Introducción alAnálisis factorial confirmatorioLectura básica:Cap. 13 del texto

Ampliación:Brown, T. A. (2006). Confirmatory Factor Analysis for Applied Research. New York: The Guilford Press.

Programas: LISREL, AMOS, EQS, Mplus

2

1.) AFE versus AFC2.) Aplicaciones

3

Ítems del EPQ-R (neuroticismo)Z1. ¿Su estado de ánimo sufre altibajos con frecuencia?

Z2. ¿Se siente a veces desdichado sin motivo?

Z3. ¿A menudo se siente solo?

Z4. ¿Es usted una persona sufridora?

Z5. ¿Se inquieta por cosas terribles que podrían suceder?

Z6. ¿Se siente intranquilo por su salud?

z1 z2 z3 z4 z5 z6

Z1 1 .529 .352 .294 .210 .146

Z2 1 .420 .259 .216 .086

Z3 1 .307 .240 .132

Z4 1 .276 .218

Z5 1 .271

Z6 1

4

MUCHAS SOLUCIONES

POSIBLES

F1 F2 z1 z2 z3 z4 z5 z6

Z1 ? ?

r*\r

Z1 .529 .352 .294 .210 .146

Z2 ? ? Z2 .526 .420 .259 .216 .086

Z3 ? ? Z3 .364 .419 .307 .240 .132

Z4 ? ? Z4 .277 .275 .271 .276 .218

Z5 ? ? Z5 .230 .205 .241 .288 .271

Z6 ? ? Z6 .133 .084 .161 .231 .251

Residual

Z1

Z2 .003

Z3 -.012 .001

Z4 .017 -.016 .036

Z5 -.021 .011 -.001 -.012

Z6 .014 .002 -.029 -.013 .021

Minimizar diferencias entre la matriz de Minimizar diferencias entre la matriz de correlaciones observada y la reproducidacorrelaciones observada y la reproducida

1 factor?

2 factores?

3 factores?

5

Matriz de correlaciones entre los factores

1.000 .473

.473 1.000

Factor1

2

1 2

Método de extracción: Máxima verosimilitud. Metodo de rotación: Normalización Oblimin con Kaiser.

Análisis Factorial ExploratorioAnálisis Factorial ExploratorioMatriz de configuración.a

.628 .064

.866 -.121

.453 .185

.189 .424

.073 .505

-.078 .509

z1 (altibajos)

z2 (desdichado)

z3 (solo)

z3 (sufridora)

z5 (cosas terribles)

z6 (salud)

1 2

Factor

Método de extracción: Máxima verosimilitud. Metodo de rotación: Normalización Oblimin con Kaiser.

La rotación ha convergido en 5 iteraciones.a. ¿Su estado de ánimo sufre altibajos con frecuencia?

¿Se siente a veces desdichado sin motivo?

¿A menudo se siente solo?

¿Es usted una persona sufridora?

¿Se inquieta por cosas terribles que podrían suceder?

¿Se siente intranquilo por su salud?

z1 = .628 * F1 + .064 * F2 + E1

z2 = .866 * F1 - .121 * F2 + E2

z3 = .453 *F1 + .185 * F2 + E3

z4 = .189 * F1 + .424 * F2 + E4

z5 = .073 * F1 + .505 * F2 + E5

z6 = .078 * F1 + .509 * F2 + E6

)min( 1

22

1

21

1

22

21

JJJ

J

jj

J

jj

J

jjj

6

z3

F1

z1 E1

E3

z2 E2

z4 E4

z5 E5

z6 E6

F2

Modelo exploratorioModelo exploratorio

Cuantos factores?

Criterio para la Rotación?

DATOS MODELO

REPRESENTACIÓN:

7

z3

F1

z1 E1

E3

z2 E2

z4 E4

z5 E5

z6 E6

F2

Modelo confirmatorioModelo confirmatorio

MODELODATOS

Factor 1

Factor 2

Z1 0.694 0

Z2 0.736 0

Z3 0.565 0

Z4 0 0.590

Z5 0 0.520

Z6 0 0.383rF1F2=0.631

8

z3

F1

z1 E1

E3

z2 E2

z4 E4

z5 E5

z6 E6

F2

Modelo exploratorio:Modelo exploratorio:

Modelo inicialModelo inicial

DATOSMODELO

Factor 1

Factor 2

Z1 0 0

Z2 X 0

Z3 X X

Z4 X X

Z5 X X

Z6 X XrF1F2= 0

9

AFE versus AFC

Similitudes

- Técnica de reducción de dimensionalidad: Se buscan (pocos) factores comunes que expliquen la matriz de var-cov, S.

