introduccion al diseño de maquinas electricas

Introduccin al Diseo de Mquinas Elctricas. Versin 1.1

Juan A. Tapia

Universidad de ConcepcinFacultad de Ingeniera Depto Ingeniera Elctrica

Introduccin al Diseo de Mquinas ElctricasApuntes de Clases Juan A. Tapia (Ph.D.)2003

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Captulo 1INTRODUCCIN: CONCEPTOS GENERALES1.1 Generalidades del Diseo de Mquinas Elctricas.El diseo de mquinas elctricas es ambos: un arte y una ciencia. La cantidad de factores que afectan y estn envueltos en el proceso de diseo no hace posible trabajar utilizando procedimientos rgidos. Cualquier diseo debe estar sujeto a un gran nmero de requerimientos muchas veces contradictorios entre si, por lo que la solucin normalmente no es nica. Diseos para una misma especificacin pueden diferir en resultados debido al diferente nfasis puesto a cada uno de los requerimientos. El diseo, por naturaleza, es un proceso iterativo. Esto es, el procedimiento de diseo debe ser repetido de manera de obtener una deseada solucin. Por ejemplo, en el diseo de un motor para una potencia dada, valores iniciales estimados deben considerarse para la eficiencia. Cuando el proceso es completado, esta condicin debe ser chequeada, si el valor obtenido no concuerda con el valor estimado con cierta tolerancia, los valores iniciales y/o parte del procedimiento deben ser ajustados, repitiendo el proceso. Estas iteraciones pueden involucrar la optimizacin de otras partes del diseo. Como el diseador gana experiencia, se hace ms sensible a este proceso, haciendo que sea ms rpido, generalmente debido a que las condiciones iniciales son ms razonables o ajustadas a las capacidades tcnicas. La ayuda de la simulacin digital mejora grandemente este proceso. Tcnicas de modelacin, optimizacin y visualizacin facilitan la tarea consiguiendo prototipos ms cercanos a los especificados. En las ultimas dcadas un sin nmero de avances tecnolgicos ha dado un nuevo impulso a la investigacin en el diseo de mquinas elctricas. En el rea de los materiales la aparicin en el mercado de los Imanes Permanente (IP) de gran remanencia y coercitividad, que pueden soportar intensos campos desmagnetizantes permiten su utilizacin en mquinas elctricas permitiendo elevar su eficiencia y densidad de potencia (kW/m3). Asimismo, superconductores de alta temperatura, materiales aislantes capaces de soportar elevadas temperaturas, materiales amorfos de bajas prdidas en el ncleo, etc. En el rea de la electrnica de potencia para el desarrollo de accionamiento de velocidad variable (variable speed drives) permite una mejor operacin del conjunto motor-convertidor que elevan los rangos de velocidad y potencia. Nuevas estrategias de control que permiten controlar independientemente velocidad y torque sin necesidad de sensores, han creado un amplio campo para el diseo de nuevas estructura magnticas de conversin electromecnica. Por otro lado, un sin numero de nuevas posibilidades como la robtica y el control de movimiento, aplicaciones automotrices y traccin con aplicaciones de alto torque y ausencia de cajas de engranajes, accionamientos navales de bajo ruido, bienes de consumo y computacin; exigen alto rendimiento y diseo compacto. Un ejemplo de la expansin de las mquinas elctricas en la industria automotriz es mostrado en la figura 1.1.

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Figura 1.1 Aplicaciones de mquinas elctricas en la industria automotriz

1.2 Factores que afectan en el DiseoHay una serie de factores que afectan el diseo de una mquina, ellos pueden ser clasificados como sigue

1.2.1 Factores EconmicosEn muchos casos este es la consideracin econmica es la mas importante. Ante el igual peso de otros factores, el costo decidir cual es la mquina que finalmente ser construida. Para que un diseo sea competitivo, la cantidad de material utilizado as como tambin el costo asociado a la manufactura deben ser mnimos. El diseo de una mquina debe ser compatible con el equipamiento disponible para su fabricacin y ensamble, stock de materiales y no debe involucrar excesivo tiempo o complejos procedimientos que eleven el costo. Mejores desempeos de un diseo suelen ir acompaados a mayores costo de fabricacin, sin embargo el mejor diseo es aquel que combina el costo inicial de manufactura y de operacin (prdidas y mantencin) a lo largo de su vida til, tal que el total sea mnimo. El aumento del costo de la energa elctrica ha trado a la discusin el compromiso que existe entre el costo inicial y los costos de operacin de la mquina llevando conceptos como la eficiencia y densidad de energa nuevamente como objetivos de diseo.

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1.2.2 Materiales.Las limitaciones tcnicas y econmicas impuestas por los materiales, generalmente determinan el desempeo y las dimensiones de la mquina. Grande progresos tecnolgicos se han hecho en el rea de los materiales magnticos y aislantes. Estos nuevos materiales han tenido dramticos efectos en el diseo de mquinas, por ejemplo los imanes permanentes. Todo ello lleva a ampliar las posibilidades de topologas, aumentar los kW/m3, la eficiencia y confiabilidad

1.2.3 EspecificacionesEl diseo, el desempeo y los materiales utilizados en la fabricacin estn sujetos a las especificaciones de cuerpos normalizadores (IEEE u otro organismo). NEMA (National Electrical Manufacturers Association) establece estndares para tamaos (frame), desempeo y prueba de mquinas CA y CCs de potencias desde 1 hasta 450 HP. Adems, estndares individuales de proveedores de materiales son restricciones a los cuales se debe regir el diseo de una mquina. Entre ellos, el dimetro de los conductores y el espesor de la aislacin, asimismo el fierro magntico, entre otros, son valores que se encuentran estandarizados. Salir de estas normas implica un aumento en el costo debido al ajuste especial de las lneas de produccin para obtener la dimensin requeridas por el diseador.

1.2.4 Factores EspecialesEn algunas aplicaciones especficas, consideraciones especiales pueden sobrepasar todos los factores ya mencionados. Por ejemplo, el diseo de generadores aeronuticos requiere que la mquina tenga el mnimo peso, pero con mxima confiabilidad. En aplicaciones automotrices el nfasis es en la confiabilidad y fcil servicio. Para aplicaciones en equipos de oficina, se requiere el mnimo de ruido y peso. Asimismo, cuando la mquina va a ser utilizada para mover cargas de gran inercia, es requerido que el torque de partida sea la consideracin que se imponga en el diseo.

1.3 reas que Involucra el Diseo de una Mquina ElctricaPara un apropiado diseo de una mquina elctrica, conceptualmente se deben considerar cinco mbitos: elctrico, magntico, aislacin, trmico y mecnico.

1.3.1 ElctricaDe manera de hacer compatible la mquina con la fuente de energa: el voltaje, frecuencia y nmero de fases deben ser especificados. Adems, un factor de potencia razonable a plena carga tambin puede ser especificado. A partir de esta informacin el diseador debe decidir el tipo de conexin, tipo de bobinados y sus parmetros. Igualmente la densidad de corriente y las prdidas asociadas.

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1.3.2 MagnticasDentro de esta categora deben establecerse las densidades de flujo mxima en los dientes y ncleos de la mquina, con ellos las perdidas en el fierro pueden ser calculadas. Asimismo, el efecto de la saturacin, clculo de las corrientes de magnetizacin e inductancias de dispersin o fuga, la determinacin de la geometra de las ranuras y dientes, clculo de los efectos de las armnicas. Estimacin de las prdidas de vaco y torque pulsantes.

1.3.3 DielctricasLa influencia de los campos elctricos tiene tambin un efecto importante en el diseo de la mquina. Consideraciones acerca del espesor de la aislacin entre: hebras de conductores, entre las bobinas y entre bobina y el fierro que permitan resistir el voltaje nominal de operacin, as como los sobrevoltajes producidos por accin de fenmenos externos a la mquina. Adems, el apropiado cableado de los bobinados hacia el exterior y la adecuada seleccin del tipo de terminales imponen restricciones al diseo.

1.3.4 TrmicasEl calor producido dentro de la mquina producto de las prdidas tanto en el cobre como en el fierro, sin la adecuada ventilacin, provocara en el tiempo la destruccin de la misma. La transferencia de calor desde el interior, aunque este tema es un asunto ms mecnico que elctrico, reviste inters de no menor importancia desde el punto de vista del diseo. Consideraciones que involucran la seleccin del sistema de refrigeracin (aire, agua, hidrogeno), la seleccin del espaciamiento y tamao de los ductos, clculo del aumento de temperatura, entre otros afectan las decisiones de diseo.

1.3.5 MecnicasLas mayores consideraciones de tipo mecnicas que afectan al diseo de una mquina elctrica son el clculo de la velocidad crtica de rotacin (o traslacin), modos de vibracin acstica, esfuerzos mecnicos sobre el eje durante la operacin normal y sobre velocidades, determinacin del momento de inercia, clculo de las fuerzas sobre los bobinados, particularmente en la porcin de las cabezas de bobinas durante situaciones de cortocircuito. En la prctica todas y cada una de las consideraciones anteriores interactan, por lo que la experiencia juega un papel relevante en el momento de la toma de decisiones. Mucha de las observaciones no pueden ser simuladas o predichas sino hasta que la mquina esta construida. Esto hace del diseo una tarea estimulante y llena de desafos.

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1.4 Topologas de Mquinas Elctricas.1.4.1 Mecanismos de Generacin de TorqueAunque los principios generales para la obtencin de torque electromagntico en las mquina elctrica son los mismos, es decir, la interaccin de los campos magnticos de rotor y estator (torque de excitacin) y la tendencia de las estructuras magnticas de asumir la posicin de mnima energa (torque de reluctancia), la topologa de cada una varan de acuerdo al mecanismo que se desea privilegiar.

Figura 1.2. Regla de la mano derecha para motores.

Los dispositivos de conversin electromecnica cuyo principio de funcionamiento descansa en la generacin de torque de excitacin se basan en la fuerza, F, que aparece sobre conductores que conducen una corriente I en presencia de un campo magntico B, esto se exprese mediante la ecuacinF = Il B

(1.1)

donde l, es la porcin del conductor expuesta al campo magntico. La magnitud de la fuerza expresada por la ecuacin 1 esta dada porF = IlB sin

(1.2)

donde es el ngulo entre el vector que representa la direccin del flujo de corriente y la direccin del campo magntico. Se observa que para maximizar el aprovechamiento de ste principio, la geometra de una mquina elctrica deber ser tal que campo magntico y corriente sean mutuamente ortogonales, es decir =90. La Regla de la mano derecha, establece una regla nemotcnica para obtener la direccin de la fuerza como se indicada en la figura 1.2.

