introducción a la geometría de la conservación. la cadena inmovil: un argumento de conservacion,...
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Introducción a la geometría de la
conservación.
LA CADENA INMOVIL: UN ARGUMENTO DE CONSERVACION, DE EQUILIBRIO Y DE SIMETRIA: LA RELACION DE MASAS ES TAL QUE LA TENSION DE CADA LADO DE LA CUERDA SEA LA MISMA (NOTESE QUE SI EL PLANO INCLINDAO ES HORIZONTAL, LA MASA TIENE QUE SER INFINITA)
Un problema clásico de conservación: Reversibilidad de las
maquinas y el equilibrio permanente.
LA CADENA INMOVIL: UN ARGUMENTO DE CONSERVACION, DE EQUILIBRIO Y DE SIMETRIA: Un argumento de conservación, la energía del sistema tiene que ser constante. Al mover la cuerda, la energia de “La Pradon” cambia en la misma cantidad que se ha desplazado la cuerda (mgh), y la de la masa en una cantidad menor (mgh/sen(a))
El problema clásico de conservación:
regla de tres.
3
5
¿Cuál es la relación entre m1 y m2 si se esta en equilibrio?
El argumento de Stevins: “Conservacion
de energia y equlibrio”
LA CADENA INMOVIL: UN ARGUMENTO DE CONSERVACION, DE EQUILIBRIO Y DE SIMETRIA.
Fuerza, desplazamiento, trabajo y esfuerzo.
La cantidad relevante es la proyección de la fuerza sobre el eje de desplazamiento. Cuanto mas ortogonales son la dirección de la fuerza y del movimiento, esta proyección es menos importante y por lo tanto la fuerza tiene que aumentar en magnitud. Nótese que el problema en la otra dirección (normal al plano) esta resuelto trivialmente por la “solidez” del plano.
Igualmente, el cambio de energía en esta versión integral del problema incorpora la relación angular entre la fuerza y el desplazamiento. El cambio de energía es proporcional a la proyección del desplazamiento EN LA DIRECCION en que actúa la fuerza.
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
yyxxy
yx
x vFvFdt
dvvm
dt
dvvm
dt
dT
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
yyxxy
yx
x vFvFdt
dvvm
dt
dvvm
dt
dT
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
222
2
1
2 yx vmvmmv
T
dt
vdm
dt
vdmdt
vdm
dt
dT yx)()(
2
1
2
)(22
2
yyxxy
yx
x vFvFdt
dvvm
dt
dvvm
dt
dT
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
dvvmdxxF )(O aun reordenando términos:
Diferencial de Trabajo(por definición) y aquí se
adivina la relevancia de esta cantidad.
Diferencial de Energía Cinetica
dvmvvm
d )2( 2
Diferencial de energía en varias (dos) dimensiones. La integral de la fuerza a lo largo de su dirección.
xdF
F
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
ydF
En general se puede resolver el problema en la dirección de movimiento. Esto es trivial (ha de hacerse una sola vez) cuando el movimiento es rectilíneo, independientemente de la dirección de la fuerzs. Cuando el movimiento es curvo el problema es iterativo porque para hacer esta proyección hace falta conocer la trayectoria para la cual hace falta conocer las fuerzas y así siguiendo…
La proyección de la fuerza que contribuye al trabajo (y de hecho, en este caso, al movimiento) porque el plano ejerce una fuerza igual y contraria con lo que todas la fuerzas resultante son paralelas a la dirección de movimiento.En un caso genérico, fuerzas transversales pueden contribuir al movimiento (modificando la dirección, sin realizar trabajo)
Primer manifestación de la direccionalidad: El signo
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
Un “campo” de fuerzas constante
(x1,v1)
(x2,v2)
Trayectoria forzada en un campo constante¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?
Primer manifestación de la direccionalidad: El signo
xdFdyFdxFdtvFdtvFdT yxyyxx
Un “campo” de fuerzas constante
(x1,v1)
(x2,v2)
Trayectoria forzada en un campo constante¿Cuál es el trabajo de esta fuerza?
9.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF
6.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF 8.0)cos(ˆˆ FsdFFsdF
Mapas Escalares: La anatomía de la función abs(xy)
-50 0 50-50
0
50
-50 0 500
1000
2000
3000
-50 0 500
100
200
300
400
-500
50
-500
500
2000
4000
-50 0 50-50
0
50
-50 0 50
-50
0
50
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
1
2
3
4
5
6
0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50
0
1
2
3
4
5
6
Imagenes del mapa A lo largo de curvas En coordenadas polares
Gradiente, la dirección (y cantidad de cambio, de una función escalar)
-2-1
01
2
-2
-1
0
1
2-0.5
0
0.5
Mapas Escalares: La anatomía de la función x*exp(r2)
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Dos representaciones equivalentes de las “ternas” (x,y,f(x,y))
Las curvas de nivel, o las direcciones a lo largo de las cuales una función no cambia y aquellas, ortogonales, de máximo cambio.
Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial
Inferir la tendencia al cambio a partir de una función potencial
Función Potencial y campo gradiente, dos conceptos hermanaos. El gradiente es el vector formado por el valor de cambio (con signo) en cada dirección. Apunta entonces en la dirección donde la función mas crece. La fuerza es inversa al gradiente y cambia el momento (alterando la tendencia a mantener la velocidad constante). Nótese que el momento evoluciona en dirección de los pozos de potencial. Nótese también que el movimiento no converge a los pozos (es decir, no se estaciona en un mínimo) porque la partícula tiene inercia. Un pozo suficientemente profundo “atrapa una particula” que oscila en este pozo.