introduÇÃo Á lÓgica proposiÇÃo operaÇÕes lÓgicas ... · o estudo da lógica é o estudo...

ÁLGEBRA ALICADA A COMPUTÇÃO Lógica Formal

ÁLGEBRA APLICADA A COMPUTAÇÃO Prof. Vianei Peixoto 1

INTRODUÇÃO Á LÓGICA

PROPOSIÇÃO

OPERAÇÕES LÓGICAS

CONSTRUÇÃO DE TABELAS

CLASSIFICAÇÃO DAS PROPOSIÇÕES

IMPLICAÇÃO E EQUIVALÊNCIA

PROPRIEDADES DAS OPERAÇÕES LÓGICAS

QUANTIFICADORES

MÉTODOS DE DEMONSTRAÇÃO

ÁLGEBRA BOOLEANA



O Estudo da Lógica é o estudo dos métodos e dos princípios

utilizados para distinguir o raciocín

Lógica

Objetivo Fundamental do Estudo da Lógi

io correto do incorreto.

Elaboração de critérios que per

ca

mitam analisar argumentos

para mostrar ou não sua validade.

Perído Aristotélico - iniciado com Aristóteles (Grécia)

390 a. C. a 1840 d. C.

PerDivisão hi

íodo Boolestóri

ano -ca da Lóg

1840 aica

191

0 (George Boole 1815 a 1864)

Período Atual (1910........)

com Bertand Russell (1872-1970 Inglaterra) e

Alfred North (1861-1947 Inglaterra)

Classificação Atual da Lógica

Lógica Indutiva - útil no estudo de probabilidade

Lógica Clássica - núcleo da lógica dedutiva

Lógicas Complementares da ClássicaLógica Dedutiva

Lógicas não-Classicas - caracterizada por

abolir alguns p

Fras

ricípios da lógica clássica.

PROPOSIÇÃO

é um enunciado linguístico capaz de transmitir uma ideia.

- não vem Frase Nom acompanhainal

e

da do verbo.

Exemplo: Cuidado !

- vem acompanhada do verbo.

Exemplo: a) Armstrong foi a lua.

b) Hoje é qu

Proposição

arta-feira.

é uma frase verbal de

Fra

cla

se Verbal

rativa ou sentença declarativa

na qual são válidos os seguintes princípios:

i) Princípio da Identidade:

"Uma proposição só e igual a si mesma".

ii) Principio da Não-Contradição:

"Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao

mesmo tempo".

iii) Princípio do Terceiro Excluído:

"Uma proposição ou verdadeira ou é falsa."

(Não existe uma terceira alternativa)

Exemplos: a) Recife é uma cidade

b) O livro é vermelho

c) 3 é maior que 4

d) Pedro é irmão de João

e) 7 é um número primo

f) Existem habitantes em Júpiter



g) Ninguem foi a Lua

h) Todo homem é mortal

Designamos as proposições por letras latinas minúsculas,

p, q, r, s,.

Notação das Propo

.....

a) p: 3 é

sições:

maior que 4

b) q: Pedro é irmão de João

c) r: 5 é um número racional

d) s: 2 é maior que 5

É a propriedade fundamenata

Valor Lógico ou Valor Verda

l de uma proposição ser ver

de

-

Função Proposiciona

dadeira ou falsa.

l ou Sentença Abert

Notação: v(p)=V ou v(p)=F

Nos exemplos acima: v(p)=V, v(s)=F

Exitem proposições que são verdadeiras para alguns

valor

a

es e

2

são falsas para outros.

p(x): Pedro é inteligente

q(x): x é um número par

r(x): x é maior que 7

s(x): x é o triplo de 9

t(x): x + 7= 11

u(x): x é o triplo de -9(sendo x um número real)

v(x): x é um dia da semana

Estas poposições são verdadeiras quando x representa

determinados valores e falsas para outros. Sentenças

como essas são chamadas Sentenças Abertas ou Funções

Proposicionais.

