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Universidad Nacional de Jujuy Facultad de Ciencias Económicas Introducción a la Matemática

INTRODUCCION

A LA

MATEMÁTICA

Notas Teóricas

2020

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Unidad 1

Lógica y Conjuntos

1.1. Nociones de Lógica: Introducción

Cuando nos servimos del lenguaje cotidiano para enunciar hechos o describir situacio-

nes, lo hacemos de diversas formas: a través de preguntas, dando órdenes, expresando

deseos o haciendo afirmaciones.

Para definir objetos o elementos matemáticos y demostrar propiedades, definiciones o

teoremas, sin embargo, es necesario un lenguaje preciso. La Lógica Simbólica colabora

en la construcción de este tipo de lenguaje y nos será de gran ayuda, entre otras cosas

para formalizar adecuadamente la teoría de conjuntos.

Esta disciplina se ocupa de enunciados u oraciones que son, o verdaderos o falsos, a

los que llamaremos “proposiciones”. Por ejemplo, ante la expresión “Juan paga sus im-

puestos”, es posible decir si es verdadero o falso. Mientras que en una interrogación,

una exclamación o una orden, no tiene sentido preguntarse si estas expresiones son

verdaderas o falsas.

La lógica ayuda a razonar en forma válida acerca de cosas trascendentes y abstractas,

aporta claridad y economía en el pensamiento y permite eliminar ambigüedades en el

lenguaje ordinario.

1.2. Proposiciones

Definición: Una proposición es una oración que posee una función informativa, afirma

o niega algo, y tiene sentido decir de ella que es verdadera o falsa.

La verdad o falsedad de las oraciones son los valores de verdad que tienen las propo-

siciones. Si una proposición es verdadera, se dice que su valor de verdad es verdadero

y se la designará con la letra V, y en caso contrario se dice que es falsa y se la designará

con la letra F.

Ejemplo:

En el siguiente cuadro se presentan ejemplos de oraciones especificando la función que

cumplen en cada caso, y se indican las que son proposición.

ORACIÓN FUNCIÓN ¿ES PROPOSICIÓN?

Me gustaría poder ir Expresiva No

5+5 = 10 Informativa Sí

¡Te felicito! Expresiva No

Entremos a clase Directiva No

¿A qué hora empieza la clase? Interrogativa No

La matemática es una ciencia Informativa Sí

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1.3. Lógica proposicional

Definición: La lógica proposicional, es la parte de la lógica que se basa en proposicio-

nes, las cuales pueden ser simples o compuestas.

Una proposición es simple cuando no incluye dentro de sí a ninguna otra propo-

sición.

Una proposición es compuesta cuando surge de la combinación de proposicio-

nes simples.

Ejemplos:

5 es impar. Proposición simple.

5 es primo e impar. Proposición compuesta.

Hubo elecciones y eligieron diputados. Proposición compuesta.

Si salgo temprano, te paso a buscar. Proposición compuesta.

1.4. Notación y conectivos

Las proposiciones se denotan con letras minúsculas, por ejemplo, p, q, r, s, …..

Se puede operar con proposiciones, y según sean las operaciones, se utilizan ciertos

símbolos, llamados conectivos lógicos.

El siguiente cuadro muestra, los distintos conectivos que se estudiarán, las operaciones

asociadas a ellos y su significado:

CONECTIVO OPERACIÓN ASOCIADA SIGNIFICADO

Negación No p, o, no es cierto p

Conjunción p y q

Disyunción p o q (sentido incluyente)

Implicación o Condicional Si p, entonces q. O bien p implica q

Doble Implicación o Bicondicional p sí y sólo sí q

Diferencia Simétrica o Disyunción

en Sentido Excluyente

p o q (sentido excluyente)

1.5. Operaciones proposicionales

Dada una o dos proposiciones, cuyos valores de verdad se conocen, se trata de carac-

terizar la proposición resultante a través de su valor de verdad.

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1.5.1. Negación

La proposición “No hay reactivación económica”, es una proposición compuesta que

consiste en la negación de la proposición simple “Hay reactivación económica”.

Negación de una proposición p, es la proposición “no p”, y se escribe: p; la ley que la

define es la siguiente: La negación de un enunciado verdadero es falso, y la nega-

ción de un enunciado falso es verdadero.

Esto puede expresarse mediante la tabla de verdad siguiente:

p p

V F

F V

Ejemplo 1:

p: 8 es un número par V

p: 8 no es un número par F

Ejemplo 2:

p: 4 + 4 = 7 F

p: 4 + 4 7 V

1.5.2. Conjunción

La proposición “El empleo disminuye y los impuestos aumentan”, es una proposición

compuesta que consiste en la conjunción de las proposiciones simples “el empleo dis-

minuye” y “los impuestos aumentan”. La letra “y” es el conectivo que une ambas propo-

siciones.

Conjunción de dos proposiciones p, q es la proposición compuesta “p y q”, se escribe p

q, su tabla de valores de verdad es la siguiente:

p q p q

V V V

V F F

F V F

F F F

Se puede observar que de acuerdo a la tabla de valores de verdad, solamente es ver-

dadero el primer enunciado.

La conjunción es verdadera cuando todas las proposiciones asociadas a ella son

verdaderas y falsa en los casos restantes.

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Ejemplo 1:

Dado los enunciados siguientes:

i) San Pedro es un departamento de Jujuy y Metán es un departamento de Salta.

ii) San Pedro es un departamento de Jujuy y Metán es un departamento de Córdoba

iii) San Pedro es un departamento de Salta y Metán es un departamento de Salta.

iv) San Pedro es un departamento de Salta y Metán es un departamento de Córdoba.

El primero de los enunciados corresponde a una proposición verdadera ya que las dos

proposiciones simples intervinientes son verdaderas.

Los enunciados ii) y iii) son falsos, ya que una proposición simple es verdadera y la otra

es falsa.

La proposición compuesta iv) es falsa ya que las dos proposiciones simples son falsas.

Ejemplo 2:

Sean las proposiciones simples:

p: Juan deposita sus ahorros en el banco; q: Juan compra con sus ahorros dólares

La conjunción entre estas dos proposiciones es:

p q : Juan deposita sus ahorros en el banco y compra con sus ahorros dólares.

La proposición resultante es falsa, ya que no pueden darse las veracidad de las dos

situaciones a la vez.

1.5.3. Disyunción

La disyunción de dos proposiciones p, q, es la proposición compuesta “p o q”, y se es-

cribe p q.

Dado que la letra “o” en nuestro lenguaje es ambigua, pueden distinguirse dos clases

diferentes de disyunción: disyunción inclusiva y disyunción exclusiva.

La disyunción inclusiva es verdadera cuando es verdadera por lo menos una

de las proposiciones intervinientes, y es falsa cuando ambas lo son simultánea-

mente. Se simboliza p p y su tabla de verdad es:

p q p q

V V V

V F V

F V V

F F F

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Ejemplo:


p: María trabaja en un banco q: María estudia

La disyunción es: p q: María trabaja en un banco o estudia

El sentido de esta proposición es que el sujeto de este enunciado puede trabajar o es-

tudiar, o hacer ambas cosas a la vez, puesto que no se excluye la posibilidad que se

den ambas situaciones.

La disyunción exclusiva es verdadera, cuando una proposición es verdadera y

la otra es falsa, y falsa en los casos restantes. Se simboliza p q, y se lee p o q

en sentido excluyente y su tabla de verdad es:

p q p q

V V F

V F V

F V V

F F F

Ejemplo:


p: mañana de 8 a 12 horas asistiré al curso de matemática

q: mañana de 8 a 12 horas visitaré a un amigo

Entonces, la disyunción excluyente es: p q: mañana de 8 a 12 horas asistiré al curso

de matemática o visitaré a un amigo.

Esta proposición tiene el sentido de excluir la posibilidad de que se den ambas alterna-

tivas simultáneamente.

1.5.4. Implicación o condicional

La implicación o condicional de las proposiciones p, q, es la proposición compuesta: p

q, que se lee “si p entonces q”.

La proposición p, precedida por la palabra “si” se denomina antecedente o hipótesis y

la proposición q, precedida por la palabra “entonces”, consecuente o tesis.

En la implicación no siempre el consecuente se deduce lógicamente del antecedente,

pero, cuando ello ocurre, la implicación se denomina formal.

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La implicación, es falsa, cuando de un antecedente verdadero se deduce un con-

secuente falso, y es verdadera en los casos restantes. La tabla de verdad es la si-

guiente:

p q p q

V V V

V F F

F V V

F F V

Ejemplo:


p: Pedro aprueba el examen q: Pedro le presta sus apuntes a Juan

La implicación es “Si Pedro aprueba el examen entonces presta sus apuntes a Juan”.

Interesa inducir la verdad o falsedad de la implicación, en término de la verdad o false-

dad de las proposiciones p y q. La proposición compuesta p q puede pensarse como

un compromiso, condicionado por p; y se puede asociar su verdad al cumplimiento del

compromiso. Es obvio que si p es F, es decir si Pedro no aprueba el examen, queda

liberada del compromiso; y preste o no sus apuntes la proposición será verdadera. Es

decir si p es F, la implicación es verdadera.

Si p es verdadero, en cuyo caso, aprueba el examen, y q es falso, es decir, Pedro no

presta el apunte, el compromiso no se cumple, y la implicación es falsa. Si p y q son

verdaderos, la implicación es verdadera.

Otras formas de escribir un condicional

Es común en nuestro lenguaje, que la palabra “entonces” no figure y en su lugar se

coloque una coma, como por ejemplo:

“Si viajamos en avión, sacaremos los pasajes con anticipación”.

En otras proposiciones, el orden del antecedente y del consecuente puede estar inver-

tido, como en la proposición; “Sale, si lo vienen a buscar”, donde el antecedente es “Lo

vienen a buscar”, y el consecuente es “Sale”.

La palabra “cuando” reemplaza a menudo al “si”, como en la proposición “Cuando hay

tormentas eléctricas, se interrumpen las comunicaciones telefónicas”, cuyo significado

equivale a “Si hay tormentas, se interrumpen las comunicaciones telefónicas”.

1.5.5. Doble implicación, bicondicional o equivalencia

La equivalencia o bicondicional de las proposiciones p y q es la proposición compuesta:

p q que se lee “p si y sólo si q”.

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Como su nombre lo indica, el bicondicional no es otra cosa que el condicional doble: (p

q) (q p). Por lo tanto la tabla de verdad correspondiente al bicondicional se ob-

tiene al realizar las operaciones lógicas indicadas:

p q p q q p (p q) (q p) p q

V V V V V

V F F V F

F V V F F

F F V V V

Es decir, el bicondicional es verdadero cuando ambas proposiciones simples tie-

nen el mismo valor de verdad, y falsa en los casos restantes.

Ejemplo:


p: El triángulo ABC es isósceles q: El triángulo ABC tiene dos lados iguales

El bicondicional es: p q: El triángulo ABC es isósceles sí y sólo sí tiene dos lados

iguales.

Cuando el bicondicional p q es verdadero, suele decirse, que p es condición necesa-

ria y suficiente para q, o bien, q es condición necesaria y suficiente para p.

Ejercitación:

1) Dadas las proposiciones simples:

p: Mario es propietario de una empresa.

q: Mario fabrica sandalias de cuero.

r: Las sandalias de cuero se venden en el mercado interno

Escribir en lenguaje coloquial las siguientes proposiciones compuestas:

a) q p b) p q

c) r q d) p q p

Desarrollo:

a) q p: Si Mario fabrica sandalias de cuero, es propietario de una empresa

b) p q : Mario no es propietario de una empresa o fabrica sandalias de cuero

c) r q: Si las sandalias de cuero se venden en el mercado interno, Mario fabrica san-

dalias de cuero.

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d) p q r: Mario es propietario de una empresa, fabrica sandalias de cuero y las

sandalias de cuero no se venden en el mercado interno.

2) Dadas las siguientes proposiciones, escribirlas en forma simbólica:

a) El animal tiene alas y es un ave.

b) Juan deja caer la piedra y no se golpea.

c) Si Federico no acepta el nombramiento, buscará otro trabajo.

d) La decisión dependerá del juicio o la intuición, no de quién pagó más.

e) Se entregarán $10.000, si ganan el concurso.

f) No estudio esta noche y no apruebo el examen mañana.

g) Si la figura tiene tres lados, no es un cuadrilátero.

h) Un polígono es un cuadrilátero sí y sólo si tiene cuatro lados.

Desarrollo:

a) p: el animal tiene alas q: el animal es un ave

El animal tiene alas y es un ave: pq

b) p: Juan deja caer la piedra q: Juan se golpea

Juan deja caer la piedra y no se golpea: pq

c) p: Federico acepta el nombramiento q: Federico buscará otro trabajo

Federico no acepta el nombramiento, buscará otro trabajo: p q

d) p: La decisión dependerá del juicio q: La decisión dependerá de la intui-

ción r: La decisión dependerá de quien pagó más

La decisión dependerá del juicio o la intuición, no de quién pagó más: pq r

e) p: se entregarán $10.000 q: ganan el concurso

Se entregarán $10.000, si ganan el concurso: q p

f) p: estudio esta noche q: apruebo el examen

No estudio esta noche y no apruebo el examen mañana: pq

g) p: un polígono es un cuadrilátero q: un polígono tiene cuatro lados

Un polígono es un cuadrilátero sí y sólo si tiene cuatro lados: pq

1.6. Orden de los conectivos

A fin de evitar ambigüedades en una proposición compuesta, se sigue un orden esta-

blecido para los conectivos.

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Las expresiones dentro de paréntesis tienen prioridad respecto de las expresiones res-

tantes. Los paréntesis pueden usarse para fines de claridad, aun cuando no sean nece-

sarios.

En ausencia de paréntesis, o en las expresiones que aparezcan entre paréntesis, las

negaciones se efectúan primero, seguidas de las conjunciones, luego las disyunciones,

y por último los condicionales. Si en una expresión se repite un conectivo, éstos se con-

sideran de izquierda a derecha.

Ejemplo:

Colocar paréntesis en las expresiones siguientes para indicar el orden correcto de la

proposición compuesta dada:

a) p q q p ( p q ) ( q p)

b) p q (p) q

c) p q p q (p q) (p) (q)

1.7. Clasificación de las proposiciones compuestas

Las tablas de valores de verdad permiten clasificar a las estructuras proposicionales en

tres grandes grupos: tautologías, contradicciones y contingencias.

Se llama tautología a toda proposición compuesta que resulta verdadera

en todos los casos independientemente de los valores de verdad que co-

rrespondan a las proposiciones simples intervinientes.

Ejemplo:

Demostrar que p ( p q ) es una tautología.

Desarrollo:

p q p q p p q

V V V V

V F V V

F V V V

F F F V

Se llama contradicción a toda proposición compuesta que resulta falsa

en todos los casos, independientemente de los valores de verdad que

correspondan a las proposiciones simples intervinientes.

Ejemplo:

Demostrar que la proposición compuesta ( p q ) p es una contradicción.

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Desarrollo:

p q p p q ( p q ) p

V V F V F

V F F F F

F V V F F

F F V F F

Se llama contingencia a toda proposición compuesta cuya tabla de ver-

dad tiene por lo menos un valor V y un valor F.

Ejemplo:

Demostrar que la proposición p q es una contingencia.

Desarrollo:

p q p p q

V V F V

V F F V

F V V V

F F V F

1.8. Equivalencia Lógica

Dos proposiciones son lógicamente equivalentes o simplemente equivalentes si tie-

nen las mismas tablas de verdad y por lo tanto la doble implicación entre ambas será

una tautología.

Ejemplo:

Demostrar que las proposiciones (p q) y (p q) son equivalentes.

Desarrollo:

p q p q (pq) p q p q (pq) p q

V V V F F F F V

V F F V F V V V

F V F V V F V V

F F F V V V V V

1.9. Leyes Lógicas

En el cálculo proposicional se utilizan las siguientes leyes lógicas cuya demostración se

reduce a la confección de la correspondiente tabla de valores de verdad.

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Algunas de las leyes lógicas son las siguientes:

Involución: (p) p

Idempotencia: a) (p p) p

b) (p p) p

Conmutatividad: a) de la disyunción: p q q p

b) de la conjunción: p q q p

Asociatividad: a) de la disyunción: (p q) r p (q r)

b) de la conjunción: (p q) r p (q r)

Distributividad: a) de la disyunción respecto de la conjunción:

p (q r) (p q) (p r)

b) de la conjunción respecto de la disyunción:

p (q r) (p q) (p r)

Leyes de De Morgan: a) La negación de una disyunción es equivalente a la

conjunción de las negaciones: (p q) p q

b) La negación de una conjunción es equivalente a la

disyunción de las negaciones: (p q) p q

Negación de una implicación

La negación de una implicación es equivalente a la conjunción del antecedente

con la negación del consecuente: (p q) (p q)

Ejercitación:

Simbolizar, negar y retraducir las siguientes proposiciones:

a) La empresa “Salud al Día” almacena frutas secas o vegetales.

b) Cuando el gerente estudia el monto de ventas diarias, toma decisiones acerta-

das.

c) Los empleados recibieron cheques o pagos en efectivo

d) Durante la última semana la Bolsa de Valores no aumentó y los inversores estu-

vieron atentos

Desarrollo:

a) p: La empresa “Salud al Día” almacena frutas secas

q: La empresa “Salud al Día” almacena vegetales

pq: La empresa “Salud al Día” almacena frutas secas o vegetales.

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Negación: ( pq ) p q : No es cierto que la empresa “Salud al Día” almacena

frutas secas o vegetales; o bien: La empresa “Salud al Día” no almacena frutas secas ni

vegetales.

b) p: El gerente estudia el monto de ventas diarias

q: El gerente toma decisiones acertadas

p q : Cuando el gerente estudia el monto de ventas diarias, toma decisiones acerta-

das.

Negación: ( p q ) p q: El gerente estudian el monto de ventas diarias y no toma

decisiones acertadas.

c) p: Los empleados recibieron cheques

q: Los empleados recibieron pagos en efectivo

pq : Los empleados recibieron cheques o pagos en efectivo

Negación: ( p q ) ( p) ( q): Los empleados no recibieron cheques, ni pagos en

efectivos.

d) p: Durante la última semana la Bolsa de Valores aumentó

q: Durante la última semana los inversores estuvieron atentos

p q: Durante la última semana la Bolsa de Valores no aumentó y los inversores

estuvieron atentos.

Negación: ( p q ) ( p) q p q: Durante la última semana la Bolsa de

Valores aumentó o los inversores no estuvieron atentos.

1.10. Razonamiento

Definición: Un razonamiento es un conjunto de proposiciones (dos o más) en el que

una de ellas, llamada conclusión, se pretende que está fundada en la/s otra/s llamada/s

premisa/s.

Ejemplos:

1) El ladrón tuvo que entrar o bien por la puerta, o bien, por la ventana. Por la puerta

no entró, como lo ha demostrado la investigación policial. Por lo tanto, el ladrón tuvo

que entrar por la ventana.

En este ejemplo, la proposición “El ladrón entró por la ventana” está fundada en los

otros enunciados, entonces es la conclusión del razonamiento.

2) Llueve mucho. Será mejor que no salgamos. Podemos postergar la excursión para

mañana.

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En este ejemplo se observa que si bien las proposiciones están relacionadas en

cuanto al contenido, no hay ninguna que se afirme sobre la base de las otras. No se

trata de un razonamiento.

1.10.1. Razonamiento deductivo

Los razonamientos pueden dividirse en dos grandes grupos: los deductivos y los no

deductivos. En los deductivos se pretende que la conclusión se deduzca de las premi-

sas. En los razonamientos no deductivos, en cambio, la conclusión se infiere con cierto

grado de probabilidad, no con necesidad.

Ejemplos:

1) Razonamiento deductivo

Todos los alumnos de la Facultad estudian. Los alumnos que asisten al turno noche

pertenecen a la Facultad. Por lo tanto los alumnos del turno noche estudian.

2) Razonamiento no deductivo

Hace varios meses que uso esta marca de CD, y todos han resultado de buena cali-

dad. Por lo tanto, el próximo CD de esta marca que utilice también será de buena

calidad.

1.10.2. Razonamiento válido

Los razonamientos válidos pueden tener premisas verdaderas y conclusión ver-

dadera; premisas falsas y conclusiones verdadera o falsa. Lo que no podrá ocurrir

es que un razonamiento sea válido si tiene premisas verdaderas y conclusión falsa.

Cuando se hace referencia a premisas verdaderas significa que todas ellas lo sean,

pues una sola de ellas falsa, hace falso a todo el conjunto de premisas; cuando se habla

de premisas falsas es suficiente con que una sola de ellas lo sea.

1.10.3. Razonamiento deductivo válido

El análisis hecho hasta el momento podrá ser aplicado para analizar la validez de los

razonamientos, que como se expresó anteriormente es el objeto principal del estudio de

la Lógica. En particular en matemática interesa el razonamiento deductivo.

Hay distintos métodos de prueba de validez de razonamientos, entre ellos el “Método

del Condicional Asociado”, (o de demostración directa), el cual se analiza a continua-

ción.

Se dirá que un razonamiento deductivo es válido cuando su forma es tal que no

tiene ningún ejemplo con premisas verdaderas y conclusión falsa. Es decir cuando

el condicional asociado a su estructura es tautológico (no hay ninguna fila que tenga

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antecedentes verdaderos y consecuente falso). Dado un razonamiento, si se construye

un condicional cuyo antecedente sea la conjunción de las premisas y su consecuente la

conclusión del razonamiento, y si el condicional así construido resulta una tautología, el

razonamiento a partir del cual se ha construido será válido.

