introdução àsálgebras de operadores

Introducao as Algebras deOperadores

Amelia Bastos, Claudio Fernandes, Pedro A. Santos

2011

Conteudo

1 Teoria espectral em algebras de Banach 71.1 Definicao de algebra de Banach. Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2 Invertibilidade e espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.2.2 Espectro e conjunto resolvente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2.3 Raio espectral. Teorema de Gelfand-Mazur . . . . . . . . . . . . 151.2.4 Espectro e subalgebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.3 Ideais e invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.1 Ideais e ideais maximais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221.3.2 Radical de uma algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4 Funcionais lineares multiplicativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271.5 Calculo funcional holomorfo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301.6 Classes de algebras de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.6.1 A algebra dos operadores lineares limitados . . . . . . . . . . . 351.6.2 A algebra das funcoes contınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.7 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

2 Representacoes de algebras de Banach 492.1 A transformada de Gelfand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

2.1.1 Transformada e transformacao de Gelfand . . . . . . . . . . . . 492.1.2 A transformacao de Gelfand em L1(R) . . . . . . . . . . . . . . 53

2.2 Representacoes de algebras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 582.2.1 Definicao de representacao. Lema de Schur . . . . . . . . . . . . 582.2.2 Algebras primitivas. Ideais primitivos . . . . . . . . . . . . . . . 602.2.3 Modulos e representacoes de algebras . . . . . . . . . . . . . . . 66

2.3 Princıpios locais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.1 Princıpio local de Allan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 682.3.2 Princıpio local de Gohberg-Krupnik . . . . . . . . . . . . . . . . 72

2.4 Algebras com identidade polinomial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4.1 Identidades polinomiais standard . . . . . . . . . . . . . . . . . 762.4.2 Sımbolos matriciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3

4 CONTEUDO

2.5 Algebras geradas por duas projeccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 872.6 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

3 Fundamentos de algebras C∗ 973.1 Algebras C∗. Propriedades elementares . . . . . . . . . . . . . . . . . . 973.2 1o Teorema de Gelfand-Naimark. Calculo funcional contınuo . . . . . . 1023.3 Elementos positivos em algebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1073.4 A algebra C∗ dos operadores lineares limitados . . . . . . . . . . . . . . 110

3.4.1 Operadores de projeccao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1113.4.2 Isometrias parciais. Decomposicao polar . . . . . . . . . . . . . 113

3.5 Teorema espectral para operadores normais . . . . . . . . . . . . . . . . 1163.5.1 Medidas espectrais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1173.5.2 Algebras C∗ comutativas e medidas espectrais . . . . . . . . . . 1203.5.3 Teorema espectral para operadores normais. Calculo funcional

de Borel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1273.6 Construcao de algebras C∗. Algebra limite indutivo . . . . . . . . . . . 1293.7 Algebras C∗ sem unidade. Unitalizacao e aproximacao da unidade . . . 134

3.7.1 Unitalizacao de uma algebra C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1353.7.2 Aproximacao da unidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

3.8 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

4 Representacoes de algebras C∗ 1534.1 Funcionais lineares positivos. Estados puros . . . . . . . . . . . . . . . 153

4.1.1 Funcionais lineares positivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1534.1.2 Estados puros. Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.2 Representacoes. Construcao de Gelfand-Naimark-Segal . . . . . . . . . 1684.2.1 Representacoes nao-degeneradas, cıclicas e irredutıveis . . . . . 1684.2.2 Representacoes unitariamente equivalentes . . . . . . . . . . . . 1734.2.3 Construcao de Gelfand-Naimark-Segal. 2oTeorema de Gelfand-

Naimark . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1754.2.4 Representacoes irredutıveis e estados puros . . . . . . . . . . . . 1794.2.5 Extensoes e restricoes de representacoes . . . . . . . . . . . . . . 184

4.3 Classes de Algebras C∗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.3.1 Algebras CCR e GCR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1894.3.2 Algebras C∗ universais. Algebra de Cuntz. Algebra de rotacao.

Algebra de Toeplitz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1964.4 Exercıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

5 Introducao as algebras de von Neumann 2035.1 Definicao de algebra de von Neumann. Teorema do bicomutante . . . . 203

5.1.1 Topologia forte e fraca em L(H) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203

CONTEUDO 5

5.1.2 Algebras de von Neumann. Teorema do bicomutante . . . . . . 2085.2 Algebras de von Neumann e projeccoes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2125.3 Teorema da densidade de Kaplansky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2195.4 Algebras de von Neumann comutativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

5.4.1 A algebra C∗ dos operadores de multiplicacao . . . . . . . . . . 2265.4.2 Algebras de von Neumann comutativas em espacos separaveis . 229

5.5 Comparacao de projeccoes em algebras de von Neumann . . . . . . . . 2355.5.1 Equivalencia de projeccoes e decomposicao polar . . . . . . . . . 2355.5.2 Ordenacao das classes de projeccoes . . . . . . . . . . . . . . . . 2425.5.3 Projeccoes centrais. Teorema da comparabilidade . . . . . . . . 245

5.6 Decomposicao de algebras de von Neumann . . . . . . . . . . . . . . . 249

6 Algebras de grupo. Produtos cruzados C∗ 2576.1 A algebra L1(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.1.1 Grupos localmente compactos. Definicoes e exemplos . . . . . . 2576.1.2 A medida de Haar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.1.3 A algebra L1(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.2 Representacao unitaria de um grupo. Representacao regular esquerdade L1(G) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257

6.3 Algebras de grupo e grupos mediaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.3.1 Grupos mediaveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2576.3.2 Algebras de grupo e algebras de grupo reduzidas . . . . . . . . . 257

6.4 Sistema dinamico C∗. Produto cruzado discreto. Representacoes . . . . 2576.4.1 Sistemas dinamicos C∗. Representacoes covariantes . . . . . . . 2576.4.2 Produto cruzado discreto. Representacoes regulares . . . . . . . 257

Capıtulo 1

Teoria espectral em algebras deBanach

Neste capıtulo apresentam-se os resultados basicos da teoria espectral em algebrasde Banach. Inicia-se o capıtulo com conceitos fundamentais, introduzindo-se o con-ceito de invertibilidade e estabelecendo-se condicoes suficientes para a invertibilidadede elementos da algebra. Define-se conjunto resolvente e espectro de um elemento,indicando-se uma formula para o raio espectral. Mostra-se que o espectro e nao vazioe compacto e estabelece-se o teorema de Gelfand-Mazur. Analisa-se a relacao entre oespectro de um elemento numa algebra de Banach e o espectro desse mesmo elementonuma subalgebra de Banach a que pertenca. Introduzem-se resultados basicos fazendointervir a nocao de ideal bem como a nocao de funcional linear multiplicativo, emparticular, relacionam-se estes conceitos com a invertibilidade na algebra.

O calculo funcional holomorfo, que permite que se definam novos elementos de umaalgebra de Banach a partir de funcoes holomorfas em abertos que contem o espectro deoutros elementos, e um dos resultados importantes do capıtulo com o qual e possıvelestabelecer o teorema da aplicacao espectral.

Conclui-se este capıtulo analisando duas classes de algebras de Banach: a algebrados operadores lineares limitados num espaco de Banach e a algebra das funcoescontınuas num espaco de Hausdorff compacto.

1.1 Definicao de algebra de Banach. Exemplos

Definicao 1.1.1. Uma algebra A sobre um corpo K e um espaco vectorial sobre K aoqual se associa uma operacao A×A → A que usualmente se designa por multiplicacao,tal que para a, b, c ∈ A e λ ∈ K se tem:

7

8 CAPITULO 1. TEORIA ESPECTRAL EM ALGEBRAS DE BANACH

(i) (ab) c = a (bc);1

(ii) (a+ b) c = ac+ bc, a(b+ c) = ab+ ac;

(iii) (λa) b = a (λb) = λ (ab).

Se K = R a algebra diz-se real. Se K = C a algebra diz-se complexa.Uma algebra diz-se comutativa se a multiplicacao for comutativa, isto e

ab = ba, a, b ∈ A.

Um elemento e ∈ A diz-se elemento unidade not]eou identidade se

ea = ae = a, a ∈ A.

E facil verificar que a identidade, se existir, e unica, ja que supondo que existiam doiselementos unidade, e e e′,

e′ = e′e = e.

Sistematicamente designar-se-a pelo sımbolo “e” a identidade da uma algebra, casoexista. Se uma algebra A tem unidade, e a ∈ A e um elemento diferente de zero,define-se a0 := e.

Exemplo 1.1.1. O espaco 0, de dimensao nula, forma uma algebra trivial quandomunido da multiplicacao 0.0 := 0. Nesta algebra o elemento nulo e o elemento identi-dade coincidem. Esta e a unica algebra onde essa propriedade se verifica.

Exemplo 1.1.2. Um corpo K e sempre uma algebra sobre ele proprio com respeito asoperacoes de corpo. O conjunto Mn(K) de todas as matrizes n× n com elementos emK forma uma algebra com unidade, quando munido das operacoes matriciais habituais.

No estudo de espacos vectoriais, um dos conceitos importantes e o de isomorfismoentre espacos. Estende-se a seguir esse conceito a algebras.

Definicao 1.1.2. Sejam A1 e A2 algebras sobre o mesmo corpo K. Chama-se homo-morfismo a uma aplicacao Φ : A1 → A2 que para a, b ∈ A1 e λ ∈ K e tal que:

(i) Φ(a+ b) = Φ(a) + Φ(b);

(ii) Φ(λa) = λΦ(a);

1Neste livro consideramos apenas algebras associativas. Em algumas areas da Matematica, tambemse designam com o nome de “algebra” estruturas sem a propriedade associativa. Um exemplo seraoas algebras de Lie.

1.1. DEFINICAO DE ALGEBRA DE BANACH. EXEMPLOS 9

(iii) Φ(ab) = Φ(a)Φ(b).

No caso de A1 e A2 serem algebras com elementos unidade e1 e e2, respectivamente,diz-se que o homomorfismo e unital se Φ(e1) = e2.

Definicao 1.1.3. Duas algebras A1 e A2 dizem-se algebricamente isomorfas se existirum homomorfismo entre as algebras que e uma bijeccao.

Dado um subconjunto B de uma algebra A, diz-se que B e uma subalgebra de A sefor fechada para as operacoes herdadas. Se A for uma algebra com unidade e, e e ∈ B,diz-se que B e uma subalgebra unital de A.

Definicao 1.1.4. Uma subalgebra J de uma algebra A diz-se um ideal esquerdo (di-reito) em A se quaisquer que sejam a ∈ A, j ∈ J ,

aj ∈ J (ja ∈ J ).

Se J for um ideal esquerdo e direito, diz-se ideal bilateral ou simplesmente ideal.Qualquer algebra tem no mınimo dois ideais, 0 e a propria algebra. Estes ideais saoos ideais triviais. Aos ideais de uma algebra A diferentes da propria algebra da-se onome de ideais proprios.

Exemplo 1.1.3. Considere-se o intervalo real [r, t] com r, t ∈ R e r < t. O conjuntoC([r, t]) das funcoes contınuas f : [r, t] → C com as operacoes definidas por (f+g)(s) :=f(s)+ g(s), (λf)(s) := λf(s) e (fg)(s) := f(s)g(s), e a norma ∥f∥∞ := sups∈[r,t] |f(s)|,e uma algebra comutativa com elemento unidade. Os subconjuntos da forma IA :=f ∈ C([r, t]) : f(A) = 0, em que A ⊂ [r, t] sao ideais nesta algebra.

Tem-se estado a considerar nas algebras estruturas puramente algebricas. Seguida-mente procede-se a introducao de uma estrutura topologica e bornologica atraves dadefinicao de uma norma compatıvel com o produto algebrico.

Definicao 1.1.5. Uma algebra diz-se normada se nela se fixar uma norma ∥.∥ tal que,

∥a b∥ ≤ ∥a∥ ∥b∥, a, b ∈ A.

Definicao 1.1.6. Seja A um espaco de Banach. Diz-se que A e uma algebra de Banachse existir uma multiplicacao A×A → A que torne A uma algebra (Definicao 1.1.1) etal que:

(iv) ∥ab∥ ≤ ∥a∥∥b∥ para a, b ∈ A;


(v) Se existir elemento unidade e, tem-se ∥e∥ = 1.

Note-se que com a definicao anterior se garante a continuidade da multiplicacao.De facto,

∥xy−ab∥ = ∥xy−xb+xb−ab∥ = ∥x(y− b)+ (x−a)b∥ ≤ ∥x∥∥(y− b)∥+∥(x−a)∥∥b∥.

Definicao 1.1.7. Duas algebras de Banach A1 e A2 dizem-se topologicamente iso-morfas se existir um homomorfismo Φ : A1 → A2, contınuo e bijectivo. As algebrasdizem-se isometricas se o homomorfismo Φ for uma isometria, isto e,

∥Φ(a)∥A2 = ∥a∥A1 , a ∈ A1

. Um homomorfismo Φ : A1 → A2 diz-se uma contraccao se

∥Φ(a)∥A2 ≤ ∥a∥A1 , a ∈ A1

.Definicao 1.1.8. Sejam A uma algebra de Banach com unidade e, e a1, . . . , an ∈ A.Representa-se por alga1, . . . , an, e chama-se algebra gerada pelos elementos a1, a2,..., an e pela unidade e, a menor subalgebra fechada de A que contem a unidade de Ae os elemento a1, . . . , an.

Exemplo 1.1.4. Generalizando o exemplo 1.1.3, considere-se um espaco de Hausdorffcompacto X. O conjunto de todas as funcoes complexas, f : X → C, contınuas emX, munido das operacoes definidas ponto a ponto e com a norma do supremo, formauma algebra de Banach comutativa com unidade. Em geral representa-se por C(X) aalgebra das funcoes contınuas sobre X. Os conjuntos da forma MA := f ∈ C(X) :f(t) = 0, t ∈ A, com A subconjunto fechado de X, sao ideais fechados em C(X).

Exemplo 1.1.5. Se X e um espaco localmente compacto que nao e compacto, entaoC0(X), o conjunto de todas as funcoes contınuas que tendem para zero no infinito2,com as operacoes habituais definidas ponto a ponto e a norma do supremo, e umaalgebra de Banach comutativa sem elemento unidade.

Exemplo 1.1.6. As algebras dos dois exemplos anteriores sao na realidade subalgebrasfechadas da algebra L∞(X), algebra das classes de funcoes mensuraveis essencialmentelimitadas em X, em que se identificam funcoes que se diferenciam apenas num conjuntode medida nula (medida de Haar a esquerda). A norma nesta algebra e definida por∥f∥ := sup ess |f |, que corresponde a norma do supremo no caso de a funcao sercontınua.

2Sendo X um espaco localmente compacto, diz-se que uma funcao contınua f ∈ C(X) se anula noinfinito se para qualquer ε > 0 existe um conjunto compacto K ⊆ X tal que |f(x)| < ε para qualquerx ∈ X \K.

1.2. INVERTIBILIDADE E ESPECTRO 11

Exemplo 1.1.7. Seja W o espaco das funcoes complexas definidas na circunferenciaunitaria T := ξ ∈ C : |ξ| = 1, com desenvolvimento em serie de potencias absoluta-mente convergente.

Se f ∈ W , tem-se

f(ξ) =+∞∑

n=−∞

fnξn com

+∞∑n=−∞

|fn| <∞.

Sendo f definida por uma serie de Fourier absolutamente convergente que tem comotermos funcoes contınuas, pelo criterio de Weierstrass , a serie e uniformemente con-vergente e f e uma funcao contınua.

Com a adicao, multiplicacao por escalares e multiplicacao em W definidas ponto aponto, W e uma algebra de Banach com a norma

∥f∥W = ∥+∞∑

n=−∞

fnξn∥W :=

+∞∑n=−∞

|fn|.

A algebra W tem a unidade e ≡ 1 e e conhecida como a algebra de Wiener.

1.2 Invertibilidade e espectro

1.2.1 Invertibilidade

Se A e uma algebra com unidade, um elemento a ∈ A diz-se invertıvel a esquerda(invertıvel a direita, invertıvel) se existe um elemento b ∈ A tal que ba = e (ab = e,ab = ba = e). A b chama-se inverso esquerdo (inverso direito, inverso) de a.

Se a e um elemento invertıvel, o seu inverso e unico. De facto, se existissem doisinversos de um elemento a, b e b′, tinha-se

b′ = eb′ = (ba)b′ = b(ab′) = be = b.

Assim, se existir, designa-se o inverso de um elemento a ∈ A por a−1. Tem-se evidente-mente que (a−1)−1 = a e que se a e b forem elementos invertıveis de A entao o produtoab e invertıvel e (ab)−1 = b−1a−1. Designa-se o conjunto dos elementos invertıveis daalgebra A por GA.

Teorema 1.2.1 (Serie de Neumann). Seja A uma algebra de Banach com unidade. Seu ∈ A e ∥u∥ < 1 entao

(i) e− u e invertıvel, com o inverso (e− u)−1 =∑∞

n=0 un;


(ii) ∥(e− u)−1∥ ≤ 11−∥u∥ .

Dem. Pela propriedade (iv) da definicao de algebra de Banach tem-se que ∥un∥ ≤∥u∥n e consequentemente a serie

∑∞n=0 u

n e absolutamente convergente. Considere-

se a sucessao das somas parciais vk :=∑k

n=0 un. Como A e completo como espaco

topologico, vk converge para um limite v ∈ A. Tem-se

(e− u)vk = vk(e− u) = e− uk+1 →k→∞

e,

concluindo-se que v =∑∞

n=0 un = (e− u)−1 e que

∥(e− u)−1∥ ≤∞∑n=0

∥u∥n =1

1− ∥u∥.

Exemplo 1.2.1. Sendo X um espaco de Banach e L(X) a algebra de Banach dosoperadores lineares limitados de X em X, o Teorema 1.2.1 fornece um metodo iterativopara calcular solucoes aproximadas em X, para equacoes da forma x − Tx = y, ondeT ∈ L(X) e tal que ∥T∥L(X) := sup

∥x∥<1

∥Tx∥ < 1 e y e fixo em X.

Defina-se

x0 := y

x1 := y + Tx0 = y + Ty

x2 := y + Tx1 = y + Ty + T 2y

...

xn := y + Txn−1 = Sny onde Sn =n∑k=0

T k.

Se ∥T∥ < 1 entao∑∞

k=0 Tk converge e xn → x = (I − T )−1y. O erro da enesima

aproximacao pode ser estimado por

∥x− xn∥ ≤ ∥(I − T )−1 − Sn∥∥y∥ ≤

(∞∑

k=n+1

∥T∥k)∥y∥ =

∥T∥n+1

1− ∥T∥∥y∥.

Teorema 1.2.2. Seja A uma algebra de Banach com unidade. Se x ∈ A e invertıvele ∥x− y∥ < ∥x−1∥−1 entao y e invertıvel e y−1 =

∑∞n=0(x

−1(x− y))nx−1. O conjuntodos elementos invertıveis GA e aberto.


Dem. Tem-se

∥e− x−1y∥ = ∥x−1(x− y)∥ ≤ ∥x−1∥∥x− y∥ < 1

e portanto x−1y e invertıvel. Como

y = ey = (xx−1)y = x(x−1y)

e o produto de dois elementos invertıveis e invertıvel, y e invertıvel. A representacaode y−1 indicada obtem-se do Teorema 1.2.1 pois sendo y = x− (x− y),

y−1 = (x−(x−y))−1 = (x−(x−y))−1xx−1 = (x−1(x−(x−y)))−1x−1 = (e−x−1(x−y))−1x−1

com ∥x−1(x− y)∥ ≤ ∥x−1∥∥x− y∥ < 1.Finalmente, como cada elemento de GA tem uma vizinhanca constituıda por ele-

mentos de GA, conclui-se que GA e um conjunto aberto.

Corolario 1.2.3. A transformacao x 7→ x−1 e um homeomorfismo de GA em GA

Dem. Mostre-se que se (xn) e uma sucessao em GA tal que se xn → x ∈ GA entaox−1n → x−1. Considere-se yn := x−1xn e mostre-se que se yn → e entao y−1

n → e.Tem-se

∥y−1n − e∥ = ∥y−1

n (e− yn)∥ ≤ ∥y−1n ∥∥e− yn∥,

ou seja o resultado fica demonstrado se (y−1n ) for uma sucessao limitada. Seja hn :=

yn − e, com hn → 0. Como yn = e + hn, para n suficientemente grande tem-se peloTeorema 1.2.1 que y−1

n e uma sucessao limitada pois

∥y−1n ∥ = ∥(e+ hn)

−1∥ ≤ 1

1− ∥hn∥→ 1.

A aplicacao x 7→ x−1 e assim uma aplicacao contınua.

1.2.2 Espectro e conjunto resolvente

Definicao 1.2.1. Sendo A uma algebra complexa com unidade e a um elemento deA, chama-se conjunto resolvente de a, e representa-se por ρA(a) (ou simplesmente ρ(a)quando o contexto e claro), o conjunto

ρA(a) :=λ ∈ C : λe− a ∈ GA

.


O complemento em C de ρA(a), designa-se por espectro de a e e representado porσA(a) (ou simplesmente σ(a)). Tem-se que

σA(a) :=λ ∈ C : λe− a /∈ GA

.

Exemplo 1.2.2. Seja A a algebra C(T) em que T e a circunferencia unitaria. Umafuncao f ∈ C(T) e invertıvel se e so se nao se anula em T. O espectro σ(f) coincidecom o conjunto f(T) := f(t) ∈ C : t ∈ T.

Exemplo 1.2.3. Seja A a algebraMn(C) das matrizes n×n com elementos complexas.O espectro de uma matriz corresponde ao conjunto dos seus valores proprios.

Definicao 1.2.2. Chama-se resolvente de a ∈ A a funcao

R(a) : ρA(a) ⊂ C → A, λ 7→ Rλ(a) := (λe− a)−1.

Proposicao 1.2.4. Sejam A uma algebra complexa com unidade e a ∈ A. Se µ, λ ∈ρA(a) entao

(i) Rλ(a) e Rµ(a) comutam;

(ii) Rλ(a)−Rµ(a) = (µ− λ)Rλ(a)Rµ(a) (igualdade de Hilbert).

Dem. Ambas as proposicoes se demonstram por calculo directo. Para (i),

Rλ(a)Rµ(a) = (λe− a)−1(µe− a)−1 = ((µe− a)(λe− a))−1

= ((λe− a)(µe− a))−1 = (µe− a)−1(λe− a)−1 = Rµ(a)Rλ(a).

Quanto a (ii) tem-se

(µ− λ)Rλ(a) = Rλ(a)((µe− a)− (λe− a)) = Rλ(a)(µe− a)− e.

Multiplicando ambos os membros da igualdade anterior a direita por Rµ(a) obtem-sea igualdade de Hilbert.

Proposicao 1.2.5. Sejam A uma algebra de Banach complexa com unidade e a ∈ A.Entao o conjunto resolvente de a, ρA(a), e aberto e a funcao R(a) e analıtica em ρA(a).


Dem. Dado µ ∈ ρA(a), seja λ ∈ C tal que

|λ− µ| < 1

∥(µe− a)−1∥.

Tem-se que

∥(µe− a)− (λe− a)∥ = |λ− µ| < 1

∥(µe− a)−1∥,

donde se conclui pelo Teorema 1.2.2, uma vez que µe − a e invertıvel, que λe − a einvertıvel e

(λe− a)−1 =∞∑k=0

(−1)k(λ− µ)k((µe− a)−1)k+1.

O conjunto ρA(a) e entao aberto e a funcao R(a) e uma funcao analıtica em ρA(a).

1.2.3 Raio espectral. Teorema de Gelfand-Mazur

Definicao 1.2.3. Dada uma algebra de BanachA com unidade, chama-se raio espectralde a ∈ A ao numero real

r(a) := sup|λ| : λ ∈ σA(a).

Exemplo 1.2.4. Seja A a algebra C(T). Recordando o Exemplo 1.2.2, o raio espectralde uma funcao f ∈ C(T) e

r(a) = supt∈T

|f(t)| = ∥f∥∞.

Com o resultado que se segue assegura-se que para cada elemento a ∈ A a nocao deraio espectral esta bem definida, coincidindo assim com o raio do menor disco fechadono plano complexo com centro em 0 que contem o espectro do elemento a.

Teorema 1.2.6. Sendo A uma algebra de Banach complexa com unidade, entao oespectro de um elemento a ∈ A, σA(a), e nao vazio e compacto.

Dem. Seja a ∈ A. Se |λ| > ∥a∥ entao ∥ 1λa∥ < 1 e pelo Teorema 1.2.1 conclui-se que

λe − a = λ(e − λ−1a) e invertıvel. Como consequencia, atendendo a Definicao 1.2.3tem-se que r(a) ≤ ∥a∥ e que σA(a) e limitado. Como o resolvente do elemento a ∈ Ae um conjunto aberto em C, entao o espectro σ(a) e fechado e consequentemente ecompacto. Falta-nos provar que σA(a) e nao vazio. Para tal suponha-se que σA(a) evazio e mostre-se que este facto conduz a um absurdo. Se σA(a) = ∅ entao ρA(a) = Ce pela Proposicao 1.2.5 a funcao resolvente R(a) e uma funcao inteira. Assim R(a)


e limitada uma vez que e contınua no disco |λ| < ∥a∥ e para |λ| > ∥a∥, tem-se doTeorema 1.2.1 que,

∥R(a)∥ =∥(e− λ−1a)−1∥

|λ|≤ 1

|λ| − ∥a∥.

O teorema de Liouville para funcoes holomorfas de C em A, permite afirmar que afuncao R(a) e constante e, dado que ∥Rλ(a)∥ → 0 quando |λ| → ∞, entao R(a) e afuncao nula. Tal e absurdo pois Rλ(a) e invertıvel para qualquer λ ∈ ρA(a).

Observe-se que o resultado anterior nao e em geral verdadeiro para algebras reais, seusarmos a definicao “natural” de espectro de um elemento de uma algebra real, comoo conjunto

σA(a) :=λ ∈ R : λe− a ∈ GA

.

Exemplo 1.2.5. Sejam A a algebra M2(R) das matrizes 2× 2 com elementos reais, e

A =

[0 −11 0

].

O espectro de A e vazio uma vez que, λe−A e nao invertıvel se e so se det

[λ 1−1 λ

]= 0,

o que e equivalente a resolver em R a equacao impossıvel λ2 + 1 = 0.

Teorema 1.2.7. Se A e uma algebra de Banach complexa com unidade entao, paraqualquer elemento a ∈ A,

r(a) = limn→∞

∥an∥1n .

Dem. Comece-se por mostrar que r(a) ≥ lim sup ∥an∥ 1n . Considere-se a funcao

resolvente R(a), que e analıtica em ρA(a) e o conjunto aberto

Λ := λ ∈ C : |λ| > ∥a∥ ⊂ ρA(a).

Se λ ∈ Λ tem-se que ∥a/λ∥ < 1 e

Rλ(a) =1

λ

(e− a

λ

)−1

=1

λ

∞∑k=0

(aλ

)n. (1.1)

Trata-se de um desenvolvimento em serie de Laurent em λ que se mantem valido paraλ ∈ Λ0 ⊃ Λ, onde

Λ0 := λ ∈ C : |λ| > r(a),


visto R(a) ser uma funcao analıtica em Λ0 ⊂ ρA(a). Como se trata de uma serie depotencias em λ−1 entao o seu raio de convergencia e, pela formula de Hadamard,

r =1

lim sup ∥an∥ 1n

,

o que significa que a serie converge se |λ−1| < r e diverge se |λ−1| > r. Ora, atendendoa que o desenvolvimento e valido para |λ| ≥ r(a), tem-se

1

r(a)≤ r =

1

lim sup ∥an∥ 1n

concluindo-se que r(a) ≥ lim sup ∥an∥ 1n .

Mostre-se em seguida que r(a) ≤ lim inf ∥an∥ 1n . Tem-se que

an−λne = (a−λe)(an−1+λan−2+ . . .+λn−1e) = (an−1+λan−2+ . . .+λn−1e)(a−λe),

o que significa que se an − λne e invertıvel, tambem a− λe o e. Assim,

λn ∈ ρA(an) ⇒ λ ∈ ρA(a)

e consequentemente,λ ∈ σA(a) ⇒ λn ∈ σA(a

n).

Para qualquer λ ∈ σA(a) tem-se pois

|λ|n = |λn| ≤ r(an) ≤ ∥an∥,

logo, para n ∈ N,|λ| ≤ ∥an∥

1n ,

o que implica r(a) ≤ lim inf ∥an∥ 1n .

Tem-se finalmente que

r(a) ≤ lim inf ∥an∥1n ≤ lim sup ∥an∥

1n ≤ r(a)

obtendo-se o resultado pretendido.

O Teorema 1.2.6 tem como consequencia o teorema de Gelfand-Mazur, de grandeimportancia na teoria das algebras comutativas.

Teorema 1.2.8 (Teorema de Gelfand-Mazur). Se numa algebra de Banach complexacom unidade, todos os elementos diferentes de zero sao invertıveis, entao essa algebrae isometricamente isomorfa ao corpo dos complexos.


Dem. Seja A uma algebra nas condicoes do teorema. Se a ∈ A, entao pelo teoremaanterior existe λ ∈ C tal que λe − a nao e invertıvel. Como o unico elemento naoinvertıvel na algebra e o 0 entao λe − a = 0, ou seja, a = λe. Como o raciocınioanterior e valido para qualquer a ∈ A, conclui-se que A = λe : λ ∈ C, ou seja,A e o conjunto dos multiplos escalares de e. A aplicacao λe 7→ λ e obviamente umisomorfismo isometrico de A em C, pois ∥λe∥ = |λ|.

1.2.4 Espectro e subalgebras

Uma questao que e importante analisar e a relacao entre o espectro de um elementonuma algebra e o espectro desse mesmo elemento numa subalgebra a que pertenca.Considere-se uma algebra de Banach com unidadeA e B uma sua subalgebra de Banachunital, ou seja, uma subalgebra de Banach contendo a mesma unidade de A. Se a ∈ B,qual a relacao entre σB(a) e σA(a)? De facto se b ∈ B e invertıvel em A, pode dar-seo caso de b−1 ∈ B e b nao ser portanto invertıvel na subalgebra B. E evidente, noentanto, que se b nao for invertıvel em A tambem nao o sera em B. Assim pode-seimediatamente concluir que σA(a) ⊂ σB(a), mas em geral os dois espectros poderao sera partida diferentes. Quao diferentes e o que se pretende analisar.

Exemplo 1.2.6. Considere-se a circunferencia unitaria T := t ∈ C : |t| = 1 e odisco unitario D := ξ ∈ C : |ξ| < 1. Sejam A = C(T) e B o fecho em A da algebracom unidade p : p(t) e um polinomio em t. O espectro de z, z(t) = t, como elementode A e o proprio T (Exemplo 1.2.2). Mas z e tambem um elemento de B e tera umespectro nesta algebra. Uma vez que ∥z∥∞ = 1 tem-se que σB(z) esta contido nocırculo unitario. Suponha-se que |λ| < 1 e que λ ∈ σB(z). Entao existe f ∈ B tal que(λ − z)f = 1. Uma vez que f ∈ B, existe uma sequencia de polinomios (pn) tal quepn → f uniformemente em T. Assim, para qualquer ϵ > 0 existe n0 ∈ N tal que paran,m > n0 se tem

sup|pn(t)− pm(t)| : t ∈ T = ∥pn − pm∥∞ < ϵ.

Pelo princıpio do maximo

sup|pn(ξ)− pm(ξ)| : ξ ∈ D < ϵ

para n,m > n0. Entao g = lim pn e analıtica em D e contınua no seu fecho. Tem-setambem que g|T = f . Pelo mesmo argumento, uma vez que pn(λ − z) → 1 uniforme-mente em T, entao pn(λ−z) → 1 uniformemente em D. O que significa que g(λ−z) = 1em D. Mas 1 = g(λ)(λ − λ) = 0 e uma contradicao. Assim D ⊂ σB(z) e portantoσB(z) = σA(z).


Na analise da relacao entre σB(a) e σA(a), para a ∈ A, e importante introduzir oconceito de divisor topologico de zero .

Definicao 1.2.4. Sendo A uma algebra de Banach, diz-se que um elemento a ∈ Ae um divisor topologico de zero a esquerda (direita) se existir uma sucessao (an) determos em A tal que

(i) ∥an∥ = 1, n ∈ N;

(ii) limn→∞

aan = 0 ( limn→∞

ana = 0).

Se a for divisor topologico de zero a esquerda e a direita diz-se que a e divisortopologico de zero.

Designa-se por ZA o conjunto dos divisores topologicos de zero de uma algebra A.

Exemplo 1.2.7. Considere-se C([0, 1]) e z(t) := t. A funcao z e um divisor topologicode zero pois a sucessao definida por

zn(t) :=

1− nt se 0 ≤ t < 1/n

0 se 1/n ≤ t ≤ 1

esta nas condicoes da definicao anterior.

Proposicao 1.2.9. Se B e uma algebra de Banach com unidade, e a e divisor topologicode zero em B entao a ∈ GB.

Dem. Seja a divisor topologico de zero a esquerda, ou seja, existe an tal que ∥an∥ = 1e aan → 0. Se a ∈ GB, existiria a

−1 ∈ B tal que a−1a = e. Assim, a−1aan = an → 0, oque e impossıvel pois ∥an∥ = 1 para qualquer n ∈ N.

Corolario 1.2.10. Sejam A uma algebra de Banach com unidade, B uma subalgebrade Banach unital de A e a ∈ B um divisor topologico de zero em B. Entao a ∈ GA.

Dem. Qualquer sucessao (an) em B tal que ∥an∥ = 1, limn→∞ aan = 0 e limn→∞ ana =0 e uma sucessao em A com as mesmas propriedades. Ou seja um divisor topologicode zero em B e um divisor topologico de zero em A.

Um elemento a ∈ B pode nao ser invertıvel em B mas passar a se-lo se em vez deB se considerar uma algebra A contendo B como subalgebra fechada e unital. Tal naoacontece se a for um divisor topologico de zero. Estes elementos sao definitivamente naoinvertıveis. Estabelece-se assim de seguida uma relacao importante entre os conjuntosGA e ZA.


Proposicao 1.2.11. Numa algebra de Banach A, qualquer elemento da fronteira deGA e um divisor topologico de zero em A. Ou seja, fr GA ⊂ ZA.

Dem. Uma vez que GA e aberto, se x e um elemento na sua fronteira, entao x ∈ GAe existe uma sucessao (xn) ⊂ GA tal que xn →

n→∞x. Pode-se entao definir an :=

x−1n /∥x−1

n ∥, e mostrar que x e um divisor topologico de zero. Por definicao tem-se deimediato que ∥an∥ = 1. Por outro lado, tem-se

∥anx∥ =∥x−1

n x∥∥x−1

n ∥=

∥(x−1n x− e) + e∥∥x−1

n ∥≤ ∥x−1

n x− e∥∥x−1

n ∥+

1

∥x−1n ∥

≤ ∥x−1n ∥∥x− xn∥∥x−1

n ∥+

1

∥x−1n ∥

= ∥x− xn∥+1

∥x−1n ∥

.

Quanto n→ ∞ a primeira parcela tende para zero. Analise-se a segunda. Sabe-se quex−1n x ∈ GA, pois xn(x

−1n x) = x e xn ∈ GA e consequentemente tem-se que

∥e− x−1n x∥ ≥ 1

pois se fosse ∥e− x−1n x∥ < 1 ter-se-ia que x−1

n x = e− (e− x−1n x) ∈ GA. Assim,

1 ≤ ∥e− x−1n x∥ ≤ ∥x−1

n ∥∥x− xn∥

e1

∥x−1n ∥

≤ ∥x− xn∥ → 0.

Conclui-se assim que anx → 0. Logo x e divisor topologico de zero esquerdo. Ademonstracao de que xan → 0 e analoga.

O resultado anterior permite concluir que numa algebra de Banach um elementoque nao e invertıvel mas pode ser aproximado por elementos invertıveis e um divisortopologico de zero.

Proposicao 1.2.12. Sejam A uma algebra de Banach complexa com unidade, B umasubalgebra de Banach unital de A e a ∈ B. Entao:

(i) σA(a) ⊂ σB(a);

(ii) fr σB(a) ⊂ fr σA(a).

Dem. A primeira afirmacao e obvia tendo em conta a discussao no inicio da seccao.Quanto a segunda, considere-se µ ∈ fr σB(a). Entao a − µe ∈ fr GB sendo a − µe umdivisor topologico de zero em B e, portanto, como ja se observou, um divisor topologico


de zero em A. Consequentemente a − µe nao e invertıvel em A, ou seja µ ∈ σA(a).Ora, µ ∈ fr σA(a) pois, uma vez que µ ∈ fr σB(a), µ e o limite de uma sucessao emρB(a) que por (i) esta contido em ρA(a)

A proposicao anterior indica que quando se passa de uma subalgebra B para umaalgebra que a contenha, o espectro de um elemento so pode reduzir-se a custa de pontosinteriores, nao perdendo pontos fronteiros. Inversamente, ao passar de uma algebrapara uma subalgebra, o espectro de um elemento, σA(a) , so pode aumentar pelasupressao de “buracos”, componentes conexas do resolvente ρA(a) que sao limitadas,nao aumentando a fronteira.

Teorema 1.2.13. Sejam A uma algebra de Banach complexa com unidade, B uma suasubalgebra fechada e unital e a ∈ B.

(i) Se B e um “buraco”de σA(a), entao ou B ⊂ σB(a) ou B ∩ σB(a) = ∅;

(ii) Se o conjunto resolvente ρA(a) e conexo, entao σA(a) = σB(a).

Dem. (i) Dado um ”buraco”B de σA(a), defina-se B1 := B \σB(a) e B2 := B∩σB(a).Tem-se que

B1 ∩B2 = ∅ e B1 ∪B2 = B.

Claramente B1 e aberto. Quanto a B2, uma vez que fr σB(a) ⊂ σA(a) e B ∩ σA(a) = ∅temos que B2 = B∩ int σB(a), o que implica que B2 tambem e aberto. Uma vez que Be conexo, ou B1 e vazio ou B2 e vazio. A primeira parte do teorema esta demonstrada.

(ii) Comece-se por mostrar que σB(a) \ σA(a) e aberto. O seu complemento eρB(a)∪σA(a). Suponha-se que existe um ponto λ ∈ fr(σB(a)\σA(a))∩ (σB(a) \ σA(a)).O ponto λ nao pertence a frσB(a) (porque nesse caso teria que pertencer a frσA(a) ⊂σA(a)) sendo um ponto interior de σB(a) e nao pode ser assim o limite de uma sucessaoem ρB(a). Como o ponto λ nao pode ser o limite de uma sucessao em σA(a), tem-se uma contradicao e portanto σB(a) \ σA(a) tem de ser aberto. O conjunto conexoρA(a) = ρB(a) ∪ (σB(a) \ σA(a)) e pois a uniao de dois conjuntos abertos disjuntos.Ou seja, σB(a) \ σA(a) tem que ser vazio, uma vez que pelo Teorema 1.2.1 ρB(a) e naovazio.

Note-se que o Teorema 1.2.7 mostra que o raio espectral de um elemento nao sealtera ao passar para uma subalgebra, apesar do espectro poder ser alterado. Impondocertas condicoes nas algebras e nas suas subalgebras, pode acontecer que nenhum ele-mento altere o seu espectro. Esta e uma propriedade importante, que e caracterısticade uma classe de algebras a analisar no Capıtulo 3.


Definicao 1.2.5. Sejam A uma algebra de Banach com unidade e, e B uma subalgebrafechada de A contendo e. Diz-se que B e fechada para a inversao se, para qualquera ∈ B, a invertibilidade de a em A implica a invertibilidade de a em B.

Um exemplo de uma algebra fechada para a inversao e a algebra C(X) comosubalgebra da algebra L∞(X), com X um espaco Hausdorff compacto, ja que, sef ∈ C(X) e invertıvel em L∞(X) entao a funcao inversa e contınua em X.

1.3 Ideais e invertibilidade

1.3.1 Ideais e ideais maximais

Os ideais de uma algebra podem ser ordenados atraves da relacao de inclusao. Osideais (esquerdos, direitos, bilaterais) proprios que nao estao contidos em nenhum outroideal proprio (esquerdo, direito, bilateral), designam-se por ideais maximais (esquerdos,direitos, bilaterais). Como se vera adiante, os ideais maximais de uma algebra deBanach desempenham um papel muito importante na teoria.

Proposicao 1.3.1 (Lemma de Krull). Seja A uma algebra com unidade. Entao todoo ideal (esquerdo, direito, bilateral) proprio esta contido num ideal maximal (esquerdo,direito, bilateral).

Dem. Sendo J um ideal nao maximal, considere-se a famılia O de todos os ideaisproprios de A que contem J , ordenada parcialmente pela relacao de inclusao. SejaO′ uma subfamılia totalmente ordenada de ideais de O. Mostre-se que a sua uniaoI e um ideal proprio. Dados dois elementos i1, i2 ∈ I, existem ideais I1 e I2 de O′

contendo respectivamente i1 e i2. Como a subfamılia e totalmente ordenada tem-seque ou I1 ⊆ I2 ou I2 ⊆ I1, o que implica que ambos os elementos pertencem a um dosideais e logo a soma e o produto tambem. Por outro lado, dado um elemento a ∈ A, oelemento ai1ei1a esta contido em I1 e consequentemente em I. Ora, o ideal I e propriopois nao contem a unidade. Se contivesse, significava que esta pertenceria tambem aalgum dos elementos da subfamılia o que e absurdo pois todos os ideais da famılia saoproprios. O ideal I e pois um majorante de O′, o que significa que se pode aplicar oLema de Zorn e concluir que a famılia tem um elemento maximal.

A nao invertibilidade a esquerda (direita) de um elemento de uma algebra de Banache condicao necessaria e suficiente para que esse elemento pertenca a um ideal proprioesquerdo (direito) de A.

Teorema 1.3.2. Seja A uma algebra de Banach com unidade. Entao:

1.3. IDEAIS E INVERTIBILIDADE 23

(i) O elemento a ∈ A e invertıvel a esquerda (direita) se e so se nao pertence anenhum ideal proprio esquerdo (direito) de A.

(ii) O fecho de um ideal (esquerdo, direito, bilateral) proprio e um ideal proprio (es-querdo, direito, bilateral);

(iii) Todo o ideal maximal (esquerdo, direito, bilateral) e fechado;

Dem. (i) Admita-se que a e invertıvel a esquerda e que existe um ideal esquerdomaximal J ⊂ A tal que a ∈ J . Entao ba = e para algum b ∈ A, o que implicariae ∈ J , logo J = A, o que e absurdo pois J e um ideal proprio. Por outro ladoconsidere-se a ∈ A nao invertıvel a esquerda. Defina-se

J := Aa = xa, x ∈ A.

J e um ideal esquerdo de A. Este ideal contem obviamente a e e proprio pois casocontrario e ∈ J , o que implicaria a existencia de um y ∈ A tal que ya = e. Pelo Lemmade Krull (Proposicao 1.3.1), J esta contido num ideal esquerdo maximal de A. Ademonstracao relativa a invertibilidade a direita e semelhante. Fica assim demonstrado(i).

A demonstracao de (ii) e (iii) e valida se se considerar quer um ideal bilateral, querum ideal esquerdo ou direito. Para demonstrar (ii) considere-se um ideal proprio J deA. O fecho de J , J , e tambem um ideal pela continuidade das operacoes algebricas.Uma vez que GA e aberto e GA ∩ J = ∅ por (i), concluıdo-se que J e proprio. Umaconsequencia do lemma de Krull e de (ii) e (iii), pois se um ideal maximal nao fossefechado, estaria estritamente contido no seu fecho, que por (ii) seria um ideal proprio,obtendo-se uma contradicao.

O corolario seguinte e uma consequencia imediata do resultados anteriores.

Corolario 1.3.3. Seja A uma algebra de Banach comutativa com unidade. Tem-seque um elemento a ∈ A e invertıvel se e so se nao pertence a nenhum ideal maximalde A.

Definicao 1.3.1. Dada uma algebra de Banach A e um ideal fechado J de A, chama-se algebra quociente de A por J , e designa-se por A/J ou AJ , a algebra formadapelas classes de equivalencia aJ := a+ J , a ∈ A determinadas por,

a+ J := a+ j, j ∈ J .

A estrutura algebrica canonica para a algebra quociente e definida naturalmente por:

(i) (a+ J ) + (b+ J ) := (a+ b) + J ;


(ii) λ(a+ J ) := λa+ J ;

(iii) (a+ J )(b+ J ) := ab+ J ,

em que a, b ∈ A, λ ∈ K. A topologia quociente e definida pela norma

∥a+ J ∥AJ := infy∈a+J

∥y∥ = inf∥a+ j∥ : j ∈ J

Observe-se que na definicao anterior o produto esta bem definido pois se a′ ∈ a+J ,b′ ∈ b + J , entao a′b′ ∈ ab + J . Naturalmente, a classe de equivalencia e + J sera aunidade na algebra quociente.

Teorema 1.3.4. Sendo A uma algebra de Banach e J um ideal proprio fechado deA, entao A/J e uma algebra de Banach.

Dem. O espaco A/J e completo uma vez que J e fechado. Resta apenas provarque,

∥(a+ J )(b+ J )∥AJ ≤ ∥a+ J ∥AJ ∥b+ J ∥AJ , a, b ∈ A,

o que se conclui de:

∥(a+ J )(b+ J )∥AJ = ∥(ab+ J )∥AJ = inf∥ab+ j∥ : j ∈ J

≤ inf∥(a+ j1)(b+ j2)∥ : j1, j2 ∈ J

≤ inf∥a+ j1∥ : j1 ∈ J inf∥b+ j2∥ : j2 ∈ J .

Definicao 1.3.2. Uma algebra A diz-se simples se nao possui ideias proprios naonulos, ou seja, se os unicos ideais de A sao os triviais, 0 e A.

Teorema 1.3.5. Um ideal proprio fechado M de uma algebra de Banach A com uni-dade, e maximal se e so se a algebra quociente A/M e simples.

Dem. Seja Φ o homomorfismo canonico de A para A/M e suponha-se que existe umideal proprio nao trivial J de A/M. Vai-se mostrar que Φ−1(J ) e um ideal de A. Paraqualquer x ∈ Φ−1(J ) temos que x +M ∈ J e portanto para qualquer y ∈ A tem-seΦ(xy) = Φ(x)Φ(y) ∈ J e Φ(yx) = Φ(y)Φ(x) ∈ J , o que implica que xy, yx ∈ Φ−1(J )concluındo-se que Φ−1(J ) e um ideal de A.

Uma vez que Φ(M) = 0+M tem-se que M ⊂ Φ−1(J ). Mas como J e nao trivialem A/M tem-se que M = Φ−1(J ). Por outro lado, tambem se tem que Φ−1(J ) = A.

1.3. IDEAIS E INVERTIBILIDADE 25

Logo Φ−1(J ) e um ideal proprio de A, contendo estritamente M, o que implica queM nao e maximal.

Reciprocamente, se M nao e maximal em A, existe um ideal proprio J de A talque M ⊂ J e M = J . Nesse caso Φ(J ) e um ideal de A/M tal que:

Φ(J ) = 0 +M porque J = M;

Φ(J ) = A/M porque e+M ∈ Φ(J ).

Portanto Φ(J ) e um ideal nao trivial de A/M.

Dos varios resultados obtidos referentes a relacao entre ideais e invertibilidade epossıvel concluir o seguinte:

Teorema 1.3.6. Se A e uma algebra de Banach comutativa com unidade e, e M eum ideal maximal de A, entao A/M e um corpo.

Dem. Sendo M um ideal maximal, pelo Teorema 1.3.5 a algebra quociente A/M esimples. Consequentemente, aplicando o Teorema 1.3.2 qualquer elemento nao nulo deA/M (i.e. da forma a+M com a ∈ M) e invertıvel em A/M.

Aplicando agora o teorema de Gelfand-Mazur, obtem-se de imediato o seguintecorolario para algebras comutativas complexas, um resultado de grande importanciacomo se vera mais adiante.

Corolario 1.3.7. Se A e uma algebra de Banach complexa comutativa com unidadee, e M e um ideal maximal de A, entao A/M e isometricamente isomorfa ao corpodos complexos.

Outra consequencia do Teorema 1.3.6 e o resultado que se segue:

Corolario 1.3.8. Sejam A uma algebra de Banach comutativa com unidade e MA oconjunto dos seus ideias maximais. Defina-se AM := A/M e aM := a + M paraa ∈ A e M ∈MA. Se a ∈ A, entao

a ∈ GA se e so se aM ∈ GAM , ∀M ∈MA.

Dem. Juntando ao Teorema 1.3.6 o Corolario 1.3.3, obtem-se de imediato a cadeiade equivalencias:

a ∈ GA ⇔ a /∈ M, ∀M ∈MA

⇔ aM = 0M, ∀M ∈MA

⇔ aM ∈ GAM , ∀M ∈MA.


1.3.2 Radical de uma algebra

Analisa-se nesta seccao um ideal especial que e em certo sentido nao essencial relati-vamente a invertibilidade de outros elementos da algebra.

Definicao 1.3.3. Dada uma algebra A, chama-se radical da algebra A a interseccaode todos os seus ideais maximais esquerdos:

RA := ∩J , J ideal maximal esquerdo de A.

Os resultados apresentados de seguida vao caracterizar os elementos do radical.

Lema 1.3.9. Se A e uma algebra com unidade e r ∈ RA, entao e− r e invertıvel.

Dem. Suponha-se que e − r nao e invertıvel a esquerda. Entao L := A(e − r)e um ideal esquerdo proprio da algebra A, que contem e − r. Considere-se agora oideal maximal esquerdo J que contem L, e portanto e− r ∈ J . Tambem r ∈ J pois rpertence a todos os ideais maximais esquerdos. Conclui-se pois que e = r+(e−r) ∈ J ,o que e uma contradicao. Provou-se assim que e− r e invertıvel a esquerda.

Existe portanto um elemento b invertıvel a direita tal que b(e − r) = e ⇔ b =e − (−b)r. Uma vez que (−b)r ∈ RA, aplicando novamente o raciocınio do primeiroparagrafo da demonstracao chega-se a conclusao que b e tambem invertıvel a esquerda.Isto significa que b e invertıvel com inverso e− r, logo e− r e invertıvel.

Proposicao 1.3.10. Um elemento a ∈ A pertence ao radical RA se e so se e − xa einvertıvel para qualquer x ∈ A.

Dem. A implicacao directa e trivial pelo lema anterior, pois xa ∈ RA. Para se provar aimplicacao no sentido contrario, suponha-se que a nao pertence a algum ideal maximalesquerdo L. Entao o conjunto L +Aa = l + ya : l ∈ L, y ∈ A e um ideal esquerdoque contem L e a, e uma vez que e estritamente maior que L, e igual a A. Tem-seportanto que existem l ∈ L e y ∈ A tais que

e = l + ya⇔ l = e− ya.

Pode pois concluir-se que l e invertıvel, logo invertıvel a esquerda, o que e uma con-tradicao.

Tem-se ainda o seguinte resultado:

Proposicao 1.3.11. Sejam A uma algebra de Banach com unidade, e A := A/RA.Tem-se que um elemento a ∈ A e invertıvel em A se e so se a := a +RA e invertıvelem A.

1.4. FUNCIONAIS LINEARES MULTIPLICATIVOS 27

Dem. Se a := a + RA e invertıvel em A entao existe b ∈ A tal que ab = ba = e,com b := b + RA e e := e + RA. Assim, ab + RA = ba + RA = e + RA, donde seconclui que (e− ab) ∈ RA e (e− ba) ∈ RA. Conclui-se do Lema 1.3.9 que os elementosab = e− (e− ab) e ba = e− (e− ba) sao invertıveis em A e este facto permite afirmarque tembem a e invertıvel em A. A recıproca da proposicao e imediata.

O resultado acima confirma o que foi afirmado no inicio da seccao, que os elementosdo radical podem ser ignorados ao estudar invertibilidade numa algebra. Estes elemen-tos podem mesmo nao existir em agebras com certas propriedades de simetria, comoas que serao estudadas no Capıtulo 3. Uma algebra com radical trivial e designada poralgebra semi-simples :

Definicao 1.3.4. Uma algebra A diz-se semi-simples se RA = 0.

A semi-simplicidade da algebra torna esta mais simples de estudar, como se verano proximo capıtulo.

1.4 Funcionais lineares multiplicativos

Nas seccoes anteriores analisou-se a relacao que existe entre os ideais de uma algebrae a invertibilidade de elementos dessa algebra. Comeca-se esta seccao salientando queexiste tambem uma forte relacao entre os ideais de uma algebra e os seus homomorfis-mos.

Proposicao 1.4.1. Dada uma algebra A1, o nucleo de qualquer homomorfismo W emA1, Ker W = a ∈ A1 : W(a) = 0 e um ideal bilateral em A1. Reciprocamente, dadoqualquer ideal J ⊂ A1, existe uma algebra A2, assim como um homomorfismo W deA1 para A2 tal que J e o nucleo de W.

Dem. Dado que W e linear tem-se que o seu nucleo e um subespaco linear. Sex ∈ Ker W e a ∈ A1 entao

W(xa) = W(x)W(a) = 0 = W(a)W(x) = W(ax).

Assim xa, ax ∈ Ker W, e portanto o nucleo de W e um ideal. Para provar a segundaparte da proposicao basta considerar A2 := A1/J e W o homomorfismo canonicoW : A1 → A1/J , a 7→ a+ J .

Introduzem-se de seguida os funcionais lineares multiplicativos que sao homomor-fismos cujo contradomınio e o corpo sobre o qual a algebra esta definida.


Definicao 1.4.1. Seja A uma algebra sobre um corpo K. Uma aplicacao linear ϕ :A → K diz-se um funcional linear. Se ϕ for tambem um homomorfismo entao designa-se por funcional linear multiplicativo em A.

Proposicao 1.4.2. Sejam A uma algebra com unidade e, e ϕ um funcional linearmultiplicativo nao nulo em A. Entao

(i) Se e representar a unidade de A, ϕ(e) = 1;

(ii) Se a ∈ A, entao ϕ(a) ∈ σA(a);

(iii) O nucleo de ϕ e um ideal maximal.

Dem. De imediato se estabelece (i) ja que se existir a ∈ A tal que ϕ(a) = 0, tem-seϕ(a) = ϕ(ea) = ϕ(e)ϕ(a). Quanto a (ii) note-se que se a ∈ A, ϕ(a)e − a esta nonucleo de ϕ, que e um ideal proprio de A, concluindo-se que ϕ(a)e − a nao pode serinvertıvel. Finalmente, o nucleo de um funcional linear multiplicativo e um hiperplanode codimensao 1 no espaco linear A. Assim, sendo um ideal, o nucleo de um funcionalmultiplicativo nao nulo tem que ser maximal.

Teorema 1.4.3. Qualquer funcional linear multiplicativo nao nulo sobre uma algebrade Banach com unidade e, e limitado e tem norma 1.

Dem. Admita-se que existe um elemento a ∈ A tal que ∥a∥ = 1 e |ϕ(a)| > 1. Entaoϕ(a)e− a e invertıvel e

1 = ϕ(e) = ϕ((ϕ(a)e− a)(ϕ(a)e− a)−1

)= ϕ ((ϕ(a)e− a))ϕ

((ϕ(a)e− a)−1

)= 0

pois ϕ(ϕ(a)e− a) = 0. Trata-se de uma contradicao. Assim, conclui-se que

∥ϕ∥ = sup∥a∥=1

|ϕ(a)| ≤ 1,

e como ϕ(e) = 1 tem-se ∥ϕ∥ = 1.

Dados dois funcionais lineares ϕ1 e ϕ2, diz-se que estes sao proporcionais se existiruma constante diferente de zero α ∈ K tal que ϕ1 = αϕ2.

Lema 1.4.4. Dois funcionais sobre uma algebra A tem o mesmo nucleo se e so se saoproporcionais.

1.4. FUNCIONAIS LINEARES MULTIPLICATIVOS 29

Dem. Considerem-se dois funcionais ϕ1 e ϕ2, com o mesmo nucleo. Considere-se um qualquer elemento a ∈ A que nao pertenca ao nucleo. A algebra A coincideexactamente com o espaco linear gerado pelo elemento a e pelo nucleo dos funcionaisϕ1 e ϕ2. Dados quaisquer a, b ∈ A nao pertencentes ao nucleo, estes admitem umarepresentacao unica na forma a = a0 + a1 e b = b0 + b1 com a0, b0 no nucleo dosfuncionais e a1, b1 no espaco gerado por a. Uma vez que o complementar do nucleo eunidimensional pode-se concluir que existe α ∈ K tal que b1 = αa1. Tem-se entao que

ϕ1(b)

ϕ2(b)=ϕ1(b1)

ϕ2(b1)=αϕ1(a1)

αϕ2(a1)=ϕ1(a)

ϕ2(a).

Em sentido inverso a conclusao e imediata.

Conclui-se do lema anterior que dois funcionais lineares tem o mesmo nucleo se e sose forem proporcionais. Ora, uma vez que para qualquer funcional linear multiplicativoϕ se tem ϕ(e) = 1, dois funcionais lineares multiplicativos serao iguais se os seus nucleoscoincidirem. Existe pois uma relacao estreita - de um para um - entre os ideais maximaisde uma algebra e os funcionais lineares multiplicativos definidos nessa algebra. Pode-seentao obter o seguinte resultado:

Teorema 1.4.5. Seja A uma algebra de Banach comutativa com unidade. O nucleo deum funcional linear multiplicativo em A e um ideal maximal e reciprocamente, qualquerideal maximal em A e o nucleo de um e um so funcional linear multiplicativo em A.

Dem. A primeira parte e um caso particular da Proposicao 1.4.2. Na demonstracaoda segunda parte, considere-se um ideal maximal M em A. Entao A/M e um corpopelo Teorema 1.3.6, isometricamente isomorfo ao corpo K dos escalares da algebra:

A/M = λ(e+M) : λ ∈ K ∼= K.

Definindo o funcional como o homomorfismo canonico Φ : A → A/M, este e o unicocom este nucleo pelas consideracoes acima.

Teorema 1.4.6. Se A e uma algebra de Banach complexa, comutativa e com unidade,entao o conjunto dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos sobre A e nao vazio.

Dem. Se A e um corpo, tem o funcional identidade. Se nao e um corpo, pelo teoremade Gelfand-Mazur tem que ter pelo menos um elemento diferente de zero nao invertıvel,o que pelo Corolario 1.3.3 implica a existencia de um ideal maximal. A aplicacao doteorema anterior termina a demonstracao.


Teorema 1.4.7. Numa algebra de Banach A, comutativa e com unidade, um elementoa e invertıvel se e so se para qualquer funcional linear multiplicativo ϕ, nao nulo emA, se tem ϕ(a) = 0.

Dem. Se a e invertıvel entao para qualquer funcional linear multiplicativo nao nuloϕ em A tem-se

1 = ϕ(a)ϕ(a−1)

o que implica que ϕ(a) = 0. Por outro lado, se a nao e invertıvel pelo Corolario 1.3.3existe um ideal maximal M em A que o contem. Ora, pelo Teorema 1.4.5 existe umfuncional linear multiplicativo ϕ nao nulo em A com nucleo M e consequentementeϕ(a) = 0.

Como consequencia do teorema anterior, obtem-se o seguinte resultado:

Teorema 1.4.8. Seja A uma algebra de Banach complexa com unidade e. Sejam a ∈ Ae B = alga a subalgebra de Banach de A gerada por a e pela unidade e. Entao ρB(a)e conexo.

Dem. Suponhamos que σB(a) tem um buraco B ⊂ ρB(a), e seja µ0 ∈ B. Se p for umpolinomio, tem-se pelo princıpio do maximo e pelo teorema da transformacao espectralpara polinomios (ver exercıcio 1.15),

|p(µ0)| ≤ max|p(µ)| : µ ∈ frB

≤ max|p(µ)| : µ ∈ σB(a)

= max|µ| : µ ∈ σB(p(a)) = r(p(a)) ≤ ∥p(a)∥. (1.2)

Da formula anterior pode deduzir-se que para quaisquer dois polinomios p1 e p2, sep1(a) = p2(a) entao p1(µ0) = p2(µ0) (p = p1− p2). Conclui-se que e possıvel definir umfuncional linear multiplicativo ϕ no conjunto dos polinomios de a por

ϕ(p(a)) := p(µ0).

De (1.2), ϕ e contınuo e pode ser estendido ao fecho do conjunto dos polinomios de a,que e B. Uma vez que a = p(a) com p(z) := z, entao ϕ(a) = µ0 com µ0 ∈ σA(a) pelaProposicao 1.4.2, o que e uma contradicao.

1.5 Calculo funcional holomorfo

Sendo a um elemento de uma algebra de Banach A com unidade e f o polinomiode coeficientes complexos f(z) :=

∑nj=0 αjz

j, representa-se por f(a) o elemento de Adefinido por

∑nj=0 αja

j.

1.5. CALCULO FUNCIONAL HOLOMORFO 31

Tentando generalizar a representacao de elementos da algebra utilizando funcoesnao polinomiais, pode-se naturalmente pensar em considerar funcoes inteiras da forma

f(z) =∞∑j=0

αjzj

e representar por f(a) o limite da sucessao∑n

j=0 αjaj, quando n tende para infinito,

f(a) :=∞∑j=0

αjaj,

limite que existe uma vez o espaco e de Banach.Para a funcao nao inteira

fλ(z) :=1

λ− z,

holomorfa em Dλ := z ∈ C : |z| < |λ|, tem-se que

fλ(z) =1

λ

∞∑j=0

(zλ

)j, z ∈ Dλ,

e assim, se ∥a∥ < |λ|, a definicao natural para fλ(a) e,

fλ(a) :=1

λ

∞∑j=0

(aλ

)j= (λe− a)−1.

A questao que se pretende abordar a seguir refere-se precisamente a analise dasfuncoes complexas de variavel complexa, f, para as quais se pode definir o elementof(a) com a ∈ A. Os exemplos anteriores sugerem que f(a) pode ser definido em Asempre que f for uma funcao holomorfa num aberto que contenha σA(a).

Sejam a ∈ A, U um conjunto aberto em C tal que U ⊃ σA(a) e f uma funcaocomplexa holomorfa em U . Seja C ⊂ U uma curva fechada, rectificavel e orientadacom σA(a) na sua regiao interior. Para cada funcional linear φ de A∗, espaco dual deA, a funcao

z 7→ f(z)φ((ze− a)−1)

e contınua em C, existindo o integral

F (φ) :=1

2πi

∫C

f(z)φ((ze− a)−1) dz.

Repare-se que a aplicacao φ 7→ F (φ) ∈ C, define um funcional linear limitado definidoem A∗ tal que

|F (φ)| ≤(

1

2πL supz∈C

|f(z)|∥(ze− a)−1∥)∥φ∥,


onde L e o comprimento da curva C.

Dado que a funcao com valores em A,

z 7→ f(z)(ze− a)−1,

e contınua em C, entao existe em A um elemento f(a) que e o limite das somas

n∑i=0

f(zi)(zie− a)−1(zi+1 − zi)

quando max |zi+1 − zi| → 0 para a particao z0, z1, . . . , zn, zn+1 = z0 de C. Assim,

f(a) := limmax |zi+1−zi|→0

n∑i=0

f(zi)(zie− a)−1(zi+1 − zi).

Tem-se que para qualquer φ ∈ A∗,

φ(f(a)) =1

2πi

∫C

f(z)φ((ze− a)−1) dz = F (φ). (1.3)

Pelo Teorema de Cauchy para integrais de linha, f(a) nao depende da curva C. Sim-bolicamente pode-se entao escrever

f(a) =1

2πi

∫C

f(z)(ze− a)−1 dz,

sendo f(a) o unico elemento de A definido pela condicao (1.3).Tem-se o seguinte resultado:

Teorema 1.5.1. Sejam A uma algebra de Banach com unidade e, a um elementode A e H(σA(a)) a algebra das funcoes holomorfas num conjunto aberto U ⊃ σA(a).Considere-se a aplicacao

Γh : H(σA(a)) → A, f 7→ f(a). (1.4)

Entao:

(i) A aplicacao Γh e um homomorfismo de H(σA(a)) em A;

(ii) A imagem da funcao z 7→ 1 por Γh e a identidade e de A;

(iii) A imagem da funcao z 7→ z por Γh e o elemento a.

1.5. CALCULO FUNCIONAL HOLOMORFO 33

Dem. (i) Que a aplicacao f 7→ f(a) e linear e imediato. Mostre-se que f(a)g(a) =(fg)(a) para f e g duas funcoes holomorfas no aberto U.

Considere-se C1 e C2 duas curvas simples em U contendo σA(a) na sua regiaointerior e tais que C2 esta na regiao interior a C1. Tem-se

f(a)g(a) =

(1

2πi

∫C1

f(z)(ze− a)−1 dz

)(1

2πi

∫C2

g(ξ)(ξe− a)−1 dξ

)= − 1

4π2

∫C1

∫C2

f(z)g(ξ)(ze− a)−1(ξe− a)−1 dξ dz

= − 1

4π2

∫C1

∫C2

f(z)g(ξ)1

z − ξ

((ξe− a)−1 − (ze− a)−1

)dξ dz

= − 1

4π2

∫C1

∫C2

f(z)g(ξ)

z − ξ(ξe− a)−1 dξ dz +

1

4π2

∫C1

∫C2

f(z)g(ξ)

z − ξ(ze− a)−1 dξ dz,

tendo-se para a segunda parcela

1

4π2

∫C1

(∫C2

g(ξ)

z − ξdξ

)f(z)(ze− a)−1 dz = 0,

uma vez que g(ξ)/(z − ξ) e holomorfa na regiao interior a C2 se z ∈ C1. Assim,

f(a)g(a) =1

2πi

∫C2

(1

2πi

∫C1

f(z)

z − ξdz

)g(ξ)(ξe− a)−1 dξ

=1

2πi

∫C2

f(ξ)g(ξ)(ξe− a)−1 dξ

= (fg)(a).

(ii) Seja f(z) = 1 para z ∈ C. Escolhendo convenientemente a curva C tem-se,

f(a) =1

2πi

∫C

(ze− a)−1 dz.

Seja entao C a circunferencia z ∈ C : |z| = ∥a∥+ϵ, com ϵ > 0 fixo. O desenvolvimentode Neumann e valido tendo-se uniformemente para z ∈ C,

(ze− a)−1 =∞∑n=0

an

zn+1.

Sendo a serie anterior integravel termo a termo, entao

f(a) =1

2πi

∫C

∞∑n=0

an

zn+1dz =

∞∑n=0

1

2πi

(∫C

1

zn+1dz

)an = e,


uma vez que para n > 0 a funcao integranda e primitivavel numa vizinhanca de C, eo integral tem o valor 0. Analogamente se demonstra (iii).

Ao homomorfismo (1.4) chama-se calculo funcional holomorfo do elemento a ∈ A.

Conclui-se a seccao com o teorema da aplicacao espectral:

Teorema 1.5.2 (Teorema da Aplicacao Espectral). Sejam A uma algebra de Banachcom unidade e, e a um elemento de A. Seja ainda f ∈ H(σA(a)). Entao:

(i) σA(f(a)) = f(σA(a));

(ii) Se g ∈ H(σA(f(a))), tem-se que (g f)(a) = g(f(a)) e

σA((g f)(a)) = g (σA(f(a)) = g f (σA(a))

Dem. (i) Defina-se b := f(a). Se µ ∈ f(σA(a)), entao h(z) := 1/(f(z) − µ) eholomorfa num aberto contendo σA(a). Seja c := h(a). Tem-se pelo Teorema 1.5.1 que

(b− µe)c = c(b− µe) = (f(a)− µe)h(a) = ((f − µ)h)(a) = e

concluindo-se que µ pertence ao resolvente de b. Por outro lado, se µ ∈ f(σA(a)), entaoµ = f(λ0) para algum λ0 ∈ σA(a). Existe pois uma funcao h, holomorfa num abertocontendo σA(a) tal que

f(λ)− µ = (λ− λ0)h(λ).

Assim, novamente pelo Teorema 1.5.1, tem-se que

b− µe = (a− λ0e)h(a) = h(a)(a− λ0e).

Uma vez que a − λ0e e nao invertıvel entao b − µe e tambem nao invertivel, dondeµ ∈ σA(b). A proposicao (i) esta assim demonstrada.

(ii) Escolham-se curvas simples fechadas C1 e C2 tais que f(σA(a)) esteja contidona regiao interior de C1, C1 esteja contida no domınio de g, e a imagem inversa deC1 atraves de f esteja contida na regiao interior de C2 que devera estar contida no

1.6. CLASSES DE ALGEBRAS DE BANACH 35

domınio de f . Tem-se

(g f)(a) =1

2πi

∫C1

(g f)(z)(ze− a)−1 dz

= − 1

4π2

∫C1

(∫C2

g(ξ)(ξ − f(z))−1 dξ

)(ze− a)−1 dz

= − 1

4π2

∫C2

g(ξ)

(∫C1

(ξ − f(z))−1(ze− a)−1 dz

)dξ

=1

2πi

∫C2

g(ξ)(ξe− f(a))−1 dξ

= g(f(a)).

A condicao relacionada com o espectro segue de imediato da condicao (i).

1.6 Classes de algebras de Banach

Conclui-se o presente capıtulo com dois exemplos concretos e importantes de algebrasde Banach que serao pretexto para, por um lado introduzir a caracterizacao dos opera-dores de Fredholm e diferentes topologias em L(X), e por outro para caracterizar osfuncionais lineares multiplicativos em C(X).

1.6.1 A algebra dos operadores lineares limitados

Um dos exemplos mais importantes de algebras de Banach e a algebra L(X) constituıdapelos operadores lineares limitados T : X → X definidos num espaco de Banach Xsobre um corpo K (R ou C). Considerando no espaco linear L(X) a norma

∥T∥L(X) := sup∥x∥<1

∥Tx∥, T ∈ L(X),

e definindo a multiplicacao como a composicao de operadores, facilmente se concluique L(X) constitui uma algebra de Banach com elemento unidade IX , o operadoridentidade em X, que e nao comutativa se dim X > 1.

Quando X tem dimensao infinita, o conjunto K(X), constituıdo pelos operadorescompactos definidos em X, e um exemplo de um ideal bilateral fechado e nao trivialde L(X). Esta classe de operadores limitados contem a classe dos operadores de ca-racterıstica finita, ou seja, os operadores lineares limitados com imagem de dimensaofinita, que formam um ideal nao fechado em L(X).


Definicao 1.6.1. Sendo X um espaco de Banach, um operador T ∈ L(X) e invertıvelem L(X) se e so se, sendo

Im T := y ∈ X : ∃x ∈ X, y = Tx, Ker T := x ∈ X : Tx = 0,

se tem Im T = X e Ker T = 0.

Note-se que sendo X um espaco de Banach, pelo teorema da aplicacao aberta setem T−1 ∈ L(X) sempre que T e bijectivo.

Nos espacos de Banach X com dimensao infinita, existe uma classe importantede operadores que sao quase invertıveis, no sentido de que sao invertıveis modulo umoperador compacto. Esta classe e a dos operadores de Fredholm que se passa a definir:

Definicao 1.6.2. Seja X um espaco de Banach. Um operador T ∈ L(X) diz-se umoperador de Fredholm se

(i) Im T e fechada;

(ii) dim Ker T <∞ e dim Coker T <∞,

onde Coker T = X/Im T .

Sendo T um operador de Fredholm em X, ao numero inteiro

ind T := dim Ker T − dim Coker T, (1.5)

chama-se ındice de T.

Indicam-se em seguida algumas propriedades importantes dos operadores de Fredholm[28].

Sejam T e S operadores de Fredholm em L(X). Entao:

(i) Existe R ∈ L(X) e operadores com caracterıstica finita K1, K2 tais que TR =I +K1 e RT = I +K2;

(ii) SeK ∈ L(X) e ∥K∥ e suficientemente pequena, T+K e um operador de Fredholme ind T = ind (T +K) (o conjunto dos operadores de Fredholm e aberto em L(X)e o ındice e uma funcao contınua neste conjunto);

(iii) Se K ∈ L(X) e um operador compacto entao T +K e um operador de Fredholme ind T = ind (T +K);

(iv) TS e um operador de Fredholm e ind (TS) = ind T + ind S;


(v) Representando por T ∗ o operador transposto de T , T ∗ : X∗ → X∗, T ∗(φ) = φT ,o operador T ∗ e um operador de Fredholm e ind T ∗ = −ind T .

A algebra quociente L(X)/K(X) e uma algebra de Banach conhecida como algebrade Calkin de X. A classe T + K(X) e invertıvel na algebra de Calkin L(X)/K(X) see so se T e um operador de Fredholm. Sendo T ∈ L(X), o conjunto de todos os λ ∈ Ctais que λI − T nao e um operador de Fredholm e chamado o espectro essencial de Te e representado por σess(T ). Assim, o espectro essencial de T em L(X) e o espectrode T +K(X) em L(X)/K(X), tendo-se obviamente que

σess(T ) ⊂ σ(T )

para qualquer T ∈ L(X).

Definicao 1.6.3. Um homomorfismo sym : L(X) ⊃ A1 → A2 diz-se um sımbolo deFredholm para a algebra A1 na algebra A2, se sym for um homomorfismo contınuo coma propriedade de que a ∈ A1 e Fredholm se e so se sym(a) ∈ A2 for invertıvel em A2.

Dado um espaco de Banach X, e possıvel definir varias topologias em L(X). Tressao particularmente importantes: a topologia da norma, a topologia forte e a topologiafraca. Cada uma topologias mencionadas tem uma relacao directa com um modo deconvergencia de sucessoes em L(X).

Definicao 1.6.4. A topologia da norma, ou topologia uniforme, e a topologia induzidapela norma de L(X), ou seja, e a mais fraca topologia em L(X) que torna contınua anorma ∥ · ∥ : L(X) → R+.

Esta topologia, que e a mais forte das tres topologias, e gerada pelas bases devizinhancas

Vϵ(T0) := T ∈ L(X) : ∥T − T0∥ < ϵ, T0 ∈ L(X), ϵ > 0.

Dada uma sucessao (Tn)n∈N em L(X), diz-se que (Tn) converge uniformemente paraT ∈ L(X) se ∥Tn − T∥L(X) → 0. Neste texto, sempre que nada se diga em contrario,representa-se a convergencia uniforme de (Tn)n∈N para T, simplesmente por lim

n→∞Tn = T

Definicao 1.6.5. A topologia forte em L(X) e a topologia gerada pela famılia desemi-normas ∥ · ∥xx∈X , com ∥T∥x := ∥Tx∥X , T ∈ L(X) e x ∈ X.