- Muchos procedimientos (p.e., de estimación) son comunes a AFE y AFC.

Diferencias

- No explora la relación entre variables o constructos, sino que las contrasta:- Se supone un número concreto de factores comunes y qué variables

empíricas (indicadores) los miden.- Se supone la existencia o no de relación entre los factores.

- Se pueden establecer correlaciones entre los términos de error.- No es necesario un método de rotación.

10

Ventajas del modelo confirmatorio (I)

Permite evaluar el ajuste estadístico de nuestros modelos teóricos… fijando:

• Número de factores• Ítems que saturan en cada factor• Especificando errores de medida

correlacionados

11

Ventajas del modelo confirmatorio (II)

x3

F1

x1 E1

E3

x2 E2

x4 E4

x5 E5

x6 E6

F2

- Contraste de hipótesis de invarianza de parámetros a través de

sexo, país, nivel educativo,… (tests ó ítems –DIF-)

- Análisis de las estructuras de medias

x3

F1

x1 E1

E3

x2 E2

x4 E4

x5 E5

x6 E6

F2

=

Grupo 1 Grupo 2

12

Modelo confirmatorioModelo confirmatorio

Modelos complejos: Análisis factorial de 2º orden, modelos con

errores correlacionados

Ventajas del modelo confirmatorio (III)

13-Obtención de la correlación entre constructos (similar a la corrección por atenuación). Validación de constructo, mostrando la validez convergente de los

indicadores que se espera que estén asociados, y la discriminante (no correlación de los que se espera que no correlacionen).

Ventajas del modelo confirmatorio (Iv)

14

-Tratamiento de los efectos de método: por ejemplo,

los ítems directos e inversos en los cuestionarios. En

AFE salen como factores espúreos, no sustantivos.

Ventajas del modelo confirmatorio (V)

15

- Evaluación psicométrica de tests:

- Enfoque alternativo a TRI… análisis factorial para datos categóricos

- Modelo logístico de 2 parámetros

- Modelo de respuesta graduada.

- modelos multidimensionales de TRI…

- Nuevas medidas de fiabilidad…

Ventajas del modelo confirmatorio (VI)

Representación de los modelos

17

Se representan mediante “diagramas causales” o “path diagrams”:

Tipos de variables:

OBSERVABLES:

LATENTES: Muy importante el concepto de factor latente!

F1

x2

x1

x3

x1

Representación de modelos

18

Tipos de relaciones (siempre lineales):

FLECHAS BIDIRECCIONALES:

Covarianzas o correlaciones

FLECHAS UNIDIRECCIONALES:

Pesos no estandarizados

o pesos estandarizados x1

F1

x1

x2

E1

E2

19

EXOGENAS: Variables que el modelo NO intenta explicar (ninguna flecha las apunta)

ENDOGENAS: Variables que en el modelo se intentan explicar. Toda variable endogena tiene un error.

F1x1

x2

x3

e1

e2

e3

20

Objetivo cuando se genera un modelo confirmatorio:

• Generar un modelo que sea compatible con la matriz de varianzas-covarianzas entre todas las variables.

• Las varianzas y covarianzas son función de los parámetros del modelo.

21

Ingredientes del modelo

Para especificar el modelo, hay que fijar:

1) Número de factores comunes.2) Relaciones entre las xs y los factores comunes.3) Si existe o no covariación entre los factores comunes

(y entre cuales).4) Si existe o no covariación entre los factores únicos (y

entre cuales).

Ecuaciones del modelo

23

Análisis

Factorial

(1 factor)

Matriz de varianzas-covarianzas reproducida

24131

22111

22242

2

22211

2

143

21

414

111

...

...

