introduccion al calculo, sai 12 p

Departamento de Ciencias Basicas

Guıa de Calculo Diferencial e Integral II

Por

Jaime Cruz Sampedro

Division de CBI

Introduccion al Calculo

Guıa del Trimestre 12P

Por

S. Arellano, A. Castellanos, J. Cruz y J. Grabinsky

1

Indice

Informacion importantısima 3¡Bienvenido al SAI! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4¿Que es el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4¿Que no es el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4¿Como se aprende calculo en el SAI? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4Guıa y libro de texto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5Introduccion al Calculo. Informacion 12P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6Diez recomendaciones importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1. Numeros reales y ecuaciones 10Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10Tarea de la unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Desigualdades 13Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13Tarea de la unidad 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3. Funciones y sus graficas 16Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Tarea de la unidad 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4. Primer examen integrador 19Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

5. Funciones trigonometricas 21Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21Tarea de la unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2

Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

6. Lımites de funciones 24Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Tarea de la unidad 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

7. Segundo examen integrador 27Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

8. Funciones continuas 29Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Tarea de la unidad 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9. Funciones derivables 32Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32Actividades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Tarea de la unidad 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33Ejercicios complementarios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

10. Evaluacion global 35Objetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Contenido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Indicadores de evaluacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35Actividades y tarea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

Ventajas del SAI 36

Formulario de calculo del SAI 38Perımetros, areas y volumenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39Trigonometrıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40Propiedades de logaritmos y exponenciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Reglas basicas de derivacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42Formulas basicas de integracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3

Informacion importantısima

“No hay genios en este mundo, todo es trabajo tenaz,el uno por ciento es de inspiracion y el noventa y nueve de transpiracion.”

Thomas Alva Edison (1847-1931)

¡Bienvenido al SAI!

Los profesores y tutores de calculo del Sistema de Aprendizaje Individualizado (SAI) te damosla mas cordial bienvenida y te deseamos una placentera y provechosa experiencia en este sistemade ensenanza. Todos en el SAI tenemos el compromiso de que tu aprendizaje de calculo en estesistema se desarrolle en un ambiente de trabajo cordial, responsabilidad y respeto mutuo. Enel SAI, todos queremos que te sientas con plena libertad y confianza de trabajar e interactuaractivamente con nosotros: dialogando, haciendo preguntas y resolviendo tus dudas.

¿Que es el SAI?

El SAI es una modalidad de ensenanza fundada en la fuerte y constante interaccion entre losalumnos y los instructores (profesores y tutores). En este sistema, es crucial la combinacion deltrabajo constante del alumno con la permanente asesorıa individual por parte de los instructores.En el SAI los alumnos no asisten a clases y disponen de gran flexibilidad para progresar en suaprendizaje, a su ritmo y bajo su propio estilo; pero ¡cuidado!, el SAI no es para quevengas cuando quieras y dejes todo para el final del trimestre. Es muy importanteque desde un inicio te mantengas en constante contacto con tus instructores y desarrolles elhabito de trabajar asiduamente.

¿Que no es el SAI?

El SAI no es un sistema para autodidactas, ni de ensenanza abierta ni de educacion adistancia

El SAI tampoco es un sistema de cursos en lınea ni de educacion virtual.

El SAI no es una reguladora ni un sistema de clases particulares.

¿Como se aprende calculo en el SAI?

En el SAI aprendes calculo realizando las actividades que se especifican en esta guıa, conasesorıa y apoyo permanente de un grupo de competentes y amigables instructores. La guıate indica paso a paso que materiales debes estudiar y que ejercicios debes resolver hasta cubrirtodos los temas del curso. Los instructores supervisan tus avances y te brindan toda la asesorıa

4

que necesites para resolver tus dudas hasta que asimiles, entiendas y domines cada tema y tesientas listo para presentar tus examenes. En los cursos de calculo del SAI

¡la estrella de la pelıcula eres tu!, no el profesor.Por esta razon, para que tengas buenas expectativas de exito, es importantısimo que no

desaparezcas y te presentes regularmente a asesorıa.

Nuestro metodo de ensenanza se funda esencialmente en:

1. Darte mucha asesorıa individual para que resuelvas tus dudas, profundices en lostemas, fortalezcas tu independencia y prepares tus examenes.

2. Calificarte tus tareas y examenes en tu presencia para que detectes y corrijas inmediata yoportunamente tus errores y tus dudas.

3. Darte muchas oportunidades para pasar los examenes. En lugar de reprobarte, teasignamos tareas para que repases, superes tus debilidades y presentes nuevamente losexamenes, una y otra vez, hasta que los apruebes.

4. Permitirte aprender y progresar a tu propio ritmo; puedes terminar un curso y empezarcon el siguiente o puedes reanudar el curso en donde te quedaste y completarlo en dostrimestres:

Estudiar calculo en el SAI puede ser lento, ¡pero es seguro!

Una de nuestras metas fundamentales es que desarrolles tu autodisciplina, seguridad e inde-pendencia para alcanzar tus metas academicas y profesionales.

Si deseas conocer las ventajas y beneficios de estudiar calculo en el SAI, consulta la seccionVentajas del SAI al final de esta guıa.

Si has decidido tomar calculo en el SAI:

Descarga e imprime esta guıa porque aquı encontraras los objetivos y contenidos, ası comotodas las actividades que debes realizar para aprobar el curso.

Lee cuidadosamente la informacion del curso para el Trimestre 12P que se da en esta guıa.

Consigue el libro de texto y empieza a estudiarlo de acuerdo al plan trazado en la guıa.

Si tienes dudas ¡ven al SAI a asesorıa tantas veces como quieras! La atencion a los alumnosde calculo del SAI se da en el Aula E204, todos los dıas habiles de 13:00 a 16:00 horas.

Cuando apruebes tu primer examen te haremos un expediente para registrar tus avances.

Guıa y libro de texto

“Sin entusiasmo nunca se logro nada grandioso”

Emerson (1803-1882)

Para tener exito en las matematicas necesitas entusiasmo, dedicacion y organizacion; sobretodo si has decidido cursar esta disciplina en el SAI. El entusiasmo y la dedicacion son turesponsabilidad pero una buena organizacion requiere de una guıa, un libro de texto y supervision,orientacion y apoyo por parte de tus instructores.

El proposito de esta guıa es proveerte un plan de trabajo para que estudies organizadamentey asimiles en un trimestre los contenidos del curso: Introduccion al Calculo.

El libro de texto es:

5

CALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edicion.

Para que tu aprendizaje progrese de manera ordenada y sistematica, ası como para facilitarla supervision de tus avances, el curso se ha dividido en diez unidades. Cada unidad establece sucontenido, sus objetivos y las actividades que debes realizar para preparar los correspondientesexamenes. En cada unidad se detallan los indicadores de evaluacion, es decir, los temas y habil-idades relevantes en las evaluaciones de la unidad. Presta especial atencion a esos indicadoresporque te sugieren el tipo de problemas y preguntas que encontraras en los examenes.

¡Imprime la guıa y adquiere el libro de texto! Es muy importante que dispongas deestos materiales durante todo el trimestre porque –sumados a tu dedicacion y al apoyo de tusinstructores– seran los principales soportes de tu aprendizaje de calculo en el SAI.

Introduccion al Calculo. Informacion 12P

“Donde se cuentan mil zarandajas, tan impertinentes como necesariaspara el entendimiento de esta grande historia”

Miguel de Cervantes (1547-1616)

Objetivos

En este curso estudiaras los conceptos y metodos esenciales que te permitiran emprender unestudio fundamentado del calculo diferencial e integral en trimestres posteriores. Los objetivosgenerales son:

Aplicar los conceptos de lımite y continuidad para obtener y analizar la grafica de unafuncion real de una variable real.

Aplicar la definicion de derivada para obtener la ecuacion de la recta tangente a una curvay la velocidad instantanea de un objeto en movimiento.

