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Introdução aos Métodos Numéricos
Instituto de Computação UFFDepartamento de Ciência da Computação
Otton Teixeira da Silveira Filho
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Conteúdo
● Erros e Aproximações Numéricas
● Sistemas de Equações Lineares. Métodos diretos
● Interpolação
● Ajuste de Curvas
● Zeros de Função
● Sistemas de Equações Lineares. Métodos Iterativos
● Integração Numérica
● Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Conteúdo
● Introdução à Resolução de Equações Diferenciais Ordinárias
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Conteúdo
● Conceitos básicos
● Método de Euler
● Método de Euler Melhorado
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Resolução numérica de EDO‘s
Veremos aqui uma breve introdução a alguns métodos numéricos para resolver o problema de integração de uma equação diferencial ordinária no caso do problema de valor inicial, ou seja,
dydx
= f (x , y (x)); y (x0)= y0
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Resolução numérica de EDO‘s
Podemos entender este problema como:
dada a derivada de uma função e quanto esta função vale em um ponto, então resolvendo esta equação obteremos a função e esta função é única
A pergunta é se podemos garantir que sempre há uma solução e esta ser única
Da matemática sabemos que nem sempre
y (x)
y (x)
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Resolução numérica de EDO‘s
Supondo que a equação com que tratamos tem solução, vejamos o que podemos fazer para resolver a mesma.
Partamos da equação
e a reescrevamos como
dydx
= f (x , y (x)); y (x0)= y0
dy=f (x , y (x))dx
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Resolução numérica de EDO‘s
Vamos integrar esta função usando os valores da condição inicial
onde corresponde ao ponto no qual queremos obter o valor de nossa função que seria . Integrando obtemos
∫y0
y(x1)
dy=∫x0
x1
f (x , y (x))dx
x1
y (x1)
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Resolução numérica de EDO‘s
ou
y (x1)− y0=∫x0
x1
f ( x , y (x))dx
y (x1)= y0+∫x0
x1
f (x , y (x))dx
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Resolução numérica de EDO‘s
A questão agora está em como calcularemos a integral genérica que aparece.
Possibilidade:
Integremos aproximadamente
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Resolução numérica de EDO‘s
Partamos de algo muito simples e que sabemos ser bem impreciso: Integração por retângulo
Isto significa que o integrando deve variar “pouco“ (em algum sentido...) no intervalo de integração para este uso nos dê valores significativos para a integração
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Resolução numérica de EDO‘s
Assim ficaremos com
ou
y (x1)≈ y0+ f (x0, y (x0))∫x0
x1
dx
y (x1)≈ y 0+(x1−x0) f (x0, y0)
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Resolução numérica de EDO‘s
Definindo como
temos como aproximação de .
y1= y0+(x1−x0) f (x0, y0)
y1
y1 y (x1)
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Resolução numérica de EDO‘s
Tendo obtido uma aproximação de , podemos tentar obter uma aproximação da mesma função no ponto vizinho ao ponto de forma que possamos fazer a integração abaixo
y (x1)
x2
x1
y (x2)≈ y1+f (x1, y1)∫x1
x2
dx
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Resolução numérica de EDO‘s
Repetindo os cálculos como anteriormente teremos
e definindo como
temos este valor como aproximação de .
y (x2)≈ y1+(x2−x1) f (x1, y1)
y2
y2= y1+( x2−x1) f (x1, y1)
y (x2)
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Resolução numérica de EDO‘s
Se continuarmos fazendo este procedimento, depois de i passos teremos
Faremos mais uma arbitrariedade: suporemos que todos os valores de x sejam igualmente espaçados, ou seja,
y i+1= y i+(xi+1−x i) f ( xi , y i); dado y (x0)= y0
xi+1−x i=h;∀ i
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Método de Euler
Assim nossa fórmula ficará como
esta fórmula define o Método de Euler
y i+1= y i+h f ( xi , y i); dado y (x0)= y0
xi+1=x i+h
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Resolução numérica de EDO‘s
Com este método conseguiremos obter valores aproximados da função nos pontosy i y (x) xi
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Resolução numérica de EDO‘s
Mas veremos que ele não é tão ruim como aparenta ser por supor que a função seja constante (ou varie “pouco“ em algum sentido…) dentro do intervalo de integração
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
Use o Método de Euler para calcular o valor aproximado de do problema dado abaixo usando y (1)
dydx
= y cos( x); y (0)=1
h=1,1 /2,1/4
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
Comparando com o problema
com nosso problema específico
teremos que
dydx
= y cos(x); y (0)=1
dydx
=f (x , y ); y (x0)= y0
x0=0 ; y0=1 ; f (x , y )= y cos(x)
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
e sendo o Método de Euler dado por
no nosso caso terá a forma
x0=0 ; y0=1 ; f (x , y )= y cos(x)
y i+1= y i+h f ( xi , y i)
y i+1= y i+h y i sen(x i);dado y (0)=1
xi+1=x i+h
xi+1=x i+h
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então e este é o nosso resultado para h = 1
y1= y0+1× y0 cos(x0)=1+1×1×cos(0)=2
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y1 y (x1)
x1=x0+h=0+1=1
y (1)≈2
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1/2
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então .