1. Escreva 4 proposições verdadeiras e 2 falsas.

2. Escreva uma sentença aberta que seja verdadeira

somente para 3.

3. Escreva uma sentença matemática que sej

Exe

a v

rcício Propo

erda-

dei

sto 01

ra pa

ra 1, 3, 5 e falsa para 8.

4. Escreva os elementos que tornam verdadeiras as

seguintes funções proposicionais:

a) x+8=10 b) x é um mês do ano c) x é um número

natural ímpar d) x 9 e x 11 e) x 6 (sendo

x um natural).



(

2

23

A soma do quadrado de um número

com 7 é igual a trinta e

5. Escreva na linguagem corrente do português, exempo:

x 7 = 32

5+x a) x+y 9

doi

b) x+y) 7

5(x c)

s.

-1+4) x 3

= 5 + d) + y = x - 12 2 5

6. Escreva usando a linguagem matemática

(ortografia matemática)

a) Duas vezes um número mesnos a raiz quadrada

de outro é igual a dez;

b) Três quartos de um númeto mais cinco vezes esse

mesmo número é igual a doze;

c) A raiz cúbica do quadrado da soma de dois números

é vinte;

d O inverso da raiz quarta do inverso de um número é

dois

e) O quadrado da metade da soma de dois números.



1. Negue as proposições seguintges:

p: hoje é feriado

q: todo homem é mortal

r: ninguém foi a lua

s: 5+8=11

t: 7> 9

2. Sejam

Exercício Propo

as proposições

s

p

to

:

02

6 é

- Negação

um número primo

q: 9 é múltiplo de 3

Escreva as proposições: ~p, ~(~p), ~q e ~(~q).

Que observação você pode fazer sobre a dupla

negação ?

3. Negar as seguintes proposições

p: Há habitantes na lua

q: Existe um número primo disível por 2

r: Todos alunos são inteligentes

s: Alguém foi a Júpiter

t: todos números são primos

1. Sendo as proposições: p: 5 é diferente de 8

q: 9 é menor que 7

Exercício Proposto 03 - Con

junção e Disj

r

unção

: 1 n

ão é primo

escreva p q, p q, q r, q r, p r, p r.

Assinale as proposições verdadeiras e falsas.



2. Sendo p, q, r as proposições do exercício 1 es-

creva: ~p q, r ~q, p ~q, q ~r

3. Mostre pela tabela-verdada que:

p q é equivalente a q p

p q é equivalente a q p

4. Dadas as proposições:

p: a terra é um planeta

q: 7 é um número primo

r: As diagonais do paralelogramo são iguais

s: Minas gerais é um estado marítimo

t: A adição em é associatiava

u: zero não é número natu

ral

Formar as proposições: a) ~r b) ~s t c) p q

d) t s e) u ~s f) ~s t g) ~p s h) ~u ~r

i) (p q) (~u t) j) ~(p q)

5. Considerando-se que somente as proposições r e u são

falsas, dê o valor lógico de cada uma das proposições

acima.

Exercício Proposto 04

1. Sejam as proposições:

p: 6 + 4 = 10

q: 8 9

r: 3 é primo



Forme as proposiççoes:

a) p q b) r q c) r p

d) p q e) r q f) r p

2. Na questão anterior quais a proposiçoes verdadeiras e quais as falsa ?

3. Dadas as prop

osições:

p: Não chove

q: Iremos ao cinema

r: Todo triângulo é equilátero

s: Os lados de um triângulo equilátero não são iguais

t: Um quadrilátero é um retângulo

u: Os ângulos de um quadrilátero são iguais

Escrever:

a) p q b) q ~p c) r ~s d) u t

e) t u f) t ~p g) r s h) s r

4. São dadas as proposições:

p: Duas retas per

pendiculares entre si são secantes

q: O produto de dois números reais negativo é positivo

r: O Brasil foi descoberto no ano de 1.500

s: Todo número primo é da forma 2n + 1

Sabendo-se que p, q e r são proposições verdadeiras e s é falsa,

determine o valor lógico das seguintes proposições:

a) (p q) r b) p (q r) c) s p d) (p q) (r s)

e) (p q)

(r s) f) (p q) (r ) g) (p q) (r ~s)

h) (~p q) ~(r s) i) (p q) (s r) j) (~p q) (s r)

k) (p q) [(q r) (r s)] l) (p q) (q r)

s



Podemos, construir novas proposições envolvendo as operações lógicas:

Negação(~), Conjunção( ), Disjunção( ), Condicional( ) e Bicondicional( ).