Instructores

1. Profesores Titulares:

Dr. Arellano Balderas Salvador, [email protected]

Dr. Cruz Sampedro Jaime, [email protected]

Mtro. Grabinsky y Steider Jaime, [email protected]

2. Tutores:

Barragan Trinidad Melesio,[email protected]

Casero Esteva Vıctor Manuel,[email protected]

Garcıa Santiago [email protected]

Lopez Elisea Jovana,jack [email protected]

Lopez Leyva Erika,[email protected]

Meza Martınez Karen Atzin,atzin [email protected]

Osorio Infante [email protected]

Palacios Serrano Gabrielbutcher [email protected]

Parra Meneses Angel,[email protected]

Perea Alvarado Francisco,creep [email protected]

6

Pinto Barrera Jose Francisco,[email protected]

Portillo Chavez Roberto,

mx [email protected]

Ramırez Ramırez Filiberto,mayor [email protected]

Guıa del curso y Libro de texto

Es indispensable que dispongas de una impresion o de una copia de la guıa del curso y deuna copia del siguiente libro de texto en el cual se basa la guıa:

CALCULO una variable, de G. B. Thomas, Pearson; 2010, decimosegunda edicion.

Horario de atencion en el SAI

De lunes a viernes (inclusive martes) de 13:00 a 16:00 hrs, en el Aula E204.

Tareas y examenes

Para solicitar la evaluacion de cada unidad es necesario que:

1. Hayas aprobado todas las unidades anteriores.

2. Presentes correctamente resuelta la tarea de la unidad correspondiente: completa, bienescrita, engrapada y en limpio.

3. Dispongas de TRES hojas engrapadas tamano carta para realizar el examen.

Para que confirmes tus aciertos y detectes tus errores, todos tus examenes se calificaran entu presencia. En caso de que no apruebes algun examen, nos olvidaremos de ese examen y teasignaremos una tarea para que repases, superes tus debilidades y presentes otro examen dela unidad correspondiente. A este procedimiento del SAI se le denomina reciclar y deberasrepetirlo hasta que apruebes la unidad.

Calificaciones

1. Para pasar el curso debes aprobar las diez unidades.

2. Las calificaciones de las unidades 1, 2, 3, 5, 6, 8 y 9 seran cualitativas (A o R).

3. Las calificaciones de las unidades: 4, 7 y 10 seran numericas (de 0 a 10).

4. Los examenes de las unidades integradoras (4, 7 y 10) solamente los podran calificar losprofesores titulares. Para mejorar tus calificaciones aprobatorias de estas unidades puedestomar nuevamente el examen, antes de presentar el examen de la siguiente unidad.

5. Tu calificacion final se basara en el promedio de tus calificaciones de las unidades inte-gradoras y se determinara como sigue:

MB: 9.0-10.0, B: 7.5-8.9, S: 6.0-7.4.

6. Puedes mejorar tu calificacion final sometiendote a un examen global o a un examen oral.

7. Si para la semana 13 del trimestre no has aprobado el curso tu calificacion final sera NA,pero podras avanzar o terminar en la semana de examenes de recuperacion.

8. Si no terminas el curso en la semana de recuperacion podras continuarlo (pero deberasconcluirlo) en el trimestre siguiente, reanudando en donde te quedaste.

7

9. Copiar o dejar copiar en los examenes es un delito academico grave porquefomenta la mediocridad y la corrupcion. Por esta razon, si se te sorprende copiando(o dejando copiar) reciclaras el examen y si reincides recibiras NA en el curso, sin opcionpara concluirlo en el SAI.

10. En los examenes no se permite usar el libro de texto pero, si te hace falta, puedessolicitar al supervisor de examenes el Formulario de calculo del SAI.

Asesorıas

Para recibir asesorıa es necesario que hayas estudiado el material correspondiente con an-ticipacion, que hayas intentado los ejercicios muchas veces y que tus preguntas sean concretasy bien formuladas. Si necesitas asesorıa adicional, pıdela a tu instructor favorito o acude alCentro de Matematicas: E201.

Comportamiento

Por respeto a tu Alma Mater y al trabajo de los demas:

No danes el mobiliario. El estudiante de calculo que sea sorprendido danando el mobiliariorecibira NA en el curso y sera reportado al Coordinador del SAI.

En el salon de examenes y en el area de atencion del SAI, controla tu lenguaje, modera elvolumen de tu voz y apaga tu celular, tu iPod, tu iPad y/o tu iPhone.

Diez recomendaciones importantes

1. ¡Comprometete con tu educacion, asumiendo tu papel de estudiante con responsabilidad,entusiasmo y dedicacion!

2. Adquiere la disciplina de trabajar al menos dos horas diarias para este curso. Te recomen-damos hacerlo en las instalaciones del SAI. Aprende a trabajar solo y en equipo.

3. Antes de intentar los ejercicios, estudia detenidamente en tu libro de texto los temas quese indican en la guıa.

4. Esfuerzate por aprender a manipular expresiones algebraicas y a calcular correctamentecon rapidez, precision e ingenio.

5. Aprende a distinguir las ideas importantes en las soluciones de los problemas y ejerciciosy a reproducirlas sin ayuda.

6. Razona detenidamente todos los problemas que se te asignan en la guıa; intentalos muchasveces y ¡no tengas miedo a equivocarte! Se aprende mucho de los errores; ¡lo malo esquedarse con la duda!

7. La mejor manera de averiguar si estas entendiendo un tema de matematicas es tratandode resolver los problemas sin ayuda. Intentalos y si tienes dificultades, discutelas con tuscompaneros o ¡ve a asesorıa al SAI o al Centro de Matematicas! Los instructores estanpara ayudarte a resolver tus dudas, ¡pierdeles el miedo!

8. Es muy importante para tu formacion profesional que adquieras el habito de reportar tutrabajo en limpio y bien presentado; escrito en forma clara, concisa y ordenada, con tuspropias palabras, con buena ortografıa, utilizando correctamente la notacion matematica ycon diagramas y graficas bien hechas.

9. Adquiere el habito de criticar tu mismo tu trabajo y de mejorarlo siempre que le encuentresfallas.

10. Aprende a usar el formulario, tu calculadora, Maple, SAGE, Matlab o Mathematica (Maple5 y SAGE son software libre; Mathematica esta disponible en el Edif. T).

8

“El gran libro de la naturaleza permanece siempre abiertoante nuestros ojos y en sus paginas se encuentra la ver-dadera filosofıa ... Pero no nos es posible leerlo a menosque conozcamos los caracteres y el lenguaje en el queesta escrito ... Esta escrito en lenguaje matematico y loscaracteres son triangulos, cırculos y otras figuras ge-ometricas.”

Galileo Galilei (1564-1642)

“A esa lista de caracteres, hoy en dıa le agregarıamos lasderivadas y las integrales.”

Peter Lax (1926-)

9

Unidad 1

Numeros reales y ecuaciones

Objetivo

Aplicar las propiedades basicas de la suma y el producto de numeros reales para realizaroperaciones y para resolver ecuaciones e interpretar graficamente sus soluciones.

Contenido

1. Operaciones con los numeros reales.

2. Representacion de los numeros reales.

3. Simplificacion y racionalizacion de cocientes.

4. Solucion de ecuaciones.

5. El metodo de completar cuadrados.

6. Rectas circunferencias y parabolas

Indicadores de evaluacion

1. Realizar las operaciones de suma, resta, multiplicacion y division de numeros reales.

2. Distinguir a los numeros racionales de los irracionales por su representacion decimal yexpresar los racionales como cocientes de enteros.

3. Usar factorizacion para simplificar fracciones algebraicas.

4. Usar racionalizacion para simplificar fracciones algebraicas.

5. Encontrar la ecuacion de una recta, dados dos de sus puntos o dada su pendiente y unode sus puntos.

6. Resolver sistemas de ecuaciones lineales con una y dos incognitas.

7. Usar factorizacion para resolver ecuaciones cuadraticas y cubicas.

8. Usar la formula general para resolver ecuaciones cuadraticas.

9. Usar el metodo de completar cuadrados para resolver ecuaciones cuadraticas y para esbozarlas graficas de parabolas y circunferencias.

