och en som förstått det binärasystemet kan lätt föreställa sig att en samling element med två tänkbara positionerkan användas till att representera tal av godtyckligt utseende. Vad maskinen be-höver kunna är dessutom att på vissa signaler förändra de tal den har bokförda, t exaddera två av dem.

Det finns många utmärkta böcker som väl beskriver dels hur talrepresentation gårtill och, kanske mer intressant, vilka konstruktioner och delar som behövs för att

346 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


få maskinen att påverka talen enligt de instruktioner den får inmatade t ex på enremsa, ett hålkort eller kanske någon direkt förbindelse med ett fysikaliskt förlopp.Jag skall här endast nämna några principiella drag.

Det kunde vara intressant (och det skulle i själva verket väl ansluta till våra tidi-gare algebraiska utvecklingar) att göra reda för de synnerligen enkla grundläggandeoperationer som krävs för uppbyggnad av datamaskinernas prestationer. Denna re-duktion till de enkla och triviala deloperationerna, vilka sedan byggs ihop till, etticke trivialt helt, är något av det karakteristiska i all matematisk hantering, vilket ibästa fall framgått av de tidigare kapitlen i denna bok.

Till en början gick programmering för datamaskiner till så att man bröt sönderproblemet ned till delar av den komplikationsgrad som svarade mot maskinens op-erationer. En väsentlig förutsättning för de lyckade resultaten har hela tiden varitett förnuftigt utnytjande av den i modern teknik ständigt återkommande återkopp-lingsprincipen. Sedan en svit av operationer utförts, kan resultatet stoppas in sombegynnelsevärde och proceduren upprepas. Tekniken är även inom den elementäramatematiken känd under namnet iteration.

Vad som givit upphov till uppfattningen att maskinerna kan tänka är förmodli-gen att deras konstruktion tillåter val: om resultatet på ett visst stadium är aven viss storlek, så behandlas det av maskinen på ett sätt, om det har en annanstorlek, behandlas det på ett annat, t ex skrivs ut av maskinens utmatningsorgan.

347 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


För allmänna reflexioner av den art jag nu sysslar med torde det räcka att tänkasig en datamaskin som bestående just av ett inmatningsorgan, en räkneenhet (däräven information kan lagras) och ett utmatningsorgan. Genom inmatningsorganettillförs maskinen dels de data den skall behandla, dels instruktioner för hur de skallbehandlas.

Framställandet av dessa instruktioner för maskiner har under senare tid kunnatförenklas betydligt. Det är ej längre nödvändigt för varje programmerare att kunnautforma sina order på ett maskinnära sätt, sedan man funnit att maskinerna självakan utnyttjas för denna programmering. Detta går så till att man söker ena sig omett fåtal gemensamma språk d v s sätt att formulera säg matematiska problem. Ettav de mest bekanta heter ALGOL. Dessa språk är en utveckling och standardiser-ing av matematisk formelskrift. Lämnas ett program utskrivet på detta sätt till enstansare (som i princip inte behöver förstå något av det), kan denne överföra infor-mationen till t ex hål i en pappersremsa. Matas denna sedan in i maskinen samtidigtmed en s k kompilator, så framställer maskinen själv ett användbart program, somkan nyttjas tillsammans med de data som skall behandlas.

Betydelsen av denna, nu så ytligt beskrivna, maskinella verksamhet för matematikenär flerfaldig. På det formella planet har man all anledning både att hoppas och attvänta sig att det matematiska beteckningssättet vid formelskrivande och de favoriser-ade programmeringsspråken kommer att utveckla sig i riktning mot en syntes, vilket

348 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


då också skulle underlätta den programmeringsundervisning som många väntar sigskall komma in även på grundskolestadiet.

Som vi förut nämnt, har man infört beteckningen numerisk analys för den del avmatematiken där man särskilt intresserar sig för sådant som ger möjlighet till snabbaoch noggranna beräkningar, varför man numera så gott som helt kan koncentrera sigpå sådant som aktualiseras vid datamaskintillämpning. De ständigt ökande beräkn-ingsmöjligheterna påverkar, över den numeriska analysen, bedömningen av vilkadelar av matematiken som det är av intresse att vidareutveckla. På detta sätt skersålunda ett växelspel, eftersom matematiken i sin egen utveckling ständigt ger upp-hov eller åtminstone möjlighet till beräkningsproblem.

I dagens samhälle är inte intresset för datamaskiner begränsat till dem som sysslarmed matematiska eller tekniska problem. Det nya hjälpmedlet har börjat revolu-tionera alla områden av samhällslivet där man sysslar med stora mängder av data,helt oberoende av om de skall utsättas för några komplicerade kalkyler eller ej.Skatteuppbörd och skatteredovisning, företagens statistik, löneutbetalningar, ma-terialbeställningar, bankernas bokföring, allt sådant är man nu i färd med att re-formera. För det kunskapsområde som växer fram och där kravet på såväl utvecklingsom utbildning blir allt starkare använder man beteckningen administrativ data-behandling eller ADB, ibland som motsats till den matematiska databehandlingen.

Datamaskinerna har på så sätt blivit en dominant symbol inom vår teknifierade

349 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


värld. Ur matematisk synpunkt kan det då vara intressant att göra några påpekan-den. För datamaskinernas egen teori har det visat sig att flera matematiska områdensom tidigare ansetts föga tillämpbara har den största betydelse. Det gäller delar avalgebran i anslutning till mängdlära. Studiet av vilka typer av problem som prin-cipiellt kan behandlas på datamaskiner har visat sig vara påbörjat redan i den ma-tematiska logikens undersökningar av beräkningsbara funktioner. De resultat mankänner inom detta område ger vid handen att den idé vi förut nämnt, att matema-tiken kan framställas genom ett systematiskt kombinerande av axiom enligt givnaregler, inte bara har sin praktiska begränsning utan också är principiellt felaktig.Vad som kan kännas uppmuntrande för en matematikens propagandist är detta yt-terligare exempel på hur nyttjandet av den tillämpade matematikens mest grandiosastatussymbol på nytt föder intresset i den mest abstrakta grundvalsforskningen.

Att det finns utrymme för och hopp om allt fler intressanta vetenskapliga resultatom maskinens möjligheter och begränsningar, är det inte många som tvivlar på. VonNeumann har skisserat en teori om maskiner som producerar maskiner och ger någraförmodanden om lagar som kunde gälla i sådana sammanhang. Lyckas man vidare-föra sådana teorier förefaller det högst troligt att helt nya tillämpningsmöjligheteröppnas för matematiken inom biologi och samhällsvetenskaper.

350 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


9.3 Matematikens tillämpningar inom biologi, humaniora ochsamhällsvetenskaper

I sin bok La théorie mathématique de la tutte la vie, utkommen 1931, redogör denitalienske matematikern Volterra för några biologiska tillämpningar av matematik,som väckt intresse. Boken innehåller bl a en behandling med differentialekvationer avproblemet om variationen i antal hos biologiska populationer vilka lever av varandra.Från 1900-talets första decennier finns också tankeväckande tillämpningar av enkelmatematik på storlek och form hos djur och växter i essayer av engelsmännen D’ArcyWentworth Thompson och J. B. S. Haldane.

Undersökningar av dessa slag har sedan tagits upp på olika håll och en del omnämnsav N. Rashevsky i Mathematical biophysics. Hans verksamhet i denna riktninghar lett honom över på samhällsvetenskapliga problem, t ex i den 1951 utkomnaMathematical biology of social behaviour.

Den för flertalet omedelbara associationen mellan biologi och matematik gäller välgenetiken, där de probabilistiska modellerna visat sig synnerligen adekvata ochvärdefulla. Inom detta, och för övrigt alla här omnämnda områden, finns dess-utom den användning av matematik som följer med en statistisk behandling avexperimentella material. Viktigare än behandlingen av redan existerande materialär säkerligen planeringen av experiment som skall utföras och där finns fortfarande

351 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ett fält av matematiskt statistiskt intresse.

Till den del den moderna biologin övergår till utnyttjande av fysikaliska och kemiskametoder aktualiseras naturligtvis matematiska problem av den art som är kändainom dessa vetenskaper. Bortsett från detta och från de statistiskt beskrivandemomenten synes nya intressanta matematisk-biologiska problem öppna sig dels vidstudiet av ärftlighetens molekylära grunder och dels vid undersökningar av de en-klaste organismernas reproduktion. Många förhoppningar knyts till en vidareutveck-ling av den s k systemanalysen, som bl a tillämpar kommunikationsteori och spelteori.

Inom många områden av humanistisk karaktär är den ovan skisserade situationenän mer uttalad. Man har lyckliga erfarenheter av applicerandet av statistiska me-toder och man har mer trevande börjat arbeta med formella metoder av allmännarekaraktär, t ex i form av matematiska modeller med eller utan probabilistiska inslag.

Vi kan först nämna språkvetenskapen. Språkstatistik förefaller vara ett vedertagetbegrepp, och dess utnyttjande för sådant som författarbestämningar har givit mar-kanta resultat, vilka samtidigt väckt en allmänt spridd diskussion. Det finns emeller-tid också moderna arbeten, bl a ryska, där mängdlärans teknik och terminologi ut-nyttjas i systematiskt syfte, exempelvis för definition av ordklasser, och den typenav verksamhet kan förväntas bli alltmer spridd, allteftersom arbetet på automatiskaöversättningsmetoder framskrider. Det gäller alltså återigen datamaskinerna ochnu deras utnyttjande för språköversättning. Liknande situationer uppkommer också

352 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vid föremålsstudiet inom vetenskaper av historisk karaktär. Om det gäller att jäm-föra säg olika arkeologiska fyndplatsers sortiment kan detta ske genom statistiskakorrelationsbestämningar, bl a i Frankrike pågår arbete på varierade matematiskametoder i detta syfte.

Inom de discipliner som studerar samhället är väl det äldsta exemplet på utnyttjan-det av matematiska modeller att finna i befolkningsteorin. Ingen torde vilja förnekabetydelsen av de matematiska teorier för folkmängdens förändringar som ligger tillgrund för livförsäkringsverksamheten. På senare tid har intresset för matematiskametoder över nationalekonomin spritt sig till sociologi och beteendevetenskaper sompsykologi. I de ekonomiska vetenskaperna var det först fråga om enkla tillämpningarav differential- och integralkalkyl, men modernare riktningar tar ofta mängdläransom sin utgångspunkt och studerar ändliga och diskreta förlopp. Av de områdenvi tidigare nämnt i denna bok har både grafteorin och teorin för lineär program-mering intressanta ekonomiska tillämpningar. Ser man på sociologi och psykologi,tycks vägen ha gått från tillämpning av färdig statistisk metodik till allmännarematematiska modeller, alltså ett förlopp som vi också ovan stött på.

I stället för att fortsätta denna katalog över uppslag och resultat skall jag någotmer ingående beskriva den matematiska teori som kanske allra mest diskuterats ochutnyttjats inom de sist nämnda områdena. Vad jag syftar på är spelteorin, som ledersitt ursprung till en uppsats som publicerades av John von Nemuann år 1928 i en

353 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


matematisk tidskrift och som hette Zur Theorie der Gesellschaftsspiele. Vid slutetav andra världskriget kom den stora monografin Theory of games and economicbehavior av von Neumann och O. Morgenstern. Det tog någon tid innan denna teoribörjade ge sådana resultat man tidigt hoppats på; till en början tycks den i huvudsakha tjänat som inspirationskälla och hjälpmedel för fixering av problemställningar. Påsenare år har emellertid publikationer börjat flöda inom en mängd skilda områden,både ovan nämnda och andra, som beslutsteori och konfliktteori i alla former såvälpå personligt som universellt plan: Ett närmare studium visar det nära sambandetmellan lineär programmering och spelteori men jag skall här endast försöka ge enuppfattning av vad spelteorin sysslar med och vilken typ av resultat den kan ge

Beviset för huvudsatsen i von Neumanns arbete från 1928 (det s k minimaxteoremet)stödde sig på den fixpunktsats av Brouwer som vi omnämnt i topologikapitlet. Denfortsatta utvecklingen av spelteorin har skett i nära samband med bevisandet av nyafixpunktssatser.

9.4 Spelteori

Den första enkla utgångspunkten för spelteorin är observationen att vissa matrisermed reella element har ett jämviktselement, medan andra inte har det. Definitionenpå jämviktselement är då att det skall vara störst i sin kolonn och minst i sin rad.

354 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om matrisen betecknas A = (aij), så kan den givna definitionen formuleras så, attamn är jämviktselement, om

amn = maxiain = min

jamj .