E possıvel definir outras topologias em L(X) designadas na literatura tambem como“fortes”, mas que nao sao equivalentes. A topologia forte definida neste texto e desig-nada na literatura inglesa por “Strong Operator Topology” (SOT). Saliente-se que coma topologia forte de operadores em L(X), a convergencia de sucessoes nao e equivalente


a convergencia de redes. Dada uma sucessao (Tn)n∈N em L(X) , diz-se que (Tn) convergefortemente para T, representando-se por lim

n→∞Tn = T (SOT), se ∥Tnx − Tx∥L(X) → 0

para qualquer x ∈ X.Finalmente defina-se a topologia fraca. A topologia que se vai considerar nao e

a topologia fraca de L(X) como espaco de Banach, gerada directamente pela famıliade semi-normas ∥ · ∥φφ∈L∗ , com ∥T∥φ := |φ(T )|, onde L∗ designa o dual topologicode L(X), ou seja, o espaco dos funcionais lineares contınuos em L(X). Em vez deL∗, considera-se o dual topologico, X∗, de X. Na literatura inglesa designa-se estatopologia por “Weak Operator Topology” (WOT) e e mais fraca que a topologia fracade Banach.

Definicao 1.6.6. Chama-se topologia fraca em L(X), a topologia gerada pela famıliade semi-normas ∥ · ∥x,φx∈X,φ∈X∗ , com ∥T∥x,φ := |φ(Tx)|.

Dada uma sucessao (Tn)n∈N em L(X), diz-se que (Tn) converge fracamente para T ∈L(X, e representa-se por lim

n→∞Tn = T (WOT), se |φ(Tnx− Tx)| → 0 para qualquer x ∈

X, φ ∈ X∗. E imediato verificar que a convergencia uniforme implica a convergenciaforte e que esta implica a convergencia fraca. As implicacoes no sentido contrario naose verificam.

1.6.2 A algebra das funcoes contınuas

Seja X um espaco de Hausdorff compacto e C(X) o conjunto de todas as funcoescom valores complexos definidas e contınuas em X. Munindo C(X) com as habituaisoperacoes pontuais de soma de funcoes, produto por um escalar, produto de funcoes,e a norma do supremo definida por

∥f∥∞ = supx∈X

|f(x)|, f ∈ C(X),

C(X) e uma algebra de Banach comutativa com unidade.Se X0 ⊂ X e um conjunto fechado, entao o conjunto

IX0 := f ∈ C(X) : f(X0) = 0 (1.6)

e um ideal fechado de C(X). Reciprocamente, facilmente se verifica que todos os ideaisfechados de C(X) sao da forma (1.6). Existe pois uma correspondencia de um para umentre os ideais fechados de C(X) e os conjuntos fechados de X. Os ideais maximaiscorrespondem aos menores conjuntos fechados, isto e, aos conjuntos singulares de X esao definidos por Ix := f ∈ C(X) : f(x) = 0, x ∈ X.

Caracterize-se pela sua importancia os funcionais lineares multiplicativos definidosna algebra C(X).


Seja X um espaco de Hausdorff compacto e A = C(X). Para x ∈ X, o funcionaldefinido por

ϕx : A → C, ϕx(f) = f(x)

constitui obviamente um funcional linear multiplicativo designado por funcional deavaliacao em x . Estabelece-se a seguir um resultado mais forte.

Proposicao 1.6.1. Qualquer funcional linear multiplicativo ϕ sobre C(X) e um fun-cional de avaliacao para algum x ∈ X. Precisamente, se ϕ e um funcional linearmultiplicativo em C(X), entao existe x ∈ X tal que ϕ = ϕx, com ϕx(f) = f(x),f ∈ C(X).

Dem. Admita-se que existe um funcional linear multiplicativo ϕ : C(X) → C tal queϕ = ϕx para qualquer x ∈ X, ou seja, suponha-se que

Ker ϕ ⊂ Ker ϕx, x ∈ X.

Para qualquer x ∈ X, existe entao fx ∈ Ker ϕ tal que

fx(x) = ϕx(fx) = 0.

Uma vez que fx ∈ C(X) existe uma vizinhanca Vx de x na qual fx(y) = 0 para y ∈ Vx,ou seja,

|fx(y)|2 = fx(y)fx(y) = 0 para y ∈ Vx.

Como X e compacto, e possıvel considerer uma cobertura de X com um numero finitode vizinhancas Vxk , com x1, . . . , xn ∈ X, e funcoes fx1 , . . . , fxn ∈ Ker ϕ por forma aque

|fxk(y)|2 = 0 para y ∈ Vxk .

Assim,

f(y) :=n∑k=1

|fxk(y)|2 > 0, y ∈ X,

constitui uma funcao contınua em X cujo inverso em C(X) e g := 1/f . Tem-se entaoque

1 = ϕ(fg) = ϕ

(n∑k=1

fxkfxkg

)=

n∑k=1

ϕ (fxk)ϕ(fxk)ϕ (g) = 0

o que e absurdo. Conclui-se que Ker ϕ ⊂ Ker ϕx para algum x ∈ X, e uma vez queambos sao ideais maximais, tem-se Ker ϕ = Ker ϕx e consequentemente, ϕ = ϕx paraalgum x ∈ X.


1.7 Exercıcios

Exercıcio 1.1. Considere o conjunto dos numeros complexos C como um espacovectorial sobre o corpo dos reais, com a norma habitual. Mostre que com a introducaoda multiplicacao usual entre numeros complexos se obtem uma algebra de Banach.

Exercıcio 1.2. Duas normas, ∥.∥1 e ∥.∥2, definidas sobre o mesmo conjunto A, dizem-se equivalentes se exitir uma constante positiva C tal que para cada a ∈ A se temC−1∥a∥1 ≤ ∥a∥2 ≤ C∥a∥1.

(i) Mostre que a equivalencia de normas e uma relacao de equivalencia;

(ii) Mostre que a propriedade (v) da definicao de algebra de Banach (Definicao 1.1.6)nao e essencial, ou seja, mostre que se ∥.∥ e uma norma que verifica (iv), masnao (v), entao e possıvel definir uma norma equivalente que verifique ambas aspropriedades.

Exercıcio 1.3. Prove as afirmacoes do Exemplo 1.1.4.

Exercıcio 1.4. Considere o exemplo 1.1.7.

(i) Representando f e g por∑+∞

n=−∞ fnξn e∑+∞

n=−∞ gnξn, respectivamente, encontre

a representacao em serie do produto fg.

(ii) Considere o espaco de Banach l1 das sucessoes (αn)n∈N de termos em C tais que

∥(αn)∥l1 =∑n∈N

|αn| <∞.

Defina em l1 uma multiplicacao por forma a que se obtenha uma algebra deBanach isomorfa a algebra de Wiener.

Exercıcio 1.5. Considere uma algebra de Banach A. A cada a ∈ A faca-se corres-ponder o operador La : A → A definido por La(x) := ax com x ∈ A, designado porrepresentacao regular esquerda de a.

(i) Mostre que La ∈ L(A).

(ii) Mostre que A1 := La : a ∈ A e uma subalgebra da algebra L(A).

(iii) Prove que A1 e fechada em L(A) para a norma ∥La∥ = sup∥x∥<1 ∥ax∥.

1.7. EXERCICIOS 41

(iv) Mostre que as algebras A e A1 sao isometricamente isomorfas.

Exercıcio 1.6. Prove que o espaco L1(R) com a norma habitual e a multiplicacaodefinida pela convolucao

(f ∗ g)(t) :=∫ +∞

−∞f(t− x)g(x) dx

e uma algebra de Banach comutativa. Tem unidade?

Exercıcio 1.7. Seja A uma algebra sem unidade sobre um corpo K. Considere noproduto cartesiano A := (a, λ) : a ∈ A, λ ∈ K a estrutura vectorial habitual e aoperacao de multiplicacao dada por

(a, α)(b, β) := (ab+ βa+ αb, αβ).

Prove que munida da norma ∥(a, λ)∥ := ∥a∥ + |λ|, A e uma algebra de Banach comunidade.

Exercıcio 1.8. Sejam A uma algebra de Banach com unidade, e a ∈ A. ConsidereB := alga a subalgebra de Banach de A gerada por a e pela unidade e. Mostre queB e o fecho do conjunto de polinomios em a de coeficientes complexos. Verifique quealga e comutativa.

Exercıcio 1.9. Estenda a nocao de isomorfismo entre algebras dada na Definicao 1.1.2para o caso em que as algebras sao definidas sobre diferentes corpos K1 e K2, em queK1 ⊂ K2. Verifique se a algebra de Banach dos numeros reais, com as operacoes usuais,sobre o corpo Q dos numeros racionais, e “isomorfa”a algebra de Banach dos numerosreais sobre o corpo R.

Exercıcio 1.10. Considere numa algebra com unidade A, o conjunto dos seus elemen-tos invertıveis, GA. Prove que GA com a multiplicacao normal da algebra define umgrupo.

Exercıcio 1.11. Seja A uma algebra com unidade. Considere a, b dois elementos deA. Mostre que, se ab e ba sao elementos invertıveis entao a e b sao tambem elementosinvertıveis.

Exercıcio 1.12. Seja l2 o espaco de Hilbert das sucessoes (αn)n∈N de termos em Ctais que

∥(αn)∥l2 =

√√√√ ∞∑i=1

|αi|2 <∞.


Considere operador de deslocamento

Sr : (α1, α2, α3, ...) 7→ (0, α1, α2, α3, ...).

Prove que Sr ∈ L(l2) e determine a sua norma. Verifique que Sr e invertıvel a esquerdamas nao invertıvel a direita.

Exercıcio 1.13. Considere uma algebra de Banach A com unidade, e a ∈ A. Proveque se a for nilpotente (isto e, existe um n ∈ N tal que an = 0), entao σA(a) = 0.

Exercıcio 1.14. Seja A uma algebra com unidade, e (an) uma sucessao de termos emA convergente para um elemento a ∈ A. Prove que se (αn) constituir uma sucessao deescalares tais que αn ∈ σA(an), para n ∈ N, e αn → α, entao α ∈ σA(a).

Exercıcio 1.15. Seja A uma algebra com unidade. Prove, sem recorrer ao Teorema1.5.2, que:

(i) Se a ∈ A e λ ∈ σA(a) entao λ2 ∈ σA(a

2);

(ii) Mais genericamente, se p(λ) :=∑n

k=0 αkλk for um polinomio em λ, com αk ∈ C,

entao σA(p(a)) = p(σA(a)).

Este resultado e conhecido como teorema da aplicacao espectral para polinomios.

Exercıcio 1.16. Considere uma algebra de Banach A com unidade.

a) Mostre que para qualquer a ∈ A,

r(a2) = r2(a);

b) Prove que sao equivalentes as proposicoes:

(i) Existe c > 0 tal que (c∥x∥2 ≤ ∥x2∥, ∀x ∈ A);

(ii) Existe d > 0 tal que (d∥x∥ ≤ r(x), ∀x ∈ A);

c) Prove que sao equivalentes as proposicoes:

(i) ∀x ∈ X, ∥x∥2 = ∥x2∥;

(ii) ∀x ∈ X, ∥x∥ = r(x) .

1.7. EXERCICIOS 43

Exercıcio 1.17. Considere uma algebra de Banach A com unidade. Defina-se aexponencial de um elemento a ∈ A como

exp(a) :=∞∑n=0

an

n!.

Verifique que:

a) Para qualquer a ∈ A, a exponencial de a esta bem definida, ou seja, que a serie∑∞n=0

an

n!e absolutamente converge;

b) Para qualquer a ∈ A,∥ exp(a)∥ ≤ exp(∥a∥);

c) Se a, b ∈ A sao tais que ab = ba, entao exp(a+ b) = exp(a) exp(b);Sugestao: Use o Teorema de Banach-Steinhaus

d) Para qualquer a ∈ A, exp(a) e invertıvel e (exp(a))−1 = exp(−a);

e) Seja H um espaco de Hilbert. Considere um operador A ∈ L(H) e uma sucessao(An)n∈N em L(H) tal que ∥Anx − Ax∥ → 0, para qualquer x ∈ H. Prove que∥ exp(An)x− exp(A)x∥ → 0 para qualquer x ∈ H.

Exercıcio 1.18. Sejam A e B algebras de Banach com unidade e tais que B ⊂ A.Prove que se b ∈ B e σB(b) ⊂ R entao σB(b) = σA(b).

Exercıcio 1.19. Seja A uma algebra de Banach nao comutativa. Uma subalgebracomutativa maximal de A e uma subalgebra comutativa de A tal que qualquer outrasubalgebra de A que a contem estritamente ja nao e comutativa. Seja B ⊂ A umasubalgebra comutativa maximal de A. Se b ∈ B, prove que σB(b) = σA(b).

Exercıcio 1.20. Seja A uma algebra de Banach com unidade, B uma subalgebraunital de A e J ⊂ B um ideal bilateral de A. Prove que se a algebra quociente B/Je fechada para a inversao em A/J , entao B e fechada para a inversao em A.

Exercıcio 1.21. Um elemento p de uma algebra diz-se idempotente se p2 = p. SejaA uma algebra de Banach com unidade, B uma subalgebra unital de A fechada paraa inversao e p ∈ B um elemento idempotente. Mostre que:

a) pAp := pap : a ∈ A e uma algebra com unidade p.

b) pBp e fechada para a inversao em pAp.


Exercıcio 1.22. Sejam A uma algebra de Banach com unidade, p ∈ A um idempo-tente, q := e− p, e a, b, c elementos de A com c invertıvel. Mostre que:

a) e+ ab e invertıvel se e so se e+ ba e invertıvel.Sugestao: Verifique a igualdade (e+ ab)−1 = e− a(e+ ba)−1b;

b) σ(ab) ∪ 0 = σ(ba) ∪ 0;

c) pcp e invertıvel em pAp se e so se qc−1q e invertıvel em qAq.Sugestao: Verifique a igualdade de Kozak

(pcp)−1 = pc−1p− pc−1q(qc−1q)−1qc−1p.

Exercıcio 1.23. Seja A uma algebra sobre um corpo K com unidade e, e seja p = eum idempotente nao nulo de A.

a) Mostre que algp e constituıda pelos elementos da forma αp + β(e − p) comα, β ∈ K;

b) Determine o espectro de αp+ β(e− p) em algp;

c) Recorde o definicao de exponencial dada no Exercıcio 1.17; Determine exp(a),para a ∈ algp.

Exercıcio 1.24. Seja A := algs, em que s e um elemento tal que s2 = e. Encontreum criterio de invertibilidade para os elementos desta algebra.Sugestao: Encontre um elemento idempotente p ∈ A tal que A = algp.

Exercıcio 1.25. Considere a algebra Mn(R). Investigue os seus ideais esquerdos,direitos e bilaterais. Qual radical de Mn(R)?

Exercıcio 1.26. Considere agora a subalgebra A deM2(R) constituıda pelas matrizestriangulares superiores. Investigue os seus ideais esquerdos, direitos e bilaterais. Qualo radical de A?

Exercıcio 1.27. Sejam A uma algebra de Banach com unidade, B uma subalgebraunital de A e J ⊂ B um ideal bilateral de A. Prove que se a algebra quociente B/Je fechada para a inversao em A/J , entao B e fechada para a inversao em A.

1.7. EXERCICIOS 45

Exercıcio 1.28. Sejam A uma algebra de Banach com unidade e J um ideal bilateralfechado de A. Mostre que o homomorfismo canonico ΦJ : a 7→ a+J , de A na algebraquociente A/J , tem norma 1.

Exercıcio 1.29. Seja A uma algebra de Banach com unidade e. Considere o idealdireito

R′A := ∩D, D ideal maximal direito de A.

a) Prove o Lema 1.3.9 com RA substituıdo por R′A;

b) Prove que um elemento a ∈ A pertence a R′A se e so se e− ax e invertıvel para

qualquer x ∈ A;

c) Prove que R′A = RA, ou seja, o radical de A e a interseccao de todos os ideais

maximais direitos de A.Sugestao: Utilize as alıneas a) e b) e o Exercıcio 1.22).

Exercıcio 1.30. SejaA uma algebra de Banach com unidade. Mostre que um elementor ∈ A pertence ao radical RA se e so se σ(a) = σ(a+ r) para qualquer a ∈ A.Sugestao: Fixando a ∈ A, comece por provar que o conjunto

b ∈ A : σ(a) = σ(a+ b)

e um ideal esquerdo de A.

Exercıcio 1.31. Dada uma algebra de Banach A, mostre que a algebra quocienteA/RA e semi-simples.

Exercıcio 1.32. Considere as algebras

M2(R) e A := A ∈M2(R) : A e triangular superior.

Investigue os seus funcionais lineares multiplicativos.

Exercıcio 1.33. Considere o espaco de Banach l∞ constituido pelas sucessoes (αn)n∈Nde termos em C que sao limitadas, ou seja, tais que

∥(αn)∥l∞ = supn∈N

|αn| <∞.

Sejam l∞c e l∞0 os subespacos de l∞ constituidos pelas sucessoes com limite finito e comlimite 0, respectivamente.


a) Mostre que l∞ e l∞c , com a multiplicacao pontual, sao algebras de Banach comu-tativas;

b) Mostre que l∞0 e um ideal proprio fechado de l∞;

c) Encontre um funcional linear multiplicativo em l∞c com nucleo l0∞ e conclua quel∞0 e um ideal maximal em l∞;

Exercıcio 1.34. Demonstre a proposicao (iii) do Teorema 1.5.1.

Exercıcio 1.35. Seja g(z) :=∑∞

n=0 αnzn uma funcao inteira e A uma algebra de

Banach com unidade. Mostre que se a ∈ A entao tem g(a) =∑∞

n=0 αnan.

Exercıcio 1.36. Seja K ⊂ C um conjunto nao vazio e compacto. Sejam A umaalgebra de Banach com unidade e AK o conjunto definido por

AK := a ∈ A : σ(a) ⊂ K.

Mostre que se f e uma funcao holomorfa num aberto contendo K, entao o calculofuncional

AK → A, a 7→ f(a)

e contınuo.

Exercıcio 1.37. Mostre, utilizando o calculo funcional, que o inverso de uma matrizinvertıvel esta na algebra (fechada ou nao) por ela gerada.

Exercıcio 1.38. Seja A uma algebra de Banach com unidade.

a) Se a ∈ A tal que 0 esta na componente conexa ilimitada de ρA(a), mostre que ae invertıvel e a−1 pertence a algebra fechada alga gerada por a e pela unidade.Sugestao: Utilize o teorema de Runge3.

b) Mostre, com um exemplo, que no caso geral nem sempre a−1 ∈ alga. Calcule,para esse exemplo os espectros σA(a) e σalga(a)

Exercıcio 1.39. Sejam A uma algebra de Banach com unidade, I um ideal de A ea ∈ A. Se f ∈ H(σA(a)) tal que f(0) = 0, mostre que f(a) ∈ I.

3Teorema de Runge: Se K for um subconjunto compacto de C tal que C \K e conexo, e f e umafuncao holomorfa em K, entao existe uma sucessao de polinomios que aproxima uniformemente f emK.

1.7. EXERCICIOS 47

Exercıcio 1.40. Sendo A uma algebra de Banach com unidade e, e a, b elementos deA tais que ab = ba. Mostre que:

a) σA(ab) ⊂ σA(a)σA(b);

b) σA(a+ b) ⊂ σA(a) + σA(b).

Exercıcio 1.41. Seja A uma algebra de Banach, I um ideal de A,e a ∈ A. Sef ∈ H(σA(a)) tal que f(0) = 0, mostre que f(a) ∈ I.

Exercıcio 1.42. Seja X um espaco de Banach de dimensao infinita e K(X) o idealdos operadores compactos em L(X). Enuncie e prove um teorema espectral para oespectro essencial de um operador.

Exercıcio 1.43. Considere o espaco lp, 1 ≤ p < ∞, das sucessoes (αn)n∈N tais que∑n |xn|p <∞. Seja I o operador identidade, Sr o operador

Sr : (α1, α2, α3, . . .) 7→ (0, α1, α2, α3, . . .)

e Sl o operadorSl : (α1, α2, α3, . . .) 7→ (α2, α3, . . .).

a) Mostre que Sr e Sl sao limitados.

b) Considere a sucessao de operadores (Sn)n∈N com Sn := Snr . Estude a sua con-vergencia fraca, forte e uniforme.

c) Repita o estudo para a sucessao (S−n)n∈N com S−n := Snl .

d) Considere os operadores Qn := SnS−n e Pn := I−Qn. Mostre que sao projeccoese analise as respectivas sucessoes em termos de convergencia.

Capıtulo 2

Representacoes de algebras deBanach

As algebras normadas aparecem historicamente como uma abstraccao de objectos maisconcretos como os conjuntos de operadores limitados. O presente capıtulo e dedicadoa questao inversa, dada uma algebra abstracta em que condicoes e possıvel encontraruma realizacao concreta dessa algebra.

Comeca-se por introduzir a teoria de Gelfand para algebras de Banach complexas ecomutativas. O resultado central da teoria e o teorema de Gelfand que relaciona os ele-mentos da algebra com funcoes contınuas definidas num determinado espaco de Haus-dorff compacto. Posteriormente introduzem-se as bases da teoria das representacoesem algebras de Banach nao comutativas, nomeadamente analisam-se representacoes ir-redutıveis, algebras primitivas, ideais primitivos e o radical de Jacobson de uma algebrade Banach.

A concluir o capıtulo apresentam-se generalizacoes da teoria de Gelfand para classesde algebras com centro nao trivial e para classes de algebras que generalizam direc-tamente as algebras comutativas, algebras cujos geradores verificam uma identidadepolinomial.

2.1 A transformada de Gelfand

2.1.1 Transformada e transformacao de Gelfand

O objectivo da presente seccao e demonstrar o famoso teorema de Gelfand, que afirmaque sob certas condicoes uma algebra de Banach comutativa B e isomorfa a umasubalgebra de C(X), com X um espaco de Hausdorff compacto que depende da es-trutura interna da algebra B.

Comece-se por recordar alguns resultados do capıtulo anterior.

49

50 CAPITULO 2. REPRESENTACOES DE ALGEBRAS DE BANACH

Considere-se B uma algebra de Banach complexa, comutativa e com unidade e.Sendo J um ideal maximal de B, entao a algebra quociente B/J e isomorfa ao corpoC dos numeros complexos (Corolario 1.3.7). A cada ideal maximal J de B e a cadab ∈ B, e possıvel associar um numero complexo ϕJ (b), que e a imagem da classe b+Jpelo isomorfismo referido. A aplicacao

ϕJ : b 7→ ϕJ (b)

e o funcional linear multiplicativo em B cujo nucleo e J . Pelo Teorema 1.4.5, estessao exactamente os funcionais lineares multiplicativos definidos na algebra B tendo-seassim uma relacao de um para um entre os funcionais lineares multiplicativos e osideais maximais da algebra B. Represente-se por MB o conjunto dos ideais maximaisda algebra B.

Definicao 2.1.1. Dado um elemento b ∈ B seja b a funcao complexa em MB definidapor

b : MB → C , J 7→ ϕJ (b) .

Esta funcao designa-se por transformada de Gelfand de b ∈ B.

Observe-se que dada a identificacao entre os ideais maximais da algebra de Banachcomutativa B e os funcionais lineares multiplicativos nao nulos de B, a transformadade Gelfand do elemento b ∈ B pode representar-se, de forma equivalente, por

b : MB → C , ϕ 7→ ϕ(b) ,

entendendo-se neste caso MB como o conjunto dos funcionais lineares multiplicativosnao nulos em B. No presente capıtulo sera adoptada a notacao da definicao 2.1.1, quedistingue formalmente ideais maximais dos seus funcionais multiplicativos associados,pela sua importancia em certas generalizacoes da teoria de Gelfand que serao aquianalisadas.

E necessario introduzir uma estrutura topologica no conjunto MB.

Definicao 2.1.2. Designa-se por topologia de Gelfand em MB a topologia mais fracaem MB que torna contınuas todas as transformadas de Gelfand b , b ∈ B. Designa-se oconjunto MB munido da topologia de Gelfand como o espaco dos ideais maximais daalgebra de Banach B.

A topologia de Gelfand e assim a topologia gerada pela famılia de subconjuntos deMB,

b−1(U) : b ∈ B, U aberto contido em C.

Identificando o conjunto dos ideias maximais de B com o conjunto dos funcionaislineares multiplicativos nao nulos de B, o espaco MB constitui um subconjunto do

2.1. A TRANSFORMADA DE GELFAND 51

dual topologico B∗ de B, e a topologia de Gelfand em MB coincide exactamente coma topologia induzida em MB pela topologia w∗ de B∗, definida como a topologia maisfraca que torna todas as funcoes

fb : B∗ → C, φ 7→ φ(b)

contınuas, com b ∈ B.

Teorema 2.1.1. Seja B uma algebra de Banach complexa comutativa e com unidade.Entao o espaco dos ideais maximais MB e um espaco de Hausdorff compacto.

Dem. A bola unitaria fechada de B∗,

B01(B∗) := ϕ ∈ B∗ : ∥ϕ∥ ≤ 1,

constitui, pelo teorema de Alaoglu1, um espaco de Hausdorff compacto quando nele seconsidera a topologia induzida w∗ do dual de B. Ora, MB ⊂ B∗ e uma vez que paraϕx ∈ MB se tem ∥ϕx∥ = 1, entao MB ⊂ B01(B∗). Para estabelecer o teorema restaobservar que MB e fechado em B01(B∗). Efectivamente, sendo (ϕα) uma rede em MBtal que ϕα → ϕ ∈ B01(B∗) na topologia w∗, tem-se

ϕ(b1b2) = limαϕα(b1b2) = lim

αϕα(b1)ϕα(b2) = lim

αϕα(b1) lim

αϕα(b2) = ϕ(b1)ϕ(b2),

para quaisquer b1, b2 ∈ B, logo ϕ ∈MB.

Seja C(MB) a algebra de Banach das funcoes complexas e contınuas definidas emMB com as habituais operacoes pontuais e a norma do supremo

∥f∥∞ = supx∈MB

|f(x)|, f ∈ C(MB)2.

A transformacao de Gelfand de B pode agora ser introduzida.

Definicao 2.1.3. Sendo B uma algebra de Banach complexa comutativa e com uni-dade, a aplicacao : B → C(MB) , b 7→ b

chama-se transformacao de Gelfand de B .

1Teorema de Alaoglu: Sejam A um espaco de Banach e A∗ o seu dual topologico. Tem-se quea bola unitaria fechada de A∗, B01(A∗) := φ ∈ A∗ : ∥φ∥ ≤ 1, constitui um conjunto fracamentecompacto em A∗.

2Por simplicidade de notacao substitui-se no que segue a notacao J , escolhida para designar umideal maximal de MB, por x.


O proximo resultado resume as propriedades da transformacao de Gelfand daalgebra B.

Teorema 2.1.2 (Teorema de Gelfand). Seja B uma algebra de Banach complexa co-mutativa e com unidade e. Entao

(i) a transformacao de Gelfand e um homomorfismo contınuo;

(ii) o elemento b ∈ B e invertıvel se e so se b(x) = ϕx(b) = 0 qualquer que sejax ∈MB;

(iii) o conjunto B := b : b ∈ B e uma subalgebra de C(MB), que separa os pontos deMB e contem a identidade de C(MB). A norma da transformacao de Gelfand e 1;

(iv) o nucleo de e o radical de B. A transformacao de Gelfand e um isomorfismo

entre B e B se e so se a algebra B e semi-simples;

(v) se b ∈ B, entao o seu espectro e igual ao contradomınio de b e r(b) = ∥b∥∞.

Dem. (i) A definicao da topologia de Gelfand em MB garante que cada funcao b e

contınua e uma vez que b1 + b2 = b1 + b2, λb1 = λb1 e b1b2 = b1b2, para b1, b2 ∈ B eλ ∈ C, a transformacao de Gelfand e um homomorfismo. Tem-se ainda que

∥b∥∞ = supx∈MB

|b(x)| = supx∈MB

|ϕx(b)| ≤ ∥b∥,

concluındo-se que a transformacao de Gelfand e contınua.(ii) Trata-se de uma consequencia directa do Teorema 1.4.7.(iii) Tomem-se dois ideais maximais x1 = x2 em MB. Escolhendo um elemento

b1 ∈ x1 tal que b1 ∈ x2 obtem-se que b1(x1) = 0 mas b1(x2) = 0. Tem-se ainda quee(x) = 1 para qualquer x ∈MB, o que, de (i), permite concluir que a norma de e 1.

B e finalmente uma subalgebra de C(MB), dado que e um homomorfismo.

(iv) Basta recordar que b(x) = 0, para qualquer x ∈ MB, se e so se b ∈ x paraqualquer x ∈MB.

(v) Finalmente, tem-se que

λ ∈ σB(b) ⇔ λe− b nao e invertıvel,

o que de (ii) e equivalente a λe− b(x) = 0 para algum x ∈ MB, o que e equivalente a

λ− b(x) = 0 para algum x ∈MB, ou seja, λ ∈ b(MB). Pela definicao de raio espectral

obtem-se de imediato que r(b) = supx∈MB|b(x)| = ∥b∥∞.

Como consequencia do teorema de Gelfand tem-se o seguinte resultado:


Corolario 2.1.3. Toda a algebra de Banach complexa comutativa semi-simples e comunidade e isomorfa a uma algebra de funcoes complexas e contınuas definidas numespaco compacto de Hausdorff.

Note-se que em geral a transformacao de Gelfand de B nao e uma isometria nemuma aplicacao sobrejectiva. Para que tais propriedades sejam satisfeitas, a algebra deBanach em questao tem que possuir mais estrutura.

Proposicao 2.1.4. Seja B uma algebra de Banach complexa comutativa e com unidade.Para b ∈ B, sao equivalentes as seguintes condicoes:

(i) ∥b2∥ = ∥b∥2;

(ii) r(b) = ∥b∥;

(iii) ∥b∥∞ = ∥b∥.

Dem. De (i) tem-se que ∥b2k∥ = ∥b∥2k para qualquer natural k. Aplicando a formulapara o raio espectral (Teorema 1.2.7) obtem-se

r(b) = limn→∞

∥bn∥1n = lim

k→∞∥b2k∥

12k = lim

k→∞∥b∥ = ∥b∥.

A proposicao (i) conduz assim a (ii). Ora, pelo teorema da aplicacao espectral, seλ ∈ σB(b), entao λ

2 ∈ σB(b2). Obtem-se entao ∥b2∥ = r(b2) = r(b)2 = ∥b∥2, concluındo-

se assim que (ii) implica (i). Da condicao (v) do Teorema 2.1.2 tem-se a equivalenciaentre (ii) e (iii).

A garantia de sobrejectividade para a transformada de Gelfand exige ainda maisestrutura do que a descrita na proposicao anterior. No Capıtulo 3 estudar-se-a emprofundidade um tipo de algebras com a estrutura suficiente, as algebras C∗.

2.1.2 A transformacao de Gelfand em L1(R)Sendo MA o espaco dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos de uma algebrade Banach A comutativa e sem unidade, a transformacao de Gelfand : A → C(MA)pode ser definida exactamente da mesma forma que quando A tem unidade. Com atopologia de Gelfand, MA e neste caso um espaco Hausdorff localmente compacto e aimagem da transformacao de Gelfand esta contida na algebra de Banach nao unitariaC0(MA), a subalgebra de C(MA) constituıda pelas funcoes que se anulam no infinito.

Teorema 2.1.5. Se A e uma algebra de Banach comutativa e sem unidade entao asua transformada de Gelfand e uma contraccao de A em C0(MA).


Dem. E imediato verificar que e um homomorfismo contractivo. Mostre-se quepara qualquer a ∈ A, a ∈ C0(MA).

Fixe-se a ∈ A. O conjunto

Xϵ = φ ∈MA : |φ(a)| = |a(φ)| ≥ ϵ,

com ϵ > 0, e fechado para a topologia w∗ em MA. Dado que MA e compacto entao omesmo sucede com Xϵ. Para qualquer ϵ > 0 existe assim um conjunto compacto Xϵ

em MA tal que para φ ∈MA \Xϵ se tem |a(φ)| < ϵ. Consequentemente, a anula-se em∞ tendo-se a ∈ C0(MA).

Seja L1(R) o espaco de Banach das funcoes (classes de equivalencia) absolutamenteintegraveis em R, no qual se considera a norma usual

∥f∥1 =∫R|f(x)| dx, f ∈ L1(R).

Com a operacao de multiplicacao dada pela convolucao

(f ∗ g)(t) =∫Rf(t− x)g(x) dx, f, g ∈ L1(R),

L1(R) constitui uma algebra de Banach comutativa e sem unidade.

Tendo como objectivo a construcao da transformacao de Gelfand de L1(R), comece-se por identificar ML1(R), o espaco dos funcionais lineares multiplicativos de L1(R).

Lema 2.1.6. Para qualquer t ∈ R o funcional linear φt em L1(R), definido por

φt(f) =

∫Rf(x) exp(itx)dx, (2.1)

e um funcional linear multiplicativo em L1(R).

Dem. Recorrendo ao teorema de Fubini, para quaisquer f, g ∈ L1(R), tem-se

φt(f ∗ g) =∫R(f ∗ g)(x) exp(itx) dx

=

∫Rexp(itx)

∫Rf(x− y)g(y) dy dx

=

∫Rexp(ity)g(y)

∫Rexp(it(x− y))f(x− y) dx dy

=

∫Rexp(ity)g(y)

∫Rexp(itx)f(x) dx dy

= φt(f).φt(g).


O funcional φt e assim multiplicativo.

Estabelece-se em seguida um lema fundamental para demonstrar o resultado centraldesta seccao.

Lema 2.1.7. Seja f : R → C uma funcao contınua e limitada. Se para quaisquerx, y ∈ R, se tem

f(x)f(y) = f(x+ y), (2.2)

entao ou f(x) = 0 para qualquer x ∈ R, ou existe t ∈ R tal que

f(x) = exp(itx), x ∈ R.

Dem. Nao sendo f a funcao identicamente nula, e imediato que f(0) = 1 e dacontinuidade de f existe δ > 0 tal que

c =

∫ δ

0

f(y) dy = 0.

Assim, para qualquer x ∈ R,

cf(x) =

∫ δ

0

f(x)f(y) dy =

∫ δ

0

f(x+ y) dy =

∫ δ+x

x

f(y) dy.

Ora, sendo f contınua, o integral indefinido anterior e diferenciavel em x o que significaque f e continuamente diferenciavel. Assim, derivando (2.2) em ordem a y e fazendoy = 0, obtem-se

f ′(x) = λf(x)

em que λ = f ′(0).Conclui-se pois da condicao inicial f(0) = 1 que, para qualquer x ∈ R,

f(x) = exp(λx)

em que, como f e uma funcao limitada, λ e necessariamente um imaginario puro.

Teorema 2.1.8. A aplicacao

Θ : t 7→ φt

definida em (2.1) constitui um homeomorfismo de R no espaco dos funcionais linearesmultiplicativos nao nulos de L1(R).


Dem. Do Lema 2.1.6 tem-se que Θ transforma R num subconjunto deML1(R), espacodos funcionais lineares multiplicativos nao nulos de L1(R).

Mostre-se que Θ e uma aplicacao sobrejectiva. Seja φ ∈ ML1(R) que em particularconstitui um funcional linear do dual topologico de L1(R). Seja hφ ∈ L∞(R) tal que

φ(f) =

∫Rf(x)hφ(x) dx, f ∈ L1(R).

Ora, se f, g ∈ L1(R) e fy(x) = f(x− y), pelo teorema de Fubini

φ(f ∗ g) =∫R(f ∗ g)(x)hφ(x) dx =

∫Rhφ(x)

∫Rf(x− y)g(y) dydx =

=

∫Rg(y)

∫Rfy(x)hφ(x) dxdy =

∫Rg(y)φ(fy) dy.

(2.3)

Sendo φ multiplicativo, para f, g ∈ L1(R) tem-se ainda que

φ(f ∗ g) = φ(f)φ(g) = φ(f)

∫Rg(y)hφ(y) dy,

o que juntamente com (2.3) permite concluir que, para qualquer f ∈ L1(R), a igualdade

φ(f)hφ(y) = φ(fy), (2.4)

e verdadeira quase por toda a parte em y ∈ R.Fixe-se f ∈ L1(R) tal que φ(f) = 0. Dado que y 7→ fy e uma transformacao

contınua de R em L1(R), entao a funcao

hφ(y) =φ(fy)

φ(f)(2.5)

e contınua em R. Observe-se que efectuando em (2.5) a substituicao de y por x+ y seobtem

φ(f)hφ(x+ y) = φ(fx+y), x, y ∈ R. (2.6)

Para x, y ∈ R defina-se g := fy ∈ L1(R). Assim, para a funcao gx ∈ L1(R) definida porgx(t) := g(t− x), com t ∈ R, tem-se que gx = fx+y. Ora, a igualdade (2.4) e valida emparticular para a funcao g tendo-se, em quase toda a parte em x ∈ R,

φ(g)hφ(x) = φ(gx). (2.7)

De (2.6) e (2.7) conclui-se que

φ(f)hφ(x+ y) = φ(fx+y) = φ(gx) = φ(g)hφ(x)


e dado que g := fy, recorrendo novamente da igualdade (2.5), obtem-se

φ(f)hφ(x+ y) = φ(g)hφ(x) = φ(fy)hφ(x) = φ(f)hφ(y)hφ(x),

ou seja, que

hφ(x+ y) = hφ(y)hφ(x), x, y ∈ R.

Existe assim t ∈ R tal que, hφ(x) = eitx para qualquer x ∈ R, Lema 2.1.7, con-cluındo-se que φ = φt logo Θ e sobrejectiva.

Quanto a injectividade de Θ repare-se que se Θ(t) = Θ(t′) entao, para qualquerf ∈ L1(R), ∫

Rf(x)(eitx − eit

′x) dx = 0.

Em particular, fazendo

f(x) =

e−itx, x ∈ [0, 1]

0, x /∈ [0, 1],

obtem-se ∫ 1

0

(1− ei(t′−t)x) dx = 0

o que permite afirmar que t = t′.Verifique-se finalmente que Θ e um homeomorfismo. Se tα → t em R entao, para

qualquer f ∈ L1(R), φtα(f) → φt(f) e consequentemente Θ(tα) → Θ(t) em ML1(R).Por outro lado, se para qualquer f ∈ L1(R) se tem

limα

∫Rf(x)(eitαx − eitx) dx = 0

e, analogamente ao efectuado na analise da injectividade de Θ, tem-se que tα → t emR. Θ e assim um homeomorfismo de R em ML1(R).

Identificando o espaco dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos de L1(R),ML1(R), com R, entao a transformacao de Gelfand de L1(R) pode ser representada por

F : L1(R) → C0(ML1(R)), f 7→ F(f) := f ,

com

f(t) :=

∫Rf(x) exp(itx) dx,

coincidindo assim com a conhecida transformacao de Fourier em R.


2.2 Representacoes de algebras

2.2.1 Definicao de representacao. Lema de Schur

Introduzem-se nesta seccao algumas nocoes basicas da teoria de representacao paraalgebras de Banach. Serao apresentados nos proximos capıtulos resultados mais fortespara algebras C∗.

Definicao 2.2.1. Dada uma algebra A sobre um corpo K, chama-se representacaode A a um par (X, π) onde X e um espaco linear sobre K e π : A → L(X) e umhomomorfismo algebrico de A para a algebra L(X) dos operadores lineares de X emX.

Quando o espaco X for evidente, este e por vezes omitido falando-se simplesmenteda representacao π. A representacao (X, π) diz-se fiel se o nucleo de π for apenasconstituıdo pelo elemento nulo. Neste caso π e um isomorfismo algebrico de A parauma subalgebra de L(X). Sempre que π = 0 diz-se que a representacao (X, π) e naonula.

Definicao 2.2.2. Dada uma algebra A, para cada elemento a ∈ A considere-se ooperador linear

La : A → A, x 7→ La(x) := ax.

A aplicacao L : a 7→ La define uma representacao de A, designada por representacaoregular esquerda de A.

Dado um ideal esquerdo J de A, A/J constitui um espaco linear. Representandopor ΦJ : A → A/J a aplicacao canonica a 7→ a+J , a cada elemento a ∈ A associa-seum operador linear

LJa : A/J → A/J , LJ

a (ΦJ (x)) := ΦJ (ax).

O homomorfismo

LJ : A → L(A/J ), a 7→ LJa (2.8)

designa-se por representacao regular esquerda de A induzida por J .

Seja (X, π) uma representacao de uma algebra A. Diz-se que um subespaco Y deX e invariante para π se, para qualquer a ∈ A,

π(a)Y ⊆ Y,

com π(a)Y := π(a)y : y ∈ Y . Observe-se que os subespacos 0 e X sao invariantespara qualquer representacao π.

2.2. REPRESENTACOES DE ALGEBRAS 59

Definicao 2.2.3. Uma representacao nao nula (X, π) de uma algebra A diz-se alge-bricamente irredutıvel se 0 e X sao os unicos subespacos invariantes para π.

Pode-se mostrar que a representacao regular esquerda induzida por um ideal maxi-mal esquerdo J e irredutıvel (ver Exercıcio 2.7).

Lema 2.2.1 (Lema de Schur). Seja (X, π) uma representacao algebricamente irre-dutıvel da algebra A e T = 0 um operador linear em X. Se para qualquer a ∈ A,

Tπ(a) = π(a)T,

entao T e invertıvel.

Dem. A condicao Tπ(a) = π(a)T implica que Ker T e Im T sao subespacos invari-antes para π. Atendendo a que π e irredutıvel e dado que por hipotese Ker T = X eIm T = 0, obtem-se que Ker T = 0 e Im T = X. Assim, T e injectivo e sobrejec-tivo, logo invertıvel.

Passando para a categoria das algebras de Banach torna-se necessario refinar anocao de representacao.

Definicao 2.2.4. Sendo A uma algebra de Banach complexa, designa-se por repre-sentacao de A o par (X, π), onde X e um espaco de Banach complexo e π e umhomomorfismo de A na algebra L(X) dos operadores lineares limitados sobre X.

Note-se que na definicao anterior nao se impoe a continuidade de π. Uma repre-sentacao nao nula (X, π) de uma algebra de BanachA diz-se topologicamente irredutıvelse 0 e X sao os unicos subespacos fechados de X que sao invariantes para π. Note-se que toda a representacao algebricamente irredutıvel de uma algebra de Banach Ae tambem topologicamente irredutıvel. Quanto a continuidade da representacao π,mostra-se em [3], o seguinte resultado:

Teorema 2.2.2. Se (X, π) for uma representacao algebricamente irredutıvel de umaalgebra de Banach A, entao π e contınua.

Dado um ideal esquerdo fechado J de uma algebra de Banach A com unidade e,facilmente se mostra que a representacao regular esquerda LJ e contınua e tem norma1. Alem disso, qualquer representacao regular esquerda de A induzida por um idealesquerdo maximal J e ainda algebricamente irredutıvel.

Tem-se o importante corolario do lema de Schur.


Corolario 2.2.3. Seja A uma algebra de Banach com unidade e, J um ideal esquerdomaximal de A, e LJ : A → L(A/J ) a representacao regular esquerda induzida por J .Seja ainda T um operador linear, nao necessariamente limitado, em A/J . Se TLJ

a =LJa T para qualquer a ∈ A, entao T e um multiplo escalar do operador identidade.

Dem. Dado x ∈ A/J escolha-se a ∈ A tal que ∥a∥ ≤ 2∥ΦJ (a)∥ e ΦJ (a) = x. Assim,

∥Tx∥ = ∥TLJa ΦJ (e)∥ = ∥LJ

a TΦJ (e)∥

≤ ∥a∥∥TΦJ (e)∥ ≤ 2∥ΦJ (a)∥∥TΦJ (e)∥ = 2∥TΦJ (e)∥∥x∥,

concluındo-se que T e limitado. Sendo um operador limitado num espaco de Banach,pelo Teorema 1.2.6, T tem espectro nao vazio. Escolha-se qualquer λ no espectro deT . Dado que a representacao regular esquerda LJ e algebricamente irredutıvel e ooperador λI − T e nao invertıvel, conclui-se do lema de Schur que λI − T tem de ser0, ou seja, T = λI.

2.2.2 Algebras primitivas. Ideais primitivos

Definicao 2.2.5. Uma algebra de Banach diz-se primitiva se admite uma representacaofiel e algebricamente irredutıvel.

O exemplo mais simples de algebras primitivas sao exactamente as algebras dosoperadores lineares sobre Kn, onde K designa um corpo.

As algebras de Banach primitivas podem ser caracterizadas a custa dos seus ideaisesquerdos maximais e das correspondentes representacoes regulares esquerdas induzi-das.

Proposicao 2.2.4. Uma algebra de Banach e primitiva se e so se contem um idealesquerdo maximal para o qual a representacao regular esquerda induzida e fiel.

Dem. Suponha-se que A e primitiva. Seja π : A → L(X) uma representacao fiel eirredutıvel de A com X um espaco de Banach. O conjunto x ∈ X : π(a)x = 0, a ∈ Ae um subespaco invariante para π e como tal tem de ser 0. Dado x ∈ X nao nulo,existe entao um elemento a ∈ A tal que π(a)x = 0. Mas π(A)x e tambem um subespacoinvariante, logo π(A)x = X. Defina-se a aplicacao sobrejectiva

Ψx : A → X, a 7→ π(a)x.

O nucleo de Ψx,J := j ∈ A : π(j)x = 0

e um ideal esquerdo de A. Prova-se de seguida que e maximal. Suponha-se que existeum outro ideal proprio I que o contem. Entao existira um elemento a ∈ I tal que


π(a)x = 0, ou seja, S := Ψx(I) = 0. Mas como S e invariante para a representacaoπ, obtem-se S = X, logo π(A)x = π(I)x. Dado a ∈ A, existe entao i ∈ I por forma aque π(a)x = π(i)x, ou seja, π(a − i)x = 0. Como consequencia, a − i ∈ J ⊂ I dondea ∈ I. Tem-se assim I = A e o ideal J e entao maximal.

Considere-se entao a representacao regular esquerda induzida por J , LJ , definidaem (2.8). Esta e uma representacao fiel pois

Ker LJ = a ∈ A : LJa = 0 = a ∈ A : ab ∈ J , b ∈ A

= a ∈ A : Ψx(ab) = 0, b ∈ A

= a ∈ A : π(ab)x = 0, b ∈ A

= a ∈ A : π(a)π(b)x = 0, b ∈ A

= a ∈ A : π(a)X = 0 = 0.

Para demonstrar o resultado no sentido inverso, considere-se J o ideal esquerdomaximal para o qual a representacao regular esquerda induzida e fiel. Esta e por de-finicao uma representacao fiel e, pela maximalidade de J , e irredutıvel. A algebra A eentao primitiva.

Proposicao 2.2.5. Uma algebra de Banach A e primitiva se e so se contem um idealesquerdo maximal que nao contem ideais bilaterias diferentes de 0.

Dem. Sendo A uma algebra primitiva, existe pela Proposicao 2.2.4 um ideal esquerdomaximal J de A para o qual a representacao regular esquerda induzida, LJ , e injectiva.Represente-se por ΦJ : A → A/J a aplicacao linear canonica, a 7→ a+J . Sejam I ⊂ Jum ideal e a ∈ I. Para qualquer x ∈ A, tem-se que

LJa (ΦJ (x)) = ΦJ (ax) = 0,

ou seja, LJa e o operador nulo. Uma vez que LJ e injectivo, a = (LJ )−1(LJ

a ) = 0. Oideal I e assim o ideal nulo.

Reciprocamente, suponha-se que J e um ideal esquerdo maximal de A que naocontem ideais nao triviais. Se LJ (a) = 0 para algum a ∈ A, entao ax ∈ J paraquaisquer elementos x ∈ A. Defina-se I := b ∈ A : bA ⊂ J . Ora, o conjunto I eclaramente um ideal de A contido em J tendo-se a ∈ I. Como consequencia a = 0 ea representacao LJ e fiel.

Da proposicao anterior surge naturalmente a questao de perante um ideal maximalesquerdo J , de uma algebra de Banach A, saber determinar os ideias bilaterais I


contidos em J . E neste contexto que surge a nocao de ideal primitivo de uma algebrade Banach A, que generaliza a nocao de ideal maximal para o caso de algebras naocomutativas.

Definicao 2.2.6. Seja J um ideal esquerdo de uma algebra de Banach A. Chama-sequociente de J em A ao conjunto

(J : A) := a ∈ A : aA ⊂ J .

E um exercıcio simples provar o seguinte resultado:

Proposicao 2.2.6. Se A e uma algebra de Banach com unidade e, e J e um idealesquerdo de A, entao o quociente (J : A) e o maior ideal bilateral de A contido em J .

Definicao 2.2.7. Numa algebra de Banach A, um ideal P diz-se um ideal primitivoquando

P = (J : A),

para algum ideal maximal esquerdo J de A.

Designando por PrimA o conjunto dos ideais primitivos de A, tem-se por definicaoque

PrimA := (J : A) : J ∈ EA,

sendo EA o conjunto dos ideais maximais esquerdos de A.

Recorrendo a nocao de ideal primitivo, obtem-se facilmente das Proposicoes 2.2.5 e2.2.6 a seguinte caracterizacao das algebras primitivas.

Proposicao 2.2.7. Uma algebra de Banach A, com unidade e, e primitiva se e so se0 e um ideal primitivo de A.

Estabelecem-se em seguida propriedades dos ideais primitivos.

Proposicao 2.2.8. Seja A uma algebra de Banach. Entao:

(i) Todo o ideal maximal de A e um ideal primitivo de A, ou seja,

MA ⊂ PrimA;

(ii) Se A tem unidade, todo o ideal primitivo de A e um ideal fechado.


Dem. (i) Sendo I um ideal maximal de A, uma simples aplicacao do lema deZorn permite concluir que existe um ideal maximal esquerdo J tal que I ⊂ J . DaProposicao 2.2.6 tem-se que

(J : A) ⊂ J e I ⊂ (J : A).

Da maximalidade I conclui-se entao que I = (J : A), logo que I e primitivo.

(ii) Seja P um ideal primitivo deA e J ideal maximal esquerdo tal que P = (J : A).Sendo (pn) uma sucessao de termos em P tal que pn → p entao, para qualquer a ∈ A,resulta da continuidade da operacao de multiplicacao em A que pna→ pa. Como (pna)e uma sucessao em J , que e fechado pelo Teorema 1.3.2, entao pa ∈ J para qualquera ∈ A, ou seja, p ∈ P .

Observe-se que se A e uma algebra de Banach comutativa entao

MA = PrimA

uma vez que todo o ideal primitivo de A e tambem um ideal maximal. Efectivamente,se J e um ideal esquerdo maximal da algebra comutativa A, entao J e um ideal ma-ximal de A tal que JA ⊂ J . Assim, J ⊂ (J : A) tendo-se J = (J : A).

O proximo resultado fornece uma condicao necessaria e suficiente de invertibilidaderecorrendo aos ideais primitivos de A, e generaliza o Corolario 1.3.8 relativo a algebrascomutativas.

Teorema 2.2.9. Sendo A uma algebra de Banach com unidade e, defina-se AP := A/Pe aP := a+ P para a ∈ A e P ∈ PrimA . Se a ∈ A, entao

a ∈ GA se e so se aP ∈ GAP , P ∈ PrimA .

Dem. Sendo a ∈ A e claro que se a ∈ GA entao aP ∈ GAP para qualquer P ∈ PrimA .

Reciprocamente, suponha-se que aP ∈ GAP para qualquer P ∈ PrimA e mostre-se,por reducao ao absurdo, que a e invertıvel a esquerda.

Suponha-se que a nao e invertıvel a esquerda. Pelo Lema de Krull (Teorema 1.3.1),

existe J um ideal esquerdo maximal de A tal que a ∈ J . Sendo P := (J : A) e

JP := J /P , entao JP e um ideal esquerdo de AP := A/P uma vez que APJP ⊂ JP .Dado que a ∈ J entao aP ∈ JP e, pelo Teorema 1.3.2, aP nao e invertıvel a esquerdao que contraria a hipotese. O elemento a admite assim um inverso esquerdo em A.

Seja b ∈ A tal ba = e. Entao, bPaP = e + P , para qualquer P ∈ PrimA, e comoaP ∈ GAP entao bP ∈ GAP . Aplicando a b a primeira parte da demonstracao conclui-se


que b e tambem invertivel a esquerda. Assim, b e invertıvel em A e tem a como o seuinverso. Tem-se entao como pretendido que a ∈ GA.

Apresenta-se a seguir a relacao entre os ideais primitivos de uma algebra e o nucleodas suas representacoes algebricamente irredutıveis nao nulas.

Teorema 2.2.10. Um ideal de uma algebra de Banach A e primitivo se e so se e onucleo de uma representacao algebricamente irredutıvel e nao nula de A, num dadoespaco de Banach X.

Dem. Sejam P um ideal primito de A e J um ideal esquerdo maximal tal queP = (J : A). Considere LJ a representacao regular esquerda de A induzida por J edefinida como em (2.8). Ora, LJ define uma representacao irredutivel e nao nula de Ano espaco de Banach A/J , cujo nucleo e

Ker LJ =a ∈ A : LJa = 0 = a ∈ A : ab+ J = 0 + J , b ∈ A

=a ∈ A : aA ⊂ J = (J : A) = P . (2.9)

Reciprocamente, seja P um ideal em A e (X, π) uma representacao algebricamenteirredutıvel nao nula, tal que P = Ker π. Comece-se por provar que para qualquerx ∈ X \ 0 se tem πA(x) = X, com πA(x) := πa(x) : a ∈ A.

Seja x ∈ X \ 0. O subespaco πA(x) ⊂ X e claramente invariante para (X, π)donde se conclui, atendendo a irredutibilidade de π, que πA(x) = 0 ou πA(x) = X.Supondo que πA(x) = 0, entao x ∈ Y := y ∈ X : πA(y) = 0. Tambem Y e umsubespaco inavariante para (X, π) e assim Y = 0 ou Y = X. Dado que π = 0, entaoY = 0 obtendo-se uma contradicao do facto de x ∈ Y e x = 0. Conclui-se assimcomo pretendido que πA(x) = X.

Fixe-se x0 ∈ X \ 0 e defina-se

J = a ∈ A : πa(x0) = 0.

Repare-se que J e um ideal esquerdo de A pois, para qualquer b ∈ A e a ∈ J ,πba(x0) = πb(πa(x0)) = 0. Sejam LJ a representacao regular esquerda de A induzidapor J e U : A/J → X a aplicacao definida por

U(a+ J ) = πa(x0), a ∈ A.

E um exercıcio simples mostar que U e um homomorfismo injectivo. Alem disso, dadoque X = πA(x0) = U(A/J ) pois x0 = 0, entao U e ainda sobrejectivo, logo umisomorfismo. Tem-se ainda, para quaisquer a, b ∈ A,

πaU(b+ J ) = πaπb(x0) = πab(x0) = U(ab+ J ) = ULJa (b+ J ), (2.10)


logo πaU = ULJa . Como consequencia,

Ker π =a ∈ A : πa = 0 = a ∈ A : πaU = 0

= a ∈ A : ULJa = 0 = a ∈ A : LJ

a = 0 = Ker LJ .

Ora, de (2.9) tem-se que kerLJ = J \ A concluındo-se que P = (J : A).Para terminar a demonstracao resta mostrar que o ideal esquerdo J e maximal.

Suponha-se que tal nao acontece e seja J um ideal esquerdo maximal de A tal queJ ⊂ J . Definindo JJ := J /J obtem-se uma subalgebra de Banach de AJ := A/Jque e invariante para LJ uma vez que, para quaisquer a ∈ A e b ∈ J ,

LJa (b+ J ) = ab+ J ∈ JJ .

Fixando bJ ∈ JJ tal que bJ = 0, obtem-se de (2.10) e do facto de πA(U(bJ )) = X que

LJAJ

(bJ ) = AJ , pois U e um isomorfismo. Assim,

AJ = LJAJ

(bJ ) ⊂ LJAJ

(JJ ) ⊂ JJ ,

o que implica A = J , logo uma contradicao. Tem-se para o ideal P que P = (J : A)com J um ideal maximal, logo P e primitivo.

A interseccao dos ideais primitivos de uma algebra de Banach A e usualmente desi-gnado na literatura por radical de Jacobson de A. Mostra-se a seguir que o radical deJacobson de A coincide com a nocao de radical da algebra A introduzida na Subseccao1.3.2.

Proposicao 2.2.11. Sejam A uma algebra de Banach e RA o radical de A. Entao,

RA = ∩P∈PrimA

P .

Dem. Sendo P um ideal primitivo de A entao P = (J : A) ⊂ J , para J um idealmaximal esquerdo de A. Assim, sendo

RA := ∩J , J ideal maximal esquerdo de A,

e imediato queRA ⊃ ∩

P∈PrimAP .

Para provar a inclusao contraria vai mostrar-se que todo o ideal primitivo P ∈PrimA e a interseccao de uma famılia Jbb∈A\0 de ideais maximais esquerdos de A.Caso tal aconteca entao,

∩P∈PrimA

P = ∩P∈PrimA

( ∩b∈A\0

Jb) ⊃ RA,


estabelecendo-se o pretendido. Ora, sendo P um ideal primitivo de A, tem-se dademonstracao do Teorema 2.2.10 que P = Ker LJ para algum ideal esquerdo maximalJ de A. Assim,

P = a ∈ A : LJa = 0 = a ∈ A : ab+ J = 0 + J , b ∈ A

= a ∈ A : ab ∈ J , b ∈ A

= ∩b∈A

a ∈ A : ab ∈ J .

Definindo Jb := a ∈ A : ab ∈ J , basta para terminar observar que Jb = a ∈ A :LJa (b) = 0 e que para b = 0, dado que LJ e algebricamente irredutıvel, se deduz

tambem da demonstracao do Teorema 2.2.10 que Jb e um ideal esquerdo maximal deA.

2.2.3 Modulos e representacoes de algebras

A nocao de representacao de algebras pode tambem ser formulada atraves da nocao demodulo. Um modulo e uma generalizacao da nocao de espaco vectorial onde o corpodos escalares e substituıdo por uma algebra. No que se segue vai introduzir-se apenasa definicao de modulo esquerdo, relacionando esta nocao com a nocao de representacaode uma algebra.

Definicao 2.2.8. Seja (X,+) um grupo comutativo e A uma algebra. Diz-se que X eum A-modulo esquerdo se existir uma operacao de A×X em X tal que, para quaisquera, b ∈ A, x, y ∈ X, se tem:

(i) a(x+ y) = ax+ ay;

(ii) (a+ b)x = ax+ bx;

(iii) (ab)x = a(bx);

(iv) ex = x, sendo e a unidade da algebra A (caso exista).

Um modulo diz-se fiel se para qualquer elemento a ∈ A \ 0 existe x ∈ X tal queax = 0. Um subgrupo Y ⊂ X diz-se submodulo do modulo X se AY ⊂ Y . Diz-se queum A-modulo esquerdo X tem dimensao n ∈ N se existem elementos x1, x2, ..., xn ∈ Xtais que qualquer elemento x ∈ X admite uma representacao na forma,

x = a1x1 + a2x2 + ...+ anxn,

com a1, a2, ..., an ∈ A.


Associada a uma representacao (X, π) de uma algebra A surge naturalmente umA-modulo esquerdo, com a operacao definida por

ax := π(a)x, a ∈ A, x ∈ X,

designado por A-modulo esquerdo associado a representacao (X, π). Algumas das pro-priedades da representacao (X, π) sao preservadas pelo A-modulo esquerdo associado.

Proposicao 2.2.12. Sejam A uma algebra e (X, π) uma sua representacao. Considere-se o A-modulo esquerdo associado a (X, π). Entao,

(i) (X, π) e fiel se e so se o A-modulo esquerdo associado e fiel;

(ii) (X, π) e irredutıvel 3 se e so se os unicos submodulos do A-modulo esquerdoassociado sao 0 e X.

Dem. (i) Suponha-se que π injectiva. Assim, para a ∈ A com a = 0 tem-se queπ(a) = 0. Como consequencia, existe x ∈ X tal que π(a)x = 0, ou seja, existe x ∈ Xtal que ax = 0 e X e um A-modulo esquerdo fiel.

Reciprocamente, se X e A-modulo esquerdo fiel e π(a) = 0, entao ax = 0 paraqualquer x ∈ X. Tem-se assim que a = 0 e a representacao (X, π) e fiel.

(ii) Suponha-se que (X, π) e irredutıvel. Considere-se Y um submodulo de X. Tem-seque AY ⊂ Y, ou seja, para qualquer a ∈ A,

aY ⊂ Y ⇔ π(a)Y ⊂ Y.

O subgrupo Y e assim invariante para π que sendo irredutıvel implica que Y = 0 ouY = X.

Reciprocamente, suponha-se que os unicos submodulos de X sao os triviais. Assim,se Y ⊂ X e um subgrupo invariante para π entao π(a)Y ⊂ Y para qualquer a ∈ A, ouseja, AY ⊂ Y. Da hipotese conclui-se que Y = 0 ou Y = X podendo afirmar-se queπ e irredutıvel.

A terminar note-se que associado a qualquer A-modulo esquerdo X existe tambemuma representacao da algebra A,

π : A → L(X), a 7→ π(a),

ondeπ(a)x = ax, x ∈ X.

De facto, poder-se-ia ter desenvolvido toda uma teoria equivalente a teoria de re-presentacoes de algebras utilizando a nocao de modulo. A presente seccao serve sim-plesmente para o leitor ficar ciente desta possibilidade.

3Quando X e apenas um grupo aditivo (e nao um espaco vectorial), diz-se que uma representacao(X,π) e irredutıvel se os unicos subgrupos Y ⊂ X invariantes para π sao os triviais.


2.3 Princıpios locais

Na teoria de Gelfand, a algebra comutativa A quocientada por cada ideal maximale isomorfa ao corpo dos complexos. Isso significa que cada elemento a ∈ A, temcomo representante local um numero complexo. Assim, um elemento e invertıvel see so se todos os representantes locais forem invertıveis. A nocao de princıpio localtem por objectivo generalizar esta ideia para algebras nao comutativas. O Teorema2.2.9 e uma tentativa que substitui os ideias maximais pelos ideais primitivos. Noentanto, nao e em geral facil caracterizar nem os ideais primitivos de uma algebra,nem a algebra quociente que resulta da operacao. Mas existem varios processos quepermitem um estudo mais aprofundado, quer dos ideias utilizados quer das algebrasquocientes resultantes. Essas tecnicas, que veremos a seguir, tiram partido de certaspropriedades adicionais das algebras. Nao sao pois aplicaveis em toda a generalidade.Mas sao aplicaveis a muitas algebras que aparecem na pratica.

2.3.1 Princıpio local de Allan

O princıpio local de Allan e uma generalizacao da teoria de Gelfand para algebras deBanach com unidade que nao sendo comutativas admitem um centro nao trivial.

Definicao 2.3.1. O centro de uma algebra A, Cen(A), e o conjunto dos elementosb ∈ A tais que ba = ab para todo o a ∈ A.

E um exercıcio simples mostrar o seguinte resultado:

Lema 2.3.1. O centro de uma algebra de Banach A com unidade e, e uma subalgebrafechada de A, comutativa, fechada para a inversao e contendo a unidade.

Seja A uma algebra de Banach com unidade. Diz-se que uma subalgebra B ⊂ A euma subalgebra central de A, se for uma subalgebra fechada do centro de A contendoa unidade. Obviamente, B e uma algebra de Banach comutativa com unidade, e poderepresentar-se por MB o seu espaco de ideais maximais. A cada ideal maximal x ∈MBassocie-se o menor ideal bilateral fechado Ix de A que contem x, e represente-se por Φx

o homomorfismo canonico de A para A/Ix. Ao contrario do caso em que A e comuta-tiva, as algebras quociente A/Ix nao sao em geral iguais, dependendo de x ∈MB. Emparticular pode acontecer que Ix = A para alguns valores de x. Nesse caso Φx(a) = axe invertıvel em A/Ix e ∥Φx(a)∥ = 0 para cada a ∈ A.

O princıpio local de Allan tem como base o seguinte resultado.

Proposicao 2.3.2. Seja B uma subalgebra central de A. Se M e um ideal maximalesquerdo, direito ou bilateral de A entao M∩B e um ideal bilateral maximal de B.

2.3. PRINCIPIOS LOCAIS 69

Dem. Suponha-se queM e um ideal maximal esquerdo deA. E claro queM∩B e umideal bilateral proprio fechado de B, pelo que apenas falta demonstrar a maximalidade.Considerando z ∈ B \ M tem-se Iz := l + az : l ∈ M, a ∈ A um ideal esquerdode A contendo propriamente M (pois z ∈ M). A maximalidade de M implica queIz = A, logo que e ∈ Iz, e portanto z tem um inverso modulo M pois z ∈ Cen(A).Tem-se assim que Kz := a ∈ A : az ∈ M e um ideal esquerdo proprio (e ∈ Kz) deA contendo M. Uma vez que M e maximal, conclui-se que Kz = M. Em particular,se y1, y2 sao ambos inversos modulo M de z, entao y1 − y2 ∈ M. Ou seja, os inversosmodulo M de z determinam um elemento unico da algebra quociente A/M.

Suponha-se que z − λe ∈ M para todos os λ ∈ C. Designe-se por yπ(λ) a classede equivalencia de A/M contendo os inversos modulo M de z − λe e verifique-se queyπ : C → A/M e uma funcao analıtica. Considere-se λ0 ∈ C e seja y0 ∈ yπ(λ0) uminverso modulo M de z−λ0e. Entao, para |λ−λ0| < 1/∥y0∥, o elemento e− (λ−λ0)y0e invertıvel em A podendo verificar-se facilmente que y0[e− (λ−λ0)y0]

−1 e um inversomodulo M de z − λe. Assim, para |λ− λ0| < 1/∥y0∥,

yπ(λ) = y0 [e− (λ− λ0)y0]−1 +M ,

o que implica a analiticidade de yπ. Se |λ| > ∥z∥, entao z − λe e mesmo invertıvel emA e, quando |λ| → ∞,

∥yπ(λ)∥ ≤ ∥(z − λe)−1∥ = (1/|λ|)∥∑n≥0

zn/λn∥ = o(1) .

Ora, pelo teorema de Liouville, yπ(λ) = 0 para todos os λ ∈ C, o que contrariaa hipotese de M ser um ideal proprio de A. Efectivamente, yπ(0) = 0 implicaria aexistencia de y0 ∈ M com y0z − e ∈ M, e portanto e ∈ M.

Existe pois pelo menos um λ ∈ C tal que z − λe ∈ M e, uma vez que z ∈ M,tem-se λ = 0. Conclui-se assim que e = λ−1z + l para algum l ∈ M∩ B

A maximalidade de M ∩ B pode entao ser finalmente demonstrada. Suponha-seque existe um ideal bilateral I de B tal que M∩B ⊂ I e M∩B = I. Entao existe umz ∈ I \ (M∩B) ⊂ B \M e, pela primeira parte da demonstracao, existe λ ∈ C \ 0 el ∈ M∩B com e = λ−1z+ l. Assim, e ∈ I e, portanto, I = B, o que prova que M∩Be maximal.

Antes de enunciar o princıpio de Allan recorde-se que uma funcao f : MB → R sediz superiormente semicontınua em x0 ∈MB se para cada ϵ > 0 existir uma vizinhancaUϵ ⊂ MB de x0 tal que f(x) < f(x0) + ϵ para qualquer x ∈ Uϵ. A funcao f diz-sesuperiormente semicontınua em MB se for superiormente semicontınua para qualquerx ∈ MB. Note-se que qualquer funcao superiormente semicontınua tem maximo emtodo conjunto compacto contido no seu domınio.


Teorema 2.3.3 (Princıpio local de Allan). Sejam B uma subalgebra central de A, MBo espaco dos ideias maximais de B, Ix o menor ideal bilateral fechado de A que contemx ∈MB e Φx o homomorfismo canonico de A em A/Ix. Entao

(i) um elemento a ∈ A e invertıvel se e so se as classes Φx(a) sao invertıveis emA/Ix para qualquer x ∈MB;

(ii) a aplicacao MB → R+, x 7→ ∥Φx(a)∥ e superiormente semicontınua para qualquera ∈ A;

(iii) ∥a∥ ≥ maxx∈MB ∥Φx(a)∥;

(iv) se r ∈ ∩x∈MBIx entao r pertence ao radical de A.

Dem. Para demonstrar (i), vai-se mostrar que a ∈ A e invertıvel a esquerda se eso se Φx(a) e invertıvel a esquerda para qualquer x ∈ MB. A demonstracao para ainvertibilidade a direita e analoga.

Claramente se a e invertıvel a esquerda entao Φx(a) tambem o e. Para verificar aimplicacao de sentido contrario, suponha-se que Φx(a) e invertıvel a esquerda em A/Ixpara qualquer x ∈MB mas que a nao tem inverso a esquerda em A. Represente-se porM um ideal maximal de A contendo o conjunto I := ba : b ∈ A (note que e ∈ I).Defina-se x = M ∩ B. Pela Proposicao 2.3.2, x e um ideal maximal de B. Vejamosque Ix ⊆ M. De facto, se l =

∑nk=1 akxkbk, com xk ∈ x e ak, bk ∈ A, entao, uma vez

que B e central, l =∑n

k=1 akbkxk e portanto l ∈ M ja que M e um ideal esquerdo.Assim, Ix ⊆ M.Ora, Φx(a) e invertıvel a esquerda em A/Ix, isto e, existe um b ∈ Acom ba−e ∈ Ix, e dado que Ix ⊆ M tem-se ba−e ∈ M. Por outro lado, ba ∈ I ⊆ M.Assim e ∈ M o que contradiz a maximalidade de M.

(ii) Seja x ∈ MB, ϵ > 0, e escolham-se elementos a1, ..., an ∈ A e x1, ..., xn ∈ x taisque

∥a+n∑j=1

ajxj∥ < ∥Φx(a)∥+ ϵ/2 . (2.11)

Considere-se U ⊂MB a vizinhanca aberta de x definida por

U =

y ∈MB : |Φy(xj)| < ϵ(2

n∑i=1

∥ai∥+ 1)−1, j = 1, ..., n

,

e yj = xj − Φy(xj)e. Note que os xj sao elementos da algebra de Banach comutativaB, e portanto as classes Φy(xj) podem ser identificadas com numeros complexos. Umavez que Φy(yj) = Φy(xj − Φy(xj)e) = 0) entao yj ∈ y, e assim

∥Φy(a)∥ ≤ ∥a+∑

ajyj∥ . (2.12)


Se y ∈ U, de (2.11) e (2.12) tem-se

∥Φy(a)∥ − ∥Φx(a)∥ ≤ ∥a+∑

ajyj∥ − ∥a+∑

ajxj∥+ ϵ/2

≤ ∥∑

aj(yj − xj)∥+ ϵ/2

= ∥∑

Φy(xj)aj∥+ ϵ/2 < ϵ ,

provando-se assim a semicontinuidade superior de y 7→ ∥Φy(a)∥ no ponto x.(iii) Por definicao, ∥a∥ ≥ ∥Φx(a)∥ para qualquer x ∈MB o que conduz a que ∥a∥ ≥

supx∈MB∥Φx(a)∥. O maximo ocorre devido a semicontinuidade superior estabelecida

em (ii).(iv) Seja M um ideal maximal esquerdo de A. Da Proposicao 2.3.2, x := M∩B e

um ideal maximal de B. Se a :=∑n

j=1 xjaj, com xj em x e aj em A entao, atendendoa que M e um ideal esquerdo, tem-se a =

∑nj=1 ajxj ∈ M concluındo-se que Ix ⊂ M.

Consequentemente, se r pertence a todos os ideais Ix, entao r pertence a todos os ideaismaximais esquerdos de A. Observe-se que utilizando a caracterizacao alternativa doradical de A, dada pela Proposicao 1.3.10, se r ∈ ∩x∈MBIx, entao para cada a ∈ A,Φx(e − ra) = Φx(e) e, de acordo com (i), e − ra e invertıvel o que permite tambemconcluir que r pertence ao radical de A.

Da semicontinuidade superior tem-se as seguintes propriedades.

Proposicao 2.3.4. Nas condicoes do Teorema 2.3.3, se Φx(a) e invertıvel em A/Ix,entao existe uma vizinhanca U de x tal que Φy(a) e invertıvel em A/Iy e

∥Φy(a)−1∥ ≤ 4∥Φx(a)

−1∥ para qualquer y ∈ U.

Dem. Considere-se Φx(a) invertıvel. Existe entao b ∈ A tal que Φx(ab − e) =Φx(ba− e) = 0. As aplicacoes

y 7→ ∥Φy(ab− e)∥ e y 7→ ∥Φy(ba− e)∥,

definidas no espaco dos ideais maximais de B sao, pelo Teorema 2.3.3 (ii), superiormentesemicontınuas. Assim,

∥Φy(ab− e)∥ < 1/2 e ∥Φy(ba− e)∥ < 1/2

para todos os ideais maximais y numa certa vizinhanca U ′ de x. Tem-se tambem,

Φy(a)Φy(b) = Φy(e) + Φy(ab− e) e Φy(b)Φy(a) = Φy(e) + Φy(ba− e),


e uma vez que Φ(e) e o elemento identidade em A/Iy, pelo Teorema 1.2.1 conclui-seque Φy(a) e invertıvel em A/Iy e

∥Φy(a)−1Φy(b)

−1∥ ≤ 2 ⇒ ∥Φy(a)−1∥ ≤ 2∥Φy(b)∥ para qualquer y ∈ U ′.

Finalmente, aplicando a semicontinuidade superior mais uma vez, obtem-se

∥Φy(b)∥ ≤ 2∥Φx(b)∥ = 2∥Φx(a)−1∥

para qualquer y numa vizinhanca U ⊆ U ′ de x.

Note-se que o numero 4 presente na desigualdade do enunciado da proposicao an-terior pode ser substituıdo por qualquer constante maior que 1.

Do princıpio local de Allan pode estabelecer-se um resultado de continuidade doespectro local. Seja X um espaco Hausdorff compacto e Ψ uma aplicacao de X noconjunto de todos os subconjuntos compactos do plano complexo C. Dado um pontox ∈ X e uma sucessao (yn) ⊆ X com yn → x quando n → ∞, considere-se o conjuntoΨ(yn)

′ constituıdo pelos pontos limite das sucessoes (λn) com λn ∈ Ψ(yn). Define-selimite superior em x, ou conjunto limite parcial em x , como o conjunto

lim supy→x

Ψ(y) := ∪Ψ(yn)′,

onde a uniao e considerada sobre todas as sucessoes (yn) convergindo para x.

Proposicao 2.3.5. Nas condicoes do Teorema 2.3.3, para qualquer a ∈ A e x ∈MB,

lim supy→x

σ(Φy(a)) ⊆ σ(Φx(a)).

Dem. Seja λ um elemento do conjunto lim supy→x σ(Φy(a)). Por definicao, existeuma sucessao (yn) ∈ MB com yn → x e numeros λn ∈ σ(Φyn(a)) tais que λn → λ.Considerem-se os elementos a − λne que convergem para a − λe, e suponha-se que aclasse Φx(a− λe) e invertıvel. Da Proposicao 2.3.4, as classes locais Φyn(a− λne) saoinvertıveis para n suficientemente grande, o que contradiz a hipotese inicial. Conse-quentemente, s ∈ σ(Φx(a)).

2.3.2 Princıpio local de Gohberg-Krupnik

Um outro princıpio local que generaliza a teoria de Gelfand para algebras nao comu-tativas e o princıpio local de Gohberg-Krupnik. Este princıpio tem a vantagem de seraplicavel tanto a algebras complexas como reais, sendo a demonstracao dos resultadoselementares.


