NIVELACIÓN DE MATEMÁTICA

DEMETRIO CCESA RAYME

INDICE• Aplicaciones

• Definición

• Casos de polinomios

• Valor numérico• Cambio de variable

• Grados de un polinomio• Relativo

• Absoluto

• Polinomios especiales• Propiedades

• Ejercicios

-Casos, grados y clases de un polinomio.

-Polinomios especiales

POLINOMIOS

Los polinomios son una parte importante del Álgebra.

Están presentes en todos los contextos científicos y

tecnológicos: desde los ordenadores y la informática

hasta la carrera espacial.

La fórmula que expresa el movimiento

de un cuerpo en caída libre viene dada

por el siguiente polinomio:

2

2

1)( gttP

t: tiempo

g: gravedad

APLICACIONES

DEFINICIÓN

• Un polinomio es una expresión algebraica racional

entera, es decir, los exponentes de sus variables son

números enteros positivos.

• Además, un polinomio es la suma o diferencia de

monomios.

POLINOMIO

• P(x) = 3x4 +2x3 – x2 + 8x +10

• Q(x;y) = 5xy3 +10x

• R(x;y;z) = 2y4z+ 2x3 – xy2 + 8xz + z

Suma o diferencia de monomios

CASOS DE POLINOMIOS

1) 2x + 3y4

2) -4a2b – b2c

3) 6x2 - 3x + 8

4) -x2yz + 3y - 5

BINOMIOSc

c TRINOMIOS

VALOR NUMÉRICO

• El valor numérico de un polinomio es

el número que se obtiene al sustituir

las variables por números.

VALOR NUMÉRICO

Ejemplos:

1. Valor numérico de: P(x)= 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 + 𝟔 𝒑𝒂𝒓𝒂 𝒙 =-2:

P(-2)= 𝟑(−𝟐)𝟐 − 𝟓 −𝟐 + 𝟔

P(-2)= 12+10+6=28

2. Sea M(x,y)= 2𝒙𝟐𝒚 + 𝟓𝒙𝒚𝟐 − 𝒚𝟑 Calcular M(1;-3)

M(1;-3)= 2 𝟏 𝟐 −𝟑 + 𝟓 𝟏 −𝟑 𝟐 − −𝟑 𝟑

M(1;-3)=-6+45+27=66

CAMBIO DE VARIABLE

• El cambio de variable al igual que el

valor numérico, es el resultante de

reemplazar una variable en el

polinomio.

CAMBIO DE VARIABLE

• Ejemplo

Aplicando valor numérico para hallar una variable

Si P(x)=3x+1 y P(2n)=4, calcular “n”:

Esto quiere decir que cuando x=2n, entonces P(x)=4.

∴ P(2n)=4

Reemplazando en P(x):

3(2n)+1=4

6n=3

GRADOS DE UN POLINOMIO

GRADO RELATIVO CON RESPECTO A UNA VARIABLE

84653 2081);;( yzxzyxzyxP

GR(x)= GR(y)= GR(z)=4 5 8

(mayor exponente de la variable)

GA = 10 GA = 8 GA = 3

8x7y3 – 3x4y4 + 6xy2

GA = 10

GRADO ABSOLUTO DE UN POLINOMIO

(mayor grado absoluto de los términos)

EJERCICIO 1

214224 435);( yxyxyxyxQ mm

Si se sabe que el grado relativo a x es 5,calcula:

a)El valor de m

b)El grado absoluto del polinomio

Respuestas:

a) m = 3

b) GA = 9

EJERCICIO 2

2124324 435);( yxyxyxyxQ n

Si se sabe que el grado absoluto del polinomio

es 9 halla: n2 + 1

Respuesta: 10

EJERCICIO 3

25215 53);( aaaaa yxyxyxyxP

Si se sabe que el grado del polinomio es 31

halla: GR(x) + GR(y)

Respuesta: 41

POLINOMIOS ESPECIALES

POLINOMIOS ESPECIALES

polinomio

ordenado

homogéneo

idénticos

completo

Idénticamente

nulo

Un polinomio está ordenado cuando los

exponentes de la variable “referida” están

aumentando o disminuyendo.