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Los dispositivos que basan su principio de funcionamiento en la generacin de torque de reluctancia descansan su operacin en la tendencia que tienen las estructuras magnticas de adquirir la posicin de mnima energa cuando son excitadas elctricamente, esto implica que la inductancia de estructura debe variar con la posicin. La figura 1.3a muestra la estructura de una mquina que posee una geometra tal que la inductancia del circuito magntico varia de acuerdo a la posicin del rotor segn muestra la figura 1.3b. El torque para este caso igual a la variacin de la coenerga, lo que resulta en

Tm =

1 L( x) 2 i 2

(1.3)

Las distintas posibilidades de arreglo, materiales y control de los elementos electromagnticamente activos ha dado origen a un sin nmero de mquinas que en su principio de funcionamiento son similares pero en su topologa, difieren. En el cuadro mostrado en la figura 1.4 se muestra un rbol genealgico de los motores elctricos, en l se presenta clasificacin en funcin del tipo de alimentacin tanto del estator y rotor.

(a)

(b) Figura 1.3. (a) Mquina de reluctancia variable.(b) Variacin de la inductancia respecto de la posicin del rotor

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Figura 1.4 rbol genealgico de los motores elctricos


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1.4.2 Topologa RadialEste tipo de configuracin se caracteriza por que la disposicin de las piezas hace que el flujo principal cruce el entrehierro en direccin radial (figura 1.5a). Tpicamente estas mquinas tienen geometra cilndrica, donde el rotor y estator son coaxiales. Debido a que el volumen de la mquina aumenta cuando el nmero de polos aumenta, su aplicacin esta orientada a alta velocidad (bajo nmero de polos). Es ampliamente utilizada en configuraciones donde el estator envuelve al rotor, proveyndola de una natural proteccin.

Flujo principal

(a) (b) Figura 1.5. (a) Configuracin de las mquinas de flujo radial, (b) Principales dimensiones en el diseo de una mquina de flujo radial

Las principales parmetros de diseo para esta configuracin son el largo axial y el dimetro exterior (Le, Do), figura 1.5b

1.4.3 Topologa AxialLa configuracin axial se caracteriza por que el flujo principal cruza el entrehierro en la misma direccin del eje de la mquina. Rotor y estator son del tipo sndwich y pueden ser ubicadas en secciones continuas compartiendo un mismo eje, de esta manera se eleva la densidad de energa de la mquina (figura 1.6). Por su geometra, diseos con un gran nmero de polos pueden ser construidas por lo que es posible la operacin a baja velocidad con un elevado torque.

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Flujo principal

Figura 1.6 . Configuracin de las mquinas de flujo axial

Las principales dimensiones de diseo son el dimetro externo e interno (Do, Di). Figura 1.7

Do

Di

Figura 1.7. Principales dimensiones en el diseo de una mquina de flujo axial

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1.4.4 Aplicaciones

Figura 1.8 Mquina con IP de polos consecuente

Figura 1.9 Mquina con IP tipo Toro de flujo axial

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Figura 1.10 Mquina de IPs, de flujo radial, bobinado toroidal y rotor doble desarrollada por Ronghai Qu

Figura 1.11.Mquina de Imanes Permanentes con flujo axial y corriente circunferencial desarrollada por Jian Luo

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Figura 1.12. Mquina con IP de doble saliencia

Figura 1.13. Mquina con IP de doble sapiencia y control de campo

Figura 1.14. Mquina con IP y puentes de flujo

Figura 1.15. Mquina de reluctancia y laminacin axial

Figura 1.16. Mquina hbrida :IP y de reluctancia propuesta por C. Chalmers

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1.5 Materiales Elctricos y Magnticos1.5.1 Materiales ConductoresLos requerimientos para los materiales conductores en la construccin de mquinas elctricas es tener la mayor conductividad posible y el menor coeficiente de temperatura. La variacin de la resistencia de acuerdo a la temperatura esta dada por la ecuacin 1.4, donde es el coeficiente de temperatura y T es la temperatura a la cual se desea evaluar la resistencia. Tambin es necesario tener una adecuada rigidez mecnica que permita su manufactura en alambres, bobinas y otras estructuras como colectores y anillos. Aunque los conductores utilizados en pequeos motores no se encuentran sujetos a grandes solicitaciones durante la operacin, el proceso de fabricacin de las bobinas y su insercin en las ranuras requieren que posean ciertas propiedades mecnicas. R(T)=R20C[1+ (T-20)] (1.4)

Debido a su alta conductividad elctrica y excelentes propiedades mecnicas, el cobre es ampliamente usado para la construccin de bobinados de motores. Conductores redondos con recubierto con barniz aislante son utilizado para pequeos mquinas elctricas. Conductores rectangulares no son normalmente utilizados en motores de bajo voltaje (hasta 500 V).Tabla 1.1.Propiedades del Cobre y Aluminio Cobre Aluminio Peso especfico (kg/m3) 8.89 2.70 1083 658 Punto de fusin (C) 1.17e-8 2.87e-8 Resistividad @ 20 C (m) 0.0039 0.004 Coeficiente de Temperatura () Coeficiente de Expansin lineal 17e-3 23e-3

Aluminio es ms liviano y barato que el cobre y tiene menor temperatura de fundicin (fcil de moldear), sin embargo su conductividad es solo un 60% de la conductividad del cobre y posee menor rigidez mecnica por lo que no puede ser manufacturado en delgados conductores. Principalmente es utilizado en la fabricacin de devanados tipo jaula para motores de induccin. Las propiedades elctricas del cobre y aluminio se resumen en la Tabla 1.2 Convencionalmente, los alambres cobre y aluminio estn especificados por la American Wire Gauge (AWG) o la britnica Standar Wire Gauge (SWG), sin embargo, actualmente existe una especificacin internacional establecida por la International Electrotechnical Comission (IEC 182-1). En la Tabla 1.1 esta incluida la transformacin del numero AWG a pulgadas y milmetros. Adicionalmente se muestra la resistencia en Ohm/m a 20 para cada conductor.

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Tabla 1. 3. AWG estndar Nmero [Inch] AWG 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 0.289 0.258 0.229 0.204 0.182 0.162 0.144 0.128 0.114 0.102 0.0907 0.0808 0.0720 0.0641 0.0571 0.0508 0.0453 0.0403 0.0359 0.0320 0.0285 0.0253 0.0226 0.0201 0.0179 0.0159 0.0142 0.0126 0.0113 0.0100 0.00893 0.00795 0.00708 0.00631 0.00562 0.00500 0.00445 0.00397 0.00353 0.00314 7.35 6.54 5.83 5.19 4.62 4.11 3.66 3.26 2.91 2.59 2.30 2.05 1.83 1.63 1.45 1.29 1.15 1.02 0.912 0.812 0.723 0.644 0.573 0.511 0.455 0.405 0.361 0.321 0.286 0.255 0.227 0.202 0.180 0.160 0.143 0.127 0.113 0.101 0.0897 0.0799 42.4 33.6 26.7 21.1 16.8 13.3 10.5 8.36 6.63 5.26 4.17 3.31 2.62 2.08 1.65 1.31 1.04 0.823 0.653 0.518 0.410 0.326 0.258 0.205 0.162 0.129 0.102 0.0810 0.0642 0.0509 0.0404 0.0320 0.0254 0.0201 0.0160 0.0127 0.0100 0.00797 0.00632 0.00501 [mm] [mm] Resistencia @20C [Ohm/m] 0.000407 0.000513 0.000647 0.000815 0.00103 0.00130 0.00163 0.00206 0.00260 0.00328 0.00413 0.00521 0.00657 0.00829 0.0104 0.0132 0.0166 0.0210 0.0264 0.0333 0.0420 0.0530 0.0668 0.0842 0.106 0.134 0.169 0.213 0.268 0.339 0.427 0.538 0.679 0.856 1.08 1.36 1.72 2.16 2.73 3.44

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1.5.2 Materiales aislantesLas mquinas elctricas son dispositivos de conversin de energa y durante el proceso este proceso cierto nivel de prdidas es inevitable. Perdidas ocurren primariamente en las piezas activas: fierro o prdidas en el ncleo en el circuito magntico y prdidas en el cobre en el circuito elctrico. La energa perdida dentro de la maquina es convertida en calor el cual causa a que la temperatura dentro de la mquina se eleve. Es por ello que las perdidas no son solo importantes desde el punto de vista de la eficiencia sino que tambin causan que la temperatura de los devanados aumente significativamente. La temperatura de las diferentes partes de la maquina esta determinada por la razn de produccin y disipacin de calor. La temperatura de estado estable es alcanzada cuando las dos razones son iguales. Reduciendo la carga elctrica y magntica las prdidas y el calor generado puede reducirse, sin embargo, esto no resulta rentable. El mejor diseo es aquel en que los materiales activos son utilizados a su nivel ptimo y cuando se provee un adecuado aislamiento y un sistema de refrigeracin. La temperatura en los distintos puntos de la mquina vara de acuerdo a los cambios de carga lo que produce que la aislacin se encuentre sujeta a estrs adicional. El diseo debe asegurar que la aislacin soportar los aumentos de temperatura bajo todas las condiciones de operacin. La importancia de la aislacin y ventilacin no debe ser menospreciada, la fallas en mquinas son predominantemente debido a estrs trmico. De acuerdo IEC, los materiales aislante estn divididos en siete clases (Y, A, E, B, F, H y C). Esta clasificacin es slo referida al lmite de temperatura, sin embargo en mquinas elctricas otras propiedades son necesarias, adems de la tolerancia a la temperatura. Capacidad de ser doblado y curvada, capacidad de ser impregnada y resistencia a la abrasin. Todas estas caractersticas sugieren una clasificacin mas elaborada, sin embargo esto conlleva a mayor confusin.

1.5.3 Materiales Magnticos y No-magnticosLa permeabilidad relativa define las propiedades magnticas de los materiales, es as como los diamagnticos tienen una permeabilidad relativa algo menor que uno, los paramagnticos, presentan permeabilidad relativa algo mayor que la unidad., mientras que en los ferromagnticos la permeabilidad es funcin de la intensidad de campo magntico aplicado, alcanzando en algunos casos 100.000. Una categorizacin menos delicada es aquella que divide a los materiales en magnticos: como el fierro y aleaciones de tierras raras (Imanes permanentes) y no-magnticos como el aire, el cobre, aluminio y algunas aleaciones de fierro. Una comparacin de la permeabilidad del fierro M-27 ESS y aire es presentada en la figura 1.17. A los materiales magnticos suaves empleados en mquinas elctricas, idealmente, se les exige tener una alta permeabilidad (para reducir la reluctancia del circuito magntico), alto nivel de saturacin (para minimizar el volumen y peso de las piezas de fierro) y tener bajas perdidas (las prdidas afectan la eficiencia y el aumento de temperatura). En la prctica, es

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imposible optimizar todos esos factores en un solo material, esto debido al gran numero de factores que afectan las propiedades magnticas (composicin qumica, tratamientos mecnicos y trmicos, etc.). El conflicto existente entre obtener bajas perdidas y alta permeabilidad como es ilustrado en la figura 1.18

Figura 1.17. Propiedades materiales magnticos y no magnticos.