Fxx

Fxx

eFx

eFx

41414

31313

21212

11111

eFx

eFx

eFx

eFx

x1

x2

e1

x3

e2

e3

F1

λ11

λ21

λ31

1

1

1

e12

e22

e32

x4e4

e42

1

λ41

F12

Modelo:Ecuaciones:

x1 x2 x3 x4

x1 100

x2 16 100

x3 24 24 100

x4 28 28 42 100

24

Análisis

Factorial

(1 factor)

21

2211

1121

2211

111121

21

211

11111111112

1

111

1

2

2

))((

eF

FeeF

x

N

eF

N

e

N

F

N

eFeF

N

xx

11111 eFx

x1

x2

e1

x3

e2

e3

F1

λ11

λ21

λ31

1

1

1

e12

e22

e32

x4e4

e42

1

λ41

F12

21

2211

2

11 eFx Path analysis (Análisis de Senderos)

26

Análisis

Factorial

(1 factor)

22111

21112

2111

11212111212

12111

2121111121

1

1112211

21

))((

F

FeFeeeF

xx

N

eF

N

eF

N

ee

N

F

N

eFeF

N

xx

21212

11111

eFx

eFx

x1

x2

e1

x3

e2

e3

F1

λ11

λ21

λ31

1

1

1

e12

e22

e32

x4e4

e42

1

λ41

F12

22111 121 Fxx

Path analysis (Análisis de Senderos)

Identificación del modelo

Ecuaciones… e incognitasx+u=1y+v=1x*y=0.24-----x+u=1y+v=1z+w=1x*y=0.25z*y=0.24z*x=0.24-----x+u=1y+v=1z+w=1t+r=1x*y=0.25z*y=0.24z*x=0.24t*x=0t*y=0t*z=0

Infinitas soluciones

Identificación…

Ajuste….

30

¿es estimable el modelo?

• Datos o ecuaciones disponibles (p(p+1)/2)Elementos de la matriz de varianzas-covarianzas

• Parámetros a estimar (t):

- 10 ecuaciones- 9 parámetros

2222241312111 43211

,,,,,,,, eeeeF Parámetros del modelo: t

- Pesos libres entre las variables exógenas y las endogenas

- Varianzas/covarianzas entre las variables exógenas No son parámetros del modelo:

-Varianzas y Covarianzas de las variables endógenas

434232

4131214321

,,

,,,,,,, 2222

xxxxxx

xxxxxxxxxx

31

Métrica del factor latente…

24131

22111

22241

2

22211

2

143

121

414

111

...

...

Fxx

Fxx

eFx

eFx

1*

1 4FF

2*

*41

*31

2*

*21

*11

22*

2*41

2

222*11

2

143

121

414

1*

11

...

...

Fxx

Fxx

eFx

eFx

4

4

1*1

222

1*

jj

FF

32

Métrica del factor latente…

41312111

2

,,,

11

F

)(),(),(),(

1

11

41*41

11

31*31

11

21*21

211

2

*11

*

F

)(),(),(),(

1

21

41*41

21

31*31

21

11*11

221

2

*21

*

F

7,6,4,4 41312111

33

Análisis

Factorial

(1 factor)

Matriz de varianzas-covarianzas reproducida

41414

31313

21212

11111

eFx

eFx

eFx

eFx

x1 x2 x3 x4

x1 100

x2 16 100

x3 24 24 100

x4 28 28 42 100

x1

x2

e1

x3

e2

e3

F1

λ11

λ21

λ31

1

1

1

e12

e22

e32

x4e4

e42

1

λ41

F12

Modelo:

Restricciones:

- Fijar un peso factorial a 1- Fijar la varianza del factor a 1

34

¿es estimable el modelo?

• Datos o ecuaciones disponibles (p(p+1)/2)Elementos de la matriz de varianzas-covarianzas: 10

• Parámetros a estimar (t): 8

• Grados de libertad: 2Gl=(p(p+1)/2)-t

< 0: Modelo no identificado, hay más incógnitas que ecuaciones0: Modelo saturado o exactamente identificado. Solución única. Reproduce

exactamente la matriz de varianzas-covarianzas>0: Modelo sobreidentificado. Si hay más ecuaciones que incógnitas no hay

una solución exacta. Buscaremos aquella solución que haga lo más parecidas posibles la matriz de varianzas-covarianzas observada y la reproducida.