83459 536);( yxyxyxyxP

Ordenado en forma descendente respecto a “x”

Ordenado en forma ascendente respecto a “y”

Ejemplo:

1.- POLINOMIO ORDENADO

EJEMPLO: POLINOMIO ORDENADO

x4y3 + 2x2y5 – 3xy8

Polinomio ordenado respecto a “x” en forma

descendente

Polinomio ordenado respecto a “y” en forma

ascendente

P(x;y)=x4y3 + 2x2y5 – 3x1y8

2.- POLINOMIO COMPLETO

La variable “referida” presenta todos los

exponentes consecutivos desde 1 hasta un

mayor determinado e incluso el término

independiente.

Ejemplo:

252843 5479);( xyyxyxyxyxP

Completo respecto a “x” con T.I.(x)= -7y

EJEMPLO: POLINOMIO COMPLETO

x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5

Polinomio completo con respecto a “x”

P(x;y)=x4y + 3x2y5 – 3x3 +xy4 – 5x0

3.- POLINOMIO HOMOGÉNEO

Es aquel polinomio en el que todos

sus términos son del mismo grado

absoluto.Ejemplo:

71233422 537);;( yxzyxzyxzyxP

Es un polinomio cuyo grado de homogeneidad es 8.

EJEMPLO: POLINOMIO HOMOGÉNEO

Polinomio homogéneo de grado 8

P(x; y)=6x5y3 – 3x4y4 + 6x6y2

GA = 8 GA = 8 GA = 8

4.- POLINOMIOS IDÉNTICOS

Dos polinomios son idénticos si verifican:

- Los dos polinomios tienen el mismo grado.

- Los coeficientes de los términos semejantes son

iguales.

83459);( ycxybxyaxyxP

yxyxyxyxQ 94583 536);(

Se debe cumplir: a = 5; b = 3; c = 6

EJEMPLO: POLINOMIOS IDÉNTICOS

Si P y Q son idénticos,

Entonces: a = 5; b = 2; c = -8

P(x) = ax3 + bx2 + c

Q(x) = 2x2 +5x3 – 8

PQ

5.- POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

Es aquel polinomio cuyos coeficientes de

cada uno de sus términos son ceros.

582243);( DyyCxyBxAxyxP

Se debe cumplir: A= 0; B = 0; C = 0; D = 0

0

EJEMPLO: POLINOMIO IDÉNTICAMENTE NULO

Se cumple: a = b = c = 0

P(x) = ax3 + bx2 - c

P(x) 0

RESUMEN

Fuente: texto escolar matemática 3-hipervinculos, (2013), Perú: Santillana

PROPIEDADES

1º- SIENDO P(X) UN POLINOMIO COMPLETOSE CUMPLE:

324 4835)( xxxxxP

Se observa:

- Número de términos = 5

- Grado de P(x) = 4

de términos de P(x) = Grado de P(x) + 1

2º- EN TODO POLINOMIO COMPLETO Y ORDENADO P(X) LA DIFERENCIA DE GRADOS RELATIVOS DE DOS

TÉRMINOS CONSECUTIVOS VALE 1.

124835)( 234 xxxxxP

GR =3 GR =2

EJERCICIOS

EJERCICIO 1

caabb xxxxR 272 25)(

Si se sabe que el polinomio es completo y

ordenado en forma creciente, calcula el valor de

2abc. Indica el grado del polinomio.

Respuestas:

a)2abc = 160

b)GA = 2

EJERCICIO 2

ccbabacb xxxxxP 23)(

Si se sabe que el polinomio es completo y

ordenado en forma decreciente, calcula el

valor de a - b - c.

Respuesta: a-b-c= -1

Si se sabe que el polinomio:

EJERCICIO 3

xcbxaxxxxdxP 12392642)( 2323

Respuesta: 84

es idénticamente nulo, calcula el valor de

-7(a+b+c+d)

EJERCICIO 4

yxyxxyxR abb 22712 262);(

Si se sabe que el polinomio es homogéneo,

calcula el valor de a – b.

Respuesta: -1

EJERCICIO 5

1221 62);( abaaba yxyxyxP

Si se sabe que el polinomio es homogéneo de

grado 7, calcula el valor de 2a – b.

Respuesta: 2a – b = 5