La adicin de pequeos porcentajes de silicio a los fierros suaves mejora en varias veces sus cualidades: la resistividad se aumenta, la fuerza coercitiva disminuye considerablemente y la estabilidad de las propiedades magnticas se mantiene por mayor tiempo. Fierro con un 3% de silicio tiene cuatro veces mas resistividad que el fierro puro. Sin embargo, la presencia del semiconductor, resulta en una disminucin marginal de la densidad de flujo remanente. Una adicin de un 5% hace que el fierro sea quebradizo y extremadamente difcil de trabajar. Esto restringe a que el mximo contenido de silicio en los fierros comerciales sea de un 3.4% y una mnimo de alrededor 2.2% para fierros de grano orientado, debajo del cual adecuada orientacin no puede ser alcanzada. Un tipo especial de fierro obtenido a partir de la introduccin de silicio en el proceso de fabricacin es el fierro elctrico. ste tipo de fierro exhibe ciertas propiedades magnticas que lo hacen ideal para el uso en transformadores, generador y motores elctricos. Se distinguen dos tipos de este tipo de material: de grano orientado y grano no-orientado.

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Figura 1.18. Requerimientos para obtener bajas prdidas y alta permeabilidad en aleaciones Fe-Si

En el fierro de grano orientado, el grano es dirigido en la misma direccin de la laminacin permitiendo una fcil magnetizacin en esa direccin. Aunque su costo es mayor, su propiedad magntica direccional compensa su mayor valor en las menores prdidas durante la operacin de transformadores. El fierro de grano no-orientado, a diferencia del anterior no presenta una direccin preferencia de magnetizacin y su aplicacin es mayormente en aparatos rotatorios como motores elctrico.

1.5.4 Imanes PermanentesLos imanes permanentes son materiales que presentan un campo magntico remanente sin requerir energa externa luego de su magnetizacin inicial, esta caracterstica hace que estos materiales sean utilizados en una gran variedad de aplicaciones en especial la construccin de mquinas elctricas. Su evolucin ha sido creciente en los ltimos 50 aos, en cuanto a

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los grados de calidad de sus propiedades. Las investigaciones sobre la utilizacin de nuevos materiales, en la construccin de imanes permanentes, ha sido importante debido a que los dispositivos que los requieren deben ser ms compactos y de mayor eficiencia. El ordenamiento paralelo de los momentos magnticos atmicos, en la estructura cristalina, se extiende a un volumen limitado, pero ms bien indefinido del cristal ferromagntico. La razn de esta limitacin no se conoce por completo, pero se tienen evidencias experimentales que demuestran que, incluso cuando un cristal no est imanado en conjunto, existen en l regiones diminutas prximas entre s, llamadas dominios, que estn totalmente imanadas. Sin embargo, cada una de estas regiones tiene su momento magntico en una direccin diferente y la resultante de todos ellos, extendida a todo el cristal, es nula. La teora de los dominios ha sido demostrada mediante fotografas de materiales ferromagnticos, obtenidas a travs de microscopios electrnicos. Esta teora nos permite comprender los fenmenos ferromagnticos. En un material ferromagntico desmagnetizado, los dominios estn orientados en forma desordenada segn los seis sentidos, como se indica en la figura 1.19a, obtenindose un campo magntico resultante nulo. Cuando se aplica un campo magntico externo en uno de los seis sentidos, los dominios cuyos momentos magnticos tienen los otros cinco sentidos cambian su orientacin, de manera que quedan dirigidos en la direccin del campo aplicado, como se muestra en la figura 1.19b. Un hecho particular es la preferencia de ciertas direcciones de orientacin de los dominios, es decir, se obtiene mayor facilidad en orientarse en algunas direcciones ms que en otras, esta propiedad se conoce con el nombre de anisotropa de los materiales magnticos.

(a)

(b)

Figura 1.19 Estructura de un material ferromagntico: (a) dominios con erientacion aleatoria; (b) dominios alineados por la accin de un campo externo.

La caracterstica principal de los imanes permanentes, es que estn constituidos de manera que los momentos magnticos de sus dominios se pueden reorientar con relativa dificultad,

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por lo que requieren mayor energa para orientar sus dominios que los materiales ferromagnticos comunes. Para aumentar la fuerza coercitiva de los dominios se obtienen mezclas de materiales ferromagnticos con cermicas. Es as que cuando se magnetiza un imn permanente, este permanece con sus dominios alineados, sujetos por la estructura rgida de las cermicas. Tambin la estructura de los imanes permanentes hace que su magnetizacin inicial requiera la aplicacin de un intenso campo magntico. La dificultad de reorientacin de los dominios en los imanes permanentes se refleja en sus curvas de histresis, las que resultan ms amplias que en los materiales ferromagnticos comunes. En la figura 1.20 se muestra el lazo de histresis de un imn permanente contrastado con un lazo de histresis de un material ferromagntico comn.

Densidad de Flujo B

Lazo de Histresis de un Material Ferromagntico

BrLazo de Histresis de un Imn Permanente Curva de Magnetizacin Inicial

Hc

Intensidad de Campo Magntico H

Figura 1.20 Comparacin de lazos de histresis de un material ferromagntico comercial y de un imn permanente.

Los imanes permanentes poseen varias propiedades que son presentadas mediante tcnicas grficas debido a la no linealidad existente en la mayora de los materiales magnticos. En general los imanes permanentes son usados en el segundo y cuarto cuadrante. En estos cuadrantes la direccin de la intensidad de campo magntico H y la induccin magntica B son opuestas. En el segundo cuadrante la curva B-H es denominada Curva de Desmagnetizacin, figura 1.21. Las caractersticas magnticas en esta regin son llamadas caractersticas de desmagnetizacin. Los principales puntos relacionados con las caractersticas de desmagnetizacin son los siguientes:20


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i) Remanencia magntica: Cuando un imn ha sido magnetizado una vez, este permanecer magnetizado en forma permanente si su intensidad de campo magntico se disminuye a cero. La densidad de flujo magntico en este punto se denomina remanencia magntica y se designa por Br. ii) Fuerza coercitiva: Si la intensidad de campo magntico se incrementa en la polaridad opuesta a travs de la curva de desmagnetizacin y la densidad de flujo se hace cero, la intensidad de campo presente se denomina fuerza coercitiva y se designa Hc. iii) Producto de energa y producto de energa mximo: El valor absoluto del producto de la densidad de flujo B y la intensidad de campo H en cada punto a travs de la curva de desmagnetizacin se denomina producto energa. La figura 1.21 muestra el producto de energa como una funcin de la densidad de campo B, en el segundo cuadrante. El valor mximo del producto de energa es llamado el producto de energa mximo, y esta cantidad es uno de los ndices que indica la energa interna del imn, su unidad en el sistema MKS es J/m3. iv) Recta de carga y punto de operacin: El estado B-H de los imanes permanentes es localizado en la interseccin de la curva de desmagnetizacin y la recta de carga OP. La recta de carga es determinada desde las cantidades caractersticas de la estructura del circuito magntico: largo del entrehierro, largo del circuito magntico y nmero de vueltas de las bobinas. Durante la operacin, sin embargo, el punto de operacin es inclinado por la reaccin de las bobinas del circuito magntico, por ejemplo corriente de armadura en mquinas elctricas (fenmeno denominado reaccin de armadura).

Densidad de flujo BPunto de Operacin

P Br

Producto de Energa

Recta de Carga

B para (BxH)max

(BxH)max

HcIntensidad de Campo MagnticoH para (BxH)max

0

Producto de Energa

Figura 1.21 Curva de desmagnetizacin, producto de energa y recta de carga.

Otra caracterstica, no menos importante, para la especificacin de un imn permanente es la temperatura de Curie (Tc), que es la temperatura crtica sobre la cual un material ferromagntico se hace paramagntico. Tambin se especifica la mxima temperatura de21


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operacin recomendada que generalmente est muy por debajo de la temperatura de Curie del material. La Tabla 1.1.4 presenta las especificacion de un IP comercial.Tabla 1.4 Especificaciones de un IP comercial Densidad Remanente [T] Fuerza Coercitiva [KA/m] Producto energa [KJ/m3] Temperatura Curie [C] 1.02~1.06 740~796 199~214 80

1.6 Conceptos de ElectromagnetismosEl fenmeno electromagntico en mquinas elctricas esta descrito a travs de las ecuaciones de Maxwell. Estas relaciones generales son validad en cualquier instante de tiempo y en cada punto en el circuito magntico de la mquina. Sin embargo, dependiendo del medio en el cual el proceso de conversin electromecnica toma lugar, algunos fenmenos son ms acentuados que otros, por lo que se hace necesario simplificar o despreciar efectos menores de manera de reducir la complejidad del problema. Las mquinas elctricas son principalmente construidas y diseadas para utilizar el flujo magntico como vehculo de intercambio en el proceso de conversin de energa elctrica en energa mecnica y viceversa. En este sentido es importante revisar las principales relaciones del electromagnetismo clsico para determinar el rea de aplicacin y su relevancia relativa.

1.6.1 Relaciones Intensidad-FlujoLos dos vectores de intensidad: E, intensidad de campo elctrico y H intensidad de campo magntico, producen vectores de densidad de campo J, D y B, densidad de corriente, desplazamiento y densidad de flujo magntico respectivamente cuando son aplicados a un medio. Las relaciones entre los vectores de intensidad y la densidad de campo est definidos por los parmetros electromagnticos del medio: conductividad elctrica , constante dielctrica , y permeabilidad magntica de acuerdo a las siguientes expresiones: J=E D=E B=H (1.5) (1.6) (1.7)

Formalmente estos parmetros magnticos son tensores, esto es, causan un desplazamiento espacial entre los vectores intensidad y densidad de campo, sin embargo para un anlisis macroscpico, rara vez esta propiedad es necesaria y se asume que el material puede ser descrito mediante un valor escalar.22


Juan A. Tapia

La ecuacin 1.5, establece que la magnitud de la densidad de corriente J es proporcional a la magnitud del campo elctrico E, esta relacin es conocida como la relacin bsica de la ley de Ohm. Cuando la conductividad es independiente de la intensidad de campo elctrico la corriente, el medio se conoce como elctricamente lineal. Por el contrario, si existe una variacin de su valor de acuerdo a los valores de E o J, se dice entonces que es nolineal. Cuando un campo elctrico, E, es aplicado a un material aislante, es creada una densidad de flujo elctrico D, la relacin de proporcionalidad entre estos vectores esta dada por la ecuacin 1.6. La constate dielctrica , es igual al producto del valor de la constante dielctrica de espacio libre o y la relativa r. = o r