2222241312111 43211

,,,,,,,,1 eeeeF

SINTAXIS MPLUS

(MATRIZ DE VARIANZAS-COVARIANZAS)

x1

x2

e1

x3

e2

e3

F1

1

1

.1.5

1

1

1

84

84

64

x4e4

511

1.75

75.1

5.1

1

1

16

41

31

21

11

21

F

51

64

84

84

24

23

22

21

e

e

e

e

Parámetros obtenidos (sin estandarizar):

16

MODEL RESULTS

Estimates S.E. Est./S.E. Std(**) StdYX(*)

F BY X1 1.000 0.000 0.000 4.000 0.400 X2 1.000 0.417 2.398 4.000 0.400 X3 1.500 0.536 2.799 6.000 0.600 X4 1.750 0.640 2.734 7.000 0.700

Variances F 16.000 9.707 1.648 1.000 1.000

Residual Variances X1 84.000 13.285 6.323 84.006 0.840 X2 84.000 13.285 6.323 83.999 0.840 X3 64.000 14.206 4.505 63.995 0.640 X4 51.000 16.272 3.135 51.010 0.510

RESULTADOS MPLUS

- Coeficientes de la ecuación de regresión (cambios de x en función de cambios en F). Por ejemplo, 4 puntos de cambio en F (una DT) llevan a 4 puntos de cambio en X1.

- Varianza de los errores de pronóstico. La varianza de X1 es 100 (en la población general). Sin embargo, para gente igualada en F la varianza de X1 es 84.

Significación estadística

2e

38

Matriz de varianzas-covarianzas reproducida

x1 x2 x3 x4

x1 100

x2 16 100

x3 24 24 100

x4 28 28 42 100

x1 x2 x3 x4

x1 100

x2 16 100

x3 24 24 100

x4 28 28 42 100OBSERVADA REPRODUCIDA SEGÚN LOS

PARÁMETROS DEL MODELO

RESIDUOS (observada – estimada)

x1 x2 x3 x4

x1 0

x2 0 0

x3 0 0 0

x4 0 0 0 0

22111

22211

2

21

11

Fxx

eFx

75.1

5.1

1

1

16

41

31

21

11

2

F

51

64

84

84

24

23

22

21

e

e

e

e

MODEL RESULTS

Estimates S.E. Est./S.E. Std(**) StdYX(*)

F BY X1 1.000 0.000 0.000 4.000 0.400 X2 1.000 0.417 2.398 4.000 0.400 X3 1.500 0.536 2.799 6.000 0.600 X4 1.750 0.640 2.734 7.000 0.700

Variances F 16.000 9.707 1.648 1.000 1.000

Residual Variances X1 84.000 13.285 6.323 84.000 0.840 X2 84.000 13.285 6.323 84.000 0.840 X3 64.000 14.206 4.505 64.000 0.640 X4 51.000 16.272 3.135 51.000 0.510

RESULTADOS MPLUS:

- Coeficientes de la ecuación de regresión estandarizados

- Varianza de los errores de pronóstico (unicidades)

Correlaciones

(si las variables exógenas son

independientes)

unicidades

x

FF

***

2e

2

22*

22**

x

eeee

40

x1

z2

e1

x3

e2

e3

F1

.4

.4

.6

1

1

1

.84

.84

.64

z4e4

.511

.7

75.1

5.1

1

1

16

41

31

21

11

2

F

51

64

84

84

24

23

22

21

e

e

e

e

7.104

75.1

6.104

5.1

4.104

1

4.104

1

1

*41

*31

*21

*11

2

F

Parámetros obtenidos (sin estandarizar):

Parámetros obtenidos (estandarizados):

51.010051

64.010064

84.010084

84.010084

2

2

2

2

*4

*3

*2

*1

e

e

e

e

1

Para obtener el parámetro estandarizado se multiplica por la

desviación típica de la variable exógena y se divide por la

desviación típica de la variable endogena

Matriz de correlaciones reproducida

OBSERVADAREPRODUCIDA SEGÚN LOS PARÁMETROS DEL MODELO

RESIDUOS

x1 x2 x3 x4

x1 0

x2 0 0

x3 0 0 0

x4 0 0 0 0

zx1 zx2 zx3 zx4

zx1 1

zx2 .16 1

zx3 .24 .24 1

zx4 .28 .28 .42 1

zx1 zx2 zx3 zx4

zx1 1

zx2 .16 1

zx3 .24 .24 1

zx4 .28 .28 .42 1

)1(

)1(1*21

*11

2*

2*11

2

2121

11

xxxx

ex

7.