Som exempel på en matris med jämviktselement kan vi ta 2 −7 −3 −51 2 −1 0−2 6 −4 −6

där elementet a23 = −1 uppfyller fordringarna. Som exempel på motsatsen väljer vi(

3 12 4

)som saknar jämviktselement. När ett sådant finns, behöver det dock ej vara entydigt,som framgår av matrisen (

2 5 21 3 −2

)där a11 och a13 båda är jämviktselement. Finns det flera måste de vara lika stora.

355 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Om en matris har ett jämviktselement amn så gäller förutom definitionsekvationernaatt

amn = maxi

(minjai,j) = min

j(max

iai,j).

Innan vi bevisar denna formel, kan vi prova att den stämmer i vårt första och tredjeexempel men är fel i det andra.

Beviset går så till att vi först observerar att definitionen ger

amn ≥ ain för alla i.

Då måsteminjaij ≤ ain ≤ amn för allai,

varförmaxi

(minjaij) ≤ amn.

Å andra sidan ärmaxi

(minjaij) ≥ min

jaij = amn,

och kombinerar vi dessa resultat har vi visat att

amn = maxi

(minjaij).

356 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


På motsvarande sätt bevisas den andra relationen.

Vi har ännu inte talat om vad det är för spel som dessa matriser och därmed spel-teorin har att göra med.

Låt oss tänka oss att vi har en matris given. Vi tänker oss ett spel med två deltagare,kallade I och II, som går så till att dessa oberoende av varandra bestämmer sig för tvåheltal, I för numret på en rad i matrisen och II för numret på en kolonn i matrisen.Sedan båda bestämt sig meddelar de resultatet, t ex till en domare, varefter spelareII har att till spelare I överlämna ett belopp av den storlek som anges av elementetsom är gemensamt för vald rad och vald kolonn.

Om de valt tredje rad och fjärde kolonn i vårt första exempel, skall II betala −6enheter, t ex rubel, till I. Den vanliga tydningen av "betala −6", som också här skallappliceras, är att II i detta fall får 6 från I.

Denna typ av spel förefaller kanske vid första betraktandet vara ringa upphetsandeför att inte säga ointressant, men det är förvånande hur många verkligen förekom-mande spel och lekar som går att reducera till denna form, om man studerar demnärmre. Vi skall ej ägna någon större uppmärksamhet just åt den sidan utan ac-cepterar den beskrivna speltypen. Denna brukar kallas ett 2-personers nollsumme-spel och är den enklaste varianten som spelteorin sysslar med. Två personer ärlättförståeligt, det syftar på I och Il, nollsummespel betyder att spelarna gör alla

357 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


betalningar sinsemellan och att alltså ingen valuta tillförs utifrån eller bortförs. Merintressanta situationer uppkommer i flerpersonersspel (som vi ej skall studera) ochicke nollsummespel (som vi strax skall titta på).

Om en matris har ett jämviktselement så är det i en välbestämd mening bäst förbåda parter att spela på detta, alltså för I att välja den rad och för II att välja denkolonn som jämviktselementet befinner sig i. Om vi ser på vår första matris, bör Ivälja den andra raden om han vill se till att det värsta han kan råka ut för blir såbra som möjligt ! Elementet a23 har ju efter vad vi visat ,egenskapen

a23 = maxi

(minjaij).

Om spelare I väljer i:te raden, så vet spelare II enligt reglerna inte om detta men hankan ju (i synnerhet om han känner teorin) tänkas välja den kolonn som ger minj aij ,och detta blir i så fall I:s vinst. Det är klart att I önskar göra den maximal och detär därför han bör spela jämviktelementets radnummer.

Detta spelsätt eller detta val av rad kallas för en maximin-strategi för I, medan denstrategi som II har att välja kallas en minimax-strategi för honom. Om spelarnaspelar dessa strategier, alltså väljer rad respektive kolonn genom jämviktselementamn, så är I säker på att vinna åtminstone summan amn, medan II är säker påatt han ej förlorar mer än amn. Hur de än varierar sin strategi, genom att välja

358 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


annorlunda, riskerar I att få en mindre vinst och II att få en större förlust. (När vitalar om vinst är det hela tiden så, att den mycket väl kan vara negativ eller noll,vilket innebär förlust respektive ingen förändring.)

För spel som har en matris med jämviktspunkt har vi sålunda angivit en metod attspela som tycks ha en viss rationell motivering. Hur bär man sig åt t ex i fallet(

3 12 4

),

där det inte finns några maximin och minimaxstrategier?

Vad von Neumann visade i sitt arbete från 1928 är att det finns ett helt analogtresultat även i detta fall om man vidgar begreppet strategi för en spelare genom atttänka sig att han vid en upprepning av spelet varierar sitt val mellan olika radereller kolonner eller, som den naturliga formuleringen vid ett enstaka spel är, om hansstrategi är att med en viss sannolikhet spela den ena eller andra raden. I det konkretaexempel vi givit ovan visar sig det bästa för I vara att kasta krona och klave om vilkenrad han skall spela, medan II bör använda en mer komplicerad strategi, nämligenvälja första kolonnen med en sannolikhet av 0.75 och den andra med sannolikheten0.25. Väntevärdet (i probabilistisk mening) av I:s vinst blir med just den angivnablandade strategin (till skillnad från de rena strategier vi förut skildrat) maximalt,medan spelare II med sitt (0.75, 0.25) val minimerar väntevärdet av sin förlust.

359 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Enligt statistikens förhoppningar är det förväntade värdet det genomsnittsresultatsom är att förvänta vid upprepade spel av samma eller olika art. Accepterar videnna tro, har vi en på rationellt sätt motiverad spelmetod, eftersom von Neumannsresultat, det s k minimaxteoremet, säger att till varje matris finns det ett välbestämttal v och två blandade strategier, en för I och en för II, sådana att spelare I, hur änII spelar, har ett väntevärde för sin vinst, som är åtminstone v, medan II genom attspela den angivna blandade strategin åstadkommer att väntevärdet för hans förlustej överstiger v. Talet v kallas spelets värde.

Något bevis för denna sats kan inte ges här, men vi skall i alla fall visa hur man kankomma fram till värdena 0.25 och 0.75 i det konkreta fallet vi nämnt. Härigenomfår vi också en beskrivning av Von Neumanns resultat, som ej nödvändigt replierarpå den sannolikhetskalkyl vi ej gått igenom.

Om spelare I väljer första raden med sannolikheten p och andra raden med san-nolikheten (1− p), medan spelare II väljer kolonn med sannolikheterna q respek-tive (1− q), så kommer sannolikheten för att vi skall få spelresultatet 3, som ståri övre vänstra hörnet av matrisen att vara pq, sannolikheten att få värdet 1 blirp (1− q),värdet 2 blir (1− p) q och sannolikheten att få värdet 4 i nedre högra hör-net blir (1− p) (1− q). Den integral som ger väntevärdet för vinsten för spelare I

360 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


får värdet

v1 (p, q) = 3pq + p (1− q) + 2 (1− p) q + 4 (1− p) (1− q)= 4− 3p− 2q + 4pq

=5

2+ 4

(p− 1

2

)(q − 3

4

)Om man vill undvika statistiska referenser kan man ta detta uttryck som definitionpå det man vill maximinimera. Tyvärr går då något av tjusningen förlorad.

Av ovanstående uttryck, som ger en funktion v1 definierad på produktmängden avintervallet [0, 1] med sig själv, framgår att de extremvärden som finns är randmax-imum 4 och randminimum 1 för respektive (1, 1) och (1, 0). Dessa är emellertidointressanta, eftersom de personer som väljer p och q har motsatta intressen. Manskall i stället observera att om I väljer p = 0.5, så är hans väntevärde 2.5, oberoendeav vad II företar sig. Väljer han p på något annat sätt, kan II välja q, så att värdetblir mindre än 2.5. På samma sätt följer att q = 0.75 är bästa valet för II ochdetta är således ett bevis för von Neumanns sats i det synnerligen enkla specialfallvi studerat. Värdet av spelet är 2.5. Med rena strategier kan I ej garantera sig merän 2.

Som exempel på ett spel där spelteorin ger ett resultat som stämmer med intuitionenkan nämnas den lek där två personer samtidigt slår ut handen och formar den på

361 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ett av tre möjliga sätt: som sax, sten eller påse. Visar spelarna samma föremål ärresultatet oavgjort i övriga fall vinner sax 1 poäng från påse, påse 1 poäng från stenoch sten 1 poäng från sax. Detta är uppenbarligen ett två personers nollsummespeloch matrisen är

IISax Stan Påse

Sax 0 −1 +1I Sten +1 0 −1Påse −1 +1 0

Spelteorin ger som lösning att de tre varianterna skall spelas med sannolikheten 1/3var och detta är vad symmetrin ger oss ett intuitivt besked om. Värdet av speletblir 0. Genom spelteorin kan vi för en godtycklig matris ange blandade strategieroch värde som är lika "naturliga" som det här beskrivna.

Om vi nöjer oss med detta, som allmän orientering i spelteori, har vi nu att gå övertill att säga något om icke-nollsummespel och det är närmast här som vi möter tingsom förefaller ha en viss mänsklig tillämpning.

Detta framgår kanske av de suggestiva namn som givits åt några av de mer berömdaspelsituationerna vid tvåpersoners icke-nollsummespel. Jag skall som exempel på denya problem som möter beskriva två spel, som är kända under namnen "fångarnasdilemma" och "kampen mellan könen".

362 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Som framgår av namnet, är det väsentliga vid icke-nollsummespel att summan avde båda "vinsterna" för spelare I och spelare II ej nödvändigt är noll. Ovan kundevi nöja oss med att ange vinsten för spelare I, och om denna var v, så var detomedelbart klart att vinsten för spelare II var −v, Vi blir nu tvungna att för varjeval ange såväl vinsten för spelare I som för spelare II d v s den matris som hör tillett icke-nollsummespel har som element par av reella tal. I de exempeI jag nu skallge har varje spelare två rena strategier att välja på och som matris i fallet fångarnasdilemma kan vi ta (

(−9,−9) (0,−10)(−10, 0) (−1,−1)

)Jag bör väl, innan vi startar någon diskussion, beskriva en av de mänskliga situa-tioner som har med detta spel att göra och som givit det sitt namn.

Två arresterade personer, som tillsammans utfört ett brott, förhörs utan möjlighetatt samråda med varandra. De möjligheter de har att välja på är att erkänna elleratt neka. Om båda erkänner, får de 9 års fängelse, om ingen bekänner, blir de pågrund av någon mindre förseelse de begått i samband med arresterandet dömda till1 års fängelse. Om den ena bekänner och den andra nekar, blir den första kronvittneoch frisläpps, medan den andre döms till 10 års fängelse. Hur skall arrestanternahandla?

I den angivna matrisen svarar första raden respektive första kolonnen mot strategin

363 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


bekänna, den andra raden och den andra kolonnen mot neka. Ett sätt att resonera,som vid första anblicken förefaller rationellt, är följande.

Fånge I säger: Om min kamrat bekänner får jag 10 år om jag nekar och 9 om jagockså bekänner. Detta talar för att jag skall bekänna. Om min kamrat nekar, fårjag 0 år om jag bekänner och 1 år om jag inte bekänner: Det talar för att jag skallbekänna. Hur min kamrat än gör vinner jag på att bekänna. Båda resonerar likadantoch bekänner varefter de döms till 9 år var. Om vi bortser från alla moraliskaaspekter, t ex genom att föreställa oss en annan interpretation, har arrestanternamissat den för dem båda bästa lösningen (−1,−1) och i stället hamnat i (−9,−9),efter vad som förefaller vara ett högst logiskt och rationellt resonemang!

Om vi ändrar på reglerna och förutsätter att spelarna (i exemplet fångarna) kansamråda, så talar allt för att de gör en överenskommelse att neka, och alltså väljer(−1,−1). Svagheten med, denna lösning, är att frestelsen alltid är stark för den enaatt bekänna och på så sätt genom att bedra sin kamrat slippa straff själv. Anarden andre sig till detta, bekänner också han och de får 9 år var, och de har alltsåanledning att förhandla o s v.

För den som tycker att fångarnas dilemma låter väl speciellt för att ha intresse fördem kan följande analoga problem nämnas. Om några affärsmän säljer samma varaoch håller priset uppe, klarar de sig alla bra. Det är emellertid frestande för var ochen av dem att sänka priset för att därmed öka sin egen omsättning och därmed sin

364 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


inkomst. Om emellertid alla sänker sina priser, uppnås ett tillstånd som är sämre änbegynnelsetillståndet för dem alla; deras inkomster blir låga. Det ligger alltså näratill hands för dem att genom förhandling överenskomma att hålla priserna uppe.

