introduction à l'optique ondulatoire - alain le...

IntroductionModélisation d'une source lumineuse

Propagation d'une onde monochromatiqueDivers types d'ondes lumineuses

Exercice

Introduction à l'optique ondulatoire

Optique

Saint Louis PC*1

année scolaire 2018-2019

Optique Introduction à l'optique ondulatoire



Exercice

ProblématiquePlan

Quelle est la dangerosité d'un faisceau laser ?




Exercice

ProblématiquePlan

1) modéliser une source lumineuse




Exercice

ProblématiquePlan

2) étudier la propagation d'une onde monochromatique




Exercice

ProblématiquePlan

3) modéliser diverses ondes lumineuses




Exercice

Modèle scalaire de la lumièreSpectre d'une source lumineuseModèle du train d'onde

Petit historique de la lumière

• au début du XIXième s., la lumière est une onde (Fresnel...) ;• dans la seconde partie du XIXième s., la lumière est une ondeélectromagnétique (Maxwell) ;

On faisait de l'optique ondulatoire avant de savoir de quel typed'onde il s'agissait !




Exercice


Modèle scalaire de la lumièreLe modèle scalaire de la lumière revient à dire que :

• la polarisation de la lumière n'est pas dé�nie ;• et le milieu est isotrope (il se comporte de la même manièrepour toutes les directions de polarisation).




Exercice


Vibration lumineuseSi ~u est un vecteur unitaire orthogonal à la direction de propagationde l'onde, on appelle "vibration lumineuse"

s (M, t) = α ~E · ~u

où α est une constante non dé�nie !NB : le champ magnétique B = E

c sera aussi proportionnel à s.




Exercice


Propriété de la vibration lumineuseSi N sources (numérotées k) créent, au point M, N vibrationslumineuses sk (M, t), la vibration lumineuse totale est la somme detoutes ces vibrations lumineuses :

s (M, t) =k=N∑k=1

sk (M, t)

(cela est dû à la linéarité des équations de Maxwell)




Exercice


Les récepteurs sont quadratiquesles récepteurs lumineux ont des temps de réponse τr très grandsdevant la période des ondes lumineuses dans le visibleT ∼ 10−15 s :

• pour l'÷il τr est de l'ordre de 0, 1 s ;• pour une photodiode, le temps de réponse est de 10−6 s ;• pour une pellicule photo, τr est de l'ordre de 10−1 s à 10−2 s, cequi correspond au temps d'exposition de la pellicule à la lumière.

Fondamentalement, le détecteur moyenne (sur une durée τr ) lesignal qui lui est envoyé.Les détecteurs lumineux font donc la moyenne du carré del'amplitude : ils sont quadratiques (en électrocinétique, on diraitqu'il s'agit en fait de faire une mesure "e�cace").




Exercice


Intensité lumineuse ou éclairement (dé�nition)L'intensité lumineuse (ou l'éclairement) estproportionnelle à la moyenne temporelle (sur un tempsτr ) du carré de la vibration lumineuse au point M :

I (M) = K⟨s2(M, t)

⟩τr

NB : on prendra souvent K = 1 ! Et ni s, ni I n'ontd'unités �xées, ce qui est assez inhabituel enphysique.




Exercice


Relativité de l'intensitécomme les récepteurs ne sont sensibles qu'aux variations relativesde l'éclairement (ou de l'intensité), peu importe la valeur e�ectivede cet éclairement, mais seulement les variations de celui-ci dans leplan d'observation.Ainsi, l'impression au point M sur une plaque photo, oul'éclairement au point M d'un écran, ou la réponse au point Md'un photodétecteur, est proportionnelle à l'intensité reçue au pointM. La constante de proportionnalité n'est pas accessible mais onpourra prendre une référence : par exemple, on pourra se référer àl'éclairement maximal sur l'écran.




Exercice


Spectre d'une source lumineuseL'intensité lumineuse est décomposable en intensité spectrale Iν :

I (M) =

∫ ∞ν=0

Iν (ν) dν

Le tracé de Iν(ν) est appelé spectre.On peut le réaliser expérimentalement grâce à un spectromètre.




Exercice


Sources lumineuses classiques et LASERcontrairement aux lasers, les sources classiques sont fondées surl'émission spontanée de lumière.Un laser est un appareil émettant de la lumière ampli�ée parémission stimulée. Le terme laser provient de l'acronymeanglo-américain �light ampli�cation by stimulated emission ofradiation� (en français : �ampli�cation de la lumière par émissionstimulée de radiation�).