6.

4.

4.

*41

*31

*21

*11

51.0

64.0

84.0

84.0

2

2

2

2

*4

*3

*2

*1

e

e

e

e

xy

FX

rB

11

*11

42

Modelo no identificado

ξ1

x1

x2

e1

e2

Con dos indicadores, 3 datos: las dos varianzas y la covarianza.

En el ejemplo habría que estimar: 1 lambda (la otra se fija una a 1, para fijar la escala), la varianza del factor común, las varianzas de los 2 factores únicos (la covarianza entre ellos se ha fijado a cero) (4 parámetros). Luego gl = -1.

p

q

0.24=p*q

10-9=1

10-8=2

p

q

p

q

r

s

Puede ocurrir que los grados de libertad no sean negativos y, sin embargo, que el modelo no tenga solución:

- Falta de Falta de

identificación identificación

parcial empírica

10-8=2 10-9=1

p

q

p

q

z

45

Modelo en ecuaciones (2 factores)

52525

42424

32321313

21212

11111

ex

ex

ex

ex

ex

x1

x2

x3

x4

x5

e1

e2

e3

e4

e5

ξ1

ξ2

λ11

λ21

λ32

λ42

λ52

1

1

1

1

1

λ31

55

44

33

22

11

2221

1211

52

42

3231

21

11

0000

0000

0000

0000

0000

0

0

0

0

2554535251

4524434241

3534233231

2524232221

1514131221

Pesos factoriales

Varianzas-Covarianzas entre

factores latentes

Varianzas-Covarianzas entre errores

Varianzas-Covarianzas teóricas

5554535251

4544434241

3534333231

2524232221

1514131212

5522252224252223252212152211152

2252424422242223242212142211142

223252213152223242213142331232312223211

231213221113121213211113111

1252211242211232212211221111121

1252111242111232111121111111211

2554535251

4524434241

3534233231

2524232221

1514131221

2

48

x1

x2

x3

x4

x5

e1

e2

e3

e4

e5

ξ1

ξ2

21115251

49

x1

x2

x3

x4

x5

e1

e2

e3

e4

e5

ξ1

ξ2

22325212315253

50

x1

x2

x3

x4

x5

e1

e2

e3

e4

e5

ξ1

ξ2

332131322223211

231

23 2

51

Identificación del modelo15 ecuaciones: (5*6)/2

12 parámetros: 6 lambdas (λ), 1 covarianza entre factores comunes (Φij), 2 varianzas de los factores comunes (Φii), 5 varianzas de los factores únicos (θii) [Para fijar la escala, se fijan a 1 bien las dos varianzas de los factores comunes o bien una lambda de cada factor común]

Luego, tendríamos 15 – 12 = 3 grados de libertad.

x1

x2

x3

x4

x5

e1

e2

e3

e4

e5

ξ1

ξ2

λ11

λ21

λ32

λ42

λ52

1

1

1

1

1

λ31

Covariances/Correlations/Residual Correlations X1 X2 X3 X4 X5 ________ ________ ________ ________ ________ X1 100.000 X2 36.000 100.000 X3 38.000 40.000 100.000 X4 13.000 25.000 46.000 100.000 X5 13.000 10.000 48.000 53.000 100.000

MODEL RESULTS

Estimates S.E. Est./S.E. Std StdYX

F1 BY X1 5.854 1.223 4.787 5.854 0.588 X2 6.089 1.240 4.912 6.089 0.612 X3 4.850 1.222 3.970 4.850 0.487

F2 BY X3 4.764 1.128 4.222 4.764 0.479 X4 7.004 1.069 6.552 7.004 0.704 X5 7.492 1.079 6.943 7.492 0.753

F2 WITH F1 0.340 0.157 2.168 0.340 0.340

Variances F1 1.000 0.000 0.000 1.000 1.000 F2 1.000 0.000 0.000 1.000 1.000

Residual Variances X1 64.733 13.288 4.872 64.733 0.654 X2 61.932 13.611 4.550 61.932 0.626 X3 37.086 10.160 3.650 37.086 0.375 X4 49.953 11.311 4.416 49.953 0.505 X5 42.870 11.788 3.637 42.870 0.433