Spelteorin sysslar nu bl a med att söka lösningar till spel av ovanstående karaktär.Om man har en given matris som den i fångarnas dilemma, finns det då något teo-retiskt skäl som talar för en lösning av visst slag och som således båda har anledningatt hålla sig till?

Vi skall passa på ett redogöra för det andra exemplet, kampen mellan könen. Ma-trisen är (

(2, 1) (−1,−1)(−1,−1) (1, 2)

)och den praktiska beskrivningen lyder. En man och en kvinna tycker om att varatillsammans. Mannen, spelare I, vill helst se en boxningsmatch, och det är denstrategi som svarar mot första raden. Spelare II, d v s kvinnan, vill helst gå påbalett, och det är den strategi som svarar mot andra kolonnen, men hon kan ocksåtänka sig att gå på boxning, vilket är strategin i första kolonnen. Andra raden svararmot att mannen går på balett. Deras känslor för varandra är sådana; han mår bra,även om de är på balett, bara de är tillsammans, men han mår bättre, om de ärtillsammans på boxning! Omvända förhållandet gäller för henne, men är de skildaåt, mår ingen av dem väl!

365 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Det är inte lätt att hitta något rationellt sätt att handla utan föregående samråd.Å andra sidan, om förhandlingar kommer till stånd, har båda anledning att utgesig för att tänka stå fast vid sin högsta preferens, med uppenbar risk för att dehamnar i (−1,−1)-resultatet. Om verkliga förhandlingar kommer till stånd, anvisarsymmetrin i spelet en rimlig lösning vid kooperation. Man turas om att gemensamtgå på boxning och balett d v s man använder blandade strategier, men dessa måsteför att ge avsett resultat vara synkroniserade, så att de inte råkar gå åt var sitt håll

Det finns numera en hel del förslag på lösningar av konflikter av betydligt merkomplicerat slag men som innehåller karakteristiska moment från våra båda exem-pel. I von Neumanns och Morgensterns bok föreslogs på lämpligt sätt avgränsademängder av lösningar och senare har olika spelteoretiker föreslagit mer preciseraderesultat. Vi skall ej här redogöra för några sådana teorier, men det gäller här, somvid mycken annan formalisering, att redan strävandena efter en gemensam precis-erad formulering av problematiken, kan leda till upptäckt av analogier och samband.Intressanta tilllämpningar finns på konfliktsituationer, ekonomiska och sociala såvälmellan enstaka personer som mellan nationer.

För tillämpningarna är ofta utbyggnaden till spel mellan mer än två personer mestintressanta. I många fall kan t om det intressanta resultatet vara att det inte finnsnågon lösning med vissa önskvärda egenskaper.

Vi skall avsluta detta avsnitt med ett sådant exempel, K. J. Arrows berömda omöj-

366 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


lighetssats, som samtidigt ger exempel på matematisk verksamhet som ej är knutentill exakta kvantitativa resultat. Som satsen här formuleras har den inget med spel-teori att göra men det finns dock beröringspunkter.

Den sats som Arrow visat handlar om en ändlig mängd av alternativ X = x, y, z, . . .och en mängd personer 1, 2, 3, . . . , n där vi alltså betecknat varje person med ettnummer.

Vi förutsätter att varje person i har en preferensordning Pi mellan alternativ i X,så att för varje par x, y av alternativ i X det gäller en och endast en av relationernaxPiy, yPix, xIiy, där xPiy svarar mot att x prefereras framför y av i medan densymmetriska relationen I anger att person i är indifferent mellan x och y. Enpreferensordning är således ett par av relationer på X. En, nämligen Ii, förutsättervi vara en ekvivalensrelation, medan vi för Pi endast förutsätter transitivitet.

Problemet gäller hur man från en given uppsättning, (P1, P2, . . . , Pn), av prefer-ensordningar bestämmer en som på bästa sätt representerar deras gemensammapreferens. Om mängden av alla möjliga preferensordningar (det finns t ex 13 för trealternativ) kallas P, så söker vi en funktion från P × P × · · · × P = Pn till P, somuppfyller dessa krav. Vad Arrow gjort är att han ställt upp fem krav på en sådanfunktion, som vart för sig förefaller rimligt och välmotiverat men som tillsamman-tagna har den egenskapen att ingen funktion kan uppfylla dem!

367 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


En praktisk situation av den ovan skisserade typen är en valprocedur, där ett antalindivider angivit preferensordningar mellan kandidaterna Om t ex tre sakkunnigagranskar tre alternativ i form av tre sökande till en professur, händer det att de ord-nat de sökande A, B och C så att en sakkunnig har preferensordningen AP1BP1C,medan den andre har BP2CP2A och den tredje CP3AP3B. I en sådan situationkanske symmetrin säger oss att den lämpliga lösningen är AI0BI0C, där då I0 ärden gemensamma preferensordningen, som i detta sammanhang är indifferens. Iandra fall kan det vara svårare men de fem naturliga krav Arrow uppställde var:

I. Antalet alternativ d v s antalet element i X, är åtminstone 3 och antalet per-soner är åtminstone 2.

II. Antag att i den gemensamma preferensordningen P0, vid en viss uppsättningindividuella preferensordningar Pin1 , det gäller att xP0y. Om vi tar en annanuppsättning individuella preferensordningar där preferenser mellan elementskilda från x är oförändrade jämfört med den första uppsättningens men därpreferenser innehållande x har förändrats i för x positiv riktning, så skall itillhörande gemensamma preferensordning också x prefereras före y.

III. Låt X1 ⊆ X. Om de individuella preferenserna i två uppsättningar helt öv-erensstämmer vad gäller jämförelse mellan par av element som finns i X1, såskall motsvarande gemensamma preferensordningar vara identiska, vad gällerpar av element i X1 (oberoende av irrelevanta alternativ).

368 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


IV. Om x ∈ X, y ∈ X, så skall det finnas en uppsättning individuella preferensord-ningar sådan att i den gemensamma preferensordningen x prefereras framföry (individernas suveränitet).

V. Det finns ingen individ sådan att om han prefererar x framför y så prefer-eras i den gemensamma preferensordningen x framför y oberoende av övrigaindividuella preferenser (diktator får ej finnas).

Arrow har nu visat att det är omöjligt att finna en funktion som uppfyller dessa krav,som dock alla förefaller rimliga och naturliga. Man har då startat en diskussion omvilka villkor man eventuellt kan försvaga eller ta bort, för att det skall existera t exen välbestämd lösning Detta är ett centralt problem i all valteknik men återkommerockså vid varje försök till konstruktion av sociala ordningsrelationer.

Det är en mycket ofullständig bild jag har kunnat ge av spelteorin och den avslöjar ejmycket av den nuvarande situationen. Det är dock här fråga om ett exempel blandmånga andra på matematisk teoribildning som börjat bli betydelsefull för fackmän-nen inom många vitt skilda områden men som är så gott som okänd bland mångasom med säker röst förkunnar och bestämmer matematikens och den matematiskautbildningens plats i samhället.

369 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Några ord om matematisk forskning och . . . 1966

10. Några ord om matematisk forskning ochundervisning i våra dagar (1966)

Vad som utgör grunden för den spridda uppfattningen att matematiken är ett ämnesom är färdigt och utforskat kan man ha olika idéer om. Ofta framförs synpunktenockså från människor som inte har den minsta anledning att ha någon uppfattning ifrågan. Min förhoppning är att redan denna lilla bok skall ha avslöjat att det pågåtten del matematisk aktivitet under 1900-talet, möjligen också att det finns anledningatt uppmuntra till fortsatt aktivitet.

Den utbredda rädsla som finns bland dem som är berörda, att utvecklingen skallgå fel vägar (Vad är det här med mängdlära och topologi, det är ju ändå differ-entiaIkalkyIen som är av betydelse för vår exportindustri!) är säkerligen till 90%ingenting annat än helt vanlig konservatism av precis samma art som finns i allavetenskaper och inom konsten. Det ligger i sakens natur att nyskapande och forsk-ning skall gälla områden som förefaller okända och oroande. I andra änden är detockså naturligt att undervisning och utbildning ej kan läggas upp med hänsyn tillvad dagens pensionärer haft för användning av matematik.

Man har nu kommit så långt att välmenande undersökningar avslöjar att få per-soner i dagliga livet multiplicerar rationella tal. Detta är ingen överraskning, men

370 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


enligt min mening visar detta att tiden är mogen för det som matematikern alltidönskat, nämligen att minska räkneträningen, färdighetsutövandet alltså, och i ställetlära folk exempelvis vad ett rationellt tal är. Detta gäller inte bara detta specielladelområde av matematiken.

En överlägsen färdighet i addition av heltal har också minskat i betydelse, då varjelanthandel har en additionsmaskin och dessutom försvinner för att ersättas med ensupermarket med integrerad databehandling. Det är bara när elektriciteten strejkarsom räknekunnigheten saknas.

Om vi fortsätter överblicken, så kommer andra moment i farozonen både i skolaoch vid universitet. Hur är det med logaritmräkning, hur är det med integrering avrationella funktioner i explicit form? Vem utnyttjar sådant i våra dagar?

Samhällets utveckling, teknikens utveckling, allt är i någon mån grundat på mate-matikens utveckling men förändrar samtidigt betingelserna för den fortsatta mate-matiska utvecklingen.

Det farligaste för matematiken inträffar, när den matematikkomplexfyllde, han måså vara biskop, språklärare eller professor i teknologi, upptäcker att varken rationellatal, triangelsolvering, logaritmer eller formell integrering längre har något störreberättigande. Därmed är det enligt en sådan åskådares begränsade insikt klart attmatematiken kan opereras bort från de flesta skolstadier, från barnträdgården till

371 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tekniska högskolan. Många skolreformatorer har startat så, och något ligger det väli det, men de flesta slutar med ett för matematiken betydligt mer gynnsamt resultat.

Varje matematiker måste förstå och gör det helt säkert att det ligger nära till handsatt sätta matematiken under debatt både som skolämne och uppmuntrad forsknings-disciplin. Det lugn matematikern känner inför sådana hot bottnar i hans kunskapom att matematik i vår tid dyker upp i så gott som alla verkliga aktiviteter och attdärför varje allvarlig undersökning av behov och lämplig omfattning kommer att geresultat som han kanske får anledning att beklaga endast därför att de ställer förstora anspråk på honom.

För att få en lyckosam utveckling av matematiken i samhället fordras det en hel delförändringar på skolplanet. Det är därför denna bok på några punkter är en aningpolemiskt urformad. Vill man åstadkomma någon oro i en stor och belåten massa,måste rätt så långa nålar till.

Vi väntar nu på en gymnasiereform, som för matematikens del säkert går i rättriktning. Det finns dock en del oroande tecken på att det sprider sig en uppfattningatt det är fråga om att nu införa den riktiga matematiken för alltid. Vad jag menarär, att det väsentliga i hela problematiken ligger däri att matematiken förändras ochvi med den, och vad vi skall eftersträva är ett förkortande av påverkningslinjernafrån forskning och vetenskap till utbildningens alla stadier. Många av oss gissar attförsummandet av den aspekten kommer att visa sig vara ett allvarligt misstag i hela

372 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vårt nuvarande komplex av undervisningsreformer.

För matematikens del kan den sist omnämnda synpunkten ej nog understrykas.Många av de förbättringar och förenklingar i framställningen som nu införs påskolstadiet har sin rot och sitt ursprung i vetenskap som skapats på 1900-talet.Och, som jag hoppas att jag avslöjat, det finns oanade möjligheter att ha felak-tiga uppfattningar även inom vanlig och använd matematik utan att det avslöjarsig i den dagliga rutinen. Det fordras alltså en utbildning i sådant, ej endast vanavid matematisk hantering, av den som skall vara lärare i matematik, och dettaså mycket mer, som vi just konstaterat att det i dagens läge är kunskapen och ejden formella färdigheten som är det som kan motivera matematisk utbildning. Jaghar tidigare begränsat mig till kassaapparater, och det behöver väl ej understrykashur databehandlingsverksamheten skapar underlag för tillämpning av denna syn pådominerande grupper av samhällets invånare. Formler av olika art dyker upp i allasammanhang. Den som har sett intellektuella affärsmäns ansiktsuttryck, när deförsökt erinra sig hur formeln för ränta på ränta skall tillämpas, är ej övertygadom att vårt nuvarande undervisningssystem skapat förutsättningar för ett naturligtumgänge med formler.

