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Introdução à Informação Quântica
Amir O. Caldeira
IFGW-UNICAMP
Sumário da palestra
• Introdução; a evolução histórica das áreas
que geraram a Informação Quântica.
• A Teoria Clássica da Informação.
• A Mecânica Quântica.
• A Informação Quântica.
• Comentários finais.
O desenvolvimento das diferentes
áreas
Física Quântica
Teoria da Computação
Teoria da Informação
Criptografia
Informação Quântica
Computação Quântica
• Na virada do século XX a
Física Clássica não
consegue explicar diversos
fenômenos observados
experimentalmente.
• Hipóteses de Planck,
Einstein, Bohr e de
Broglie culminam com a
criação de uma nova teoria
na década de 20;
A Mecânica Quântica
A Mecânica Quântica
• Um novo paradigma para as
teorias físicas.
• A dualidade partícula-onda e a
formulação matricial;
Schrödinger & Heisenberg.
• A visão unificada de Dirac.
• O que é o sistema físico? A
ênfase na observação; a teoria
da medida. von Neumann.
A Teoria da Computação
• Ábaco de areia inventado provavelmente na Babilônia em torno de 3000 a.C.
• Matemático babilônio desenvolve algoritmos de cálculo numérico em torno de 1800 a.C.
• Ábacos gregos e romanos em torno de 400 a.C.
• Na década de 30, Alan Turing desenvolve o conceito teórico de um computador programável; a máquina de Turing. “ Qualquer algoritmo pode ser eficientemente simulado em uma máquina de Turing”
• Pouco tempo depois John vonNeumann desenvolve o modelo teórico de como implementar a máquina de Turing
Desenvolvimento recente:
• “ Hardware” só teria impulso no final dos anos 40 após o desenvolvimento do transistor por Bardeen, Brattain e Shockley; Prêmio Nobel de Física de 1956
A Teoria da Informação
• Na década de 40 Claude Shannondesenvolve matematicamente o conceito de informação. Quantificação do armazenamento e transmissão de informação. Codificação da informação em canais com e sem ruído e códigos de correção de erros.
Questões da teoria de informação
• Que recursos ou meios são necessários para a transmissão de informação através de canais de comunicação?• Como esta informação pode ser protegida de influências externas (ruído) enquanto estiver sendo transmitida?
Ambas respondidas pelos dois teoremas de codificação de Shannon
Criptografia
• Métodos de comunicação secreta foram desenvolvidos por inúmeras civilizações antigas na Mesopotâmia, Egito, Índia, China...
• Os espartanos desenvolveram a CÍTALA em torno de 400 a.C.
• Durante a segunda grande guerra ocorrem avanços significativos na criptografia ; Alan Turing e a equipe de Bletchley Park na Inglaterra quebram os códigos cifrados da ENIGMA (máquina de cifrar usada pelos alemães) ; desenvolvimento do primeiro computador digital, o COLOSSUS !
• Em 1949, contribuição seminal de Shannon: "Communication theory of secrecy systems".
Desenvolvimento recente:
Teoria clássica da informação
• Envio de informação – letras, palavras, números –
através de canais de comunicação que operam de acordo
com as leis da física clássica.
• Codificação da informação : sistema binário.
• O sistema decimal
1120 = 1 x 103 + 1 x 102 + 2 x 101 + 0 x 100
21 = 2 x 101 + 1 x 100
• O sistema binário
21 = 16 + 4 + 1 = 1 x 24 + 0 x 23 + 1 x 22 + 0 x 21 + 1 x
20 10101; representação alternativa para os números
Exemplo:Deseja-se enviar mensagens com as 23 letras do alfabeto e símbolos de pontuação . , : ; ! ? -
30 elementos
a cada elemento corresponde um número; 1,2,...30
30 = 1 x 24 + 1 x 23 + 1 x 22 + 1 x 21 + 0 x 20
= 11110
Precisa-se de 5 dígitos por elemento e cada um deles = 0 ou 1. Diferentes codificações maior eficiência na transmissão ou armazenamento.