Es decir, un razonamiento que consta de las premisas p1, p2, … , pn, y de la conclusión

“c” es válido si:

(p1 p2 ....... pn) c, es una tautología

Es importante tener claro que un razonamiento es válido si la conclusión se infiere real-

mente de las premisas y que la validez de un razonamiento se refiere al modo de razonar

y no al valor de verdad de la conclusión.

Si una o más premisas son falsas entonces la conjunción (p1 p2 ......... pn) es falsa.

Si el antecedente del condicional (p1 p2 ......... pn) c, es falso, el valor de verdad

del condicional es verdadero independientemente del valor de verdad del consecuente.

En lugar de verificar todas las combinaciones posibles de los valores de verdad del con-

dicional: (p1 p2 ......... pn) c, para ver si es una tautología, sólo es necesario

verificar las combinaciones para las que todas las premisas son verdaderas. Por lo tanto

puede decirse que un razonamiento es válido si la conclusión es verdadera, siempre

que las premisas sean verdaderas.

Por lo estudiado anteriormente para determinar si un razonamiento es válido se puede

realizar de la siguiente manera:

Dado un razonamiento se construye un condicional, cuyo antecedente sea la

conjunción de las premisas y su consecuente, la conclusión.

Se construye la tabla del condicional y si resulta una tautología, el razonamiento

es válido, si en cambio resulta contingencia o contradicción, será inválido.

Ejemplo 1:

Determinar la validez del siguiente razonamiento:

Si la suma de los dígitos de 132 es múltiplo de 3, entonces 132 es divisible por 3.

La suma de los dígitos de 132 es múltiplo de 3.

Por lo tanto 132 es divisible por 3.

Desarrollo:

- En primer lugar se deben identificar las proposiciones simples intervinientes:

p: La suma de los dígitos de 132 es múltiplo de 3

q: 132 es divisible por 3

- El razonamiento se puede escribir en forma simbólica de la siguiente manera:

p q

premisas

p

conclusión q

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- Se construye la tabla de verdad de la proposición compuesta [(p q) p] q

p q p q (p q) p [(p q) p] q

V V V V V

V F F F V

F V V F V

F F V F V

Como el resultado del condicional es una tautología, entonces el razonamiento es vá-

lido.

Ejemplo 2:


Si el último dígito de 25 es cero, entonces 25 es divisible por 10

El último dígito de 25 no es cero.

Por lo tanto el 25 no es divisible por 10.

(Recordar que valor de verdad es distinto de validez del razonamiento).

Desarrollo:

p: El último dígito de 25 es cero.

q: 25 es divisible por 10.

p q

p

q

p q p q p q (p q) p (p q) p q

V V V F F F V

V F F F V F V

F V V V F V F

F F V V V V V

Se puede observar que el condicional es una contingencia, por tanto el razonamiento

no es válido.

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Ejemplo 3:


Si 25 es par, entonces 25 se puede escribir como múltiplo de 2.

25 se puede escribir como múltiplo de 2

Por lo tanto, 25 es par.

Desarrollo:

p: 25 es par.

q: 25 se puede escribir como múltiplo de 2.

p q

q

p

p q p q (p q) q (p q) q p

V V V V V

V F F F V

F V V V F

F F V F V

Se puede observar que el condicional es una contingencia, por tanto el razonamiento

no es válido.

Ejemplo 4:

El estudiante podrá verificar que el siguiente razonamiento es válido:

Si 11 es impar, se puede escribir como 10+1.

11 no se puede escribir como 10+1. Por lo tanto 11 no es impar.

Se puede observar que en los ejemplos dados se presentaron los siguientes casos:

Ejemplo 1: es un razonamiento válido con una conclusión verdadera.

Ejemplo 2: es un razonamiento no válido con una conclusión verdadera.

Ejemplo 3: es un razonamiento no válido con una conclusión falsa.

Ejemplo 4: es un razonamiento válido con una conclusión falsa.

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Se puede concluir a partir de los ejemplos dados que la validez de un razona-

miento se refiere al modo empleado para razonar y no al valor de verdad de la

conclusión. Valor de verdad y razonamiento válido son conceptos diferentes.

1.11. Implicaciones Asociadas

Se puede representar un razonamiento válido mediante la implicación p q. En este

caso p es la hipótesis y q es la tesis, luego p q constituye un teorema que expresa:

“Si p es verdad, entonces q es verdad”

Dado el teorema p q, al que se denominará directo, se presentan varios teo-

remas asociados con él, ellos son:

El teorema recíproco: q p

El teorema contrario: p q

El teorema contrarrecíproco: q p

El siguiente esquema proporciona la relación que los vincula:

p q recíproco q p

contra- recíproco

contrario contrario

contra- recíproco

p q recíproco q p

El teorema directo expresa que p es suficiente para que se cumpla q; el teorema recí-

proco dice que p es necesario para que se cumpla q. Si ambos teoremas son válidos,

entonces p y q son equivalentes, en cuyo caso se dirá “p es condición necesaria y

suficiente para que se cumpla q”.

Ejemplo:

Dadas las siguientes proposiciones, simbolizarlas, encontrar las implicaciones recí-

proca, contraria y contrarecíproca:

a) “Si Diego estudia en la Universidad, tiene posibilidad de encontrar trabajo

b) “Cuando no entiendo el tema, no puedo resolver la ejercitación”.

c) “No hay crisis social cuando se pagan los sueldos a tiempo”

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Desarrollo:

a) p: Diego estudia en la Universidad

q: Diego tiene posibilidad de encontrar trabajo

pq: Si Diego en la Universidad, tiene posibilidad de encontrar trabajo

Recíproca: q p : Si Diego tiene posibilidad de encontrar trabajo, entonces estudia en

la Universidad.

Contraria: p q: Si Diego no estudia en la Universidad, no tiene posibilidad de en-

contrar trabajo.

Contrarrecíproca: q p: Si Diego no tiene posibilidad de encontrar trabajo, no es-

tudia en la Universidad.

b) p: Entiendo el tema

q: Puedo resolver la ejercitación

pq: Cuando no entiendo el tema, no puedo resolver la ejercitación.

Recíproca: q p : Cuando no puedo resolver la ejercitación, no entiendo el tema.

Contraria: (p) (q) pq : Cuando entiendo el tema, puedo resolver la ejercita-

ción.

Contrarrecíproca: q p: Cuando puedo resolver la ejercitación, entiendo el tema.

c) p: Se pagan los sueldos a tiempo

q: Hay crisis social

p q: No hay crisis social cuando se pagan los sueldos a tiempo

Esta expresión también se puede expresar como: Cuando se pagan los sueldos a

tiempo, no hay crisis social.

Recíproca: q p: Cuando no hay crisis social, se pagan los sueldos a tiempo.

Contraria: p (q) pq : Cuando no se pagan los sueldos a tiempo, hay crisis

social.

Contrarrecíproca: q p: Cuando hay crisis social, no se pagan los sueldos a tiempo.

1.12. Funciones Proposicionales: Su cuantificación

Definición: Se llama función proposicional en una variable o indeterminada “x” a toda

oración en la que figura “x” como sujeto u objeto directo, la cual se convierte en propo-

sición para cada especificación de “x”.

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Ejemplo:

P(x): x es impar, es una función proposicional de la que no se puede asegurar si es V

o F, y de la cual surgen proposiciones como por ejemplo:

P(-4): -4 es impar (F) P(5): 5 es impar (V)

1.12.1. Cuantificadores

A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones más generales

mediante un proceso llamado de cuantificación.

Asociados a la variable “x”, se introducen los símbolos llamado cuantificador uni-

versal y llamado cuantificador existencial en x.

Las expresiones:

“para todo x, se verifica P(x)” se denota x: P(x) y corresponden a una función

proposicional P(x) cuantificada universalmente.

“existe x, tal que se verifica P(x)” se denota x / P(x) y corresponden a una

función proposicional P(x) cuantificada existencialmente.

1.12.2. Valores de verdad

Una función proposicional cuantificada universalmente es verdadera sí y sólo sí son

verdaderas todas las proposiciones asociadas a ella. Para asegurar la verdad de una

función proposicional cuantificada existencialmente es suficiente que sea verdadera al-

guna de las proposiciones asociadas a la función proposicional.

Ejemplo 1:

Sea la función proposicional: F(x): x es una persona mortal

La proposición universal será: x: F(x) y se lee “Para todo x, x es una persona

mortal”, o bien “Todas las personas son mortales”, por lo que se puede ver que la pro-

posición general es verdadera, puesto que todas las proposiciones singulares que se

deducen de F(x) resultan verdaderas.

Ejemplo 2:

Sea la función proposicional: G(x): x es un alumno estudioso

La proposición existencial es: x / G(x) y se traduce como “Algunos alumnos son

estudiosos”. Esta proposición general es verdadera si al menos una de las proposiciones

simples es verdadera.

21


1.12.3. Negación

Para negar una función proposicional cuantificada universalmente se cambia el cuanti-

ficador en existencial, y se niega la función proposicional.

Ejemplo:

Sea la función proposicional: F(x): x es impar. Al cuantificarla universalmente se

obtiene: x: F(x), es decir: “Todos los x son impares”

Su negación es: x / F(x), es decir: “Existe algún número que no es impar”

Para negar una función proposicional cuantificada existencialmente, se cambia el cuan-

tificador en universal, y se niega la función proposicional.

Si se considera el ejemplo anterior: x / x es impar; su negación es:

x: F(x) es decir x: x no es impar o bien: “todos los x son pares”.

Ejemplo:

Dadas las siguientes funciones proposicionales, simbolizarlas, negarlas y retraducirlas:

a) Todos los estudiantes se esfuerzan por atender.

b) Algunos servicios son caros.

c) Algunos bancos brindan buena atención y pagan mayores tasas de interés.

d) Todos los números del conjunto son pares o enteros.

Desarrollo:

a) x: estudiantes; F(x): los “x” se esfuerzan por atender.

x: F(x): Todos los estudiantes se esfuerzan por atender

Negación: x /F(x): Algunos estudiantes no se esfuerzan por atender.

b) x: servicios; F(x): los “x” son caros

x /F(x): Algunos servicios son caros

Negación: x: F(x): Todos los servicios no son caros

a) x: bancos; F(x): los “x” brindan buena atención a sus clientes;

G(x): los “x” pagan mayores tasas de interés.

x / F(x) G(x): Algunos bancos brindan buena atención y pagan mayores tasas de

interés.

Negación: x: F(x) G(x): Todos los bancos no brindan buena atención a los clientes

o no pagan buenas tasas de interés.

22


1.13. Nociones de Conjuntos. Introducción

El concepto de conjunto es fundamental en la Matemática, tanto en la Matemática pura

como en las aplicadas. La Teoría de Conjuntos es un sistema matemático que relaciona

conceptos básicos, definiciones, operaciones, propiedades y teoremas, y su base me-

todológica es el razonamiento deductivo. Su conocimiento facilita el estudio de temas

matemáticos más avanzados, tales como funciones, probabilidad, muestreo, entre otros,

y permite construir proposiciones matemáticas más claras y precisas, llegando inclusive

a explicar conceptos abstractos como el de infinito.

1.13.1. Conceptos primitivos y notación

La idea de conjunto es un concepto primitivo, en consecuencia, no es posible enunciar

su definición. Proviene de la noción intuitiva o vulgar que se tiene de conjunto: colección,

agrupación de objetos cualesquiera. Otros conceptos primitivos son: elemento (de un

conjunto) y pertenencia (de un elemento a un conjunto).

Para que exista un conjunto se deben cumplir los siguientes requisitos:

La colección de objetos debe estar bien definida; es decir, la pertenencia de

un elemento al conjunto no debe ofrecer dudas.

Los elementos deben ser distintos.

El orden en que se enumeren los objetos carece de importancia.

Los conjuntos se simbolizan con letras mayúsculas de imprenta. Ejemplo: A, B, C, …

A cada unidad que forma parte de un conjunto se lo llama elemento y se simboliza con

letra minúscula. Ejemplo: a, b, c, d …

Para indicar que un elemento pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo .

Ejemplo: a A (se lee: el elemento “a” pertenece al conjunto A)

Para indicar que un elemento no pertenece a un conjunto se utiliza el símbolo

Ejemplo: b A (se lee: el elemento “b” no pertenece al conjunto A)

1.14. Formas de definir y graficar un conjunto

Un conjunto se puede definir de dos maneras: por extensión y por comprensión.

Un conjunto está definido por extensión cuando se mencionan o nombran todos

los elementos que lo constituyen. Para ello se escriben los elementos entre lla-

ves, separados entre sí por una coma y sin repetirlos.

Ejemplo: Los conjuntos A y B están escritos por extensión:

23


A = { 1, 3, 5, 7 } B = { a, b, c, d, e }

Un conjunto está definido por comprensión cuando se indica la propiedad o

criterio que deben cumplir los elementos que le pertenecen.

O sea, en símbolos: A = { x / p (x) }

Se lee: “el conjunto A está formado por los elementos x tal que verifican la propiedad p,

que depende de x”.

Ejemplo: Los conjuntos A y B están escritos por comprensión:

A = { x/x N ˄ x < 9 } B = { x/x es una vocal }

Los conjuntos pueden representarse gráficamente por medio de recintos cerrados,

llamados “Diagramas de Venn”. En cada conjunto se identifican, mediante puntos, a

los elementos que le pertenecen.

1.15. Conjuntos especiales

1.15.1. Conjunto Universal o Referencial: es aquel al cual pertenecen todos los ele-

mentos que están siendo estudiados. Se denota con la letra U.

Ejemplo: U: Letras del abecedario U: Números reales

Al conjunto Universal se lo representa mediante un rectángulo.

Ejemplo: U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, A = {3, 6, 9}

Gráficamente

1.15.2. Conjunto Vacío: es aquel que no posee ningún elemento.

Notación: { } ó Ø

U

1 A 2

4

5 7

8

8

4

7

3

6

9

24


Ejemplo:

A = { x/x2 = 4 ˄ x es impar } = Ø

B = { x/x es un número negativo mayor que 0 } = Ø

1.15.3. Conjunto Unitario: es aquel que tiene un solo elemento.

Ejemplo:

A = x/x N ˄ x1 = 1

1.15.4. Conjunto Infinito: es aquel en el que es imposible contar o enumerar la totalidad

de sus elementos.

Ejemplo:

A = { x/x N x es número par }

1.15.5. Conjunto Finito: es aquel en el que se puede contar o enumerar la totalidad de

sus elementos.

Ejemplo:

A = { x/x son las letras del abecedario } = { a, b, c, d,…, z }

1.16. Relaciones entre conjuntos

Cuando dos conjuntos se comparan entre sí pueden definirse distintas relaciones, entre

las cuales se consideran:

1.16.1. Igualdad de Conjuntos

Dos conjuntos son iguales si tienen los mismos elementos.

En símbolos: A = B

Ejemplo: A = x/x Z x² = 4 y B = -2, 2 A= B

La igualdad entre conjuntos puede expresarse como una equivalencia lógica en-

tre dos funciones proposicionales.

1.16.2. Inclusión - Subconjuntos

Sean A y B dos conjuntos, si todo elemento de A pertenece a B, se dice que A está

incluido en B ó que A es parte de B, ó que A es un subconjunto de B.

25


Gráficamente

Notación: A B (A incluido en B) B A (B incluye a A)

Simbólicamente: A B si a: a A ˄ a B y b / b B ˄ b A

Si A no está incluido en B, se simboliza: A B

Si A es subconjunto de B o A=B, se simboliza: A B

La inclusión entre conjuntos tiene las siguientes propiedades.

Para todo conjunto A, B, y C:

Relación con los conjuntos Ø y U: Ø A U

Reflexiva: A A

Transitiva: A B B C A C

Antisimétrica: A B B A A = B

Ejemplo:

A = x/x N x es divisor de 10 A = 1, 2, 5, 10

B = x/x N 1 x 3 B = 1, 2

Observando los elementos de los conjuntos A y B se puede concluir que B A

1.16.3. Conjuntos disjuntos o disyuntos

Dos conjuntos son disyuntos si no poseen elementos comunes.

En símbolos: AB

Ejemplo:

A = { x/x N 1 x 4} A = { 2, 3, 4 }

B = { 5,7 }

A B

26


Gráficamente

A B

1.16.4. Conjuntos entrelazados

Cuando poseen sólo algunos elementos en común

Ejemplo:

A = {1, 2, 3, 4, 5 } B = { 2, 4, 6, 8 }

Gráficamente

A B

1.17. Operaciones con conjuntos

1.17.1. Complemento de un conjunto

Es el conjunto formado por los elementos del conjunto Universal, que no pertenecen al

conjunto en cuestión.

Por ejemplo: el complemento de un conjunto A, en símbolos es:

Ac = x U / x A

Ejemplo:

Dados: U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A = { 3, 6, 9 }

Ac = 1, 2, 4, 5, 7, 8

Gráficamente

U

1 2 Ac

4

5 6 7

8

A

3

6

9

27


La complementación entre conjuntos tiene las siguientes propiedades:

Øc = U El complemento del conjunto vacío es el conjunto universal.

Uc = Ø El complemento del conjunto universal es el conjunto vacío.

(Ac) c = A El complemento de Ac es el conjunto A (Involución).

A = B Ac = Bc

La operación de complementación de conjuntos está vinculada con la nega-

ción lógica de una función proposicional.

Ejemplo:

Sea A = {números naturales pares }

puede ser definido como P(x): x es un número natural par

y la negación de la función proposicional P(x): x es un número natural impar

que define el complemento del conjunto A siendo U el conjunto de los números natu-

rales.

1.17.2. Unión de conjuntos

Sean A y B subconjuntos de U. La unión de los conjuntos A y B es el conjunto formado

por los elementos que pertenecen a A o a B o a ambos conjuntos.

En símbolos: A B = x/x A x B

Ejemplo 1:

A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 }

A B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 20 }

Gráficamente

A B U

• 10 • 20 • 4 • 2 • 8 • 6 • 12 16•

28


Ejemplo 2:

C = 1, 2, 3, 4 D = 2, 3, 4, 5

C D = 1, 2, 3, 4, 5

Ejemplo 3:

E = { 5, 10, 15 } F = { 1, 5, 10, 15, 20, 25 }

E F = {1, 5, 10, 15, 20, 25} = F porque E F

La unión de conjuntos tiene las siguientes propiedades:

a) Asociativa: A (B C) = (A B) C

b) Conmutativa: A B = B A

c) Elemento neutro: A Ø = Ø A = A

d) Idempotencia: A A = A

e) Unión de un conjunto y su complemento: A Ac = Ac A = U

La unión de conjuntos está vinculada con la disyunción inclusiva de dos funcio-

nes proposicionales. Si P es el conjunto solución de la proposición P(x) y Q el de

la proposición Q(x), entonces P Q es el conjunto solución de la proposición

P(x) Q(x)

Ejemplo:

P(x): x es un dígito impar P = { 1, 3, 5, 7, 9 }

Q(x): x es un dígito mayor que 2 y menor que 7 Q = {3, 4, 5, 6 }

P(x) Q(x): x es un dígito impar o un dígito mayor que 2 y menor que 7

P Q = { 1, 3, 4, 5, 6, 7, 9 }

1.17.3. Intersección de conjuntos

Sean A y B subconjuntos de U. La intersección de los conjuntos A y B es el conjunto

formado por los elementos que pertenecen a A y a B.

En símbolos: A B = x/x A x B

Ejemplo 1:

A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 }

29


A B = { 4, 8, 12 }

Gráficamente

B

Ejemplo 2:

C = 2, 4, 6, 8, 10

D = x/x N 5 x 11 = 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11

C D = 6, 8,10

Ejemplo 3:

E = { 1, 2, 3 } F = { 1, 2, 3, 4 }

E F = { 1, 2, 3 } = E, porque E F

Ejemplo 4:

G = { 2, 4, 6, 8 } H = { 3, 5, 7 }

G H = Ø; porque G H

La intersección de conjuntos tiene las siguientes propiedades:



c) Intersección de un conjunto y el vacío: A Ø = Ø A = Ø

d) Idempotencia: A A = A

e) Intersección de un conjunto y su complemento: A Ac = Ac A = Ø

Otras propiedades que relacionan las operaciones de unión e intersección son:

a) Distributividad de la intersección respecto de la unión:

A (B C) = (A B) (A C)

b) Distributividad de la unión respecto de la intersección

10

2

6

20

4

12

16

8

U A B

30


A (B C) = (A B) (A C)

c) Leyes de De Morgan:

El complemento de la unión de dos conjuntos es igual a la intersección

de sus complementos:

(A B)c = A c c

El complemento de la intersección de dos conjuntos es igual a la unión

de sus complementos:

(A B) c = A c c

La intersección de conjuntos está vinculada con la conjunción de dos funciones

proposicionales. Si P es el conjunto solución de la proposición P(x) y Q el de la

proposición Q(x), entonces P Q es el conjunto solución de la proposición P(x)

˄ Q(x)

Ejemplo:


Q(x): x es un dígito mayor que 2 y menor que 7 Q = {3, 4, 5, 6 }

P(x) ˄ Q(x): x es un dígito impar, mayor que 2 y menor que 7

P Q = { 3, 5 }

1.17.4. Diferencia de dos conjuntos

Sean A y B subconjuntos de U. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto

formado por los elementos de A que no pertenecen a B.

