INTITUCION EDUCATIVA MUNICIPAL NACIONAL

PITALITO – HULA

2020

GUIA SEGUNDO PERIODO

AREA: MATEMATICAS

GRADO: ONCE

TEMA: FUNCIONES REALES

* CONCEPTO DE FUNCION

* REPRESENTACION DE FUNCIONES

* DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

* CLASIFICACION DE FUNCIONES

OBJETIVO: Representar, analizar e identificar las ecuaciones, el dominio y el rango de los diferentes tipos de funciones.

PROFESOR: LUIS GRANJA

INSTITUCION EDUCATIVA MUNICIPAL NACIONAL J.T. PITALITO

GUIA GRADO ONCE: TEMA FUNCIONES REALES PROF: Luis Granja

PRODUCTO CARTESIANO. RELACIONES

PRODUCTO CARTESIANO:

Si A y B son dos conjuntos no vacíos. El producto cartesiano de A por B, que se nota A×B, es el conjunto de pares ordenados

A × B = {(a, b): a ∈ A ʌ b ∈ B}.

Ejemplos: Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. Entonces A × B = {(1, a), (1, b), (2, a), (2, b), (3, a), (3, b)},

B × A = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (b, 1), (b, 2), (b, 3)}.

Según lo anterior se tiene que A x B ≠ B x A

En el caso de que se tenga un solo conjunto por ejemplo B su producto cartesiano seria

B × B = {(a, a), (a, b), (b, a), (b, b)}.

RELACION:

Si A y B son dos conjuntos no vacíos, entonces una relación de A en B es un subconjunto del producto cartesiano A x B,

entonces R es una relación de A en B si y solamente si R C A x B.

Ejemplo 1: Sean A = {1, 2, 3}, B = {a, b}. Entonces: R = {(1, a), (1, b)} es una relación de A en B. ya que R C A x B

Ejemplo 2: Si R es el conjunto de los números reales, entonces: H = {(x, y)/ x real, y real, y = 2x+1}. Es una relación de R en R

Ejemplo 3: Si R es el conjunto de los números reales, entonces: Q = {(x, y)/ x real, y real; x2 + y2 = 1}. Es relación una de R en R

A las relaciones se las representa mediante diagramas sagitales o mediante diagramas cartesianos.

FUNCION:

Una función de A en un conjunto B es una relación en la que a cada elemento del conjunto A le corresponde un único

elemento del conjunto B, simbólicamente se denota por f: A → B. Donde al conjunto A se lo llama conjunto de partida o

Dominio y al conjunto B conjunto de llegada o codominio.

A las funciones se las nombra por lo general con letras minúscula como f, g , h, etc.

Además, si x ∈ A, entonces, al elemento con el cual se relaciona en B lo denotamos por y = f (x) esto lo podemos interpretar como x el cual se relaciona con y bajos las reglas dadas por f.

Cuando utilizamos la notación y = f (x), a x se la considera variable independiente, mientras que y recibe el nombre de variable dependiente.

En cálculo, se hace énfasis en considerar las funciones en las cuales el dominio y el rango son conjuntos de números reales. En consecuencia se habla de funciones de variable real o simplemente funciones reales.

Para que una relación sea función, debe cumplir las siguientes condiciones:

1. Todo elemento del conjunto A debe estar relacionado con un elemento del conjunto B.

2. Un elemento del conjunto A no puede relacionarse con dos o más elementos diferentes del conjunto B.

Los siguientes diagramas muestran relaciones funcionales y no funcionales.

GUIA NO 1

En los diagramas y en general en las funciones se hace necesario reconocer

sus elementos como son: el dominio, codominio y rango

(en algunos casos el rango es igual al codominio)

Debemos tener en cuenta que ¨Toda función es relación, pero no toda

relación es función”

GRÁFICAS DEFINICIÓN: La gráfica de una relación es el conjunto de todos los pares ordenados que pertenecen a la relación.

Dada la gráfica de una relación, podemos determinar si ésta representa una función, usando la prueba de la recta vertical.

Veamos en qué consiste esta prueba.