(1.8) (1.9)

el valor de la constate dielctrica del espacio libre eso = 8.854x10-12 F/m

La corriente elctrica produce un campo magntico caracterizado por el vector intensidad de campo H y una densidad de campo B. Ambos vectores estn relacionados a travs de la ecuacin 1.7, donde es la permeabilidad magntica es igual al producto de la permeabilidad del espacio libre o y la relativa, r. Es decir

= o rEl valor de la permeabilidad del espacio libre eso = 4x10-7 H/m

(1.10)

(1.11)

La relacin entre la permeabilidad y la constante dielctrica del espacio libre es la velocidad de la luz y est dad por c= 1 =2.998x108 m/s (1.12)

o o

Adems de las cantidades vectoriales intensidad y densidad de campo, es posible definir cantidades escalares asociadas a estos vectores densidad denominada flujo. El flujo de un vector a travs de una superficie S, es igual se representa por el producto punto del vector y la superficie. Por lo tanto se definen: Flujo magntico

= B dS23

(1.13)


Juan A. Tapia

-

Flujo elctrico

= D dSFlujo de corriente I

(1.14)

I = J dS

(1.15)

La relacin entre la intensidad de campo magntico H, y la densidad de corriente J, la cual produce el campo, esta definida en cualquier punto del espacio por la ley Circuital de Ampere H = J

(1.16)

En el mbito de las mquinas elctricas es ms comn el uso de la forma integral de dicha ley, es decir

C

H dl = I = F I en la ltima ecuacin, se denomina

(1.17)

La suma de las corrientes

Fuerza Magnetomotriz (FMM), F y se expresa en Ampere-Vueltas, AV (o Ampere-Turn AT en ingls). La integral de lnea del lado izquierdo de la ecuacin 1.17, representa el producto de la intensidad de campo magntico por el arco diferencial del contorno cerrado C, donde se evala dicha integral. Cuando son sumados estos productos, la resultante es la cada de FMM a lo largo del contorno cerrado, similar a la ley de voltajes de Kirchhofs.. En rigor, la ley circuital de Ampere expresa que la suma de las cadas de fuerza magnetomotriz a lo largo de un camino cerrado en un campo magntico es igual a la suma total de corriente encerrada por el contorno.

1.6.2 Condiciones de bordeLa continuidad del flujo magntico junto con la ley de Ampere, ayuda a definir las condiciones de borde para las lneas de flujo en una mquina elctrica. Las condiciones de bordes relacionan los valores del vector densidad campo magntico con las permeabilidades de los materiales en una interfase aire-fierro. Una vez conocidas, es posible determinar la distribucin de las lneas de flujo. Algunos casos tpicos en mquinas elctricas son: conductor en el entrehierro, figura 1.1.22a y conductor en una ranura, figura 1.1.22b. Dicha distribucin de flujo determina el valor de los flujos principal y de fuga (leakage)

24


Juan A. Tapia

(a)

(b)

Figura 1.22 Conductor ubicado en el (a) entrehierro, (b) ranura de una mquina elctrica

La primera condicin que las lneas de flujo deben satisfacer cuando cruzan una interfase fierro-aire puede ser derivada utilizando la figura 1.1.23. El flujo magntico a travs de una superficie diferencial dS, es una funcin escalar continua definida por la ecuacin 1.1.13. Debido a que la densidad de flujo B es in vector, un vector unitario n perpendicular a la superficie diferencial dS tiene que ser definido de manera de satisfacer dicha ecuacin.

Figura 1.23. Flujo magntico cruzando una superficie

Denotando por Bn la componente normal del vector densidad de flujo magntico, se puede definir el flujo que cruza el elemento de superficie como:

= B ndS = Bn dSS S

(1.18)

25


Juan A. Tapia

debido a que todo el flujo que entra a la superficie es igual al flujo que sale, la componente normal de la densidad de flujo en el fierro debe ser igual a la componente normal de la densidad de flujo en el aire, de acuerdo a la notacin de la figura 1.24, es decir

Bfe,n=Baire,n

(1.19)

Para obtener las condiciones de borde para las componentes tangenciales, se aplica la ley circuital de Ampere al contorno cerrado definido por los puntos 1,2,3 y 4 de la figura 1.24, luego aplicando la ecuacin 1.17, se tiene

Haire,tl12+(-Hn) l23+ (-Hfe,t)l34+ Hnl41= I

(1.20)

Donde Haire,t, Haire,t son las componentes tangenciales de los vectores intensidad de campo magntico en el aire y fierro respectivamente. Hn es la componente normal y l12, l23, l34 y l41 son las distancias entre los puntos 1, 2, 3 y 4 respectivamente. En este caso la corriente total enlazada por el contorno es igual a cero. Dado que el borde entre el aire y el fierro es infinitesimalmente pequeo, las cadas de FMM a lo largo de los caminos l23 y l41, son ceros. Por lo tanto la ecuacin 1.20 se reduce a:

Figura 24. Componentes de los vectores B y H en una interfase aire-fierro

Haire,t =Hfe,t

(1.21)

Es decir, las magnitudes tangenciales del vector intensidad de campo magntico en una interfase aire-fierro son iguales, si no existe circulacin de corriente en dicha interfase. Reemplazando la ecuacin 1.7 en 1.21, se tiene que

26


Juan A. Tapia

Baire ,t

aire

=

B fe,t

fe

(1.22)

De manera similar, los ngulos aire y fe son calculados como tan(aire)=

Baire,t Baire,n

(1.23)

tan(fe)=

B fe,t B fe,n

(1.24)

introduciendo la ecuacin 1.22 se tiene tan( aire ) 1 = tan( fe ) r (1.25) donde r denota la permeabilidad relativa del fierro. La ecuacin 1.25 establece que las lneas de flujo en una interfase fierro-aire son dependientes de la saturacin del fierro, debido a que r vara de acuerdo a la densidad de flujo. Considerando un valor no saturado de r tpico 5000 se tiene que tan(aire)=0.0002 tan(fe) (1.26)

Es decir, grande variaciones del ngulo fe causa pequeas variaciones del ngulo aire. Esto significa que las lneas de flujo en el aire son prcticamente perpendiculares a la superficie del fierro cuando este no se encuentra demasiado saturado. La condicin de borde para la componente tangencial de la intensidad de campo magntico expresada en la ecuacin 1.21, se puede ilustrar de la siguiente forma: Considrese una barra metlica ubicada muy prxima a un ncleo de fierro laminado a travs del cual existe un flujo magntico variable. Ver figura 11.25 Si la amplitud de la densidad de flujo en el ncleo laminado es alta, tal que se encuentra en saturacin, la intensidad de campo magntico resulta extremadamente alta debido a la no linealidad de la curva B-H. De acuerdo a dicha ecuacin, la intensidad de campo en la barra metlica tiene la misma magnitud que la observada en el ncleo en el lado de contacto. Debido a que el campo magntico es variable, se inducen corrientes en la barra metlica., Los AV de la corriente inducida en la barra metlica son proporcionales al valor de la intensidad de campo que existe en la barra. Cuando la densidad de flujo en el ncleo laminado excede el valor 1,71,8 T, dependiendo del tipo de material, la intensidad de campo en la barra es tan alta que puede llegar a fundirla. Esto hace que sea una regla en el diseo de mquinas elctricas y transformadores que ninguna pieza metlica est en contacto con las piezas del circuito magntico por donde circula flujo alterno importante.27


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Las lneas de flujo son cerradas, sin fuentes ni sumideros. Esto se expresa a travs de la ecuacin de Maxwell como:B = 0

(1.27)

o en la forma integral

B dSS

=0

(1.28)

Figura 1.25. Ilustracin de la condicin de borde para la intensidad de campo

donde S es una superficie cerrada. El flujo magntico a travs de una superficie cerrada es igual a cero, o el flujo que entra a la superficie cerrada es igual al que sale de ella. Una mquina rotatoria es usualmente diseada para conducir flujo magntico travs de la superficie del rotor solo en direccin radial (o axial segn sea el caso). A este tipo de mquinas se les denomina heteropolar, debido a que el flujo peridicamente entra y sale del rotor, como se ilustra en la figura 1.1.26a. Los polos magnticos a lo largo de la periferia de una mquina heteropolar se alternan peridicamente, es decir, N-S-N-S....etc. En este tipo de mquinas, ninguna de las lneas de flujo principal circula axialmente y siempre tienen nmero par de polos. Por el contrario, en una mquina homopolar todas las lneas de flujo salen (o entran) del rotor axialmente y entran (o salen) radialmente, como se muestra en la figura 1.1.26b. En una mquina homopolar solo puede existir un polo, debido a que las lneas flujo a lo largo de la periferia del rotor siempre van en la misma direccin. La ley circuital de Ampere define la magnitud del vector intensidad de campo magntico producido por la corriente en los conductores. Es irrelevante saber si la corriente es constante o vara en el tiempo dado que el valor instantneo de corriente produce valores28


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instantneos de intensidad de campo. El fenmeno inverso, esto es, un campo magntico induciendo una corriente es, sin embargo, posible slo si ciertas condiciones del campo magntico variable son satisfechas.

(a)

(b)

Figura 1.26. Flujo magntico en un rotor (a) Heteropolar, (b) Homopolar.

1.6.3 Ley de FaradayUn campo magntico variable, el cual enlaza un conductor, induce un campo elctrico variable a lo largo del conductor. La relacin entre el vector del campo elctrico inducido E y el vector de densidad de flujo magntico B esta dada por la ecuacin de Maxwell:

E =

dB dt

(1.29)

ecuacin conocida como Ley de Faraday. El significado fsico de la ecuacin 1.29 puede ser expresado como una propiedad del campo elctrico E de hacer circular una corriente (Ampere-vueltas), la cual tiende a compensar los ampere-vueltas que crean el flujo caracterizado por a densidad B. El toro que limita el flujo magntico en la figura 1.27, se define como tubo de flujo. Este es el lugar geomtrico en el cual todas las lneas de flujo son perpendiculares a su base y ninguna de ellas corta sus lados. La tensin inducida en el conductor que enlazado por el flujo es igual ae=-

d dt

(1.30)

De acuerdo a la ecuacin 1.30, el voltaje e es inducido en el conductor cuando el flujo enlazado varia en el tiempo. Cuando el conductor enlaza el mismo flujo N nmero de veces (ver figura 1.28), el voltaje inducido es igual a la suma de los voltajes inducidos en cada vuelta. Por lo tanto la ecuacin 30 puede ser escrita para el caso de N espiras como:

29


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e = -N

d dt

(1.31)

La ecuacin 1.31 asume que el mismo flujo es enlazado por cada una de las vueltas de la bobina. Sin embargo, la cantidad de flujo enlazado vara de vuelta en vuelta debido a la posicin de cada una, por lo tanto, en vez del valor ficticio N, se introduce el valor de enlaces de flujo, que considera esta condicin. Es as como el voltaje inducido expresado en trminos del enlace de flujo

e=-

d dt

(1.32)

La relacin entre el enlace de flujo y la corriente esta dada por

= Li

(1.33)

Donde L es la inductancia, la cual depende de la geometra y material del ncleo magntico. Sustituyendo la ecuacin 1.33 en 1.32, se obtiene

e=

d di dL di dL = L i = L i dt dt dt dt d

(1.34)

Figura 27. El flujo variable en el tiempo y el campo elctrico inducido E

30


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Figura 28. Un tubo de flujo enlazando N espiras de un bobina

aqu es la coordinada en el cual la bobina se mueve y es la razn de cambio en el tiempo (velocidad) con que la bobina se mueve

=

d dt

(1.35)

De acuerdo a la ecuacin 1.34, la tensin puede ser inducida por la variacin de los enlaces de flujo de dos maneras: cambio de la corriente en la bobina o por la variacin de la inductancia. El primer mecanismo es el caracterstico de los transformadores, por ello ese voltaje se denomina voltaje de transformacin

et = L

di dt

(1.36)

El segundo mecanismo es caracterstico las bobinas en movimiento relativo a un campo magntico. Por esto se denomina voltaje de generacion.

em = i

dL d

(1.37)

Ambos mecanismos de induccin de voltaje: transformacin y movimiento, estn presente en una maquina elctrica. De acuerdo a la ley de Faraday, cada cambio del flujo magntico induce corrientes en el medio conductor circundante. Estas corrientes tienden a mantener ese flujo constante, es decir, un aumento en el flujo induce corriente que generan un flujo que acta en contraposicin al aumento del flujo original. Las corrientes inducidas tienden a conservar el estado en el espacio actuando contra cada variacin de flujo.

