introducci on a la teor a de conjuntos - euskalnet.net · proposiciones y conectores ... sobre los...

Introduccion a la Teorıa de conjuntos

Kepler Ck Ikastegia

2005

Teorıa de conjuntos

2 Kepler Ck Ikastegia

Indice general

1. Breves nociones de Logica 9

1.1. Proposiciones y conectores proposicionales . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2. Tablas de verdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2. Sobre los conjuntos 15

2.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Interseccion y union de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Particion de un conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.4. Ejemplos de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Producto cartesiano de conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6. Relaciones o correspondencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.7. Aplicaciones entre conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.8. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3. Leyes de composicion u operaciones 27

3.1. Leyes de composicion internas y externas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2. Estabilidad respecto de una relacion de equivalencia R . . . . . . . . . . . 27

3.3. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

4. Retıculos y algebras de Boole 31

4.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.2. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4.3. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3

Indice de figuras

1.1. Triangulo de Tartaglia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1. Interseccion de A con B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2. Union de A con B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3. Diferencia de A con B. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Complementario de A. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.1. Puerta ≪ AND ≫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.2. Puerta ≪ OR ≫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

4.3. Puerta ≪ NOT ≫ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.4. Retıculo pentagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

5

Prologo

Los apuntes que siguen constituyen tan solo una base teorica recomendable y util para

comprender y manipular mejor los conceptos de las diversas ramas de Matematicas que se

presentan y estudian en los primeros cursos universitarios de cualquier carrera de ciencias.

Estan extraıdos fundamentalmente de dos libros:

E. ESPADA BROS: Problemas resueltos de algebra

EDUNSA Ediciones y Distribuciones Universitarias S.A. 5a edicion. Barcelona, 1991.

A. VERA LOPEZ y F. VERA LOPEZ: Introduccion al Algebra Tomo I

Editorial Ellacuria Lab. S.A. Bilbao, 1986.

7

Capıtulo 1

Breves nociones de Logica

1.1. Proposiciones y conectores proposicionales

Definicion 1.1 Se llama proposicion a cualquier enunciado o aserto del que se puede

afirmar sin ambiguedad si es verdadero (V) o falso (F).

Mediante los llamados conectores proposicionales es posible construir nuevas proposiciones

a partir de unas dadas. Estos son: disyuntor ∨, conjuntor ∧, negador ¬, que se leen

respectivamente “o”, “y”, “no”. En matematicas el conector disyuntor se emplea siempre

en sentido no exclusivo. Ası, si p es la proposicion “Hoy es lunes”, y q representa la

proposicion “Esta lloviendo”, entonces es posible formar otras proposiciones como, por

ejemplo:

p ∨ q: “Hoy es lunes o esta lloviendo”. ¬p: “Hoy no es lunes”.

p ∧ q: Hoy es lunes y esta lloviendo”. ¬q: “No esta lloviendo”.

1.2. Tablas de verdad

Dando a p y a q todos los posibles valores, V o F, se obtienen las siguientes tablas,

llamadas tablas de verdad:

p q p ∨ q p ∧ q

V V V V

V F V F

F V V F

F F F F

p ¬pV F

F V

La proposicion p ∨ q es falsa unicamente cuando p y q son falsas simultaneamente; en

9


cualquier otro caso es verdadera. La proposicion p∧ q unicamente es verdadera cuando lo

son p y q simultaneamente, pues en cualquier otro caso es falsa.

Definicion 1.2 Se llama tautologıa a una proposicion que siempre es verdadera. Se denota

por t. La proposicion ¬t es siempre falsa y se suele denotar por k.

p ¬p p ∨ (¬p) p ∧ (¬p)V F V F

F V V F

Ası, dada una proposicion arbitraria p, la proposicion t ≡ p ∨ (¬p) es una tautologıa.

Otra de las formas de crear proposiciones nuevas es mediante el conector implicador.

Definicion 1.3 Dadas dos proposiciones p y q, se llama implicacion a la proposicion

(¬p) ∨ q. Se denota por p =⇒ q y se lee “p implica q” o tambien “si p entonces q” o

tambien “p solo si q”. La tabla de verdad correspondiente al conector implicador es:

p q (¬p) ∨ q p =⇒ q

V V V V

V F F F

F V V V

F F V V

Si tanto la proposicion p como la implicacion p =⇒ q son verdaderas se dice que constituye

un teorema, y se llama hipotesis a la proposicion p y tesis o conclusion a la proposicion

q. Tambien se expresa diciendo que p es una condicion suficiente de q (ya que de p se

deduce q) o que q es una condicion necesaria para p. Las implicaciones que se utilizan en

matematicas son siempre de este tipo.

Definicion 1.4 Se dice que dos proposiciones son equivalentes si se implican mutuamen-

te, es decir, si la proposicion (p =⇒ q) ∧ (q =⇒ p) es verdadera, lo cual se expresa

habitualmente ası:

p ⇐⇒ q

Son, por tanto, mutuamente condicion necesaria y suficiente.

Observemos que si dos proposiciones son equivalentes son simultaneamente verdaderas o

simultaneamente falsas.

A la proposicion q =⇒ p se le llama recıproca de la implicacion p =⇒ q la cual recibe el

nombre de implicacion directa. Se llama contraria a la implicacion ¬p =⇒ ¬q.



Ejemplo 1.1 Un importante ejemplo de proposiciones equivalentes es el siguiente:

Dada una implicacion p =⇒ q la implicacion ¬q =⇒ ¬p, denominada contrarrecıproca, es

equivalente a ella, es decir, (p =⇒ q) ⇐⇒ (¬q =⇒ ¬p).Esta equivalencia proposicional es el fundamento de la denominada demostracion por

reduccion al absurdo que consiste precisamente en probar que es verdadera la implicacion

contrarrecıproca de una implicacion directa dada. Por otro lado,

(¬p =⇒ ¬q) ⇐⇒ (q =⇒ p), es decir, la contraria y la recıproca son tambien equivalentes.