Exemplos:

a) ~[(~p) (~q)

Tabela

]

b) ~[p (~q)]

-Ve

c

r

dade

) (p q) (q r)

Do mesmo modo que construimos a tabela-verdade para a Negação, Conjunção, Disjunção,

Condicional e Bicondicional, podemos construir a tabela-verdade das proposições compostas

mostradas nos

exemplos a), b) e c).

Construção da Tabela-Verdade do exemplo a) ~[(~p) (~q)]

As proposições iniciais são p e q. Devemos considerar ainda as proposições ~p e ~q.

p q ~p ~q (~p) (~q) ~[(~p) (~q )]

p q

V V F F F V V

V F F V

~[(~p)

F

(~q)]

V

V

V F

F V V F F

V V

V F V

F F

V

V

V F V F F F



é a proposição cuja tabela-verdade contém

somente verdade.

Exemplo: p ~p

p ~p

Tautologia, Contradição e

p ~p

V F

C

V

F

onting

Tautologi

i

a

ênc a

V V

é a proposição cuja tabela-verdade contém somente

falso

Exemplo: p ~p

p ~p p ~p

V F F

F

Contradi

V

ção

F

As proposições contém normalmente V ou F. Estas proposições são

chamadas contingências.

As Primeiras leis de

Contingência

Primeir

De Morgan estabelec

a

e

s Leis de D

os critéri

e Mor

os

gan

para se fazer a negação

da Conjunção e a negação da Disjunção.

I) ~(p q) ~ p ~ q

II) ~(p q) ~ p ~ q

Exercício: Prove as Primeiras leis de De Morgan, pela tabela-verdade.

1. Dadas duas proposições p e q mostrar com auxílio da tabela-verdade que as proposições

p q é equivalente a ~p q.

2. Mostrar através da tabela-

Exercício

verdade q

Pro

ue (

posto 1

p q) (~p q)

.0

5

é uma tautologia.

3. Mostrar com auxílio da tabela-verdade que a proposição t: (p ~ q) (r ~r) é uma contradição.

4. Verifique com auxílio da tabela-verdade que a proposição p (p q) é uma tautologia.



Sejam p e q proposições:

Dizemos que p implica logicamente q se e somente se

q for verdadeira sempre

I

q

De

ue

finição 1: (Implicaç

p for verdadeira.

No

mpli

taçã

cação e Equivalênc

o: p q lê-se:

i

"p

a

ão)

implica q", "p infere q", "se p então q",

"p é condição suficiente para q" ou ainda

"q

Definição 2: (Equiva

é condição necessária para p".

Dizemos que p é equivalente a q se e

lência)

somente se

as sua tabelas vedades forem idênticas.

Notação: p q lê-se:

"p bi-implica q", "p é equivalente a q", "se p se e somente se q",

"p é condição necessária e suficiente para q" ou

ainda

"p se e só se q".

Seja p e q proposições

p q se e somente

Teorema(Implicação):

Teorema(Equivalenci

se p q é uma tautologia.

p q se e somente

Teor

se p q é uma

em

ta

a):

uto g

as

lo ia.



observação: A tautologia representamos por v (minúsculo) e a contradição por f (minúsculo)

Propriedades da Operação Co

Conjunç

njunção e Dis

ão( )

junç

ã

o

Disjunção( )

Associativa p (q r) (p q) r p (q r) (p q) r

Comutativa p q q p p q q p

Idempo

tente p p p p p p

Absorvente p f f p v v

Neutro p v p

p f p

Conjunção em Relação a

Propriedades Relativas as operações Conjunção e Di

Disjunção Disjunção em Relação a conjunção

Dist

sjunçã

rib

o

uitiv

a p (q r) (p q) (p r) p (q r) (p q) (p r)

Absorção p (p q) p

Propriedade da

p (p q) p

: A dupla negação equiNegaç vao lã

e a afirmação.