PRUEBA DE LA RECTA VERTICAL

Esta prueba es una forma geométrica que consiste en trazar rectas verticales que intersequen la gráfica. La gráfica

representa una función si todas las rectas verticales que intersequen la gráfica, la intersecan en un solo punto. Si al menos una recta vertical interseca la gráfica en más de un punto, entonces estos puntos de intersección repiten el primer elemento

del par ordenado en pares ordenados distintos. Por lo tanto, las gráficas donde esto ocurre no representan funciones.

EJEMPLO:

*Las gráficas 1 y 2 corresponden

a funciones.

*Las gráficas 3 y 4 corresponden

a relaciones

DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCION

*Se define dominio de una función f como el conjunto de números reales x para los cuales existe f (x), es decir, los

valores de x, para los que f(x) tiene un resultado y lo denotamos por Df . El dominio de función depende en gran medida

del tipo de función.

*Se denomina rango o recorrido al conjunto de los valores reales que toma la variable y o f (x). Lo simbolizamos R f.

Las funciones de variable real se representan geométricamente mediante una gráfica en el plano x y , donde el dominio de

la función corresponde al eje x y el rango se asocia con los valores del eje y, tal que y = f(x).

Para encontrar el dominio de una función se despeja la variable y y se analizan las restricciones que tiene x. Del mismo

modo para hallar el rango se despeja la variable x y se analizan las restricciones de y.

EJEMPLOS: Hallar el dominio y el rango de las siguientes funciones

1. f(x) = 2x-1

En este caso se trata de una función polinómica, x no tiene ninguna restricción

Por lo tanto Df = R (x puede tomar cualquier valor)

Rf = R, por ser polinomio de grado impar

2. 𝑓(𝑥) =1

𝑥 En este caso si x = 0, la función se indetermina, por tanto

Df = R - {0} se hace necesario evitar este valor.

Para hallar el rango despejamos x o sea 𝑦 =1

𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 =

1

𝑦

Igual que para el dominio y no puede tomar el valor de 0, por tanto

Rf = R - {0}

3. 𝑓(𝑥) =𝑥+1

𝑥−1 Esta es una función racional, el dominio de una función racional está restringido para aquellos valores

donde el denominador se hace 0, en este caso el denominador es x – 1

y este se hace 0 cuando x toma el valor de 1,este valor se debe evitar. Por tanto

Df = R - {1}, en x = 1 trazamos una asíntota vertical.

Para el rango despejamos x en términos de y; luego analizamos los

Valores que puede tomar y para que x sea real

𝑠𝑖 𝑦 =𝑥+1

𝑥−1, 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 … 𝑥 =

𝑦+1

𝑦−1 Nos damos cuenta que para

Que x sea real y debe ser diferente de 1 (y≠1), por tanto

Rf = R - {1}

En conclusión, el Dominio son todos los reales excepto el 1y el

Rango son todos los reales excepto el 1

4. 𝒇(𝒙) = √𝒙 En este caso x no puede ser negativo, o sea

x debe ser mayor o igual que 0, es decir x ≥ 0, por tanto

Df = [0, ∞). Para el rango despejamos x.

𝑠𝑖 𝑦 = √𝑥 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 = 𝑦2 Esto quiere decir que y toma

sólo valores positivos por estar elevado al cuadrado, luego

Rf = [0, ∞)

En conclusión, hay dos razones principales por las que los dominios (o los rangos) pueden estar restringidos.

• No se puede dividir entre 0.

• No puedes sacar la raíz cuadrada (o par) de un número negativo, porque el resultado no sería un número real.

¿En qué tipo de funciones sucederían estos problemas?

La división entre 0 podría ocurrir cuando la función tiene una variable en el denominador de una expresión racional. Esto

es, hay que poner atención en las funciones racionales. Veamos algunos ejemplos y observa que la “división entre 0” no

necesariamente significa que x es 0!

Función Notas

Si x = 0, estarías dividiendo entre 0, entonces x ≠ 0.

Si x = 3, estarías dividiendo entre 0, entonces x ≠ 3.

