inteligentno upravljanje - lejla-bm.com.ba · je brzina velika i nadolazeća krivina oštra, onda...

Inteligentno upravljanje

Copyright: Lejla Banjanović-Mehmedović

1

Fuzzy sistemi

INTELIGENTNO UPRAVLJANJE

Vanr.prof. Dr. Lejla Banjanović-Mehmedović



2

Istorijski osvrt

Prva polovina 19.vijeka: Cantor, Hilbert : klasična teorija skupova

Lukasiewitz, Boral: neizvjesnost

1965. godine Zadeh: fuzzy skup, funkcije pripadnosti, fuzzy logika

Početkom sedamdesetih godina 20 vijeka teorija fuzzy skupova u upravljanju profesor Ebrahim H. Mamdanij



3

Istorijski osvrt 1980. godine: fuzzy upravljanje (prvi industrijski

regulator u Danskoj)

1987. godine - podzemna željeznica u japanskom gradu Sendai, Hitachi

1990-95: fuzzy mikrokontroleri - upravljanje liftovima i

mašinama za veš, sistemi za fokusiranje u video kamerama

(Matsushita), podešavanje kontrasta i intenziteta boje televizora

(Sony), rad automatskih mjenjača i kočionih sistema (Nissan)



4

Aplikacije fuzzy logike

Upravljanje, najrasprostranjenija kategorija, osobito u industrijskim aplikacijama.

Zaključivanje (ekspertni sistemi dijagnoze, planiranja i predikcije, procesiranje prirodnih jezika, inteligentni roboti.

Prepoznavanje uzoraka (analiza slike, procesiranje zvuka i signala).

Kvantitativna analiza



5

Aplikacioni opseg fuzzy logike

Ugrađeni kontroleri (28%)

Industrijska automatizacija (62%)

Procesna kontrola (10%)



6

Suština fuzzy pristupa

Analitička forma Fuzzy skup Fuzzy operator Fuzzy relacija Fuzzy

kompozicija Implikaciona

relacija Implikacioni

operator

Lingvistička forma Lingvistička

varijabla IF-THEN pravilo Algoritmi Proces

zaključivanja



7

Suština fuzzy pristupa Klasični skup - skup

istih elemenata Fuzzy skupovi -

dozvoljeno mnogo stepeni funkcije pripadnosti [0,1]

Funkcija pripadnosti (membership function) µA.



8

Fuzzy skup

Fuzzy skup A :

gde je x član skupa, predstavlja funkciju pripadnosti elementa skupu (membership function) .

Fuzzy skup predstava:

ili ako je kontinualnog karaktera:

( ){ }XxxxA A ∈= |)(,µ)(xAµ

n

iii xA

1

/=

= µ

∫= xxA A /)(µ



9

Primjer matematičkog opisa ljudske percepcije brzine auta

1, 50 /( )

0, 50 /brzo

za x km hx

za x km hµ

≥= <

1, 55 /( ) ( 45) /10, 45 / 55 /

0, 45 /brzo

za x km hx x za km h x km h

za x km hµ

>= − ≤ ≤ <

35 40 45 50 55 60 65

0

0,5

1

Prip

adno

st

Klasični skup

35 40 45 50 55 60 65

0

0,5

1Pr

ipad

nost

Fuzzy skup



10

Funkcije pripadnosti

a x

µx

b c d e0

1 0,

,( )

,

0,

za x ax a za a x cc axe x za c x ee c

za x e

µ

< − ≤ < −= − ≤ ≤ − >

a x

µx

b c d e0

1

0,

,

( ) 1,

,

0,

za x ax a za a x bb a

x za b x de x za d x ee d

za x e

µ

< − ≤ < −= ≤ < − ≤ ≤

− >



11


x

µx

c0

1

( )2

1( )1

xx c

µ =+ −

x

µx

c0

1 ( )2

( )x c

wx eµ−

−=



12


a x

µx

b

1 1,

( ) ,

0,

x ab xx a x bb a

x b

µ

< −= ≤ ≤

− >

a x

µx

b0

10,

( ) ,

1,

x ax ax a x bb a

x b

µ

< −= ≤ ≤

− >



13

Gaussian funkcija pripadnosti

1

0

µ(x)