En símbolos: A – B = x/x A x B

Ejemplo 1:

A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 }

A – B = { 2, 6, 10 }

Gráficamente

31


A B U

B – A = { 20, 16 }

Ejemplo 2:

C = 1, 2, 3, 4 D = x/x N 5 x 10 = 5, 6, 7, 8, 9, 10

C – D = 1, 2, 3, 4 D – C = { 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

Ejemplo 3:

E = { a, b, c, d, e, f, g } F = { b, d, f }

E – F = {a, c, e, g } F – E = Ø

La diferencia de conjuntos tiene las siguientes propiedades:

a) A – B = A Bc

b) U – A = A c

La diferencia entre conjuntos está vinculada con la función proposicional com-

puesta P(x) ˄ Q(x). Si P es el conjunto solución de la proposición P(x) y Q el

de la proposición Q(x), entonces P – Q es el conjunto solución de la proposición

P(x) ˄ Q(x)

Ejemplo:

U = { números dígitos }


Q(x): x es un dígito mayor que 5 Q = { 6, 7, 8, 9 }

Q(x): x es un dígito menor que 6

P(x) ˄ Q(x): x es un dígito impar y menor que 6

P – Q = { 1, 3, 5 }

10

2

6

20

4

12

16

8

32


1.17.5. Diferencia simétrica de dos conjuntos

Sean A y B subconjuntos de U. La diferencia simétrica de los conjuntos A y B es la unión

de los conjuntos ( A – B ) y ( B – A ).

En símbolos: A B = (A – B) (B – A)

ó A B = (A B) – (A B)

Ejemplo 1:

A = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } B = { 4, 8, 12, 16, 20 }

A B = (A – B) (B – A) = { 2, 6, 10 } { 16, 20 } = { 2, 6, 10, 16, 20 }

ó A B = (A B) –(A B) = {2, 4, 6,8,10, 12,16, 20} – {4, 8. 12} = {2,6, 10, 16,20}

A B U

Ejemplo 2:

C = {a, b, c, d} D = {i, o, u, m}

C D = (C – D) (D – C) = {a, b, c, d} {i, o, u, m} = {a, b, c, d, i, o, u, m}

C D U

10

2

6

20

4 12

16

8

33


Ejemplo 3:

E = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} F = { 2, 4, 6, 8 }

E F = (E – F) (F – E) = = { 1, 3, 5, 7, 9} Ø = { 1. 3. 5. 7. 9 }

E F = (E F) – (E F) = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} – { 2, 4, 6, 8 } = { 1. 3. 5. 7. 9 }

E U

F

La diferencia simétrica de conjuntos tiene las siguientes propiedades:



c) A A = Ø

La diferencia simétrica entre conjuntos está vinculada con la disyunción exclu-

yente de dos funciones proposicionales. Si P es el conjunto solución de la pro-

posición P(x) y Q el de la proposición Q(x), entonces P Q es el conjunto solu-

ción de la proposición P(x) Q(x)

U = { números dígitos }


Q(x): x es un dígito mayor que 5 Q = { 6, 7, 8, 9 }

P(x) Q(x): x es un dígito ó impar ó mayor que 5

P Q = { 1, 3, 5, 6, 8 }

1.18. Número de elementos de un conjunto (cardinal)

Sea A un conjunto finito; n(A) es el número de elementos de A o cardinal de A.

En símbolos: n(A) o Card(A)

34


Ejemplo:

A = a, e, i, o, u n (A) = 5

Si A y B son disyuntos n (A B) = n (A) + n (B)

Si A y B no son disyuntos n (A B) = n (A) + n (B) – n (A B)

Ejemplo 1:

A = {1, 2, 3, 4} B = {6, 7, 8}

A B = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 8} A B = Ø

n (A) = 4 n (B) = 3 n (A B) = 4 + 3 = 7

Ejemplo 2:

C = { a, e, i , o, u} D = { i, u }

C D = { a, e, i, o, u } C D = { i, u }

n (C) = 5 n (D) = 2 n (C D) = 5 + 2 – 2 = 5

Ejemplo 3:

E = { a, b, c, d, e, f } F = { a, e, i, o }

E F = { a, b, c, d, e, f, i, o } E F = { a, e }

n (E) = 6 n (F) = 4 n (E F) = 6 + 4 – 2 = 8

1.19. Producto Cartesiano

Sean A y B dos conjuntos. El producto cartesiano de A por B es el conjunto formado por

todos los pares ordenados cuya primera componente pertenece al primer conjunto, A y

la segunda componente pertenece al segundo conjunto, B.

En símbolos:

A x B = (a, b) / a A b B

A x B B x A, salvo que A=B

Ejemplo

A = 3, 5 B = 1, 2, 3

AxB = (3,1), (3,2), (3,3), (5,1), (5,2), (5,3)

35


Gráficamente

B

3

2 A x B

1

0 1 2 3 4 5 6 A

1.20. Resumen de la relación entre la lógica simbólica y la teoría de conjuntos

Para resumir la relación existente entre las operaciones lógicas y las operaciones en-

tre conjuntos, utilizaremos dos conjuntos A y B cualesquiera y dos funciones proposi-

cionales:

P(x): x pertenece al conjunto A

Q(x): x pertenece al conjunto B

Las principales operaciones pueden resumirse como

A = B P(x) Q(x)

A B P(x) Q(x)

A c P(x)

A B P(x) Q(x)

A – B P(x) Q(x)

Las propiedades que se presentan como comunes

Algebra de proposiciones Algebra de conjuntos

Ley de involución (p) p (Ac)c = A

Ley de Idempo-

tencia

p p p

p p p

A A = A

A A = A

36


Ley asociativa (p q) r p (q r)

(p q) r p (q r)

(A B) C = A (B C)

(A B) C = A (B C)

Ley conmutativa p q q p

p q q p

A B = B A

A B = B A

Ley distributiva p (q r) (p q) (p r)

p (q r) (p q) (p r)

A (B C) = (A B) (A

C)

A (B C) = (A B) (A

C)

Leyes de De

Morgan

(p q) p q

(p q) p q

(A B)c = A c B c

(A B) c = A c B c

37


Unidad 2

Conjuntos Numéricos

Introducción

Otro de los conceptos fundamentales de la Matemática es el de número. Surge en la

antigüedad dando lugar al primer conjunto numérico, el conjunto de los naturales. Éste

se fue ampliando y generalizando con el tiempo, hasta llegar a los conjuntos numéricos

que hoy se conocen y con los que se trabajan habitualmente.

Dichos conjuntos son: los números enteros (Z), los números racionales (Q), los números

irracionales (I), los números reales (R) y los números complejos (C).

En esta Unidad se va a realizar un repaso de los conjuntos numéricos, sus operaciones

básicas y propiedades más importantes.

2.1. Los números naturales

El conjunto de los números naturales fue el primero en aparecer, dada la necesidad que

tenía el hombre para contar. Es ordenado y tiene primer elemento, el 1, el segundo es

el 2 y así sucesivamente; el enésimo elemento es “n” y su consecutivo “n+1". Este con-

junto se extiende ordenadamente sin tener último elemento. Además, entre dos núme-

ros naturales no consecutivos, siempre existe un número finito de números naturales;

es por ello que este conjunto es discreto.

Éste se define por extensión de la siguiente manera: N = {1, 2, 3, …, n, n+1, ..…}

Si al conjunto anterior se le incorpora el 0 (cero), el conjunto resultante recibe el nombre

de números naturales ampliado y se simboliza con No, siendo:

No = {0, 1, 2, 3, ..., n, n+1,…}

Si sumamos o multiplicamos dos números naturales cualesquiera, el resultado es siem-

pre un número natural. Por esto decimos que tanto la Suma como la Multiplicación son

Ley de Composición Interna en el conjunto de los Números Naturales.

Simbólicamente:

Adición: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁: 𝑎 + 𝑏 ∈ 𝑁

Multiplicación: ∀ 𝑎, 𝑏 ∈ 𝑁: 𝑎 . 𝑏 ∈ 𝑁

En cambio si restamos o dividimos dos números naturales, el resultado no siempre es

un número natural.

Ejemplo

Sean 3 y 4 N. Entonces:

38


a) 4 + 3 = 7; 7 N c) 4 . 3 = 12; 12 N

b) 4 – 4 = 0; 0 N d) 3 : 4 = 0,75; 0,75 N

Las operaciones entre números naturales están regidas por cinco leyes, llamadas Leyes

Fundamentales de la Aritmética. Estas son:

1) Ley asociativa de la adición: a, b, c N, a + (b + c) = (a + b) + c

2) Ley asociativa de la multiplicación: a, b, c N, a. (b . c) = (a . b) . c

3) Ley conmutativa respecto de la adición: a, b N, a + b = b + a

4) Ley conmutativa respecto de la multiplicación: a, b N, a . b = b . a

5) Ley distributiva de la multiplicación respecto de la suma:

a, b, c N, a . (b + c) = a . b + a . c

2.2. Los números enteros

Como se pudo observar en los ejemplos precedentes, algunas de las operaciones rea-

lizadas no dan como resultado un número natural. Si “a” y “b” son dos números natura-

les, para que “a – b” sea posible en N, “a” debe ser mayor que “b”. Cuando “a” es menor

o igual que “b”, es necesario considerar el 0 (cero) y los números negativos: -1, -2, -

3,….., para que “a – b” tenga solución en un conjunto que no es el conjunto N y que se

considera a continuación.

El conjunto formado por los números naturales, el cero y los negativos (también deno-

minados enteros negativos, Z – ) se denomina conjunto de números enteros y su nota-

ción es Z. Este último conjunto es una ampliación de los números naturales.

En símbolos: Z = N U 0 U Z –-

El conjunto Z no tiene primer ni último elemento; cada número entero tiene un antecesor

y un sucesor; es un conjunto discreto y ordenado y en él tienen sentido las operaciones

de adición, sustracción y multiplicación.

Ejemplo:

a) 3 + 1 = 4; 4 Z e) 4 . 3 = 12; 12 Z

b) 3 + ( -1) = 3 - 1 = 2; 2 Z f) (-4) . 3 = -12; -12 Z

c) -7 + 10 = 3; 3 Z g) (-5).(-2) =10; 10 Z

39


d) -7 + (-10) = - 7 - 10 = -17; -17 Z h) 6.(-3) = -18; -18 Z

Para graficar los números enteros se utiliza una recta numérica, donde se elige un punto

arbitrario para representar al origen (al cual lo indicamos con 0, cero), se adopta un

segmento como unidad y la convención de que, para la derecha estarán los naturales o

enteros positivos y para la izquierda estarán los enteros negativos (opuestos de los na-

turales o enteros positivos).

Si bien en Z están definidas las operaciones de adición, sustracción y multiplicación, no

siempre es posible realizar la división, ya que dados “a”, “b” Z, la división “a÷b” dará

como resultado un número entero sólo si “a es múltiplo de b y b es distinto de 0”.

Para solucionar esta limitación se crearon los números fraccionarios, cuyo conjunto se

denota con F.

2.3 Los números fraccionarios y los números racionales

Los números fraccionarios surgen de la división de dos números enteros “p” y “q”, tal

que en la división “p/q”, el numerador “p” no sea múltiplo del denominador “q”, y este

último sea distinto de cero.

El conjunto formado por la unión de los números enteros y los números fraccionarios se

denomina conjunto de los números racionales: Q.

En símbolos: Q = Z U F = p/q / p, q Z q 0

Tener en cuenta:

i) p Z, p/1 = p. Luego Z Q.

ii) q Z q 0, 0/q = 0. Luego, 0 Q.

iii) p, q Z q 0, – (p/q) = (–p)/q = p/(–q)

El conjunto de los números racionales es ordenado e infinito. También es denso, es

decir, entre dos números racionales existen infinitos número racionales.

40


En el conjunto Q se pueden realizar las operaciones de adición, sustracción, multiplica-

ción y división (excepto por cero).

Los números racionales también se escriben como expresiones decimales finitas o ex-

presiones decimales infinitas periódicas; como se puede ver en los siguientes ejemplos:

3

2= 1,5

2

3= 0,666 …

5

6= 0,8333 …

2.3.1 Operaciones en los racionales

2.3.1.1 Suma y resta de números racionales

Dados dos números racionales, para sumarlos o restarlos se presentan dos casos dife-

rentes:

a) Cuando tienen igual denominador.

b) Cuando tienen distinto denominador.

En cada caso se procede de la siguiente manera:

Para sumar o restar dos números racionales que tengan el mismo denominador,

se suman o se restan los numeradores, según corresponda, y se repite el deno-

minador.

6 3 6 3 9

5 5 5 5

Para sumar o restar dos fracciones que tengan distintos denominadores se pro-

cede de la siguiente manera:

i. Se obtiene el mínimo común denominador (MCD) de entre los deno-

minadores de las fracciones dadas.

ii. Se reemplazan las fracciones dadas por otras equivalentes que ten-

gan, como denominador, el MCD determinado.

iii. Se suman o restan las fracciones equivalentes.

1 6 1.5 6.4 5 24 29

4 5 4.5 5.4 20 20

2.3.1.2 Multiplicación de números racionales

El producto de dos números racionales es otro número racional, tal que, su numerador

es el producto de los numeradores dados y su denominador es el producto de los deno-

minadores dados.

4 5 1 4 5 1 20 1

5 6 2 5 6 2 60 3

41


Previo a multiplicar los numeradores y los denominadores entre sí, cuando sea posible

se simplifican valores del numerador con valores del denominador.

12 1

1 3 1

4 5 1 4 5 1 1

5 6 2 5 6 2 3

2.3.1.3 División de números racionales

Dados dos números racionales, el cociente de éstos es otro número racional, que tiene

como numerador el producto del numerador de la primera fracción por el denominador

de la segunda fracción, y como denominador el producto del denominador de la primera

fracción, por el numerador de la segunda fracción.

5 2 5 3 15

4 3 4 2 8

Otra forma de resolver el cociente entre dos números racionales consiste en la multipli-

cación de la primera fracción por la segunda fracción invertida.

5 2 5 3 15

4 3 4 2 8

2.4 Los números irracionales

Hay números que no pueden ser escritos como expresiones decimales finitas o expre-

siones decimales infinitas periódicas; es el caso de los que poseen infinitas cifras deci-

males no periódicas. Ellos se denominan números irracionales, y conforman el conjunto

que se denota con la letra I.

Son números irracionales, por ejemplo: 3,1416..., 3 1,7320..., e 2,718...

2.5 Los números reales

Los números reales son expresiones decimales, ya sean finitas o infinitas, pudiendo ser

estas últimas, periódicas o no periódicas. Así, los números reales, (R) surgen de la unión

entre los conjuntos de los números racionales y los números irracionales:

R = Q U I

42


R

I

El conjunto de los números reales goza de las mismas propiedades que los números

racionales y la relación entre los conjuntos numéricos analizados hasta el momento se

puede visualizar en el siguiente diagrama:

Así también se puede apreciar la relación existente entre todos los conjuntos numéricos,

de la siguiente manera:

También, en el conjunto de los números reales se pueden realizar las operaciones de: potenciación, radicación y logaritmación, las cuales se pasan a enunciar a continuación.

2.5.1 Potenciación

Si “a” es un número real y “n” es un número natural, entonces la potencia de grado “n” de “a”, indicada por: “an ”, se obtiene multiplicando “n” veces el número “a”, es decir:

an = a . a . a….a

n veces

Números Reales

Racionales

Enteros

NaturalesNegativos y

cero

Fraccionarios

Decimales exactos

Decimales periodicos

Irracionales

Decimales no periodicos

Q

Z N

I

0

43


Si an = b, entonces “a” es la base, “n” el exponente y “b” es la potencia de grado n del

número a o, simplemente, “n-ésima potencia de a”.

3a) 4 = 4 4 4 = 64 ,

31 1 1 1 1

b) - = - - - = -2 2 2 2 8

2

3 3 3 9c) - = - - =

5 5 5 25

El signo de una potencia se obtiene de aplicar la regla de los signos del producto. De

esta manera, según sea el signo de la base y dependiendo si el exponente es par o

impar, se obtiene una potencia positiva o negativa.

Potencia Base Exponente Resultado

22 = 2x2 = 4 Positiva Par Positivo

(-2)2 = (-2)x(-2) = 4 Negativa Par Positivo

23 = 2x2x2 = 8 Positiva Impar Positivo

(-2)3 = (-2)x(-2)x(-2) = -8 Negativa Impar Negativo

Se puede extender la definición de potencia para el caso de exponentes enteros defi-

niendo, para a ≠ 0:

a –n = (a– 1 )n =

n

n

1 1

a a

con n N

a) 4−3 =1

43 =1

64 b) (−

3

2)

−3= (−

2

3)

3= −

23

33 = −8

27

2.5.2.1 Propiedades

Sean “a” y “b” números reales distintos de 0 y sean “m” y “n” números enteros, entonces

son válidas las siguientes propiedades:

Distributiva respecto de la multiplicación

(a . b)m = am . bm (2 . 3)2 = 22 . 32

Distributiva respecto de la división

(a

b)

m=

am

bm (

3

2)

3=

33

23

Producto de potencias de igual base

am . an = am + n 24 . 23 = 27

44


Cociente de potencias de igual base

am

an= am−n

57

54= 53

Potencia de otra potencia

(am)n = am.n (32)4 = 38

a) La potenciación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta: (a b)n an bn

b) Cuando el exponente es 0 y la base “a” es distinta de 0, la potencia vale 1: a0 = 1.

c) 0n = 0 con n 0.

d) 00 no está definido.

2.5.2 Radicación

Se llama raíz n-ésima de un número real “a”, a otro número real “b” tal que, “b” elevado a la “n” es igual a “a”. Simbólicamente se puede escribir:

a R, n N ; nn a =b b =a ; siendo: “a” el radicando, “b” la raíz enésima de a, “n” el

índice y el signo radical.

4 16 2 a) ya que (+2)4 =16 y (-2)4=16

3 8 2 b) ya que 23 = 8

3 -8 -2 c) ya que (-2)3 = 8

-25d) no tiene solución en el conjunto de los números reales ya que (-5)2 = 25

y (+5)2 = 25

2.5.2.1 Propiedades

Sean “a” y “b” números reales positivos o nulos y sean “n” y “m” números naturales,

entonces son válidas las siguientes propiedades:

Distributiva respecto a la multiplicación

√a. bm

= √am

. √bm

√16 . 814

= √164

. √814

Distributiva respecto a la división

√a

b

m=

√am

√bm , b ≠ 0 √

8

27

3=

√83

√273

Raíz de otra raíz

√ √an

m

= √am.n

√√643

= √642.3

45


Simplificación de radicales

Si m es impar √amm= a √233

= 2

Si m es par √amm= ±a √344

= |3|

La radicación no es distributiva respecto a la suma ni a la resta. n n na b a b

2.5.2.2 Simplificación de radicales

Para simplificar un radical, se dividen el índice y el exponente de cada uno de los facto-

res que intervienen en el radicando (si hubiera más de uno) por un mismo número.

5 510 15 15 5 310 5

9 6 9 3 6 3 3 212 312 4

a) 32a 2 a 2a

b) a b a b a b

2.5.2.3 Extracción de factores del radical

Cuando el exponente de uno o más factores del radicando (si hubiera más de uno) es

mayor o igual que el índice, se puede simplificar el radical extrayendo factores.

Para ello, cada uno de esos factores que cumplen con la condición anterior, se escribe

fuera del radical con un exponente igual al cociente entre el exponente con que figura

en el radicando y el índice, quedando dentro del radical con un exponente igual al resto

de esa división.

9 5 7 9 5 2 3 2333a) 128a b c (2) a b c 2 b c 2a c

8 19 7 5 8 19 7 2 4 3 34 4 4b) 32x y z (2) x y z 2 x y z 2 y z

2.5.2.4 Introducción de factores en un radical

Para realizar esta operación se introduce, dentro del radicando, cada factor elevado a

la potencia que se obtiene multiplicando el exponente que tiene dicho factor, por el ín-

dice correspondiente al radical.

3 32 6 63 3a) 2a 3 2 a 3 24a

4 4 4 16 5 4 174 44b) 3ax 3xy 3 3a x x y 3 a x y

46


2.5.2.5 Operaciones con radicales

Previamente se definirá lo que se entiende por radicales semejantes.

Dos radicales son semejantes cuando tienen el mismo índice y el mismo radicando,

diferenciándose uno del otro únicamente por los coeficientes, que son los números y/o

letras que preceden a los radicandos. Por ejemplo:

233- a 2b2

y 23-4 2b

son radicales semejantes.

Suma y diferencia de radicales

La suma o diferencia de dos o más radicales semejantes, es otro radical semejante a

los dados, cuyo coeficiente es la suma o diferencia de los coeficientes de los radicales

dados. Cuando los radicales no son semejantes, no pueden sumarse ni restarse.

a) 9√3 − √3 + 2√3 = (9 − 1 + 2)√3 = 10√3

b) √48 + 3√50 − 2√192 + 5√18 = 2√24. 3 + 3√52. 2 − 2√26. 3 + 5√32. 2 =

= 8√3 + 15√2 − 16√3 + 15√2 = 30√2 − 8√32

Multiplicación de radicales

a) Del mismo índice

El producto de dos o más radicales del mismo índice es otro radical, cuyo índice es el

mismo radical que el de los dados y el radicando es el producto de los respectivos radi-

candos.