Definicao 2.3.2. Seja A uma algebra de Banach real ou complexa com unidade e.Diz-se que um subconjunto M ⊂ A e uma classe localizadora se M nao contem oelemento 0 e dados dois elementos arbitrarios f1, f2 ∈ M , existe sempre um terceiroelemento f ∈M tal que fjf = ffj = f, j = 1, 2.

Seja M uma classe localizadora. Dois elementos a, b ∈ A dizem-se M-equivalentesa esquerda (resp. a direita) se

inff∈M

∥(a− b)f∥ = 0 (resp. inff∈M

∥f(a− b)∥ = 0).

Um elemento a ∈ A diz-se M-invertıvel a esquerda (resp. a direita) se existiremelementos b ∈ A e f ∈M tais que baf = f (resp. fab = f).

Proposicao 2.3.6. Seja M uma classe localizadora e sejam a1, a2 elementos de A quesao M-equivalentes a esquerda (resp. a direita). Entao a1 e M-invertıvel a esquerda(resp. a direita) se e so se a2 tambem o e.

Dem. Considere-se a1 M -invertıvel a esquerda. Escolham-se b1 ∈ A e f ∈ M taisque b1a1f = f . Uma vez que a1 e a2 sao M -equivalentes a esquerda, existe um g ∈Mtal que ∥(a1 − a2)g∥ < ∥b1∥−1. Seja h ∈M tal que fh = gh = h. Entao

b1a2h = b1a1h− b1(a1 − a2)h

= b1a1fh− b1(a1 − a2)gh

= fh− b1(a1 − a2)gh

= h− b1(a1 − a2)gh.

Definindo u := b1(a1 − a2)g tem-se entao que

b1a2h = (e− u)h.

Uma vez que ∥u∥ < 1, o elemento e− u e invertıvel em A. Definindo b2 := (e− u)−1b1obtem-se b2a2h = h. Assim, a2 e M -invertıvel a esquerda. A demonstracao para aM -invertibilidade a direita e analoga.

Definicao 2.3.3. Sendo A uma algebra de Banach com unidade e, e X um espacotopologico, uma famılia de classes localizadoras Mττ∈X diz-se

a) uma cobertura se para cada escolha fττ∈X de elementos fτ ∈ Mτ existir umnumero finito de elementos fτ1 , . . . , fτm cuja soma e invertıvel em A;

b) uma sobreposicao se cada Mτ e um conjunto limitado em A, se sempre quef ∈Mτ0 , para algum τ0 ∈ X, se tem que f ∈Mτ para qualquer τ numa vizinhancaaberta de τ0, e se os elementos de F := ∪τ∈XMτ comutam dois a dois.


Para uma cobertura Mττ∈X define-se comutante de F := ∪τ∈XMτ como sendo oconjunto

F ′ := a ∈ A : af = fa, f ∈ F.E facil de verificar que F ′ e uma subalgebra fechada de A. Para τ ∈ X, representa-sepor Zτ o conjunto de elementos de F ′ que sao Mτ -equivalentes a zero tanto a esquerdacomo a direita.

Lema 2.3.7. O conjunto Zτ e um ideal bilateral proprio e fechado de F ′.

Dem. E facil estabelecer que Zτ e um ideal bilateral fechado de A. Para mostrarque Zτ e um ideal proprio suponha-se que a unidade e ∈ A pertence a Zτ . Entaoexiste uma sucessao fn ∈Mτ tal que ∥fn∥ → 0 quando n→ ∞. Uma vez que existemelementos nao nulos gn ∈ Mτ tais que fngn = gn, obtem-se ∥fn∥ ≥ 1, o que e umacontradicao.

Para a ∈ F ′, defina-se aτ como a classe aτ := a + Zτ de a na algebra quocienteF ′/Zτ .

Proposicao 2.3.8. Seja Mττ∈X um sistema de classes localizadoras, em que Mτ elimitado em A para τ ∈ X. Para τ ∈ X e a ∈ F ′, o elemento a e Mτ -invertıvel aesquerda (resp. a direita) em F ′ se e so se aτ for invertıvel a esquerda (resp. a direita)em F ′/Zτ .

Dem. Seja aτ invertıvel a esquerda em F ′/Zτ . Entao existe um elemento b ∈ F ′

tal que ba − e ∈ Zτ , o que implica que ba e Mτ -equivalente a e a esquerda. DaProposicao 2.3.6 obtem-se a Mτ -invertibilidade de ba, e portanto de a, a esquerda.Reciprocamente, se existirem b ∈ F ′ e f ∈ Mτ tais que baf = f , entao (ba− e)f = 0.Assim, ba− e ∈ Zτ o que implica que bτaτ = e. A demonstracao para a invertibilidadea direita e semelhante.

O teorema que se segue e semelhante ao Teorema 2.3.3, com os ideais Ix e o espacodos ideais maximais da subalgebra central substituıdos, respectivamente, pelos ideaisZτ e pelo conjunto indexante X do sistema de classes localizadoras Mττ∈X . Con-trariamente ao princıpio local de Allan, que recorre a resultados de analise complexana demonstracao da Proposicao 2.3.2, como se verificara a seguir o principio local deGohberg-Krupnik e valido tambem para algebras de Banach reais.

Teorema 2.3.9 (Princıpio local de Gohberg-Krupnik). Sejam A uma algebra de Ba-nach com unidade e, e Mττ∈X uma cobertura cujos elementos pertencem ao centro deA. Considere-se a ∈ A e, para τ ∈ X, seja aτ um elemento de A que e Mτ -equivalentea esquerda ao elemento a.


(i) O elemento a e invertıvel a esquerda em A se e so se aτ for Mτ -invertıvel aesquerda em A para qualquer τ ∈ X.

(ii) Suponha-se que cada Mτ e um conjunto limitado em A. Entao a e invertıvela esquerda em A se e so se aτ := aτ for invertıvel a esquerda em A/Zτ paraqualquer τ ∈ X.

(iii) Se o sistema Mττ∈X e uma sobreposicao, entao a funcao X → R+, τ 7→ ∥aτ∥e superiormente semicontınua.

Dem. (i) Se a for invertıvel a esquerda, entao a e Mτ -invertıvel a esquerda em A(= F ′) para qualquer τ ∈ X. Pela Proposicao 2.3.6, aτ e Mτ -invertıvel a esquerdapara qualquer τ ∈ X. Para demonstrar o sentido contrario, suponha-se que aτ e Mτ -invertıvel a esquerda para qualquer τ ∈ X. Pela Proposicao 2.3.6 conclui-se que a eMτ -invertıvel a esquerda para qualquer τ ∈ X. Existem portanto bτ ∈ A e fτ ∈ Mτ

tais que bτafτ = fτ . Uma vez que Mττ∈X e uma cobertura, e possıvel escolher umnumero finito de elementos fτ1 , . . . , fτm tais que

∑mj=1 fτj e invertıvel. Definindo

s :=m∑j=1

bτjfτj

obtem-se

sa =m∑j=1

bτjfτja =m∑j=1

bτjafτj =m∑j=1

fτj .

Tem-se assim que (∑m

j=1 fτj)−1s e um inverso a esquerda de a.

(ii) Se aτ e invertıvel a esquerda em A/Zτ , para qualquer τ ∈ X, da Proposicao 2.3.8e do anterior ponto (i) conclui-se que a e invertıvel a esquerda em A. A demonstracaono sentido contrario e trivial.

(iii) Considere-se τ0 ∈ X e ϵ > 0. Escolha-se z ∈ Zτ tal que ∥a+z∥ < ∥aτ0∥+ ϵ/2. Umavez que z e Mτ0-equivalente a zero a esquerda, existe um f ∈Mτ0 tal que ∥zf∥ < ϵ/2.Como f ∈ Mτ0 implica f ∈ Mτ para qualquer τ numa vizinhanca de τ0, devido apropriedade de sobreposicao, deduz-se que f ∈ Mτ para qualquer τ numa vizinhancaU(τ0) de τ0. Defina-se y := z − zf . Se τ ∈ U(τ0), entao existe um g ∈ Mτ tal quefg = g. Tem-se entao que yg = zg − zfg = zg − zg = 0. Uma vez que pela definicaode Zτ e devido a propriedade de sobreposicao se tem que y ∈ F ′, entao y ∈ Zτ paraqualquer τ ∈ U(τ0). Assim, ∥aτ∥ ≤ ∥a + y∥ para τ ∈ U(τ0) e portanto, se τ ∈ U(τ0),entao

∥aτ∥ − ∥aτ0∥ < ∥a+ y∥ − ∥a+ z∥+ ϵ

2≤ ∥y − z∥+ ϵ

2= ∥zf∥+ ϵ

2< ϵ,


o que prova a semicontinuidade superior da aplicacao τ 7→ ∥aτ∥ em τ0.

Note-se que o Teorema 2.3.9 se mantem verdadeiro se o termo ”a esquerda” forsubstituıdo pelo termo ”a direita.”

2.4 Algebras com identidade polinomial

Analisa-se nesta seccao uma generalizacao da transformada de Gelfand que e aplicavela certas classes de algebras de Banach, algebras essas cujos elementos satisfazem umaidentidade polinomial, que se designam na literatura por algebras-PI (polynomial iden-tity). As algebras comutativas sao exemplos de algebras-PI uma vez que, quaisquerque sejam os seus elementos a, b estes satisfazem a identidade polinomial ab− ba = 0.

2.4.1 Identidades polinomiais standard

Considere-se A uma algebra com unidade sobre um corpo K e P um polinomio de graupositivo em n variaveis nao comutativas e com coeficientes em K. Dados os elementosa1, . . . , an pertencentes a algebra A, represente-se por P (a1, . . . , an) o elemento de Aobtido por substituicao das n varıaveis do polinomio P pelos elementos a1, . . . , an.

Definicao 2.4.1. Seja P um polinomio de grau positivo em n variaveis nao comutativase com coeficientes emK. Diz-se que a algebraA sobreK satisfaz a identidade polinomialP se P (a1, . . . , an) = 0 para qualquer escolha dos elementos a1, . . . , an ∈ A. Designa-se por algebra-PI uma algebra que satisfaz pelo menos uma identidade polinomial naotrivial.

Designam-se por polinomios multilineares os polinomios da forma

P (a1, . . . , am) =∑σ∈Σm

λσ aσ(1) . . . aσ(m) (2.13)

onde Σm representa o grupo de permutacao do conjunto 1, . . . , m e onde os coeficien-tes λσ pertencem ao corpo K. As identidades polinomiais com polinomios multilinearesdesignam-se por identidades multilineares.

Os polinomios alternantes sao polinomios P em que qualquer repeticao na escolhados elementos a1, . . . , an resulta no elemento 0, isto e, P ( . . . , aj, . . . , aj, . . . ) = 0.Note-se que as propriedades dos polinomios multilineares alternantes sao semelhantesas do determinante de uma matriz quando considerado como funcao das linhas ou dascolunas da matriz.

Representa-se por Pij o polinomio P com as variaveis das posicoes i e j trocadas.

2.4. ALGEBRAS COM IDENTIDADE POLINOMIAL 77

Lema 2.4.1. Sendo P um polinomio multilinear, P e alternante se e so se Pij = −P

para qualquer escolha dos ındices 1 ≤ i = j ≤ n.

Dem. Considere-se um polinomio alternante P e 1 ≤ i = j ≤ n. Entao

0 = P ( . . . , ai + aj, . . . , ai + aj, . . . )

= P ( . . . , ai, . . . , ai, . . . ) + P ( . . . , ai, . . . , aj, . . . )

+ P ( . . . , aj, . . . , ai, . . . ) + P ( . . . , aj, . . . , aj, . . . )

= P ( . . . , ai, . . . , aj, . . . ) + P ( . . . , aj, . . . , ai, . . . ).

Reciprocamente, considere-se um polinomio P tal que Pij = −P. Trocando-se emP ( . . . , aj, . . . , aj, . . . ) as posicoes onde esta presente o elemento repetido aj, obtem-se

P ( . . . , aj, . . . , aj, . . . ) = −P ( . . . , aj, . . . , aj, . . . ),

o que conduz a P ( . . . , aj, . . . , aj, . . . ) = 0.

O processo de multilinearizacao permite substituir um dado polinomio P por umoutro polinomio com uma nova variavel e menos um grau numa das variaveis anti-gas. Aplicando este processo repetidamente, qualquer polinomio e transformado numpolinomio multilinear. Tendo como objectivo formalizar este processo introduz-se afuncao ∆i.

Definicao 2.4.2. Seja P : An → A um polinomio em n variaveis. Dado i ∈ 1, . . . , n,define-se a funcao ∆iP : An+1 → A,

∆iP (a1, . . . , an+1) := P (a1, . . . , ai−1, ai + an+1, ai+1, . . . , an)

−P (a1, . . . , ai−1, ai, ai+1, . . . , an)

−P (a1, . . . , ai−1, an+1, ai+1, . . . , an).

(2.14)

Tem-se os seguintes dois resultados:

Lema 2.4.2. Se uma algebra A satisfaz uma identidade polinomial de grau k, entaotambem satisfaz uma identidade multilinear de grau menor ou igual a k.

Dem. Suponha-se que A satisfaz o polinomio P de grau k em n variaveis. Se P naofor linear na primeira variavel, isto e, se o grau da primeira variavel for maior que 1,considere-se o polinomio

∆1P(a1, . . . , an, an+1)

= P(a1 + an+1, a2, . . . , an)− P (a1, a2, . . . , an)− P (an+1, a2, . . . , an).


E facil verificar que A tambem satisfaz o polinomio ∆1P, e que o grau de ∆1P nao emaior que o de P. Mas em ∆1P o grau da primeira variavel e estritamente menor queo grau da primeira variavel em P. Aplicando repetidamente este procedimento a todasas variaveis nao lineares obtem-se, apos um numero finito de passos, uma identidademultilinear de grau menor ou igual a k que e satisfeita por A.

Lema 2.4.3. A algebra das matrizes Mn(K) sobre o corpo K nao satisfaz nenhumaidentidade polinomial de grau menor que 2n.

Dem. Atendendo ao lema 2.4.2 basta apenas verificar que Mn(K) nao satisfaznenhuma identidade multilinear de grau menor que 2n. Por absurdo, suponha-se queMn(K) satisfaz uma identidade multilinear Pm de grau m < 2n. Sejam Ep,q ∈ Mn(K)matrizes com zeros em todas as entradas com excepcao da entrada (p, q), que tem ovalor 1. Considerem-se os elementos

ai =

E i+1

2, i+1

2se i e ımpar

E i2, i+2

2se i e par

,

em (2.13). Obtem-se de imediato que o coeficiente associado a permutacao identidadee zero. Rearranjando as matrizes em Pm obtem-se que qualquer coeficiente tem de serzero, o que e uma contradicao.

O polinomio standard e um caso particular de um polinomio multilinear.

Definicao 2.4.3. Seja A uma algebra e a1, . . . , an ∈ A. O polinomio standard Sndefine-se como

Sn(a1, . . . , an) :=∑σ∈Σn

sgnσ aσ(1) . . . aσ(n),

onde Σn representa o grupo de permutacao do conjunto 1, . . . , n e sgnσ toma o valor+1 se a permutacao σ e par e −1 se e ımpar.

O polinomio standard pode definir-se recursivamente como S1(a1) := a1 e

Sn(a1, . . . , an) =n∑i=1

(−1)i−1 aiSn−1(a1, . . . , ai, . . . , an)

ou de forma equivalente, para n > 1,

Sn(a1, . . . , an) =n∑i=1

(−1)n−i Sn−1(a1, . . . , ai, . . . , an) ai


onde (.) indica que o elemento respectivo e omitido.

E facil verificar que os polinomios standard sao alternantes. Reciprocamente tem-seo seguinte resultado:

Proposicao 2.4.4. Qualquer polinomio multilinear alternante de grau n e um multiplodo polinomio standard Sn.

Dem. Considere-se um polinomio multilinear alternante P da forma (2.13). Dadoque qualquer permutacao e uma composicao de troca de variaveis, obtem-se pelo Lema2.4.1 que P (a1, . . . , an) = sgnσ P (aσ(1), . . . , aσ(n)) para qualquer permutacao σ ∈ Σn.O coeficiente do monomio aσ(1) . . . aσ(n) no polinomio do lado esquerdo desta igualdadee λσ, a que corresponde sgnσλid no lado direito, com a permutacao identidade id. Logo,λσ = sgnσλid, conduzindo a

P (a1, . . . , an) = λid∑σ∈Σn

sgnσaσ(1) . . . aσ(n).

Obtem-se entao P = λidSn.

Corolario 2.4.5. Se

P(a1, . . . , a2n) =∑σ∈Σ2n

sgnσ[aσ1 , aσ2 ] . . . [aσ2n−1 , aσ2n ],

onde [a, b] representa o comutador ab− ba, entao P = 2nS2n.

Dem. Pode verificar-se que P e um polinomio multilinear alternante de grau 2n.De acordo com a Proposicao 2.4.4, P e um multiplo do polinomio standard S2n. Opolinomio P e ainda a soma de 2n(2n)! monomios multilineares, que nao se cancelam.Como consequencia tem-se que a constante e 2n.

Lema 2.4.6. Sejam a1, . . . , a2k ∈Mn(K). Entao

tr[S2k(a1, . . . , a2k)

]= 0,

onde tr a representa o traco da matriz a.

Dem. Se i ∈ 1, . . . , 2k, represente-se por ai2k o (2k− 1)-tuplo (a1, . . . , ai, . . . , a2k)onde o tilda indica que o elemento correspondente e omitido. Entao

2 tr[S2k(a1, . . . , a2k)

]= tr

[2k∑i=1

(−1)i−1 aiS2k−1(ai2k)

]+ tr

[2k∑i=1

(−1)2k−i S2k−1(ai2k) ai

]

=2k∑i=1

(−1)i−1 tr[aiS2k−1(ai2k)− S2k−1(a

i2k)ai] = 0,


uma vez que o traco do comutador de duas matrizes e zero.

Definicao 2.4.4. Diz-se que a algebra A satisfaz a identidade standard de ordem n seSn(a1, . . . , an) = 0 dados quaisquer a1, . . . , an ∈ A. A famılia de todas as algebras comesta propriedade sera representada por SIn.

Exemplo 2.4.1. O polinomio standard de ordem 2 e S2(a1, a2) = a1a2 − a2a1. Assimuma algebra satisfaz a identidade standard de ordem 2 se e so se e comutativa.

De acordo com o Lema 2.4.3, a algebra Mn(K) nao satisfaz nenhuma identidadepolinomial de ordem menor que 2n. No proximo teorema mostra-se queMn(C) satisfaza identidade standard de grau 2n.

Teorema 2.4.7 (Teorema de Amitsur-Levitzki). A algebraMn(C) satisfaz a identidadestandard de grau 2n.

Dem. Analise-se em primeiro lugar o caso do corpo dos numeros racionais. Considere-se a matriz a ∈ Mn(Q). A formula de Newton para os coeficientes do polinomiocaracterıstico de a,

Pa(λ) := det(λI − a) = λn +n∑k=1

αkλn−k (2.15)

conduz a que os coeficientes αk sejam obtidos da seguinte forma: Seja Ωk o conjuntode todos j-tuplos m = (m1, . . . ,mj) de inteiros em que 1 ≤ m1 ≤ m2 ≤ · · · ≤ mj em1 +m2 + · · · +mj = k. Note-se que tanto o k-tuplo (1, . . . , 1) como o 1-tuplo (k)pertencem a Ωk. Entao, para k ∈ 1, . . . , n,

αk =∑m∈Ωk

qm tr (am1) . . . tr (amj)

para certos numeros racionais qm.Pelo teorema de Cayley-Hamilton tem-se que Pa(a) = 0. Aplicando n− 1 vezes su-

cessivas o processo de multilinearizacao, partindo da funcao P :Mn(Q) →Mn(Q), a 7→Pa(a) obtem-se a funcao

(∆P)(a1, . . . , an) := (∆1)n−1P(a1).

E claro que (∆P)(a1, . . . , an) = 0. Uma vez que o traco e aditivo, obtem-se a igualdade

0 = (∆P)(a1, . . . , an) =∑σ∈Σn

aσ1 . . . aσn + (2.16)

+n∑k=1

∑m∈Ωk

∑σ∈Σn

qm tr(aσ1 . . . aσm1) . . . tr(aσm1+...+mj−1+1 . . . aσk)aσk+1

. . . aσn .


Como exemplo, considere-se n = 2. Nesse caso

0 =∑σ∈

∑2

aσ1aσ2 + q(1)∑σ∈

∑2

(tr aσ1)aσ2 + q(1,1)∑σ∈

∑2

(tr aσ1)(tr aσ2) + q(2)∑σ∈

∑2

tr (aσ1aσ2)

com q(1) = −1, q(1,1) = 1/2 e q(2) = −1/2, uma vez que

Pa(a) = a2 − (tr a)a+1

2(tr a)2 − 1

2tr (a2).

Voltando ao caso geral, dadas 2n matrizes a1, . . . , a2n ∈ Mn(Q) e uma permutacaoσ′ ∈

∑2n, substitui-se cada variavel ai na identidade (2.16) por [aσ′

2i−1, aσ′

2i] e forma-se

a soma

0 =∑

σ′∈∑

2n

sgnσ′(∆P)([aσ′

1, aσ′

2], . . . , [aσ′

2n−1, aσ′

2n]).

Esta identidade pode ser escrita, pelo Corolario 2.4.5, como

0 = 2nS2n(a1, . . . , a2n) + P′(a1, . . . , a2n)

onde P′(a1, . . . , a2n) e uma soma de termos da forma

qm tr S2m1(a2σ1−1, . . . , a2σm1)× · · ·×

×tr S2mj(a2σm1+···+mj−1+1−1, . . . , a2σk)S2(n−k)(a2σk+1−1, . . . , a2σn)

para algum σ ∈∑

n. Exemplificando, para n = 2 obtem-se termos do tipo

q(1)(tr(aσ1aσ2 − aσ2aσ1)(aσ3aσ4 − aσ4aσ3) + tr(aσ3aσ4 − aσ4aσ3)(aσ1aσ2 − aσ2aσ1)

),

q(1,1) tr(aσ1aσ2 − aσ2aσ1) tr(aσ3aσ4 − aσ4aσ3) e

q(2)∑σ∈Σ4

tr((aσ1aσ2 − aσ2aσ1)(aσ3aσ4 − aσ4aσ3)

)= 4q(2) tr S4(a1, a2, a3, a4).

Pelo Lema 2.4.6, cada um dos termos da soma e 0. Logo, P′(a1, . . . a2n) = 0 tendo-seS2n(a1, . . . a2n) = 0.

Considere-se agora a situacao geral para o corpo C e sejam ai ∈ Mn(C). Cada

matriz ai pode ser escrita como uma combinacao linear ai =∑

j,k a(i)jkEj,k onde Ej,k sao

matrizes com a entrada (j, k) igual a 1 e as outras zero. Dada a multilinearidade deS2n, basta mostrar que

S2n(c1e1, . . . , c2ne2n) = 0

para qualquer escolha dos elementos c1, . . . , c2n em C e das matrizes e1, . . . , e2n deMn(Q) com apenas uma entrada nao nula e igual a 1. Identificando cada elemento c de


C com a matriz diagonal diag (c, c, . . . , c) ∈Mn(Q), atendendo a que C e comutativotem-se

S2n(c1e1, . . . , c2ne2n) = c1 . . . c2n S2n(e1, . . . , e2n).

Dado que S2n(e1, . . . , e2n) = 0, pela primeira parte da demonstracao obtem-se o resul-tado.

Note-se que o teorema de Amitsur-Levitzki continua valido se o corpo C for subs-tituıdo por uma algebra com unidade comutativa C sobre C, ja que a ultima parte dasua demonstracao se pode aplicar tambem neste caso.

2.4.2 Sımbolos matriciais

Seja A uma algebra de Banach com identidade e sobre o corpo dos numeros complexose B ⊂ A uma subalgebra de A. Dado um conjunto arbitrario X, associe-se a cadax ∈ X um inteiro positivo l(x) tal que n := supx∈X l(x) <∞.

Definicao 2.4.5. Seja πxx∈X uma famılia de representacoes de A tal que πx(a) ∈Ml(x)(C) para cada a ∈ A. Diz-se que a famılia πxx∈X gera um sımbolo matricial deordem n para B em A se, para qualquer b ∈ B, b e invertıvel em A se e so se πx(b) einvertıvel para qualquer x ∈ X.

Designa-se por IS(n,A) a colecao de todas as subalgebras B de A que possuem umsımbolo matricial de ordem n para B em A. No caso de A pertencer a IS(n,A) diz-seapenas que A possui um sımbolo matricial de ordem n.

Seja J um ideal maximal esquerdo da algebra de Banach A. Represente-se por E oespaco linear A/J e seja ΦJ : A → E o homomorfismo canonico. Represente-se aindapor LJ a representacao regular esquerda de A induzida por J , definida em (2.8).

Lema 2.4.8. Seja E0 uma variedade linear de dimensao finita em E e seja x ∈ E \E0.Entao existe a ∈ A tal que LJ

a (E0) = 0 e LJa (x) = 0.

Dem. A demonstracao faz-se por inducao na dimensao de E0. O resultado e obvia-mente verdadeiro se dim E0 = 0. Suponha-se verdadeiro para dim E0 = k. Escolha-sey ∈ E0 e defina-se E1 := E0+Cy. Seja ainda L := LJ

a : LJa (E0) = 0. Considere-se

agora o conjunto LJa (y) : L

Ja ∈ L. Este conjunto e um subespaco de E que e invari-

ante para todos os operadores LJb com b ∈ A. Uma vez que LJ e uma representacao

algebricamente irredutıvel, tem-se LJa (y) : L

Ja ∈ L = E.

Suponha-se que a tese do Lema nao e valida para E1. Existe entao um z ∈ E \ E1

tal que LJa (z) = 0 para qualquer a satisfazendo a condicao LJ

a (E1) = 0. Considere-seo operador linear B definido em E por Bx := LJ

a (z), com a escolhido de forma a que


LJa (y) = x. Pode-se verificar facilmente que B esta bem definido e satisfaz as condicoes

do Corolario 2.2.3. Como consequencia, B e um operador escalar, ou seja, B = λI comλ complexo, e para qualquer LJ

a ∈ L tem-se

LJa (z) = BLJ

a (y) = λLJa (y) ⇔ LJ

a (z − λy) = 0.

Mas pela hipotese, se LJa (ξ) = 0 para qualquer LJ

a ∈ L, entao ξ ∈ E0. Assimz − λy ∈ E0, o que contradiz a escolha de z ∈ E \ E1.

Lema 2.4.9. Sejam v1, . . . , vn e e1, . . . , en elementos de E, e suponha que os ele-mentos ek sao linearmente independentes. Entao existe um elemento a ∈ A tal queLJa ek = vk para qualquer k = 1, . . . , n.

Dem. Do Lema 2.4.8 sabe-se que, para cada k = 1, . . . , n, existe ak ∈ A talque LJ

ak(ek) = 0 e LJ

ak(em) = 0 para m = k. Considere-se a variedade linear Ek :=

LJx L

Jak(ek) : x ∈ A. Uma vez que LJ

a (Ek) ⊂ Ek e LJe L

Jak(ek) = 0, obtem-se Ek = E

para qualquer k. Pode-se assim concluir que existe um elemento xk ∈ A tal queLJxkLJak(ek) = LJ

xkak(ek) = vk e LJ

xkak(em) = 0 para m = k. O elemento a :=

∑nk=1 xkak

tem assim a propriedade pretendida.

Teorema 2.4.10 (Teorema de Kaplansky). Se A ∈ SI2n e uma algebra de Banachprimitiva, entao A e isomorfa a Ml(C) para algum 1 ≤ l ≤ n.

Dem. Sendo A uma algebra primitiva entao, pelo Proposicao 2.2.4, A possui umideal esquerdo maximal J para o qual a correspondente representacao regular esquerdaLJ : A → LJ

a : a ∈ A e um isomorfismo. Mostre-se que se A ∈ SI2n entaodim E ≤ n com E := A/J . Suponha-se que dim E > n. Se e1, . . . , en+1 foremelementos linearmente independentes em E defina-se, para i, j, k = 1, . . . , n+ 1,

v(ij)k := δjkei

onde δjk representa o sımbolo de Kronecker. Existem elementos ai,j ∈ A tais que

LJai,jek = v

(ij)k (Lema 2.4.9). Fazendo um calculo simples,

S2n(LJan+1,n

, LJan,n−1

, . . . , LJa2,1, LJ

a1,2, . . . , LJ

an,n+1)en+1 = en+1,

donde

∥Sm2n(LJan+1,n

, LJan,n−1

, . . . , LJa2,1, LJ

a1,2, . . . , LJ

an,n+1)∥ ≥ 1,


para qualquer m. Dado que LJ e contınuo e por hipotese A ∈ SI2n obtem-se umacontradicao. Como consequencia, dim E ≤ n e obviamente L(E) ≡ Ml(C), paraalgum 1 ≤ l ≤ n.

O teorema que se segue pode ser visto como uma generalizacao da teoria de Gelfandpara algebras que satisfazem a identidade polinomial standard.

Teorema 2.4.11. Seja A ∈ SI2n uma algebra de Banach com unidade e. Entao

(i) a algebra quociente Ax := A/x e isomorfa a Ml(x)(C), para cada ideal maximal xde A, com l(x) ≤ n;

(ii) um elemento a ∈ A e invertıvel se e so se as matrizes πx(a) ∈ Ml(x)(C) saoinvertıveis para todos os ideais maximais x em A, onde πx : A → Ml(x)(C) edefinida por πx := φx Φx com Φx : A → Ax o homomorfismo canonico de A emAx e φx : Ax → Ml(x)(C) o isomorfismo de Ax em Ml(x)(C) referido na alınea(i);

(iii) O radical de A coincide com a interseccao de todos os ideais maximais de A.

Dem. (i) Se a algebra A for primitiva, pelo Teorema 2.4.10 e imediatamente isomorfaaMl(C) para algum l ≤ n. Caso contrario, para qualquer x emMA a algebra quocienteAx e primitiva e pertence a SI2n. Pelo Teorema 2.4.10 obtem-se o resultado.

(ii) Se a ∈ A e um elemento invertıvel entao e imediato que πx(a) e tambem invertıvelpara qualquer x ∈ MA. Para mostrar a implicacao no sentido contrario, suponha-seque πx(a) e invertıvel para qualquer x ∈ MA. Tem-se evidentemente que a + x einvertıvel em Ax, para qualquer x ∈ MA. Suponha-se, com vista a um absurdo, quea nao e invertıvel a esquerda. Pela Proposicao 1.3.2, a pertence a um ideal esquerdomaximal J de A. Seja LJ a representacao regular esquerda induzida por J e defina-seI := Ker LJ . E evidente que I e um ideal contido em J , que a algebra quocienteA/I e primitiva, e que A/I ∈ SI2n. Do Teorema 2.4.10 conclui-se entao que A/I eisomorfa a Ml(C), com l ≤ n, donde resulta a maximalidade de I. Seja x0 := I ∈MA.Uma vez que x0 e um subconjunto de J , a imagem Jx0 := Φx0(J ) e novamente umideal esquerdo, agora de Ax0 := A/x0, com Φx0(a) ∈ Jx0 . Assim, Φx0(a) nao podeser invertıvel em Ax0 , o que contradiz a suposicao. Tem-se entao que a tem de serinvertıvel a esquerda.

Mostre-se agora que a tambem e invertıvel a direita. Dado que a e invertıvel aesquerda, existe um elemento b ∈ A tal que ba = e tendo-se πx(b)πx(a) = πx(e), paraqualquer x ∈ MA. Dado que πx(a) e invertıvel em Ax, tem-se ainda que πx(a)πx(b) =πx(e), ou seja, ab − e ∈ x para qualquer x ∈ MA. Pela Proposicao 2.2.5, cada idealesquerdo maximal de A contem um ideal maximal e o elemento r = ab − e pertence


assim ao radical de A. Da Proposicao 1.3.10, o elemento ab = e+ r e invertıvel, o queimplica a invertibilidade a direita de a.

(iii) A interseccao de todos os ideais maximais pertence ao radical RA de A. No sentidocontrario, suponha-se r ∈ RA. Entao rx := r + x pertence a RAx . Uma vez que Ax esemi-simples, tem-se r ∈ x para qualquer ideal maximal x.

Observe-se que na demonstracao do Teorema 2.4.10 fez-se apenas uso da proprie-dade multilinear de S2n. A demonstracao continua valida se em vez de S2n se tiver umqualquer polinomio multilinear. Assim, devido ao Lema 2.4.2, uma versao do Teorema2.4.11 e valida se a algebra A for uma qualquer algebra-PI.

Verificou-se pois que as algebras pertencentes a SI2n possuem um sımbolo matricialde ordem menor ou igual a n. Mostra-se em seguida que uma algebra que possuasımbolo matricial de ordem n e, a menos do radical, uma algebra-PI que satisfaz umaidentidade standard.

Teorema 2.4.12. Seja A uma algebra de Banach com unidade e. As seguintes afirmacoessao equivalentes:

(i) A tem um sımbolo matricial de ordem n;

(ii) A/RA ∈ SI2n;

Dem. (i) ⇒ (ii). Suponha-se que existe uma famılia de homomorfismos matriciais hxsobre A, identificados pelos elementos de um conjunto X, tal que um elemento a ∈ Ae invertıvel em A se e so se as matrizes hx(a) sao invertıveis para todos os x ∈ X.

Mostra-se que se a ∈ A e invertıvel entao a + S2n(a1, . . . , a2n) e invertıvel paraqualquer escolha dos elementos a1, . . . , a2n de A. Ora, dado que

hx (S2n(a1, . . . , a2n)) = S2n(hx(a1), . . . , hx(a2n))

e todos os elementos hx(ak) sao matrizes quadradas de ordem l, pelo Teorema 2.4.7conclui-se

hx (S2n(a1, . . . , a2n)) = 0

para qualquer x ∈ X. Assim,

hx(a) = hx(a+ S2n(a1, . . . , a2n))

para qualquer x ∈ X, e dado que hxx∈X constitui um sımbolo matricial, tem-se quea+S2n(a1, . . . , a2n) e invertıvel sempre que o mesmo acontece a a ∈ A. Pela Proposicao1.3.10, S2n(a1, . . . , a2n) esta no radical de A, o que termina a demonstracao. (ii)⇒(i).


Suponha-se que A/RA satisfaz uma identidade multilinear. Logo possui sımbolo deinvertibilidade de ordem n pelo Teorema 2.4.11. Dado que a ∈ A e invertıvel se e sose a + RA e invertıvel em A/RA, a existencia de um sımbolo matricial para A/RAconduz obviamente a existencia de um simbolo matricial para A.

Por vezes tambem se designam as algebras com sımbolo matricial como algebras-QI(Quasi-Indentity).

Exemplo 2.4.2. Seja l2 o espaco de Banach das sucessoes (αn) de termos em C taisque

∑∞i=1 |αi|2 <∞. Represente-se por A0 a subalgebra de L(l2) constituıda por todos

os operadores lineares limitados A ∈ L(l2) tais que os coeficientes da representacaomatricial (aij)

∞i,j=1 de A com respeito a base canonica sao tais que:

a) aij =

0 se i > j,

0 se i < j e apenas num numero finito de excepcoes;

b) limi→∞

aii existe e e finito.

Seja A o fecho de A0 em L(l2). Entao A e uma algebra-QI constituındo a famılia dehomomorfismos contınuos

ϕn : A → C, ϕn(T ) :=

ann se n ∈ N,limi→∞

aii se n = ∞,(2.17)

um sımbolo matricial de ordem 1 para A. Tem-se que um operador T ∈ A e invertıvelem A se e so se ϕn(T ) = 0 para qualquer n ∈ N ∪ ∞. A demonstracao destes factose deixada como exercıcio.

Termina-se a esta seccao com uma importante consequencia do Teorema 2.4.12.

Corolario 2.4.13. Seja X um espaco de Banach de dimensao infinita. Se A for umasubalgebra de L(X) que contenha todos os operadores de caracterıstica 1, entao A naopossui sımbolo matricial.

Dem. Comece-se por mostrar que A e semi-simples. Por reducao ao absurdo,suponha-se que existe um operador T ∈ RA e elementos y0 = 0 e x0 em X taisque Tx0 = y0. Tome-se um funcional linear ϕ com ϕ(y0) = 1 e defina-se K,A ∈ Apor Kx := ϕ(x)x0, A := TK. Uma vez que o radical e um ideal bilateral, tem-seque A ∈ RA o que implica, pela Proposicao 1.3.10, que I − A e invertıvel. Mas(I − A)y0 = y0 − TKy0 = 0, o que e uma contradicao.

Suponha-se agora que A possui um sımbolo matricial de ordem n. Entao, peloTeorema 2.4.12 (iii), A ∈ SI2n. Mas A contem uma copia de todas as matrizes qua-dradas de dimensao finita nao podendo assim, pelo Lema 2.4.3, satisfazer identidades

2.5. ALGEBRAS GERADAS POR DUAS PROJECCOES 87

polinomiais.

2.5 Algebras geradas por duas projeccoes

Uma das aplicacoes mais interessantes e simples da teoria de representacoes de algebrasnao comutativas desenvolvidas nas seccoes anteriores e a algebras geradas por duasprojeccoes. O teorema das duas projeccoes, estabelecido nesta seccao, associa a cadaelemento de uma algebra de Banach, gerada por duas projeccoes, uma funcao matricial2× 2 tal que elemento inicial e invertıvel se e so se a correspondente funcao matricial ofor. O termo “projeccao” tem origem no facto do primeiro resultado ter sido demons-trado no contexto de algebras C∗. Na realidade o resultado pode ser generalizado paraidempotentes em algebras de Banach, o que sera efectuado nesta seccao.

Considere-se B := alge, p, r uma algebra de Banach gerada pela unidade e, e pordois elementos p e r tais que p2 = p e r2 = r (idempotentes). O teorema das duasprojeccoes pode ser estabelecido tendo por base uma das seguintes observacoes:

1. A algebra B := alge, p, r tem no centro o elemento

c := prp+ (e− p)(e− r)(e− p),

sendo possıvel aplicar a B o princıpio local de Allan e analisar a algebra porlocalizacao;

2. A algebra B := alge, p, r satisfaz a identidade standard S4, enquadrando-se aalgebra na teoria das algebras-PI da seccao anterior.

Neste texto desenvolve-se a teoria partindo da segunda observacao que se passa ademonstrar.

Proposicao 2.5.1. Seja B uma algebra gerada por uma unidade e, e por dois idempo-tentes, p e r. Entao B satisfaz a identidade polinomial standard S4.

Dem. O elemento

c := prp+ (e− p)(e− r)(e− p) = e− p− r + pr + rp

pertence ao centro da algebra B, uma vez que

pc = prp = cp e rc = rpr = cr.


Cada elemento de A pode escrever-se como

h1(c)e+ h2(c)p+ h3(c)r + h4(c)pr, (2.18)

com h1, . . . , h4 polinomios, e assim a algebra B e um modulo sobre o seu centro, dedimensao nao maior que quatro. Para verificar esta afirmacao basta notar que osgeradores e, p, r de B sao da forma (2.18) e que os seus produtos, como indicado natabela de multiplicacoes,

p r prp p pr prr c− e+ p+ r − pr r crpr cp pr cpr

satisfazem tambem (2.18).Uma vez que S4 e multilinear, e todos os polinomios hi(c) pertencem ao centro de

B, falta apenas mostrar que sempre que b1, b2, b3, b4 ⊆ e, p, r, pr, se tem

S4(b1, b2, b3, b4) = 0.

Ora, se dois dos elementos bi coincidirem entao e obvio que S4(b1, b2, b3, b4) = 0. Casocontrario, um dos bi tem de ser o elemento identidade. Seja por exemplo b1 = e. Tem-seentao que S4(e, a2, a3, a4) = 0 para quaisquer elementos a2, a3, a4 de B.

Do anterior resultado e da continuidade do polinomio standard obtem-se o resul-tado:

Corolario 2.5.2. Se B e uma algebra de Banach gerada por uma unidade e, e por doisidempotentes, p e r, entao B satisfaz a identidade polinomial standard S4.

Seja entao B uma algebra de Banach que e gerada pela identidade, e, e pelos doisidempotentes p e r. Do corolario 2.5.2 e do Teorema 2.4.11 tem-se que, para cada idealmaximal x de B,

B/x ∼= M1(C) = C ou B/x ∼= M2(C).

Represente-se por Mi, i = 1, 2, o conjunto dos ideais maximais x de B com B/x ∼=Mi(C). Para cada x ∈Mi escolha-se um isomorfismo ξx de B/x em Mi(C) e defina-se

πx : B →Mi(C), a 7→ ξx(a+ x).

Descrevem-se a seguir, a menos de relacoes de semelhanca, os elementos das famıliasπxx∈Mi

, i = 1, 2.


Dado que os homomorfismos transformam idempotentes em idempotentes, a restri-cao de cada homomorfismo πx, com x ∈ M1, ao conjunto e, p, r coincide com umadas aplicacoes G0, . . . , G3 : e, p, r → C, definidas por

G0(e) = 1, G0(p) = 0, G0(r) = 0,

G1(e) = 1, G1(p) = 1, G1(r) = 0,

G2(e) = 1, G2(p) = 0, G2(r) = 1,

G3(e) = 1, G3(p) = 1, G3(r) = 1.

Ora, um homomorfismo contınuo π : B → C fica unicamente determinado pela suaaccao no conjunto e, p, r dos geradores de B. Existem pois no maximo quatroelementos em M1.

Considerem-se de seguida os homomorfismos πx em que x ∈ M2. O idempotenteπx(p) tem que admitir os escalares 0 e 1 como valores proprios, senao πx(p) e a matrizzero ou a matriz identidade de M2(C) e o contradomınio de πx sera uma algebracomutativa que nao pode coincidir com M2(C). Existe assim uma matriz invertıvelBx ∈M2(C) tal que

πx(p) = B−1x

[1 00 0

]Bx.

Defina-se o homomorfismo

πx : B →M2(C), a 7→ Bxπx(a)B−1x

que tem a propriedade de que πx(a) e invertıvel se e so se πx(a) for invertıvel. Considere-se

πx(r) =:

[α βγ δ

]com α, β, γ e δ numeros complexos. Tem-se obrigatoriamente βγ = 0, pois casocontrario

algπx(e), πx(p), πx(r)seria uma algebra de matrizes triangulares (superiores ou inferiores) que nao coincidiriacom M2(C). Ora, da idempotencia de πx(r) concluı-se que

πx(r) =

[α ϵx

√α(1− α)

ϵ−1x

√α(1− α) 1− α

]em que ϵx e numero complexo nao nulo, e

√α(1− α) representa um numero complexo

tal que (√α(1− α))2 = α(1− α).

Defina-se

Ψx : B →M2(C), a 7→[1 00 ϵx

]πx(a)

[1 00 ϵ−1

x

].


Entao Ψx e um isomorfismo tal que Ψx(a) e invertıvel se e so se πx(a) o for, bem como

Ψx(e) =

[1 00 1

], Ψx(p) =

[1 00 0

]e

Ψx(r) =

[α

√α(1− α)√

α(1− α) 1− α

]para algum α ∈ C\0, 1. Em conclusao, se x ∈M2, o homomorfismo πx e equivalente,a menos de semelhanca, a um homomorfismo Ψx cuja restricao ao conjunto e, p, rcoincide com uma das aplicacoes Fα : e, p, r →M2(C),

Fα(e) =

[1 00 1

], Fα(p) =

[1 00 0

], Fα(r) =

[α

√α(1− α)√

α(1− α) 1− α

],

em que α ∈ C \ 0, 1.Finalmente a questao que se coloca e como decidir quais dos morfismos Gm com

m ∈ 0, 1, 2, 3 e Fα com α ∈ C \ 0, 1 sao realmente restricoes de homeomorfismosde B. Usando os elementos indicadores

b := p+ 2r e c = e− p− r + pr + rp,

pode-se resolver a questao formulada. Verifica-se facilmente que para m = 0, 1, 2, 3,

Gm(b) := Gm(p) + 2Gm(r) = m

e que nenhum dos numeros 0, 1, 2, 3 esta no espectro de Fα(b) := Fα(p) + 2Fα(r) seα ∈ 0, 1. Uma vez que todos os pontos do espectro de b tem de ser obtidos comopontos do espectro de πx(b), para x ∈M1, ou do espectro de Ψx(b), para x ∈M2, podeentao concluir-se que cada elemento m em

σ(b) ∩ 0, 1, 2, 3

tem de ser obtido por uma representacao unidimensional, existindo uma bijeccao entreM1 e σ(b) ∩ 0, 1, 2, 3, uma vez que apenas Gm(b) tem por imagem m.

Analogamente se verifica que para o elemento c,

Gm(c) := Gm(e)−Gm(p)−Gm(r) +Gm(p)Gm(r) +Gm(r)Gm(p)

pertence a 0, 1 para cada escolha de m ∈ 0, 1, 2, 3. Os elementos em σ(c) \ 0, 1podem somente ser obtidos por representacoes bidimensionais Ψx(c). Dado que

Fα(c) := Fα(e)− Fα(p)− Fα(r) + Fα(p)Fα(r) + Fα(r)Fα(p) =

[α 00 α

],


cada elemento α ∈ σ(c)\0, 1 induz um dos homomorfismos Fα e, por outro lado, cadaum dos homomorfismos Fα (e como consequencia, cada um dos Ψx) pode contribuirapenas com um elemento para σ(c) \ 0, 1. Existe assim entre M2 e σ(c) \ 0, 1 umabijeccao.

Para finalizar resta considerar a situacao em que 0 ou 1 pertence a σ(c) mas naoe um elemento isolado de σ(c). Suponha-se que 0 tem esta propriedade. Existe entaouma sucessao (xn) de termos em σ(c) \ 0 tal que xn → 0 quando n → ∞. Se sedeterminar o espectro de Fxn(b), isto e, as solucoes da equacao

det

[2xn + 1− λ 2

√xn(1− xn)

2√xn(1− xn) 2(1− xn)− λ

]= (2xn + 1− λ)(2− 2xn − λ)− 4xn(1− xn) = 0,

uma vez que as raızes de um polinomio dependem continuamente dos coeficientes, essassolucoes λn e µn tendem para as solucoes da equacao (1− λ)(2− λ) = 0 que se obtemda equacao anterior fazendo xn convergir para 0. Assim, λn → 1 e µn → 2, donde1, 2 ∈ σ(b). Analogamente se mostra que 0, 3 ∈ σ(b) se 1 esta em σ(c) e nao e umponto isolado de σ(c).

O teorema que se segue condensa os resultados anteriores.

Teorema 2.5.3 (Teorema das duas projeccoes). Seja A uma algebra de Banach comunidade e, e sejam p e r idempotentes em A. Seja B := alge, p, r a subalgebra fe-chada de A gerada pelos elementos p, r e e, entao:

(i) para cada x ∈ σB(e− p− r + pr + rp) \ 0, 1, a aplicacao

Fx : e, p, r →M2(C),

definida por

Fx(e) =

[1 00 1

], Fx(p) =

[1 00 0

], Fx(r) =

[x

√x(1− x)√

x(1− x) 1− x

],

onde√x(1− x) representa qualquer numero em que

(√x(1− x)

)2= x(1− x),

pode ser estendida a um homomorfismo contınuo de B emM2(C) que se representapelo mesmo sımbolo Fx;

(ii) para cada m ∈ σB(p+ 2r) ∩ 0, 1, 2, 3, a aplicacao

Gm : e, p, r → C,


definida por

G0(e) = 1, G0(p) = G0(r) = 0, G1(e) = G1(p) = 1, G1(r) = 0,

G2(e) = G2(r) = 1, G2(p) = 0, G3(e) = G3(p) = G3(r) = 1

pode ser estendida a um homomorfismo contınuo de B para C;

(iii) um elemento a ∈ B e invertıvel em B se e so se as matrizes Fx(a) sao invertıveispara qualquer x ∈ σB(e− p− r+ pr+ rp) \ 0, 1 e se os numeros Gm(a) nao seanulam para m ∈ σB(p+ 2r) ∩ 0, 1, 2, 3.

(iv) se 0 e 1 nao sao pontos isolados do espectro de c entao existe cada um dos homo-morfismos Gm, m = 0, 1, 2, 3.

Pode-se estabelecer ainda o seguinte corolario.

Corolario 2.5.4. Sejam Bp e Be−p, respectivamente, as algebras de Banach

pbp : b ∈ B e (e− p)b(e− p) : b ∈ B.

Entao,

(i) sendo c = e− p− r + pr + rp,

σB(c) \ 0, 1 = σBp(prp) \ 0, 1 = σBe−p((e− p)(e− r)(e− p)) \ 0, 1;

(ii) se 0, 1 ⊂ σBp(prp), tem-se que

σB(c) = σBp(prp),

e o resultado continua verdadeiro se se substituir prp por (e− p)(e− r)(e− p).

(iii) se o fecho de algum dos conjuntos

σB(c) \ 0, 1, σBp(prp) \ 0, 1, σBe−p((e− p)(e− r)(e− p)) \ 0, 1

contem os pontos 0 e 1, entao estes conjuntos coincidem.

Dem. Considere-se α ∈ σB(c) \ 0, 1. Efectuando um calculo simples tem-se

Fα(c) =

[α 00 α

], Fα(prp) =

[α 00 0

], e Fα((e− p)(r − p)(e− p)) =

[0 00 α

].

Do Teorema 2.5.3 obtem-se (i) . Para demonstrar (ii), note-se que

σB(c) = σBp(prp) ∪ σBe−p((e− p)(e− r)(e− p))

o que, combinando com (i), permite concluir (ii). A proposicao (iii) e obvia.

2.6. EXERCICIOS 93

2.6 Exercıcios

Exercıcio 2.1. Investigue se as condicoes de a algebra A ser comutativa e complexasao necessarias para a obtencao do Teorema 2.1.2.

Exercıcio 2.2. Um algebra B com unidade e diz-se singularmente gerada se existeum elemento b ∈ B tal que B coincide com a mais pequena subalgebra fechada deB que contem e e b. Neste caso b diz-se o gerador de B. Prove que o espaco dosideais maximais de uma algebra de Banach gerada por um elemento b e homeomorfoao espectro de b.Sugestao: Faca corresponder ao ponto λ ∈ σB(b) o mais pequeno ideal fechado de Bque contem b− λe.

Exercıcio 2.3. Recorde o Exercıcio 1.33. Seja M(l∞) o espaco dos funcionais linearesmultiplicativos de l∞, com a topologia w∗. Dado u ∈ l∞, defina-se

u(ϕ) := ϕ(u), ϕ ∈M(l∞).

Note que M(l∞) e um espaco de Hausdorff compacto.

a) Mostre que a aplicacao u 7→ u define um isomorfismo algebrico isometrico de l∞

em C(M(l∞));

b) Mostre que u = u, para qualquer u ∈ l∞;

c) Representando por u1 a sucessao constantemente igual a 1, mostre que u1 ≡ 1,

ou seja, u1 coincide com a funcao constantemente igual a 1. Mostre que l∞ :=u : u ∈ l∞ e fechado em C(M(l∞));

d) Conclua que l∞ = C(M(l∞))

e) Mostre que M(l∞) e totalmente desconexo, ou seja, que as componentes conexasde M(l∞) sao os conjuntos singulares;

f) Seja ϕn(u) := un para n ∈ N e u ∈ l∞. Represente novamente por N o subcon-junto ϕn : n ∈ N de M(l∞). Mostre que N e denso em M(l∞);

g) Mostre que o conjunto singular ϕn ⊂M(l∞) e aberto em M(l∞);

h) Mostre que ϕ(u) = 0 quando ϕ ∈M(l∞) \ N e u ∈ l∞0 .

Exercıcio 2.4. Considere a algebraM2(C) e a subalbegra B constituıda pelas matrizes

da forma

[a b0 a

]com a, b ∈ C.


a) Descreva o centro da algebra M2(C);

b) Determine o espaco dos ideais maximais de B, e a transformada de Gelfand emB. E injectiva? Qual a razao?

Exercıcio 2.5. Prove o Lema 2.3.1, ou seja, mostre que o centro de uma algebra deBanach A com unidade e, e uma subalgebra fechada de A, comutativa, fechada para ainversao e contendo a unidade.

Exercıcio 2.6. Complete a demonstracao do Lema 2.3.7, mostrando que Zτ e umideal bilateral fechado de F ′.

Exercıcio 2.7. Seja A uma algebra.

a) Considere a representacao regular esquerda associada a A, definida por

L : A → L(A), a 7→ La,

com La(b) := ab para b ∈ A. Justifique que em geral L nao e uma representacaoalgebricamente irredutıvel.

b) Seja J um ideal eequerdo de A e LJ a representacao regular esquerda de Ainduzida por J , isto e, a repesentacao de A definida por,

LJ : A → L(A/J ), a 7→ LJa ,

onde LJa (b + J ) = ab + J para b ∈ A. Mostre que se J for maximal, entao LJ

e algebricamente irredutıvel.Sugestao: Dado um subespaco X ⊂ A/J , invariante para LJ , comece porjustificar que

IX := x ∈ A : x+ J ∈ X ⊂ A,

define um ideal esquerdo de A que contem J .

Exercıcio 2.8. Prove a Proposicao 2.2.6, ou seja, sendo A e uma algebra de Banachcom unidade e, e J e um ideal esquerdo de A, prove que o quociente (J : A) e o maiorideal bilateral de A contido em J .

Exercıcio 2.9. Demonstre detalhadamente a Proposicao 2.2.7, ou seja, que umaalgebra de Banach A com unidade e primitiva se e so se 0 e um ideal primitivo deA.

2.6. EXERCICIOS 95

Exercıcio 2.10. Seja A uma algebra de Banach e (X, π) uma representacao de A noespaco vectorial X. Suponha-se que π = 0.

a) Um vector x ∈ X diz-se um vector cıclico para π se o conjunto πA(x) := πa(x) :a ∈ A for igual a X. Mostre que se (X, π) e irredutıvel entao qualquer vectornao nulo x ∈ X e cıclico para π.

b) Suponha que (X, π) e algebricamente irredutıvel. Fixe-se x ∈ X \ 0 e sejaJ := a ∈ A : πa(a) = 0.

(i) Mostre que J define um ideal esquerdo de A.(ii) Considere o espaco vectorial AJ := A/J e a correspondencia

U : AJ → X, aJ := a+ J 7→ πa(x).

Mostre que U define uma aplicacao bijectiva de AJ em X, logo um isomor-fismo algebrico.

(iii) Seja LJ representacao regular esquerda de A induzida por J (Exercıcio1.5). Mostre que se tem,

∀a ∈ A, πaU = ULJa .

Exercıcio 2.11. Seja A uma algebra de Banach e (X, π) uma representacao de A noespaco vectorial X tal que π = 0.

Diz-se que uma outra representacao (X, π) de A num espaco vectorial X e equiva-

lente a (X, π) sempre que exista um isomorfismo U : X → X tal que

∀a ∈ A, πaU = Uπa.

Mostre que sao equivalentes as sseguintes proposicoes:

a) (X, π) e irredutıvel;

b) Qualquer vector nao nulo de X e cıclico para π;

c) Existe um ideal esquerdo maximal J de A tal que π e LJ , a representacao regularesquerda de A induzida por J , sao equivalentes.Sugestao: Utilize o Exercıcio 2.10.

Exercıcio 2.12. Prove que qualquer algebra de dimensao finita A, com dim A < n(n ∈ N), satisfaz a identidade standard de ordem n.


Exercıcio 2.13. Prove que os morfismos ϕi do Exemplo 2.4.2 sao homomorfismoscontınuos e que um elemento A ∈ A e invertıvel em A se e so se ϕi(A) = 0 paraqualquer i ∈ N ∪ ∞.

Exercıcio 2.14. Descreva o conjunto de todos os elementos idempotentes de M2(C).

Exercıcio 2.15. Determine o menor numero l ∈ N tal que M2(C) e gerada por lidempotentes. Responda a mesma questao para Mn(C) com n > 2.

Exercıcio 2.16. Considere o teorema das duas projeccoes (Teorema 2.5.3). Para cadasubconjunto M de 0, 1, 2, 3, encontre um exemplo onde σB(p + 2r) = M . Podemassim ocorrer todas as possıveis combinacoes de representacoes unidimensionais. Proveo resultado correspondente para as representacoes bidimensionais.

Capıtulo 3

Fundamentos de algebras C∗

Este capıtulo tem por objectivo central estabelecer os fundamentos da teoria dasalgebras C∗. Introduzidos alguns conceitos basicos, mostra-se para uma algebra C∗

comutativa o 1o teorema de Gelfand-Naimark e estabelecem-se, em algebras C∗, aspropriedades fundamentais de uma importante classe de elementos, os designados ele-mentos positivos.

Na algebra C∗ dos operadores lineares limitados num espaco de Hilbert H, L(H),analisam-se propriedades dos operadores de projeccao e das isometrias parciais, es-tabelecendo-se a decomposicao polar dos operadores de L(H). Sendo X um espacode Hausdorff compacto, considera-se um homomorfismo-∗ unital de C(X) em L(H)e mostra-se que existe uma medida espectral que permite representar as imagens dohomomorfismo-∗ na forma integral. Mostra-se que e possivel representar qualquer ope-rador normal de L(H) a partir de uma medida espectral definida nos subconjuntos deBorel do espectro do operador, estabelecendo assim o teorema espectral para este tipode operadores.

Indicam-se processos de construcao de algebras C∗ a partir de algebras C∗ maissimples. Define-se a soma directa, o produto directo e o limite indutivo de algebrasC∗. Conclui-se o capıtulo analisando, na ausencia de unidade da algebra C∗, vias paraultrapassar essa dificuldade nomeadamente a unitarizacao da algebra e o conceito deaproximacao da unidade.

3.1 Algebras C∗. Propriedades elementares

Definicao 3.1.1. Seja A uma algebra complexa. Designa-se por involucao umaaplicacao ∗ : A → A que, para quaisquer a, b ∈ A e quaisquer α, β ∈ C, satisfazas seguintes propriedades:

(i) (a∗)∗ = a;

(ii) (αa+ βb)∗ = αa∗ + βb∗;

97

98 CAPITULO 3. FUNDAMENTOS DE ALGEBRAS C∗

(iii) (ab)∗ = b∗a∗.

Uma algebra complexa A onde esta definida uma involucao diz-se uma algebracom involucao ou, simplesmente, algebra-∗. Ao longo do presente capıtulo, exceptona Seccao 3.7, consideram-se sempre algebras-∗ com unidade que se designa como ha-bitualmente por e. Note-se que como e∗a = (e∗a)∗∗ = (a∗)∗ = a e ae∗ = a, devido aunicidade da unidade tem-se e∗ = e.

Dada uma algebra-∗ A, introduzem-se em seguida os conceitos de elemento normal,unitario e hermiteano:

Um elemento a ∈ A diz-se normal quando

a∗a = aa∗,

e diz-se unitario quandoaa∗ = a∗a = e.

Um elemento a ∈ A diz-se hermiteano ou autoadjunto quando

a = a∗,

e diz-se uma projeccao quando

p∗ = p e p2 = p.

Sendo S um subconjunto de A e S∗ = a∗ : a ∈ S, diz-se que S e um subconjuntoautoadjunto de A se S e fechado para a involucao, ou seja, se S = S∗. Uma subalgebrade A fechada para a involucao designa-se por subalgebra-∗ de A.

Definicao 3.1.2. Uma algebra A diz-se uma algebra C∗ se A e uma algebra de Banachna qual se considera uma involucao ∗ que satisfaz a identidade C∗, ou seja, que satisfaz,para qualquer a ∈ A,

∥a∥2 = ∥a∗a∥.

Repare-se que numa algebra C∗ a involucao e uma isometria. Efectivamente, sendoa ∈ A,

∥a∥2 = ∥a∗a∥ ≤ ∥a∗∥∥a∥,pelo que ∥a∥ ≤ ∥a∗∥. Assim ∥a∗∥ ≤ ∥(a∗)∗∥ = ∥a∥, obtendo-se

∥a∥ = ∥a∗∥.

Sendo A uma algebra C∗, uma subalgebra-∗ B de A, fechada para a topologia in-duzida pela norma, diz-se uma subalgebra C∗ de A.

Apresentam-se de seguida alguns exemplos de algebras C∗ que desempenham umpapel fundamental na teoria.

3.1. ALGEBRAS C∗. PROPRIEDADES ELEMENTARES 99

Exemplo 3.1.1. Sejam X um espaco de Hausdorff compacto e C(X) a algebra deBanach das funcoes complexas e contınuas em X com a norma do supremo,


|f(x)|, f ∈ C(X).

Com a involucao definida pela passagem a funcao conjugada,

∗ : C(X) 7→ C(X), f 7→ f,

C(X) e uma algebra C∗ comutativa com unidade.

Exemplo 3.1.2. Sendo H um espaco de Hilbert, a algebra L(H) dos operadores linea-res limitados T : H 7→ H com a norma habitual de operadores,

∥T∥L = sup∥x∥≤1

∥Tx∥, T ∈ L(H),

e a involucao ∗ : L(H) → L(H), T 7→ T ∗, onde T ∗ designa o operador adjunto de T, euma algebra C∗ cuja unidade e o operador identidade IH . O ideal K(H) dos operadorescompactos de L(H), define uma subalgebra C∗ de L(H) sem unidade.

O proximo resultado realca a importancia dos elementos hermiteanos ou adjuntosde uma algebra-∗. Efectivamente, qualquer elemento de uma algebra-∗ admite umadecomposicao em elementos hermiteanos.

Proposicao 3.1.1. Seja A uma algebra-∗. Qualquer que seja o elemento a ∈ A,existem elementos hermiteanos de A, h e k, univocamente determinados por a, taisque

a = h+ ik. (3.1)

Dem. Definindo os elementos

h =1

2(a+ a∗) e k =

1

2i(a− a∗), (3.2)

e imediato verificar (3.1). Quanto a unicidade, sejam h, k elementos hermiteanos taisque a = h+ ik. Tem-se a∗ = h− ik, vindo

h =1

2(a+ a∗) = h e k =

1

2i(a− a∗) = k

Por analogia com a representacao algebrica dos numeros complexos, aos hermitianosh e k da representacao (3.1) designam-se geralmente por parte real e parte imaginaria


de a escrevendo-se Re (a) = h e Im (a) = k.

Sendo A uma algebra C∗, caracteriza-se em seguida o espectro, σA(a), e o raioespectral, r(a), de um elemento hermiteano a ∈ A.

Proposicao 3.1.2. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e a ∈ A um elementohermiteano. Tem-se que:

(i) ∥a2∥ = ∥a∥2;

(ii) r(a) = ∥a∥;

(iii) σA(a) ⊆ R.

Dem. Da identidade C∗ e claro que sendo a hermiteano, ou seja a = a∗, se tem (i).Estabelecida a igualdade (i), da Proposicao 2.1.4 obtem-se de imediato (ii).

Demonstre-se (iii). Seja b = exp(ia). Da definicao de exponencial de um elementoda algebra,

b =∞∑n=0

(ia)n

n!e b∗ =

∞∑n=0

(−ia∗)n

n!.

Assim b∗ = exp(−ia) e bb∗ = b∗b = e. O elemento b e pois um elemento unitario econsequentemente

1 = ∥e∥ = ∥bb∗∥ = ∥b∥2.Assim,

∥b∥ = ∥b∗∥ = ∥b−1∥ = 1

o que permite concluir que se λ ∈ σA(b) entao |λ| = 1. Ora, pelo teorema da aplicacaoespectral, σA(b) = σA(exp(ia)) = exp(iσA(a)) e como qualquer λ ∈ σ(b) tem modulounitario entao σ(a) ⊂ R.

O teorema anterior tem uma importante consequencia.

Corolario 3.1.3. Se A e uma algebra-∗ com unidade entao existe no maximo umanorma em A que a torna uma algebra C∗.

Dem. Sejam ∥.∥1, ∥.∥2 normas na algebra-∗ que a tornam uma algebra C∗. Assim,para qualquer a ∈ A,

∥a∥21 = ∥a∗a∥1 = r(a∗a) = ∥a∗a∥2 = ∥a∥22,

pelo que ∥a∥1 = ∥a∥2.

3.1. ALGEBRAS C∗. PROPRIEDADES ELEMENTARES 101

Na Seccao 1.2.5 verificou-se que sendo B uma subalgebra de Banach unital de umaalgebra de Banach A entao, para um elemento a ∈ B tem-se que σA(a) ⊆ σB(a) sendoa diferenca dos espectros obtida, na passagem da algebra A para a algebra B, pelasupressao de ”buracos” nao aumentando a fronteira de σB(a). Mostra-se de seguidaque caso A e B sejam algebras C∗ entao σA(a) = σB(a) verificando-se assim invariancianos espectros.

Teorema 3.1.4. Se A e uma algebra C∗ com unidade e B e uma subalgebra C∗ de A,com a mesma unidade, entao qualquer que seja a ∈ B,

σB(a) = σA(a).

Dem. Fixando a ∈ B, e imediato que σA(a) ⊆ σB(a). Para mostrar a inclusaocontraria, ou seja , que

σB(a) ⊆ σA(a),

vai provar-se que se λ /∈ σA(a) entao λ /∈ σB(a).Seja entao λ ∈ C tal que λ /∈ σA(a). Assim,

b := a− λe ∈ GA ⇒ b∗ = a∗ − λe ∈ GA,

e consequentemente bb∗ ∈ GA. Como bb∗ e um elemento hermiteano e invertıvel emA, entao σA(bb

∗) ⊂ R \ 0, pelo que o conjunto resolvente ρA(bb∗) := C \ σA(bb∗) e

conexo. De acordo com o Teorema 1.2.13, tem-se que

σB(bb∗) = σA(bb

∗),

e consequentemente bb∗ ∈ GB. Como b∗ ∈ B e (bb∗)−1 ∈ B, entao

b−1 = [b∗(b∗)−1]b−1 = b∗[(b∗)−1b−1] = b∗(bb∗)−1 ∈ B,

pelo que b ∈ GB, isto e, a − λe ∈ GB, ou seja, λ /∈ σB(a). Fica assim demonstrado queem algebras C∗ se tem, qualquer que seja a ∈ B, σB(a) = σA(a) .

Definicao 3.1.3. Dadas duas algebras-∗, (A1, ∗1) e (A2, ∗2), um homomorfismo ϕ :A1 → A2, de A1 em A2, diz-se um homomorfismo-∗ se, para qualquer a ∈ A1,

ϕ(a∗1) = (ϕ(a))∗2 .

Se adicionalmente ϕ for uma bijeccao, o homomorfismo-∗ diz-se um isomorfismo-∗. Particularmente, se A1 = A2 = A o isomorfismo-∗, ϕ : A → A, diz-se umautomorfismo-∗. Caso A2 = C entao o homomorfismo-∗ ϕ : A → C diz-se um funcionalmultiplicativo-∗. Um homomorfismo-∗ diz-se unital se transforma a unidade de A1 na


unidade de A2. Ao longo deste capıtulo, quando nada for dito em contrario, assume-sesempre que os homomorfismos-∗ sao unitais.

Quanto a continuidade dos homomorfismos-∗ tem-se o seguinte resultado.

Teorema 3.1.5. Se A e uma algebra-∗ de Banach com unidade, B e uma algebra C∗

e Ψ : A → B e um homomorfismo-∗ entao, para qualquer a ∈ A,

∥Ψ(a)∥ ≤ ∥a∥,

ou seja, Ψ e um operador linear limitado com ∥Ψ∥ ≤ 1.

Dem. Assuma-se que B e uma algebra com unidade e que o homomorfismo Ψ e unital.Caso tal nao aconteca considere-se a projeccao p = Ψ(e) e substitua-se a algebra Bpela algebra B = pBp cuja unidade e p.

Para qualquer a ∈ A o elemento a∗a e hermiteano e dado que o homomorfismo Ψtransforma elementos invertıveis de A em elementos invertıveis de B, entao

σB(Ψ(a∗a)) ⊆ σA(a∗a).

Assim, de acordo com a Proposicao 3.1.2,

∥Ψ(a)∥2 = ∥Ψ(a∗a)∥ = r(Ψ(a∗a)) = sup|λ| : λ ∈ σB(Ψ(a∗a))≤ sup|λ| : λ ∈ σA(a

∗a) = ∥a∗a∥ = ∥a∥2,

o que garante que Ψ e limitado com ∥Ψ∥ ≤ 1.

Observe-se que anterior resultado estende o Teorema 1.4.3, estabelecido em algebrasde Banach apenas para funcionais lineares multiplicativos, a todo o homomorfismo-∗entre uma algebra-∗ e uma algebra C∗.

3.2 1o Teorema de Gelfand-Naimark. Calculo fun-

cional contınuo

A algebra de Banach C(X) das funcoes complexas e contınuas num espaco Hausdorffcompacto X e, com a operacao de conjugacao, uma algebra C∗. Como se vera no 1o

teorema de Gelfand Naimark, esta algebra e o modelo das algebras C∗ comutativas ecom unidade.

Sendo A uma algebra C∗ comutativa e com unidade, de acordo com o Teorema1.4.5, existe uma bjeccao entre o conjunto dos ideias maximais de A e o conjunto dos

3.2. 1o TEOREMADEGELFAND-NAIMARK. CALCULO FUNCIONAL CONTINUO103

funcionais lineares multiplicativos nao nulos emA. Os ideais maximais sao exactamenteo nucleo dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos. Assim, e ao longo destecapıtulo, vai representar-se por MA simultaneamente o conjunto dos ideias maximaisda algebra A e o conjunto dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos definidosem A. Sempre que MA for entendido com o segundo sentido entao tem-se, para atransformada de Gelfand de um elemento b ∈ A, que b(ϕ) = ϕ(b) para ϕ ∈ MA.Observe-se que como consequencia da identificacao entre os ideais maximais de umaalgebra C∗ com unidade e o conjunto dos seus funcionais lineares multiplicativos naonulos, se conclui facilmente que se J designar um ideal maximal de A entao J eautoadjunto. Efectivamente, se o elemento a ∈ A esta no nucleo de um funcional linearmultiplicativo entao o mesmo sucede ao elemento a∗. Neste capıtulo vai mostrar-se quenuma algebra C∗, com ou sem unidade, os ideais bilaterais fechados sao autoadjuntossendo eles proprios algebras C∗.

Teorema 3.2.1 (Teorema de Gelfand-Naimark). Se A e uma algebra C∗ comutativacom unidade e MA e o espaco dos ideias maximais de A, entao a transformacao deGelfand : A → C(MA), a 7→ a,

ondea(ϕ) = ϕ(a), ϕ ∈MA,

e um isomorfismo-∗ isometrico de A sobre C(MA).

Dem. Do Teorema 2.1.2 sabe-se que a transformacao de Gelfand, : A → C(MA),e um homomorfismo de A em C(MA). Comece-se por mostrar que e homomorfismo-∗.

Para qualquer a ∈ A tem-se que a = h + ik, com h, k elementos hermiteanos de

A. Ora, sendo h hermiteano entao σA(h) ⊂ R e Im h ⊂ R, pelo que h = h = h∗.

Repetindo o mesmo raciocınio para k, tem-se

a∗ = (h− ik) = h− ik = h− ik = h+ ik = a.

Verifique-se em seguida que e uma isometria. Para qualquer a ∈ A, recorrendo aspropriedades da transformada de Gelfand e ao facto do elemento aa∗ ser hermiteano,

∥a∥2 = ∥aa∥ = ∥aa∗∥ = r(aa∗) = ∥aa∗∥ = ∥a∥2.

Finalmente, se o contradomınio da transformacao de Gelfand e uma subalgebrafechada autoadjunta de C(MA) que separa os pontos de MA e contem as funcoes cons-tantes, resulta directamente do teorema de Stone-Weierstrass1, que o mesmo e C(MA),

1Teorema de Stone-Weierstrass: Seja X um espaco Hausdorff compacto. Se S e uma subalgebrafechada e autoadjunta de C(X) que contem as funcoes constantes e separa os pontos de X entaoS = C(X), [12].


e a transformacao e sobrejectiva.

Como primeira consequencia do teorema de Gelfand-Naimark tem-se o resultado:

Corolario 3.2.2. Toda a algebra C∗ comutativa e com unidade e uma algebra semi-simples.

Dem. Seja RA o radical da algebra A. Sendo A uma algebra de Banach comutativa,entao

RA = ∩M∈MA

M,

com MA o espaco dos ideais maximais de A.Fixe-se a ∈ RA. De acordo com a proposicao (iv) do teorema de Gelfand (Teorema

2.1.2) o elemento a pertence ao nucleo da transformacao de Gelfand : A → C(MA)que, atendendo ao teorema de Gelfand-Naimark, constitui um ismorfismo isometrico.Tem-se que a = 0, ficando demostrado que RA = 0. A e assim uma algebra semi-simples.

Sendo A um algebra C∗ com unidade e, e a ∈ A um elemento de A, representa-sepor alg∗a a algebra C∗ gerada por a e pela unidade e, ou seja, a menor subalgebraC∗ de A que contem a e a unidade e ∈ A. De acordo com a Definicao 1.1.8 e imediatoque

alg∗a = alga, a∗,

sendo alg∗a a menor subalgebra de Banach de A que contem os elementos a, a∗ e aunidade e ∈ A. Tem-se obviamente que alga∗ e o fecho na algebra A do conjunto detodos os polinomios de coeficientes complexos, P(a, a∗, e), nas variaveis a, a∗ e e,

alg∗a = P(a, a∗, e) : P e polinomio.

Uma outra consequencia do teorema de Gelfand-Naimark e o resultado que se segue.

Corolario 3.2.3. Se A e B sao duas algebras C∗ com unidade e Ψ : A → B e umhomomorfismo-∗ injectivo, entao Ψ e isometrico.

Dem. Suponha-se que Ψ e unital (caso contrario considere-se p = Ψ(e), com e

a unidade de A, e substitua-se B pela algebra B = pBp cuja unidade e p). Fixe-sea ∈ A um elemento hermiteano e mostre-se que ∥Ψ(a)∥ = ∥a∥. Sejam Aa := alg∗a eBΨ(a) := alg∗Ψ(a) respectivamente a subalgebra C∗ de A gerada por a e pela unidade

3.2. 1o TEOREMADEGELFAND-NAIMARK. CALCULO FUNCIONAL CONTINUO105

de A, e a subalgebra C∗ de B gerada por Ψ(a) e pela unidade de B. A restricao de Ψa Aa define um isomorfismo-∗ de Aa sobre BΨ(a),

Ψ : Aa → BΨ(a).

Pelo teorema de Gelfand-Naimark as algebrasAa e BΨ(a) sao isometricamente isomorfasa C(MAa) e C(MBΨ(a)

), respectivamente. Como consequencia a aplicacao

ΨM :MBΨ(a)→MAa , φ

′ 7→ φ′ Ψ,

com φ′ ∈ MBΨ(a), define um homeomorfismo de MBΨ(a)

em MAa . Assim, recorrendo astransformacoes de Gelfand das algebras C∗ comutativas e com unidade, Aa e BΨ(a),resulta novamente do teorema de Gelfand-Naimark que

∥Ψ(a)∥ = ∥Ψ(a)∥∞ = supφ′∈MBΨ(a)

|φ′(Ψ(a))| = supφ∈MAa

|φ(a)| = ∥a∥∞ = ∥a∥.