w

µL µ µD

CL CDC



14

Gaussian funkcija pripadnosti

Lijevo

Sredina

Desno

−⋅−

≤= ostalocu

cuu

L

L

L

L 2

21exp

1)(

σµ

−⋅−=

2

21exp)(

σµ cuu

≤

−⋅−=

ostalo

cucuu

RR

R

R

121exp)(

2

σµ



15

Triangularna funkcija pripadnosti

Lijevo

Sredina

Desno

⋅−

+

≤= ostalo

wuc

cuu

L

L

L

L

5,01,0max

1)(µ

⋅−

+

≤

⋅−

+=

ostalowuc

cuwcu

uC

5,01,0max

5,01,0max

)(µ

≤

⋅−

+=ostalo

cuwcu

uR

R

R

R

15,0

1,0max)(µ



16


Funkcije pripadnosti se biraju na bazi aplikaciono specifičnog kriterija aspekt jednostavnosti, pogodnosti, brzine, efikasnosti...

1

0

µ

xa

( )2

1( ) , 11

µ = >+ −

x kk x a

2

1( ) , 11

x kkx

µ = >+



17

Osobine fuzzy skupova

Visina fuzzy skupa

Širina fuzzy skupa

Domen

( ) sup ( ) max ( )A AV A x xµ µ= =

{ }( ) | 0AD A x X µ= ∈ >

1

0.8

0

Fuzzy skup oko vrijednosti 5

5 10

µ(x)

x

Širina skupa

Domen skupa

Vis

ina

Vis

ina Normalan

Nije normalan broj

( ) s up ( ) inf ( ) max ( ) min ( )A A A AS A x x x xµ µ µ µ= − = −



18

Osobine fuzzy skupova

Jezgro ili centar fuzzy skupa A.

Normalan fuzzy skup

( ) 1V A =

{ }( ) | ( ) 1AJ A x X xµ= ∈ =



19

Fuzzy broj

Konveksnost fuzzy skupa

Normalizovan skup

[ ]( ) min ( ), ( )A A Ay x zµ µ µ≥



20

Neki primjeri fuzzy broja

0,5

1

5

µ

t (ºc) 10

0,5

1

5

µ

t (ºc) 10

0,5

1

5

µ

t (ºc) 10

0,5

1

5

µ

10 15

c) Trapez

b) Gauss

d) Oštri pik

a) Trougao

Pozitivno mala

Pozitivno mala

Pozitivno mala

Pozitivno mala

t (ºc)



21

Logičke operacije nad fuzzy skupovima

Fuzzy skup je prazan :

Dva fuzzy skupa A i B su jednaki

A je podskup skupa B :

( ) 0A xµ =

( ) ( )A Bx xµ µ=

( ) ( )A BA B x xµ µ⊆ ⇔ ≤



22


Fuzzy operacije su specijalno definisane operacije za rad sa fuzzy skupovima.



23


Unija fuzzy skupova

Presjek fuzzy skupova

Komplement fuzzy skupa

( ) ( )( ){ }, ( ) | , ( ) max ( ), ( ) A B A B A BA B x x x X x x xµ µ µ µ∪ ∪∪ = ∈ =

( ) ( )( ){ }, ( ) | , ( ) min ( ), ( )A B A B A BA B x x x X x x xµ µ µ µ∩ ∩∩ = ∈ =

( ) 1 ( )AA x xµ µ= −

)()()()()( xxxxx BABABA µµµµµ ⋅−+=+

)()()( xxx BABA µµµ ⋅=⋅



24

Fuzzy operatori

Trokutna norma (T-norma) i S-norma (T-konorma)



25

Poređenje različitih T normi i S normi

Minimum TM i maksimum SM:TM(x) = min(μ1(x), μ2(x))SM(x) = max(μ1(x), μ2(x))

Algebarski proizvod TP i algebarska suma SP :

TP(x,y) = μ1(x) μ2(x) SP(x) = μ1(x) + μ2(x) – μ1(x) μ2(x)