Cuando los predictores están correlacionados los pesos estandarizados no son correlaciones de Pearson… son correlaciones semi-parciales

rF1F2

1

11

F1

F2

X3E

x3

F2’

2,32

21

213132

3'

2 1 FF

FFxFxF

xF r

rrr

rx3F1

132 Cambios en X3, en función de la

parte de F2 que no tiene que ver con F1. Manteniendo F1, constante: cuál es el efecto de F2 en X3

2

211 FFr

1

Estimación de parámetros

57

Estimación de parámetrosEstimadores de los elementos de Σ; es decir, de Λ,

Θ y Φ, que hagan que Σ se acerque los más posible a S.

Se llama función de ajuste (o discrepancia) a F(S, )

Procedimientos de estimación:-Mínimos cuadrados no ponderados (ULS)-Mínimos cuadrados generalizados (GLS)-Máxima verosimilitud (ML)-Mínimos cuadrados ponderados (WLS)

-.001

-.001

-.002

-.244

.218

…

ˆSd

p*(p+1)/2 elementos distintos de la matriz de varianzas-covarianzas residuales

Residuals for Covariances/Correlations/Residual Correlations X1 X2 X3 X4 X5 ________ ________ ________ ________ ______ X1 -0.001 X2 -0.001 -0.002 X3 -0.244 0.218 -0.002 X4 -1.056 10.266 0.637 -0.003 X5 -2.027 -5.594 -0.516 -0.001 -0.001

¿Cómo ponderarlos?

Estimación de parámetros

Función de discrepancia: Se busca minimizar el tamaño de los residuos.

1) Valor mínimo = 0 (Ajuste perfecto)

2) Cuanto mayores son los residuos mayor es F (independientemente de la dirección de los residuos)

3) Ser cauto al utilizarlo, sensible a la escala de las variables. No asume distribución de las variables. No proporciona errores típicos.

i

iULS dSF 2)ˆ,(

ULS: Mínimos Cuadrados no Ponderados

El tamaño de las discrepancias depende de las unidades de

medida de las variables

60

1222*

1

222

222

1*1

*1

*1

1*1

1*1

dkSd

k

SkS

kxx

xx

xx

xx

Matriz de varianzas-covarianzas asintótica

s11 S12 s22

10 6 90

9 3 87

11 4 84

12 5 72

… … …

s11 s12 s22

10*k2 6*k 90

9*k2 3*k 87

11*k2 4*k 84

12*k2 5*k 72

… … …

62

s11 s12 s22

s11 S2S11

s12 SS11,S11 S2S12

s22 SS11,S22 SS12,S22 S2S22

63

Ponderación de las discrepancias

i j

jiij ddwSF )()ˆ,(

:ijwULS: s i = j , w=1, de lo contrario w=0GLS: w depende de las varianzas y covarianzas de las variables (S), más peso a la discrepancia cuanto menor las varianzas (covarianzas) de las variables implicadas. No cambia de iteración a iteración.ML: w depende de las varianzas y covarianzas de las variables , más peso a la discrepancia cuanto menor las varianzas (covarianzas) de las variables implicadas. Cambia de iteración a iteración.WLS: w tiene en cuenta la falta de normalidad de las variables, pero requiere estimar la matriz W de k*(k+1)/2 elementos, donde k=p*(p+1)/2

Se relaciona inversamente con la varianza muestral del producto de discrepancias i y j

-.001

-.001

-.002

-.244

.218

…

d

64

ML: Máxima VerosimilitudAsumiendo una distribución multivariada normal para las variables (en diferenciales) la función de verosimilitud sólo depende de la matriz de varianzas-covarianzas:

Si la distribución es multivariada normal. La matriz de varianzas-covarianzas sigue una distribución conocida (de Wishart). Por lo tanto, se maximiza la siguiente función:

pStrSSFML 11 ˆˆln)ˆ,(

)ˆ)(1(5.0ln)2(5.0ˆln)1(5.0)ln())ˆ|(( 1 StrNSpNNkSPLn

Maximizar lo anterior es equivalente a minimizar la siguiente función de discrepancia:

0)ˆ,(

ˆ

SF

S

ML

Ventaja: Proporciona medidas estadísticas de ajuste del modelo y de errores típicos de estimación

Máxima verosimilitud (ML): • Qué parámetros hacen más probables los datos observados • Se asume que las variables se distribuyen normalmente.

Mínimos cuadrados generalizados (GLS):• Se asume que las variables se distribuyen normalmente.

Mínimos cuadrados ponderados (WLS).• No asume normalidad de las variables…• …pero requiere muestras muy grandes.

Métodos robustos: Nuevos métodos (DWLS/WLSMV/MLMV)

Teóricamente…

66

ML diferirá de GLS y WLS:

Si el modelo es incorrecto.

WLS diferirá de ML y GLS :

Si los datos no se distribuyen normalmente.

67

RecomendacionesSe cumplen supuestos: ML, pues ofrece errores típicos (y

contrastes estadísticos), aunque:- Problemas de convergencia (muestras pequeñas/nº

indicadores por factor pequeño)- más casos Heywood (p.e., unicidades negativas)- resultados más distorsionados si el modelo se especifica

mal o si no se cumplen los supuestos,

ULS puede ser incorrecto si las diferencias de varianzas en las variables son arbitrarias

Comprobación del ajuste

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

Lineal (y)

Polinómica (y)

Ajuste de los modelos

2 CRITERIOS DE AJUSTE BIEN DIFERENCIADOS:

• Modelos que hagan los residuos pequeños en nuestra muestra

• Modelos parsimoniosos (¿se repetirían los resultados en otra muestra?)

71

Indicadores de ajuste

Índices de ajuste absoluto:sextensioney2

Medidas basadas en los residuos: Standardized Root Mean Squared Residuals (SRMR)

Índices de ajuste comparativo: Normed Fit Index (NFI) Non-Normed Fit Index (NNFI o TLI) Comparative Fit Index (CFI)

Medidas en errores de aproximación: Root Mean Square Error of Aproximation (RMSEA)

Medidas basadas en la información: Akaike Information Criterion (AIC) Bayes Information Criterion (BIC)

Estadístico chi-cuadrado

FN )1(2 La p asociada indica la probabilidad de obtener una función de discrepancia

tan grande como la obtenida en la muestra si nuestro modelo fuera correcto en la población.

Hipótesis nula: La función de discrepancia es cero en la poblaciónHipótesis alternativa: La función de discrepancia no es cero en la poblaciónProblemas:1. La hipótesis nula nunca es cierta. 2. Depende del tamaño de la muestra.

CHI/DF: Regla informal. El valor esperado de CHI es DF. Si la ratio es 1 entonces el modelo se ajusta. Suelen considerarse aceptables si son menores de 5 (preferiblemente menores que 3 ó 2).

Problema: sensible al tamaño muestral

x1

x2

x3

x4

x5

e1

e2

e3

e4

e5

ξ1

ξ2

λ11

λ21

λ32

λ42

λ52

1

1

1

1

1

λ31

Residuals for Covariances/Correlations/Residual Correlations X1 X2 X3 X4 X5 ________ ________ ________ ________ ______ X1 -0.001 X2 -0.001 -0.002 X3 -0.244 0.218 -0.002 X4 -1.056 10.266 0.637 -0.003 X5 -2.027 -5.594 -0.516 -0.001 -0.001

TESTS OF MODEL FIT

Chi-Square Test of Model Fit

Value 3.465

Degrees of Freedom 3

P-Value 0.3254Chi-Square Test of Model Fit for the Baseline Model

Value 110.211

Degrees of Freedom 10

P-Value 0.0000

Modelo de independencia de variables

Nuestro modelo

MODELO DE INDEPENDENCIA: MODELO EN EL QUE SE ESTIMAN COMO PARÁMETROS LAS VARIANZAS Y SE FIJAN EL RESTO DE PARÁMETROS (COVARIANZAS) A 0.

