INTERACCIÓN GRAVITACIONAL

Introducción

¿Por qué son casi esféricos los planetas las lunas y el sol?¿Por qué los satélites giran alrededor de la tierra?¿Por qué no caen a la tierra los satélites?El estudio de la gravitación responde a estas y muchas otras preguntas.

Newton descubrió en el siglo XVII que la misma interacción que obliga a una manzana caer de un árbol, también mantiene a los planetas girando alrededor del sol. Este es el nacimiento de la mecánica celeste. Esta es el estudio de la dinámica de los cuerpos en el espacio. Con esta ciencia, el hombre puede determinar cómo poner un satélite en una orbita deseada, o escoger la trayectoria ideal para enviar una nave a otro planeta.

Ley de la atracción gravitacionalAl estudiar el movimiento de los planetas y la luna , Newton descubrió el carácter fundamental de la atracción gravitatoria entre dos cuerpos cualesquiera. Junto con sus tres leyes del movimiento , Newton publicó en 1687 la ley de la gravitación , que puede enunciarse así:“ Toda partícula material en el universo atrae a todas las demás partículas con una fuerza que es directamente proporcional a las masas de las partículas e inversamente proporcional al cuadrado de las distancia que las separa”.

d 𝐹𝑔

𝐹𝑔

𝑚1

𝑚2

La introducción de una constante, convierte la expresión anterior en una ecuación:

Donde

Las fuerzas gravitatorias siempre actúan sobre la línea que une las dos partículas y forman un par acción reacción.

Cuando los dos cuerpos poseen distribuciones de masa esféricamente simétricas ,su interacción gravitatoria es la misma que si se concentrara toda la masa en sus centros.En el caso de la tierra con masa modelada como un cuerpo esférico, y otro objeto con simetría esférica y masa separados una distancia entre sus centros, es

d

𝑀𝑇

m

𝐹𝑔𝐹𝑔

Experimento para determinar el valor de la constante G

Su valor a 3 cifras significativas es:

En un sistema de referencia, la expresión para la fuerza de la gravedad es:

𝑟2

𝑚1

𝑚2

X

Y

Z

0

��12

�� 21

𝑟1

𝑟2−𝑟1

𝑟1−𝑟2

Ejercicio 1: determinar la fuerza de atracción gravitacional entre dos masas de valores 100kg y 500kg, ubicadas en las posiciones (4,-5,3)m y (-2,5,1)m respectivamente.

=

=

(

=/)

+(

¿Qué tan intensa es la fuerza? La respuesta es:

|𝐹 12|=2.37𝑥 10− 8𝑁

¿Qué dirección tiene este vector en el espacio?

cos𝛼𝑥=𝐹12𝑥

|𝐹 12|

cos𝛼𝑥=¿(−1.21 𝑥10− 8 )𝑁

2.37 𝑥10− 8 𝑁→𝛼𝑥=120.7 ° ¿

cos𝛼𝑦=𝐹 12𝑦

|𝐹 12|cos𝛼𝑦=

(2.00 𝑥10− 8𝑁 )2.37 𝑥10− 8 𝑁

→𝛼 𝑦=32.4 °

𝑆𝑒𝑎𝛼𝑧 𝑒𝑙á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜𝑞𝑢𝑒h𝑎𝑐𝑒𝑒𝑙𝑣𝑒𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑐𝑜𝑛𝑒𝑙𝑒𝑗𝑒𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑍 ,𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 :

cos𝛼𝑧=𝐹 12𝑧

|𝐹 12|cos𝛼𝑧=

(−0.40 𝑥10−8 )𝑁2.37 𝑥10−8 𝑁

→𝛼𝑧=99.7 °

.

𝐿𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑠𝑜𝑏𝑟𝑒𝑙𝑎𝑚𝑎𝑠𝑎𝑚2𝑒𝑠 �� 21 ,𝑝𝑒𝑟𝑜𝑒𝑠𝑡𝑎 𝑓𝑢𝑒𝑟𝑧𝑎𝑒𝑠 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎− ��12 ,𝑒𝑠𝑡𝑜𝑒𝑠 :

�� 21=( 1.21𝑥10−8 𝑁 ) ��+ (−2.00 𝑥10− 8 𝑁 ) ��+(0.40 𝑥10−8 𝑁 ) ��

,°

Calcule la magnitud y dirección de la fuerza gravitatoria neta sobre la luna debida a la tierra y al sol, cuando la luna está en las posiciones mostradas.

PROBLEMA 1 PARA LA TAREA

Masa del sol: 301.98 10x kgMasa de la luna: 227.34 10x kg

245.98 10x kgMasa de la tierra

Distancia tierra-Luna: 83.84 10x mDistancia tierra-Sol: 111.49 10x m

Luna

Tierra

Sol

Sol

luna

Tierra

Luna

Tierra

Sol

u

a

d

2 2a d

θ

Campo gravitacional de un anillo delgado

M

PROBLEMA 2 PARA LA TAREA

Determinar el campo gravitacional de un disco delgado uniforme de masa M y de radio R en el punto P ubicado a la distancia s sobre el eje del disco.

M

R

sP

PROBLEMA 3 PARA LA TAREASuponer que se hiciera un túnel a través de la tierra a lo largo de un diámetro, como lo muestra la figura adjunta.a) Demostrar que la fuerza sobre una masa m

situada a una distancia d del centro de la tierra es ….ver el pié de página….,suponiendo que la densidad es uniforme.

b) Demostrar que el movimiento de m sería armónico simple, con un período alrededor de 90min .

c) Escribir las ecuaciones de la posición, velocidad, y aceleración en función del tiempo, con valores numéricos

para las constantes

md

R

Dos masas iguales de 6.40kg están separadas por una distancia de 0.16m.Una tercera masa se suelta en un punto P equidistante de las dos masas y a una distancia de 0.06m de la línea que las une. Determinar la velocidad de esta tercera masa cuando pasa por Q. Suponiendo que la masa es de 0.1kg calcular su aceleración en P y en Q.

0.16m

P

0.06m

Qm m

Problema 4 para la tarea