~(~p) p

p q ~(p ~q)

p q (~p q)

Exercício: Mostre pela tabela-verdade as propriedades da implicaçã

Propriedades da Implicação

Exercí

o.

Mostre pela tabela-ver

cio Propo

da

s

d

to 1.06

e

que

(f e v aqui neste texto representam respectivamete uma contradição e uma tautologia)

1. p (q r) (p q) r a conjunção é associativa

2. p (q r) (p q) r a disjunção é associativa

3. p (q r) (p q) (p

r) a conjunção é distribuitiva em relação a disjunção

4. p (q r) (p q) (p r) a disjunção é distribuitiva em relação a conjunção

5. p ~p f (Princípio da não contradição)

6. p ~p v (Princípio do tercei

ro excluido)

7. p p p (idempotência na conjunção)

8. p p p (idempotência na disjunção)

9. p f p ( f é o neutro na disjunção)

10. p f f ( f é o absorvente na conjunção)

11. p v v ( v é o absorven

te na disjunção)

12. p v p ( v é o neutro na conjunção)



é uma noção primitiva, por isso, não se define.

Exemplo: A= 1,2,3,4,5

B= 2,4,6,8,10

Determinação de um conjunto:

a) Pela listagem de seus e

Noção de

lementos

Con

C

E

junt

xemp

onjunt

lo:

o

o

os conjuntos acima foram escritos ou determinados

pela listagem de seus elementos.

b) Por Compreensão - Através de uma propriedade que caracterize

todos elementos do conjunto.

Ex emplos: A= x : 1 x 5

A propriedade aqui é:

p(x): x é um número natural maior ou igual a um

e menor ou igual a 5.

B= x| x=2k, 1 k 5, k

A propriedade aqui é:

p(x): x é um número par natural maior ou igual a dois

e menor ou igual a

10.

Consideremos os conjuntos:

A = a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,

Sejam as proposições:

p(x)

Quantificador

: x é uma let

U

r

ni

a do alfabeto

v ersal

latino

q(x): x é letra do alfabeto grego

Formemos as preoposições:

a) Todo elemento de A é letra no alfabeto latino

b) Qualquer que seja o elemeto de A, este elemento é letra do alfabeto latino

c) Para todo elemento que pertença a A, este elemento é uma letra do alfabeto latino

Vemos que as proposições a), b), c) são todas equivalentes.

PARA EXPRESSARMOS SITUAÇÕES COMO ESTAS USAMOS O SÍMBOLO

CHAMADO .

lê-se: "para todo" , "qualquer que seja"

QUANTIFICADOR UNIVERSAL



Consideremos ainda os conjuntos:

A = a, b, c, d,..z B = a, b, c,..z, C = , , , ,...,

Podemos com relação ao conjunto B formar as proposiçõe

Quantificador Existen a

s

ci l

:

a) Existe elemento de B que é letra do alfabeto latino

b) Existe elemento de B que é letra do alfabeto grego

PARA EXEMPLOS COMO ESTES USAMOS O QUANTIFICADOR EXISTENCIA

representado pe

L

lo símbolo .

lê-se: "existe um" ou "existe pelo menos um"

! lê-se: "exsiste um e sòmente um"

Emprego dos Quantificadores

a) Todo elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino.

sendo p(x): To

do elemento do conjunto A é letra do alfabeto latino, temos:

x A, p(x): qualquer que seja o x pertencete A, x tem a propriedade p.

b) Existe elemento do conjunto B que é letra do alfab

eto latino.

sendo q(x): Existe elemento do conjunto B que é letra do alfabeto latino.

x B: q(x): existe x pertencente a B tal que

Segu

x

nd

tem

as L

a propri

eis de D

eda

e M

de q.

n

V

orga

imos as primeiras leis de De Morgan que se referem a negação da Conjunção e

negação da Disjunção:

1ª) ~(p q) ~p ~q : "negar que duas proposições são ao mesmo tempo

verdadeira é afirmar que pelo menos uma delas é falsa".