√23

. √53

= √2.53

= √103

√3x. √2x = √6x2 = x√6

b) De distinto índice

El producto de dos o más radicales de distinto índice, es igual al producto de otros tantos

radicales del mismo índice, equivalentes a los dados, tales que:

El índice es el mínimo común índice de los índices de los radicales dados.

Los exponentes de los radicandos se obtienen elevando cada uno de ellos al

cociente que resulta de dividir el mínimo común índice en el índice respectivo.

√3x4

. √xy3. √5y28= √32. x28

. √x4. y128. √5y28

= √9x2x4y125y28= √45x6y148

= y√45x6y68

División de radicales

a) Del mismo índice

El cociente de dos radicales del mismo índice, es otro radical del mismo índice que los

dados y cuyo radicando es el cociente de los respectivos radicandos.

√−543

: √23

= √(−54): 23

= √−273

= −3 √2x4

: √4x24= √

2

4x1−2

4= √

1

2x

4

47


b) De distinto índice

Para dividir radicales de distinto índice se procede en forma análoga a la multiplicación.

Se calcula el mínimo común índice y se hallan los radicales equivalentes a los dados.

2

62 3 4 6 3 3 3 4-3 63 6 6

6 6

1 2 1 2 -2 13 b y : 2b 3 b y : - 2 b 3 : . : 2 b y

2 5 2 5 5 4

15 1- y . b

2 32

2.5.2.6 Racionalización de denominadores

Es el procedimiento mediante el cual se logra eliminar las raíces del denominador de

una expresión fraccionaria.

Primer caso: el denominador es un radical cuadrático único.

La expresión a racionalizar se multiplica y divide por la raíz presente en el denominador.

2

3 3 5 3 5 3 5 35

5 55 5 5 5

Segundo caso: en el denominador hay suma o resta de términos que contie-

nen raíces cuadradas.

La expresión a racionalizar se multiplica y divide por el conjugado del denominador (o

sea por la expresión que aparece en el denominador con el signo cambiado).

22

2 1- 3 2 1- 3 2 1- 3 2 1- 32= = = = = -1+ 3

1- 3 -21+ 3 1+ 3 1- 3 1 - 3

siendo 1 3 el conjugado de 1 3

2.5.2.7 Potencia con exponente racional

1

mma a si: a R,a 0,m N m es par

a R,m N m es impar

n 1 1

nn nmm m ma a a a

Ejemplos

48


1

2a) 4 4 2 c) 1

33-27 -27 -3

b) 1

338 8 2 d) 3

4 3416 16 8

2.6 Logaritmo

Dados los números reales “a” y “b”, con a, b > 0 y b 1, se llama logaritmo del número

“a” en base “b”, al exponente al “c” que hay que elevar la base “b” para obtener el número

“a”.

En símbolos:

c

blog a c b a

Si la base del logaritmo es 10, se llama logaritmo decimal, y no es necesario escribir la base. Por ejemplo: log 6.

Si la base es el número de Neper, e= 2,71… , el logaritmo se llama neperiano y tiene una notación particular. Por ejemplo: ln7.

Ejemplo:

2a)log 16 4 ya que: 24 = 16 3

1b)log -1

3 ya que: 3-1 = 1/3

4

1c)log 2

2 ya que: 41/2 = 2

2.6.1 Propiedades

La logaritmación tiene propiedades que se justifican en forma más o menos inmediata

por la misma aplicación de su definición.

El logaritmo del número 1 en cualquier base es 0

logb 1 = 0 log7 1 = 0 ya que 70 = 1

El logaritmo de la base es igual a 1

logb b = 1 log5 5 = 1 ya que 51 = 5

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de sus factores

en la misma base

log b(r.s)= log b r + logb s log2 (4.8) = log 24 + log2 8 = 2 + 3 = 5

El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia de los logaritmos del dividendo

y el divisor en la misma base.

log b (r/s)= log b r – logb s log 2(4/8) = log 2 4 – log2 8 = 2 – 3 = – 1

49


El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo

de la base de dicha potencia.

logb (r)s= s. logb r log2 (4)3 = 3. log2 4

2.7 Representación gráfica de los números reales

Al conjunto de los números reales se lo puede representar gráficamente en una recta

en la que se fija un origen y una unidad. A esta recta se la denomina recta real. Así a

cada punto de la recta, le corresponde un número real y a cada número real le corres-

ponde un punto de la recta. Esta correspondencia se llama “correspondencia biunívoca”.

2.7.1. Intervalos en la recta real

A menudo se trabaja con subconjuntos de números reales que se representan mediante

semirrectas o segmentos de recta. Estos subconjuntos se llaman Intervalos y se pueden

identificar los siguientes:

Si “a” y “b” son números reales con a < b, entonces:

Intervalo abierto: (a, b) = {x ϵ R / a < x < b}

Intervalo cerrado: [a, b] = {x ϵ R / a ≤ x ≤ b}

Intervalo semiabierto o semicerrado (en el extremo del intervalo que corresponda):

(a, b] = {x ϵ R / a < x ≤ b}

[a, b) = {x ϵ R / a ≤ x < b}

a a b ( ) x

a a b [ ] x

a a b ( ] x

a a b [ ) x

50


Intervalos infinitos:

[a, +∞) = { x ∈ R / x ≥ a}

(a, +∞) = { x ∈ R / x > a}

(–∞, b] = { x ∈ R / x ≤ b}

(–∞, b) = { x ∈ R / x < b}

En las siguientes gráficas se pueden identificar los intervalos: [2,5] y (-3,3]

2.8 Módulo o valor absoluto de un número real

El valor absoluto de un número real “x” se define como:

|x| = {x si x ≥ 0

−x si x < 0

0 2 5 [ ] x

-3 0 3 ( ] x

a a [

x

a a (

x

a b ]

x

a b )

x

51


Geométricamente el valor absoluto o módulo de un número real mide la distancia desde

el punto que representa al número en la recta real y el origen de la misma.

O sea:

Propiedades

a) |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a

Gráficamente, “x” se encontraría en el siguiente intervalo:

b) |x| ≥ a ⇔ x ≤ −a o x ≥ a

Gráficamente, “x” se encontraría en el siguiente intervalo:

Ejemplo

a) |x| ≤ 3 ⇔ – 3 ≤ x ≤ 3

b) |x| ≥ 2 ⇔ x ≤ −2 o x ≥ 2

2.9. Ley de Composición Interna

Una ley de composición interna en un conjunto A ≠ Ø, es una operación que aplicada a

un par de elementos cualesquiera de A tiene como resultado un elemento de A.

Esto significa que si: ∀𝑎, 𝑏 ∈ 𝐴: 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑐 / 𝑐 ∈ 𝐴, entonces ∗ es una ley de composición

interna.

Por ejemplo, la suma y el producto son leyes de composición interna en el conjunto N,

ya que la suma y el producto de dos números naturales es un número natural, en cambio

la diferencia y el cociente de números naturales no son leyes de composición interna,

ya que no siempre estas operaciones tienen como resultado un número natural. La

suma, la diferencia y el producto son leyes de composición interna en Z. No sucede lo

mismo con el cociente: no siempre el cociente de dos números enteros es un número

entero.

0

-a 0 a [ ] x

a -a a ] [ x

0

x -x

|-x| = x |x| = x

52


2. 10. Axiomas de Cuerpo

Axioma es un enunciado formal que se acepta sin demostración.

Consideremos el conjunto de los números reales R y las operaciones de suma “+” y

producto “.”.

Si a, b ∈ R ⇒ {a + b ∈ 𝑹a . b ∈ 𝑹

, lo que significa que la suma y el producto de dos números

reales es otro número real. Podemos decir que la suma y el producto son leyes de com-

posición interna en R. También puede decirse que R es cerrado respecto a la adición y

a la multiplicación.

El conjunto R con respecto a estas dos operaciones satisface los siguientes axiomas:

I) Propiedad conmutativa de la suma y el producto:

∀ a, b ∈ 𝑹 {a + b = b + a

a. b = b. a

Este axioma asegura que no importa el orden con el cual dos números son su-

mados o multiplicados siempre se obtiene el mismo resultado.

Por ejemplo: 5 + 8 = 8 + 5 4 . (–2) = (–2) . 4

II) Propiedad asociativa de la suma y el producto:

∀ a, b, c ∈ 𝑹 {(a + b) + c = a + (b + c)

(a. b). c = a. (b. c)

Este axioma establece que si se suman o multiplican tres números no importa

cuales sean los dos que se sumen o multipliquen primero, siempre se obtiene el

mismo resultado.

Por ejemplo: (3 + 4) + 8 = 3 + (4 + 8) = 15 (3 . 4) . 8 = 3 . (4 . 8) = 96

III) Propiedad distributiva del producto respecto a la suma:

∀a, b, c ∈ 𝑹: a. (b + c) = a. b + a. c

Este axioma establece que el producto es distributivo respecto a la suma ya que

puede efectuarse la operación dada de las dos maneras.

IV) Existencia de elementos neutros:

Existen dos números reales y distintos “0”y “1”, tales que ∀a ∈ 𝑹, se verifica que:

a + 0 = 0 + a = a

a . 1 = 1 . 0 = a

“0” recibe el nombre de elemento neutro o idéntico de la suma y “1” recibe el

nombre de elemento neutro o idéntico del producto.

V) Existencia del opuesto o inverso aditivo:

53


∀a ∈ 𝑹 existe uno y sólo un número real que lo representamos como “–a” tal

que: a + (– a) = (– a) + a = 0 “– a” recibe el nombre de opuesto aditivo

de “a”.

Por ejemplo: el inverso aditivo de 7 es (– 7) puesto que 7 + (– 7) = 0

El inverso aditivo de (– ½) es ½

VI) Existencia del recíproco o inverso multiplicativo:

∀a ∈ 𝑹, a ≠ 0, existe uno y sólo un número real que lo representamos como “a–

1 ” tal que: a . a–1 = a–1 . a = 1 “a–1” recibe el nombre de inverso

multiplicativo de “a”.

Por ejemplo: el inverso multiplicativo de 7 es 7 –1 puesto que 7 . 7 –1 = 1

La condición a ≠ 0 en este último axioma es muy importante ya que “0” no tiene

inverso multiplicativo.

Estos axiomas reciben el nombre de Axiomas de Cuerpo y cuando los mismos se ve-

rifican en un conjunto cualquiera con respecto a las operaciones “+” y “.” Decimos que

el conjunto tiene Estructura Algebraica de Cuerpo.

El conjunto de los números reales R tiene estructura de Cuerpo. La terna (R, +, .) es un

Cuerpo.

En Algebra existen distintas estructuras algebraicas: Anillos, Grupos, Espacios Vecto-

riales, etc. Ellas dependen de los elementos que se consideren, los axiomas que se

supongan válidos y las operaciones que se definan.

2.11 Números complejos

Si se quisiera obtener el valor de 9 sería necesario encontrar un número que elevado

al cuadrado sea igual a “-9”, o sea 29 a a 9 a R . Pero se sabe que

el cuadrado de cualquier número real es mayor o igual que cero, por lo tanto no es

posible calcular 9 en el conjunto de los números reales R.

Para que este tipo de operaciones pueda resolverse, se introducen los números imagi-

narios (Im). El conjunto de los números imaginarios surge para dar respuesta al pro-

blema ocasionado cuando se quiere resolver raíces de índice par y radicando negativo.

Se define la unidad imaginaria “i” como: i= 1 y esta es tal que i2= -1. De este modo

se puede calcular, por ejemplo:

16 1 16 1 16 i 4 4i

54


La introducción de los números imaginarios da origen a una nueva ampliación del campo

numérico y de este modo aparece el conjunto de los números complejos que se designa

con la letra C.

R U Im = C

Una primera forma de escribir a los números complejos es mediante pares ordenados,

en los cuales ambas componentes son números reales.

Simbólicamente: C= z= (a, b) / a y b R, “a” es la componente real y “b” es la com-

ponente imaginaria.

2.11.1 Forma binómica de un número complejo

Todo número complejo también se puede escribir como un binomio, donde el primer

término es la componente real y el segundo término es la componente imaginaria multi-

plicada por la unidad imaginaria i, es decir:

z = (a, b) C z = a + bi

Observación:

Si b = 0 el número complejo es un número real, ya que (a, 0)= a + 0i = a R

Si a = 0 el número complejo es un número imaginario puro, ya que

(0, b) = 0 + bi = bi Im

Caso particular de éste último, es el par ordenado (0,1) que da lugar a la unidad imagi-

naria i porque: (0,1) = 0+1i = i.

Ejemplos: a) (2, 4) = 2 + 4i C c) (-4,-3) = -4 - 3i C

b) (-5, 0) = -5 + 0i = -5 R d) (0, 9) = 0 + 9i = 9i Im

2.11.2 Complejos conjugados

Dado el número complejo z = (a, b) = a + bi, se llama conjugado de z al número complejo

de la forma: biab)(a,z

El conjugado de z 1 2i es z 1 2i

El conjugado de z 3 5i es z 3 5i

2.11.3 Igualdad de números complejos

Sean z1 = a + bi y z2 = c + di dos números complejos. Entonces éstos son iguales si y

sólo si tienen las mismas componentes reales y las mismas componentes imaginarias:

Simbólicamente: 1 2z z a c b d

55


2.11.4 Operaciones con números complejos

Sean z1 = a + bi y z2 = c + di dos números complejos. Para ellos se definen las siguientes

operaciones:

Suma y resta: (a + bi) (c + di) = (a + c) (b + d)i

Multiplicación: (a + bi).(c + di) = ac + ad + bci + bdi2 = ac + ad + bci + bd (-1) =

= (ac - bd) + (ad + bc)i

División: 2 2 2 2

(a bi) (a bi) (c - di) (ac bd) (bc - ad)i (ac bd) (bc - ad)i

(c di) (c di) (c - di) (c d ) (cdi - cdi) c d

Para dividir dos números complejos se multiplica numerador y denominador por

el conjugado del denominador.

El producto de un número complejo “a + bi” por su conjugado “a - bi”, siempre es

un número real de la forma “a2 + b2”.

Ejemplo

1 2

1 2

2

1 2

1 2 2 2 2

Sean z =1+2i y z =3 -4i entonces:

z z 1+2i 3- 4i (1 3) (2 - 4)i 4 - 2i

z z 1+2i 3-4i 3 - 4i 6i - 8i 3 2i - 8 (-1) 11 2i

1 2i 1 2i 3 4i 3 4i 6i - 8 -5 10i 1 2z z - i

3 - 4i 3 - 4i 3 4i 25 5 53 - 4 i

56


Unidad 3

Expresiones Algebraicas

Introducción

El Álgebra es una rama de la Matemática que estudia la combinación de elementos de

estructura abstracta que se rigen por ciertas reglas.

Estos elementos pueden ser números, letras o combinación de ambos:

Los números se emplean para representar cantidades conocidas y determina-

das.

Las letras representan cantidades desconocidas.

En las reglas están presentes tres tipos de signos:

Signos de operación

Ellos son: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación, que se

indican con los signos ya conocidos de la aritmética elemental. El caso del signo

de multiplicación, admite diferentes formas: “×” , “.” (un punto) entre los factores,

u omitiendo cualquier tipo de signo y dejando un espacio entre los factores.

Signos de relación

Se usan para establecer la relación que existe entre dos cantidades. Ellos son:

igual “=”, mayor “>”, menor “<”, mayor o igual “” y menor o igual “”.

Signos de agrupación

Definen en qué orden se deben realizar las operaciones comprendidas entre

ellos. Éstos son: el paréntesis ordinario “( )”, el corchete “[ ]”, las llaves “{ }” y la

doble barra “||”.

4

3.1 Expresión algebraica

Se llama expresión algebraica a toda expresión en la que figuran números y letras

relacionados por las operaciones aritméticas, directas (suma, multiplicación y potencia-

ción) o inversas (resta, división y radicación).

Las expresiones algebraicas se clasifican en racionales e irracionales.

Una expresión algebraica es racional cuando se realizan sobre las letras operaciones

de suma, resta, multiplicación y potenciación con exponente entero y además interviene

la división, en un número finito de veces.

3 -3 5m2a c

7b

A su vez las expresiones racionales se clasifican en enteras y fraccionarias. Si la expre-

sión es tal que sus letras se relacionan por la suma, resta, multiplicación y potenciación

con exponente entero no negativo, la expresión algebraica es entera.

http://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmeros

http://es.wikipedia.org/wiki/Suma

http://es.wikipedia.org/wiki/Resta

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Multiplicaci%C3%B3n

http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_matem%C3%A1tica

57


2x + 3 – 4xy p4 – 1

3 p2 + 0,1 p 3a2 – 2 bc3

Si la expresión es tal que sus letras están relacionadas por la suma, resta, multiplicación

y potenciación con exponente entero negativo y además interviene la división, la expre-

sión algebraica es fraccionaria.

2

-22 5a - 3b

5 b

2

(x 2).(1- x)

x -1

3 -3 5m

2a c7b

Una expresión es algebraica irracional cuando sobre las letras se realizan operacio-

nes racionales y también de radicación o potenciación con exponentes fraccionarios en

un número finito de veces.

23

4

2m a b 5

2c

b

2

3

3ab

c a

12 2

12

m n

p q

La clasificación antes descripta se puede sintetizar en el siguiente cuadro:

Enteras

Racionales

Expresiones Fraccionarias

Algebraicas

Irracionales

Valor numérico de una expresión algebraica

Se llama valor numérico de una expresión algebraica al número que se obtiene al reem-

plazar cada una de las letras o indeterminadas por los valores fijados de antemano para

las mismas.

Ejemplo:

El valor numérico de la expresión:

x3 + 3x2 y + 3 x y2 + y3 ; para x=5

y= -3

resulta de reemplazar los valores numéricos en las indeterminadas x e y:

53 + 3. 52 (-3) + 3. 5 (-3)2 + (-3)3 = 125 - 225 + 135 - 27 = 8

58


3.2. Monomios

Un monomio es una expresión algebraica racional entera en la cual no figuran ni la suma

ni la resta.

Está compuesto por una parte numérica, llamada coeficiente, y una parte literal formada

por una o más letras.

- 3

4 x3y z4 donde -

3

4 es el coeficiente x3y z4 es la parte literal

Se denomina grado de un monomio a la cantidad de factores literales que contiene. Se

calcula sumando los exponentes de la parte literal.

3 22- a b x5

es un monomio de 6to grado.

Cuando dos o más monomios tienen la misma parte literal, se los denomina semejan-

tes.

3 3 32- a b ; 7 a b ; 2 a b, son monomios semejantes.5

3.3 Polinomios

Un polinomio es una expresión algebraica formada por sumas y restas de monomios. El

grado de un polinomio está dado por el término de mayor grado.

3x3y2z + xy3 – 2yz6 es un polinomio de 7° grado

Un polinomio es homogéneo cuando todos los términos son del mismo grado.

a3 + 4a2 b – a b2 + 8 b3 es un polinomio homogéneo de 3er. grado

De acuerdo al número de términos que posea, un polinomio se clasifica de la siguiente

manera:

Dos términos Binomio

Tres términos Trinomio

Cuatro términos Cuatrinomio

Cinco términos Polinomio de 5 términos

En general: Polinomio de “n” términos

Un polinomio puede tener una o varias indeterminadas.

3 55P(b) 0,5 b - b 2 b - 3

3 Polinomio en una indeterminada

2 3 5 42P(a,x,m) - a x 7 m a - 2 a m

5 Polinomio en tres indeterminadas

59


Se denomina polinomio en una indeterminada “x” a toda expresión algebraica racional

entera.

En símbolos: n n 1 n 2 2

n n 1 n 2 2 1 0P(x) a x a x a x ..... a x a x a

donde “ai” son

coeficientes reales con i = 0, 1, 2, 3, . . . , n-1, n y na 0 ; y “x” es la indeterminada.

El coeficiente principal de un polinomio es el número que multiplica a la indeterminada

de mayor exponente. En el caso precedente es “an”.

Un polinomio es normalizado si el coeficiente principal es 1

El grado de un polinomio está dado por la mayor potencia con la que aparece la inde-

terminada.

El término independiente de un polinomio es el término de grado cero, es decir, la

constante.

3 55P(b) 0,5 b b b 3

3 es un polinomio en una indeterminada “b”, normali-

zado, de 5to. grado, el término independiente es – 3

Un polinomio está ordenado respecto de una indeterminada, cuando sus términos se

disponen de modo que los exponentes de la misma aparezcan en orden creciente o

decreciente.

7 6 5 35P(x) 0,5x x 2x 3x 9x 8

3 está ordenado según potencias decrecientes

de x.

Un polinomio se dice completo cuando están presentes todas las potencias de la inde-

terminada, desde el exponente cero hasta el que determina el grado del mismo.

5 4 3 25P(x) 0,5 x - x 2 x - 3 x 9 x - 8

3

Para completar polinomios hay que hacer figurar todos los términos de las potencias de

la indeterminada, ordenados en forma decreciente o creciente, según corresponda. Si

falta alguno, se agregan ceros como coeficientes.

7 6 5 4 3 25P(x) 0,5 x 2 x - x 0 x 3 x - 0 x 9 x - 8

3

3.3.1 Ceros de un polinomio

60


Se llaman ceros de un polinomio a los valores de la indeterminada que anulan dicho

polinomio.

