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Interfaces

Definition des Interface

Intuition:- verbindliche “Verträge” zwischen Programmierern- Schnittstellen/Tasten zur “Bedienung” einer Softwarekomponente

Implementation des Interface

Benutzung des Interface




public interface Feedable{boolean isHungry ();void feed (int howMuch, int FoodType);

}

Text

public class Dragon implements Feedable{boolean isHungry (){return true;}void feed (int howMuch, int FoodType){// Erhoehe Energie, Kolik, Fauche ...}

}

int feedHoney (int howMuch, Feedable Whom){int i = howMuch;While (Whom.isHungry() && i > 0) {Whom.feed(1, Feedable.HONEY); i--;}return i;

}

void someMethod (Object creature){...Feedable eater1 = (Feedable) creature;if (eater1.isHungry()) ......}


• Interfaces ermöglichen mehrfach Vererbung:

• einerseits, weil eine abgeleitete Klasse Interfaces implementieren kann,

• andererseits, weil eine Klasse mehrere Interfaces implementieren kann.

• Beispiel:

class Dragon extends FlyingMonster implements Feedable, FireSpitting {

...

}

• Die implementierten Interfaces werden als Komma-separiert aufgezählt.


• Das Interface StrictComparable kann von jeder Klasse implementiert werden, welche die Methode isLargerThan implementiert hat.

• Das kann Probleme bereiten:

public interface StrictComparable { public boolean isLargerThan(StrictComparable ThanWho);}

public class Dragon implements StrictComparable { public int getVolume(){return Volume;}... public boolean isLargerThan(StrictComparable ThanWho) { return (this.getVolume() > ThanWho.getVolume());}...}


• Das Interface StrictComparable kann von jeder Klasse implementiert werden, welche die Methode isLargerThan implementiert hat.

• Das kann Probleme bereiten:

public interface StrictComparable { public boolean isLargerThan(StrictComparable ThanWho);}

public class Dragon implements StrictComparable { public int getVolume(){return Volume;}... public boolean isLargerThan(StrictComparable ThanWho) {otherDragon = (Dragon) ThanWho; return (this.getVolume() > otherDragon.getVolumen());}...}


Eine Klasse muss alle Methoden, der von ihr implementierten Interfaces, implementieren.(Eine Taste auf der Fernbedienung kann nichts bewirken,

aber sie darf nicht zu einem Laufzeitfehler führen.)





}

Text


}


}



public interface Feedable{

//Definition der konstanten Felderint HONEY = 0;int DRAGON = 1;int RABBIT = 2;

//Definition der Methodenköpfeboolean isHungry ();void feed (int howMuch, int FoodType);

}

Text

Alle konstanten Felder eines Interfaces sind automatisch static und final, und besitzen die Sichtbarkeit des Interfaces.


public interface Feedable{

//Definition der konstanten Felderint HONEY = 0;int DRAGON = 1;int RABBIT = 2;

//Definition der Methodenköpfeboolean isHungry ();void feed (int howMuch, int FoodType);

}

Text

Alle Methoden eines Interfaces erhalten automatisch die Sichtbarkeit des Interfaces, in der Regel public.


Text

Interfaces können selbst andere Interfaces erweitern, und sogar mehrere. Diese werden als Komma-separierte Liste hinter das Schlüsselwort extends geschrieben.

Interfaces können keine Klassen erweitern (aber Klassen implementieren Interfaces.)





}

Text


}


}



Text


}



Text


}


Ein Interface kann überall dort verwendet werden, wo ein Datentypen erwartet wird.

Fortsetzung: Sortieren

31 55 18 98 62 11 22 70

98 70 62 55 31 22 18 11

31 55 18 98 62 11 22 70

98 70 62 55 31 22 18 11

Sortieren heisst eine Permutation der Arrayindizes suchen.

31 55 18 98 62 11 22 70

98 70 62 55 31 22 18 11

1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8

31 55 18 98 62 11 22 70

98 70 62 55 31 22 18 11

1 2 3 4 5 6 7 8

12 34 5 678

12 34 5 678

⇡ : [n] ! [n]

Sn := {⇡ : [n] ! [n]|⇡(i) 6= ⇡(j)8i 6= j}

⇡ =

✓1, 2, . . . , n4, 8, . . . , 6

◆

⇡ = (4, 8, . . . , 6)

Permutation

Symmetrische Gruppe

Sn := {⇡ : [n] ! [n]|⇡(i) 6= ⇡(j)8i 6= j}

Symmetrische Gruppe

Gruppenaxiome: Ein Paar (G, ⊙) aus einer Menge G und einer Verknüpfung ⊙: G x G ⟶G, a x b ⟼ a ⊙ b, heisst Gruppe falls gilt:

1. Abgeschlossenheit von G unter ⊙.2. Assoziativität von ⊙, d.h. (a ⊙ b) ⊙ c = a ⊙ (b ⊙ c).3. Existenz eines neutralen Elementes e∊G:

a ⊙ e (= e ⊙ a) = a, für alle a∊G.4. Für jedes a∊G existiert ein Inverses in a-1∊G, d.h.

a-1 ⊙ a (= a ⊙ a -1) = e.

