17Física na Escola, v. 14, n. 1, 2016 Traçado da cáustica a partir de imagens do Google Maps

Introdução

Oestudo das imagens formadas porespelhos curvos é um tópicosempre presente na apresentação

da óptica do Ensino Médio. A exposiçãodesse conteúdo nos livros didáticos volta-dos para essa fase de aprendizagem é uni-forme, concentrando-se no estudo dasimagens conjugadas por espelhos esféricosditos gaussianos [1-9]. A modelagem geo-métrica e algébrica desses espelhos obedeceàs condições de aproximação de Gauss,que podem ser resumidas na necessidadede raios paraxiais (próximos ao eixo prin-cipal) e em uma pequena curvatura doespelho.

A citação de espelhos cilíndricos é rara[6] nos livros-texto de física do EnsinoMédio, apesar de diversos objetos cotidia-nos (e até mesmo edifícios) espelhados seassemelharem aos mesmos. De formaparadoxal, embora algumas das obrasdidáticas façam referência somente a espe-lhos esféricos em seus textos, as mesmasapresentam fotografias de espelhos cilín-dricos côncavos ou convexos como exem-plos [1,7].

A cáustica, importante aberraçãomonocromática comum em espelhoscurvos, também não costuma mereceratenção dessas obras, sendo poucas asmenções ao fenômeno [9]. Em um espelhoesférico gaussiano,um feixe de raios pa-ralelos ao eixo princi-pal irá convergir nofoco de um espelhocôncavo (ou divergir apartir do foco de umespelho convexo), umponto localizado nametade do raio(Fig. 1). Entretanto, em um espelho não-gaussiano, como uma seção circular deuma esfera ou cilindro, esse feixe de raiosparalelos não observará convergência ou

Jair Lúcio Prados RibeiroPrograma de Pós-Graduação emEducação em Ciências, Universidade deBrasília, Brasília, DF, BrasilE-mail: jairlucio@gmail.com○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

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A ferramenta de busca Google Maps exibefotografias aéreas dos prédios de formatocilíndrico da Procuradoria Geral da República,localizados em Brasília, circundados porprojeções de raios de luz refletidos em suafachada espelhada. Neste artigo, é apresentadauma atividade prática para o traçado da curvacáustica por estudantes de Ensino Médio, apartir do prolongamento das projeçõesobservadas nessas fotografias. A atividadepermite estabelecer uma conexão entre osprincípios da óptica e a arquitetura, rara naliteratura acadêmica.

divergência total em um único ponto, sen-do que o entrecruzamento dos raios se dáao longo de uma curva característica,chamada cáustica (Fig. 1). Essa aberraçãopode facilmente ser observada em umaxícara exposta à luz do Sol [10] ou emoutro recipiente que tenha formato cilín-drico, conforme mostrado na Fig. 2.

Um detalhamento algébrico sobre acáustica está disponível em diversos textos[10-12], mas a nosso ver, não é necessáriatal apresentação no Ensino Médio, sendopreferível a exposição do tema de formaqualitativa ou experimental. Todavia, dis-cordamos da sua ausência no conteúdoprogramático, dada a importância de seenfatizar junto aos estudantes que ascondições de Gauss são aproximativas. Aênfase nessa simplificação termina pordeixar de lado o estudo ou mesmo a men-ção das aberrações monocromáticas,como a cáustica, a distorção de campo eo astigmatismo, as quais são responsáveispelos inusitados formatos que as imagensconjugadas por esses espelhos assumem.

Atividade experimental

Em 2005, a empresa estadunidenseGoogle lançou o serviço gratuito GoogleMaps, que permite a visualização de ma-pas e imagens de satélite da Terra em dis-positivos ligados à rede mundial decomputadores.1 Desde a sua inauguração,

o serviço tem sidoexplorado como ferra-menta didática, assimcomo seu produto de-rivado, o Google Earth.Por vezes as atividadespedagógicas são maisevidentes, como noestudo de temas dageografia [13] ou geo-

morfologia [14], mas também há propos-tas didáticas em campos relativos àsciências naturais, como a medição de dis-tâncias por métodos geométricos [15], o

De forma paradoxal, emboraalgumas das obras didáticasfaçam referência somente aespelhos esféricos em seus

textos, as mesmas apresentamfotografias de espelhos cilíndri-cos côncavos ou convexos como

exemplos

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cálculo de velocidades de barcos a partirde leis físicas [16], o estudo de ondas [17],a determinação da declinação magnéticade uma localidade [18] ou o significadodos números em pistas de pouso de aviões[18]. Nesse artigo, é proposta umaatividade pedagógica prática de traçadogeométrico da curva cáustica por estu-dantes no Ensino Médio a partir de ima-gens disponíveis na ferramenta de busca.

Durante a fase de pesquisa para umartigo [19] sobre a modelagem óptica dosprédios da Procuradoria Geral da Repú-blica (PGR) em Brasília (Fig. 3), observa-mos um fenômeno luminoso inusitado naimagem disponível no Google Maps paraos dois edifícios cilíndricos principais quecompõem o conjunto arquitetônico daPGR, projetado por Oscar Niemeyer [20].Ao redor da vista superior do edifício, li-nhas luminosas estavam projetadas nochão, devido à reflexão da luz solar nasfachadas cilíndricas cobertas por vidrosespelhados (Fig. 4).