dígito 0 ou 1 é o chamado de informação “ bit ’’
• Por quê o sistema binário?Operacionalização: geração do bit
Elemento Físico
excitação
Determinada característica é ativada 1
Não há ativação da característica em questão
0
Se usarmos uma composição de elementos físicos como o anterior
1
0
0
1
1
0
1
EmissorA
ReceptorB
Canais de transmissãoRealisticamente
apresentam erros na comunicação dos bits
Saída
Esquema da transmissão de informação
Entrada
Codificação em canais sem ruído (Shannon I)
Na codificação ótima uma mensagem de n símbolos
de um alfabeto de d elementos, {a1,...ad}, requer
),...,,( 21 npppnH
bits para ser transmitida confiavelmente, onde
∑=
−=d
i
iidpppppH
1
21log),...,,(
é a Entropia de Shannon
Codificador Descodificador
Entrada Canal clássico sem ruído
(compressão de dados)
Saída
Esquematicamente
Cn Dn
Codificação em canais com ruído (Shannon II)
A capacidade de um canal N , com ruído, é dada por
):(max)()(
YXHCxp
=N
):( YXHonde é a informação (entropia) mútua
de X e Y
),()()():( YXHYHXHYXH −+=
X é o conjunto de entrada e Y o de saída
Codificador Descodificador
EntradaX
SaídaY
Esquematicamente
Canal clássico com ruído
(compressão de dados)
Cn Dn
• os bits são os elementos básicos na teoria clássica da informação, mas o elemento físico tende a ser cada vez menor para o melhor desempenho no armazenamento, transmissão e processamento da informação
miniaturização
• tão pequenos que as leis da física clássica não mais se aplicam a eles bits de sistemas regidos pela física quântica “ qubit ’’
• Quem são e como se comportam ?Para responder questões como estas precisamos de alguns conceitos novos.
A Mecânica Quântica
• Um conjunto de postulados que descreve a evolução temporal e os resultados de observações de grandezas de um sistema físico.
• Seus efeitos são fortemente evidenciados nas escalas molecular, atômica e sub-atômica.
• Na escala macroscópica, aquela do nosso cotidiano, a física quântica reproduz os resultados e previsões da física clássica.
• Miniaturização nos leva a bits de dimensões suficientemente pequenas para que a mecânica quântica entre em cena
• Os postulados
1. O estado físico e o espaço de Hilbert2. Os observáveis e os operadores hermitianos3. Auto valores e resultados da medida4. Probabilidades dos diferentes auto valores5. Redução do pacote de onda6. Operadores unitários e a evolução temporal7. Quantização canônica
“ qubit ’’
No nosso caso de interesse...
• Espaço de Hilbert bidimensional Spin do elétron, polarização do fóton, sistemas de dois níveis em geral ;
↓=↑= )0()1( φφ ou
base associada os valores 1 ou 0 do bit clássico. Auto estados do observável !
−
=10
01z
σ
Mas, em Mecânica Quântica existe o...
zσ
Princípio da superposição
22
)()(↓−↑
=↓+↑
= −+ φφ ou
que são os auto - estados do operador
=
01
10x
σ
Em geral
↓+↑= θθψ sincos Estado puro
xσ
N qubits: espaço de Hilbert é um produto direto
NNψψψψψψψ ,...,,...
2121=⊗⊗⊗=
Base do espaço
)()(
2
)(
1},...,{,...,, 21
21
N
N
i
N
ii
iiiφφφφ =
é um produto direto de estados puros
ExemploN
↓↑↑ ,...,,21
NΞ⊗⊗Ξ⊗Ξ⊗Ξ ...
321
Forma genérica do estado
∑=
=1
0,...,
)()(
2
)(
1},...,{
21
21
21
,...,,N
N
N
iii
i
N
ii
iiic φφφψ
que em geral não é um produto direto !
2
,,2121
↓↓+↑↑=ψ
Exemplo em
Emaranhados
21Ξ⊗Ξ
2
,...,,,...,,2121 NN
↓↓↓+↑↑↑=ψ
Emaranhados de N qubits
Se N é macroscopicamente grande...
O gato de Schrödinger
Misturas estatísticas
Membros de um ensemble descritos por e aos quais se atribui uma distribuição clássica de probabilidades {pi}
iψ
ii
i
ip ψψρ ∑≡
Se teremos para o subsistema 1
ρρ21
tr=
Quando o estado é puro ψψρ ≡
21Ξ⊗Ξ=Ξ
Misturas são importantes para se descrever o comportamento de sistemas não-isolados em Mecânica Quântica, em particular, a sua dinâmica.
inressHHHH ++=
Sistema isoladoSistema
não-isolado
Equação de Schrödingerpara o estado puro
Equação de Liouvillepara a mistura
↓=↑= )0()1( φφ ou
↓=)0(φ
Novamente queremos atuar em vários elementos físicos. Agora os elementos são quânticos0 ou 1
Elemento Físico
excitação
Determinada característica é ativada
Não há ativação da característica em questão
↑=)1(φ
Informação Quântica
Stern-Gerlach
?
?
?
?
?
?
?
