Republica Bolivariana De Venezuela

Ministerio Del Poder Popular Para La Educación Superior

Universidad Fermín Toro

Núcleo Portuguesa

Ing. en Computación

Estudiante

Kenj mourad

Cl:19903208

Araure 9 de febrero del 2013

INTERPOLACIÓN

Consiste en determinar el polinomio único de n-esimo grado que se ajuste a n+1

punto, este polinomio, entonces esto proporciona una formula para calcular valores

intermedio aunque hay uno y un solo polinomio de n-eximo grado que se ajusta a n+1 punto

existen una gran variedad de formula matemática en la cuales pueden expresarse este

polinomio. por ejemplo, porque son los resultados de un experimento gobernado por una ley

que desconocemos. Si queremos calcular el valor de la función para una abscisa diferente de

las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que

obtengamos será una aproximación del valor real.

INTERPOLACIÓN LINEAL

Consiste en unir dos puntos con una llinea recta y esta es su formula

x2 = ((y2 - y1)(x3 - x1) / (y3 - y1)) + x1

y2 = ((x2 - x1)(y3 - y1) / (x3 - x1)) + y1

INTERPOLACIÓN CUADRÁTICA

En consecuencia una estrategia para mejora la estimación consiste en introducir

alguna convertura a la línea que une los puntos pero si tienen 3punto ya son un polinomio

de segundo grado y su formula es

FORMA GENERAL DE LOS POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON

El polinomio de n-ésimo grado es

fn(x) = b0 + b1(x – x0) + · · · + bn(x – x0)(x – x1)· · ·(x – xn–1)

Como se hizo antes con las interpolaciones lineales y cuadráticas, los puntos

asociados con datos se utilizan para evaluar los coeficientes b0, b1,..., bn. Para un polinomio

den-ésimo grado se requieren n + 1 puntos: [x0, f(x0)], [x1, f(x1)],..., [xn, f(xn)]. Usamos

estos datos y las siguientes ecuaciones para evaluar los coeficientes:

b0 = f(x0)

b1 = f[x1, x0]

b2 = f[x2, x1, x0]

·

bn = f[xn, xn–1, · · ·, x, x0]

donde las evaluaciones de la función colocadas entre paréntesis son diferencias divididas

finitas. Por ejemplo, la primera diferencia dividida finita en forma general se representa

como

F(xi,xj)=

ERRORES DE LA INTERPOLACIÓN POLINOMIAL DE NEWTON

Estos términos son diferencias divididas finitas y, así, representan aproximaciones

de las derivadas de orden superior. En consecuencia, como ocurrió con la serie de Taylor, si

la función verdadera es un polinomio de n-ésimo grado, entonces el polinomio de

interpolación de n-ésimo grado basado en n + 1 puntos dará resultados exactos. También,

como en el caso de la serie de Taylor, es posible obtener una formulación para el error de

truncamiento

INTERPOLACIÓN SEGMENTARIA

Existen métodos de Interpolación segmentaria que nos permiten aproximar funciones

de un modo eficaz. Entre ellos cabe destacar la interpolación de Taylor y la interpolación por

Splines Tiene dos ventajas esenciales sobre otras formas de interpolación: Requiere sólo de

un punto conocido de la función para su cálculo, si bien se pide que la función sea

suficientemente diferenciable en un entorno de ese punto.

El cálculo del Polinomio de Taylor es sumamente sencillo comparado con otras formas de

interpolación polinómica:

Sin embargo, en ocasiones no será deseable su uso dado que el error de interpolación puede

alcanzar cotas demasiado elevadas.tambien existe varios tip como la lineal, cuadrática y

cubico

TRAZADORES LINEALES

La unión más simple entre dos puntos es una línea recta. Los trazadores de primer

grado para un grupo de datos ordenados pueden definirse como un conjunto de funciones

lineales,

f(x) = f(x0) + m0(x – x0) x0< x < x1

f(x) = f(x1) + m1(x – x1) x1 < x < x2

.