2ª) ~(p q) ~p ~q : "negar que pelo menos uma de duas proposições é verdadeira

é a

firmar que ambas são falsas".

As segundas leis de De Morgan se referem a negação dos quantificadores universal e

existencial.

Seja E um conjunto qualque e p(x) uma propriedade do conjunto E.

1ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)

"negar que toto x tem a propriedade p é afirmar que existe um x que não tem a propriedade p"

2ª ) ~ x E, p(x) x E: ~p(x)

"negar

que existe x que tem a propriedade p é afirmar que qualquer que seja o x, x não tem a propriedade p"

1.

Ex

S

ercí

ejam

cio Prop

as prop

os

os

to 1.07

ições:



p(x): x > 5

q(x): x é par

e os conjuntos A = 6,7,9,12 , B= 2,4,8,10

a) Quais das proposções abaixo são verdadeiras e quais são falsas ?

x A: p(x)

x B: p(x)

x A: q(x)

x B: q(x)

b) Escreva por extenso as proposições do ítem a).

2. No conjunto dos reais, quais as proposições que são verdadeiras e quais

são falsas?

a) x , x x b) x : x x

2 2

c) x , x+1 = x d) x : x+1 = x

e) x , x =x f) x : x =x

3. Negar as proposições:

a) p(x): Todo homem é mortal

b) q(x): Existe um número primo par



Na construção de uma dada teoria partimos de algumas proposiçoes iniciais que são

as noções primitivas e a partir daí construímos outras.

i) - prop

Teor

osiçAxioma o ão que a

e

cu pos eitamtu osla

m

do

a

como verdadeira sem demonstração.

Exemplos: Postulados de Euclides

a) Por uma ponto passa infinitas retas.

b) Por dois pontos passa uma e sòmente uma reta.

c) Três pontos distintos determina um plano.

ii) é a proposição que se constrói baseada em outra, isto é, a definição é

a substituição de um conceito

Defin

ant

ição

igo por um conceito novo. O novo é o conceito

definido.

Exemplo: Definição de Triângulo

Triângulo é a figura geométrica de 3 lados.

iii) é a proposição que se acTeor eiema ta c

22

2

omo verdadeira após uma demonstração

formal.

-b b - 4ac Exemplo: a) se ax bx + c = 0 então x= com a,b,c e a 0.

2a

b) seja a , se a é par então a é par.

iv) Corola

é o teoremoa que decorre imediatamente de outro.

Exemplo: Teorema: Duas retas que cortam um feixe de paralelas determina sobre este

r

io ou Cons

equên

f

cia

eixe de paralelas segmentos que são proporcionais.

Corolário: Toda reta paralela a um dos lados de um triângulo determina

sobre os outros dois segmentos proporcionais.

v) é o teorema que serve para ajudar a demonstração de um outro teorema.

Porque as afirmações matemáticas precisam de uma prova formal ?

Pierre de Fermat, grande matemá

Lema

ticon2

francês nascido em 1601, em carta escrita

ao padre Marin Mersenne afirmara quer todo número da forma 2 + 1 era primo.

Apressado, provalvelmente, não procurou investigar mais a fundo.

De fato par n=0,1,2,3,4 sua afirmação é verdadeira. Leonard Euler, outro grande matemático,

mais tarde, provou que não era é bem assim. Se n=5 o número que se obtém é um número composto.

Isto é, admite pelo outro divisor, além, dos divisores triviais.

Por isso, toda proposição matemática (Teorema) deve ser provada. É claro que a grande maioria das

proposições matemáticas já foram provadas. O que não signific

Todo teorema é uma proposição do tipo p q o

a dizer que não precisamos mais exer-

citar as sua provas.