y1= y0+12× y0 cos (x0)=1+
12×1×cos(0)=1,5
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y1 y (x1)
x1=x0+h=0+12=
12
y ( 12 )≈1,5
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1/2
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então .
y2= y1+12× y1 cos(x1)=1,5+
12×1,5×cos(1/2)=2,158186
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y2 y (x2)
x2=x1+h=12+
12=1
y (1)≈2,158186
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1/4
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então .
y1= y0+14× y0 cos (x0)=1+
14×1×cos(0)=1,25
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y1 y (x1)
x1=x0+h=0+14=
14
y ( 14 )≈1,25
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1/4
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então .
y2= y1+14× y1 cos(x1)=1,25+
14×1,25×cos(1/4 )=1,552785
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y2 y (x2)
x2=x1+h=14+
14=
12
y ( 12 )≈1,552785
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1/4
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então .
y3= y2+14× y2 cos(x2)=1,552785+
14×1,552785×cos(1 /2)=1,893459
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y3 y (x3)
x3=x2+h=12+
14=
34
y ( 34 )≈1,893459
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
h = 1/4
Teremos
e como é uma aproximação de e sendo
então .
y4= y3+14× y3 cos(x3)=1,893459+
14×1,893459×cos(3 /4)=2,239815
y i+1= y i+h yi cos(xi);dado y (0)=1
y4 y (x 4)
x4=x3+h=34+
14=1
y (1)≈2,239815
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
No momento temos três estimativas para , para valores diferentes de h:
Comparemos com a solução exata
y (1)
y (1)≈2(h=1) ; y (1)≈2,158186 (h=12 ) ; y (1)≈2,239815 (h=1
4 )
y (x)=esin( x)⇒ y (1)=esin (1)
=2,319776
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Resolução numérica de EDO‘s – Um exercício
Observe que quando diminuimos h os resultados se aproximam do resultado exato.
O método de Euler mostra que é eficaz, embora não muito preciso, com valores de h relativamente grandes.
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Método de Euler melhorado
Voltemos ao problema original, ou seja,
e integremos como antes para determinar
dydx
= f (x , y ( x)); y (x0)= y0
y (x1)= y0+∫x0
x1
f (x , y (x))dx
y (x1)
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Método de Euler melhorado
Diferente do que fizemos antes, usaremos como aproximação o valor no ponto médio do intervalo que, como vimos em integração numérica, nos dá maior precisão. Portanto faremos
Temos um problema: como calcularemos ?
y (x1)≈ y0+ f (x0+h2, y (x0+
h2))∫
x0
x1
dx=h f (x0+h2
, y (x0+h2));h=x1−x0
y ( x0+h2 )
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Método de Euler melhorado
Observe que todos os cálculos aqui são aproximados. Usaremos uma aproximação usando o Método de Euler para calcularmos
ou seja,
y ( x0+h2 )
y1/2= y0+h2
f (x0, y0);onde y1/2≈ y (x0+h /2)
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Método de Euler melhorado
Com isto poderemos escrever
Um estudo mais cuidadoso demonstraria que este cálculo é bem embasado.
y (x1)≈ y0+h f (x0+h2, y0+
h2
f (x0, y0))
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Método de Euler melhorado
Uma forma mais usual de apresentação deste método é
onde é uma aproximação de .