Exercice


Spectre et transformée de FourierOn pourrait montrer que Iν = |s(M, ν)|2, où s(M, ν) est latransformée de Fourier de s(M, t) :

s(M, ν) =

∫ +∞

−∞s(M, t) e−2i π ν t dt




Exercice


Durée et longueur de cohérence temporelle

On admet que les propriétés de la transforme de Fourier nous donnent :




Exercice


Durée et longueur de cohérence temporelleUne source lumineuse a une largeur spectrale ∆ν telleque τc ∆ν ≈ 1 où

• τc est la durée ("durée de cohérence temporelle")de la vibration lumineuse émise par la source ;• et `c = c τc , la longueur de cohérence temporelle.




Exercice


Caractéristiques spectrales de quelques sources

source ∆λ ∆ν τc `c

laser HeNe 10−6 nm 104 Hz 10−6 s 100 m

raie spectrale Hg 1 nm 1012 Hz 10−12 s 0, 3 mm

lampe blanche 350 nm 3× 1014 Hz 3× 10−15 s 1 µm

Table � Quelques caractéristiques spectrales (largeur de raie ∆λ et ∆ν,durée de cohérence temporelle τc et longueur de cohérence temporelle`c = c τc) pour quelques sources lumineuses.




Exercice


Modèle du train d'ondeL'amplitude est "sinusoïdale par parties" :

...a(S , t) = a0 cos (ωt − φn) si t ∈ [n τc ; (n + 1) .τc [

a(S , t) = a0 cos (ωt − φn+1) si t ∈ [(n + 1) τc ; (n + 2) τc [...

où les phases à l'origine des dates φn, φn+1 sont constantes maisles trains d'onde sont aléatoires entre eux : la suite φn est une suitealéatoire.




Exercice


Modèle du train d'ondes

• en un endroit : "wagons" sinusoïdaux de durée τc dans letemps ;• à une date �xée : "wagons" sinusoïdaux de longueur `c dansl'espace.




Exercice

Propriétés des ondes monochromatiquesDéphasage et chemin optiqueSurfaces d'onde et théorème de Malus

Vibration lumineuse monochromatiqueAu point M repéré par le vecteur ~r =

−−→OM, à l'instant

t, la vibration lumineuse d'onde monochromatiques'écrit

s(M, t) = A(M) cos(ω t − ~k ·~r

)= A(M) cos (ω t − ϕ(M)) = Re(s)

avec la vibration complexe

s = A(M) exp [−i (ω t − ϕ(M))] = a(M) exp [−i ω t]

d'amplitude complexe

a(M) = A(M) exp [i ϕ(M)]




Exercice


Grandeurs temporelles d'une monochromatique : pulsation,fréquence, période

• ω : pulsation (en rad · s−1) ;• ν = ω

2π : fréquence (en Hz) ;• T = 1

ν = 2πω : période (en s).




Exercice


Grandeurs spatiales d'une onde monochromatique : vecteurd'onde, longueur d'onde, nombre d'onde

• ~k : vecteur d'onde (en rad ·m−1) ;• σ = ‖~k‖

2π : nombre d'onde (en m−1) ;• λ = 1

σ = 2π

‖~k‖: longueur d'onde (en m).




Exercice


Lien entre les grandeurs spatiales et temporellesDans un milieu d'indice optique n, l'onde lumineuse sepropage à la vitesse v = c

n :

k =2π

λ=ω

v=

2π n

λ0

où λ0 = cν est la longueur d'onde dans le vide.




Exercice


Retard dû à la propagationLe retard temporel dû à la propagation du signal d'un point Mjusqu'en un point N en ligne droite dans un milieu d'indice n est

∆t =MN

v= n

MN

c




Exercice


Chemin optique (dé�nition)Pour un milieu quelconque, on dé�nit le cheminoptique sur un rayon lumineux curviligne quelconquede A à B par

LAB = (AB) =

∫ B

An(P) ds(P)

où n(P) est l'indice optique au point P d'abscissecurviligne s(P).




Exercice


Chemin optique et retard de propagation

LAB = (AB) =

∫ tB

tA

n(P).v(P).dt =

∫ tB

tA

c.dt

d'oùLAB = (AB) = c . (tB − tA)

On peut donc interpréter le chemin optique comme le cheminparcouru dans le vide pendant la durée réelle mise pour aller de A àB dans le milieu d'indice n.




Exercice


Déphasage dû à la propagation d'une onde plane monochromatique

a(O, t) = a0. cos (ω.t − φ0)

On peut réécrire la vibration lumineuse en un point M :

a(M, t) = α a0. cos (ω (t − ∆t)− φ0)

où α prend en compte les éventuelles diminutions d'amplitude et

∆t =(OM)

c⇒ ∆ψO→M = ω∆t =

2π

λ0(SM)




Exercice


Déphasage dû à la propagation d'une onde planemonochromatiqueLe déphasage, lorsque l'onde se propage de Ojusqu'en M, est

∆ψO→M =2π

λ0(OM) + ϕsup

où λ0 est la longueur d'onde dans le vide de laradiation et on admet que ϕsup = π dans le cas :

• d'une ré�exion sur un métal (miroir) ;• d'une ré�exion d'un milieu d'indice n1, sur unmilieu d'indice plus élevé n2 > n1 ;• du passage par un point de convergence.