P(x) = x3 + 2x2 – x – 2 , los valores x = –2, x = –1 y x = 1 anulan al polinomio en la

indeterminada “x”:

P(-2) = (-2)3 + 2 (-2)2 – (-2) – 2 = -8 +8 + 2 – 2 = 0

P(-1) = (-1)3 + 2 (-1)2 – (-1) – 2 = -1 +2 + 1 – 2 = 0

P(1) = 13 + 2 . 12 – 1 – 2 = 1 +2 – 1 – 2 = 0

Por lo tanto – 2, – 1 y 1 son ceros del polinomio.

3.4. Operaciones

3.4.1. Suma de polinomios

La suma de dos o más polinomios es otro polinomio, cuyos términos son todos los tér-

minos de los polinomios sumandos, reduciendo previamente los términos (monomios)

semejantes.

A(x) = 3x2 – 5x3 + x – 1

B(x) = 7x3 – 8x2 + 2x

C(x) = 10 – x2

A(x) + B(x) + C(x) = (3x2 – 5x3 + x – 1) + (7x3 – 8x2 + 2x) + (10 – x2)

= 3x2 – 5x3 + x – 1 + 7x3 – 8x2 + 2x + 10 – x2 Suprimiendo paréntesis

= 2x3 – 6x2 + 3x + 9 Reduciendo términos semejantes

Regla práctica: Para sumar polinomios se pueden ordenar los polinomios dados y luego

escribir en columna los términos semejantes.

– 5x3 + 3x2 + x – 1

+ 7x3 – 8x2 + 2x

– x2 + 10

2x3 – 6x2 + 3x + 9

3.4.2 Resta de polinomios

La resta de dos polinomios es otro polinomio que se obtiene de sumar al polinomio mi-

nuendo el opuesto del polinomio sustraendo.

El opuesto de un polinomio es el que se obtiene cambiando los signos al polinomio dado.

D(y) = 3y2 – 4 + y3

E(y) = 2y3 – 4y + 5y2

61


D(y) – E(y) = D(y) + [– E(y)] = (3y2 – 4 + y3) + (– 2y3 + 4y – 5y2) = – y3 – 2y2 + 4y – 4

D(y) – E(y) = (3y2 – 4 + y3) – (2y3 – 4y + 5y2)

= 3y2 – 4 + y3 – 2y3 + 4y – 5y2 Suprimiendo paréntesis

= – y3 – 2y2 + 4y – 4 Reduciendo términos semejantes

3.4.3 Multiplicación

El producto de dos o más monomios es otro monomio cuyo coeficiente es el

producto de los coeficientes de los monomios dados y la parte literal se obtiene

multiplicando la parte literal de los monomios.

Ejemplo: (2x2y z3) (– 4x3y4) (– xyz) = 8x6y6z4

El producto de dos o más polinomios, es otro polinomio que se obtiene sumando

los productos parciales que surgen de aplicar la propiedad distributiva del pro-

ducto respecto de la suma entre los términos de los polinomios y reduciendo los

términos semejantes.

Ejemplo: (x2 + 5x – 4) (3x3 + 2x – 1)=

= x2 (3x3 + 2x – 1) + 5x (3x3 + 2x – 1) – 4 (3x3 + 2x – 1)

= 3x5 + 2x3 – x2 +15x4 + 10x2 – 5x – 12x3 – 8x + 4

= 3x5 + 15x4 – 10x3 + 9x2 – 13x + 4

O sea, se multiplican los tres monomios del primer polinomio por cada uno de los

tres monomios del segundo polinomio, de lo cual resultan nueve términos, luego se

reducen términos semejantes.

Regla práctica: Para multiplicar polinomios es conveniente que estén ordenados. A cada

término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primer polino-

mio. Por último se suman los resultados parciales.

A(x) = – 9x2 + 2 + 5x3

B (x)= 3x – 2x2

5x3 – 9x2 + 2 (polinomio A ordenado)

x – 2x2 + 3x (polinomio B ordenado)

15x4 – 27x3 + 6x

– 10x5 + 18x4 – 4x2 .

– 10x5 + 33x4 – 27x3 – 4x2 + 6x

A(x) . B(x) = P(x) = – 10x5 + 33x4 – 27x3 – 4x2 + 6x

Caso particular: El producto de dos binomios, uno de la forma (a + b) y otro de la forma

(a – b) da como resultado la diferencia entre el cuadrado del primer término y el cuadrado

del segundo término. O sea:

62


2(a b)(a b)= a.a - a.b + b.a -b.b = a a.b b.a 2b

Entonces: (a + b) (a – b) = a2 – b2

Este producto recibe el nombre de Diferencia de Cuadrados.

3.4.4 Potenciación

Calcular la potencia enésima de un polinomio significa multiplicar “n” veces dicho poli-

nomio por sí mismo, siendo “n” un número natural.

3.4.4.1 Cuadrado de un binomio

El cuadrado de un binomio es igual al cuadrado del primer término, más el doble pro-

ducto del primer término por el segundo término, más el cuadrado del segundo término.

Este trinomio que se obtiene al elevar al cuadrado un binomio, recibe el nombre de

Trinomio cuadrado perfecto.

Para el caso de la suma:

(a + b)2 = (a + b).(a + b) = a.a + a.b + b.a + b.b = a2 + a.b + a.b + b2

(a + b)2 = a2 + 2a.b + b2

Para el caso de la resta:

(a – b)2 = (a – b).(a – b) = a.a – a.b – b.a + b.b = a2 – a.b – a.b + b2

(a – b)2 = a2 – 2a.b + b2

3.4.4.2 Cubo de un binomio

El cubo de un binomio es un cuatrinomio, el primer término y el cuarto término son los

cubos de los términos dados, el segundo término es el triplo del producto del cuadrado

del primer término por el segundo término y el tercer término es el triplo del producto del

primer término por el cuadrado del segundo término.

Para calcular el cubo de un binomio, por ejemplo (a + b)3, aplicando la propiedad de la

potenciación y lo visto respecto al cuadrado de un binomio, se puede escribir de la si-

guiente manera:

(a + b)3 = (a + b)2.(a + b) = (a2 +2ab + b2).(a + b)

Efectuando el producto indicado, se obtiene:

(a + b)3 = a3 +3 a2. b +3 a. b2 + b3

3.4.5 División

3.4.5.1 División de monomios

63


El cociente de dos monomios es la expresión que se obtiene: dividiendo los coeficientes

entre sí y las indeterminadas entre sí, aplicando la regla de los signos y las propiedades

de la potenciación.

(−9a7): (12

5a4) = −9.

5

12a7−4 = −

15

4a3 es otro monomio

(8x6y8): (−2x4y12z) = −4x2

y4z es una expresión algebraica fraccionaria

3.4.5.2 División de un polinomio por un monomio

El cociente entre un polinomio y un monomio es otro polinomio que se obtiene aplicando

la propiedad distributiva de la división respecto de la suma algebraica, es decir sus tér-

minos son el cociente de cada término del polinomio dividendo por el monomio divisor.

(12x4 – 6x9 + 4x6 + x5) : (– 2x2) =– 6x2 + 3x7 – 2x4 – ½ x3

3.4.5.3 División de polinomios

El cociente de dos polinomios es otro polinomio. Obtener este último requiere realizar

las siguientes consideraciones previas:

El grado del polinomio dividendo debe ser mayor o igual que el grado del polino-

mio divisor.

El polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente.

El polinomio divisor debe estar ordenado.

De esta manera, la división entre los polinomios D(x), polinomio dividendo y d(x), poli-

nomio divisor, queda expresada por:

En toda división, el dividendo es igual a la suma del producto del cociente por el divisor,

más el resto.

Regla:

Para dividir dos polinomios se procede de la siguiente manera:

Se ordena el dividendo y el divisor según las potencias decrecientes de una

misma letra.

Se divide el primer término del dividendo en el primer término del divisor, obte-

niéndose así el primer término del cociente.

Dividendo Divisor

Resto Cociente

D(x) d(x)

R(x) C(x) D(x) = C(x) . d(x) + R(x)

64


Se multiplica el primer término del cociente por el divisor y el producto así obte-

nido se resta al término semejante en el dividendo. En el caso de que algún

término de este producto no tenga ninguno semejante en el dividendo, se escribe

dicho término en el lugar que le corresponda de acuerdo con la ordenación del

dividendo.

Luego se divide el primer término del polinomio resultante de la resta anterior en

el primer término del divisor, obteniéndose de este modo el segundo término del

cociente.

El segundo término del cociente se multiplica por el divisor y el producto así ob-

tenido se resta al término semejante del dividendo.

Luego se repiten las operaciones anteriores hasta obtener como resto, un poli-

nomio de grado menor que el divisor.

(2x4 +2x -3) : (x2 – 2x)

42x 3 2 2

4

0x 0x 2x 3 x 2x

2x

3 2

3

4x 2x 4x 8

4x

2

3

0x

4x

2

2

8x

8x

2

2x

8x

16x

18x 3

El cociente es 2x2 + 4x +8 y el resto es 18x – 3

3.4.5.4 Regla de Ruffini

Otra forma de calcular, más fácilmente, el cociente y el resto de la división de un polino-

mio en x, por un binomio de la forma (x – a), siendo “a” un número real, se puede

obtener aplicando la Regla de Ruffini.

Esta regla surge como mecanismo de resolución de estas divisiones particulares, que

suelen ser muy frecuentes en el álgebra de los polinomios.

Para aplicar la Regla de Ruffini, el polinomio dividendo debe estar completo y ordenado en forma decreciente y el polinomio divisor debe estar ordenado.

Para resolver la división: (3 x4 – 2 x + 5 x2) : (x – 2)

Se construye una tabla en cuya primera fila se escriben los coeficientes del

dividendo, completo y ordenado, según las potencias decrecientes de la inde-

terminada “x”.

En la segunda fila, a la izquierda, se escribe el valor de “a”, en este caso 2:

Se obtiene el primer coeficiente del cociente, que siempre resulta igual al coe-

ficiente del primer término del dividendo:

65


El segundo coeficiente se obtiene multiplicando el primer coeficiente determi-

nado (3) por “a” (a=2) y sumando este producto al segundo coeficiente del

dividendo. Los siguientes coeficientes se obtienen en forma similar:

Los números obtenidos en la última fila de la tabla son los respectivos coefi-

cientes del polinomio cociente, que tiene un grado menor que el polinomio

dividendo.

En este caso:

C(x) = 3x3 + 6 x 2 + 17 x + 32, y el resto es: R(x) = 64

3.4.5.5 Teorema del Resto

Cuando interesa conocer sólo el resto de una división de un polinomio en x por un bi-

nomio de la forma (x – a) siendo “a” un número real, no es necesario realizar esta

operación. En este caso se puede utilizar el Teorema del Resto, que expresa lo si-

guiente:

El resto de la división de un polinomio en “x”, por un binomio de la forma (x – a) con a

perteneciente al conjunto R, es igual al valor numérico del polinomio dividendo cuando

la indeterminada toma el valor de “a”.

Para aplicar el Teorema del Resto, no es necesario que el polinomio dividendo esté

completo y ordenado.

En el ejemplo anterior: D(x) : ( x – 2) = (3 x4 – 2 x + 5 x2) : (x – 2),

el cálculo del resto de la división se puede efectuar evaluando el polinomio divi-

dendo D(x) en x = 2.

Es decir:

D(2) = 3 . 2 4 2 . 2 + 5 . 2 2 = 3 . 16 2 . 2 + 5 . 4 = 48 4 + 20 = 64 = R

3.4.5.6 Divisibilidad entre polinomios

Si en una división de polinomios el resto es cero, la división es exacta y, en este caso,

se dice que el polinomio dividendo es divisible por el polinomio divisor.

Si D(x) : d(x) = C(x) + 0 , o sea D(x) = C(x) . d(x) D(x) es divisible por d(x)

x

64

64

34 12 6 2

3 0 5 -2 0

3 6 17 32

+ + + +

Resto

Coeficientes del cociente

66


También se dice que el dividendo D(x) es múltiplo del divisor d(x).

El polinomio (2x3-3x2-x+4) es divisible por (x+1).

Para demostrarlo se puede aplicar el Teorema del Resto y probar que el resto es 0,

es decir:

D(-1) = 2.(-1)3 - 3.(-1)2 - (-1) + 4 = -2 – 3 + 1 + 4 = 0 = R

Cuando el valor numérico de un polinomio D(x) para x = a es cero, el número “a” se

llama cero del polinomio D(x).

3.5 Factoreo

Factorear un polinomio significa transformarlo en un producto de expresiones algebrai-

cas primas, siendo éstas últimas, las que sólo pueden ser divisibles por la unidad y por

sí mismas.

Los casos de factoreo son los siguientes:

3.5.1 Factor común

Surge de la aplicación de la propiedad recíproca de la distributiva de la multiplicación

con respecto a la suma y a la resta.

Este caso se aplica cuando en todos los términos de un polinomio figura uno o varios

factores repetidos.

El resultado es el producto entre esos factores repetidos y el polinomio que resulta de

dividir cada término por dichos factores. Esto se puede ver en el siguiente gráfico,

cuando se tiene un solo factor repetido en los dos términos de un polinomio:

c

a b

c a + c b = c (a + b)

Para encontrar los factores repetidos, o factor común, se aplica la siguiente regla:

De los coeficientes de todos los términos, se busca el máximo común divisor.

De la indeterminada presente en todos los términos, se busca la que tiene el

menor exponente.

Factorear el siguiente polinomio:

P(x) = 5x3 + 25x2 – 10x5 + 15x4

ca cb

67


El máximo común divisor de los números 5, 25, 10 y 15 es 5 y la indeterminada re-

petida x tiene como menor exponente 2; por lo tanto el factor común es 5x2.

Luego: P(x) = 5x2 (x + 5 – 2x3 + 3x2)

La regla dada también se aplica cuando el polinomio tiene más de una indeterminada.

Factorear los siguientes polinomios:

4 3 2 2 2

2 2 2

2 4 8 2 1a) T(x) x x x x x 2x 4

9 3 3 3 3

b) Q(x,y) 0,12 x y 0,3 x y 0,6 x y 0,3 x y (0,4 x y 1 2 x)

3.5.2 Factoreo por grupo (doble factor común)

Cuando los términos de un polinomio no tienen un factor común, pero se pueden asociar

en grupos de igual número de términos, con un factor común en cada grupo, se saca en

cada uno de ellos ese factor común. Si los factores comunes así obtenidos son iguales,

se saca nuevamente a éstos como factor común.


P(x) = 6x3 –9x2 + 4x – 6

Primero se arman los grupos y se aplica la propiedad asociativa:

P(x) = (6x3 – 9x2) + (4x – 6)

En cada grupo se saca factor común:

P(x) = 3x2 (2x – 3) + 2 (2x – 3)

Nuevamente, se determina el factor común entre los dos términos establecidos, en este

caso (2x – 3), obteniéndose así el resultado final:

P(x) = (2x – 3) (3x2 + 2)


a) zm + zr + km + kr – m – r = z (m + r) + k (m + r) – 1 (m + r) = (m + r) (z + k – 1)

2b) 0,6 a b - 2 a - 0,3 a b 1 0,3 ab (2a -1) (-1)(2a -1) (0,3ab -1)(2a -1)

3.5.3 Trinomio cuadrado perfecto

68


Como se vio anteriormente, al resolver el cuadrado de un binomio, se obtiene un trino-

mio llamado trinomio cuadrado perfecto:

( a + b )2 = a2 + 2 ab + b2

En él, dos de sus términos son cuadrados perfectos y el término restante es el doble

producto de las bases de los cuadrados perfectos.

Veamos el planteo inverso. Si se tiene un polinomio de tres términos, y se reconoce en

él, el formato anterior, entonces se puede factorear escribiéndolo nuevamente como

potencia:

2 2 2a 2ab b (a b)

2 2 2a - 2ab b (a - b)

Este caso de factoreo se puede identificar en el cálculo del área de un cuadrado, como

se observa en la siguiente imagen:

A partir del siguiente ejemplo se indicarán los pasos a seguir para realizar el factoreo,

reconociendo en él, el formato del trinomio cuadrado perfecto:

2 2 44x 12xy 9y

cuadrados perfectos se saca la raíz cuadrada de los cuadrados

perfectos, obteniéndose:

2x 3y2

Por último, se verifica si el término restante es el doble producto de estas últimas expre-

siones:

2 22. 2x . 3y 12x y

Esto significa que el polinomio dado tiene la forma de un trinomio cuadrado perfecto y

se puede factorear de la siguiente manera:

69


2

2 2 4 24x 12xy 9y 2x 3y

22 2

2

2

a) w 8 w y 16 y w 4y

8 16 4b) x x x

3 9 3

3.5.4 Cuatrinomio cubo perfecto

Se parte de la base del desarrollo del cubo de un binomio, lo que da por resultado un

cuatrinomio, llamado cuatrinomio cubo perfecto:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 recíprocamente, se puede factorear escribiendo

a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3

Factorear el siguiente polinomio: 2 38 12x 6x x

Se debe reconocer en la expresión dada el formato de un cuatrinomio cubo perfecto.

Para ello se buscan dos términos que sean cubos perfectos y se les saca la raíz cúbica;

luego se verifica si los dos términos restantes responden a las estructuras dadas de los

triples productos:

2 38 12x 6x x

(-2) (x)

3(-2)2.x 3(-2).x2

Finalmente: – 8 + 12x – 6x2 + x3 = (– 2 + x)3

3.5.5 Diferencia de cuadrados

Como se vio anteriormente, el producto de la suma por la diferencia de dos términos es:

( a + b ).( a - b) = a2 - b2

Por carácter recíproco de este enunciado, se puede decir que todo binomio de la forma

a2 – b2 se puede factorear escribiendo:

a2 – b2 = ( a + b ).( a – b )

Luego toda diferencia de cuadrados se puede transformar en un producto de la suma

por diferencia de las bases de dichos cuadrados.

70



2 616m 4q

(4m) (2q3) 2 6 3 316m 4q 4m 2q 4m 2q


2 4 2 2

8 4 4

1 9 1 3 1 3a) x y x y x y

4 16 2 4 2 4

b) 49 z z 7 z 7

3.5.6 Suma o diferencia de potencias de igual grado

3.5.6.1 Suma de potencias de igual grado impar

La suma de dos potencias de igual grado impar, es igual al producto de dos factores:

El primer factor es la suma de las bases.

El segundo factor es el cociente de la expresión dada y la suma de las bases;

el resultado de este cociente es un polinomio completo y homogéneo, cuyo

grado es una unidad menor que la del dado, ordenado en sentido decreciente

con respecto a una de sus bases y creciente con respecto a la otra, siendo los

signos de sus términos positivos (+) y negativos (-) alternadamente.

En símbolos:

n n n 1 n 2 2 n 3 n 2 n 1x a x a x a x a x ... a x a


5 4 3 2a) c 32 c 2 c 2c 4c 8c 16

7 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6

2 3 4 5 6

b) 2187 y (3 y)(3 - 3 y 3 y - 3 y 3 y - 3y y )

(3 y)(729 - 243y 81y - 27y 9y - 3y y )

La suma de potencias de igual grado par no es divisible por la suma ni por la

diferencia de sus bases. Dicha suma no se puede factorear.

x2 + b2 no se puede factorear

y 8 + m8 no se puede factorear

71


3.5.6.2 Diferencia de potencias de igual grado impar

La diferencia de dos potencias de igual grado impar, es igual al producto de dos factores:

El primer factor es la diferencia de las bases.

El segundo factor es el cociente de la expresión dada y la diferencia de las ba-

ses; el resultado de este cociente es un polinomio completo y homogéneo, cuyo

grado es una unidad menor que la del dado, ordenado en sentido decreciente

con respecto a una de sus bases y creciente con respecto a la otra, siendo todos

sus términos positivos (+).

En símbolos:

n n n 1 n 2 2 n 3 n 2 n 1x a x a x a x a x ... a x a


5 4 3 2

3 3 2 2

a) z 32 z 2 z 2z 4z 8z 16

b) m 27x m 3x m 3mx 9x

La diferencia de dos potencias de grado par siempre se puede expresar como

una diferencia de cuadrados.

2 26 6 3 3 3 3 3 3

2 2 2 2

x y x y x y x y

x y x x y y x y x x y y

Se pueden presentar ejercicios en los cuales se combinen dos o más casos de

factoreo.

Factorear:

2 2 3 4 2 2 481 18 1 1ay a b y a b y a y 81 18ab a b primer caso de factoreo

5 5 5 5

2

2 2 4 281 18ab a b 9 ab tercer caso de factoreo

Por lo tanto: 2

2 2 3 4 281 18 1 1ay a b y a b y a y 9 ab

5 5 5 5

Factorear:

7 5 2 5 2 23 x 3 x y 3 x x y primer caso de factoreo

72


2 2x y x y x y cuarto caso de factoreo

Por lo tanto: 7 5 2 53 x 3 x y 3 x x y x y

3.5.7 Factorización del trinomio de segundo grado

Un trinomio de segundo grado, que no es "cuadrado perfecto", es de la forma:

2a x b x c, siendo a 0

Éste se puede factorear de la siguiente manera:

2

1 2a x b x c a x x x x

siendo x1 y x2 las "raíces" de la ecuación de segundo grado asociada al trinomio.