Den situation vi befinner oss i kan på många sätt beskrivas som lyckosam, eftersomett ökat behov av riktig matematisk kunskap aktualiseras samtidigt som den all-männa och tekniska utvecklingen gjort en del av de tidigare utbildningsmomenten,

373 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


bl a av färdighetskaraktär, mindre intressanta. Det gäller bara att genomföra refor-men utan konservatism och utan att gripas av felsynen att den matematik som skalltillämpas i morgon måste vara den som tillämpades igår.

Ett farligt missförstånd bygger på tron att den matematik som kommer till i våradagar och överhuvudtaget den som ej finns med i våra skolkurser är svårare änden vi vant oss vid. Uppfattningar av denna art förstärks genom att trängseln iundervisningens scheman medför att nyheter ofta måste införas sent i lärogången.Som jag försökt visa i kapitlet om matematisk analys, innehåller den traditionellagymnasiekursen moment av oanad, svårighetsgrad. Lämpligt är att jämföra demmed elementär mängdlära, vektoralgebra och gruppteori. Långt ned i grundskolanfår man oss att tro att vi har en uppfattning om båglängden av en buktig kurva,t ex vid införandet av talet π, medan detta egentligen är ett synnerligen kompliceratproblem.

Hur en systematiskt uppbyggd framställning av matematiken ser ut kan den in-tresserade få en uppfattning om genom att studera Eléments de mathématique, ettsamlingsverk utgivet av franska och amerikanska matematiker sedan 40-talet underpseudonymen N. Bourbaki. Det är ett verk i tjogtals band, där tingen kommer irätt ordning. Man börjar med en hårdkokt beskrivning av matematiken som formelltspråk och kämpar sig så småningom genom mängdläran fram till de olika matema-tiska områdena, men det dröjer, innan reella tal och t ex π kommer in. Detta verk har

374 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


haft en ofantlig betydelse för matematikens utveckling under motsvarande tid bådesom normgivande för beteckningar och definitioner och som inspiration för forskareoch läraboksförfattare. Det är naturligtvis inte någon lärobok i vanlig mening, menblotta existensen av ett verk med dessa ambitioner, är av största betydelse.

Så förs den matematiska utvecklingen vidare av många olika grupper av människor.Några ansluter sig totalt till den förhållandevis formalistiska bourbakismen, andramåste känna ett nära samband mellan sitt matematiska verksamhetsfält och dessinterpretation i omvärlden och de flesta rör sig däremellan. Många gör sina insatsersom unga, de bästa håller längre, och de allra flesta är entusiastiska och kanskebesatta.

Vad håller de då på med, vad gäller problemen? Må det vara nog sagt att problemenöverflödar, och aldrig förr har så många människor varit sysselsatta med matema-tik som i våra dagar. Vill man vara à jour med det som händer, så är den endamöjligheten att följa den rika internationella tidskriftsfloran, men ingen behärskarnumera hela matematiken utan i bästa fall en sektor av den. Vad som där i dagarnaupptäcks och, vilka områden som står i centrum, det kan beskrivas men är i morgonförlegat. Det hör alltså ej heller till en introduktion till matematiken.

Som avslutande ord till den som är i färd med att introducera sig måste det sägas:Bliv kritisk och förbliv kritisk! De största farorna lurar i de i ungdomen väl inlärdafelaktigheterna, de binder vår fortsatta utveckling. Det gäller att misstänka varje

375 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


lärobok och kanske speciellt introduktioner som denna, för att man skall undgådet värsta ödet: att förlora förmågan till nya upplevelser. Jag anser det förtjusandeuttryckt i en inspirerande bok i helt litterär form om matematiken och dess innehåll,nämligen i Kandelman’s Krim av J. L. Synge, där man läser:

It is as I feared. She is educated, and now she will be unable to learnanything.

376 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Hur man studerar matematik vid . . . 1966

11. Hur man studerar matematik vid universitet ochhögskolor (1966)

Ämnet matematik har förekommit vid de svenska universiteten i stort sett sedanderas grundande. Ämnet företräds vid varje universitet av två professorer och yt-terligare ordinarie lärare (Umeå har endast, en professur) förutom de företrädare somfinns för angränsande ämnen och delämnen, som numerisk analys och matematiskstatistik. Matematikundervisning ges dessutom vid många högskolor, naturligtvisframförallt vid de tekniska, där personaluppsättningen är av ungefär samma omfatt-ning som vid universiteten. I Lund och Göteborg sker för närvarande en samordningav den matematiska verksamheten vid universiteten och de tekniska högskolornatill gemensamma institutioner. Hittills har akademiska studier i matematik ocksåkunnat bedrivas vid decentraliserade kurser i olika städer och vid teknologie magis-terutbildning i Linköping och Örebro. Inom det system med universitetsfilialer somnu är att vänta kommer detta system till en del att få fastare former.

Matematiken är, som jag tidigare framhållit, en grundvetenskap som inte förutsätternågon annan utbildning. Det finns alltså inget bjudande skäl att förena matematik-studier med studier av fysik eller med ingenjörsutbildning eller med något annatspeciellt område. Därmed är det ej sagt att man ej kan ha nytta av kunskaper iexempelvis filosofi eller fysik vid studiet av matematik.

377 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Det naturliga är att den som känner ett intresse för matematik kombinerar detta ienlighet med sina övriga intressen. Är man intresserad av att göra en insats inomingenjörskonsten eller i anknytning till teknisk vetenskap, är det naturligt att sökasig till en teknisk högskola och där fortsätta sina matematiska studier till licentiateller doktorsgrad.

Å andra sidan finns det ingen anledning att hesitera inför matematikstudier oavsettom man gillar fysik eller har sina intressen åt andra håll, det må så gälla kulturhis-toria, sociologi eller språk.

Vid universiteten finns möjlighet att avlägga kandidatexamen i många olika kom-binationer över fakultetsgränser. Är man riktigt specialinriktad möter det ingethinder att ta en examen som innehåller endast ämnena matematik, numerisk analysoch matematisk statistik. För närvarande förefaller det ej finnas någon risk för ar-betslöshet, vilken kombination innehållande matematik man än väljer. Vad somerfarenheten dock visar är att man ej skall låta matnyttigheten locka till studier avmatematik, om intresset saknas. Är man verkligen intresserad, kan möjligheternavara stora, även om man ej gjort succé i sina grundläggande matematiska studier,då detta kan ha många förklaringar.

Jag nämnde nyss hur arten av intresset bör bestämma studieinriktningen, och ärman starkt intresserad, bör man så tidigt som möjligt försöka få kontakt med eninstitution där man lockas av den vetenskapliga inriktningen. Matematikens drag

378 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


av "young mans game" gör att man bör undvika att kasta bort tid i det begynnandestudiet. Den internationella karaktären på ämnet gör att studier på olika stadierofta med fördel kan förläggas utomlands.

Såväl vid universiteten som vid de tekniska högskolorna är numera det första åretsmatematikstudium inriktat på matematisk analys och lineär algebra (eventuellt medgeometri). Det förefaller ej angeläget att försöka ge någon exaktare beskrivningdå många förändringar kan väntas inom den närmaste tiden i både innehåll ochformer; Bl a väntar man att ett nytt system mer likt det amerikanska creditsystemetskall ersätta universitetens nuvarande metod med ett betyg per termin. En annanförhoppning, något mer oviss, är att än mer av denna boks innehåll skall tränga ini kurserna.

Som exempel på litteratur för studier i matematik närmast efter gymnasiet kannämnas

C. Hyltén-Cavallius och L. Sandgren, Matematisk analys I (1956) och II (1964),

G. Bergendal och I. Brinck, Lineär algebra och geometri (1962),

G. E. Shilov, Linear spaces (1961).

Ytterligare upplysningar om studier och litteratur kan erhållas efter hänvändelse,till studierådgivare vid de olika institutionerna och läroanstalterna.

379 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Jag skall här ge en kommenterad bibliografi för studier i anslutning till de områdensom behandlats i denna bok.

Bland de bättre allmänna verken som försöker ge en uppfattning om matematikenutan alltför stora förutsättningar kan nämnas

L. Félix, The modern aspect of mathematics (1961) (originalupplagan på franska),

A. Warusfel, Les nombres et leurs mystères (1961),

R. Courant och H. Robbins, What is mathematics? (1941),

A. Delachet, La géométrie contemporaine (1950),

G. Boehm, Den nya matematiken (1963),

H. Rademacher och O. Toepliz, Von Zahlen und Figuren (1933).

Matematikens metoder studeras på ett intresseväckande sätt i

G. Polya, How to solve it? (1945),

G. Polya, Mathematics and plausible reasoning (1954).

För matematikens historia kan man med fördel läsa

D. J. Struik, A concise history of mathematics(1948),

E. T. Bell, The development of mathematics (2nd ed. 1945),

380 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


N. Bourbaki, Eléments d’histoire des mathématiques (1960)

och naturligtvis antologin

James R. Newman, editor, The world of mathematics (1956),

som på svenska utkommit som Sigma (1959-60).

En av de aspekter jag betonat framkommer i

M. Klein, Mathematics. A cultural approach (1962).

Allmänna synpunkter, på matematiken och dess plats i kulturen finns bl a i

G. H. Hardy, A mathematician’s apology (1940),

J. L. Synge, Kandelman’s Krim (1957)

Den som blivit nyfiken på vad Sylvester egentligen presterade kan ta del av

J. J. Sylvester, Collected mathematical papers (4 vol 1904-11),

och något av C. L. Dodgsons matematiska humor återfinns i

L. Carroll, Pillow problems (paperback, 1958).

Läroböcker av modernare inriktning och utformning är

381 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


K. O. May, Elements of modern mathematics (1959),S. Bundgaard, Nogle grundlaeggende begrebsdannelser inden for matematiken(stencil 1959-1960),Kemeny, Snell och Thompson, Introduction to finite mathematics (1958).

Den sistnämnda författargruppen har även givit ut andra goda läroböcker. En äldrebok, som fortfarande har intresse, är

F. Klein, Elementarmathematik vom höheren Standpunkte aus I-II (1908).

Nyligen översatt till engelska är det ryska arbetet

A. O. Aleksandrov, A. D. Kolmogorov, M. A. Lavrentev, editor, Mathematics.Its content, methods and meaning (1964).

På många olika språk finns även goda elementära tidskrifter, som innehåller re-dogörelser för ny matematik, problem mm. Jag vill nämna:

• American mathematical monthly,• Nordisk matematisk tidskrift

samt den lärdomshistoriskt orienterade, amerikanska

• Scripta mathematica.I anslutning till de ämnen som behandlas i bokens olika kapitel kan följande böckernämnas för, fortsatta studier

382 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Mängdlära

P. Halmos, Naive set theory (1960),

F. Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre (1914)

Algebra

A. Lentin och J. Rivaud, Eléments d’algèbre moderne (1961),

B. van der Waerden, Algebra I (6 ed. 1960).

Topologi

O. Hanner, Vad är topologi? Tidskriften Elementa 35, 36 (1952-53),

G. F. Simmons, Introduction to topology and modern analysis (1968),

J. L. Kelley, General topology (1955),

C. Berge, Théorie des graphes (1958).

Mått och integration

J. Hartman och J. Mikusinski, The theory of Lebesgue measure and integration(1957),

383 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


L. Råde, Sannolikhetslära och statistik (1963),

H. Wold, Orientering i det statistiska arbetsfältet (1963).

Tal

E. Landau, Grundlagen der Analysis (1930),

Böckerna av Halmos och Lentin-Rivaud nämnda ovan.