TMTP

µ

x

1

µ1µ2

1

0xa

µ1

µ2

µ SP

SM

)(1)())(),(()())(),(()(

xxxxSxxxTx

AA

BABA

BABA

C µµµµµµµµ

−===

∪

∩



26

Fuzzy broj – lingvistička forma fuzzy broja

-20 20-10

Negativno veliko

Blizu nuli

1

0 10Temperature zraka

Negativno srednje

Negativno malo

Pozitivno malo

Pozitivno srednje

Pozitivno veliko

30-30



27

Lingvistička varijabla udaljenost

Lingvistička varijabla je četvorka (x, A(x), U, M),

Definišimo lingvističku varijablu x: x = „Udaljenost od prepreke“ A(x) =

{„nula“,“blizu“,“srednje“,“daleko“}

U = [0, 100] M: X→A(x)

5030

blizunula srednje daleko

10 700

0.20.40.60.81.0

µ(x)

x



28

Relacije

Klasične relacije Fuzzy relacije



29

Fuzzy relacije

Neka su X i Y neprazni skupovi. Fuzzy relacija R je fuzzy podskup od XxY, tj.

( ){ }( , ), ( , ) | ( , )RR x y x y x y X Yµ= ∈ ×

{ }1 1 1 1( ,..., ) /( ,..., ) | ,...,R n n n nR x x x x x X x Xµ= ∈ ∈

1

1 1... ( ,..., ) /( ,..., )n

R n nX X

R x x x xµ= ∫ ∫



30

Predstavljanje klasične relacije Primjer binarne relacije:

Primjer tabelarne relacije

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ){ }1,1 , 1,2 , 1,3 , 1,4 , 1,6 , 2,2 , 2,4 , 2,6 , 3,3 , 3,6 , 4,4 , 6,6 ,dR =

yx

1 2 3 4 6

1 1 1 1 1 1

2 0 1 0 1 1

3 0 0 1 0 1

4 0 0 0 1 0

6 0 0 0 0 1



31

Predstavljanje klasične relacije

Grafički prikaz relacije: Matrični prikaz relacije

1 1 1 1 10 1 0 1 10 0 1 0 10 0 0 1 00 0 0 0 1

dR

=



32

Predstavljanje fuzzy relacija

mxn binarne fuzzy relacije:

pri čemu su: - redovi matrice, - kolone matrice.

Matrica pripadnosti mxn binarne fuzzy relacije

Matrica inverzne relacije

( , )( , ) /( , )

i i

R i i i ix y X Y

R x y x yµ∈ ×

= ∑

1,2,...,ix m=1,2,...,iy n=

1 1 1

2 1 2

1

( , ) ( , )( , ) ( , )

( , ) ( , )

R R n

R R n

R m R m n

x y x yx y x y

R

x y x y

µ µµ µ

µ µ

=

1( , ) ( , )R Ry x x yµ µ− =



33

Predstavljanje fuzzy relacija

x1

y3

y4

y2

y1

x4

x3

x2

1.00.15

0.00.0

0.151.0

0.10.0

0.00.2

1.00.15

0.01.00.4

0.0

1 1 1 2 1 3 1 4

2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 4

4 1 4 2

1.0 /( , ) 0.15 /( , ) 0.0 /( , ) 0.0 /( , ) 0.15 /( , ) 1.0 /( , ) 0.1/( , ) 0.0 /( , ) 0.0/( , ) 0.2 /( , ) 1.0 /( , ) 0.15 /( , ) 0.0/( , ) 0.0 /( , ) 0.4 /(

R x y x y x y x yx y x y x y x y

x y x y x y x yx y x y

= + + + +

+ + + +

+ + + +

+ + 4 3 4 4, ) 1.0 /( , )x y x y+

1.0 0.15 0.0 0.00.15 1.0 0.1 0.00.0 0.2 1.0 0.150.0 0.0 0.4 1.0

R

=

1

1.0 0.15 0.0 0.00.15 1.0 0.2 0.00.0 0.1 1.0 0.40.0 0.0 0.15 1.0

R−

=

yx y1 y2 y3 y4

x1 1.0 0.15 0.0 0.0

x2 0.15 1.0 0.1 0.0

x3 0.0 0.2 1.0 0.15

x4 0.0 0.0 0.4 1.0



34

Fuzzy propozicija

Fuzzy propozicija je struktura oblika x je A



35

Fuzzy pravilo

AKO R skup zadovoljenih uslova ONDA P skup

posljedica,

AKO R - fuzzy propozicija ili premisa, pretpostavka, sastoji se iz više tvrdnji povezanih logičkim vezama "AND" i "OR".