Estas últimas se calculan aplicando la siguiente fórmula:

2

1,2

b b 4acx con a 0

2 a

Sea el polinomio: P(x) = 2x2 – 3x + 1 y su ecuación asociada: 2x2 – 3x + 1 = 0

Las raíces de esta última son:

21

1,2

2

x 13 3 4.2.1 3 9 8 3 1

x 12.2 4 4 x

2

Así, al factorear el polinomio, se obtiene la siguiente expresión:

2 12 x 3 x 1 2 x 1 x

2

3.6 Expresiones algebraicas fraccionarias

Dados dos polinomios P(x) y Q(x), tal Q(x) sea distinto del polinomio nulo, se denomina

expresión algebraica fraccionaria a toda expresión de la forma: P(x)

Q(x)

Una expresión algebraica fraccionaria en una indeterminada “x” tiene sentido para aquel

o aquellos valores de la misma que no anulan a la expresión algebraica que figura en el

denominador; a dicho conjunto se lo va a designar con la letra D, o sea:

D = x R / Q(x) 0

La expresión algebraica racional 2

x -2

x -xse puede escribir como:

73


2

x +2 x 2

x 1 xx -x

D= x R / x 0 x 1 ó D = R- 0;1

Una expresión algebraica es irreducible si no existen en ella factores comunes al nu-

merador y al denominador.

La expresión algebraica racional x

x -3 es irreducible, siendo D = x R/x 3

La expresión algebraica racional 2

3 2

x +x

x -2x -3x es reducible ya que se puede expresar

de la siguiente manera:

2

3 2 2

x x 1 x x 1x +x

x x 1 x 3x -2x 3x x x 2x 3

siendo x y (x+1) factores comunes al

numerador y al denominador, con D= x R / x 1;0;3 o D = R- 1;0;3

3.6.1 Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias

Para simplificar una expresión algebraica fraccionaria se debe factorear el numerador y

el denominador; luego determinar los valores que anulan al denominador y finalmente

simplificar los factores comunes a ambos. De esta manera se obtiene una expresión

irreducible equivalente a la original.

El objeto de simplificar es reducir la expresión dada y poder efectuar operaciones en

forma más sencilla.

2

3 2

x 1 x 2x -3 x+2 1

x 1 x 1 x 2 x 1x -2 x x 2

D = R- 1; 1; 2

3.6.2 Común denominador de expresiones algebraicas

Dadas varias expresiones algebraicas de distintos denominadores, podemos encontrar

otras, equivalentes a ellas, que tengan el mismo denominador. Para ello se emplea el

concepto de mínimo común múltiplo (MCM) a los efectos de determinar el mínimo co-

mún denominador (mcd) de dichas expresiones algebraicas.

El mcd de varias expresiones algebraicas se obtiene factoreando cada uno de ellos y

efectuando luego el producto de los factores comunes y no comunes con su mayor

exponente.

Reducir a común denominador las siguientes expresiones algebraicas:

74


2

2 2

4x+1 x-3 x 6x 7 ; ;

x x +x x + 6 x + 5

2

2

x x

x x x(x 1)

x 6x 5 (x 5)(x 1)

mcd x(x 5)(x 1)

Por lo tanto las nuevas expresiones reducidas a mcd, equivalentes a las dadas, son:

(4x 1)(x 5)(x 1)

x(x 5)(x 1)

;

x 3 x 5

x x 5 x 1

;

2x x - 6x - 7

x(x 5)(x 1)

3.6.3 Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias

3.6.3.1 Suma y Resta de expresiones algebraicas fraccionarias

Las expresiones algebraicas fraccionarias son, en muchos aspectos, semejantes a los

números racionales. En este sentido, se suman y restan de manera análoga a la suma

y resta de números racionales.

Si las expresiones algebraicas fraccionarias tienen igual denominador, se su-

man o restan sus numeradores según corresponda.

Ejemplo:

a) x x 2 x x 2 2x 2 2(x 1)

x - 2 x - 2 x - 2 x - 2 x - 2

D = R - {2}

b)

-2 x 11 2x -1 1- 2x 1 -2x 2- -2

x -1 x -1 x -1 x -1 x 1

D =R - {1}

Si las expresiones algebraicas fraccionarias tienen distinto denominador, éstas

se deben transformar en otras, equivalentes a las dadas, que tengan como de-

nominador al mcd.

2

1 2 x 1(x 1) 2 . 2 - 2x(x -1)-

2x - 2 x 1 2(x -1)(x 1)x -1

2 2 5 52 2

- 2 x 1 (x - )x 1 4 - 2x 2x -2x 3x 5 x --

2(x -1)(x 1) 2(x -1)(x 1) 2(x -1) x 1 x -1

D =R - {-1,1}

CA:

75


2

2x 2 2 x 1

x -1 x 1 x 1

x 1 x 1

mcd : 2 x 1 x 1

3.6.3.2 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias

El resultado de multiplicar dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión

algebraica fraccionaria cuyo numerador y denominador son el producto de los numera-

dores y denominadores de las expresiones dadas.

P(x) R(x) P(x). R(x)

Q(x) S(x) Q(x). S(x)

2 2

2 2

(x - 4) (x 3)x - x -12 x -1.

x x - 2 x 4x 3

(x 2) (x -1)

(x -1).

(x 1)

(x 3) (x 1)

x - 4

x 2

3.6.3.3 División de expresiones algebraicas fraccionarias

El resultado de dividir dos expresiones algebraicas fraccionarias es otra expresión que

se obtiene multiplicando la primera expresión por la recíproca de la segunda.

P(x) R(x) P(x) S(x)

Q(x) S(x) Q(x) R(x)

3 3 2

x 1 x 3x+6 x 3(x+2): = = =3x+6 1 13x -12x 3x -12x 3x(x -4)

x=

3 x (x -2) (x +2)

3

(x+2) 1=

1 x -2

76


Unidad 4

Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones

Introducción

Muchos problemas de la vida diaria pueden plantearse a través de una relación de igual-dad o de desigualdad entre cantidades. Matemáticamente, las primeras dan lugar a identidades y ecuaciones y las segundas a inecuaciones.

La resolución de problemas mediante el planteo y resolución de ecuaciones e inecua-ciones y/o sistema de ecuaciones (conjunto de ecuaciones consideradas en forma si-multánea) y sistemas de inecuaciones (conjunto de inecuaciones consideradas en forma simultánea), ayudan a desarrollar el razonamiento lógico, la capacidad creativa del inte-lecto y a resolver problemas cotidianos con mayor celeridad. Las ecuaciones e inecua-ciones tienen aplicación en todas las ramas de la Matemática y de las ciencias en ge-neral, particularmente en las Ciencias Económicas, por lo que su estudio es de suma importancia.

4.1 Igualdad

Igualdad es toda expresión matemática que contenga el signo igual “=”. En toda igual-dad se comparan dos partes llamados miembros. Leyendo de izquierda a derecha, ellos reciben el nombre de: primer miembro y segundo miembro, o bien, miembro izquierdo y derecho, respectivamente.

Las igualdades pueden ser numéricas y/o literales. En las primeras intervienen única-mente números, y en las segundas hay una combinación de números y letras, o letras solamente.

1er miembro 2do miembro

15 = 2 . 5 + 5 igualdad numérica

2 2


a - b = a b a b igualdad literal

2


9x = 3.3.x.x

igualdad con letras y números

4.1.1 Identidades y ecuaciones

Las igualdades se clasifican en identidades y ecuaciones.

bm+n = bm . bn es una identidad porque cualesquiera que sean los valores que se

le asignen a las letras b, m y n, se cumple la igualdad numérica.

4m = 64 es una ecuación porque sólo se verifica la igualdad para el valor m = 3

A partir de una identidad se pueden obtener igualdades numéricas asignando valores arbitrarios a sus letras.

77


IGUALDADES

Identidades

Se verifican para cualquier sistema de valores

asignados a sus letras

Se demuestran o verifican (aplicando propiedades). O bien, se comprueban

(generando igualdades numéricas)

Ecuaciones

Se verifican sólo para determinados valores asignados a sus letras

Se resuelven

a) Retomando la identidad m+n m nb = b . b y asignando valores particulares a: b, m y

n, como por ejemplo b = 2, m = 3 y n = 1 se obtiene una igualdad numérica: 3+1 3 1

4

2 = 2 .2

2 8.2

16 16

b) En la expresión (a+b)2 = a2 + 2 a b + b2, si se asignan valores, por ejemplo: a=1

y b=2 se obtiene una igualdad: (1+2)2 = 12 + 2. 1.2 + 22

32 = 1 + 4 + 4 9 = 9

4.1.2 Ecuaciones

4.1.2.1 Algunos términos a definir Se llama incógnita a la letra que figura (o las letras que figuran) en una ecuación.

Generalmente se las designan con las últimas letras del alfabeto: x, y, z, etc.

En las ecuaciones los números que multiplican a las incógnitas se denominan coe-ficientes y el número, o constante numérica, que no multiplica a ninguna incógnita, se llama término independiente.

Resolver una ecuación significa encontrar el valor (o los valores) de la incógnita (o las incógnitas) que hacen verdadera la ecuación, transformándola en una igual-dad. Entonces se dice que el/los valor/es verifica/n la ecuación.

Las raíces o soluciones de una ecuación son los números que, reemplazados en la incógnita (o las incógnitas), hacen que el primer miembro sea igual al segundo miembro.

Las raíces o soluciones de una ecuación forman el conjunto solución de la ecua-ción.

78


Si una ecuación tiene solución se dice que es compatible; en caso contrario es incompatible.

Dos ecuaciones son equivalentes si y sólo si tienen la misma solución.

4.1.2.2 Clasificación de Ecuaciones

Las ecuaciones pueden ser: algebraicas o trascendentes. A su vez las ecuaciones al-gebraicas se clasifican en: racionales e irracionales; dividiéndose las racionales en en-teras y fraccionarias. Las ecuaciones trascendentes pueden ser: exponenciales, logarít-micas, trigonométricas, entre otras.

Ecuaciones

Algebraicas

Racionales Enteras

Fraccionarias

Irracionales

Trascendentes

Exponenciales

Logarítmicas

Trigonométricas

Una ecuación es algebraica cuando sobre la incógnita se realizan únicamente

operaciones racionales, suma, resta, multiplicación, división, potenciación y ra-

dicación, en un número finito de veces.

Una ecuación es algebraica racional cuando sobre la incógnita se realizan úni-

camente operaciones racionales, suma, resta, multiplicación, división, en un nú-

mero finito de veces.

Una ecuación es algebraica irracional cuando sobre la incógnita se realizan

operaciones de radicación o potenciación con exponentes fraccionarios, en un

número finito de veces.

Una ecuación es racional entera (o polinómica) cuando sobre la incógnita se

realizan únicamente operaciones enteras, suma, resta, multiplicación, potencia-

ción con exponente natural, en un número finito de veces.

Una ecuación es racional fraccionaria cuando proviene del cociente no exacto

de ecuaciones algebraicas racionales enteras.

Una ecuación es trascendente cuando la misma no es algebraica, o sea que

puede ser exponencial, logarítmica, trigonométrica, etc.

Ejemplos

3x−1

x+2 = 2x + 3 Algebraica racional fraccionaria

x2/3 + 4x – 1 = 0 Algebraica irracional

79


2x4 – 3x2 = –2 Algebraica racional entera

log (2x – 1) – log 5 = 2 Trascendente logarítmica

3x+1 + 9x = 18 Trascendente exponencial

En la ecuación 3x – 1 = 0:

La incógnita es “x”; el coeficiente es 3 y el término independiente es 1.

El número 1/3 es la raíz o solución de la ecuación porque al reemplazar x por 1/3 se verifica la igualdad

3. (1/3) – 1 = 0

1 – 1 = 0

0 = 0

El conjunto solución es

1S

3

4.1.2.3 Resolución de una ecuación

Resolver una ecuación o sea, determinar el o los valores de su o sus incógnitas, puede

resultar un procedimiento más o menos complejo, de acuerdo con la ecuación de la que

se trate.

Este procedimiento involucra la transformación de la ecuación a resolver en otra u otras

ecuaciones equivalentes a ella, o sea que tienen las mismas soluciones que la original.

En general, se pueden considerar las siguientes reglas para la resolución de una ecua-

ción:

Regla 1: Si se suma (o resta) a los miembros de una ecuación una misma expresión,

las soluciones de la ecuación no varían.

Regla 2: Si se multiplica (o divide) los miembros de una ecuación por un número distinto

de cero, la ecuación resultante es equivalente a la dada.

Dada la ecuación:

3x +2 = 5, son ecuaciones equivalentes a esta i) y ii):

i) 3x + 2 + (–2) = 5 + (-2) [se suma a ambos miembros (-2)]

3x = 3

ii) 3x 3 3

=3 3

x

3

3=

3x 1 (se divide a ambos miembros por 3)

x=1 es la solución de la ecuación

80


Las reglas mencionadas facilitan la resolución de una ecuación, ya que al efectuarlas sucesivamente se obtienen ecuaciones equivalentes a la dada, cada una de resolución más simple que la anterior, hasta llegar a una ecuación de resolución inmediata.

4.1.2.4 Ecuación lineal o de primer grado en una incógnita

Una ecuación lineal o de primer grado en una incógnita “x”, es aquella que puede ser

expresada de la siguiente forma:

ax + b = 0

donde “a” y “b” son constantes numéricas y “a” es distinto de cero.

El término “ax” es el término lineal y el término “b” es el término independiente.

Estas ecuaciones son un caso particular de las ecuaciones algebraicas racionales en-teras; en este caso de grado 1, porque 1 es el mayor exponente con que aparece la incógnita.

3x – 8 = 0, es una ecuación de primer grado en x o ecuación lineal.

5z + 1 = -4, es una ecuación de primer grado en z o ecuación lineal.

4.1.2.5 Algunas consideraciones a tener en cuenta para resolver una ecuación li-

neal

Se suprimen los paréntesis en caso de que los haya, efectuando las operaciones

indicadas.

(Optativo) Se transforman los coeficientes numéricos fraccionarios en coeficientes

enteros, a fin de facilitar el cálculo.

Se transponen todos los términos que contengan la incógnita a un miembro y los

términos independientes al otro miembro.

Se reducen los términos semejantes en cada miembro.

Si la incógnita queda afectada por un coeficiente positivo distinto de uno, se pasa

éste al segundo miembro como divisor.

Si la incógnita queda precedida por un coeficiente negativo se multiplican a ambos

miembros de la ecuación por (1) para cambiarle el signo a la misma, y luego se

pasa éste al segundo miembro como divisor.

Resolver la siguiente ecuación: 4 5 x 1

- x x3 6 4

Primero se multiplican los dos miembros de la igualdad por 12 que es el mínimo

común múltiplo de los denominadores, con la finalidad de eliminar las fracciones:

81


4 5x (x 1)

12. - x 12. 12. 16x 10x 3 x 13 6 4

Se aplica propiedad distributiva de la multiplicación: -16x+10x = 3x+ 3

Se pasan los términos que tienen la incógnita al primer miembro y el término

independiente al segundo miembro de la ecuación: -16x+10x -3x=3

Se reducen los términos semejantes: -9x=3

Se multiplican los dos miembros de la ecuación por (-1): 1 . 9x =3. 1

Se obtiene: 9x = -3

Se multiplica ambos miembros de la ecuación por 1/9 y se simplifica: 3 1

x=-9 3

Por último, el conjunto solución es:

1S

3

Resolver la siguiente ecuación: x 3(x-2) 4 2x

- =3 2 5

15 x 3 6 4 2x10(x-2)- =

30 30 30

10 x 2 15 x 3 6 4 2x

10x – 20 – 15x + 45 = 24 – 12x

10x – 15x + 12x = 24 + 20 – 45

17x = -1 x = -

7

El conjunto solución es:

4.2 Aplicación de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas

El estudio de las ecuaciones, en general, y en particular de las lineales, tiene una im-

portante aplicación en la resolución de problemas. Habitualmente el enunciado de di-

chos problemas está formulado mediante palabras, las que deben ser traducidas de este

lenguaje coloquial al lenguaje matemático, para luego resolverlos. Entre las expresiones

simbólicas más utilizadas en los enunciados de situaciones problemáticas, están las

siguientes:

1S = -

7

82


Un número x

Un número par 2x

Un número impar 2x + 1 ó 2x 1

Dos números consecutivos x , (x + 1)

Tres números consecutivos x, (x + 1), (x+ 2)

Un número y su anterior x, (x 1) ó (x 1),(x 2), ...

El triple de un número 3 x

La mitad de un número x / 2

Un número aumentado en 3 x + 3

Un número disminuido en 3 x 3

Un número y su opuesto x y (x)

El cuadrado de un número x2

El cubo de un número x3

Ejemplo 1:

Como se lo comprende (lenguaje coloquial)

Como es (lenguaje algebraico)

Pensar en un número x

Aumentarle 5 x + 5

Escribir su triplo y disminuirle 10 3. (x + 5) – 10

Se obtiene el duplo del número que se ha pensado

3. (x + 5) – 10 = 2x

El número pensado es – 5 3x + 15 – 10 – 2x = 0 x = – 5

Ejemplo 2:

El largo de un terreno rectangular excede al ancho en 30 m. El largo de otro terreno es

tal que su valor es 10 m más que el primero y el ancho es 6 m menos que el otro te-

rreno. Si el área de los dos terreno es la misma, ¿cuál es ese valor?.

Solución:

a) Se trasforma el enunciado del problema al lenguaje matemático.

Primera condición Segunda condición

x: ancho del 1º rectángulo x - 6 ancho del 2do rectángulo

x + 30: largo del 1º rectángulo (x + 30) + 10: largo del 2do rectángulo

x

x + 30

x – 6

(x + 30) + 10

83


b) Área del primer terreno (A1) = Área del segundo terreno (A2)

c) Se plantea la ecuación: x.(x + 30) = (x – 6).[(x + 30) + 10]

d) Se resuelve la ecuación: x2 + 30 x = (x – 6).(x + 40)

x2 + 30 x = x2 + 34 x – 240

x2 – x2 + 30 x – 34 x = –240

–4x = –240 de donde x = 60

e) Reemplazando x = 60 en cualquiera de las dos expresiones se identifica que

los terrenos tiene igual superficie y es de 5.400 m2.

Ejemplo 3:

Cada uno de los dos lados iguales de un triángulo isósceles tiene 3 cm más que la

longitud de su base. Si el perímetro mide 21 cm, ¿cuánto mide cada lado?

Datos:

Triángulo isósceles (dos lados iguales)

Base: x, lados: x + 3 Perímetro del triángulo: 21cm.

Incógnita: La longitud de los lados.

Planteo Gráfico:

Solución: Como el perímetro se obtiene sumando las longitudes de la base y los lados

iguales, siendo éste igual a 21cm, se efectúa el siguiente planteo:

x + ( x + 3 ) + ( x + 3 ) = 21

La ecuación que se obtiene es: 3x + 6 = 21

x = 5

Cada lado mide: x + 3 = 5 + 3 = 8, es decir 8 cm.

x

x+3 x+3

84


4.3 Ecuación cuadrática o de segundo grado en una incógnita

Una ecuación cuadrática o de segundo grado en una incógnita “x”, es aquella que puede

ser expresada de la siguiente forma:

2a x + b x + c = 0 siendo a 0

donde: a x2: es el término cuadrático o de segundo grado.

b x : es el término lineal o de primer grado.

c : es el término independiente.

4.3.1 Resolución de ecuaciones de segundo grado

Resolver una ecuación de segundo grado significa encontrar los valores de “x” que ve-

rifican dicha ecuación; a estos valores se los denominan raíces de la misma.

2

2

2

La ecuación: x - 2 x -15 0 tiene como raíces a x 5 y x -3

ya que:

(5) - 2.5 -15 25 -10 -15 0

(-3) - 2 (-3) -15 9 6 -15 0

Al resolver una ecuación de segundo grado con una incógnita se pueden presentar dos

situaciones, que sea completa, o incompleta. En este último caso, pueden faltar el tér-

mino lineal, el término independiente, o ambos.

Ecuaciones de 2do. Grado

Completa Incompleta

ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = 0 ax2 + c = 0 ax2 = 0

No puede faltar el término cuadrático, pues en ese caso no se trataría de una ecuación de segundo grado; por lo tanto el coeficiente del término cuadrático debe ser distinto de cero.

4.3.1.1 Ecuaciones incompletas

Se pueden presentar los siguientes casos:

i. Si en la ecuación:


85


falta el término lineal y el término independiente: b = 0 y c = 0, la ecuación se transforma

en: a x2 = 0

Solución:

Se divide por “a” ambos miembros, entonces:

x2 = 0

Luego la solución es: x = 0 siendo el conjunto solución: S = { 0 }.

ii. Si en la ecuación:


falta el término lineal, o sea b=o, se obtiene: ax2 +c = 0

Solución:

Para encontrar el valor de “x”, se procede de la siguiente manera:

2

2

1

1,2

2

ax c 0

cx

a

cx

c ax

a cx

a

Existen dos raíces que pueden ser: ambas reales o imaginarias puras. Tales raíces son

números opuestos.