10. Encontrar los puntos de interseccion de dos parabolas, ası como los de una recta y unaparabola.

10

Actividades

1. Esta unidad es esencialmente de repaso. Te conviene estudiar los apendices A.1 y A.3 dela Decimosegunda edicion del Thomas y resolver ejercicios diversos que cubran todos losindicadores de evaluacion de esta unidad. Te sugerimos iniciar con ejercicios sencillos yaumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar el nivel de los ejercicios dela tarea.

2. Resuelve y entrega la tarea de la unidad 1, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tuexamen de esta unidad.

3. Procura aprobar la unidad 1 antes de finalizar la Semana 1.

Tarea de la unidad 1

“Solo se aprende haciendo las cosas; porqueaunque creas saberlas, nunca tendras la certeza

hasta que lo intentes.”Sofocles (496 a. C. – 406 a. C.)

1. Realiza las siguientes operaciones:

57−

(12 + −1

7

)25(

27 − 2

8

)÷(

35

) , √8

6√

5− 2

3√

10+√

12√3.

2. Determina cuales de los siguientes numeros son racionales y en caso afirmativo expresaloscomo cocientes de numeros enteros:

2.1241, 1.23456789101112 · · · .

3. Simplificax2 − 9

x2 − 2x− 3,

x2 − x− 23 + 2x− x2

.

4. Simplificax2 + x− 12x+√

12− x,√

1 + x−√

2x− 1

.

5. Encuentra la ecuacion de la recta que pasa por:

a) (−2, 1) y (3,−2).

b) (6,−1) y es perpendicular a 5x− 2y = 10.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a)13x− 4

5=

57

+32x, (b) 3x− y = y − 1,

x− y = 6x− 8.

7. Usa factorizacion para resolver las siguientes ecuaciones cuadraticas y cubicas:

x2 + x− 12 = 0, 2x2 + 13x+ 6 = 0, x3 − 4x = 0.

11

8. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadraticas (a) completando cuadrados y (b) por laformula general:

x2 + x− 1 = 0, 2x2 = 5x+ 1.

9. Completa cuadrados para dibujar las siguientes curvas:

y = x2 + x− 12, x2 + y2 − 2x− 4y = 0.

10. Dibuja los siguientes pares de curvas y encuentra sus puntos de interseccion:

(a) y = x2 − 2x, (b) x2 + y2 = x+ y

y + x2 = 6x− 8, x+ y = 1/2.

Ejercicios complementarios

Si necesitas practica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejerciciosque te proponemos a continuacion:

Apendice A.3: 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 22, 24, 25, 26, 37, 38, 39, 40, 43,44, y 51.

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Unidad 2

Desigualdades

Objetivo

Aplicar las propiedades basicas de orden y valor absoluto de los numeros reales para resolverdesigualdades e interpretar graficamente sus soluciones.

Contenido

1. Notacion de conjuntos.

2. Intervalos.

3. Resolucion de desigualdades.

4. El valor absoluto de los numeros reales.

5. Interior y exterior de una circunferencia.


1. Resolver desigualdades y expresar sus soluciones en terminos de intervalos.

2. Resolver desigualdades lineales.

3. Usar factorizacion para resolver desigualdades.

4. Resolver desigualdades racionales (cocientes de lineales).

5. Resolver desigualdades lineales dobles.

6. Resolver ecuaciones sencillas dadas en terminos de valores absolutos.

7. Resolver desigualdades sencillas dadas en terminos de valores absolutos.

8. Usar el metodo de completar cuadrados para resolver desigualdades cuadraticas.

9. Usar propiedades del valor absoluto para resolver desigualdades cuadraticas.

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Actividades

1. Estudia los apendices A.1 y A.3 de la Decimosegunda edicion del Thomas y resuelve ejerci-cios diversos que cubran todos los indicadores de evaluacion de esta unidad. Te sugerimosiniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hastaalcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea.






En todos los casos, expresa las soluciones de las siguientes desigualdades en terminos deintervalos.

1. Resuelve las siguientes desigualdades lineales:

(a) − 3x− 12 ≥ 0, (b) 2x+32≥ 4

5− 3

4x.

2. Usa factorizacion para resolver las siguientes desigualdades:

(a) (x+ 1)(3x− 2) < 0, (b) x3 − 4x < 0.

3. Resuelve las siguientes desigualdades:

(a) x2 − 2 ≤ 2x+ 1, (b) 2x2 − 3x− 10 ≥ x2 − 2x+ 20.

4. Resuelve las siguientes desigualdades racionales:

(a)3x− 42 + 7x

< 0, (b)x− 42 + 3x

≤ −3.

5. Resuelve las siguientes desigualdades lineales dobles:

(a) 2x+ 2 > −3x+ 1 ≥ x− 3, (b) 2x+32≥ 2

5− 3

4x >

2x3− 1.

6. Resuelve las siguientes ecuaciones:

(a) |3x− 7| = 2, (b) |x2 − 3x| = 2.


(a) 4− |x− 2| ≥ 0, (b) |2x+ 3| ≥ 3.


(a) |5x− 3| < 5, (b) |10− 5x| ≥ 2.

9. Completa cuadrados y usa valores absolutos para resolver las desigualdades:

(a) x2 − 2x ≥ 7, (b) x− 3x2 ≤ 1/36.

10. Resuelve las siguientes desigualdades cuadraticas:

(a)14≤ (x− 2)2, (b) x2 + 2x ≤ 3.

14



Apendice A.1: 3-23.

Apendice A.3: 31, 32, 33, 34, 35, y 36.

15

Unidad 3

Funciones y sus graficas

Objetivo

Determinar el dominio, el rango y los ceros de una funcion y esbozar su grafica. Utilizarfunciones para formular y analizar problemas en contextos reales.

Contenido

1. Funciones: dominio, rango, ceros e intervalos de positividad.

2. Grafica de una funcion.

3. Tipos de funciones:

Polinomiales, racionales, radicales.

Pares, impares, crecientes, decrecientes y periodicas.

Funciones definidas por partes.

4. Suma, resta, producto, division y composicion de funciones.

5. Traslaciones, reflexiones y cambios de escala de funciones.

6. Funciones como modelos matematicos de situaciones reales.


1. Dada una funcion, elaborar una tabla de valores, encontrar sus ceros y sus intervalos depositividad y utilizar esta informacion para bosquejar su grafica.

2. Decidir si una curva en el plano representa la grafica de una funcion.

3. Determinar grafica y algebraicamente el dominio y el rango de una funcion.

4. Realizar la suma, resta, multiplicacion, division y composicion de funciones y determinarel dominio de la funcion resultante.

5. Expresar una funcion dada como una composicion de funciones.

6. Identificar y dar ejemplos de funciones lineales, cuadraticas, polinomiales, racionales, po-tencias, trigonometricas, exponenciales, logarıtmicas y definidas por partes.

7. Dada la grafica de una funcion, obtener las graficas de traslaciones, reflexiones y cambiosde escala de la funcion original.

16

8. Dada una funcion racional o una funcion definida por partes, determinar su dominio, surango, su paridad, sus ceros sus intervalos de positividad y sus intervalos de monotonıa yutilizar esta informacion para esbozar su grafica.

9. Dada la grafica de una funcion, obtener una formula que represente la funcion.

10. Utilizar las funciones para modelar situaciones en contextos reales.

Actividades

1. Estudia las secciones 1.1 y 1.2 de la Decimosegunda edicion del Thomas y resuelve ejerciciosdiversos que cubran todos los indicadores de evaluacion de esta unidad. Te sugerimos iniciarcon ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar elnivel de los ejercicios de la tarea.

