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1
Introduction à la géostatistique
Avril 2006
2
Point de vue de la géostat
Gisement
Z(x1)
Z(x2)
Z(x3)
Gisement => infinité de points ou très grand nombre de « quasi-points »x : emplacement géographiquechaque point -> teneur -> Z(x)chaque teneur -> v. a. (ensemble forme une fonction aléatoire (de x))
3
Historique de la géostatistique
� 1930-1950 Théorie des fonctions aléatoires (Kolmogorov, Wiener)
� 1955 Daniel Krige : approche empirique (régression) pour corriger problèmes de biais conditionnel observé dans les mines
Pourquoi moins que prévu ?
Comment prévoir et tenir compte de l’effet support ?
� 1960-1970 Matheron (mines), Matern (foresterie), Gandin (météorologie) développent ensemble d’outils => naissance de la géostat linéaire stationnaire. Réponse aux questions de Krige.
Matheron donne le nom de « krigeage » à la méthode d’estimation qu’il développe.
� 1970 Polytechnique est la 1ère Université en A. du N. à enseigner la géostat (M. David)
4
Historique (suite)
� 1973 géostat linéaire non-stationnaire *� 1975 géostat non-linéaire� 1977 1er livre en anglais de géostat (M. David)� 1980 géostat linéaire multivariable *� 1985 simulations *
* Domaines encore actifs de recherche
� Aujourd’hui, la géostat est appliquée dans une foule de domaines (mines, pétrole, foresterie, agriculture, environnement, hydrogéologie, géotechnique, pêches, biologie, biomédical,…)
Gisement
Z(x1)
Z(x2)
Z(x1)
Z(x2)
Diagramme de dispersion
Moyenne ? Variance ? Covariance?
+ hypothèse stationnarité
Gisement
h
hh
h h
« h scattergram »
Z(x)
Z(x+h)
6
Faire varier « h »
Gisement
h1
h1h1
h1 h1
« h1 scattergram »
Z(x)
Z(x+h)
« h2 scattergram »
Z(x)
Z(x+h)
Gisement
h2
h2
7
« h » peut varier en direction et en module.
|h| =1
Z(x)
Z(x+h)
|h| =2
Z(x)
Z(x+h)
|h| =2
Z(x)
Z(x+h)
|h| Cov
On cherche si possible avoir au moins 30 points sur chaque diagramme
-Tolérance sur la direction
-Tolérance sur le module
8
Exemple
9
Avec tolérance de 0.5 sur |h| et 15o sur direction
10
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=3 dir=0-180, Cov = 0.17
Z(x
+h)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=8 dir=0-180, Cov = 0.085
Z(x
+h)
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.5
0
0.5
1h=15 dir=0-180, Cov = -0.029
Z(x)
Z(x
+h)
2 4 6 8 10 12 14 16-0.05
0
0.05
0.1
0.15
0.2Fonction de covariance
h ±0.5 θ=0 ou 180 ±15o
Cov
aria
nce
En pratique, on ne s’intéresse qu’à la covariance (corrélation)
11
-1 -0.5 0 0.5 1-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1h=3 dir=0-180, Cov = 0.16
Z(x
+h)
Le variogramme
Mesure la dispersion sur cette droite
12
[ ] ( )[ ]2h)+Z(x-Z(x)E
2
1h)+Z(x-Z(x)Var
2
1 = (h) =γ
Variogramme : définition
DécroîtCroîth
Doit exister = Cov(h=0)Si existe = palier Var
Constante connueConstantem
CovarianceVariogramme
13
Lien entre variogramme et covariance
)h(Cov)h( 2 −σ=γ
Covariance
Variogramme
h
14
Variogramme expérimental
Choisir une direction + tolérance angulaire
Discrétiser |h| en classes distinctes
Répartir les paires dans les classes
[ ]∑=
γ)h(N
iiie h)+x Z(- )xZ(
N(h) 2
1 = (h)
1
2
N(h) : nombre de paires dans la direction considéré et dans la classe de distance h
Exemple
1234321
1.3334
2.543
1.652
0.561
γ(h)N(h)h
h=1
4213231
0.8334
1.12543
1.252
1.2561
γ(h)N(h)h
0 1 2 3 4 50
0 . 5
1
1 . 5
2
2 . 5
3
0 1 2 3 4 50
0 .5
1
1 .5
2
2 .5
3
16
Le variogramme décrit la continuité spatiale du phénomène
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
0o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
45o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
90o
0 5 10 15 20 250
0.5
1
1.5
2
135o
17
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
N0 5 10 15 20 25
0
1000
2000
30000o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000135o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
300090o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
300045o
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
+
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
=
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
40000o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
4000135o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
400090o
0 5 10 15 20 250
1000
2000
3000
400045o
Effet pépite causé par le bruit ajoutéNotez comme la structure sous-jacentedemeure très visible
50 100 150 200
-2
0
2
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
g(h)
Variogramme
50 100 150 200
-2
0
2
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
g(h)
Variogramme
50 100 150 200
-2
0
2
x
Z
donnees
0 50 1000
0.5
1
1.5
2
h
g(h)
Variogramme
3 exmples en 1D
20
Le variogramme est une statistique d’ordre 2
Ce n’est pas suffisant pour caractériser tous les aspects d’une
image ou d’un processus
e.g. on peut créer plusieurs images ayant même « m », même
variogramme et présentant pourtant des textures très différentes
21
γ(h)
|h|h moyen dans
la classe
?
