INTRODUÇÃO AO CÁLCULO DIFERENCIAL

Ms. GILBERTO CUNHA DE ARAÚJO JÚNIOR

Natal, 2015.

Função Afim

Definição: Uma aplicação de R em R recebe o nome de função afim quando a cada x ϵ R associa sempre o mesmo elemento (ax + b) ϵ R, em que a ≠ 0 e b são números reais.

Toda função do tipo: f(x) = ax + b (x ϵ IR)

São funções afim:

f(x) = 2x + 1

a = 2 b = 1

f(x) = -4x

a = -4 b = 0

Não são funções afim:

f(x) = 2x2 + 1

f(x) = -4x3

f(x) =

f(x) =

1

x

2

1

x

f(x) = -3x - 11

a = -3 b = -11

f(x) = 7

a = 0 b = 7

Função Afim

Valor numérico de uma função afim

Valor para x = x0: f(x0) = ax0 + b

Exemplo: Seja a função afim f(x) = 3x + 7

Seu valor para x = 5: f(5) = 3 . 5 + 7 = 22

Seu valor para x = -4: f(-4) = 3 . (-4) + 7 = -5

Gráfico de uma função afim É sempre uma reta não vertical.

x

y

O

A ordenada y onde a reta do gráfico intersecta o eixo Oy é o valor inicial (b) da função: f(x) = ax + b

Coeficiente angular

A taxa de variação (a) da função afim também é chamada de coeficiente angular da reta: f(x) = ax + b

x

y

O

y = cateto oposto

x = cateto adjacente

y

x

= a =

cateto oposto cateto adjacente

= tg

Crescimento e Decrescimento da função afim

• A função afim f(x) = ax + b é crescente se, e somente se, o coeficiente angular a for positivo( a > 0 ). Ex.01 – f(x) = 5x + 2 Função afim crescente. • A função afim f(x) = ax + b é decrescente se, e somente se, o coeficiente angular a for negativo ( a < 0 ). •Ex.01 – f(x) = -2x + 2 Função afim decrescente.

Zero ou raiz da Função Afim Zero de uma função é todo número x cuja imagem é

nula, isto é, f(x) = 0.

Obs. O zero da função é onde o gráfico intercepta o eixo da abscissa (o eixo de x).

ax + b = 0 ↔ x= - b/a (Zero da função)

Zero da Função Afim

Exemplo: f(x) = 2x – 10 x = = 5 10

2

1 2 3 4 5 6 7 x

y

0 Zero da função: abscissa (x) em que o gráfico intersecta o eixo Ox.

Consequência: f(x) = ax + b = 0 x = b

a

Determinação de uma função afim

Determinar uma função afim é determinar seu valor inicial b e sua taxa de variação a e substituí-los na lei geral: f(x) = ax + b

Exemplo: f(1) = 7 e f(3) = 11

f(1) = a . 1 + b a + b = 7 f(3) = a . 3 + b 3a + b = 11

a + b = 7 3a + b = 11

A solução do sistema é: a = 2 e b = 5 Função afim está determinada: f(x) = 2x + 5

Inequação

Sejam as funções f(x) e g(x) cujos domínios são respectivamente D1, D2 ϵ R. Chamamos inequação na incógnita x a qualquer uma das sentenças abertas.

f(x) > g(x)

f(x)< g(x)

f(x) ≤ g(x)

f(x) ≥ g(x)

Conjunto solução inequação

Exemplo: Determine o conjunto solução da inequação 3x -1 > 2x +3.

Aplicação – Função Afim Uma pessoa vai escolher um plano de saúde entre duas opções:

A e B. Condições dos planos:

Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por consulta.

Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por consulta.

Determinar: a) A função correspondente ao custo mensal de cada plano. b) Em qual situação o plano A é mais econômico; o plano B é mais econômico; os dois se equivalem.

Aplicação – Função Afim Resp.

a) a(x) = 20x + 140 para o plano A e para o Plano B é b(x) = 25x + 110

b) Para que o plano A seja mais econômico

• b(x)>a(x) ↔ x> 6

Para que o Plano B seja mais econômico

• b(x)<a(x) ↔ x<6

Para que A e B se equivalem

• b(x)=a(x) ↔ x = 6

BIBLIOGRAFIA

BARBONI, Ayrton; PAULETTE, Walter. Cálculo e Análise – Cálculo diferencial e integral a uma variável, LTC, 1ª Ed., 2007.

IEZZI, Gelson. Fundamentos da matemática elementar, 1. 9ª ed. São Paulo, 2013.