Sn := {⇡ : [n] ! [n]|⇡(i) 6= ⇡(j)8i 6= j}

Symmetrische Gruppe

Die Verknüpfung auf der Symmetrischen Gruppe ist die Hintereinanderausführung zweier Permutationen.

Gruppen sind im Allgemeinen nicht abelsch, d.h. es gilt i.A. kein Kommutativgesetz. Auch die Symmetrische Gruppe (für jedes (n > 2) ist nicht kommutativ. Z.B.:

(1, 3, 2) (2, 1, 3) = (2, 3, 1) aber (2, 1, 3) (1, 3, 2) = (3, 1, 2)

Eine minimale erzeugenden Menge für die Sn ist die Menge der Transpositionen, d.h. der Vertauschung zweier Elemente.

31 55 18 98 62 11 22 70

98 70 62 55 31 22 18 11

1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8

31 55 18 98 62 11 22 70

98 70 62 55 31 22 18 11

1 2 3 4 5 6 7 8

12 34 5 678

12 34 5 678

⇡ = (4, 8, 5, 2, 1, 7, 3, 6)

Das zu sortierende Array definiert die Permutation bereits. Der Sortieralgorithmus muss sie möglichst schnell erkennen.

⇡ = (4, 8, 5, 2, 1, 7, 3, 6)

Das zu sortierende Array definiert die Permutation bereits. Der Sortieralgorithmus muss sie möglichst schnell erkennen.

Die Sn hat n! Elemente. Der Algorithmus muss alle unterscheiden können.

Sortieralgorithmen, die auf paarweisen Vergleichen beruhen definieren einen Entscheidungsbaum.

Erster Vergleich

Zweiter Vergleich, wenn linkes kleiner

Zweiter Vergleich, wenn rechtes kleiner

Je nachdem welche Instanz gegeben ist, nimmt der Algo einen anderen Weg durch den Baum.Ein Blatt in einem Baum ist Knoten mit Grad 1.Die Blätter dieses Baumes entsprechen den möglichen Endzuständen des Algorithmus. Angenommen ein Algo erreicht für zwei verschiedene Eingaben dasselbe Blatt. Dann kann er beide Eingaben nicht unterscheiden, und gibt daher in beiden Fällen dieselbe Permutation wieder. Mindestens eine Sortierung ist daher falsch. Erster

Vergleich



Je nachdem welche Instanz gegeben ist, nimmt der Algo einen anderen Weg durch den Baum.Ein Blatt in einem Baum ist Knoten mit Grad 1.Die Blätter dieses Baumes entsprechen den möglichen Endzuständen des Algorithmus. Angenommen ein Algo erreicht für zwei verschiedene Eingaben dasselbe Blatt. Dann kann er beide Eingaben nicht unterscheiden, und gibt daher in beiden Fällen dieselbe Permutation wieder. Mindestens eine Sortierung ist daher falsch. Erster

Vergleich



Folglich muss der Baum jedes Algos mindestens soviele Blätter haben, wie es Permutationen gibt: n!

Die Höhe des Baumes entspricht der WorstCase Anzahl an Vergleichen.

Die durschnittliche Höhe eines Blattes

entspricht der AverageCase Anzahl an

Vergleichen (bei Gleichverteilung auf

den n! Eingaben).

Der Baum muss nicht balanziert

sein.

Also: Wie hoch ist ein binärer Baum mit n! mindestens (WorstCase), und wie hoch ist ein durschnittliches Blatt in ihm mindestens (AverageCase)?

s

m m


s

s+1 s+1

m-1


s

s+1 s+1

m-1

Wenn m > s+1 ist, dann sinkt die durchschnittliche Höhe durch so ein Umhängen.


s

s+1 s+1

m-1


Folglich hat ein möglichst balancierter Baum (d.h., bei dem je zwei Blatthöhen sich höchstens um 1 unterscheiden) die geringste AverageCase (und wie man sich leicht überlegt auch WorstCase) Höhe.


s

s+1 s+1

m-1


Folglich hat ein möglichst balancierter Baum (d.h., bei dem je zwei Blatthöhen sich höchstens um 1 unterscheiden) die geringste AverageCase (und wie man sich leicht überlegt auch WorstCase) Höhe.

Ein möglichst balancierter Baum mit Höhe h hat zwischen 2h-1 +1 und 2h-1 viele Blätter.Also muss gelten 2h-1 < n! < 2h.

Auflösen nach h und kurzes Rechnen gibt:

h � log2(n!) � log2((n/2)(n/2)) = log2(2

(n/2)(n/4)(n/2)) =

=n

2+ log2((n/4)

(n/2)) =

n

2+

n

2+ log2((n/8)

(n/2)) = · · · =

=1

2· n · blog2(n� 1)c = 1

4· n · blog2(n)c 2 ⇥(nlog(n))

Auflösen nach h und kurzes Rechnen gibt:

⌦(nlog(n))

Damit gilt, dass jeder Sortieralgorithmus, der auf paarweisen Vergleichen beruht, sowohl im schlechtesten Fall als auch im Durchschnitt eine Anzahl Vergleiche erfordert, die in liegt.