Exercice


Surfaces d'onde (dé�nition)on appelle surface d'onde d'une source S , à l'instantt, l'ensemble des points M de phase ∆ψS→M

constante. C'est l'ensemble des points M à égalchemin optique de la source S :

(SM) = constante




Exercice


Théorème de Malus(Idée de la démonstration, hors programme)

Les rayons lumineux sont les lignes de champ de ~ket les surfaces d'ondes sont les surface équi-ψ.En passant de z à z + dz, un déphasage est introduit, qui vaut

dψM→M′ =−−→gradψ ·

−→d` or

dψM→M′ =2π

λ0(MM′) + ϕsup = k dz = ~k ·

−→d`

Donc ~k =−−→gradψ.




Exercice


Théorème de MalusIl y a orthogonalité des rayons lumineux et dessurfaces d'ondes.




Exercice


Exemple d'application du théorème de Malus

Comme H est le projeté orthogonal de S1 sur le rayon issus de S2,H et S1 sont dans le même plan d'onde.Ainsi, (S1M) = (HM) d'après le théorème de Malus.




Exercice

Ondes sphériques et ondes planesFaisceau gaussien d'un LASERE�et d'une lentille convergente sur le faisceau d'un LASER

Onde sphérique

une onde sphérique issue d'un point S. Les trois points M1, M2 etM3 sont situés sur trois rayons lumineux di�érents mais sur lamême surface d'onde.




Exercice


Onde plane

une onde plane issue d'un point à l'in�ni. Les trois points M1, M2

et M3 sont situés sur trois rayons lumineux di�érents mais sur lamême surface d'onde.




Exercice


Stigmatisme

deux points appartenant à la même surface d'onde de la source A (ou A′ par

principe du retour inverse de la lumière) sont à même chemin optique de A (ou de

A′).




Exercice


Stigmatisme

(AA′) = constant si A est conjugué avec A′




Exercice


Stigmatisme dans le cas d'une lentille convergente

le stigmatisme dans le cas où deux points sont conjugués grâce àune lentille convergente. Cela illustre la conservation du cheminoptique entre deux points conjugués.




Exercice


Vibration lumineuse gaussienne d'un LASEROn admet que, sous certaines conditions, la vibration lumineuseémise par un laser est du type (dit "gaussien fondamental") est, encoordonnées cylindriques (r , θ, z) :

s (r , z , t) = A0

w0

w(z)e− r2

w(z)2 e−i (ω t−ϕ(z))

où la taille du faisceau à l'abscisse z est :

w(z) = w0

√1 +

(z

zR

)2




Exercice


Caractéristiques du faisceau gaussien d'unLASER (dé�nition)Le faisceau gaussien d'un laser est caractérisé par :

• sa taille minimale (ou "waist") notée w0,• sa longueur de Rayleigh notée zR ,• son ouverture angulaire θ = λ

πw0= w0

zR.




Exercice


Paramètres du faisceau gaussien d'un laser

w0 et zR font varier l'angle d'ouverture du faisceau conique àgrande distance.




Exercice


Faisceau gaussien d'un laser

z

extension du faisceau laser

zRw0 θ

faisceau coniqueonde sphérique

faisceau coniqueonde sphérique

faisceau cylindriqueonde plane




Exercice


Comportements du faisceau à courte et longue distanceLa limite de di�raction due à l'ouverture w0 donne θ = λ

π w0.

D'autre part, si z � zR ,

w(z) ≈ w0z

zR⇒ θ =

w(z)

z=

w0

zR

A courte distance, au contraire, w(z) ≈ w0.




Exercice


Comportements du faisceau à courte et longuedistanceOn retiendra que :

• pour |z | < zR , l'onde laser est quasi plane limitée,et le faisceau cylindrique de largeur w0,• pour |z | � zR , l'onde laser est quasi sphériquelimitée (de centre O), et le faisceau coniqued'ouverture angulaire θ = λ

πw0= w0

zR.




Exercice


Évolution de l'éclairement dans un plantransverse à la propagation (exercice)� En admettant que la vibration lumineuse émise parun laser est :

A (r , z , t) = A0

w0

w(z)e− r2

w(z)2 e−i (ω t−ϕ(z))

déterminer l'évolution de l'éclairement I (r , z) dans unplan transverse z à la propagation.