Foi percebido ainda que as imagensapresentadas pelo Google Maps são variá-veis: ao acessarmos o sítio uma semanadepois, outra fotografia aérea dos edifíciosda PGR foi apresentada (Fig. 5), na qualos raios projetados têm maior dimensão.Por vezes, acessamos na mesma data a fer-ramenta de busca, em máquinas diferen-tes, e observamos duas fotografias distin-tas. Entretanto, ambas as imagens obtidasforam consideradas úteis para a atividadeprática proposta nesse trabalho, pois, nosdois casos, as fotografias apresentam umavisão superior dos prédios, equivalente aseções transversais circulares dos cilindrosrefletores.

O fenômeno observado nas imagensaéreas da PGR revelou-se excepcional. Fo-ram buscados na ferramenta outrosedifícios também de formato cilíndrico,2

para fins de comparação com as edifica-ções da PGR, entretanto nenhuma dasfotografias dessas outras edificações reve-lou a projeção no solo de raios refletidosem suas janelas. Foi percebido que essaausência pode ser causada por diversosfatores, tais como a baixa resolução dasimagens, a pequena área ocupada pelasjanelas na fachada, o uso de vidros sempelícula refletora, o ângulo em que a foto-grafia foi obtida (resultando em uma vistaquase lateral do cilindro, ao invés da vistasuperior) ou o posicionamento do prédiono terreno, sendo comum que outra cons-trução (ou sua sombra) cubra a área ondeos raios refletidos poderiam estar proje-tados.

Uma impressão da Fig. 5 foi usadano desenvolvimento da atividade práticacom estudantes de Ensino Médio, versan-

Figura 1. Comparação entre espelhos reais de seção circular e espelhos esféricos gaussianos.

Figura 2. Cáustica de reflexão na superfície côncava interna de um recipiente cilíndricoexposto à incidência da luz solar, conforme sugestão da Ref. [10].

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do sobre a cáustica em espelhos convexose as limitações das aproximações deGauss. As reproduções da fotografia fo-ram impressas em papel A4 e cobertascom papel de seda. Cada estudante deveriatraçar nesse papel transparente, com lápise régua, os prolongamentos dos raiosrefletidos e verificar onde estavam locali-

Traçado da cáustica a partir de imagens do Google Maps

Figura 3. Visão do conjunto arquitetônico da Procuradoria Geral da República, em Brasília.A película que reveste os vidros não é azul, podendo refletir todo o espectro. Como afotografia foi obtida em um dia claro e sem nuvens, a imagem refletida do céu forneceua tonalidade azulada.

Figura 4. Raios de luz refletidos na fachada da PGR são projetados no solo. Fonte: GoogleMaps, https://www.google.com.br/maps/@-15.8076342,-47.8595607,143m/data=!3m1!1e3?hl=pt-BR, acesso 3 maio 2015.

zados os pontos de maior concentração,interligando-os em seguida (Fig. 6).

A Fig. 6 apresenta uma variante digi-tal da atividade realizada pelos alunos,sobre a imagem de apenas um dos prédiosda PGR. O traçado dos prolongamentosfoi feito por meio de um programa de edi-ção gráfica, para maior precisão. Nessa

figura, é possível perceber que os prolon-gamentos dos raios de luz não se encon-tram em um único ponto (foco virtual),como seria esperado em um espelhogaussiano, mas sim ao longo da cáustica,mostrando as limitações das condições deaproximação usadas em óptica para osobjetos do cotidiano.

Discussão dos resultados

Durante a atividade, um questiona-mento se revelou frequente entre os estu-dantes: em que ponto o prolongamentodos raios deveria ser interrompido? Deacordo com a Fig. 1, os feixes podem serprolongados indefinidamente, sendo acáustica formada pelos pontos onde a con-centração dos feixes da luz refletida émaior. Na atividade proposta, os prolon-gamentos desenhados a lápis terminampor formar regiões mais escuras, devidoà maior concentração de retas em umaregião, evidenciando a cáustica. Na Fig. 6,para que a curva se tornasse mais visível,o comprimento dos prolongamentos foilimitado.

A cáustica desenhada pelos estudantesfoi comparada com a situação experimen-tal proposta pela Ref. 10 (xícara expostaà radiação solar), para que uma compa-ração entre os espelhos côncavos (conver-gentes) e os convexos (divergentes) pu-desse ser estabelecida. O traçado da cáus-tica pelo método descrito permitiu aindaa possibilidade de se encontrar a posiçãodo foco virtual (região de maior concen-tração dos prolongamentos, resultandoem uma mancha escura no papel de seda),sendo possível verificar que essa locali-zação coincide com a aproximação deGauss (metade do raio). A partir da ligaçãodo centro da seção circular com esse foco,foi possível também determinar a direçãoaproximada em que o Sol se localizava,no momento da fotografia, em relação àrosa-dos-ventos.