2. Entrega la tarea de la unidad 3, bien hecha y en limpio, antes de solicitar tu examen deesta unidad.





1. Encuentra los ceros de las siguientes funciones y esboza las graficas correspondientes apartir de una tabla de valores en 20 puntos bien distribuidos en su dominio:

(a) f(x) = x3 − 4x, (b) f(x) =x+ 23− 2x

.

2. Utiliza la prueba de la recta vertical para decidir, en cada uno de los siguientes casos,si la curva dada en el plano es la grafica de una funcion de x: (a) Una recta; (b) Unacircunferencia; (c) Una parabola; (d) Una elipse; (d) Una hiperbola.

3. Esboza la grafica de las siguientes funciones y determina su dominio y su rango:

(a) y = 1 + 3x− x2, (b) y =

2− x, si − 5 ≤ x < −1,2|x| − 1, si |x| ≤ 1,3− x2, si 1 < x ≤ 3.

4. Encuentra el dominio de las siguientes funciones:

(a) y =

√4x− 32x+ 7

, (b) y =x+ 3

1− |2x− 3| .

5. Si f(x) =√

2− x y g(x) = (x− 2)2, encuentra(f

g

)(x) y (g ◦ f)(x); ası como los respec-

tivos dominios de f , g, f + g,f

gy g ◦ f .

17

6. Encuentra el dominio de las siguientes funciones y expresa cada una de ellas como unacomposicion de dos funciones:

(a) y =√

4x2 − 9, (b) y =√

1− x2 +1

x2 − 4.

7. Dada la funcion f(x) = |x|, calcula y = f(x) + 2, y = f(x− 2) y y = 3− f(x+ 1). Esbozalas graficas correspondientes a partir de la grafica de f(x) = |x|.

8. Dada la funcion y = x4 − 2x2, determina el dominio, el rango, la paridad, los ceros y losintervalos de positividad de la funcion.

9. La grafica de la funcion y = f(x) consiste de la lınea quebrada que une los puntos A =(−2, 3), B = (2, 7) y C = (5, 4), en el orden que aparecen. Encuentra una formula paraesta funcion.

10. Un vaso conico de papel tiene 10 cm3 de volumen. Expresa la cantidad de papel utilizadapara construir ese vaso en terminos del radio r de su base.



Seccion 1.1: 1, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 16, 18, 20, 21, 22, 23, 25, 27, 28, 29, 30, 37, 40,42, 45, 49, 51, 52, 54, 58, 60, 62, 63, 70, 71 y 72.

Seccion 1.2: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 11, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 23, 24, 25, 28, 31, 34, 37,40, 43,46, 49, 52, 55, 57, 60, 63, 67, 70, 73, 76 y 85.

18

Unidad 4

Primer examen integrador

Objetivo

Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y metodos estudiados en las primeras tresunidades del curso.

Contenido

El contenido de esta unidad es el de las tres unidades anteriores.


1. Resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadraticas con una y dos incognitas e interpre-tar graficamente sus soluciones.

2. Resolver desigualdades lineales, cuadraticas y cocientes de lineales y expresar las solucionesen notacion de intervalos.

3. Resolver desigualdades sencillas dadas en terminos de valores absolutos y expresar sussoluciones en terminos de intervalos.

4. Determinar el dominio y rango de una funcion.

5. Realizar la suma, resta, producto, cociente y composicion de funciones y determinar sudominio.

6. Expresar una funcion dada como una composicion de funciones.

7. Dada la grafica de una funcion, obtener una formula que represente la funcion.

8. Dada la grafica de una funcion, obtener las graficas de traslaciones, reflexiones y cambiosde escala de la funcion original.

9. Utilizar las funciones para modelar situaciones en contextos reales.

10. Dada una funcion racional o una funcion definida por partes, determinar su dominio, surango, su paridad, sus ceros, sus intervalos de positividad y sus intervalos de monotonıa yutilizar esta informacion para esbozar su grafica.

19

Actividades y tarea

1. Revisa el material de las tres unidades anteriores, de acuerdo a lo que te senalan losindicadores de evaluacion de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado muyclaro. ¡Esta es una excelente oportunidad para que revises a profundidadlos temas que no te han quedado claros en lo que va del curso y resuelvastodas tus dudas! ¡Asiste a asesorıa tantas veces como te haga falta! Recuerdaque la calificacion que obtengas en esta unidad sera tu primera calificacion parcial.

2. Para que aprecies y valores la importancia y trascendencia del calculo diferencial e integralen el desarrollo de la ciencia, la tecnologıa y la cultura humana, en cada examen integradorte pediremos que investigues y escribas un breve ensayo sobre la vida y obra de alguno delos mas prominentes hombres de ciencia que crearon y desarrollaron esta importantısimarama de la matematica.

Para presentar tu primer examen integrador debes entregar un ensayo sobre Galileo Galilei(1564-1642), en el que discutas brevemente su papel en el desarrollo de la ciencia y latecnologıa. Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano, con tus propiaspalabras, de manera clara y con buena ortografıa. Recuerda que copiar textualmente de tufuente de informacion sin dar el credito correspondiente es un plagio.

3. Te sugerimos aprobar la unidad 4 antes de finalizar la Semana 4.

20

Unidad 5

Funciones trigonometricas

Objetivo

Determinar el dominio, el rango y los ceros de funciones trigonometricas y esbozar sus grafi-cas. Utilizar funciones trigonometricas para formular y analizar problemas en contextos reales.

Contenido

1. Medida de angulos en radianes.

2. Triangulos rectangulos y el teorema de Pitagoras.

3. Las seis funciones trigonometricas basicas a partir de un triangulo rectangulo.

4. Las seis funciones trigonometricas basicas a partir del cırculo trigonometrico.

5. Graficas de funciones trigonometricas: amplitud, periodo, frecuencia, rango y ceros.

6. Interpretacion grafica de traslaciones, reflexiones y cambios de escala en funciones trigonometri-cas.

7. Identidades trigonometricas.

8. Funciones trigonometricas como modelos matematicos de situaciones reales.


1. Transformar grados en radianes y viceversa.

2. Obtener valores de las funciones trigonometricas basicas por medio de triangulos.

3. Evaluar las funciones trigonometricas basicas a partir del cırculo trigonometrico.

4. Bosquejar la grafica de una funcion trigonometrica a partir de una tabla de valores.

5. Dada una funcion trigonometrica sencilla, encontrar sus ceros, su amplitud, su periodo, sufrecuencia, su rango y su paridad y esbozar la grafica.

6. Dada la grafica de una funcion trigonometrica basica, obtener las graficas de traslaciones,reflexiones y cambios de escala de la funcion original.

7. Obtener los intervalos de positividad de funciones trigonometricas sencillas.

8. Utilizar las identidades basicas para simplificar expresiones trigonometricas.

9. Utilizar las funciones trigonometricas para modelar situaciones en contextos reales.

21

Actividades

1. Estudia la seccion 1.3 de la Decimosegunda edicion del Thomas y resuelve ejercicios di-versos que cubran todos los indicadores de evaluacion de esta unidad. Te sugerimos iniciarcon ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar elnivel de los ejercicios de la tarea.






1. Transforma en radianes las medidas de los angulos dados en grados y viceversa.

(a) θ = 30◦, (b) A =π

5rad, (c) B = 75◦, (d) α =

5π6

rad.

2. Utilizando triangulos e identidades trigonometricas adecuadas, calcula los valores exactosde las seis funciones trigonometricas de los angulos de 30 y 105 grados.

3. Utilizando el cırculo trigonometrico e identidades trigonometricas adecuadas, calcula losvalores exactos de los angulos de π y π/8 radianes.

4. Bosqueja las graficas de las siguientes funciones, a partir de una tabla 20 valores calculadosen puntos uniformemente distribuidos en el intervalo [0, 2π]:

(a) y = cos(2θ), (b) y = 2− 3 sen θ (c) y = cos(θ − π

4).