El conjunto de proposiciones con las operaciones ∨ y ∧ constituye un algebra de Boole.

Leyes del algebra de proposiciones

Idempotencia p ∨ p ⇐⇒ p p ∧ p ⇐⇒ p

Asociativa p ∨ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∨ r p ∧ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∧ r

Conmutativa p ∨ q ⇐⇒ q ∨ p p ∧ q ⇐⇒ q ∧ p

Simplificacion p ∨ (p ∧ q) ⇐⇒ p p ∧ ((p ∨ q) ⇐⇒ p

Distributiva p ∨ (q ∧ r) ⇐⇒ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) p ∧ (q ∨ r) ⇐⇒ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)

Elemento neutro p ∨ k ⇐⇒ p p ∧ t ⇐⇒ p

Complementario p ∨ (¬p) ⇐⇒ t p ∧ (¬p) ⇐⇒ k

Ademas se cumplen:

1. Ley de absorcion: p ∨ t ⇐⇒ t; p ∧ k ⇐⇒ k

2. Leyes de De Morgan: ¬(p ∨ q) ⇐⇒ (¬p) ∧ (¬q); ¬(p ∧ q) ⇐⇒ (¬p) ∨ (¬q)

3. Ley de la doble negacion: ¬(¬p) ⇐⇒ p

4. ¬k ⇐⇒ t ¬t ⇐⇒ k

Por cumplir las primeras cuatro propiedades se dice que el conjunto de proposiciones, con

las operaciones ∨ y ∧ es un retıculo. Por cumplir la quinta propiedad se dice que es un

retıculo distributivo, y por cumplir las dos ultimas propiedades se dice que es un algebra

de Boole. Todo esto se recordara en el capıtulo 4.

Cuantificadores

Tanto en Logica como en Teorıa de conjuntos se emplean frecuentemente los llamados

cuantificadores: el existencial ∃, que se lee “existe” , y el universal ∀ , que se lee “para

todo” o “cualquiera que sea”. Cuando solo hay un elemento que cumple una determinada

proposicion se expresa ∃ ! y se lee “existe un unico”.

En Matematicas son frecuentes las proposiciones en las que intervienen variables, ası si la



proposicion p(x) se cumple para ciertos valores x de E se escribe (∃x ∈ E) p(x).

Si E es el dominio de una proposicion p(x) se tienen las siguientes equivalencias:

¬[(∀x ∈ E) p(x)] ⇐⇒ [(∃x ∈ E)¬p(x)]¬[(∃x ∈ E) p(x)] ⇐⇒ [(∀x ∈ E)¬p(x)]

Metodo de induccion

Para probar la verdad de proposiciones en las que las variables que intervienen son nume-

ros naturales, del tipo p(n), se emplea el denominado metodo de induccion. Consiste en:

1. Probar que existe n0 ∈ IN|p(n0) (base de induccion).

2. Probar que p(k) =⇒ p(k + 1) es verdadera ∀ k ≥ n0.

Con esas dos pruebas se deduce que la proposicion p(n) es verdadera ∀n ≥ n0.

Habitualmente n0 = 1. A la proposicion p(k) se le llama hipotesis de induccion.

Existe otro metodo equivalente al anterior denominado metodo de induccion completa que

consiste en sustituir la segunda condicion por esta otra:

Probar que p(n0) ∧ p(n0 + 1) ∧ . . . ∧ p(k) =⇒ p(k + 1) donde es n0 < k. En cada caso se

aplica uno u otro segun convenga.

Ejemplo 1.2 Sea p(n) la proposicion 1 + 3+ 5+ 7+ · · ·+ (2n− 1) = n2. Veamos que es

cierta ∀n ∈ IN.

1. Si n = 1 se cumple, pues 1 = 12, luego se cumple p(1).

2. Si se cumple p(k) con k ≥ 1 entonces p(k + 1) tambien se cumple; en efecto,

1+3+5+7+· · ·+(2k−1)+(2(k+1)−1) = k2+(2(k+1)−1) = k2+2k+1 = (k+1)2.

Por tanto p(n) es V ∀n ∈ IN.

1.3. Ejercicios

1. Demostrar, aplicando el metodo de induccion, los siguientes ejercicios:



i)n∑

i=1

1

i(i+ 1)=

n

n+ 1

ii)n∑

i=1

(2i− 1)2 =n(2n− 1)(2n+ 1)

3

iii)n∑

i=0

xi =xn+1 − 1

x− 1(x = 1)

iv)n∑

i=1

i3 =

(n∑

i=1

i

)2

v)n∑

i=1

i =n(n+ 1)

2

2. Demostrar con el mismo metodo que:

a)n−1∑i=1

i3 <n4

4<

n∑i=1

i3

b) n(2n+ 1)(7n+ 1) = 6 (multiplo de 6) ∀n ∈ IN

c) 2n > 2n+ 1, ∀n > 2.

d)n∏

i=2

(i− 1

i

)=

1

n

3. Demostrar que el producto de tres numeros naturales consecutivos es multiplo de 3.

4. Sea n1 el menor numero natural n para el que la desigualdad

(1 + x)n > 1 + nx+ nx2

es cierta ∀x > 0. Calcular n1 ; demostrar que la desigualdad es cierta ∀n ≥ n1.