Resolver la ecuación: 2x2 – 8 = 0

2x2 = 8

x2 = 4 x1, 2 = ±√4 → {x1 = +2x2 = −2

Las raíces pertenecen al conjunto de los números reales.

iii. Si en la ecuación:


falta el término independiente: (c = 0),la ecuación se transforma en: 2a x b x 0

Solución:

Para resolver la ecuación, se saca factor común “x”, entonces la expresión se transforma

en: x (ax + b) = 0

86


Recordando que, si un producto de dos factores es cero, entonces debe ser necesaria-

mente cero uno de los factores, o ambos, se tiene que:

Si x = 0 → x1 = 0

Ó Si ax + b = 0

ax = – b

x = – b/a → x2 = – b/a

El conjunto solución, formado por las dos raíces es: b

S 0;a

Resolver la ecuación cuya expresión es: 2x2 – x = 0

Solución: Se saca factor común “x”: x (2x – 1) = 0

Si x = 0 → x1 = 0

Si 2x – 1 = 0

2x = 1

x = ½ → x2 = ½

El conjunto solución es: 1

S 0;2

4.3.1.2 Ecuaciones completas

Para resolver una ecuación de segundo grado completa, se usan distintos procedimien-

tos; entre ellos los más utilizados son:

I. Completar cuadrados.

II. Aplicar la fórmula, que permite hallar las raíces en función de los coeficientes de la

ecuación.

I. Método de Completar Cuadrados ó factoreo del trinomio de 2do grado

Este método de resolución, muy práctico por su empleo en cálculos de Álgebra, Geo-

metría Analítica y Análisis Matemático, consiste en:

Completar el cuadrado de un binomio.

Factorear dicha expresión que es un trinomio cuadrado perfecto.

Transponer términos, factores y exponente para obtener el valor de “x”.

Para explicar este método se resolverá la ecuación:

23x - x - 2 0

Se busca que el coeficiente del término cuadrático sea 1; para ello se divide ambos

miembros de la ecuación en 3:

87


23x x 2 0

- -3 3 3 3

2 x 2x - - 0

3 3

Se asocian los términos que contienen “x” y se transpone el término independiente:

2 x 2x -

3 3

Para completar el cuadrado, se obtiene el tercer término, a partir de:

2

coef. de x

2

En este caso es:

22 213- 1 1 1 1

- × -2 3 2 6 36

Se suma (1/36) a ambos miembros de la ecuación, obteniendo una expresión equi-

valente a la anterior:

2 1 1 2 1x x

3 36 3 36

Se obtiene un trinomio cuadrado perfecto en el primer miembro de la ecuación, el

que se puede expresar en forma factoreada, resultando:

2

1 25x

6 36

Se transpone el exponente al segundo miembro, el cual queda expresado en térmi-

nos de una raíz:

1 25-

6 36 x

Se extrae la raíz y luego se pasa al segundo miembro el término independiente:

5 1x

6 6

Se obtienen dos raíces:

1 2

5 1 6 5 1 4 2x 1; x

6 6 6 6 6 6 3

Siguiendo los pasos expresados anteriormente, se resolverá la ecuación: 2x 2x 5 0 , entonces:

2x 2x -5 ,

2 2coef. de x 2

12 2

88


2x 2x 1 -5 1 2(x 2x 1) -4

12

2

x -1 2i(x 1) -4 x 1 2i

x -1- 2i

El conjunto solución es: S 1 2i ; 1 2i

II. Fórmula para resolver una ecuación de segundo grado

La ecuación completa de segundo grado es de la forma:


De acuerdo a lo estudiado anteriormente, existe una fórmula para determinar las raíces de la ecuación. Ella es:

2

2 1

1,22

2

-b b - 4 a cx

-b b - 4 a c 2ax

2a -b - b - 4 a cx

2a

Dada la ecuación 3 x2 – x – 2 = 0, resolverla aplicando la fórmula. Solución: reemplazando en la fórmula los coeficientes: a = 3; b = -1; c = -2:

2

1,2

-b b - 4 a cx

2a

1

1,2

2

1 25 1 5x 1

1 1 24 1 25 6 6x

6 6 1- 25 1- 5 2x -

6 6 3

Luego el conjunto solución es: 2

S 1;3

4.3.2 Distintos tipos de raíces

Una ecuación de segundo grado tiene dos raíces; éstas pueden ser: Dos números reales distintos. Dos números reales coincidentes. Dos números complejos conjugados.

Previo a resolver una ecuación de segundo grado, se puede determinar la naturaleza de sus raíces; ello se logra con el análisis del radicando que aparece en la fórmula indicada precedentemente para el cálculo de las raíces; éste es: b2 – 4 ac. Se lo deno-

mina discriminante y se designa con la letra griega (delta mayúscula).

89


Si:

i) 0 , la ecuación admite dos raíces reales y distintas: x1 ≠ x2

ii) 0 , la ecuación admite dos raíces reales e iguales (en realidad es una

sola): x1 = x2

iii) 0 , la ecuación admite dos raíces complejas conjugadas de la forma:

x1 = a + bi y x2 = a – bi

4.3.3 Propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática

En la ecuación cuadrática: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, si x1 y x2 son las raíces, entonces se verifican las siguientes propiedades:

La suma de las raíces de una ecuación de segundo grado es igual al cociente entre el término lineal cambiado de signo y el coeficiente del término cuadrático,

o sea: 1 2

-bx x

a

El producto de las raíces de una ecuación de segundo grado es igual al co-ciente entre el término independiente y el coeficiente del término cuadrático, o

sea: 1 2

cx . x

a

4.3.4 Reconstrucción de una ecuación de segundo grado a partir de las raíces

Sea la ecuación: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0, siendo x1 y x2 sus raíces.

Se puede reconstruir la misma aplicando las propiedades vistas anteriormente.

Para ello se divide ambos miembros de dicha ecuación por “a”, para obtener el coefi-ciente del término cuadrático igual a 1:

2 b cx x 0

a a

Sabiendo que:

1 2

-bx x

a y 1 2

cx . x

a

se reemplazan estas expresiones en la ecuación de segundo grado dada y se obtiene:

x2 – (x1 + x2) x + (x1.x2) = 0

Ejemplo: Si las raíces de una ecuación de segundo grado son: 1 2

3 1x - y x -

4 2

la expresión de dicha ecuación se obtiene de:

efectuar la suma de las raíces: 1 2

3 1 3 2 5x x

4 2 4 4

efectuar el producto de las raíces: 1 2

3 1 3x . x .

4 2 8

90


Al reemplazarlos resultados en: x2 – (x1 + x2) x + (x1.x2) = 0, se obtiene la ecuación:

2 25 3 5 3x x 0 x x 0

4 8 4 8

Eliminando denominadores, la ecuación que surge es: 28x 10x 3 0

Ejemplo: Dadas las raíces x1 = 2 – 3i y x2 = 2 + 3i de una ecuación de segundo grado,

encontrar la expresión de la cual provienen.

Efectuar la suma de las raíces: x1 + x2 = (2 – 3i) + (2 + 3i) = 4

Efectuar el producto de las raíces: x1 . x2 = (2 – 3i) . (2 + 3i) = 22 + 32 = 13

Reemplazando en: x2 – (x1 + x2) x + (x1.x2) = 0, se obtiene:

x2 – 4x + 13 = 0

4.4 Ecuación algebraica racional fraccionaria en una incógnita

Las ecuaciones algebraicas racionales fraccionarias o simplemente ecuaciones fraccio-

narias, son aquellas en las cuales la incógnita aparece en el numerador y en el denomi-

nador, o simplemente en el denominador, o con exponente negativo.

Toda ecuación de este tipo se puede escribir como un cociente de polinomios igualado

a cero. En forma general, si P(x) y Q(x) son polinomios y Q(x) distinto del polinomio nulo,

entonces la ecuación fraccionaria tiene la forma de:

Resolución

Resolver una ecuación algebraica racional fraccionaria en una incógnita es encontrar

el/los valor/es que anula/n el polinomio numerador P(x) y que no anula/n el polinomio

denominador Q(x). Para ello:

Se descartan los valores de la incógnita que hacen cero al denominador.

Se factorean los denominadores.

Se busca el mínimo común múltiplo de los denominadores (MCM), para obtener

el máximo común denominador MCD.

Se multiplica miembro a miembro por el MCD.

Se simplifican los términos semejantes.

Se resuelve la ecuación resultante de las operaciones anteriores.

Ejemplo: Resolver la ecuación fraccionaria: 2

4x 2x= -2

x+2x -4

Se determinan los valores que anulan los denominadores: x 2

Se busca el MCM de los denominadores:

P(x)

0 con Q x 0Q(x)

91


Se coloca como denominador el MCD obtenido, en ambos miembros de la igual-

dad, dividiendo luego el MCD por cada uno de los denominadores de la ecuación

y multiplicando el numerador correspondiente por el cociente obtenido:

4x 2x (x - 2) - 2(x 2)(x - 2)

(x 2)(x - 2) (x 2)(x - 2)

Simplificando en ambos miembros de la igualdad los denominadores, se obtiene

una ecuación entera equivalente a la fraccionaria dada:

4x

(x 2)(x - 2)

2x(x - 2) - 2(x 2)(x - 2)

(x 2)(x - 2)

4x 2x(x - 2) - 2(x 2)(x - 2)

Aplicando propiedad distributiva para eliminar los paréntesis, se tiene: 2 2

2 2

4x 2x - 4x - 2(x - 4)

4x 2x - 4x - 2x 8

Aplicando propiedad cancelativa y transposición de términos: 24x 2x 2- 4x - 2x 8

4x 4x 8

Se reducen los términos semejantes, se despeja la incógnita y luego se simplifica para obtener el valor definitivo:

8x 8 x 1

Como x = 1 y x 2 , el conjunto solución es: S= 1

Ejemplo: x 6 x 8

Resolver : 1x 1 1 x

Se descarta el valor 1 pues anula el denominador.

x 6 x 1 x 8

x 1 1 x

x 6 x 1 x 8

x 1 1 x

5 x 8

5 . 1 x x 1 . x 8 5 1 x 1 x 1 . x 8x 1 1 x

5 = x + 8 el conjunto solución es : S = { – 3}

2x - 4 (x 2)(x - 2)

x 2 x 2

MCD (x 2)(x - 2)

92


4.5 Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Un sistema de dos ecuaciones de primer grado, o lineales, en las incógnitas “x” e “y”, es de la forma:

1 1 1

2 2 2

a x b y c

a x b y c

donde, “a1”, “a2”, “b1”, “b2” son los coeficientes numéricos y “c1”, “c2” son los términos independientes.

4.5.1 Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas

Resolver un sistema de ecuaciones es encontrar el o los pares ordenados (x; y) de nú-meros reales que verifiquen ambas ecuaciones.

Al resolver sistemas de ecuaciones de este tipo se pueden presentar las siguientes si-tuaciones:

Que tenga solución única: sistema compatible determinado. Que tenga infinitas soluciones: sistema compatible indeterminado. Que no tenga solución: sistema incompatible.

O sea: Determinado (solución única)

Compatible Sistema de Tiene solución

ecuaciones Indeterminado (infinitas soluciones)

Incompatible No tiene solución

Para resolver este tipo de sistemas se pueden aplicar distintos métodos, entre ellos:

Sustitución

Reducción por suma y/o resta

Igualación

Determinante

Gráfico

Por razones de simplicidad se van a explicar los tres primeros, ya que son de fácil inter-

pretación y rápida solución.

4.5.1.1 Método de sustitución

Este método puede resumirse en los siguientes pasos:

De una de las ecuaciones, se expresa una de las incógnitas en términos de la otra.

Se sustituye en la otra ecuación, la expresión obtenida anteriormente transformán-

dola en una ecuación de primer grado con una incógnita.

93


Se resuelve la ecuación obtenida, determinándose el valor de una de las incógnitas.

Se reemplaza el valor hallado, en la expresión de la incógnita determinada en el

primer paso. Así se obtiene el valor de la otra incógnita.

Se verifica si el par de valores hallado satisface las ecuaciones del sistema de par-

tida.

Ejemplo:

Resolver el siguiente sistema: 4x y 4 (1)

2x - 3y - 5 (2)

Se expresa “y” en términos de “x” en la ecuación (1): y = -4x + 4 (3)

Se sustituye la expresión obtenida para “y” en (2): 2x- 3(-4x + 4) = -5

Se resuelve la ecuación obtenida:

2x + 12x - 12 = -5 14x = 7 x =1

2

Reemplazando el valor de “x” en (3): y= -4. 1

2+ 4 y = 2

Luego el conjunto solución es: 1

S ;22

Si se reemplazan los valores de “x” e “y” encontrados, se verifica el sistema.

Si alguna de las incógnitas tiene coeficiente uno, conviene despejar la misma porque se simplifica el cálculo.

4.5.1.2 Método de reducción por suma y/o resta

La aplicación de éste método se puede resumir en los siguientes pasos:

Se elige una de las incógnitas para comenzar a operar sobre ella.

En ambas ecuaciones se realizan las operaciones necesarias para que dicha incóg-

nita tenga el mismo coeficiente, sin importar el signo.

Se suman las ecuaciones obtenidas si los coeficientes de la incógnita elegida tienen

distinto signo, o se restan si tienen igual signo. Así se reduce (o elimina) dicha in-

cógnita.

Se resuelve la ecuación obtenida y se determina el valor de la incógnita.

Se inicia el procedimiento nuevamente, pero trabajando con la otra incógnita.

Se verifica si el par de valores hallados satisface a las ecuaciones del sistema de

partida.

94


Ejemplo:

Resolver el sistema: 2x 3y 1 (1)

-x y -3 (2)

Se igualan los coeficientes de “x” en las dos ecuaciones. Para ello se multiplica

ambos miembros de la ecuación (2) por el número “2”, obteniéndose un sis-

tema equivalente al original.

2x 3y 1

-2x 2y -6

Se suman miembro a miembro ambas ecuaciones, porque los coeficientes de la in-

cógnita “x” que se desea eliminar tienen distinto signo.

2x + 3y = 1

+ –2x + 2y =– 6

5y = – 5

De donde: y = -1

Para obtener el valor de “x” por este método se igualan los coeficientes de “y”,

multiplicando la ecuación (2) por el número “3”. Luego se resta miembro a

miembro, porque los términos que contienen a “y” son del mismo signo.

2x + 3y = 1

– –3x + 3y =– 9

5x = 10

De donde: x = 2

Luego el conjunto solución del sistema es: S = {(2; -1)}

4.5.1.3 Método de igualación

Las secuencias para éste método se pueden sintetizar de la siguiente manera:

En ambas ecuaciones del sistema, se expresan la misma incógnita en términos de

la otra.

Se igualan los segundos miembros de las igualdades obtenidas anteriormente, para

formar una ecuación de primer grado con una incógnita.

Se resuelve la ecuación lineal para determinar el valor de la incógnita.

Se sustituye la solución obtenida, en cualquiera de las dos ecuaciones halladas en

el primer paso.

Se verifica si el par de valores hallados satisface a las ecuaciones del sistema de

partida.

Ejemplo:

95


Resolver el sistema: x 3y 10 (1)

52x y 1 (2)

4

Se suprimen denominadores obteniendo un sistema equivalente al dado:

x 3y 10 (1)

8x 5y 4 (2)

Se expresa “x” en términos de “y” en ambas ecuaciones:

x 10 - 3y

4 - 5yx

8

Se igualan los segundos miembros de las ecuaciones anteriores:

4 - 5y

10 - 3y8

Se resuelve la ecuación lineal en la incógnita “y”:

8(10 - 3y) 4 - 5y

80 - 24 y 4 - 5y

-19y -76

-76y y 4

-19

Se sustituye el valor obtenido en la ecuación (1) para determinar el valor de “x”:

x 10 - 3. 4

x -2

Luego el conjunto solución del sistema es: S = {(2; 4)}

4.5.1.4 Aplicación de sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas

Son muchos los problemas que se pueden resolver a partir del planteo y resolución de

sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. A continuación se presen-

tan algunos ejemplos.

Ejemplo:

Un cine vende entradas a $80 cada una; las personas de la tercera edad reciben un

descuento de $20. En una tarde, el cine vendió 525 entradas y tuvo un ingreso de $35000.

¿Cuántas entradas de cada tipo se vendieron?

96


Solución:

Si “x” representa el número de entradas vendidas a $80 e “y” el número de entradas

vendidas al precio con descuento de $60, entonces se plantea el siguiente sistema

de ecuaciones:

80 x 60 y 35000 10 8x 6y 3500

x y 525x y 525

Para resolver el sistema se eligió en este caso, el método de reducción por sumas

y/o restas:

8x 6y 3500

6x 6y 3150se multiplicó la 2da ec.por(-6)

2x 350

x 175

Se reemplaza el valor de “x” en: x + y = 525

Entonces: 175 + y = 525 y = 525 – 175 = 350

Por lo tanto, se vendieron 175 entradas sin descuento y 350 con descuento.

Ejemplo:

La suma de un número más el duplo de otro es 11; y el duplo del primero, menos

el segundo es 2. ¿Cuáles son los números?

Solución:

Se designa con “x” e “y” los números buscados y, de acuerdo con las condiciones

que establece el problema, se plantea el sistema:

x + 2y = 11 (1)

2x - y = 2 (2)

Para resolverlo se aplica el método de sustitución, para ello se escribe la incógnita

“x” en términos de “y” en la primera ecuación, y luego se reemplaza esta expresión

en la segunda ecuación:

x =-2y+11 (3)

2x - y = 2

2 2y 11 y 2

4y 22 y 2

5y 20

y 4

Reemplazando este valor de “y” en la ecuación (3), se tiene:

97


x 2.4 11

x 3

La solución del sistema es: x 3

Sy 4

Por lo que los números son 3 y 4.

4.6 Sistemas de ecuaciones no lineales

Un sistema de ecuaciones es no lineal, cuando al menos una de sus ecuaciones no es

de primer grado.

El método más utilizado para resolver este tipo de sistemas es el de sustitución.

Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: 2 2x + y = 25 (1)

x y = 7 (2)

Si se despeja “y” en (2): y = 7 – x

Se sustituye esta expresión en (1): x2 + (7 - x )2 = 25

Se resuelve la ecuación resultante: 2 2

2 2

x 49 14x x 25

2x 14x 24 0 x 7x 12 0

1

1,2

2

x 47 49 - 48 7 1x

x 32 2

Si x1 = 4 y1 = 7 – 4 y1 = 3

Si x2 = 3 y2 = 7 – 3 y2 = 4

Por lo tanto la solución es: S = {(4;3); (3;4)}

4.7 Inecuaciones algebraicas lineales o de primer grado

4.7.1 Desigualdad

En el conjunto de los números reales, si dos de ellos “a” y “b” son diferentes, tal cuestión

se expresa matemáticamente como:

a ≠ b

Sin embargo, existen símbolos especiales que, además de indicar que éstos números

reales son distintos, ponen de manifiesto en qué sentido ambos no son iguales. Ellos

son:

a < b, que expresa que “a es menor que b”.

a > b, que indica que “a es mayor que b”.

Las precedentes son conocidas como desigualdades en sentido estricto.

98


a ≤ b, la cual expresa que “a es menor o igual que b”.

a ≥ b, quien indica que “a es mayor o igual que b”.

Estas dos expresiones son conocidas como desigualdades en sentido amplio.

En toda desigualdad, la expresión que se encuentra a la izquierda del símbolo, recibe el

nombre de primer miembro y la que se encuentra a la derecha, se llama segundo

miembro.

4.7.2 Propiedades de las desigualdades

Las desigualdades gozan de ciertas propiedades, conocidas como Postulados de Or-

den ó Propiedades de Orden.

1) Propiedad Transitiva:

a, b, c R:

a > b b > c a > c

a < b b < c a < c

Sean los números 5, 3 y –1:

5 < 1 1< 3 5 < 3

2) Monotonía de adición y sustracción: Si a ambos miembros de una desigualdad

se les suma o resta un número cualquiera, la desigualdad no cambia de sentido.

a, b, c R:

a < b a + c < b + c

a < b a c < b c

Sean los números 4, 9 y –6: Si 4 < 9 4 + (– 6) < 9 + (– 6) o sea que: – 2 < 3

3) Monotonía del producto y cociente: Si a ambos miembros de una desigualdad se

los multiplica o divide por un número positivo, la desigualdad no cambia de sen-

tido.

a, b, c R c > 0:

a < b a . c < b . c

a < b a : c < b : c

a) Si – 5 < – 3 – 5 . 6 < – 3 . 6 o sea que: – 30 < – 18

b) Si – 5 < 30 – 5 : 5 < 30 : 5 o sea que: – 1< 6

4) Monotonía del producto y cociente: Si a ambos miembros de una desigualdad se

los multiplica o divide por un número negativo, la desigualdad cambia de sentido.

99


a, b, c R c < 0:

a < b a . c > b . c

a < b a : c > b : c

a) Si – 5 < 3 – 5 . (– 6) > 3 . (– 6) o sea que: 30 > – 18

b) Si – 5 < 30 – 5 : (– 5) > 30 : (– 5) o sea que: 1 > – 6

5) Si a ambos miembros de una desigualdad entre números positivos se los reem-

plaza por sus valores recíprocos multiplicativos, la desigualdad cambia de sen-

tido.

a, b R+: a < b 1 1

a b

Esta propiedad también es válida para una desigualdad de números negativos, pero no

si se trata de números de diferentes signos.

1 1Si 2 5

2 5

Todas las propiedades enunciadas también valen para el caso de las desigual-

dades en sentido amplio: “ ” ó “ ”

4.7.3 Inecuaciones Algebraicas

Se llaman Inecuaciones a aquellas desigualdades que contienen, en por lo menos uno

de sus miembros, a una o más incógnitas.

A las inecuaciones también se las llama Desigualdades Condicionadas.

Cuando en las inecuaciones aparecen desigualdades entre expresiones algebraicas,

éstas reciben el nombre de Inecuaciones Algebraicas.