Matematisk analys

W. Rudin, Principles of modern analysis (1955),

R. C. Buck, Advanced calculus (Sec. ed. 1965).

Om matematikens tillämpningar

C. E. Fröberg och B. Sigurd, Datamaskiner (1962),

T. Ekman och C. E. Fröberg, Lärobok i Algol (1964),

R. D. Luce och H. Raiffa, Games and decisions (1957).

384 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Att forska i matematik

Att forska i matematikVad innebär det?

professor Ulf Persson, Chalmers 2006

Att man kan forska i fysik och kemi, för att inte tala om medicin, det tar allaför givet. Ej heller höjs det på ögonbrynen när man talar om att forska i historiaeller i pedagogik (eller rentav i genusvetenskap). Men kan man forska i matema-tik? Är inte redan allting känt? Och vad för nytt kan man överhuvudtaget tänkasig? Räcker det inte med de fyra räknesätten (plus möjligen kvadratrotutdragn-ing)? Hur ofta har man inte fått denna fråga, och hur ofta har man inte försöktatt ge någon slags antydan till svar. Kanske problemet är att matematiken inte sessom empirisk, utan som en ren mänsklig konstruktion, som tillåter oss, att utöverdet rent logiska resonerandet (med ett antal begränsade, redan under antiken for-mulerade regler) även att "räkna". Hur ofta är inte matematiken presenterad somett språk och ett hjälpmedel för de "riktiga" vetenskaperna. Det finns onekligenviss grund för dylika ståndpunkter; de flesta som lär sig matematik gör det föratt skapa sig ett så kallat redskap. Vardagslivets absoluta krav på matematik ärblygsamma, därav möjligheten att kokettera med matematisk okunnighet, medani de flesta vetenskaper det matematiska inslaget alltför ofta begränsas till kokbok-stagna sannolikhetskalkyler. Det är förmodligen därför matematik förväxlas med

385 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


sannolikhetsberäkningar hos den större allmänheten, och matematiken följaktligenses som ett fyrkantigt instrument att kvantifiera det oftast okvantifierbara. Och närdetta, inte förvånande misslyckas, är det givetvis matematiken som det är fel på.Traditionellt är det endast i de mera tekniskt-naturvetenskapliga sammanhangensom någon större matematisk sofistikering och förståelse är nödvändig, det mestdrastiska exemplet utgörande den teoretiska fysiken där skiljelinjen mellan mate-matik och fysik är svår att dra för en utomstående (och i och med den modernasträngteorin även för de inblandade).

Men matematiken har ett eget intresse, den skapar i sig självt objekt som är intebara intrikata och väcker nyfikenhet, och som inte sällan även har praktiska kon-sekvenser, (låt vara att dessa vanligen är helt oförutsägbara), utan även i vissafall genomsyras av oanad skönhet, för att inte säga mystik. Problemet är att göradessa objekt levande för en större allmänhet, ty det är faktiskt inte de matematiskaobjektens förmenta oanvändbarhet som är det egentliga problemet, folk fascinerasju som bekant av allehanda fenomen utan handfasta praktiska tillämpningar, somplaneter,1 exotiska djurarter, speciellt utdöda sådana, försvunna civilisationer, hi-storiska personligheter, kriminella dåd, för att inte tala om konst och musik, utan

1 Den helt ointressanta och formella frågan huruvida Pluto skall räknas som en planet eller inte,har, när detta skrives, rönt stor medial uppmärksamhet.

386 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


det är människans svårighet att involvera den egna fantasin. Matematiska objektär mentala; de är inte i allmänhet (den elementära geometrin är väl ett av de fåundantagen härvidlag) tillgängliga för sinnet, utan måste upptäckas och upplevasgenom intensiv och långvarig tankeverksamhet. Således kan en fysiker, en astronomoch en biolog utan vidare antaga att begrepp som stjärnor och planeter, atomer ochelektriska strömmar, krokodiler och celler, är välbekanta (om inte nödvändigtsvisvälförstådda) för åhörarna, medan en matematiker tvingas definiera de mest ele-mentära begreppen som säg grupper och komplexa mångfalder (eller ge inadvekvatametaforer), innan de ens kan börja berätta.

Men hur forskar man inom matematiken? Denna är ju enligt gängse mening inteen empirisk vetenskap, matematikern går inte ut i skogen och samlar data, hon kansåledes inte upptäcka något, kan hon ens uppfinna något? Det finns ett enkelt svar påvad som innebär matematisk forskning, och svaret är att lösa problem. Matematiskaproblem känner vi väl till från skolåldern. Dessa kan något förenklat sägas vara avtvå typer. Den vanligaste utgöres av rutinproblemen. Detta är problem som kanlösas bara man känner till metoden. Således tränas man i olika metoder och att lösaett problem blir helt enkelt en fråga om att finna den därtill lämpliga metoden. Närman löst problemet är det bara att kolla i facit för att se om man gjort rätt. Vad somär tryggt med dessa problem är således att de alltid är lösbara, och att lösningenär väldefinerad och oftast i formen av något numeriskt värde. Och framför allt att

387 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


det finns en utomstående auktoritet, nämligen facit. Den andra typen av problemdäremot kommer man inte i lika ofta kontakt med, och än mindre i den modernaskolan än i den gamla klassiska, trots den förmenta betoningen på självständigttänkande och kreativitet i den förra. Det rör problem där lösningen inte följer någonredan existerande mall (åtminstone inte en av eleven känd) utan måste upptäckas avproblemlösaren. Det kräver ett helt annat slag av tankemöda. Oftast går man betpå det, men man finner att när lösningen väl presenteras så upplever man inte sällanförvåning och förtjusning över hur enkel den är, och förundran över att man intekommit på det själv. Förtjusningen och tillfredställelsen är givetvis ännu mycketstörre om man lyckats komma på lösningen själv (speciellt om det tagit sin tid medmånga falska trådar och återvändsgränder), men det kan inte vara alla alltid såförunnat. Vidare utgör lösningen i sådana fall inte av (det eventuellt numeriska)resultatet som sådant, utan lösningens struktur. Således har man inte behov avnågot facit, när man väl löst det, eller presenterats för lösningen, inser man att denär rätt. Den utomstående auktoriteten är obehövlig, det egna rationella tänkandetär auktoritet nog. Och däri ligger en aspekt, och kanske t om den allra viktigaste,som gör att eleven må lockas in på matematikens väg.

Nu kan man fråga sig varför inte alla problem i skolan är av den sista formen, varförmåste man plågas med rutinproblem? Frågan är i högsta grad relevant, men ettsvar är att det faktiskt inte är så lätt att dra en knivskarp gräns mellan problemen.

388 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Dels innebär lösandet av ett riktigt problem även att man löser delproblem, somman dock tvingas formulera själv (och ofta kan formuleringen av ett problem genyckeln till lösningen),2 och dessa delproblem är oftast av rutinkaraktär; och delsär det inte alls bortkastat att lära sig metoder. Metoder är inspirerande, och ingenkreativ verksamhet överhuvudtaget börjar från ingenting, utan tar sin avstamp frånen tradition och ett kunnande, och därvidlag ligger skolans basala uppgift, att gegrunder som oftast inte kan byggas upp utan någon form av yttre disciplin. Sedanär det en avvägning av hur mycket man skall betona rutinproblemen. Liksom allavvägning är detta en subtil fråga, och har inget universiellt svar, utan beror påomständigheter. En i ämnet väl bevandrad lärare besittande tillräckligt sunt förnuftkan härvidlag tillföra den erforderliga flexibiliteten. Frågan om problemlösning hardidaktikerna missförstått i sin iver att presentera lösningsstrategier. Visserligentar dessa ofta avstamp från den välkände matematikern Polya:s små och stundomförtjusande böcker "How to Solve it", som jag dock misstänker var skrivna "tonguein cheek". Den väsentliga skillnaden mellan ett rutinproblem och ett öppet problemär att det förra löser man som en förelagd uppgift, ett "jävelskap" som till varjepris måste neutraliseras; medan det senare löser man av inneboende nyfikenhet. En

2 Den mer erfarne läsaren känner igen fenomenet med lemman som steg till vägen mot teoremet.Jag brukar säga att ett teorem är lätt att formulera men svårt att bevisa, medan ett lemma ärsvårt att formulera men desto lättare att bevisa.

389 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


matematiker som löser ett problem må måhända drivas av strategier. Dessa oftasthelt omedvetna, men det yttersta motivet är nyfikenheten. Matematikern är heltenkelt genuint intresserad av lösningen som sådan, inte av att jämföra med ett facit.Ett problem som löses avfärdas inte heller, utan tjänar som framtida inspiration,liksom alla andra mänskliga erfarenheter.

Jag har nu gått händelserna något i förväg, att smaka på vad matematiskt tänkandeinnebär, kan så gott som alla beredas tillfälle till, men att verkligen ägna sig åtmatematisk forskning är något som bara en liten minoritet kommer att ägna sig åt.Så vad utgör den forskande matematikerns vardag? Mycket vackert kan, och börsägas om matematiken, men endast vid festliga tillfällen. Tillvaron är som bekantmestadels vardag. Matematiker brukar indela matematiker i teoribyggare och pro-blemlösare. De förra söker så stor generalitet som möjligt, de är inställda på att finnaallmänna metoder som kan tillämpas på ett stort antal problem. Medan de senareistället koncentrerar sig på smalt formulerade men till synes hopplösa problem, därlösningen förhoppningsvis har vida större relevans än det ursprungliga problemet.Problemlösaren är pionjären som ger sig ut i den okända terrängen, oftast gåendevilse men i bästa fall görandes en upptäckt. Systembyggaren däremot håller sig inomden civiliserade delen av matematiken. Betraktar redan kända resultat och stuvarom. Problemlösarens lösning kan vara lång och krånglig, medan systembyggaren kansätta den i sitt rätta sammanhang, harmoniserande med andra lösningar, och detta

390 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


är ju precis vad en teori skall vara till för. Till slut kan en svår sats därmed framståsom så enkel och naturlig att ingen människa förstår varför den skulle ha varit såsvårfångad ursprungligen. Teoribyggandet har även konsekvensen att metoder ko-difieras och kan anammas, vilket ger tillfälle till mycket matematiskt rutinarbete föratt skörda dess potentialitet. En vardagsaktivitet lika väsentlig i matematiken som ivetenskaper i övrigt. Dock fascinerande som en sådan distinktion och redogörelse måte sig för den professionella matematikern, är den dock förvirrande för lekmannen,för vilken betoningen på problemlösandet är trots allt den mest instruktiva inkörs-porten. Vi talar då om öppna problem vars lösning är långtifrån givna. Medan ettöppet problem i skolvärlden kan lösas på någon timme, och oftast resulterar i attman ger upp om man inte lyckas lösa det under lektionen, är matematikern villig attägna sig åt problem som kan ta månader, ja år, i vissa fall rentav decennier att lösa.Och det är häri matematikern skiljer sig från den vanlige problemlösaren, och det ärhäri mycket av disciplinens professionalitet består. Detta är givetvis fascinerande,men samtidigt må villigt erkännas högst frustrerande. En matematiker kan stångasin panna blodig utan att komma någon vart, en erfarenhet som visserligen nogde flesta kan känna igen, även om gemene man varken har tålamod eller motiva-tion att låta detta pågå ens i dagar. Men matematiker är människor de också, ochingen människa kan i längden stå ut med att stirra på en tom vägg, utan någonslags aktivitet måste pågå. Det är här den kreativa förmågan kommer in, liksom

391 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


erfarenheten, och de två kan inte alltid särskiljas. Det gäller att vrida och vändapå ett problem, komma med nya infallsvinklar som kan testas, om än oftast visandesig vara blindspår. En matematiker kan inte avgöra hurvida han har löst halva sittproblem, lösningen kan ligga nära eller långt borta, endast i efterhand kan man göraden korrekta bedömningen. Detta kan upplevas som frustrerande, man känner attman under större delen av tiden inte kommit någonstans alls. Och så plötsligt, somen blixt från klar i himmel, kan det uppenbara uppenbara sig. Men den goda turendrabbar oftare den föreberedde än den oskyldige, precis som straffet. Som tumregelkan man säga att ju längre och intensivare man brottats med ett problem, destostörre är tillfredställelsen att ha löst det, och desto signifikantare bravaden.

Den matematiska verksamheten, varandes mental, är mycket svår att gestalta i lit-teratur och framför allt på film (det medium som i vår tid har den största genom-slagskraften, speciellt på grund av TV). Att i längden betrakta en figur som stirrarframför sig (kanske med slutna ögon), eller som sitter och skriver ner kryptiska form-ler, blir oundvikligen tradigt. Kompositörens mödor kan illustreras med musiken hanframbringar, liksom konstnärens verk inte sällan kan ses växa fram i realtid, mende frukter en matematiker värker fram, de kan oftast inte uppskattas förutom avandra matematiker, som gör sig möda nog att tränga in i arbetena. Medan musikenkan framföras inför horder av betalande åhörare, brukar den store matematikernsföredrag endast åtnjutas av dem som mer eller mindre har fått betalt för att vara

392 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tillstädse! Inte undra på att speciellt den rena matematiken ofta misstänkes varaett elfenbenstornsspel. Dock skall man i sammanhanget även betänka att mycken såkallad tillämpad matematik är väl så "världsfrånvänd" som den rena så ofta beskyllesför att vara.