y1= y0+h k2
k2= f (x0+h2, y0+
h2k1)
k1= f (x0, y0)
y1 y (x1)
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Método de Euler melhorado
Se fizermos o mesmo que antes, ou seja, usarmos o valor obtido para obter uma aproximação em e daí obtermos mais e mais pontos, poderemos descrever este método da seguinte forma
y1 y (x2)
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Método de Euler melhorado
Método de Euler melhorado
y i+1= y i+hk 2
k2= f (x i+h2, y i+
h2k1)
k1= f (x i , y i)
xi+1=x i+h
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Método de Euler melhorado – Um exercício
Use o Método de Euler melhorado para calcular o valor aproximado do problema dado abaixo usando
h=1,1 /2dydx
= y cos( x); y (0)=1
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Método de Euler melhorado – Um exercício
h = 1
Pelo que já vimos antes escreveremos
ou seja, o valor obtido para é uma aproximação de
k1=f (x0 , y0)= y0 cos (x0)=1cos(0)=1
k 2=f (x0+h2; y0+
h2k1)=f (0+
12;1+
12×1)=f (1
2; 3
2)=
32×cos ( 12 )=1,316373
y1= y0+h k2=1+1×1,316373=2,316373
x1=x0+h=0+1=1
y1 y (1)
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Método de Euler melhorado – Um exercício
h = 1/2
Da mesma maneira que anteriormente teremos
ou seja, o valor obtido para é uma aproximação de
k1=f (x0, y0)= y0 cos(x0)=1cos(0)=1
k 2=f (x0+h2; y0+
h2k1)=f (0+
14;1+
14×1)=f ( 1
4; 5
4)=
54×cos ( 1
4 )=1,211140
y1= y0+h k2=1+12×1,211140=1,605570
x1=x0+h=0+12=
12
y1 y (1 /2)
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Método de Euler melhorado – Um exercício
h = 1/2
continuando...
ou seja, o valor obtido para é uma aproximação de
k1=f (x1 , y1)= y1 cos( x1)=1,605570 cos(1 /2)=1,409020
k 2=f (x1+h2, y1+
h2k1)=f (
12+
14;1,605570+
14×1,409020)=f (
34,
1,957825)
y2= y1+h k2=1,605570+12×1,432518=2,321829 x2=x1+h=
12+
12=1
y2 y (1)
k 2=f ( 34;1,957825 )=1,957825∗cos ( 3
4 )=1,432518
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Método de Euler melhorado – Um exercício
Agora comparemos com os resultados obtidos pelo método de Euler
os valores obtidos pelo método de Euler melhorado
e o valor exato
y (1)≈2,316373 (h=1 ) ; y (1)≈2,321829 (h=12)
y (1)≈2(h=1); y (1)≈2,158186 (h=12 ) ; y (1)≈2,239815 (h= 1
4 )
y (x)=esin( x)⇒ y (1)=esin (1)
=2,319776
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Resolução numérica de EDO‘s
Vemos claramente que com um esforço computacional equivalente, o método de Euler melhorado com h = ½ obtem um resultado mais preciso que o método de Euler com h = ¼ .
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Resolução numérica de EDO‘s
Os Métodos de Euler e Euler Melhorado fazem parte de um conjunto de métodos de resolução numérica de EDO‘s conhecidos como Métodos de Runge-Kutta
● Euler é um método cujo o erro é proporcional a
● Euler melhorado é um dos métodos de Runge-Kutta cujo erro é proporcional a
h
h2
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Resolução numérica de EDO‘s
Podemos dividir grosseiramente os métodos existentes para resolução de EDO‘s em
● Métodos de passo simples como os de Runge-Kutta
● Métodos de passo múltiplo como os de Adams-Bashforth
● Métodos de extrapolação como os de Bulirsch-Stoer
Mas há outras técnicas além destas
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Resolução numérica de EDO‘s
Cada um destes métodos tem virtudes e problemas e existem métodos criados para situações específicas
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Resolução numérica de EDO‘s
Embora aqui tenhamos apresentado a resolução de uma EDO, estas mesmas técnicas podem ser usadas para resolver numericamente sistemas de Equações Diferenciais Ordinárias
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Resolução numérica de EDO‘s
Apresentemos sistemas de equações diferenciais com um exemplo de um sistema de três equações
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Resolução numérica de EDO‘s
Um sistema dado por
pode ser escrito como
dαdx
= f⃗ α(x ,α(x) ,β(x) ,γ(x));α(x0)=α0
dβ
dx= f⃗ z (x ,α(x),β(x) ,γ(x ));β(x0)=β0
d γ
dx= f⃗ w (x ,α(x) ,γ(x) ,γ(x));γ(x0)=γ0
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Resolução numérica de EDO‘s
Um sistema em forma vetorial
onde
, as funções dependentes
, condições iniciais
, funções relativas a cada equação
d y⃗dx
= f⃗ (x , y⃗ (x)); y⃗ (x0)= y⃗ 0
y⃗=(α ,β ,γ )
y⃗0=(α0 ,β0 ,γ0 )
f⃗ = ( f α , f β , f γ )
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Resolução numérica de EDO‘s
Apresentaremos o esquema para resolução numérica deste sistemas de equações diferencias ordinárias para o Método de Euler. Será análogo para qualquer outro método.