?
?
Dans les calculs géostat, on doit connaître Cov ou γ pour tout « h »
Modèle
Variogramme expérimental
22
γ(h)
|h|
?
Non, le modèle doit être admissible
Modèle admissible : modèle assurant que toute variance calculée à partir de celui-ci est positive
Modèles démontrés admissibles
23
γ(h)
|h|
+ +
+ + ++
+
Effet de pépite : C0
Portée : a
Palier : σσσσ2222 = C0 + C
Généralement,
24
0 50 100 150 2000
0.5
1
Gaussien
0 50 100 150 2000
1
2
Linéaire
0 50 100 150 2000
0.5
1
Linéaire avec palier
0 50 100 150 2000
1
2
3
Fractal avec b=1.5
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
Fractal avec b=0.5
0 50 100 150 2000
2
4
6
DeWijsien
0 50 100 150 2000
1
2
Effet de trou cosinus
0 50 100 150 2000
0.5
1
1.5
Effet de trou sinus
Exemples de modèle
0 50 100 150 2000
0.5
1
Pépite
0 50 100 150 2000
0.5
1
Exponentiel
0 50 100 150 2000
0.5
1
Sphérique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Circulaire
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Gravimétrique
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Magnétique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Cubique
0 50 100 150 2000
0.5
1
Penta-sphérique (Christakos, 1984 p.264)
25
0 50 100 150 2000
0.5
1
Quadratique (Alfaro, 1984)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Stable (Lantuéjoul,1994)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Hyperbolique (Lantuéjoul, 1994)
0 500 1000 15000
0.5
1
BK Matern, p.30, 4e, s=2
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Christakos,1984, p.261
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Christakos, 1984, p.262
0 50 100 150 2000
0.5
1
Christakos, 1984, p.262 (74)
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Cosinus hyperbolique
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Stein
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Whittle
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Matern p.30, 2e, n=1
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Matern p.30, 2e, n=3
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
1.5
BJ Matern p.30, 3e, k=0
0 500 1000 15000
0.5
1
BJ Matern p.30, 3e, k=1
0 500 1000 15000
0.5
1
BJ Matern p.30, 3e, k=2
0 100 200 300 400 5000
0.5
1
Bessel 2: Mantoglou et Wilson
26
Toute somme (coefficients positifs) de modèles de variogramme est admissible
Toute somme (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible
Tout produit (coefficients positifs) de modèles de covariance est admissible
Chaque modèle peut être isotrope ou anisotrope, les directions d’anisotropie peuvent varier d’un modèle à l’autre
Un modèle peut être admissible en 1D et non-admissible en en 2D, 3D,….