ONDA P - posljedični dio pravila ili konsekvenca (zaključak), može biti u jednoj ili više posljedičnih vrijednosti



36

Fuzzy pravilo Za povezivanje propozicija koriste se riječi (veznici): I, ILI, NE i AKO - ONDA koji se kvantificiraju preko T i S

normi.

ako je brzina velika i nadolazeća krivina oštra, onda je kočenje naglo,

ako se temperatura pare smanjuje onda povećaj protok goriva i zraka



37

Fuzzy relacija Neka X i Y predstavljaju domene varijabli x i y nad kojima

su definisani fuzzy skupovi A i B i neka je dato fuzzy pravilo:

AKO x je A ONDA y je B

( ){ }( , ), ( , ) | ( , )RR A B x y x y x y X Yµ= → = ∈ ×



38

Fuzzy zaključivanje

Fuzzy zaključivanje je proces formulacije transformacije fuzzy ulaza u fuzzy izlaz pomoću fuzzy logike.

( , ) ( ) ( , )B Ax y x R x yµ µ=



39

Kompozicija fuzzy relacija

AKO nivo je nizak I AKO promjena_nivoa jenegativna ONDA ventil je otvori_polako

AKO nivo je dobar I AKO promjena_nivoa jepozitivna ONDA ventil je zatvori_polako



40

Kompozicija fuzzy relacija – Max-Min kompozicija

1 21 2 ( , ) ( , ) /( , )R RXxZ

R R x y y z x zµ µ = ∨ ∧ ∫

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )R R R Ryx z x y y zµ µ µ = ∨ ∧



41

Kompozicija fuzzy relacija – Max-Star kompozicija

1 21 2 ( , ) ( , ) /( , )R RXxZ

R R x y y z x zµ µ ∗ = ∨ ∗ ∫

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )R R R Ryx z x y y zµ µ µ∗ = ∨ ∗



42

Kompozicija fuzzy relacija – Max-Prod kompozicija

1 21 2 ( , ) ( , ) /( , )R RXxZ

R R x y y z x zµ µ ⋅ = ∨ ⋅ ∫

1 2 1 2( , ) ( , ) ( , )R R R Ryx z x y y zµ µ µ⋅ = ∨ ⋅



43

Kompozicija fuzzy relacija – Max-Srednje kompozicija

1 21 2 1/ 2 ( ( , ) ( , )) /( , )R RXxZ

R R x y y z x zµ µ < + > = ∨ + ∫

1 2 1 2( , ) 1/ 2 ( ( , ) ( , ))R R R Ryx z x y y zµ µ µ<+> = ∨ +



44

Primjer: Kompozicija fuzzy relacija

YX

y1 y2 y3 y4 y5

x1 0.1 0.2 0.0 1.0 0.7

x2 0.3 0.5 0.0 0.2 1.0

x3 0.8 0.0 1.0 0.4 0.3

Zy

z1 z2 z3 z4

y1 0.9 0.0 0.3 0.4

y2 0.2 1.0 0.8 0.0

y3 0.8 0.0 0.7 1.0

y4 0.4 0.2 0.3 0.0

y5 0.0 1.0 0.0 0.8

Fuzzy relacija R1 Fuzzy relacija R2



45

Primjer: Max-Min kompozicija fuzzy relacija

1 2 1 1( , )(0.1 0.9,0.2 0.2,0.0 0.8,1.0 0.4,0.7 0.0)

0.1 0.2 0.0 0.4 0.0 0.4

=∧ ∧ ∧ ∧ ∧ =

∨ ∨ ∨ ∨ =

R R x zMax

Zx

z1 z2 z3 z4

x1 0.4 0.7 0.3 0.7

x2 0.3 1.0 0.5 0.8

x3 0.8 0.3 0.7 1.0



46

Primjer: Max-Proizvod kompozicija fuzzy relacija

1 2 1 1( , )(0.1 0.9,0.2 0.2,0.0 0.8,1.0 0.4,0.7 0.0)