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Resolução numérica de EDO‘s
Primeiro escrevamos a equação e o Método de Euler para uma única equação dada por
dydx
= f (x , y (x)); y (x0)= y0
y i+1= y i+h f (xi , y i)
xi+1=x i+h
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Resolução numérica de EDO‘s
Sistema de equações e Método de Euler em forma vetorial
d y⃗dx
= f⃗ ( x , y⃗ (x)); y⃗ (x0)= y⃗ 0
y⃗ i+1= y⃗ i+h f⃗ (xi , y⃗ i)
xi+1=x i+h
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Resolução numérica de EDO‘s
Ou seja,
ou mais explicitamente
αi+1=αi+h f α(xi , y⃗i)
βi+1=βi+h f β(xi , y⃗i)
γi+1=γi+h f γ(xi , y⃗i)
αi+1=αi+h f α(xi ,αi ,βi ,γi)
βi+1=βi+h f β(xi ,αi ,βi ,γi)
γi+1=γi+h f γ(xi ,αi ,βi ,γi)
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Resolução numérica de EDO‘s
Vejamos um exemplo clássico: O sistema Presa-Predador elaborado por Lotka e Volterra
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Resolução numérica de EDO‘s
Sistema Presa-Predador
Onde P é a população de uma presa e Q é a população de predadores que iteragem
dPdt
=(α0−β0Q ) P; P (t 0)=P0
dQdt
=(−α1−β1 P )Q ;Q (t 0)=Q0
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Resolução numérica de EDO‘s
No caso do Método de Euler escreveremos
dados
Pi+1=P i+h (α0−β0Qi ) P i
Qi+1=Qi+h (−α1−β1 Pi )Qi
t i+1=t i+h
P (t 0)=P0 ;Q (t 0)=Q0
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Resolução numérica de EDO‘s
E como seria no Método de Euler Melhorado?
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Método de Euler melhorado
Método de Euler melhorado para uma equação
e para um sistema de equações se escreverá como
y i+1= y i+hk 2
k 2=f (x i+h2, y i+
h2k1)
k 1=f (xi , y i)
x i+1=x i+h
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Método de Euler melhorado
Método de Euler melhorado para um sistema
y⃗ i+1= y⃗ i+h k⃗ 2
k⃗ 2= f⃗ (xi+h2
, y⃗ i+h2
k⃗1)
k⃗ 1= f⃗ 1(x i , y⃗ i)
x i+1=x i+h
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Resolução numérica de EDO‘s
Façamos uma ilustração com o problema Presa-Predador
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Resolução numérica de EDO‘s
Sistema Presa-Predador
Onde P é a população de uma presa e Q é a população de predadores que iteragem
dPdt
=(α0−β0Q ) P; P (t 0)=P0
dQdt
=(−α1−β1 P )Q ;Q (t 0)=Q0
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Resolução numérica de EDO‘s
No caso do Método de Euler Melhorado escreveremos
onde
Pi+1=P i+hk 2P
Qi+1=Qi+hk 2Q
t i+1=t i+h
k 1P=f P(t i ,P i ,Q i)
k 2P=f P(t i+h2,
P i+h2k1 P ,Q i+
h2
k1Q)
k 1Q=f Q (t i ,P i ,Q i)
k 2Q= f Q (t i+h2,
P i+h2k1 P ,Q i+
h2
k1Q)
f P(t i , Pi ,Qi)=[α0−β0Q(t)]P(t ); f Q(t i , P i ,Q i)=[−α1+β1P(t )]Q (t )
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Resolução numérica de EDO‘s
Agora ilustremos o que podemos fazer para resolver uma equação diferencial de qualquer ordem com uma equação de segunda ordem, usando os métodos apresentados
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Resolução numérica de EDO‘s
Seja uma equação de segunda ordem com o seguinte problema de valor inicial
Escrevamos esta equação da seguinte maneira
d3 ydx3 =f ( x , y (x),
dydx
,dy2
dx2 ) ; y (x0)= y0 ;dydx
|x=x0=z0 ;
dy2
dx2=w0
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Resolução numérica de EDO‘s
O que fizemos foi nomerar a derivada primeira de y como uma função z e w como derivada de z. Caimos num sistema de três equações de primeira ordem que sabemos como resolver
d zdx
=w (x);dydx
|x=x0=z (x0)=z0
d ydx
=z( x); y (x0)= y0
dwdx
=f ( x , y (x) , z (x)) ;dy2
dx2|x=x0
=w ( x0)=w0
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Resolução numérica de EDO‘s
Ilustremos com a equação do pêndulo simples
Reescrevamos esta equação da seguinte maneira
d2θ
dx2=−sen( y) ;θ( x0)=θ0 ;
d θ
dt|t=t 0
=ω0
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Resolução numérica de EDO‘s
As quais podemos resolver numericamente com as técnicas vistas
dω
dt=−sen(θ);ω(t0)=ω0
d θ
dt=ω(t) ;θ(t0)=θ0