.

No primeiro caso(p q) devemos provar que a veracidade da proposiçao p acarreta

a veracid

u

ad d

q

a

p

e

proposição q.

No segundo caso(p q) devemos provar as duas coisas ou seja que

p q(1ª parte do teorema)

q p(2ª parte do teorema)



No teorema p q:

p é chamado antecedente ou hipótese do teorema.

q é chamado consequente ou tese do teorema.

Existem vários métodos de demonstração os quais veremos mais a fren

Formas de se Escr

t .

r

e

eve

2

Sejam H e T proposições.

1. TEOREMA

A forma H T é o que chamamos de Teorema.

onde H é a hipótese e T a tese.

Exemplo: H: é um número par

uma Impli

T:

cação

é

a

a

2

2

par

H T: se é um número par então é par

2. RECÍPROCA

A forma T H é chamada Recíproca do Teorema ou simplesmente Recíproca.

Exemplo: T: é par

H: é um n

a a

a

a

2

2

úmero par

T H: se é par então é um número par

3. CONTRÁRIA

A Contrária ou Contrária do Teorema tem a forma ~H ~ T

Exemplo: ~H: não é um número par

~T: n

a a

a

a

2

2

ão é um número par

~H ~T: se não é um número par então não é um número par

4. CONTRA-RECÍPROCA

É a contrária da recíproca e tem a forma ~T ~H

Exemplo: ~T: não é um nú

a a

a

2

mero par

~H: não é um número par

~T ~H: se não é um

Equival

núm

ênci

ero par

a entre

então não

as Proposiçoes

é um n

TEOREMA

úmero par

, RECÍPROC ,C

.

A

a

a a

é equivalente a

H T ~ T ~H

é equivalente a

T H ~H

ONTRA-RECÍPROCA e

CONTRÁ

~ T

Exercício: a) Mostre que (H T) (~H T) (T ~ H) ( ~ T ~H)

A

a)

RI

O TEOREMA CONTRA RECÍPROCA

A RECÍPROCA CONTRÁRIA

Mostre que (T H) (~T H) (H ~ T) ( ~ H ~T)



Destacaremos os 4 principais métodos de demonstração:

I - Método Direto

II - Método Indireto

III - Método de Redução ao Absurdo

IV - Método de Indução Fi

Métod

nita

os de Demonstr

I - Método Di

ação

reto - Consiste em partirmos da hipótese e chegarmos a conclusão da vera-

cidade da tese.

Exemplo: Provar que se e são números naturais pares, então + é um natural par.

H

a b a b

Demonst

ipótese

ração:

e são núme

a = 2.k, k se

ros naturais pares

Tese

e são números naturais pare

+ é par

s (db = 2

.q,

q

a b

a b

a b

1

ef. de número par)

somando as duas igualdades membro a membro temos:

a + b = 2k + 2q a + b = 2(k + q), como k, q k =k + q .

Logo, a + b =

1 1 2k , k e portanto a + b é um natural par.

II - Método Indireto - Neste método, aceitamos a negação da tese como proposição verda-

deira chegarmos a conclusão da veracidade da negação da tese

2

2

Hipótes

( ~T ~H).

e é n

Exemplo:

atural par

Provar que se é natural

Tes

pa

e é

r então é natura

natural par

l par.

Demonstração:

a a

a

a

2

Como queremos fazer a prova pelo método indireto, devemos provar que

não é natural par não é natura se então ou seja

l par

Hipótese

a a

2 2

2

2

2

não é natural par é natural ímpar 2k+1

Tese não é natural par

a = 2k + 1 a - 1 = 2k (a+1).(a -1) = 2k, k

é natural ímpar

a a a

a a

a - 1 e a + 1 são consecutivos pares a - 1 é o antecessor de a

oua + 1 é o sucessor de a

a - 1 e a + 1 são consecutivos ímpares pares

(a - 1).(a + 1) é pa

r a é ímpar

ou ou

(a - 1).(a + 1) é ímpar (a é par

A hípótese do nosso teorema garante que (a - 1).(a + 1) é par.