5. Encontrar una formula para las siguientes expresiones y demostrarla por induccion:

a)n∑

i=1

(2i− 1) =

b)n−1∑i=0

2i =

c)n∏

i=2

(1− 1

i2

)=

6. Probar que ∀n ∈ IN se cumple:

1 + 6n∑

i=0

7i = 7n+1



7. Demostrar por el metodo de induccion el llamado binomio de Newton:

(x+ y)n =n∑

i=0

(n

i

)xn−iyi

Relacionado con este ultimo ejercicio se halla el conocido triangulo de Tartaglia:

↪→

(0

0

)(

1

0

) (1

1

)(

2

0

) (2

1

) (2

2

)(

3

0

) (3

1

) (3

2

) (3

3

)(

4

0

) (4

1

) (4

2

) (4

3

) (4

4

)· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

es decir

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·

Figura 1.1: Triangulo de Tartaglia


Capıtulo 2

Sobre los conjuntos

2.1. Conceptos basicos

La palabra conjunto es uno de los terminos basicos que en Matematicas no esta de-

finido, y se acepta como valida la idea intuitiva que se tiene de el. Ası, un conjunto es,

como bien nos dice la intuicion, una coleccion, lista o reunion de objetos cualesquiera bien

definidos, y que denominaremos elementos del conjunto.

En este contexto denotaremos los conjuntos con letras mayusculas, A,B,C, . . . y los

elementos con letras minusculas, a, b, c, . . .

Para indicar que un objeto a es un elemento de un conjunto A, escribiremos a ∈ A y

leeremos “a pertenece al conjunto A”. Por el contrario, si el objeto a no es elemento del

conjunto A, se escribe a /∈ A y se lee “a no pertenece al conjunto A”.

Existen dos maneras de definir un conjunto:

1. Por extension o explıcitamente, es decir, indicando o enumerando todos sus elemen-

tos; por ejemplo, el conjunto A consta de los elementos 1, 2, 3, 4.

Se escribe ası: A = {1, 2, 3, 4}.

2. Por comprension o implıcitamente, es decir, expresando propiedades que cumplen

todos sus elementos; por ejemplo, el conjunto anterior tambien se puede definir ası:

A = {x|x es un numero natural menor que 5} o bien

A = {x|x ∈ IN, x < 5}.

Nota: El sımbolo | se lee “tal(es) que”.

Definicion 2.1 El conjunto A se dice subconjunto del conjunto B, se denota por A ⊂ B,

y se lee “A esta contenido en B” o “A esta incluido en B”, si cada elemento de A lo es

tambien de B, simbolicamente, a ∈ A =⇒ a ∈ B.

15


Definicion 2.2 Diremos que dos conjuntos A y B son iguales, A = B, si tienen los

mismos elementos, es decir, si A ⊂ B y B ⊂ A.

Definicion 2.3 Es conveniente introducir el concepto de conjunto vacıo, es decir, un

conjunto que carece de elementos y que se denota por Ø.

Definicion 2.4 Dado un conjunto A, se dice que un subconjunto C de A es un subcon-

junto propio si C = A y C = Ø.

Definicion 2.5 Se sobreentendera que todos los conjuntos que intervengan en un cierto

problema son subconjuntos de un cierto conjunto U que se denomina conjunto universal

o conjunto de referencia.

Definicion 2.6 Dados un conjunto A y B ⊂ A, un subconjunto suyo, se define el conjunto

complementario de B en A, y se denota por Bc, al conjunto Bc = {x ∈ A|x /∈ B}

Definicion 2.7 Dado un conjunto A, se llama conjunto de partes, Booleano o conjunto

potencia de A y se denota por P(A) al conjunto cuyos elementos son todos los subcon-

juntos de A, es decir,

P(A) = {S ⊂ U |S ⊂ A}

Ası pues, S ∈ P(A) ⇐⇒ S ⊂ A.

Definicion 2.8 El numero de elementos de un conjunto A se denomina cardinal del

conjunto A y se designa por |A| o por Card(A).

Proposicion 2.1 Si |A| = n < ∞ entonces |P(A)| = 2n

Demostracion:

El numero de subconjuntos de A con k elementos es

(n

k

)para cada 1 ≤ k ≤ n; por

tanto, si contamos el conjunto vacıo, pues siempre es Ø ⊂ A, es decir, Ø ∈ P(A), tenemos

que

|P(A)| =n∑

k=0

(n

k

)= (1 + 1)n = 2n ♢



2.2. Interseccion y union de conjuntos

Definicion 2.9 Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto interseccion de A y B y

se denota por A ∩B al conjunto formado por los elementos comunes a A y a B, es decir

A ∩B = {x ∈ U |x ∈ A ∧ x ∈ B}

A BU

Figura 2.1: Interseccion de A con B.

Definicion 2.10 Se dice que dos conjuntos A,B son disjuntos si A ∩B = Ø.

Definicion 2.11 Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto union de A o B y se

denota por A ∪ B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A o a B, es

decir

A ∪B = {x ∈ U |x ∈ A ∨ x ∈ B}

A BU

Figura 2.2: Union de A con B.



Definicion 2.12 Si A ∩ B = Ø se dice que A ∪ B es la union disjunta de A o B, y se

denota por A ∪B.·

Definicion 2.13 Dados dos conjuntos A y B se llama conjunto diferencia de A y B y se

denota por A − B al conjunto formado por los elementos que pertenecen a A pero no a

B, es decir

A−B = {x ∈ U |x ∈ A ∧ x /∈ B}

A BU

Figura 2.3: Diferencia de A con B.

Definicion 2.14 Dado un conjunto A se llama conjunto complementario de A y se denota

por Ac o por U−A al conjunto formado por los elementos que no pertenecen a A, es decir

Ac = {x ∈ U |x /∈ A}

AU

Figura 2.4: Complementario de A.

Nota: Las representaciones graficas utilizadas reciben el nombre de diagramas de Venn–

Euler.