31


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1.7 Circuitos Magnticos.El flujo en el circuito magntico de una maquina elctrica es producido por la corriente circulando por bobinas y/o imanes permanentes. Las lneas de flujo fluyen a travs del circuito enlazando solo el bobinado de estator o solo del estator o ambos. Resolver el circuito magntico de la maquina significa determinar el estado magntico como funcin de las FMM aplicadas y la geometra de la maquina. Una vez que la relacin entre los flujos y las FMM (corrientes) es establecida, es posible definir todas las restantes cantidades electromagnticas: voltajes inducidos y torques. Los procedimiento para resolver los circuitos magnticos son variados y su aplicacin depende de la precisin requerida. El mtodo de elementos finitos permite una solucin precisa de la distribucin del flujo magntico, sin embargo, los requerimientos de CPU aumentan considerablemente cuando la geometra es compleja. El mtodo de diferencias finita reduce el nivel de complejidad de la solucin siendo una alternativa barata, sin embargo, no siempre da resultado aceptables especialmente en la zona de interfaces. El mtodo de circuito magntico equivalente hace uso de la analoga con la solucin de un circuito elctrico basado en las leyes de Kirchhoff , segn muestra la figura 1.1.29. ste mtodo permite la solucin del circuito magntico con una precisin aceptable. La relacin entre las cantidades magnticas B y H esta definida por la ecuacin 1.7, la cual es anloga la forma bsica de la ley de Ohm expresada por la ecuacin 1.5. De acuerdo a esta analoga la densidad de corriente J en un circuito elctrico corresponde a la densidad de flujo B en un circuito magntico. Asimismo la intensidad de campo elctrico E es anloga la intensidad H. Adems, la fuerza magnetomotriz, F, depende de la intensidad de campo H en la mima forma como la fuerza electromotriz V depende de la intensidad de campo elctrico E.

(a)

(b)

(c)

Figura 1.29. Analoga circuito magntico - elctrico: (a) Circuito magntico, (b) representacin en funcin de reluctancias y fuentes de FMM, (c) circuito elctrico equivalente

La resistencia elctrica, define la razn entre el voltaje y la corriente y es un parmetro del tubo de flujo elctrico dado por las dimensiones y la conductividad, esto es

Relect =

1 l S

(1.38)

32


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Donde l es el largo del tubo de flujo y es la conductividad del medio en el tubo. La resistencia elctrica de un tubo de flujo en un medio que tiene conductividad constante y una seccin transversal variable longitudinalmente es igual a

Relect =

1 dx 1 = 0 S ( x) l

S ( x)0

l

dx

(1.39)

La reluctancia en un circuito magntico es definida de manera similar a la resistencia de un circuito elctrico. Sin embargo, se deben distinguir dos casos particulares que se presentan en un medio magntico: los tubos de flujo en el aire y en el material magntico. La permeabilidad relativa (r) del aire es constante e igual a uno, por lo que la reluctancia de un tubo de flujo en el aire vara solo como funcin de sus dimensiones.Rmag = 1

o

S ( x)0

l

dx

(1.40)

Con las dimensiones del tubo de flujo dada en la figura 1.1.30 Por el contrario la reluctancia del material magntico no es constante. El carcter no lineal comienza a parecer aproximadamente a lo 1.0 1.3 T de la curva B-H, dependiendo del tipo de material. Figura 1.31. Si la seccin transversal del tubo de flujo es constante y la permeabilidad es expresada como una funcin de la densidad de flujo B=/S, la reluctancia es igual a

Figura 1.30. Dimensiones del tubo de flujo para el calculo de la reluctancia

Rmag =

1 l S S

(1.41)

33


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La cada de FMM en el elemento de tubo mostrado en la figura 1.30, esta dada por

F = Rmag ( )

(1.42)

Cuando la seccin transversal del tubo de flujo es variable, es decir S=S(x) y un flujo constante circula por l, resulta en una densidad de flujo variable a lo largo del tubo. B ( x) = S ( x) (1.43)

Un ejemplo de un tubo de flujo con seccin transversal variable son los dientes en una maquina elctrica. La permeabilidad en este caso resulta dependiente de las coordenada x debido a que la densidad de flujo es dependiente de esta variable. La reluctancia del tubo de flujo en un medio con una cierta caracterstica B-H y una seccin transversal variable, cambia de acuerdo a ambas: la geometra del tubo y la permeabilidad del material.

Rmag ( ) =

dx 1 0 S ( x) S ( x) l

(1.44)

2.5

2

1.5 B [T] 1 0.5 0 0

1

2

3 H [A /m ]

4

5 x 10

64

Figura 31. Curva B-H de un material magntico tpico.

Si la cada de FMM en la reluctancia en la ecuacin 1.44, tiene que ser evaluada para un flujo dado, el punto de partida es la Ley de Ampere que estableceF = H ( x)dx0 l

(1.45)

34


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Introduciendo la ecuacin 1.7F =l B( x) dx = Rmag ( ) dx = 0 0 S ( x) S ( x) S ( x) l

(1.46)

La dependencia de la permeabilidad respecto de la densidad de flujo no es normalmente conocida en forma analtica, por lo que la cada de MMF en una porcin del circuito magntico con seccin transversal variable es usualmente evaluada a travs de la integracin numrica aplicando la regla de Simpson. Geomtricamente esta cada es igual al rea bajo la curva H(x) expresada en la ecuacin 1.45. El procedimiento de clculo de la MMF en este caso es ilustrado en la figura 1.32. Un diente con seccin transversal variable es mostrado en la figura 1.32a, la dependencia de la seccin transversal con la variable x es dada en la figura 1.32b. La distribucin de la densidad de flujo a lo largo de la coordenada x es obtenida a partir de la curva S(x) y es mostrada en la figura 1.32c por la aplicacin de la ecuacin 1.43 Para determinar la intensidad de campo H(x) mostrada en la figura 1.32d, se debe utilizar la curva B-H del material. La cada de MMF es luego evaluada a travs de integracin numrica de la curva H(x). Para el caso particular de un segmento de circuito magntico de seccin rectangular (ver figura 1.33) donde el nivel de saturacin es constante el clculo de la reluctancia se reduce a: Rmag ( ) = dx 1 l dx 1 l 1 = = 0 S ( x) 0 ab ab S ( x) l

(1.47)

La analoga entre los circuitos elctricos y circuitos magnticos entrega la ley de Ohm como una forma de encontrar la relacin entre la fuerza magnetomotriz, flujo magntico y reluctancia. Sin embargo, el problema en la prctica resulta un poco ms complejo: es as como el relativamente alto flujo de fuga o dispersin y la dependencia de la reluctancia con la densidad de flujo magntico introducen una componente no lineal en la solucin. En general la forma de solucionar un circuito magntico tiene dos posibilidades: (a) La determinacin de la FMM requerida para producir un deseado flujo o densidad de flujo en un punto especifico de la estructura, (b) la determinacin del flujo o densidad de flujo producido en un lugar por la aplicacin un valor de FMM. Cuando el problema es determinar la FMM requerida para producir un deseado flujo total o densidad de flujo en un punto en particular, es decir problema tipo (a), el procedimiento es directo, estimando o despreciando el flujo de fuga. En cada porcin del circuito magntico con seccin transversal A, el valor promedio de la densidad de flujo B es igual al flujo total divido por la seccin A. El valor de la fuerza magnetizante H necesario para establecer este valor B

35


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es calculado a partir de la curva B-H del material. Este valor de H es multiplicado por el largo de la porcin de circuito magntico en el cual la densidad de flujo es asumida constante, para obtener la diferencia de potencial magntico Fab entre los terminales de dicha porcin de circuito magntico, esto es

(a)

(b)

(c)

(d)

Figura 1.32. Procedimiento de clculo de la cada de MMF.

Figura 1.33. Seccin rectangular de circuito magntico

36

Clculo de la FMM de bobinados de AC

Juan A. Tapia

Captulo 2CLCULO DE LA FMM DE BOBINADOS DE ACLa funcin forzante en una mquina elctrica tpica, es decir, aquella que impulsa el flujo a circular a travs del circuito magntico, es la fuerza magnetomotriz o FMM. Esta fuerza es impuesta por los bobinados donde circula la corriente elctrica o eventualmente por imanes permanentes. La distribucin de la FMM define la operacin de la mquina, su estudio es necesario para la determinacin de las inductancias, torques y las caractersticas requeridas para el convertidor que acciona la mquina. En este capitulo se desarrollan las expresiones que caracterizan el devanado de una mquina elctrica; se analizan los efectos del acortamiento, distribucin y oblicuamiento del bobinado sobre la onda fe FMM y se observan el efecto de la interconexin de bobinados trifsicos.