Como (a - 1) e (a +

1) são pares consecutivos então (a - 1) é par e (a + 1)

também é par logo a deve ser ímpar, como queríamos mostrar.

III - Método de Redução ao Absurdo - Neste método, aceitamos a hipótese e a negação

da tese, isto implicará numa contradição. (H ~T) contradição).

Exemplo: Provar que se 2 então é número irracional.

Hipótese 2 é núm

a a

a

ero real

Tese é número irracional ou 2 é irracional. a



Demonstração:

Pelo método de redução ao absurdo, devemos admitir a hipótese e a negação da tese.

pNegar que 2 é irracional é afirmar que 2 é racional e assim podemos escrever: 2

q

(com p, q e q 0). Po

2 2

2 2 2

demos ainda admitir que o m.d.c.(p, q) = 1 ou seja que a fração

é irredutível e portanto p e q são primos entre si.

p2 p = q 2 p 2q (1)

q

p 2q p é par p é par p = 2k (2) , k

substituido a eq. 2

2 2 2 2 2 2 2na eq. 1 temos: (2k) 2q 4k 2q q = 2k q é par

p é parq é par. Mostramos assim que o que é uma contradição, pois, p e q não podem

q é par

ser par, uma vez que por hipótese são primos entre si

. Note que chegamos a esta contra-

dição do fato de supormos que 2 é racional. Portanto, fica provado que 2 é irracional.

IV) Método de Indução Finita - O método da indução finita se fundamenta num dos Axio-

mas de Peano.

Seja s uma função: s:

n s(n) onde s(n) é o sucessor de n

Axioma 1: A função s: é injetiva

"Dois números que tem o mesmo sucessor são iguais".

Axioma 2: O conjunto - s( ) consta de um só elemento.

"Só existe um número natural que não é sucessor de nenhum número".

Este é o número 1.

Axioma 3: (Princípio da Indução)

Se X é tal que 1 X e se x s(n) X então X = .

"Seja p uma propriedade do conjunto

se 1 tem a propriedade p e

se n tem a propriedade p s(n) tem a propriedade p

e

ntão todo número natural tem a propriedade p".

Uma demonstração na qual se aplica o Axioma 3 é uma demonstração por Indução Finita.

Exemplo: Seja a sequência 1, 2, 3, 4, ..........

2

2

n +n Provar que: A soma dos n primeiro números da seaquência acima é igual .

2

n +n Ou seja que 1+2+3+4+..........+n = .

2

Hipótese:

2

2

2

1 +1 1 tem a propriedade p: p(1) = 1 (V).

2

2 +2 2 tem a propriedade p: p(2) = 3 (V). 1+2 = 3

2

n +n n tem a propriedade p: p(n) = .

2

2

Tese:

(n+1) +(n+1) n + 1 tem a propriedade p: p(n+1)=

2

Demonstração:



2

` ( )

2 2 2 2

n +n p(n+1) = 1+2+3+.........+n (n+1) = +(n+1)

2

n +n n +n +2(n+1) n +n +2n+2 n +2n +1 + n+1 p(n+1) = +(n+1) =

2 2 2 2

p(n+1) =

p n

2 2n +2n +1 + n+1 (n + 1) + (n +1) c.q.d.

2 2

1. Sejam a e b números naturais (a, b ).

a) Mostre pelo método direto que se a e b são naturais ímpares então a é impar e b é ímpar.

b) Mostre pe

Exercíci

lo métod

o Proposto 1

o indireto o

.09

teo

n

rema anterior..

2. Sejam a, b, c números naturais (a, b, c ).

Empregando o método direto ou indireto mostre que se a divide b e a divide c então a divide

3. Se A M (A é uma matriz quadrada de

n

n

ordem n e de números reais).

Sabemos que se A é uma matriz inversível então existe uma matriz B tal que A.B = I .

(I - matriz identidade de ordem n).