27
Modèles de base en mine
Effet de pépite
h
γ (h)
0h si C
0h si 0)h(
0 >
==γ
-Erreurs de mesure
-Erreurs de localisation
-Erreurs d’analyse (Gy)
-Microstructure non-identifiable dû au manque de données
Presque toujours présent mais
rarement seul
Effet de pépite pur =>
estimation impossible
28
Sphérique
h
γ (h)
≥
<<
−
=
=γ
ah si C
ah0 si a
h5.0
a
h1.5C
0h si 0
)h(
3
Modèle le + fréquent
e.g. teneur, épaisseur, …
Combiné avec effet pépite
29
Exponentiel
h
γ (h)
−−
−−=γ
a
|h|3exp1Cou
'a
|h|exp1C)h(
a: portée effective γ(h)=0.95*C
a’=a/3
Assez commun
Semblable au sphérique
30
Gaussien
h
γ (h)
−−
−−=γ
22
a
|h|3exp1Cou
'a
|h|exp1C)h(
a: portée effective γ(h)=0.95*C
a’=a/30.5
-Peu fréquent en mine-Variables très continues :e.g. topographie, gravimétrie, magnétisme,épaisseur,…- Problèmes numériques si absence d’effet de pépite
31
hb
h
γ (h)
b=1b=1.4b=0.6
2b0 0,|h| a
|h|C)h(
b
<≤>
=γ
-Modèles sans palier
-Moyenne, variance et covariance non définies
32
Anisotropies
1- Géométrique : les portées décrivent une ellipse
agap
θ
{ }
aa a
a a
g p
p g
θ
θ θ=
+2 2 2 2 1 2
cos sin/
θ = 0
θ = 30
θ = 45θ = 60
θ = 90
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
0.5
1
1.5
2
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
M o d . a n i s o . 2 D : t y p e , a x a y , r o t ( t r i g o ) , c
3 7 7 0 0 . 5
3 1 7 1 . 0 4 9 e + 0 0 9 4 5 1 . 5
3 - g a u s s i e n
3 - g a u s s i e n
Gaussien isotrope a=7, C=0.5+
Gaussien aniso géom.a45=17a135=∞
2- zonale : toute anisotropie qui n’est pas géométrique
=> somme de composantes isotropes et avec anisotropies géométriques
5 10 15 20 25 30
5
10
15
20
25
30
Ajustement assez bon pour 0-5 pixels dans toutes les directions
34
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 5 10 15 200
1000
2000
3000Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
0o 135o 90o
450
10 20 30 40 50
10
20
30
40
50
60
N
Modèle sphérique avec anisotropie géométriquea(45)=20.4, a(135)=13.8
Oh non, je ne vais pas encore
me faire variographer!
35
Stratégie de modélisation� Définition minutieuse du domaine
� Examen des données, données extrêmes ?
� Au besoin sous-échantillonnage des données pour éviter de sur-représenter des zones particulières
� Variogramme omnidirectionnel => modèle isotrope candidat� Déterminer directions géologiques principales
� Calculer variogrammes directionnels (au moins 4 directions) attention aux
paramètres de calculs (classes de distance et tolérance)
� Comparer variogrammes directionnels au modèle isotrope candidat � acceptable => terminé� Inacceptable => ajuster un modèle anisotrope (géométrique)
� anisotrope (géométrique) acceptable => terminé� Inacceptable => anisotropie zonale ?
Dans tous les cas, il importe surtout d’ajuster les premiers points du variogrammeÉviter de « surajuster » les données
36
Remarques concernant le calcul des variogrammes
Objectifs:
� au moins 30 paires pour la plupart des points du variogramme
� 4-6 points avant le palier pour pouvoir ajuster modèle� h < hmax/2
• Doit avoir un minimum de données
>30 pour variogramme omnidirectionnel>60 pour variogrammes directionnels
• Influence le choix de largeur des classes
0 10 20 30 40 500
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
γ(h)
Exemple
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
Variog. directionnels
Variog. omni
50 100 150 200
20
40
60
80
100
120
140
160
180
200
38
0 50 100 1500
0.5
1
1.5
14
38
52 78
64 76
46
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
γ(h)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
0 20 40 600
0.5
1
1.5
16
38 59
70 89 105
137
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
hγ(
h)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
0 20 40 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
51
164 273
341 459 522 593 615 721
769
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,90)
h
γ(h)
-100 -50 0 50 100-100
-50
0
50
100
N=30 N=60 N=200
Effet de pépite apparent
0 20 40 600
0.5
1
15 39
66
89 126
159 156 154
161 212
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
14
46
62
79 121 113 149
147 181
174
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
5
39 72
82
96 139 152
171
172
200
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
17
40 73
91
116
111 136
143 207 183
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,22.5)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (0,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (45,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (90,0,0)
h
γ(h)
0 20 40 600
0.5
1
Vario. exp. (dir, dip, vreg) : (135,0,0)
h
γ(h)
N=40000 N=200
Ajustement ± bon; ne peut être amélioré sans altérer les autres ajustements
40
Autres outils utiles
-Validation croisée de modèles candidats (krigeage); eg. Tester un modèle
isotrope vs anisotrope; tester un effet de pépite de 10% vs 30%;…
-Modèle permet de prédire les variances des composites de tailles différentes ?
-Modèle permet de prédire les variances des valeurs krigées ?
-Variogramme des log(teneurs) pour identifier les anisotropies possibles, la
(les) portée, l’importance approximative de l’effet de pépite
-Variogramme d’une transformation des teneurs (eg. rang), même chose que
les log