Se para qualquer elemento hermiteano a ∈ A se tem ∥a∥ = ∥Ψ(a)∥ entao, para qualquerelemento c ∈ A,

∥Ψ(c)∥2 = ∥Ψ(c∗c)∥ = ∥c∗c∥ = ∥c∥2,ou seja, o homomorfismo-∗ injectivo Ψ e isometrico.

O teorema de Gelfand-Naimark esta ainda na genese do chamado calculo funcionalcontınuo para elementos normais.

Teorema 3.2.4. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e, a ∈ A um elemento normalde A e Aa := alg∗a. Tem-se:

(i) O espaco dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos da algebra C∗ comuta-tiva gerada por a, MAa e homeomorfo a σA(a);

(ii) Existe um isomorfismo-∗ isometrico, Γ : Aa → C(σA(a)), de Aa sobre C(σA(a)).

Dem. (i) Se a e normal entao comuta com a∗ e consequentemente a algebra Aa :=alga∗ constitui uma subalgebra C∗ comutativa de A. Sendo : Aa → C(MAa) atransformacao de Gelfand da algebra Aa, tem-se que Im a = σA(a). A aplicacao

a :MAa → σA(a), ϕ 7→ a(ϕ) := ϕ(a), (3.3)

e sobrejectiva uma vez que atendendo a invariancia do espectro nas subalgebras C∗,Im a = σAa(a) = σA(a). Alem disso a e injectiva. Efectivamente, sendo ϕ1, ϕ2 ∈ MAa

tais que a(ϕ1) = a(ϕ2), entao ϕ1(a) = ϕ2(a) tendo-se que

ϕ1(a∗) = a∗(ϕ1) = a(ϕ1) = ϕ1(a) = ϕ2(a) = a(ϕ2) = a∗(ϕ2) = ϕ2(a

∗).


Assim, para qualquer polinomio p(a, a∗, e) em a, a∗ e e, tem-se que ϕ1(p(a, a∗, e)) =

ϕ2(p(a, a∗, e)) e consequentemente ϕ1 = ϕ2. A aplicacao a e por definicao contınua na

topologia de Gelfand em MAa . Como MAa e σA(a) sao espacos Hausdorff compactosentao a e de facto um homeomorfismo ficando provado o pretendido.

(ii) Sendo MAa e σA(a) homeomorfos, a aplicacao

Ψ : C(MAa) → C(σA(a)), f 7→ Ψ(f) := f (a)−1, (3.4)

onde (a)−1 designa a funcao inversa de a, define um isomorfismo-∗ isometrico deC(σ(a)) em C(MAa). Consequentemente, resulta do teorema de Gelfand-Naimark quea aplicacao

Γ : Aa → C(σA(a)), b 7→ Γb := Ψ(b), (3.5)

e um isomorfismo-∗ isometrico onde, de acordo com (3.3), (3.4) e (3.5), Γb ∈ C(σA(a))e tal que Γb(λ) = ϕ(b) onde ϕ ∈MAa e o unico funcional tal que ϕ(a) = λ.

Como a aplicacao Γ , definida por (3.5) e um isomorfismo-∗ isometrico de Aa sobreC(σA(a)), a cada funcao contınua f ∈ C(σ(a)) pode associar-se um e um so elemento deAa que se representa por f(a). A transformacao inversa de Γ (Γ−1), que se representara

por Γc,Γc : C(σA(a)) → Aa, f 7→ f(a), (3.6)

designa-se por calculo funcional contınuo para o elemento normal a ∈ A.

Uma importante consequencia do Teorema 3.2.4 e o chamado teorema da aplicacaoespectral para elementos normais, que generaliza o teorema espectral apresentado noCapıtulo 1 a qualquer funcao contınua no espectro de elementos normais.

Teorema 3.2.5 (Teorema da Aplicacao Espectral). Sejam A uma algebra C∗ comunidade e, a ∈ A um elemento normal e f ∈ C(σA(a)) uma funcao contınua noespectro de a, σA(a). Entao,

σA(f(a)) = f(σA(a)).

Dem. Sejam Aa := alga∗ a subalgebra C∗ comutativa de A gerada pelo elemento

a e pela unidade e, e Γc : C(σA(a)) → Aa a transformacao (3.6). Sendo Γc a inversa da

transformacao (3.5), entao f(a) = Γcf e o unico elemento de Aa tal que, para qualquerϕ ∈MAa ,

ϕ(f(a)) = f(λ), onde λ = ϕ(a) ∈ σA(a).

Assim sendo, dado que A e uma algebra de Banach comutativa,

σA(f(a)) = ϕ(f(a)) : ϕ ∈MAa = f(λ) : λ ∈ σA(a)) = f(σA(a)),

3.3. ELEMENTOS POSITIVOS EM ALGEBRAS C∗ 107

estabelecendo-se o pretendido.

3.3 Elementos positivos em algebras C∗

Os elementos positivos desempenham um papel importante nas algebras C∗ permitindo,em particular, introduzir uma relacao de ordem parcial no conjunto dos elementoshermiteanos da algebra (a ≤ b ou b ≥ a se b− a e um elemento positivo).

Definicao 3.3.1. Numa algebra C∗, A, um elemento p ∈ A diz-se positivo se p ehermiteano e σ(p) ⊆ R+

0 . Simbolicamente escreve-se p ≥ 0.Representa-se por A+ o conjunto dos elementos positivos da algebra A.

Na algebra C(X) das funcoes contınuas num espaco Hausdorff compacto X, os ele-mentos positivos sao as funcoes reais nao negativas. Sao faceis de verificar as seguintesproposicoes:

(i) Se f ∈ C(X) e positivo entao g : x 7→√f(x) e o unico elemento positivo de

C(X) que satisfaz f = g2;

(ii) Se f ∈ C(X) e uma funcao real e ∥f − λ∥∞ ≤ λ, para algum real λ ≥ 0, entao fe positivo;

(iii) Se f ∈ C(X) e positivo e ∥f∥∞ ≤ λ, para algum real λ ≥ 0, entao ∥f −λ∥∞ ≤ λ.

Com auxılio do calculo funcional, estas e outras propriedades podem generalizar-sea qualquer elemento positivo de uma algebra C∗. Nomeadamente, ver-se-a que qualquerelemento positivo de uma algebra C∗ tem uma unica raız quadrada que e um elementopositivo.

Proposicao 3.3.1. Seja A uma algebra C∗ com unidade e. Dado um elemento positivoa de A, existe um e um so elemento positivo q ∈ A tal que

q2 = a. (3.7)

Dem. Como a ≥ 0 entao σA(a) ⊆ R+0 . Seja Γc : C(σA(a)) → Aa o isomorfismo-∗

isometrico definido em (3.6) e f : σA(a) → C a funcao f(z) =√z. Uma vez que

f ∈ C(σA(a)), existe um elemento q em Aa ⊆ A tal que q = f(a) = Γcf. O elementoq e positivo pois

q∗ = f(a)∗ = (Γcf)∗ = Γc(f) = Γcf = q,


e do teorema da aplicacao espectral

σA(q) = σA(f(a)) =√σA(a) ⊂ R+

0 .

Verifique-se que q e unico. Para tal considere-se q1 ∈ A um outro elemento positivo talque q21 = a. Tem-se,

q1a = q1q21 = q21q1 = aq1,

ou seja, q1 comuta com a, logo com todos os elementos de Aa. Como q ∈ Aa entao aalgebra C∗ gerada por q, q1 e pela identidade de A, U := alg (q, q1), e um algebra C∗

comutativa. Considere-se a transformacao Gelfand da algebra C∗ comutativa U ,

: U → C(MU),

que pelo teorema de Gelfand-Naimark e um isomorfismo-∗ isometrico. Tem-se,

Im q = σU(q) = σA(q) ⊂ R+0 e Im q1 = σU(q1) = σA(q1) ⊆ R+

0 ,

e como

(q)2 = q2 = a = (q21) = (q1)2,

tem-se q = q1, logo q = q1.

Sendo A uma algebra C∗ e a ≥ 0 um elemento positivo, representa-se por√a o

unico elemento q ≥ 0 tal que a = q2. Ao elemento√a = q chama-se raiz quadrada do

elemento a ≥ 0. Repare-se que sendo a ∈ A um qualquer elemento, entao a∗a ≥ 0fazendo sentido definir o modulo do elemento a como sendo o elemento |a| :=

√a∗a.

A Proposicao 3.1.1 permite afirmar que numa algebra-∗ qualquer elemento e umacombinacao linear de elementos hermiteanos. Com o auxılio do calculo funcionalcontınuo pode agora estabelecer-se que numa algebra C∗ unitaria qualquer elemento e,em ultima analise, uma combinacao linear de elementos positivos.

Proposicao 3.3.2. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e a ∈ A um elementohermiteano. Entao existem em A elementos positivos a+ e a− tais que

a = a+ − a− e a+a− = 0. (3.8)

Dem. Sendo a ∈ A um elemento positivo, escolha-se

a+ =1

2(|a|+ a) e a− =

1

2(|a| − a). (3.9)

3.3. ELEMENTOS POSITIVOS EM ALGEBRAS C∗ 109

Do teorema espectral e do calculo funcional obtem-se sem dificuldade (3.8).

Quanto a generalizacao a algebras C∗ das condicoes (ii) e (iii) apresentadas no inıcioda seccao para a algebra C(X), tem-se:

Lema 3.3.3. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e, e a ∈ A um elemento hermi-teano.

(i) Se ∥a− λe∥ ≤ λ, para algum real λ ∈ R+, entao a ≥ 0.

(ii) Se a ≥ 0 e ∥a∥ ≤ λ, para algum real λ ∈ R+, entao ∥a− λe∥ ≤ λ.

Dem. Conclui-se imediatamente da aplicacao do calculo funcional contınuo ao ele-mento a ∈ A e das condicoes analogas conhecidas para os elementos positivos daalgebra C∗ das funcoes contınuas num espaco Hausdorff compacto X.

Estabelece-se em seguida que o conjunto dos elementos positivos de uma algebraC∗ e fechado para a soma e para a passagem ao limite.

Proposicao 3.3.4. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e A+ o conjunto dos seuselementos positivos. Tem-se as seguintes proposicoes:

(i) Se a, b ∈ A+ entao a+ b ∈ A+;

(ii) O conjunto dos elementos positivos A+ e fechado.

Dem. (i) Sejam a, b dois elementos positivos de A. Substituındo λ por ∥a∥ e ∥b∥,resulta da condicao (ii) do Lema 3.3.3, que

∥∥a − ∥a∥e∥∥ ≤ ∥a∥ e

∥∥b − ∥b∥e∥∥ ≤ ∥b∥.

Consequentemente,∥∥a+ b− (∥a∥+ ∥b∥)e∥∥ ≤

∥∥a− ∥a∥e∥∥+ ∥∥b− ∥b∥e

∥∥ ≤ ∥a∥+ ∥b∥,

logo, da condicao (i) do mesmo lema, tem-se que a+ b e positivo.(ii) Seja (an) uma sucessao de elementos positivos convergente para a ∈ A. Entao,

atendendo a que ∥an∥ → ∥a∥ e a que∥∥an−∥an∥e

∥∥ ≤ ∥an∥, tem-se que∥∥a−∥a∥e

∥∥ ≤ ∥a∥.Pelo Lema 3.3.3 conclui-se que a e positivo.

Observe-se que sendo a, b ∈ A+ entao o produto ab nao tem de ser necessariamenteum elemento positivo. Como facilmente se constata, nem o produto de dois elementos


hermiteanos de A e necessariamente um elemento hermiteano. Efectivamente, se a, b ∈A sao dois elementos hermiteanos que nao comutem, entao

(ab)∗ = b∗a∗ = ba = ab.

Termina-se esta seccao com um importante resultado que fornece uma caracteri-zacao alternativa dos elementos positivos em algebras C∗.

Teorema 3.3.5. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e a ∈ A. Sao equivalentes asseguintes proposicoes:

(i) a e positivo;

(ii) a = q∗q para algum q ∈ A.

Dem. Que (i) implica (ii) e consequencia imediata da proposicao 3.3.1.Mostre-se que (ii) implica (i). Considere-se entao a = q∗q, com q ∈ A. Claramente,

a e um elemento hermiteano de A e como tal admite uma decomposicao na formaa = a+− a−, com a± elementos positivos de A tais que a+a− = 0. Ora, sendo c = qa−,

−c∗c = a−q∗qa− = −a−aa− = (a−)

3,

ou seja, −c∗c e um elemento positivo uma vez que (a−)3 e evidentemente um ele-

mento hermiteano e, pelo teorema da aplicacao espectral, σA((a−)3) = σA(a−)

3 ⊂ R+0 .

Atendendo a que,σA(−cc∗) ∪ 0 = σA(−c∗c) ∪ 0

o elemento −cc∗ e tambem um elemento positivo de A.Considerando agora a decomposicao de c na forma c = c1 + ic2, onde c1, c2 sao

hermiteanos de A, entao c∗c+cc∗ = 2c21+2c22. Consequentemente, resulta da Proposicao3.3.4 que o elemento cc∗ = (2c21 + 2c22) − c∗c e positivo. Se os elementos cc∗ e −cc∗sao positivos entao cc∗ = 0 e consequentemente, dado que ∥c∥2 = ∥c∗c∥, tem-se c = 0.Assim, (a−)

3 = 0 e como a− e hermiteano,

σA(a−)3 = σA(a

3−) = 0,

donde ∥a−∥ = r(a−) = 0 uma vez que σA(a−) = 0. Conclui-se assim que a = a+, econsequentemente a e um elemento positivo.

3.4 A algebra C∗ dos operadores lineares limitados

Considere-se L(H) a algebra C∗ dos operadores lineares limitados num espaco de Hil-bert H, com a operacao de involucao ∗ : T → T ∗, onde T ∗ : H → H designa o operadoradjunto de T, ou seja, o unico operador linear limitado tal que, para quaisquer x, y ∈ H,

⟨Tx, y⟩ = ⟨x, T ∗y⟩.

3.4. A ALGEBRA C∗ DOS OPERADORES LINEARES LIMITADOS 111

Um operador T ∈ L(H) diz-se autoadjunto ou hermiteano se T ∗ = T, diz-se normalse T ∗T = TT ∗, diz-se unitario se T−1 = T ∗, e positivo se T = Q∗Q para algumoperador Q ∈ L(H).

Pode mostrar-se que um operator T ∈ L(H) e positivo se e so se para qualquerx ∈ H, se tem

⟨Tx, x⟩ ≥ 0.

3.4.1 Operadores de projeccao

Uma classe de operadores limitados importantes sao os operadores de projeccao.

Definicao 3.4.1. P ∈ L(H) diz-se um operador de projeccao se P e autoadjunto eidempotente, ou seja,

P 2 = P e P ∗ = P.

Claramente, qualquer operador de projeccao P ∈ L(H) e um operador positivouma vez que

P = P 2 = P ∗P.

Algumas propriedades elementares dos operadores de projeccao apresentam-se noresultado seguinte:

Proposicao 3.4.1. Sendo P ∈ L(H) um operador de projeccao entao:

(i) I − P e um operador de projeccao;

(ii) ImP e KerT sao subespacos fechados de H, tendo-se

ImP = Ker(I − P ), KerP = Im(I − P ) e ImP⊥KerP ;

(iii) H = ImP ⊕KerP, ou seja,

ImP ∩KerP = 0 e H = ImP +KerP ;

(iv) Se P = 0 entao ∥P∥ = 1.

Associado ao conceito de operador de projeccao esta naturalmente a nocao de sub-espaco invariante .

Definicao 3.4.2. Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H). Um subespaco M deH diz-se um subespaco invariante para T se

T (M) ⊆M.

O subespacoM diz-se um subespaco redutor de T seM eM⊥, o complemento ortogonal

de M , forem ambos subespacos invariantes para T .


Observe-se que se M e um subespaco invariante para o operador T ∈ L(X) entao,da continuidade de T, tambem M, o fecho de M , e invariante para T. Alem disso, seM e um subespaco invariante para T entao, atendendo a que para quaisquer x ∈M ey ∈M⊥,

⟨x, T ∗y⟩ = ⟨Tx, y⟩ = 0,

o subespaco M⊥ e invariante para o operador adjunto T ∗. Tem-se assim:

Proposicao 3.4.2. Sejam H e um espaco de Hilbert, T ∈ L(H) e M ⊆ H e umsubespaco. Entao,

(i) M e invariante para T se e so se M e invariante para T ;

(ii) M e invariante para T se e so se M⊥ e invariante para T ∗.

Sendo H um espaco de Hilbert e M um subespaco fechado de H, tem-se a somadirecta

H =M ⊕M⊥.

Ao operador de projeccao

PM : H → H, x = m+m⊥ 7→ m,

com m ∈M, m⊥ ∈M⊥, cujo nucleo e a imagem sao, respectivamete,

KerPM =M⊥ e ImPM =M,

chama-se operador de projeccao de H sobre o subespaco M. Claramente, qualqueroperador de projeccao P ∈ L(H) e um operador de projeccao sobre o subespaco fechadoM = ImP.

Proposicao 3.4.3. Sejam H um espaco de Hilbert, M um subespaco fechado de H ePM o operador de projeccao sobre M. Entao,

(i) M e invariante para T se e so se TPM = PMTPM ;

(ii) M e redutor para T se e so se PMT = TPM .

Dem. (i) Se M e invariante para T entao para qualquer x ∈ M tem-se TPMx ∈ Mpois PMx = x ∈M . Assim para qualquer x ∈M,

PMTPMx = TPMx.

Reciprocamente, se PMTPM = TPM entao para qualquer x ∈M

Tx = TPMx = PMTPMx ∈M,


pelo que T (M) ⊆M.

(ii) Suponha-se que M e redutor para T . Nestas condicoes, M e invariante simul-taneamente para T e T ∗ vindo de (i) que

TPM = PMTPM e T ∗PM = PMT∗PM .

Assim, dado que

T ∗PM = PMT∗PM ⇔ (PMT )

∗ = (PMTPM)∗ ⇔ PMT = PMTPM ,

entao TPM = PMT.

Reciprocamente, se TPM = PMT entao

PMTPM = P 2MT = PMT = TPM ,

concluındo-se de (i) que M e invariante para T. Alem disso, de TPM = PMT , vem quePMT

∗ = T ∗PM , o que implica

PMT∗PM = T ∗PM .

O subespaco M e assim invariante para T ∗ ou, equivalentemente, M⊥ e invariantepara T. Assim se conclui que TPM = PMT implica que M e redutor para T.

3.4.2 Isometrias parciais. Decomposicao polar

Associado ao conceito de operador de projeccao surge o conceito de isometria parcial.

Definicao 3.4.3. Dado um espaco de Hilbert H, um operador V ∈ L(H) diz-se umaisometria parcial se, para qualquer x ∈ (Ker V )⊥,

∥V x∥ = ∥x∥.

Em particular, se Ker V = 0 entao V e uma isometria. Ao subespaco (Ker V )⊥

chama-se espaco inicial e a Im V chama-se espaco final da isometria parcial V .

Repare-se que sendo P ∈ L(H) um operador de projeccao entao P e uma isometriaparcial ja que,

∥Px∥ = ∥x∥, x ∈ Im P = (Ker P )⊥.


Exemplo 3.4.1. No espaco de Hilbert l2, espaco das sucessoes x = (x1, x2, ..., xn, ...)em C tais que a serie

∑∞n=1 |xn|2 e convergente, o operador linear

Sl : l2 → l2, (x1, x2, ..., xn, ...) 7→ (x2, x3, ..., xn, ...),

e uma isometria parcial cujo espaco inicial e

(Ker Sl)⊥ = x ∈ l2 : x = (0, x2, x3, ..., xn, ...), xi ∈ K, i ∈ N.

O proximo resultado fornece um criterio para identificar as isometrias parciaisrelacionando-as com operadores de projeccao.

Proposicao 3.4.4. Sejam H um espaco de Hilbert e V ∈ L(H). Entao, V e umaisometria parcial se e so se V ∗V e um operador de projeccao.

Dem. Comece-se por supor que V ∗V e um operador de projeccao sobre o subespacoM de H. Entao,

∥V x∥2 = ⟨V ∗V x, x⟩ =

∥x∥2, se x ∈M

0, se x ∈M⊥,

pelo que V e uma isometria parcial com espaco inicial M = (Ker V )⊥.Reciprocamente suponha-se que V e uma isometria parcial. Entao, para todo o

x ∈ H, atendendo a que ∥V x∥ ≤ ∥x∥, tem-se

⟨(I − V ∗V )x, x⟩ = ∥x∥2 − ∥V x∥2 ≥ 0,

concluindo-se assim que o operador I−V ∗V e positivo. Alem disso, para x ∈ (Ker V )⊥,tem-se que ∥V x∥ = ∥x∥, pelo que∥∥∥√(I − V ∗V )x

∥∥∥2 = ⟨(I − V ∗V )x, x⟩ = 0.

Dado que

∥(I − V ∗V )x∥ ≤∥∥∥√(I − V ∗V )

∥∥∥∥∥∥√(I − V ∗V )x∥∥∥ = 0

entao (I − V ∗V )x = 0, ou seja, V ∗V x = x para x ∈ (Ker V )⊥, sendo um operador deprojeccao sobre (Ker V )⊥.

Se V ∈ L(H) e uma isometria parcial, conclui-se da Proposicao 3.4.4 que V ∗V eum operador de projeccao sobre espaco inicial (Ker V )⊥. Assim,

V (V ∗V ) = V,

pelo que(V V ∗)2 = V (V ∗V )V ∗ = V V ∗,

ou seja, V V ∗ e tambem um operador de projeccao e V ∗ e uma isometria parcial.


Corolario 3.4.5. Um operador V ∈ L(H) e uma isometria parcial se e so se o mesmosucede ao operador V ∗.

A semelhanca da representacao polar de um numero complexo z, que garante queo mesmo se pode escrever na forma z = ρ eiθ, onde ρ ≥ 0 e um real nao negativo eeiθ e um complexo de modulo 1, estabelece-se a seguir que qualquer operador limitadonum espaco de Hilbert H se pode escrever como o produto de um operador positivopor uma isometria parcial.

Teorema 3.4.6 (Decomposicao polar em espacos de Hilbert). Qualquer operador linearlimitado T ∈ L(H), em que H e um espaco de Hilbert, admite uma representacao unicana forma

T = V A,

onde A e um operador positivo e V e uma isometria parcial tal que Ker V = Ker A.

Dem. Caso T seja o operador nulo entao o resultado e evidentemente verdadeiro.Considere-se entao o caso em que T ∈ L(H) \ 0 e defina-se como A o operadorpositivo dado por A := |T | =

√T ∗T . Considere-se ainda definido em Im A o operador

linear V0 : Im A→ H,V0(Ax) = Tx, x ∈ H.

Saliente-se que o operador V0 esta bem definido uma vez que para x1, x2 ∈ H,

Ax1 = Ax2 ⇒ Tx1 = Tx2.

Efectivamente,

Ax1 = Ax2 ⇒ A2x1 = A2x2 ⇔ T ∗Tx1 = T ∗Tx2,

tendo-se, para qualquer x ∈ H,

⟨T ∗Tx1, x⟩ = ⟨T ∗Tx2, x⟩ ⇔ ⟨Tx1, Tx⟩ = ⟨Tx2, Tx⟩ ⇔ ⟨T (x1 − x2), Tx⟩ = 0,

logo Tx1 = Tx2.Verifica-se ainda que V0 se pode estender por continuidade a uma isometria V em

Im A, pois

∥V0(Ax)∥2 = ∥Tx∥2 = ⟨T ∗Tx, x⟩ = ⟨A∗Ax, x⟩ = ∥Ax∥2, x ∈ H,

Definindo V x = 0 para todo o x ∈ Im A⊥, V constitui uma isometria parcial com

espaco inicial Im A. Entao, para x ∈ Im A tem-se que Tx = V Ax e para

x ∈ (Im A)⊥ = (Im A)⊥ = Ker A = Ker T,


tem-se que Tx = 0 = V Ax. Assim,

T = V A, com Ker V = (Im A)⊥ = Ker A.

Suponha-se agora que existe um outro operador positivo A1 e uma outra isometriaparcial V1 tal que T = V1A1 com Ker V1 = Ker A1. Nestas condicoes, de acordo coma Proposicao 3.4.4, sabe-se que V ∗

1 V1 e uma projeccao sobre o espaco (Ker V1)⊥ =

(Ker A1)⊥ = Im A1, pelo que

A2 = T ∗T = A1V∗1 V1A1 = A2

1.

Da Proposicao 3.3.1 conclui-se que A1 = A. Consequentemente tem-se que V1A = V A,logo V1(x) = V (x) para qualquer x ∈ Im A. Mas como

Ker V1 = Ker A = (Im A)⊥ = Ker V,

entao V1(x) = V (x) para qualquer x ∈ H. Garante-se assim a unicidade da decom-posicao polar do operador T.

Dado um operador T ∈ L(H), efectuando a decomposicao polar do operador T ∗,

tem-se T ∗ = V A com A ∈ L(H) um operador positivo e V ∈ L(H) uma isometria

parcial tal que Ker V = Ker A. Assim, o operador T pode escrever-se na forma T =AV com A positivo e V = V ∗ uma isometria parcial. Como consequencia, tem-se oresultado:

Corolario 3.4.7. Qualquer operador linear limitado T ∈ L(H), onde H e um espacode Hilbert, admite uma representacao unica na forma

T = AV,

onde A e um operador positivo e V e uma isometria parcial tal que Im V = Im A.

3.5 Teorema espectral para operadores normais

Os operadores normais sao uma das classes de operadores lineares mais importantes.Sendo H um espaco de Hilbert de dimensao finita, a cada operador normal T ∈ L(H)estao associados escalares λ1, λ2, . . . , λn ∈ C e operadores de projeccao P1, P2, ...., Pn ∈L(H), tais que T admite uma representacao na forma

T =n∑k=0

λkPk.

Um dos dos objectivos da actual seccao e generalizar este resultado a espacos de Hil-bert de dimensao infinita, o que vai ser possıvel recorrendo a nocao de medida espectral.

3.5. TEOREMA ESPECTRAL PARA OPERADORES NORMAIS 117

3.5.1 Medidas espectrais

Sendo X um espaco de Hausdorff localmente compacto, representa-se por R(X) amenor σ−algebra em X que contem todos os subconjuntos abertos e fechados de X.R(X) e a conhecida σ−algebra de Borel em X e os seus elementos sao os borelianosde X.

Definicao 3.5.1. Sendo X um espaco de Hausdorff localmente compacto, R(X) aσ-algebra de Borel em X e H um espaco de Hilbert, uma medida espectral em (X,H)e uma aplicacao

P : R(X) → L(H),

que a cada subconjunto de Borel ∆ ∈ R(X) associa um operador P (∆) ∈ L(H) comas seguintes propriedades:

(i) P (∆) e um operador de projeccao, para qualquer ∆ ⊂ R(X);

(ii) P (Ø) = 0, P (X) = IH ;

(iii) P (∆1 ∪∆2) = P (∆1) + P (∆2), para ∆1,∆2 ∈ R(X) com ∆1 ∩∆2 = ∅;

(iv) P (∆1 ∩∆2) = P (∆1)P (∆2), para ∆1,∆2 ∈ R(X);

(v) Para g, h ∈ H a funcao Pg,h : R(X) → C, definida por Pg,h(∆) = ⟨P (∆)g, h⟩,constitui uma medida de Borel complexa e regular em X.

As medidas espectrais estao relacionadas com medidas complexas e assim sendo,algumas dos resultados conhecidos para as medidas complexas podem generalizar-sesem dificuldade as medidas espectrais.

Da condicao (i) conclui-se de imediato que, para ∆ ∈ R(X),

P (∆) = P (∆)∗P (∆),

logoPg,g(∆) = ⟨P (∆)g, P (∆)g⟩ = ∥P (∆)g∥2 ≤ ∥g∥2, g ∈ H,

e assim Pg,g e uma medida de Borel positiva com variacao total

∥Pg,g∥ := Pg,g(X) = ∥g∥2.

Da condicao (iv) resulta que, para quaisquer ∆1,∆2 ∈ R(X),

P (∆1)P (∆2) = P (∆2)P (∆1),

existindo assim comutatividade no contradomınio da medida espectral P. Alem disso,se (∆n) constituir uma sucessao de borelianos de R(X), dois a dois disjuntos, e

∆ := ∪n∈N

∆n


entao, por (ii) e (iv),

P (∆i)P (∆j) = 0, para i = j,

pelo que os contradomınios dos operadores de projeccao P (∆i) e P (∆j) sao conjuntosortogonais. Como consequencia, resulta da condicao (iii) e do facto da aplicacao Pg,h :R(X) → C, definida em (v), constituir uma medida de Borel, que

⟨P (∆)g, h⟩ = limn→∞

n∑i=1

⟨P (∆i)g, h⟩ =∞∑i=1

⟨P (∆i)g, h⟩ = ⟨∞∑i=1

P (∆i)g, h⟩,

ou seja, ⟨(P (∆)g −

∞∑i=1

P (∆i)g), h⟩= 0,

para quaisquer g, h ∈ H. Diz-se entao que na topologia forte de L(H),

P (∆) =∞∑i=1

P (∆i),

ou seja, para qualquer g ∈ H,

P (∆)g =∞∑i=1

P (∆i)g.

Exemplo 3.5.1. Sejam X um espaco topologico de Hausdorff e localmente compactoe µ uma qualquer medida σ-finita definida em R(X). A aplicacao

E : R(X) → L(L2(X,µ)), ∆ 7→ χ∆I,

onde χ∆I designa o operador de multiplicacao em L2(X,µ) pela funcao caracterısticaχ∆ do conjunto ∆,

χ∆ : L2(X,µ) → L2(X,µ), f 7→ χ∆f,

define uma medida espectral em (X,L2(X,µ)).

Sendo X um espaco de Hausdorff localmente compacto, designa-se por B∞(X) aalgebra C∗ comutativa constituıda pelas funcoes u : X → C limitadas e Borel men-suraveis, na qual se fixou a norma do supremo ∥.∥∞ e a involucao dada pela passagema funcao conjugada. O proximo resultado dara significado a nocao de integral de umafuncao complexa u ∈ B∞(X) em relacao a uma medida espectral.


Proposicao 3.5.1. Sejam X um espaco de Hausdorff localmente compacto, H umespaco de Hilbert e P uma medida espectral em (X,H). Se u : X → C e uma funcao deB∞(X), entao existe um unico operador Tu ∈ L(H) tal que se ε > 0 e ∆1,∆2, . . . ,∆ne uma particao de X constituıda por borelianos de X tal que sup|u(x)−u(x′)| : x, x′ ∈∆k < ε, 1 ≤ k ≤ n, se tem que para quaisquer xk ∈ ∆k∥∥∥∥∥Tu −

n∑k=1

u(xk)P (∆k)

∥∥∥∥∥L

≤ ε. (3.10)

Dem. Sendo u limitada, considere-se a forma sesquilinear2 Iu : H ×H → C,

Iu(g, h) =

∫X

u dPg,h, g, h ∈ H. (3.11)

Comece-se por mostrar que τ e limitada tendo-se

|Iu(g, h)| ≤ ∥u∥∞∥g∥∥h∥, g, h ∈ H. (3.12)

Para tal considere-se Ω1,Ω2, ...,Ωn subconjuntos disjuntos deR(X) e α1, α2, ..., αn cons-tantes complexas tais que

|⟨P (Ωj)g, h⟩| = αj⟨P (Ωj)g, h⟩.

Tem-se, ∑nj=1 |Pg,h(Ωj)| =

∑nj=1 αj⟨P (Ωj)g, h⟩ = ⟨

∑nj=1 αjP (Ωj)g, h⟩

≤∥∥∥∑n

j=1 αjP (Ωj)g∥∥∥ ∥h∥. (3.13)

Ora, para i = j

⟨P (Ωj)αjg, P (Ωi)αig⟩ = ⟨αjg, P (Ωi ∩ Ωj)αig⟩ = 0,

pelo que αjP (Ωj)g : j ∈ 1, . . . , n e constituıdo por vectores ortogonais entre si.Assim, ∥∥∥∥∥

n∑j=1

αjP (Ωj)g

∥∥∥∥∥2

=n∑j=1

∥∥P (Ωj)g∥∥2 = ∥∥P (∪nj=1Ωj

)g∥∥2 ≤ ∥g∥2,

2 Sendo H1,H2 espacos de Hilbert, uma aplicacao I : H1 × H2 → C linear na primeira variavele linear conjugada na segunda diz-se uma forma sesquilinear. Diz-se que I e limitada se existirK ∈ R+ tal que |I(x, y)| ≤ K∥x∥∥y∥ para x ∈ H1, y ∈ H2. Demonstra-se que, [20], se I e uma formasesquilinear limitada por K entao existem operadores lineares unicos T ∈ L(H1,H2) e S ∈ L(H2,H1)tais que I(x, y) = ⟨Tx, y⟩ = ⟨x, Sy⟩ para quaisquer x ∈ H1, y ∈ H2, sendo ∥T∥ = ∥S∥ ≤ K (teoremada representacao de Riesz para formas sesquiliniares).


obtendo-se de (3.13) que Pg,h e uma medida com varicao total limitada com ∥Pg,h∥ ≤∥g∥∥h∥. A condicao (3.12) e agora consequencia imediata da definicao (3.11). SendoIu uma forma sesquilinear limitada existe, pelo teorema da representacao de Riesz, umunico operador Tu ∈ L(H) tal que, para quaisquer g, h ∈ H,

Iu(g, h) := ⟨Tug, h⟩ =∫X

u dPg,h (3.14)

e ∥Tu∥L ≤ ∥u∥∞.Sejam ε > 0 e ∆1,∆2, . . . ,∆n uma qualquer particao de X nas condicoes do

enunciado. Tem-se, para quaisquer g, h ∈ H e xk elementos arbitrariamente fixadosem ∆k para k = 1, 2, ..., n,

|⟨[Tu −∑n

k=1 u(xk)P (∆k)]g, h⟩| = |⟨Tug, h⟩ −∑n

k=1 u(xk)⟨P (∆k)g, h⟩|

=∣∣∣∫X u dPg,h −∑n

k=1

∫∆ku(xk)dPg,h(x)

∣∣∣=∣∣∣∑n

k=1

∫∆k

(u(x)− u(xk))dPg,h(x)∣∣∣

≤∑n

k=1

∫∆k

|u(x)− u(xk)| d|Pg,h|(x)

< ε∫Xd|Pg,h|(x) ≤ ε∥g∥ ∥h∥, .

Tomando o supremo sobre todos os elementos g, h ∈ H de norma um, obtem-se comopretendido a desigualdade (3.10). Repare-se que a unicidade do operador Tu e con-sequencia imediata da condicao (3.10). Efectivamente, se exitir um outro operador T ′

u

satisfazendo (3.10) entao ∥Tu − T ′u∥ ≤ 2ε para qualquer ε > 0, logo Tu = T ′

u.

Para cada funcao u ∈ B∞(X), designa-se o operador Tu ∈ L(H) definido na Pro-posicao 3.5.1 por integral de u em relacao a P e representa-se por,

Tu =

∫X

u dP.

3.5.2 Algebras C∗ comutativas e medidas espectrais

Dado um espaco de Hilbert e uma medida espectral P em (X,H), verificou-se queassociada a cada funcao u ∈ B∞(X) se encontra um unico operador linear limitadoTu =

∫Xu dP ∈ L(H), tal que:

⟨Tug, h⟩ =∫X

u dPg,h, g, h ∈ H. (3.15)

De seguida analisa-se a aplicacao

T : B∞(X) → L(H), u 7→ Tu =

∫X

u dP, (3.16)


mostrando-se que a mesma constitui um homomorfismo-∗ entre as algebras C∗ B∞(X)e L(H).

Proposicao 3.5.2. Sendo P uma medida espectral em (X,H), entao a aplicacao

T : B∞(X) → L(H), u 7→ Tu =

∫X

u dP,

e um homomorfismo-∗ unital entre as algebras C∗ B∞(X) e L(H). Em particular, paraquaisquer funcoes u1, u2 ∈ B∞(X), tem-se∫

X

u1u2 dP =

(∫X

u1 dP

)(∫X

u2 dP

).

Dem. Que a aplicacao T e linear e imediato ja que, dados u1, u2 ∈ B∞(X) eα1, α2 ∈ C, de acordo com (3.15), para quaisquer g, h ∈ H,

⟨[Tα1u1+α2u2 ]g, h⟩ =∫X

(α1u1 + α2u2)dPg,h = ⟨[α1Tu1 + α2Tu2 ]g, h⟩.

Ainda de (3.15) e da definicao das medidas Pg,h para quaisquer g, h ∈ H, representandopor 1 a identidade de B∞(X), tem-se

T(1) =

∫X

1dP = P (X) = I,

pelo que T e unital.

Para qualquer funcao u ∈ B∞(X), atendendo a que P h,g = Pg,h, entao

⟨[T(u)]∗g, h⟩ = ⟨g,T(u)h⟩ = ⟨T(u)h, g⟩ =∫X

u dPh,g =

∫X

u dPg,h = ⟨T(u)g, h⟩,

garantindo-se assim que

T(u) = [T(u)]∗, u ∈ B∞(X).

Sejam ε > 0 e u1, u2 duas funcoes emB∞(X). Considere-se uma particao ∆1,∆2, . . .∆nde X tal que se tenha sup|f(x) − f(x′)| : x, x′ ∈ ∆k < ε, 1 ≤ k ≤ n, para qualquerfuncao f ∈ u1, u2, u1u2. Resulta do Teorema 3.5.1 que∥∥∥∥∥Tf −

n∑k=1

f(xk)P (∆k)

∥∥∥∥∥L

< ε, f ∈ u1, u2, u1u2, (3.17)


para quaisquer escolhas de xk ∈ ∆k. Assim, de (3.17),∥∥∥ ∫X u1u2 dP −(∫

Xu1 dP

) (∫Xu2 dP

) ∥∥∥ ≤∥∥∥ ∫X u1u2 dP −

∑nk=1 u1(xk)u2(xk)P (∆k)

∥∥∥+∥∥∥∑n

k=1 u1(xk)u2(xk)P (∆k)−[∑n

k=1 u1(xk)P (∆k)][∑n

j=1 u2(xj)P (∆j)]∥∥∥

+∥∥∥[∑n

k=1 u1(xk)P (∆k)][∑n

j=1 u2(xj)P (∆j)]−[∑n

k=1 u1(xk)P (∆k)] ∫

Xu2 dP

∥∥∥+∥∥∥[∑n

k=1 u1(xk)P (∆k)]( ∫

Xu2 dP

)−( ∫

Xu1 dP

)( ∫Xu2 dP

)∥∥∥≤ ε+ 0 +

∥∥∥∑nk=1 u1(xk)P (∆k)

∥∥∥∥∥∥ ∫X u2 dP −[∑n

j=1 u2(xj)P (∆j)]∥∥∥

+∥∥∥ ∫X u1 dP −

[∑nk=1 u1(xk)P (∆k)

]∥∥∥∥∥∥ ∫X u2 dP∥∥∥ ≤ ε (1 + ∥u1∥∞ + ∥u2∥∞) ,

ou seja, T (u1u2) = T (u1)T (u2) para quaisquer u1, u2 ∈ B∞(X).

Da proposicao anterior conclui-se de imediato o seguinte resultado:

Corolario 3.5.3. Sendo X um espaco Hausdorff compacto e P uma medida espectralsobre (X,H), entao a aplicacao T : C(X) → L(H) definida por

T(u) =

∫X

u dP, u ∈ C(X), (3.18)

define um homomorfismo-∗ unital entre as algebras C(X) e L(H).

Pretende-se de seguida estabelecer o recıproco do Corolario 3.5.3, ou seja, garantirque qualquer homomorfismo-∗ unital de C(X) em L(H), com H um espaco de Hilbert,e da forma (3.18) para alguma medida espectral P em (X,H). Este resultado vai serfundamental para estabelecer o teorema espectral para operadores normais.

Comece-se por demonstrar o seguinte resultado auxiliar:

Lema 3.5.4. Sejam X um espaco Hausdorff compacto, H um espaco de Hilbert e

T : C(X) → L(H)

um homomorfismo-∗ unital de C(X) em L(H). Entao existe um homomorfismo-∗

T : B∞(X) → L(H)

que estende T a algebra B∞(X).


Dem. Para quaisquer g, h ∈ H represente-se por Tg,h o funcional linear limitado emC(X) definido por

Tg,h : C(X) → C, u 7→ ⟨T(u)g, h⟩.

De acordo com o teorema da representacao de Riesz3, existem medidas de Borel com-plexas e regulares µg,h tais que

⟨T(u)g, h⟩ =∫X

u dµg,h, g, h ∈ H, u ∈ C(X), (3.19)

cuja variacao total satisfaz

∥µg,h∥ ≤ ∥g∥∥h∥.

De (3.19) tem-se que

µαg,h = αµg,h, g, h ∈ H, α ∈ C,

e consequentemente, para cada funcao f ∈ B∞(X), a aplicacao

Jf : H ×H → C, (g, h) 7→ Jf (g, h) :=

∫X

fdµg,h,

define uma forma sesquilinear limitada, onde

|Jf (g, h)| ≤ ∥f∥∞∥g∥∥h∥.

Para cada funcao f ∈ B∞(X) existe assim um unico operador linear limitado T(f) ∈L(H) tal que

⟨T(f)g, h⟩ =∫X

f dµg,h, g, h ∈ L(H). (3.20)

Considere-se o operador linear

T : B∞(X) → L(H), f 7→ T(f). (3.21)

De (3.19) e (3.20) tem-se que T(u) = T(u) para u ∈ C(X), pelo que T constitui uma

extensao da aplicacao linear T. Verifica-se a seguir que T define um homomorfismo-∗de B∞(X) em L(H):

3Teorema da representacao de Riesz: Se X e um espaco Hausdorff compacto e ϕ : C(X) → C eum funcional linear limitado entao existe uma medida de Borel complexa finita e regular µ tal que,

ϕ(u) =

∫X

f dµ, u ∈ C(X).

A variacao total, ∥µ∥, da medida µ e dada por ∥µ∥ = ∥ϕ∥. Caso ϕ seja um funcional linear positivoentao a medida µ e positiva, [32].


Para mostrar que T e multiplicativo comece-se por fixar f ∈ B∞(X) e considere-seui uma rede de funcoes contınuas de C(X) cujas normas satisfazem ∥ui∥∞ ≤ ∥f∥∞e tais que, para toda a medida de Borel µ complexa e regular em X, se tenha∫

X

ui dµ→i

∫X

f dµ4.

Nestas condicoes, para qualquer funcao s ∈ B∞(X) e para quaisquer g, h ∈ H, dada amedida µg,h := sµg,h, tem-se que

⟨T(uis)g, h⟩ =∫X

uis dµg,h →i

∫X

fs dµg,h = ⟨T(fs)g, h⟩,

concluındo-se,T(uis) →

iT(fs)(WOT), s ∈ B∞(X), (3.22)

ou seja, para toda a funcao s ∈ B∞(X) a rede T(uis) converge na topologia fraca de

L(H) para T(fs). Em particular,

T(ui) →iT(f)(WOT), (3.23)

e, se u ∈ C(X),

T(uiu) = T(uiu) = T(ui)T(u) →iT(f)T(u)(WOT). (3.24)

De (3.24) e (3.22) conclui-se, atendendo a unicidade de limite, que

T(fu) = T(f)T(u) = T(u)T(f), f ∈ B∞(X), u ∈ C(X).

Consequentemente, para s ∈ B∞(X) e atendendo a (3.23),

T(uis) = T(ui)T(s) = T(ui)T(s) →iT(f)T(s)(WOT),

o que, juntamente com (3.22), permite concluir

T(fs) = T(f)T(s), f, s ∈ B∞(X),

ou seja, que T e multiplicativo.Para mostrar que T preserva a involucao comece-se por observar que de (3.23) se

conclui que T(ui)iT(f)∗. Alem disso, para quaisquer g, h ∈ H,

4Teorema: Se X e um espaco compacto e f e uma funcao de Borel limitada definida em X,entao existe uma rede ui de funcoes contınuas em X tal que ∥ui∥∞ ≤ ∥f∥∞ para todo o i e∫Xui dµ →

i

∫Xf dµ para toda a medida de Borel complexa e regular µ em X,[9].


⟨T(ui)g, h⟩ = ⟨g,T(ui)h⟩ = ⟨T(ui)h, g⟩

=∫Xui dµh,g −→

i

∫Xf dµh,g =

∫Xf dµg,h = ⟨T(f)g, h⟩,

ou seja, T(ui)iT(ϕ), resultando da unicidade de limite que, para f ∈ B∞(X),

T(f) = T(f)∗.

Fica assim garantido que T e um homomorfismo-∗ de B∞(X) em L(H) que preservaas unidades e estende T.

Com auxılio do Lema 3.5.4 estabelece-se em seguida o recıproco do Corolario 3.5.3.

Teorema 3.5.5. Se X e um espaco Hausdorff compacto, H e um espaco de Hilbert eT : C(X) → L(H) e um homomorfismo-∗ unital de C(X) em L(H), entao existe umaunica medida espectral P sobre (X,H) tal que

T(u) :=

∫X

u dP, u ∈ C(X). (3.25)

Dem. Seja T : B∞(X) → L(H) o homomorfismo-∗ referido no Lema 3.5.4 e queestende T a algebra B∞(X). De acordo com a demonstracao do Lema 3.5.4 tem-se que,para f ∈ B∞(X),

⟨T(f)g, h⟩ =∫X

f dµg,h, g, h ∈ H, (3.26)

onde as medidas µg,h satisfazem a condicao (3.19), ou seja,

⟨T(u)g, h⟩ =∫X

u dµg,h, g, h ∈ H, u ∈ C(X).

Considere-se a aplicacao

P : R(X) → L(H), ∆ 7→ P (∆) := T(χ∆), (3.27)

onde χ∆ designa a funcao caracterıstica do conjunto ∆ ∈ R(X).Mostra-se a seguir que P define a medida espectral em (X,H) referida no teorema.

Como T e um homomorfismo-∗ entao, para ∆ ∈ R(X),

P (∆)2 = T(χ∆)T(χ∆) = T(χ∆) = P (∆),

P (∆)∗ = T(χ∆)∗ = T(χ∆) = T(χ∆) = P (∆),


e consequentemente P (∆) e um operador de projeccao. Alem disso,

P (∅) = T(χ∅) = T(0) = 0, P (X) = T(χX) = IH .

Para ∆1,∆2 ∈ R(X),

P (∆1 ∩∆2) = T(χ∆1χ∆2) = T(χ∆1)T(χ∆2) = P (∆1)P (∆2),

e se ∆1 ∩∆2 = ∅, entao

P (∆1 ∪∆2) = T(χ∆1 + χ∆2) = T(χ∆1) + T(χ∆2) = P (∆1) + P (∆2).

As condicoes (i)–(iv) da Definicao 3.5.1 estao assim satisfeitas e para estabelecer (v)basta observar que para g, h ∈ H, de acordo com (3.26),

Pg,h(∆) = ⟨P (∆)g, h⟩ = ⟨T(χ∆)g, h⟩ = µg,h(∆), ∆ ∈ R(X),

ou seja, Pg,h = µg,h. A aplicacao P e assim uma medida espectral em (X,H).Para verificar que P satisfaz a condicao (3.25) observe-se que se f ∈ B∞(X), ε > 0

e ∆1,∆2, . . . ,∆n e uma particao de X nas condicoes da Proposicao 3.5.1, entao∥∥∥∥∥f −n∑k=1

f(xk)χ∆k

∥∥∥∥∥∞

≤ ε

para quaisquer escolhas de xk ∈ ∆k. Assim,∥∥∥T (f −∑n

k=1 f(xk)χ∆k)∥∥∥L=∥∥∥T(f)−∑n

k=1 f(xk)P (∆k)∥∥∥L

≤ ∥T∥∥∥f −

∑nk=1 f(xk)χ∆k

∥∥∞ ≤ ε.

Tem-se entao que para qualquer funcao f ∈ B∞(X)

T(f) =

∫X

f dP,

e, particularmente para u ∈ C(X),

T(u) =

∫X

u dP,

o que garante (3.25).Finalmente, quanto a unicidade da medida P, suponha-se que existe uma medida

P ′ satisfazendo uma condicao similar a (3.25), ou seja, tal que

T(u) =

∫X

u dP ′, u ∈ C(X).


Assim, para qualquer funcao u ∈ C(X) tem-se∫X

u dP =

∫X

u dP ′,

logo, para quaisquer g, h ∈ H,⟨(∫X

u dP

)g, h

⟩=

⟨(∫X

u dP ′)g, h

⟩⇔∫X

u dPg,h =

∫X

u dP ′g,h,

concluindo-se que Pg,h = P ′g,h. Consequentemente, P (∆) = P ′(∆) para qualquer bo-

reliano ∆ ∈ R(X). A medida espectral P definida em (3.27) e assim a unica medidaespectral que satisfaz (3.25).

O resultado anterior pode ser generalizado a qualquer algebra C∗ comutativa e comunidade. Efectivamente, sendo A uma algebra C∗ comutativa e com unidade, de acordocom o Teorema 3.2.1, A e isometricamente isomorfa a C(MA) sendo o isomorfismo dadopela transformacao de Gelfand

: A → C(MA), a 7→ a.

Nestas condicoes, se π : A → L(H) designa um qualquer homomorfismo-∗ unital de Aem L(H), com H um espaco de Hilbert, entao

π : C(MA) → L(H), a 7→ π(a),

consitui um homomorfismo-∗ unital de C(MA) em L(H). Assim, do Teorema 3.5.5,tem-se:

Corolario 3.5.6. Se A e uma algebra C∗ comutativa e com unidade e π : A → L(H)e uma representacao unital de A num espaco de Hilbert H, entao existe uma unicamedida espectral P sobre (MA, H) tal que

π(a) =

∫MA

a dP,

onde MA designa o espaco dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos de A e adesigna a transformada de Gelfand de a ∈ A.

3.5.3 Teorema espectral para operadores normais. Calculofuncional de Borel

Estabelecido o Teorema 3.5.5 e a sua generalizacao a algebras C∗ comutativas comunidade, apresenta-se em seguida o teorema espectral para operadores normais, que severa ser consequencia imediata da teoria desenvolvida na Subseccao 3.5.2.


Teorema 3.5.7 (Teorema espectral para operadores normais). Seja T um operadornormal num espaco de Hilbert H. Existe uma unica medida espectral E sobre (σ(T ), H)tal que

T =

∫σ(T )

z dE,

onde σ(T ) designa o espectro do operador T e z a funcao identidade em σ(T ), ou seja,z(λ) = λ com λ ∈ σ(T )

Dem. Sejam AT := algT∗ a subalgebra C∗ de L(H) gerada por T, T ∗ e IH , e

Γc : C(σ(T )) → AT , u 7→ u(T )

o calculo funcional contınuo para o operador normal T definido como em (3.6). Deacordo com o Teorema 3.5.5, existe uma unica medida espectral E em (σ(T ), H) talque

Γc(u) =

∫σ(T )

u dE, u ∈ C(σ(T )).

Em particular tem-se que

T =

∫σ(T )

z dE,

uma vez que Γc(z) = T,

Sendo H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H) um operador normal, a medida espectralE referida no Teorema 3.5.7 chama-se resolucao da identidade do operador T .

Saliente-se que o Teorema 3.5.7 e uma generalizacao do teorema espectral paraoperadores normais em espacos de Hilbert de dimensao finita. Sendo H um espacode Hilbert de dimensao finita e T ∈ L(H) um operador normal, considere-se

σ(T ) = λ1, λ2, . . . , λn,

o conjunto dos valores proprios distintos do operador T. Considere-se em σ(T ) a topo-logia discreta e, para cada valor proprio λi ∈ σ(T ), seja Ii a funcao contınua

Ii : σ(T ) → C

ondeIi(λi) = 1, Ii(λj) = 0, j = i.

Dado que I =∑n

i=1 λIi e a funcao identidade de C(σ(T )), de acordo com o Teorema3.5.7 existe uma unica medida espectral E em (σ(T ), H) tal que T admite uma repre-sentacao na forma

T =

∫σ(T )

I dE =n∑i=1

∫σ(T )

λiIi dE. (3.28)

3.6. CONSTRUCAO DE ALGEBRAS C∗. ALGEBRA LIMITE INDUTIVO 129

De acordo com (3.15), para cada λi ∈ σ(T ),⟨(∫σ(T )

λiIi dE

)g, h

⟩= ⟨λiE(λi)g, h⟩ , g, h ∈ H,

e da representacao (3.28) tem-se precisamente

T =n∑i=1

λiEi,

onde Ei designa o operador de projeccao E(λi).

Termina-se esta seccao definindo o calculo funcional de Borel para o operador T,calculo que constitui uma generalizacao do calculo funcional contınuo para o operadorT .

Sejam H um espaco de Hilbert, T ∈ L(H) um operador normal e E a resolucao daidentidade de T. Ao homomorfismo-∗ unital

Γb : B∞(σ(T )) → L(H), f 7→ f(T ) :=

∫σ(T )

f dE, (3.29)

chama-se calculo funcional de Borel para o operador normal T.

Observe-se que dado o calculo funcional contınuo para o operador normal T ∈ L(H),

Γc : C(σ(T )) → AT , u 7→ u(T )

onde AT := alg∗T e a subalgebra C∗ de L(H) gerada por T e IH , de acordo coma demonstracao do Teorema 3.5.7 a resolucao da identidade E e exactamente a unicamedida espectral em (σ(T ), H), tal que

u(T ) =

∫σ(T )

u dE, u ∈ C(σ(T )),

Assim,Γb(u) = u(T ) = Γc(u), u ∈ C(σ(T )),

sendo Γb a extensao de Γc a algebra B∞(σ(T )), referida no Lema 3.5.4.

3.6 Construcao de algebras C∗. Algebra limite in-

dutivo

Nesta seccao serao indicados processos de construcao de novas algebras C∗ a partirde algebras C∗ mais simples. Em particular vai definir-se a soma directa, o producto


directo de algebras C∗ e ainda a importante algebra definida como o limite indutivo dealgebras C∗.

Se A1, A2, ..., An constitui um conjunto finito de algebras C∗, designa-se porsoma directa,

⊕ni=1Ai, ou produto directo,

∏ni=1Ai, das algebras A1,A2, ...,An, a al-

gebra C∗

A1

⊕A2

⊕...⊕

An = A1 ×A2 × ...×An :=(ai)

ni=1 : ai ∈ Ai, i = 1, 2, ..., n

,

com as operacoes algebricas habituais de adicao, multiplicacao por escalar e involucaodefinidas coordenada a coordenada, e a norma

∥(ai)ni=1∥ = maxi=1,2,...,n

∥ai∥.

Caso se tenha Ai : i ∈ I um conjunto infinito de algebras C∗, as nocoes deproduto e de soma de algebras C∗ nao coincidem tendo-se∏

i∈I

Ai :=

(ai) = (ai)i∈I : ∥(ai)∥ := sup

i∈I∥ai∥ <∞, ai ∈ Ai, i ∈ I

⊕i∈I

Ai :=(ai) = (ai)i∈I : lim

i→∞∥ai∥ = 0, ai ∈ Ai, i ∈ I

com as operacoes algebricas e a involucao definidas como anteriormente, e a norma

∥(ai)∥ = supi∈I

∥ai∥. (3.30)

Saliente-se que relativamente a soma directa, dizer que limi→∞

∥ai∥ = 0 significa que para

cada ε > 0, existe um numero finito de elementos i ∈ I para os quais se tem ∥ai∥ ≥ ε.

Para as algebras indicadas e valido o seguinte resultado:

Teorema 3.6.1. Se Ai : i ∈ I designa um conjunto finito ou infinito de algebrasC∗, entao o produto

∏i∈I

Ai constitui uma algebra C∗ e a soma⊕i∈I

Ai e um ideal bilateral

fechado de∏i∈I

Ai.

Dem.∏i∈I

Ai, com a norma indicada em (3.30), define uma algebra-∗ de Banach uma

vez que o mesmo sucede as algebras Ai. As condicoes sobre a norma sao consequenciadas propriedades do supremo de um conjunto de numeros reais. Quanto a soma directabasta notar que definindo o ideal bilateral autoadjunto J de

∏i∈I

Ai,

J =(ai) ∈ Ai : ai = 0, excepto para um numero finito de i ∈ I

,


⊕i∈I

Ai coincide com o fecho na norma (3.30) do ideal J .

Analisa-se em seguida o processo de construcao da algebra C∗ designada por limiteindutivo de algebras C∗:

Considere-se Ai : i ∈ I um conjunto de algebras C∗, com unidade, indexadasnum conjunto dirigido I, e ψi,j : i, j ∈ I, i ≤ j um conjunto de homomorfismos-∗

ψi,j : Ai → Aj, i ≤ j,

ondeψi,j = ψk,j ψi,k, i ≤ k ≤ j,

ou seja, tais que seja comutativo o diagrama

Ai

Ak

Aj................................................................................................................. ............ψi,j

.............................................................................................................................

ψi,k

........................................................................................................................................................................................

ψk,j

para quaiquer i, k, j ∈ I com i ≤ k ≤ j.

Definicao 3.6.1. O conjunto (Ai, ψi,j) : i, j ∈ I, i ≤ j diz-se um sistema indutivode algebras C∗.

Represente-se por A0 a subalgebra-∗ do produto directo,∏i∈I

Ai, constituıdo pelos

elementos (ai) ∈∏i∈I

Ai para os quais existe i0 ∈ I tal que

aj = ψi,j(ai), i0 < i < j.

Como os homomorfismos-∗ ψi,j sao limitados, sendo ∥ψi,j∥ ≤ 1, tem-se

∥aj∥ ≤ ∥ai∥, i0 < i < j,

ficando bem definida em A0 uma seminorma C∗ dada por

∥(ai)∥0 := infi∈I

∥ai∥ = limi∥ai∥, (ai) ∈ A0 (3.31)

Definicao 3.6.2. Dado um sistema indutivo (Ai, ψi,j) : i, j ∈ I, i ≤ j de algebras C∗,designa-se por limite indutivo do sistema (Ai, ψi,j) : i, j ∈ I, i ≤ j ou limite indutivodas algebras (Ai)i∈I , em relacao aos homomorfismos-∗ (ψi,j)i,j∈I , representando-se por

lim−→

(Ai, ψi,j),


a algebra C∗ que resulta da completacao da algebra-∗ A0/J0, onde J0 designa o idealbilateral de A0,

J0 :=(ai) ∈ A0 : ∥(ai)∥0 = 0

,

na norma induzida pela seminorma (3.31) em A0/J0.

O proximo resultado, de facil verificacao, garante a existencia natural de uma famıliade homomorfismos-∗ de Ai para o limite indutivo lim

−→(Ai, ψi,j),

Li : Ai → lim−→

(Ai, ψi,j),

que sao compatıveis com a famılia de homomorfismos ψi,j : i, j ∈ I, i ≤ j, tendo-se

Li = Lj ψi,j, i < j,

ou, equivalentemente, seja comutativo o diagrama

Ai

Aj

lim−→

(Ai, ψi,j)................................................................................................................. ............Li

.............................................................................................................................

ψi,j

........................................................................................................................................................................................

Lj

para quaisquer i, j ∈ I com i < j.

Proposicao 3.6.2. Dado o limite indutivo lim−→

(Ai, ψi,j), as aplicacoes

Li : Ai → A0, ai 7→ (aj)j∈I ,

onde

aj =

ai, se j = i

ψi,j(ai), se i < j

0, caso contrario,

,

definem, para cada i ∈ I, homomorfismos-∗ de Ai em A0 e, sendo ΦJ0 : A0 → A0/J0

o homomorfismo canonico de A0 em A0/J0, as aplicacoes

Li : Ai → lim−→

(Ai, ψi,j), com Li = ΦJ0 Li, i ∈ I,

constituem homomorfismos-∗ das algebras Ai para o limite indutivo lim−→

(Ai, ψi,j), com-

patıveis com a famılia de homomorfismos-∗ ψi,j : i, j ∈ I, i ≤ j.

Apresenta-se a seguir alguns exemplos de limites indutıvos de algebras C∗.


Exemplo 3.6.1. Sejam B uma algebra C∗ e (An, ψn,m) : n,m ∈ N, n ≤ mum sistema indutivo de algebras C∗ onde (An) constitui uma sucessao crescente desubalgebras C∗ de B,

A1 ⊂ A2 ⊂ ... ⊂ An ⊂ An+1 ⊂ ... ⊂ B,

e ψn,m : An → Am a inclusao canonica de An em Am, para n ≤ m. Considere a algebraC∗

A :=∪n∈N

An,

com o fecho na algebra B. O limite indutivo lim−→

(An, ψn,m) e isomorfo a A,

lim−→

(An, ψn,m) ∼= A.

bastando para tal observar que a algebra-∗ A0 e constituıda pelas sucessoes (ai) doproduto directo

∏n∈N

An para as quais existe uma ordem p0 acima da qual a sucessao e

constantemente igual a um elemento ap0+1 ∈ Ap0+1. Assim, ∥(ai)∥0 = ∥ap0+1∥ e J0 econstituıdo pelas sucessoes constantemente iguais a zero a partir de certa ordem.

Exemplo 3.6.2. Seja (Mn(C), ψn,m) : n,m ∈ N, n ≤ m o sistema indutivo dasalgebras C∗ de matrizes de ordem n e entradas no corpo C, Mn(C), onde

ψn,n+k :Mn(C) →Mn+k(C), n, k ∈ N,

designa o homomorfismo-∗ que a cada matriz A deMn(C) associa a matriz deMn+k(C)que tem A no canto superior esquerdo e as restantes entradas da matriz nulas. Podemostrar-se que para o limite indutivo lim

−→(Mn(C), Tn,m) se tem

lim−→

(Mn(C), ψn,m) ∼= K(H),

onde K(H) designa o ideal dos operadores compactos num espaco de Hilbert H, se-paravel e de dimensao infinita.

Um sistema indutivo da forma

(Ai, ψi,j) : i, j ∈ N, i ≤ j,

onde os homomorfismos-∗ ψi,j tem associados uma famılia de homomorfismos-∗ ψi :Ai → Ai+1, i ∈ N, tais que

ψi,j = ψj−1 ... ψi+1 ψi, i < j,


diz-se uma sucessao indutiva de algebras C∗.As sucessoes indutivas de algebras C∗ sao assim sistemas indutivos mais simples

que tem associados um diagrama da forma

A1ψ1−→ A2

ψ2−→ A2ψ3−→ ... .

As algebras C∗ que se obtem a partir de limites indutivos de sucessoes indutivas dealgebras C∗ sao designadas por algebras AF . Mais precisamente:

Definicao 3.6.3. Diz-se que uma algebra C∗ e uma algebra AF se e isomorfa a umlimite indutivo de uma sucessao indutiva de algebras C∗ de dimensao finita.

O termo AF abrevia a designacao ”approximately finite dimensional”. Identificar asalgebras AF e importante na medida em que muitas das propriedades destas algebraspodem ser obtidas a partir das algebras de dimensao finita que lhe dao origem e queobviamente sao de mais facil caracterizacao. Por exemplo saliente-se que toda a algebraAF e uma algebra separavel.

Termina-se esta seccao com um resultado de O. Bratteli, [5], que permite caracte-rizar as algebras C∗ separaveis que sao algebras AF.

Teorema 3.6.3. Uma algebra C∗ separavel, A, e uma algebra AF se e so se qualquerque seja ε > 0 e qualquer que seja o subconjunto finito a1, a2, ..., an de A, existe Buma subalgebra C∗ de dimensao finita de A e elementos b1, b2, ..., bn em B tais que paraqualquer j = 1, 2, ..., n,

∥aj − bj∥ < ε.

3.7 Algebras C∗ sem unidade. Unitalizacao e apro-

ximacao da unidade

Ao longo do actual capıtulo assumiu-se sempre a existencia de uma unidade nasalgebras C∗ consideradas. Existem no entanto algebras onde esse elemento nao existe.Por exemplo, a algebra C∗ das funcoes complexas definidas num espaco localmentecompacto X e que se anulam no infinito, C0(X), so possui unidade caso X seja com-pacto. Tambem a algebra C∗ dos operadores compactos num espaco de Hilbert H,K(H), possui unidade se e so se H tem dimensao finita.

A ausencia de unidade pode trazer dificuldades na analise estrutural das algebrasC∗. A algebra sem unidade A pode contudo ser identificada com uma subalgebra C∗ deuma algebra C∗ maior, A, que ja possua unidade. A este processo chama-se unitalizacaode A. O processo de unitalizacao de uma algebra C∗ nao resolve no entanto todos osproblemas da ausencia de unidade podendo ser importante recorrer a uma aproximacao

3.7. ALGEBRAS C∗ SEMUNIDADE. UNITALIZACAO E APROXIMACAO DA UNIDADE135

da unidade. Nesta seccao descrevem-se os dois processos mencionados e, com o seuauxılio, estabelecem-se alguns resultados importantes para algebras C∗, com ou semunidade.

3.7.1 Unitalizacao de uma algebra C∗

Seja A uma algebra C∗ sem unidade. Defina-se

A = (a, λ) : x ∈ A, λ ∈ C.

Considerem-se em A as operacoes de soma, multiplicacao por um escalar e multi-plicacao de dois elementos de A, definidas, para quaisquer a1, a2, a ∈ A e λ1, λ2, α ∈ C,por

(a1, λ1) + (a2, λ2) = (a1 + a2, λ1 + λ2),

α(a, λ) = (αa, αλ),

(a1, λ1)(a2, λ2) = (a1a2 + λ2a1 + λ1a2, λ1λ2).

Com as operacoes definidas em cima A e uma algebra com unidade e = (0, 1). Paracada (a, λ) ∈ A defina-se a involucao

(a, λ)∗ = (a∗, λ),

e a norma∥(a, λ)∥ = ∥a∥+ |λ|. (3.32)

Com a involucao e a norma indicadas a algebra A, que se designa por unitalizacao deA, constitui uma algebra de Banach-∗ com unidade. A nao e no entanto uma algebraC∗ uma vez que a norma (3.32) nao satisfaz a identidade C∗.

No proximo resultado vai mostrar-se como a norma de A se pode estender de formaunica a uma norma em A que a torna uma algebra C∗.

Teorema 3.7.1. Sendo A uma algebra C∗ sem unidade, a aplicacao

∥(a, λ)∥ = sup∥ax+ λx∥ : x ∈ A, ∥x∥ ≤ 1, (a, λ) ∈ A, (3.33)

define a unica norma em A que a torna numa algebra C∗ e que satisfaz ∥(a, 0)∥ = ∥a∥para qualquer a ∈ A.

Dem. A unicidade da norma e consequencia imediata do Corolario 3.1.3. Que aaplicacao (3.33) define um seminorma em A nao traz dificuldades deixando-se comoexercıcio. Fixando a ∈ A, tem-se

∥(a, 0)∥ = sup∥ax∥ : x ∈ A, ∥x∥ ≤ 1 ≤ ∥a∥,


uma vez que ∥ax∥ ≤ ∥a∥∥x∥. Se a = 0 entao ∥(a, 0)∥ = ∥a∥. Se a = 0, fazendo x =a∗

∥a∥,

∥ax∥ =

∥∥∥∥a a∗∥a∥

∥∥∥∥ =∥aa∗∥∥a∥

= ∥a∥,

donde ∥(a, 0)∥ = ∥a∥.Para quaisquer elementos (a, λ), (b, µ) ∈ A, tem-se ainda que

∥(a, λ)(b, µ)∥ ≤ ∥(a, λ)∥∥(b, µ)∥. (3.34)

Efectivamente,

∥(a, λ)(b, µ)∥ = sup∥(ab+ µa+ λb)x+ λµx∥ : x ∈ A, ∥x∥ ≤ 1

= sup∥a(bx+ µx) + λ(bx+ µx)∥ : x ∈ A, ∥x∥ ≤ 1,

obtendo-se a condicao (3.34) um vez que, para qualquer x ∈ A tal que ∥x∥ ≤ 1, se tem

∥a(bx+ µx) + λ(bx+ µx)∥ ≤ ∥(a, λ)∥∥bx+ µx∥ ≤ ∥(a, λ)∥∥(b, µ)∥.

Prova-se agora que (3.33) define de facto uma norma em A. Para tal suponha-seque ∥(a, λ)∥ = 0. Assim, para qualquer x ∈ A,

ax+ λx = 0. (3.35)

Se λ = 0, particularizando x = a∗ obtem-se aa∗ = 0 logo ∥a∥ = 0. Se λ = 0 entaodefinindo

e = −1

λa,

conclui-se de (3.35) que, para qualquer x ∈ A,

ex = x.

Tem-se entao que para qualquer x ∈ A, xe∗ = x, pelo que A admite uma unidadeesquerda, e, e uma unidade direita, e∗. Entao e = e∗ e uma unidade de A o quecontradiz a hipotese. Assim, λ = 0, logo (a, 0) = (0, 0). Conclui-se que (3.33) define

uma norma em A que constitui assim uma algebra-∗ normada.

Mostra-se de seguida que a identidade C∗ e satisfeita. Tome-se um qualquer ele-mento (a, λ) ∈ A. De acordo com (3.34) tem-se que

∥(a, λ)∗(a, λ)∥ ≤ ∥(a, λ)∥2.


Para mostrar a desigualdade contraria, suponha-se que ∥(a, λ)∥ = 1. Para qualquer0 < δ < 1 existe x ∈ A com ∥x∥ ≤ 1 tal que ∥(a, λ)(x, 0)∥ ≥ δ. Atendendo a que∥x∥ ≤ 1, entao

∥(a, λ)∗(a, λ)∥ ≥ ∥(x, 0)∗(a, λ)∗(a, λ)(x, 0)∥ = ∥[(a, λ)(x, 0)]∗[(a, λ)(x, 0)]∥

= ∥(ax+ λx, 0)∗(ax+ λx, 0)∥ = ∥(ax+ λx)∗(ax+ λx)∥

= ∥ax+ λx∥2 = ∥(a, λ)(x, 0)∥2 ≥ δ2.

Tomando uma sucessao (δn) de elementos em (0, 1) tal que δn → 1, fica garantido quepara ∥(a, λ)∥ = 1 se tem

∥(a, λ)∗(a, λ)∥ ≥ ∥(a, λ)∥2,

e facilmente se constata que a condicao anterior se pode estender a qualquer elemento(a, λ) ∈ A. Para finalizar basta notar que atendendo ao facto de A e C serem espacos

completos entao o mesmo sucede a A.

Saliente-se que uma vez construıda a algebra A entao a algebra A pode ser inter-pretada como uma sua subalgebra C∗ por meio da isometria

a 7→ (a, 0), a ∈ A.

Repare-se no entanto que caso A tenha unidade, a unidade resultante da construcaoda algebra A nao coincide com a unidade de A. O processo de unitalizacao de umaalgebra A, que corresponde a sua substituicao por uma subalgebra C∗ de A, so deveraentao ser efectuado caso A nao possua unidade.

A semelhenca do sucedido nas algebras C∗ comutativas e com unidade, tambem oconjunto dos funcionais lineares multiplicativos nao nulos de uma algebra C∗ comuta-tiva e sem unidade e nao vazio. Alem disso, os funcionais multiplicativos definidos numaalgebra C∗ sem unidade sao tambem limitados pertencendo a bola unitaria fechada dodual de A.

Proposicao 3.7.2. Sejam A uma algebra C∗ sem unidade e MA o conjunto dos fun-cionais lineares multiplicativos nao nulos de A. Tem-se que:

(i) Se A e comutativa entao MA e nao vazio existindo para cada elemento nao nulo,a ∈ A, um funcional multiplicativo ϕa ∈MA tal que

ϕa(a) = ∥a∥;

(ii) Se ϕ ∈MA entao ϕ e um funcional limitado tendo-se ∥ϕ∥ ≤ 1.


Dem. (i) Sejam A a unitalizacao de A, MA o espaco dos ideias maximais de A e

: A → C(MA), (b, λ) → (b, λ),

a transformacao de Gelfand que, de acordo com o Teorema 3.2.1, constitui um isomorfismo-∗ isometrico uma vez que A e uma algebra C∗ comutativa e com unidade.

Fixe-se a ∈ A \ 0 um qualquer elemento nao nulo de A. Como

∥(a, 0)∥∞ = ∥(a, 0)∥ = ∥a∥

e MA e compacto, entao existe φa ∈MA tal que

|φa(a, 0)| = (a, 0)(φa) = ∥a∥.

Seja ϕa a restrincao φa a algebra A, ou seja,

ϕa(b) = φa(b, 0), b ∈ A.

E claro que ϕa e um funcional multiplicativo nao nulo de A, provando-se assim queMA e nao vazio. Alem disso tem-se que,

|ϕa(a)| = |φa(a, 0)| = ∥a∥.

(ii) Fixe-se ϕ ∈MA. O funcional

ϕ : A → C, (a, λ) 7→ ϕ(a) + λ,

e um funcional linear multiplicativo que estende o funcional ϕ a toda a algebra A. Deacordo com o Teorema 3.1.5, para qualquer (a, λ) ∈ A,

|ϕ(a, λ)| ≤ ∥(a, λ)∥,

pelo que, para qualquer a ∈ A,

|ϕ(a)| = |ϕ(a, 0)| ≤ ∥(a, 0)∥ = ∥a∥,

tendo-se ∥ϕ∥ ≤ 1.

O teorema de Gelfand-Naimark (Teorema 3.2.1) vai em seguida ser generalizado aalgebras C∗ comutativas e sem unidade.


Teorema 3.7.3. Sejam A uma algebra C∗ comutativa e sem unidade eMA o espaco dosfuncionais lineares multiplicativos nao nulos de A com a topologia de Gelfand. EntaoMA e um espaco Hausdorff e localmente compacto e a transformacao de Gelfand

: A → C0(MA), a 7→ a, (3.36)

ondea(ϕ) = ϕ(a), ϕ ∈MA, (3.37)

e um isomorfismo-∗ isometrico de A sobre C0(MA).

Dem. A semelhanca da demonstracao do Teorema 2.1.1 tem-se que MA constituium espaco de Hausdorff. Mostre-se que MA e localmente compacto. Para tal fixe-se ϕ ∈ MA. Sendo ϕ um funcional multiplicativo nao nulo entao ϕ nao se anula emtodos os elementos positivos de A. Seja a ∈ A um elemento positivo tal que ϕ(a) > 1.Considere-se o conjunto

Kϕ = ω ∈MA : ω(a) ≥ 1.Sejam ωα uma rede em Kϕ e υ um funcional linear em A tal que lim

αωα = υ na

topologia w∗ do dual de A. Para quaisquer c, d ∈ A tem-se que,

υ(cd) = limαωα(cd) = lim

αωα(b)lim

αωα(c) = υ(b)υ(c),

e aindaυ(a) = lim

αωα(a) ≥ 1,

o que garante que o conjunto Kϕ e uma vizinhanca fechada do funcional multiplicativoϕ. Como Kϕ esta contido na bola unitaria fechada do dual de A, que e fracamentecompacto pelo teorema de Alaoglu, entao Kϕ e uma vizinhanca compacta de ϕ ∈MA.Assim se garante que MA e um espaco localmente compacto.