Leyes del algebra de Boole o de las partes de un conjunto

Idempotencia A ∪ A = A A ∩ A = A

Asociativa A ∪ (B ∪ C) = (A ∪B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C

Conmutativa A ∪B = B ∪ A A ∩B = B ∩ A

Simplificacion A ∪ (B ∩ A) = A A ∩ (B ∪ A) = A

Distributiva A ∪ (B ∩ C) = (A ∪B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)

Elemento neutro A ∪Ø = A A ∩ U = A

Complementario A ∪ Ac = U A ∩ Ac = Ø

Por cumplir las primeras cuatro propiedades se dice que el conjunto de las partes de un

conjunto U o Booleano de U , P(U) = {A|A ⊂ U}, con las operaciones ∪ y ∩ es un

retıculo. Por cumplir la quinta propiedad se dice que es un retıculo distributivo, y por

cumplir las dos ultimas propiedades se dice que es un algebra de Boole.

Ademas se cumplen las llamadas Leyes de De Morgan

(A ∪B)c = Ac ∩Bc (A ∩B)c = Ac ∪Bc,

la denominada ley de Absorcion

A ∪ U = U A ∩Ø = Ø,

la ley de la doble negacion

(Ac)c = A

y la propiedad

U c = Ø ⇐⇒ Øc = U

2.3. Particion de un conjunto

Dado un conjunto A y {Ai|i ∈ I} ⊂ P(A) − {Ø} una coleccion de subconjntos no

vacıos de A, se dice que forma una particion de A si se verifica:

1. A =∪i∈I

Ai

2. Ai ∩ Aj = Ø, ∀ i = j, i, j ∈ I

Si {Ai|i ∈ I} es una particion de A se denota por A =∪i∈I

Ai.·



2.4. Ejemplos de conjuntos

Algunos ejemplos de conjuntos importantes son:

1. El conjunto de los numeros naturales

IN = {1, 2, 3, 4, 5, . . .}

2. El conjunto de los numeros enteros

ZZ = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}

3. El conjunto de los numeros racionales

IQ ={ a

b

∣∣∣ a ∈ ZZ, b ∈ Z − {0}}

4. El conjunto de los numeros reales: IR

5. El conjunto de los numeros complejos

IC = {a+ bi|a, b ∈ IR}

2.5. Producto cartesiano de conjuntos

Definicion 2.15 Dados dos conjuntos no vacıos A y B, se llama producto cartesiano de

A por B y se denota por A × B al conjunto de todos los pares ordenados (a, b) cuya

primera componente a ∈ A y cuya segunda componente b ∈ B, es decir,

A×B = {(a, b)|a ∈ A, b ∈ B}

Esta definicion es generalizable a n conjuntos:

n∏i=1

Ai = A1 × · · · × An = {(a1, . . . , an)|ai ∈ Ai,∀ i = 1, . . . , n}

Tambien es posible dar otra generalizacion de producto cartesiano en la que los conjuntos

factores pueden pertenecer a una familia arbitraria; se volvera sobre esto una vez visto el

concepto de aplicacion entre conjuntos.



2.6. Relaciones o correspondencias

Sean A y B dos conjuntos no vacıos:

Definicion 2.16 Una relacion binaria o correspondencia R entre A y B es un criterio

o ley que permite decir si, dado cualquier par ordenado (a, b) ∈ A × B, el elemento a

esta relacionado con el elemento b mediante R. Si a esta relacionado con b mediante R,

se escribe aRb y en caso contrario a/Rb.

Debido a que hay una biyeccion entre la totalidad de relaciones binarias entre A y B y el

Booleano de A×B, se suele dar con frecuencia la siguiente definicion de relacion binaria

o correspondencia entre dos conjuntos A y B:

Definicion 2.17 Dados dos conjuntos A y B no vacıos se llama relacion binaria o corres-

pondencia entre A y B a todo subconjunto no vacıo R de A×B. Ası, dado (a, b) ∈ A×B

si (a, b) ∈ R se dice que a esta relacionado con b y se escribe aRb, o tambien que R hace

corresponder el elemento b ∈ B al elemento a ∈ A y se escribe b = R(a).

A es el conjunto de partida, original o inicial, B es el conjunto de llegada, conjunto final

o codominio. Se llama dominio de f al conjunto DomR = {a ∈ A|R(a) = Ø}. Se llama

imagen de R al conjunto Im f = {b ∈ B|∃ a ∈ A, b = R(a)}. Se llama grafo de la relacion

o correspondencia al conjunto

R = {(a, b) ∈ A×B|b = R(a)},

si bien, este concepto no se distingue del de relacion en la segunda definicion dada.

En particular, cuando A = B se dice simplemente que R es una relacion en A. Las

principales propiedades que puede tener una relacion R en A son:

1. Reflexiva: R se dice reflexiva si ∀ a ∈ A aRa.

2. Antirreflexiva: R se dice antirreflexiva si ∀ a ∈ A a/Ra.

3. Simetrica: R se dice simetrica si ∀ a, b ∈ A con aRb entonces bRa.

4. Antisimetrica: R se dice antisimetrica si ∀ a, b ∈ A con a = b y aRb entonces b/Ra; o

equivalentemente, si ∀ a, b ∈ A tales que aRb y bRa entonces a = b.

5. Transitiva: R se dice transitiva si ∀ a, b, c ∈ A con aRb y bRc entonces necesariamente

aRc.



Definicion 2.18 Sea A un conjunto, una relacion de equivalencia en A es una relacion

binaria o correspondencia enA que cumple las propiedades reflexiva, simetrica y transitiva.

Definicion 2.19 Dada una relacion de equivalencia R en A, ∀ a ∈ A se define la clase de

equivalencia de a respecto de R al conjunto

[a] = {b ∈ A|aRb}.

Teorema 2.1 Sea R una relacion de equivalencia en A, entonces la coleccion {[a]}a∈A es

una particion de A. Recıprocamente si {Ai}i∈I es una particion de A, esta origina una

relacion de equivalencia R’ en A dada por aR’b ⇐⇒ ∃ i ∈ I|a, b ∈ Ai, siendo las clases

de equivalencia de R’ precisamente los conjuntos Ai que forman la particion. Ası, existen

tantas relaciones de equivalencia definidas en A como particiones podamos hacer en A.