0.09 0.04 0.0 0.4 0.0 0.4

R R x zMax

⋅ =

× × × × × =∨ ∨ ∨ ∨ =

Zx

z1 z2 z3 z4

x1 0.4 0.7 0.3 0.56

x2 0.27 1.0 0.4 0.8

x3 0.8 0.3 0.7 1.0



47

Primjer: Max-Srednje kompozicija fuzzy relacija

Zx

z1 z2 z3 z4

x1 0.4 0.7 0.3 0.7

x2 0.3 1.0 0.5 0.8

x3 0.8 0.3 0.7 1.0

( )1 2 ( 1, 1)1 (0.1 0.9,0.2 0.2,0.0 0.8,1.0 0.4,0.7 0.0)21 (1.0 0.4 0.8 1.4 0.0) 0.72

R R x z+ =

+ + + + + =

∨ ∨ ∨ ∨ =



48

Implikaciona relacija

Analitička forma pravila „AKO – ONDA“ AKO x je A ONDA y je B

je fuzzy relacija koja se naziva implikaciona relacija.

Implikaciona relacija nam daje funkcionalnu vezu između premise i posljedice pravila.



49

Implikaciona relacija

Φ implikacioni operator koji kao ulaz uzima funkcije pripadnosti uzročnih i posljedičnih dijelova

pravila.

( , )

( , ) /( , )Rx y

R x y x yµ= ∫ ( , )( , ) /( , )

i i

R i i i ix y

R x y x yµ= ∑

[ ]( , ) ( ), ( )R A Bx y x yµ µ µ= Φ



50

Vrste implikacija Mamdani implikacija (implikacija tipa min)

Implikacija tipa proizvod

Zadehova implikacija (Max-Min implikacioni operator)

Lukasiewiczeva implikacija

[ ]( ), ( ) ( , ) ( ) ( )P A B R A Bx y x y x yµ µ µ µ µΦ = = ×

[ ]( ), ( ) min( ( ), ( ))M A B A Bx y x yµ µ µ µΦ =

[ ] ( )( ), ( ) max min( ( ), ( )),1 ( )Z A B A B Ax y x y xµ µ µ µ µΦ = −

[ ]( ), ( ) ( , ) min(1,1 ( ) ( ))L A B R A Bx y x y x yµ µ µ µ µΦ = = − +



51

Agregacija fuzzy pravila Proces formiranja konačnog zaključka na osnovu

pojedinačnih zaključaka dobijenih svakim pojedinačnim pravilom naziva se proces agregacije.

Mamdanijev princip zaključivanja. Larsenov princip zaključivanja. Tsukamotov princip zaključivanja. Takagi-Sugeno-Kangov princip.



52

Mamdanijev princip zaključivanja

AKO x1 je Ak1 I x2 je Ak2 ONDA yk je Bk, k=1,...r

{ }1 21 2 1 1 2( , ) max min ( ), ( ) , 1,...,k k k

rB i j k A i A jx x x x k rµ µ µ= = =



53

Mamdanijev princip zaključivanja

0 x1 x2

1 A11 1 1

0 0 y

µ µ µ

0 x1

1 A211 1

0 0

µ µ µ

A12 B1

A22 B2

min

0 y

µ

1

x2x10 x20 y



54

Larsenov princip zaključivanja

U slučaju r aktiviranih pravila imamo sljedeću formu:

{ }1 21 2 1 1 2( , ) max ( ) ( ), ( ) , 1,...,k k k

rB i j k A i A jx x x x k rµ µ µ= = • =



55

Larsenov princip zaključivanja

0

1 1 1

0 0

0

1 1 1

0 0

B2

min

0

µ

1

A11

µ µ µ

µ µ µ

A12 B1

x1

x1

x2

x2 y

y

y

x10 x20

A22A21



56

Takagi-Sugeno-Kangov princip zaključivanja

AKO x1 je Ak1 I x2 je Ak2 ONDA yk =pkx1+qkx2+rk

k=1,2



57

Takagi-Sugeno-Kangov princip zaključivanja

0 x1 x2

1 A11 1

0

µ µ

0 x1

1 A21 1

0

µ µ

A12

A22

min ili proizvod

x2

w1

x10 x20

w2

y1=p1x1+q1x2+r1

y2=p2x1+q2x2+r2

1 1 2 2

1 2

w y w yyw w

+=

+



58

Uticaj izbora ulazne funkcije pripadnosti na karakter izlazne funkcije Sugeno

0

0,5

1

0 5 10 15

mali srednji veliki

Funkcije pripadnosti ulaza

0

0,5

1

0 5 10 15

mali srednji veliki

0

0,5

1

0 5 10 15

mali srednji veliki

0

5

15

0 5 10 15

mali srednji veliki

0

5

20

0 5 10 15

mali srednji veliki

0

5

0 5 10 15

mali srednji veliki

Funkcije izlaza y=f(x)

xx

x

x

x

x

y

y

y

y

y

y

y=3x

+2y=-2,5x+30

y=-0,01x+5

20

10

15

10

20

15

10

3 22.5 300.01 5

AKO je x mali ONDA je y xAKO je x srednji ONDA je y xAKO je x veliki ONDA je y x

= += − += − +



59

Komparacija Sugeno i Mamdani metoda Prednosti Mamdani metode

intuitivan široko prihvaćen odgovara ljudskom poimanju.

Prednosti Sugeno metode Kompjuterski efikasan Radi dobro sa linearnim tehnikama (npr. PID

kontrola) Radi dobro sa optimizacionim i adaptivnim tehnikama Ima garantovani kontinuitet izlazne površi Dobro je prilagođen matematskoj analizi



60

Metode defazifikazicije

Metoda težišta ili centroid metoda (eng. centroid method)

Metoda srednjeg otežavanja (eng. weighted average method)

Metoda maksimalne visine ili princip maksimalne pripadnosti (eng. max-membership principle, MOM)

Centar suma (eng. center of sums).



61

Centroid metoda (COA)

* 0

0

( )

( )

n

i i ii

n

i ii

y yy

y

µ

µ

=

=

⋅=∑

∑

*

( )

( )

iY

iY

y y dyy

y dy

µ

µ

⋅=∫

∫

1

0y

µ

y*



62

Metoda srednjeg otežavanja

Koristi se samo za simetrične slučajeve izlaznih fuzzy skupova

* 0

0

( )

( )

n

ii

n

ii

y yy

y

µ

µ

=

=

⋅=∑

∑

1

0y

µ

0,7

0,4

a b



63

Metoda maksimalne visine (MOM)

Ova metoda se susreće i pod nazivima metoda maksimalne pripadnosti ili metoda kompozitnog maksimuma.

Ako se desi slučaj da fuzzy skup sadrži više max. vrijednosti, kao rješenje se koristi prosječna maksimalna vrijednost.

*

1

Nm

m

yyN=

= ∑1

0y

µ

y*



64

Metoda centra sume (COS)

Za razliku od centroid metode, metoda centra suma računa algebarsku sumu pojedinačnih izlaznih fuzzy skupova, čime se područje presjeka dodaje dva puta.

* 1

1

( ),

( )

n

iYkn

iYk

y y dyy

y dy

µ

µ

=

=

=∑∫

∑∫* 1 1

1 1

( )

( )

N n

i ii k

N n

ii k

y yy

y

µ

µ

= =

= =

=∑ ∑

∑∑1

0y

µ

y*

Izabrana područja fuzzy aplikacija

Područje AplikacijeTransport Podzemne željeznice, helikopteri, liftovi, kontrola

saobraćajam, kontrola protoka zraka u tunelima.Automobili Transmisija, kontrola kretanja, mašine, kočnice.

Kućanski aparati Perilice, sušilice, hladnjaci, usisivači, kuhala, TV aparati, klime, mikrovalne, masažne kade, video sistemi.

Roboti Industrijski i mobilni roboti.Industrija Metalna, hemijska, elektrane, konstruktivna, nuklearna.

Inženjering Eektrotehnika, mehanika, građevinarstvo, geofizika, rudarstvo.

Medicina Dijagnostika.Menadžment Odobravanje kredita, procjena rizika, upravljanje

dionicama, analiza tržišta, planiranje, sistem za podršku odlučivanju.

inteligentno upravljanje - lejla-bm.com.ba · je brzina velika i nadolazeća krivina oštra, onda...

Documents