5. Esboza las graficas de las siguientes funciones, determinando sus ceros, su amplitud, superiodo, su frecuencia, su rango y su paridad:

(a) y = 2− 2 cos(3θ), (b) y = 3 + sen(θ/2).

6. Esboza las graficas de las siguientes funciones, realizando traslaciones, reflexiones y cam-bios de escala en la grafica de y = cos θ:

(a) y = 5 cos(θ − π

4), (b) y = 3− 2 cos(2θ − π

4).

7. Determina los intervalos en los que las siguientes funciones son positivas:

(a) y = sen 3x, (b) y = − cos(x/2).

8. Usa identidades trigonometricas para expresar cos(2x+(π/6)) en terminos de senx y cosx.

9. Se quiere construir un angulo de 75◦, trazando rectas desde el centro de un disco de 50 cmde diametro hasta los extremos de un arco en el perımetro de ese disco. ¿De que longituddebe ser el arco?

10. Determina la cantidad de carton (en m2) que se necesita para construir un deposito conicode 1.5 m de altura y base circular de radio r.

22


Si requieres practica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de los ejerciciosque te proponemos a continuacion:

Seccion 1.3: 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 14, 15, 18, 19, 22, 25, 26, 27, 31, 34, 36, 41, 44, 46, 47, 50,53, 54, 61, 62, 64, 65, 66, y 68.

23

Unidad 6

Lımites de funciones

Objetivo

Determinar graficamente, estimar numericamente y calcular analıticamente el lımite finitode una funcion en un punto dado.

Contenido

1. Determinacion grafica del lımite de una funcion en un punto.

2. Estimacion numerica del lımite de una funcion en un punto.

3. Calculo de lımites de funciones utilizando leyes de los lımites.

4. Calculo de lımites de funciones eliminando denominadores nulos por factorizacion o racional-izacion.

5. Calculo de lımites de funciones trigonometricas utilizando identidades y lımites conocidos.

6. Calculo de lımites de funciones utilizando el teorema del sandwich.

7. Determinacion grafica de los lımites laterales de una funcion en un punto.

8. Estimacion numerica de los lımites laterales de una funcion en un punto.

9. Calculo algebraico de lımites laterales.

10. Criterio para la existencia del lımite de una funcion en un punto en terminos de sus lımiteslaterales.


1. Determinar graficamente el lımite de una funcion en un punto dado.

2. Proveer aproximaciones de un punto dado y estimar numericamente el lımite de una fun-cion en ese punto.

3. Utilizar las leyes de los lımites para calcular lımites de funciones.

4. Eliminar denominadores nulos por factorizacion o racionalizacion para calcular lımites defunciones.

5. Utilizar lımites conocidos e identidades para calcular lımites de funciones trigonometricas.

6. Utilizar el teorema del sandwich para calcular lımites de funciones.

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7. Determinar graficamente los lımites laterales de una funcion en un punto dado.

8. Proveer aproximaciones por la derecha y por la izquierda de un punto dado y estimarnumericamente el lımite de una funcion en ese punto.

9. Determinar algebraicamente los lımites laterales de una funcion en un punto dado.

10. Usar lımites laterales para determinar la existencia del lımite finito de una funcion en unpunto.

Actividades

1. Estudia las secciones 2.1, 2.2 y 2.4 de la Decimosegunda edicion del Thomas y resuelveejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluacion de esta unidad. Te sug-erimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultadhasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea.






1. Esboza la grafica de la funcion

f(x) =

x+ 2, si x < −1,2|x| − 1, si − 1 ≤ x < 2,3− (x− 2)2, si 2 < x,

y determina:

(a) lımx→−1

f(x), (b) lımx→0

f(x), (c) lımx→2

f(x).

2. En cada caso, propon diez numeros diferentes muy cercanos a x0 y utiliza tu calculadorapara evaluar f(x) en cada uno de los numeros que propusiste. Elabora una tabla con estosdatos para estimar lım

x→x0f(x).

(a) lımx→4

x2 − 16x− 4

, (b) lımx→0

1− cosx3x2

.

3. Utiliza las leyes de los lımites para calcular:

(a) lımx→2

3x2 + 12x− 5

, (b) lımx→0

cos3(5θ2)√4− sen θ

.

4. Elimina los denominadores nulos por factorizacion y calcula:

(a) lımx→4

x2 − x− 12x− 4

, (b) lımx→−1/2

2x2 + 5x+ 21 + x− 2x2

.

25

5. Elimina los denominadores nulos por racionalizacion y calcula:

(a) lımx→1

1−√xx− 1

, (b) lımx→−1

x+ 13−√x2 + 8

.

6. Utiliza lımites de la forma (sen θ)/θ para evaluar:

(a) lımx→0

sen 3x2x

, (b) lımt→0

4ttanπt

.

7. Usa el teorema del sandwich para calcular:

(a) lımx→0

x sen(

1x

), (b) lım

θ→0

sen θθ

.

Sugerencia. Para (a) recuerda que | sen θ| ≤ 1. En (b) usa θ cos2 θ ≤ sen θ ≤ θ.

8. Esboza la grafica de la funcion

f(x) =

2x+ 2, si x < 0,1− x, si 0 ≤ x ≤ 1,1− 2x+ x2, si 1 < x,

y determina:

(a) lımx→0+

f(x), (b) lımx→0−

f(x), (c) lımx→0

f(x), (d) lımx→1

f(x).

9. Considera la funcion

f(x) =

2a− x, si x < 0,b− 3x, si 0 ≤ x ≤ 1,3b− ax+ x2, si 1 < x,

Determina los valores de a y b para que existan los siguientes lımites:

(a) lımx→0

f(x), (b) lımx→1

f(x).

10. Calcula los siguientes lımites:

(a) lımx→0+

sen√x

2√x, (b) lım

x→1−

√1− x

tan(√

1− x).



Seccion 2.1: 2, 5, 7, 10, 13, 16 y 21.

Seccion 2.2: 3, 4, 5, 6 12, 15, 18, 21, 23, 26, 29, 32, 35, 38, 41, 43, 46, 50, 52, 54, 67, 70 y73.

Seccion 2.4: 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 14, 17, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40 y 42.

26

Unidad 7

Segundo examen integrador

Objetivo

Reafirmar, unificar e integrar los temas, conceptos y metodos estudiados en las primeras seisunidades del curso.

Contenido

El contenido de esta unidad es el de las seis unidades anteriores.


1. Obtener graficamente el lımite de una funcion en un punto dado.

2. Estimar numericamente el lımite de una funcion en un punto dado.

3. Utilizar las leyes de los lımites para calcular lımites de funciones.

4. Eliminar denominadores nulos por factorizacion o racionalizacion para calcular lımites defunciones.

5. Dada una funcion racional o una funcion definida por partes, determinar su dominio, surango, su paridad, sus ceros sus intervalos de positividad y sus intervalos de monotonıa yutilizar esta informacion para esbozar su grafica.

6. Dada una funcion trigonometrica sencilla, encontrar sus ceros, su amplitud, su periodo, sufrecuencia, su rango y su paridad y esbozar grafica.

7. Utilizar las identidades basicas para simplificar expresiones trigonometricas.

8. Utilizar funciones para modelar situaciones en contextos reales.

Actividades y tarea

1. Revisa el material de las seis unidades anteriores, de acuerdo a lo que te senalan losindicadores de evaluacion de esta unidad, especialmente el que no te haya quedado claro.¡He aquı otra gran oportunidad para que revises a profundidad los temasque no te han quedado claros en lo que va del curso y resuelvas todastus dudas! ¡Asiste a asesorıa tantas veces como te haga falta! Recuerda que lacalificacion que obtengas en esta unidad sera tu segunda calificacion parcial.

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2. Para presentar el examen de esta unidad debes entregar un ensayo en el que contestes lapregunta ¿que problemas motivaron a Pierre de Fermat (1601-1665) a investigar el calculodiferencial e integral? Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes escribirlo a mano,con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortografıa. Recuerda que copiartextualmente de tu fuente de informacion sin dar el credito correspondiente es un plagio.