2.1 Distribucin de Campo: Bobinado de Paso CompletoSi se considera la representacin esquemtica de un bobinado concentrado de cuatro polos que se muestra en la figura 2.1. La direccin de la corriente es indicada mediante un punto (cuando la corriente sale de la figura) y una cruz (cuando la corriente entra hacia la figura). Debido a que los bobinados corren a todo el largo axial de la mquina, es posible asumir que el campo magntico es independiente de la componente z excepto para una pequea regin cerca de los extremos de la mquina. Adems, si el radio del rotor es muy grande respecto al largo del entrehierro, la variacin del flujo magntico en el sentido radial se puede asumir despreciable. Con estas simplificaciones y asumiendo el fierro infinitamente permeable, el problema se reduce a una dimensin: a a variacin tangencial dad por el ngulo m. Aplicando la ley circuital de Ampere a lo largo del contorno abcda de la figura 2.1, se tiene:

C

H dl = corriente encerrada

(2.1)

La contribucin a la integral de a porcin de fierro del contorno considerado es nula debido al supuesto de que la permeabilidad del fierro es infinitamente grande. A lo largo del contorno que cruza el entrehierro el valor de la integral es el producto de la longitud del entrehierro, g, por la componente radial de la intensidad de campo Hg. Considerando la direccin positiva de Hg cuando circula entrando hacia el rotor, se tiene que la evaluacin de la ecuacin cuando se recorre el contorno en el sentido mostrado en la figura pasa a ser: g [Hg (m) - Hg (0)]= corriente encerrada (2.2)

38


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donde Hg(0) y Hg(m) son las componentes radiales de la intensidad de campo en la posicin = 0 y = m, positiva cuando es dirigida desde el estator hacia el rotor. Para determinar la variacin de la corriente encerrada se desarrolla el entrehierro segn muestra la figura 2.2a tomando m=0. La figura 2.2b, se obtiene considerando el mismo camino abcda pero para distintos ngulos m. Este resultado puede ser verificado por inspeccin, notando que para ngulos m entre 0 y /4 la corriente encerrada por el contorno es nula. Entre /4 y 3/4 un conductor con corriente i es enlazado, etc. (en este anlisis, el dimetro de conductor se asume extremadamente pequeo por lo que la variacin desde cero al valor mximo de corriente es abrupta).

mb a c d

Figura 2.1. Bobinado concentrado de cuatro polos

Para obtener la expresin de la intensidad de campo Hg, para cualquier ngulo m es necesario, a partir de la ecuacin 2.2, determinar primero Hg(0). ste valor aparece para cada contorno considerado y es constante. Para su clculo se hace uso de la ley de Gauss que establece que el flujo total que cruza una superficie cerrada debe ser cero (ley continuidad del flujo). Es decir

B(S

m

) dS = o H ( m ) dS = 0

(2.3)

Para el presente caso, esta ecuacin establece que el flujo total que cruza el entrehierro es cero. Despreciando los efectos extremo, esto requiere el promedio de oHg(m) sobre la superficie del rotor sea cero. Debido a la simplificacin hecha de que Hg(m) slo depende de m, se sigue que el promedio de la variacin de Hg(m) con respecto a m debe ser cero sobre el rango entre 0 y 2 . La funcin graficada en la figura 2.2c difiere de Hg(m) en el valor constante Hg(0). Sumando a la funcin un valor igual a esta constante, produce un desplazamiento hacia arriba o hacia abajo de Hg(m) dado por Hg(0). Para cumplir con lo

39


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especificado por la ecuacin 2.3 es aparente entonces, que el valor de dicho desplazamiento debe ser i/2g de manera que la curva tenga un valor promedio igual a cero sobre todo el rango de m. De aqu se tiene queH g (0) = i 2g (2.4)

Por lo tanto la intensidad de campo magntico sobre el entrehierro Hg(m) tiene una forma de onda como la mostrada en la figura 2.2.2d. En general para un bobinado concentrado arbitrario de N conductores el valor mximo de la funcin Hg(m) es Ni/2gma b d c i Rotor Estator (a)

Corriente encerrada

m /4i g

(b)

3/4

5/4

7/4

2

Hg(m)-Hg(0)

(c)

mi 2g

Hg(m)

m

(d)

Figura 2.2. Pasos para la determinacin de Hg (m)

Debido a que Hg(m) representa el potencial magntico entre las superficies del estator y rotor en un punto m a lo largo del entrehierro es til definir la fuerza magnetomotriz, Fp, como

Fg = H g ( m ) g

(2.5)

Esta es la FMM de la mitad del circuito magntico, es decir la FMM de un polo. Luego se tiene que la densidad de flujo esta dada por

40


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Bg =

o Fpg

(2.6)

Esta ltima expresin indica que la forma de onda de la densidad de flujo es proporcional a la fuerza magnetomotriz en cada punto del entrehierro. Si se toma como origen del desarrollo anterior un valor adecuado, de tal manera de expandir la en Serie de Fourier en trmino solo de funciones senos, la FMM puede ser escrita como: Fg = 4 Ni 1 1 sin + sin(3 ) + sin(5 ) + 3 2 5 (2.7)

La ecuacin 2.7 representa el desarrollo de la onda de FMM de paso completo, esto es, el paso de bobina a es igual al paso polar p.

2.2 Bobinado Acortado.Cuando el paso de un bobinado se extiende por un ngulo menor al que corresponde a un polo magntico, se dice entonces que el bobinado es de paso acortado. Tal tipo de bobinados es ampliamente utilizado debido a que la forma de onda de la FMM de un bobinado de paso completo resulta con un alto contenido de armnicas de bajo orden que aquel en el cual el paso se modifica acortndolo. Asimismo, esta configuracin permite el ahorro de material conductor y mayor rigidez debido a lo corto de las cabezas de bobinas.

Figura 2.3. Devanado acortado de dos capas

41


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Los bobinados acortados son generalmente de doble capa, es decir, lados de bobinas de distinta fase se encuentran en una ranura segn se muestra en la figura 2.3. El uso del paso fraccional hace posible el uso de nmero de ranuras que no son exactamente mltiplo del numero de polos, con ello se suprimen pulsaciones de flujo a medida que el diente se mueve relativo a la cara del polo. De esta manera se elimina la deformacin de la forma de onda de la tensin inducida.Fg

p aNti 2

2

2

Figura 2.4. Distribucin de FMM para una bobina acortada

Considrese la distribucin de FMM en el entrehierro producida por una bobina de paso fraccional mostrada en la figura 2.4. Esta bobina se ha dividido en dos y cada una se ha desplazado en un ngulo . La amplitud de la correspondiente n-ava armnica de la FMM es calculada como Fpn = 2

0

Fg sin(n )d

(2.8)

de la figura 2.2.4, se tiene que F pn = N i 2 2 0 sin(n )d + 2 t sin(n )d + 0 sin(n )d 0 2 2 2

(2.9)

lo que se reduce a F pn = finalmente 2 N t i 2 sin(n )d 2 2 (2.10)

42


Juan A. Tapia

F pn

cos(n ) 4 Nti 2 = 2 n

n impar

(2.11)

Por lo tanto la que la distribucin de FMM para una bobina acortada puede ser representada mediante la serieFp =

n =1, 3, 5 ,....

F

pn

sin( n )

(2.12)

es decir Fp =

3 5 4 Nti 1 1 cos( 2 ) sin(3 ) + 3 cos( 2 ) sin(3 ) + 3 cos( 2 ) sin(5 )...... 2

(2.13)

Comparando las ecuaciones 2.7 y 2.13 se observa que un factor adicional se ha introducido producto del paso fraccionario de la bobina. Para la n-ava armnica

k pn = cos(

n ) 2

n impar

(2.14)

ste factor representa el peso relativo de las componentes armnicas respecto de la fundamentas. Es comn representar la serie de la ecuacin 2.13 en una forma diferente. Si p es el largo de paso polar y a es el largo correspondiente al paso de bobina, luego el ngulo puede ser expresado, en ngulos elctricos, como

=

p a = 1 a p p

(2.15)

luego, introduciendo la ecuacin 2.16 en 2.14 se tiene: cos( n n ) = cos( 1 a 2 2 p ) = cos( n a ) = sin( n ) sin( n a ) 2 p 2 2 p 2 (2.16)

entonces, la amplitud la n-ava harmnica expresada en la ecuacin 2.11, usando la ecuacin 2.16 puede se escrita como: F pn = a la cantidad

4 Nti n sin( ) sin(n a ) 2 2n p 2

(2.17)

43


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k pn = sin(n

a ) p 2

n impar

(2.18)

es usualmente llamada factor de acortamiento o paso, para la n-ava armnica de la FMM. La relativa magnitud de las armnicas respecto de la fundamental de la FMM en funcin del factor acortamiento expresado en por unidad, es mostrada en la figura 2.2.5. Notar que si la bobina se acorta en un tercio de paso polar, es decir

a = 0.67 p

(2.19)

la tercera armnica de la FMM es cero, similar situacin ocurre con la quinta armnica cuando el acortamiento es de 1/5 y en general para acortamiento del tipo 1/n la armnica de orden n se anula. Fsicamente esto se debe a que el voltaje inducido debido a las componentes armnicas de la FMM son iguales en magnitud en ambos lados de la bobina, pero en direccin opuesta.

0.3 n=3

n=5 0.1 k pn/n n=7 n=9 -0.1 n=13 n=11

-0.3 0.5

0.6

0.7 0.8 acortamiento ta/tp

0.9

1

Figura 2.5. Magnitud de las componentes armnicas de la FMM en funcin del acortamiento

Sin embargo, esta eliminacin selectiva de las componentes armnicas existe un efecto importante debido al acortamiento de las bobinas, esto es, menor flujo enlazado. Debido a la menor envergadura de la bobina de paso fraccionario, el flujo y por lo mismo la tensin inducida, resulta menor que en el caso de paso completo. Esto involucrar un aumento del44


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nmero de vueltas que compensaran esta cada. En la figura 2.2.6, se observa grficamente este efecto.

p aFlujo enlazado por la bobina acortada

Flujo por polo

Figura 2.6. Efecto del acortamiento en el flujo enlazado en una bobina de paso fraccionario

2.3 Bobinados DistribuidosAdems del acortamiento, los devanados en una mquina elctrica se distribuyen a los largo de la periferia del estator (o rotor) alojando los lados de bobinas en ranuras, de manera de hacer mejor uso del fierro de la mquina y reducir el contenido armnico de la FMM. La figura 2.7 muestra la distribucin de la FMM en el entrehierro debido a un bobinado de Nt conductores distribuido en q=4 bobinas por polo cada una teniendo paso completo (sin acortamiento). Aunque en la prctica no se construyen devanados as, por propsitos de anlisis las bobinas se reconectan las bobinas segn muestra la figura 2.8. En este caso, todas tienen un acortamiento diferente, sin embargo, la FMM resultante para esta conexin resulta idntica a la de la figura 2.7. Puede notarse en la conexin equivalente cada bobina contribuye con una forma de onda rectangular a la FMM total con una amplitud mxima para cada una de estas contribuciones igual aNti 2q

(2.20)

45


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donde q es el numero de bobinas por polo. Ntese adems que el desplazamiento de cada bobina respecto de la vecina es . Luego utilizando el resultado de la seccin anterior la amplitud de la n-ava armnica para cada contribucin rectangular de las bobinas acortadas de la figura 8 es desarrollada en la tabla 2.1

pFgq Z Nti 2 Nti 2q

a

Figura 7. Distribucin de la FMM debido a un bobinado distribuido en 4 bobinas por polo