Det är stor skillnad mellan olika matematiker. Vissa stora andar, som Gauss ochEuler, tycks kunna förvandla till guld så gott som allt vad de berör, medan dengängse matematikern gör betydligt beskedligare bidrag inom mycket smala sektorer,och kan från de Olympiska höjderna ses som en idog rutinarbetare att dränkas ihistoriens glömska. Men å andra sidan hur många av oss i allmänhet undviker detödet? Det är frestande att ta till beskrivningar som Genialitet, och se dessa ge-nier som smått gudomliga varelser som mycket lätt kan göra vad vi dödliga endastmed största möda (om överhuvudtaget) kan mäkta. Spännvidden mellan stort ochlågt i matematiken är till synes himmelsvitt, och kan lätt överväldiga en känsligoch ambitiös ung matematiker, vars enda räddning är att lära sig ödmjukhet, ochatt den matematiska verksamheten som sådan måste transcendera den personligaäregirigheten, ty det går inte att bortse från det tävlingsmässiga momentet i mate-matik, speciellt för den unge matematikern. En tröst kan vara att de intellektuellaupptäckterna i matematik överglänser alla andra vetenskaper ifråga om subtilitetoch djup. Vilket medför att matematiken är betydligt mera diversifierad än andravetenskaper, och tillhandahåller dess utövare oerhört kraftfulla metoder.

393 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Jag har än så länge bara talat om matematisk forskning i väldigt abstrakta termer,utan någon konkret exemplifiering, ej heller någon realistisk antydan om vad detinnebär i vardagliga termer. Det senare är lättast att betrakta. En matematikertänker, helst stundligen, på matematik. Detta kan röra dels små vardagliga mate-matik trivialiteter som tillfälligt stimulerar fantasin och som pockar på lösning ochförståelse, dels större projekt som kräver en systematisk uppmärksamhet. Det kon-centrerade matematiska tänkandet kan endast bedrives i enskildhet, däremot kandiskussioner med kolleger ge upphov till uppslag och nya idéer, liksom i enskilda fallge konkreta svar till specifika frågor som kan utgöra proppar i den egna forskningen.Vidare hålls det föreläsningar på seminarier och konferenser, men det informativa idetta skall inte överskattas, oftast har dessa en ren social funktion. En föreläsningkan ge uppslag, men få av åhörarna äger den nödvändiga kunskapen och motiva-tionen för att helt tillägna sig den. Ganska snabbt tappar åhörarna tråden ochtänker på annat, förhoppningsfullt den egna forskningen. Dock skall man å andrasidan inte underskatta det katalystiska värdet.

Den påtagliga frukten av matematiskt arbete är den matematiska artikeln, och iundantagsfall den matematiska monografin. Matematiska texter förvaras i bibliotekvärlden över, även om den elektroniska formen vinner större och större terräng.Det totala antalet uppskattas till omkring 50 miljoner sidor.3 Liksom i fallet med

394 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vetenskap i allmänhet har den största delen av detta tillkommit under senare år,och man räknar grovt med att ungefär en miljon teorem produceras per år4 avkanske 30 000 aktiva matematiker.5 Nu skall man taga dessa siffror, precis som allastatistiska sådana, med en nypa salt, vad som skall betecknas som ett teorem ärgivetvis flytande, men vad siffran uppenbarligen belyser är att ingen enskild indi-vid kan hantera en sådan informationsmängd, och de flesta resultat är bara intres-santa för forskaren och hans omedelbara närhet. Dock den matematiska forskningenskiljer sig väsentligen från den naturvetenskapliga även i rent formella termer. Isjälva verket påminner matematikerns forskning i sitt utövande betydligt mera om

3 Denna uppskattning har presenterats i samband med det pågående digalitiseringsprojekt av densamlade litteraturen, vars syfte är att i princip låta all matematik som någonsin publiceras blielektroniskt tillgängligt.

4 Vilket kan jämföras med att ungefär lika många nya kemiska ämnen syntetiseras per år.

5 De stora matematiska kongresserna (International Congres of Mathematicians - ICM) vart fjärdeår samlar 4000 —5 000 deltagare, dock bevistas de endast av en minoritet av aktiva matematiker.Som vetenskapliga kongresser är de stora.När ICM hölls i Stockholm 1962 utgjorde den den hittils största vetenskapliga kongressen i Sverige.Dock i jämförelse med Medicin utgör matematikerna en liten grupp. Antalet medicinska forskaresom sysslar med njurar är ungefär lika stort som antalet matematiker totalt. Men vi vet mycketmera om matematik än om njurar.

395 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


humanistisk än naturvetenskaplig. En matematisk artikel är visserligen ofta kortoch koncis, men detta hindrar inte att många är långa (även om traditionen attskriva tjocka översiktsmonografier är betydligt sällsyntare i matematiken än i hu-maniora). En matematisk artikel har oftast endast en författare. Gemensammaartiklar förekommer visserligen ofta de också, men då nästan uteslutande med en-dast en medförfattare, betydligt mera sällan med två eller tre. Detta indikerar att enartikel normalt är väl genomarbetad med ambitionen att skriva en definitiv version,varav följer att en matematikers produktivitet är begränsad i jämförelse med ennaturvetares. En naturvetenskaplig artikel har ofta många författare, ibland ett ab-surt antal (man misstänker att många av författarna har säkert inte ens läst artikelnifråga, men deras namn står med i alla fall ty de tillhör samma forskningsgrupp).Vidare är den typiskt naturvetenskapliga artikeln av tillfälligt intresse, den är intetill skillnad från matematikerns och humanistens artikel ämnad att läsas decenniersenare, utan har som syfte att kasta fram en idé, föreslå ett nytt uppslag, presenteraett experiment med möjliga tolkningar. Med andra ord det utgör ett arbetsmaterialoch följaktligen är dess "shelf-life" mycket kort, kanske bara ett par år, medan denöverväldigande majoriteten av de artiklar ett matematiskt arbete refererar till är överfem år gamla; fortfarande refereras artiklar från 1800-talet. Ja, begreppet paradigm-skifte tycks inte vara lika relevant inom matematiken som inom naturvetenskapen.För naturvetenskapliga forskare betyder biblioteken mindre och mindre, det mesta

396 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


av den intressanta informationen finns att hämta på nätet. Medan i matematiken ärdet omöjligt att bedriva professionell forskning utan tillgång till bibliotek och gamlatidskrifter (Det är därför det ovan nämnda projektet att digitalisera matematisklitteratur har initierats). Matematisk forskning, liksom humanistisk verksamhet,kräver inga större materiella resurser. Följaktligen bedrives denna i stort sett indi-viduellt och med stor frihet när det gäller att söka problem, och i matematikens fallmedför det den redan tidigare nämnda diversiteten.

Denna frihet är på gott och ont. Å ena sidan har denna frihet i händerna på de storaandarna lett till slående upptäckter och begreppsmässiga genombrott som tillhör detyppersta inom mänsklighetens intellektuella skattkammare; medan det hos betydligtmedelmåttigare utövare har lett till steril specialisering och fördjupning i ofruktbarapetitesser. Detta har föranlett kraven på att göra matematiken nyttigare och meratillämpbar. Att bokstavligen slita matematikern ur sin isolering i elfenbenstornetoch göra rätt för sig. I mångt och mycket kan det ligga en hel del fog för detta.Många matematiker skulle säkert uppskatta att bli tillsagda vad de skall göra istäl-let för att själva tvingas generera sin verksamhet, precis som de flesta naturvetareingår i större projekt och får sina arbetsuppgifter förelagda. Men även om det till-hör matematikernas plikt att göra skillnad mellan god och dålig forskning, vilket iden mellanliggande gråzonen kan vara nog så knepigt; är det ogörligt att göra enklar distinktion mellan lysande matematiker och medelmåttiga, mellan banbrytande

397 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


matematik och mera rutinartad. Kategorierna står i ömsesidigt beroende av varan-dra. Matematiken behöver en mylla, och det behöver en kader, kort sagt en kulturav kritisk massa. Och detta är ju uppenbarligen inte unikt för matematiken, utangenomsyrar all mänsklig verksamhet. De personer som ihågkommes av historienär synnerligen få men utan det stora flertalet som är bortglömda, funnes det ingenhistoria överhuvudtaget. I matematiken är detta dock inte lika fullt uppenbart, mankan frestas att tro att den matematiska utvecklingen har framburits på ett begränsatantal axlar, och att följdaktligen dessa axlar skulle vara tillräckliga. Mera allmäntkan man argumentera på liknande sätt för den teknologiska utvecklingen i stort.Att antalet fundamentala innovationer är begränsat, och utan det salt som beståttav säg ett par tusen personer under civilisationens historia, skulle mänsklighetenfortfarande befinna sig på stenåldersnivå. Detta må vara sant, även om man kanargumentera att små samhällsbildningar tenderar att ha ett oproportionerlig antalså kallade kreativa individer, och att således en outnyttjad reserv alltid föreligger.Dock betydligt invändningsfriare är hävdandet att dessa innovatörer ensamma aldrigskulle få sina idéer implementerade.

Min diskussion har hittils varit ganska abstrakt och formell och utan någon somhelst konkret anknytning. Detta vill jag nu råda bot på. Det vore dock ogörligtatt ge en systematisk översikt över vad matematisk forskning kan innebära rent

398 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


konkret,6 och Ganelius bok är ju avsedd som en första introduktion till det mate-matiska landskapet. Matematisk forskning bedrives huvudsakligen individuellt ochdet är således svårt att ge exempel på matematiska projekt i vilket ett stort an-tal personer varit involverade för att realisera ett gemensamt mål. Det finns dockett enastående exempel, nämligen klassifikationen av de ändliga grupperna. Dettaproblem går tillbaka till definitionen av en grupp, som formulerades i mitten av1800-talet, men vars slutgiltiga abstrakta definition gjordes runt förra sekelskiftet.Begreppet grupp hade dock långt tidigare implicit utnyttjats utan att de involver-ade hade varit medvetna om det explicita begreppet. Detta belyser än en gång attmatematik inte är ett formellt spel baserat på godtyckligt valda definitioner, utanatt definitioner, som den matematiske filosofen Frege7 en gång i tiden betonade, harsom syfte att infånga en redan existerande verklighet. Spelreglerna för en gruppär enkla att ge och kan sammanfattas i ett par olika postulat, vilket även görs iGanelius bok (se sid 78 f.), men vilka vi repeterar

1. En associativ binär operation (kompositionsregel), d v s a(bc) = (ab)c.

6 Än en gång vill jag betona att matematiken är ovanligt diversifierad och därmed betydligt svårareatt ge en rättvisande översikt över än säg astronomi eller zoologi.

7 Gottlob Frege (1848-1925) en föregångare till den betydligt mera välkände Bertrand Russell, ochallmänt känd som den moderna matematiska logikens grundare.

399 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


2. existens av enhet e, d v s ae = ea.

3. existens av invers a−1 till varje element a, d v s aa−1 = a1a = e.

När det gäller ändliga grupper kan 2.) och 3.) sammanfattas till att avbildningen x7→ ax skall vara injektiv för varje element a.

Detta leder till ytterligare begrepp, varav konjugering med ett element är fundamen-talt. (Elementet axa−1säges vara konjugerat med elementet x via a). Begreppetdelgrupp bör vara uppenbart (en del av gruppen som utgör en grupp på egen handmed samma kompositionsregel); vad som är mindre uppenbart är begreppet normaldelgrupp, i samband med tekniken att forma en kvotgrupp. Det visar sig att ennormal delgrupp är en delgrupp invariant under alla konjugeringar.

En av föregångsmännen för klassifikation av ändliga grupper var Burnside,8 verksamvid förra sekelskiftet. Han företog många systematiska undersökningar av grup-per med ett givet antal element. Det är t ex trivialt att inse att varje grupp avprimtalsordning är cyklisk, d v s kan skrivas som konsekutiva potenser 1 = a0, a =a1, a2, a3, . . . för något element a (kallat generator). Situationen är aningen merainvolverad för grupper av ordning p2, men alla sådana är antingen cykliska eller, igeneraliserad bemärkelse, summan av cykliska. I fallet p3 blir det hela mera kom-

8William Burnside (1852-1927).