Mostre pelo método de redução ao absur

2

do que se a matriz A tem uma linha ou coluna

nula então a matriz A não é inversível.

4. Prove por Indução Finita que:

a) A soma dos n primeiros números ímpares naturais é n .

ou seja 1 + 3 2

2 2 2 2 2

+ 5 + .........+2n - 1 = n n *

n(n+1).(2n+1) b) A soma dos quadrados dos n primeios números naturais é

6

n(n+1).(2n+1) ou seja 1 + 2 + 3 + 4 +.........+n = , n *

6

c) 3 divide

3

3 3 3

n - n + 3 n *

d) 3 divide n + (n + 1) + (n + 2) n *



1 2Seja a Estrutura <E, , , ' , , onde E é um conjunto

, aqui representam operações em E

Álgebr

a Booleana

x x

1 2

1 2

' aqui representa uma lei complementar em E

, elementos de E

Dizemos que <E, , , ' , , é

x x

x x uma álgebra booleana se e somente se:

i) as duas operações representadas por , definidas em E são leis de composição interna;

(o conjunto E é dotado de duas operações que são leis

de composição interna)

x, y E: x y E e x, y E: x y E

( x operado com y tem como resultado um elemento de E)

ii) as duas operações representadas por , tem a pr

opriedade Associativa:

x, y, z E: x (y z) = (x y) z = x y z

x, y, z E: x (y z) = (x y) z = x y z

iii) a operação representada por

é distribuitiva em relação e a operação representada por

é distribuitiva em relação

x, y, z E: x (y z) = (x y) ( x z)

x, y, z E: x

(y z) = (x y) ( x z)

iv) as duas operações representadas por , tem a propriedade Comutativa:

x, y E: x y = y x

x, y E: x y = y x

v) as duas operações representadas por , tem a propriedade do elemento neutro:

x E; y E: x y = y (neste caso x é o neutro da operação )

1 2

a E; b E: a b = b (neste caso a é o neutro da operação )

os elementos , aqui representam os neutros das operações , respectivamente.

vi) É definida em E uma lei compl

x x

1 2

e .2 1

Complementar de x em

Dizemos que x' é o complementar de x em E

x x' = x x x' = x

Lei Complemenar em E

ementar.

<E, , , ' , ,

x x

' é uma lei complementar em E

x E, x'.

Exemplos:

a) <E, +, . , ', 0, 1> com as operações definidas pelas tabela abaixo e pela lei complementar:

0 ' = 1 (complementar de zer

o é um); 1 ' = 0 (complenmatar de um é zero) é uma álgebra

booleana.



+ 0 1 X 0 1

0 0 1 0 0 0

1 1 1 1 0 1

b) <E, mmc, mdc, ' , 1, 15> onde E = {1, 3, 5, 15}

15 Lei Complementar : x ' =

x

c) < (E), , , C , , E> onde E e C a lei complementar

é uma álgebra booleana.

1. Mostre que <E, mmc, mdc, ' , 1, 10> onde E = {1, 2, 5, 10} é uma álgebra booleana.

2. Escreva a comutatividade para mdc.

3. Escreva a assoc

Exerc

iativ

ício Proposto

idade para m

1.10

mc.

4. Escreva a distribuitividade de mmc em relação ao mdc.

5. Escreva a distribuitividade de mdc em relação ao mmc.

6. Escreva as leis de De Morgan para a álgebra do ítem 1.

7. Sabemos que < ( E), , , C , , E> onde E e C a lei complementar

é uma álgebra booleana. Escreva as leis de De Morgan.

8. Resolva as equações na álgebra dos divisores de 15:

a) mdc(15,5) ' = y

b) mdc[(3, mmc(5,15)] ' = x

c) mmc(5, mdc(1,5)) = z

10. Prove que:

a) x x = x.

b) Prove as lei de De Morgan (x y ) ' = x ' y ' e (x y ) ' = x ' y '

introduÇÃo Á lÓgica proposiÇÃo operaÇÕes lÓgicas ... · o estudo da lógica é o estudo...

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