Son ejemplos de Inecuaciones Algebraicas las siguientes:

4 x 12 8 (Inecuación Algebraica de primer grado con una incógnita)

23 x 9 x 7 x 18 (Inecuación Algebraica de segundo grado con una incógnita)

100


4.7.3.1 Resolución de Inecuaciones Algebraicas de Primer Grado con una Incóg-

nita

Para resolver una inecuación de primer grado con una incógnita se siguen los mis-

mos pasos que los correspondientes a la resolución de una ecuación de primer

grado con una incógnita.

En la mayoría de los casos es preciso transformar la inecuación dada en otras equi-

valentes aplicando las propiedades correspondientes. De las mismas surgen las si-

guientes reglas prácticas:

Pasaje de términos: Todo término que está sumando en un miembro de una

inecuación puede pasar al otro miembro restando y viceversa, manteniendo el

sentido de la desigualdad.

Pasaje de factores y divisores: Todo número positivo que está multiplicando

a todo un miembro de una inecuación, puede pasar dividiendo con su signo al

otro miembro, y el sentido de la desigualdad se mantiene. (En forma similar: si

está dividiendo pasa como factor).

Pasaje de factores y divisores: Todo número negativo que está multiplicando

a todo un miembro de una inecuación, puede pasar dividiendo con su signo al

otro miembro, y el sentido de la desigualdad cambia. (Análogamente, si el divi-

dendo pasa como factor).

Pasaje de exponentes e índices impares: Todo número que es exponente

impar de todo un miembro de una inecuación puede pasar al otro miembro como

índice de raíz, manteniendo el sentido de la desigualdad. Y viceversa, si es ín-

dice impar pasa como exponente impar manteniendo el sentido de la desigual-

dad.

Pasaje de exponentes e índices pares: Una regla similar vale para exponentes

e índices pares, teniendo en cuenta que la expresión tenga sentido en el conjunto

de los números reales.

Recordar que:

√x2 = |x| (el valor absoluto de x)

(√x)2

= x siempre que x ≥ 0

Ejemplo: Encontrar el conjunto solución de la siguiente inecuación:

(-2x 3) : (-2) 4

Solución:

Se transpone el divisor como factor, pero como éste es negativo cambia el sentido de

la desigualdad: – 2x + 3 < 4 . ( – 2)

Se resuelve el producto: – 2x + 3 < – 8

Se trasponen términos: – 2x < – 8 – 3

101


Se resuelve la operación indicada: – 2x < – 11

Como el coeficiente de la incógnita es negativo se multiplican ambos miembros de la

inecuación por (−1) para cambiarle de signo, y cambia el sentido de la desigualdad:

(–1) . (– 2x) > – 11 . (– 1)

Se traspone el factor determinándose así el conjunto solución de la inecuación

2x > 11

x > 11/2

Esta inecuación es equivalente a la dada y su conjunto solución es:

11

S x R / x2

o S = (11/2 , +)

Es decir que son solución de la inecuación todos los números reales mayores que

11/2.

4.7.3.2. Representación gráfica, sobre la recta real, del conjunto solución de una

inecuación algebraica de primer grado con una incógnita

El conjunto solución de toda inecuación algebraica de primer grado con una incógnita

puede representarse gráficamente sobre la recta real.

Por ejemplo, la representación gráfica del conjunto solución de la inecuación precedente

es:

| | | | | | | (///|////////|///////|///////|////////|///////|/////

... 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11...

Como 11/2 no pertenece al conjunto se coloca sobre ese punto un paréntesis “(”. Otra

forma de hacer la representación es utilizando una semirrecta cuyo inicio es en 11/2 con

un punto vacío.

Si la desigualdad fuera x a ó x a, se coloca sobre el punto “a” un corchete “[”, para indicar que el número real “a” pertenece al conjunto solución. En caso de utilizar la semirrecta, en “a” se coloca un punto relleno.

4.7.3.3. Resolución de Inecuaciones Algebraicas Racionales con una Incógnita

Si R(x) es una expresión algebraica racional fraccionaria, las inecuaciones racionales

con una incógnita tienen la siguiente forma:

102


R(x) > 0 ó R(x) 0

R(x) < 0 ó R(x) 0

Resolver la siguiente inecuación:

x 30

x - 2

1. El denominador debe ser distinto de cero; luego, “x” debe ser distinto de 2.

2. Para que este cociente sea mayor que cero o sea, positivo, el numerador y el

denominador deben tener el mismo signo. Existen dos posibilidades:

I) x + 3 > 0 x - 2 > 0 ó II) x + 3 < 0 x - 2 < 0

x >-3 x > 2 ó x <- 3 x < 2

Entonces “x” pertenece a alguno de los siguientes conjuntos:

S1 = (-3 ; + ) (2 ; + ) S2 = ( - ; -3) ( - ; 2)

S1 = (2 ; + ) S2 = ( - ; -3)

Finalmente:

ST = S1 S2 = (2 ;+ ) ( - ; -3) = R – [-3 ; 2]

Gráficamente:

) | (

Resolver la siguiente inecuación:

2

x 10

x x - 2

1. Se factorea el denominador:

2. Se determinan los valores para los cuales se anula el denominador:

(x-1).(x+2) = 0 x = 1 x = -2.

Luego, se excluyen estos valores del conjunto solución, o sea:

x ≠ -2 y x ≠ 1

R

-3 0 2

x 10

(x -1)(x 2)

103


3. Se determina para que valor de “x”, la inecuación es igual a cero:

este valor conforma un primer conjunto solución:

So = {(-1)}

4. Se analizan las condiciones que deben cumplirse para que la inecuación

sea menor que cero.

En este caso se tiene un factor en el numerador y dos en el denominador. Y

para que el valor de esta inecuación sea negativo, hay cuatro posibilidades:

I) x+1< 0 x - 1< 0 x + 2 < 0

x < -1 x < 1 x < -2

S1 = ( - ; -1) ( - ; 1) ( - ; -2)

S1 = (- ; -2)

II) x+1 < 0 x – 1 > 0 x + 2 > 0

x < -1 x > 1 x > -2

S2 = ( - ; -1) (1 ; + ) ( -2 ; + )

Ningún elemento satisface a las tres inecuaciones a la vez: S2 =

III) x+1 > 0 x – 1 < 0 x + 2 > 0

x > -1 x < 1 x > -2

S3 = ( -1; + ) ( - ; 1) ( -2 ; + )

S3 = (-1; 1)

IV) x+1 > 0 x – 1> 0 x + 2 < 0

x > -1 x > 1 x < -2

S4 =( -1; + ) ( 1 ; + ) ( - ; -2)

Ningún elemento satisface a las tres inecuaciones a la vez

S4 =

Finalmente, el conjunto solución está formado por la unión de todas las soluciones ob-

tenidas:

St = S0 S1 S2 S3 S4 = -1 (- ; -2) (-1; 1)

= (- ; -2) [-1; 1)

Gráficamente:

x 10 x 1 0 x 1

(x -1)(x 2)

104


) [ | )

4.8 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas

4.8.1 Ecuaciones exponenciales

Se llaman ecuaciones exponenciales a aquellas que contienen a la incógnita ó las in-

cógnitas, como exponentes.

Simbólicamente, en el caso de una incógnita:

bx = a, con a b R+ b 1

Las ecuaciones exponenciales de la forma dada, pueden ser resueltas directamente, las

más sencillas, o aplicando logaritmo, en casos más complejos.

Son ecuaciones exponenciales las siguientes:

a) 2x = 64 b) 3 x-1 = 9 c) 3x =20 d) 43x =3x-1

Recordar: Si dos potencias de la misma base son iguales, entonces sus exponentes

también lo son:

a R, con a > 0 y a ≠ 1, ax = ay x = y

La ecuación 2x = 64 tiene una solución inmediata ya que se puede expresar a 64

como la potencia 26:

La ecuación 3x-1 = 9 tiene una solución inmediata ya que se puede expresar a 9

como la potencia 32:

La ecuación 3x = 20, no tiene resolución inmediata. Es necesario aplicar loga-

ritmo en una misma base, por ejemplo en base 10, en ambos miembros de la

igualdad, y las propiedades de los logaritmos:

xlog 3 log 20 x log 3 log 20

log 20x x 2.72log 3

La ecuación 43x = 3x – 1 tampoco tiene resolución inmediata. Aplicando loga-

ritmo en base 10, en ambos miembros de la igualdad, y las propiedades de

los logaritmos, se tiene:

-1

R

-2 1 0

x 62 = 2 x = 6

x-1 23 3 x -1 2

x = 2+1 x = 3

105


3x x 1log 4 log 3

3x log 4 (x 1) log 3 3x log 4 x log 3 log 3

3x log 4 x log 3 log 3 x (3log 4 log 3) log 3

log 3x x 0,358

3log 4 log 3

4.8.2 Ecuaciones logarítmicas

Una ecuación se llama logarítmica cuando la incógnita o las incógnitas aparecen en una

expresión logarítmica.

Recordar

El logaritmo de los números negativos no existe.

El logaritmo de cero tampoco existe.

El logaritmo de un número que esté entre cero y uno es negativo.

El logaritmo de 1 es cero.

El logaritmo de un número mayor que 1 es positivo.

9

1log x

2

Por definición de logaritmo: 12-

9 x

1 1x= x=

9 3

Verificación:

9

1 1log

3 2

Porque: 12

19

3

Luego: x =1/3 es solución.

3

log 82

x

Por definición: 3

2x 8

23x = ( 8) x = 4

Verificación:

4

3log 8

2

Porque: 3

24 8

Luego: x =4 es solución.

log(x 5) log(x 4) 1

Para aplicar la definición, se debe escribir el 1er. miembro como logaritmo único; para ello se aplica la propiedad del loga-ritmo de un producto:

log[(x 5)(x 4)] 1

Por definición: 110 (x - 5)(x 4)

Verificación:

Si x = 6: log(6 5) log(6 4) log1 log(10) 0 1 1

Luego: x = 6 es solución.

Si x = -5: log( 5 5) log( 5 4) log( 10) log( 1)

106


2x - x - 30 = 0

1

2

x-6=0 x =6

(x-6)(x+5) = 0 o

x+5=0 x =-5

Estos logaritmos no están definidos.

Luego: x = -5 no es solución.

1

ln(x+6)- ln(2x-3)=ln 42

Para aplicar la definición, se debe escribir el 1er. miembro como logaritmo único; para ello se aplica la propiedad del loga-ritmo del cociente y de la potencia:

ln(x 6) - ln 2x - 3 ln4

lnx + 6

√2x + 3= ln 4

x + 6 = 4 √2x − 3

(x + 6)2 = (4√2x − 3)2

2x 12x 36 16 (2x - 3)

12

2

x =14x -20x+84 =0

x =6

Verificación:

Si x = 14:

1ln(14+6)- ln(28-3)=ln20 -ln 25

2

20ln = ln4 x =14

5

es solución

Si x = 6:

1

ln(6+6)- ln(12 -3) = ln12- ln 92

12ln = ln4 x= 6

3

es solución.

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INDICE

Unidad 1 - Lógica y Conjuntos 1.1. Nociones de Lógica: Introducción ……………………………………………………….. 2 1.2. Proposiciones ………………………………………………………………………………. 2 1.3. Lógica proposicional ………………………………………………………………………. 3 1.4. Notación y conectivos …………………………………………………………………….. 3 1.5. Operaciones proposicionales …………………………………………………………….. 3

1.5.1. Negación ……………………………………………………………………………… 4 1.5.2. Conjunción …………………………………………………………………………… 4 1.5.3. Disyunción ……………………………………………………………………………. 5 1.5.4. Implicación o condicional …………………………………………………………… 6 1.5.5. Doble implicación, bicondicional o equivalencia …………………………………. 7

1.6. Orden de los conectivos ………………………………………………………………….. 9 1.7. Clasificación de las proposiciones compuestas ……………………………………….. 10 1.8. Equivalencia Lógica ……………………………………………………………………….. 11 1.9. Leyes Lógicas ……………………………………………………………………………… 11 1.10. Razonamiento ……………………………………………………………………………. 13

1.10.1. Razonamiento deductivo ………………………………………………………….. 14 1.10.2. Razonamiento válido ………………………………………………………………. 14 1.10.3. Razonamiento deductivo válido ………………………………………………….. 14

1.11. Implicaciones Asociadas ………………………………………………………………… 18 1.12. Funciones Proposicionales: Su cuantificación ……………………………………….. 19

1.12.1. Cuantificadores …………………………………………………………………….. 20 1.12.2. Valores de verdad …………………………………………………………………. 20 1.12.3. Negación ……………………………………………………………………………. 21

1.13. Nociones de Conjuntos. Introducción …………………………………………………. 22 1.13.1. Conceptos primitivos y notación …………………………………………………. 22

1.14. Formas de definir y graficar un conjunto ……………………………………………… 22 1.15. Conjuntos especiales …………………………………………………………………… 23 1.16. Relaciones entre conjuntos …………………………………………………………….. 24

1.16.1. Igualdad de Conjuntos ……………………………………………………………. 24 1.16.2. Inclusión – Subconjuntos …………………………………………………………. 24 1.16.3. Conjuntos disjuntos o disyuntos …………………………………………………. 25 1.16.4. Conjuntos entrelazados …………………………………………………………… 26

1.17. Operaciones con conjuntos …………………………………………………………….. 26 1.17.1. Complemento de un conjunto …………………………………………………….. 26 1.17.2. Unión de conjuntos ………………………………………………………………… 27 1.17.3. Intersección de conjuntos ………………………………………………………… 28 1.17.4. Diferencia de dos conjuntos ……………………………………………………… 30 1.17.5. Diferencia simétrica de dos conjuntos …………………………………………… 32

1.18. Número de elementos de un conjunto (cardinal) …………………………………….. 33 1.19. Producto Cartesiano …………………………………………………………………….. 34 1.20. Resumen de la relación entre la lógica simbólica y la teoría de conjuntos ……….. 35 Unidad 2 - Conjuntos Numéricos Introducción ……………………………………………………………………………………… 37 2.1. Los números naturales ……………………………………………………………………. 37 2.2. Los números enteros ……………………………………………………………………… 38 2.3 Los números fraccionarios y los números racionales ………………………………….. 39

2.3.1 Operaciones en los racionales ……………………………………………………… 40 2.3.1.1 Suma y resta de números racionales ………………………………………… 40 2.3.1.2 Multiplicación de números racionales ………………………………………… 40 2.3.1.3 División de números racionales ……………………………………………… 41

2.4 Los números irracionales …………………………………………………………………. 41 2.5 Los números reales ………………………………………………………………………… 41

2.5.1 Potenciación ………………………………………………………………………….. 42

108


2.5.2.1 Propiedades ……………………………………………………………………. 43 2.5.2 Radicación …………………………………………………………………………….. 44

2.5.2.1 Propiedades …………………………………………………………………….. 44 2.5.2.2 Simplificación de radicales ……………………………………………………. 45 2.5.2.3 Extracción de factores del radical ……………………………………………. 45 2.5.2.4 Introducción de factores en un radical ………………………………………. 45 2.5.2.5 Operaciones con radicales ……………………………………………………. 46 2.5.2.6 Racionalización de denominadores ………………………………………….. 47 2.5.2.7 Potencia con exponente racional …………………………………………….. 47

2.6 Logaritmo …………………………………………………………………………………… 48 2.6.1 Propiedades …………………………………………………………………………... 48

2.7 Representación gráfica de los números reales ………………………………………… 49 2.7.1. Intervalos en la recta real …………………………………………………………… 49

2.8 Módulo o valor absoluto de un número real …………………………………………….. 50 2.9. Ley de Composición Interna ……………………………………………………………… 51 2.10. Axiomas de Cuerpo ……………………………………………………………………… 52 2.11 Números complejos ………………………………………………………………………. 53

2.11.1 Forma binómica de un número complejo ………………………………………… 54 2.11.2 Complejos conjugados ……………………………………………………………. 54 2.11.3 Igualdad de números complejos ………………………………………………….. 54 2.11.4 Operaciones con números complejos ……………………………………………. 55

Unidad 3 - Expresiones Algebraicas Introducción ……………………………………………………………………………………… 56 3.1 Expresión algebraica ………………………………………………………………………. 56 3.2. Monomios ………………………………………………………………………………….. 58 3.3 Polinomios ………………………………………………………………………………….. 58

3.3.1 Ceros de un polinomio ………………………………………………………………. 59 3.4. Operaciones ……………………………………………………………………………….. 60

3.4.1. Suma de polinomios ………………………………………………………………… 60 3.4.2 Resta de polinomios …………………………………………………………………. 60 3.4.3 Multiplicación …………………………………………………………………………. 61 3.4.4 Potenciación ………………………………………………………………………….. 62

3.4.4.1 Cuadrado de un binomio ……………………………………………………… 62 3.4.4.2 Cubo de un binomio …………………………………………………………… 62

3.4.5 División ……………………………………………………………………………….. 62 3.4.5.1 División de monomios ………………………………………………………… 62 3.4.5.2 División de un polinomio por un monomio ………………………………….. 63 3.4.5.3 División de polinomios ………………………………………………………… 63 3.4.5.4 Regla de Ruffini ……………………………………………………………….. 64 3.4.5.5 Teorema del Resto …………………………………………………………….. 65 3.4.5.6 Divisibilidad entre polinomios ………………………………………………… 66

3.5 Factoreo …………………………………………………………………………………….. 66 3.5.1 Factor común …………………………………………………………………………. 66 3.5.2 Factoreo por grupo (doble factor común) …………………………………………. 67 3.5.3 Trinomio cuadrado perfecto ………………………………………………………… 68 3.5.4 Cuatrinomio cubo perfecto …………………………………………………………. 69 3.5.5 Diferencia de cuadrados ……………………………………………………………. 69 3.5.6 Suma o diferencia de potencias de igual grado …………………………………. 70

3.5.6.1 Suma de potencias de igual grado impar …………………………………… 70 3.5.6.2 Diferencia de potencias de igual grado impar ……………………………… 71

3.5.7 Factorización del trinomio de segundo grado …………………………………….. 72 3.6 Expresiones algebraicas fraccionarias …………………………………………………. 72

3.6.1 Simplificación de expresiones algebraicas fraccionarias ……………………….. 73 3.6.2 Común denominador de expresiones algebraicas ………………………………. 73 3.6.3 Operaciones con expresiones algebraicas fraccionarias ………………………. 74

3.6.3.1 Suma y Resta de expresiones algebraicas fraccionarias …………………. 74

109


3.6.3.2 Multiplicación de expresiones algebraicas fraccionarias …………………... 75 3.6.3.3 División de expresiones algebraicas fraccionarias …………………………. 75

Unidad 4 - Ecuaciones, Sistemas de Ecuaciones e Inecuaciones Introducción ……………………………………………………………………………………… 76 4.1 Igualdad ……………………………………………………………………………………. 76

4.1.1 Identidades y ecuaciones …………………………………………………………… 76 4.1.2 Ecuaciones ……………………………………………………………………………. 77

4.1.2.1 Algunos términos a definir …………………………………………………….. 77 4.1.2.2 Clasificación de Ecuaciones ………………………………………………….. 78 4.1.2.3 Resolución de una ecuación ………………………………………………….. 79 4.1.2.4 Ecuación lineal o de primer grado en una incógnita ……………………….. 80 4.1.2.5 Algunas consideraciones a tener en cuenta p/ resolver una ec. Lineal ….. 80

4.2 Aplicación de las ecuaciones lineales a la resolución de problemas ………………… 81 4.3 Ecuación cuadrática o de segundo grado en una incógnita …………………………… 84

4.3.1 Resolución de ecuaciones de segundo grado ……………………………………. 84 4.3.1.1 Ecuaciones incompletas ………………………………………………………. 84 4.3.1.2 Ecuaciones completas ………………………………………………………… 86

4.3.2 Distintos tipos de raíces …………………………………………………………….. 88 4.3.3 Propiedades de las raíces de una ecuación cuadrática …………………………. 89 4.3.4 Reconstrucción de una ecuación de segundo grado a partir de las raíces ……. 89

4.4 Ecuación algebraica racional fraccionaria en una incógnita ………………………….. 90 4.5 Sistema de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas ……………………. 92

4.5.1 Resolución de sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas …. 92 4.5.1.1 Método de sustitución …………………………………………………………. 92 4.5.1.2 Método de reducción por suma y/o resta …………………………………… 93 4.5.1.3 Método de igualación ………………………………………………………….. 94 4.5.1.4 Aplicación de sistemas de ecuaciones a la resolución de problemas …… 95

4.6 Sistemas de ecuaciones no lineales …………………………………………………….. 97 4.7 Inecuaciones algebraicas lineales o de primer grado …………………………………. 97

4.7.1 Desigualdad ………………………………………………………………………….. 97 4.7.2 Propiedades de las desigualdades ………………………………………………… 98 4.7.3 Inecuaciones Algebraicas …………………………………………………………… 99

4.7.3.1 Resolución de Inecuaciones Algebraicas de 1er. grado …………………… 100 4.7.3.2. Representación gráfica del conjunto solución de una inecuación ……….. 101 4.7.3.3. Resolución de Inecuaciones Algebraicas Racionales …………………….. 101

4.8 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ……………………………………………… 104 4.8.1 Ecuaciones exponenciales ………………………………………………………….. 104 4.8.2 Ecuaciones logarítmicas …………………………………………………………….. 105

introduccion a la matemÁtica · la verdad o falsedad de las oraciones son los valores de verdad...

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