400 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


plicerat och intressant, om än elementärt och redovisbart på en enda sida. Förhögre potenser av p blir situationen genast exponentiellt mera komplicerad, ochatt åstadkomma fullständiga listor över de olika fallen blir snabbt ogörligt. Dettaillustrerar hur man faktiskt, utgående från mycket enkla regler, kan ställa upp ettoändligt antal matematiska problem, om i princip lösliga, så dock ointressanta i alladetaljer. Man tvingas därmed omformulera problemet i mera principiella termer,och slutsatsen är att varje grupp av ordning pn (så kallade p-grupper), kan byggasupp med hjälp av cykliska grupper av ordning p. Beviset bygger på att varje sådangrupp har en så kallad normal delgrupp (skild från de triviala exemplen —gruppensjälv och enhetselementet), och med dess hjälp kan gruppen beskrivas i termer avden normala delgruppen själv och den därtill associerade kvotgruppen, bägge somkommer att vara av en kardinalitet9 som är en potens av p. Därmed kan man utnyt-tja induktion (ändligheten är därmed central). Att finna en sådan normal delgruppbygger på ett fyndigt men elementärt resonemeng som kan beskrivas på ett parrader även för en neofyt. Att en grupp innehåller icke-triviala så kallade normaladelgrupper är inte alltid fallet, i själva verket finns det många elementära exempelpå sådana. De kallas enkla grupper och utgör så att säga irreducibla atomer urvilka samtliga ändliga grupper kan byggas upp "kemiskt". Dock är "kemin" mycket

9 Kardinalitet: antal element.

401 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


komplicerad, även i de enklaste fallen av p-grupper betraktade ovan. Burnside läm-nade efter sig en förmodan, uppkallad efter honom, att varje grupp av udda ordningär inte enkel. Ett uppenbart exempel är just den cykliska gruppen av primtalsord-ning (vilken uppenbarligen är av udda ordning utom för ett välkänt undantag) sominte innehåller några icke-triviala delgrupper överhuvudtaget. Denna är dock alltförsimpel att begåvas med beteckningen enkel. Man inser härmed ögonblickligen attdetta innebär att varje grupp av udda ordning kan byggas upp med hjälp av cykliskagrupper. Burnsides förmodan löstes i början av 60-talet och utgjorde startskottet förprojektet att försöka klassificera alla enkla grupper, d v s finna den kompletta listanav "atomer". Detta är visserligen långt ifrån målet att klassificera alla (ändliga)grupper, men det utgör ett fundamentalt första steg, och enligt gruppteoretiker detintressantaste steget. När Ganelius skrev sin bok hade Thompson och Feit just löstBurnsides förmodan och Ganelius fascinerades av att ett problem som hade en så-dan enkel formulering krävde en sådan omfattande lösning. I sin bok uppskattarGanelius att man skulle kunna göra problemet åtminstone formellt förståeligt fören nybörjare på en halvtimme, medan själva beviset tog närmare 300 sidor teknisktkomprimerade tidskriftssidor. Nu är i och för sig ett långt bevis inte nödvändigtvistecken på att något är svårt och komplicerat. Tag t ex två godtyckliga tusensiffrigatal och fråga efter dess produkt. Fullt utskriven skulle multiplikationen ta åtskil-liga sidor i beaktande, och så vitt vi vet finns ingen genväg att ta reda på svaret.

402 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Dock processen är helt mekaniskt och skulle i princip kunna utföras av ett barn,eller ännu mera drastiskt av en maskin, och därmed inte bara i princip. Beviset förBurnsides förmodan är av ett helt annat slag. Det är inte förutsägbart utan byggerpå svårfunna fyndiga idéer av just den arten som utmärker de elementära gruppte-oretiska bevisen ovan, men kräver inte bara en eller två sådana fyndiga uppslag,utan hundratals, hierarktiskt ordnade. Detta leder till en annan principiell fråganär det gäller matematisk forskning och beviset som utgör dess redovisning. Vikan alla utföra aritmetiska operationer som involverar små tal, men när det gällerstora tal får vi överlåta detaljerna åt maskiner övertygade om att vi känner tillde principiella detaljerna. I princip är det programmeraren som löser problemet,han förutser alla eventualiteter och instruerar maskinen att utföra distinkta befall-ningar. Mera tekniskt uttryckt så implementerar programmeraren en algoritm såatt den kan elektroniskt utföras. Detta är också en betydligt mera kompliceraduppgift än vad man skulle kunna tro, en uppgift som bygger på en hierarki av olikadatorspråk, ner till minsta detaljstyrning. I princip skulle programmeraren självkunna utföra alla de moment han beskriver, problemet är bara att hans livstid, ellerrentav universums livstid inte skulle räcka till. Denna praktiska implementering haringenting med matematik att göra, endast uppfinnandet och beskrivningen av denrelevanta algoritmen utgör det matematiska inslaget. På samma sätt har vi ingasvårigheter att genomföra korta logiska resonemang, men när vi konfronteras med

403 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


ett stort antal olika premisser med intrikata relationer till varandra, vilka forcerarfram långa resonemangskedjor står vi oss slätt. Även då skulle vi vilja ha tillgångtill en mekanisk procedur och i vissa fall är även detta i princip möjligt, men vadsom utmärker ett intressant matematiskt bevis är just dess icke-algoritmiska karak-tär. Beviset kan inte förutsägas, det behöver så att säga vid var och varannan kröken mänsklig intervention. Och även om ett bevis kan kräva långa uträkningar, såbygger det på idéer som ger en hierarkisk struktur till beviset, och vilket möjliggörför en människa att bedöma det. Dock det kan inte förnekas att en matematisk textbygger på långa deduktiva tankekedjor utan någon motsvarighet i andra mänskligaverksamheter. Även om det kan måhända vara frestande för en matematiker atthävda att denne är därmed överlägsen i tankeverksamhet sina mindre lottade med-människor, skall man ha klart för sig att inte mycket av detta utgöres av reflektivttänkande, utan utgör den metod, formelräkningen är härvidlag ett utmärkt exempel,som matematikern utnyttjar för att undersöka sin verklighet. Hon har inte tillgångtill apparater utan "apparaten" är cerebrell. Detta leder osökt till frågan hur mycketav denna deduktiva process kan automatiseras, d v s reduceras till en slags "räkning".Ett ökänt exempel på detta utgör det datorstödda beviset för fyrfärgsproblemet (seGanelius sid 145 f.) som publicerades 1976. Detta bevis, som ingen människa harkunnat läsa igenom, reducerade beviset till ett stort antal specialfall, vart och ettverifierat av datorn. Efter detta betraktas satsen som varande "död". Alla tror på

404 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


den, men ingen förstår varför den är sann. Ett bevis har således inte bara som am-bition att verifiera sanningshalt, den skall framförallt också förklara. Enligt logikerni Freges efterföljd kan ett bevis sammanställas av en lång kedja av deduktioner,vars sundhet i princip kan checkas av en maskin; dock i praktiken är det ogörligtatt göra sådana reduktioner, vilket gör att det inte är den benhårda logiken somutgör garanten, utan övertygelsen baseras på högre principer. Men mycket av denforna inställningen lever kvar när utomstående vill, i likhet med Russells, betraktamatematiken som en räcka tautologier.

Feit och Thompson tog som sagt var det första steget i projektet att klassificera allaenkla ändliga grupper, genom att de verifierade att alla enkla grupper är av jämnordning. Oändliga familjer av enkla grupper var kända sedan långt tidigare. Detmest elementära exemplet är gruppen An (A som i alternerande) av jämna permu-tationer av n element där n > 5. Den enklaste enkla gruppen är således A5 vilkenvisar sig vara symmetrigruppen av Ikosaedern (och därmed även Dodekaedern) ochdärmed ofta refererad till såsom Ikosaedergruppen. Dessa oändliga exempel var dockbaserade på enkla principer, d v s definitioner baserade på en parameter (heltalen iexemplet ovan), där varje värde på parametern ger ett nytt exempel. Därtill komdet intressantaste, så kallade sporadiska exempel, d v s konstruktioner som inte kundegeneraliseras via några enkla principer, men utgjorde isolerade undantag, så att säga"kosmiska tillfälligheter". Detta återigen avfärdar en fördom om matematiken som

405 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


något abstrakt och generellt, att varje sats, varje resultat kan fås som en konsekvensav ett generellare och abstraktare begreppsschema. Matematiken innehåller även "in-divider", det kanske enklaste exemplet på detta är de Platonska kropparna. Medandet finns ett oändligt antal regelbundna polygoner, ett för varje tal n, existerar detbara fem olika regelbunda polyhedrar, något som var känt sedan antiken (I självaverket långt före Platon, som av någon outgrundlig anledning har gett namn tilldem). Några av de sporadiska exemplen på enkla grupper var kända sedan 1800-talet, men i modern tid upptäcktes ett antal nya, var och en på sitt speciella sätt.Det mest spektakulära varandes den så kallade monstergruppen. Detta är en gruppvars antal element är 246 · 32059 · 76 · 112 · 133 · 17 · 19 · 23 · 29 · 31 · 41 · 47 · 59 · 71och den realiserades som en rotationsgrupp av Greiss 1982, i ett rum med 196883dimensioner! Efter ett tag hade 26 sådana sporadiska grupper upptäckts, och vi kanverkligen tala om upptäckt i detta fall. Dessa grupper finns, antingen vi vill det ellerinte, förborgade i definitionen av grupp och de därmed tillhörande begreppen. Re-sultatet av drygt tjugo års vedermödor, involverande ett tjogtal olika författare, ochinnefattande 10 000 tidsskriftssidor, var att dessa 26 sporadiska exempel, i tillägg tillde systematiska exemplen utgjorde samtliga enkla grupper (gruppteorins atomer).Arbetet hade ett gemensamt mål, men utfördes individuellt. Konferenser och per-sonliga kommunikationer, utgörande det kitt och den inspirationskälla som drev dethela framåt. Den självutnämnde "ledaren" för projektet var den amerikanske ma-

406 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


tematikern Gorenstein, som jag kommer ihåg turnerande runt i kollokviecirkusen10

och hävdade att så och så många procent av det slutgiltiga beviset var nu färdigt.Normalt, som vi redan har betonat, vet vi inte hur nära lösningen vi är förrän i ret-rospekt. Gorensteins uttalande var således avsedda att utgöra en provokation. Detjugo år som gått sedan resultatet offi ciellt tillkännagavs har ägnats åt att förenklabevisen, d v s ge dem enklare struktur. Ingen ny sporadisk grupp har upptäckts, ochkonsensus är att listan nu är komplett, även om kanske själva bevisen kan innehållaluckor här och där, men luckor som i princip kan täppas till.

Denna konkreta beskrivning av ett matematiskt forskningsprojekt är dock inte rep-resentativt för matematisk forskning i allmänhet, även om det illustrerar på ettrelativt lättåtkomligt sätt vad matematisk forskning innebär, nämligen att funderaöver till synes enkla och naturliga frågor som har överaskande och svårfunna svar.Att matematik existerar utom matematikerna, d v s det Platonska förhållningsättet,är det förhärskande inom skrået, någon annan attityd vore i längden outhärdlig.Matematisk forskning är i allmänhet betydligt mindre målinriktat, i den menin-gen att det uttalade syftet är att bevisa en enkelt formulerad och fokuserad sats;

10 Ett matematiskt kollokvium är en föreläsning av allmänt matematiskt intresse som hålls av enutifrån inbjuden talare —en sällskaplig tillställning, som idealiskt bör anordnas en gång i veckanoch avslutas med en gemytlig middag.

407 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


dock så bedrives den i löst sammanfogade forskningsgrupper där syftet är att merastudera ett problemkomplex än en precist formulerad uppgift. Exempel på dessaär återigen ett klassifikationsproblem, denna gång av kompakta 3-mångfalder, därden slutgiltiga formuleringen är långt ifrån klar. Ett aktuellt exempel är den ryskematematikerns Perelmans lösning av Poincarés förmodan.11 Denna förmodan, somockså stammar från förra sekelskiftet, kan anses intaga en analog plats till Burnsidesförmodan inom gruppteorin.