28

Unidad 8

Funciones continuas

Objetivo

Dada una funcion, determinar sus intervalos de continuidad ; clasificar sus puntos de discon-tinuidad, obtener sus asıntotas horizontales y verticales y esbozar su grafica.

Contenido

1. Definicion de funcion continua en un punto.

2. Continuidad de la suma, producto, cociente y la composicion de funciones.

3. Intervalos de continuidad de una funcion.

4. Puntos de discontinuidad y su clasificacion.

5. El teorema del valor intermedio.

6. Determinacion grafica y estimacion numerica del lımite al infinito de una funcion.

7. Calculo de lımites al infinito y asıntotas horizontales.

8. Determinacion grafica y estimacion numerica de los lımites infinitos de una funcion en unpunto.

9. Graficas de las funciones tangente y secante.

10. Esbozo de la grafica de una funcion racional.


1. Determinar grafica y algebraicamente si una funcion es continua en un punto dado.

2. Encontrar los intervalos de continuidad de una funcion, graficamente y usando las propiedadesde las funciones continuas.

3. Determinar los valores de las constantes de una funcion seccionada para que sea continua.

4. Determinar y clasificar los puntos de discontinuidad de una funcion.

5. Utilizar el teorema del valor intermedio para garantizar la existencia de solucion de unaecuacion en un intervalo de longitud dada.

6. Determinar grafica, numerica y analıticamente los lımites al infinito de una funcion racional.

29

7. Determinar grafica, numerica y analıticamente los lımites infinitos de una funcion racionalen un punto dado y encontrar las ecuaciones de las asıntotas verticales.

8. Proponer funciones racionales que tengan discontinuidades removibles (o evitables) yasıntotas horizontales y verticales especificadas de antemano.

9. Dada una funcion racional, determinar su dominio, sus raıces, las ecuaciones de sus asınto-tas horizontales y verticales, sus intervalos de continuidad, sus puntos de discontinuidad ybosquejar su grafica.

10. Bosquejar las graficas de las funciones tangente y secante.

Actividades

1. Estudia las secciones 2.5 y 2.6 de la Decimosegunda edicion del Thomas y resuelve ejerciciosdiversos que cubran todos los indicadores de evaluacion de esta unidad. Te sugerimos iniciarcon ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultad hasta alcanzar elnivel de los ejercicios de la tarea.






1. Bosqueja la grafica de

f(x) =

2 + x2, si x < 0,2− 3x, si 0 ≤ x ≤ 1,2− x2, si 1 < x,

y determina en que puntos es continua esta funcion.

2. Utiliza las propiedades de las funciones continuas para determinar los intervalos de con-tinuidad de las siguientes funciones.

(a) y = 3x− x

x− 3, (b) y =

x2 − xx2 + 5x− 6

, (c) y =3x+ 1senx

.

3. Determina los valores de a y b para que las siguientes funciones sean continuas:

f(x) =

{x2 − 2a+ 1, si x ≤ 0,a− x, si x ≥ 0.

g(x) =

{b2x2 − bx− 1, si x ≤ 1,1− b2x, si 1 ≤ x.

4. Determina y clasifica los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones:

(a) y =x2 − x− 2x− 2

, (b) y =x2 − 4

1− |x− 1| .

30

5. Encuentra un intervalo de longitud 1/10 que contenga una raız de cada una de las siguientesecuaciones:

(a) x3 + 2x− 2 = 0, (b) 5x+ cosx = 2x− 4.

6. En cada caso, propon diez numeros diferentes muy grandes (positivos o negativos, segun elcaso) y utiliza tu calculadora para calcular f(x) en cada uno de los numeros que propusiste.Elabora una tabla con estos datos para estimar:

(a) lımx→∞

x2 − 164− 2x2

, (b) lımx→∞

x senx+ x5/3

x2 − 4x+ 1.

7. En cada caso, propon veinte numeros diferentes muy cercanos a x0 y utiliza tu calculadorapara calcular f(x) en cada uno de los numeros que propusiste. Elabora una tabla con estosdatos para estimar:

(a) lımx→1

x2 + x− 21− x2

, (b) lımx→3

x senx+ x5/3

x2 − 4x+ 3.

8. Sugiere una funcion f(x) que tenga una discontinuidad evitable en x = 1/2 y una esencialen x = −3 pero que sea continua en los demas valores de x.

9. Considera la funcion y =x2 − 25

(2x− 5)(x+ 5)y determina:

Su dominio.

Sus ceros.

Sus intervalos de positividad.

Sus intervalos de continuidad.

El tipo de sus discontinuidades.

Su rango.

Las ecuaciones de sus asıntotas horizontales y verticales.

Utiliza esta informacion para esbozar su grafica.

10. Considera la funcion y = tan(x/2) y determina:

Su dominio.

Sus ceros.

Sus intervalos de positividad.

Sus intervalos de continuidad.

El tipo de sus discontinuidades.

Su rango.

Las ecuaciones de sus asıntotas horizontales y verticales.

Utiliza esta informacion para esbozar su grafica.


Si te hace falta practica adicional, te sugerimos elegir en tu libro de texto algunos de losejercicios que te proponemos a continuacion:

Seccion 2,5: 1, 4, 5, 6, 13, 17, 20, 24, 27, 30, 31, 38, 41, 44, 46, 57, 58, 69, 71, 73, 76.

Seccion 2.6: 1, 2, 3, 6, 7, 9, 12, 13, 16, 19, 22, 23, 26, 29, 32, 35, 37, 40, 41, 43, 46, 49, 53,54, 56, 59, 62, 80, 81 y 82.

31

Unidad 9

Funciones derivables

Objetivo

Usar la definicion y las reglas basicas de derivacion para calcular la derivada de una funcion.Obtener la recta tangente a la grafica de una funcion en uno de sus puntos y la aproximacionlineal estandar a una funcion en un punto dado; ası como la velocidad instantanea de un objetoen movimiento y la tasa de cambio instantanea de una funcion en un instante dado.

Contenido

1. Calculo de la derivada de una funcion en un punto a partir de la definicion.

2. Definicion de recta tangente.

3. Definicion de velocidad instantanea.

4. Definicion de aproximacion lineal estandar.

5. Reglas de derivacion: potencias, sumas, productos y cocientes.

6. Derivadas de orden superior.

7. Continuidad y derivabilidad (diferenciabilidad).

8. Intervalos de derivabilidad.

9. La derivada como razon de cambio en contextos concretos.


1. Calcular la derivada de una funcion en un punto dado a partir de la definicion.

2. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de una funcion en unode sus puntos.

3. Decidir si una funcion es derivable en un punto dado e identificar grafica y algebraicamentelos intervalos de derivabilidad de una funcion.

4. Explicar grafica y analıticamente la inexistencia de la derivada de una funcion en un puntodado.

5. Calcular derivadas de primer orden y de orden superior usando las reglas de derivacionpara potencias, sumas, productos y cocientes.

6. Analizar el movimiento rectilıneo de una partıcula, determinando su velocidad y acel-eracion en cada instante a partir de su ecuacion de movimiento.

32

7. Interpretar la derivada como una razon de cambio en contextos concretos.

8. Encontrar la aproximacion lineal estandar y estimar los valores de una funcion alrededorde un punto dado.

9. Explicar graficamente por que una funcion puede ser continua en todos los puntos de sudominio pero no necesariamente derivable en algunos de ellos.

Actividades

1. Estudia las secciones 3.1, 3.2, 3.3, 3.4 y 3.9 de la Decimosegunda edicion del Thomas y re-suelve ejercicios diversos que cubran todos los indicadores de evaluacion de esta unidad. Tesugerimos iniciar con ejercicios sencillos y aumentar paulatinamente el grado de dificultadhasta alcanzar el nivel de los ejercicios de la tarea.