Si bien puedes simplificar esta función como f(x) = 2, cuando x = 1 la función original incluiría la división entre 0. Entonces x ≠ 1.

x = 1 y x = −1 harían 0 el denominador. De nuevo,

esta función puede simplificarse como , pero cuando x = 1 o x = −1 la función original incluiría la división entre 0, entonces x ≠ 1 y x ≠ −1.

Este es un ejemplo cuando no hay restricciones en el dominio, aunque haya una variable en el denominador. Porque x

2 ≥ 0, x

2 + 1 nunca será 0. Lo menos que puede

ser es 1, por lo que no hay peligro de una división entre 0.

Función Restricciones al Dominio

Si x < 0, estarías sacando la raíz cuadrada de un número negativo, entonces x ≥ 0.

Si x < −10, estarías sacando la raíz cuadrada

de un número negativo, entonces x ≥ −10.

¿Cuándo es negativa -x? Sólo cuando x es positiva. (Por ejemplo, si x = −3, entonces −x = 3. Si x = 1, entonces −x = −1.) Esto significa que x ≤ 0.

x2 – 1 debe ser positivo, x2 – 1 > 0. Entonces x2 > 1. Esto sólo sucede cuando x es mayor que 1 o menor que −1: x ≤ −1 o x ≥ 1.

No hay restricciones en el dominio, aunque hay una variable dentro del radical. Pero x2 ≥ 0, x2 + 10 nunca será negativo. Lo menor que

puede ser es 10, por lo que no hay peligro de sacar la raíz cuadrada de un número negativo.

Estos criterios también se deben tener en cuenta para el cálculo del rango.

CONSULTAR: CLASIFICACION DE FUNCIONES

TALLER:

1. Sean A={-1, 2} y 4,2B Determinar el producto cartesiano A x B

2. Representar el producto cartesiano 2,43,2

3. Representar en un sistema de coordenadas XY , la relación R={(x, y) : x real, y real 0 x 1, 0 y 1}

4. Representar mediante un diagrama sagital la relación: H={ (1,a),(1,b),(2,a),(2,b) } si A={1,2,3} y B={ a, b , c } además encontrar dominio y rango.

5. Si A={1,2,3,4} y B={ a, b,c}, determinar si f={(1,a), (1,b), (2,c), (4,b)} es una función de A en B justificar tu respuesta.

6. Establecer si la función definida mediante la ecuación y= x2+1 es inyectiva. Justificar tu respuesta.

7. Elaborar el gráfico, hallar el dominio y el rango de la función 𝑓(𝑥) =3𝑥2−2𝑥−1

2𝑥2−7𝑥+5

8. Calcular el dominio y el rango de las siguientes funciones. Trazar su gráfica.

a. f(x) =2

1

5

2x b. g(x) = 3x2 c. h(x)=2x

3+5x2-5 d. j(x) =

3x e. 29)( xxf

f. f(x) =x4

1

g. f (x) =│x│+2 h.

1

1)(

2

x

xxf i.

1)(

x

xxf j. f(x) =

2

1

x

x

k. f(x) = 3

1

1

x l. f(x) =

x1

1 m. f(x ) = x2 n.

32

32)(

2

x

xxxf o. g(x ) =

9

42

2

x

x

FUNCIONES ESPECIALES

Son aquellas cuyo comportamiento no es descrito por una formula, también se las conoce con el nombre de

funciones segmentadas o funciones a trozos. La grafica de este tipo de funciones equivale a la unión de las gráficas

de cada parte.

Dd

GUIA NO 2

OPERACIÓN ENTRE FUNCIONES

Las funciones pueden combinarse y producir nuevas funciones a través de las operaciones aritméticas de adición, sustracción,

multiplicación y división.

Sean las funciones f y g

uyos dominios son A Y B, respectivamente, entonces se definen las siguientes funciones:

* (𝑓 + 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 + 𝑔) = 𝐴 ∩ 𝐵

* (𝑓 − 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) − 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 − 𝑔) = 𝐴 ∩ 𝐵

* (𝑓 ∗ 𝑔)(𝑥) = 𝑓(𝑥) ∗ 𝑔(𝑥) 𝐷𝑜𝑚(𝑓 ∗ 𝑔) = 𝐴 ∩ 𝐵

*(𝑓

𝑔) (𝑥) =

𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) 𝑐𝑜𝑛 𝑔(𝑥) ≠ 0 𝑦 𝐷𝑜𝑚 (

𝑓

𝑔) 𝑓 = 𝐴 ∩ 𝐵

Las operaciones entre funciones se desarrollan en forma similar a las operaciones entre operaciones algebraicas.