Demostracion:

Sea R una relacion de equivalencia en A; veamos que {[a]}a∈A es una particion en A. En

efecto, ∀ a ∈ A, por la propiedad reflexiva se tiene aRa luego a ∈ [a] y ası A =∪a∈A

[a]. Por

otro lado, dadas dos clases de equivalencia [a], [b] tales que [a]∩ [b] = Ø, entonces ∃ c ∈ A

tal que c ∈ [a] ∩ [b] luego aRc y bRc. Por la propiedad simetrica cRb y por la propiedad

transitiva aRb y ası [a]=[b]; en efecto, sea x ∈ [a] entonces aRx, pero como bRa se tiene

bRx, es decir, x ∈ [b]. Esto prueba la inclusion [a] ⊂ [b]. La otra inclusion es analoga. En

definitiva, [a] = [b] y, por tanto, dadas dos clases de equivalencia distintas estas tienen

interseccion vacıa.

Recıprocamente, si {Ai}i∈I es una particion de A automaticamente se origina una relacion

de equivalencia R’ en A dada por aR’b ⇐⇒ ∃ i ∈ I tal que a, b ∈ Ai. En efecto, dado

a ∈ A por ser {Ai}i∈I una particion, existe i ∈ I tal que a ∈ Ai luego a, a ∈ Ai ⇐⇒ aR’a

y R’ es reflexiva.

Si aR’b entonces ∃ i ∈ I tal que a, b ∈ Ai ⇐⇒ b, a ∈ Ai ⇐⇒ bR’a y R’ es simetrica.

Finalmente si aR’b y bR’c =⇒ ∃ i ∈ I tal que a, b ∈ Ai y ∃ j ∈ I tal que b, c ∈ Aj luego

b ∈ Ai ∩Aj, por lo que Ai = Aj ya que la union de los Ai es disjunta. Ası pues, a, c ∈ Ai

y aR’c implica que R’ es transitiva.

Veamos ahora que las clases de equivalencia de R’ son precisamente los Ai de la particion;

en efecto, sea a ∈ A entonces ∃ i ∈ I tal que a ∈ Ai y ası [a] = Ai ya que

[a] = {b ∈ A|aR’b} = {b ∈ A|a, b ∈ Ai} = Ai.

Observacion: ∀ a, b ∈ A aR’b ⇐⇒ [a] = [b].

Definicion 2.20 El conjunto {[a]}a∈A se denomina conjunto cociente de A modulo R, se

denota por A/R, y tiene por elementos precisamente las clases de equivalencia de R.



Ejemplos 2.1 Consideremos la relacion R en IN× IN dada por

(a, b)R(a′, b′) ⇐⇒ a+ b′ = b+ a′.

Es una relacion de equivalencia y el conjunto cocienteIN× IN

Rse identifica con el conjunto

de los numero enteros ZZ, siendo [(a, b)] el numero entero a− b.

Consideremos en el conjunto ZZ× (ZZ− {0}) la relacion dada por

(a, b)R(a′, b′) ⇐⇒ ab′ = ba′

R es una relacion de equivalencia y el conjunto cocienteZZ× (ZZ− {0})

Rse identifica con

el conjunto de los numeros racionales IQ siendo [(a, b)] el numero racionala

b.

Consideremos en el conjunto F de todos los vectores fijos del espacio ordinario la relacion

dada por−→ABR

−→CD ⇐⇒

−→AB y

−→CD son equipolentes,

es decir, tienen la misma direccion, el mismo sentido y el mismo modulo. R es una relacion

de equivalencia y el conjunto cociente F/R es el conjunto de los vectores libres del espacio

ordinario.

Definicion 2.21 Dado un conjunto A y una relacion R en A, se dice que es una relacion

de orden si verifica las propiedades reflexiva, antisimetrica y transitiva. Cuando en A

hay definida una relacion de orden se dice que A es un conjunto ordenado. Si ∀ a, b ∈ A

distintos se tiene que son comparables, es decir, aRb o bRa, entonces se dice que el orden

en A es total o que A esta totalmente ordenado. En caso contrario se dice que el orden

es parcial o que A esta parcialmente ordenado. Cuando R es una relacion de orden suele

representarse por ≤.

Definicion 2.22 Sea (A,≤) un conjunto ordenado y sea X ⊂ A. Se dice que X esta aco-

tado superiormente (resp. inferiormente) si existe un k ∈ A tal que x ≤ k (resp. k ≤ x)

∀x ∈ X. A k se le denomina una cota superior (resp. cota inferior) de X. Si un conjunto

X esta acotado superior e inferiormente se dice que esta acotado. Se llama supremo (resp.

ınfimo) de X, a la menor (resp. mayor) de las cotas superiores (resp. inferiores).

Definicion 2.23 Sea (A,≤) un conjunto ordenado. Si existe un elemento a en A tal que

a ≤ b para todo elemento de A se dice que a es el primer elemento. Se dice que el conjunto

A esta bien ordenado o que el el orden en A es bueno si cualquier subconjunto X de A

tiene primer elemento.



2.7. Aplicaciones entre conjuntos

Definicion 2.24 Sean dos conjuntos A y B, una aplicacion f de A en B es una relacion

binaria o correspondencia f de A en B que asocia a cada elemento de A un elemento y

solo uno de B; se denota por f : A −→ B o Af−→ B. Equivalentemente, una relacion

o correspondencia f ⊂ A × B es una aplicacion si ∀x ∈ A ∃ ! y ∈ B | y = f(x), lo que

tambien se indica por (x, y) ∈ f . Tambien es muy usual el diagrama sagital:

f : A −→ B

x 7−→ y = f(x)

para indicar el “funcionamiento” de una aplicacion.