Exercice


Évolution de l'éclairement dans un plan transverse à la propagation (exercice)

� Comme I = k |A (r, z, t) |2, on trouve

I (r, z, t) = I0

w0

w(z)e− r2

w(z)2

2

= I0

(w0

w(z)

)2

e−2 r2

w(z)2

soit

I (r, z, t) = I0

w0

w(z)e− r2

w(z)2

2

= I01

1 +(

zzR

)2

e

−2 r2

w0

(1+

(zzR

)2)




Exercice


Focalisation du faisceau gaussien d'un laser

z ′R

w ′0θ′

w0

F'




Exercice


Extension de la tache de focalisation d'un laserUn faisceau laser de caractéristiques w0 et zR incident sur une lentille convergentede focale f ′ est transformé en faisceau laser de caractéristiques w′

0et z′R .

Le schéma montre que θ′ =w0f ′ . Or d'autre part, θ′ = λ

π w′0

=w′0

z′R. Aussi,

w0f ′ = λ

π w′0

, soit w′0

= λ f ′π w0

. Comme l'ouverture de la lentille est w0 < f ′, on

trouve w′0> λ.




Exercice


Extension de la tache de focalisation d'un laserLa tache de focalisation d'un laser est au moins del'ordre de la longueur d'onde : w ′0 > λ.




Exercice


Évolution des capacités de stockage des disques optiques

disque optique année λ couleur capacité

CD 1982 780 nm IR 0, 8 Go

DVD 1997 650 nm rouge 8 Go

blu-Ray 2006 405 nm bleu 100 Go

Table � évolution des disques optiques




Exercice


Conjugaison et faisceau gaussien d'un laser

zRw0 θ −z ′R w ′0θ′

A A'




Exercice


Réduction de la divergence du faisceau d'unLASER grâce à un un élargisseur de faisceau.(exercice)� On s'intéresse à un faisceau laser de longueurd'onde λ, de waist w0. Déterminer son angle dedivergence θ à longue distance.� Le faisceau encore cylindrique est incident sur unelentille convergente L1 de focale f ′1 . Déterminer alorsl'angle θ′ du faisceau après la lentille L1.� Le faisceau divergent du laser su�samment loin deL1 est incident sur une lentille convergente L2 defocale f ′2 . Déterminer le waist w0” du faisceauémergent de L2.

� Montrer qu'un choix astucieux def ′2f ′1

permet de

conférer au faisceau laser émergent de L2 un angle dedivergence à longue distance θ”� θ.




Exercice


Réduction de la divergence du faisceau d'un LASER grâce à un un élargisseur defaisceau. (exercice)� L'angle de divergence à longue distance est θ = λ

π w0.

� Après la lentille L1, θ′ =

w0f ′1

.

� Le faisceau est incident sur la lentille L2 avec l'angle θ′ =w0f ′1

qui est aussi

θ′ =w0”

f ′2

.

� L' angle de divergence à longue distance après L2 est θ” = λπ w0”

. Or les

précédentes relations ont montré quew0f ′1

= θ′ =w0”

f ′2

. Aussi,

θ” =λ

π w0”=

f ′1

f ′2

λ

π w0� θ ⇔ f ′

1� f ′

2




Exercice


Élargisseur de faisceau d'un laser

w ′0θ′w0

w0”L1

L2

F ′1

F2




Exercice

Quelle est la dangerosité d'un pointeur laser ?




Exercice


article paru dans "le �garo" le 03/12/2014, disponible à l'adressehttp://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/

23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

"En apparence ino�ensifs, les pointeurs laser, principalement utilisésnotamment dans les conférences pour désigner des informations surun tableau, peuvent causer des dommages très importants lorsqu'ilssont dirigés vers les yeux. [...]En France, seuls les lasers dont la puissance ne dépasse pas 1 mW(classe 1 et 2) sont autorisés à la vente. Mais il est très facile de seprocurer sur Internet des modèles beaucoup plus puissants, decatégories 3 et 4, normalement réservés à un usage professionnel.Selon le Pr Renard, "les plus dangereux sont ceux qui émettentdans la couleur verte, avec une puissance pouvant aller jusqu'à 1500mW. Projetée pendant quelques instants à courte distance sur l'÷il,la lumière peut brûler la rétine et laisser des séquelles irréversibles".


http://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.

http://sante.lefigaro.fr/actualite/2014/12/03/23127-gare-danger-pointeurs-lasers-pour-yeux.



Exercice


1) Estimer la puissance surfacique du faisceau d'un pointeur laserreçu par un joueur sur un terrain de football.




Exercice


1) Il faut estimer la distance ` ≈ 50 m ;savoir si on est en modélisation cylindriqueou conique.


introduction à l'optique ondulatoire - alain le...

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