Satz: Untere Komplexitätsschranke

h � log2(n!) � log2((n/2)(n/2)) = log2(2

(n/2)(n/4)(n/2)) =

=n

2+ log2((n/4)

(n/2)) =

n

2+

n

2+ log2((n/8)

(n/2)) = · · · =

=1

2· n · blog2(n� 1)c = 1

4· n · blog2(n)c 2 ⇥(nlog(n))

Merge Sort, rekursiv

mergeSortINPUT: Ein Array arr und zwei Indizes first und last.OUTPUT: Der von first bis last sortierte Array arr. IF (first = last) STOP ELSE middle = (first + last) / 2

mergeSort(arr, first, middle) mergeSort(vec, middle+1, last) merge(vec, first, middle, last)

Implementiere merge mit zwei Arrayvariablen, in die zunächst die beiden Arrayteile kopiert werden.

218 KAPITEL 9. SORTIEREN IN ARRAYS

schließen jetzt auf q+1:

C(2q+1) = 2 ·C(2q)+2 ·2q �1 Rekursionsgleichung= 2 · [(q�1)2q +1]+2 ·2q �1 Induktionsvoraussetzung= (q�1)2q+1 +2+2q+1 �1= q ·2q+1 +1,

was zu zeigen war.

Bezuglich der Anzahl A(n) der Zuweisungen von Arraykomponenten ergibt sich ganz analog:

A(2n) = 2 ·A(n)+ Zuweisungen in merge()

In merge() werden zunachst die Teile von vec nach vec1 und vec2 kopiert. Dies erfordert 2n Zu-weisungen. Fur das Mergen sind dann wieder A(n,n) = 2n Zuweisungen erforderlich. Also ergibt sichfolgende Rekursionsgleichung:

A(2) = 4 A(2n) = 2 ·A(n)+4 ·n fur n > 1 (9.5)

Der gleiche Losungsansatz liefert fur n = 2q

A(n) = 2q2q .

Wir betrachten nun den Fall, dass n keine Zweierpotenz ist. Dann unterscheiden sich die jeweiligenTeilarrays um maximal 1, vgl. Abbildung 9.6.

0 1 2 3 4 5

0 1 2 3 4 5

0 1 3 42 5

0 1 3 4

Abbildung 9.6: Rekursionsbaum von mergeSort() fur n = 6.

Dies fuhrt dazu, dass im zugehorigen Rekursionsbaum nicht alle Zweige bis auf die unterste Ebenereichen. Vervollstandigt man (gedanklich) den Rekursionsbaum bis auf die unterste Ebene, so wurde



216 KAPITEL 9. SORTIEREN IN ARRAYS

mergeSort(vec, middle+1, last) korrekt sortiert werden. Die Korrektheit von merge() ergibtdann die Korrektheit von mergeSort().

Fur das Standardbeispiel

a 63 24 12 53 72 18 44 35

ergibt der Aufruf mergeSort(a,0,7) dann den in Abbildung 9.5 dargestellten Ablauf. Dabei be-schreiben die Einrucktiefe die Aufrufhierarchie (Rekursionsbaum), und die Kasten die bereits sortier-ten Teile des Arrays.

mergeSort(a,0,7) 63 24 12 53 72 18 44 35mergeSort(a,0,3) 63 24 12 53 72 18 44 35mergeSort(a,0,1) 63 24 12 53 72 18 44 35mergeSort(a,0,0) 63 24 12 53 72 18 44 35mergeSort(a,1,1) 63 24 12 53 72 18 44 35merge(a,0,0,1) 24 63 12 53 72 18 44 35

mergeSort(a,2,3) 24 63 12 53 72 18 44 35mergeSort(a,2,2) 24 63 12 53 72 18 44 35mergeSort(a,3,3) 24 63 12 53 72 18 44 35merge(a,2,2,3) 24 63 12 53 72 18 44 35

merge(a,0,1,3) 12 24 53 63 72 18 44 35mergeSort(a,4,7) 12 24 53 63 72 18 44 35mergeSort(a,4,5) 12 24 53 63 72 18 44 35mergeSort(a,4,4) 12 24 53 63 72 18 44 35mergeSort(a,5,5) 12 24 53 63 72 18 44 35merge(a,4,4,5) 12 24 53 63 18 72 44 35

mergeSort(a,6,7) 12 24 53 63 18 72 44 35mergeSort(a,6,6) 12 24 53 63 18 72 44 35mergeSort(a,7,7) 12 24 53 63 18 72 44 35merge(a,6,6,7) 12 24 53 63 18 72 35 44

merge(a,4,5,7) 12 24 53 63 18 35 44 72merge(a,0,3,7) 12 18 24 35 44 53 63 72

Abbildung 9.5: Die Rekursion bei mergeSort().

9.2.3 Die Analyse von Mergesort

Wir ermitteln nun den Worst Case Aufwand C(n) fur die Anzahl der Vergleiche und A(n) fur dieAnzahl der Zuweisungen von mergeSort() beim Sortieren eines Arrays mit n Komponenten.

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