En toda aplicacion el conjunto inicial coincide con el Dom f . ∀x ∈ Dom f se llama imagen

de x al elemento de B que le corresponde a x y se denota por f(x). Dado un subconjunto

Y ⊂ B se llama imagen inversa o recıproca de Y y se denota por f−1(Y ) al subconjunto

de A siguiente:

f−1(Y ) = {x ∈ A|f(x) ∈ Y }.

Dado un subconjunto X ⊂ A se llama imagen de X al subconjunto de B siguiente:

f(X) = {y ∈ B|∃x ∈ X, y = f(x)}.

Tipos de aplicaciones:

Sea f : A −→ B una aplicacion entre los conjuntos A y B; por tanto Dom f = A.

f se dice inyectiva si no hay dos elementos en A distintos que tengan la misma imagen,

simbolicamente, si ∀x, x′ ∈ A tales que f(x) = f(x′) necesariamente x = x′.

Se dice que f es suprayectiva o sobreyectiva si ∀ y ∈ B ∃x ∈ A | y = f(x), es decir, si

f−1(B) = A.

Si la aplicacion f es inyectiva y suprayectiva se dice que f es biyectiva.

Dados dos conjuntos A y B se dice que el cardinal de A es menor o igual que el de B y

se escribe ası CardA ≤ CardB si existe una aplicacion inyectiva de A en B. Se dice que

el cardinal de A es mayor o igual que el de B y se escribe ası CardA ≥ B si existe una

aplicacion suprayectiva de A sobre B.

Definicion 2.25 Dadas dos aplicaciones f : A −→ B y g : B −→ C se define la aplicacion

compuesta de f y g como la aplicacion g ◦ f : A −→ C dada por

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) ∀x ∈ A.

La composicion de aplicaciones no es conmutativa.



Ejemplo 2.1 Sean las aplicaciones

f : IR −→ IR

x 7−→ f(x) = x2

g : IR −→ IR

x 7−→ g(x) = x+ 1

entonces es

g ◦ f : IR −→ IR

x 7−→ (g ◦ f)(x) = x2 + 1

f ◦ g : IR −→ IR

x 7−→ (f ◦ g)(x) = (x+ 1)2

luego (f ◦ g) = (g ◦ f).

Pasemos ahora a dar otra definicion equivalente de producto cartesiano de conjuntos.

Definicion 2.26 Sea {Ai}i∈I una familia arbitraria de conjuntos; se llama producto car-

tesiano generalizado de los Ai al conjunto∏i∈I

Ai = {x : I −→∪i∈I

Ai|x es aplicacion y x(i) ∈ Ai ∀ i ∈ I}.

Esta definicion es equivalente a la definicion dada de producto cartesiano de un numero

finito de conjuntos, pues hay una biyeccion entre los conjuntos

{x : {1, . . . , n} −→n∪

i=1

Ai|x es aplicacion y x(i) ∈ Ai ∀ i = 1, . . . , n} y

{(x1, . . . , xn)|xi ∈ Ai, ∀ i = 1, . . . , n}.

2.8. Ejercicios

1. Sean X e Y dos conjuntos y f : X −→ Y una aplicacion. Demostrar las siguientes

afirmaciones:

a) f(A ∪B) = f(A) ∪ f(B) ∀A,B ⊂ X.

b) f(A ∩B) ⊂ f(A) ∩ f(B) ∀A,B ⊂ X.

c) f(A)− f(B) ⊂ f(A−B) ∀A,B ⊂ X.

d) A ⊂ B =⇒ f(A) ⊂ f(B) ∀A,B ⊂ X.

e) A ⊂ f−1(f(A) ∀A ⊂ X.

f ) C ⊂ D =⇒ f−1(C) ⊂ f−1(D) ∀C,D ⊂ Y .

g) f−1(C ∪D) = f−1(C) ∪ f−1(D) ∀C,D ⊂ Y .

h) f−1(C ∩D) = f−1(C) ∩ f−1(D) ∀C,D ⊂ Y .

i) f−1(C −D) = f−1(C)− f−1(D) ∀C,D ⊂ Y .



j ) f−1(Dc) = (f−1(D))c ∀D ⊂ Y .

2. Sean X e Y dos conjuntos y f : X −→ Y una aplicacion. Demostrar las siguientes

afirmaciones:

a) Si f es inyectiva entonces f(A ∩B) = f(A) ∩ f(B) ∀A,B ⊂ X.

b) Si f es inyectiva A = f−1(f(A) ∀A ⊂ X.

3. Analizar de que tipo son las siguientes aplicaciones:

f : IR −→ IR

x −→ f(x) = x2

g : IR −→ IR

x −→ g(x) = x2 + x− 1

h : IR− {1} −→ IR

x −→ h(x) =x+ 1

x− 1

4. Sea U = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, a, b, c, d, e, f, g} el conjunto de referencia. En el se

consideran los conjuntos

A = {1, 2, 4, 6, 8, b, c, d, f}, B = {1, 4, 7, a, d, g}, C = {3, 5, 9, a, e}

Calcular:

A∪B,B∪C, (A∪B)∪C,A∩C, (A∩B)∩C,Ac, (A∪B)c, (A∩B)c,P(C),P(A∩C).

5. En un bazar hay mas televisores que videos, mas videos con programador que tele-

visores con mando a distancia, mas videos con parada de imagen y sin programador

que televisores en blanco y negro y sin mando a distancia. Demostrar que hay menos

videos sin programador y sin parada de imagen que televisores en color y sin mando

a distancia.

6. Probar si las siguientes afirmaciones son V o F:

a) A ⊂ X y B ⊂ Y =⇒ A×B ⊂ X × Y .

b) Sean A,B,C conjuntos; entonces A× C = B × C =⇒ A = B.

c) A× (B ∪ C) = (A×B) ∪ (A× C).

d) A× (B ∩ C) = (A×B) ∩ (A× C).