1. Calcula la derivada de las siguientes funciones a partir de la definicion:

(a) y = x2 − 1, (b) y =√

1− x, (c) y = cos(2θ).

2. Encuentra las ecuaciones de las rectas tangente y normal a las graficas de las funcionessiguientes en los puntos dados:

(a) y = x2 − 1, (2, 3); (b) y =√x, (4, 2); (c) y =

3x+ 1x

, (1, 4).

3. Usa las reglas de derivacion para determinar los intervalos de derivabilidad de las siguientesfunciones y calcula sus derivadas:

(a) y = 5x3 − x1/3, (b) y =(√

x− 3√x

)(x+

2x

), (c) y =

(t+ 1)(t− 2)(t− 1)(t+ 2)

.

4. Explica grafica y analıticamente por que la funcion f(x) = 3 + |3x− 6| no es derivable enx = 2 pero sı lo es en los demas valores de x. Calcula f ′(x) para x 6= 2.

5. Calcula la primera y la segunda derivada de las siguientes funciones:

(a) y = x− tanx, (b) y =t+ 1t− 1

, (c) y =senx

1 + cosx.

6. La posicion de un movil en el tiempo t esta dada por s = 12t− t3, tomando t en segundosy s en metros. En cada caso determina:

a) La velocidad y la aceleracion de ese cuerpo para t = 2.

b) Los instantes en que cambia de direccion el movimiento del cuerpo.

33

c) Los instantes y velocidades del cuerpo cuando pasa por s = 0.

7. Expresa graficamente y en lenguaje de derivadas los siguientes enunciados y sugiere fun-ciones que modelen estas situaciones:

a) El precio del petroleo se ha mantenido estable.

b) El precio del petroleo esta subiendo.

c) El precio del petroleo dejo de bajar.

8. Para cada una de las siguientes funciones, encuentra la aproximacion lineal estandar enlos puntos dados:

(a) f(x) =√x, en a = 25; (b) f(x) = 4

√x, en a = 16; (c) f(x) = secx, en a = 0.

Usando estas aproximaciones y sin usar tu calculadora encuentra un valor aproximado de√26, 4√

15.5 y sec(0.2).

9. Se desea construir una tuberıa de hierro cuya longitud es de 2.5 km y cuyo radio interiores de 15 cm. Si se requiere que el radio exterior de esa tuberıa sea de 15.5 cm, utiliza unaaproximacion lineal para estimar la cantidad de hierro que se necesita para su construccion.Luego, calcula el volumen exacto del hierro requerido y calcula el error de la aproximacion.

10. Dibuja la grafica de una funcion y = f(x), que sea continua para toda x ∈ R pero que nosea derivable en x = 0, x = 2, x = 3 y x = 10.



Seccion 3.1: 2, 3, 5, 8, 11, 14, 17, 19, 22, 24, 27, 29, , 39, 42 y 45.

Seccion 3.2: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 23, 26, 27, 30, , 31, 34, 36 y 53.

Seccion 3.3: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 29, 32, 33, 36, 39, 40, 41, 43, 45, 48, 65 y 66.

Seccion 3.4: 2, 4, 7, 8, 9, 14, 20 y 26.

Seccion 3.9. 1, 3, 4, 7, 9, 12, 14, 15, 42, 43 y 44.

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Unidad 10

Evaluacion global

“Caminante, no hay camino,se hace camino al andar.”

Antonio Machado (1875–1939)

Objetivo

Reafirmar, unificar e integrar todos los temas, conceptos y metodos estudiados en el curso.

Contenido

Todos los temas del curso.


1. Resolver desigualdades lineales, cuadraticas y cocientes de lineales y expresar las solucionesen notacion de intervalos.

2. Realizar la suma, resta, multiplicacion, division y composicion de funciones y determinarsus correspondientes dominios.

3. Dada una funcion trigonometrica, determinar su amplitud, periodo, frecuencia, rango,ceros e intervalos de positividad y usar esta informacion para esbozar su grafica.

4. Estimar y calcular el lımite de una funcion en un punto y encontrar sus asıntotas horizon-tales y verticales.

5. Determinar grafica y analıticamente los intervalos de continuidad de una funcion y clasi-ficar sus discontinuidades.

6. Utilizar el teorema del valor intermedio para garantizar la existencia de soluciones de unaecuacion en un intervalo de longitud dada.

7. Dada una funcion racional, determinar su dominio, sus raıces, sus intervalos de continuidad,las ecuaciones de sus asıntotas horizontales y verticales, sus puntos de discontinuidad yusar esta informacion para esbozar su grafica.

8. Utilizar funciones para modelar situaciones en contextos reales.

9. Usar la definicion de derivada para calcular la derivada una funcion en un punto dado.

10. Obtener las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la grafica de una funcion en unode sus puntos.

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11. Determinar la velocidad y aceleracion instantaneas de una partıcula que se mueve en lınearecta, a partir de su ecuacion de movimiento.

12. Usar las reglas basicas de derivacion de sumas, productos, cocientes y potencias paracalcular derivadas.

13. Encontrar la aproximacion lineal estandar y estimar los valores de una funcion alrededorde un punto dado.

Actividades y tarea

1. Revisa cuidadosamente el material del curso siguiendo lo que te senalan los indicadores deevaluacion de esta unidad, especialmente el que aun no dominas. ¡Aprovecha esta ulti-ma oportunidad para revisar a profundidad los temas que no te quedaronclaros en el curso y resuelve todas tus dudas! ¡Asiste a asesorıa tantas vecescomo te haga falta! Recuerda que la calificacion que obtengas en esta unidad sera tutercera calificacion parcial.

2. El requisito para presentar el examen de esta unidad es que entregues un ensayo en el querespondas la pregunta ¿que problemas de la fısica motivaron a Isaac Newton (1642-1727)investigar el calculo diferencial e integral? Tu ensayo debe ser de una cuartilla y debes es-cribirlo a mano, con tus propias palabras, de manera clara y con buena ortografıa. Recuerdaque copiar textualmente de tu fuente de informacion sin dar el credito correspondiente esun plagio.


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Ventajas del SAI

A continuacion encontraras algunas de las ventajas y beneficios de estudiar calculo en elSAI:

¡La estrella de la pelıcula eres tu, no el profesor!

Puedes asistir a asesorıa y a examenes tantas veces como quieras, todos los dıas habilesdel trimestre, de 13:00 a 16:00 hrs.

Puedes consultar a cualquiera de nuestros instructores de calculo, que tienen el compromisoprofesional de supervisar tus avances y ayudarte a resolver todas tus dudas del curso.

Puedes solicitar asesorıas adicionales a cualquiera de los instructores.

Todas tus tareas y examenes se califican en tu presencia, para que confirmes tus aciertos,detectes tus errores y adquieras seguridad acerca de lo que sabes.

Todos tus examenes se califican en el dıa que los tomas o en la siguiente sesion que losolicites. De este modo, dispones de retroalimentacion inmediata para proseguir con tuaprendizaje.

En vez de reprobarte en tus tareas y examenes, te mostramos tus errores y te asesoramospara que te prepares mejor y te sometas nuevamente a evaluacion, hasta que apruebes. Aeste proceso del SAI le llamamos reciclar.

Puedes mejorar tus calificaciones aprobatorias parciales (de las evaluaciones integradoras),tomando nuevamente el examen, a mas tardar dos sesiones despues.

Tu calificacion final es el promedio de tus calificaciones parciales; siempre es aprobatoriay la puedes mejorar sometiendote a un examen oral.

No pierdes los esfuerzos realizados. Si trabajando a tu ritmo no concluyes el curso, puedesreanudarlo en el trimestre siguiente a partir de donde te quedaste, siempre y cuando hayasaprobado al menos CINCO unidades.

Puedes adelantar materias. Si concluyes el curso antes de terminar el trimestre, puedesiniciar el curso siguiente y se te toman en cuenta todos tus avances.

Puedes aprovechar la semana de examenes de recuperacion para avanzar en el curso.