Para cada a ∈ A considere-se a a tranformada de Gelfand do elemento a, definidacomo habitualmente por (3.37). As funcoes a sao contınuas em MA e, a semelhancado paragrafo anterior, para cada a ∈ A e ε > 0 tambem o conjunto

Kε = ω ∈MA : ω(a) ≥ ε,

e compacto em MA e consequentemente a ∈ C0(MA). A transformacao de Gelfandde A em C0(MA) esta assim bem definda e claramente constitui um homomorfismo-∗.Para cada elemento a ∈ A, de acordo com a Proposicao 3.7.2, existe ϕa ∈ MA tal queϕa(a

∗a) = ∥a∥2. Consequentemente, para cada a ∈ A,

∥a∥2∞ = supϕ∈MA

|a(ϕ)|2 = supϕ∈MA

|ϕ(a∗a)| ≥ ∥a∥2.

Como ∥ϕ(a)∥ ≤ ∥a∥ para todo o a ∈ A e ϕ ∈MA, entao ∥a∥∞ ≤ ∥a∥, e a transformacao

de Gelfand (3.36) e uma isometria. A imagem A da transformacao de Gelfand e assim


um subalgebra fechada e autoadjunta de C0(MA) que separa os pontos deMA existindosempre, para qualquer ϕ ∈ MA, um elemento a ∈ A tal que a(ϕ) = ϕ(a) = 0. Estas

condicoes garantem que A = C0(MA)5, e a transformacao (3.36) e um isomorfismo-∗

isometrico.

3.7.2 Aproximacao da unidade

Definicao 3.7.1. Seja A uma algebra com ou sem unidade. Uma rede eα em Adiz-se uma aproximacao da unidade de A se satisfaz as seguintes proposicoes:

(i) ∥eα∥ ≤ 1, para qualquer α;

(ii) ∥eαa− a∥ →α

0 e ∥aeα − a∥ →α

0, para qualquer a ∈ A.

Note-se que no caso A ter unidade entao qualquer rede constantemente igual aunidade e ∈ A define uma aproximacao da unidade de A.

Quanto a existencia de aproximacoes da unidade, garante-se de seguida que emqualquer ideal bilateral e autoadjunto J de uma algebra C∗ com unidade, existe umaaproximacao crescente da unidade de J . Recorde-se que J se diz autoadjunto sempreque b∗ ∈ J para qualquer b ∈ J .

Teorema 3.7.4. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e J um ideal bilateral e au-toadjunto de A. Entao existe uma rede eα de elementos positivos eα ∈ J tal que

(i) ∥eα∥ ≤ 1, para qualquer α;

(ii) ∥eαx− x∥ →α

0 e ∥xeα − x∥ →α

0, para qualquer x ∈ J .

Dem. Seja ∆ o conjunto de todos os subconjuntos finitos de J com a relacao deordem dada pela inclusao, ou seja, se α = x1, x2, ..., xn e β = y1, y2, ..., ym estaoem ∆ entao, α ≼ β se e so se α ⊆ β. Com esta relacao de ordem ∆ constitui umconjunto dirigido. Para cada conjunto α = x1, x2, ..., xn em ∆, represente-se por vαo elemento

vα = x1x∗1 + x2x

∗2 + ...+ xnx

∗n.

Sendo J um ideal bilateral, cada vα e um elemento positivo de A em J .5Generalizacao do teorema de Stone-Weierstrass:Seja X um espaco Hausdorff localmente compacto

e S e uma subalgebra fechada e autoadjunta de C0(X) que separa os pontos de X. Se para cada x = 0existe f ∈ S tal que f(x) = 0, entao S = C0(X), [29].


Para cada α ∈ ∆ seja Avα := alg∗vα a algebra C∗ gerada por vα e pela unidade

e ∈ A. Seja ainda Γc,α : C(σA(vα)) → Avα o calculo funcional contınuo associado a vαe definido como em (3.6). Considere-se fα a funcao real contınua definida em σA(vα)por

fα(t) = nt

1 + nt≥ 0, (3.38)

e sejaeα = nvα (e+ nvα)

−1 (3.39)

o elemento de Avα associado a funcao fα por meio do calculo funcional contınuo Γc,α,

ou seja, eα = Γc,α(fα). Observe-se que eα ∈ J uma vez que vα ∈ J e J e um ideal

bilateral em A. Como 0 ≤ fα ≤ 1 para t ∈ σA(vα), e Γc,α preserva elementos positivos,entao para cada α ∈ ∆,

0 ≤ eα ≤ e e ∥eα∥ ≤ 1. (3.40)

Dado que a funcao gα definida em σA(vα) por

gα(t) =1

1 + nt, (3.41)

e tambem contınua e toma valores entre 0 e 1, entao

0 ≤ (e+ nvα)−1 ≤ e. (3.42)

Dado α ∈ ∆ e xi ∈ α, da definicao de eα em (3.39) tem-se que

(eαxi − xi)(eαxi − xi)∗ = (eα − e)xix

∗i (eα − e) ≤

∑nk=1(eα − e)xix

∗i (eα − e)

= (eα − e)vα(eα − e).(3.43)

Para as funcoes (3.38) e (3.41) e simples verificar que, para t ∈ σA(vα), se tem

(fα(t)− t)t(fα(t)− t) = gα(t)tgα(t).

Assim, dado que

Γc,α[(fα(t)− t)t(fα(t)− t)] = (eα − e)vα(eα − e)

eΓc,α[gα(t)tgα(t)] = (e+ nvα)

−1vα(e+ nvα)−1,

obtem-se de (3.43), (3.42) e (3.40) que

(eαxi − xi)(eαxi − xi)∗ = (eα − e)vα(eα − e) = (e+ nvα)

−1vα(e+ nvα)−1

= vα(e+ nvα)−1(e+ nvα)

−1 ≤ vα(e+ nvα)−1e

= 1n(e− (e− nvα)

−1) ≤ 1ne.


Para n ∈ N conclui-se entao que

∥eαxi − xi∥2 ≤1

n,

logo, para qualquer x ∈ J ,∥eαx− x∥ →

α0. (3.44)

Estabelecido (3.44) para qualquer x ∈ J , atendendo a que J e autoadjunto entao parax ∈ J

∥eαx∗ − x∗∥ →α

0, ou seja ∥xeα − x∥ →α

0. (3.45)

A rede eα, cujos elemetos eα estao definidos em (3.39), satisfaz assim as condicoes(i) e (ii).

Uma consequencia imediata do Teorema 3.7.4 e o importante resultado:

Teorema 3.7.5. Para qualquer algebra C∗ A, com ou sem unidade, existe uma aproxi-macao da unidade de A constituıda por elementos positivos.

Dem. Se A tem unidade e imediato que A admite uma aproximacao da unidade.Suponha-se que A nao tem unidade e seja A a unitalizacao de A. Identificando A coma subalgebra C∗ de A definida por A×0, entao A e um ideal bilateral e autoadjunto

de A e resultado e consequencia imediata do Teorema 3.7.4.

Seja A uma algebra C∗. Recorrendo a nocao de aproximacao da unidade, mostra-sede seguida que todo o ideal bilateral fechado J de A e autoadjunto e que a algebraquociente de A por J e ainda uma algebra C∗.

Sendo A uma algebra C∗ e J um seu ideal esquerdo e autoadjunto, e facil concluirque J e um ideal bilateral. Veja-se agora que todo o ideal bilateral fechado J de A eautoadjunto.

Proposicao 3.7.6. Sejam A uma algebra C∗, com ou sem unidade, e J e um idealbilateral de A. Tem-se que:

(i) J tem uma aproximacao da unidade constituıda por elementos positivos;

(ii) Se J e fechado entao e autoajunto.

Dem. (i) Comece-se por supor que A tem unidade e considere-se I := J ∩ J ∗ comJ ∗ = x∗ : x ∈ J . E facil constatar que I e um ideal bilateral autoadjunto de A


e pelo Teorema 3.7.4 existe uma rede eα de elementos positivos que constitui umaaproximaca da unidade de I. Dado x ∈ J entao o elemento x∗x ∈ I, logo

limα∥x∗xeα − x∗x∥ = 0.

Assim,

limα∥xeα − x∥2 = lim

α∥x− xeα∥2 = lim

α∥(x− xeα)

∗(x− xeα)∥

= limα∥(e− eα)x

∗x(e− eα)∥ ≤ limα∥e− eα∥∥x∗x(e− eα)∥

≤ 2 limα∥x∗xeα − x∗x∥ = 0,

(3.46)

ou seja, limα∥xeα − x∥ = 0. Um raciocınio analogo permite concluir que para qualquer

x ∈ J se tem ainda limα∥eαx − x∥ = 0, ou seja, eα constitui uma aproximacao da

unidade de J constituıdo por elementos positivos.Se A nao tem unidade considere-se A a unitalizacao de A. Tem-se que o ideal

I := (x, 0) : x ∈ I constitui um ideal bilateral autoadjunto de A existindo assim

(eα, 0), uma aproximacao da unidade de I constituıda por elementos positivos. Dado

x ∈ J entao (x∗x, 0) ∈ I tendo-se, a semelhanca de (3.46), que

limα∥xeα − x∥2 = lim

α∥(x− xeα, 0)∥2 = lim

α∥(x− xeα, 0)

∗(x− xeα, 0)∥

= limα∥((0, 1)− (eα, 0))(x

∗x, 0)((0, 1)− (eα, 0))∥ = 0,

constituındo eα uma aproximacao da unidade de J formada por elementos positivos.(ii) Fixe-se x ∈ J e prove-se que x∗ ∈ J . Uma vez que J e um ideal bilateral de

A, resulta de (i) que existe em J uma aproximacao da unidade, eα, constituıda porelementos positivos. Assim, para x ∈ J tem-se que

0 = limα∥xeα − x∥ = lim

α∥eαx∗ − x∗∥.

Conclui-se quelimαeαx

∗ = x∗

e como eαx∗ e uma rede de elementos J , pois J e um ideal bilateral, entao x∗ ∈ Juma vez que J e fechado.

Sendo A uma algebra C∗ com unidade, termina-se esta seccao mostrando-se comoa nocao de aproximacao da unidade permite garantir que as algebras quociente porideais bilaterais fechados sao ainda algebras C∗. Se J e um ideal bilateral fechado deA sabe-se ja que com a norma quociente a algebra A/J e uma algebra de Banach.Mostre-se que A/J e uma algebra C∗.


Proposicao 3.7.7. Sendo A uma algebra C∗ com unidade e, e J um ideal bilateralfechado de A, entao a algebra A/J , com a norma quociente

∥a+ J ∥ = infj∈J

∥a+ j∥, a ∈ J ,

e a involucao definida por

(a+ J )∗ = a∗ + J , a ∈ A,e uma algebra C∗.

Dem. Sendo J um ideal bilateral de A entao e autoadjunto e a involucao (a+J )∗ =a∗ + J , a ∈ A, esta bem definida. Para estabelecer o resultado basta garantir aalgebra de Banach-∗ A/J satisfaz a identidade C∗. Para tal considere-se eα umaaproximacao crescente da unidade de J e mostre-se que, para qualquer a ∈ A,

∥a+ J ∥ = limα∥a− aeα∥. (3.47)

Fixe-se a ∈ A. Recorrendo ao processo de unitalizacao suponha-se que A tem umaunidade e. Para todo o j ∈ J tem-se que lim

α∥j − jeα∥ = 0, donde

lim supα

∥a− aeα∥ = lim supα

∥a− aeα + j − jeα∥

= lim supα

∥(a+ j)(e− eα)∥

≤ ∥a+ j∥.A ultima desigualdade e consequencia do facto de σA(eα) ∈ [0, 1]. Entao,

lim supα

∥a− aeα∥ ≤ infj∈J

∥a+ j∥ = ∥a+ J ∥.

Por outro lado, dado que os elementos aeα estao no ideal J ,lim inf

α∥a− aeα∥ ≥ inf

j∈J∥a+ j∥ = ∥a+ J ∥,

ficando estabelecida a igualdade (3.47).Mostre-se agora que a norma em A/J satisfaz a identidade C∗. Para qualquer

a ∈ A e j ∈ J , dado quelimα

(j − eαj) = 0,

entao

∥a+ J ∥2 = limα∥a− aeα∥2 = lim

α∥(a− aeα)(a− aeα)

∗∥

= limα∥a∗a− aa∗eα − eαaa

∗ + eαaa∗eα∥

= limα∥a∗a+ (j − eαj)− aa∗eα − eαaa

∗ − (j − eαj)eα + eαaa∗eα∥

= limα∥(e− eα)(aa

∗ + j)(e− eα)∥

≤ ∥aa∗ + j∥∥e+ J ∥2 = ∥aa∗ + j∥.

3.8. EXERCICIOS 145

Tomando o ınfimo sobre todos os elementos j ∈ J obtem-se

∥a+ J ∥2 ≤ ∥(a+ J )(a+ J )∗∥.

A desigualdade contraria e imediata e a algebra quociente A/J e assim uma algebraC∗.

3.8 Exercıcios

Exercıcio 3.1. Seja A uma algebra-∗ e a ∈ A. Mostre que:

a) a e invertıvel se e so se a∗ e invertıvel, tendo-se (a∗)−1 = (a−1)∗;

b) σA(a∗) = σA(a).

Exercıcio 3.2. Mostre que se A e uma algebra C∗ com unidade entao, para qualquera ∈ A,

∥a∥ =√r(a∗a).

Exercıcio 3.3. Seja A uma algebra C∗ com unidade e a ∈ A. Mostre que:

a) Se a e unitario entao σA(a) ⊆ λ ∈ C : |λ| = 1;

b) Se a e hermiteano entao σA(a) ⊆ [−∥a∥, ∥a∥].

Exercıcio 3.4. Seja A uma algebra C∗ com unidade.

a) Mostre que um elemento p ∈ A e uma projeccao se e so se p = p∗p.

b) Sendo p ∈ A uma projeccao nao trivial, ou seja, diferente de 0 e da identidade e,mostre que σA(p) = 0, 1.

Exercıcio 3.5. Seja A uma algebra C∗ cim unidade. Mostre que qualquer idealesquerdo e autoadjunto de A e um ideal bilateral.

Exercıcio 3.6. Sejam A e B algebras C∗ e ϕ : A → B um homomorfismo-∗ quetransforma a identidade de A na identidade de B. Sabendo que σB(φ(a)) ⊂ σA(a),mostre que ∥φ∥ ≤ 1 .

Exercıcio 3.7. Sejam A e B duas algebras C∗ comutativas e com unidade. Mostre quese A e B sao isometricamente isomorfas, entao os espacos dos seus funcionais linearesmultiplicativos nao nulos, respectivamente MA e MB, sao homeomorfos.


Exercıcio 3.8. Sejam A e B duas algebras C∗ com unidade e ϕ : A → B umhomomorfismo-∗. Considere a decomposicao canonica de ϕ definida por,

A → A/I ψ−→ ϕ(A) → B,

onde I e o ideal bilateral de A definido por I = Ker ϕ. Justifique que:

a) I e fechado em A e ϕ(A) e fechado em B.

b) A/I e uma algebra C∗ e ψ : A/I → B e um homomorfismo-∗ isometrico.

c) ϕ(A) e uma subalgebra C∗ de B.

Exercıcio 3.9. Mostre que uma algebra C∗ comutativa e com unidade contem opera-dores de projeccoes nao triviais se e so se o seu espaco dos ideais maximais e desconexo.

Exercıcio 3.10. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e, e a ∈ A um elementonormal. Considere o calculo funcional contınuo para o elemento elemento a ∈ A,

Γc : C(σA(a)) → Aa, f −→ f(a),

apresentado em (3.6).

a) Designe por f1 e fz as funcoes de C(σA(a)) definidas por

f1(λ) = 1, fz(λ) = λ, λ ∈ σA(a).

Mostre que Γc(f1) = e e Γc(fz) = a.

b) Supondo que a e hermiteno, mostre que existem dois elementos positivos a+ e a−

em A tais que

a = a+ − a− e ∥a∥ = max∥a+∥, ∥a−∥.

Exercıcio 3.11. Considere a algebra C(X) das funcoes complexas e contınuas numespaco de Hausdorff compacto X. Sendo f ∈ C(X), mostre que:

(i) f e um elemento positivo de C(X) se e so se σ(f) ⊆ R+0 , com

σ(f) = f(t) : t ∈ X.

3.8. EXERCICIOS 147

(ii) Se f e hermiteano e ∥f − λ∥∞ ≤ λ, para λ ∈ R+, entao f e positivo.

(iii) Se f e positivo e, para λ ∈ R, ∥f∥∞ ≤ λ entao ∥f − λ∥∞ ≤ λ.

Exercıcio 3.12. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e, a ∈ A hermiteano e λ ∈ R+.Mostre detalhadamente as condicoes do Lema 3.3.3, ou seja, mostre que:

(i) Se ∥a− λe∥ ≤ λ entao a ≥ 0;

(ii) Se a ≥ 0 e ∥a∥ ≤ λ entao ∥a− λe∥ ≤ λ.

Exercıcio 3.13. Sejam A uma algebra C∗ e a ∈ A um elemento de A. Mostre que seos elementos a e −a sao positivos entao a = 0.

Exercıcio 3.14. Sejam A uma algebra C∗ e a, b, c elementos de A. Mostre que:

a) Se a ≥ b ≥ 0 entao ∥a∥ ≥ ∥b∥;

b) Se a ≥ 0 entao ∥a∥a ≥ a2;

c) Se a ≥ b ≥ 0 entao c∗ac ≥ c∗bc ≥ 0;

d) Se A tem unidade e a, b sao elementos invertıveis tais que a ≥ b ≥ 0, entaob−1 ≥ a−1 ≥ 0.

Exercıcio 3.15. Considere a algebra C∗ das matrizes de ordem 2, M2(C), na qual sefixou a involucao definida por (

a bc d

)∗

=

(a c

b d

).

a) Caracterize os elementos positivos de M2(C).

b) Mostre que existem elementos positivos A,B ∈M2(C) tais que AB nao e positivo.

c) Considere os elementos A e B definidos por

A = P e B = P +Q,

onde

p =

(1 b0 0

), q =

(12

12

12

12

).

Mostre que B ≥ A mas B2 A2.


Exercıcio 3.16. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e a, b elementos positivos deA tais que b2 ≥ a2.

Para cada t > 0, real positivo, considere

ct = (te+ a+ b)(te+ a− b).

Sejam h, k os elementos hermiteanos de A tais que ct = h+ ik.

a) Justifique que

h =1

2((te+ a+ b)(te+ a− b) + (te+ a− b)(te+ a+ b)).

b) Mostre que h = t2e+ 2tb+ b2 − a2 ≥ t2e.

c) Justifique que h e um elemento positivo e invertıvel de A.

d) Mostre que

1 + ih−12kh−

12 = h−

12 (h+ ik)h−

12

e que 1 + ih−12kh−

12 , ct = h + ik e (te + a − b) sao elementos invertıveis de A.

Justifique que −t /∈ σA(b− a)

e) Conclua que b ≥ a.

Exercıcio 3.17. Seja H um espaco de Hilbert e L(H) a algebra C∗ dos operadoreslineares limitados em H, com a involucao definida pela passagem ao operador adjunto,T 7→ T ∗. Mostre que dados T1, T2 ∈ L(H) e α, β ∈ C se tem:

a) (αT1 + βT2)∗ = αT ∗

1 + βT ∗2 ;

b) (T ∗1 )

∗ = T1 e (T1T2)∗ = T ∗

2 T∗1 ;

c) ∥T ∗1 T1∥ = ∥T1T ∗

1 ∥ = ∥T∥2.

Exercıcio 3.18. Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H). Designando por T ∗ oadjunto do operador T, mostre que sao verdadeiras as seguintes igualdades:

a) Ker T = (Im T ∗)⊥ e Ker T ∗ = (Im T )⊥;

b) Im T = (Ker T ∗)⊥ e Im T ∗ = (Ker T )⊥.

Exercıcio 3.19. Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H). Mostre que:

3.8. EXERCICIOS 149

a) Se T e hermiteano entao,

⟨Tx, x⟩ = 0 para qualquer x ∈ H ⇒ T = 0.

b) Se T e unitario entao T e isometrico, ou seja,

∥Tx∥ = ∥x∥ para qualquer x ∈ H,

tendo-se ∥T∥ = 1.

c) T e unitario se e so se T e isometrico e sobrejectivo.

Exercıcio 3.20. Sejam H um espaco de Hilbert e T ∈ L(H). Mostre que:

a) T e normal se e so se ∥Tx∥ = ∥T ∗x∥ para qualquer x ∈ H.

b) T e hermiteano se e so se ⟨Tx, x⟩ ∈ R para qualquer x ∈ H.

c) T e positivo se e so se ⟨Tx, x⟩ ≥ 0 para qualquer x ∈ H.

Exercıcio 3.21. SejamH um espaco de Hilbert e P ∈ L(H) um operador de projeccao.Mostre que P satisfaz as condicoes do Teorema 3.4.1.

Exercıcio 3.22. Sejam H um espaco de Hilbert e V ∈ L(H). Mostre que se V e umaisometria parcial entao V e uma contraccao, isto e,

∥V x∥ ≤ ∥x∥, ∀x ∈ X.

Exercıcio 3.23. Com o auxılio do Teorema 3.4.6 demonstre detalhadamente o Co-rolario 3.4.7.

Exercıcio 3.24. Seja H um espaco de Hilbert.

(a) Justifique que se H tem dimensao finita e V ∈ L(H) e uma isometria, entao V esobrejectivo e consequentemente um operador unitario.

(b) Suponha-se agora que H e um espaco de Hilbert separavel de dimensao infinitae seja en : n ∈ N uma sua base hilbertiana.

(i) Considere-se o operador Sr ∈ L(H) definido por

Sr : H → H, x =∞∑n=1

xnen 7→ Sr(x) =∞∑n=1

xnen+1, xn ∈ l2.

Mostre que Sr e uma isometria mas nao um operador unitario.


(ii) Considere-se o operador Sl ∈ L(H) definido por

Sl : H → H, x =∞∑n=1

xnen 7→ Sl(x) =∞∑n=1

xn+1en, xn ∈ l2.

Mostre que Sl e uma isometria parcial e determine o seu espaco inicial.

Exercıcio 3.25. Sejam H um espaco de Hilbert e H1 e H2 dois subespacos fechadosde H com a mesma dimensao. Sejam eα : α ∈ J e fα : α ∈ J bases hilbertianas,respectivamente, de H1 e H2. Considere-se o operador V ∈ L(H) definido por

V x = 0 se x⊥H1, e V

(∑α∈J

xαeα

)=∑α∈J

xαfα,∑α∈J

|xα|2 <∞.

Mostre que V e uma isometria parcial cujo espaco inicial e H1 e o espaco final e H2.

Exercıcio 3.26. SejaH um espaco de Hilbert e V ∈ L(H).Mostre que sao equivalentesas seguintes proposicoes:

a) V = V V ∗V ;

b) V ∗V e uma projeccao;

c) V e um isometria parcial.

Exercıcio 3.27. Sejam X um espaco Hausdorff compacto, µ uma medida positiva,B(X) a σ-algebra de Borel de X e H = L2(X,µ). Mostre que:

a) Para cada funcao a ∈ B∞(X) a aplicacao

aI : H → H, f 7→ af,

define um operador linear limitado no espaco de Hilbert H. A Ma chama-se ope-rador de multiplicacao pela funcao a.

b) A aplicacaoE : B(X) → L(H), ∆ 7→ χ∆I,

onde χ∆I designa o operador de multiplicacao em H pela funcao caracteristicaχ∆ do conjunto ∆, define uma medida espectral sobre (X,H).

Exercıcio 3.28. SejaH um espaco de Hilbert eK(H) o ideal dos operadores compactosde L(H).

3.8. EXERCICIOS 151

a) Mostre que K(H) e uma subalgebra C∗ de L(H).

b) Mostre que K(H) tem unidade se e so se H tem dimensao finita.

Exercıcio 3.29. Seja C0(X) a algebra das funcoes complexas definidas num espacolocalmente compacto X e que se anulam no infinito, com as operacoes de soma eproduto pontuais. Considere-se em C0(X) a norma


|f(x)|, f ∈ C0(X),

e a involucao dada pela passagem a funcao conjugada, ∗ : f 7→ f.

a) Justifique que para qualquer funcao f ∈ C0(X) e finita a norma ∥f∥∞.

b) Mostre que C0(X) e uma algebra C∗, que so possui unidade se e so se X ecompacto.

Exercıcio 3.30. Seja A um algebra C∗ com ou sem unidade. Justifique que sendo Jum ideal bilateral de A entao existe em J uma aproximacao da unidade em J .

Exercıcio 3.31. Sejam A e B duas algebras C∗ sem unidade e Ψ : A → B umhomomorfismo-∗ de A em B. Mostre que Ψ e contınuo tendo-se, para qualquer a ∈ A

∥Ψ(a)∥ ≤ ∥a∥.

Mostre ainda que Ψ(A) constitui uma subalgebra C∗ de B.

Capıtulo 4

Representacoes de algebras C∗

Chap4O capıtulo

Chap44 e dedicado a teoria de representacoes de algebras C∗. A estrutura adicional

introduzida pela convolucao permite que as representacoes de algebras C∗ possam servistas como transformacoes lineares actuando em espacos de Hilbert, em vez de apenasespacos de Banach.

Os principais resultados do capıtulo sao, tendo por base a teoria de representacoesde algebras de Banach introduzida na capıtulo 2 e propriedades das alebras C∗, aconstrucao de Gelfand-Naimark-Segal (GNS) que a cada funcional linear positivo deuma algebra C∗ associa uma representacao cıclica da algebra, a chamada representacaode Gelfand-Naimark-Segal associada ao funcional, e o 2o teorema de Gelfand-Naimarkque estabelece que qualquer algebra C∗ com unidade e uma subalgebra C∗ de L(H).As nocoes de estado puro numa algebra C∗ e de irredutibilidade da representacaode Gelfand-Naimark-Segal associada estao intimamente relacionadas, estabelecendo-seque um estado e puro se e so se a a correspondente representacao e irredutıvel.

Recentemente a classificacao das algebras C∗ tem-se vindo a desenvolver indepen-dentemente da teoria das representacoes. Apesar deste facto apresentam-se nestecapıtulo classes de algebras C∗ cuja definicao tem por base a natureza das suas re-presentacoes: as algebras CCR e GCR. Conclui-se o capıtulo introduzindo algumasclasses de algebras C∗ universais: as algebras de Cuntz, as algebras de rotacao e asalgebras de Toeplitz.

4.1 Funcionais lineares positivos. Estados puros

Inicia-se o capıtulo com a analise de propriedades dos funcionais lineares positivos. Oconceito de estado puro e posteriormente introduzido mostrando-se que estes consti-tuem os pontos extremos de um subconjunto nao vazio, convexo e compacto, do con-junto de funcionais lineares positivos de norma 1, o conjunto dos estados da algebra.

1

2 CAPITULO 4. REPRESENTACOES DE ALGEBRAS C∗

4.1.1 Funcionais lineares positivos

d6Cap4:42 Definicao 4.1.1. Sendo A uma algebra C∗, um funcional linear ρ : A → C diz-sepositivo se transforma os elementos positivos de A nos elementos positivos de C, ouseja, se para qualquer a ∈ A,

ρ(a∗a) ≥ 0.

Os funcionais lineares positivos ρ de A com norma 1, ‖ρ‖ = 1, designam-se por estadosde A representando-se por EA o conjunto de todos os estados de A.

Note-se que se sendo ϕ ∈ MA um funcional linear multiplicativo em A entao ϕ eum funcional positivo. Efectivamente, para qualquer a ∈ A,

ϕ(a∗a) = ϕ(a∗)ϕ(a) = ϕ(a)ϕ(a) = |ϕ(a)|2 ≥ 0.

A nocao de funcional linear positivo pode assim ser entendida como uma generalizacaoda nocao de funcional linear multiplicativo preservando mesmo algumas das suas pro-priedades.

Chap3:19 Proposicao 4.1.1. Se A e uma algebra C∗ entao qualquer funcional linear positivoem A e um funcional contınuo.

Dem. Represente-se por A+1 o conjunto dos elementos positivos de A com norma

menor ou igual a 1. Fixe-se ϕ um funcional linear emA para o qual existe uma constanteK > 0 tal que, para qualquer a ∈ A+

1 , se tenha

|ϕ(a)| ≤ K, para todo a ∈ A+1 .

Comeca-se por mostrar que nas condicoes anterior ϕ e um funcional limitado cujanorma satisfaz ‖ϕ‖ ≤ 4K.

Fixe-se a ∈ A um elemento hermiteano tal que ‖a‖ ≤ 1. Pela Proposicaop3??, a

admite uma representacao na forma a = a+−a− com a± elementos positivos de a. Como‖a‖ ≤ 1 entao, de acordo com (

Chap3:20??), ‖a±‖ ≤ 1 tendo-se a± ∈ A+

1 . Consequentemente,

|ϕ(a)| ≤ |ϕ(a+)|+ |ϕ(a−)| ≤ 2K. (4.1) Cap4:41

Considerando agora a ∈ A um qualquer elemento de A tal que ‖a‖ ≤ 1, tem-se daProposicao

p1?? e da condicao (

Cap3:200??) que a = h+ ik com h e k hermiteanos de A tais que

‖h‖ ≤ 1 e ‖k‖ ≤ 1. Assim, atendendo a (Cap4:414.1),

|ϕ(a)| ≤ |ϕ(h)|+ |ϕ(k)| ≤ 2K + 2K = 4K.

Finalmente, para qualquer a ∈ A tem-se que

|ϕ(a)| ≤ 4K‖a‖

4.1. FUNCIONAIS LINEARES POSITIVOS. ESTADOS PUROS 3

o que permite afirmar que ϕ e limitado com ‖ϕ‖ ≤ 4K.Estabelecido o resultado anterior suponha-se que existe um funcional linear positivo

em A, ρ, nao limitado. Entao,

supa∈A+

1

∣∣ρ(a)∣∣ = +∞,

e consequentemente existe uma sucessao de elementos positivos (an) em A+1 tal que,

para qualquer n ∈ N,|ρ(an)| ≥ 4n.

Atendendo a que∥∥∥an

4n

∥∥∥ ≤ 1

4nentao a serie

∞∑k=1

ak4k

e convergente. Sendo a a soma da

serie, a =∞∑k=1

ak4k, e claro que a e um elemento positivo e, atendendo a que ρ

(ak4k

)≥ 1,

para qualquer n ∈ N tem-se,

ρ(a) ≥ ρ

(n∑k=1

ak4k

)≥ n,

o que e impossıvel. Fica assim demonstrado que qualquer funcional linear positivo elimitado.

Apresentam-se a seguir algumas propriedades dos funcionais lineares positivos, asquais vao permitir obter uma caracterizacao alternativa a Definicao

Cap4:424.1.1 para os fun-

cionais lineares positivos de uma algebra C∗.

l1 Lema 4.1.2 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz). Sejam A uma algebra C∗ com uni-dade e ρ um funcional linear positivo em A. Para quaisquer dois elementos a, b ∈ A,tem-se

(i) ρ(a∗b) = ρ(b∗a) ;

(ii) |ρ(a∗b)|2 ≤ ρ(a∗a)ρ(b∗b).

Dem. Sejam a, b ∈ A e λ ∈ C. Como ρ e positivo tem-se que ρ((λa+b)∗(λa+b)) ≥ 0o que, atendendo a linearidade de ρ, e equivalente a

|λ|2ρ(a∗a) + λρ(a∗b) + λρ(b∗a) + ρ(b∗b) ≥ 0. (4.2) Cap3:21

Da condicao anterior conclui-se que para quaisquer a, b ∈ A e λ ∈ C, a parcela

λρ(a∗b) + λρ(b∗a) (4.3) Cap4:46


e real. Substituındo em (Cap4:464.3), sucessivamente λ = 1 e λ = i obtem-se sem dificuldade

a igualdade (i). Satisfeita a condicao (i), substituındo na forma quadratica positiva(Cap3:214.2),

λ = ρ(a∗b)/ρ(a∗a),

obtem-se a desigualdade (ii) no caso de a 6= 0. Para a = 0 o resultado e obviametesatisfeito.

Como consequencias do Lemal14.1.2 obtem-se um criterio para identificacao dos

funcionais lineares positivos numa algebra C∗ com unidade.

t8Cap3:30 Proposicao 4.1.3. Seja A uma algebra C∗ com unidade e. Um funcional linear limi-tado ρ em A e positivo se e so se ‖ρ‖ = ρ(e).

Dem. Sejam ρ um funcional linear positivo e c ∈ A tal que ‖c‖ ≤ 1. Particularizandoa desigualdade de Cauchy-Schwartz para a = e e b = c tem-se que

|ρ(c)|2 ≤ ρ(e∗e)ρ(c∗c) = ρ(e)ρ(c∗c). (4.4) Cap4:47

Como ‖c‖ ≤ 1, tem-se

‖e− (e− c∗c)‖ = ‖c∗c‖ = ‖c‖2 ≤ 1,

obtendo-se da condicao (i) da ProposicaoCap3:5?? que (e − c∗c) e um elemento positivo.

Assim,

ρ(e− c∗c) ≥ 0, ou seja, ρ(c∗c) ≤ ρ(e)

vindo de (Cap4:474.4),

|ρ(c)|2 ≤ ρ(e)ρ(e) = ρ2(e).

Consequentemente, atendendo a que ‖e‖ = 1,

‖ρ‖ = sup‖c‖≤1

|ρ(c)| = ρ(e).

Reciprocamente, seja ρ um funcional linear limitado tal que ‖ρ‖ = ρ(e). Sendoa ∈ A um elemento hermiteano tal que ‖a‖ ≤ 1, prove-se que ρ(a) e real.

Faca-se ρ(a) = α + iβ com α, β ∈ R e comece-se por supor que β ≤ 0. Para cadan ∈ N,

‖a− ine‖2 = ‖(a− ine)(a+ ine)‖ = ‖a2 + n2e‖ ≤ 1 + n2,

donde

|ρ(a− ine)|2 ≤ ‖ρ‖2(1 + n2). (4.5) cap3:22


Atendendo a que

|ρ(a− ine)|2 = |ρ(a)− in‖ρ‖|2 = |α + iβ − in‖ρ‖|2

= α2 + β2 − 2nβ‖ρ‖+ n2‖ρ‖2,

de (cap3:224.5) obtem-se,

α2 + β2 − 2nβ‖ρ‖+ n2‖ρ‖2 ≤ ‖ρ‖2(1 + n2),

ou seja,−2nβ‖ρ‖ ≤ −α2 − β2 + ‖ρ‖2.

Dado que a ultima desigualdade e valida para qualquer n ∈ N com β ≤ 0, entao tem-seβ = 0, o que permite concluir que ρ(a) ∈ R. Caso β ≥ 0 entao ρ(−a) = −α + i(−β) eanalogamente se conclui que β = 0, logo ρ(a) ∈ R.

Considerando agora a um qualquer elemento positivo nao nulo de A, e fazendoa = a/‖a‖, resulta da condicao (ii) do Lema

Cap3:5?? que ‖e − a‖ ≤ 1. Consequentemente,

obtem-se do paragrafo anterior que

ρ(e− a) = ‖ρ‖ − ρ(a) ∈ R,

e, sendo ρ limitado,ρ(e− a) ≤ ‖ρ‖‖e− a‖ ≤ ‖ρ‖,

concluındo-se que ρ(a) ≥ 0, logo, ρ(a) ≥ 0. O funcional linear limitado ρ e assim umfuncional linear positivo.

A ProposicaoCap3:304.1.3 permite obter sem dificuldade a norma da soma e a norma de

uma combinacao linear convexa de quaisquer dois funcionais lineares positivos numaalgebra C∗ com unidade.

Cap3:31 Corolario 4.1.4. Sejam A uma algebra-C∗ com unidade e, e ρ1, ρ2 dois funcionaislineares positivos em A. Tem-se que:

(i) ρs = ρ1 + ρ2 e um funcional linear positivo cuja norma e dada por

‖ρ1 + ρ2‖ = ‖ρ1‖+ ‖ρ2‖;

(ii) Para qualquer λ ∈ [0, 1], o funcional

ρc = λρ1 + (1− λ)ρ2

e um funcional linear positivo e

‖ρc‖ = λ‖ρ1‖+ (1− λ)‖ρ2‖.


Dem. Sendo ρ1 e ρ2 funcionais lineares positivos e λ ∈ [0, 1], e claro que λρ1 e(1 − λ)ρ2 sao ainda funcionais positivos, o mesmo sucedendo as somas ρs = ρ1 + ρ2 eρc = λρ1 + (1− λ)ρ2. Consequentemente, obtem-se da Proposicao

Cap3:304.1.3 que

‖ρ1 + ρ2‖ = ρ1(e) + ρ2(e) = ‖ρ1‖+ ‖ρ2‖,

estabelecendo-se assim a proposicao (i). De forma analoga se estabelece (ii).

Relativamente ao problema da extensao de funcionais lineares positivos tem-se oresultado.

Cap4:1 Corolario 4.1.5. Se A e uma algebra C∗ com unidade e, e B e uma sua subalgebra C∗

com a mesma unidade, entao para qualquer funcional linear positivo ρB em B existe umfuncional linear positivo ρA em A que e uma extensao de ρB satisfazendo ‖ρA‖ = ‖ρB‖.

Dem. Sendo ρB um funcional linear positivo em B, resulta do Teorema de Hanh-Banach que existe em A um funcional linear limitado ρA tal que ‖ρB‖ = ‖ρA‖. Sendoe a unidade de B e A, da positividade de ρB e da Proposicao

Cap3:304.1.3 obtem-se que

ρA(e) = ρB(e) = ‖ρB‖ = ‖ρA‖,

concluındo-se, novamente da ProposicaoCap3:304.1.3, que ρA e um funcional linear positivo

em A.

A ProposicaoCap3:304.1.3 permite ainda estabelecer o resultado que se segue, de especial

importancia na SeccaoSS-GNS4.2.3.

Cap3:32 Corolario 4.1.6. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e, e ρ um funcional linearpositivo em A.

(i) Dado a ∈ A, ρ(a∗a) = 0 se e so se ρ(ba) = 0 para qualquer b ∈ A;

(ii) Para quaisquer a, b ∈ A tem-se que ρ(b∗a∗ab) ≤ ‖a∗a‖ρ(b∗b).

Dem. (i) Fixe-se a ∈ A. Se ρ(ba) = 0 para todo o b ∈ A entao e imediato queρ(a∗a) = 0. Reciprocamente, se ρ(a∗a) = 0 entao, resulta da desigualdade de Cauchy-Schwartz que, para todo o b ∈ A,

|ρ(ba)| = |ρ((b∗)∗a)| ≤ ρ(bb∗)ρ(a∗a) = 0.

(ii) Fixe-se a, b ∈ A. Se ρ(b∗b) = 0, obtem-se de (i) que ρ(b∗a∗ab) = ρ((b∗a∗a)b) = 0pelo que a condicao (ii) e obviamente satisfeita. Para analisar o caso em que ρ(b∗b) > 0considere-se o funcional linear positivo

ρb : A → C, c 7→ ρb(c) = ρ(b∗cb)/ρ(b∗b).


Conclui-se da ProposicaoCap3:304.1.3 que,

‖ρb‖ = ρb(e) = ρ(b∗b)/ρ(b∗b) = 1,

donde ρb(a∗a) ≤ ‖a∗a‖ ou, equivalentemente,

ρ(b∗a∗ab) ≤ ‖a∗a‖ρ(b∗b).

Quanto a existencia de funcionais lineares positivos tem-se que:

t9 Proposicao 4.1.7. Se A e uma algebra-C∗ com unidade e, entao para qualquer ele-mento normal a ∈ A com a 6= 0 existe um funcional linear positivo ρa : A → C tal queρa ∈ EA e

|ρa(a)| = ‖a‖.

Dem. Sejam a 6= 0 um elemento normal em A e Aa := alg∗a a subalgebra-C∗

de A gerada por a e pela unidade e. Sendo Aa uma uma algebra-C∗ comutativa comunidade, entao a sua transformacao de Gelfand, : Aa → C(MAa), e um isomorfismo-∗ isometrico satisfazendo ‖a‖ = ‖a‖∞. Como a e uma funcao contınua de domıniocompacto entao existe ρ ∈MAa tal que

‖a‖ = ‖a‖∞ = |a(ρ)| = |ρ(a)|.

Aplicando o Teorema de Hahn-Banach ao funcional ρ conclui-se que existe um funcionallinear limitado ρa : A → C que estende ρ a algebra A e tal que ‖ρa‖ = ‖ρ‖ = 1. Alemdisso, dado que ρa(e) = ρ(e) = 1, ρa e um funcional linear positivo satisfazendo ainda|ρa(a)| = |ρ(a)| = ‖a‖.

Atendendo a que o conjunto dos elementos normais de uma algebra C∗ com unidadee nao vazio, o resultado anterior garante que EA, o conjunto dos estados em A, e naovazio. Tem-se ainda o seguinte resultado:

Cap4:19 Proposicao 4.1.8. Se A e uma algebra C∗ com unidade e, entao para qualquer idealesquerdo fechado I de A existe um estado ρ ∈ EA tal que

ρ(x∗x) = 0, x ∈ I.

Dem. Sejam I um ideal esquerdo fechado de A e Ah := a ∈ A : a = a∗ o conjuntodos elementos hermiteanos de A. Defina-se Ih := Ah ∩I. Ora, Ah constitui um espacode Banach real que admite Ih como subespaco fechado. Sendo A+ o conjunto dos


elementos positivos de A entao A+ ⊂ Ah constituındo, de acordo com o teorema daaplicacao espectral, da condicao (i) da Proposicao

Cap3:6?? e do Exercıcio

exparaCap4??, um cone1 em

Ah. Observe-se que a unidade e ∈ A e um ponto interior de A+ em Ah ja que dadoa ∈ Ah tal que ‖a− e‖ < 1, obtem-se da condicao (i) da Proposicao

Cap3:5?? que a ∈ A+.

Seja A′h o subespaco de Ah definido por

A′h := λe+ a : λ ∈ R, a ∈ Ih,

e considere-se em A′h o funcional linear real

ρ : A′h → R, λe+ a 7→ ρ(λe+ a) := λ,

que claramente satisfazρ(e) = 1 e ρ(a) = 0, a ∈ Ih. (4.6) CCap4

ρ e ainda um funcional nao negativo na interseccao A′h ∩ A+. Efectivamente, dadox ∈ A′h ∩ A+, entao x = λe+ a com λ ∈ R e a ∈ Ih. Assim,

x− λe = a ∈ Ih ⊂ I,

o que permite afirmar que x−λe e nao invertıvel em A, ou seja, que λ ∈ σA(x). Comox ∈ A+ entao λ ∈ σA(x) ⊂ R+

0 e

ρ(x) = ρ(λe+ a) = λ ≥ 0.

Pelo teorema da extensao de Krein-Milman2, existe um funcional linear

ρh : Ah → R

que estende ρ a Ah e e nao negativo em A+. Ora, para qualquer elemento a ∈ A sabe-seque a admite uma representacao (unica) na forma a = h+ik com h, k ∈ Ah (ProposicaoCap3:76?? ) e este facto permite construir um funcional linear ρ : A → C definido-o por

ρ(a) := ρ(h) + iρ(k), a = h+ ik ∈ A. (4.7)

O funcional ρ constitui uma extensao de ρ a algebra A e e positivo uma vez que paraqualquer a ∈ A, dado que a∗a ∈ A+,

ρ(a∗a) = ρ(a∗a+ i0) = ρ(a∗a) ≥ 0.

1Num espaco vectorial real um conjunto C diz-se um cone se: (1) λx ∈ C para x ∈ C, λ ∈ R+0 ; (2)

x+ y ∈ C para x, y ∈ C; (3) Se x ∈ C e −x ∈ C entao x = 0.2Teorema da extensao de Krein-Milman: Se C e um cone num espaco vectorial real localmente

convexo X e Y e um subespaco de X que contem pelo menos um ponto interior de C, entao qualquerfuncional linear em Y, nao negativo em Y ∩C, admite uma extensao a um funcional linear em X, naonegativo em C,

Naim1972[?].


Alem disso ρ ∈ EA pois ρ(e) = ρ(e+ i0) = ρ(e) = 1. Finalmente, para qualquer a ∈ Item-se que a∗a ∈ Ih obtendo-se, da segunda condicao em (

CCap44.6), que

ρ(a∗a) = ρ(a∗a) = 0.

O funcional ρ esta assim nas condicoes do enunciado.

4.1.2 Estados puros. Propriedades

Sendo ρ1 e ρ2 funcionais lineares positivos definidos em A, uma algebra C∗, diz-se queρ1 majora ρ2 escrevendo-se ρ1 ≥ ρ2 ou ρ1−ρ2 ≥ 0, sempre que ρ1−ρ2 for um funcionallinear positivo.

Note-se que se ρ e um funcional linear positivo e 0 ≤ λ ≤ 1 entao ρ ≥ λρ.

d7 Definicao 4.1.2. Sendo A uma algebra C∗, chama-se estado puro a qualquer estado ρem A cujos funcionais lineares positivos que majora sao apenas os funcionais da formaλρ com 0 ≤ λ ≤ 1. O conjunto dos estados puros de A representa-se por PA.

Com o auxılio do Teorema de Krein-Milman3 mostra-se de seguida que o conjuntodos estados puros de uma algebra C∗ e nao vazio, constituındo o conjunto dos pontosextremos do conjunto de todos dos estados em A, ou seja, PA = extEA.

t10 Teorema 4.1.9. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e, EA o conjunto dos estadosem A e PA o conjunto dos estados puros de A. Entao,

(i) EA e convexo;

(ii) EA e fracamente compacto em A∗, o espaco dual de A;

(iii) O conjunto dos pontos extremos de EA e nao vazio e coincide com PA. Alemdisso EA e o fecho fraco do envolucro convexo de PA.

Dem. (i) Que EA e convexo e consequencia imediata do CorolarioCap3:314.1.4.

(ii) Mostre-se que EA e fracamente fechado na bola unitaria fechada do dual de A,B01(A∗) := φ ∈ A∗ : ‖φ‖ ≤ 1.

Seja ϕα uma rede em EA fracamente convergente para ϕ ∈ A∗. Assim, paraqualquer a ∈ A,

ϕ(a∗a) = limαϕα(a∗a) ≥ 0

3Teorema de Krein-Milman: Seja X um espaco vectorial de Hausdorff localmente convexo. SeC 6= Ø e um subconjunto compacto e convexo de X, entao o conjunto dos seus pontos extremos,extC, e nao vazio e o fecho do envolucro convexo de extC coincide com C, C = Co(extC). Se S eum subconjunto fechado de C tal que C = Co(S) entao S ⊇ ext C. Recorde-se se chama envolucroconvexo de S ⊂ X, e designa-se por Co(S), ao menor subconjunto convexo de X que contem S,

Mu1990[?].


e ϕ e um funcional linear positivo. Consequentemente,

‖ϕ‖ = ϕ(e) = limαϕα(e) = lim

α‖ϕα‖ = 1.

Assim ϕ ∈ EA. Se EA e fracamente fechado em B01(A∗), resulta do Teorema de Alaogluque EA e fracamente compacto em A∗.

(iii) EA e assim um conjunto nao vazio, convexo e fracamente compacto em A∗.Pelo teorema de Krein-Milman, o conjunto dos pontos extremos de EA e nao vaziosendo EA o fecho fraco do envolucro convexo dos pontos extremos de EA. Mostre-se aseguir que o conjunto dos estados puros de A, PA, coincide com o conjunto dos pontosextremos de EA.

Fixe-se ρ ∈ PA e suponha-se que existem ϕ, ϕ′ ∈ EA e 0 < λ < 1 tais que

ρ = λϕ+ (1− λ)ϕ′. (4.8) Cap4:48

Nas condicoes anteriores tem-se que ρ ≥ λϕ e consequentemente, uma vez que ρ e umestado puro, existe t ∈ [0, 1] tal que λϕ = tρ. Atendendo a que ‖ϕ‖ = ‖ρ‖ = 1 entaoλ = t, logo ρ = ϕ. De (

Cap4:484.8) conclui-se que (1− λ)ρ = (1− λ)ϕ

′, ou seja, ρ = ϕ

′. Fica

assim demonstrado que se ρ ∈ PA entao ρ e um ponto extremo de EA.Reciprocamente considere ρ um ponto extremo de EA e considere-se ϕ um qualquer

funcional linear positivo de A tal que ϕ 6= 0, ϕ 6= ρ e ρ ≥ ϕ. Assim, ρ − ϕ e umfuncional linear positivo nao nulo, donde

‖ρ− ϕ‖ = (ρ− ϕ)(e) = ‖ρ‖ − ‖ϕ‖ = 1− ‖ϕ‖ > 0.

Conclui-se pois que ‖ϕ‖ ∈]0, 1[. Fazendo t = ‖ϕ‖ tem-se que

ρ = t

(ϕ

‖ϕ‖

)+ (1− t)

(ρ− ϕ‖ρ− ϕ‖

),

e como ρ e ponto extremo de EA entao ρ = ϕ‖ϕ‖ , ou seja, ϕ = ‖ϕ‖ρ, com ‖ϕ‖ ∈]0, 1[.

Assim, ρ ∈ PA. Finalmente, obtem-se do teorema de de Krein-Milman que EA e o fechofraco do envolucro convexo de PA.

A abundancia de funcionais lineares positivos numa algebra C∗ traduz-se na existenciatambem de estados puros.

chap3:26 Proposicao 4.1.10. Seja A uma algebra C∗ com unidade. Entao, para qualquer ele-mento nao nulo a ∈ A, existe ρ ∈ PA tal que

ρ(a∗a) = ‖a‖2.


Dem. Sendo a ∈ A \ 0, como a∗a ∈ A e elemento normal entao, de acordo coma Proposicao

t94.1.7, existe em A um estado ρ : A → C satisfazendo |ρ(a∗a)| = ‖a‖2.

Consequentemente, e nao vazio o conjunto

Ea = ϕ ∈ EA : ϕ(a∗a) = ‖a‖2.

Alem disso, resulta do Teorema de Krein-Milman que o conjunto dos pontos extremosde Ea e nao vazio pois Ea e convexo e fracamente compacto em A∗. Sendo ρ um pontoextremo de Ea, mostra-se em seguida que ρ constitui um ponto extremo de EA. Paratal suponha-se que existem funcionais ρ1, ρ2 ∈ EA tais que

ρ = λρ1 + (1− λ)ρ2, 0 ≤ λ ≤ 1.

Atendendo a queρ1(a∗a) ≤ ‖a‖2 e ρ2(a∗a) ≤ ‖a‖2,

e dado que‖a‖2 = λρ1(a∗a) + (1− λ)ρ2(a∗a),

entaoρ1(a∗a) = ρ2(a∗a) = ‖a‖2.

Assim, ρ1, ρ2 ∈ Ea e como p e um ponto extremo de Ea entao ρ1 = ρ2 = ρ. O funcionalρ e um ponto extremo de EA, ou seja e um estado puro de A.

Como consequencia do resultado anterior e possivel caracterizar a norma de qual-quer elemento de uma algebra C∗ com unidade a custa dos seus estado puros.

c4 Corolario 4.1.11. Se A e uma algebra C∗ com unidade entao para qualquer a ∈ A

‖a‖ = maxρ∈PA

√ρ(a∗a).

Dem. Para a = 0 o resultado e imediato. Para a 6= 0, da Proposicaochap3:264.1.10 conclui-se

quemaxρ∈PA

√ρ(a∗a) ≥ ‖a‖.

Quanto a desigualdade contraria esta e consequencia do facto de que para qualquerρ ∈ PA, sendo ‖ρ‖ = 1, entao

ρ(a∗a) ≤ ‖ρ‖‖a∗a‖ = ‖a‖2 ⇒√ρ(a∗a) ≤ ‖a‖.

Para os estados puros de uma algebra C∗ tem-se tambem, a semelhanca do CorolarioCap4:14.1.5, um resultado de extensao.


Cap4:2 Proposicao 4.1.12. Se A e uma algebra C∗ com unidade e, e B e uma sua subalgebraC∗ com a mesma unidade, entao para qualquer estado puro ρB em B existe um estadopuro ρA em A que e uma extensao de ρB.

Dem. Sejam ρB um estado puro em B e EρB o conjunto dos estados em A queestendem ρB, isto e,

EρB = ρ ∈ EA : ρ estende ρB.

Do CorolarioCap4:14.1.5 sabe-se que EρB e nao vazio. Alem disso EρB e um subconjunto

convexo de EA e, sendo fracamente fechado na bola unitaria e fechada do dual A, etambem fracamente compacto. Pelo teorema de Krein-Milman EρB tem pelo menosum ponto extremo ρA. Prova-se de seguida que ρA e um estado puro de A. Para talsuponha-se que ρ1 e ρ2 sao dois estados em A tal que

ρA = λρ1 + (1− λ)ρ2, com λ ∈ (0, 1).

Sejam ρ1 e ρ2, respectivamente, a restricao dos estados ρ1 e ρ2 a algebra B. Tem-se queρ1 e ρ2 sao estados em B tais que

ρB = λρ1 + (1− λ)ρ2, com λ ∈ (0, 1),

e dado que ρB e um estado puro em B entao ρB = ρ1 = ρ2 pelo que os estados ρ1 e ρ2

pertencem a EρB . Sendo ρA um ponto extremo de EρB , entao ρA = ρ1 = ρ2. Fica assimprovado que ρA e um ponto extremo de EA, logo um estado puro em A.

E possıvel caracterizar a invertibilidade dos elementos de uma algebra C∗ comunidade a custa dos seus estado puros. Para estabelecer este facto considere-se, paraqualquer funcional linear nao nulo e positivo ρ definido em A, uma algebra C∗ comunidade, o conjunto Lρ definido por

Lρ := x ∈ A : ρ(x∗x) = 0 . (4.9) Cap4:15

Da continuidade dos funcionais lineares positivos e do CorolarioCap3:324.1.6 tem-se que Lρ e

ideal esquerdo proprio e fechado de A.Mostra-se a seguir que todo o ideal bilateral esquerdo proprio e fechado de A e da

forma (Cap4:154.9).

Cap4:13 Proposicao 4.1.13. Se A e uma algebra C∗ com unidade e, entao para qualquer idealesquerdo maximal I de A existe um estado puro ρI ∈ PA tal que

I = LρI .


Dem. Seja I um ideal esquerdo maximal de A e ρ um estado em A nas condicoesda Proposicao

Cap4:194.1.8, ou seja, tal que

ρ(x∗x) = 0, x ∈ I.

Assim,

I ⊆ Lρ := x ∈ A : ρ(x∗x) = 0,

concluindo-se da maximalidade de I que I = Lρ.Represente-se por KI o subconjunto de EA definido por

KI := ν ∈ EA : I = Lν,

com Lν definido como em (Cap4:154.9) para o estado ν. Como ρ ∈ KI entao KI e nao vazio.

Dados ρ1, ρ2 ∈ KI e λ ∈]0, 1[, e imediato que para o estado

ρ = λρ1 + (1− λ)ρ2

se tem Lρ = I, donde ρ ∈ KI . Alem disso, KI e fracamente fechado na bola unitariafechada do dual de A. Efectivamente, sendo ρα uma rede em KI convergente natopologia w∗ para ρ0 ∈ EA entao, para qualquer x ∈ I,

ρ0(x∗x) = limαρα(x∗x) = 0,

logo I ⊆ Lρ0 . A maximalidade de I implica que I = Lρ0 , ou seja, ρ0 ∈ KI . KI e entaoum conjunto nao vazio, convexo e, do Teorema de Alaoglu, fracamente compacto nodual de A. Pelo Teorema de Krein-Milman KI tem pelo menos um ponto extremo ρI .Suponha-se finalmente que

ρIl = λν1 + (1− λ)ν2,

com ν1, ν2 ∈ EA e λ ∈]0, 1[. E claro que

I = LρI ⊆ Lνi , i = 1, 2,

e novamente da maximalidade de I obtem-se I = Lν1 = Lν2 , ou seja ν1, ν2 ∈ KI .Como ρIl e um ponto extremo de KI entao ρIl = ν1 = ν2. Assim se mostra que ρI eum estado puro de A para o qual se tem I = LρI .

Cap4:14 Proposicao 4.1.14. Se A e uma algebra C∗ com unidade entao um elemento a ∈ Ae invertıvel a esquerda (direita) se e so se para todo o estado puro ρ de A se temρ(a∗a) > 0 (ρ(aa∗) > 0).


Dem. Sendo a ∈ A um elemento invertıvel a esquerda suponha-se que existe umestado puro ρ ∈ PA tal que ρ(a∗a) = 0. Nestas condicoes tem-se que o elemento apertence a Lρ := x ∈ A : ρ(x∗x) = 0, um ideal esquerdo, proprio e fechado de A.Este facto conduz a uma contradicao uma vez que a e invertıvel a esquerda e a unidadee /∈ Lρ.

Reciprocamente, suponha-se que a ∈ A nao e invertıvel a esquerda. Assim a per-tence ao ideal esquerdo proprio de A,

J := Aa = xa : x ∈ A.

Sendo IJ o ideal esquerdo maximal de A que contem J , segue da ProposicaoCap4:134.1.13

que existe um estado puro ρ ∈ PIJ tal que

IJ = x ∈ A : ρIJ (x∗x) = 0.

Como a ∈ J ⊆ IJ entao ρIJ (a∗a) = 0.Analogamente se estabelece o resultado para a invertibilidade a direita.

Como corolario da ProposicaoCap4:144.1.14 obtem-se de imediato o resultado:

Corolario 4.1.15. Sendo A uma algebra C∗ com unidade entao um elemento a ∈ Ae invertıvel em A se e so se para todo o estado puro ρ ∈ PA, se tem

ρ(a∗a) > 0 e ρ(aa∗) > 0.

Termina-se esta seccao com a caracterizacao dos estados puros das subalgebrasC∗ de L(H), a algebra dos operadores lineares limitados num espaco de Hilbert H.Comece-se por considerar o resultado auxiliar:

Cap4:11 Lema 4.1.16. Seja A uma algebra C∗ com unidade e S ⊆ EA um subconjunto naovazio de estados em A para o qual se tenha que se a ∈ A e um elemento hermitianotal que ρ(a) ≥ 0 para todo o ρ ∈ S entao a ∈ A+. Entao:

(i) EA e o fecho fraco do envolucro convexo de S, EA = Co(S)∗;

(ii) O fecho fraco de S contem os estados puros de A, S∗ ⊇ PA.

Dem. (i) Seja C = Co(S)∗

o fecho fraco do envolucro convexo de S. Dado queS ⊆ EA entao C ⊂ EA. Para mostrar a inclusao contraria suponha-se que existe umestado ρ ∈ EA tal que ρ /∈ C. Nestas condicoes, da teoria geral da Analise Funcional4,

4Teorema: Sejam X um espaco vectorial localmente convexo e C 6= ∅ um subconjunto de X fechadoe convexo, e x ∈ X \C. Entao existe um funcional linear contınuo τ definido em X e um numero realt tal que Re(τ(y)) < t < Re(τ(x)) para qualquer y ∈ C,

Mu1990[?].


sabe-se que existe um funcional linear fracamente contınuo θ : A∗ → C, definido nodual de A, e existe um numero real λ tal que, para qualquer ϕ ∈ C,

Re (θ(ρ)) > λ > Re (θ(ϕ)). (4.10) Cap4:111

Como θ e fracamente contınuo entao existe a ∈ A tal que θ = a, onde a(ϕ) = ϕ(a)para qualquer ϕ ∈ A∗5. Do Teorema

Cap3:76?? tem-se que a = h + ik com h e k elementos

hermitianos de A e consequentemente, para qualquer estado τ ∈ EA,

Re (θ(τ)) = Re (τ(a)) = τ(Re (a)) = τ(h). (4.11)

De (Cap4:1114.10) tem-se que, para qualquer ϕ ∈ S,

λ > Re (θ(ϕ)) = Re (ϕ(a)) = ϕ(h)

pelo queϕ(λe− h) = λ− ϕ(h) > 0.

Assim, atendendo a que λe − h e hermitiano, da hipotese do resultado conclui-se queλe− h ∈ A+ e consequentemente ρ(λe− h) ≥ 0. Entao

λ ≥ ρ(h) = Re (ρ(a)) = Re (θ(ρ)),

o que contradiz (Cap4:1114.10). Tem-se que EA ⊂ C, logo EA = C.

(ii) E consequencia imediata de (i) e do Teorema de Krein-Milman.

Fixe-se B uma subalgebra C∗ de L(H) contendo o operador identidade IH . Paracada vector unitario ξ ∈ H represente-se por ρξ o funcional linear definido em L(H)por

ρξ : L(H)→ C, T 7→ 〈Tξ, ξ〉.Claramente ρξ e um funcional linear positivo em L(H) e, dado que ‖ξ‖ = 1, ρξ e mesmoum estado em L(H). Represente-se por ρB,ξ a restricao do estado ρξ a algebra B e sejaSB o conjunto,

SB = ρB,ξ : ξ ∈ H, ‖ξ‖ = 1 ⊆ EB.

Tem-se que:

t14 Proposicao 4.1.17. Se B e uma subalgebra C∗ de L(H) contendo o operador identi-dade IH ∈ L(H) entao, para qualquer estado puro ρ ∈ PB existe uma rede ρB,ξα emSB que converge fracamente para ρ, ou seja, tal que

ρ(T ) = limξρB,ξα(T ), T ∈ B. (4.12) Cap4:12

5Teorema: Se X e um espaco vectorial normado sobre C e θ : X∗ → C e um funcional linearfracamente contınuo entao existe x ∈ X tal que θ = x, com x(ϕ) = ϕ(x) para qualquer ϕ ∈ X∗,

Mu1990[?].


Dem. Para estabelecer o resultado basta observar que o conjunto SB esta nascondicoes do Lema

Cap4:114.1.16. Efectivamente, sendo T ∈ B tal que T ∗ = T e admitindo-se

que ρB,ξ(T ) ≥ 0 para todo o ξ ∈ H com ‖ξ‖ = 1, entao

〈Tζ, ζ〉 ≥ 0, para todo ζ ∈ H,

ou seja, T e um operador positivo. Assim, segue do LemaCap4:114.1.16 que se ρ e um estado

puro em B entao ρ esta no fecho fraco do conjunto SB existindo assim uma rede ρB,ξαem SB fracamente convergente para ρ, ou seja, satisfazendo a condicao (

Cap4:124.12).

4.2 Representacoes. Construcao de Gelfand-Naimark-

Segal

4.2.1 Representacoes nao-degeneradas, cıclicas e irredutıveisSub4i

Tendo por base o conceito de representacao introduzido na SeccaoSSRep?? do Capıtulo

C2??,

inicia-se a seccao apresentando o conceito de representacao de uma algebra C∗ .

d8 Definicao 4.2.1. Sendo A uma algebra C∗, designa-se por representacao de A o par(H, π) onde H e um espaco de Hilbert e π : A → L(H) e um homomorfismo-∗ de Aem L(H).

Ao espaco de Hilbert H chama-se espaco de representacao de A e aos operado-res π(a) com a ∈ A chamam-se representantes dos elementos de A. A semelhancado mencionado na Seccao

SSRep??, designa-se muitas vezes por representacao apenas o

homomorfismo-∗ π. Uma representacao π de A diz-se nao nula se π 6= 0. Saliente-se que neste texto todas as representacoes indicadas sao nao nulas.

De acordo com o TeoremaCap3:29??, se A e uma algebra C∗ com unidade entao para

qualquer representacao (H, π) de A o homomorfismo-∗ π e contınuo. Saliente-se que omesmo se pode afirmar caso A nao tenha unidade, recorrendo-se para isso ao processode unitalizacao de A (ver exercıcio

Unit??).

Sendo A uma algebra C∗, uma representacao (H, π) de A diz-se fiel quando π einjectiva (cf. Seccao

SSRep??), ou seja, quando

Ker π = 0.

Representando por [π(A)H] o fecho do espaco linear gerado pelo conjunto

π(A)H := π(a)ξ : a ∈ A, ξ ∈ H,

4.2. REPRESENTACOES. CONSTRUCAO DE GELFAND-NAIMARK-SEGAL 17

a representacao (H, π) de A diz-se nao-degenerada se

[π(A)H] = H.

E um exercıcio simples mostrar que se (H, π) e nao-degenerada entao o unico elementode H que anula todos os operadores do contradomınio de π, π(A) = π(a) : a ∈ A,e o zero, isto e, que ⋂

a∈A

Ker π(a) = 0.

Tem-se ainda o seguinte resultado:

Cap4Id Proposicao 4.2.1. Sejam A uma algebra C∗ e eα uma aproximacao da unidade deA. Dada uma representacao (H, π) de A entao (H, π) e nao-degenerada se e so seπ(eα) converge na topologia forte de operadores para o operador identidade IH .

Dem. Supondo que limα π(eα) = IH(SOT) e imediato que [π(A)H] = H, uma vezque para qualquer ξ ∈ H se tem que ξ = limα π(eα)ξ ∈ π(A)H.

Reciprocamente, suponha-se que [π(A)H] = H. Se ξ ∈ π(A)H entao existem a ∈ Ae ζ ∈ H tais que π(a)ζ = ξ obtendo-se, da continuidade de π,

limαπ(eα)ξ = lim

απ(eαa)ζ = lim

απ(a)ζ = ξ.

Analogamente se conclui que para ξ ∈ [π(A)H], ou seja, para ξ uma combinacaolinear finita de elementos de π(A)H se tem que limα π(eα)ξ = ξ. Usando finalmente adensidade de π(A)H em H conclui-se que para qualquer ξ ∈ H se tem limα π(eα)ξ = ξ,logo limα π(eα) = IH(SOT).

Repare-se que da proposicao anterior se conclui que caso A seja uma algebra C∗

com unidade e, entao uma representacao (H, π) e nao-degenerada se e so se π(e) = IH .

Um caso particular de representacoes nao-degeneradas sao as representacoes cıclicas.Uma representacao (H, π) diz-se cıclica quando existe um vector ξ0 ∈ H, designadopor vector cıclico, tal que o conjunto

π(A)ξ0 = π(a)ξ0 : a ∈ A

e denso em H.

Sendo A uma algebra de Banach, recordem-se as definicoes de representacao alge-bricamente irredutıvel e topologicamente irredutıvel de A introduzidas na Seccao

SSRep??.

Uma representacao nao nula (H, π) de A diz-se algebricamente irredutıvel (topologi-camenete irredutıvel) quando os unicos subespacos (fechados) de H invariantes para


(H, π) sao os triviais, ou seja, sao penas H e 0. Em algebras de Banach estas duasnocoes sao em geral distintas. Surpreendentemente, quando A e uma algebra C∗ entaoas duas nocoes coincidem falando-se apenas em representacao irredutıvel. A demons-tracao deste facto necessita do teorema da densidade de Kaplansky, de forma que seraexposta como aplicacao dos resultados do proximo capıtulo. No entanto passaremosdesde ja neste capıtulo a utilizar apenas a formulacao representacao irredutıvel.

O resultado seguinte fornece duas caracterizacoes alternativas para as representacoesirredutıveis de uma algebra C∗ com unidade.

t15 Proposicao 4.2.2. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e (H, π) uma representacao(nao nula) de A. Sao equivalentes as seguintes proposicoes:

(i) (H, π) e irredutıvel;

(ii) O comutante de π(A),

[π(A)]′ := T ∈ L(H) : Tπ(a) = π(a)T, a ∈ A ,

coincide com o conjunto CIH := λIH : λ ∈ C, onde IH e o operador identidadeem L(H);

(iii) Todo o vector ξ ∈ H, nao nulo, e cıclico para (H, π).

Dem. (i)⇒(ii) Suponha-se que (H, π) e irredutıvel,e seja T ∈ L(H) um elemento quecomuta com π(a) para todo o a ∈ A. Entao T ∗ tem a mesma propriedade, assim comoT +T ∗ e T −T ∗. Logo, tendo em conta a Proposicao

Cap3:76??, e necessario apenas considerar

o caso de T ser hermiteano. As projeccoes associadas a decomposicao espectral de T(ver Seccao

Sub3.5.2??) entao comutam com π(a), o que implica que sao todas ou 0 ou I, pela

hipotese. Logo existe um λ ∈ R tal que T = λI. Fica assim demonstrado que (i)implica (ii).

(ii)⇒(i) Supondo que [π(A)]′ = CI, entao os unicos operadores de projeccao que estaoem [π(A)]′ sao os triviais e consequentemente os unicos subespacos invariantes para πsao H e 0. A representacao (H, π) e assim irredutıvel, ou seja, tem-se (ii).

(i)⇒(iii) Supondo (i), fixe-se ξ ∈ H um vector nao nulo de H. O subespaco de Hdefinido por

π(A)ξ := π(a)ξ : a ∈ A,

e invariante para a representacao π, o mesmo acontecendo ao seu fecho π(A)ξ. Conse-quentemente, π(A)ξ = 0 ou π(A)ξ = H. Como a representacao π e nao nula, entaoexistem a ∈ A e ζ ∈ H tais que π(a)ζ 6= 0 e assim π(A)ζ, que constitui tambem umsubespaco de H invariante para π, tem de ser denso em H. A representacao (H, π)e entao nao-degenerada o que implica que π(A)ξ 6= 0, uma vez que ξ 6= 0, logoπ(A)ξ = H. O elemento ξ 6= 0 e entao um vector cıclico para π.


(iii)⇒ (i). Seja M 6= 0 um subespaco fechado de H invariante para π. Sendo ξ ∈Mum elemento nao nulo, tem-se por hipotese que π(A)ξ = H o que implica M = H, poisπ(A)ξ ⊆M. A representacao (H, π) e assim irredutıvel.

De acordo com a proposicao anterior, sendo A uma algebra C∗ e (H, π) uma suarepresentacao (nao nula), tem-se a cadeia de relacoes:

(H, π) e irredutıvel ⇔ (H, π) e cıclica ⇒ (H, π) e nao-degenerada. (4.13)

A ultima implicacao nao tem recıproco direto, mas mostra-se a seguir que qualquerrepresentacao nao degenerada de uma algebra C∗ pode ser entendida como a “soma”de representacoes cıclicas. Comece-se por introduzir a nocao de soma directa de repre-sentacoes.

Sejam A uma algebra C∗ e (Hα, πα)α∈I uma famılia de representacoes de Aindexada num qualquer conjunto I. Chama-se soma directa dos espacos de Hilbert Hα,representando-se por

H =⊕α∈I

Hα,

ao espaco de Hilbert H constituıdo pelos elementos ξ = ξαα∈I , com ξα ∈ Hα paraα ∈ I e ξi 6= 0 apenas num numero contavel de elementos i ∈ I, e tal que

‖ξ‖2 =∑α∈I

‖ξα‖2α <∞,

estando o produto interno definido por

〈ξ, ζ〉H =∑α∈I

〈ξα, ζα〉α,

para ξ = ξαα∈I ∈ H e ζ = ζαα∈I ∈ H.Define-se soma directa das representacoes πα, representando-se por

π =⊕α∈I

πα,

como sendo o homomorfismo-∗

π =⊕α∈I

πα : A → L(H), a 7→ π(a) :=⊕α∈I

πα(a),

onde, para cada a ∈ A,⊕α∈I

πα(a) :⊕α∈I

Hα →⊕α∈I

Hα, ξαα∈I 7→ πα(a)ξαα∈I .


E facil verificar que (H, π) := (⊕

α∈I Hα,⊕

α∈I πα) e de facto uma representacao daalgebra C∗ A que se designa por soma directa da famılia de representacoes (Hα, πα)α∈I .

Tem-se o seguinte resultado:

Cap4:29 Teorema 4.2.3. Sejam A uma algebra C∗ e (H, π) uma sua representacao nao-degenerada.Entao π e a soma directa de uma famılia de representacoes cıclicas de A.

Dem. Fixe-se ξ1 6= 0 em H e considere o subespaco de H definido por

H1 := π(A)ξ1 = π(a)ξ1 : a ∈ A.

H1 e um subespaco fechado de H invariante para a representacao π. Se H1 = H entaoπ e uma representacao cıclica e o resultado esta estabelecido. Caso H1 6= H entao ovector ξ1 e cıclico para a representacao

π1 : A → L(H1), a 7→ π1(a) := π|H1(a),

onde π|H1(a) designa a restricao do operador π(a) ao espaco de Hilbert H1. Como

H1 6= H entao o seu ortogonal H⊥1 e nao nulo. Fixe-se ξ2 ∈ H⊥1 tal que ξ2 6= 0 econsidere-se o subespaco invariante para π,

H2 := π(A)ξ2 = π(a)ξ2 : a ∈ A.

O vector ξ2 e agora um vector cıclico para a representacao

π2 : A → L(H2), a 7→ π2(a) := π|H2(a),

onde π|H2(a) designa a restricao do operador π(a) ao espaco de Hilbert H2. Dado que

para quaisquer a, b ∈ A,

〈π(a)ξ1, π(b)ξ2〉 = 〈π(b∗a)ξ1, ξ2〉 = 0,

o conjunto H1, H2 e constitutıdo por subespacos de H, mutuamente ortogonais.Considere-se agora F o conjunto de todas as famılias Hα constituıdas por subespacosfechados e mutuamente ortogonais em H, invariantes para a representacao π e para osquais as representacoes

πα : A → L(Hα), a 7→ πα(a) := π|Hα (a), (4.14) cap4:4

sao cıclicas. O conjunto F e claramente nao vazio, uma vez que H1, H2 esta em F,e com a relacao de inclusao define um conjunto parcialmente ordenado. E obvio quequalquer cadeia constituıda por familias Hα ∈ F possui uma famılia majorante, dada


pela uniao dos conjuntos de todas as famılias da cadeia, e assim, de acordo com o Lemade Zorn, F tem uma famılia maximal Hα : α ∈ Λ. Tem-se que

H =⊕α∈Λ

Hα, (4.15) Cap4:3

pois caso contrario existiria um elemento ξ0 6= 0 no ortogonal da soma directa⊕

α∈ΛHα

e, considerando o subespaco H0 := π(A)ξ0 = π(a)ξ0 : a ∈ A, a famılia Hα : α ∈Λ∪H0 estaria em F, contradizendo o facto de Hα : α ∈ Λ ser maximal. A condicao(Cap4:34.15) e entao satisfeita e a representacao (H, π) e a soma directa das representacoes

da famılia (Hα, πα) : α ∈ Λ, onde πα designa a representacao cıclica defininida comoem (

cap4:44.14), dada pelas restricoes dos operadores π(a) ao espaco de Hilbert Hα.

4.2.2 Representacoes unitariamente equivalentessubsec4.2.2

Numa algebra C∗ existem representacoes que a menos dos espacos de Hilbert preservamo mesmo tipo de propriedades geometricas. Surge assim o conceito de representacoesunitariamente equivalentes :

Definicao 4.2.2. Numa algebra C∗ A, duas representacoes (H1, π1) e (H2, π2) dizem-seunitariamente equivalentes se existir um operador unitario U : H1 → H2 tal que

π2(a) = Uπ1(a)U∗, a ∈ A.