Fg

q Z

Ni 2t

Ni 2qt

1

2

3

4

Figura 8. Distribucin de la FMM debido a un bobinado equivalente con acortamiento

46


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Tabla 2.1. Componentes armnicas bobinado concntrico Bobina (de acuerdo a la figura 8) Amplitud de la n-ava armnica 1

cos(n ) 4 Nti 2 2q n4 Nti 2q4 Nti 2q

2

cos(n

3 cos n(1 + ) ) 2 2 = 4 Nti n n 2q

3

cos(n

5 cos n(2 + ) ) 2 2 = 4 Nti n n 2q

4

4 Nti 2q

cos(n

5 cos n(3 + ) ) 2 2 = 4 Nti n n 2q

En general para un devanado que se divide en q bobinas la amplitud de las componentes armnicas de la bobina q (la mas corta) segn el diagrama de la figura 2.8, ser: cos n (q 1) + ) 2 4 Nti 2q n

(2.21)

Luego, la amplitud neta de las n-ava componente armnica de la forma de onda total de FMM es la suma de los q trminos. cos n k + ) q 1 2 4 Nti Fdn = n k = 0 2q Aplicando la identidad trigonomtrica cos(A+B)=cos(A)cos(B)-sin(A)sin(B) la sumatoria de la expresin 2.22 (2.23)

(2.22)

47


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Fdn =

4 Nti n cos( )[1 + cos(n ) + cos(2n ) + cos(3n ) + + cos((q 1)n )] 2 2qn sin( n )[sin(n ) + sin(2n ) + sin(3n ) + + sin((q 1)n )] 2 (2.24)

puede demostrarse que la suma de la serie de cosenos (q 1)n cos qn 2 1 + cos(n ) + cos(2n ) + cos(3n ) + + cos((q 1)n ) = sin( ) 2 n sin 2 (2.25)

de igual manera, se puede mostrar que la suma de senos puede escribirse comon qn sin sin (q 1) 2 2 sin( n ) + sin( 2n ) + sin(3n ) + + sin((q 1)n ) = n sin 2

(2.26) Introduciendo ecuaciones 2.25 y 2.26 en 2.24, se obtiene qn sin 4 Nti 2 cos n cos (q 1)n sin n sin (q 1)n (2.27) Fdn = 2 2 2qn n 2 2 sin 2

aplicando nuevamente la identidad trigonomtrica de la ecuacin 2.23 en esta ultima expresin, resulta en: qn sin 4 Nti 2 cos qn Fdn = 2qn n 2 sin 2

(2.28)

La cantidad

48


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k dn

qn sin 2 = n q sin 2

n impar

(2.29)

es definido con el factor de distribucin armnico del devanado. Este factor toma en cuenta el hecho de la distribucin del devanado en ranuras. Fsicamente, el desfase producido por la ubicacin espacial de las bobinas, produce un desfase temporal de las tensiones inducidas en cada un de ellas. Al interconectar las bobinas, la magnitud de la tensin del devanado resulta menor que la suma algebraica de cada una de las tensiones por separado. En la figura 2.9, se observa esta situacin. Las tensiones inducidas en cada bobina esta desfasada en un ngulo igual a , respecto de la tensin de la bobina contigua, al sumarlas, el vector de tensin es menor que si las tensiones se suman algebraicamente.

Figura 2.9. Efecto de la distribucin de las bobinas de un devanado

Notar que la cantidad q representa el ngulo (en radianes) correspondiente a la porcin del entrehierro ocupado por las q lados de bobinas del devanado. Considerando la figura 2.7, se tiene que la relacin entre el ngulo q y el paso de bobina, a y paso polar, p, se pueden expresar comoq p = 1 2 a 2

(2.30)

luego, el trmino coseno de la ecuacin 2.28 puede ser escrito como qn cos 2

p p = cos n(1 ) = sin n 2 a 2 a 49

(2.31)


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notar que este ltimo resultado es idntico a la ecuacin 2.18, es decir, al factor de paso, luego, la expresin para la amplitud de la n-ava armnica de la FMM correspondiente a un bobinado distribuido y acortado ser Fdn = 4 Nti k pn k dn 2n (2.32)

donde kpn y kdn son los factores de paso y distribucin definidos por las ecuaciones 2.18 y 2.29, respectivamente. En principio, la extensin angular de un bobinado, q, puede ser cualquier porcin del paso polar, excepto para aplicaciones particulares como lo son motores de dos velocidades. Envergaduras ms all del paso polar son impracticable debido de lo extenso de las cabezas de bobinas. Por consideraciones prcticas de simetra de bobinados, 60 y 120 de extensin angular, son valores que normalmente se utilizan en bobinados trifsicos. En la figura 2.2.10, se muestra la variacin del factor de distribucin para la componente fundamental en funcin de la envergadura del bobinado (ngulo que ocupan respecto del paso polar) y del nmero de bobinas por fase y por polo. Se observa que se obtiene considerablemente mayor voltaje para un ngulo de 60 comparado con uno de 120,de aqu que sea mas ampliamente utilizada esta configuracin de devanado.

Figura 2.10. Variacin del factor de distribucin para la componente fundamental en funcin de q y envergadura del bobinado

50


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1 q=2 0 -1 10 q=3 0 -1 10 q=4 0 -1 10 q=5 0 -1 10 q=6 0 -1 0 5 10 15 20 25 30 armnicos 35 40 45 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Figura 2.11. Variacin de factor de distribucin armnico en funcin de q.

Una segunda observacin se puede hacer al evaluar el factor de distribucin para los diferentes armnicos y numero de bobinas por fase y por polo q. La figura 2.11 presenta esta variacin para una extensin angular de 60. Se observa de las curvas presentadas que para cada valor de q, algunos armnicos tienen magnitudes igual a los de la fundamental. Estos armnicos, hk, son denominados armnicos de ranura y el orden esta determinado por la expresin hk=2mqk1 k=1,2,3,..... (2.33)

donde m es el nmero de fases del bobinado. El armnico de ranura de primer orden (k=1) es el mas problemtico debido a la introduccin de ruido as como tambin aumenta las prdidas. Se observa entonces que idealmente el valor de q tiene que ser los mas grande posible de manera de trasladar las armnicas de ranura a valores de frecuencia alta. Sin embargo un aumento de las bobinas por polo y por fase implica un aumento en el nmero de ranuras de la mquina para un nmero de polos dado. En la prctica esto no es siempre posible. En algunos casos en que el nmero de polos es alto, el nmero de ranuras se hace prohibitivo, es por ello que un nmero fraccionario de q puede ser una solucin posible.

51


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2.4 Devanados OblicuosAunque el acortamiento y la distribucin de un devanado tienen un efecto en la reduccin de las armnicas, an existe una substancial presencia de contenido armnico debido con las ranuras. Tales armnicas de elevado orden pueden ser reducidas mediante el oblicuamiento del bobinado. ste procedimiento normalmente es hecho sobre la jaula de las maquinas de induccin de manera de reducir el torque cogging, (torque que aparece por la variacin de la reluctancia del circuito magnetico que observan los polos magnticos al estar en movimiento relativo). En algunos casos las ranuras del estator son inclinadas en pequeos generadores sincrnicos o en los polos de generadores de baja velocidad. Con ellos se busca reducir la variacin de flujo debido a la entrada y salida de la pieza polar respecto del flujo polar, el cual conduce a la aparicin del ruido acstico. Para ilustrar el efecto del oblicuamiento, considrese un bobinado de paso completo con una ranura por polo. En este caso, la ranura construye tal que el bobinado es rotado circunferencialmente en un ngulo . De esta manera la correspondiente FMM en el entrehierro se hace dependiente de la posicin axial. Sin embargo en promedio la efectiva FMM tiene una distribucin rectangular pero con sus lados oblicuos como se muestra en la figura 2.12.

Nti 2

Figura 12. Bobinado concentrado de paso polar con oblicuamiento de grados

Nuevamente, las componentes armnicas de las FMM se calculan utilizando las series de Fourier. Con la adecuada interpretacin, los coeficientes armnicos pueden ser calculados directamente a travs de la ecuacin 2.28. Esto es, a medida que el nmero de lados de bobinas (q) se aproxima a infinito, la FMM asume la forma de una onda continua. Es claro que si q aproxima a infinito, el producto q permanece constante, en particular52


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q = luego

2

(2.34)

nq nq n n sin cos = sin cos 2 2 2 2

(2.35)

se tiene que a medida que aproxima a cero, el denominador de la ecuacin 2.28 pasa a ser n lim q sin 0 2 qn n = 4 2 (2.36)

de aqu, como el numero de ranuras tiene a infinito, la ecuacin 2.28 se transforma en n n sin cos 4 Nti 4 4 Fdn = n 2n 4 sin embargo n n 1 n sin cos = sin 4 4 2 2 luego la ecuacin 2.37 se reduce a (2.38)

(2.37)

n sin 4 Nti 2 Fdn = n 2n 2 en este caso la cantidad n sin 2 k sn = n 2 es denominada factor de oblicuamiento de la n-ava armnica.

(2.39)

(2.40)

53


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La FMM para un bobinado acortado, distribuido y oblicuado puede ser evaluada considerando cada efecto por separado. Los efectos combinados luego son obtenidos tomando el producto de los tres factoresFdn = 4 Nti k pn k dn k sn 2n

(2.41)

El productok wn = k pn k dn k sn

(2.42)

es frecuentemente denominado como factor de devanado.