Ren matematik beskylls oftast för att inte ha några tillämpningar. När det gällerpraktiska tillämpningar kan detta diskuteras, men när det gäller matematiska tillämp-ningar är en av de mest slående erfarenheter en matematiker upplever hur välförenadmatematiken är —hur olika grenar av den har helt oväntade tillämpningar på varan-dra. Djupet och fruktbarheten hos en matematisk verksamhet består just i hur välinflätad den är med andra delar av matematiken och vilka fruktbara tillämpningarden därvid kan bidraga med. Denna väv av sinsemellan sammanhängande kompo-nenter är vad som gör att matematiken är väsenskild från spel, säg schack, där ävenlånga deduktionskedjor är för handen, men vars syfte är helt frivolt och leder ingen-stans. Detta gör att ett svårt matematiskt problem inom ett matematiskt områdeoftast endast kan lösas via metoder och uppslag från något annat av matematikens

11 Poincaré nämns flera gånger av Ganelius.

408 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


många områden. Ett exempel härvidlag är återigen Perelmans lösande av Poincarésförmodan, uppställd 1905, och vars tekniska formuleringen är "En kompakt, enkeltsammanhängande, 3-mångfald är homeomorf med den 3-dimensionella sfären." Deninvolverade terminologin, som må anses vara okänd av lekmannen, kan åtminstoneformellt fullständig förklaras på en sida. Beviset av satsen kräver dock betydligtmera utrymme. Perelmans bevis byggde på metoder inom så kallade partiella dif-ferentialekvationer tillämpade på differentialgeometri, som går helt utöver det renttopologiska sammanhanget, i vilket satsen kan formuleras och användas. Vidarebörjade inte Perelman från början; angreppsättet hade utvecklats av en amerikan,Hamilton, som under många år försökt knyta ihop säcken. Detta illustrerar attäven om forskning i matematik är individuell så kan ingen, från ingenting, lösa ettsvårt problem. Så amatörer, oberoende av hur geniala de må vara, göre sig tyvärrinte besvär. Matematiken är en profession och en matematiker måste stå på andrasskuldror (inte alla nödvändigtsvis gigantiska). Ett mera välkänt exempel på dettaär Wiles bevis av Fermats förmodan. Här har vi ett problem som kan begripas avvar och en, utan några specialkunskaper, och vilket under århundranden har lockatmånga amatörer att söka sin lycka. Men problemet löstes genom att en relativt obe-märkt matematiker av en händelse funnit ett förvånande samband mellan Fermatoch ett problem inom en väl utvecklad och tekniskt sett mycket raffi nerad gren avmatematiken nämligen det diofantiska studiet av så kallade elliptiska kurvor. Utan

409 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


denna koppling till sitt specialområde hade Wiles stått sig slätt, trots den ambitionhan påstår sig närt sedan barnaåren. Se här hur ett problem kan locka en yngling inpå matematikens väg! Den professionella matematikern tillhör en kultur och utandjupare kännedom om denna är hon hjälplös. Detta belyser återigen det faktum attäven om de flesta matematiker inte utför några gärningar av historiska mått, så kanderas arbeten ändå i det tysta spela en fundamental roll trots allt (precis som i allmänsklig verksamhet i övrigt).

Varför forska i matematik? Ja, varför forska i medicin? Varje sådan fråga lederobönhörligt till en ny. Vi må helt enkelt, precis som i matematiken, postulera ettpar ovedersägliga moraliska axiom, vilka vi bara kan ta för givet och inte reduceratill något mera fundamentalt. Att forska i matematik innebär en hel del fördelarjämfört med annan vetenskaplig verksamhet. Många av dessa fördelar har vi redanberört. Friheten att själv kunna söka sina problem är ytterligare en sådan, ty ävenom denna frihet i princip finns eller bör finnas i andra vetenskapliga verksamheterbrukar resursproblem ställa hinder i vägen. En matematiker har även betydligt merakontroll över sin forskning än vad andra har; i princip kan hon, eller bör hon kunna,behärska alla led, medan den naturvetenskaplige forskaren oftast måste ta andrasresultat ad notam. Att matematikerns forskningsobjekt utgöres av mentala fenomenkan många finna svårt; detta är väl även det största skälet till att matematiken at-traherar så få, men för dem med det rätta sinnelaget är även detta faktum en fördel.

410 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


Matematikerna finns alltid till städse, de tar ingen plats och de nöter inte på jordensresurser. Och i matematiken, kanske mer än i de andra vetenskaperna, finns möj-ligheten att uppleva disciplinens enhet. Man behöver inte bli en fackidiot begränsadtill en trång specalitet, man har möjlighet att låta sin verksamhet berikas av utom-stående impulser. Matematiken inbjuder därmed till en mer renodlad intellektuelltillvaro med den stora förmånen att dagarna i ända njuta tankens vedermödor (ävenom dessa kan bli nog så frustrerande).

Ja varför forska i matematik? Den egna intellektuella tillfredställelsen kan varaett nog så drivande motiv, men det räcker inte. Inte för samhället i stort och ejheller för individen själv. Det klassiska rättfärdigandet är att peka på matematikenstillämpningar. Detta är emellertid ett tveeggat vapen. Den moderna tekniken voreomöjlig utan matematik och dess tillämpningar i sin tur är ju både på gott och ont.Det nukleära hotet är numera bortsopat från vår kollektiva oro och har ersatts avbetydligt beskedligare farhågor. Man kunde för tjugo år sedan ha ställt den etiskafrågan huruvida matematikens utveckling varit mänskligheten till gagn, om en avkonsekvenserna är existensen av domedagsbomben. Vore vi alla lyckligare om vibefunne oss på stenålderstadiet? Vidare, hur viktig och värdefull är den pryltill-varo som utgör konsumentens önskedröm och som är möjlig tack vare matematiskatillämpningar? Matematiken går utöver sina tillämpningar, men dessa bevisar förutomstående att matematiken trots allt har en mening och ett innehåll; det är inte

411 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


fråga om ett formellt spel med symboler, utan det utgör en utforskning av en Pla-tonsk verklighet, vars existens må vara icke lika påtaglig som den sinnliga, men ommöjligt än mera oundviklig. Matematik är inte ett spel, utan, som Ganelius mycketriktigt betonar, en lek. Och lek är allvar. Dödligt allvar.

412 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

Matematik, kultur Mängdlära AlgebraNågra bilder Topologi Mått och integrationTal Matematisk analys.. TillämpningarMatematisk forskning Matematikstudier Appendix Index Index

Index

Abel, 173

affi na, 209

ℵ, 90A lgebra, 96

algebra, 155

algebraisk ekvation , 284

algebraiska tal, 305

algebrans fundamentalsats, 285

Apollon ios, 159

Arkim edes, 159

asso ciativ , 46

avtagande funktion , 317

Banach , 177

banachrum , 224

Bertrand Russel, 32

Bolyai, 57

Cantor, 175

Cardano, 160

cyklo id , 340

cyklomatiska, 218

definition

deriverbarhet, 312

kontinuerlig funktion , 309

definitionsmängd, 84

delm ängd, 36

derivata

ej deriverbar funktion , 315

partie ll, 329

p olynom funktion , 312

Descartes, 161

d istrubutiv , 46

ekvivalensk lasser, 80

ekvivalensrelation , 79, 254

Euklides, 159

Euler, 166

extremproblem , 306

extremvärden , 317

filter, 203

finare, 204

fréchet, 204

omgivn ings-, 204

fixpunktsats

B rouwers, 206

Fourier, 169

fu llständigt, 265

fundamentalfö ljd

definition , 265

ekvivalenta, 272

funktion , 82

avbildn ing, 84

avtagande, 317

extrempunkter, 317

extremvärden , 317

graf, 85

invers, 85

kontinuerlig , 201

maximum , 317

m in imum , 317

sammansatt, 88

växande, 317

funktionalanalys, 227

fyrfärgsprob lem et, 218

Galile i, 160

Galo is, 174

Gauss, 170

graf

cyklomatiska, 218

definition , 216

kromatiska, 218

413 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


planär, 218

riktad , 217

grupp, 110

ab elsk , 111

cyklisk , 132

definition , 110

enhet, 110

exempel

funktioner, 130

K liens fyrgrupp, 114

kvadrat på kvadrat, 116

p ermutationer, 119

symmetrisk d ifferens, 126

vridn ing av jordglob , 113

generator, 132

invers, 110

isomorfa , 118

kommutativ , 111

ordn ing, 111

representation , 126

symmetrisk , 124

top ologisk , 224

undergrupp, 125

helta l

add ition , 255

definition , 254

multip likation , 256

H ilb erts hotell, 92

hom eomorfism , 205

händelser, 245

varandra uteslutande, 245

höljet, 186

ideal, 141

högerideal, 142

vänsterideal, 142

idempotent, 140

Induktionsaxiom et, 250

inre punkt, 185

integral, 236

kontinu itetsegenskap, 243

numerisk approximation , 241

invers funktion , 85

Jacques Bernoulli, 164

Jean Bernoulli, 165

kard inalitet, 301

kard inalta l, 90

räkneregler, 92

Keplers lagar, 339

kommutativ , 46, 97

komplexa talkropp en , 279

kompositionsregel, 96

inre, 99

yttre, 99

kongruenser, 81

kontinuerlig

ej deriverbar, 316

i en punkt, 310

kontinuerlig funktion , 201

kontinuumhypotesen , 95

kromatiska, 218

kropp, 133, 137

de reella ta len , 137

rationell ta lkropp en , 137

Kurt Gödel, 32

kvatern ioner, 287

Lagrange, 168

lattice, 107

Leibn iz, 162

lineär programmering, 331

exempel, 332

Lobatjevsk ij, 57 , 172

matematikens tillämpningar, 336

astronom i, 341

atom fysik , 342

b efo lkn ingsteorier, 353

b io logi, humaniora ..., 351

brakistronen , 340

datamaskiner, 345

414 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


demografi, 353

differentia lekvationer, 343

fångarnas d ilemma, 363

hydro- o ch aerodynam ik, 344

kampen mellan könen , 365

m ekaniska o ch fysiska, 338

p lanetrörelser, 339

sax, sten o ch påse, 362

sp elteori, 354

språkvetenskap, 352

matematisk analys, 306

matris, 152

addition , 154


multip likation m ed skalär, 154

matriser, 144

maximum , 317

m etrik , 199

m etriserbar, 200

m etriskt rum , 200

m in imum , 317

m issförstånd, 306

modulo , 80

multip likation av tal

naturliga , 252

multip likationstab ell

b inär, 292

mått, 232

Mått o ch integration , 228

måttrum

definition , 229

mängd, 29

definitionsmängd, 84

d isjunkt, 43

d istributiva lagar, 44

höljet, 186

inre punkt, 185

kard inalta l, 90

komplem ent, 37

produktmängd, 64

randen , 186

randpunkt, 186

sluten , 184

sn itt, 41

tom , 29

union , 41

värdemängd, 84

yttre punkt, 185

mätbar, 230

Neumann, 178

Newton, 163

Newtons gravitationslag, 339

N im , 294

hur man sp elar, 298

sp elreg ler, 296

0, nollan

varifrån , 290

norm

vektorrum , 225

norm erat vektorrum , 225

numerisk analys, 285

omgivn ing, 185

ordn ing

inklusion , 77

partie ll, 76

tota l, 76

ordn ingsrelation , 76

partie lla derivator, 329

partition , 80

Peanos axiom , 250

p ermutation , 120

Poincaré, 176

p olynom funktion , 276

polynom ring, 274

programmering, 346

pro jektiva, 209

Pythagoras, 158

randen , 186

randpunkt, 186

415 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


rationella ta l, 259

addition , 260


reella ta l, 273

reella ta lfö ljder, 87

relation , 73, 253

antisymmetrisk , 76

ekvivalens, 79, 254

funktion , 82

likhetsrelation , 74

ordn ingsrelation , 76

reflexsiv , 76

symmetrisk , 76

transitiv , 76

ring, 133

av polynom , 274

Boolesk , 140

definition , 133

ideal, 141

kommutativ , 134

restk lass, 138

som är kropp, 137

Russel:s paradox, 31

sammanhängande, 200

sannolikhet, 245

sannolikhetskalky l, 234, 244

sp el

jämviktselem ent, 354

maxim in , 358

m in imax, 358

m in imaxteorem et, 360

nollsumme, 357

statistik , 244

stokastisk variab el, 245

summa av tal

naturliga , 251

symmetrisk d ifferens, 127

tal, 246

b eteckn ingar o ch talsystem , 289

hela , 253

irrationella , 263

komplexa, 274√2, 266

naturliga , 30, 35, 249

rationella , 259

reella , 263, 273

talkropp

komplex , 279

Tartaglia , 160

top ologi, 182

axiom , 183

definition , 206

d iskreta , 183

exempel 1 , 183

exempel 2 , 183

exempel 3 , 184

exempel 4 , 184

m etrik , 199

m etriserbar, 200

m etriskt rum , 200

punkter, 183

på Q, 264struktur, 155

triv ia la , 183

vektorrum , 155

öppna, 182

top ologisk avbildn ing, 205

top ologiskt rum , 183

torus, 209

transcendenta tal, 305

triangelo likheten , 200

uppräkneligt additiv , 230

utfa llsrum , 244

variationskalky l, 341

vektorrum , 144

bas, 148

d im ension , 148

fu llständigt, 225

norm erat, 225

skalär, 144

416 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒


vektorer, 144

V iète, 161

väntevärde, 245

värdemängd, 84

växande funktion , 317

yttre punkt, 185

417 ⇐ ⇐ ⇒ ⇒

introduktion till matematiken - tex-sales.se · matematik är ett sätt att greja med si⁄ror,...

Documents