Repare-se que se (H, π) e uma representacao de uma algebra C∗ A entao, paraqualquer operador unitario U ∈ L(H), o par (H, πU), onde πU e o homomorfismo-∗

πU : A → L(H), πU(a) = Uπ(a)U∗,

define uma representacao de A que e unitariamente equivalente a (H, π).

A nocao de equivalencia unitaria define uma relacao de equivalencia no conjuntodas representacoes de uma algebra C∗. E um exercıcio simples mostrar que duas re-presentacoes unitariamente equivalentes sao simultaneamente fieis, nao-degeneradas,cıclicas ou irredutıveis.

Dados A uma algebra C∗ e (H, π) uma sua representacao, para cada ξ ∈ H ficabem definido em A o funcional linear positivo,

ρπ,ξ : A → C, a 7→ 〈π(a)ξ, ξ〉, (4.16) Cap4:6


designado por coeficiente da representacao π associado ao elemento ξ.

Como se vera a seguir, os coeficientes de uma representacao permitem caracteriza-laa menos de operadores unitarios:

Cap4:5 Proposicao 4.2.4. Se A e uma algebra C∗ com unidade, e (H1, π1) e (H2, π2) saoduas representacoes cıclicas de A com vectores cıclicos ξ1 e ξ2, respectivamente, entaosao equivalentes as seguintes afirmacoes:

(i) Existe um operador unitario U : H1 → H2 tal que U(ξ1) = ξ2 satisfazendo, paraqualquer a ∈ A

π2(a) = Uπ1(a)U∗;

(ii) Os coeficientes ρπ1,ξ1 e ρπ2,ξ2 sao iguais, ou seja, para qualquer a ∈ A tem-se que

〈π1(a)ξ1, ξ1〉 = 〈π2(a)ξ2, ξ2〉.

Dem. Um simples calculo permite afirmar que (i) implica (ii). Reciprocamentesuponha que se tem (ii), ou seja, que para qualquer a ∈ A se tem

〈π1(a)ξ1, ξ1〉 = 〈π2(a)ξ2, ξ2〉.

Defina-se o operador linear

U0 : π1(A)ξ1 → H2, π1(a)ξ1 7→ π2(a)ξ2, a ∈ A,

que e isometrico uma vez que para qualquer a ∈ A,

‖π2(a)ξ2‖2 = 〈π2(a∗a)ξ2, ξ2〉 = 〈π1(a∗a)ξ1, ξ1〉 = ‖π1(a)ξ1‖2.

O operador U0 admite assim uma extensao unica a um operador isometrico U : H1 →H2. Dado que U(π1(A)ξ1) = π2(A)ξ2 e os subespacos π1(A)ξ1 e π2(A)ξ2 sao respecti-vamente densos em H1 e H2, entao U(H1) = H2 e U e um operador unitario.

Para quaisquer a, b ∈ A, tem-se

(Uπ1(a))π1(b)ξ1 = U0π1(ab)ξ1 = π2(ab)ξ2 = π2(a)U0π1(b)ξ1 = (π2(a)U)π1(b)ξ1,

concluindo-se por densidade que Uπ1(a) = π2(a)U, logo π2(a) = Uπ1(a)U∗ para qual-quer a ∈ A. Observe-se que Uξ1 = ξ2 uma vez que

π2(a)Uξ1 = Uπ1(a)ξ1 = π2(a)ξ2,

implicaπ2(a)(Uξ1 − ξ2) = 0,

para todo a ∈ A, e dado que π2 e nao-degenerada entao Uξ1 − ξ2 = 0.


4.2.3 Construcao de Gelfand-Naimark-Segal. 2oTeorema deGelfand-Naimark

SS-GNS

Sendo A uma algebra C∗ com unidade e (H, π) uma sua representacao, para cadaξ ∈ H definiu-se (

Cap4:64.16) o coeficiente da representacao π associado ao elemento ξ. Na

presente secccao vai apresentar-se a construcao de Gelfand-Naimark-Segal (GNS ) queassocia a qualquer funcional linear positivo ρ, de uma algebra C∗ com unidade, umarepresentacao cıclica (Hρ, πρ), a representacao de GNS associada a ρ, que admite ρcomo um seu coeficiente. Definindo a representacao universal como a soma directade todas as representacoes de GNS associadas aos estados em A, demonstra-se no fi-nal que a mesma constitui uma representacao fiel estabelecendo-se o 2o Teorema deGelfand-Naimark.

Fixem-se A uma algebra C∗ com unidade e ρ um funcional linear positivo em A.Considere-se o subconjunto de A definido por

Lρ = a ∈ A : ρ(a∗a) = 0 .

Sendo, do CorolarioCap3:324.1.6, Lρ um ideal esquerdo e fechado de A considere-se o espaco

quociente A/Lρ e a aplicacao

〈., .〉ρ : A/Lρ ×A/Lρ → C, (a+ Lρ, b+ Lρ) 7→ 〈a+ Lρ, b+ Lρ〉ρ := ρ(b∗a),

que define um producto interno em A/Lρ.Observe-se que 〈a + Lρ, b + Lρ〉ρ nao depende dos representantes escolhidos nas

classes a + Lρ e b + Lρ. Efectivamente, se c1 e c2 sao elementos de Lρ, resulta dadesigualdade de Cauchy-Schwartz que, para qualquer d ∈ A

ρ(dc1) = ρ(dc2) = 0,

donde,

〈a+ c1 + Lρ, b+ c2 + Lρ〉ρ = ρ((b+ c2)∗(a+ c1))

= ρ(b∗a) + ρ(b∗c1) + ρ(c∗2a) + ρ(c∗2c1)

= ρ(b∗a) = 〈a+ Lρ, b+ Lρ〉ρ.

Represente-se por Hρ o espaco de Hilbert resultante da completacao do espaco pre-hilbertiano (A/Lρ, 〈., .〉ρ), e por ‖.‖ρ a norma associada ao produto interno 〈., .〉ρ.

Para cada a ∈ A defina-se o operador linear

π(a) : A/Lρ → A/Lρ, b+ Lρ 7→ π(a)(b+ Lρ) = ab+ Lρ, (4.17) Cap4:rr


que constitui um operador limitado em A/Lρ ja que, atendendo a condicao (ii) doCorolario

Cap3:324.1.6, se tem para qualquer b ∈ A,

‖π(a)(b+ Lρ)‖2ρ = ‖ab+ Lρ‖2

ρ = ρ(b∗a∗ab)

≤ ‖a∗a‖ρ(b∗b) = ‖a‖2‖b+ Lρ‖2ρ,

oncluındo-se que ‖π(a)‖ ≤ ‖a‖. O operador π(a) pode assim ser estendido a um ope-rador linear limitado em Hρ que se representa por πρ(a),

πρ(a) : Hρ → Hρ. (4.18) Cap4:rrr

Finalmente, designa-se por representacao de Gelfand-Naimark-Segal associada aofuncional positivo ρ, o homomorfismo-∗

πρ : A → L(Hρ), a 7→ πρ(a).

Para quaisquer a, b, c ∈ A tem-se

πρ(ab)(c+ Lρ) = abc+ Lρ = πρ(a)(bc+ Lρ) = πρ(a)πρ(b)(c+ Lρ),

e

〈πρ(a)(b+ Lρ), c+ Lρ〉ρ = 〈ab+ Lρ, c+ Lρ〉ρ = ρ(c∗ab)

= 〈b+ Lρ, a∗c+ Lρ〉ρ = 〈b+ Lρ, πρ(a

∗)(c+ Lρ)〉ρ,

pelo queπρ(ab) = πρ(a)πρ(b) e πρ(a

∗) = πρ(a)∗, a, b ∈ A.

Observe-se que a representacao de Gelfand-Naimark-Segal associada ao funcionallinear positivo ρ coincide, em A/Lρ, com a representacao regular esquerda de A indu-zida pelo ideal esquerdo Lρ introduzida na Seccao

SSRep?? em (

rresquerda??).

Resumindo o anterior processo de construcao, tem-se o seguinte resultado:

t16 Teorema 4.2.5 (Representacao de Gelfand-Naimark-Segal). A cada funcional linearpositivo ρ de uma algebra C∗ com unidade A corresponde um espaco de Hilbert Hρ, umvector ξρ ∈ Hρ e um homomorfismo-∗

πρ : A → L(Hρ),

tal que

(i) ρ(a) = 〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ, para qualquer a ∈ A;


(ii) πρ(a)ξρ : a ∈ A e denso em Hρ.

Dem. Sendo (Hρ, πρ) a representacao de GNS associada ao funcional positivo ρ e ea unidade de A, considere-se a imagem de e em A/Lρ,

ξρ = e+ Lρ.

Para cada a ∈ A, tem-se que

〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ = 〈a+ Lρ, e+ Lρ〉ρ = ρ(a),

garantindo-se assim a afirmacao (i). A afirmacao (ii) resulta de imediato da definicaode Hρ.

Quanto a relacao entre os nucleos Ker πρ e Ker ρ, tem-se que:

Cap3:33 Proposicao 4.2.6. Se A e uma algebra C∗ com unidade, ρ e um funcional linearpositivo em A e (Hρ, πρ) e a representacao de GNS associada a ρ, entao Ker πρ e omaior ideal bilateral fechado de A que esta contido em Ker ρ.

Dem. Da continuidade do homomorfismo-∗ πρ resulta que o ideal bilateral Ker πρe fechado em A. Alem disso, da afirmacao (i) do Teorema

t164.2.5 e claro que Ker πρ ⊆

Ker ρ.Seja J um ideal bilateral fechado de A tal que ρ(J ) = 0 e mostre-se que J ⊆

Ker πρ. Para tal defina-se na algebra C∗ A/J o funcional linear positivo

ρJ : A/J → C, a+ J 7→ ρ(a).

Observe-se que sendo ΦJ : A → A/J o homomorfismo canonico de A em A/J entao

ρ(a) = ρJ (Φ(a)), a ∈ A. (4.19) Cap4:7

A par da representacao (Hρ, πρ) considere-se (HρJ , πρJ ) a representacao de GNS asso-ciada ao estado ρJ . Para qualquer a ∈ A,

ρ(a) = 〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ e ρJ (a+ J ) = 〈πρJ (a+ J )ξρJ , ξρJ 〉ρJ ,

obtendo-se de (Cap4:74.19) que

〈πρJ (a+ J )ξρJ , ξρJ 〉ρJ = 〈πρJ (Φ(a))ξρJ , ξρJ 〉ρJ= ρJ (Φ(a)) = ρ(a) = 〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ.

(4.20) Cap4:9

Sendo (HρJ , πρJ ) uma representacao cıclica de A/J com vector cıclico ξρJ , entao(HρJ , πρJ Φ) e uma representacao cıclica de A com o mesmo vector cıclico. Assim,


atendendo a igualdade (Cap4:94.20) e a Proposicao

Cap4:54.2.4, as representacoes (HρJ , πρJ Φ) e

(Hρ, πρ) sao unitariamente equivalentes. Como consequencia,

ρ(J ) = 0 ⇒ (πρJ Φ)(J ) = 0 ⇒ πρ(J ) = 0,

ou seja, J ⊆ Ker πρ.

No resultado que se segue estabelece-se, a menos de uma equivalencia unitaria,o recıproco do Teorema

t164.2.5 garantindo-se que para qualquer representacao cıclica

(H, π), de uma algebra C∗ com unidade A, existe um funcional linear positivo ρ em Atal que (H, π) e unitariamente equivalente a representacao de Gelfand-Naimark-Segal(Hρ, πρ) associada a ρ.

Cap4:10 Proposicao 4.2.7. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e (H, π) uma sua repre-sentacao cıclica. Seja ξ o vector cıclico de (H, π) e ρ := ρπ,ξ o coeficiente da repre-sentacao π associado ao elemento ξ e definido como em (

Cap4:64.16), ou seja,

ρ : A → C, a 7→ 〈π(a)ξ, ξ〉.

Se (Hρ, πρ) designar a representacao de Gelfand-Naimark-Segal associada a ρ, entao

(H, π) e (Hρ, πρ)

sao unitariamente equivalentes.

Dem. Do Teoremat164.2.5 tem-se que para qualquer a ∈ A,

ρ(a) = 〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ,

onde ξρ designa o vector cıclico da representacao (Hρ, πρ). Da definicao de ρ obtem-seentao

〈π(a)ξ, ξ〉 = 〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ, a ∈ A,o que garante, atendendo a Proposicao

Cap4:54.2.4, que (H, π) e (Hρ, πρ) sao unitariamente

equivalentes.

Sendo A uma algebra C∗ com unidade, considere

(Hρ, πρ)ρ∈EA ,

a famılia de todas as representacoes de GNS associadas aos estados de A. A somadirecta das representacoes da famılia indicada chama-se representacao universal de Ae representa-se por

(Hu, πu) := (⊕ρ∈EA

Hρ,⊕ρ∈EA

πρ).


A representacao universal de A permite estabelecer um dos resultados mais impor-tantes da teoria das algebras C∗.O 2o Teorema de Gelfand-Naimark, tambem conhecidopor Teorema da representacao de Gelfand-Naimark.

t18 Teorema 4.2.8 (2o Teorema de Gelfand Naimark). Toda a algebra C∗ com unidade eisometricamente isomorfa a uma subalgebra C∗ de L(H), com H um espaco de Hilbert.

Dem. SejaA uma algebra C∗ com unidade e (Hu, πu) := (⊕

ρ∈EAHρ,

⊕ρ∈EA

πρ) a suarepresentacao universal. Em primeiro lugar, verifique-se que πu e uma representacaofiel. Para tal suponha-se que πu(a) = 0. Nestas condicoes tem-se, para qualquer estadoρ ∈ EA, que πρ(a) = 0 pelo que

ρ(a∗a) = 〈πρ(a∗a)ξρ, ξρ〉ρ = 〈πρ(a)ξρ, πρ(a)ξρ〉ρ = ‖πρ(a)ξρ‖2ρ = 0.

No entanto, de acordo com a Proposicaochap3:264.1.10, se a for nao nulo entao existe em A

um estado ρ satisfazendoρ(a∗a) = ‖a∗a‖,

obtendo-se uma contradicao. Conclui-se assim que a = 0 e o homomorfismo πu, sendoinjectivo, e isometrico pelo Corolario

cIsomHom??.

Do resultado acima pode-se ainda extrair o seguinte:

c5 Corolario 4.2.9. A representacao universal de uma algebra C∗ com unidade e fiel.

Toda a algebra C∗ com unidade admite pois, de acordo com o 2oteorema de Gelfand-Naimark, uma realizacao como subalgebra C∗ de uma algebra de operadores lineareslimitados L(H), com H um espaco de Hilbert. Assim, do 1o e 2o Teoremas de Gelfand-Naimark conclui-se que as algebras C∗ de funcoes contınuas em espacos de Haudorffcompactos, C(X), e as subalgebras C∗ das algebras de operadores lineares limitadosL(H), com H espacos de Hilbert, sao modelos para as algebras C∗ com unidade.

4.2.4 Representacoes irredutıveis e estados puros

As nocoes de estado puro numa algebra C∗ e de irredutibilidade da representacao deGNS a ele associado estao intimamente relacionadas. Sendo A uma algebra C∗ mostra-se nesta seccao que um estado ρ em A e puro se e so se (Hρ, πρ) e uma representacaoirredutıvel. Como consequencia deste facto conclui-se no final da seccao que os estadopuros de uma algebra C∗ comutativa e com unidade sao exactamente os funcionaislineares multiplicativos nao nulos definidos na algebra.

Comece-se por estabelecer o seguinte resultado.


l2Cap3:35 Lema 4.2.10. Sejam A uma algebra C∗ com unidade, ρ um estado em A, (Hρ, πρ) arepresentacao de GNS associada a ρ e w um funcional linear positivo tal que ρ ≥ w.Entao existe um operador Tρ,w ∈ L(Hρ) tal que:

(i) IHρ ≥ Tρ,w ≥ 0;

(ii) Tρ,w pertence ao comutante de πρ(A), ou seja,

Tρ,w ∈ [πρ(A)]′ := T ∈ L(Hρ) : TA = AT, A ∈ πρ(A);

(iii) w(a) = 〈Tρ,wπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ, para qualquer a ∈ A.

Dem. Considere-se em A/Lρ a forma sesquilinear definida por

Iρ,w : A/Lρ ×A/Lρ → C, (a+ Lρ, b+ Lρ) 7→ w(b∗a).

Para quaisquer a, b ∈ A, tem-se

|Iρ,w(a+ Lρ, b+ Lρ)|2 = |w(b∗a)|2 ≤ w(a∗a)w(b∗b) ≤ ρ(a∗a)ρ(b∗b)

≤ ‖a+ Lρ‖2ρ ‖b+ Lρ‖2

ρ,

pelo que Iρ,w define uma forma sesquilinear limitada que admite uma extensao a uma

forma sesquilinear Iρ,w definida em Hρ e satisfazendo ‖Iρ,w‖ = ‖Iρ,w‖ ≤ 1. Peloteorema da representacao de Riesz, existe um operador Tρ,w ∈ L(Hρ) tal que

Iρ,w(x, y) = 〈Tρ,wx, y〉ρ, x, y ∈ Hρ,

com ‖Tρ,w‖ = ‖Iρ,w‖.Para quaisquer a, b ∈ A, atendendo a definicao dos operadores πρ(a) e πρ(b) em

(Cap4:rr4.17) e (

Cap4:rrr4.18), tem-se

w(b∗a) = Iρ,w(a+ Lρ, b+ Lρ) = 〈Tρ,w(a+ Lρ), b+ Lρ〉ρ

= 〈Tρ,wπρ(a)ξρ, πρ(b)ξρ〉ρ,(4.21) cap3:34

donde,

〈Tρ,w(a+ Lρ), a+ Lρ〉ρ = w(a∗a) ≥ 0,

para quaisquer a ∈ A, e assim Tρ,w e um operador positivo. Como ‖Tρ,w‖ ≤ 1 entaoσ(Tρ,w) ⊆ [0, 1] e σ(IHρ − Tρ,w) = 1 − σ(Tρ,w) ⊆ [0, 1] concluindo-se que tambemIHρ − Tρ,w e positivo. O operador Tρ,w verifica assim a afirmacao (i).


Para mostrar que Tρ,w satisfaz (ii), ou seja, que Tρ,w pertence ao comutante deπρ(A), observe-se que para quaisquer a, b, c ∈ A,

〈Tρ,wπρ(a)(b+ Lρ), c+ Lρ〉ρ = 〈Tρ,w(ab+ Lρ), c+ Lρ〉ρ = w(c∗ab)

= 〈Tρ,w(b+ Lρ), a∗c+ Lp〉ρ

= 〈Tρ,w(b+ Lρ), πρ(a∗)(c+ Lρ)〉ρ

= 〈πρ(a)Tρ,w(b+ Lρ), c+ Lρ〉ρ,

o que permite concluir que

πρ(a)Tρ,w = Tρ,wπρ(a) , a ∈ A.

Particularizando em (cap3:344.21) b = e tem-se, para qualquer a ∈ A,

w(a) = 〈Tρ,wπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ,

estabelecendo-se (iii).

A relacao entre estado puro e irredutibilidade da representacao de Gelfand-Naimark-Segal associada pode agora ser estabelecida.

t19Cap3:36 Teorema 4.2.11. Seja A uma algebra C∗ com unidade e. Entao um estado ρ em A epuro se e so se a representacao de Gelfand-Naimark-Segal (Hρ, πρ) e irredutıvel.

Dem. Sendo ρ um estado puro mostre-se que o comutante de πρ(A) e trivial, ouseja, que [πρ(A)]′ = CIHρ . Para tal considere-se T ∈ L(Hρ) tal que T 6= 0, T 6= IHρ ,0 ≤ T ≤ IHρ e T ∈ [πρ(A)]′ e definam-se em A os funcionais lineares

θ1 : A → C, a 7→ 〈Tπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ,

θ2 : A → C, a 7→ 〈(IHρ − T )πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ,

onde ξρ = e+ Lρ e o vector cıclico da representacao (Hρ, πρ). Para qualquer a ∈ A,

θ1(a∗a) = 〈Tπρ(a∗a)ξρ, ξρ〉ρ = 〈πρ(a∗a)Tξρ, ξρ〉ρ

= 〈πρ(a)Tξρ, πρ(a)ξρ〉ρ = 〈Tπρ(a)ξρ, πρ(a)ξρ〉ρ ≥ 0,

o que permite concluir que θ1 e um funcional linear positivo. Analogamente se provaque θ2 e um funcional positivo.

Atendendo a que ρ = θ1 + θ2, entao

‖θ1‖+ ‖θ2‖ = θ1(e) + θ2(e) = ρ(e) = ‖ρ‖ = 1,


com ‖θ1‖ 6= 0 e ‖θ2‖ 6= 0 ja que T 6= 0 e T 6= IHρ . Consequentemente,

ρ = θ1 + θ2 = ‖θ1‖(‖θ1‖−1θ1) + ‖θ2‖(‖θ2‖−1θ2),

com ‖θ1‖−1θ1 e ‖θ2‖−1θ2 estados em A. Como os estados puros de A sao pontos extre-mos de EA, o conjunto dos estados em A, entao

ρ = ‖θ1‖−1θ1 ⇔ θ1 = ‖θ1‖ρ.

Assim, de acordo com a definicao de θ1,

〈Tπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ = θ1(a) = ‖θ1‖ρ(a) = 〈‖θ1‖πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ,

para todo o a ∈ A. Consequentemente, resulta da definicao de πρ e do facto de T ∈[πρ(A)]′ que, para quaisquer a, b ∈ A,

〈T (a+ Lρ), b+ Lρ〉ρ = 〈Tπρ(a)ξρ, πρ(b)ξρ〉ρ

= 〈Tπρ(b∗a)ξρ, ξρ〉ρ = 〈‖θ1‖πρ(b∗a)ξρ, ξρ〉ρ

= 〈‖θ1‖πρ(a)ξρ, πρ(b)ξρ〉ρ = 〈‖θ1‖I(a+ Lρ), b+ Lρ〉ρ,

o que permite concluir, dado que A/Lρ e denso em Hρ, que

T = ‖θ1‖IHρ ∈ CIHρ .

Ora, sendo T ∈ L(Hρ) um operador positivo tal que T 6= 0 e T ∈ [πρ(A)]′, escolhendoK > 0 suficientemente grande tem-se que TK = 1

KT satisfaz TK 6= 0, TK 6= IHρ ,

0 ≤ TK ≤ I e TK ∈ Com(πρ(A)). O paragrafo anterior permite entao garantir queTK ∈ CIHρ , ou seja, que T ∈ CIHρ . Se todos os operadores positivos pertencentes a[πρ(A)]′ estao em CIHρ entao, com auxılio da Proposicoes

p3??, conclui-se que qualquer

operador hermitiano em [πρ(A)]′ ainda esta em CIHρ e usando a ProposicaoCap3:76?? o

resultado estende-se a todos os operadores de [πρ(A)]′. Tem-se assim que [πρ(A)]′ ⊂CIHρ , ou seja, Com(πρ(A)) = CIHρ e a reprepresentacao (Hρ, πρ) e, de acordo com aProposicao

t154.2.2, uma representacao irredutıvel.

Reciprocamente, suponha-se que (Hρ, πρ) e uma representacao irredutıvel, ou seja,admita-se que Com(πρ(A)) = CIHρ e prove-se que ρ e um estado puro em A. Considere-se entao w um funcional linear positivo tal que

ρ ≥ w.

De acordo com o LemaCap3:354.2.10, existe Tρ,w ∈ L(Hρ) tal que 0 ≤ Tρ,w ≤ IHρ , T ∈ [πρ(A)]′

e satisfaz, para qualquer a ∈ A,

w(a) = 〈Tρ,wπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ.


Se Tρ,w ∈ [πρ(A)]′ entao Tρ,w = λIHρ com λ ∈ C. Dado que 0 ≤ T ≤ IHρ entao λ ∈ [0, 1]tendo-se, para qualquer a ∈ A,

w(a) = 〈Tπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ = 〈λπρ(a)ξρ, ξρ〉ρ

= λ〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ = λρ(a).

O estado ρ e entao um estado puro em A e o resultado esta estabelecido.

Deduz-se do TeoremaCap3:364.2.11 e da Proposicao

Cap4:104.2.7 que caso se pretenda obter um

estado puro em A, basta para tal considerar um coeficiente de uma representacaoirredutıvel A associado a um elemento unitario do espaco de representacao:

CorXX Corolario 4.2.12. Se A e uma algebra C∗ com unidade e (H, π) e uma sua repre-sentacao irredutıvel entao, para qualquer ξ ∈ H com ‖ξ‖ = 1, o coeficiente da repre-sentacao π associado ao elemento ξ, definido como em (

Cap4:64.16) por

ρπ,ξ : A → C, a 7→ 〈π(a)ξ, ξ〉,

e um estado puro em A.

Termina-se a seccao com uma das consequencias mais importantes do TeoremaCap3:364.2.11. Numa algebra C∗ comutativa com unidade os estados puros e os funcionaislineares multiplicativos nao nulos estao relacionados, tendo-se que:

t20 Proposicao 4.2.13. Se A e uma algebra C∗ comutativa e com unidade entao

PA = MA,

ou seja, o conjunto dos estados puros em A coincide com o conjunto dos funcionaislineares multiplicativos nao nulos de A.

Dem. Sendo ρ ∈ PA, resulta do TeoremaCap3:364.2.11 que (Hρ, πρ) e uma representacao

irredutıvel. Da Proposicaot154.2.2 tem-se que [πρ(A)]′ = CIHρ e dado que A e comutativa

entaoπρ(A) ⊆ [πρ(A)]′ = CIHρ .

Para quaisquer a, b ∈ A existem assim constantes λ, β ∈ C tais que

πρ(a) = λIHρ e πρ(b) = βIHρ .

Consequentemente, dado que 〈ξρ, ξρ〉ρ = 1,

ρ(ab) = 〈πρ(ab)ξρ, ξρ〉ρ = 〈πρ(a)πρ(b)ξρ, ξρ〉ρ = 〈λβξρ, ξρ〉ρ

= λ〈βξρ, ξρ〉ρ = λ〈ξρ, ξρ〉ρ〈βξρ, ξρ〉ρ

= 〈πρ(a)ξρ, ξρ〉ρ〈πρ(b)ξρ, ξρ〉ρ

= ρ(a)ρ(b).


e ρ e assim um funcional multiplicativo nao nulo.Suponha-se agora que ρ ∈ MA e considere-se w um qualquer funcional linear posi-

tivo tal queρ ≥ w.

Sendo a ∈ Ker ρ entao ρ(a∗a) = 0 e w(a∗a) = 0 e, da desigualdade de Cauchy-Schwartz,

|w(a)|2 ≤ w(a∗a)w(e),

pelo que a ∈ Ker w. Tem-se que Ker ρ ⊆ Ker w e sendo a0 ∈ A \ 0 um elemento talque ρ(a0) = 1, entao

a− ρ(a)a0 ∈ Ker ρ ⊆ Ker w,

logow(a) = w(a0)ρ(a), a ∈ A.

Fazendo λ = w(a0) tem-se entao que w = λρ.Dado que ρ(a0) = 1, da multiplicatividadede ρ tem-se que ρ(a∗0a0) = 1, e a condicao 0 ≤ w(a∗0a0) ≤ ρ(a∗0a0) = 1 implica

0 ≤ w(a∗0a0) = λρ(a∗0a0) = λ ≤ 1.

Assim se conclui que os unicos funcionais lineares positivos majorados por ρ sao dotipo λρ, com λ ∈ [0, 1], ou seja, ρ ∈ PA.

4.2.5 Extensoes e restricoes de representacoes

Atendendo a importancia na teoria geral de representacoes, aborda-se nesta seccao osproblemas de extensao e de restriccao de representacoes em algebras C∗.

Sendo A uma algebra C∗ e (H, π) uma sua representacao, e claro que se B designaruma subalgebra C∗ de A e X um subespaco fechado de H invariante para o conjuntoπ(B), ou seja, tal que π(b)X ⊂ X para qualquer b ∈ B, entao a aplicacao

πB,X : B → L(X), b 7→ π(b)|X , (4.22) Cap4:tt

onde π(b)|X designa a restricao do operador π(b) ao espaco X, define uma representacao

da algebra B no espaco de Hilbert X. A representacao (X, πB,X) chama-se subrepre-sentacao de (H, π) associada a subalgebra B e ao espaco de Hilbert X. Quando A = Bescreve-se, por simplicidade de notacao, πB,X = πX e (X, πB,X) = (X, πX). QuandoX = H escreve-se πB,X = πB e (X, πB,X) = (X, πB). Naturalmente dize-se que a re-sentacao (H, π) e uma extensao de (X, πB,X).


Saliente-se que nem sempre a existencia de uma representacao de uma subalgebraC∗ de A se pode estender a uma representacao da algebra A. Fornecer condicoessuficientes e entender em que sentido tal extensao existe e o objectivo desta seccao.Comece-se por com seguinte resultado:

Cap4:33 Teorema 4.2.14. Sejam A uma algebra C∗, J um ideal bilateral fechado de A e(H, πJ ) uma representacao nao-degenerada de J . Entao existe uma unica representacao(H, π) de A que estende (H, πJ ) e satisfaz

π(a)πJ (b) = πJ (ab), a ∈ A, b ∈ J . (4.23) Cap4:28

Dem. Comece-se por observar que uma vez que J e um ideal bilateral de A entaoqualquer extensao (H, π) de (H, πJ ) satisfaz a condicao (

Cap4:284.23). Efectivamente, para

quaisquer a ∈ A e b ∈ J ,

π(a)πJ (b) = π(a)π(b) = π(ab) = πJ (ab),

pois ab ∈ J . Analise-se de seguida a existencia e a unicidade dessa extensao.Suponha-se que (H, πJ ) e uma representacao cıclica e seja ξ0 ∈ H um seu vector

cıclico. Fixando a ∈ A, prova-se a seguir que existe um operador π(a) ∈ L(H) tal quepara qualquer b ∈ J , se tem

π(a)πJ (b) = πJ (ab). (4.24) Cap4:26

Para tal considere a aplicacao linear

πJ (b)ξ0 7→ πJ (ab)ξ0, b ∈ J , (4.25) Cap4:27

e seja eα uma aproximacao da unidade em J (ver TeoremaCap3:55??). Para qualquer b ∈ J

tem-se que ‖eαb− b‖ →α

0, o que implica

‖πJ (ab)ξ0 − πJ (aeαb)ξ0‖ →α

0.

Assim,

‖πJ (ab)ξ0‖ = limα‖πJ (aeαb)ξ0‖ ≤ sup

α‖πJ (aeαb)ξ0‖

≤ supα‖πJ (aeα)‖‖πJ (b)ξ0‖ ≤ sup

α‖a‖‖eα‖‖πJ (b)ξ0‖ ≤ ‖a‖‖πJ (b)ξ0‖,

e dado que πJ (J )ξ0 = H, entao a aplicacao linear em (Cap4:274.25) admite uma unica extensao

a um operador linear limitado π(a) ∈ L(H) com ‖π(a)‖ ≤ 1. De acordo com (Cap4:274.25)

e facil verificar que operador π(a) satisfaz a igualdade (Cap4:264.24) para os vectores z ∈ H


da forma z = πJ (c)ξ0, com c ∈ J . Por densidade conclui-se que a igualdade (Cap4:264.24) e

verdadeira para qualquer elemento de H. A aplicacao

π : A → L(H), a 7→ π(a),

satisfaz assim a condicao (Cap4:284.23). Como consequencia, para quaisquer c, b ∈ J tem-se

π(c)πJ (b)ξ0 = πJ (cb)ξ0 = πJ (c)πJ (b)ξ0, c ∈ J ,

pelo que π(c) = πJ (c), uma vez que ξ0 e vector cıclico de (H, πJ ), sendo π umaextesao do homorfismo-∗ πJ . A condicao (

Cap4:264.24) permite ainda garantir que π preserva as

operacoes algebricas e a involucao emA e assim (H, π) e uma extensao da representacao(H, πJ ).

Sendo π : A → L(H) um outro homomorfismo-∗ que satisfaca π(a)πJ (b) = πJ (ab)para quaisquer a ∈ A, b ∈ J , entao

π(a)πJ (b)ξ0 = πJ (ab)ξ0 = π(a)πJ (b)ξ0,

tendo-se π(a) = π(a) para qualquer a ∈ A. O homomorfismo-∗ π e assim o unicohomomorfismo-∗ que estende πJ e satisfaz (

Cap4:284.23).

No caso de (H, πJ ) ser nao-degenerada, de acordo com o TeoremaCap4:294.2.3 a repre-

sentacao (H, πJ ) e a soma directa de representacoes cıclicas, (H, πJ ) = (⊕αHα,⊕απJ ,α).Para cada representacao cıclica (Hα, πJ ,α) existira entao uma unica extensao (Hα, πα)satisfazendo uma condicao analoga a (

Cap4:284.23) e (H, π) := (⊕αHα,⊕απα) sera a extensao

de (H, πJ ) referida no enunciado da proposicao.

Considere agora que (H, π) e uma representacao da algebra C∗ A e que J e umideal bilateral fechado de A. Seja

HJ := [π(J )H] ⊂ H, (4.26) Cap4:30

o subespaco de H gerado pelo conjunto π(J )H := π(j)ξ : j ∈ J , ξ ∈ H, que einvariante para o conjunto π(A). Defina-se como em (

Cap4:tt4.22) o homomorfismo-∗

πJ ,HJ : J → L(HJ ), b 7→ π(b)|J . (4.27) Cap4:31

(HJ , πJ ,HJ ) constitui a subrepresentacao de (H, π) associada a subalgebra J e aoespaco de Hilbert HJ . Tem-se o seguinte resultado:

Cap4:34 Proposicao 4.2.15. Sejam A uma algebra C∗ e J um seu ideal bilateral fechado.

(i) Se (H, π) e uma representacao irredutıvel de A tal que π(J ) 6= 0, entao a su-brepresentacao (HJ , πJ ,HJ ) definida como em (

Cap4:304.26)–(

Cap4:314.27) e tambem irredutıvel.

Alem disso tem-se queπ(J )H = HJ = H.


(ii) Se (H, πJ ) e uma representacao irredutıvel de J entao a sua extensao unica aalgebra A e tambem irredutıvel.

Dem. (i) Fixe-se ξ ∈ H com ξ 6= 0. Dado que (H, π) e irredutıvel, pela Proposicaot154.2.2 tem-se que π(A)ξ = H. Mostre-se que se tem ainda π(J )ξ = H.

Sendo J um ideal bilateral de A e claro que π(J )ξ e um subespaco invariante paraπ. Dado que (H, π) e irredutıvel entao π(J )ξ = H ou π(J )ξ = 0.

Suponha-se que π(J )ξ = 0. Nesta situacao, dado que J e autoadjunto (verProposicao

Cap3F??), para qualquer ζ ∈ H e j ∈ J tem-se que

〈ξ, π(j)ζ〉 = 〈π(j∗)ξ, ζ〉 = 〈0, ζ〉 = 0,

pelo que ξ ⊥ [π(J )H]. Assim, [π(J )H] 6= H e consequentemente [π(J )H] = 0 pois[π(J )H] e tambem invariante para π(A). Esta conclusao esta em contradicao com ofacto de π(J ) 6= 0 pelo que π(J )ξ = H. Dado que para qualquer ξ ∈ H \ 0,

H = π(J )ξ ⊂ HJ ⊂ H,

entao HJ = H. Fica assim demonstrado que qualquer vector nao nulo de H e cıclio paraa representacao (HJ , πJ ,HJ ) = (H, πJ ,H) que e assim irredutıvel (Proposicao

t154.2.2).

Finalmente, dados ξ, ζ1, ζ2 ∈ π(J )H com ξ 6= 0 sabe-se da irredutibilidade de(H, πJ ,H) (ver Teorema

Cap5.www??) que existe b ∈ J tal que πJ (b)ξ = ζ1+ζ2. Este facto permite

concluir que π(J )H e um subespaco linear de H. Ora, atendendo a que π(J ) 6= 0entao π(J )H 6= 0 pelo que π(J )H = H, uma vez que π(J )H e invariante para πJ ,He (H, πJ ,H) e algebricamente irredutıvel. Tem-se assim que π(J )H = H.

(ii) Seja (H, πJ ) uma representacao nao nula e irredutıvel de J . Pela Proposicaot154.2.2 tem-se que [πJ (J )]′ = CIH . Assim, atendendo a que [π(A)]′ ⊆ [π(J )]′ entao[π(A)]′ = CIH , ou seja, (H, π) e uma representacao irredutıvel.

O resultado que se segue vai generalizar o TeoremaCap4:334.2.14 ao resolver o problema

da extensao de representacoes partindo-se subalgebras C∗ de A que nao sejam neces-sariamente ideais bilaterais. Neste caso o espaco de Hilbert da extensao nao coincideem geral com o espaco de Hilbert da representacao da subalgebra e a extensao tem deser entendida recorrendo ‘a nocao de equivalencia unitaria.

Cap4:17 Teorema 4.2.16. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e B uma sua subalgebra C∗

com a mesma unidade. Se (X, πB) e uma representacao nao-degenerada de B entaoexiste uma representacao nao-degenerada (H, π) de A e um subespaco fechado X ′ deH, invariante para π(B), por forma a que a representacao (X, πB) seja unitariamenteequivalente a subrepresentacao (X ′, πB,X′). Se (X, πB) for uma representacao cıclica(irredutıvel) de B entao a representacao (H, π) de A pode ser escolhida de modo a sertambem (cıclica) irredutıvel.


Dem. Seja (X, πB) um representacao nao-degenerada de B. Comece-se por supor que(X, πB) e uma representacao cıclica que admite ξ0 ∈ X, com ‖ξ0‖ = 1, como vectorcıclico. Considere-se, definido como (

Cap4:64.16), o coeficiente da representacao πB associado

ao elemento ξ0,ρπB,ξ0 : B → C, b 7→ 〈πB(b)ξ0, ξ0〉.

O funcional positivo ρπB,ξ0 define um estado em B que admite, pelo CorolarioCap4:14.1.5, uma

extensao ρ a toda a algebra A satisfazendo ‖ρ‖ = ‖ρπB,ξ0‖. Defina-se (H, π) := (Hρ, πρ),onde (Hρ, πρ) designa a representacao de Gelfand-Naimark-Segal associada ao estado ρ.

Seja ξρ o vector cıclico da representacao (Hρ, πρ) e X ′ := πρ(B)ξρ o fecho do subespaco

de H = Hρ definido por πρ(B)ξρ := πρ(b)ξρ : b ∈ B. E claro que X ′ e invariantepara π(B). Seja (X ′, πB,X′) a subrepresentacao de (H, π) associada a subalgebra B e aoespaco de Hilbert X ′ (ver (

Cap4:tt4.22)). Tem-se que ξρ e um vector cıclico para (X ′, πB,X′)

e, para qualquer b ∈ B,

〈πB,X′(b)ξρ, ξρ〉 = 〈πρ(b)ξρ, ξρ〉 = ρ(b) = ρπB,ξ0(b) = 〈πB(b)ξ0, ξ0〉.

Satisfeita a igualdade anterior para qualquer b ∈ B, da ProposicaoCap4:54.2.4 conclui-se que

as representacoes (X, πB) e (X ′, πB,X′) sao unitariamente equivalentes.Observe-se que caso (X, πB) seja irredutıvel, e portanto ciclica pela Proposicao

t154.2.2,

entao o estado ρπB,ξ0 define um estado puro em B, como foi estabelecido no CorolarioCorXX4.2.12. A Proposicao

Cap4:24.1.12 permite agora supor que o estado ρ, extensao de ρπB,ξ0 a

algebra A, e um estado puro concluındo-se do Teoremat194.2.11 que (H, π) := (Hρ, πρ) e

irredutıvel.Suponha-se agora que (X, πB) e nao-degenerada. Pelo Teorema

Cap4:294.2.3 tem-se que

(X, πB) e a soma directa,

(X, πB) = (⊕α∈I

Xα,⊕α∈I

πB,α),

de uma famılia (Xα, πB,α)α∈I de representacoes cıclicas de B. De acordo com o es-tabelecido atras, para cada indice α ∈ I existe uma representacao cıclica (Hα, πα) deA e um subespaco fechado X ′α de Hα, invariante para πα(B), por forma a que a re-presentacao (Xα, πB,α) seja unitariamente equivalente a (X ′α, πB,X′

α), onde (X ′α, πB,X′

α)

designa a subrepresentacao de (Hα, πα) associada a algebra B e ao espaco de HilbertX ′α. Sendo (H, π) a soma directa das representacoes da famılia (Hα, πα)α∈I ,

(H, π) := (⊕α∈I

Hα,⊕α∈I

πα),

tem-se que (H, π) e nao-degenerada, uma vez que todas as representacoes (Hα, πα) osao, e o espaco de Hilbert X ′, dado pela soma directa dos espacos de Hilbert mutu-amente ortogonais X ′α, X

′ :=⊕

α∈I X′α, e invariante para π(B). Representando por

4.3. CLASSES DE ALGEBRAS C∗ 37

(X ′, πB,X′) a subrepresentacao de (H, π) associada a subalgebra B e ao espaco de Hil-bert X ′, tem-se que

(X ′, πB,X′) = (⊕α∈I

Xα,⊕α∈I

πB,α),

e facilmente se conclui que (X, πB) e unitariamente equivalente a (X ′, πB,X′).

Saliente-se que um resultado analogo TeoremaCap4:174.2.16 pode ser estabelecido para o

caso de algebras sem unidade, seguindo a demonstracao do resultado uma orientacaoanaloga a apresentada anteriormente.

4.3 Classes de Algebras C∗

4.3.1 Algebras CCR e GCR

Seja L(H) a usual algebra C∗ dos operadores lineares limitados definidos num espaco deHilbert H e K(H) o subconjunto de L(H) constituıdo pelos operadores compactos emH. Recorde que um operador T ∈ L(H) se diz compacto quando for compacto o con-junto T (B0,1) ⊂ H com B0,1 = ξ ∈ H : ‖ξ‖ < 1 ou, equivalentemente, quando paraqualquer sucessao limitada (ξn) em H a sucessao (Tξn) tem uma subsucessao conver-gente em H. Algumas propriedades importantes dos operadores compactos resumem-sea seguir.

Proposicao 4.3.1. Seja H um espaco de Hilbert. Tem-se que:

(i) Se T1, T2 ∈ K(H) e α, β ∈ C entao αT1 + βT2 ∈ K(H);

(ii) Se T ∈ K(H) entao ST ∈ K(H) e TS ∈ K(H), para todo S ∈ L(H);

(iii) T ∈ K(H) se e so se T ∗ ∈ K(H);

(iv) Se (Tn) e uma sucessao em K(H) e T ∈ L(H) tal que ‖Tn − T‖ → 0, entaoT ∈ K(H).

O conjunto dos operadores compactos K(H) e assim um ideal bilateral fechado eautoadjunto de L(H) e consequentemente uma subalgebra C∗ de L(H). Tem-se aindaque K(H) nao tem ideais nao triviais, sendo portanto uma algebra simples, admitindocomo subalgebra densa o conjunto CF (H) dos operadores de caracterıstica finita emL(H), ou seja, o conjunto dos operadores T ∈ L(H) tais quedim (Im T ) < ∞ (CF (H) e gerado pelo conjunto dos operadores de projeccao unidi-mensionais de L(H), ver e.g.

Mu1990[?]).


As algebras CCR (completely continuous representations) e as algebras GCR (ge-neralized continuous representations) sao exemplos de algebras C∗ cuja caracterizacaoe feita recorrendo as suas representacoes irredutıveis em espacos de Hilbert H e aoideal dos operadores compactos K(H).

Definicao 4.3.1. Sendo A uma algebra C∗, diz-se que A e uma algebra CCR ouliminal se toda a sua representacao irredutıvel (H, π) satisfaz

π(A) ⊆ K(H). (4.28) Cap4:23

Saliente-se que na definicao de algebra CCR surge muitas vez na literatura acondicao (

Cap4:234.28) substituıda pela condicao π(A) = K(H). De facto pode provar-se que

dada uma representacao irredutıvel (H, π), se o homomorfismo-∗ nao nulo π : A →L(H) satisfaz π(A) ∩ K(H) 6= 0 entao K(H) ⊆ π(A),

averson1976[?].

Apresentam-se em seguida alguns exemplos de algebras CCR comecando por no-tar que caso H seja um espaco de Hilbert de dimensao infinita entao algebra L(H)nao e uma algebras CCR uma vez que identidade id : L(H) → L(H) define umarepresentacao irredutıvel de L(H) que nao satisfaz a condicao id(L(H)) ⊆ K(H).

Exemplo 4.3.1. Se A e uma algebra C∗ comutativa e com unidade entao A e umaalgebra CCR. Efectivamente, se (H, π) e uma representacao irredutıvel de A entao[π(A)]′ = CIH e como A e comutativa entao π(A) ⊆ [π(A)]′. Se (H, π) nao temsubespacos invariantes nao triviais entao dim (H) = 1 tendo-se π(A) = L(H) = K(H).

Exemplo 4.3.2. Se A e uma algebras C∗ de dimensao finita entao A e CCR. Defacto, sendo (H, π) uma representacao irredutıvel de A e ξ ∈ H um elemento naonulo entao π(A)ξ = H. Assim, dim π(A) < ∞ implica que dimH < ∞ pelo queπ(A) ⊆ L(H) = K(H).

Exemplo 4.3.3. Sendo H um espaco de Hilbert entao a algebra C∗ dos operado-res compactos K(H) e uma algebra CCR. Efectivamente tem-se que qualquer re-

presentacao irredutıvel (H, π) de K(H) e unitariamente equivalente a representacao(K(H), id), onde id : K(H) → L(H) designa a injeccao canonica de K(H) em L(H),averson1976[?]. Assim, dado que id(K(H)) ⊂ K(H) entao π(K(H)) ⊂ K(H) e K(H) e CCR.

Uma representacao (H, π) de uma algebra C∗ diz-se de dimensao finita sempre quefor finita a dimensao do espaco de Hilbert H. Para as algebras CCR com unidadetem-se o seguinte resultado:

Proposicao 4.3.2. As representacoes irredutıveis de uma algebra CCR com unidadesao representacoes de dimensao finita.


Dem. Sendo A uma algebra CCR com unidade e (H, π) uma sua representacaonao nula e irredutıvel entao π(A) ⊆ K(H). Como (H, π) e tambem uma representacaonao-degenerada, de acordo com a observacao que precede a Proposicao

Cap4Id4.2.1 tem-se

que π(e) = IH , ou seja, IH ∈ K(H), o que acontece apenas quando dim(H) e finita.

Como se vera a seguir, sendo A uma algebra CCR entao todas as suas subalgebrasC∗ bem como todas as suas algebras quociente, obtidas por ideias bilaterais fechados,sao ainda algebras CCR.

Cap4:20 Teorema 4.3.3. Toda a subalgebra C∗ de uma algebra CCR e ainda CCR.

Dem. Sejam A uma algebra CCR, B uma sua subalgebra C∗ e (X, πB) uma repre-sentacao irredutıvel de B. Verifique-se de seguida que πB(B) ⊆ K(X).

De acordo com o TeoremaCap4:174.2.16, existe uma representacao irredutıvel (H, π) de

A e um subespaco fechado X ′ de H tal que (X, πB) e unitariamente equivalente a(X ′, πB,X′). Como A e uma algebra CCR entao π(A) ⊆ K(H), o que permite concluirque πB,X′(B) ⊆ K(X ′), pois a restricao de operadores compactos e ainda um operadorcompacto. Assim se garante que πB(B) ⊆ K(X), uma vez que (X, πB) e unitariamenteequivalente a (X ′, πB,X′).

Cap4:21 Teorema 4.3.4. Se A e uma algebra CCR e J e um ideal bilateral fechado de Aentao a algebra C∗ quociente A/J e uma algebra CCR.

Dem. Seja ΦJ : A → AJ o homomorfismo canonico de A em AJ := A/J e(H, π) uma representacao nao nula e irredutıvel de A/J . Seja πΦJ : A → L(H) ohomomorfismo-∗ que torna comutativo o diagrama

A

L(H)

AJ................................................................................................................. ............ΦJ

.............................................................................................................................

π

............................................................................................................................................................................ ............

πΦJ

ou seja, πΦJ := π ΦJ . Sendo (H, π) uma representacao irredutıvel de AJ entao eclaro (H, πΦJ ) e uma representacao irredutıvel de A tendo-se πΦJ (A) ⊆ K(H), poisA e CCR. Assim, π(A/J ) = πΦJ (A) ⊆ K(H) e A/J e uma algebra CCR.

O resultado seguinte mostra que toda a algebra C∗ tem uma ”parte”que e umaalgebra CCR.


CCR Teorema 4.3.5. Seja A uma algebra C∗ com unidade. Representando por R(A) oconjunto de todas as representacoes irredutıveis de A, para qualquer representacao(H, π) ∈ R(A) seja

Cπ :=a ∈ A : π(a) ∈ K(H)

.

Entao o conjunto

CCR(A) :=⋂

(H,π)∈R(A)

Cπ

define um ideal bilateral fechado de A, constitui uma algebra CCR e e o maior idealbilateral fechado de A nestas condicoes.

Dem. Que J := CCR(A) define um ideal bilateral fechado de A e consequenciado facto de serem contınuas as representacoess de algebras C∗ e ser fechado o idealdos operadores compactos num dado espaco de Hilbert. Mostre-se entao que J e umaalgebra CCR. Para tal fixe-se uma representacao irredutıvel (H, πJ ) de J . Atendendoa Proposicao

Cap4:334.2.14 e a condicao (ii) da Proposicao

Cap4:344.2.15, existe uma representacao

irredutıvel (H, π) de A que e extensao da representacao (H, πJ ). Assim, por definicaoda algebra J , e dado que (H, π) e irredutıvel, tem-se que π(J ) ⊆ K(H), ou seja,πJ (J ) ⊆ K(H).

Finalmente considere-se I um ideal bilateral fechado de A que seja CCR e mostre-se que I ⊆ J , ou seja, que para toda a representacao irredutıvel (H, π) de A se temque π(I) ⊆ K(H). Fixe-se (H, π) uma representacao irredutıvel de A e considere-se(HI , πI), com HI := π(I)H, a representacao irredutıvel de I referida na condicao (i)do Proposicao

Cap4:344.2.15. Como I e CCR, πI(I) ⊆ K(HI). Assim, dado que para b ∈ I

o operador πI(b) e compacto em HI se e so se π(b) e compacto em H, uma vez queπ(J )(H⊥J ) = 0, obtem-se como pretendido que π(I) ⊆ K(H).

Saliente-se que nao se garante no teorema anterior que o ideal CCR(A) seja dife-rente de 0. No entanto, caso existam ideais bilaterais fechados CCR entao os mesmosestarao contidos em CCR(A) que e constituıdo pelos elementos de A cujas imagenspor todas as representacoes irredutıveis sao sempre operadores compactos. Surge aseguinte definicao:

Definicao 4.3.2. Sendo A uma algebra C∗, diz-se que A e anti-liminal se A nao temideias bilaterais fechados nao nulos que sejam CCR, ou seja, se CCR(A) = 0.

O facto de uma algebra C∗ A admitir ideais bilaterais fechados J , nao nulos, taisque J e A/J sejam CCR nao implica que A seja tambem uma algebra CCR (verExercıcio

Cap4:224.15). No entanto, para a classe de algebras que se definem a seguir, e que

generalizam a nocao de algebra CCR, a relacao com os seus ideais bilaterias fechadose as correspondentes algebras quociente e mais estrita.


Definicao 4.3.3. Sendo A uma algebra C∗, diz-se que A e uma algebra GCR oupos-liminal, se toda a sua representacao irredutıvel (H, π) satisfaz

K(H) ⊆ π(A). (4.29) Cap4:24

Observe-se que de acordo com a nota que precede a definicao das algebras CCR, acondicao (

Cap4:244.29) e equivalente a condicao π(A) ∩ K(H) 6= 0.

Claramente toda a algebra CCR e tambem GCR. As algebras GCR surgem porvezes na literatura definidas como aquelas algebras C∗ cujos quocientes A/J , comJ 6= A ideal bilateral fechado, satisfazem CCR(A/J ) 6= 0, ou seja, admitem ideaisbilaterais fechados nao nulos que sao CCR,

Dix1977[?].

Teorema 4.3.6. Sejam A uma algebra C∗ e J um seu ideal bilateral fechado. Saoequivalentes as seguintes proposicoes:

(i) A e uma algebra GCR;

(ii) J e A/J sao algebras GCR.

Dem. (i)⇒ (ii). Sendo A uma algebra GCR considere-se (H, πJ ) uma representacaoirredutıvel de J e (H, π) a sua extensao unica a algebra A. Da condicao (ii) da Pro-posicao

Cap4:344.2.15 tem-se que (H, π) e irredutıvel e como A e GCR entao K(H) ⊆ π(A).

Mostre-se a seguir que se tem ainda K(H) ⊆ πJ (J ).Fixe-se ξ ∈ H um elemento nao nulo e seja

Pξ : H → Cξ

o operador de projeccao de H em Cξ := λξ : λ ∈ C. Como Pξ ∈ K(H) ⊆ π(A)entao existe a ∈ A tal que Pξ = π(a). Como (H, πJ ) e irredutıvel e ξ 6= 0 entao

π(J )ξ = π(J )ξ = H. Seja b ∈ J tal que ξ = πJ (b)ξ. Tem-se que

Pξξ = ξ = πJ (b)ξ = πJ (b)Pξξ,

logo Pξ = πJ (b)Pξ e consequentemente,

Pξ = πJ (b)Pξ = πJ (b)π(a) = π(ba) = πJ (ba),

pois ba ∈ J . Assim Pξ = πJ (c) para algum c ∈ J pelo que Pξ ∈ πJ (J ). Comoconsequencia, πJ (J ) ∩ K(H) 6= 0 ou, equivalentemente, K(H) ⊆ πJ (J ). O ideal Je assim uma algebra GCR.

Quanto a algebra A/J considere-se (H, π) uma sua representacao irredutıvel. Seja(H, πΦ) a representacao irredutıvel de A onde Φ : A → A/J e o homomorfismocanonico de A em A/J e πΦ := π Φ. Tem-se que πΦ 6= 0, pois π 6= 0 e como A eGCR,

K(H) ⊆ πΦ(A) = π(A/J ),


concluındo-se que A/J e tambem GCR.(ii)⇒ (i). Suponha-se agora que J e A/J sao algebras GCR e considere-se (H, π)

uma qualquer representacao irredutıvel, nao nula, de A.Suponha-se que Ker π ⊇ J . Nesta situacao, a aplicacao Ψ : A/J → L(H) definida

por Ψ(a + J ) = π(a) constitui um homomorfismo-∗ que satisfaz π = Ψ Φ, comΦ : A → A/J o homomorfismo canonico de A em A/J . A representacao (H,Ψ) e naonula, pois π 6= 0, e e irredutıvel uma vez que

[Ψ(A/J )]′ = [Ψ Φ(A)]′ = [π(A)]′ = CI.

Como A/J e algebra GCR, entao

K(H) ⊆ Ψ(A/J ) = π(A),

o que permite concluir que A e tambem uma algebra GCR.Suponha-se que Ker π + J . Seja (K, πJ ), com HJ := π(J )H, a representacao

de J definida como em (Cap4:304.26)–(

Cap4:314.27). Como π(J ) 6= 0, segue da condicao (i) da

ProposicaoCap4:344.2.15 que (HJ , πJ ) constitui uma representacao irredutıvel de J . Como

J e uma algebra GCR entao K(HJ ) ⊆ πJ (J ). Dado que para um elemento b ∈ Jo operador π(b) e compacto em H se e so se πJ (b) e compacto em HJ entao, existeb ∈ J tal que πJ (b) e um operador compacto e nao nulo em HJ , ou seja, tal que π(b)e um operador compacto, nao nulo, em H. Assim, K(H) ∩ π(A) 6= 0 o que permiteconcluir que tambem neste caso A e GCR.

Se (H1, π1) e (H2, π2) sao duas representacoes unitariamante equivalentes de umaalgebra C∗, e obvio que

Ker π1 = Ker π2.

A recıproca da afirmacao anterior nao e em geral satisfeita, mesmo para as repre-sentacoes irredutıveis. O espectro de uma algebra C∗, ou seja, o conjunto das suasrepresentacoes irredutıveis nao nulas, reflecte a estrutura da algebra com maior pre-cisao que os seus nucleos. Recorde-se que de acordo com o Teorema

CL5?? os nucleos das

representacoes irredutıveis nao nulas de uma algebra de Banach sao os ideais primitivosda algebra. Para as algebras GCR o conhecimentos dos seus ideais primitivos permitecaracterizar o espectro da algebra.

Teorema 4.3.7. Se A e uma algebra GCR e (H1, π1) e (H2, π2) sao duas repre-sentacoes irredutıveis de A, entao (H1, π1) e (H2, π2) sao unitariamente equivalentesse e so se Ker π1 = Ker π2.

Dem. Se as representacoes (H1, π1) e (H2, π2) sao unitariamente equivalentes entaoKer π1 = Ker π2.


Reciprocamente, suponha-se que Ker π1 = Ker π2. Nestas condicoes a aplicacao

Ψ : π1(A)→ π2(A), π1(a) 7→ π2(a),

com a ∈ A, constitui um isomorfismo-∗. Por hipotese, como A e GCR, entao

K(H1) ⊆ π1(A) e K(H2) ⊆ π2(A).

Mostre-se em seguida que Ψ(K(H1)) ⊆ K(H2). Fixe-se ξ ∈ H1 um elemento naonulo e considere-se a projeccao Pξ de H1 sobre o subespaco Cξ := λξ : λ ∈ C. Tem-se,

PξL(H1)Pξ = CPξ := λPξ : λ ∈ C,

e como consequencia Qξ := Ψ(Pξ) define um operador de projeccao que satisfaz

QξK(H2)Qξ ⊆ Qξπ2(A)Qξ = QξΨ(π1(A))Qξ

⊆ Ψ(PξL(H)Pξ) = Ψ(CPξ) = CQξ,

o que implica que dim (Im Qξ) = 1. Dado que o fecho do espaco linear gerados pelasprojecoes unidimensionais coincide com o ideal dos operadores compactos, tem-se

Ψ(K(H1)) ⊆ K(H2),

verificando-se por simetria tambem a inclusao contraria. A restricao

Ψ : K(H1)→ K(H2),

e pois um isomorfismo-∗ e nestas condicoes, da teoria geral dos operadores compactosem espacos de Hilbert,

Mu1990[?], sabe-se que existe um operador unitario U : H1 → H2 tal

que para qualquer V ∈ K(H1)Ψ(V ) = UV U∗.

Mostre-se por fim que as representacoes (H1, π1) e (H2, π2) sao unitariamente equiva-lentes. Sejam a ∈ A e W ∈ K(H2). Entao existem V ∈ K(H1) e b ∈ A tais que

V = π1(b) e Ψ(V ) = W.

Dado que π1(a)V ∈ K(H1), pois K(H1) e um ideal bilateral de L(H1), tem-se

Ψ(π1(a))Ψ(V ) = Ψ(π1(a)π1(b)) = Ψ(π1(ab))

= Uπ1(ab)U∗ = (Uπ1(a)U∗)(Uπ1(b)U∗)

= (Uπ1(a)U∗)(UV U∗) = (Uπ1(a)U∗)Ψ(V ),


o que tem como consequencia que π2(a) = Ψ(π1(a)) = Uπ1(a)U∗, para a ∈ A. Assimse garante a equivalencia unitaria das representacoes (H1, π1) e (H2, π2).

Depois de estabelecido o TeoremaCCS??, que garante a existencia de uma subalgebra

CCR em qualquer algebra C∗, termina-se esta seccao salientando que toda a algebraC∗ admite tambem uma ”parte”que e GCR. Efectivamente,

Teorema 4.3.8. Se A e uma algebra C∗, entao existe em A um ideal bilateral fechadoGCR(A) que constitui o maior ideal bilateral de A que e GCR, e o menor ideal bilateralde A tal que A/GCR(A) e anti-liminal,

Dix1977[?].

4.3.2 Algebras C∗ universais. Algebra de Cuntz. Algebra derotacao. Algebra de Toeplitz

Seja A uma algebra C∗, G = ai : i ∈ Ω um conjunto de elementos de A e R umconjunto de relacoes particulares, envolvendo os elementos de G e os seus adjuntos, daforma

‖p(ai1 , ai2 , ..., ain , a∗i1 , a∗i2, ..., a∗in)‖ ≤ η,

onde p e um polinomio de coeficientes complexos nas variaveis

ai1 , ai2 , ..., ain , a∗i1, a∗i2 , ..., a

∗in , em que ai1 , ai2 , ..., ain ∈ G

e η ≥ 0. Considere C∗(G,R) a subalgebra C∗ de A gerada pelos elementos de G quesatisfazem as relacoes de R.

Diz-se que C∗(G,R) e uma algebra C∗ universal (para as relacoes de R) se qualquer

algebra C∗, C, gerada por um conjunto da forma G = bi : i ∈ Ω e cujos elementosverifiquem as relacoes de R e isometricamente isomorfa a C∗(G,R) existindo um unicoisomorfismo Ψ : C∗(G,R)→ C tal que Ψ(ai) = bi para qualquer i ∈ Ω.

O objectivo desta seccao e apresentar algumas das classes mais importantes dealgebras C∗ universais.

Seja A uma algebra C∗ com unidade e G = s1, s2, ..., sn um conjunto com n ≥ 2elementos de A satisfazendo as relacoes

R = s∗i si = e : 1 ≤ i ≤ n ∪

n∑i=1

sis∗i = e

.

Definicao 4.3.4. A algebra universal C∗(G,R), gerada pelas n isometrias s1, s2, ..., snque tem por soma a unidade de A, designa-se por algebra de Cuntz e representa-se porOn.


A algebra de Cuntz On e assim uma algebra C∗ com unidade. Alem disso e infinitae simples. Sendo H um espaco de Hilbert separavel e S1, S2,..., Sn isometrias em L(H)cujos contradomınios sejam dois a dois ortogonais e que satisfacam a relacao

S1S∗1 + S1S

∗1 + ...+ SnS

∗n = IH ,

entao a algebra C∗(S1, S2, ..., Sn,R), gerada pelas n isometrias Si, e isometricamenteisomorfa a algebraOn, existindo um unico isomorfismo Ψ deOn sobre C∗(S1, S2, ..., Sntal que Ψ(si) = Si, 1 ≤ i ≤ n.

Na algebra de Cuntz On os elementos si satisfazem em particular as condicoes

s∗i si =n∑j=1

sjs∗j , 1 ≤ i ≤ n.

Uma algebra C∗ universal mais geral que a algebra de Cuntz e a algebra de Cuntz-Krieger definida como a algebra universal gerada por n ≥ 2 isometrias parciais s1, s2, ..., snque satisfazem as relacoes

s∗i si(s∗jsj) = 0, i 6= j

e

s∗i si =n∑j=1

aijsjs∗j , 1 ≤ i ≤ n,

onde A = [aij]n×n e uma matriz n × n que tem por entradas zeros e uns e onde cadalinha tem pelo menos um elemento diferente de zero. Esta algebra representa-se porOA e caso A seja constituıda so por uns pode mostrar-se que OA e isometicamenteisomorfa a On.

Fixando θ ∈ R define-se de seguida a algebra de rotacao Aθ.

Definicao 4.3.5. Chama-se algebra de rotacao, e representa-se por Aθ, a C∗ universalgerada por dois elementos unitarios u, v satisfazendo a relacao

vu = e2πiθuv.

Mais geralmente designa-se por torus nao comutativo a algebra universal geradapor n elementos unitarios u1, u2, ..., un tais que

ujuk = e2πiθkjukuj, θkj ∈ R.

As algebras de rotacao constituem modelos naturais para a geometria nao comuta-tiva e tem vindo a ser ampliamente estudadas dada a sua aplicacao em varias areas daFısica. Consoante θ seja seja racional ou irracional e possıvel classificar estas algebras


de acordo com o tipo de ideias que possuem, o tipo de projeccoes, o tipo de repre-sentacoes irredutıveis que admitem e o tipo de produto cruzado que representam.

Finalmente introduzem-se as algebras de Toeplitz.Um dos operadores nao normais mais importante e o operador de deslocamento

unilateral a direita Sd, definido em l2 por

Sd(α1, α1, ...) = (0, α1, α2, ...), (αn) ∈ l2.

Sd constitui um operador com interessantes propriedades sendo uma isometria naounitaria cuja imagem, Im f, define um subespaco fechado de l2 com codimensao 1.

Definicao 4.3.6. A algebra de Toeplitz e por definicao a algebra universal T geradapor uma isometria nao unitaria s (s∗s = e mas ss∗ 6= e).

Sendo K(l2) o ideal dos operadores compactos de L(l2) e J o ideal de T geradopelos elementos

tij = si−1(e− ss∗)(s∗)j−1, i, j ≥ 1,

pode mostrar-se que K(l2) ∼= J . Assim, dado que T ∼= C∗(Sd), ou seja, T e isometri-camente isomorfa a algebra C∗ gerada pelo deslocamento unilateral Sd, entao

T /J ∼= C∗(Sd)/K(l2) ∼= C(T),

onde T := z ∈ C : |z| = 1.

4.4 Exercıcios

Exercıcio 4.1. SejaA uma algebra C∗ com unidade. Mostre que se ρ e ϕ sao funcionaislineares positivos em A tais que ‖ρ‖ = 1, ρ 6= ϕ e ρ ≥ ϕ, entao ‖ϕ‖ ∈]0, 1[.

Exercıcio 4.2. Considere a ProposicaoCap4:14.1.5, estabelecido para algebras C∗ comCap4:Cl

unidade. Estabeleca o mesmo resultado para o caso geral onde nao se assume que Atenha unidade, ou seja, mostre que se A e uma algebra C∗ e B e uma sua subalgebraC∗ entao para qualquer funcional linear positivo ρB em B existe um funcional linearpositivo ρA em A que e uma extensao de ρB satisfazendo ‖ρA‖ = ‖ρB‖.

Exercıcio 4.3. SejaA uma algebra C∗ com unidade. Mostre que se ρ e ϕ sao funcionaislineares positivos em A tais que ‖ρ‖ = 1, ρ 6= ϕ e ρ ≥ ϕ, entao ‖ϕ‖ ∈]0, 1[.

Exercıcio 4.4. Sejam A uma algebra C∗ e (H, π) uma sua representacao. Para ξ ∈ H,considere-se o funcional linear definido por

ρπ,ξ : A → C, a 7→ 〈π(a)ξ, ξ〉.

4.4. EXERCICIOS 47

Mostre que ρπ,ξ e um funcional linear positivo e determine a sua norma.

Exercıcio 4.5. Sejam A uma algebra C∗ com unidade, ρ um funcional linear positivoem A e (Hρ, πρ) a representacao de GNS associda a ρ. Mostre que se J e um idealbilateral tal que J ⊆ Ker ρ entao J ⊆ Ker πρ.

Exercıcio 4.6. Seja (H, π) uma representacao de uma algebra C∗ com unidade. Mostreque sao equivalentes as seguintes condicoes:

(i) A representacao (H, π) e fiel;

(ii) ‖π(a)‖ = ‖a‖ para todo a ∈ A;

(iii) π(a) e positivo e nao nulo em L(H) sempre que a seja positivo e nao nulo em A.

Exercıcio 4.7. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e (H, π) uma sua representacaocıclica. Sendo ξ0 um vector cıclio da representacao (H, π) e ξ ∈ H tal que

ξ ∈⋂a∈A

Ker π(a),

mostre que, para todo o a ∈ A,

< π(a)ξ0, ξ >= 0,

e conclua que qualquer representacao cıclica de A e nao-degenerada.

Exercıcio 4.8. Considere A uma algebra-C∗ com unidade, ρ um funcional lineare7positivo em A e (Hρ, πρ) a representacao de Gelfand-Naimark-Segal associada a ρ.Supondo que α e um automorfismo-∗ em A tal que

ρ(α(a)) = ρ(a) , a ∈ A,

e U e o operador unitario U : Hρ → Hρ definido por

U(a+ Lρ) = α(a) + Lρ , a ∈ A,

mostre queπρ(α(a)) = Uπρ(a)U∗, a ∈ A.

Exercıcio 4.9. Sejam Γ = u ∈ C : |u| = 1 e z : Γ→ C a transformacao de inclusao.e8Considere o funcional linear injectivo ρ : C(Γ) → C definido por ρ(f) =

∫f dm onde

m representa o comprimento de arco de Γ normalizado.


a) Mostre que existe um unico automorfismo α de C(Γ) tal que

α(z) = ei2πθz , θ ∈ [0, 1].

b) Mostre que para qualquer f ∈ C(Γ)

ρ(α(f)) = ρ(f).

c) Mostre que existe uma transformacao com unidade v no espaco de Hilbert Hρ talque para qualquer f ∈ C(Γ)

πρ(α(f)) = vπρ(f)v∗

e que se u = πρ(z)

vu = ei2πθ uv.

Exercıcio 4.10. Seja H um espaco de Hilbert e ξ um vector unitario de H. Mostree9que o funcional

ωx : L(H)→ C, T 7→ 〈Tξ, ξ〉

constitui um estado puro de L(H). Mostre que se H e separavel e com dimensaoinfinita entao nem todos os estados puros de L(H) sao da forma anterior.

Exercıcio 4.11. SejaH um espaco de Hilbert eK(H) o ideal dos operadores compactosde L(H).

(i) Mostre que K(H) e uma subalgebra C∗ de L(H).

(ii) Mostre que K(H) tem unidade se e so se H tem dimensao finita.

Exercıcio 4.12. Recorde que uma algebra de Banach se diz primitiva se admite umarepresentacao fiel que seja algebricamente irredutıvel (Definicao

algprim??). Mostre que:

(i) Se H um espaco de Hilbert entao a algebra dos operadores lineares limitadosL(H) e primitiva.

(ii) Se A e uma algebra-C∗ simples e com unidade entao A e uma algebra C∗;

(iii) Uma algebra C∗ comutativa e com unidade e primitiva se e so se e isomorfa a C.

4.4. EXERCICIOS 49

Exercıcio 4.13. Sejam X um espaco topologico localmente compacto e C0(X) aalgebra das funcoes complexas definidas em X e que se anulam no infinito, na qual seconsideram as operacoes de soma e produto pontuais. Considere-se em C0(X) a norma

‖f‖∞ = supx∈X|f(x)|, f ∈ C0(X),

e a involucao dada pela conjugacao, ∗ : f 7→ f.

(i) Justifique que para qualquer funcao f ∈ C0(X) e finita a norma ‖f‖∞.

(ii) Mostre que C0(X) e uma algebra-C∗, que so possui unidade se e so se X e com-pacto.

Exercıcio 4.14. Seja A um algebra C∗ com ou sem unidade. Justifique que sendo Jum ideal bilateral de A entao existe em J uma aproximacao da unidade de J .

πJ ,2(b) = UπJ ,1(b)U∗, b ∈ J .

Exercıcio 4.15. O Teoremacap4:21?? garante que as algebras quociente de uma algebraCap4:22

CCR sao ainda algebras CCR. Mostre que o reciproco deste resultado nao e em geralvalido. Para tal consider H um espaco de Hilbert de dimensao infinita, justifique quea algebra C∗

A = K(H) + CI

nao e CCR mas admite uma subalgebra C∗ que e CCR.

Exercıcio 4.16. Sejam H um espaco de Hilbert e K(H) o ideal dos operadores com-Cap4:40pactos de L(H). Mostre que se T ∈ L(H) e um operador tal que TK(H) = 0 entaoT = 0.

Capıtulo 5

Introducao as algebras de vonNeumann

Chap5

Neste capıtulo vai estudar-se uma classe especial de subalgebras C∗ de L(H) designadaspor algebras de von Neumann. A teoria das algebras de von Neumann e vasta e bastantedesenvolvida pelo que serao apresentados aqui apenas os conceitos e os resultadosbasicos de forma a construir uma primeira abordagem harmoniosa desta teoria.

Recordadas as topologias forte e fraca de operadores em L(H) define-se algebra devon Neumann como uma subalgebra C∗ de L(H) que contem o operador identidade IHe e fortemente fechada (equivalentemente, fracamente fechada). Posteriormente, como teorema do Bicomutante, e possıvel substituir a condicao topologica da definicao dasalgebras de von Neumann por uma outra de caracter puramente algebrico podendoas algebras de von Neumann ser definidas como aquelas subalgebras C∗ de L(H) quecoincidem com o seu bicomutante. O conjunto das projeccoes de uma algebra de vonNeumannn e vasto, constitui um reticulado completo e o fecho, na norma de operadores,das combinacoes lineares finitas dessas projeccoes define a algebra de von Neumann. Oteorema de Kaplansky e tambem apresentado mostrando-se como o conhecimento dabola unitaria fechada de uma subalgebra C∗ de L(H) permite concluir se a subalgebrae ou nao uma algebra de von Neumann.

Como exemplo de uma algebra de von Neumann comutativa destaca-se a algebra dosoperadores de multiplicacao por funcoes de L∞(K, dµ), onde K e um espaco Hausdorffcompacto e µ e uma medida de Borel finita regular e positiva. Estas algebras constituemmesmo o modelo para as algebras de von Neumann comutativas que actuam num espacode Hilbert separavel.

Na ultima seccao do capıtulo define-se no conjunto das projeccoes de uma algebrade von Neumann a chamada relacao de equivalencia de Murray-von Neumann e prova-se a formula de Kaplansky para projeccoes. Define-se a relacao de subordinacao entreprojeccoes que vai permite relacionar quaisquer duas projeccoes numa algebra de vonNeumann por meio das designadas projeccoes centrais. Finalmente definem-se alguns

1

2 CAPITULO 5. INTRODUCAO AS ALGEBRAS DE VON NEUMANN

tipos de projeccoes importantes. Surgem assim as projeccoes finitas, infinitas e abeli-anas e com o auxılio destas nocoes definem-se os tipos de algebras de von Neumannexistentes. Finalmente mostra-se que toda a algebra de von Neumann admite umadecomposicao unica como soma directa de algebras de von Neumann de tipo I, II1,II∞ e III.

5.1 Definicao de algebra de von Neumann. Teo-

rema do bicomutante

5.1.1 Topologia forte e fraca em L(H)

Seja L(H) a algebra C∗ dos operadores lineares limitados definidos num espaco deHilbert H. Tal como apresentado na seccao

ss2.6.1?? sao tres as topologias que em geral se

consideram definidas em L(H) : a topologia da norma ou topologia uniforme, a topolo-gia forte (SOT) e a topologia fraca (WOT) de operadores. Recordadas as Definicoes

Cap1.111??,

Cap1.222?? e

Cap1.333??, e dada a importancia que as tres topologias mencionadas desempenham no

actual capıtulo, estabelecemos nesta seccao alguns resultados importantes que as per-mitem relacionar.

Sendo (Tα) uma rede de operadores em L(H) e T ∈ L(H), de (Cap1.001??) tem-se que a

rede (Tα) converge para T uniformemente, escrevendo-se Tα →αT, se e so se

‖Tα − T‖L(X) →α

0,

por (Cap1.002??) tem-se que a rede (Tα) converge fortemente T, escrevendo-se Tα →

αT (SOT),

se e so se, para qualquer x ∈ X, se tem

‖Tαx− Tx‖ →α

0,

e, finalmente de (Cap1.003??) e atendendo ao teorema de representacao de Riesz em espacos de

Hilbert1, a rede (Tα) converge fracamente para T, escrevendo-se Tα →αT (WOT) se e

so se, para quaiquer x, y ∈ H, se tem

|〈Tαx, y〉 − 〈Tx, y〉| →α

0.