.

f(x) = f(xn–1) + mn–1(x – xn–1) xn–1< x < x

TRAZADORES (SPLINES) CUADRÁTICOS

Para asegurar que las derivadas m-ésimas sean continuas en los nodos, se debe

emplear un trazador de un grado de, al menos, m + 1. En la práctica se usan con más

frecuencia polinomios de tercer grado o trazadores cúbicos que aseguran primera y segunda

derivadas continuas. Aunque las derivadas de tercer orden y mayores podrían ser

discontinuas cuando se usan trazadores cúbicos, por lo común no pueden detectarse en

forma visual y, en consecuencia, se ignoran.

Debido a que la deducción de trazadores cúbicos es algo complicada, la hemos

incluido en una sección subsecuente. Decidimos ilustrar primero el concepto de

interpolación mediante trazadores usando polinomios de segundo grado. Esos

“trazadores cuadráticos” tienen primeras derivadas continuas en los nodos. Aunque los

trazadores cuadráticos no aseguran segundas derivadas iguales en los nodos, sirven muy

bien para demostrar el procedimiento general en el desarrollo de trazadores de grado

superior. El objetivo de los trazadores cuadráticos es obtener un polinomio de segundo grado

para cada intervalo entre los datos. De manera general, el polinomio en cada intervalo se

representa como

TRAZADORES CÚBICOS

El objetivo en los trazadores cúbicos es obtener un polinomio de tercer grado para

cada intervalo entre los nodos:

Así, para n + 1 datos (i = 0, 1, 2,..., n), existen n intervalos y, en consecuencia, 4n

incógnitas a evaluar. Como con los trazadores cuadráticos, se requieren 4n condiciones para

evaluar las incógnitas. Éstas son:

1. . Los valores de la función deben ser iguales en los nodos interiores (2n – 2

condiciones).

2. La primera y última función deben pasar a través de los puntos extremos (2

condiciones).

3. Las primeras derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1

condiciones).

4. Las segundas derivadas en los nodos interiores deben ser iguales (n – 1

condiciones).

5. Las segundas derivadas en los nodos extremos son cero (2 condiciones)

POLINOMIOS DE INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE

El polinomio de interpolación de Lagrange es simplemente una reformulación del

polinomio de Newton que evita el cálculo de las diferencias divididas, y se representa de

manera concisa como

donde son los llamados polinomios de Lagrange, que se calculan de este modo:

COEFICIENTES DE UN POLINOMIO DE INTERPOLACIÓN

Aunque el polinomio de Newton y el de Lagrange son adecuados para determinar

valores intermedios entre puntos, no ofrecen un polinomio adecuado de la forma

convencional f(x) = a0 + a1x + a2x2 + · · · + anxn

Un método directo para calcular los coeficientes de este polinomio se basa en el

hecho de que se requieren n + 1 puntos para determinar los n + 1 coeficientes. Así, se utiliza

un sistema de ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para calcular las a. Por ejemplo,

suponga que usted desea calcular los coeficientes de la parábola

INTERPOLACIÓN DE HERMITE

Son polinomios por partes Hn(x)ya sea cubico en cada su intervalo en la

interpolación f(x) y f'(x) en los puntos su función queda establecida en forma única por esta

condiciones y su calculo se tiene que hacer por sistema lineales de 4x4 cada una tiene como

desventajas que necesita de la disposición de muchas aplicaciones

TABLA DE DIFERENCIAS

Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, el

propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x,

f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi,

f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma

manera, en el intervalo en cuestión. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias

(ejemplo):

x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)

0,0 0,000

0,203

0,2 0,203 0,017

0,220 0,024

0,4 0,423 0,041 0,020

0,261 0,044

0,6 0,684 0,085 0,052

0,346 0,096

0,8 1,030 0,181 0,211

0,527 0,307

1,0 1,557 0,488

1,015

1,2 2,572