7. Sea R la relacion definida en IQ − {0} por xRy ⇐⇒ ∃ a, b ∈ IQ − {0} tales que

y = axb−1. Probar que R es una relacion de equivalencia en IQ − {0} y determinar

el conjunto cociente modulo R.


Capıtulo 3

Leyes de composicion u operaciones

3.1. Leyes de composicion internas y externas

Definicion 3.1 Sea A un conjunto no vacıo. Una ley de composicion interna u operacion

interna en A es una aplicacion f : A× A −→ A.

(a, b) 7−→ f(a, b)

La imagen del elemento (a, b) ∈ A × A mediante la aplicacion f suele representarse

mediante algun signo, por ejemplo, ∗,+, ·, ◦, etc.; ası, se escribe f(a, b) = a ∗ b y se llama

el transformado de (a, b) respecto de la operacion “∗”.

Definicion 3.2 Sean A,X dos conjuntos no vacıos. Una ley de composicion externa u

operacion externa en A es una aplicacion f : X × A −→ A.

(λ, a) 7−→ f(λ, a)

La imagen del elemento (λ, a) ∈ X × A mediante la aplicacion f suele representarse

tambien mediante algun signo, por ejemplo, ∗,+, ·, ◦, etc.; ası, se escribe f(λ, a) = λ ◦ ay se llama el transformado de (λ, a) respecto de la operacion “◦”.

3.2. Estabilidad respecto de una relacion de equiva-

lencia R

Definicion 3.3 Sean R y “∗” una relacion de equivalencia y una ley de composicion

interna respectivamente definidas en el conjunto A; se dice que “∗” es estable respecto de

R cuando se cumple:

a1Ra2, b1Rb2 =⇒ (a1 ∗ b1)R(a2 ∗ b2)

27


Se dice tambien, en este caso, que la relacion de equivalencia R es compatible con la ley

de composicion interna “∗”.

Teorema 3.1 Sean R y “∗” una relacion de equivalencia y una ley de composicion interna

respectivamente definidas en el conjunto A; si “∗” es estable respecto de R entonces la

correspondencia

f : (A/R)× (A/R) −→ A/R

([a], [b]) 7−→ f(([a], [b])) = [a ∗ b]

es una ley de composicion interna en el conjunto cociente A/R.

Demostracion:

Hay que probar que f es aplicacion, es decir, que la clase [a ∗ b] no depende de los

representantes a y b; en efecto, si [a′] = [a] y [b′] = [b] entonces a′ ∈ [a] y b′ ∈ [b] luego

aRa′ y bRb′. Pero por la estabilidad de “∗” (a ∗ b)R(a′ ∗ b′) y ası [a ∗ b] = [a′ ∗ b′].Nota:

La ley de composicion interna en A/R ası definida se suele denotar con el mismo signo;

en el ejemplo anterior serıa [a] ∗ [b] = [a ∗ b].

Ejemplo 3.1 Si consideramos la relacion de equivalencia R definidida en IN × IN por

(a, b)R(a′, b′)⇐⇒ a+ b′ = b+ a′ y la ley de composicion interna en IN× IN dada por

+ : (IN× IN)× (IN× IN) −→ IN× IN

((a, b), (c, d)) 7−→ (a, b) + (c, d) = (a+ c, b+ d)

entonces + es estable respecto de R. Se identifica ((IN× IN)/R,+)con el conjunto (ZZ,+)

de los numeros enteros con la adicion ordinaria.

3.3. Propiedades

Las posibles propiedades que puede tener una ley de composicion interna “∗” en un

conjunto A son:

1. Asociativa:

a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c ∀ a, b, c ∈ A

2. Conmutativa

a ∗ b = b ∗ a ∀ a, b ∈ A



3. Elemento neutro

e ∈ A es un elemento neutro en A respecto de“∗”si e ∗ x = x = x ∗ e ∀x ∈ A.

Si existe un elemento neutro e ∈ A, este es unico; en efecto, si e′ ∈ A es otro

elemento neutro en A entonces, en particular, e ∗ e′ = e′ = e′ ∗ e, por ser e neutro.

Pero por ser e′ neutro es e′ ∗ e = e = e ∗ e′, luego e = e′.

Cuando la notacion es aditiva, “+” , el elemento neutro se denota por 0, y cuando

es multiplicativa, “·” , por 1.

4. Elemento simetrico

Si ∃ e ∈ A elemento neutro respecto de la operacion “∗” , y a, a′ ∈ A verifican

a∗a′ = e = a′ ∗a se dice que a y a′ son simetricos. Cuando la notacion es aditiva, se

habla de elemento opuesto o contrario respecto de + y se denota por −a, y cuando

la notacion es multiplicativa se habla de elemento inverso y se escribe a−1.

5. Idempotente

a ∗ a = a, ∀ a ∈ A.

6. Absorbente

Se llama ası a todo elemento a ∈ A | a ∗ x = a = x ∗ a ∀x ∈ A.

7. Distributiva

Dadas dos leyes de composicion internas en A, “∗” y “◦” , se dice que la ley “∗” es

distributiva a izquierda respecto de “◦” , si

a ∗ (b ◦ c) = (a ∗ b) ◦ (a ∗ c) ∀ a, b, c ∈ A

y se dice que es doblemente distributiva a izquierda si ademas

a ◦ (b ∗ c) = (a ◦ b) ∗ (a ◦ c) ∀ a, b, c ∈ A

La distributividad a derecha se define de forma analoga, y si se verifica a ambos

lados se dice que es distributiva o doblemente distributiva respectivamente.

Proposicion 3.1 Sea A un conjunto en la que hay definida una ley de composicion

interna. Dado a ∈ A, el simetrico de a, si existe, es unico. Pruebese como ejercicio.