x5

x4

x3

x1

x2

e1

e2

e3

e4

e5

76

Medidas de bondad de ajuste

Índices de ajuste comparativo

2

2

2

22

1b

m

b

mb

b

mb

F

FFNFI

Regla: ≥ 0.95. Rango: 0 – 1.

b

b

m

m

b

b

b

mb

gl

glglFFF

NNFI 2

22

0,,max

0,max1 22

2

mmbb

mm

glgl

glCFI

Chi-Square Test of Model Fit

Value 3.465

Degrees of Freedom 3

P-Value 0.3254

Chi-Square Test of Model Fit for the Baseline Model

Value 110.211

Degrees of Freedom 10

P-Value 0.0000

CFI/TLI

CFI 0.995

TLI 0.985

RMR:

- El promedio de los residuos. Poco informativo si no se analiza la matriz de correlaciones.

SRMR:

- promedio de los residuos calculados sobre la matriz de correlaciones, debe ser menor que .06.

.

2/)1(*1 1

2

pp

d

SRMR

p

i

i

jij

SRMR (Standardized Root Mean Square Residual)

Value 0.031

Afecta al tamaño de los residuos:

Σ(modelo real) Σ (nuestro modelo)

S (observada)

FP: Error de Aproximación en la población

(disminuye al aumentar el número de parámetros)

(no depende del tamaño de la muestra)

S (nuestro modelo)

VA

RIA

CIO

N M

UE

ST

RA

L

VARIACION DEBIDA AL MODELO

F: Función de discrepancia

(mayor que el error de aproximación)

Err

or d

e es

timac

ión

(dep

ende

del

tam

año

de la

mue

stra

)

81

Medidas de bondad de ajusteMedidas basadas en errores de aproximaciónRMSEA (root mean square error of aproximation)

Hemos visto que (N-1)F ~χ2 con parámetro gl. si el modelo propuesto en H0 es correcto. En ese caso, en sucesivas muestras, tendremos diferentes valores de (N-1)F cuya distribución es χ2 con parámetro gl. Error de estimación.

En realidad, (N-1)F ~χ2 es no centrada con parámetros gl y parámetro de no centralidad (N-1)F0, (cuando el modelo no es correcto. Error de aproximación.

RMSEA

(Raiz del Error Cuadrático de Aproximación)

- mayor que 0. Preferiblemente por debajo de 0.05 (recomendable por debajo de 0.08, nunca por encima de 0.10)

- Indica el error de aproximación medio por cada grado de libertad.

- No depende del tamaño de la muestra

- Penaliza por la complejidad del modelo.

m

mm

m

p

gl

Ngl

gl

FRMSEA

0,

1max

2

Ejemplo (continua)

RMSEA (Root Mean Square Error Of Approximation)

Estimate 0.039

90 Percent C.I. 0.000 0.178

Probability RMSEA <= .05 0.433

84

Medidas de bondad de ajusteMedidas basadas en la información

Akaike Information criterion: AIC = 2k - 2ln(L)

Medidas basadas en la información

Bayes Information criterion: BIC = kln(N) - 2ln(L)

k = número de parámetros libresL = función de verosimilitud H0

N= tamaño muestra

Regla: cuanto menor, mas apropiado el modelo. Medida indicada para la comparación de modelos no anidados.

Loglikelihood

H0 Value -1804.876

H1 Value -1803.144

Information Criteria

Number of Free Parameters 12

Akaike (AIC) 3633.752

Bayesian (BIC) 3665.014

86

The Journal of Educational Research, 2006, 99, 6, 323-337

87

Recomendaciones

Para decidir el ajuste hay que fijarse en

- Los indicadores de ajuste vistos.

- Si los coeficientes estimados son significativos.

- La comunalidad de cada indicador.

Reespecificación de los modelosÍndices de modificación:

• Cambio 2 si añadieramos el nuevo parámetro al modelo. Si es mayor que 3.84 eso indica que el cambio sería significativo al 5%.

• Preferiblemente no utilizar o solo utilizar si las muestras son muy grandes (capitalización del azar).