Siempre se cubre el cien por ciento del programa del curso.

Te das cuenta que lo mas importante es aprender y que pasar los examenes es una conse-cuencia.

Si apruebas nuestros cursos, ¡nunca volveras a tener problemas con calculo ni te dejarasvencer facilmente por la flojera!

Descubres que hay una inmensidad de retos que puedes vencer sin ayuda.

El placer de hacer las cosas por ti mismo te da motivacion y caracter para dejar de serespectador y convertirte en actor.

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Adquieres una actitud reflexiva, crıtica y edificante de tu propio conocimiento.

Adquieres seguridad, independencia y disciplina para continuar en tus estudios con may-ores posibilidades de exito.

Debido al vertiginoso avance de la ciencia y tecnologıa de nuestro tiempo, es importantısimoactualizarse constantemente. Por esta razon, en los cursos de calculo del SAI nos parece im-prescindible conferirte un buen grado de responsabilidad para que ¡tomes la iniciativa de tupropio aprendizaje! Hay evidencias que los alumnos que asumen esta responsabilidad y adoptanuna conducta activa hacia su educacion, aprenden mas y mejor que aquellos que pasivamenteesperan que sus profesores les ensenen.

Esta probado que la experiencia de tomar cursos en el SAI te da seguridad y desarrollatus habilidades para adquirir nuevos conocimientos por ti mismo; ası como para enfrentar losdesafıos de tu profesion de manera independiente. Sin duda, estas aptitudes haran de ti unprofesional mucho mas competitivo en el mercado laboral y en el postgrado.

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Formulario de calculo del SAI

Perımetros, areas y volumenes

1. Perımetro

Rectangulo de base b y altura a:

P = 2a+ 2b.

Polıgono regular de n lados de longitud l:

P = nl.

Cırculo de radio r:P = 2πr, con π = 3,14159...

2. Area

Triangulo de base b y altura a:

A =ba

2.

Triangulo de lados a, b y c, Formula de Heron de Alejandrıa:

A =√S(S − a)(S − b)(S − c).

S = (a+ b+ c)/2 se llama semiperımetro del triangulo.

Rectangulo de base b y altura a:A = ab.

Trapecio de base mayor B, base menor b y altura a:

A =(B + b)a

2.

Polıgono regular de n lados de longitud l y apotema de longitud a:

A =nla

2=Pa

2.

El apotema de un polıgono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de suslados.

Cırculo de radio r:A = πr2.

Elipse de semiejes a y b:A = πab.

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Esfera de radio r:A = 4πr2.

Area lateral de un cono de radio r y altura a:

A = πr√r2 + a2.

3. Volumen

Caja de altura a y base rectangular de lados b y c:

V = abc.

Esfera de radio r:V =

43πr3.

Cilindro de radio r y altura a:V = πr2a.

Cono de radio r y altura a:

V =13πr2a.

Trigonometrıa

Teorema de Pitagoras.

En un triangulo rectangulo de catetos a y b e hipotenusa h (Figura 1) se cumple la relacion

h2 = a2 + b2.

Recıprocamente, si en un triangulo de lados a, b y h se cumple la relacion anterior, entonceses un triangulo rectangulo de catetos a y b e hipotenusa h.

Funciones trigonometricas del angulo θ (Figura 1):

sen θ =a

h, cos θ =

b

h, tan θ =

a

b.

b

ah

θ

Figura 1: Triangulo rectangulo

40

Las funciones trigonometricas de los angulos de 45◦, 30◦ y 60◦ se calculan facilmenteusando los triangulos de la Figura 2.

1

1√

2

45◦

√3

12

60◦

30◦

Figura 2: Triangulos especiales

Funciones trigonometricas del angulo t (Figura 3):

sen t = y, cos t = x, tan t =y

x.

x

y

t

(x, y)

(1, 0)

t radianes

Figura 3: Cırculo trigonometrico

Conversion de grados a radianes. Si la medida de un angulo en grados es A y en radianesθ, entonces,

θ =π

180A.

Longitud l de un arco de θ radianes de un cırculo de radio r:

l = θr.

Area de un sector de θ radianes de un cırculo de radio r:

A =12θr2.

Identidades trigonometricas basicas:

tan θ =sen θcos θ

, cot θ =cos θsen θ

, sec θ =1

cos θcsc θ =

1sen θ

.

41

Identidades pitagoricas:

sen2 θ + cos2 θ = 1, 1 + tan2 θ = sec2 θ, 1 + cot2 θ = csc2 θ.

Formulas para la suma:

sen(A±B) = senA cosB ± senB cosA, cos(A±B) = cosA cosB ∓ senA senB.

Formulas para el angulo doble:

sen(2u) = 2 senu cosu, cos 2u = cos2 u− sen2 u.

Formulas para el angulo medio:

sen2 u =1− cos 2u

2, cos2 u =

1 + cos 2u2

.

Ley de los senos. En un triangulo de lados a, b y c, cuyos angulos opuestos respectivosson A, B y C, se satisface la relacion

senAa

=senBb

=senCc

.

Ley de los cosenos. En un triangulo de lados a, b y c, en el que C es el angulo opuestoa c, se satisface la relacion

c2 = a2 + b2 − 2ab cosC.

Otras formulas:

tan(A±B) =tanA± tanB

1∓ tanA tanB

sen(−u) = − senu

cos(−u) = cosu

tan(−u) = − tanu

−|θ| ≤ sen θ ≤ |θ|.

Propiedades de logaritmos y exponenciales

1. ln(ex) = x, x ∈ R.

2. eln x = x, x > 0.

3. ln(xy) = y lnx, x > 0, y ∈ R.

4. ax = ex ln a, a > 0.

5. loga x =lnxln a

, x > 0, a > 0, a 6= 1.

6. ln(xy) = lnx+ ln y, x > 0, y > 0.

7. ln(x

y

)= lnx− ln y, x > 0, y > 0.

8. loga x =logb xlogb a

, a > 0, b 6= 1, b > 0.

Reglas de derivacion

Notacion: u′ =du

dx

Linealidad(cu)′ = cu′, (u± v)′ = u′ ± v′.

Regla del producto(uv)′ = uv′ + vu′.

42

Regla del cociente (uv

)′=vu′ − uv′

v2.

Regla de la cadenady

dx=dy

du

du

dx.

Diferenciacion logarıtmica

(lnµ)′ =µ′

µ.

Otras formulas

1. Si c es una constante, (c)′ = 0

2. (|u|)′ =u

|u| (u′)

3. (un)′ = nun−1u′

4. (au)′ = (ln a)auu′

5. (eu)′ = euu′

6. (loga u)′ =u′

(ln a)u

7. (senu)′ = (cosu)u′

8. (cosu)′ = −(senu)u′

9. (tanu)′ = (sec2 u)u′

10. (cotu)′ = −(csc2 u)u′

11. (secu)′ = (secu tanu)u′

12. (cscu)′ = −(cscu cotu)u′

13. (arc sen u)′ =u′√

1− u2

14. (arc cosu)′ = − u′√1− u2

15. (arctanu)′ =u′

1 + u2

16. (arccot u)′ = − u′

1 + u2

17. (arcsec u)′ =u′

|u|√

u2 − 1

18. (arccsc u)′ = − u′

|u|√

u2 − 1

Formulas basicas de integracion

Linealidad∫kf(u)du = k

∫f(u)du, k ∈ R;

∫(f(u)± g(u)) du =

∫f(u)du±

∫g(u)du.

Formula de integracion por partes∫f(x)g′(x)dx = f(x)g(x)−

∫f ′(x)g(x)dx o bien

∫udv = uv −

∫vdu.

Regla de sustitucion o de cambio de variables. Si u = g(x), entonces∫f(g(x))g′(x)dx =

∫f(u)du o

∫ b

a

f(g(x))g′(x)dx =∫ g(b)

g(a)

f(u)du.

43

introduccion al calculo, sai 12 p

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