Teorema 3.2 Sea A un conjunto en el que hay definidas una relacion de equivalencia R

y una ley de composicion interna “∗” , estable respecto R. Entonces la ley de composi-

cion interna inducida en el conjunto cociente A/R tiene las mismas propiedades que la

operacion definida en A. Pruebese como ejercicio.



Definicion 3.4 Se dice que un elemento a ∈ A es regular o simplificable a derecha (resp.

a izquierda) si b ∗ a = c ∗ a =⇒ b = c (resp. a ∗ b = a ∗ c =⇒ b = c), ∀ b, c ∈ A. Finalmente

se dice que el elemento es regular o simplificable si lo es a ambos lados.

Proposicion 3.2 Sean A un conjunto y “∗” , una operacion en A asociativa y con ele-

mento neutro, entonces ∀ a ∈ A tal que tiene simetrico, a es simplificable. Pruebese como

ejercicio.

3.4. Ejercicios

1. Sea A = {a, b, c, d, e}. Se define en A una ley de composicion interna a traves de la

siguiente tabla:

∗ a b c d e

a a b c d e

b b c d e a

c c b c d e

d d a b c e

e e c b d a

Como es de suponer, para determinar el transformado del par (a, b), ha de buscarse

el elemento que esta en la primera fila y en la segunda columna, y con los demas

pares se procede de igual forma.

Analizar las propiedades que verifica la ley de composicion interna dada en A.

2. Calcular el numero de leyes de composicion internas que se pueden definir en un

conjunto finito de n elementos.

3. En el conjunto IN se definen las siguientes leyes de composicion:

a) a ∗ b = a2b

b) a△b =a+ b

2c) a ◦ b = 2ab

d) a⊥b =a+ b

1 + ab

Decir cuales de ellas son internas y analizar sus propiedades.

4. Estudiar si la relacion binaria R definida en IN por

∀x, y ∈ IN, xRy ⇐⇒ x|y (x divide a y)

es compatible con la suma y el producto de numeros naturales.


Capıtulo 4

Retıculos y algebras de Boole

4.1. Definiciones

Definicion 4.1 Sea C un conjunto no vacıo en el que hay definidas dos leyes de composi-

cion internas “∨” y “∧” ; se dice que la terna (C,∨,∧) es un retıculo si ambas operaciones

verifican las propiedades idempotente, asociativa, conmutativa y simplificativa. Si ademas

cumplen ambas la propiedad distributiva se dice que (C,∨,∧) es un retıculo distributivo.

Definicion 4.2 Si en un retıculo distributivo (C,∨,∧) existen elementos neutros:

a ∨ 0 = a = 0 ∨ a ∀ a ∈ C

a ∧ 1 = a = 1 ∧ a ∀ a ∈ C

y elemento complementario de uno dado

∀ a ∈ C ∃ a ∈ C | a ∨ a = 1 y a ∧ a = 0 se dice entonces que (C,∨,∧) es un algebra de

Boole.

4.2. Ejemplos

Ya se ha visto que el algebra de proposiciones y el algebra de las partes de un conjunto

son claros ejemplos de algebras de Boole. Veamos otro:

Interruptores en serie y en paralelo

Si en un circuito electrico hay conectados en serie dos interruptores A y B, se observa

que cuando ambos estan cerrados el circuito tambien lo esta y, por tanto, la bombi-

lla permanece encendida. En cualquier otro caso el circuito esta abierto y la bombilla,

por tanto, apagada. Analogamente, si los interruptores estan conectados en paralelo, solo

cuando ambos interruptores esten abiertos el circuito estara abierto, y la bombilla perma-

necera apagada; en cualquier otro caso el circuito esta cerrado y la bombilla se encendera.

31


Si indicamos con ≪ 1 ≫ el estado cerrado, con ≪ 0 ≫ el estado abierto y representamos

por A ∧B la conexion en serie y por A ∨B la conexion en paralelo se tienen las tablas:

A B A ∧B

1 1 1

1 0 0

0 1 0

0 0 0

A B A ∨B

1 1 1

1 0 1

0 1 1

0 0 0

••A B

Figura 4.1: Puerta ≪ AND ≫

•

•B

A

Figura 4.2: Puerta ≪ OR ≫

Es interesante considerar un interruptor que funcione al reves que los demas, es decir,

que al levantar la palanca del interruptor el circuito se cierre y al bajarla se abra. La

correspondiente tabla es:

A A

1 0

0 1



A •

Figura 4.3: Puerta ≪ NOT ≫

Proposicion 4.1 El conjunto de todos los interruptores con estas operaciones de cone-

xion, “∨” y “∧” , tienen estructura de algebra de Boole. Pruebese como ejercicio.

4.3. Ejercicios

1. Dado el retıculo pentagonal

0

b

c

1

a

Figura 4.4: Retıculo pentagonal

con las operaciones “∨” y “∧” , definidas por:

x ∨ y = sup(x, y) x ∧ y = ınf(x, y)

Demostrar que no es un algebra de Boole.

2. Demostrar que en un retıculo (C,∨,∧) distributivo, se verifica la implicacion:

a ∧ b = a ∧ c

y

a ∨ b = a ∨ c

=⇒ b = c



3. En una habitacion de tres estudiantes democratas, se desea instalar un circuito de

interruptores para la luz de modo que esta se encienda solamente cuando lo desee

la mayorıa, es decir, si dos o tres de los estudiantes pulsan su interruptor. Realizar

el montaje.

4. Encontrar la expresion correspondiente al circuito que se da a continuacion y hallar

su expresion mas simple utilizando las propiedades del algebra de Boole.

•

••

•A

B

B

A

Por tanto, al Rey de los siglos, inmortal, invisible, al unico y sabio Dios, sea honor y

gloria por los siglos de los siglos. Amen.

1 Timoteo 1:17


introducci on a la teor a de conjuntos - euskalnet.net · proposiciones y conectores ... sobre los...

Documents