Ejemplo:

1. Dadas las funciones polinómicas f(x) = x2 - 1 y g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus

dominios:

1) (f + g)(x) 2) (f + g)(2) 3) (f - g)(x) 4) (f - g)(0)

1) (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x2 - 1 + 2x3

Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:

Dom(f + g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R

2) (f + g)(2) = 22 - 1 + 2·23 = 19

3) (f - g)(x) = f(x) - g(x) = x2 - 1 - 2x3

Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:

Dom(f - g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R

4) (f - g)(0) = - 1

2. Dadas las funciones polinómicas f(x) = x2 - 1 y g(x) = 2x3 , calcula las siguientes operaciones y sus

dominios:

1) (f · g)(x) 2) (f · g)(1) 3) (f / g)(x) 4) (f / g)(3)

1) (f · g)(x) = f(x)·g(x) = (x2 - 1)( 2x3) = 2x5 - 2x3

Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:

Dom(f · g) = Dom(f) ∩ Dom(g) = R

1) (f · g)(1) = f(1)·g(1) = 2·15 - 2·13 = 2 - 2 = 0

2) (g · f)(x) = g(x)·f(x) = ( 2x3)(x2 - 1) = 2x5 - 2x3

Como Dom(f) = R y Dom(g) = R , tenemos que:

Dom(g · f) = Dom(g) ∩ Dom(f) = R

Como Dom(f) = R , Dom(g) = R , {x∈Dom(g) / g(x) = 0} = {0} , tenemos que:

Dom(f / g) = [Dom(f) ∩ Dom(g)] - {x∈Dom(g) / g(x) = 0} = R - {0}

COMPOSICION DE FUNCIONES

EJEMPLO: Sean las funciones

𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑦 𝑔(𝑥) = 3𝑥 + 1

Hallar (g o f )(x)

3.

4.

3 Sean las funciones:

Hallar: (g o f)(x) y (h o g o f)(x)

*

*

2.

1. Dadas las funciones f(x)=1

1

x

x g(x)=

1x

x hallar.

a. (f +g)(x) b .(f - g)(x) c. (f . g)(x) d. (f g)(x)

2. Dadas las funciones f(x) = 2x2 + 1 y g(x) = x - 1 hallar:

a. ( f ◦g)(x) b. (g◦ f)(x) c. ( f ◦ g)(-2) d. (g◦ f)(-1)

4. Hallar dominio, rango y construir la gráfica de las siguientes funciones.

A. 𝑓(𝑥) = {

−2 𝑠𝑖 𝑥 < −13 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 2𝑥

2𝑠𝑖 −2 ≤ 𝑥 < 2

B. 𝑓(𝑥) = {𝑥 + 1 𝑠𝑖 1 ≤ 𝑥 < 3

𝑥2 𝑠𝑖 −2 ≤ 𝑥 < 1−1 𝑠𝑖 3 ≤ 𝑥 < 6

C. 𝑓(𝑥) = {

𝑥 𝑠𝑖 𝑥 < −1𝑥 + 1 𝑠𝑖 −1 ≤ 𝑥 ≤ 3𝑥 + 2 𝑠𝑖 3 < 𝑥 < 5𝑥 + 3 𝑠𝑖 5 ≤ 𝑥 < 7

BIBLIOGRAFIA: Los caminos del saber. MATEMATICAS 11 SANTILLANA

https://www.youtube.com/watch?v=4PWf27vLNQs https://www.youtube.com/watch?v=umWSSxZNJaQ

https://www.youtube.com/watch?v=4DIk2WiVv44 https://www.youtube.com/watch?v=AU1GVkYD78w

*

TALLER

3.

A.

B.

C.

D.