2.5 Nmero de ConductoresLa onda senoidal de FMM que viaja en el entrehierro produce igualmente una onda senoidal de flujo que tiene la forma de

p = max sin t

(2.43)

donde max es el valor mximo del flujo. Luego la tensin, e1, inducida en un bobinado concentrado de paso completo de N1 vueltas esta dado por e1 = N 1 d p dt (2.44)

Introduciendo la ecuacin 2.43, se tiene e1 = N 1 max cos t luego el valor efectivo de la tensin ser E1 = e1 2 = (2.45)

N 1 max2

(2.46)

Sin embargo, debido al acortamiento, distribucin y oblicuamiento del bobinado, el flujo efectivo enlazado por las N1 vueltas se reduce en una proporcin dada por el factor de devanado definido por la ecuacin 2.42. Por lo tanto, la componente fundamental de la tensin efectiva queda dada por E1 =

k w1 N 1 max254

(2.47)


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el valor kw1N1 es el nmero de vueltas efectivo del bobinado, el que considera el efecto menor flujo enlazado. Considerando una cada de voltaje en el estator: R1+jX1 (resistencia del bobinado y reactancia de fuga), la tensin inducida se puede relacionar con el voltaje en terminales Vt como E10.97Vt, luego el numero efectivo de conductores en serie por fase se calcula de la ecuacin 2.47 comoN1 = 0.97 2 E1 k w1 max (2.48)

2.6

Bobinados con Ranuras fraccionales

Aunque el nmero de ranuras de un devanado fraccionario no sea mltiplo del nmero de polos, este debe ser mltiplo del nmero de fases de manera de mantener la simetra de la onda de FMM. En el caso de mquinas trifsicas, este requerimiento estipula que el nmero de ranuras debe ser a lo menos mltiplo de tres. Por ejemplo una maquina de 10 polos, por lo menos debera tener 30 ranuras (para un q=1) y as mantener simetra. Si se deseara utilizar dos bobinas por fase y por polo (q=2), esto exigira 60 ranuras lo que es demasiado para mquinas pequeas. Si se considera un devanado de paso fraccionario, por ejemplo, slo 42 ranuras (en vez de las 60 requeridas) luego q= Z 42 7 = = mp 3 10 5 [Ranuras por fase y por polo] (2.49)

donde Z es el numero total de ranuras. Luego el numero de ranuras por polo qm = 7 21 3 = 5 5 [Ranuras por polos] (2.50)

ste resultado sugiere que el bobinado debe ser alojado en 21 ranuras creando cinco polos y que el patrn se repite par los prximos cinco polos. El hecho que q=7/5 implica que las ranuras ocupadas por una fase sobre polos consecutivos deben alternarse de alguna manera entre una y dos ranuras. Para determinar cual de las mltiples opciones de arreglo del bobinado, primero es necesario elegir el paso de bobina, el cual se asume igual para todas las bobinas. Para este caso, el desfase entre ranuras es de

=

p 10 6 180 o = 180 o = 42 Z 42 7

o

(2.51)

55


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De aqu, si el paso de bobina es de cuatro ranuras, el ngulo de paso en grados elctricos sera 4 6 180 4 42 = 8 7 7 (2.52)

lo que probablemente es la mejor opcin. El factor de paso para la componente fundamental del devanado de acuerdo a la ecuacin 2.14 es 8.57 k p1 = cos = 0.997 2 (2.53)

Figura 2.13. Bobinado de paso fraccionario con las bobinas #1 y #2, con amplitud de 4 ranuras: 1-5 y 2-6.

Dado que el patrn del devanado se repite despus de 21 ranuras, una aproximacin del devanado para las primeras 21 ranuras puede ser construido. La figura 2.2.13, muestra la bobina #1, correspondiente a una de las 3 tres fases, insertada entre las ranuras 1 y 5. Tomando esta bobina como referencia, la segunda bobina #2 se inserta entre las ranuras 2 y 6. Si se asume que estas bobinas son excitadas por una onda de flujo de 10 polos que viaja en el entrehierro, el voltaje inducido en esta segunda bobinas tendr un desfase elctrico correspondiente a una ranura 42 6/7 respecto de la bobina #1. La tercera bobina, entre las ranuras 3 y 7 tendr el mismo desfase respecto de la bobina #2 y el doble respecto de la bobina #1. De igual manera se disponen el resto de las bobinas hasta la bobina #21 entre las ranuras 21 y 25. Representando las tensiones sinusoidales de las 21 bobinas como favores, el diagrama que representa la distribucin de tensiones se muestra en la figura 2.2.14.

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9 17

1

18 10 2 19

8 11 16 3 20 7 12 15 4 21 6 14 5 13

Figura 2.14. Diagrama fasorial de las tensiones inducidas en el devanado fraccionario

Figura 2.15. Arreglo trifsico de las bobinas del devanado fraccionario

57


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Ahora es posible reunir todas aquellas bobinas que compondrn cada una de las fases. Si se considera la bobina #1 asociada a la fase a, todos aquellos fasores encontrado en los siguientes 60 sern parte de esta fase. Esto es bobinas #1, 18, 10, 2 y 19. Adems, si se invierte la polaridad de las bobinas #6 y 14, tambin son consideradas como parte de la fase a, con ello se completan las 7 bobinas de 21 en total (como es requerido en un bobinado trifsico). La fase b la componen las bobinas #4, 5,-8, -9, 13, 17 y 21 (el signo menos indica inversin de la polaridad de la bobina). La fase c ser las bobinas 3, 7, -11, -12, 15, 16, y 20. La figura 2.2.15 muestra la asociacin de los fasores correspondiente a las tensiones en cada fase con lo cual se define la interconexin de las bobinas. Figura 2.16 muestra la disposicin de las bobinas del devanado trifsico de paso acortado resultante sobre 5 polos y 21 primeras ranuras de la maquina, el patrn de los siguientes 5 polos son idnticos. Notar que cada ranura es ocupada por dos lados de bobinas. Aunque las bobinas son tomadas de diferentes polos, se puede considerar que el bobinado forma un devanado equivalente con una extensin de 60 distribuidos sobre 7 ranuras (=8 4/7), con ello el factor de distribucin se calcula como: kd1=0.956 El producto entre el factor de paso y el de distribucin resulta kp1kd1=0.997 0.956=0.953 (2.55) (2.54)

Resultados similar puede ser obtenido para las restantes armnicas impares del bobinado. El efecto de un bobinado de paso fraccionario es la asimetra de la FMM. Esto tiene un importante efecto sobre las perdidas extras producto de la forma de onda. En efecto, si se tienen caminos por donde pueden circular corrientes inducidas: jaulas en motores de induccin o devanados amortiguadores en motores sincrnicos, el movimiento de una onda de FMM desbalanceada introduce prdidas extras producto de las armnicas no compensadas.

58


Juan A. Tapia

(a)

(b)

(c) Figura 2.16. Disposicin de bobinado trifsico de paso fraccionario sobre los primeros 5 polos

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2.7 Pares de Polo y Circuitos ParalelosHasta el momento se han analizado distribuciones de FMM de dos polos y circuito simple, sin embargo, en maquinas reales el numero de polos depende de las consideraciones de diseo y normalmente resulta mayor de dos. Lo anterior se debe que un nmero reducido de polos hace que las cabezas de bobinas sean muy largas con que aumenta las inductancias de fuga y se hace una pobre utilizacin del cobre. Otro efecto negativo de un bajo nmero de polos es el aumento de la cantidad de fierro necesario para transportar el flujo por el ncleo de estator y rotor. En general, para una maquina de P polos con Nt numero total de conductores y con todos los polos conectados en serie, la n-ava componente armnica de la FMM se calcula a travs deFdn = 4 N t i k pn kdn k ps P n

(2.56)

Como una ultima complicacin, los devanados de las fases no son siempre conectados en paralelo. Consideraciones prcticas tales como el dimetro del conductor requieren que dos o ms polos sean conectados en paralelo de manera de alcanzar el requisito de nmero de vueltas con un dimetro dado. Para evitar la aparicin de corrientes circulantes, cada uno de los circuitos paralelos de una fase deben estar sometidos al mismo voltaje, por lo que la razn de polos a nmero de circuitos paralelos debe ser un entero. Luego la expresin 2.56, para un numero P de polos y un bobinado con C circuitos paralelos es Fdn = 4 N t i k pn k dn k ps CP n (2.57)

Donde i es ahora la corriente neta en los C circuitos, es decir, la corriente por cada circuito ser i/C.

2.8 Bobinados Trifsicos.Cuando la maquina es excitada con tres corrientes simtricas las que circulan por los bobinado trifsicos, la FMM neta ser la superposicin de las distribuciones de FMM sper impuestas por cada una de los devanados. Asumiendo que las tres bobinas estn bobinadas idnticamente pero fsicamente ubicadas a intervalos de 120, la FMM de los devanados a, b, y c pueden ser escritas como P sin n 4 Nti 2 Fa = kn n CP n =impar

(2.58)

60


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P 4 sin n 3 P 4 Nti 2 Fb = kn n CP n =impar P 4 sin n + 3 P 4 Nti 2 Fc = kn n CP n =impar

(2.59)

(2.60)

Donde kn es el factor de devanado definido por la ecuacin 2.42. Con la ayuda de identidades trigonomtricas, las ecuaciones 2.58 a la 2.60 se pueden escribir como Fa = k nP 4 Nti nn sin 2 CP n =impar k 4 Nti nP 2n nP 2n nn sin 2 cos 3 sin 2 cos 3 CP n =impar

(2.61)

Fb =

(2.62)

Fc =

k 4 Nti nP 2n nP 2n nn sin 2 cos 3 + sin 2 cos 3 CP n =impar

(2.63)

al sumar las tres FMM se obtieneFa + Fb + Fc = k 4 Nt 2 n 2 n nn ia + ib cos 3 + ic cos 3 CP n =impar 2 n 2 n ic sin 3 ib sin 3 nP sin + 2 nP cos 2

(2.64)

Ahora se tiene que 1 2n cos = 2 3 2n cos =1 3 3 2n sin = 2 3 n=1, 5, 7, 11, .... (2.65)

n=3, 9, 15, 21, ....

(2.66)

n=1, 5, 7, 11, ....

(2.67)

61


Juan A. Tapia

3 2n sin = 2 3 2n sin =0 3

n=5, 11, 19....

(2.68)

n=3, 9, 15, 21, ....

(2.69)

Asumiendo que la mquina no tiene retorno por el neutro, es decir ia + ib + ic = 0 luego la ecuacin 2.64 puede ser escrita como (2.70)

Fa + Fb + Fc =

k 4 Nt ,11,... nn CP n =1,5,7

3 3 nP nP (1)(ic ib ) ) cos + ia sin 2 2 2 2 (2.71)

donde (1)=1 y (1)=-1 n= 5, 11, 17.... n=1, 7, 13, ....

Considerar el caso especial en que las corrientes trifsicas son equilibradas, es decir ia = I m sin ( e t ) 2 ib = I m sin e t 3 2 ib = I m sin e t + 3 notar que 3 (ic ib ) = 3 I m sin ( e t ) 2 2 Ahora la ecuacin 2.71, puede ser escrita como (2.75) (2.72) (2.73)

(2.74)

62


Juan A. Tapia

Fa + Fb + Fc =

k n nP 3 4 Nt Im nP cos( e t ) ( )1 + cos sin ( e t ) sin 2 CP n =1,5, 7 ,... n 2 2 (2.76) kn kn 3 4 Nt Im nP nP sin sin et + + e t 2 CP n =1, 7 ,13... n 2 n =5,11,17 ,... n 2 (2.77)

lo que se reduce aFa + Fb + Fc =

Esta ltima expresin establece que para operacin balanceada bajo rgimen senoidal, una mquina con un devanado distribuido (presencia slo de armnicas impares), la onda de FMM contiene ambas componentes de secuencia positiva y negativa. Cada una de esas componentes tiene una amplitud constante y rota en direccin positiva para valores de n igual a 1, 7, 13, 19....mientras que para n igual 5, 11, 17, la rotacin es en el sentido negativo. Las armni

introduccion al diseño de maquinas electricas

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