Qubits podem ser preparados por inúmeros “magnetos” orientados para medir ou e, portanto, encarados como qubits não-ortogonais
↑
↑
↓
−
−
↑
+
xσ
zσ
Comunicação de dados quânticos
A deseja enviar N qubits para B: sem medir!!!
↑
↑
↓
−
−
↑
+
↑
+
↑
↓
−
−
↑
Fonte de informação quântica
iψ com probabilidade i
p
Operador densidadeii
i
ip ψψρ ∑≡
iψ não necessariamente ortogonais
Não podem ser medidos sem que sejam destruídos e não podem ser copiados (no – cloning )
Codificação em canais quânticos sem ruído(Schumacher)
Na codificação ótima uma mensagem de n símbolos
de um alfabeto de d elementos, {a1,...ad}, requer
)(ρnS
qubits para ser transmitida confiavelmente, onde
é a entropia de von Neumann
ρρρ log)( trS −≡
Esquematicamente
ρ ρ ′ ρ ′′
n logdqubits
n logdqubits
)(ρnS
qubits
Cn Dn
Fidelidade no i – ésimo canal 2
ii ψψ ′
Compressão de dados quânticos (Schumacher)
Fótons com polarização horizontal
Fótons com polarização a 45o
1ou↑≡
+≡
( )↔↔+↔↔=2
1ρ
A
BPar EPR
2 bits clássicos
1qubit
1qubit
Teleportação
Comunicação sem o envio dos qubits
Base de Bell para o par EPR
( )ABABAB
01102
1)( +=+ψ
( )ABABAB
01102
1)( −=−ψ
( )ABABAB
00112
1)( +=+φ
( )ABABAB
00112
1)( −=−φ
Emaranhamento com C
( ) ( )ABABCCABC
ba 00112
110
)( ++=+φψ
BzACByAC
BxACBACABC
i ψσφψσψ
ψσψψφφψ
)()(
)()()(
2
1)(
2
1
2
1
2
1
−−
+++
+−+
++=
A comunica classicamente (2 bits) a B o resultado de sua medida na base de Bell.B através de transformações unitárias obtém o estado original!
Note que ao determinar a característica do composto (A+C) o objeto C desaparece!
Objetos quânticos não podem ser copiados(no – cloning)
Fax clássico X Teletransporte
Original cópiaIntacto
dadosGravação tratamento
Original matéria prima
Original objetodestruido teletransportado
(2+3) (1)
dadosGravação B A
32 1
Original EPR
Codificação superdensa quântica
A
BPar EPR
2 bits clássicos
2 bits clássicos
1qubit
Canais com ruído, decoerência e correção de erros
• Descrição do ruído em mecânica quântica: acoplamento com um meio externo, o reservatório
• Operador densidade representativo de uma mistura estatística = emaranhado (estado puro)do sistema composto
• Dinâmica irreversível do sub-sistema de interesse (N – qubits ) = evolução unitária do sistema composto
Esquematicamente
Codificação em canais quânticos com ruído (Holevo – Schumecher – Westmoreland)
A capacidade de um canal quântico , com
ruído, é dada por
( )( )
−
= ∑∑ j
j
j
j
jjp
SppSCii
ρϑρϑϑρ },{
max)(
ϑonde é uma operação quântica que preserva o traço
)(ϑC
Correção de erro
Emaranhamento de um qubit com outros pode transportá-lo confiavelmente
A
B
pergunta
resposta
confirma
O(N) bitsO(sqrt(N) logN) qubits
Uma das possíveis vantagens da transmissão por canais quânticos
• Vimos como o uso de emaranhados em apenas 1 canal pode trazer resultados surpreendentes à teoria de comunicação.
• Importância grande em criptografia. Não –clonagem protege o envio de mensagens codificadas.
• Processamento de informação lado a lado com o desenvolvimento da computação quântica. Uma preocupação...quebra de senhas.
Comentários gerais:
Avanço na implementação prática destes conceitos
Manipulação individual de sistemas quânticos
• íons em armadilhas lineares• fótons em cavidades ópticas• spins em pontos quânticos• fluxóides em dispositivos supercondutores• NMR em moléculas
Comentários finais
• Informação + Computação Quântica; maior eficiência no armazenamento, processamento e transmissão da informação paralelismo viaemaranhamento.
• Influência do meio em processadores e canais quânticos de comunicação decoerência
efeitos quânticos rapidamente destruidos.Códigos quânticos de correção de erros.
• Exploração de recursos de multi-canais quânticosainda em desenvolvimento.
• Mais aplicações ?
• Problemas em aberto?
• Implementação em escala industrial ?
A área ainda está na sua infância e respostas a estas questões serão dadas nas próximas
décadas !