Além do método de traçado dacáustica apresentado, é possível a amplia-ção da discussão para outros tópicos. Seambas as imagens forem utilizadas, porexemplo, o tamanho e a posição da som-bra podem ser discutidos com os estudan-tes. Tanto os raios quanto as sombras naFig. 5 são maiores que aqueles constantesda Fig. 4, indicando diferenças no horárioem que as fotografias foram obtidas. Nãoé possível, entretanto, afirmar de formacategórica o horário em que cada foto foiobtida, pois os momentos do nascente edo poente são variáveis com a época doano, assim como a “trajetória” apresen-tada pelo Sol é variável a cada dia. Apesardisso, parece provável que a imagempresente na Fig. 4 tenha sido obtida em

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Figura 5. Raios de luz refletidos na fachada da PGR são projetados no solo. Fonte: GoogleMaps, https://www.google.com.br/maps/@-15.8074881,-47.8592644,72m/data=!3m1!1e3?hl=pt-BR, acesso 9 maio 2015.

Figura 6. Resultado esperado na atividade didática realizada sobre a Fig. 5, com avisualização da curva cáustica.

um horário próximo à ocorrência do zê-nite solar (meio-dia), pois tanto a sombraquanto a projeção dos raios refletidosapresentam pequena dimensão, indicandouma incidência quase vertical da radiaçãosolar.

Conclusões e perspectivas

Uma limitação do método apresen-tado para o traçado da cáustica reside na

captação de uma fotografia plana de umasituação tridimensional. Os raios de luzoriundos do Sol não são paralelos ao eixoprincipal da seção circular do cilindro,sendo inclinados em relação ao plano hori-zontal que contém esse eixo. Se projetadosem um terreno desnivelado, os prolonga-mentos dos feixes de luz observadosapresentarão distorção e não permitirãoque a cáustica seja percebida. A fotografia

também deve ser obtida em uma posiçãodiretamente superior ao edifício, fato quenem sempre é verificado nas imagens doGoogle Maps. O método produziu bonsresultados no caso apresentado devido auma particularidade da projeção quasehorizontal dos raios, dada a predileção deOscar Niemeyer por terrenos bastanteplanos para seus projetos. Essa horizon-talidade minimizou as eventuais distor-ções que poderiam ser observadas em umterreno com inclinação variável.

Reconhecemos que a utilização de ummodelo simplificado, tal como a formaçãode imagens quando obedecidas as condi-ções de aproximação de Gauss, é vantajosapara a apresentação de temas no EnsinoMédio. Entretanto, sempre que possível, assimplificações constantes do modelo devemser discutidas ou apresentadas para osestudantes. O tradicional lema da ópticageométrica expresso por “raios paralelos aoeixo principal de um espelho se concentramno foco após reflexão” pode se revelarinócuo se não puder ser demonstrado porum experimento - ou, no caso descrito,refutado pelo mesmo. A posição do focono ponto médio do raio da seção trans-versal, se não evidenciada de forma expe-rimental, pode se revelar para os estudantescomo um mero item a ser memorizado.

Esse trabalho buscou ainda mostraruma conexão interdisciplinar poucoexplorada na literatura acadêmica, entreos campos da arquitetura e da física.Acreditamos que a formação dos profis-sionais dessas áreas seja tão distinta quetermina por padronizar o diálogo entreessas linguagens acadêmicas, sendofrequente apenas em temas específicos,tais como o conforto térmico ou acústicode uma edificação. Entretanto, obrasarquitetônicas são por vezes as criaçõesartísticas mais usuais no cotidiano de umestudante, por não estarem confinadas aespaços especiais - ao contrário, elas cons-tituem o próprio espaço.

Seja em arranha-céus ou prédios demenores dimensões, fachadas revestidaspor vidros refletores se tornaram umatônica na arquitetura pós-modernista, aomenos nas grandes cidades, desde os anos1970. Assim, consideramos relevante quesejam buscadas inovadoras formas deexploração de tal onipresença de superfí-cies espelhadas de grande dimensão e comformatos variados por professores e pes-quisadores da área de ensino da óptica.

Notas1Segundo a Ref. [18], a maioria das ima-gens disponíveis no Google Maps são re-produções de fotografias obtidas poraviões equipados com câmeras, e não por

21Física na Escola, v. 14, n. 1, 2016

Referências

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o hospital Winnie Palmer (Orlando, EUA),o hotel Lakeside Inn (Ontario, Canadá), oMcIntyre Medical Sciences Building(Montreal, Canadá), os centros empresa-

riais Nai Towers (Aichi, Japão) e AzrieliCenter Circular Tower (Tel Aviv, Israel) ea sede da companhia Phoenix Co. Inc.(Hartford, EUA).

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[20] Google Maps, prédio da ProcuradoriaGeral da República, https://www.goog l e . com.br/maps/@-15.8074881,-47.8592644,72m/data=!3m1!1e3?hl=pt-BR, acesso em22 abril 2015.

Traçado da cáustica a partir de imagens do Google Maps

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