1Teorema da representacao de Riesz em espacos de Hilbert: Se H e um espaco de Hilbert entaopara qualquer funcional linear limitado ϕ ∈ H∗, existe um e um so y ∈ H tal que

∀x ∈ H, ϕ(x) = 〈x, y〉.

5.1. DEFINICAO DE ALGEBRA DE VON NEUMANN. TEOREMA DO BICOMUTANTE3

E imediato que Tα →αT implica Tα →

αT (SOT) que implica ainda Tα →

αT (WOT)

(ver (Cap5:01??)). No caso de dim(H) < ∞ as anteriores tres nocoes de convergencia sao

coincidentes tendo-se em (Cap5:01??) uma cadeia de equivalencias (ver Exercıcio

Von15.1).

Para a topologia forte ou a topologia fraca de operadores, a algebra L(H) constituium espaco vectoriais topologico. Como tal as operacoes de adicao e de multiplicacao porum escalar definem, para estas topologias, funcoes contınuas. Porem, para a operacaode involucao, T → T ∗, a sua continuidade e apenas garantida para a topologia fracatendo-se (

Tα →αT (WOT)

)⇒(T ∗α →

αT ∗(WOT)

). (5.1) Cap5:09

Com o exemplo que se segue mostra-se que a passagem ao operador adjunto nao consti-tui uma funcao contınua quando se considera em L(H) a topologia forte de operadores.

Cap5:060 Exemplo 5.1.1. Seja H um espaco de Hilbert de dimensao infinita que admite umabase ortonormada S = en : n ∈ N. Para cada n ∈ N considere-se o operadorUn : H → H definido por

Un(x) = 〈x, en〉e1, x ∈ H.

Sabendo que para qualquer x ∈ X a serie∑∞

n=1 |〈x, en〉|2 e convergente, tem-se que

Un →n

0(SOT),

sendo 0 o operador nulo, uma vez que ‖Un(x)‖ →n

0 para qualquer x ∈ H. Tem-se ainda

que U∗n : H → H e dado por

U∗n(x) = 〈x, e1〉en, x ∈ X,

com ‖U∗n(x)‖ = |〈x, e1〉|. Assim, dado que ‖U∗n(e1)‖ = 1,

U∗n 9n

0(SOT).

Para a operacao de multiplicacao,

L(H)× L(H)→ L(H), (S, T ) 7→ ST, (5.2) Cap5:02

e um exercıcio simples constatar que tanto para a topologia forte ou fraca de operadoresa aplicacao (

Cap5:025.2) e separadamente contınua, ou seja, continua em cada uma das variaveis

uma vez fixada a outra. Ao contrario do que acontece para a topologia da norma, emgeral a aplicacao (

Cap5:025.2) nao e contınua quando se consideram em L(H) as topologias

forte ou fraca de operadores. Relativamente a topologia fraca de operadores deixa-seo exemplo que se segue.


Exemplo 5.1.2. No espaco de Hilbert L2(T), com T := z ∈ C : |z| = 1, a sucessaode operadores unitarios Tn : L2(T)→ L2(T), definidos por

Tn(f)(t) = eintf(t), n ∈ N, f ∈ L2(T), t ∈ T,

satisfaz Tn → 0(WOT) e T ∗n → 0(WOT) mas TnT∗n = IL2(T) 9 0(WOT). Repare-se

ainda que Tn 9 0(SOT) o que garante que em espacos de dimensao infinita as duastopologias, forte e fraca de operadores, nao coincidem em geral.

Apesar das diferencas entre as topologias forte e fraca de operadores em L(H),e surpreendente que a continuidade de um funcional linear definido em L(H) sejaindependente da topologia considerada. Este facto vai mostrar-se bastante importanteno estudo das algebras de von Neumann.

Cap5:010 Proposicao 5.1.1. Sejam H um espaco de Hilbert e ϕ : L(H) → C um funcionallinear em L(H). Sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

(i) ϕ e fracamente contınuo;

(ii) ϕ e fortemente contınuo;

(iii) Existem vectores x1, xx, ..., xn e y1, y2, ..., yn em H tais que,

ϕ(T ) =n∑i=1

〈Txi, yi〉, para qualquer T ∈ L(H).

Dem. Comece-se por admitir que ϕ e fracamente contınuo. Sendo (Tα) uma rede emL(H) tal que Tα →

αT (SOT), com T ∈ L(H), entao, dado que Tα →

αT (WOT), tem-se

que ϕ(Tα)→αϕ(T ) em C o que garante que (i) ⇒ (ii).

Mostre-se que (ii)⇒(iii) e para tal suponha-se que ϕ e fortemente contınuo. Deacordo com a Definicao

Cap1.222?? a topologia forte de operadores em L(H) e gerada pela

famılia de seminormas ‖.‖xx∈H , definidas por ‖T‖x := ‖Tx‖ para T ∈ L(H) ex ∈ H. Esta famılia de seminormas e separadora2 e do estudo dos espacos localmenteconvexos3 sabe-se que existe uma constante C > 0 e vectores x1, x2, ..., xn em H tais

2Uma famılia de seminormas, F := ‖.‖ii∈I , definidas num espaco vectorial X diz-se separadorase para cada vector nao nulo x ∈ X, existe i0 ∈ I por forma a que ‖x‖i0 6= 0

3Teorema: Se X e um espaco vectorial topologico cuja topologia e induzida por uma famıliaseparadora de seminormas F := ‖.‖ii∈I , entao um funcional linear ϕ em X e contınuo se e so seexiste uma constante C > 0 e existem elementos i1, i2, ...in ∈ I por forma a que, para qualquer x ∈ X,

|ϕ(x)| ≤ C maxk=1,...,n

‖x‖ik .


que, para qualquer T ∈ L(H),

|ϕ(T )| ≤ C maxi=1,...,n

‖T‖xi ≤ C

√√√√ n∑i=1

‖Txi‖2. (5.3) Cap5:03

Considere-se no espaco de Hilbert Hn :=⊕n

i=1H o subespaco linear

M := (Tx1, Tx2, ..., Txn) : T ∈ L(H) ,

e o funcional linear definido em M por

ψ : M → C, (Tx1, Tx2, ..., Txn) 7→ ϕ(T ).

Tem-se de (Cap5:035.3) que ψ e um funcional linear limitado pois

|ψ(Tx1, Tx2, ..., Txn)| ≤ C

√√√√ n∑i=1

‖Txi‖2,

para qualquer T ∈ L(H). O funcional ψ admite assim uma unica extensao a umfuncional linear limitado (contınuo para a topologia da norma) definido no espaco deHilbert M, o fecho do espaco M. Representando ainda por ψ essa extensao, resultado teorema da representacao de Riesz para funcionais lineares limitados que existe umvector (y1, y2, ..., yn) ∈M tal que, para qualquer (ξ1, ξ2, ..., ξn) ∈M se tem

ψ(ξ1, ξ2, ..., ξn) =n∑i=1

〈ξi, yi〉.

Particularmente, para qualquer T ∈ L(H), dado que (Tx1, Tx2, ..., Txn) ∈M,

ϕ(T ) = ψ(Tx1, Tx2, ..., Txn) =n∑i=1

〈Txi, yi〉,

ficando assim estabelecido que (ii)⇒(iii).Finalmente observe-se que caso a condicao (iii) seja satisfeita e (Tα) seja uma rede

em L(H) tal que Tα →αT (WOT), com T ∈ L(H), entao

ϕ(Tα) =n∑i=1

〈Tαxi, yi〉 →α

n∑i=1

〈Txi, yi〉 = ϕ(T ),

pelo que ϕ e fracamente contınuo, ou seja, tem-se (i).

Considere-seM um subconjunto de L(H). Conclui-se da cadeia de implicacoes (Cap5:01??)

que

M⊂M(SOT) ⊂M(WOT),


onde M(WOT)e M(SOT)

designam, respectivamente, o fecho fraco e o fecho fortede M em L(H). Na Proposicao

Cap5:0105.1.1 indica-se uma condicao suficiente para que se

tenha a igualdade dos fechos de M nas duas topologias.

Cap5:011 Proposicao 5.1.2. Se H e um espaco de Hilbert e M e um subconjunto convexo deL(H), entao

M(SOT)=M(WOT)

.

Dem. Como L(H), com a topologias forte ou fraca de operadores, constitui umespaco vectorial topologico localmente convexo e M e, por hipotese, um subconjunto

convexo de L(H), sabe-se da teoria geral de espacos localmente convexos queM(SOT)

eM(WOT)sao caracterizados pelo tipo de funcionais lineares contınuos definidos em

L(H) para cada uma das topologias4. Acontece que pela ProposicaoCap5:0105.1.1 os funcionais

lineares definidos em L(H) que sao contınuos para a topologia fraca de operadorescoincide com aqueles que sao contınuos para a topologia forte de operadores. Destefacto obtem-se de imediato a igualdade pretendida.

5.1.2 Algebras de von Neumann. Teorema do bicomutante

cap5:04 Definicao 5.1.1. Dado um espaco de Hilbert H, uma subalgebra C∗ A de L(H),contendo o operador identidade IH ∈ L(H), diz-se uma algebra de von Neumann se Ae fechada na topologia forte de operadores5.

Repare-se que de acordo com a ProposicaoCap5:0115.1.2 as algebras de von Neumann po-

dem ser definidas, de modo equivalente, como as subalgebras C∗ de L(H) que contemo operador IH e sao fechadas na topologia fraca de operadores. Efectivamente, se A e

uma subalgebra de L(H) entao A(WOT)= A(SOT)

.

Exemplos elementares de algebras de von Neumann sao obviamente a algebra L(H),com H um espaco de Hilbert, e a sua subalgebra C∗ fortemente fechada

CIH := λIH : λ ∈ C .

Repare-se que sendo A uma qualquer subalgebra C∗ de L(H) que contem IH , entao

o seu fecho forte A(SOT)e o seu fecho fraco A(WOT)

sao ainda algebras de von

4Teorema: Se X e um espaco topologico localmente convexo e M e um subconjunto convexo deX entao um elemento x ∈ X pertence ao fecho deM se e so se existe uma rede (xα) de elementos deM tal que F (xα)→

αF (x) para todo o funcional linear contınuo definido em X.

5Sempre que A definir uma algebra de von Neumann em L(H) diz-se que A e uma algebra de vonNeumann que actua em H.


Neumann. Efectivamente, dado que A(SOT)= A(WOT)

entao estas algebras saofechadas para a operacao de involucao sendo ainda algebras C∗. Particularmente, seT ∈ L(H) e um operador normal entao AT := alg∗T, a algebra C∗ gerada por T,

T ∗ e por IH , e uma algebra C∗ comutativa tendo-se que AT(SOT)

e AT(WOT)

saoalgebras de von Neumann.

Por definicao as algebras de von Neumann sao subalgebras C∗ de L(H) com umacondicao topologica adicional. No que se segue vai mostrar-se que nas algebras de vonNeumann a condicao topologica relativa ao seu fecho forte pode ser substituıda poruma condicao puramente algebrica. Para estabelecer este facto comeca-se por recordaro conceito de comutante de um conjunto, introduz-se a nocao de duplo comutante eanalisam-se algumas das propriedades destes dois conceitos.

Definicao 5.1.2. Sendo H um espaco de Hilbert e M um subconjunto de L(H),chama-se comutante de M ao conjunto

M′ := T ∈ L(H) : TS = ST, S ∈M .

Chama-se bicomutante ou duplo comutante de M ao comutante de M′, ou seja, aoconjunto

M′′ := (M′)′.

Seguem-se algumas propriedades importantes do bicomutante de um conjuntoM⊂L(H).

Cap5:08 Proposicao 5.1.3. Sejam H um espaco de Hilbert e M, M1 e M2 subconjuntos deL(H). Tem-se que:

(i) M⊆M′′;

(ii) Se M1 ⊂M2 entao M′2 ⊂M′

1;

(iii) M′ = (M′′)′;

(iv) M′ e uma subalgebra de L(H) que e fracamente fechada (fortemente fechada) emL(H) e contem IH ;

(v) Se M e autoadjunto, ou seja, se T ∗ ∈ M sempre que T ∈ M, entao M′ e umaalgebra de von Neumann.

Dem. (i) e (ii) verificam-se directamente da definicao de comutante. Quanto a (iii),tem-se por (i) queM⊆M′′ e por (ii) conclui-se que (M′′)′ ⊂M′. A inclusao contrariae consequencia de (i) tendo-se M′ ⊂ (M′)′′ = (M′′)′.


Relativamente a proposicao (iv) e claro que M′ e uma subalgebra de L(H) quecontem IH . Para provar que M′ e fracamente fechado considere-se (Tα) uma rede deoperadores em M′ fracamente convergente para T ∈ L(H). Assim, para quaisquerx, y ∈ H e qualquer S ∈M,

〈TSx, y〉 = limα〈TαSx, y〉 = lim

α〈STαx, y〉

= limα〈Tαx, S∗y〉 = 〈Tx, S∗y〉 = 〈STx, y〉,

donde de conclui que ST = TS e consequentemente T ∈M′. Assim se mostra queM′

e fracamente fechado em L(H) (logo fortemente fechado).Finalmente para estabelecer (v) basta reparar que seM e autoadjunto entaoM′ e

tambem autoadjunto e que se M′ e fortemente fechado entao tambem e fechado paraa topologia da norma de L(H). Assim,M′ e uma subalgebra C∗ de L(H) e atendendoa (iv) e uma algebra de von Neumann.

Observe-se que a condicao (v) acima permite afirmar que o comutante A′ de umaalgebra de von Neumann A e tambem uma algebra de von Neuman.

O proximo resultado esta na genese do teorema do Bicomutante, um dos resultadosmais importantes da teoria das algebras de von Neumann.

cap5:05 Lema 5.1.4. Se H e um espaco de Hilbert e A e uma subalgebra autoadjunta de L(H)contendo o operador identidade IH ∈ L(H) entao, para qualquer elemento x ∈ H e

qualquer operador T ∈ A′′ existe uma sucessao (A(x)n ) de operadores em A tal que∥∥A(x)

n x− Tx∥∥→

n0.

Alem disso, fixados elementos x1, x2, ..., xk ∈ H e um operador T ∈ A′′ entao existeuma sucessao (An) de operadores em A tal que para qualquer 1 ≤ i ≤ k,

‖Anxi − Txi‖ →n

0.

Dem. Fixe-se x ∈ H e T ∈ A′′. Seja M := Ax o fecho do subespaco linearAx ⊂ H com Ax := Ax : A ∈ A. O subespaco M e claramente invariante paratodos os operadores de A e dado que A e autoadjunta entao M⊥, o ortogonal de M, etambem invariante para os operadores de A. De acordo com a Definicao

d3.4.0??, M e um

subespaco redutor para todos os operadores de A tendo-se, atendendo a condicao (ii)da Proposicao

p3.4.0??, que para qualquer A ∈ A,

PMA = APM ,


onde PM designa o operador de projeccao de H sobre o subespaco fechado M. Assim,PM ∈ A′ e dado que T ∈ A′′ entao PMT = TPM . Recorrendo novamente a condicao(ii) da Proposicao

p3.4.0??, M e um subespaco redutor de T tendo-se que T (M) ⊂M. Dado

que IH ∈ A entao o ponto x ∈ H esta em M e consequentemente Tx ∈M. Da definicaode M conclui-se agora que existe em A uma sucessao de operadores (A

(x)n ) tal que

‖Anx− Tx‖ →n

0,

ficando demonstrada a primeira parte do lema.Fixem-se agora x1, x2, ..., xk ∈ H e T ∈ A′′. Considere-se o espaco de Hilbert

Hk :=⊕k

i=1 H e o operador

Ψ : L(H)→ L(Hk), S 7→k⊕i=1

S,

ondek⊕i=1

S : Hk → Hk, (ξ1, ξ2, ..., ξk) 7→ (Sξ1, Sξ2, ..., Sξk).

E um exercıcio simples verificar que Ψ(A) e uma subalgebra autoadjunta de L(Hk)que contem IHk . Como Ψ(T ) :=

⊕ki=1 T pertence a Ψ(A)′′, resulta da primeira parte

do lema que dado o elemento x = (x1, x2, ..., xk) ∈ Hk, existe uma sucessao (Ψ(Tn))em Ψ(A) tal que

‖Ψ(Tn)x−Ψ(T )x‖ =

√√√√ k∑i=1

‖Tnxi − Txi‖2 →n

0,

logo,‖Tnxi − Txi‖ →

n0, para 1 ≤ i ≤ k.

Cap5:07 Teorema 5.1.5 (Teorema do Bicomutante de von Neumann). Sejam H um espaco deHilbert e A uma subalgebra C∗ de L(H) que contem o operador identidade IH ∈ L(H).Sao equivalentes as seguintes condicoes:

(i) A = A′′;

(ii) A e fracamente fechada em L(H);

(iii) A e fortemente fechada em L(H).


Dem. (i) ⇒ (ii) e consequencia, atendendo a condicao (iv) da ProposicaoCap5:085.1.3, do

facto dos comutantes serem fracamente fechados.(ii) ⇒ (iii) e consequencia imediata da Proposicao

Cap5:0115.1.2.

Mostre-se que (iii)⇒ (i). Dado que A ⊂ A′′ prove-se A′′ ⊂ A. Para tal considere-seT ∈ A′′ e fixe-se V (T ;x1, x2, ..., xk; ε) a vizinhanca de T definida por

V (T ;x1, x2, ..., xk; ε) := S ∈ L(H) : ‖Sxi − Txi‖ < ε, 1 < i < k , (5.4) Cap5.viz

com x1, x2, ..., xk ∈ H e ε > 0. Sendo A uma subalgebra autoadjunta de L(H) quecontem IH , resulta do Lema

cap5:055.1.4 que existe em A uma sucessao de operadores (Tn)

tal que para qualquer 1 ≤ i ≤ k,

‖Tnxi − Txi‖ → 0.

Assim, para n suficientemente grande, tem-se que Tn ∈ V (T ;x1, x2, ..., xk; ε) e conse-quentemente

V (T ;x1, x2, ..., xk; ε) ∩ A 6= ∅.

Como a famılia de vizinhancas (Cap5.viz5.4) constitui uma base de vizinhancas de T para a

topologia forte de operadores (cf. (Topforte??)), entao

A′′ ⊂ A(SOT).

Por hipotese A e fortemente fechada concluindo-se, como pretendido, que A′′ ⊆ A.

O teorema do bicomutante permite agora caracterizar as algebras de von Neumannem termos puramente algebricos.

Cap5:000 Corolario 5.1.6. Se H e um espaco de Hilbert e A e uma subalgebra C∗ de L(H)entao A e uma algebra de von Neumann se e so se A = A′′.

E facil constatar que a interseccao de uma famılia de algebras de von Neumanne ainda uma algebra de von Neumann. Assim, dado um subconjunto M ⊂ L(H),define-se algebra de von Neumann gerada por M como sendo a interseccao de todas asalgebras de von Neumann de L(H) que contemM. Segue do teorema do bicomutanteo seguinte resultado:

Corolario 5.1.7. Se H e um espaco de Hilbert e M e um subconjunto autoadjunto deL(H) entao M′′ e a algebra de von Neumann gerada por M.

Dem. Das afirmacoes (i) e (v) da ProposicaoCap5:085.1.3 tem-se que seM e um subconjunto

autoadjunto de L(H) entao M′′ e uma algebra de von Neumann contendo M. Para

5.2. ALGEBRAS DE VON NEUMANN E PROJECCOES 11

provar que M′′ e a menor algebra de von Neumann nestas condicoes, considere-seA uma outra algebra de von Neumann que contem M. Assim, A′ ⊂ M′ pelo queM′′ ⊂ A′′. Sendo A uma algebra de von Neumann, segue do Corolario

Cap5:0005.1.6 que

A′′ = A, logo M′′ ⊂ A.

5.2 Algebras de von Neumann e projeccoessec5.1.2

Sendo A uma algebra C∗ com unidade, como exemplos triviais de projeccoes em Adestacam-se o elemento zero e a unidade e ∈ A, uma vez que claramente se temx = x∗ = x2 para x = 0 ou x = e. Existem mesmo algebras C∗ onde as unicas pro-jeccoes sao as triviais. Como exemplo indica-se a algebra C∗ das funcoes contınuasC(X), com X um espaco de Hausdorff compacto e conexo. Nesta seccao vai mostrar-se que se A e uma algebra de von Neumann que actua num espaco de Hilbert H eA 6= CIH , entao existem sempre em A projeccoes nao trivias. Nomeadamente, paraqualquer operador T ∈ A vai mostrar-se que o operador de projeccao sobre o fecho docontradomınio de T esta ainda em A.

Comece-se por recordar que, a semelhanca do que sucede numa qualquer algebraC∗, se escreve T ≥ 0 para representar que um operador T ∈ L(H) e positivo. Assim,T ≥ S ou S ≤ T significa que T − S ≥ 0, para T, S ∈ L(H). Diz-se que uma famıliade operadores Tαα∈I em L(H) e majorada se existe um operador T ∈ L(H) tal queTα ≤ T para qualquer α ∈ I, e diz-se minorada se existe um operador S ∈ L(H) talque S ≤ Tα para qualquer α ∈ I. Uma rede (Tα)α∈I de operadores de L(H) diz-secrescente caso Tα ≤ Tβ sempre que α ≤ β e diz-se decrescente se Tβ ≤ Tα sempre queα ≤ β.

Cap5:014 Teorema 5.2.1 (Teorema de Vigier). Sejam H um espaco de Hilbert, A uma algebrade von Neumann que actua em L(H) e (Tα) uma rede de operadores autoadjuntos emL(H). Sao verdadeiras as seguintes afirmacoes:

(i) Se (Tα) e majorada e crescente entao existe um operador autoadjunto T ∈ A talque Tα →

αT (SOT); o operador T e o menor majorante da famılia Tα;

(ii) Se (Tα) e minorada e decrescente entao existe um operador autoadjunto S ∈ Atal que Tα →

αS(SOT); o operador S e o maior minorante da famılia Tα.

Dem. Procede-se apenas a demonstracao da condicao (i) ja que (ii) pode ser obtidapor aplicacao de (i) a rede (−Tα). Sendo (Tα) uma rede de operadores autoadjuntosmajorada, suponha-se sem perda de generalidade (Tα) e tambem minorada (caso talnao aconteca basta substituir a rede (Tα) por (Tα)α≥α0 e considerar como minoranteo operador Tα0). Admita-se ainda que todos os operadores Tα sao positivos (caso


contrario basta considerar a rede (Tα − Tα0)). Nas condicoes indicadas existe umaconstante C ≥ 0 tal que ‖Tα‖ ≤ C para qualquer α. Efectivamente, dado que os

operadores Tα sao autoadjuntos e admitem T ∈ L(H) como um majorante, entao

‖Tα‖ = sup‖x‖=1

〈Tαx, x〉 ≤ sup‖x‖=1

〈T x, x〉 ≤ ‖T‖.

Como consequencia, para qualquer x ∈ H, a rede crescente (〈Tαx, x〉) e limitada su-periormente por C‖x‖2 sendo portanto convergente. Como cada operador Tα e umoperador positivo, sabe-se da Proposicao

Cap3:4?? que para cada α, existe um operador po-

sitivo√Tα ∈ A tal que Tα =

√Tα√Tα. Como consequencia, para quaisquer x, y ∈ H

tem-se que〈Tαx, y〉 = 〈

√Tα(x),

√Tα(y)〉,

e por calculo directo obtem-se

〈Tαx, y〉 =1

4

3∑k=0

ik〈√Tα(x+ iky),

√Tα(x+ iky)〉,

logo

〈Tαx, y〉 =1

4

3∑k=0

ik〈Tα(x+ iky), x+ iky〉.

Como as redes (〈Tα(x + iky), x + iky〉) sao convergentes (para k = 0, 1, 2, 3) entao omesmo acontece a rede (〈Tαx, y〉), para quaisquer x, y ∈ H. Defina-se a aplicacao

τ : H ×H → C, (x, y) 7→ τ(x, y) := limα〈Tαx, y〉.

E facil constatar que τ define uma forma sesquilinear em H. Como τ e limitada pois,para quaisquer x, y ∈ H,

|τ(x, y)| = limα|〈Tαx, y〉| ≤ C‖x‖‖y‖,

entao, de acordo com a notaCap3:100?? do Capıtulo 3, existe um operador T ∈ L(H) com

‖T‖ ≤ C, tal que

τ(x, y) := limα〈Tαx, y〉 = 〈Tx, y〉, x, y ∈ H. (5.5) Cap5:013

Como todos os operadores Tα sao autoadjuntos, resulta de (Cap5:0135.5) que o mesmo acontece

a T, e como a rede (〈Tαx, x〉) e crescente e converge para 〈Tx, x〉 entao para qualquerα tem-se,

〈(T − Tα)x, x〉 = 〈T, x〉 − 〈Tαx, x〉 ≥ 0, x ∈ H,

ou seja, T ≥ Tα.


Tem-se Tα →αT (SOT). Efectivamente, para qualquer x ∈ H,

‖Tx−Tαx‖2 = ‖(T−Tα)x‖2 = ‖√T − Tα

√T − Tα(x)‖2 ≤ ‖

√T − Tα‖2‖

√T − Tα(x)‖2,

e uma vez que‖√T − Tα‖ = ‖T − Tα‖

12 ≤ (2C)

12 ,

e‖√T − Tα(x)‖2 = 〈(T − Tα)x, x〉 →

α0,

entao‖Tx− Tαx‖ →

α0.

Dado que A e fortemente fechada entao T ∈ A. De acordo com (Cap5:0135.5), se T e um

majorante da famılia de operadores Tα entao, para qualquer x ∈ H,

〈T x, x〉 ≥ limα〈Tαx, x〉 = 〈Tx, x〉.

tendo-se T ≥ T. O operador T e entao o menor majorante de Tα.

Observe-se que caso (Pα) seja uma rede de operadores de projeccao em L(H),fortemente convergente para um operador P ∈ L(H), entao P e ainda um operadorde projeccao. Efectivamente, se Pα →

αP (SOT) entao Pα →

αP (WOT) logo, para

quaisquer x, y ∈ H,

〈Px, y〉 = limα〈Pαx, y〉 = lim

α〈Pαx, Pαy〉 = 〈Px, P (y)〉 = 〈P 2x, y〉,

o que permite concluir que P 2 = P. Com um argumento analogo se garante que P = P ∗.Observe-se ainda que caso Pα ≥ Pβ entao Im Pβ ⊂ Im Pα. Para verificar este factobasta atender a que Im Pα = (Ker Pα)⊥, Im Pβ = (Ker Pβ)⊥ e reparar que se Pα ≥ Pβentao Ker Pα ⊂ Ker Pβ.

Particularizando o teorema de Vigier para operadores de projeccao obtem-se o re-sultado em baixo.

Cap5:012 Corolario 5.2.2. Sejam H um espaco de Hilbert e (Pα) uma rede de operadores deprojeccao numa algebra de von Neumann A ⊂ L(H). Sao verdadeiras as seguintesafirmacoes:

(i) Se (Pα) e crescente entao e fortemente convergente para P ∈ A, onde P e ooperador de projeccao sobre o fecho do conjunto M := ∪

α(Im Pα) , a uniao dos

contradomınios dos operadores Pα;


(ii) Se (Pα) e decrescente entao e fortemente convergente para S ∈ A, onde S eo operador de projeccao sobre o conjunto M := ∩

α(Im Pα) , a interseccao dos

contradomınios dos operadores Pα.

Dem. Atendendo a que 0 ≤ Pα ≤ IH , conclui-se do teorema de Vigier que em ambosos casos (i) e (ii) a rede (Pα) converge para um operador em A, que necessariamentee um operador de projeccao. Para o caso (i), dado que o operador de projeccao sobreo fecho da uniao dos conjuntos Im Pα e o menor majorante do conjunto Pα, entaoeste operador coincide com P. Para o caso (ii), dado que o operador de projeccao sobrea interseccao dos conjuntos Im Pα e o maior minorante do conjunto Pα entao esteoperador coincide com S.

Uma famılia Tαα∈I de operadores em L(H) diz-se ortogonal sempre que TαTβ = 0para α 6= β, ou seja, se (Im Tα) ⊥ (Im Tβ) para α 6= β. Diz-se fortemente somavel sea rede (∑

α∈F

Tα

)F

,

onde F percorre os subconjuntos finitos de I, e fortemente convergente para um ope-rador T ∈ L(H) escrevendo-se

T =∑α∈I

Tα(SOT).

Analogamente se define famılia fracamente somavel de operadores em L(H).Relativamente a soma de operadores de projeccao ortogonais, tem-se o seguinte

resultado:

Cap5.ggg Proposicao 5.2.3. Sejam H um espaco de Hilbert, A ⊂ L(H) uma algebra de vonNeumann e Pαα∈I uma famılia ortogonal e nao vazia de operadores de projecccaoem A. Tem-se que a famılia Pαα∈I e fortemente somavel, existindo um operador deprojeccao P ∈ A tal que

P =∑α∈I

Pα (SOT).

Alem disso, para qualquer x ∈ H,

‖Px‖ =

(∑α∈I

‖Pαx‖2

)1/2

.

Dem. Considere-se a famılia de todos os subconjuntos finitos e nao vazios de I,parcialmente ordenado com a relacao de inclusao. Para cada subconjunto finito e nao


vazio F de I defina-se o operador de projeccao PF :=∑

α∈F Pα. E claro que a rede(PF )F constitui uma rede crescente de operadores de projeccao em A. Do CorolarioCap5:0125.2.2 conclui-se entao que existe um operador de projeccao P ∈ A tal que

PF :=∑α∈F

Pα →FP (SOT).

Assim, dado que a famılia Pαα∈F e ortogonal, para qualquer x ∈ H, tem-se que

‖Px‖2 = limF‖PF (x)‖2 = lim

F

∑α∈F

‖Pα(x)‖2 =∑α∈I

‖Pαx‖2,

ficando demonstrado o resultado.

Uma das caracterısticas das algebras de von Neumann e serem ricas em projeccoes.O proximo resultado vai permitir afirmar que numa algebra de von Neumann A 6= CIHexistem sempre operadores de projeccao nao triviais.

Cap5:015 Lema 5.2.4. Se H e um espaco de Hilbert, A ⊂ L(H) e uma algebra de von Neumann

e T e um operador positivo em A tal que 0 ≤ T ≤ IH , entao a sucessao(T

1n

)e

crescente e existe um operador de projeccao PT ∈ A tal que

T1n →

nPT (SOT).

O operador PT constitui o operador de projeccao sobre Im T , o fecho do contradomıniodo operador T.

Dem. Sejam AT := algT∗ a subalgebra C∗ de A ⊂ L(H) gerada por T (T = T ∗)e IH , e Γ−1 : C(σ(T ))→ AT , f 7→ f(T ) o calculo funcional contınuo para o operadornormal T. Recorde que para a funcao z : λ 7→ λ se tem z(T ) = T (cf. Proposicao

t4??)

e como consequencia, para cada funcao z1n com n ∈ N, tem-se que z

1n (T ) = T

1n . Como

0 ≤ z(λ) ≤ 1, para λ ∈ σ(T ) ⊂ R+0 , entao (T

1n ) e uma sucessao crescente de operadores

positivos de AT ⊂ A tal que ‖T 1n‖ ≤ 1. O Teorema

Cap5:0145.2.1 garante a existencia de um

operador autoadjunto PT ∈ A tal que T1n →

nPT (SOT) e para estabelecer o enunciado

basta mostrar que PT e um operador de projeccao que coincide com o operador deprojeccao sobre o subespaco Im T , ou seja, sobre o fecho do contradomınio de T.

Para cada x ∈ X, dado que

‖(T2n − P 2

T )x‖ = ‖T1n (T

1n − PT )x+ (T

1n − PT )PTx‖

≤ ‖(T1n − PT )x‖+ ‖(T

1n − PT )PTx‖ →

n0,


pois

‖(T1n − PT )x‖ →

n0 e ‖(T

1n − PT )PTx‖ →

n0,

entao T2n →

nP 2T (SOT). Passando a subsucessao dos termos de ordem par conclui-se que

T1n →

nP 2T (SOT) logo, pela unicidade de limite, PT = P ∗T = P 2

T . Fica assim estabelecido

que PT e um operador de projeccao.Como cada funcao z

1n ∈ C(σ(T )) e o limite uniforme de uma sucessao de polinomios

em z cujos termos independentes sao nulos, entao cada operador T1n e tambem o limite

(na topologia da norma) de uma sucessao de polinomios em T sem termos constantes.Assim,

(Tx = 0) ⇒(T

1nx = 0

)⇒ (PTx = 0) ,

tendo-se Ker T ⊂ Ker PT . Quanto a inclusao contraria, se PTx = 0 entao

0 = 〈PTx, x〉 ≥ 〈T2nx, x〉 = 〈T

1nx, T

1nx〉 = ‖T

1nx‖2,

pelo que T1nx = 0 para qualquer n ∈ N. Como

‖Tx‖ = ‖T2n−12n T

12nx‖ ≤ ‖T

2n−12n ‖‖T

12nx‖ = 0,

entao Tx = 0. Assim, Ker PT = Ker T e, dado que T e um operador autoadjunto e PTe um operador de projeccao, entao

Im T = (Ker T )⊥ = (Ker PT )⊥ = Im PT ,

concluindo-se que PT e o operador de projeccao sobre Im T .

Como consequencia do resultado anterior, designando por PT o operador de pro-jeccao sobre o fecho do contradomınio de um operador T ∈ L(H), tem-se o seguinteresultado:

Cap5:042 Corolario 5.2.5. Se A e uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H entao

PT ∈ A,

para qualquer operador T ∈ A.

Dem. Dado T ∈ A um operador nao nulo, tem-se que o operador

T :=1

‖TT ∗‖TT ∗


e positivo e satisfaz 0 ≤ T ≤ IH . De acordo com a ProposicaoCap5:0155.2.4 entao o operador

PT , o operador de projeccao sobre Im T , pertence a algebra A. Atendendo a que

〈TT ∗x, x〉 = ‖T ∗x‖2, x ∈ H,

entao Ker T ∗ = Ker T , pelo que

Im T = (Ker T ∗)⊥ = (Ker T )⊥ = Im T ,

ou seja, PT coincide com o operador PT .

As algebras de von Neumann nao so possuem muitas projeccoes como estas per-mitem caracterizar propria algebra. Recorrendo ao calculo funcional de Borel paraoperadores normais (Subseccao

Sub3.5.2??), mostra-se de seguida como o conjunto das com-

binacoes lineares finitas das projeccoes de uma algebra A e denso em A.

Cap5:019 Teorema 5.2.6. Sejam H um espaco de Hilbert e A uma algebra de von Neumannque actua em H. Sendo Pα : α ∈ I o conjunto de todos os operadores de projeccaode A entao

A = spanPα : α ∈ I,onde spanPα : α ∈ I designa o fecho na topologia da norma de operadores do conjuntospanPα : α ∈ I das combinacoes lineares finitas dos elementos de Pα : α ∈ I.

Dem. Para cada operador normal T ∈ A denote-se por ET a resolucao da identidadede T (Teorema

t3.2.5??) e seja

Γ−1T : B∞(σ(T ))→ L(H), f 7→ f(T ) :=

∫σ(T )

f dET , (5.6) Cap5:016

o calculo funcional de Borel para o operador T introduzido na DefinicaoCap3:90??. Recorde-se

que sendo AT := algT∗ a subalgebra C∗ de A ⊂ L(H) gerada por T, T ∗ e IH , entao,de acordo com o Teorema

t3.2.5??, ET e a unica medida espectral em (σ(T ), H) tal que

Γ−1(u) =

∫σ(T )

u dET , u ∈ C(σ(T )),

comΓ−1 : C(σ(T ))→ AT , u→ u(T ),

o caculo funcional contınuo para o operador T .Sendo f uma qualquer funcao em B∞(σ(T )), a semelhanca da demonstracao do

LemaCap3:80?? existe uma rede (uα) de funcoes contınuas de C(σ(T )) tal que ‖uα‖∞ ≤ ‖f‖∞

e tal que, para quaisquer x, y ∈ H,

〈f(T )x, y〉 =

∫σ(T )

f dETx,y = lim

α

∫σ(T )

uα dETx,y = lim

α〈uα(T )x, y〉.


Assim, uα(T ) →αf(T ) (WOT) e dado que (uα(T )) e uma rede de operadores em A

entao f(T ) ∈ A, uma vez que A e fracamente fechada.

Se T ∈ A e um operador normal, dado que a funcao identidade em σ(T ), z : λ 7→ λ,pode ser aproximada na norma do supremo por combinacoes lineares finitas de funcoescaracterıstica χ∆ com ∆ borelianos de σ(T ), entao o operador T = z(T ) pode seraproximado, na topologia da norma de L(H), por combinacoes lineares finitas dosoperadores de projecao da forma χ∆(T ) ∈ A. Se A e uma algebra C∗, entao todoo operador T ∈ A admite uma representacao da forma T = T1 + iT2 com T1 e T2

operadores autoadjuntos (TeoremaCap3:76??), logo normais. Cada um dos operadores T1 e

T2 pode entao ser aproximado por combinacoes lineares finitas de projeccoes de A, oque estabelece o resultado.

5.3 Teorema da densidade de Kaplansky

Concluiu-se a seccao anterior com o TeoremaCap5:0195.2.6, um resultado de densidade que ga-

rante que o conhecimento das projeccoes de uma algebra de von Neumann e suficientepara caracterizar a algebra. Efectivamente, toda a algebra de von Neumann A queactua num espaco de Hilbert H e o fecho, na topologia induzida pela norma de opera-dores, do conjunto das combinacoes lineares finitas das suas projeccoes. Nesta seccaovai verificar-se como o conhecimento de um certo subconjunto de uma subalgebra C∗

de L(H), a bola unitaria fechada, permite garantir se a mesma e ou nao uma algebrade von Neumann.

Sendo H um espaco de Hilbert, verificou-se no ExemploCap5:0605.1.1 que a aplicacao de

involucao em L(H),

∗ : T 7→ T ∗,

nao e em geral fortemente contınua. Inicia-se esta seccao garantindo-se que a restricaodesta aplicacao ao conjunto dos operadores normais de L(H) ja e fortemente contınua.

Cap5:017 Proposicao 5.3.1. Sendo H um espaco de Hilbert, a involucao em L(H), ∗ : T 7→ T ∗,e uma aplicacao fortemente contınua quando restringida ao conjunto dos operadoresnormais de L(H).

Dem. Sejam (Tα) uma rede de operadores normais de L(H) e T ∈ L(H) um operador

5.3. TEOREMA DA DENSIDADE DE KAPLANSKY 19

normal tal que Tα →αT (SOT). Para qualquer x ∈ H, tem-se

‖T ∗αx− T ∗x‖2 = 〈T ∗αx− T ∗x, T ∗αx− T ∗x〉

= 〈T ∗αx, T ∗αx〉+ 〈T ∗x, T ∗x〉 − 〈x, TαT ∗x〉 − 〈x, TT ∗αx〉

= 〈TαT ∗αx, x〉+ 〈TT ∗x, x〉 − 〈x, TαT ∗x〉 − 〈TαT ∗x, x〉

= 〈T ∗αTαx, x〉+ 〈T ∗Tx, x〉 − 〈x, TαT ∗x〉 − 〈TαT ∗x, x〉

= ‖Tαx‖2 + ‖Tx‖2 − 〈x, TαT ∗x〉 − 〈TαT ∗x, x〉.

Atendendo a que Tα →αT (SOT), entao

‖Tαx‖ →α‖Tx‖,

〈x, TαT ∗x〉 →α〈x, TT ∗x〉 = ‖Tx‖2 e 〈TαT ∗x, x〉 →

α〈TT ∗x, x〉 = ‖Tx‖2,

concluındo-se assim que

‖T ∗αx− T ∗x‖2 →α

0,

para qualquer x ∈ H, ou seja, T ∗α →αT ∗(SOT) o que completa a demonstracao do

resultado.

Definicao 5.3.1. Sejam H um espaco de Hilbert e f : R → C uma funcao contınua.Diz-se que f e fortemente contınua em H se a aplicacao

T 7→ f(T ),

onde T varia no conjunto dos operadores autoadjuntos de L(H) e f(T ) e a imagem dafuncao f pelo calculo funcional de Borel para o operador T (ver (

Cap5:0165.6)), for fortemente

contınua.

Denote-se por CH(R) o subconjunto de C(R) constituıdo pelas funcoes que saofortemente contınuas num espaco de Hilbert H. O conjunto CH(R) e claramente umsubespaco vectorial de C(R).

Cap5:061 Proposicao 5.3.2. Seja C∞(R) := L∞(R) ∩ C(R) a subalgebra de C(R) constituıdapelas funcoes contınuas em R que sao limitadas para a norma do supremo. Se f1, f2 ∈CH(R) e alguma destas funcoes fi pertencer a C∞(R), entao a funcao produto f1.f2

tambem pertence a CH(R).


Dem. Considere (Tα) uma rede de operadores autoadjuntos de L(H) tal que Tα →α

T (SOT), com T ∈ L(H) um operador autoadjunto, e suponha que f1 ∈ C∞(R). Nestascondicoes, para qualquer x ∈ H, tem-se

‖f1.f2(Tα)x− f1.f2(T )x‖ = ‖f1(Tα)f2(Tα)x− f1(T )f2(T )x‖

≤ ‖f1(Tα)‖L∥∥f2(Tα)x− f2(T )x

∥∥+∥∥(f1(Tα)− f1(T )

)f2(T )x

∥∥≤ ‖f1‖∞

∥∥f2(Tα)x− f2(T )x∥∥+

∥∥(f1(Tα)− f1(T ))f2(T )x

∥∥,logo, atendendo a que f1, f2 ∈ CH(R), entao∥∥f2(Tα)x− f2(T )x

∥∥→α

0,∥∥(f1(Tα)− f1(T )

)f2(T )x

∥∥→α

0

pelo que ‖f1f2(Tα)x− f1f2(T )x‖ →α

0. Assim se demonstra que caso f1 ∈ C∞(R) entao

f1.f2 ∈ CH(R). Analogamente se procede no caso de f2 ∈ C∞(R).

Tem-se ainda que:

Cap5:020 Proposicao 5.3.3. Se f ∈ C∞(R) entao f ∈ CH(R).

Dem. Comece por se mostrar que C0(R) ⊂ CH(R), onde C0(R) designa a subalgebraC∗ de C(R) constituıda pelas funcoes que se anulam no infinito. Para tal considere-sea subalgebra fechada de C0(R) definida por C0H(R) := CH(R) ∩ C0(R). Tem-se queC0H(R) e uma subalgebra autoadjunta de C0(R). Efectivamente, se f ∈ C0H(R) e (Tα)e uma rede de operadores autoadjuntos de L(H) tal que Tα →

αT (SOT), com T um

operador autoadjunto de L(H), obtem-se da ProposicaoCap5:0175.3.1 que

f(Tα) = f(Tα)∗ →αf(T )∗ = f(T ),

uma vez que f(Tα)→αf(T ), o que permite concluir que f ∈ C0H(R).

Considerem-se agora as funcoes f1, f2 ∈ C0(R) dadas por

f1(t) = (1 + t2)−1, f2(t) = tf1(t), t ∈ R. (5.7) Cap5:018

Mostre-se que f1, f2 ∈ C0H(R). Para tal suponha-se que Tα →αT (SOT) onde T e

todos os operadores Tα sao operadores autoadjuntos de L(H). Recorrendo ao calculofuncional contınuo associado a cada um dos operadores indicados, tem-se

f2(Tα)− f2(T ) = Tα(IH + T 2α)−1 − T (IH + T 2)−1

= (IH + T 2α)−1

[Tα(IH + T 2)− (IH + T 2

α)T](IH + T 2)−1

= (IH + T 2α)−1

[Tα − T + Tα(T − Tα)T

](IH + T 2)−1.


Assim, para qualquer x ∈ H,∥∥f2(Tα)x− f2(T )x∥∥ ≤ ‖(IH + T 2

α)−1(Tα − T )(IH + T 2)−1x‖

+ ‖(IH + T 2α)−1Tα(T − Tα)T (IH + T 2)−1x‖,

e dado que

‖(IH + T 2α)−1‖L = ‖f1‖∞ ≤ 1 e ‖Tα(IH + T 2

α)−1‖L = ‖f2‖∞ ≤ 1,

entao∥∥f2(Tα)x− f2(T )x∥∥ ≤ ‖(Tα − T )(IH + T 2)−1x‖+ ‖(T − Tα)T (IH + T 2)−1x‖

pelo que, ∥∥f2(Tα)x− f2(T )x∥∥→

α0.

Como consequencia f2 ∈ C0H(R).Alem disso, atendendo a que f2 e uma funcao limitadaem CH(R), z : t 7→ t e uma funcao em CH(R) e f1 se pode escrever na forma f1 = 1−zf2,resulta da Proposicao

Cap5:0615.3.2 que f1 ∈ C0H(R). Dado que para quaisquer dois elementos

x, y ∈ R se tem f1(x) 6= f1(y) ou f2(x) 6= f2(y), entao a algebra C0H(R) separa ospontos de R. Atendendo a que C0H(R) e uma subalgebra fechada e autoadjunta deC0(R) que separa os pontos de R e contem a funcao f1 que satisfaz f1(t) > 0 paraqualquer t ∈ R, conclui-se do teorema de Stone-Weierstrass que C0H(R) = C0(R), ouseja, C0(R) ⊂ CH(R).

Dada uma qualquer funcao f ∈ C∞(R), atendendo a que f.f1 e f.f2 estao em C0(R)entao f.f1 e f.f2 estao em CH(R). A funcao produto z.f.f2 esta ainda em CH(R) umavez que z ∈ CH(R) e f.f2 ∈ C∞(R) ∩ CH(R). Assim, dado que

f = (f1 + zf2)f = f.f1 + z.f.f2,

com f.f1 e z.f.f2 em CH(R), entao f ∈ CH(R) ja que CH(R) e um subespaco de C(R).

Estabelecidas as anteriores proposicoes, esta-se em condicoes de enunciar e demons-trar o teorema da densidade Kaplansky.

Cap5:034 Teorema 5.3.4 (Teorema da densidade de Kaplansky). Sejam H um espaco de Hil-bert e B uma subalgebra C∗ de L(H) que contem o operador identidade IH ∈ L(H).Defina-se A como a algebra de von Neumann dada pelo fecho forte de B,

A := B (SOT).

Tem-se que:


(i) O conjunto dos operadores autoadjuntos de A, Aau := A ∈ A : A = A∗, e ofecho forte do conjunto dos operadores autoadjuntos de B, Bau := B ∈ B : B =B∗,

Aau = Bau(SOT)

.

(ii) A bola unitaria fechada de Aau, B01(Aau) := A ∈ Aau : ‖A‖L ≤ 1, e o fechoforte da bola unitaria fechada de Bau, B01(Bau) := B ∈ Bau : ‖B‖L ≤ 1,

B01(Aau) = B01(Bau)(SOT)

.

(iii) A bola unitaria fechada de A, B01(A) := A ∈ A : ‖A‖L ≤ 1, e o fecho forte dabola unitaria fechada de B, B01(A) := B ∈ B : ‖B‖L ≤ 1,

B01(A) = B01(B)(SOT)

.

Dem. (i) Que Bau(SOT) ⊂ Aau e um exercıcio simples. Quanto a inclusao contraria,

considere-se T ∈ Aau e (Tα) uma rede em B tal que Tα →αT (SOT). Assim, Tα →

α

T (WOT) e T ∗α →αT (WOT) pelo que a rede (Aα), defininda por

Aα :=1

2(Tα + T ∗α),

e entao uma rede em Bau tal que Aα →αT (WOT). Como A e um conjunto convexo,

conclui-se da ProposicaoCap5:0115.1.2 que Aα →

αT (SOT) logo T ∈ Bau

(SOT).

(ii) Mostra-se sem dificuldade que B01(Bau)(SOT)

⊂ B01(Aau). Quanto a inclusao

contraria, considere-se T ∈ B01(Aau) e mostre-se que T ∈ B01(Bau)(SOT)

. Por (i),existe uma rede (Tα) de operadores em Bau tal que Tα →

αT (SOT). Sendo f ∈ C(R) a

funcao contınua definida por

f(t) := t para t ∈ [−1, 1] e f(t) := 1/t para t ∈ R \ [−1, 1],

tendo em conta que f ∈ C0(R) entao, de acordo com a ProposicaoCap5:0205.3.3, f ∈ CH(R)

tendo-se f(Tα) →αf(T )(SOT). Como T e autoadjunto e ‖T‖L ≤ 1, entao σ(T ) ⊂

[−1, 1] obtendo-se da definicao de f que f(T ) = T. Assim, dado que (f(Tα)) constituiuma rede de operadores autoadjuntos de B com norma ‖(f(Tα)‖ = ‖f‖∞ ≤ 1 entao

T ∈ B01(Bau)(SOT)

.(iii) Considere o espaco de Hilbert H2 := H ⊕ H e sejam M2(A) e M2(B) as

subalgebras de L(H2) definidas, respetivamente, por

M2(B) :=

(A BC D

): A,B,C,D ∈ B

, M2(A) :=

(A BC D

): A,B,C,D ∈ A

.


Sendo A := B (SOT)entao M2(A) e o fecho forte de M2(B) em L(H2). Para mostrar

que B01(A) ⊂ B01(B)SOT

considere-se T ∈ A com ‖T‖L ≤ 1 e defina-se em M2(A) ooperador

T :=

(0 TT ∗ 0

).

Claramente T constitui um operador autoadjunto de M2(A) com norma ‖T‖L(H2) ≤1. Recorrendo a (ii), existe uma rede (Tα) de operadores autoadjuntos na bola unitaria

fechada de M2(B) tal que Tα →αT (SOT). Os operadores Tα sao necessariamente da

forma

Tα =

(Aα TαT ∗α Bα,

)com Aα, Bα operadores autoadjuntos de B e onde (Tα) e uma rede de operadores emB, com norma ‖Tα‖L ≤ 1, tal que Tα →

αT (SOT). Assim se conclui que B01(A) ⊂

B01(B)(SOT)

.

Uma importante consequencia do teorema da densidade de Kaplansky e a possibi-lidade de saber se uma subalgebra C∗ de L(H) contendo IH , e ou nao uma algebra devon Neumann a custa da bola unitaria fechada B01(A) := A ∈ A : ‖A‖L ≤ 1.

Cap5.222 Corolario 5.3.5. Sejam H um espaco de Hilbert, A uma subalgebra C∗ de L(H) quecontem IH e B01(A) := A ∈ A : ‖A‖L ≤ 1 a bola unitaria fechada de A. Tem-se queA e uma algebra de von Neumann se e so se

B01(A) = B01(A)(SOT)

,

ou seja, se e so se a bola unitaria fechada de A e fortemente fechada em L(H).

Dem. Sendo A uma algebra de von Neumann e claro que A = A(SOT). Assim,

de acordo com a condicao (iii) do teorema da densidade de Kaplansky, tem-se que

B01(A(SOT)) = B01(A)

(SOT), ou seja, B01(A) = B01(A)

(SOT).

Reciprocamente suponha-se que B01(A) = B01(A)(SOT)

. Recorrendo novamente

ao teorema da densidade de Kaplansky tem-se que B01(A(SOT)) = B01(A)

(SOT)e

consequentemente B01(A) = B01(A(SOT)). Uma simples observacao permite agora

concluir que A e uma algebra de von Neumann uma vez que A = A(SOT).

Saliente-se que nas condicoes do resultado anterior, dado que o conjunto B01(A)


e convexo, entao pela ProposicaoCap5:0115.1.2 tem-se que B01(A)

(SOT)= B01(A)

(WOT),

podendo substituir-se no corolario a topologia forte pela topologia fraca de operadores.Assim, sendo B01(L(H)) a bola unitaria fechada em L(H),

B01(L(H)) :=T ∈ L(H) : ‖T‖L ≤ 1

,

dado que L(H) e uma algebra de von Neumann entao B01(L(H)) e um conjunto fraca-mente fechado em L(H). Termina-se esta seccao mostrando-se que B01(L(H)) e mesmoum conjunto fracamente compacto em L(H), facto que se mostrara de grande im-portancia no estudo das algebras de von Neumann comutativas.

Cap5:039 Proposicao 5.3.6. Se H e um espaco de Hilbert, entao a bola unitaria fechada B01(L(H))e fracamente compacta em L(H).

Dem. Para quaisquer x, y ∈ H considere-se o subconjunto compacto de C definidopor

Px,y : z ∈ C : |z| ≤ ‖x‖‖y‖.

Seja P :=∏

x,y∈HPx,y o produto dos espacos topologicos Px,y, com x, y ∈ H, no qual

se considera a topologia produto (topologia de Tychonoff). Como todos os espacosPx,y sao compactos entao o mesmo acontece com P . Considere-se a aplicacao Θ :B01(L(H))→ P definida por,

Θ(T ) := (〈Tx, y〉)x,y∈H , T ∈ B01(L(H)).

A aplicacao Θ e obviamente injectiva, e da definicao da topologia fraca de operadoresem L(H) conclui-se sem dificuldade que Θ e um homeomorfismo fracamente contınuode B01(L(H)) na imagem Θ(B01(L(H))) ⊂ P . Dado que B01(L(H)) e fracamentefechada em L(H) entao Θ(B01(L(H))) e um conjunto fechado em P, logo compacto.Assim, dado B01(L(H)) = Θ−1(Θ(B01(L(H)))) tem-se como pretendido que o conjuntoB01(L(H)) e fracamente compacto em L(H).

5.3.1 Representacoes topologica e algebricamente irredutıvelde algebras C∗

Nesta seccao recupera-se o assunto introduzido no Capıtulo 2 relativo as representacoesalgebricamente e topologicamente irredutıveis de uma algebra de Banach (ver co-mentario que antecede Teorema

remContRepres?? ). Sendo claro que toda a representacao algebri-

camente irredutıvel de uma algebra de Banach e tambem topologicamente irredutıvel,verifica-se nesta seccao, por aplicacao do teorema da densidade de Kaplansky, que o


recıproca de tal afirmacao e ainda verdadeira no caso da algebra de Banach ser umaalgebras C∗. Para estabelecer este facto apresentam-se a seguir alguns resultados au-xiliares, o primeiro dos quais que permitira clarificar a demonstracao da implicacao de(i) para (ii) indicada no Teorema

t15??.

Cap5.yyy Proposicao 5.3.7. Se A e uma algebra C∗ com unidade e (H, π) e uma sua repre-sentacao (nao nula) topologicamente irredutıvel entao

[π(A)]′ = CIH , [π(A)]′′ = L(H) e π(A)(SOT)

= L(H).

Dem.Se A e uma algebra C∗ e (H, π) e uma sua representacao de A entao π(A) e uma

subalgebra C∗ de L(H) e, de acordo com a ProposicaoCap5:085.1.3, [π(A)]′ e uma algebra de

von Neumann. Do TeoremaCap5:0195.2.6 conclui-se entao [π(A)]′ e gerada pelos operadores

de projeccao que lhe pertencem. Ora, se P e uma projeccao em [π(A)]′ entao Pπ(a) =π(a)P para qualquer a ∈ A e assim, dado que P e o operador de projeccao de H sobreo subespaco fechado M := P (H) ⊂ H,

PMπ(a) = π(a)PM , a ∈ A,

e M e em particular invariante para π (ProposicaoCap3:84??). Como (H, π) e irredutıvel

entao M = 0 ou M = H e assim P = PM = 0 ou P = PM = IH . Como consequenciatem-se que [π(A)]′ = CIH . Este facto implica de imediato que [π(A)]′′ = L(H) e como

π(A) ⊂ π(A)(SOT)

⊂ L(H) entao

[π(A)]′′ ⊂[π(A)

(SOT)]′′⊂ L(H)

e assim

[π(A)

(SOT)]′′

= L(H). Do teorema do bicomutante conclui-se que

π(A)(SOT)

= L(H)

uma vez que π(A)(SOT)

define uma algebra de von Neumann em L(H).

Cap5.sss Lema 5.3.8. Sejam H um espaco de Hilbert, ξ1, ξ2, ..., ξn um conjunto ortonormadoem H e z1, z2, ..., zn elementos de H. Nestas condicoes, sendo L > 0 um qualquer realpositivo tal que

‖zi‖ ≤ L, i = 1, 2, ..., n,

entao existe um operador T ∈ L(H) tal que

‖T‖ ≤√nL e Tξi = zi para i = 1, 2, ...n.


Dem. Sejam M := 〈ξ1, ξ2, ..., ξn〉 o subespaco linear de H gerado pelos elementosdo conjunto ortonormado ξ1, ξ2, ..., ξn e PM o operador de projeccao de H sobre M.Defina-se em X o operador linear T : X → X tal que

Tx =n∑j=1

〈PMx, ξj〉zj, x ∈ X.

Observe-se que para i = 1, 2, ..., n se tem,

Tξi =n∑j=1

〈PMξi, ξj〉zj =n∑j=1

〈ξi, ξj〉zj = 〈ξi, ξi〉zi = zi.

Alem disso, para qualquer x ∈ X, obtem-se da desigualdade de Holder que

‖Tx‖ =

∥∥∥∥∥n∑j=1

〈PMx, ξj〉zj

∥∥∥∥∥ ≤n∑j=1

‖〈PMx, ξj〉zj‖ =n∑j=1

|〈PMx, ξj〉| ‖zj‖

≤ Ln∑j=1

|〈PMx, ξj〉| ≤ L

(n∑j=1

|〈PMx, ξj〉|2) 1

2(

n∑j=1

1

) 12

≤ L√n

(n∑j=1

|〈PMx, ξj〉|2) 1

2

. (5.8) Cap5.op1

Atendendo a que PMx e um elemento de M := 〈ξ1, ξ2, ..., ξn〉 entao

PMx =n∑j=1

〈PMx, ξj〉ξj, x ∈ X,

e a ortonormalidade do conjunto ξ1, ξ2, ..., ξn implica que

‖PMx‖2 =n∑j=1

|〈PMx, ξi〉|2‖ξi‖2 =n∑j=1

|〈PMx, ξi〉|2, x ∈ X. (5.9) Cap5.op2

De (Cap5.op15.8) e (

Cap5.op25.9) conclui-se entao que

‖Tx‖ ≤ L√n

(n∑j=1

|〈PMx, ξj〉|2) 1

2

= L√n‖PMx‖ ≤ L

√n‖x‖, x ∈ X,

ou seja, ‖T‖ ≤ L√n e o operador T esta nas condicoes do enunciado.

Juntado a ProposicaoCap5.yyy5.3.7, o Lema

Cap5.sss5.3.8 e o teorema da densidade de Kaplansky

pode agora estabelecer-se o importante resultado.


Cap5.www Teorema 5.3.9. Sejam A uma algebra C∗ com unidade e (H, π) uma sua repre-sentacao (nao nula) topologicamente irredutıvel. Se z1, z2, ..., zn sao elementos doespaco de Hilbert H entao para qualquer conjunto ortonormado ξ1, ξ2, ..., ξn em Hexiste um elemento a ∈ A tal que

π(a)ξi = zi, i = 1, 2, ...n.

Dem. Sejam ξ1, ξ2, ..., ξn ⊂ H um conjunto ortonormado e z1, z2, ..., zn elementosde H. Sabe-se do Lema

Cap5.sss5.3.8 que existe T0 ∈ L(H) tal que

T0ξi = zi, i = 1, 2, ...n.

Sendo (H, π) topologicamente irredutıvel, tem-se da ProposicaoCap5.yyy5.3.7 que π(A) e for-

temente fechado em L(H) e como consequencia e possıvel fixar um elemento a0 ∈ Apor forma a que

‖π(a0)ξi − T0ξi‖ = ‖π(a0)ξi − zi‖ <1

2√n, i = 1, 2, ..., n.

Definindo z(1)i := zi−π(a0)ξi para i = 1, 2, ..., n, e recorrendo novamente ao Lema

Cap5.sss5.3.8,

fixe-se T1 ∈ L(H) por forma a que ‖T1‖ ≤ 12

e

T1ξi = z(1)i , i = 1, 2, ..., n.

Como T1 ∈ B01(L(H)) e, do teorema da densidade de Kaplansky, B01(L(H)) =

B01(π(A))(SOT)

entao existe a1 ∈ A tal que

‖π(a1)‖ ≤ 1

2e ‖π(a1)ξi − T1ξi‖ ≤

1

22√n, i = 1, 2, ..., n. (5.10)

Definindo agora z(2)i := T1ξi − π(a1)ξi = zi − π(a0)ξi − π(a1)ξi para i = 1, 2, ..., n,

conclui-se igualmente da ProposicaoCap5.yyy5.3.7 e do teorema da densidade de Kaplansky

que existe T2 ∈ L(H) e a2 ∈ A por forma a que

‖T2‖ ≤1

22, T2ξi = z

(2)i , i = 1, 2, ..., n,

e

‖π(a2)‖ ≤ 1

22, ‖π(a2)ξi − T2ξi‖ ≤

1

23√n, i = 1, 2, ..., n. (5.11)

Repetindo sucessivamente os argumentos anteriores e possıvel encontrar em L(H) umasucessao de operadores (Tk) e em A uma sucessao de elementos (ak) tais que, paraqualquer k ∈ N,

Tkξi = z(k)i := zi − π(a0)ξi − π(a1)ξi − . . .− π(ak−1)ξi, i = 1, 2, ..., n,


com

‖π(ak)‖ ≤1

2ke ‖π(ak)ξi − Tkξi‖ ≤

1

2k+1√n, i = 1, 2, ..., n. (5.12)

Dado que a serie∑∞

j=0 π(aj) e convergente em π(A), pois e absolutamente convergentee π(A) e espaco de Banach, entao existe um elemento a ∈ A tal que

π(a) =∞∑j=0

π(aj).

Repare-se que para qualquer i = 1, 2, ..., n,

zi − π(a)ξi = zi −∞∑j=0

π(aj)ξi = limk→∞

(zi −

k∑j=0

π(aj)ξi

)= lim

k→∞Tk+1ξi = 0,

ou seja, π(a)ξi = zi.

Como consequencia do TeoremaCap5.www5.3.9 obtem-se para algebras C∗ a equivalencia,das

nocoes de representacao algebricamente irredutıvel e topologicamente irredutıvel.

Cap4F Proposicao 5.3.10. Se A e uma algebra C∗ entao qualquer representacao topologica-mente irredutıvel (nao nula) de A e tambem algebricamente irredutivel.

Dem. Sejam (H, π) uma representacao topologicamente irredutıvel de A e K ⊂ Hum seu subespaco invariante nao nulo. Tem-se que π(a)K ⊂ K para qualquer a ∈ A.Sendo ξ um qualquer elemento de H e ζ ∈ K \0 sabe-se do Teorema

Cap5.www5.3.9 que existe

um elemento a ∈ A tal que π(a)ζ = ξ. Como consequencia, ξ ∈ K e assim K = H.Se os unicos subespacos invariantes da representacao (H, π) sao os triviais entao estae algebricamente irredutıvel.

5.4 Algebras de von Neumann comutativas

Esta seccao e dedicada ao estudo das algebras de von Neumann comutativas. Comoexemplo inicial apresentam-se as algebras C∗ de operadores de multiplicacao por funcoesessencialmente limitadas num espaco mensuravel. Posteriormente mostra-se que se He um espaco de Hilbert separavel entao as algebras de von Neumann comutativas emL(H) sao isometricamente isomorfas a algebras C∗ do tipo L∞(K, dµ), onde K e umespaco Hausdorff compacto e µ e uma medida de Borel finita regular e positiva. Asalgebras dos operadores de multiplicacao constituem assim o modelo para as algebrasde von Neumann comutativas que actuam em espacos de Hilbert separaveis.

5.4. ALGEBRAS DE VON NEUMANN COMUTATIVAS 29

5.4.1 A algebra dos operadores de multiplicacao

Por definicao uma algebra de von Neumann comutativa que actua num espaco de Hil-bert H e uma subalgebra C∗ comutativa de L(H) que contem o operador identidadeIH ∈ L(H) e e fortemente fechada em L(H) (equivalentemente, fracamente fechada).Uma algebra de von Neumann comutativa A diz-se maximal se A nao esta propria-mente contida em nenhuma outra algebra de von Neumann comutativa. E um exercıciosimples verificar que uma algebra de von Neumann comutativa A e maximal se e sose A = A′. Uma simples aplicacao do lema de Zorn permite ainda afirmar que toda aalgebra de von Neumann comutativa esta contida numa algebra comutativa maximal.Tem-se assim o seguinte resultado:

Cap5:029 Proposicao 5.4.1. Sejam H um espaco de Hilbert e A ⊂ L(H) uma algebra de vonNeumann comutativa. Entao,

(i) A esta contida numa algebra de von Neumann comutativa maximal;

(ii) A e uma algebra comutativa maximal se e so se A = A′.

Tendo por objectivo a apresentacao de um exemplo importante de uma algebra devon Neumann comutativa maximal, considere-se no que segue X um espaco Hausdorffcompacto e µ : R(X)→ [0,∞] uma medida de Borel positiva, regular e finita definidaem R(X), a σ-algebra dos borelianos de X. Sejam L∞(X,µ) a algebra C∗ das funcoesf : X → C (classes de funcoes) mensuraveis e essencialmente limitadas com a norma

‖f‖∞ := ess supx∈X

|f(x)| <∞,

e L2(X,µ) o espaco de Hilbert das funcoes g : X → C (classes de funcoes) mensuraveisde quadrado integravel com norma

‖g‖2 =

∫X

|g|2 dµ <∞.

Para cada funcao f ∈ L∞(X,µ) defina-se em L2(X,µ) o operador de multiplicacao

Mf : L2(X,µ)→ L2(X,µ), g 7→Mf (g) := fg. (5.13)

Tem-se o seguinte resultado:

Cap5:023 Proposicao 5.4.2. Para cada funcao f ∈ L∞(X,µ), o operador de multiplicacao Mf

e um operador linear limitado com a norma

‖Mf‖L = ‖f‖∞.

Alem disso, a aplicacao

M : L∞(X,µ)→ L(L2(X,µ)), f 7→Mf

e um homomorfismo-∗ isometrico e unital de L∞(X,µ) em L(L2(X,µ)).


Dem. Sendo f ∈ L∞(X,µ), e imeadiato que Mf e um operador linear. Quanto anorma de Mf note-se que

‖Mf (g)‖22 = ‖fg‖2

2 =

∫X

|fg|2 dµ =

∫X

|f |2|g|2 dµ ≤ ‖f‖2∞

∫X

|g|2 dµ = ‖f‖2∞‖g‖2

2,

o que implica ‖Mf‖ ≤ ‖f‖∞. Para mostrar a igualdade ‖Mf‖L = ‖f‖∞, suponha-seque ‖f‖∞ > ‖Mf‖L. Nesta situacao existe um real ε > 0 tal que ‖f‖∞ − ε > ‖Mf‖Le, como µ e finita, existe um boreliano ∆ ⊂ X com 0 < µ(∆) < ∞ e tal que paraqualquer x ∈ ∆,

|f(x)| ≥ ‖Mf‖L + ε. (5.14) Cap5:021

Defina-se g := µ(∆)−12χ∆. Tem-se que g ∈ L2(X,µ) com ‖g‖2 = 1 e, calculando

‖Mf (g)‖2, obtem-se

‖Mf (g)‖22 = µ(∆)−1

∫X

|fχ∆|2 dµ = µ(∆)−1

∫∆

|f |2 dµ

≥ µ(∆)−1

∫∆

(‖Mf‖L + ε

)2dµ = (‖Mf‖L + ε)2,

o que e impossıvel. Assim, ‖Mf‖ = ‖f‖∞ e o homomorfismo f 7→ Mf e aindaisometrico. Como M1 = IL2(X,µ), com 1 a funcao constantemente igual ao numeroreal 1, entao o homomorfismo e unital. Para terminar basta reparar que Mf = (Mf )

∗.Efectivamente, para qualquer f ∈ L∞(X,µ),

〈Mf (g), h〉 =

∫X

(fg)h dµ =

∫X

(gfh) dµ =

∫X

(fh)g dµ = 〈fh, g〉 = 〈g,Mf (h)〉,

para quaisquer g, h ∈ L2(X,µ), logo Mf = (Mf )∗. A aplicacao f 7→ Mf e assim um

homomorfismo-∗ isometrico.

Denote-se por L∞(X,µ) a subalgebra-∗ de L(L2(X,µ)) constituıdo por todos osoperadores de multiplicacao por funcoes de L∞(X,µ),

L∞(X,µ) := Mf : f ∈ L∞(X,µ) . (5.15) Cap5:025

Pela ProposicaoCap5:0235.4.2 tem-se que a algebra C∗ L∞(X,µ) e isometricamente isomorfa a

L∞(X,µ) e consequentemente L∞(X,µ) constitui uma algebra C∗. A algebra L∞(X,µ)e ainda comutativa e contem o operador identidade IL2(X,µ). Mostra-se a seguir queL∞(X,µ) e mesmo uma algebra de von Neumann.

Proposicao 5.4.3. A algebra L∞(X,µ) e uma algebra de von Neumann comutativamaximal que actua em L2(X,µ).


Dem. Sendo L∞(X,µ) uma algebra autoadjunta, resulta da condicao (v) da Pro-posicao

Cap5:085.1.3 que (L∞(X,µ))′ e uma algebra de von Neumann. Mostre-se que

L∞(X,µ) = (L∞(X,µ))′. (5.16) Cap5:027

Da comutatividade L∞(X,µ) tem-se L∞(X,µ) ⊂ (L∞(X,µ))′. Para mostrar a inclusaocontraria fixe-se um operador T ∈ (L∞(X,µ))′ e mostre-se que existe uma funcaof ∈ L∞(X,µ) tal que T = Mf . Sejam 1 ∈ L2(X,µ) a funcao constantemente igualao numero real 1 e f ∈ L2(X,µ) a funcao definida por f := T (1). Para qualquerg ∈ L∞(X,µ) ⊂ L2(X,µ), dado que Mg ∈ L∞(X,µ) e T ∈ (L∞(X,µ))′, entao

T (g) = TMg(1) = MgT (1) = Mgf = gf = fg, (5.17) Cap5:0266

e como consequencia,‖gf‖2 = ‖T (g)‖2 ≤ ‖T‖L‖g‖2. (5.18) Cap5:026

Para cada n ∈ N seja ∆n o boreliano

∆n = x ∈ X : |f(x)| ≥ n

e gn a funcao gn := χ∆n ∈ L∞(X,µ). De acordo com (Cap5:0265.18) tem-se que

‖T‖2L µ(∆n) = ‖T‖2

L ‖gn‖22 ≥ ‖gnf‖2 =

∫∆n

|f |2 dµ ≥ n2µ(∆n).

Como T e limitado entao para n suficientemente grande tem-se µ(∆n) = 0 e estefacto garante que f ∈ L∞(X,µ). Assim, de (

Cap5:02665.17) conclui-se que para qualquer funcao

g ∈ L∞(X,µ),T (g) = fg = Mf (g),

pelo que a igualdade T = Mf acontece em L∞(X,µ). O operador T e entao umaextensao do operador de multiplicacao Mf : L∞(X,µ) → L∞(X,µ) e como L∞(X,µ)e denso em L2(X,µ) entao a igualdade T = Mf acontece em todo o espaco de HilbertL2(X,µ). Estabelecida a igualdade (

Cap5:0275.16) conclui-se que L∞(X,µ) e uma algebra de

von Neumann comutativa e, de acordo com a ProposicaoCap5:0295.4.1, maximal.

Dado que L∞(X,µ) e isometricamente isomorfa a algebra de von Neumann L∞(X,µ)e usual referir L∞(X,µ) tambem como uma algebra de von Neumann.

5.4.2 Algebras de von Neumann comutativas em espacos se-paraveis

Sendo (X,µ) um espaco mensuravel, com X um espaco Hausdorff compacto e µ umamedida de Borel regular e finita, tem-se que a algebra L∞(X,µ), a subalgebra C∗ de


L(L2(X,µ)) constituıda pelos operadores de multiplicacao pelas funcoes de L∞(X,µ),e uma algebra de von Neumann comutativa maximal. No que se segue vai mostrar-seque qualquer algebra de von Neumann que actue num espaco de Hilbert separavel eisomorfa-∗ a uma algebra L∞(X,µ) para algum espaco Hausdorff compacto X comµ uma medida de Borel regular e finita. Para estabelecer este facto comecam-se porintroduzir os conceitos de vector cıclico e vector separador para uma algebra de vonNeumann.

Definicao 5.4.1. Sejam H um espaco de Hilbert e A uma subalgebra C∗ de L(H).Diz-se que um vector ξ0 ∈ H e cıclico para A sempre que ξ0 seja um vector cıclico

para a representacao dada pela injeccao canonica de A em L(H) (ver SubseccaoSub4i??),

ou seja, se e so se o conjunto

Aξ0 := Tξ0 : T ∈ A

e denso em H.Um vector ξ0 ∈ H diz-se separador para A sempre que a aplicacao linear de A em

H definida porT 7→ Tξ0

e injectiva, ou seja, se e so se o unico operador T ∈ A tal que Tξ0 = 0 e T = 0.

Exemplo 5.4.1. Para a algebra de von Neumann L∞(X,µ) ⊂ L(L2(X,µ)), com XHausdorff compacto e µ uma medida de Borel regular e finita, a funcao 1 ∈ L2(X,µ),funcao constantemente igual ao numero real 1, constitui um vector cıclico pois L∞(X,µ)e denso em L2(X,µ). Dado que C(X), a algebra C∗ das funcoes contınuas em X, etambem densa em L∞(X,µ) entao a funcao 1 define ainda um vector cıclico para aalgebra C∗

C(X,µ) := Mu : u ∈ C(X) ⊂ L∞(X,µ).

Para as algebras L∞(X,µ) e C∞(X) a funcao 1 e tambem um vector separador.

Os conceitos de vector cıclico e vector separador podem ser relacionados.

Cap5:028 Proposicao 5.4.4. Sejam H um espaco de Hilbert, A uma subalgebra C∗ de L(H) quecontem IH e ξ0 ∈ H. Entao ξ0 e vector cıclico para A se e so se ξ0 e vector separadorpara A′.

Dem. Suponha-se que ξ0 e vector cıclico para A. Dado T ∈ A′ tal que Tξ0 = 0, entaopara qualquer operador A ∈ A,

TAξ0 = ATξ0 = 0.

Assim, atendendo a que o conjunto Aξ0 := Aξ0 : A ∈ A e denso em H, tem-se queT = 0 logo ξ0 e um vector separador para A′.


Reciprocamente, suponha-se que ξ0 e separador para A′. Sejam M := Aξ0 o fechodo conjunto Aξ0 := Aξ0 : A ∈ A e PM o operador de projeccao de H sobre Aξ0. O

conjunto Aξ0 e claramente invariante para todos os operadores de A. Assim, Aξ0⊥, o

conjunto ortogonal de Aξ0, e invariante para todos os operadores A∗ com A ∈ A. Osubespaco Aξ0 ⊂ H e entao redutor para todos os operadores de A (ver Definicao

d3.4.0??)

e da Proposicaop3.4.0?? conclui-se que

PMA = APM , A ∈ A,

ou seja, PM ∈ A′. Assim, (IH − PM) ∈ A′ e como ξ0 ∈ Aξ0, pois IH ∈ A, entao(IH − PM)ξ0 = 0. Como ξ0 e separador de A′ entao PM = IH logo Aξ0 = H. O vectorξ0 e entao cıclico para A.

Juntando a ProposicaoCap5:0285.4.4 a Proposicao

Cap5:0295.4.1 obtem-se para subalgebras comu-

tativas de L(H) que contenham a identidade IH ∈ L(H) o seguinte resultado:

Cap5:111 Proposicao 5.4.5. Sejam H um espaco de Hilbert, A uma subalgebra C∗ comutativade L(H) tal que IH ∈ L(H) e ξ0 ∈ H. Tem-se que,

(i) se ξ0 e cıclico para A entao ξ0 e tambem separador para A;

(ii) se A e uma algebra de von Neumann comutativas maximal entao ξ0 e cıclico paraA se e so se ξ0 e separador para A.

Dem. (i) Se ξ0 ∈ H e um vector cıclico para A obtem-se da ProposicaoCap5:0285.4.4 que ξ0

e um vector separador para A′. Como A e comutativa entao A ⊂ A′ e em particularξ0 e separador para A.

(ii) Da ProposicaoCap5:0295.4.1 tem-se que se A e algebra de von Neumann comutativa

maximal entao A′ = A. Assim, obtem-se da ProposicaoCap5:0285.4.4 que ξ0 e cıclico para A

se e so se ξ0 e separador para A′ = A.

O proximo resultado indica condicoes suficientes para que uma subalgebra C∗ emL(H) admita um vector separador.

Cap5:030 Proposicao 5.4.6. Se H e um espaco de Hilbert separavel e A e uma subalgebra C∗

comutativa de L(H) tal que IH ∈ A, entao existe em H um vector separador para A.

Dem. Para cada vector ξ ∈ H considere-se Aξ o fecho do conjunto Aξ. SejaB01(H) := ξ ∈ H : ‖ξ‖ = 1 a bola unitaria fechada de H e P(H) o subconjunto daspartes de B01(H) definido por

P(H) :=J ⊂ B01(H) : Aξ1 ⊥ Aξ2 para quaisquer ξ1, ξ2 ∈ J com ξ1 6= ξ2

.


Observe-se que P(H) 6= ∅ uma vez contem todos os subconjuntos singulares de ele-mentos de B01(H). Ordenando P(H) com a relacao de inclusao e facil concluir queexiste em P(H) um conjunto maximal uma vez que sao satisfeitas as condicoes dolema de Zorn. Sendo J0 esse conjunto maximal, se y ∈ B01(H) e tal que y⊥Aξ paraalgum ξ ∈ J0 entao, dado que A e auto-adjunta, tem-se que Ay⊥Aξ para ξ ∈ J0 eda maximalidade de J0 entao y ∈ J0. Assim, uma vez que H ⊃

⊕ξ∈J0Aξ, tem-se que

H = ⊕ξ∈J0Aξ, ou seja, H e a soma directa ortogonal dos espacos de Hilbert Aξ comξ ∈ J0. Como H e separavel entao o conjunto ortogonal J0 e necessariamente contavel.Suponha-se que J0 = ξn : n ∈ N com ξn 6= ξm para n 6= m, e seja ξ0 o elemento deH definido por

ξ0 :=∞∑n=1

ξn3n.

Observe-se que ξ0 esta bem definido uma vez que e dado pela soma de uma serieabsolutamente convergente.

Mostre-se a seguir que ξ0 e um vector separador para A. Suponha-se que Tξ0 = 0para algum T ∈ A \ 0. Assim, dado que

0 = Tξ0 =∞∑n=1

Tξn3n

e o conjunto Tξn : n ∈ N e ortogonal entao Tξn = 0 para qualquer n ∈ N. Dacomutatividade A conclui-se que T (Aξn) = A(Tξn) = 0 para quaisquer A ∈ A en ∈ N, e este facto implica que T = 0 pois H = ⊕n∈NAξn. O vector ξ0 e assim umvector separador para A.

Corolario 5.4.7. Se A e uma algebra de von Neumann comutativa maximal que actuanum espaco de Hilbert separavel H, entao existe em H um vector cıclico para A.

Dem. Consequencia imediata da afirmacao (ii) da ProposicaoCap5:1115.4.5 aliada a Pro-

posicaoCap5:0305.4.6.

A existencia de vectores cıclicos para as algebras de von Neumann comutativas vaipermitir relaciona-las com a algebra dos operadores de multiplicacao L∞(X,µ).

Cap5:036 Teorema 5.4.8. Se A uma algebra de von Neumann comutativa que actua num espacode Hilbert H e ξ0 ∈ H e um vector cıclico para A, entao existe um espaco Hausdorff


compacto X, uma medida de Borel positiva regular e finita µ definida nos borelianosde X, e um operador unitario U : H → L2(X,µ) tal que

UAU∗ = L∞(X,µ),

onde UAU∗ := UAU∗ : A ∈ A e L∞(X,µ) e a algebra de von Neumann dos opera-dores de multiplicacao definida como em (

Cap5:0255.15).

Alem disso a aplicacao

Πξ0 : A → L(L2(X,µ)), A 7→ UAU∗

e uma representacao isometrica de A no espaco de Hilbert L2(X,µ).

Dem. Seja X := MA o espaco dos funcionais lineares multiplicativos nao nulosdefinidos em A. Com a topologia de Gelfand X e um espaco Hausdorff compacto. Seja

: A → C(X), A 7→ A

a transformacao de Gelfand de A. Sendo A uma algebra de von Neumann comutativa,logo uma algebra C∗ comutativa com unidade, tem-se do teorema de Gelfand-Naimark(Teorema

cap3:37??) que a transformacao de Gelfand constitui um isomorfismo-∗ isometrico

de A em C(X). Para cada funcao f ∈ C(X) existe entao um e um so operador Af ∈ Apor forma a que Af = f ficando assim bem definido em C(X) o funcional linear positivoϕ : C(X)→ C, onde

ϕ(f) := 〈Afξ0, ξ0〉, f ∈ C(X),

com ξ0 ∈ H e o vector cıclico para A.Pelo teorema da representacao de Riesz, associado ao funcional linear positivo ϕ

existe uma unica medida positiva regular e finita µ, definida nos borelianos de X, talque

ϕ(f) =

∫X

f dµ, f ∈ C(X).

Defina-se no subespaco Aξ0 = Aξ0 : A ∈ A de H o operador linear U,

U : Aξ0 → C(X), Aξ0 7→ A. (5.19) Cap5:031

Observe-se que se ξ0 e um vector cıclico para A entao, como A e comutativa, ξ0 etambem um vector separador para A (ver Proposicao

Cap5:1115.4.5) pelo que para A,B ∈ A,

(Aξ0 = Bξ0) ⇔ ((A−B)ξ0 = 0) ⇒ (A = B),

e o operador U esta assim bem definido.Para qualquer A ∈ A,

‖A‖22 =

∫X

∣∣∣A∣∣∣2 dµ = ϕ(|A|2) = ϕ(A∗A) = ϕ(A∗A) = 〈A∗Aξ0, ξ0〉 = ‖Aξ0‖2,


ou seja, U e um isomorfismo isometrico de Aξ0 ⊂ H em C(X) ⊂ L2(X,µ), e comotal pode ser estendido por continuidade a um operador isometrico e sobrejectivo, logounitario de H em L2(X,µ) pois C(X) e denso em L2(X,µ) e Aξ0 = H. Represente-seessa extensao ainda por U.

Sendo U unitario entao a aplicacao

L(H)→ L(L2(X,µ)), A 7→ UAU∗ (5.20) Cap5:033

e um isomorfismo-∗ isometrico entre as algebras L(H) e L(L2(X,µ)) logo um home-omorfismo fortemente contınuo. Como consequencia, UAU∗ e uma algebra de vonNeumann em L(L2(X,µ)).

Mostra-se de seguida que UAU∗ = L∞(X,µ). Dados T e A quaisquer dois opera-dores em A, de (

Cap5:0315.19) tem-se que

UAU∗(T ) = UAU−1(T ) = UA(Tξ0)

= U(ATξ0) = AT = AT = MAT .

Assim, dado que A = C(X) e denso em L2(X,µ) entao, para qualquer A ∈ A,

UAU∗ = MA, (5.21) Cap5:032

tendo-se

UAU∗ = Mf : f ∈ C(X).

Como C(X) ⊂ L∞(X,µ) ⊂ L2(X,µ), entao qualquer elemento de L∞(X,µ) pode seraproximado na norma de L2(X,µ) por uma sucessao de funcoes em C(X). Este factopermite garantir que UAU∗ e fracamente denso em L∞(X,µ) = Mf : f ∈ L∞(X,µ).Como UAU∗ e fracamente fechado, entao

UAU∗ = L∞(X,µ).

Para terminar basta observar que

Πξ0 : A → L(L2(K,µ)), A 7→ UAU∗,

a restricao do isomorfismo-∗ isometrico definido em (Cap5:0335.20) a algebra A, e obviamente

uma representacao isometrica de A.

Para algebras de von Neumann comutativas em espacos de Hilbert separaveis adificuldade relacionada com a existencia de vectores cıclicos pode ser ultrapassadapodendo estabelecer-se ainda um resultado analogo ao da Proposicao

Cap5:0365.4.8.


Teorema 5.4.9. Se A e uma algebra de von Neumann comutativa que actua numespaco de Hilbert separavel H, entao A e isometricamente isomorfa-∗ a alguma algebraL∞(X,µ), com X um espaco Hausdorff compacto e µ uma medida de Borel positivaregular e finita em X.

Dem. De acordo com a ProposicaoCap5:0305.4.6 existe em H um vector ξ0 separador para A.

O espaco de Hilbert M := Aξ0 ⊂ H e claramente invariante para todos os operadoresde A tendo-se A(M) ⊂M para qualquer A ∈ A. Considere-se o operador linear

Θ : A → L(M), A 7→ A|M ,

onde A|M designa a restricao do operador A ao subespaco M. E imediato que Θ defineum homomorfismo emA (pela invariancia deM para os operadores A ∈ A). Θ e mesmoum homomorfismo-∗ isometrico. Efectivamente, quanto a injectividade, se T ∈ A e talque Θ(T ) = 0 entao,

T (Aξ0) = Θ(T )(Aξ0) = 0, A ∈ A.Assim, dado que IH ∈ A,

T (ξ0) = T (IHξ0) = 0

e como ξ0 e separador para A entao T = 0. Alem disso, para quaisquer A ∈ A eξ1, ξ2 ∈M,

〈Θ(A∗)ξ1, ξ2〉 = 〈A∗ξ1, ξ2〉 = 〈ξ1, Aξ2〉 = 〈ξ1,Θ(A)ξ2〉 = 〈Θ(A)∗ξ1, ξ2〉,

pelo que Θ(A∗) = Θ(A)∗. Θ e assim um homomorfismo-∗ injectivo, logo isometrico, eΘ(A) e uma subalgebra C∗ de L(M) que admite ξ0 como vector cıclico. Como Θ eisometrico, entao

Θ(B01(A)) = B01(Θ(A)), (5.22) Cap5:035

onde B01(A) e B01(Θ(A)) designam, respectivamente, a bola unitaria fechada em Ae em Θ(A). Pelo teorema da densidade de Kaplansky (Teorema

Cap5:0345.3.4), sendo A uma

algebra de von Neumann entao a bola B01(A) e fracamente fechada em L(H). Assim,como A e fracamente fechada em L(H) e B01(L(H)) e fracamente compacta (Pro-posicao

Cap5:0395.3.6) em L(H), entao

B01(A) = A ∩B01(L(H)),

e fracamente compacta em L(H). Como o homomorfismo Θ e claramente fracamentecontınuo conclui-se de (

Cap5:0355.22) que B01(Θ(A)) e fracamente compacta em L(M). Como

B01(Θ(A)) e um conjunto convexo entao e tambem fortemente compacto e pelo Co-rolario

Cap5.2225.3.5 conclui-se que Θ(A) e uma algebra de von Neumann. Finalmente basta

observar que Θ(A) esta nas condicoes do TeoremaCap5:0365.4.8 o qual, juntamente com a Pro-

posicaoCap5:0235.4.2, permite afirmar que A e isometricamente isomorfa-∗ a L∞(X,µ), logo a

L∞(X,µ) com (X,µ) nas condicoes do enunciado.


5.5 Comparacao de projeccoes em algebras de von

Neumann

Nesta seccao vai proceder-se a comparacao das projeccoes de uma algebra de vonNeumann A. Comeca-se por definir no conjunto das projeccoes de A uma relacaode equivalencia e, posteriormente, definir sobre o conjunto das classes de equivalenciaobtidas uma relacao de ordem parcial. A nocao de projeccao finita ou infinita e depoisintroduzida e com o seu auxılio vai proceder-se a classificacao das algebras de VonNeumann separando-as em algebras de tipo I, II ou III, com extruturas que em grandeparte sao determinadas pelo conjunto das suas projeccoes.

5.5.1 Equivalencia de projeccoes e decomposicao polar

Sendo H um espaco de Hilbert considere-se no conjunto das projeccoes de L(H) ahabitual relacao “≥”(ver inıcio das subseccoes

sec5.1.25.2 e

s3:3??). Com esta relacao o conjunto

das projeccoes de L(H) constitui um conjunto parcialmente ordenado.Dados dois operadores de projeccao P1 e P2 em L(H), represente-se por

(P1 ∧ P2) (5.23) Cap5:040

o operador de projeccao de H sobre o subespaco fechado M := Im P1 ∩ Im P2, ondeIm P1 e Im P2 designam respectivamente os contradomınios das projeccoes P1 e P2.Dado que Im (P1 ∧ P2) ⊂ Im P1 e Im (P1 ∧ P2) ⊂ Im P2, entao

P1 ≥ (P1 ∧ P2) e P2 ≥ (P1 ∧ P2),

pelo que P1

∧P2 e um minorante do conjunto P1, P2. O operador de projeccao

(P1

∧P2) e mesmo o maior operador de projeccao que e minorante do conjunto P1, P2

e como tal diz-se que (P1

∧P2) e o infimo do conjunto P1, P2. Para os operadores de

projeccao P1 e P2 represente-se ainda por (P1 ∨ P2) o operador de projeccao definidopor

(P1 ∨ P2) := IH − ((IH − P1) ∧ (IH − P2)) (5.24) Cap5:041

que constitui o operador de projeccao de H sobre o subespaco dado pelo fecho doespaco linear gerado por Im P1 ∪ Im P2. O operador (P1 ∨P2) e o menor majorante doconjunto P1, P2 dizendo-se o supremo de P1, P2.

A definicao de supremo e infimo de duas projeccoes pode generalizar-se a qualquerfamılia de projeccoes tendo-se que:

Cap5:066 Definicao 5.5.1. Se Pα e uma famılia de operadores de projeccao em L(H), com Hum espaco de Hilbert, chama-se projeccao ınfimo da famılia Pα, e representa-se por

∧αPα,

5.5. COMPARACAO DE PROJECCOES EM ALGEBRAS DE VON NEUMANN39

ao operador de projeccao de H sobre o subespaco fechado M := ∩αIm Pα.Ao operador de projeccao definido por

∨αPα := IH − ∧

α(IH − Pα),

chama-se projeccao supremo da famılia Pα.

O operador∨α

Pα constitui o operador de projeccao sobre o fecho do espaco linear

gerado pelo conjunto M := ∪α

Im Pα, a uniao dos contradomınios de todos os operadores

Pα. No caso da famılia Pα ser ortogonal tem-se claramente que

∨αPα =

∑α

Pα(SOT). (5.25) Cap5:065

O conjunto das projeccoes de uma algebra de von Neumann constitui, com a relacao“≤”, um conjunto parcialmente ordenado onde todo o subconjunto nao vazio de pro-jeccoes tem um infimo e um supremo que e uma projeccao na algebra.

Proposicao 5.5.1. Se A e uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H entao o conjunto dos operadores de projeccao que estao em A define umreticulado completo.

Dem. Sejam P1, P2 operadores de projeccao em A. Dado T ∈ A′ um qualqueroperador limitado no comutante de A, como

PiT = TPi e PiT∗ = T ∗Pi, i = 1, 2,

resulta da Proposicaop3.4.0?? que Im P1 e Im P2 sao subespacos redutores para T e T ∗. Em

particular o subespaco M := Im P1 ∩ Im P2 e invariante para T e T ∗ obtendo-se aindada Proposicao

Cap3:84??), que

(P1 ∧ P2)T = T (P1 ∧ P2).

Assim, (P1 ∧ P2) ∈ A′′ e pelo teorema do bicomutante conclui-se que (P1 ∧ P2) ∈ Apois, sendo A uma algebra de von Neumann, A = A′′. Como IH ∈ A entao tambem aprojeccao P1∨P2 pertence a algebra A. O conjunto das projeccoes de A constitui assimum reticulado parcialmente ordenado, uma vez que para quaisquer duas projeccoesP1, P2 ∈ A, o infimo e o supremo do conjunto P1, P2 ainda sao projeccoes de A. Estereticulado e mesmo completo uma vez que se Pα constituir uma qualquer famıliade projeccoes em A entao, analogamente ao efectuado anteriormente, mostra-se semdificuldade que as projeccoes ∧

αPα e ∨

αPα ainda estao em A.

A par da relacao de ordem parcial “≥” pode definir-se no conjunto das projeccoesde uma algebra de von Neumann uma relacao de equivalencia.


Cap5:048 Definicao 5.5.2. Seja A uma algebra de von Neumann que actua num espaco de Hil-bert H. Diz-se que dois operadores de projeccao P1 e P2 da algebra A sao equivalentesem A (Murray-von Neumann equivalentes), representando-se por

P1 ∼A P2,

se e so se existir um operador V ∈ A tal que

P1 = V ∗V e P2 = V V ∗

(P1 e P2 dizem-se equivalentes em A por meio de V ).

Observe-se que de acordo com a ProposicaoCap3:7??, se duas projeccoes P1 e P2 em A

sao equivalentes por meio do operador V ∈ A entao V e uma isometria parcial comespacos inicial e final dados, respectivamente, por

(Ker V )⊥ = Im P1 e Im V = Im P2.

Alem disso, tem-se queP2 = V P1V

∗ e P1 = V ∗P2V.

E um exercıcio simples mostrar que a relacao “∼A” define no conjunto das pro-jeccoes de uma algebra de von Neumann A uma relacao de equivalencia.

Cap5.444 Proposicao 5.5.2. Seja A uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H. Se P,Q, S sao operadores de projeccao em A entao P ∼A P, se P ∼A Qentao Q ∼A P e finalmente, se P ∼A Q e Q ∼A S entao P ∼A S.

Pelo teorema da decomposicao polar em espacos de Hilbert (TeoremaCap3:10??) sabe-se

que para qualquer operador T ∈ L(H) existem, e sao univocamente determinados,operadores V,A ∈ L(H) tais que

T = V A,

onde V e uma isometria parcial, A e um operador positivo e Ker V = Ker A. No casodo operador T pertencer a uma algebra de von Neumann A entao o mesmo sucede aosoperadores V e A.

Cap5:044 Teorema 5.5.3 (Decomposicao polar em algebras de von Neumann). Seja A uma algebrade von Neumann que actua num espaco de Hilbert H. Se T e um operador em A eT = V A e a decomposicao polar de T, com Ker V = Ker A, entao V e A pertencem aalgebra A.

Dem. De acordo com a demonstracao do TeoremaCap3:10?? o operador positivo A e dado

por A = |T | :=√T ∗T . Sendo A uma algebra C∗ entao e imedito que A ∈ A. Pelo


teorem do bicomutante, para mostrar que V pertence a A basta provar que V ∈ A′′.Para tal considere-se U ∈ A′. Dado que A, T ∈ A e U ∈ A′ entao, para qualquer x ∈ H,

UV Ax = UTx = TUx = V AUx = V UAx,

o que permite afirmar que UV = V U em todos os pontos de M := Im A, o subespacode H dado pelo fecho do contradomınio do operador A. Como A e positivo entao

Im A = (Ker A)⊥ = (Ker V )⊥,

e para provar que os operadores UV e V U coincidem em todo o espaco de HilbertH basta mostrar que UV = V U tambem em M⊥ = Ker V (= Ker A). Ora, parax ∈ Ker V e claro que

UV x = 0. (5.26) Cap5:062

Alem disso, dado que UA = AU, se x ∈ Ker A entao

AUx = UAx = 0,

o que permite afirmar que

U(Ker A) ⊂ Ker A = Ker V.

Assim, para qualquer x ∈ Ker V tem-se que Ux ∈ Ker V e consequentemente

V Ux = 0. (5.27) Cap5:063

Ora, de (Cap5:0625.26) e (

Cap5:0635.27) conclui-se como pretendido que UV x = V Ux para x ∈ Ker V

e, consequentemente,

UV = V U, U ∈ A′,

ou seja, V ∈ A′′ = A.

Uma consequencia importante do teorema da decomposicao polar em algebras devon Neumann e o criterio de equivalencia de projeccoes que se segue:

Cap5:047 Proposicao 5.5.4. Se A e uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H e T ∈ A entao,

PT ∼A PT ∗ ,

onde PT e PT ∗ designam, respectivamente, os operadores de projeccao sobre o fecho doscontradomınios dos operadores T e T ∗.


Dem. Sendo T um operador em A sabe-se do CorolarioCap5:0425.2.5 que os operadores PT

e PT ∗ estao tambem em A. Da demonstracao do teorema da decomposicao polar emespacos de Hilbert (Teorema

Cap3:10??) tem-se que T = V A onde A :=

√T ∗T e V ∈ A e uma

isometria parcial cujo espaco inicial e

(Ker V )⊥ = (Ker A)⊥ = (Ker T )⊥ = Im T ∗

e o espaco final e Im T . Assim, obtem-se da Proposicaocap3:7?? que para os operadores de

projeccao V ∗V e V V ∗ se tem

V ∗V = PT ∗ e V V ∗ = PT ,

e como pelo TeoremaCap5:0445.5.3 se tem que V ∈ A entao PT ∗ ∼A PT , ou seja, PT ∼A PT ∗ .

Observe-se que se P1 e P2 sao dois operadores de projeccao num espaco de HilbertH, entao

P1 ≥ P2 ⇔ Im P2 ⊂ Im P1,

e como consequencia, P1 ≥ P2 implica que o operador P1−P2 e ainda um operador deprojeccao, uma vez que atendendo a que P1P2 = P2P1 = P2, entao

(P1 − P2)2 = P 21 − P1P2 − P2P1 + P 2

2

= P1 − P2 − P2 + P2 = P1 − P2.

Alem disso uma simples observacao conduz a que Im (P1 − P2) = Im P1 ∩ (Im P2)⊥.Com a observacao anterior esta-se em condicoes de apresentar a formula de Ka-

plansky para projeccoes que permite relacionar quaisquer duas projeccoes de umaalgebra de von Neumann.

Cap5:045 Teorema 5.5.5 (Formula de Kaplansky). Se A e uma algebra de von Neumann queactua num espaco de Hilbert H entao, para quaisquer dois operadores de projeccaoP1, P2 ∈ A, tem-se que

((P1 ∨ P2)− P2) ∼A (P1 − (P1 ∧ P2)) .

Dem. Atendendo a observacao que antecede o teorema e claro que os operadores((P1 ∨ P2)− P2) e (P1 − (P1 ∧ P2)) sao projeccoes em A. Dado que,

(Im (IH − P2)P1)⊥ = Ker ((IH − P2)P1)∗ = Ker P1(IH − P2)

= Im P2 ⊕ ((Im P2)⊥ ∩ (Im P1)⊥)

= Im P2 ⊕ (Im P2 ∪ Im P1)⊥,


designando por P((IH−P2)P1) o operador de projeccao sobre Im (IH − P2)P1 ⊂ H, entao

IH − P((IH−P2)P1) = P2 + ((IH − P2) ∧ (IH − P1))

= P2 + (IH − (P1 ∨ P2))

pelo que

(P1 ∨ P2)− P2 = P((IH−P2)P1). (5.28) Cap5.555

Analogamente, dado que

(Im P1(IH − P2))⊥ = Ker (P1(IH − P2))∗ = Ker (IH − P2)P1

= Im (IH − P1)⊕(

(Im (IH − P1))⊥ ∩ (Im (IH − P2))⊥)

= Im (IH − P1)⊕ (Im P1 ∩ Im P2),

entao

IH − P(P1(IH−P2)) = IH − P1 + (P1 ∧ P2),

concluındo-se que

P1 − (P1 ∧ P2) = P(P1(IH−P2)) = P((IH−P2)P1)∗ . (5.29) Cap5.666

Atendendo as igualdades (Cap5.5555.28) e (

Cap5.6665.29) obtem-se da Proposicao

Cap5:0475.5.4 que

(P1 ∨ P2)− P2 = P((IH−P2)P1) ∼A P((IH−P2)P1)∗ = P1 − (P1 ∧ P2),

estabelecendo-se o resultado.

Termina-se esta seccao mostrando-se que a relacao de equivalencia de Murray-vonNeumann e aditiva.

Cap5.aaa Proposicao 5.5.6. Seja A uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H. Se Pαα∈I e Qαα∈I sao duas famılias ortogonais de projeccoes em A taisque Pα ∼A Qα para qualquer α ∈ I, entao∑

α∈I

Pα(SOT) ∼A∑α∈I

Qα(SOT).

Dem. Sejam P e Q os operadores de projeccao em A dados, respectivamente, por

P := ∨α∈I

Pα, Q := ∨α∈I

Qα.


Dado que as famılias de operadores Pαα∈I e Qαα∈I sao ortogonais tem-se, tal comoem (

Cap5:0655.25), que

P =∑α∈I

Pα(SOT), Q =∑α∈I

Qα(SOT). (5.30) Cap5.777

Para cada α ∈ I seja Vα a isometria parcial em A tal que

Pα = V ∗αVα, Qα = VαV∗α ,

e cujos espacos inicial e final sao dados, respectivamente, por

(Ker Vα)⊥ = Im Pα, Im Vα = Im Qα.

Considere-se a famılia de todos os subconjuntos finitos e nao vazios F de I parcialmenteordenado com a relacao de inclusao. Para cada conjunto finito F ⊂ I defina-se ooperador

VF :=∑α∈F

Vα ∈ A.

Dado que para α 6= β se tem (Im Qβ) ⊂ (Im Qβ)⊥, entao

V ∗FVF =∑α,β∈F

V ∗αVβ =∑α∈F

V ∗αVα =∑α∈F

Pα, (5.31) Cap5:068

tendo-se da ProposicaoCap3:7?? que para F ⊂ I, finito e nao vazio, VF e uma isometria

parcial em A. Analogamente se conclui que

VFV∗F =

∑α∈F

VαV∗α =

∑α∈F

Qα. (5.32) Cap5:069

Sendo M := 〈Im Pα : α ∈ I〉 o subespaco de H gerado pelos contradomınios detodos os operadores Pα, e V o operador linear definido em M por

V (x) = V

(∑α∈F

xα

)=∑α∈F

Vαxα,

para qualquer x =∑

α∈F xα ∈ M com xα ∈ Im Pα, V estende-se por continuidadea uma isometria parcial cujo espaco inicial e dado pelo fecho de M. Designando essaextensao ainda por V, e dado que V = lim

FVF (SOT), entao

V =∑α∈I

Vα(SOT)

com V ∈ A pois A e fortementemente fechada. Finalmente basta observar que de(Cap5.7775.30) e atendendo a (

Cap5:0685.31) e (

Cap5:0695.32), se tem

P =∑α∈I

Pα(SOT) = limFV ∗FVF (SOT) = V ∗V,


eQ =

∑α

Qα(SOT) = limFVFV

∗F (SOT) = V V ∗,

tendo-se como pretendido que P ∼A Q.

5.5.2 Projeccoes subordinadas. Ordenacao parcial

A relacao de Murray-von Neumann determina no conjunto das projeccoes de umaalgebra de von Neumann uma relacao de equivalencia. No conjunto das classes deequivalencia obtidas pode agora introduzir-se uma relacao de ordem parcial que serepresenta por “A”.

Definicao 5.5.3. Sejam P e Q duas projeccoes numa algebra de von Neumann A.Diz-se que P esta subordinada a Q (ou P e mais fraca que Q) em A, escrevendo-se

Q A P ou P A Q,

se existe um operador de projeccao Q1 ∈ A tal que P ∼A Q1 e Q1 ≤ Q.

Observe-se que caso P e Q sejam duas projeccoes de uma algebra de von-NeumannA tais que P ≤ Q entao e imediato que P A Q. Alem disso, se P ∼A Q entao tem-sesimultaneamente que P A Q e Q A P. Nao sendo imediata, a recıproca da anteriorafirmacao e tambem verdadeira.

Cap5:049 Proposicao 5.5.7. Se P e Q sao operadores de projeccao numa algebra de von Neu-mann A tais que P A Q e Q A P entao P ∼A Q.

Dem. Sejam P1 e Q1 operadores de projeccao em A tais que P ∼A Q1 com Q1 ≤ Qe Q ∼A P1 com P1 ≤ P. Sejam ainda U e V isometrias parciais em A tais que

P = U∗U, Q1 = UU∗ e Q = V ∗V, P1 = V V ∗.

Considerem-se em A as famılias de projeccoes Pn e Qn definidas por recorrencia,

Pn = V Qn−1V∗, Qn = UPn−1U

∗, n ∈ N, (5.33) Cap5:053

onde P0 := P e Q0 := Q.Dado que QQ1 = Q1Q = Q1 e PP1 = P1P = P1, pois Q1 ≤ Q e P1 ≤ P, entao

P2P1 = P1P2 = P2 e Q2Q1 = Q1Q2 = Q2,

pelo que P1 ≥ P2 e Q1 ≥ Q2. Por inducao prova-se que as sucessoes Pn e Qn saodecrescentes tendo-se

P0 := P ≥ P1 ≥ P2 ≥ ..., Q0 := Q ≥ Q1 ≥ Q2 ≥ ... .


Como A e um reticulado completo entao os operadores

P∞ := ∧n∈N

Pn, Q∞ := ∧n∈N

Qn

estao em A e, atendendo a que

Pn →nP∞(SOT), Qn →

nQ∞(SOT), (5.34) Cap5:054

aplicando limites fortes a cada termo das igualdades de (Cap5:0535.33), obtem-se

UP∞U∗ = Q∞, V Q∞V

∗ = P∞.

Assim,

(UP∞])(UP∞)∗ = UP∞P∞U∗ = UP∞U

∗ = Q∞ (5.35) Cap5.888

e

(UP∞)∗(UP∞) = P∞U∗UP∞ = P∞PP∞ = P∞ (5.36) Cap5.999

pois P∞ ≤ P, o que permite afirmar que

P∞ ∼A Q∞. (5.37) Cap5:055

De acordo com (Cap5:0545.34) tem-se ainda que

P − P∞ =∞∑n=0

(Pn − Pn+1)(SOT), Q−Q∞ =∞∑n=0

(Qn −Qn+1)(SOT). (5.38) Cap5:056

Da definicao dos operadores Pn e Qn em (Cap5:0535.33) conclui-se que

U(Pn − Pn+1)U∗ = Qn+1 −Qn+2, V (Qn −Qn+1)V ∗ = Pn+1 − Pn+2,

e este facto, a semelhanca do efectuado em (Cap5.8885.35) e (

Cap5.9995.36), permite afirmar que

Pn − Pn+1 ∼A Qn+1 −Qn+2, Qn −Qn+1 ∼A Pn+1 − Pn+2, n ∈ N.

Consequentemente,

P2n − P2n+1 ∼A Q2n+1 −Q2n+2, Q2n −Q2n+1 ∼A P2n+1 − P2n+2, n ∈ N. (5.39) Cap5:057

Finalmente, (Cap5:0565.38) , (

Cap5:0575.39) e (

Cap5:0555.37) permitem afirmar que

P =∞∑n=0

(P2n − P2n+1) +∞∑n=0

(P2n+1 − P2n+2) + P∞(SOT)

∼A∞∑n=0

(Q2n∗1 −Q2n+2) +∞∑n=0

(Q2n −Q2n+1) +Q∞(SOT) = Q,

ficando completa a demonstracao do resultado.

A relacao de subordinacao “A” e transitiva.


Cap5:050 Proposicao 5.5.8. Se P, Q e T sao operadores de projeccao numa algebra de vonNeumann A tais que P A Q e Q A T entao P A T.Dem. Sejam Q1 e T1 operadores de projeccao em A tais que P ∼A Q1 com Q1 ≤ Qe Q ∼A T1 com T1 ≤ T. Sejam ainda U e V isometrias parciais em A tais que

P = U∗U, Q1 = UU∗ e Q = V ∗V, T1 = V V ∗.

Considere-se T2 := V Q1V∗. Como T ∗2 = T2 e, dado que Q1QQ1 = Q1 uma vez que

Im Q1 ⊂ Im Q (pois Q1 ≤ Q),

T 22 = V Q1V

∗V Q1V∗ = V Q1QQ1V

∗ = V Q1V∗ = T2,

entao T2 e um operador de projeccao em A. Alem disso, dado que Q1 ≤ Q entaoV Q1V

∗ ≤ V QV ∗, ou seja, T2 ≤ T1 (≤ T ) uma vez que

T1 = V V ∗ = V V ∗V V ∗ = V QV ∗.

Fazendo S := V Q1, tem-se que

S∗S = Q1V∗V Q1 = Q1QQ1 = Q1

eSS∗ = V Q1Q1V

∗ = V Q1V∗ = T2,

pelo queQ1 ∼A T2 com T2 ≤ T.

Como P ∼A Q1 entao P A T, estabelecendo-se o resultado.

Representando por [P ]A a classe de equivalencia da projeccao P para a relacaode Murray-von Neumann definida no conjunto das projeccoes de uma algebra de von-Neumann A, observe-se que a relacao de subordinacao induz no conjunto das classede equivalencia obtidas uma relacao natural,

[P ]A A [Q]A se e so se P A Q,para P, Q projeccoes de A.

Sendo P, Q e T projeccoes em A e imediato que [P ]A A [P ]A e as ProposicoesCap5:0495.5.7 e

Cap5:0505.5.8 permitem afirmar que

([P ]A A [Q]A e [Q]A A [P ]A) ⇒ [P ]A = [Q]A

e([P ]A A [Q]A e [Q]A A [T ]A) ⇒ [P ]A = [T ]A.

Em sinte-se, tem-se uma relacao de ordem parcial.

Teorema 5.5.9. Para toda a algebra de von Neumann A a relacao “A” define noconjunto das classes de equivalencia das projeccoes de A, definidas pela relacao deMurray-von Neumann, uma relacao de ordem parcial.


5.5.3 Projeccoes centrais. Teorema da comparabilidade

Dada uma algebra de von Neumann A, chama-se centro de A e representa-se porCen(A) o subconjunto de A definido por

Cen(A) := A ∩A′,

onde A′ designa o comutante de A (cf. DefinicaoCap2.111??).

De acordo como o Lemalemcentral?? tem-se que Cen(A) e uma subalgebra C∗ comutativa

de A. Alem disso Cen(A) e fracamente fechado em A pelo que Cen(A) constituındoassim uma algebra de von Neumann comutativa.

Definicao 5.5.4. Aos operadores de projeccao de uma algebra de von-Neumann Aque pertencem a Cen(A) designam-se por projeccoes centrais (em A).

E um exercıcio simples estabelecer o resultado.

Cap5.123 Proposicao 5.5.10. Se A e uma algebra de von Neumann e P,Q ∈ A sao duas pro-jeccoes, tais que:

(i) P ∼A Q entao, para qualquer projeccao central Z ∈ A, tem-se PZ ∼A QZ;

(ii) P A Q entao, para qualquer projeccao central Z ∈ A, tem-se PZ A QZ.

Sejam P uma projeccao numa algebra de von Neumann A e Pα a famılia detodas as projeccoes centrais em A tais que P ≤ Pα, ou seja, tais que Im P ⊂ Im Pα.Observe-se que a famılia Pα e nao vazia pois contem IH . A projeccao ∧

αPα, o ınfimo

da famılia de operadores Pα, e ainda um operador de projeccao central de A quemajora P.

Definicao 5.5.5. Sendo P um operador de projeccao numa algebra de von NeumannA, chama-se suporte central de P a projeccao central

Z(P ) := ∧αPα,

onde Pα designa a famılia de todas as projeccoes centrais de A que majoram P.

A projeccao central Z(P ) pode ser traduzida como uma projeccao supremo.

Cap5:051 Proposicao 5.5.11. Se P e um operador de projeccao numa algebra de von NeumannA, entao

Z(P ) = ∨A∈A

P(AP ),

onde P(AP ) designa o operador de projeccao sobre o fecho do contradomınio do operador(AP ).


Dem. A par do operador de projeccao P ∈ A considere-se Q a projeccao em Adefinida por

Q := ∨A∈A

P(AP ),

ou seja, Q designa o operador de projeccao sobre o fecho do espaco linear geradopela uniao M := ∪

A∈AIm (AP ). A imagem do operador Q e invariante para todos os

operadores de A e, dado que A e autoadjunta, e mesmo um subespaco redutor paratodos os operadores de A. Da Proposicao

p3.4.0?? conclui-se entao que

QA = AQ, A ∈ A,

ou seja, Q ∈ Cen(A). Assim, dado que Im P ⊂ Im Q entao P ≤ Q pelo que

Z(P ) ≤ Q. (5.40) Cap5.345

Como Z(P ) ∈ Cen(A) entao

Z(P )A = AZ(P ), A ∈ A,

e usando novamente a Proposicaop3.4.0?? conclui-se que Im Z(P ) e invariante para todos

os operadores A ∈ A. Atendendo a que P ≤ Z(P ) entao Im P ⊂ Im Z(P ) donde,

A(Im P ) ⊂ A(Im Z(P )) ⊂ Im Z(P ), A ∈ A.

Como consequencia, P(AP ) ≤ Z(P ) para qualquer A ∈ A, e da definicao de Q obtem-se

Q ≤ Z(P ). (5.41) Cap5.567

As desigualdades (Cap5.3455.40) e (

Cap5.5675.41) garantem a igualdade Q = Z(P ).

O proximo resultado esta na base do teorema da comparabilidade, um dos principaisresultados desta seccao.

Cap5:052 Proposicao 5.5.12. Sejam A uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H e P,Q ∈ A duas projeccoes em A. Sao equivalentes as seguintes afirmacoes:

(i) Z(P )Z(Q) 6= 0

(ii) Existem projeccoes nao nulos P1 e Q1 em A, tais que

P1 ≤ P, Q1 ≤ Q e P1 ∼A Q1.


Dem. (ii) ⇒ (i). Suponha-se que P1 ∼A Q1 com P1, Q1 6= 0 e tais que P1 ≤ P eQ1 ≤ Q. Seja V uma isometria parcial de A tal que

Q1 = V ∗V, P1 = V V ∗,

com

(Ker V )⊥ = Im Q1, Im V = Im P1.

Para ξ ∈ (Im Q1\0) 6= ∅ tem-se, atendendo a que Im Q1 ⊂ Im Q e Im P1 ⊂ Im P,

‖PV Qξ‖ = ‖PV ξ‖ = ‖V ξ‖ = ‖ξ‖ 6= 0,

pelo que PV Q 6= 0.Dado que as projeccoes Z(P ) e Z(Q) estao em Cen(A) com

Z(P )P = P e Z(Q)Q = Q,

entao

PV Q (Z(P )Z(Q)) = (Z(P )P )V (Z(Q)Q) = PV Q 6= 0,

logo Z(P )Z(Q) 6= 0.(i) ⇒ (ii). Suponha-se agora que Z(P )Z(Q) 6= 0. De acordo com a Proposicao

Cap5:0515.5.11 tem-se,

Z(P ) = ∨A∈A

P(AP ), Z(Q) = ∨A∈A

P(AQ),

e este facto, atendendo a que Z(P )Z(Q) 6= 0, permite afirmar que existem vectoresξ, ζ ∈ H e operadores A1, A2 ∈ A tais que

〈A1Pξ,A2Qζ〉 = 〈QA∗2A1Pξ, ζ〉 6= 0.

Fazendo A3 := A∗2A1 ∈ A, tem-se que A3 6= 0, QA3P 6= 0 e, definindo

P1 := P(PA∗3Q), Q1 := P(QA3P ),

entao P1 6= 0, Q1 6= 0 e, Im P1 ⊂ Im P e Im Q1 ⊂ Im Q, tem-se P1 ≤ P e Q1 ≤ Q.Recorrendo a Proposicao

Cap5:0475.5.4 tm-se ainda que P1 ∼A Q1.

A relacao ”A” nao define em geral uma relacao de ordem total (nas classes de equi-valencia definidas por ”∼A”). Dados dois operadores de projeccao P, Q uma algebrade von Neumann A, nao e claro que se tenha P A Q ou Q A P. O teorema dacomparabilidade vai garantir no entanto que quaisquer duas projeccoes numa algebrade von Neumann A podem ser comparaveis por meio de projeccoes centrais.


Teorema 5.5.13 (Teorema da comparabilidade). Seja A uma algebra de von Neumannque actua num espaco de Hilbert H. Sendo P e Q duas projeccoes em A, existe umaprojeccao central Z ∈ A tal que

ZP A ZQ e (IH − Z)P A (IH − Z)Q.

Dem. Represente-se por E o conjunto de todas as famılias (Pα, Qα)α de paresordenados (Pα, Qα) onde Pα e Qα sao projeccoes em A tais que

PαPβ = 0, QαQβ = 0, α, β ∈ I,

ePα ≤ P, Qα ≤ Q e Pα ∼A Qα.

Observe-se que E e nao vazio uma vez que contem (0, 0). Considere-se em E a relacao“≤E” onde

(Pα, Qα)α∈I ≤E

(Pα, Qα)α∈J⇔ (Pα, Qα) : α ∈ I ⊂

(Pα, Qα) : α ∈ J

.

Com a relacao “≤E” o conjunto E e parcialmente ordenado tendo-se que todo ocaminho (subconjunto totalmente ordenado de E) tem um limite superior em E . Pelolema de zorn existe em E pelo menos um elemento maximal (P 0

α, Q0α)α∈I . Da definicao

de E tem-se queP 0αP

0β = 0, Q0

αQ0β = 0, α, β ∈ I, (5.42) Cap5.bbb

eP 0α ≤ P, Q0

α ≤ Q e P 0α ∼A Q0

α. (5.43) Cap5.ccc

De acordo com a ProposicaoCap5.aaa5.5.6 e atendendo a (

Cap5:0655.25), definindo

P 0 := ∨α∈I

P 0α =

∑α∈I

P 0α(SOT), Q0 := ∨

α∈IQ0α =

∑α∈I

S0α(SOT),

tem-se que P 0 ∼A Q0, com P 0 ≤ P e Q0 ≤ Q. Sendo (P 0α, Q

0α)α∈I uma famılia

maximal nas condicoes (Cap5.bbb5.42) e (

Cap5.ccc5.43) e facil garantir que nao existem em A operadores

de projeccao nao nulos P , Q tais que P ≤ (P − P 0), Q ≤ (Q−Q0) e P ∼A Q. Assim,conclui-se da Proposicao

Cap5:0525.5.12 que

Z(P − P 0)Z(Q−Q0) = Z(Q−Q0)Z(P − P 0) = 0. (5.44) Cap5:064

Fazendo Z := Z(Q−Q0) entao Z ∈ Cen(A) e atendendo a (Cap5:0645.44) tem-se que

Im Z(P − P 0) ⊂ (Im Z(Q−Q0))⊥.

Dado que

Im (P − P 0) ⊂ Im Z(P − P 0) e (Im Z(Q−Q0))⊥ = Im (IH −Z(Q−Q0))


entaoIm (P − P 0) ⊂ (Im Z(Q−Q0))⊥ = Im (IH −Z(Q−Q0))

pelo que(IH − Z)(P − P 0) = P − P 0,

ou seja,ZP = ZP 0. (5.45) Cap5.eee

Por definicao de suporte central de uma projeccao tem-se ainda que

(Q−Q0) ≤ Z := Z(Q−Q0),

pelo queZ(Q−Q0) = Q−Q0 ≥ 0,

podendo afirmar-se queZQ0 ≤ ZQ. (5.46) Cap5.ddd

Dado que P 0 ∼A Q0, obtem-se de (Cap5.eee5.45), (

Cap5.ddd5.46) e da afirmacao (i) da Proposicao

Cap5.1235.5.10

que

ZP = ZP 0 ∼A ZQ0 e ZQ0 ≤ ZQ, (5.47) Cap5.fff

ou sejaZP A ZQ.

Finalmente, de (Q−Q0)Z = Q−Q0 conclui-se que (Q−Q0)(IH −Z) = 0, ou seja,

Q(IH − Z) = Q0(IH − Z),

e analogamente a (Cap5.fff5.47) se obtem

Q(IH − Z) = Q0(IH − Z) ∼A P 0(IH − Z) e P 0(IH − Z) ≤ P (IH − Z),

tendo-seP (IH − Z) A Q(IH − Z).

Os factores sao um tipo especial de algebras de von Neumann cujo centro e trivial.

Definicao 5.5.6. Sendo H um espaco de Hilbert, diz-se que uma algebra de vonNeumann A e um factor quando

Cent(A) = CIH .

5.6. DECOMPOSICAO DE ALGEBRAS DE VON NEUMANN 53

Note-se que a algebra L(H) e um factor e que o unico factor que e uma algebra devon Neumann comutativa e a algebra CIH .

Proposicao 5.5.14. Se A e um factor que actua num espaco de Hilbert H e P,Q ∈ Asao duas projeccoes, entao

P A Q ou P A Q.

Dem. Pelo teorema da comparabilidade existe uma projeccao central Z ∈ A talque ZP A ZQ e (IH − Z)P A (IH − Z)Q. Como Cent(A) = CIH entao Z = 0 ouZ = IH . Assim, se Z = IH entao P A Q e caso Z = 0 entao P A Q.

5.6 Decomposicao de algebras de von Neumann

Esta seccao e dedicada a alguns tipos de algebras de von Neumann importantes. De-pendendo do tipo de projeccoes que as constituem algumas algebras de von Neumannserao classificadas como algebras de tipo I, II ou III. Este tipo de algebras constituema base para a obtencao e estudo de todas as outras algebras de von Neumann uma vezque, de acordo com o teorema da decomposicao, toda a algebra de von Neumann Aadmite uma decomposicao em soma directa na forma

A = AI ⊕A1II ⊕A∞II ⊕AIII ,

onde AI e uma algebra de tipo I, A1II e A∞II sao algebras de tipo II e AIII e uma

algebra de von Neumann de tipo III.

5.6.1 Projeccoes finitas, infinitas e abelianas

Comece-se por introduzir os conceitos de projeccao finita, infinita e abeliana.

Cap5:070 Definicao 5.6.1. Sejam A uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H e P uma projeccao em A. Diz-se que:

(i) P e finita sempre que P ∼A Q, com Q uma projeccao em A, tal que Q ≤ Pimplica P = Q;

(ii) P e infinita quando P nao e finita;

(iii) P e abeliana quando o conjunto PAP := PAP : A ∈ A define uma algebra devon Neumann comutativa (actuando em HP := Im P ).


Observe-se que caso P ∈ A seja uma projeccao tal que dim (Im P ) < ∞ entao Pe uma projeccao finita. Efectivamente, se P ∼A Q entao dim (Im Q) = dim (Im P ) ecaso Q ≤ P entao Im Q ⊂ Im P tendo-se Im Q = Im P (ver exercıcio

Von35.10).

Para qualquer projeccao P ∈ A observe-se que PAP pode ser interpretado comouma algebra de von Neumann que actua no espaco de Hilbert HP := P (H) = Im P ⊂H e que admite o operador P como a identidade.

Resumem-se a seguir algumas propriedades envolvendo projeccoes abelianas e pro-jeccoes finitas.

Cap5:073 Proposicao 5.6.1. Sejam A uma algebra de von Neumann e P, Q duas projeccoes emA. Sao verdadeiras as seguintes afirmcoes:

(i) Se P e abeliana entao P e finita;

(ii) Se P e finita e P ∼A Q entao Q e finita;

(iii) Se P e finita e Q ≤ P entao Q e finita.

Dem. Suponha-se que A actua no espaco de Hilbert H.(i) Sejam P uma projeccao abeliana e S uma projeccao em A tal que P ∼A S com

S ≤ P. Considere-se V ∈ A uma isometria parcial em A tal que P = V ∗V e S = V V ∗

e defina-se U := PV P. Como Im S ⊂ Im P entao S = PS = SP pelo que

U∗U = (PV ∗P )(PV P ) = (PV ∗)(PV P ) = (V ∗V V ∗)(PV P )

= (V ∗S)(PV P ) = V ∗(SP )V P = V ∗SV P

= V ∗(V V ∗)V P = (V ∗V )(V ∗V )P

= PPP = P.

Analogamente se mostra que UU∗ = S. Dado que os operadores U e U∗ estao na algebracomutativa PAP entao U∗U = UU∗ pelo que P = S.

(ii) Suponha-se que P e finita e que P ∼A Q. Seja Q1 uma outra projeccao em Atal que Q ∼A Q1 com Q1 ≤ Q. Para garantir que Q e finita basta entao mostrar queQ1 = Q. Para tal, atendendo a que P ∼A Q, considere-se V ∈ A tal que P = V ∗V eQ = V V ∗. Assim,

P = PP = (V ∗V )(V ∗V ) = V ∗QV.

Defina-seP1 := V ∗Q1V e U := Q1V.

Atendendo a que Q1 ≤ Q e facil constatar que V ∗Q1V ≤ V ∗QV, ou seja, P1 ≤ P. Alemdisso,

U∗U = (V ∗Q1)(Q1V ) = V ∗Q1V = P1,

UU∗ = (Q1V )(V ∗Q1) = Q1QQ1 = Q1,


pelo que P1 ∼A Q1. Assim,

P ∼A Q, Q ∼A Q1, P1 ∼A Q1,

implicam que P ∼A P1. Como P1 ≤ P e P e uma projeccao finita entao P = P1.Tem-se entao que V ∗QV = V ∗Q1V o que implica

Q = V V ∗Q1V V∗ = QQ1Q.

Esta igualdade juntamente com o facto de que Q1 ≤ Q permite concluir, como preten-dido, que

Q = QQ1Q = Q1.

(iii) Sejam P e Q duas projeccao em A tais que P e finita e Q ≤ P. Para mostrarque Q e finita considere-se Q1 uma outra projeccao em A tal que Q ∼A Q1 com Q1 ≤ Qe verifique-se que Q1 = Q.

Fixe-se V ∈ A uma isometria parcial tal que Q = V ∗V e Q1 = V V ∗. DefinindoV := P −Q+ V tem-se que

V ∗V = (P −Q+ V ∗)(P −Q+ V )

= (P −Q)(P −Q) + (P −Q)V + V ∗(P −Q) + V ∗V

= P −Q+ (P −Q)V + V ∗(P −Q) +Q

= P + (P −Q)V + V ∗(P −Q) = P

pois (P − Q)V = V ∗(P − Q) = 0, uma vez que V tem como espaco inicial e final,respectivamente,

(Ker V )⊥ = Im Q e Im V = Im Q1 (⊂ Im Q),

eIm (P −Q) = Im P ∩ (Im Q)⊥ ⊂ (Im Q1)⊥ = Ker V ∗.

De forma analoga se conclui que

V V ∗ = P −Q+Q1

e assim P ∼A (P −Q+Q1). Dado que

Im (P −Q) ⊂ Im P e Im Q1 ⊂ Im P

entao (P −Q + Q1) ≤ P e do facto de P ser finita conclui-se que (P −Q + Q1) = P,ou seja, Q = Q1.


Exemplo 5.6.1. Sejam A uma algebra de von Neumann comutativa em L(H) e Puma qualquer projeccao em A. Considere-se o espaco de Hilbert Hn := H×H× ...×Hdado pelo produto cartesiano de n ∈ N replicas de H e defina-se em L(Hn) a algebrade von Neumann Mn(A) das matrizes n× n com entradas em A. O operador

P :=

P 0 . . . 00 0 · · · 0...

.... . .

...0 0 . . . 0

define em Mn(A) uma projeccao, que e abeliana atendendo a que A e comutativa.

Exemplo 5.6.2. Considere-se no espaco de Hilbert l2 as duas projeccoes definidas por

Il2 : l2 → l2, (x1, x2, ..., xn, ...) 7→ (x1, x2, ..., xn, ...),

P0 : l2 → l2, (x1, x2, ..., xn, ...) 7→ (0, x2, ..., xn, ...).

Dada a isometria parcial Sd definida por

Sr : l2 → l2, (x1, x2, ..., xn, ...) 7→ (0, x1, x2, ..., xn, ...),

tem-se que S∗r = Sl com

Sl : l2 → l2, (x1, x2, ..., xn, ...) 7→ (x2, x3, ..., xn, ...).

Atendendo a que S∗rSr = Il2 , SrS∗r = P0 e P0 ≤ Il2 entao

Il2 ∼L(l2) P0 com P0 ≤ Il2 .

Como Il2 6= P0 entao Il2 e uma projeccao infinita.

Introduz-se de seguida o conceito de projeccoes centralmente ortogonais .

Definicao 5.6.2. Numa algebra de von Neumann A duas projeccoes P e Q dizem-secentralmente ortogonais quando sao ortogonais os seus suportes centrais, i.e., quandose tem

Z(P )Z(Q) = Z(Q)Z(P ) = 0.

Uma famılia de projeccoes emA diz-se centralmente ortogonal quando sao centralmenteortogonais quaisquer duas projeccoes distintas da familia.

Observe-se que quando P e Q sao duas projeccoes centralmente ortogonais entaoP e Q sao tambem ortogonais entre si. Efectivamente, se P ≤ Z(P ), Q ≤ Z(Q) eIm Z(P ) ⊥ Im Z(Q) entao Im P ⊥ Im Q uma vez que Im P ⊂ Im Z(P ) e Im Q ⊂Im Z(Q).


Cap5:072 Proposicao 5.6.2. Seja Pαα∈I uma famılia de projeccoes abelianas (resp. finitas)centralmente ortogononais de uma algebra de von Neumann A. Entao o operador

P :=∑α∈I

Pα(SOT)

e uma projeccao abeliana (resp. finita).

Dem. Comece-se por recordar que atendendo a ProposicaoCap5.ggg5.2.3 a projeccao P :=∑

α∈IPα(SOT) esta bem definida. Efectivamente, se a famılia Z(Pα)α∈I e ortogonal

entao o mesmo acontece com a famılia Pαα∈I .Por definicao de suporte central tem-se que Pα ≤ Z(Pα) para qualquer α ∈ I e,

consequentemente,Pα = Z(Pα)Pα, α ∈ I. (5.48) Cap5.hhh

Da ortogonalidade da famılia Z(Pα)α∈I tem-se ainda

PαZ(Pβ) = 0, α 6= β, α, β ∈ I. (5.49) Cap5.kkk

Assim, para qualquer operador T ∈ A,

PTP =

(∑α∈I

Pα

)TP =

∑α∈I

(Z(Pα)PαTP ) =∑α,β∈I

(Z(Pα)PαTZ(Pβ)Pβ)

=∑α,β∈I

(Z(Pα)PαZ(Pβ)TPβ) =∑α∈I

(Z(Pα)PαTZ(Pα)Pα) (5.50) Cap5:071

=∑α∈I

(PαTPα) (SOT).

Se para qualquer α ∈ I, Pα e uma projeccao abeliana entao a algebra PαAPα e comu-tativa. Assim, a semelhanca de (

Cap5:0715.50), para quaisquer operadores T1, T2 ∈ A tem-se

que

(PT1P )(PT2P ) = P (T1PT2)P =∑α∈I

(PαT1PT2Pα)

=∑α∈I

(PαT1

(∑β∈I

Pβ

)T2Pα

)=∑α∈I

(PαT1

(∑β∈I

Z(Pβ)Pβ

)T2Pα

)=∑α,β∈I

(PαT1Z(Pβ)PβT2Pα) =∑α,β∈I

(Z(Pβ)PαT1PβT2Pα)

=∑α∈I

(Z(Pα)PαT1PαT2Pα) =∑α∈I

(PαT1PαT2Pα)

=∑α∈I

(PαT2PαT1Pα) = (PT2P )(PT1P ),


o que permite afirmar que a algebra PAP e comutativa, ou seja, P e abeliana.Suponha-se agora que Pα e finita, para qualquer α ∈ I. Sendo Q ∈ A uma projeccao

tal que P ∼A Q com Q ≤ P entao, atendendo a que Z(Pα) e central,

Z(Pα)P ∼A Z(Pα)Q com Z(Pα)Q ≤ Z(Pα)P, α ∈ I.

De (Cap5.hhh5.48) e (

Cap5.kkk5.49) e facil concluir que Z(Pα)P = Pα e a afirmacao anterior pode

escrever-se na forma

Pα ∼A Z(Pα)Q com Z(Pα)Q ≤ Pα, α ∈ I.

Como as projeccoes Pα sao finitas entao

Z(Pα)Q = Pα, α ∈ I,

e assim,

Q = QP = Q∑α∈I

Pα = Q∑α∈I

Z(Pα)Pα =∑α∈I

QZ(Pα)Pα

=∑α∈I

Z(Pα)QPα =∑α∈I

Z(Pα)Pα =∑α∈I

Pα = P,

ficando provado que P e finita.

5.6.2 Algebras de von Neumann de tipo I, II e III. Teoremada decomposicao

Analisadas algumas propriedades das projeccoes abelianas, finitas e centralmente or-togonais esta-se em condicoes de introduzir as designadas algebra de von Neumann detipo I, II ou III.

Definicao 5.6.3. Seja A uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H. Diz-se que:

(i) A e do tipo I quando toda a projeccao central nao nula deAmajora uma projeccaoabeliana nao nula de A.

(ii) A e do tipo II quando nao existem em A projeccoes abelianas nao nulas masqualquer projeccao central nao nula de A majora alguma projeccao finita naonula de A.

(iii) A diz-se de tipo III quando nao existem em A projeccoes finitas nao nulas.


Observe-se que de acordo com a definicoes anteriores uma algebra de von Neumannnao pode ser simultaneamente de dois tipos distintos.

Exemplo 5.6.3. Para qualquer espaco de Hilbert H a algebra de von Neumann dosoperadores lineares limitados L(H) e uma algebra de tipo I.

Efectivamente, considere-se eα : α ∈ J uma base hilbertiana de H e, para cadaα ∈ J, seja PMα o operador de projeccao de H sobre Mα := 〈eα〉 = βeα : β ∈ C. Eum exercıcio simples mostrar que

PMαAPMα = CIMα , α ∈ J,

e assim PMα e uma projeccao abeliana para qualquer α ∈ J. Como L(H) e um fac-tor entao a unica projeccao central nao nula de L(H) e IH e esta projeccao majora,obviamente, qualquer das projeccoes PMα .

As algebras de von Neumann de tipo II podem ser decompostas em duas classes.

Definicao 5.6.4. Seja A ⊂ L(H) uma algebra de von Neumann de tipo II. Diz-seque:

(i) A e do tipo II1 quando a projeccao IH e finita.

(ii) A e do tipo II∞ quando nao existem em A projeccoes centrais finitas e nao nulas.

O teorema da decomposicao vai assegurar a importancia dos anteriores tipos dealgebras ao assegurar que qualquer algebra de von Neumann e decomponivel numa somadirecta de algebras de von Neumann dos tipos considerados, sendo essa decomposicaounica.

Teorema 5.6.3. (Teorema da decomposicao) Toda a algebra de von Neumann A ad-Cap5:074mite uma decomposicao unica na forma

A = AI ⊕A1II ⊕A∞II ⊕AIII ,

onde AI , A1II , A∞II e AIII sao, respectivamente, algebras de von Neumann de tipo I,

II1, II∞ e III.

Dem. Seja A uma algebra de von Neumann que actua num espaco de Hilbert H.Considere-se em A uma famılia maximal Pαα∈I de projeccoes abelianas e central-mente ortogonais. Defina-se

P :=∑α

Pα(SOT)

que, atendendo a ProposicaoCap5:0725.6.2, se sabe ser uma projeccao abeliana em A.

Considere-se Z1 := Z(P ) o suporte central da projeccao P e AI := Z1AZ1 (caso naoexistam em A projeccoes abelianas define-se Z1 := 0 e neste caso A nao tera a “parte”


de tipo I). Tem-se que Z1 e uma projecao central nao nula de A tal que P ≤ Z1. Alemdisso, por definicao de suporte central, Z1 e a menor projeccao no centro de A quemajora P .

Mostre-se a seguir que AI e de tipo I e para tal considere-se Z uma qualquerprojeccao central nao nula em AI . Se Z e um elemento de AI entao existe T ∈ Atal que Z = Z1TZ1 e este facto permite afirmar que Z ≤ Z1 (pois Im Z ⊂ Im Z1).Observe-se que a projeccao P pertence a algebra AI uma vez que

P = Z1P = Z1PZ1.

Como consequencia ZP ∈ AI e, dado que Z e central em AI , entao ZP = PZ tendo-se

(ZP )2 = (ZP )(ZP ) = ZP, (ZP )∗ = P ∗Z∗ = ZP,

concluındo-se que ZP e uma projeccao em AI . O operador Z esta mesmo no centro deA pois

ZA = (Z1Z)A = Z(Z1AZ1) = (Z1AZ1)Z = A(Z1Z) = AZ

uma vez que Z1Z = ZZ1 = Z e Z e central em AI . Assim,

(ZP )AI(ZP ) = ZP (Z1AZ1)ZP = Z(PZ1)A(Z1P )Z

= Z(PAP )Z = (PAP )Z,

e, atendendo a que a algebra PAP e comutativa e a projeccao Z esta no centro deA, e um exercıcio simples concluir que a algebra (ZP )AI(ZP ) = (PAP )Z e tambemcomutativa. Para a projeccao central nao nula Z em AI existe entao uma projeccaoabeliana ZP ∈ AI tal que ZP ≤ Z. Para concluir que AI e do tipo I basta agoramostrar que ZP 6= 0. Supondo que ZP = 0 entao, atendendo a Z1 − Z e Z1 − P saoduas projeccoes em A que comutam entre si, tem-se que (Z1 − Z)(Z1 − P ) e tambemuma projeccao em A logo

0 ≤ (Z1 − Z)(Z1 − P ) = Z1 − Z − P,

o que implicaP ≤ Z1 − Z ≤ Z1,

contradizendo-se o facto de Z1 ser a menor projeccao central em A que majora P. Ficaassim demonstrado que AI e uma algebra de von Neumnn de tipo I (que actua emHI := Im Z1 e admite Z1 como identidade).

Considere-se agora a algebra A := (IH −Z1)A(IH −Z1). Suponha-se que existe em

A uma projeccoes abeliana Q nao nula. Se Q esta em A entao Q ≤ (IH − Z1) e dadoque

QAQ = (IH − Z1)QA(IH − Z1)Q = Q(IH − Z1)A(IH − Z1)Q = QAQ


entao QAQ e comutativa, sendo Q abeliana em A. Tem-se que Q e ortogonal a Z1,uma vez que

QZ1 = Q(IH − Z1)Z1 = 0,

e este facto permite concluir, usando a ProposicaoCap5:0515.5.11, que Q e centralmente or-

togonal a P (ver ExercıcioexII5.18) o que contradiz o facto de Pαα∈I ser uma famılia

maximal de projeccoes abelianas em A centralmente ortogonais. Nao existem entaoem A projeccoes abelianas nao nulas.

Fixe-se em A uma famılia maximal Qβα∈J de projeccoes centralmente ortogonaisfinitas e defina-se

Q :=∑α

Qα(SOT),

que atendendo a ProposicaoCap5:0725.6.2 e projeccao finita em A.

Defina-se Z2 := Z(Q) o suporte central da projeccaoQ em A e sejaAII := Z2AZ2 ⊂A (caso nao existam em A projeccoes finitas define-se Z2 := 0 e neste caso A nao teraa “parte” de tipo II). A projeccao Z2 e por definicao a menor projeccao no centro de

A tal que Q ≤ Z2. Seja Z uma projeccao central nao nula de AII . Tem-se que ZQ euma projeccao em AII tal ZQ ≤ Q e como Q e finita em A, conclui-se da afirmacao(iii) da Proposicao

Cap5:0735.6.1 que ZQ e tambem finita em A. Como AII ⊂ A e ZQ ∈ AII

entao ZQ e ainda finita em AII (ver ExercıcioexI5.23). Observe-se que se ZQ = 0 entao,

como Z2 − Z e Z2 −Q sao duas projeccoes que comutam entre si,

0 ≤ (Z2 − Z)(Z2 −Q) = Z2 − Z −Q

pelo queQ ≤ Z2 − Z ≤ Z2

o que ´contradiz o facto de Z2 ser a menor projeccao que majora Q. A algebra AIIe assim uma algebra de von Neumann de tipo II (que actua no espaco de HilbertHII := Im Z2 e admite Z2 como identidade).

Sejam Z3 := IH − Z1 − Z2 e AIII := Z3AZ3 ⊂ A. Atendendo a que Z2 ∈ A entaoZ2 ≤ (IH − Z1) e como consequencia Z3 define uma projeccao em A. Suponha-se queexiste em AIII uma projeccao Z finita e nao nula. Entao Z ≤ Z3 e assim

ZZ2 = ZZ3.Z2 = Z(IH − Z1 − Z2)Z2 = Z(IH − Z1)Z2 − Z2 = 0,

o que implica que Z e centralmente ortogonal a Z2 em A, e este facto contradiz a maxi-malidade da famılia Qβα∈J . A algebra AIII nao admite assim projeccoes projeccoesfinitas nao nulas sendo uma algebra de tipo III (que actua em HI := Im Z3 e admiteZ3 como identidade).

Utilizando o facto de Z1+Z2+Z3 = IH , de Z1, Z2 e Z3 serem duas a duas ortogonaise de Z1 ser central em A e Z2 ser central em A, entao tem-se a decomposicao em somadirecta

A = AI ⊕AII ⊕AIII .


Analise-se ainda a algebra de von Neumann AII . Fixando Sαα∈W uma famıliamaximal de projeccoes centrais e finitas em AII defina-se a projeccao finita

Z12 :=

∑α∈W

Sα

Note-se que em A1II := Z1

2AZ12 ⊂ AII nao ha projeccoes abelianas nao nulas e dado

que Z12 e finita entao A1

II e uma algebra de von Neumann de tipo II1 (caso nao existamem AII projeccoes finitas define-se Z1

2 := 0 e neste caso A nao tera a “parte” de tipoII1). Fazendo Z∞2 := Z2 − Z1

2 e atendendo a maximalidade da famılia SαW entao aalgebra A∞II := Z∞2 AZ∞2 nao admite projeccoes finitas nao nulas e assim e uma algebrade tipo II∞. Como anteriormente tem-se que

AI ⊕A1II ⊕A∞II ⊕AIII ,

com

Z1 + Z12 + Z∞2 + Z3 = IH .

Para terminar verifique-se que a decomposicao considerada e unica. Para talsuponha-se que existem projeccoes ortogonais a1, a

12, a

∞2 e a3 em A tais que a1 + a1

2 +a∞2 + a3 = IH e nas mesmas condicoes que as projeccoes Z1, Z

12 , Z∞2 e Z3. Suponha-se

que (IH −Z1) esta em AI := a1Aa1. Caso (IH −Z1) seja um projeccao nao nula entao,

atendendo a que (IH − Z1) e central e a que AI e de tipo I, existe em AI uma pro-jeccao abeliana nao nula majorada por (IH−Z1). Acontece que por definicao (IH−Z1)

nao majora projeccoes nao nulas e como tal (IH − Z1) define em AI uma projeccaonula, logo, a1(IH − Z1) = 0 e entao a1 ≤ Z1. Trocando os papeis de Z1 e a1 conclui-seanalogamente que Z1 ≤ a1, donde Z1 ≤ a1 Usando argumentos semelhantes conclui-seigualmente que Z1

2 = a12, Z

∞2 = a∞2 , e Z3 = a3 e assim e unica a decomposicao de A.

Saliente-se que pode acontecer que algumas das algebras AI , A1II , A∞II e AIII nao

estejam presentes na decomposicao

AI ⊕A1II ⊕A∞II ⊕AIII .

Por exemplo se A for uma algebra de von Neumnn de tipo I entao Z1 = IH (logoZ2 = Z3 = 0) e assim A = AI . Obviamente pode acontecer que A = A1

II , A = A∞II ,A = AIII ou qualquer outra soma directa destes 4 tipos de algebras. Quando A e umfactor entao apenas uma das algebras da decomposicao e nao nula.

Corolario 5.6.4. Se A e um factor entao A e uma algebra de von Neumann de tipoI, II1, II∞ ou III.

5.7. EXERCICIOS 63

Dem. Suponha-se que A actua no espaco de Hilbert H. Se A e um factor entao ocentro de A coincide com CIH e as unicas projeccoes centrais em A sao 0 e IH . Comoconsequencia, apenas uma so das projeccoes Z1, Z

12 , Z

∞2 e Z3 referidas na demostracao

do TeoremaCap5:0745.6.3 coincide com a identidade IH , sendo as restantes projeccoes iguais a

nula. Tem-se assim que A e uma algebra de tipo I, II1, II∞ ou III consoante Z1 = IH ,Z1

2 = IH , Z∞2 = IH ou Z3 = IH .

5.7 Exercıcios

Exercıcio 5.1. Sendo H um espaco de Hilbert considere em L(H) a topologia in-Von1duzida pela norma habitual de L(H) e, respectivamente, a topologias forte e fraca deoperadores em L(H). Justifique que se dim(H) < ∞ entao, dado T ∈ L(H) e Tαuma rede em L(H), e verdadeira a cadeia de equivalencias(

Tα →αT)⇔(Tα →

αT (SOT)

)⇔(Tα →

αT (WOT)

).

Conclua que se H e um espaco de Hilbert com dimensao finita entao qualquersubalgebra C∗ de L(H) que contem o operdor identidade e uma algebra de von Neu-mann.

Exercıcio 5.2. Sendo H um espaco de Hilbert, recorrendo ao teorema do bicomutanteVon2conclua que

L(H)′ = CIH ,

onde CIH := λIH : λ ∈ C.

Exercıcio 5.3. Mostre que na algebra C∗ das funcoes contınuas C(X), com X umespaco de Hausdorff compacto e conexo, as unicas projeccoes sao as triviais.

Exercıcio 5.4. Seja H um espaco de Hilbert.

a) Sendo M um subconjunto de L(H) mostre que

M′ = CIH se e so se M′′ = L(H).

b) Seja A uma algebra C∗ e (H, π) uma representacao irredutıvel nao nula de A.Mostre que π(A) e uma algebra C∗ fortemente densa em L(H).


Exercıcio 5.5. Sejam H um espaco de Hilbert e (Pα) uma rede de operadores deprojeccao ortogonais em L(H). Sendo P ∈ L(H) mostre que

Pα →αP (SOT) se e so se Pα →

αP (WOT).

Exercıcio 5.6. Mostre que uma algebra de von Neumann e maximal se e so se e igualao seu comutante(Teorema

Cap5:0295.4.1).

Exercıcio 5.7. Mostre que se P e Q sao duas projeccoes em L(H) entao

Q ≥ P sse Im P ⊂ Im Q.

Conclua que se Q ≥ P entao (Q − P ) e um operador de projecccao de H sobreM := Im Q ∩ (Im P )⊥.

Exercıcio 5.8. Sejam A uma algebra de von Neumann que actua num espaco deHilbert H e P1, P2 duas projeccoes em A. Mostre que sao equivalentes as afirmacoes:

a) P1 e P2 sao equivalentes;

b) Existe um operador V ∈ A tal que P2 = V P1V∗ e P1 = V ∗P2V.

Exercıcio 5.9. Demontre a ProposicaoCap5.4445.5.2.

Exercıcio 5.10. Mostre que se P e Q sao duas projeccoes numa algebra de vonVon3Neumann A tal que P ∼A Q entao Im P e Im Q tem a mesma dimensao. Conclua quese adicionalmente se tem Im P <∞ e Q ≤ P entao P = Q.

Exercıcio 5.11. Se A e uma algebra de von Neumann e P e Q sao duas projeccoestais que ‖P −Q‖ < 1 entao P ∼A Q.

Exercıcio 5.12. Demonstre a ProposicaoCap5.1235.5.10.

Exercıcio 5.13. Sejam A uma algebra de von Neumann e P e Q duas projeccoes emA. Mostre que se P ∼A Q entao Z(P ) = Z(Q).

Exercıcio 5.14. Sejam P e Q duas projeccoes numa algebra de von Neumann A.Mosre que:

5.7. EXERCICIOS 65

a) Se P A Q entao Z(P ) A Z(Q).

b) Se PQ = 0 entao existe Z ∈ Cent(A) tal que QZ = ZQ = Q e PZ = ZP = 0.

c) Se PAQ := PAQ : A ∈ A 6= 0 entao existem projeccoes P1 e Q1 em A taisque

P1 ≤ P, Q1 ≤ Q e P1 ∼A Q1.

Exercıcio 5.15. Dada uma algebra de von Neumnn A mostre que A e um factor se eso se A′ e um factor.

Exercıcio 5.16. Numa algebra de von Neumann A uma projeccao P diz-se minimalse a algebra de von Neumann PAP satisfaz

PAP = CIHP ,

com HP := Im P. Mostre que:

a) Se P e minimal entao P e abeliana;

b) Se P e minimal entao as unicas projeccoes Q ∈ A tal que P ≥ Q entao Q = Pou Q = 0.

Exercıcio 5.17. Sejam P e Q duas projeccoes numa algebra de von Neumann A. Mos-tre que se P ∼A Q entao as algebras AP := PAP e AQ := QAQ sao ∗-isometricamenteisomorfas.

Exercıcio 5.18. Sejam P e Q duas projeccoes numa algebra de von neumann A taisexIIque Z(P ) e Q sao ortogonais. Moatre que entao P e Q sao centralmente ortogonais.

Exercıcio 5.19. Ver se e possivel transformar III.1.2.2 de Blackadar em exercıcio.

Exercıcio 5.20. Mostre que uma algebra de von Neumann e maximal se e so se eigual ao seu comutante(Teorema

Cap5:0295.4.1).

Exercıcio 5.21. Mostre que a algebra CIH e uma algebra de tipo I.

Exercıcio 5.22. Sejam A e B duas algebras de von Neumann isometricamente iso-morfas (como algebras C∗). Seja Φ : A → B um isomorfismo-∗ isometrico de A em B.Mostre que:


a) P ∈ A e uma projeccao abeliana (resp. finita, infinita) se e so se Φ(P ) e abeliana(resp. finita, infinita);

b) A e uma algebra tipo I (resp. tipo II, III) se e so se B e uma algebra de tipo I(resp. tipo II, III).

Exercıcio 5.23. Sejam A e B duas algebras de von Neumann tais que A ⊂ B. Seja PexIuma projeccao em B. Mostre que:

a) se P e abeliana em B entao e abeliana em A;

b) se P e finita em B entao e finita em A.

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introdução àsálgebras de operadores

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